Revisaoestatistica

Revisão de Estatística Aplicada a
Finanças
INTRODUÇÃO
A revisão que apresentaremos destina-se a examinar conceitos importantes
de Estatística, que tornem possível a compreensão do conteúdo do livro de forma
aprofundada. O conhecimento de Estatística1
é importante para as diversas áreas de
estudo do livro e, em particular, para o cálculo do Value-at-Risk e para o estudo de
opções. Na seção E8 apresentaremos alguns tópicos de Finanças, que interagem
com o estudo dos diversos temas abordados no livro.
Os leitores que já possuem conhecimentos de Estatística e de Finanças pode-
rão estudar ou rever apenas os tópicos que julgarem necessários.
Não temos a intenção de esgotar os temas abordados na revisão (isto deman-
daria um espaço excessivo), e o leitor poderá recorrer a literaturas específicas a
respeito dos temas em que desejar se aprofundar.
A respeito da simbologia utilizada na revisão, adotamos a convenção da maio-
ria dos livros de Estatística, de representar os conjuntos por letras maiúsculas e os
elementos dos conjuntos por letras minúsculas. Diferentemente do restante do livro,
utilizaremos o símbolo “ . ” (ponto) para representar a operação de multiplicação
(no restante do livro utilizamos o símbolo “x” para representar essa operação).
Para facilitar a compreensão dos conceitos apresentados, diversas vezes cons-
truiremos duas definições desses conceitos. A primeira será informal, com o objeti-
vo de facilitar a compreensão de modo mais intuitivo, e a segunda definição será
construída de modo mais tradicional.
E1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS
As variáveis aleatórias podem ser definidas da forma a seguir:
Uma Variável Aleatória Unidimensional é uma Função Matemática
que associa um único número real a cada possível resultado (que pode
ser numérico ou não numérico) de um experimento aleatório.
Quando esse experimento aleatório ocorre em relação ao tempo, também se
utiliza o termo “variável estocástica” como substututo de variável aleatória.
1 Na seção E7 (página 473) mostraremos algumas definições do termo “Estatística”.

426 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1
Considere um experimento aleatório (estocástico) cujos possíveis resultados
sejam representados pelo conjunto S (espaço amostral). Uma função X que associa a
cada elemento de S (cada resultado possível do experimento aleatório) um único
número real é denominada Variável Aleatória (VA). Por exemplo, se s ∈ S, haverá
um número real x que seja função de s e que é representado pela expressão x(s).
Alguns autores consideram a denominação Variável Aleatória não apro-
priada, na medida em que ela se refere a uma Função Matemática de Experi-
mento Aleatório.
O experimento aleatório pode ser numérico ou não numérico, mas as ima-
gens da função matemática (resultados da variável aleatória) são necessariamente
números reais que ocorrerão de forma aleatória.
Quando o experimento aleatório for numérico, a variável aleatória será a
identidade que associa a cada possível resultado (numérico) do experimento alea-
tório um número igual.
Exemplo E1.1 – Represente a variável aleatória X que associa ao experi-
mento aleatório lançamento de duas moedas o resultado numérico igual ao número
de caras (K) obtidas no lançamento (a face coroa será representada pela letra C).
Resposta - Na figura E1.1, a seguir, podemos visualizar o conjunto de possí-
veis resultados do experimento aleatório {KK, KC, CK, CC}, a variável aleatória X
e o conjunto de possíveis resultados da variável aleatória X {0, 1, 2}.
S Função X Sx
(variável aleatória)
KK 2
KC 1
CK
CC 0
onde:
S = domínio da função (conjunto de argumentos da função). Os argumen-
tos ocorrem de forma aleatória;
Sx =contradomínio da variável aleatória (conjunto de números reais assumi-
dos pela variável aleatória X). Os números reais de Sx também ocor-
rem de forma aleatória.
DDD 01
KK
KC
CK
CC
S SxFunção X
2
1
0
Figura E1.1 Variável Aleatória Unidimensional

Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 427
E1.1 FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA UNIDIMENSIONAL
Uma Função de Variável Aleatória Unidimensional é uma Função Matemáti-
ca que associa um número real a cada resultado da variável aleatória unidimensional
X, que também é um número real.
Seja Z uma função que associa um número real a cada resultado (número
real) da variável aleatória unidimensional X. Portanto, para cada número real x,
haverá um número real z, que é função de x, ou seja, z = z(x).
Como uma variável aleatória é uma função de um experimento aleatório,
uma função de variável aleatória é, na verdade, uma função de outra função. Dessa
forma, os possíveis resultados de Z, z(x(s)) também serão função de s.
Exemplo E1.2 – Represente uma função de variável aleatória Z, que é
função da variável aleatória X considerada no exemplo E1.1, que associe um núme-
ro real z a cada número real x, de modo que z = 100 . x.
Resposta - Podemos observar que, neste exemplo, Z é uma função linear de
variável aleatória, na medida em que varia a uma razão constante de 100 unidades
para cada unidade de variação de x.
Na figura E1.2, podemos visualizar o conjunto de possíveis resultados do
experimento aleatório {KK, KC, CK, CC}, o conjunto de possíveis resultados da
variável aleatória X {0, 1, 2} e o conjunto de possíveis resultados da função de
variável aleatória Z {0, 100, 200}.
S Função X Sx Função Z de Sz
(variável aleatória) VA Unidimensional
KK 2 200
KC 1 100
CK
onde:
S = domínio da VA X;
Sx = contradomínio da VA X e domínio da função de VA Z;
Sz = contradomínio da função de VA Z.
DDD 02
KK
KC
CK
CC
2
1
0
S SzFunção X
Função Z de
VA Unidimensional
200
100
0
Sx
Figura E1.2 Função de Variável Aleatória Unidimensional

E1.2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Uma Variável Aleatória X será discreta se o seu contradomínio Sx (conjunto
de resultados da variável aleatória) for finito ou infinito enumerável.
Ex.: Sx = { x1
, x2
,...,xn
}, Sx = { 0, 1, 2 }
Sx = { x1
, x2
,...,xn...
}, Sx = Z (conjunto dos números inteiros), etc.
onde:
xi
∈ ℜ (conjunto dos números reais).
E1.2.1 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
Uma Função de Probabilidade de uma Variável Aleatória Discreta é uma Fun-
ção Matemática que associa uma probabilidade de ocorrência (número pertencente ao
intervalo [0,1]) a cada possível resultado (número real) da Variável Aleatória.
Seja X uma variável aleatória discreta. A cada possível valor de X, que cha-
maremos de xi
2
, será associado um número p (xi
) que será igual à probabilidade
de que X seja igual a xi
. Essa probabilidade será chamada de P (X=xi
).
Os números p(xi
) devem satisfazer às seguintes restrições:
>> 01
onde:
t = número de elementos do contradomínio de X, ou seja, a quantidade
total de xi
3
.
Portanto a Função de Probabilidade de X (que também pode ser chamada de
Distribuição de Probabilidade de X) será a função matemática p que associe uma
probabilidade de ocorrência para todos os elementos de Sx e que satisfaça às restri-
ções previamente definidas.
>> 01 p(xi
) ≥ 0 para todo xi
∈ Sx
Σ p(xi
) = 1
t
i=1
2 É importante estar atento para a diferença entre o X maiúsculo, que representa a
variável aleatória, e o x minúsculo, que representa os valores numéricos que a variá-
vel aleatória pode assumir.
3 Note que está implícita, nas duas condições apresentadas, a hipótese de que
0 ≤ p(xi
) ≤ 1 para todo xi
∈ Sx.

A representação de uma função de probabilidade pode ser efetuada por sua
expressão matemática, por uma tabela (ou figura), ou por um gráfico.
Exemplo E1.3 – Represente a função de probabilidade associada à quanti-
dade de caras que ocorrem no lançamento de duas moedas (não viciadas), das três
formas mencionadas.
Respostas:
Expressão Matemática
P(X=2) = 1/4
P(X=1) = 1/2
P(X=2) = 1/4
Tabela
DDD 3 Figura
S Função X Sx P (X=xi
)
(variável aleatória) (função de probabilidade)
Gráfico
1/2
0 0 2 x
p (x)
1
1/4
DDD 03
KK
KC
CK
CC
2
1
0
S
Função X
P (X=Xi)
(função de probablidade)
1/4
1/2
1/4
Sx

E1.3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
Uma Variável Aleatória X será contínua se o seu contradomínio
Sx (conjunto de resultados da variável aleatória) for infinito não
enumerável.
Ex.: [0,1], ℜ, ℜ+
, etc.
E1.3.1 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
CONTÍNUA
Convenciona-se chamar a distribuição de probabilidade de uma variável ale-
atória contínua de função densidade de probabilidade (fdp). Na seção anterior vi-
mos que, para as variáveis aleatórias discretas, a distribuição de probabilidade deno-
mina-se função de probabilidade.
Uma Função Densidade de Probabilidade de uma Variável Aleatória
Contínua é uma Função Matemática que associa aos intervalos dos
possíveis resultados da Variável Aleatória (intervalos de números reais)
um número p, de modo que p seja igual à probabilidade de o resultado
da Variável Aleatória pertencer aos intervalos especificados.
Uma Função Densidade de Probabilidade f de uma Variável Aleatória contí-
nua X deve satisfizer às seguintes condições:
>> 02
Note que o contradomínio Sx da VA X poderá conter um limite inferior (li)
e um limite superior (ls) em que li e ls sejam constantes. Neste caso, sem prejuízo
das condições anteriores, poderemos afirmar que:
>> 03
Para calcularmos a probabilidade de ocorrência de valores situados em deter-
minado intervalo ]a , b[ ∈ Sx, ou seja, P (a < x < b), deveremos calcular a
>> 02 f (x) ≥ 0 para todo x ∈ Sx
∫ f(x) dx = 1
+∞
-∞
>> 03
l s
∫ f(x) dx = 1
li

proporção da área da fdp que está situada entre os argumentos a e b, em relação à
área total da fdp. Como a área total da fdp é igual a 1, P (a < x < b) será igual à área
da fdp que está situada entre os argumentos a e b, que é igual à integral4
da fdp, do
limite inferior (a) ao limite superior (b), conforme mostrado na expressão a seguir:
>> 04
b
Como P (X = b) = ∫ f(x) dx = 0, ou seja, como a área de uma linha é igual a
zero, serão verdadeiras as seguintes igualdades:
P (a < x < b) = P (a ≤ x < b) = P (a < x ≤ b) = P (a ≤ x ≤ b)
Exemplo E1.4 – Admita que o Banco Central de um país estabeleceu uma
banda cambial, na qual a moeda do país possa ter sua cotação em relação ao dólar
variando de 2,80 a 3,00 unidades monetárias. Considere que a probabilidade de a
cotação pertencer a qualquer intervalo de mesma amplitude seja igual. A fdp asso-
ciada a essa variável aleatória pode ser representada pela expressão a seguir:
f (x) = 1/(2,00 – 1,80) para 2,80 ≤ x ≤ 3,00
= 0 para qualquer outro valor de x
onde:
x = cotação da moeda.
Calcule a probabilidade de a cotação da moeda estar situada entre 2,84 e
2,88 e construa uma figura que represente a fdp da VA X.
Resposta - A probabilidade será igual à área da fdp entre os argumentos
2,84 e 2,88. Como a fdp admitida neste exemplo possui imagem constante,
>> 04 P (a < x < b) =
a
b
∫ f(x) dx
+∞
∫ f(x) dx
−∞
a
b
∫ f(x) dx
1
= =
a
b
∫ f(x) dx
4 Aos leitores que não tenham conhecimento de cálculo, sugerimos ver conceitos e aplica-
ções iniciais de derivadas e de integrais de funções em livros de cálculo. A integral de uma
função é representada pelo símbolo “ ∫ “ e representa uma função que, ao ser derivada, será
igual à função original. Há diversas regras para o cálculo de integrais e que na maior parte
das vezes permitem os seus cálculos de forma direta. Entretanto, há funções que foram
bastante trabalhosas para que se conseguisse calcular suas integrais, e outras para as quais
até os dias atuais ainda não se conseguiu efetuar os seus cálculos. Quando são especificados
um limite inferior e um limite superior para a integral (integral definida), o seu conhecimen-
to permite o cálculo da área da função entre os limites especificados. Entretanto, na maio-
ria dos exemplos utilizados nesta Revisão de Estatística será possível calcular as áreas das
funções densidade de probabilidade (fdp) sem a necessidade de calcular as suas integrais.
b

basta multiplicar a altura pela base do retângulo para calcular a sua área, ou
seja, 1/(3,00 – 2,80) . (2,88 - 2,84) = 5 . 0,04 = 20%.
A fdp e a probabilidade de a cotação da moeda estar situada entre 2,84 e
2,88 podem ser representadas no gráfico a seguir:
A figura que representa a fdp da VA X é a seguinte:
DDD 4
Neste exemplo, como o resultado do experimento aleatório é numérico, a
variável aleatória representa a função identidade entre o seu domínio e o seu
contradomínio.
E1.4 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS MISTAS
Variáveis Aleatórias Mistas são variáveis aleatórias cujos resultados possam
assumir valores específicos com determinada probabilidade ou possam pertencer a
determinados intervalos com determinada probabilidade.
DDD 04
3,00
2,80
S
f(x)
(fdp)
Função X
3,00
2,80
Sx
2,80 3,00 x
5
0 2,80 3,00 x
f (x)
2,84
5
2,88
f(x)

Um bom exemplo de variável aleatória mista nos mercados derivativos é o
preço (prêmio) de uma opção de compra na data de seu vencimento. Considere uma
opção de compra que permita a seu comprador (titular da opção) adquirir uma ação,
cujo preço seja uma variável aleatória contínua, por R$ 10. Admitindo que a proba-
bilidade de o preço da ação ser igual ou inferior a R$ 10 (na data do vencimento da
opção) é igual a 40% e que a probabilidade de o preço da ação pertencer ao inter-
valo ]R$ 10, +∞[ (na data do vencimento da opção) é igual a 60%, a opção terá
40% de probabilidade de valer R$ 0 e terá 60% de probabilidade de ter valor
pertencente ao intervalo ]0,+∞[ na data de seu vencimento.
E1.5 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
Uma Função de Distribuição Acumulada de uma Variável Aleatória
é uma Função Matemática que associa a cada possível resultado da
variável aleatória (número real) a probabilidade de que os resultados
da variável aleatória (números reais) sejam menores ou iguais aos
possíveis resultados.
Seja X uma variável aleatória discreta ou contínua. Uma função de distribui-
ção acumulada de X é uma função F que associa um número F(x) para todo x ∈ ℜ,
de modo que F(x) represente a probabilidade da VA X ser igual ou menor a x.
Portanto:
F (x) = P (X ≤ x)
Desse modo, a função de distribuição acumulada de um valor real x (possível
valor da variável aleatória X) terá como resultado (imagem) a probabilidade de a
variável aleatória assumir um valor menor ou igual a x.
Propriedades de uma Função de Distribuição Acumulada
F (- ∞) = 0
F (+ ∞) = 1
F (x) é sempre não decrescente
F (b) - F (a) = P (a < x ≤ b)
F (b) - F (a - Lim x) = P (a ≤ x ≤ b)
x→0+

