Slide_Introducao_e_Programacao_Linear.ppt
- 2. Pesquisa Operacional é um método científico de tomada de decisões. Sistema Organizado com o auxílio de um modelo. Experimentação modelar com fins de otimização da operação do sistema.
- 3. MODELO EM PROGRAMAÇÃO LINEAR 2 1 3 2 x x O modelo matemático é composto de uma função objetiva linear; e de restrições técnicas representadas por um grupo de inequações também lineares. Exemplo: Função objetivo a ser maximizada: Lucro =
- 4. Restrições técnicas: 20 6 10 3 4 2 1 2 1 x x x x Restrições de não negatividade: 0 0 2 1 x x
- 5. ROTEIRIZAÇÃO • Variáveis de decisão? • Objetivo? • Restrições?
- 6. Quais as variáveis de decisão? Programação de produção Programação de investimento Quantidades a produzir no período Decisões de investimento Nas descrições sumárias de sistemas, isso fica claro quando lemos a questão proposta, isto é, a pergunta do problema. Problema Variáveis de decisão
- 7. Quais o objetivo? Identificar o objetivo da tomada de decisão. Eles aparecem geralmente na forma da maximização de lucros ou receitas, minimização de custos, perdas, etc. A função objetivo é a expressão que calcula o valor do objetivo (lucro, custo receita, perda, etc.), em função das variáveis de decisão.
- 8. Quais as restrições? Cada restrição imposta na descrição do sistema deve ser expressa como uma relação linear (igualdade ou desigualdade), montadas com as variáveis de decisão.
- 9. Exemplo 1: Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de 1.000 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é de 1.800 unidades monetárias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1.200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construa o modelo de programação linear para esse caso.
- 10. Solução: a) Quais as variáveis de decisão? O que deve ser decidido é o plano de produção, isto é, quais as quantidades anuais que devem ser produzidas de P1 e P2. Portanto, as variáveis de decisão serão X1 e X2 X1 quantidade anual a produzir de P1 X2 quantidade anual a produzir de P2
- 11. b) Qual o objetivo? O objetivo é maximizar o lucro, que pode ser calculado: Lucro devido a P1: 1000 . X1 (lucro por unidade de P1 x quantidade produzida de P1) Lucro devido a P2: 1800 . X2 (lucro por unidade de P2 x quantidade produzida de P2) Lucro total: L = 1000X1 + 1800X2 Objetivo: maximizar L = 1000X1 + 1800X2
- 12. c) Quais as restrições? As restrições impostas pelo sistema são: Disponibilidade de horas para a produção: 1200 horas. Horas ocupadas com P1: 20X1 (uso por unidade x quantidade produzida) Horas ocupadas com P2: 30X2 (uso por unidade x quantidade produzida) Total em horas ocupadas na produção:20X1 + 30X2 Disponibilidade: 1200 horas. Restrição descritiva da situação: 20X1 + 30X2 ≤ 1200
- 13. Disponibilidade de mercado para os produtos (demanda) Disponibilidade para P1: 40 unidades Quantidade a produzir de P1: X1 Restrição descritiva da situação X1 ≤ 40 Disponibilidade para P2: 30 unidades Quantidade a produzir de P2: X2 Restrição descritiva da situação: X2 ≤ 30
- 14. Restrições técnicas: 30 40 1200 30 20 2 1 2 1 x x x x Restrições de não negatividade: 0 0 2 1 x x Resumo do modelo: max L = 1000X1 + 1800X2 Sujeito a:
- 15. Exemplo 2: Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade de carne custa 3 unidades monetárias e cada unidade de ovo custa 2,5 unidades monetárias.
