![3. 5,4
4. a. 1/9 b. porque f (x, y) = g(x)h(y)
5. 0,80
6. 546/216≈ 2, 52
0 , x<1
0, 08x , 1 ≤ ⌊x⌋ < 6
7. a. F (x) = 0, 40 + (x − 5)0, 09 , 6 ≤ ⌊x⌋ < 11
0, 85 + (x − 10)0, 01 , 11 ≤ ⌊x⌋ ≤ 25
1 , 25 < x
em que ⌊x⌋ = max{m ∈ Z|m ≤ x}, isto ´, o maior n´mero inteiro que seja
e u
menor ou igual a x, b. F (10) = 0, 85 c. P (X ≥ 20|X ≥ 10) =
[1 − F (20) + P (20)] / [1 − F (10) + P (10)] = 0, 06/0, 24 = 0, 25, portanto 25%.
8. a. 0.50 b. 0.50 c. s˜o iguais porque as vari´veis s˜o independentes, isto ´,
a a a e
P (x, y) = P (x)P (y) ou P (x/y) = P (x) e P (y/x) = P (y).
9. E(X) = 40.
10. V (Y ) = 6.
21 1 7
11. a. 64
≈ 0, 33 b. 2E(X) − 6
=1 c. 25
= 0, 28
12. a. 0, 9 b. N˜o, P (x1 , x2 ) = P (x1 )P (x2 ) c. 4V (X1 ) + V (X2 ) − 4COV (X1 , X2 ) ≈ 5, 5
a
5 163 279
13. a. 33
≈ 0, 152 b. 352
≈ 0, 463 c. E(Y ) = 132
≈ 2, 11
t 7 9 11 12 14 16 total
14.
P (t) 0,05 0,05 0,10 0,10 0,50 0,20 1,00
E(X) = 4, 5, V (X) = 1, E(Y ) = 2, 15, V (Y ) = 0, 4275, COV (X, Y ) =
−0, 05, portanto E(T ) = 13, 3m e V (T ) = 5, 31m2 .
12](https://image.slidesharecdn.com/varaleat-120406135835-phpapp02/85/Varaleat-12-320.jpg)
![0 , x < −2
1
+ 2) (x , −2 ≤ x < 0
26. a. k = 1/10, F (x) = 10
1 ( 3 x2 + x + 2)
10 25 , 0≤x<5
1 , 5≤x
b. [F (3) − F (0)] / [F (3) − F (−1)] = 0, 408/0, 508 ≈ 0, 803, ou pode ser cal-
3
culado da forma usual, integrando a f (x), 03 f (x)dx / −1 f (x)dx .
27. y 5 7 9 11 total , E(Y ) = 69/8 = 8, 625.
P (y) 5/32 7/32 9/32 11/32 1,00
28. E(X) = 0 + 0, 27 + 0, 06 + 0, 06 = 0, 30.
2 x
29. k = 3/8 atende a f (x, y) dy dx = 1.
0 0
2 1 32
30. a. h(y) = 3 y, se 0 ≤ y < 1 e h(y) = 2 9
y − 4 se 1 ≤ y ≤ 2 b. f (x/y) =
3 2 8 32
2
(1
− x ), se −1 ≤ x < 0, 0 ≤ y < 1 e f (x/y) = 3
y −3 / 9
y − 4 , se 0 ≤
x ≤ 4/3, 1 ≤ y ≤ 2 c. 15/24 = 0, 625.
31. a. 0, 02/0, 07 ≈ 0, 286 b. E(W ) = 1, 225 ≈ 1, 23 e V (W ) = 0, 406875 ≈ 0, 41.
32. a. t > 0 =⇒ f (x) ≥ 0 ∀ x e t
∞ 1
f (x)dx = −t( ∞ − 1 ) = 1 b.
t
t
t+h
c. 3/7.
33. a. g(x) = 3(1 − x)2 , se 0 ≤ x ≤ 1 e h(y) = 6y (1 − y) se 0 ≤ y ≤ 1 b. 32/63
1 2(1−y)
c.f (x/y) = y , para 0 ≤ x ≤ y d. f (y/x) = (1−x)2 , se x ≤ y ≤ 1 e. 1/4.