E1.5.1 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
DISCRETAS
É obtida pela expressão matemática a seguir
>> 05
Exemplo E1.5 – Calcule a função de distribuição acumulada da variável
aleatória igual ao número de caras no lançamento de uma moeda e a represente
graficamente.
Respostas:
F (x) = 0 para x < 0
= 1/4 para 0 ≤ x < 1
= 3/4 para 1 ≤ x < 2
= 1 para x ≥ 2
Graficamente, a função seria representada da forma a seguir:
E1.5.2 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
CONTÍNUAS
É obtida pela expressão matemática a seguir:
>> 06 x
>> 06 F (x) = ∫ f(x) dx
x
-∞
>> 05 F (x) = Σ p(xi
), para todo xi
≤ x
i
0 x
f (x)
1 2
1
3/4
1/4

Observe que a derivada da função de distribuição acumulada é igual à função
densidade de probabilidade de x , para todo x onde F (x) seja derivável, ou seja:
>> 07
Exemplo E1.6 – Calcule a função de distribuição acumulada da variável
aleatória considerada no exemplo E1.4 e a represente graficamente.
Respostas:
F (x) = 0 para x < 2,80
= 5 . (x -2,80) se 2,80 ≤ x ≤ 3,00
= 1 para x > 3,00
Graficamente, a função seria representada da forma a seguir:
Exemplo E1.7 - Charada. Este exemplo foi apresentado pela autora Marilyn
vos Savant (cujo endereço eletrônico é www.askmarilyn.com) em uma coluna do
jornal americano “Parade Magazine”. O exemplo se tornou bastante conhecido pois
diversos estatísticos americanos escreveram para a autora afirmando que a sua res-
posta estava incorreta. Portanto, é possível que alguns leitores também a considerem
incorreta em um primeiro momento.
Em um programa de auditório, um indivíduo ganha o direito de participar de
um jogo no qual poderá ganhar um carro. O jogo consiste na escolha, por parte do
jogador, de uma entre três portas, sendo que atrás de apenas uma das portas há o
carro. Atrás das outras duas portas há um bode. Portanto, o jogador tem que esco-
lher uma entre as três portas, objetivando acertar aquela que tenha um carro atrás.
Logicamente, a probabilidade inicial de acerto do jogador é igual a 1/3.
>> 07 d
= f(x)
0 x
f (x)
1,80 2,00
1
F (x)
dx

a) Após o jogador escolher uma das portas, o apresentador do programa
mostra ao jogador uma das portas que ele não escolheu e que tem um bode atrás. Em
seguida o apresentador pergunta ao jogador se ele deseja trocar de porta.
Pergunta: O jogador deveria optar pela troca?
Resposta - Sim, pois ele passaria a ter probabilidade de 2/3 de ganhar o
carro se efetuasse a troca.
Se você não concorda com essa resposta procure refletir um pouco antes de
seguir adiante.
Acrescentamos ao problema original o item b) a seguir, com o objetivo de
ajudar a esclarecer o item a).
b) Considere agora que, após o jogador escolher uma das portas, o apresentador
do programa sorteie uma das três portas para abrir. Admita que o resultado do sorteio
tenha sido uma porta que o jogador não escolheu e que, ao ser aberta, tem um bode
atrás. Em seguida o apresentador pergunta ao jogador se ele deseja trocar de porta.
Pergunta: O jogador deveria optar pela troca?
Resposta - Ele deveria ser indiferente à troca, pois a probabilidade de ga-
nhar o carro seria de 1/2 em cada alternativa.
O objetivo de termos mostrado este exemplo é o de alertar que, muitas vezes,
a dificuldade na resolução de alguns problemas ou situações do mundo real, não
está nos conhecimentos de Estatística, mas sim na clareza, ou na compreensão das
premissas dos problemas. De fato, a maioria das pessoas tende a responder ao item
a) como se ele fosse o item b), mas, no mundo real, em um programa de auditório,
o apresentador tem o conhecimento prévio de onde está o carro e a sua escolha da
primeira porta, a ser mostrada ao jogador e ao público, não seria aleatória. Com o
objetivo de proporcionar mais emoção, aumentar a duração e elevar a audiência do
programa, o apresentador escolheria uma das duas portas que não levasse ao carro e
que não tivesse sido escolhida.
Se você ainda não se convenceu quanto à resposta do item a), repare que,
admitindo que o apresentador necessariamente escolheria uma porta diferente da
que o jogador tivesse escolhido e que não tivesse o carro, a probabilidade de o
jogador ganhar se ele não alterasse a sua escolha inicial continuaria sendo igual a
1/3. Conseqüentemente, a probabilidade complementar de o jogador ganhar, ou
seja, se alterasse a porta escolhida, passaria a ser igual a 2/3.

E2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL DE
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
E2.1 ESPERANÇA MATEMÁTICA OU MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA PELAS
PROBABILIDADES DE OCORRÊNCIA
Variáveis Aleatórias Discretas
A esperança matemática de uma variável aleatória discreta é igual à pondera-
ção dos números que a variável aleatória poderá assumir, pelas probabilidades de
ocorrência dos números. Trata-se, portanto, de uma média aritmética ponderada
dos xi
, em que os fatores de ponderação são as suas probabilidades de ocorrência:
>> 08
Variáveis Aleatórias Contínuas
A definição de esperança matemática de uma variável aleatória contínua é
análoga à utilizada para variáveis aleatórias discretas, sendo que as probabilidades
de ocorrência são as dos intervalos de valores e não as dos valores individuais. Desse
modo, é necessário calcular a integral da variável aleatória multiplicada por sua
fdp, conforme mostrado a seguir:
>> 09
Variáveis Aleatórias Mistas
A esperança matemática é obtida da forma a seguir:
>> 10
E2.2 MODA
Para VA discretas, a moda pode ser definida como o resultado mais prová-
vel. Portanto a moda é o resultado da VA para o qual a função de probabilidade
apresenta o maior valor. Por exemplo, a moda da função de probabilidade do
exemplo E1.3 é igual a 1, pois é nesse resultado que a função de probabilidade
atinge o maior valor que é igual a 1/2.
>> 09 E (x) = ∫ x . f(x) dx
+∞
−∞
>> 08
E (x) = Σ xi
. p(xi
) para todo xi
∈ Sx
n
i=1
>> 10 E (x) = Σ xi
. p(xi
) + ∫ x . f(x) dx para todo xi
∈ Sx
n l s
i=1 li

Para VA contínuas, a moda pode ser definida como o resultado da VA para o
qual a função densidade de probabilidade apresenta o maior valor.
Podem existir distribuições de probabilidade amodais, como, por exemplo, a
fdp do exemplo E1.4, e distribuições de probabilidade com mais de uma moda
(distribuições bimodais, trimodais, etc.).
E2.3 MEDIANA E PERCENTIS
A mediana é o valor para o qual a função de distribuição acumulada é igual a
0,5. Para VA contínuas, a mediana divide a área da fdp em duas metades com valor
de 0,5. Portanto há 50% de probabilidade de a VA se situar acima ou abaixo da
mediana.
Os cem percentis de uma VA são os valores para os quais a função de distri-
buição acumulada tem valores iguais a 1%, 2%,...,100%. Portanto o 50º percentil
é igual à mediana da distribuição de probabilidade.

E3 MEDIDAS DE DISPERSÃO, ASSIMETRIA E CURTOSE
E3.1 VARIÂNCIA
O segundo momento centrado na média de uma distribuição é conhecido
como variância. A variância de uma população de n elementos pode ser calculada
de acordo com a fórmula a seguir:
>> 11
(E3.1a)
Esta fórmula pode ser reescrita da seguinte forma:
>> 12
XX
então, podemos reescrever a variância da forma a seguir:
σ 2
= E [ x 2
] - E [ x ] 2
(E3.1b)
Para calcular a variância de uma variável aleatória discreta que tenha função
de probabilidade conhecida deve-se utilizar a fórmula a seguir:
>> 13 (E3.1c)
Esta fórmula também pode ser reescrita como a (E3.1b).
A variância de uma amostra de n elementos pode ser calculada de acordo
com a fórmula a seguir:
>> 13 σ2
= Σ (xi
- E[x]2 . p(xi
))
n
i=1
>> 12
σ2
=
Σ (xi
2
- 2 . xi
. E[x] + E[x]2
)
n
i=1
Σ (xi
2
- 2 . E[x] . xi
+ E[x]2
)
n
i=1
n n
=
Σ (xi
2
) - n . (2 . E[x]2
+ E[x]2
)
n
i=1
n
=
n
= - E[x]2
Σ (xi
2
)
i=1
n
=
σ2
=
i=1
Σ (xi
- E[x])2
n
n
>> 11

>> 14
A variância de uma função densidade de probabilidade f(x) deve ser calcula-
da de acordo com a fórmula a seguir:
>> 15
ou
σ2
= E [x 2
] - E [x]2
Esta última fórmula é igual à fórmula (E3.1b).
Variáveis Aleatórias Mistas
A variância de uma distribuição de probabilidade que seja parcialmente dis-
creta e parcialmente contínua deve ser calculada da forma a seguir:
>> 16
Esta última fórmula também é igual à fórmula (E3.1b).
E3.2 DESVIO PADRÃO
O desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância.
O desvio padrão de uma população de n elementos pode ser calculado como
a raiz quadrada da fórmula (E3.1a) como mostrado a seguir:
σ = [ σ2
] 1/2
>>16 σ2
= Σ (xi
- E[x])2
+ ∫ x2 . f (x) dx - ∫ x . f (x) dx
ou
σ2
= E [x 2
] - E [x]2
n +∞
i=1 -∞
+∞
-∞
2
>> 14 s2
=
n
i=1
n - 1
Σ (xi
- E[x])2
>> 15
∫ x2 . f (x) dx - ∫ x . f (x) dx
2
σ2
=
+∞
−∞
+∞
−∞
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

O desvio padrão de uma variável aleatória com função de probabilidade co-
nhecida também pode ser calculado como a raiz quadrada da fórmula (E3.1c) como
mostrado a seguir:
σ = [ σ2
] 1/2
O desvio padrão de uma amostra de n elementos pode ser calculado como a
raiz quadrada da fórmula (E3.2) como mostrado a seguir:
s = [ s2
] 1/2
E3.3 VOLATILIDADE DE UM ATIVO
A volatilidade pode ser definida como uma medida de dispersão.
A forma convencionada para mensurar e comparar a volatilidade das di-
ferentes variáveis é por meio do cálculo dos desvios padrão das variáveis.
Por exemplo, a volatilidade dos diferentes preços unitários (PUs) de ne-
gociação de um título público em determinado dia será o desvio padrão das
diferentes cotações do título.
Entretanto, quando se trata de medir a volatilidade de uma variável
ao longo de diferentes dias, convencionou-se medir a volatilidade da
variável como o desvio padrão dos retornos diários da variável, medidos
em taxas logarítmicas, observados ao longo de determinado período
de tempo (janela temporal).
Ao observarmos uma série histórica de preços de determinado ativo, po-
deremos medir o retorno médio e a volatilidade do ativo:
• o retorno médio ( r ) é igual à média dos retornos logarítmicos ocor-
ridos ao longo de t dias considerados, como mostramos a seguir:
>> 17
• a volatilidade é igual ao desvio padrão dos retornos ocorridos ao longo de
t dias considerados, como mostramos a seguir:
r = Σ
onde:
ri
= Ln
t
i=1
r i
n
Pt
Pt-1
, ou seja, é o retorno logarítmico diário.( )

>> 18
A tabela 22.1 do seção 22.5 ilustra o cálculo da volatilidade de uma ação a
partir dos seus 20 retornos logarítmicos mais recentes. Na seção 22.8 mostramos
outras alternativas para estimar a volatilidade futura de ativos a partir dos retornos
ocorridos no passado.
Observe que, se o preço do ativo (Pt
) caísse para um valor bastante pequeno
(próximo a zero), o retorno logarítmico do ativo tenderia a -∞. Esta é a forma mais
utilizada de mensuração de retornos, na medida em que se mostra coerente com a
realidade, ao admitir que o retorno logarítmico do ativo possa assumir valores de
-∞∞∞∞∞ a +∞∞∞∞∞ e que o seu preço possa assumir apenas valores positivos.
Conforme será visto nas seções E4.2.3 e E4.2.4, no estudo de Finanças
tradicionalmente admite-se que o retorno de um ativo medido em taxas
logarítmicas tenha função densidade de probabilidade (fdp) normal. É matema-
ticamente demonstrável que esta hipótese eqüivale a admitir que o preço do
ativo tenha fdp lognormal.
Os retornos medidos em taxas efetivas (Ri
) devem ser calculadas da for-
ma a seguir:
>> 19
Note que, se o preço do ativo (P t
) caísse para um valor bastante pequeno
(próximo a zero), o retorno efetivo tenderia a -1 (ou - 100%).
E3.4 ASSIMETRIA
O coeficiente de assimetria pode ser definido a partir do terceiro momento
centrado na média e do desvio padrão, de acordo com a fórmula a seguir:
>> 20
A assimetria informa se uma distribuição de probabilidade tende a apresentar
os valores altos ou os valores baixos mais distante da média. Quando a assimetria
for positiva, a distribuição deverá apresentar cauda à direita; quando a assimetria for
>> 19 Pt
- Pt-1
Pt-1
Ri
=
>> 20 Σ (xi
- E[x])3
i=1
n
n
Ass =
σ3
>> 18
σ = Σ
_
t
i=1
(r i
- r )2
n - 1
1/2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

negativa, a distribuição deverá apresentar cauda à esquerda; e, quando a assimetria
for nula, a distribuição deverá ser simétrica em relação à sua média.
E3.5 CURTOSE
O coeficiente de curtose pode ser definido a partir do quarto momento centrado
na média e do desvio padrão, de acordo com a fórmula a seguir:
>>21
A curtose informa se uma distribuição de probabilidade é achatada ou não.
Por exemplo, uma distribuição uniforme que apresente probabilidade constante apre-
sentará curtose muito baixa, ao passo que uma distribuição de probabilidade que
apresente um pico de probabilidade no meio e uma queda brusca de probabilidade
nas pontas apresentará uma curtose elevada.
Como parâmetro de comparação, adotou-se a curtose da distribuição normal
que é igual a 3.
Convencionou-se chamar as distribuições de probabilidade achatadas (apre-
sentam curtose abaixo de 3) de platicúrticas; as distribuições de probabilidade que
apresentam curtose maior do que 3, de leptocúrticas; e as distribuições de probabi-
lidade que apresentam curtose igual a 3, de mesocúrticas.
É importante ressaltar que o fato de uma distribuição ser achatada (platicúrtica)
não significa que ela terá variância elevada, assim como as distribuições que têm
curtose elevada (leptocúrticas) não terão necessariamente variância baixa. Para
exemplificar a afirmação anterior, vale mencionar que uma distribuição normal
apresenta curtose igual a 3, independentemente de qual seja a sua variância.
˜ Σ (xi
- E[x])4
i=1
n
n
Curt =
σ4