- 16. Solução: a. Quais as variáveis de decisão? Devemos decidir quais as quantidades de carne e ovos a pessoa deve consumir no dia. As variáveis de decisão serão, portanto: X1 quantidade de carne a consumir no dia X2 quantidade de ovos a consumir no dia
- 17. b. Qual o objetivo? O objetivo é minimizar o custo, que pode ser calculado: Custo devido à carne: 3 . X1 (custo por unidade x quantidade a consumir de carne) Custo devido aos ovos: 2,5 . X2 (custo por unidade x quantidade a consumir de ovos) Custo Total: C = 3X1 + 2,5X2 Objetivo:minimiza C = 3X1 + 2,5X2
- 18. c. Quais as restrições? As restrições impostas pelo sistema são: Necessidade mínima de vitamina: 32 unidades Vitaminas de carne: 4 . X1 (quantidade por unidade x unidades de carne a consumir) Vitamina de ovos: 8 . X2 (quantidade por unidade x unidades de ovos a consumir) Total de vitaminas: 4X1 + 8X2 Necessidade mínima: 32 Restrição descritiva da situação: 4X1 + 8X2 ≥ 32
- 19. Necessidade mínima de proteína: 36 unidades Proteína de carne: 6 . X1 (quantidade por unidade x unidades de carne a consumir) Proteína de ovos: 6 . X2 (quantidade por unidade x unidades de ovos a consumir) Total de proteínas: 6X1 + 6X2 Necessidade mínima: 36 Restrição descritiva da situação: 6X1 + 6X2 ≥ 36
- 20. Restrições técnicas: 36 6 6 32 8 4 2 1 2 1 x x x x Restrições de não negatividade: 0 0 2 1 x x Resumo do modelo: min C = 3X1 + 2,5 X2 Sujeito a:
- 21. DUAS VARIÁVEIS DE DECISÃO Técnica de solução numa Programação Linear § Uma revisão gráfica
- 22. O desempenho do modelo á avaliado através da representação gráfica da função objetivo As soluções são classificadas de acordo com sua posição no gráfico. A representação gráfica de uma equação linear com duas variáveis é uma reta.
- 23. Exemplo Representar graficamente a inequação: X1 + 2X2 ≥ 10
- 24. Exemplo Representar graficamente a solução do sistema: X1 + 3X2 ≤ 12 2X1 + X2 ≥ 16 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0
- 26. Método Gráfico Exemplo: Resolver o problema de programação linear: Minimizar Z = 2X1 + 3X2 Sujeitos às restrições: X1 + X2 ≥ 5 5X1 + X2 ≥ 10 X1 ≤ 8 X1 ≥ 0 ; X2 ≥ 0
- 28. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - SAPATEIRO Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.
- 29. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - SAPATEIRO Sapatos – 6 unidades por hora (somente sapatos) Cintos – 5 unidades por hora (somente cintos) Total de couro – 6 unidades
- 30. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - SAPATEIRO Sapatos – 6 unidades por hora (somente sapatos) Cintos – 5 unidades por hora (somente cintos) Total de couro – 6 unidades R$ 5,00 R$ 2,00
- 31. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - SAPATEIRO Sapatos – 6 unidades por hora (somente sapatos) Cintos – 5 unidades por hora (somente cintos) R$ 5,00 R$ 2,00 x1 x2 Total de couro – 6 unidades
- 32. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - SAPATEIRO Sapatos– 6 unidades por hora (somente sapatos) Cintos – 5 unidades por hora (somente cintos) Total de couro – 6 unidades Função Objetivo: 5x1 + 2x2 Couro Tempo Valor (R$) X1 2 10 min 5,00 X2 1 12 min 2,00 6 60 min
- 33. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - SAPATEIRO Cintos – 5 unidades por hora (somente cintos) Sapatos – 6 unidades por hora (somente sapatos) Rcouro : 2x1 + x2 <= 6 Total de couro – 6 unidades Função Objetivo: 5x1 + 2x2 Couro Tempo Valor (R$) X1 2 10 min 5,00 X2 1 12 min 2,00 6 60 min Rtempo : 10x1 + 12x2 <= 60 Rnne: x1>=0 e x2>=0
