GP4US - Aula 2 - Programação Linear
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Identificar as variáveis de decisão, definir a função objetivo de maximizar lucro e identificar as restrições técnicas e de não negatividade.
GP4US - Aula 2 - Programação Linear
- 2. Idealizar modelos matemáticos, através de equações e inequações a partir de problemas reais para maximização do lucro ou minimização de custos e perdas.
- 3. Uma das técnica mais utilizadas em Programação Linear; Método matemático de otimização de uma função linear a qual satisfaz um conjunto de restrições de equações e/ou inequações lineares. Buscam a distribuição eficiente dos recursos limitados; Exemplo: Função Objetivo a ser maximizada Lucro = 2x1 + 3x2 Restrições Técnicas 3x1 + 4x2 > 0 Restrições de Não Negatividade x1, x2 > 0
- 4. 1 – Quais são as variáveis de decisão ? Apresentar as decisões que serão tomadas representando-as através de variáveis chamadas de variáveis de decisão. 2 – Qual é o objetivo ? Identificar qual é o objetivo da tomada de decisão. Normalmente são apresentados na forma de maximizar o lucro ou minimizar custos ou perdas; 3 – Quais são as restrições ? Todas as restrições impostas na descrição do sistema devem ser expressas em uma relação linear (igualdade ou desigualdade).
- 5. Kauan Raymond Reinaldo Janequine
- 6. Carol Dias Juliana Salimeni
- 7. Considerando que você esta saindo com as duas: Restrições iniciais: • Uma não pode saber da outra. Para isso você tem que leva- las a lugares diferentes em dias diferentes. • O dinheiro é limitado, portanto, você não pode sair todos os dias. • O tempo é limitado, portanto deve haver um planejamento do tempo gasto com cada uma.
- 8. É chique e só gosta de restaurantes caros. Em um encontro com ela você vai gastar R$ 180,00. É calma e sossegada. Um encontro com ela dura 2 horas.
- 9. É simples e gosta de lugares mais baratos. Em um encontro com ela você vai gastar R$ 100,00. É agitada e gosta de fazer muitas coisas na noite. Um encontro com ela dura 4 horas.
- 10. Quantas vezes você pode sair com cada uma delas ?
- 11. x1 é a qtde de vezes que você vai sair com Carol na semana x2 é a qtde de vezes que você vai sair com Juliana na semana Assumindo que: Sair com Carol corresponde a 180 x1 Sair com Juliana corresponde a 100 x2 Então: 180 x1 + 100 x2 Gasto total da semana
- 12. x1 é o tempo gasto com Carol na semana x2 é o tempo gasto com Juliana na semana Assumindo que: Sair com Carol corresponde a 2 x1 Sair com Juliana corresponde a 4 x2 Então: 2x1 + 4x2 Total de horas
- 13. Falta um objetivo 180 x1 + 100 x2 < 800 ( R$ por semana ) 2x1 + 4 x2 < 20 ( horas por semana ) Unificando as restrições: O que se deseja atingir ?
- 14. Sair com ambas o maior número de vezes possível por semana ? Max S = x1 + x2 Sair com Carol duas vezes mais do que com Juliana por semana ? Max S = x1 + 2x2
- 15. Função Objetivo Max S = x1 + x2 Max S = x1 + 2x2 Restrições s.a. s.a. 2x1 + 4x2 < 20 2x1 + 4x2 < 20 180x1 + 100x2 < 800 180 x1 + 100 x2 < 800 Restrições de Não Negatividade X1, x2 > 0 X1, x2 > 0 Sujeito a
- 17. As modalidades oferecidas durante o período noturno são apresentadas na tabela. O máximo de alunos que a academia suporta durante tal período são 120 pessoas. Período Noturno Modalidade disponíveis Receita por Aluno Capacidade Max. Alunos Musculação R$ 35,00 80 Spinning R$ 40,00 20 Abdômen R$ 25,00 40 Fisioterapia R$ 50,00 25 RPG R$ 60,00 15 As atividades de RPG e Fisioterapia utilizam os mesmo professores e compartilham da mesma sala, o que faz com que, apesar da capacidade máxima de alunos de RPG e fisioterapia serem 25 e 15 alunos respectivamente, quando analisadas em conjunto, tais modalidades juntas não podem apresentar mais de trintas alunos. o número de vagas a oferecer no período noturno em cada modalidade com o objetivo de maximizar a receita da empresa.
- 18. Identificar as variáveis de decisão. X1 = Número de alunos de MUSCULAÇÃO; X2 = Número de alunos de SPINNING; X3 = Número de alunos de ABDÔMEN; X4 = Número de alunos de FISIOTERAPIA; X5 = Número de alunos de RPG.
