V.a.d
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O documento apresenta 8 exercícios sobre distribuições de probabilidade discretas. Os exercícios envolvem cálculos de probabilidades, esperança e variância para variáveis aleatórias com distribuições binomial, Poisson e hipergeométrica em contextos de nascimento de filhotes, ocorrência de defeitos e outras situações.
V.a.d
- 1. Universidade de São Paulo Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz” Departamento de Ciências Exatas LCE0212 - Estatística Aplicada às Ciências dos Alimentos Prof.: Izabela Regina C. de Oliveira 6a Lista de exercícios - Distribuições de probabilidade discretas 1) Considere ninhadas de n = 3 filhotes de coelhos. Construir o espaço amostral considerando os nascimentos de fêmeas e machos utilizando um diagrama de árvore e considerar os eventos nascer macho e nascer fêmea como equiprováveis. a. Sendo X a ocorrência de fêmeas, construa a distribuição de probabilidade de X; b. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos por meio da distribuição de probabilidade construída: i. nascimento de exatamente duas fêmeas. ii. nascimento de pelo menos um macho. iii. nascimento de pelo menos duas fêmeas. iv. nascimento de no máximo uma fêmea. c. Encontre a esperança e a variância dessa variável aleatória; d. Suponha que você faça uma amostragem de 500 ninhadas de 3 filhotes. Em quantos, em média, você espera encontrar com exatamente 1 fêmea? 2) Considere nascimentos de n = 4 filhotes de coelhos de um determinada raça. Nesta raça há um distúrbio genético e a probabilidade de nascer fêmea é 5/8. Sendo X a ocorrência de fêmeas e utilizando a distribuição binomial obter: a. a distribuição de probabilidade de X; b. a média e variância da variável aleatória X com distribuição binomial; c. o número esperado de ninhadas em uma amostra de 1.000 ninhadas de tamanho n = 4 para cada valor da variável aleatória X. 3) Numa lâmina verificou-se que existiam em média 4 bactérias/cm2 . A lâmina foi subdividida em 600 quadrados de 1 cm2 . Qual é o modelo probabilístico adequado para modelar a ocorrên- cia de bactérias por cm2 , supondo que a distribuição espacial segue um padrão aleatório? Em quantos dos 600 quadrados, em média, você espera encontrar no máximo 1 bactéria? Qual é a probabilidade de se encontrar mais de 2 bactérias por centímetro quadrado? Qual é a probabili- dade de não encontrar bactérias em um quadrado tomado aleatoriamente destes 600 quadrados? 4) Uma plantação de tomate possui em média 2 galhas de M. incógnita por planta. Qual é a probabilidade de que uma planta amostrada desta população não possua galha? Suponha
- 2. que o modelo Poisson é apropriado para modelar a ocorrência de galhas de nematóide. Qual é a probabilidade de que em uma amostra de tamanho n = 5 plantas, as 5 não apresentem galhas? 5) Num certo ano o Instituto Brasileiro do Meio Ambiente e dos Recursos Naturais Renováveis (IBAMA) registrou, numa área de reserva do litoral catarinense, 18 mortes de golfinhos. a. Qual é a probabilidade de, num determinado mês do próximo ano, ocorrerem menos de duas mortes? b. Qual é a probabilidade de, num determinado semestre do próximo ano, ocorrerem duas mortes? 6) O modelo de Poisson pode ser considerado como limite da distribuição binomial, isto é, para valores de n grande e p pequeno, verifica-se a seguinte aproximação: n x px (1 − p)n−x ∼= e−λ × λx x! , com x = 0, 1, 2, . . . , n e parâmetro λ = np, a média da distribuição binomial. Para saber se a aproximação é boa, uma recomendação prática é verificar se a desigualdade np ≤ 10 é válida. Baseando nessa aproximação, considere o problema a seguir. Uma fábrica de conservas produz, continua e cadenciadamente, cerca de 2330 latas de sar- dinha em molho de tomate por período de 8 horas de laboração e em média cerca de 7 latas são defeituosas. Qual a probabilidade de encontrarmos 3 latas defeituosas num lote de n = 1000 latas adquiridas daquela fábrica? Qual a probabilidade de ocorrerem até duas latas defeituosas nesse lote de 1000 latas? 7) Uma empresa comercializa garrafas de vinho de 1 litro. Supõe-se, no entanto, que 40% dessas garrafas contém realmente uma menor quantidade de líquido do que o volume indicado no rótulo. Tendo adquirido 6 dessas garrafas, qual a probabilidade de: a. Duas delas conterem menos de um litro? b. No máximo 2 conterem menos de um litro? c. Pelo menos 2 conterem menos de um litro? d. Todas conterem menos de um litro? e. Todas conterem o volume indicado no rótulo? f. Represente a distribuição de probabilidades da variável em questão. 8) Uma fábrica de embalagens, utilizadas para determinado produto alimentar, sabe que em cada 1000 produz 20 defeituosas. a. Qual é a probabilidade de um cliente ao comprar 100 em- balagens receber todas sem defeito? b. Qual a probabilidade de receber, nessa mesma compra, pelo menos 3 embalagens defeituosas?
- 3. Gabarito 1. Ω = {(FFF), (FFM), (FMF), (FMM), (MFF), (MFM), (MMF), (MMM)} a. x 0 1 2 3 P(X = x) 1/8 3/8 3/8 1/8 b.i. P(X = 2) = 0, 3750 b.ii P(X ≤ 2) = 0, 8750 b.iii P(X ≥ 2) = 0, 50 b.iv P(X ≤ 1) = 0, 50 c. E(X) = 1, 5 e V ar(X) = 0, 75 d. Em, aproximadamente, 188 ninhadas. 2. a. x 0 1 2 3 4 P(X = x) 0,0198 0,1318 0,3296 0,3662 0,1526 b. 0,9375 c. Os números esperados (NE) de ninhadas para cada situação são apresentados na tabela a seguir. x 0 1 2 3 4 P(X = x) 0,0198 0,1318 0,3296 0,3662 0,1526 NE 20 132 330 366 153 3. O modelo probabilístico adequado é o modelo Poisson, assim X ∼ Poisson(λ = 4). O número esperado de quadrados com no máximo 1 bactéria é ≈ 55; P(X > 2) = 0, 7619; P(X = 0) = 0, 0183 (1,83%). 4. 0,1353 e 0,000045 (0,0045%) 5. a. 0,5578 b. 0,0050 6. a. 0,2240 b. 0,4232 7. a. 0,3104 b. 0,54432 c. 0,76672 d. 0,004096 e. 0,046656
- 4. f. x 0 1 2 3 4 5 6 P(X = x) 0,046656 0,186624 0,31104 0,27648 0,13824 0,036864 0,004096 8. a.0,1326 b. 0,3233