- 34. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - SAPATEIRO Função Objetivo: 5x1 + 2x2 Rcouro : 2x1 + x2 <= 6 Rtempo : 10x1 + 12x2 <= 60 Rnne: x1>=0 e x2>=0 1 – Encontraras ordenadas (lembrando que agora eu passo a chamar x1 de x e x2 de y) 2x + y = 6 y = 6 – 2x 2x + y = 6 2x = 6 – y x = 6 – y 2 x = 3 – y 2
- 35. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - SAPATEIRO Função Objetivo: 5x1 + 2x2 Rcouro : 2x1 + x2 <= 6 Rtempo : 10x1 + 12x2 <= 60 Rnne: x1>=0 e x2>=0 1 – Encontraras ordenadas (lembrando que agora eu passo a chamar x1 de x e x2 de y) 10x + 12y = 60 12y = 60 – 10x y = 60 – 10x 12 y = 5 – 10x 12 10x + 12y = 60 10x = 60 – 12y x = 60 – 12y 10 x = 6 – 12y 10
- 36. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - SAPATEIRO Função Objetivo: 5x1 + 2x2 2x + y = 6 y = 6 – 2x 2x + y = 6 2x = 6 – y x = 6 – y 2 x = 3 – y 2 10x + 12y = 60 12y = 60 – 10x y = 60 – 10x 12 y = 5 – 10x 12 10x + 12y = 60 10x = 60 – 12y x = 60 – 12y 10 x = 6 – 12y 10
- 37. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - SAPATEIRO
- 38. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - SAPATEIRO 5 0 3 x,y
- 39. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - SAPATEIRO X Y FO : 5x + 2y 0 0 5.0 + 2.0 = 0 3 0 5.3 + 2.0 = 15 0 5 5.0 + 2.5 = 10 x y 6 – y = 60 – 12y 2 10 10 . (6 – y) = 2 . (60 – 12y) 60 – 10y = 120 – 24y -10y + 24y = 120 – 60 2x + y = 6 2x + 4,28 = 6 2x = 6 – 4,28 x = 6 – 4,28 2 14y = 60 x = 0,86 y = 4,28
- 40. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - SAPATEIRO X Y FO : 5x + 2y 0 0 5.0 + 2.0 = 0 3 0 5.3 + 2.0 = 15 0 5 5.0 + 2.5 = 10 0,86 4,28 5 . 0,86 + 2 . 4,28 = 12,86 A solução ótima encontrada, é a fabricação de 3 sapatos
- 41. RESOLUÇÃO DA SITUAÇÃO PROBLEMA Um carpinteiro dispõe de 90, 80 e 50 metros de compensado, pinho e cedro, respectivamente. O produto A requer 2, 1 e 1 metro de compensado, pinho e cedro, respectivamente. O produto B requer 1, 2 e 1 metros, respectivamente. Se A é vendido por R$ 120,00 e B por R$ 110,0, quantos de cada produto ele deve fazer para obter um rendimento bruto máximo? Elabore a programação linear.
- 42. RESOLUÇÃO DA SITUAÇÃO PROBLEMA 90 metros de compensado 80 metros de pinho 50 metros de cedro Prod. A – 2 metros de compensado 1 metro de pinho 1 metro de cedro Prod. B– 1 metro de compensado 2 metros de pinho 1 metro de cedro
- 43. RESOLUÇÃO DA SITUAÇÃO PROBLEMA 90 metros de compensado 80 metros de pinho 50 metros de cedro Prod. A – 2 metros de compensado 1 metro de pinho 1 metro de cedro Prod. B– 1 metro de compensado 2 metros de pinho 1 metro de cedro FO : 120x1 + 110x2
- 44. RESOLUÇÃO DA SITUAÇÃO PROBLEMA 90 metros de compensado 80 metros de pinho 50 metros de cedro Prod. A – 2 metros de compensado 1 metro de pinho 1 metro de cedro Prod. B– 1 metro de compensado 2 metros de pinho 1 metro de cedro FO : 120x1 + 110x2 Compensado Pinho Cedro (R$) X1 2 1 1 120,00 X2 1 2 1 110,00 90 80 50
- 45. RESOLUÇÃO DA SITUAÇÃO PROBLEMA RCo : RPi : RCe : Rnne: 2x1 + x2 <=90 x1 + 2x2 <=80 x1 + x2 <=50 x1>=0 e x2>=0 Compensa do Pinho Cedro (R$) X1 2 1 1 120,00 X2 1 2 1 110,00 90 80 50 90 metros de compensado 80 metros de pinho 50 metros de cedro Prod. A – 2 metros de compensado 1 metro de pinho 1 metro de cedro Prod. B– 1 metro de compensado 2 metros de pinho 1 metro de cedro FO : 120x1 + 110x2