- 19. Definir a Função Objetivo Soma das receitas, multiplicadas pela qtds de alunos que realizaram a atividade resultam na receita total da. Período Noturno Modalidade Receita por Aluno Capacidade Max. Alunos Musculação R$ 35,00 80 Spinning R$ 40,00 20 Abdômen R$ 25,00 40 Fisioterapia R$ 50,00 25 RPG R$ 60,00 15 Max Z = 35 x1 + 40 x2 + 25 x3 + 50 x4 + 60 x5
- 20. Identificar as variáveis de restrição Quantidade máxima de alunos: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 120; Quantidade máxima de alunos para musculação: x1 ≤ 80 ; Quantidade máxima de alunos para Spinning: x2 ≤ 20; Quantidade máxima de alunos para abdômen: x3 ≤ 40; Quantidade máxima de alunos para fisioterapia: x4 ≤ 25; Quantidade máxima de alunos para : x5 ≤ 30; Quantidade máxima de alunos para fisioterapia e RPG que podem realizar as suas aulas ao mesmo tempo: x4 + x5 ≤ 30. Não negatividade: x1 > 0; x2 > 0; x3 > 0; x4 > 0; x5 > 0;
- 21. Função Objetivo Max L = 35x1 + 40x2 + 25x3 + 50x4 + 60x5 Restrições Técnicas X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≤ 120 X1 ≤ 80 X2 ≤ 20 X3 ≤ 40 X4 ≤ 25 X5 ≤ 30 X4 + X5 ≤ 30 Restrição de não negatividade X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, X3 ≥ 0, X4 ≥ 0, X5 ≥ 0
- 22. Uma companhia produz 3 tipos de fertilizantes conforme tabela abaixo: Fertilizante Espaço ( pés3 ) Custo Produção Tempo Preço Venda Tipo 1 10 400 6 480 Tipo 2 12 600 10 690 Tipo 3 8 300 12 340 Disponível 300 10.000 250 A companhia deve produzir, no mínimo, 4 toneladas do produto 2. Defina o modelo para maximizar o lucro.
- 23. Variáveis de decisão x1: Qtde. de toneladas de fertilizantes Tipo 1 a produzir x2: Qtde. de toneladas de fertilizantes Tipo 2 a produzir x3: Qtde. de toneladas de fertilizantes Tipo 3 a produzir Função Objetivo Max L = 80x1 + 90x2+ 40x3 Restrições Técnicas 10x1 + 12x2 + 8x3 ≤ 300 ; Espaço de armazenamento 400x1 + 600x2 + 300x3 ≤ 10000 ; Custo de produção 6x1 + 10x2 + 12x3 ≤ 250 ; Tempo X2 ≥ 4 ; Produção mínima do Tipo 2 Restrições Não Negatividade x1,x2,x3 ≥ 0
- 24. Um vendedor de frutas pode transportar 800 toneladas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar pelo menos 200 toneladas de laranja a R$20,00 de lucro por tonelada, pelo menos 100 toneladas de pêssegos a R$10,00 de lucro por tonelada, e no máximo 200 toneladas de tangerinas a R$30,00 de lucro por tonelada. De que forma ele deverá carregar o caminhão para obter o lucro máximo?
- 25. Variáveis de decisão x1: Qtde. de toneladas de laranja x2: Qtde. de toneladas de pêssego x3: Qtde. de toneladas de tangerina Função Objetivo Max L = 20x1+ 10x2 + 30x3 Restrições Técnicas x1 + x2 + x3 ≤ 800 ; Quantidade máxima a ser transportada x1 > 200 ; Quantidade mínima de laranja x2 > 100 ; Quantidade mínima de pêssego x3 < 200 ; Quantidade máxima de tangerina Restrições Não Negatividade x1,x2,x3 ≥ 0
- 26. Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 u.m. e o lucro unitário de P2 é de 150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.
- 27. Variáveis de decisão x1: Qtde. a produzir do produto P1 x2: Qtde. a produzir do produto P2 Função Objetivo Max L = 100x1+ 150x2 Restrições Técnicas 2x1 + 3x2 ≤ 120 ; Tempo disponível para produção x1 < 40 ; Quantidade máxima produzida de P1 x2 < 30 ; Quantidade máxima produzida de P2 Restrições Não Negatividade x1,x2 ≥ 0 ; Não negatividade das variáveis
- 28. Um fazendeiro deseja otimizar a plantação de arroz e milho na sua fazenda. O fazendeiro deseja saber quais são as áreas de arroz e milho que devem ser plantadas para que o seu lucro seja máximo. O lucro por unidade de área plantada de arroz é de 5 u.m. Enquanto para o milho é de 2 u.m. As áreas plantadas de arroz e milho não deve ser maiores que 3 e 4 respectivamente. Cada unidade da área de arroz consome 1 homem- hora, enquanto que a de milho consome 2 homens-hora. O consumo total de homens-hora nas duas plantações não deve ser maior que 9.
- 29. Variáveis de decisão x1: Qtde. de arroz a ser plantada x2: Qtde. de milho a ser plantada Função Objetivo Max L = 5x1+ 2x2 Restrições Técnicas x1 ≤ 3 ; Área máximo do plantio de arroz x2 < 4 ; Área máxima do plantio de milho x1 + 2x2 < 9 ; Quantidade total de homens-hora Restrições Não Negatividade x1,x2 ≥ 0
- 30. Um A Reddy Mikks produz tintas para interiores e exteriores com base em duas matérias primas, M1, M2 . A tabela apresenta os dados: A demanda máxima diária de tintas para interiores é 2 ton. A Reddy Mikks quer determinar o mix ótimo de produtos de tintas para interiores e exteriores que maximize o lucro total diário. Tintas Exteriores Tintas Interiores Disponibilidade máxima diária Matéria Prima M1 6 4 24 Matéria Prima M2 1 2 6 Lucro por tonelada 5 4
- 31. Variáveis de decisão x1: Qtde. a produzir de tinta para ambientes exteriores x2: Qtde. a produzir de tinta para ambientes interiores Função Objetivo Max L = 5x1+ 4x2 Restrições Técnicas 6x1 + 4x2 < 24 ; Disponibilidade diária de M1; x1 + 2x2 < 6 ; Disponibilidade diária de M2; x2 < 2 ; Demanda máxima de tintas para interiores; Restrições Não Negatividade x1,x2 ≥ 0 ; Não negatividade das variáveis.