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Sistema de equações lineares

Caracterização
 Um sistema de m equações a n variáveis é é
chamado sistema de equações lineares. Ele
tem a forma genérica seguinte:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
....
....
............................................
....
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
   
   
   

Solução
 Um conjunto de n valores (x1, ..., xn)
verificando as equações do sistema é uma
solução do sistema.
 Um sistema cujo os valores dos coeficientes
bn são iguais a 0 é um sistema homogêneo:
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
.... 0
.... 0
............................................
.... 0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
   
   
   

Caracterização matricial
 O sistema pode ser escrita sobre a forma de
um produto de matrizes:
onde as matrizes são definidas por:

Combinação linear
 A combinação linear de equações é a soma
dessas equações multiplicado por
coeficientes reais:
 a1eq1+a2eq2+...+aneqn onde ai0, i{1,...,n} é
uma combinação linear de eq1, eq2, ..., eqn.
 Em relação com as variáveis envolvidas nas
equações, uma equação linear, combinação
linear entre as outras equações não introduz
novas relações entre as variáveis.

Sistemas equivalentes
 Num sistema de equações lineares independentes,
se uma equação é trocada por uma combinação
linear dela mesma e outras equações do sistema, o
novo sistema é equivalente o primeiro. Os dois
sistemas têm a mesma solução.
1 1 2 2 1
1
2 2
. . ... , 0
... ...
n n
n n
eq eq eq
eq
eq eq
eq eq
a a a a
   




 

 
 
 
 

Sistemas equivalentes
 Num sistema, se uma equação é combinação
linear das outras, ele é equivalente ao sistema
sem essa equação:
2 2 2
3
2
. ...
... ...
n n
n n
eq eq eq
eq
eq
eq eq
a a
 
 
 
 

 
 
 
 

Equações e variáveis
 Um sistema de m equações a n variaveis:
 Tem uma solução unica se ele pode ser reduzido
a um sistema de n equações independentes a n
variáveis.
 Tem uma infinidade de soluções, se ele é
equivalente a um sistema de m’ equações
independentes com m’<n

Determinante
 Um determinante é um número associado a um
matriz quadrada (mesmo número de linha e coluna).
 A definição do determinação envolve a noção de
permutação. O determinante de uma matriz A (aij é
o coeficiente da i-ésima linha e j-ésima coluna) é,
onde an são elementos distintos de (1,...,n) e k é o
número de permutações para passar de (1,...,n) para
(a1,..., an):
1 2
!
1 2
( 1) ... n
k
n
n
A a a a
a a a
 


 O calculo do determinante 2x2:
 O calculo do determinante 3x3 é feito da forma
seguinte:
 Det A= =
Calculo do determinante,
caso 2x2 e 3x3
11 22 33 21 32 13 31 12 23
31 22 13 11 32 23 21 12 33
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
 
  
11 12
11 22 21 12
21 22
a a
a a a a
a a
 

 O desenvolvimento de Laplace permite o calculo do
determinante da forma seguinte:
Onde Dij é o determinante da submatriz obtido de A retidando-
se a i-ésima linha e j-ésima coluna e multiplicado por (-1)i+j.
O número i pode ser qualquer número de {1,...,n}. Esse
princípio funciona para qualquer linha ou coluna.
Determinante, caso nxn
11 12 1
21 22 2
, ,
1 1
1 2
...
...
, ( 1)
... ... ... ...
...
n
j n j n
n i j
ij ij ji ji ij kp k i p j
j j
n n nn
a a a
a a a
a a a
a a a
 

 
 
 D  D D  
 

Determinante, caso nxn
 O calculo do determinante pode ser implementado
com um procedimento recursivo. O calculo de um
determinante nxn é determinado a partir de
determinantes (n-1)x(n-1).
 O preço do cálculo de um determinante é elevado.
Considerando a formula da definição, são
necessárias n!(n-1)+(n!-1) ou seja n!n-1 operações
para um determinante de dimensão n: (n!-1) somas
de n!(n-1) produtos, sem considerar os elementos
anexos necessários (posição de memoria, sinal, etc).