- 46. RESOLUÇÃO DA SITUAÇÃO PROBLEMA RCo : RPi : RCe : Rnne: 2x1 + x2 <=90 x1 + 2x2 <=80 x1 + x2 <=50 x1>=0 e x2>=0 1 – Encontrar as ordenadas 2x1 + x2 = 90 x1 = 0 X2 = 90/1 = 90 2x1 + x2 = 90 x2 = 0 x1= 90/2 = 45 x1 + 2x2 = 80 x1 = 0 X2 = 80/2 = 40 2x1 + x2 = 90 x2 = 0 x1= 80/1 = 80 x1 + x2 = 50 x1 = 0 X2 = 50/1 = 50 x1 + x2 = 50 x2 = 0 x1= 50/1 = 50 FO : 120x1 + 110x2
- 49. RESOLUÇÃO DA SITUAÇÃO PROBLEMA x1 x2 FO : 120x1 + 110x2 0 0 120*0 + 110*0 = 0 45 0 120*45 + 110*0 = 5400 0 40 120*0 + 110*40 = 4400 20 30 120*20 + 110*30 = 5700 40 10 120*40 + 110*10 = 5900 (1) (2) Interseção do ponto (1) (Rpi - Rce) x1 + 2x2 =80 x1 + 2(30) = 80 x1 + x2 =50 (-1) x1 + 60 = 80 x1 = 80 - 60 x1 + 2x2 =80 x1 = 20 -x1 - x2 = - 50 = x2 = 80 + (-50) X2 = 30 Interseção do ponto (2) (Rco - Rce) 2x1 + x2 = 90 x1 + 1(40) = 50 x1 + x2 =50 (-2) x1 + 40 = 50 x1 = 50 - 40 2x1 + x2 = 90 x1 = 10 -2x1 - 2x2 = - 100 = -2x2 = 90 + (-50) X2 = -x2 = -40 X2 = 40
- 50. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - FANTASIAS
- 51. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - FANTASIAS Um fabricante de fantasias tem em estoque 32 m de brim, 20 m de seda e 30 m de cetim e pretende fabricar dois modelos de fantasias. O primeiro modelo (M1) consome 4m de brim, 2 m de seda e 2 m de cetim. O segundo modelo (M2) consome 2 m de brim, 4 m de seda e 6 m de cetim. Se M1 é vendido a R$ 60,00 e M2 a R$ 100,00, quantas peças de cada tipo o fabricante deve fazer para obter a receita máxima? Elabore o modelo.
- 52. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - FANTASIAS 32 metros de brim 20 metros de seda 30 metros de cetim Modelo 1– 4 metros de brim 2 metros de seda 2 metros de cetim Modelo 2– 2 metros de brim 4 metros de seda 6 metros de cetim
- 53. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - FANTASIAS 32 metros de brim 20 metros de seda 30 metros de cetim Modelo 1– 4 metros de brim 2 metros de seda 2 metros de cetim Modelo 2– 2 metros de brim 4 metros de seda 6 metros de cetim FO : 60x1 + 100x2
- 54. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - FANTASIAS 32 metros de brim 20 metros de seda 30 metros de cetim Modelo 1– 4 metros de brim 2 metros de seda 2 metros de cetim Modelo 2– 2 metros de brim 4 metros de seda 6 metros de cetim FO : 60x1 + 100x2 Modelo 1 Modelo 2 Total Brim 4 2 32 Seda 2 4 20 Cetim 2 6 30 RB : 4x1 + 2x2 <=32 1 2 R : 2x + 4x <=20 S RC : 2x1 + 6x2 <=30 Rnne: x1>=0 e x2>=0
- 55. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - FANTASIAS RB : 4x1 + 2x2 <=32 RS : 2x1 + 4x2 <=20 RC : 2x1 + 6x2 <=30 Rnne: x1>=0 e x2>=0 1 – Encontrar as ordenadas (lembrando que agora eu passo a chamar x1 de x e x2 de y) FO : 60x1 + 100x2 4x1 + 2x2 = 32 x1 = 0 x2 = 32/2 = 16 x2 = 0 x1= 32/4 = 8 2x1 + 4x2 = 20 x1 = 0 x2 = 20/4 = 5 x2 = 0 x1= 20/2 = 10 2x1 + 6x2 = 30 x1 = 0 x2 = 30/6 = 5 x2 = 0 x1= 30/2 = 15
- 56. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - FANTASIAS
- 57. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - FANTASIAS 5 0 8 ?
- 58. EXEMPLO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - FANTASIAS x1 x2 FO : 60x1 + 100x2 0 0 60*0 + 100*0 = 0 8 0 60*8 + 100*0 = 480 0 5 60*0 + 100*5 = 500 x1 x2 60*7,33 + 100*1,34 = 573,80 Interseção do ponto (1) (Rb - Rs) 4x1 + 2x2 = 32 2x1 + 4x2 = 20 2x1 = 20 – 4x2 X1 = 20 – 4x2/2