14](https://image.slidesharecdn.com/varaleat-120406135835-phpapp02/85/Varaleat-14-320.jpg)
Varaleat
- 1. 1 EST 105 - Exerc´ ıcios de Vari´veis Aleat´rias a o 1 (I/2001). Seja (X, Y ) uma vari´vel aleat´ria discreta bidimensional com a seguinte a o fun¸ao de probabilidade conjunta: c˜ 3 1 , para x = 0, 1, 2, 3 e y = 10, 20 x 16 P (x, y) = 0 , para outros valores (x, y) Pede-se: a. Calcule P(Y=10). b. X e Y s˜o vari´veis aleat´rias independentes? Justifique sua resposta a a o c. Apresente a tabela da distribui¸ao conjunta das probabilidades. c˜ 2 (II/2001). Uma vari´vel aleat´ria continua X possui a seguinte fun¸ao densidade a o c˜ de probabilidade: 2 K(1 − x ) , se − 1 ≤ x ≤ 0 4 f (x) = K , se 0 ≤ x ≤ 3 0 , para outros valores de x Pede-se: a. O valor de K. b. A fun¸ao de distribui¸ao acumulada de X. c˜ c˜ c. Calcule P (X ≤ 2/3) 3 (II/2001). Considere um jogo de azar no qual o jogador paga determinado valor para jogar e depois retira aleatoriamente duas bolas de uma urna que cont´m 10 e bolas, sendo sete brancas, duas vermelhas e uma preta. O jogador recebe um prˆmio e para cada bola obtida, de acordo com a cor, conforme a tabela abaixo, 1 Exerc´ ıcios das avalia¸˜es dos semestres indicados. Cont´m 33 exerc´ co e ıcios em p´ginas numeradas a de 1 a 14. 1
- 2. COR branca vermelha preta ˆ PREMIO 1 5 10 Pede-se: Qual deve ser o valor pago para jogar, de modo que o jogo seja justo? Isto ´, de modo que a probabilidade do jogador perder ou ganhar algum valor sejam e iguais? Explique seu racioc´ ınio. 4 (II/2001). Considere a seguinte fun¸ao densidade de probabilidade conjunta c˜ 4xy, se 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 f (x, y) = 0, outros valores Pede-se: a. Calcule V (X − Y ). b. Justifique porquˆ X e Y s˜o vari´veis aleat´rias independentes. e a a o 5 (II/2001). Considere a distribui¸ao conjunta de probabilidades a seguir. Seja c˜ W = X + Y , calcule V(W). Y X 2 4 0 0,3 0,1 1 0,5 0,1 6 (II/2001). Se um dado perfeitamente sim´trico ´ lan¸ado at´ sair a face com o e e c e n´mero 6 ou at´ serem realizados no m´ximo 3 lan¸amentos, calcule o n´mero m´dio u e a c u e de lan¸amentos. c 7 (I/2002). O n´mero de anos de servi¸o dos funcion´rios de uma grande empresa u c a ´ uma vari´vel aleat´ria discreta X, cuja fun¸ao de probabilidade f(x)=P(X=x) e a o c˜ 2