E4 Distribuições de Probabilidade Importantes
E4.1 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL
Seja uma variável aleatória discreta Y que associa apenas um de dois resulta-
dos (números) possíveis a cada experimento aleatório. Há, portanto, apenas dois
resultados possíveis para Y: y1
e y2
. Convenciona-se chamar um dos dois resultados
de sucesso e o outro de fracasso. Se o experimento aleatório ao qual a VA Y está
associada for repetido n vezes, poderá ocorrer o máximo de n sucessos e o mínimo
de zero sucessos.
Uma Função de Probabilidade Binomial X associa a x (número de
ocorrência de sucessos) a probabilidade de o resultado sucesso ocorrer
x vezes em n repetições do experimento aleatório (portanto 0 ≤ x ≤ n).
A função de probabilidade binomial pode ser representada pela expressão
matemática de análise combinatória a seguir (combinação):
>> 22
onde:
x = número de ocorrências do resultado favorável (sucesso) em n repetições;
p = probabilidade de ocorrência do sucesso;
q = 1 - p = probabilidade de ocorrência do resultado desfavorável (fracasso).
Por exemplo, a função de probabilidade binomial correspondente ao número de
carasnolançamentodeseismoedasnãoviciadaspodeserrepresentadanográficoaseguir:
>> 22 P (X=x) = C . px . qn-x
=
n
x
6/64
0 42 x
p (X=x)
1/64
3 5 6
15/64
20/64
1/64
6/64
15/64
1
n!
(n-x)! . x!
. px . qn-x

É fácil demonstrar que:
E [X] = n . p
σ2
X = n . p . q
Esta distribuição será útil para estudarmos o modelo binomial de precificação
de opções no capítulo 20.
Exemplo E4.1 – Admita que o preço de uma ação siga um caminho aleató-
rio em que haja 50% de probabilidade de ocorrer alta e 50% de probabilidade de
ocorrer baixa a cada período, conforme mostrado a seguir:
• probabilidade de 50% de ocorrer alta de 20% em taxa logarítmica;
• probabilidade de 50% de ocorrer queda de 20% em taxa logarítmica.
Calcule a função de probabilidade do retorno em taxa logarítmica e a função
de probabilidade do retorno em taxa efetiva após decorridos 6 períodos e faça a sua
representação gráfica.
Respostas:
Deixaremos que o leitor efetue os cálculos. Os retornos logarítmicos e efeti-
vos com suas respectivas probabilidades de ocorrência são os seguintes:
Retornos Retornos Probabilidades
Logarítmicos Efetivos
120,00% 232,01% 1,56%
80,00% 122,55% 9,38%
40,00% 49,18% 23,44%
0,00% 0,00% 31,25%
-40,00% -32,97% 23,44%
-80,00% -55,07% 9,38%
-120,00% -69,88% 1,56%

As funções de probabilidade podem ser representadas nos gráficos a seguir:
À medida que se aumenta o número de períodos, a função de probabilidade
do retorno logarítmico tende para uma fdp normal e a função de probabilidade do
fator de retorno efetivo 1 + R (e do preço) tende para uma fdp lognormal. As fdp
normal e lognormal serão estudadas nas seções E4.2.3 e E4.2.4, a seguir.
E4.2 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONTÍNUAS
E4.2.1 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE UNIFORME
Uma Função Densidade de Probabilidade Uniforme possui imagem constante.
Ex. E4.1 Distribuição de Probabilidades de Retornos Medidos em Taxas Logarítmicas
Ex. E4.1 Distribuição de Probabilidades de Retornos Medidos em Taxas Efetivas
1,56%
9,38%
23,44%
31,25%
23,44%
9,38%
1,56%
-100% -50% +0% +50% +100% +150% +200% +250%
Taxas de Retorno Efetivas
Probabilidades
1,56%
9,38%
23,44%
31,25%
23,44%
9,38%
1,56%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
-120% -80% -40% +0% +40% +80% +120%
Taxas de Retornos Logarítm icas
Probabilidades

Seja X uma variável aleatória contínua, podendo assumir qualquer valor em
um intervalo [xa
; xb
]. Se a probabilidade de ocorrer um valor em um intervalo de
tamanho L ∈ [xa
; xb
] é a mesma para qualquer outro intervalo do mesmo tamanho
que pertença a [xa
; xb
], então X será uniformemente distribuída.
A função densidade de probabilidade uniforme pode ser representada pela
expressão a seguir:
f (x) = 1/(xb -
xa
) para xa
≤ x ≤ xb
= 0 para qualquer outro valor de x.
Graficamente, a fdp uniforme pode ser representada da seguinte forma:
É fácil demonstrar que:
E4.2.2 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE TRIANGULAR
UmaFunçãoDensidadedeProbabilidadeTriangularapresentaoformatotriangular.
Seja X uma variável aleatória contínua, podendo assumir qualquer valor em
um intervalo [xa
; xb
]. Uma função densidade de probabilidade será triangular
quando for definida pela expressão a seguir:
f (x)= 2/(xb -
xa
)/(xv -
xa
) . (x - xa
) para xa
≤ x ≤ xv
= 2/(xb -
xa
)-2/(xb -
xa
)/(xb -
xv
) . (x - xv
) para xv
< x ≤ xb
onde:
xv
= argumento em que a fdp possui o maior valor, ou seja, é a moda da fdp.
>> 23 E [x] =
xa
+ xb
2
0 xa
x
f (x)
xb
1
xa
- xb

A fdp triangular possui o formato semelhante ao mostrado no gráfico a seguir:
Se o triângulo for isósceles, ou seja, se xv
estiver eqüidistante de xa
e de xb
, é
fácil demonstrar que:
E [x] = xv
=
xa
+ xb
2
Exemplo E4.2 – Admita a situação de banda cambial do país mencionado
no exemplo E1.4. Considere que haja uma fdp triangular simétrica para o intervalo
de cotações possíveis, que vai de 2,80 até 3,00. Neste caso, como a fdp é simétri-
ca, o xV
será igual ao ponto médio da fdp, que é igual a 2,90. Mostre qual a fdp
associada a essa variável aleatória e calcule a probabilidade de a cotação da moeda
estar situada entre 2,84 e 2,88.
Respostas:
A fdp pode ser representada pela expressão a seguir:
f (x) = 2/(3 - 2,80)/(2,90 - 2,80) . (x - 2,80) para 2,80 ≤ x ≤2,90
= 2/(3 - 2,80) - 2/(3-2,80)/(3-2,90) . (x -2,90) para 2,90 < x ≤ 3
= 0 para qualquer outro
valor de x
ou
f (x) = 100 . (x - 2,80) para 2,80 ≤ x ≤ 2,90
= 10 - 100 . (x -2,90) para 2,90 < x ≤ 3
A probabilidade de a cotação da moeda estar situada entre 2,84 e 2,88 será
igual à área da fdp entre os argumentos 2,84 e 2,88, ou seja:
0 xa
x
f (x)
xb
2
xb
- xa
xv

>> 24
Graficamente, a fdp pode ser representada da forma a seguir:
onde:
x = cotação da moeda.
E4.2.3 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE NORMAL
(OU DISTRIBUIÇÃO DE GAUSS)
Esta função densidade de probabilidade será bastante utilizada ao longo do
livro e é de grande importância para o estudo de mercados derivativos, de Finanças
e de diversas outras áreas, devido às constatações de que:
• aproxima-se das distribuições de probabilidade observadas dos retornos,
medidos em taxas logarítmicas, de diversas variáveis, como, por exemplo, ações,
taxas de câmbio e commodities. Também representa boa aproximação para as pro-
babilidades de ocorrência de diversos fenômenos da natureza;
• pelo teorema do limite central (a ser estudado na seção E6.8), quando uma
função de variável aleatória resulta da soma de n variáveis aleatórias independentes
e identicamente distribuídas (quaisquer que sejam os formatos das suas distribuições
de probabilidade) e n → ∞, esta função de variável aleatória (n-dimensional) terá
distribuição de probabilidade tendendo à normal;
0 2,80 x
f (x)
3,00
10
2,84 2,88 2,90
24%
∫ 100 . x - 280 dx = 100 .
= 100 .
2,88
2,84
x2
2
- 280 . x =
2,88
2,84
2,882
2
- 280 . 2,88 - 100 .
2,842
2
- 280 . 2,84 = 0,24 = 24%( )

Variável Aleatória X
Probabilidade
1
σ . 2.∏
f (x) = . e
-1/2 . ((x-μ)/σ)2
para todo - ∞ < x < + ∞
• em decorrência do teorema do limite central, a distribuição normal serve
como aproximação de distribuições importantes, como, por exemplo, a distribui-
ção binomial, quando é considerado um grande número de repetições;
• em decorrência do teorema do limite central, as distribuições das médias e
das proporções em grandes amostras tendem a ser normalmente distribuídas.
A Variável Aleatória Contínua X será normalmente distribuída se
possuir a Função Densidade de Probabilidade a seguir:
onde μ e σ são a média e o desvio padrão da variável aleatória,
respectivamente.
A fdp normal apresenta o formato de um sino, como pode ser observado no
gráfico a seguir:
A análise da função densidade de probabilidade permite concluir que uma
distribuição normal:
• é simétrica em relação à média (que será igual à mediana e à moda);
• apresenta freqüência máxima em x = μ (a moda é igual a μ);
Gráfico E4.4 Função Densidade de Probabilidade Normal
+ ∞− ∞

• apresenta pontos de inflexão em x’ = μ - σ e x’’ = μ + σ;
• apresenta domínio de - ∞ até + ∞;
• tende a zero quando x → - ∞ e quando x → + ∞.
Ao efetuar a integral da função, ou consultando-se uma tabela de distribui-
ção normal, ou utilizando-se uma planilha eletrônica, observa-se que a área sob a
curva normal (a integral da curva normal) para os intervalos especificados na colu-
na da esquerda, a seguir, apresenta os valores mostrados na coluna da direita:
[(μ - σ) ; (μ + σ)] = 68,29% da área total (que é igual a um)
[(μ - 2 . σ) ; (μ + 2 . σ)] = 95,43% da área total (que é igual a um)
[(μ - 3 . σ) ; (μ + 3 . σ)] = 99,73% da área total (que é igual a um)
E4.2.3.1 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE NORMAL PADRONIZADA
E CÁLCULO DA PROBABILIDADE DE INTERVALOS
O cálculo da probabilidade de ocorrência de um valor pertencente a um
dado intervalo de uma fdp pode ser feito, integrando-se a fdp nesse intervalo.
No caso da fdp normal, esse cálculo é trabalhoso devido à complexidade da
fórmula. Alternativamente, utilizam-se tabelas, que facilitam o cálculo, ou fun-
ção estatística de aplicativos de computador, como, por exemplo, a função
DIST.NORM(x) do aplicativo Excel.
A construção das tabelas está baseada na padronização das fdp normais.
A fdp normal padronizada possui média μ = 0 e desvio padrão σ = 1. Para
transformar-se uma fdp normal em uma fdp normal padronizada, deve-se pro-
ceder a uma mudança de variável. A variável aleatória X deve ser alterada para a
variável aleatória Z. Os possíveis resultados z da VA Z são obtidos pela seguinte
transformação linear:
>> 26
Portanto:
E (z) = 0
σ z
= 1
A VA Z pode ser vista como uma função linear da VA X. Por exemplo,
>> 26
z =
x - μx
σx

se x tiver média 10 e desvio padrão 2 (utiliza-se a simbologia N ~ (10,2)),
z terá média 0 e desvio padrão 1 (N ~ (0,1)). Graficamente, pode-se perceber
a seguinte relação entre x e z:
A transformação linear altera a média e o desvio padrão da variável aleatória X
para a média e o desvio padrão da variável aleatória Z, mas mantém a fdp de z como
uma fdp normal, que, neste caso, será a fdp normal padronizada N ~ (0,1).
As tabelas que disponibilizam a área sob a fdp normal padronizada geralmente
apresentam os valores entre z = 0 e qualquer valor positivo de z. Como a curva é
simétrica em torno de z = 0, torna-se possível obter-se a área entre quaisquer valores
de z. No aplicativo Excel, o valor de z é obtido na função estatística DIST.NORMP(z),
que retorna o valor correspondente à área sob a fdp normal padronizada de - ∞ até z.
E4.2.4 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE LOGNORMAL
Seja Y uma variável aleatória que possui função densidade de
probabilidade normal com média μ e desvio padrão σ. A variável
aleatória X = eY
apresentará função densidade de probabilidade
lognormal e será representada pela expressão a seguir:
Como e (base dos logaritmos neperianos, que possui valor aproximado de
2,718)elevadoaqualquervalorresultasempreemnúmeropositivo,umafdplognormal
0 x
z
μx
=10
θ tg θ = 1/σx
= 1/2
1
x . σ . 2.∏
- 1
2 . σ2
. e
. (ln x - μ)2
para x > 0f(x)=

admite apenas valores positivos (conforme vimos na seção anterior, uma fdp normal
admite valores positivos e negativos pertencentes ao conjunto dos números reais).
A fdp lognormal apresenta cauda à direita, como pode ser observado no
gráfico a seguir:
GGG13 Gráfico E4.5
+ ∞
Como uma fdp lognormal X é definida a partir dos parâmetros de uma fdp
normal Y, a média e a variância da fdp lognormal são definidas a partir da média e
da variância da fdp normal, conforme mostrado pelas expressões a seguir:
>> 28
É de grande importância observar que, quando a variável aleatória Y
(normal) apresentar μ = 0, a variável aleatória X (lognormal) apresentará
valor esperado positivo igual a eσ2/2
.
Esta observação é de fundamental importância para o desenvolvimento dos
modelos de precificação de opções, binomial e de Black&Scholes, e para a precificação
por meio da metodologia de Simulação Monte Carlo (os modelos citados encon-
tram-se nos capítulos 20 a 26) e, também, para o cálculo do Value at Risk a partir
das metodologias analítica e da Simulação Monte Carlo (capítulos 11, 12, 29 e 30).
Também é possível definir os parâmetros da distribuição normal a partir da
distribuição lognormal:
E4.5 Função Densidade de Probabilidade Lognormal
0 Variável Aleatória X +
Probabilidades
Gráfico E4.5 Função Densidade de Probabilidade Lognormal
σ2
x
= e . e - 1
E [x] = e
(μ +
σ
2
)
(μ +
σ
2
)
( )2
2
2
σ
2
0 +

