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O documento apresenta exemplos de resolução de problemas de programação linear utilizando softwares como Lindo, QM for Windows e o Solver do Excel. São resolvidos problemas como o de Giapetto e um problema de orçamento de capital maximizando o valor presente líquido total. Softwares como esses auxiliam na resolução de problemas que envolvem muitas etapas de cálculo manual.
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- 1. 1 Pesquisa Operacional Instituto de Engenharia de Produção e Gestão Universidade Federal de Itajubá Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi Exemplo 4.6.4 – Uso de softwares Resolver os problemas do item 4.5 pelo simplex Eu não aguento todo aquele algebrismo!
- 2. 2 Calma existem softwares para o problema! O Lindo é um deles. Opção para evitar o simplex manualmente O solver é outra opção
- 3. 3 Outras opções Linprog; QM for windows; DS for windows; Matlab; Etc... Vejamos alguns destes.... Softwares para auxiliar a solução dos problemas LINPROG
- 4. 4 O problema de Giapetto Max Z = 3X1 + 2X2 sujeito a: 2X1 + X2 ≤ 100 X1 + X2 ≤ 80 X1 ≤ 40 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 Solução pelo simplex
- 5. 5 Resolva o problema abaixo usando o linprog max Z = 5X1 + 2X2 sujeito a: X1≤ 3 X2 ≤ 4 X1 + 2X2 ≤ 9 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 Solução pelo linprog
- 6. 6 Procedimentos para minimizar Z Item 4.6.5 - Exemplo 1 min Z = 2x1 - 3x2 sujeito a: x1 + x2 ≤ 4 x1 - x2 ≤ 6 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Dá para resolver diretamente pelo Simplex?
- 7. 7 Converter o problema de PL na forma canônica min Z = 2x1 - 3x2 sujeito a: x1 + x2 + x3 = 4 x1 - x2 + x4 = 6 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Trabalhando a FO min Z = 2x1 - 3x2 Z = -2x1 + 3x2 Para minimizar a Função (-Z): max (-Z) = -2x1 + 3x2
- 8. 8 Nova formulação Max (-Z) = - 2x1 + 3x2 sujeito a: x1 + x2 + x3 = 4 x1 - x2 + x4 = 6 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Variáveis não básicas: X1 = X2 = 0 Variáveis básicas: X3 = 4 X4 = 6 Solução básica inicial Max (-Z) = - 2x1 + 3x2 sujeito a: x1 + x2 + x3 = 4 x1 - x2 + x4 = 6 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
- 9. 9 Pivô O problema pode ser representado assim: Z X1 X2 X3 X4 b Razão Base -1 2 -3 0 0 0 X3 0 1 1 1 0 4 X4 0 1 -1 0 1 6 4/1=4 6/-1 Indica que X2 entra no lugar de X3Solução parcial: (0, 0, 4, 6) Próximo quadro - Base: X2 e X4 Devem se colocadas na forma canônica X2 entra na base solução é ótima Valor máximo possível para a função objetivo Solução ótima: (0, 4, 0, 10) Segunda iteração Z X1 X2 X3 X4 b Razão Base -1 5 0 3 0 12 X2 0 1 1 1 0 4 X4 0 2 0 1 1 10
- 10. 10 Solução do problema pelo simplex Solução ótima: (0, 4, 0, 10) Z = 2*0 - 3*4 = -12 min Z = 2x1 - 3x2 sujeito a: x1 + x2 ≤ 4 x1 - x2 ≤ 6 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Exercício Resolver o problema da 2 do item 4.6.5 da apostila; Usar o linprog.