- 3. ´ dada na tabela a seguir, e 0, 08 , x = 1, . . . , 5 0, 09 , x = 6, . . . , 10 f (x) = 0, 01 , x = 11, . . . , 25 0 , outros valores x a. Obtenha a fun¸ao de distribui¸ao acumulada F (x) = P (X ≤ x). c˜ c˜ b. Qual ´ o percentual de funcion´rios com no m´ximo 10 anos de servi¸o. e a a c c. Dentre os funcion´rios com no m´ a ınimo 10 anos de servi¸o, calcule o percentual c com no m´ ınimo 20 anos (probabilidade condicional). 8 (I/2002, modificado). Considere a vari´vel aleat´ria discreta bidimensional, (X, Y ), a o com a seguinte distribui¸ao de probabilidades, c˜ y x 1 2 3 4 0 0,06 0,24 0,12 0,18 1 0,04 0,16 0,08 0,12 a. Calcule P (1 ≤ Y < 3). b. Calcule P (1 ≤ Y < 3 / X = 1). c. Explique os resultados encontrados nos itens a. e b. 9 (I/2002). A produ¸ao di´ria de uma pe¸a resulta em Y itens defeituosos, cuja c˜ a c distribui¸ao possui parˆmetros m´dia e variˆncia, ambos iguais a 2. O lucro di´rio c˜ a e a a com a venda das pe¸as ´ uma vari´vel X dada por X = 50 − 2Y − Y 2 . Calcule o c e a valor esperado do lucro di´rio. a 10 (I/2002). Sejam X e E vari´veis aleat´rias com V (X) = 5, V (E) = 4 e a o COV (X, E) = −4, 5. Seja Y uma vari´vel dada por Y = b0 + b1 X + E. Para a b0 = 20 e b1 = 2 calcule V (Y ), a variˆncia de Y . a 3
- 4. 11 (II/2002). Considere a seguinte fun¸ao densidade de probabilidade conjunta, c˜ x+y , 0≤x≤1 e 0≤y≤1 f (x, y) = 0 , outros valores a. Calcule a probabilidade conjunta: P (X < 0, 5 , Y > 0, 25). 1 b. Calcule E(2X − ). 6 c. Calcule a probabilidade condicional: P (X ≥ 0, 8 / Y = 0, 5). 12 (II/2002). Considere a seguinte distribui¸ao conjunta, c˜ X2 X1 2 4 0 0,10 0,30 2 0,27 0,33 X1 + X2 a. Calcule P ≥2 . 2 b. X1 e X2 s˜o vari´veis aleat´rias independentes? Justifique sua resposta. a a o c. Calcule V (2X1 − X2 ). 13 (I/2003). Seja f (x, y) uma fun¸ao densidade de probabilidade conjunta dada por, c˜ 6 (x2 + y 2 x) , 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 3 33 f (x, y) = 0 , outros valores a. Calcule a probabilidade conjunta: P (X < 1/2 , Y > 2). b. Calcule a probabilidade marginal: P (X > 3/4). c. Calcule o valor m´dio de Y . e 14 (I/2003). Pain´is de madeira s˜o oferecidos com duas op¸oes de comprimento e e a c˜ trˆs op¸oes de largura, em metros, conforme a distribui¸ao conjunta ´ apresentada e c˜ c˜ e na tabela a seguir, 4
- 5. Largura (Y ) Comprimento (X) 1 2 3 2,5 0,05 0,05 0,10 5 0,10 0,50 0,20 Os pain´is s˜o comercializados com as bordas envolvidas em uma fita protetora de e a modo que T = 2(X + Y ) ´ a vari´vel aleat´ria que representa o total de fita gasto e a o para proteger um painel. Calcule a m´dia e a variˆncia de T por propriedades de e a E(T ) e V (T ) com base na distribui¸ao de (X, Y ) e tamb´m com base na distribui¸ao c˜ e c˜ de T . 