( )μ = Ln
E[x]
σ2
= Ln
σx
2
+ E[x]2
A distribuição lognormal é bastante utilizada para o ajustamento da variável
preço de ativos negociados no mercado financeiro, como, por exemplo, o preço das
ações, a cotação de moedas e o preço de commodities. Como se sabe, os preços dos
ativos não pode cair abaixo de zero, e a probabilidade de que seus preços atinjam
valores muito altos ou próximos a zero é bastante reduzida. Como se pode observar
no gráfico E4.5, essas características são coerentes com a fdp lognormal.
O modelo de precificação de opções de Black&Scholes, que propiciou o
prêmio Nobel de Economia de 1997 aos pesquisadores Scholes e Merton, e que será
estudado do capítulo 22 ao 25, parte da premissa de que a fdp dos preços dos ativos
é lognormal.
A aceitação de que a variável aleatória preço de um ativo tenha
função densidade de probabilidade lognormal implica a aceitação de
que o retorno do ativo medido em taxas logarítmicas tenha função
densidade de probabilidade normal.
A relação entre o preço de um ativo lognormalmente distribuído e o seu
retorno, medido em taxas logarítmicas, normalmente distribuído, será explorada
em diversas partes do livro.
σx
2
+ E[x]2
E[x]2( )

E5 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS
E5.1 DEFINIÇÃO
Uma Variável Aleatória Bidimensional é um conjunto de duas
Funções Matemáticas que associa um par ordenado de números reais a
cada resultado aleatório possível de ocorrer em um experimento
aleatório. Portanto os possíveis pares ordenados de números reais
ocorrerão de forma aleatória.
Considere um experimento aleatório cujos possíveis resultados sejam repre-
sentados pelo conjunto S (espaço amostral). Sejam duas variáveis aleatórias, X1
e
X2
, sendo que cada uma associa um número real a cada elemento de S. Por exem-
plo, se s ∈ S, haverá um número real x1
, que é função de s (x1
(s)), e um número
real x2
(s)). O par (X1
,X2
) é denominado variável aleatória
bidimensional.
onde:
S =domínio da VA X1
, da VA X2
e da VA bidimensional (X1
,X2
)
(conjunto de argumentos das funções). Os argumentos ocorrerão
de forma aleatória;
Sx1
=contradomínio (conjunto dos resultados) da VA X1
;
Sx2
=contradomínio (conjunto dos resultados) da VA X2
;
Sx1
.Sx2
= contradomínio (conjunto dos pares ordenados de números reais
possíveis de ocorrer) da VA bidimensional (X1
,X2
).
S VA Bidimensional (X1
X2
)
VA X1
VA X2
s
Sx1
x1
= x1
(s)
Sx2
x2
= x2
(s)
Figura E5.1 Variável Aleatória Bidimensional

Observe que o contradomínio da VA bidimensional (X1
,X2
), ou seja, o con-
junto de pares ordenados possíveis de serem obtidos, tem que ser representado em um
plano bidimensional. Os resultados aleatórios da variável aleatória bidimensional
(x1
,x2
) representam seqüências ordenadas (de segunda ordem) de números reais e,
por isto, esses resultados aleatórios também são conhecidos como vetores5
aleatórios.
E5.2 FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL
Uma Função de Variável Aleatória Bidimensional é uma Função
Matemática que associa apenas um número real a cada resultado da
variável aleatória bidimensional (par ordenado de números reais).
Seja Z uma função que associa um número a cada resultado da variável
aleatória bidimensional (X1
,X2
). Portanto, para cada par ordenado aleatório de
números reais (x1
,x2
), haverá um número z, que é função do resultado aleatório
(x1
,x2
), ou seja, z = z (x1
,x2
). Como uma variável aleatória é função de um expe-
rimento aleatório, uma função de variável aleatória bidimensional é, na verdade,
uma função de duas funções. Dessa forma, Z = Z (X1
(s),X2
(s)) também é função
do experimento aleatório.
DDD 6 Figura E5.2
onde:
S = domínio da VA X1
, da VA X2
e da VA bidimensional (X1
,X2
). Os
argumentos ocorrerão de forma aleatória;
DDD 06
S
função de
VA Bidimensional
Z=Z (X1
, X2
)VA X1
VA X2
s
S x1
x1
= x1
(s)
x2
= x2
(s)
S x2 z= z (x1
, x2
)
5 Um vetor é uma seqüência ordenada de números ou de variáveis. Também se pode
definir vetor como um ponto do espaço vetorial de ordem n. Por exemplo, a seqüência
ordenada de números [-1,5 , 4] é um ponto do espaço vetorial ℜ2
, assim como a
seqüência ordenada [1, -3 , 4 , 5,32] é um ponto do espaço vetorial ℜ4
.
Figura E5.2
Figura E5.2 Função de Variável Aleatória Bidimensional
S z

Sx1
= contradomínio da VA X1
;
Sx2
= contradomínio da VA X2
;
Sz = contradomínio da função de variável aleatória bidimensional Z.
Por exemplo, se o administrador de um fundo aplicou recursos dos cotistas,
comprando 50 ações da empresa A cujo preço inicial é de R$ 2 e 80 ações da
empresa B cujo preço inicial é de R$ 1, o patrimônio líquido inicial (PLt+0
) do
fundo é igual à soma do valor de mercado das ações A e das ações B, portanto
PLt+0
= R$ 100 + R$ 80 = R$ 180. Como os volumes financeiros da ação A
(VA
) e da ação B (VB
) após decorrido um período temporal são iguais aos seus
volumes iniciais acrescidos de seus retornos efetivos e estes retornos decorrem do
experimento aleatório negociação das ações A e B em pregão, o PL pode ser visto
como uma função (linear) da variável aleatória bidimensional (RA
,RB
), onde RA
representa o retorno aleatório efetivo da ação A e RB
representa o retorno aleató-
rio efetivo da ação B.
A figura a seguir representa as relações de causa e efeito da variável
aleatória bidimensional (RA
,RB
) com a função de variável aleatória
bidimensional PL.
DDD 7 Figura E5.3
Neste exemplo, como os retornos efetivos das ações não podem ser inferi-
ores a -100%, os preços das ações não podem ser negativos e o Spl (conjunto de
valores que o patrimônio líquido poderá atingir após a realização do pregão) não
apresenta valores negativos.
Em contrapartida, o exemplo E5.1, a ser apresentado na seção E5.7, ilus-
trará a situação de uma instituição que, por alavancar recursos de terceiros, apre-
sentará a possibilidade de ter o patrimônio líquido negativo.
DDD 07
S
função de
VA Bidimensional
PL=PL (RA
,RB
)
VA RA
VA RB
s
S RA
RA
= RA
(s)
R2
= R2
(s)
S RB
pl=pl (RA
,RB
)
= R$ 100 . RA
+80 . RB
+ plt+0
S pl
Figura E5.3 Função de Variável Aleatória Bidimensional
Retornos Efetivos das Variáveis Aleatórias A e B

E5.3 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE CONJUNTA DE VARIÁVEL ALEATÓRIA
BIDIMENSIONAL
Uma Função de Probabilidade Conjunta de Variável Aleatória
Bidimensional é uma Função Matemática que associa uma
probabilidade de ocorrência a cada possível resultado (par ordenado
de números reais) de uma variável aleatória bidimensional discreta.
Seja (X1
,X2
) uma variável aleatória bidimensional discreta. Seja P uma fun-
ção que associa a cada possível resultado (par ordenado de números reais) de (X1
,X2
),
que chamaremos de (x1
,x2j
), um número p(x1i
,x2j
) que seja igual à probabilidade
de que (X1
,X2
) seja igual a (x1
,x2j
). A função P é denominada função de probabili-
dade conjunta da variável aleatória bidimensional (X1
,X2
). A probabilidade de que
(X1
,X2
) seja igual a (x1
,x2j
) é representada pela simbologia P(X1
= x1
, X2
=x2j
) e é
igual ao número p(x1i
,x2j
).
Os números p(x1i
,x2j
>> 29
onde t1
e t2
são os números de elementos dos contradomínios de X1
e de X2
respectivamente.
A figura a seguir ilustra uma função de probabilidade conjunta:
DDD 8 Figura E5.4
A função de probabilidade conjunta de uma variável aleatória bidimensional
tem que ser expressa em um gráfico tridimensional, como o seguinte, que se refere
ao lançamento conjunto de duas moedas e de um dado:
DDD 08
P
Função de
ProbabilidadeConjunta
da VA Bidimensional
(X1
,X2
)
S x1
x1
= x1
(s)
x2
= x2
(s)
S x2
p=p (x1
,x2
)
S p
VABidimensional
(X1
,X2
)S
VA X
VA Y
s
>> 29 p(x1i
,x2j
) ≥ 0 para todo (x1i
,x2j
) ∈ ℜ2
Σ Σ p(x1i
,x2j
) = 1
j=1 i=1
t 1 t 2
Figura E5.4 Função de Probabilidade Conjunta de Variável Aleatória Bidimensional

GGG14 Gráfico E5.1
E5.4 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA DE VARIÁVEL
ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL
UmaFunçãoDensidadedeProbabilidadeConjuntadeVariávelAleatória
BidimensionaléumaFunçãoMatemáticaqueassociaàsáreasdospossíveis
resultados da Variável Aleatória contínua (conjuntos de pares ordenados)
um número p, de modo que p seja igual à probabilidade de o resultado da
Variável Aleatória pertencer às áreas especificadas (subconjuntos de ℜ2
).
Seja uma variável aleatória bidimensional contínua (X1
,X2
). Sejam [x1a
,x1b
]
e [x2c
,x2d
] dois intervalos de valores de X1
e X2
, respectivamente. A função densi-
dade de probabilidade conjunta dessa variável será a função f que associar à área
[x1a
,x1b
] . [x2c
,x2d
] a probabilidade de que os possíveis valores de (X1
,X2
) per-
tençam simultaneamente ao intervalo [x1a
,x1b
] e ao intervalo [x2c
,x2d
], ou seja,
pertençam à área [x1a
,x1b
] . [x2c
,x2d
].
A função f deve satisfazer às seguintes condições:
1
2
3 S1
S2
S3
S4
S5
S6
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
ProbabilidadedeOcorrênciadosParesOrdenados
Nº de Coroas
Face de um Dado
E5.1 Função de Probabilidade Conjunta
Gráfico E5.1 Função de Probabilidade Conjunta de VA Bidimensional Discreta

f (x1
,x2
) ≥ 0 para todo (x1
, x2
) ∈ ℜ2
Note que o contradomínio de X1
(Sx1
) poderá conter um limite inferior li e um
limite superior ls em que lix1
e lsx1
sejam constantes e o contradomínio de X2
(Sx2
)
poderá conter um limite inferior li e um limite superior ls em que lix2
e lsx2
sejam
constantes.Nestecaso,semprejuízodascondiçõesmencionadas,poderemosafirmarque:
>> 31
Para calcularmos a probabilidade de ocorrência de valores situados si-
multaneamente no intervalo [x1a
, x2b
] (P (x1a
< x1
< x2b
)) e no intervalo
[x2c
, x2d
] (P (x2c
< x2
< x2d
)), deve-se resolver a integral dupla a seguir:
>> 32
A função densidade de probabilidade conjunta tem que ser expressa em um
gráfico tridimensional.
Por exemplo, a função densidade de probabilidade conjunta de uma variável
aleatória bidimensional (X1
,X2
) quando as variáveis aleatórias unidimensionais X1
e X2
são independentes e normalmente distribuídas tem um formato semelhante ao seguinte:
GGG15 Gráfico E5.2
+∞
∫ ∫ f(x1
, x2
) dx1
dx2
= 1
+∞
-∞
>> 31
∫ ∫ f(x1
, x2
) dx1
dx2
= 1
l s x 1 lsx2
lix1 lix2
>> 32
∫ ∫ f(x1
, x2
) dx1
dx2
x 1 b x 2 d
x1a x2c
-∞
Variável Aleatória Normal Bidimensional
1
4
7
10
13
16
19
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16
S17 S18
S19
S20
S21
0,000%
0,001%
0,002%
0,003%
0,004%
0,005%
0,006%
0,007%
0,008%
0,009%
0,010%
ProbabilidadesConjuntas
Variável Aleatória X1 Normalmente Distribuída VA
X 2
Normalmente
Distribuída

1
4
7
10
13
16
19
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17 S18 S19 S20 S21
0,0%
0,5%
1,0%
1,5%
2,0%
2,5%
3,0%
3,5%
ProbabilidadesConjuntas
Outro exemplo de função densidade de probabilidade conjunta de uma
variável aleatória bidimensional (X1
,X2
) quando as variáveis aleatórias
unidimensionais X1
e X2
são independentes e lognormalmente distribuídas pode
ser observado no gráfico a seguir:
GG16 Gráfico E5.3
E5.5 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE UMA FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA
BIDIMENSIONAL
Uma Função de Probabilidade de uma Função de Variável Aleatória
Bidimensional discreta associa uma probabilidade de ocorrência a cada
possível resultado da Função de Variável Aleatória Bidimensional
(número real).
Seja P uma função que associa a cada resultado (número real) de uma função
Z de variável aleatória bidimensional discreta (X1
,X2
) um número p, de modo que
p seja igual à probabilidade de um resultado aleatório de Z ser igual a z. A função P
é a função de probabilidade da função Z de variável aleatória bidimensional (X1
,X2
).
A figura a seguir ilustra as relações entre as funções mencionadas:
Variável Aleatória X1 Lognormalmente Distribuída
VAX
2LognormalmenteDistribuída
Variável Aleatória Lognormal Bidimensional

Se a variável aleatória bidimensional (X1
,X2
) for contínua, a função densidade
de probabilidade da função de variável aleatória Z associará aos intervalos dos possíveis
resultados de Z (intervalos de números reais) um número p, de modo que p seja igual à
probabilidade de um resultado aleatório de Z pertencer aos intervalos especificados.
5.6 DISTRIBUIÇÕES MARGINAIS
Sabemos que uma variável aleatória bidimensional (X1
,X2
) corresponde à
associação de duas variáveis aleatórias unidimensionais, X1
e X2
, conforme mostra-
do na figura E5.1. A fim de obtermos as distribuições de probabilidade de X1
e de
X2
separadamente, deveremos trabalhar com as distribuições de probabilidade mar-
ginais de X1
e de X2
.
>> 33 (E5.1a)
(E5.1b)
>> 34 (E5.2a)
>> 33 p(x1i
) = p(X1
=x1i
) = Σ p (x1i;
x2j
) = 1 para todo x2j
∈ Sx2
q(x2j
) = p(X2
=x2j
) = Σ p (x1i;
x2j
) = 1 para todo x1i
∈ Sx1
t 2
j=1
t 1
i=1
>> 34
g(x1
) = ∫ f (x1;
x2
) dx2
+∞
-∞
S Sx1
Sx2
Sz
z = z (x1
, x2
)
VA (X1
X2
)
VA X1
VA X2
Função de
da VA Bidimensional
(X1
,X2
)
Função de
Probabilidade
P=P(z)
p=p(z)
x1
= x1
(s)
x2
= x2
(s)
s
Figura E5.5 Função de Probabilidade Função de VA Bidimensional