- 11. 11 4.6.5 - Exemplo 2 min Z = 4x1 - x2 sujeito a: 2x1 + x2 ≤ 8 x2 ≤ 5 x1 - x2 ≤ 4 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Z X1 X2 X3 X4 X5 b razão Base -1 4 -1 0 0 0 0 X3 0 2 1 1 0 0 8 8 X4 0 0 1 0 1 0 5 5 X5 0 1 -1 0 0 1 4 -4 Z X1 X2 X3 X4 X5 b razão Base -1 4 0 0 1 0 5 X3 0 2 0 1 -1 0 3 X2 0 0 1 0 1 0 5 X5 0 1 0 0 1 1 9 4.6.5 - Exemplo 2
- 12. 12 Solução pelo linprog O método BIG M
- 13. 13 Item 4.7.2 - Exemplo 1 min Z = 2x1 + 3x2 sujeito a: 1/2x1 + 1/4x2 ≤ 4 x1 + 3x2 ≥ 20 x1 + x2 = 10 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Dá para resolver pelo Simplex? Solução pelo linprog
- 14. 14 Exercício Resolver o problema da 2 do item 4.7.2 da apostila; Usar o linprog. Item 4.7.2 - Exemplo 2 min Z = 2x1 + 3x2 sujeito a: 2x1 + x2 ≥ 4 x1 - x2 ≥ -1 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
- 15. 15 Solução pelo linprog Lindo ? Vamos ver outra opção de software! O Lindo! Outro software
- 16. 16 LINDO (Linear, Interactive and Discrete Optmizer) Software desenvolvido pela Lindo Systems Inc. de Chicago Illinois, EUA. Resolve modelos de programação linear, quadrática ou inteira. No quadro a seguir encontra-se as versões disponíveis. Site da Web: http://www.lindo.com LINDO (Linear, Interactive and Discrete Optmizer) Limites máximos Versão Linhas Colunas Demonstração 150 300 Super 500 1000 Hiper 2000 4000 Industrial 8000 16000 Extended 32000 100000 * * Versão utilizada no curso
- 17. 17 Vamos resolver o problema do Giapetto no Lindo O problema de Giapetto Max Z = 3X1 + 2X2 sujeito a: 2X1 + X2 ≤ 100 X1 + X2 ≤ 80 X1 ≤ 40 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0
- 18. 18 Formular no Lindo o problema 4.5.2 4.5.2 - Exemplo 2: Problema de orçamento de capital Uma empresa de petróleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O fluxo de caixa e o Valor Presente Líquido das alternativas são dadas na tabela a seguir: Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5 Investimento data 0 11 53 5 5 29 Investimento data 1 3 6 5 1 34 VPL 13 16 16 14 39
- 19. 19 A empresa tem 40 milhões para investir hoje, e estima que no ano posterior terá 20 milhões. A empresa pode comprar qualquer fração de cada investimento, os investimentos e VPL são ajustados na proporção. Por exemplo, se a empresa compra (1/5) da alternativa 3, então 1 milhão é necessário na data 0 e na data 1. VPL = (1/5)16 = 3,2 milhões. 4.5.2 - Exemplo 2: Problema de orçamento de capital A empresa quer maximizar o VPL obtido para os investimentos de 1 a 5. Formular o problema. Assumir que qualquer recurso não usado na data 0, não poderá ser usado na 1. 4.5.2 - Exemplo 2: Problema de orçamento de capital
- 20. 20 Formulação Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5 sujeito a: 11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 ≤ 40 3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 ≤ 20 X1 ≤ 1 X2 ≤ 1 X3 ≤ 1 X4 ≤ 1 X5 ≤ 1 Xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5 Solução problema 4.5.2 X1 = X3 = X4 = 1 X2 = 0,201 X5 = 0,288 Z = 57,449
- 21. 21 Problema 4.5.2 Resposta: X1 = X3 = X4 = 1 X2 = 0,201 X5 = 0,288 Z = 57,449 Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5 sujeito a: 11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 ≤ 40 3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 ≤ 20 X1 ≤ 1 X2 ≤ 1 X3 ≤ 1 X4 ≤ 1 X5 ≤ 1 Xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5 O QM for windows é outra opção