15 (II/2003). Este ´ um problema com nomes e fatos reais. Vou a um churrasco e e encontro o meu amigo Luiz Abrantes com as suas trˆs filhas: Luiza, Paula e e Bruna. Eu sei os nomes das filhas dele mas n˜o tenho a menor id´ia de quem ´ a e e quem e portanto de forma completamente aleat´ria falarei os nomes. Considere o que a vari´vel aleat´ria X represente o n´mero de nomes que eu acerto. Pede-se: a o u Construa a tabela com a distribui¸ao das probabilidades de X. c˜ 16 (II/2003). Considere a seguinte distribui¸ao de probabilidades conjuntas: c˜ P (x, y) = P (X = x, Y = y) : P (−2, 2) = P (−1, 1) = P (0, 0) = P (1, 1) = P (2, 2) = 0, 2 a. Calcule a probabilidade condicional: P (X = −2 / Y = 2). b. Calcule a m´dia ou esperan¸a matem´tica de W , sendo W = X − 5Y + 6. e c a 17 (II/2003). Seja f (x, y) uma fun¸ao densidade de probabilidade conjunta dada c˜ 2 x por, f (x, y) = (y + 2) se 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2 e f (x, y) = 0 para outros 14 valores (x, y). Pede-se: X e Y s˜o vari´veis aleat´rias independentes? Justifique a a o sua resposta. 18 (II/2003). Uma m´quina que produz componentes para discos r´ a ıgidos de com- putadores pode operar a duas velocidades, lenta ou r´pida. Na velocidade lenta o a custo por pe¸a ´ igual a 20,75 e na r´pida ´ igual a 20,45. Na velocidade r´pida mais c e a e a pe¸as s˜o produzidas (menor custo), entretanto 5,48% das pe¸as s˜o defeituosas. Na c a c a velocidade lenta s˜o produzidas menos pe¸as por´m somente 0,86% s˜o defeituosas. a c e a Para cada pe¸a defeituosa produzida na velocidade lenta ou na r´pida, h´ um custo c a a adicional igual a 10,40 para reparar a pe¸a. Considere que as vari´veis aleat´rias c a o 5
- 6. X e Y representem respectivamente o custo de uma pe¸a nas velocidades lenta e c r´pida. Calcule os custos esperados, ou seja, E(X) e E(Y ). a 19 (II/2003). Considere a fun¸ao de distribui¸ao acumulada da vari´vel aleat´ria c˜ c˜ a o discreta X dada a seguir, 0se x<0 2/6 se 0≤x<1 F (x) = 5/6 se 1≤x<3 1 se 3≤x Construa a tabela com a distribui¸ao das probabilidades e calcule E(10X − 5). c˜ 20 (I/2004). Sejam X e Y duas vari´veis aleat´ris tais que: a o E(X) = 0 V (X) = 1 e Y = 5 − 2X Calcule: a. E (2X − 3Y − 4). Y b. V 3X − 2 +2 . c. ρXY , o coeficiente de correla¸ao linear entre X e Y . c˜ 21 (I/2004). Considere a distribui¸ao conjunta de probabilidades a seguir: c˜ Y X 1 2 3 0 0,03 0,05 0,02 2 0,27 0,45 0,18 a. X e Y s˜o vari´veis aleat´rias independentes? Justifique sua resposta. a a o b. Se W = XY , calcule E(W ). c. Se W = XY , calcule V (W ). 22 (I/2004). Seja (X, Y ) uma vari´vel aleat´ria cont´ a o ınua bidimensional tal que as duas f.d.p. marginais s˜o dadas por, a x 3y 2 g(x) = , 0 ≤ x ≤ 2 e h(y) = , 1≤y≤3 2 26 6