(E5.2b)
É importante ressaltar que o conhecimento de uma distribuição de probabili-
dade conjunta de uma variável aleatória bidimensional (X1;
X2
), discreta ou contí-
nua, permite que sejam determinadas as distribuições marginais de X1
e de X2
.
Entretanto o conhecimento das distribuições marginais não permite, em geral, a
determinação da distribuição de probabilidade conjunta de (X1,
X2
). Isso será possí-
vel quando X1
e X2
forem independentes.
Também é de fundamental importância ressaltar que o conhecimento
das distribuições de probabilidade marginais não permite, em geral, a
determinação da distribuição de probabilidade P da função Z de variável
aleatória bidimensional (X1,
X2
). Desse modo, o conhecimento das
distribuições de probabilidade de RA
e de RB
ilustradas na figura E5.5 não
permite, em geral, determinar a distribuição de probabilidade do PL.
Conforme estudaremos nos capítulos 11 e 12, a metodologia da Simulação
Monte Carlo permite estimar a distribuição de probabilidade do PL, a partir do
conhecimento das distribuições de probabilidade das variáveis aleatórias
unidimensionais.
E5.7 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES
Sejam duas variáveis aleatórias discretas, X1
e X2
. Se os eventos X1
=x1
e X2
=x2
são independentes entre si para todo x1
e x2
, então X1
e X2
serão ditas variáveis aleató-
rias independentes. Quando duas variáveis aleatórias são independentes entre si, a pro-
babilidade de determinado par ordenado ocorrer é igual ao produto das probabilidades
de ocorrência de cada valor isoladamente, conforme mostrado na expressão a seguir:
P (X1
=x1
, X2
=x2
) = P (X1
=x1
) . P (X2
=x2
) (E5.3a)
Quando duas variáveis aleatórias contínuas são independentes entre si, a pro-
babilidade de determinado resultado (x1i
,x2j
) pertencer à área [x1a
,x1b
] . [x2c
,x2d
]
é igual ao produto das probabilidades de x1i
pertencer ao intervalo [x1a
,x1b
] e de x2j
pertencer ao intervalo [x2c
, x2d
], conforme mostrado na expressão seguinte:
P (x1i
∈ [x1a
,x1b
], x2j
∈ [x2c
,x2d
]) = P(x1i
∈ [x1a
,x1b
]) . P (x2j
∈ [x2c
,x2d
]) (E5.3b)
>> 34
h(x2
) = ∫ f (x1;
x2
) dx1
+∞
-∞

A seguir, apresentaremos um exemplo que possibilitará a utilização dos con-
ceitos estudados até este ponto para calcular o Value at Risk de um banco que capta
recursos de terceiros.
Exemplo E5.1 – Admita que o patrimônio líquido de um banco seja uma
função da variável aleatória bidimensional (RA
,RB
), sendo RA
a variável aleatória
retorno efetivo da ação A e RB
a variável aleatória retorno efetivo da ação B.
Considere que o banco possua 5 unidades da ação A em seu ativo e que tenha
uma unidade da ação B no seu passivo (possua dívida indexada ao preço da
ação B). No instante inicial o preço de mercado da ação A era de R$ 1 e o preço
de mercado da ação B era de R$ 4. O banco possui também um ativo permanen-
te de R$ 3, cujo valor permanece constante ao longo do tempo. Portanto o
patrimônio líquido deverá apresentar o valor inicial de R$ 4.
O balanço do banco no instante inicial t+0 pode ser representado da forma
a seguir:
Ativo Passivo
Ativo Circulante Passivo Circulante
5 . PA
= R$ 5 1 . PB
= R$ 4
Ativo Permanente Patrimônio Líquido
R$ 3 R$ 4
O patrimônio líquido do banco pode ser representado pela seguinte função
linear de variável aleatória bidimensional:
PL = f (RA
,RB
) = VA
. RA
+ VB
. RB
+ PL t+0
= R$ 5 . RA
- R$ 4 . RB
+ R$ 4
Considere que as variáveis aleatórias dos retornos efetivos, RA
e RB
, sejam
independentes entre si. Desse modo, o valor do ativo e o valor do passivo serão
números aleatórios e independentes entre si, sendo o valor do PL após decorrido um
período (no instante t+1) a diferença entre os valores do ativo e do passivo.
Com o objetivo de possibilitar a percepção dos resultados de forma intuitiva,
vamos admitir que as variáveis aleatórias RA
e RB
tenham funções de probabilidade
bastante simples, como mostramos a seguir:

Funções de Probabilidade das VA
P (RA
= -100%) = 1/4 P (RB
= -75%) = 1/6
P (RA
= 0%) = 1/2 P (RB
= -50%) = 1/6
P (RA
= +100%) = 1/4 P (RB
= -25%) = 1/6
P (RB
= 0%) = 1/6
P (RB
= +25%) = 1/6
P (RB
= +50%) = 1/6
Perguntas:
a) qual a função de probabilidade conjunta da VA bidimensional (RA
, RB
)?
b) qual a probabilidade de RA
ser igual a 0% e de RB
ser igual a - 50%,
simultaneamente (P (RA
= 0% , RB
= -50%))?
c) qual a função de probabilidade do PL (que, neste exemplo, é uma função
linear de variável aleatória bidimensional)?
d) qual a probabilidade de o PL ser igual a +R$ 7 (P (plt+1
= +R$ 7))?
e) qual o PL crítico, a partir do qual há 2/24 de probabilidade de ocorrerem
os menores valores do PL e, conseqüentemente, acima do qual há 22/24 de ocorre-
rem os maiores valores do PL?
Respostas:
a) A tabela a seguir mostra a função de probabilidade conjunta (RA
, RB
), ou
seja, a probabilidade de ocorrência de cada par ordenado (RA
, RB
):
A função de probabilidade conjunta está representada no gráfico E5.1, da
seção E5.3.
b) Conforme se pode observar na função de probabilidade conjunta (RA
, RB
),
P (RA
= 0%; RB
= -50%) = 2/24.
RA
RB
- 100%
0%
+100%
TOTAIS f2
(RB
)
-75%
1/24
2/24
1/24
4/24
-50%
1/24
2/24
1/24
4/24
-25%
1/24
2/24
1/24
4/24
0%
1/24
2/24
1/24
4/24
+25%
1/24
2/24
1/24
4/24
+50%
1/24
2/24
1/24
4/24
TOTAIS f1
(RA
)
6/24
12/24
6/24
1

c) A tabela a seguir representa a função de variável aleatória do PL e mostra
os seus valores, que são decorrentes dos pares ordenados (RA
, RB
):
A função de probabilidade do PL será a seguinte:
A função de probabilidade da função de variável aleatória bidimensional do
PL pode ser representada no gráfico a seguir:
PL t+1
Possíveis
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Probabilidades
de Ocorrência
1/24
1/24
1/24
1/24
1/24
3/24
2/24
2/24
2/24
2/24
3/24
1/24
1/24
1/24
1/24
1/24
RA
RB
-100%
0%
+100%
-75%
+2
+7
+12
-50%
+1
+6
+11
-25%
0
+5
+10
0%
-1
+4
+9
+25%
-2
+3
+8
+50%
-3
+2
+7

Observe que a função de probabilidade da função de variável aleatória
bidimensional é unidimensional, ao passo que a função de probabilidade conjunta
da variável aleatória bidimensional é bidimensional.
É interessante notar que a combinação de uma função de probabilidade
unidimensional unimodal (função de probabilidade da VA RA
) e de outra amodal
(função de probabilidade da VA RB
) resultou em uma função de probabilidade bimodal
para a função de probabilidade da VA bidimensional (RA
,RB
).
Isto nos dá uma idéia de como pode ser difícil estimar funções de probabili-
dade para o PL quando conhecermos apenas as distribuições de probabilidade das
variáveis nas quais uma instituição mantenha posições. Geralmente não se conhece
as distribuições de probabilidade do PL, mas apenas as distribuições de probabilida-
de das variáveis que influenciam seu valor.
d) P (PL= + R$ 7) = P(RA
= 0%; RB
= -75%) + P(RA
= +100%; RB
= +50%)
= 2/24 + 1/24 = 3/24
Podemos observar que há duas combinações de valores do ativo e do passivo
(dois pares ordenados de retornos) que geram o mesmo PL6
.
e) O patrimônio líquido crítico em t+1 (PLc t+1
) que separa os 2/24 piores
resultados do PL dos demais resultados é o PL = - R$ 2. Como será visto adiante, a
diferença entre o PLt+0
(+R$ 4) e o PLc t+1
(-R$ 2) é igual ao Value at Risk do banco,
ao nível de significância de 2/24 (aproximadamente 8,33%). Há, portanto, 8,33%
de probabilidade de a perda ser igual ou maior do que R$ 4 - (-R$ 2) = R$ 6.
0 +4+2 PL em R$
f (PL)
+1
1/24
+5
2/24
3/24
+10+7-2 -1-3 +8 +9+6 +11+12
1/24
3/24
6 Como se sabe, dois argumentos de uma função podem ter a mesma imagem. A recípro-
ca não é verdadeira, ou seja, cada par ordenado gera um, e somente um, valor de PL.
Ex. E5.1 Função de Probabilidade Função de VA Bidimensional Discreta
+3

Retornaremos a este exemplo no capítulo 12 (exemplo 12.6 da sação 12.4.1),
quando, então, iremos comparar o cálculo do Value at Risk deste exemplo com os Value
at Risk obtidos de acordo com as metodologias analítica e da Simulação Monte Carlo.
E5.8 COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS
A covariância é uma medida que informa o quanto duas variáveis são associ-
adas. Esta é uma medida dimensional, ou seja, varia à proporção que variem as
unidades de medida das duas variáveis para as quais a covariância estiver sendo
calculada. Portanto a covariância pode assumir valores pertencentes ao conjunto dos
números reais (ou seja, pode assumir valores de -∞ até +∞).
• Para duas variáveis aleatórias discretas, a covariância é obtida pela fórmula
a seguir:
>> 36
(E5.4a)
(E5.4b)
• Para duas variáveis aleatórias contínuas, a covariância é obtida pela fórmu-
la a seguir:
>> 37
E5.9 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA E DO DESVIO PADRÃO
Seja t uma constante e X uma variável aleatória. Considere a função linear de
variável aleatória unidimensional Y = t . X. A variância e o desvio padrão de Y
podem ser obtidos a partir da variância e do desvio padrão da variável aleatória X,
conforme mostrado a seguir:
VAR [Y] = VAR (t . X) = t2 . VAR [X] (E5.5a)
σ Y = σ (t . X) =⏐ t ⏐ . σ X (E5.5b)
>> 36
+∞ +∞ +∞ +∞
j=1 i=1 j=1 i=1
COV (X1
,X2
) = σ X1
X2
= Σ Σ x1i
. x2j
. p(x1i
;x2j
) - Σ x1i
. p (x1i;
;x2j
) . Σ x2j
. p(x1i
;x2j
)
= E (X1
. X2
) - E (X1
) . E (X2
)
= E [(X1
- μx1
) . (X2
- μx2
)]
>> 37
COV (X1
,X2
) = σ X1
X2
= ∫ ∫ x1
.x2
. f(x1
;x2
) dx1
dx2
- ∫ x1
.f(x1
;x2
) dx2
.∫ x2
.f(x1
;x2
) dx1
= E (X1
. X2
) - E (X1
) . E (X2
)
= E [(X1
- μx1
) . (X2
- μx2
)]
+∞ +∞ +∞ +∞
-∞ -∞ -∞ -∞

E5.9.1 VARIÂNCIA DE UMA FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL
Sejam X1
e X2
duas variáveis aleatórias e a e b duas constantes. Considere a
função de variável aleatória bidimensional Y = X1
+ X2
. Pode-se afirmar que:
VAR (Y) = VAR (X1
+ X2
) = VAR [X1
] + VAR [X2
] + 2 . COV (X1
,X2
)
Se Y = X1
- X2
, então:
VAR (Y) = VAR (X1
- X2
) = VAR [X1
] + VAR [X2
] - 2 . COV (X1
,X2
)
Se Y = a . X1
+ b . X2
, então:
VAR(Y)=VAR (a . X1
+ b . X2
) = a2 . VAR [X1
] + b2 . VAR [X2
] + 2 . a . b . COV (X1
,X2
)
Se Y = a . X1
- b . X2
, então:
VAR(Y)=VAR (a . X1
- b . X2
) = a2 . VAR [X1
] + b2 . VAR [X2
] - 2 . a . b . COV (X1
,X2
)
Se X1
e X2
são variáveis aleatórias independentes entre si, então:
COV (X1
, X2
) = 0
Se Y = a . X1
+ b . X2
, então:
VAR(Y) = VAR (a . X1
+ b . X2
) = a2 . VAR [X1
] + b2 . VAR [X2
]
Se Y = a . X1
- b . X2
, então:
VAR(Y) = VAR (a . X1
- b . X2
) = a2 . VAR [X1
] + b2 . VAR [X2
]
Os desvios padrão das funções de variáveis aleatórias bidimensionais são
iguais às variâncias elevadas a ½.
E5.10 CORRELAÇÃO ENTRE DUAS VARIÁVEIS
De forma análoga à covariância, a correlação também é uma medida do
quanto duas variáveis aleatórias são associadas.
Diferentemente da covariância, a correlação é uma medida adimensional, ou
seja, não varia à proporção que variem as unidades de medida das duas variáveis
para as quais a correlação estiver sendo calculada.