Determinante, um algoritmo
 O calculo é feito usando os coeficientes da primeira
linha.
Determinante(m) // m: matriz
se dim(m)=2 resultado=m[0][0].m[1][1]-m[1][0].m[0][1]
se dim(m)=1 resultado=m[0][0]
Se dim(m)>2 resultado=0
i de 1 a dim(m) construír a submatriz de m sem a primeira
linha e a i-ésima coluna (subm)
resultado=resultado+(-1)i.m[0][i].Determinante(subm)

Determinante e sistema
 Se um sistema de n equações lineares a n
variáveis tem um determinante diferente de
0: det A0, as equações do sistema são
independentes.
 Nesse caso, o sistema tem uma solução
única. Em caracterização matricial, essa
solução escreve-se:
onde A-1 é a matriz inversa da matriz A.
   
1
x A b

 
  

Determinante e matriz inversa
 Se o determinante de uma matriz é não nulo,
a matriz inversa pode ser calculada.
Onde Dij é o determinante da matriz formada a
partir da matriz A retirando a i-ésima linha e
j-ésima coluna.
11 1 11 1
1
1 1
... ...
1
... ... ... , ... ... ...
... ...
n n
n nn n nn
a a
A A
A
a a

D D
   
   
 
   
   
D D
   

Formula de Cramer
 Pela formula de Cramer, se o determinante do sistema é não
nulo, o valor solução da variável xi é dado pela formula
seguinte:
 O numerator da fração é o determinante da matriz formada
da matriz A do sistema onde a coluna dos coeficientes de xi
são subsituídos pelos termos constantes bi.
11 1 1 1 1 1 1
21 2 1 2 2 1 2
1 1 1
... ...
... ...
1
... ... ... ... ... ... ...
det
... ...
i i n
i i n
i
n ni n ni nn
a a b a a
a a b a a
x
A
a a b a a
 
 
 


Exemplo
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 0
4 3
8 1
x x x
x x x
x x x
  


   

   

2 3 1
det 1 1 4 2 8 12 3 64 1 64
1 8 1

         
 
1
0 3 1
3 1 4
1 8 1 46
64 64
x

 
 
2
2 0 1
1 3 4
1 1 1 10
64 64
x



  
3
2 3 0
1 1 3
1 8 1 62
64 64
x


 

Custo da formula de Cramer
 Para resolver um sistema de n equações a n
variáveis, pela formula de Cramer precisam
ser calculados n+1 determinante de ordem n
(n linhas, n colunas).
 O custo da resolução desse sistema é de:
(n!n-1)(n+1) operações.
Para 10 variaveis: 399167989

Eliminação Gaussiana
 A eliminação Gaussiana usa a propriedade de
equivalência de sistema para eliminar
progressivamente as variáveis ate chegar a
uma equação de uma variável.
11 1 12 2 1 1
22 2 2 2
....
....
............................................
n n
n n
nn n n
a x a x a x b
a x a x b
a x b
   

   



 


Sistema triangular
 No novo sistema, podemos determinar:
 O sistema é chamado sistema triangular e a
matriz associada é uma matriz triangular. Se
fala também de triangular superior ou
inferior para caracterizar a posição dos
coeficientes não nulos.
1 1
1
1
1 1
1
, ,......, ( )
n
n n n n n
n n i i ij j
j i
nn n n ii
b b a x
x x x b a x
a a a
 

 
 

    

Eliminação Gaussiana e
determinante
 O determinante de um sistema triangular é o
produto dos termos da diagonal.
 Em um determinante, adicionar os termos (ou os
termos multiplicado por um fator) de qualquer linha
(resp. coluna) a qualquer outra linha (resp. coluna)
não muda o valor do determinante.
11 12 1
22 2
11 22
...
0 ...
...
... 0 ... ...
0 ... 0
n
n
nn
nn
a a a
a a
a a a
a


Método
 Escolhe uma das equações (i-ésima) com o
coeficiente (ai1) de x1 não nulo. Esse coeficiente é
chamado de pivot (ou pivot de Gauss).
 Adicionar a cada uma das equações restantes (j,
ji), a primeira equação multiplicada por: -aj1/ai1
 Aplicar de novo o algoritmo com o sub-sistema de
n-1 variáveis ate chegar a uma equação de uma
variável.