- 7. Se poss´ ıvel, calcule P (X ≤ 1, Y ≤ 2) e explique qual pressuposi¸ao ´ necess´ria c˜ e a para validar o c´lculo. a 23 (II/2004). O fabricante de um equipamento eletromecˆnico de cozinha conduziu a um estudo com um grande n´mero de consumidores, que utilizaram a assistˆncia u e t´cnica autorizada, e verificou que todas as reclama¸oes quanto ao produto podem e c˜ ser classificadas em 6 categorias, conforme a distribui¸ao das probabilidades apre- c˜ sentada na tabela a seguir. Natureza do Defeito (Y ) Prazo (X) El´trico Mecˆnico Est´tico e a e dentro da garantia 15% 13% 44% fora da garantia 5% 6% 17% a. A natureza do defeito e o Prazo s˜o vari´veis aleat´rias independentes? justifique a a o sua resposta. b. Calcule a distribui¸ao das probabilidades condicionais da natureza do defeito, c˜ quando o produto est´ dentro do prazo de garantia. a 24 (II/2004). Um sistema eletrˆnico opera com dois componentes que funcionam o simultaneamente. Sejam X e Y as duas vari´veis aleat´rias que denotam as vidas a o uteis destes componentes (em centenas de horas). Se f (x, y) dada a seguir ´ a fun¸ao ´ e c˜ densidade de probabilidade conjunta de (X, Y ) calcule a seguinte probabilidade con- junta: P (X > 1, Y > 1). 1 xe−(x + y)/2 , 0<x<∞ e 0<y<∞ f (x, y) = 8 0 , para outros valores x, y DICA: Os resultados a seguir podem ser uteis: ´ (Kx − 1) Kx 1 Kx lim xe−x = 0, xeKx dx = e e eKx dx = e x→ ∞ K2 K 25 (em aula). Seja X a vida util de um componente eletrˆnico, que representa o ´ o tempo de funcionamento em horas at´ ele apresentar a primeira falha. A fun¸ao e c˜ densidade de probabilidade de X ´ dada por, e Ke−x/200 , 0 ≤ x < ∞ f (x) = 0 , para outros valores x Pede-se: 7
- 8. a. O valor de K b. A probabilidade de um componente durar pelo menos 300 horas. c. A probabilidade condicional de um componente durar pelo menos 700 horas sabendo-se que durar 300 horas ´ certo. e d. A fun¸ao de distribui¸ao acumulada de X. c˜ c˜ e. Qual deve ser a garantia dada pelo fabricante de modo que no m´ximo 10% dos a components tenham vida util inferior ` garantia? ´ a 26 (I/2006). Seja X uma vari´vel aleat´ria cont´ a o ınua com a seguinte fun¸ao densi- c˜ dade de probabilidade, k , −2 ≤ x < 0 3x f (x) = k + , 0≤x≤5 125 0 , para outros valores x a. Calcule o valor k e obtenha a F (x). b. Calcule P (X ≥ 0/ − 1 < X < 3). 27 (I/2006). Seja Y uma vari´vel aleat´ria discreta com fun¸ao de probabilidade a o c˜ dada por, y i , para i = 1, 2, 3, 4 N P (Y = yi ) = 0 , para outros valores i em que, 4 i+2 N= yi com yi = k i=1 k=i+1 Pede-se: Calcule E(Y ), o valor m´dio de Y . e 28 (II/2006). Seja X a vari´vel aleat´ria discreta que represente o n´mero de artigos a o u 8