O fato de a correlação ser adimensional favorece que ela seja bem mais
utilizada do que a covariância para medir a associação entre os ativos.
A correlação pode assumir valores pertencentes ao intervalo [-1 ,+1].
• Seja (X1
,X2
) uma variável aleatória bidimensional. O coeficiente de correla-
ção ρ entre X1
e X2
é definido como:
>> 41 (E5.7)
Da mesma forma que é necessário estimar as volatilidades futuras dos ativos
a partir das volatilidades passadas, também é indispensável que se estimem as corre-
lações futuras entre os ativos a partir de suas correlações passadas, para que se possa
calcular o risco de PLs que sejam influenciados por mais de uma variável.
Exemplo E5.2 – Considere que dois ativos, A e B, possuem os retornos
efetivos esperados e as volatilidades mostrados a seguir:
Ativo E [Retorno Efetivo] σσσσσ
anual anual
A 10% 18%
B 20% 22%
Se um aplicador decidir alocar 50% de seu capital em cada um dos ativos
apresentados, qual será a esperança de retorno e o risco, se os ativos tiverem corre-
lações iguais a ρ=1, ρ=0,2, ρ=0 e ρ= -1?
Respostas:
O retorno esperado de um conjunto de posições é igual à média dos retornos
de cada posição, ponderada pelas participações das posições em relação aos seus
valores iniciais.
Portanto, independentemente da correlação entre as variáveis, a esperança de
retorno do conjunto de posições (a esperança de retorno do PL) será:
E [Retorno do PL] = 0,5 . 10% + 0,5 . 20% = 15%
Para calcular o risco, devem-se aplicar as propriedades das variâncias e dos
desvios padrão das funções de variáveis aleatórias bidimensionais apresentadas
anteriormente:
>> 41
E (X1
. X2
) - E (X1
) . E (X2
)
σ X1
. σ X2
COV (X1
,X2
)
σ X1
. σ X2
=ρ =

σ PL = [0,52 . σ2
A
+ 0,52 . σ2
B
+ 2 . 0,5 . 0,5 σ AB
]1/2
= [0,52 . σ2
A
+ 0,52 . σ2
B
+ 2 . 0,5 . 0,5 ρ AB
. σA
. σB
]1/2
Para ρ = 1, o risco será igual a:
σ PL = [0,52 . 0,18 2
+ 0,52 . 0,222
+ 2 . 0,5 . 0,5 . 1 . 0,18 . 0,22] 1/2
= [0,0081 + 0,0121 + 0,0198] 1/2
= [0,04] 1/2
= 0,20 = 20%
Para ρ = 0,2, o risco será igual a:
σ PL = [0,52 . 0,182
+ 0,52 . 0,222
+ 2 . 0,5 . 0,5 . 0,2 . 0,18 . 0,22] 1/2
= [0,0081 + 0,0121 + 0,00396] 1/2
= [0,02416] 1/2
= 0,155435 = 15,5435%
Para ρ = 0, o risco será igual a:
σ PL = [0,52 . 0,182
+ 0,52 . 0,222
+ 2 . 0,5 . 0,5 . 0 . 0,18 . 0,22] 1/2
= [0,0081 + 0,0121 + 0] 1/2
= [0,0202] 1/2
= 0,142127 = 14,2127%
Para ρ = -1, o risco será igual a:
σ PL = [0,52 . 0,182
+ 0,52 . 0,222
+ 2 . 0,5 . 0,5 . -1 . 0,18 . 0,22]1/2
= [0,0081 + 0,0121 - 0,0198]1/2
= [0,0004]1/2
= 0,02 = 2,00%
Podemos observar que o risco do aplicador, que é igual à volatilidade do
patrimônio líquido de sua aplicação, reduz-se, à medida que se reduz a correlação
entre os ativos A e B.
A seguir, desenvolveremos um pouco mais o exemplo apresentado, a fim de
ilustrar a redução de risco obtida a partir da diversificação das aplicações.

A tabela a seguir mostra diversas combinações para as proporções dos ativos
A e B na composição do balanço, supondo ρ = 0,20.
Para obter a combinação dos ativos A e B que proporciona a menor variância
possível, quando se admite a possibilidade de ficar captado em um e aplicado no
outro, deve-se derivar a fórmula de variância do PL em relação à participação do
ativo A no PL (denominaremos essa proporção de x) e igualar a derivada a zero para
obter a condição de primeira ordem, conforme mostrado a seguir:
>> 44
Como a derivada parcial segunda é positiva, a condição de segunda ordem é
satisfeita e, conseqüentemente, ao igualar a derivada parcial primeira a zero, tere-
mos um ponto de mínimo8
, conforme mostramos a seguir:
7 Se houver alguma dúvida de que a derivada parcial segunda é positiva sugerimos confe-
rir novamente as propriedades de variância da seção E5.9.1, tendo em mente que a
variância de uma variável é sempre positiva. Se a variância for nula trata-se de uma cons-
tante.
8 Se a derivada parcial segunda fosse negativa, tratar-se-ia de um ponto de máximo.
Lembramos que há casos em que são necessários outros cálculos para saber se determina-
do ponto representa um máximo ou mínimo da função.
>> 44
A derivada parcial segunda seria igual a:
=
∂ VAR[x . A + (1-x) . B]
∂ x
∂ (x2 .VAR [A] + (1-x)2 .VAR [B] + 2 .x .(1-x) .COV(A,B))
∂ x
= 2 . x . (σ2
B + σ2
A - 2 . COV (A,B)) - 2 . σ2
B + 2 . COV (A,B)
∂2
VAR[x . A + (1-x) . B]
∂ x2
= 2 . (σ2
B + σ2
A - 2 . COV (A,B)) > 0 7
Balanço
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
Proporção
do Ativo A
2,00
1,50
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
-0,50
-1,00
Proporção
do Ativo B
-1,00
-0,50
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,50
2,00
Retorno
Esperado
0%
5%
10%
12%
14%
16%
18%
20%
25%
30%
Desvio
Padrão
38,25%
27,04%
18,00%
15,88%
15,23%
16,25%
18,66%
22,00%
32,42%
44,08%

>> 45 (E5.8)
Por exemplo, efetuando esse cálculo para o caso em que ρ = 0,2, obtém-se:
Conseqüentemente, ao aplicar 0,6232 no ativo A e 0,3768 (1 - 0,6232) no
ativo B, obtém-se a combinação de posições que proporciona a menor volatilidade
possível no PL. Com essas proporções, o risco e o retorno esperado do PL será:
σ PL=[0,62322 . 0,182
+ 0,37682 . 0,222
+ 2 . 0,6232 . 0,3768 . 0,2. 0,18 . 0,22]1/2
= [0,0126 + 0,0069 - 0,0037]1/2
= [0,02317]1/2
= 0,1522 = 15,22%
E [Retorno] = 0,6232 . 10% + 0,3768 . 20% = 13,77%
Os resultados da tabela podem ser visualizados no gráfico a seguir:
Do exemplo anterior, podemos depreender as seguintes conclusões:
x =
0,222
- 0,2 . 0,18 . 0,22
0,222
+ 0,182
- 2 . 0,2 . 0,18 . 0,22
>> 45
x =
σ2
B - COV (A , B)
σ2
B + σ2
A - 2 . COV (A , B)
σ
E[Retorno]
20,0%
13,77%
10,0%
0% 15,22% 18% 22%
B8
B7
B6
B5
B4
Bmín
..
.
..
.
.
B3
Ex. E5.1 Relação Entre Retorno Esperado e Risco de Diferentes Balaços
= 0,6232

•paraumaplicadoravessoaorisco,osbalançosB1
eB2
sãoineficientes,namedida
em que é possível obter balanços com mesmos riscos e maiores retornos esperados;
• para um aplicador avesso ao risco, balanços que possuam proporções aplicadas
no ativo B maiores do que aquela contida em Bmín (balanço com o menor desvio
padrão) serão eficientes, na medida em que não é possível obter balanços com maior
retorno esperado, para um dado nível de risco.
Exemplo E5.3 – Determine as proporções de A e de B que minimizam a
variância do retorno do aplicador do exemplo anterior, considerando que as corre-
lações entre os ativos sejam iguais a +1 ou -1. Calcule o risco (desvio padrão) e o
retorno esperado do aplicador, considerando as proporções encontradas.
Resposta - Se ρ = +1, a proporção a ser aplicada no ativo A deve ser igual a:
Conseqüentemente, devem-se aplicar 550% do PL no ativo A e - 450% do
PL no ativo B (devem-se captar 450% do PL no ativo B)9
.
A volatilidade do PL será igual a:
σ PL =[5,52 .0,182
+ (- 4,5)2 .0,222
+ 2 .5,5 .(- 4,5) .(+1) .0,18 .0,22]1/2
= [0,9801 + 0,9801 - 1,9602]1/2
= [0]1/2
O retorno esperado do PL será igual a:
E [Retorno] = 5,5 . 10% + (-4,5) . 20% = - 35,00%
Se ρ = -1, a proporção a ser aplicada no ativo A deve ser igual a:
>>50
Conseqüentemente, devem-se aplicar 55% do PL no ativo A e 45% do PL no
ativo B.
>> 50
0,222
- (-1) . 0,18 . 0,22
0,222
+ 0,182
- 2 . (-1) . 0,18 . 0,22
x = = 0,55
>> 48
0,222
- (+1) . 0,18 . 0,22
0,222
+ 0,182
- 2 . (+1) . 0,18 . 0,22
x = = 5,5
9 Os livros de Finanças, tradicionalmente, tratam a captação como posição Short Seller, ou
seja, posição vendida a descoberto no ativo B.

A volatilidade do PL será igual a:
σ PL = [5,52 . 0,182
+ 0,452 . 0,222
+ 2 . 0,55 . 0,45 . 0,2 . 0,18 . 0,22]1/2
= [0,0098 + 0,0098 - 0,0196]1/2
= [0]1/2
= 0 = 0%
O retorno esperado do PL será igual a:
E [Retorno] = 0,55 . 10% + 0,45 . 20% = +14,50%
É possível demonstrar que:
Sempre que dois ativos possuírem ρ = -1 ou ρ = +1, haverá
uma combinação entre ambos que proporciona volatilidade do PL
igual a zero. Conforme veremos ao longo do livro, ao adotar a
combinação de posições que torne a volatilidade da combinação
de posições nula, o administrador de risco estará efetuando hedge
de uma posição com a outra.
Podem-se visualizar os resultados obtidos, no gráfico abaixo:
σ
E [Retorno]
20,0%
14,5%
13,77%
10,0%
0 %
- 35,00%
18%
ρ = + 0,2
ρ = +1
ρ = -1
15,22% 22%
Ex. E5.3 Relação Entre Retorno Esperado e Risco Considerando-se Diferentes Correlações

A linha reta ilustra o caso em que dois ativos sejam perfeitamente
correlacionados (ρ = +1). Nesse caso não há o efeito diversificação, embora seja
possível montar hedges perfeitos ao combinar posições ativas e posições passivas
com os dois ativos. Por exemplo, considerando que o preço do dólar a termo tenha
correlação igual a +1 com o preço do dólar à vista, ao vender dólar a termo estar-se-
á efetuando hedge do dólar à vista que esteja no ativo.
O efeito diversificação pode ser percebido pela comparação da linha reta
com as curvas à sua esquerda (quando ρ = -1, a combinação de diferentes propor-
ções forma as retas mostradas no gráfico anterior).
Vale lembrar que nem sempre a curva possui pontos à esquerda do ativo que
tem menor variância, nas composições de posições em que haja aplicações em am-
bos os ativos. Isso dependerá do grau de correlação entre os ativos (por exemplo,
quando ρ = +1, isto não ocorre).

DDD 10
S
s
Sx1
x1
= x1
(s)
Sx2
x2
= x2
(s)
Sxn
xn
= xn
(s)
VA(X1
X2
,...,Xn
)
VA X1
. . .
VA X2
VA Xn
E6 Variáveis Aleatórias N-Dimensionais e o
Teorema do Limite Central
E6.1 DEFINIÇÃO
As variáveis aleatórias multidimensionais (ou multivariadas) de ordem n po-
dem ser definidas da seguinte forma:
Uma Variável Aleatória N-Dimensional é um conjunto de n Funções
Matemáticas que associa uma seqüência ordenada de n números reais
a cada resultado aleatório possível de ocorrer em um experimento
aleatório. Portanto as possíveis seqüências ordenadas de números reais
ocorrerão de forma aleatória.
Considere uma experiência aleatória cujos possíveis resultados sejam
representados pelo conjunto S (espaço amostral). Sejam n variáveis aleatórias
unidimensionais, X1
,X2
,...,Xn
, em que cada uma associa um número real a
cada elemento de S. Por exemplo, se s ∈ S, haverá um número x1
, que é
função de s (x1
(s)), um número x2
(s)),..., e um
número xn
, que é função de s (xn
(s)). A seqüência ordenada (X1
,X2
,...,Xn
)
é denominada variável aleatória n-dimensional. Os resultados aleatórios da
variável aleatória n-dimensional (x1
,x2
,...,xn
) representam seqüências orde-
nadas de números reais e, por isto, esses resultados aleatórios também são
conhecidos como vetores aleatórios (pontos do espaço vetorial ℜn
).
Figura E6.1Figura E6.1 Variável Aleatória N-Dimensional

onde:
, da VA X2
,..., da VA Xn
e da VA
(X1
,X2
,...,Xn
), ou seja, é o conjunto de argumentos das
funções. Os argumentos ocorrerão de forma aleatória;
Sxi
= contradomínio da VA Xi
, ou seja, é o conjunto de números
reais possíveis de serem obtidos pela variável aleatória Xi
;
(Sx1
,Sx2
,...,Sxn
)= contradomínio da variável aleatória n-dimensional, ou seja,
é o conjunto de vetores de números reais possíveis de serem
obtidos pela variável aleatória n-dimensional (X1
,X2
,...,Xn
).
E6.2 FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA N-DIMENSIONAL
Uma Função de Variável Aleatória N-Dimensional é uma Função
Matemática que associa apenas um número real a cada resultado da
variável aleatória n-dimensional (seqüência ordenada de números reais).
Seja Z uma função que associa um número real a cada resultado da variável
aleatória (X1
,X2
,...,Xn
). Portanto, para cada seqüência ordenada (x1
,x2
,...,xn
),
haverá um número z, que é função do resultado aleatório (x1
,x2
,...,xn
), ou seja,
z = z (x1
,x2
,...,xn
). Dessa forma, Z = Z (X1
(s),X2
(s),...,Xn
(s)) é uma função
de variável aleatória n-dimensional, na medida em que o seu resultado é função de
n variáveis aleatórias que dependem do resultado do experimento aleatório.
A figura a seguir representa uma função de variável aleatória n-dimensional.
DDD 11 Figura E6.2
DDD 11
S
s
Sx1
x1
= x1
(S)
Sx2
x2
= x2
(S)
Sxn
. . .
xn
= xn
(S)
z = z (x1
, x2
,..., xn
)
VA(X1
X2
,...,Xn
)
VA X1
. . .
VA X2
VA Xn
Função de
da VA n-dimensional
(X1
,X2
,...,Xn
)
Figura E6.2
Figura E6.2 Função de Variável Aleatória N-Dimensional
Sz

onde:
, da VA X2
,..., da VA Xn
e da VA (X1
,X2
,...,Xn
).
Os argumentos ocorrerão de forma aleatória;
Sxi
= contradomínio da VA Xi
;
Sz = contradomínio da função de variável aleatória n-dimensional (conjun-
to de números reais possíveis de serem obtidos por Z).
O conceito apresentado nesta sação é de grande importância para o
estudo do risco de mercado, na medida em que o patrimônio líquido
de uma instituição pode ser visto como uma função de variável aleatória
n-dimensional. A variável aleatória n-dimensional será o conjunto de
retornos efetivos das variáveis que influenciam o PL.
A respeito do conceito de função de variável aleatória n-dimensional, vale
ainda lembrar que:
• quando z = z(x1
,x2
,...,xn
) varia linearmente em decorrência de alterações
nos xi
, trata-se de um balanço composto de posições lineares (como, por exemplo,
ações ou moedas), e, portanto, o PL será uma função linear de variável aleatória
n-dimensional;
• quando z = z(x1
,x2
,...,xn
) varia de forma não-linear em decorrência de
alterações nos xi
, trata-se de um balanço composto de posições não-lineares (como,
por exemplo, opções de compra, opções de venda e títulos de renda fixa prefixados
ou pós-fixados, que variam de forma não-linear em decorrência de alterações no
retorno efetivo do ativo-objeto ou na taxa de juro), e, portanto, o PL será uma função
não-linear de variável aleatória n-dimensional.
E6.3 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE CONJUNTA
Uma Função de Probabilidade Conjunta associa uma probabilidade
de ocorrência a cada possível resultado (seqüência ordenada de números
reais) de uma variável aleatória n-dimensional discreta.
Seja (X1
,X2
,...,Xn
) uma variável aleatória n-dimensional discreta. Seja P
uma função que associa a cada possível vetor de (X1
,X2
,...,Xn
), que chamaremos
de (x1
,x2
,...,xn
), um número p (x1
,x2
,...,xn
) que represente a probabilidade de
que (X1
,X2
,...,Xn
) seja igual a (x1
,x2
,...,xn
).
A função P é a função de probabilidade conjunta da variável aleatória
n-dimensional (X1
,X2
,...,Xn
).