Exemplo
1
2
3
46
64
10
64
62
64
x
x
x





 






1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 0
4 3
8 1
x x x
x x x
x x x
  
   
  
1 2 3
2 3
2 3
2 3 0
5 7
3
2 2
19 1
1
2 2
x x x
x x
x x
  
 
  
1 2 3
2 3
3
2 3 0
5 7
3
2 2
128 62
10 5
x x x
x x
x
  
 


Matriz
 O processo pode ser aplicado com matrizes. Nesse
caso, se considera a matriz aumentada com as
constantes da matriz do sistema:
 E as combinações lineares entre as equações são
feitas entre as linhas de coeficientes.
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
[ ]
... ... ... ... ...
...
n
n
n n nn n
a a a b
a a a b
A
a a a b

 
 
 

 
 
 
 

Exemplo com matriz
2 3 1 0
1 1 4 3
1 8 1 1

 
 

 
 
 
 
2 3 1 0
5 7
0 3
2 2
19 1
0 1
2 2
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
2 3 1 0
5 7
0 3
2 2
128 62
0 0
10 5
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Exercício
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4
1 2 3 4
3 5 2 10
9 8 4 15
2
2 3
x x x x
x x x x
x x
x x x x
    

    


 

     

Solução: x1=-1,
x2=0, x3=1 e
x4=2

Custo da eliminação Gaussiana
 Para eliminar o primeiro termo das n-1
equações de um sistema a n equação,
precisamos de n-1 divisões, (n-1)(n+1)
multiplicações e (n-1)(n+1) adições: 2n2+n-3.
Para eliminar os termos ate a ultima equação
precisamos de operações, da ordem
de 2n3/2.
 A resolução do sistema triangular necessita:
n divisões, n(n-1)/2 multiplicações e n(n-1)/2
adições.
2
2
2 3
i n
i
i i


 


Velocidade da resolução
 Uma das razões de escolher uma algoritmo
no lugar de um outro é em geral baseado
sobre a relação entre velocidade e precisão.
 No caso da resolução de sistemas lineares, a
formula de Cramer precisa de muito mais
operações que a eliminação Gaussiana.

Estratégia de pivoteamento
 Resolução do sistema seguinte usando
sucessivamente 0.004 e 0.423 como pivot e
calculando usando somente 4 algarismos
significativos:
 A solução do sistema e (10,1). Com 0.004
como pivot achamos (12.5,0.9994) e com
0.423 achamos (10,1).
1 2
1 2
0.004 15.73 15.77
0.423 24.72 20.49
x x
x x
 
  

Estratégia de pivoteamento
 No caso geral, para diminuir os erros de
arredondamento, é preferível usar como pivot
o maior coeficiente em valor absoluto da
variável a eliminar nas equações do sistema.
1..
( ) max( )
i ij
j n
pivot x a



Eliminação Gaussiana,
algoritmo
 n: numero de variáveis, m: matriz aumentada
 Eliminacao_gauss(n, m)
 para i de 1 a n
 para j de i a n, procure o coeficiente maior em valor
absolute: linha max
 troca a linha max com a linha i de m
 para j de i+1 a n, para k de i a n+1, subtrai
m[j][i]/m[i][i] de m[j][k]

Soluções particulares
 Certas situações precisam de determinar as
soluções de sistemas onde somente os termos
constantes (bi) mudam:
 solução de:
 e solução de:
11 1 12 2 1 1
1 1 2 2
....
............................................
....
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
   



    

11 1 12 2 1 1
1 1 2 2
.... '
............................................
.... '
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
   



    


 Nesses casos, é mais eficiente de triangular o
sistema uma vez e resolve-lo com os diversos
valores dos termos constantes (bi). Nesse
caso uma segunda matriz é necessária para
calcular os termos constantes do sistema
triangular em fonções dos coeficientes de
origem.

 Nesse caso, a matriz coluna dos termos constantes é
considerada como o produto da matriz identidade como essa
matriz coluna. As transformações operadas pela
triangularização serão aplicadas à matriz identidade e não à
matriz coluna dos termos constantes.
11 1 1 1
1
... 1 0 0
... ... ... ... 0 1 0 ...
... 0 0 1
n
n nn n n
a a x b
a a x b
     
     

     
     
     

Matriz Inversa
 Se o processo de transformação do sistema
continua ate obter um sistema cuja matriz é a
matriz identidade, a matriz de transformação
dos termos constantes é a matriz inversa da
matriz do sistema inicial:
1 1
1
1 0 0
0 1 0 ... ...
0 0 1 n n
x b
A
x b

    
    

    
    
    

Exemplo
1
3 3 3 2
5 6 2 4
4 5 4 3
1 1 1 1
A
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
2 1 0 0
1 0 1 1
0 1 1 1
1 0 0 3
A
 
 

 

 
 
 

 

Erros de aproximação
 Os erros de arredondamento têm um papel
importante na solução de sistemas de
equações lineares, principalmente por conto
do grande número de calculo a ser efetuados.
 A um efeito de “condensação pivotal” no
caso da eliminação gaussiana. Cada calculo
depende dos resultados anteriores.