- 9. defeituosos por caixa, com fun¸ao de distribui¸ao acumulada dada por, c˜ c˜ 0 , x<0 0, 68 , 0≤x<1 F (x) = 0, 95 , 1≤x<2 0, 98 , 2≤x<3 1 , 3≤x Pede-se: Calcule o n´mero m´dio de artigos defeituosos por caixa. u e 29 (II/2006). Calcule o valor de K na seguinte fun¸ao densidade de probabilidade c˜ conjunta, kx , 0≤y≤x≤2 f (x, y) = 0 , para outros valores x e y 30 (I/2007). Seja (X, Y ) uma vari´vel aleat´ria cont´ a o ınua bidimensional com a seguinte fun¸ao densidade de probabilidade conjunta, c˜ y (1 − x2 ) , −1 ≤ x < 0 e 0 ≤ y < 1 1 8 4 f (x, y) = y−3 , 0≤x≤ 3 e 1≤y≤2 2 3 0 , para outros valores x, y a. Obtenha h(y), a f.d.p. marginal de Y . b. Obtenha f (x|y), a f.d.p. condicional de X dado Y = y. 1 c. Calcule P X ≥ 2 |Y =1 . 9
- 10. 31 (I/2007). Considere a distribui¸ao de probabilidades da v.a.d. tridimensional c˜ (X, Y, Z) dada na tabela a seguir, X=1 X=4 Z Y =0 Y =1 Y =0 Y =1 1 0,10 0,34 0,06 0,10 2 0,06 0,27 0,02 0,05 Pede-se: a. Calcule a seguinte probabilidade condicional, P (Y = 0 / X = 4, Z = 2). X +Y b. Seja W = , calcule E(W ) e V (W ) diretamente pela distribui¸ao de W c˜ 2 (tente tamb´m pela distribui¸ao conjunta de X e Y ). e c˜ 32 (II/2007). Seja X a vari´vel aleat´ria cont´ a o ınua que represente o tempo (em segundos) que um rato de laborat´rio demora para executar uma tarefa e alcan¸ar o c a comida, como recompensa pela tarefa. Quanto menor o tempo considera-se que maior ´ a inteligˆncia do rato. Seja f (x) uma fun¸ao associada a X dada por, e e c˜ t 2 , t≤x<∞ f (x) = x 0 , outros valores x em que t ´ o menor valor poss´ do tempo para execu¸ao da tarefa. Pede-se: e ıvel c˜ a. Mostre que f (x) ´ uma fun¸ao densidade de probabilidade. e c˜ b. Calcule P (X ≥ t + h) para uma constante positiva h. c. Para t = 5, calcule P (X ≥ 7 / 5 < X < 10). 33 . Seja (X, Y ) uma vari´vel aleat´ria cont´ a o ınua bidimensional com a seguinte fun¸ao densidade de probabilidade conjunta, c˜ 6 (1 − y) , 0≤x≤y≤1 f (x, y) = 0 , para outros valores x, y a. Obtenha as f.d.p.´s marginais de X e Y . 1 3 b. Calcule P (Y ≤ 2 /X ≤ 4 ). 10
- 11. c. Obtenha f (x/y), a f.d.p. condicional de X dado Y = y. d. Obtenha f (y/x), a f.d.p. condicional de Y dado X = x. 3 1 e. Calcule P Y ≥ 4 /X= 2 . RESPOSTAS X Y 0 1 2 3 P(y) 1. a. 0,5 b. sim c. 10 1/16 3/16 3/16 1/16 8/16 20 1/16 3/16 3/16 1/16 8/16 P(x) 2/16 6/16 6/16 2/16 1,00 0 , x < −1 1 3 (−x + 3x + 2) , −1 ≤ x < 0 6 2. a. 0,5 b. F (x) = 1 c. 2/3 6 (2 + 3x) , 0 ≤ x < 4/3 1 , 4/3 ≤ x 11
- 12. 3. 5,4 4. a. 1/9 b. porque f (x, y) = g(x)h(y) 5. 0,80 6. 546/216≈ 2, 52 0 , x<1 0, 08x , 1 ≤ ⌊x⌋ < 6 7. a. F (x) = 0, 40 + (x − 5)0, 09 , 6 ≤ ⌊x⌋ < 11 0, 85 + (x − 10)0, 01 , 11 ≤ ⌊x⌋ ≤ 25 1 , 25 < x em que ⌊x⌋ = max{m ∈ Z|m ≤ x}, isto ´, o maior n´mero inteiro que seja e u menor ou igual a x, b. F (10) = 0, 85 c. P (X ≥ 20|X ≥ 10) = [1 − F (20) + P (20)] / [1 − F (10) + P (10)] = 0, 06/0, 24 = 0, 25, portanto 25%. 8. a. 0.50 b. 0.50 c. s˜o iguais porque as vari´veis s˜o independentes, isto ´, a a a e P (x, y) = P (x)P (y) ou P (x/y) = P (x) e P (y/x) = P (y). 