A probabilidade de que (X1
,X2
,...,Xn
) seja igual a (x1
,x2
,...,xn
) é represen-
tada pela simbologia P(X1
=x1
,X2
=x2
,...,Xn
=xn
) e é igual ao número p(x1
,x2
,...,xn
).
Os números p(x1
,x2
,...,xn
onde os t1
, t2
,...tn
são os números de elementos dos contradomínios das
VA X1
,X2
,...,Xn
respectivamente.
A figura a seguir ilustra uma função de probabilidade conjunta.
DDD 12 Figura E6.3
E6.4 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA
Uma Função Densidade de Probabilidade Conjunta N-Dimensional é
uma Função Matemática que associa aos possíveis resultados da Variável
Aleatória (seqüências ordenadas de números reais) um número p, de
modoque pseja igual à probabilidade de o resultado da Variável Aleatória
pertencer aos subconjuntos especificados do espaço vetorial ℜ
n
.
Seja uma variável aleatória n-dimensional contínua (X1
,X2
,...,Xn
). Sejam
[x1a
,x1b
], [x2c
,x2d
],...,[xne
,xnf
] n intervalos de números reais de X1
,X2
,...,Xn,
respectivamente. A função densidade de probabilidade conjunta da VA n-dimensional
será a função f que associar ao subconjunto do espaço vetorial ℜn
, delimitado por
p(x1
,x2
,...,xn
,x2
,...,xn
) ∈ ℜn
Σ Σ ... Σ p(x1a
,x2b
,...,xnc
) = 1
t 1 t 2 tn
a=1 b=1 c=1
S
s
Sx1
x1
= x1
(s)
Sx2
x2
= x2
(S)
Sxn
. . .
xn
= xn
(S)
Sz
p = p(x1
, x2
,..., xn
)
VA(X1
X2
,...,Xn
)
VA X1
. . .
VA X2
VA Xn
P Função de
Probabilidade Conjunta
da VA n-dimensional
(X1
,X2
,...,Xn
)
Figura E6.3 Função de Probabilidade Comjunta de VA N-Didimensional

([x1a
,x1b
], [x2c
, x2d
],..., [xne
, xnf
]), a probabilidade de que as possíveis
seqüências ordenadas de números reais (x1
,x2
,...,xn
) pertençam simultaneamente
ao intervalo [x1a
,x1b
], ao intervalo [x2c
,x2d
],..., e ao intervalo [xne
,xnf
], ou seja,
pertençam ao subconjunto do espaço vetorial ℜn
.
A função f deve satisfazer às seguintes condições:
>> 53
Note que o contradomínio de Xi
(Sxi
) poderá conter um limite inferior li e
um limite superior ls em que lixi
e lsxi
sejam constantes. Neste caso, sem prejuízo
das condições acima, poderemos afirmar que:
>> 54
Para calcularmos a probabilidade de ocorrência de valores pertencentes
simultaneamente ao intervalo [x1a
,x1b
] (P (x1a
< x < x1b
)), ao intervalo
[x2c
,x2d
] (P (x2c
< x < x2d
)),..., e ao intervalo [xne
,xnf
] (P (xne
< x < xnf
)),
deveremos resolver a integral de ordem n, a seguir:
>> 55
Conforme vimos na seção E1.2.1, para representar graficamente uma distri-
buição de probabilidade unidimensional é necessário um gráfico bidimensional e,
de acordo com o que vimos na seção E5.3, para representar graficamente uma
distribuição de probabilidade bidimensional é necessário um gráfico tridimensional.
Distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias de
dimensão igual ou superior a três não são possíveis de serem
representadas graficamente, pois isso exigiria gráficos de dimensão
igual ou superior a quatro. Entretanto este fato não possui qualquer
influência e não reduz a utilização ou a análise das funções de
probabilidade conjuntas de dimensão igual ou superior a três.
>> 55
∫ ∫ ... ∫ f(x1
, x2
,..., xn
) dx1
dx2
...dxn
= 1
x1b x2d xnf
x1a x2c xne
f(x1
,x2
,...,xn
,x2
,...,xn
) ∈ ℜn
∫ ∫ ... ∫ f(x1
,x2
,...,xn
) dx1
dx2
...dxn
= 1
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
>> 54
∫ ∫ ... ∫ f(x1
, x2
,..., xn
) dx1
dx2
...dxn
= 1
lsx1 lsx2 lsxn
lix1 lix2 lixn

E6.5 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA
N-DIMENSIONAL
Uma Função de Probabilidade de uma Função de Variável Aleatória
N-Dimensional discreta associa uma probabilidade de ocorrência para
cada possível resultado (número real) da Função de Variável Aleatória
N-Dimensional.
Seja P uma função que associa a cada resultado (número real) de uma
função Z de variável aleatória n-dimensional discreta um número p, de modo que p
seja igual à probabilidade de Z ser igual a z. A função P é a função de probabilidade
da função de variável aleatória n-dimensional (X1
,X2
,...,Xn
).
A figura a seguir ilustra as relações entre as funções mencionadas:
Se a variável aleatória n-dimensional (X1
,X2
,...,Xn
) for contínua, a função
densidade de probabilidade da função de variável aleatória Z associará a cada inter-
valo dos possíveis resultados de Z (intervalos de números reais) um número p, de
modo que p seja igual à probabilidade de um resultado aleatório de Z pertencer ao
intervalo especificado.
É de grande importância para o estudo de risco de mercado ressaltar os se-
guintes pontos:
S
S
Sx1
x1
= x1
(s)
Sx2
x2
= x2
(s)
Sxn
. . .
xn
= xn
(s)
Sz
z = z (x1
, x2
,..., xn
)
VA(X1
X2
,...,Xn
)
VA X1
. . .
VA X2
VA Xn
Função de
da VA n-dimensional
(X1
,X2
,...,Xn
)
Função de
Probabilidade
P=P(z)
p=p(z)
Figura E6.4Figura E6.4 Função de Probabilidade de Função de VA N-Didimensional

• o conhecimento das distribuições de probabilidade das variáveis aleatórias
Xi
não permite (em geral) que se determine a distribuição de probabilidade de Z.
Portanto o conhecimento das distribuições de probabilidade das variáveis aleatórias
que influenciam um balanço geralmente não permite que se determine a distribui-
ções de probabilidade do PL;
• para calcular o risco do PL de acordo com a metodologia analítica (a ser
apresentada no capítulo 11), é necessário admitir uma distribuição de probabilidade
substituta da verdadeira distribuição de probabilidade do PL (proxy da distribuição
de probabilidade verdadeira do PL), dado que esta última não é (em geral) conhecida;
• a maneira de se estimar o formato da verdadeira distribuição de probabili-
dade do PL a partir do conhecimento das distribuições de probabilidade das variá-
veis aleatórias unidimensionais que influenciam o PL é por meio da metodologia da
Simulação Monte Carlo (a ser apresentada no capítulo 11). Essa metodologia, além
de estimar o formato da verdadeira distribuição de probabilidade do PL, permite o
cálculo do risco do PL sem que seja necessário admitir uma proxy da distribuição
de probabilidade verdadeira do PL.
E6.6 DISTRIBUIÇÕES MARGINAIS
De forma análoga às distribuições marginais de uma variável aleatória
bidimensional, também é possível obter as distribuições de probabilidade de X1
, de
X2
,..., e de Xn
separadamente, a partir da distribuição de probabilidade conjunta da
VA (X1
,X2
,...,Xn
).
Para variáveis aleatórias discretas, as distribuições marginais são obtidas a
partir das seguintes fórmulas:
>> 56
p(x1a
) = p(X1
=x1a
) = Σ Σ ... Σ p (x1a
,x2b
,...,xne
) = 1 para todo (x2b
,...,xne
) ∈ ℜn-1
q(x2b
) = p(X2
=x2b
) = Σ Σ ... Σ p (x1a,
x2b
,...,xne
) = 1 para todo (x1a
, x3c
,...,xne
) ∈ℜn-1
>> 56
e=1
t 2 t 3 tn
t 2 t 3 tn
b=1 c=1 e=1
a=1 c=1
..................................................................................................................
r(xne
) = p(Xn
=xne
) = Σ Σ ... Σ p (x1a,
x2b
,...,xn-1d
, xne
) = 1 para todo (x1a,
...,xn-1d
) ∈ ℜn-1
d=1
t 1 t 2 tn-1
a=1 b=1

Para variáveis aleatórias contínuas, as distribuições marginais são obtidas a
partir das seguintes fórmulas:
>> 57
De forma análoga às variáveis aleatórias bidimensionais, o conheci-
mento de uma distribuição de probabilidade conjunta de variáveis aleatórias
n-dimensionais possibilita que sejam determinadas as distribuições marginais
das variáveis aleatórias unidimensionais que compõem as variáveis aleatórias
n-dimensionais. Entretanto o conhecimento das distribuições marginais não per-
mite, em geral, a determinação da distribuição de probabilidade conjunta da
variável aleatória n-dimensional. Isto será possível quando as variáveis aleatóri-
as unidimensionais forem independentes.
Sejam n variáveis aleatórias discretas, X1
,X2
,...,Xn
. Se os eventos X1
=x1
,
X2
=x2
,...,Xn
=xn
são independentes entre si para todo x1
,x2
,...,xn
, então X1
,X2
,...,Xn
serão ditas variáveis aleatórias independentes. Quando n variáveis aleatórias são
independentes entre si, a probabilidade de determinada seqüência ordenada de valo-
res ocorrer é igual ao produto das probabilidades de ocorrência de cada valor isola-
damente, conforme mostrado na expressão a seguir.:
P (X1
=x1
,X2
=x2
,..., Xn
=xn
) = P(X1
=x1
) . P(X2
=x2
) . ,..., . P(Xn
=xn
)
Quando n variáveis aleatórias contínuas são independentes entre si, a proba-
bilidade de determinado resultado (x1
,x2
,...,xn
) pertencer ao subconjunto do espa-
ço vetorial ℜn
([x1a
,x1b
],[x2c
,x2d
],...,[xne
,xnf
]) é igual ao produto das probabili-
dades de x1
pertencer ao intervalo [x1a
,x1b
], de x2
pertencer ao intervalo [x2c
,x2d
]
e de xn
pertencer ao intervalo [xne
,xnf
], conforme mostrado na expressão a seguir:
>> 57 ∫ ∫ ... ∫ f(x1
,x2
,...,xn
) dx2
dx3
...dxn
= 1
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
g(x1
) =
∫ ∫ ... ∫ f(x1
,x2
,...,xn
) dx1
dx3
...dxn
= 1
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
h(x2
) =
∫ ∫ ... ∫ f(x1
,x2
,...,xn
) dx1
dx2
...dxn-1
=1
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
l(xn
) =
................................................................