- 22. 22 Vamos resolver o problema do Giapetto no QM O problema de Giapetto Max Z = 3X1 + 2X2 sujeito a: 2X1 + X2 ≤ 100 X1 + X2 ≤ 80 X1 ≤ 40 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0
- 23. 23 Formular no QM o problema 4.5.2 4.5.2 - Exemplo 2: Problema de orçamento de capital Uma empresa de petróleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O fluxo de caixa e o Valor Presente Líquido das alternativas são dadas na tabela a seguir: Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5 Investimento data 0 11 53 5 5 29 Investimento data 1 3 6 5 1 34 VPL 13 16 16 14 39
- 24. 24 A empresa tem 40 milhões para investir hoje, e estima que no ano posterior terá 20 milhões. A empresa pode comprar qualquer fração de cada investimento, os investimentos e VPL são ajustados na proporção. Por exemplo, se a empresa compra (1/5) da alternativa 3, então 1 milhão é necessário na data 0 e na data 1. VPL = (1/5)16 = 3,2 milhões. 4.5.2 - Exemplo 2: Problema de orçamento de capital A empresa quer maximizar o VPL obtido para os investimentos de 1 a 5. Formular o problema. Assumir que qualquer recurso não usado na data 0, não poderá ser usado na 1. 4.5.2 - Exemplo 2: Problema de orçamento de capital
- 25. 25 Formulação Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5 sujeito a: 11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 ≤ 40 3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 ≤ 20 X1 ≤ 1 X2 ≤ 1 X3 ≤ 1 X4 ≤ 1 X5 ≤ 1 Xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5 Solução problema 4.5.2 X1 = X3 = X4 = 1 X2 = 0,201 X5 = 0,288 Z = 57,449
- 26. 26 Problema 4.5.2 Resposta: X1 = X3 = X4 = 1 X2 = 0,201 X5 = 0,288 Z = 57,449 Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5 sujeito a: 11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 ≤ 40 3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 ≤ 20 X1 ≤ 1 X2 ≤ 1 X3 ≤ 1 X4 ≤ 1 X5 ≤ 1 Xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5 O solver do excel também é uma boa opção
- 27. 27 Solver do Excel O Microsoft Excel Solver usa o código de otimização não linear Generalized Reduced Gradient (GRG2), desenvolvido por Leon Lasdon, da University of Texas em Austin, e Allan Waren, da Cleveland State University. Os problemas lineares e de inteiros usam o método simplex com limites sobre as variáveis e o método de desvio e limite, implementado por John Watson e Dan Fylstra, da Frontline Systems, Inc. Site da Web: http://www.frontsys.com Planilhas com exemplos: arquivos de programasmicrosoft officeofficeexemplossolverexemsolv.xls Solver do Excel
- 28. 28 Solver do Excel Exemplos da planilha: • Guia rápido • Combinação de produtos • Rotas de transporte • Planejamento de pessoal • Maximizar a renda • Carteira de ações • Design de engenharia Vamos resolver o problema do Giapetto no Solver do Excel
- 29. 29 O problema de Giapetto Max Z = 3X1 + 2X2 sujeito a: 2X1 + X2 ≤ 100 X1 + X2 ≤ 80 X1 ≤ 40 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 Formular no solver o problema 4.5.2