9. E(X) = 40. 10. V (Y ) = 6. 21 1 7 11. a. 64 ≈ 0, 33 b. 2E(X) − 6 =1 c. 25 = 0, 28 12. a. 0, 9 b. N˜o, P (x1 , x2 ) = P (x1 )P (x2 ) c. 4V (X1 ) + V (X2 ) − 4COV (X1 , X2 ) ≈ 5, 5 a 5 163 279 13. a. 33 ≈ 0, 152 b. 352 ≈ 0, 463 c. E(Y ) = 132 ≈ 2, 11 t 7 9 11 12 14 16 total 14. P (t) 0,05 0,05 0,10 0,10 0,50 0,20 1,00 E(X) = 4, 5, V (X) = 1, E(Y ) = 2, 15, V (Y ) = 0, 4275, COV (X, Y ) = −0, 05, portanto E(T ) = 13, 3m e V (T ) = 5, 31m2 . 12
- 13. 15. Seja {LPB} a ordem correta dos nomes, ent˜o o espa¸o amostral S pode ser a c indicado da seguinte forma, S = {LPB, LBP, PLB, PBL, BLP, BPL} o que resulta em SX enumer´vel dado por, SX = {3, 1, 1, 0, 0, 1} e X uma v.a.d. a x 0 1 2 3 total com a seguinte distribui¸ao: c˜ P(x) 2/6 3/6 0 1/6 1,00 16. a. 0,5 b. 0. 3 2 17. S˜o independentes pois f (x, y) = g(x) h(y), em que g(x) = a 7 x e h(y) = 1 6 (y + 2). 18. E(X) ≈ 20, 84 e E(Y ) ≈ 21, 02. x 0 1 2 3 total 19. E(X) = 1 e E(10X − 5) = 5. P (x) 2/6 3/6 0 1/6 1,00 20. a. -19 b. 16 c. -1 21. a. sim, P (x, y) = P (x)P (y) ∀ par (x, y) b. = E(X)E(Y ) = 3, 42 c. 3,0636 22. P (X ≤ 1, Y ≤ 2) = 01 12 f (x, y)dy dx = P (X ≤ 1) P (Y ≤ 2) = 1 0 g(x) dx 2 1 h(y) dy = 1/4 × 7/26 ≈ 0, 07 se X e Y s˜o v.a.c. independentes. a 23. a. N˜o s˜o v.a. independentes pois P (x, y) = P (x)P (y) ∀ par (x, y) a a defeito el´trico e mecˆnico a est´tico e total b. P ( defeito / dentro ) 0,2083 0,1806 0,6111 1,00 1 ∞ −y/2 24. P (X > 1, Y > 1) = 8 1 e ∞ 1 xe−x/2 dx dy = 3 e−1 ≈ 0, 552 2 25. a. 1/200 b. e−300/200 ≈ 0, 22 ou 22% c. e−400/200 ≈ 0, 135 ou 13, 5% d. F (x) = 1 − e−x/200 , 0 ≤ x < ∞ F (x) = 0, x < 0, F (x) = 1, x → ∞ e. ≤ −200ln0, 9 ≈ 21 horas DICA: Inicialmente obtenha a f´rmula geral para P (X ≥ x). o 13
- 14. 0 , x < −2 1 + 2) (x , −2 ≤ x < 0 26. a. k = 1/10, F (x) = 10 1 ( 3 x2 + x + 2) 10 25 , 0≤x<5 1 , 5≤x b. [F (3) − F (0)] / [F (3) − F (−1)] = 0, 408/0, 508 ≈ 0, 803, ou pode ser cal- 3 culado da forma usual, integrando a f (x), 03 f (x)dx / −1 f (x)dx . 27. y 5 7 9 11 total , E(Y ) = 69/8 = 8, 625. P (y) 5/32 7/32 9/32 11/32 1,00 28. E(X) = 0 + 0, 27 + 0, 06 + 0, 06 = 0, 30. 2 x 29. k = 3/8 atende a f (x, y) dy dx = 1. 0 0 2 1 32 30. a. h(y) = 3 y, se 0 ≤ y < 1 e h(y) = 2 9 y − 4 se 1 ≤ y ≤ 2 b. f (x/y) = 3 2 8 32 2 (1 − x ), se −1 ≤ x < 0, 0 ≤ y < 1 e f (x/y) = 3 y −3 / 9 y − 4 , se 0 ≤ x ≤ 4/3, 1 ≤ y ≤ 2 c. 15/24 = 0, 625. 31. a. 0, 02/0, 07 ≈ 0, 286 b. E(W ) = 1, 225 ≈ 1, 23 e V (W ) = 0, 406875 ≈ 0, 41. 32. a. t > 0 =⇒ f (x) ≥ 0 ∀ x e t ∞ 1 f (x)dx = −t( ∞ − 1 ) = 1 b. t t t+h c. 3/7. 33. a. g(x) = 3(1 − x)2 , se 0 ≤ x ≤ 1 e h(y) = 6y (1 − y) se 0 ≤ y ≤ 1 b. 32/63 1 2(1−y) c.f (x/y) = y , para 0 ≤ x ≤ y d. f (y/x) = (1−x)2 , se x ≤ y ≤ 1 e. 1/4. 14