Avaliação dos erros
 Uma forma de avaliar o erro é trocar as
variáveis nas equações pelos valores
determinados e comparar os resultados com
os termos constantes:
Sistema: soluções:
Trocando nas equações:
1 2
1 2
3 4 7
5 2 3
x x
x x
 


 

1
1
0.999
1.002
x
x





3(0.999) 4(1.002) 7.005
5(0.999) 2(1.002) 2.991
 


 


Avaliação dos erros
 Um pequeno erro sobre os resultados conduz
a considerar que os valores das variáveis
determinados são boas aproximações dos
resultados exatos.
 Existem casos nos quais não podemos
afirmar isso.

Sistema mal condicionado
 Considerando o sistema seguinte:
 Uma solução como x1=100, x2=-98 é uma
solução aceitável do ponto de vista do
critério precedente, porém ela é longe da
solução exata (70,-68).
1 2
1 2
2
1.0001 2.007
x x
x x
 


 


 Um sistema de equações que pode ser satisfeito por
soluções erradas é um sistema mal condicionado.
Do ponto de vista gráfico, no
caso da dimensão 2, o sistema
é mal condicionado quando as
duas retas representando as
equações são próximas:

 Um sistema é mal condicionado quando seu
determinante é próximo de zero.
 O que significa, um determinante próximo de
zero ? Como multiplicando qualquer equação
por um fator não muda a solução do sistema,
enquanto multiplica o determinante por esse
fator, falar de um valor pequeno do
determinante não significa nada.

 Para determinar se um sistema é mal
condicionado, existem duas possibilidades:
 O determinante normalizado é próximo de 0: cada
linha é dividida por um fator de proporcionalidade,
raiz quadrada da soma dos
quadrados dos coeficientes da linha.
 Se uma pequena mudança de um termo constante do
sistema provoca uma uma mudança importante no
resultado, o sistema é mal condicionado.
1
2
2
1
n
i ij
j
k a

 
  
 


Método iterativo de
Gauss-Seidel
 O sistema é transformado de tal forma que cada equação
pode dar o valor de uma variável (no caso que um dos aii é
nulo, o sistema pode ser reordenado para ter a condição: aii,
i={1,...,n}):
1 1 12 2 1
11
11 1 12 2 1 1
1 1 2 2
1 1 1
1
( .... )
....
............................................ ............................................
.... 1
( ....
n n
n n
n n nn n n
n n n nn
nn
x b a x a x
a
a x a x a x b
a x a x a x b
x b a x a x
a

   
   




    
     1)
n










Gauss-Seidel
 Em seguida, a cada passo e a partir de valor
iniciais de (x2, ..., xn), novos valores de (x1,
..., xn) são calculados.
 Quando converge, esse processo pode exigir
muitas iterações para chegar a um resultado
razoável. Ele é aconselhado somente quando
o sistema é mal condicionado ou quando
muitos coeficientes do sistema são nulos
(convergência rápida)

Gauss-Seidel
 O algoritmo pode ser parado quando:
 É atingido um número de iteração dado.
 A diferencia entre dois valores sucessivas dos xi
é menor que um valor limito: e. Critério
particularmente delicado a manipular
(convergência muito lenta).

Gauss-Seidel
 Se o método não converge, ele pode ser
aplicado mudando a ordem das equações (ou
seja mudando as equações determinando
cada xn).
1
1
, 1,...,
, 1,...,
n
ii ij
j
j i
n
ii ji
j
j i
a a i n
a a i n




 
 


Existe um teorema que garante a
convergência: Se o termo da diagonal
principal é maior em valor absoluta que a
soma dos valores absolutos dos outros
termos da linha do coeficiente e que a
soma dos valores absolutos dos outros
termos da coluna do coeficiente, a
convergência é garantida.

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