- 30. 30 4.5.2 - Exemplo 2: Problema de orçamento de capital Uma empresa de petróleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O fluxo de caixa e o Valor Presente Líquido das alternativas são dadas na tabela a seguir: Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5 Investimento data 0 11 53 5 5 29 Investimento data 1 3 6 5 1 34 VPL 13 16 16 14 39 A empresa tem 40 milhões para investir hoje, e estima que no ano posterior terá 20 milhões. A empresa pode comprar qualquer fração de cada investimento, os investimentos e VPL são ajustados na proporção. Por exemplo, se a empresa compra (1/5) da alternativa 3, então 1 milhão é necessário na data 0 e na data 1. VPL = (1/5)16 = 3,2 milhões. 4.5.2 - Exemplo 2: Problema de orçamento de capital
- 31. 31 A empresa quer maximizar o VPL obtido para os investimentos de 1 a 5. Formular o problema. Assumir que qualquer recurso não usado na data 0, não poderá ser usado na 1. 4.5.2 - Exemplo 2: Problema de orçamento de capital Formulação Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5 sujeito a: 11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 ≤ 40 3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 ≤ 20 X1 ≤ 1 X2 ≤ 1 X3 ≤ 1 X4 ≤ 1 X5 ≤ 1 Xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5
- 32. 32 Solução problema 4.5.2 X1 = X3 = X4 = 1 X2 = 0,201 X5 = 0,288 Z = 57,449 Problema 4.5.2 Resposta: X1 = X3 = X4 = 1 X2 = 0,201 X5 = 0,288 Z = 57,449 Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5 sujeito a: 11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 ≤ 40 3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 ≤ 20 X1 ≤ 1 X2 ≤ 1 X3 ≤ 1 X4 ≤ 1 X5 ≤ 1 Xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5
- 33. 33 Formular no Lindo, QM e no solver o problema 4.5.1 4.5.1 - Exemplo 1: Problema de programação do trabalho Uma empresa de entregas necessita de diferentes números de funcionários durante os diferentes dias da semana. Os números de funcionários necessários é mostrado na tabela a seguir.
- 34. 34 4.5.1 - Exemplo 1: Problema de programação do trabalho Número de funcionários necessários Dia 1 = Segunda-feira 17 Dia 2 = Terça-feira 13 Dia 3 = Quarta-feira 15 Dia 4 = Quinta-feira 19 Dia 5 = Sexta-feira 14 Dia 6 = Sábado 16 Dia 7 = Domingo 11 4.5.1 - Exemplo 1: Problema de programação do trabalho As leis do sindicado asseguram que os funcionários devem trabalhar 5 dias consecutivos e 2 de folga. Por exemplo, um funcionário que trabalhou de Segunda a Sexta folga Sábado e Domingo. O escritório quer funcionar apenas com funcionários de tempo integral. Formular o problema de tal modo que a empresa possa minimizar o número de empregados de tempo integral que precisam ser contratados.
- 35. 35 Formulação min Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 sujeito a: X1 + X4 + X5 + X6 + X7 ≥ 17 (SEG) X1 + X2 + X5 + X6 + X7 ≥ 13 (TER) X1 + X2 + X3 + X6 + X7 ≥ 15 (QUAR) X1 + X2 + X3 + X4 + X7 ≥ 19 (QUIN) X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≥ 14 (SEX) X2 + X3 + X4 + X5 + X6 ≥ 16 (SAB) X3 + X4 + X5 + X6 + X7 ≥ 11 (DOM) Xi ≥ 0 (i = 1; 2;....; 7) Solução problema 4.5.1 X1 = 4/3 X2 = 10/3 X3 = 2 X4 = 22/3 X5 = 0 X6 = 10/3 X7 = 5 Z = 67/3 X1 = 2 X2 = 4 X3 = 2 X4 = 8 X5 = 0 X6 = 4 X7 = 5 Z = 25 Exemplo típico para programação inteira! Será visto oportunamente.
- 36. 36 Problema 4.5.1 min Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 sujeito a: X1 + X4 + X5 + X6 + X7 ≥ 17 (SEG) X1 + X2 + X5 + X6 + X7 ≥ 13 (TER) X1 + X2 + X3 + X6 + X7 ≥ 15 (QUAR) X1 + X2 + X3 + X4 + X7 ≥ 19 (QUIN) X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≥ 14 (SEX) X2 + X3 + X4 + X5 + X6 ≥ 16 (SAB) X3 + X4 + X5 + X6 + X7 ≥ 11 (DOM) Xi ≥ 0 (i = 1; 2;....; 7) X1 = 4/3 X2 = 10/3 X3 = 2 X4 = 22/3 X5 = 0 X6 = 10/3 X7 = 5 Z = 67/3