>> 58
E6.8 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
O teorema do limite central (também conhecido como teorema central do
limite) é útil quando se deseja avaliar resultados que são decorrentes da soma de um
número grande de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
(independentes e com mesmas distribuições de probabilidade), mesmo quando as
distribuições de probabilidade das variáveis aleatórias são desconhecidas.
Sejam as variáveis aleatórias independentes X1
,X2
,...,Xn
com distribuições
de probabilidade idênticas (portanto as variáveis aleatórias são independentes e
identicamente distribuídas –iid–), com E (xi
) = μ e variância = σ2
. Seja ∑ uma
função de variável aleatória n-dimensional, igual à soma das variáveis aleatóri-
as individuais.
Portanto ∑ é definida pela expressão a seguir:
>> 59
De acordo com o teorema do limite central, à medida que n aumenta
(n → ∞), a distribuição de probabilidade de ∑ tende para uma distribuição de
probabilidade normal com média n . μ e variância n . σ2
independentemente
de qual seja a distribuição de probabilidade das variáveis aleatórias Xi
.
Como um corolário do teorema do limite central, a média dos xi
tenderá a ser normalmente distribuída, à medida que n aumenta (n→∞),
independentemente de qual seja a distribuição de probabilidade de
cada variável aleatória Xi
, dado que a média é igual ao somatório
dividido por n.
É importante observar que, para a avaliação do risco de uma instituição cujo
balanço seja influenciado por diversas variáveis aleatórias, não se pode aplicar o
teorema do limite central, na medida em que as variáveis que influenciam um balan-
ço não são independentes, nem tampouco identicamente distribuídas.
>> 58 P (x1
∈ [x1a
,x1b
],x2
∈ [x2c
,x2d
],...,xn
∈ [xne
, xnf
]) =
P (x1
∈ [x1a
,x1b
]) . P(x2
∈ [x2c
,x2d
] ) . ,..., . P (xn
∈ [xne
,xnf
])
∑ = Σ xi
n
i=1

E6.9 VARIÂNCIA DE FUNÇÕES LINEARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
N-DIMENSIONAIS
Na seção E5.9, vimos como medir a variância de funções lineares de variá-
veis aleatórias bidimensionais. Nesta seção, veremos como medir a variância de
funções lineares de variáveis aleatórias n-dimensionais. Consideraremos que as vari-
áveis aleatórias sejam os retornos efetivos Ri
de n variáveis que influenciam o
patrimônio líquido de um balanço e que a sensibilidade da função às mudanças de
valores das variáveis (os coeficientes angulares da função) sejam os volumes iniciais
das variáveis (qi
. Pi
) que influenciam o balanço, sendo qi
a quantidade e Pi
o preço
e da variável aleatória i.
Seja R1
,R2
,...,Rn
um conjunto de n variáveis aleatórias e sejam V1
, V2
,...,Vn
os respectivos volumes financeiros (Vi
= qi
. Pi
) das variáveis nas quais uma instituição
mantém posições lineares ativas (Vi
>0) e posições lineares passivas (Vi
<0). O
patrimônio líquido pode ser visto como uma função linear da variável aleatória
n-dimensional [R1
,R2
,...,Rn
] e pode ser representado pela expressão a seguir:
PL = V1
. (1+R1
) + V2
. (1+R2
) +...+ Vn
. (1+Rn
)
= V1
. R1
+ V2
. R2
+...+ Vn
. Rn
+ PLt+0
sendo PLt+0
o valor inicial do patrimônio líquido.
A esperança matemática do PL será:
E[PL] = V1 .
E[R1
] + V2
. E[R2
] +...+ Vn
. E[Rn
] + PLt+0
(E6.1)
Como a variância do PLt+0
= 0 (a variância de uma constante é nula), a
variância do PL pode ser calculada como:
VAR(PL) = VAR(V1
. R1
+ V2
. R2
+...+ Vn
. Rn
) = (E6.2a)
V1
2 . VAR[R1
] + V2
2 . VAR[R2
] +...................................+ Vn
2 . VAR[Rn
]
+ 2 . V1
. V2
. COV(R1
,R2
) + 2 . V1
. V3
. COV(R1
,R3
)+...+ 2 . V1
. Vn
. COV(R1
,Rn
)
+...............0...............…..+ 2 . V2
. V3
. COV(R2
,R3
)+...+ 2 . V2
. Vn
. COV(R1
,Rn
)
.......................................................................................................................
+..............0............…......+...............0.........................+ 2 . Vn-1
. Vn
. COV(Rn-1
,Rn
)

Esta fórmula resulta da soma da variância individual de cada variável aleató-
ria, multiplicada por seu volume ao quadrado, mais a covariância individual de cada
variável com as demais variáveis multiplicadas pelos respectivos volumes. Como
COV(R1
,R2
) = COV(R2
,R1
), a COV(R1
,R2
) + COV(R2
,R1
) será igual a 2 . COV(R1
,R2
).
Portanto a variância total de um PL é igual à soma das variâncias
individuais das variáveis, multiplicadas pelos volumes das variáveis
ao quadrado, mais as covariâncias de cada variável com as demais
variáveis multiplicadas pelos respectivos volumes das variáveis.
Alternativamente, a variância do PL poderia ser obtida da forma algébrica
mostrada a seguir (evidentemente os resultados obtidos seriam os mesmos):
>>62 (E6.2b)
As seções a seguir apresentam mais duas formas alternativas de apresentar a
equação do cálculo da variância do PL, que são bastante usuais, por facilitarem a
visualização do cálculo.
E6.9.1 UTILIZAÇÃO DAS MATRIZES DE VARIÂNCIA-COVARIÂNCIA
Com o objetivo de facilitar a visualização da variância de uma função de vari-
ável aleatória n-dimensional, é bastante comum a utilização de uma matriz (arranjo
retangular de números ou de variáveis) de variância-covariância para representar a
variância da função de variável aleatória n-dimensional mostrada na seção anterior.
Com objetivos didáticos, vamos apresentar, inicialmente, a variância da soma
σ2
PL = E [(PL - E[PL])2
]
= E [( Σ Vi
. (1+Ri
) - Σ Vi
. E[1+Ri
])2
]
= E [( Σ Vi
. ((1+Ri
) - Σ E[1+Ri
]))2
]
= E [( Σ Vi
. ((Ri
) - Σ E[Ri
]))2
]
= E [Σ Vi
2
. (Ri
- Σ E[Ri
])2
+ 2 . Σ Σ Vi
. Vj
(Ri
- E[Ri
]) . (Rj
- E[Rj
])]
= Σ Vi
2
. E (Ri
- Σ E[Ri
])2
+ 2 . Σ Σ Vi
. Vj
E[(Ri
- E[Ri
]) . (Rj
- E[Rj
])]
= Σ Vi
2
σi
2
+ 2 . Σ Σ Vi
. Vj
. COV (Ri
,Rj
)
i<j
n
i=1 i<j
n
i=1 i<j

das variáveis e, posteriormente, incluiremos os volumes, positivos ou negativos, que
representam as aplicações líquidas ou captações líquidas nas diversas variáveis.
Seja Y a função de variável aleatória n-dimensional, a seguir:
Y = R1
+ R2
+...+ Rn
Calculando as variâncias e as covariâncias entre as variáveis, sem considerar
os volumes aplicados ou captados nas variáveis Ri
, obtém-se a variância da função
de variável aleatória Y, conforme mostrado a seguir:
VAR [Y] = VAR [R1
+ R2
+...+Rn
] = soma10
dos termos da matriz a seguir:
σ11
σ12
........ σ1n
σ21
σ22
........ σ2n
......................
σn1
σn2
........ σnn
onde:
σii
= σi
2
= variância da variável Ri
;
σij
= covariância da variável Ri
com a variável Rj
.
Portanto a diagonal principal da matriz é constituída pelas variâncias das
variáveis, e os demais elementos da matriz são as covariâncias entre as variáveis.
Considerando uma constante que multiplica cada variável (as constantes po-
sitivas representam os volumes iniciais das aplicações, e as constantes negativas
representam os volumes iniciais das captações em cada variável), obtém-se a seguin-
te função linear de variável aleatória n-dimensional:
PL = V1
. R1
+ V2
. R2
+...+ Vn
. Rn
+ PLt+0
Como a variância do PLt+0
= 0, a variância da função de variável aleatória
n-dimensional do PL pode ser visualizada em uma matriz de variância-covariância,
como a mostrada seguir:
VAR [PL] = VAR [V1
. R1
+ V2
. R2
+...+ Vn
. Rn
] = soma dos termos da matriz
a seguir:
10 É freqüente o erro de considerar que a variância da função de variável aleatória
n-dimensional seja o determinante da matriz de variância-covariância.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

V1
2 . σ1
2
V1
. V 2
. σ12
......... V1
. Vn
. σ1n
V2
. V 1
. σ21
V2
2 . σ2
2
.............. V2
. Vn
. σ2n
................................................................ (E6.2c)
Vn
. V 1
. σn1
Vn
. V 2
. σn2
......... Vn
2 . σn
2
A volatilidade do PL é igual à raiz quadrada da variância do PL:
σPL = [σ2
PL]1/2
Para evitar cálculos com números muito elevados (há bancos e empresas que
possuem bilhões de unidades monetárias aplicados ou captados em determinadas
variáveis), é comum dividir-se o volume das variáveis pelo valor do PL inicial, de
forma que as constantes que multiplicam as variáveis aleatórias passem a represen-
tar os pesos nas variáveis nas quais se está aplicado ou captado.
Seja ai
os pesos nas variáveis aleatória Ri
nas quais se está aplicado ou capta-
do e seja φ a função de variável aleatória n-dimensional que é igual à soma dos
pesos das variáveis ai
multiplicados pelas variáveis aleatórias Ri
, conforme mostra-
do nas equações a seguir:
>> 63
A variância da função (linear) de variável aleatória n-dimensional φ pode
ser calculada pelo método da matriz de variância-covariância, conforme mostrado
a seguir:
σ2
φ = σ2
[a1
. R1
+ a2
. R2
+...+ an
. Rn
] = soma dos termos da matriz a seguir:
a1
2 . σ1
2
a1
. a 2
. σ12
......... a1
. an
. σ1n
a2
. a 1
. σ21
a2
2 . σ2
2
......... a2
. an
. σ2n
................................................................ (E6.3a)
an
. a 1
. σn1
an
. a 2
. σn2
......... an
2 . σn
2
Neste caso, a variância calculada será igual à variância de uma unidade mo-
netária do PL.
Como a volatilidade é igual à raiz quadrada da variância e como a volatilidade
de uma constante (valor do PL inicial) multiplicada por uma variável (φ) é igual ao
>> 63
ai
=
φ = a1
. R1
+ a2
. R2
+...+ an
. Rn
qi
. Pi
PL
Vi
PL
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

valor absoluto da constante multiplicada pela volatilidade da variável, a volatilidade
do PL será igual à volatilidade de uma unidade monetária, multiplicada pelo valor
absoluto inicial do PL, conforme mostrado na equação a seguir:
σ PL = | PL | . σ φ (E6.4)
Este método que considera os pesos das variáveis em relação ao PL inicial é
bem mais prático (reduz o tamanho das contas) do que o cálculo que considera os
valores das variáveis e será um dos utilizados para calcular a volatilidade dos PLs
dos balanços a serem apresentados no capítulo 12.
E6.9.2 UTILIZAÇÃO DAS MATRIZES DE CORRELAÇÕES
Outra alternativa para calcular a variância do PL é por meio da utilização da
matriz de correlações entre as variáveis que influenciam o PL.
Conforme vimos na seção E5.10, ao dividir a covariância entre duas variáveis
pelo produto dos desvios padrão das variáveis, obtém-se a correlação entre as duas
variáveis. Portanto, ao dividir cada elemento da matriz de variância-covariância pelo
produto dos desvios padrão das respectivas variáveis sobre as quais foram calculadas
as covariâncias, obtêm-se as correlações entre as variáveis.
A correlação entre n variáveis pode ser visualizada em uma matriz de corre-
lações, como a mostrada a seguir:
ρ11
ρ12
........ ρ1n
1 ρ12
........ ρ1n
ρ21
ρ22
........ ρ2n
ρ21
1 ........ ρ2n
.................... = ......................
ρn1
ρn2
........ ρnn
ρn1
ρn2
.......... 1
onde:
ρii
= 1 (trata-se da correlação de uma variável com ela mesma);
ρij
= correlação da variável Ri
com a variável Rj
.
A variância do PL é igual ao produto do vetor linha, com as volatilidades das
variáveis multiplicadas por seus volumes, pela matriz de correlações, e desta matriz
pelo vetor coluna, com as volatilidades das variáveis multiplicadas por seus volu-
mes, conforme mostramos a seguir:
σ2
[PL] = σ2
[V1
. R1
+ V2
. R2
+ ... + Vn
. Rn
] =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

[V1
. σ1
V2
. σ2
... Vn
. σn
] . 1 ρ12
... ρ1n
V1
. σ1
ρ21
1 ... ρ2n
V2
. σ2
................................
.
... (E6.2d)
ρn1
ρn
... 1 Vn
. σn
A volatilidade do PL é igual à raiz quadrada da variância do PL, conforme
mostrado a seguir:
σPL = [σ2
PL]1/2
Utilizando o método dos pesos ai
nos quais se está aplicado ou captado em
cada variável aleatória Ri
e sendo φ a função de variável aleatória n-dimensional,
que é igual à soma dos pesos das variáveis, multiplicados pelas variáveis aleatórias
Ri
, a variância da função de variável aleatória n-dimensional φ pode ser calculada
pelo método da matriz de correlações, conforme mostrado a seguir:
σ2
[φ] = σ2
[a1
. R1
+ a2
. R2
+...+ an
. Rn
] =
[a1
. σ1
a2
. σ2
... an
. σn
] . 1 ρ12
... ρ1n
a1
. σ1
ρ21
1 ... ρ2n
a2
. σ2
.................... . ... (E6.3b)
ρn1
ρn
... 1 an
. σn
Novamente, a variância calculada será igual à variância de uma unidade
monetária.
Também mantém-se o cálculo da volatilidade do PL:
σ PL = |PL| . σ φ
Sejam X1
,X2
,...,Xn
n variáveis aleatórias independentes. Como as
covariâncias entre as variáveis é igual a zero, a variância da função de variável
aleatória n-dimensional PL = V1
. R1
+ V2
. R2
+ ... + Vn
. Rn
+ PLt+0
é igual a:
>> 64VAR (PL) = VAR (V1
. R1
+ V2
. R2
+ ... + Vn
. Rn
)
= V1
2 . VAR [R1
] + V2
2 . VAR [R2
] +...+ Vn
2 . VAR [Rn
]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

Portanto o desvio padrão será igual a:
>> 65
E6.10.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES E IDENTICAMENTE DISTRIBUÍDAS
Sejam X1
,X2
,...,Xn
n variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas (iid) com variância igual a σ2
. Neste caso a função de variável alea-
tória Y = X1
+ X2
+...+ Xn
apresenta a variância e a volatilidade mostradas a seguir:
>> 66 (E6.5a)
(E6.5b)
Portanto a variância aumenta linearmente com o número de variáveis iid, e a
volatilidade aumenta proporcionalmente à raiz quadrada do número de variáveis iid.
E6.11 VARIÂNCIA DO VALOR ESPERADO
Seja uma variável aleatória X com variância σ2
. Se o experimento aleatório
ao qual a VA está associada for repetido n vezes, o valor esperado de x, E[x] (que é
igual à média aritmética de X), terá a seguinte variância:
>> 67 (E6.6)
Para demonstrar esta relação, utiliza-se o conceito de que:
>> 68
>> 65 σ PL = [VAR (V1
. R1
+ V2
. R2
+ ... + Vn
. Rn
)]1/2
= [V1
2 . VAR [R1
] + V2
2 . VAR [R2
] +...+ Vn
2 . VAR [Rn
]]1/2
>> 66 VAR Y = VAR (X1
+ X2
+...+ Xn
) = n . VAR [Xi
] = n . σ2
σ Y = σ (X1
+ X2
+...+ Xn
) = n . σ Xi
= n . σ
>> 67 VAR [E[x]] =
σ2
n
>> 68
E[x] = 1/n . ∑ xi
n
i=1
Como:
VAR ∑ xi
= n . σ2
e
VAR 1/n . ∑ xi
= [1/n]2 . n . σ2
= 1/n . σx
2
n
i=1
[ ]
[ ]
n
i=1

então:
VAR [E[x]] = 1/n . σ2
cqd (como queríamos demonstrar)
Como se pode perceber, a variância do valor esperado tende para zero, à
medida que n tende para infinito. Esta propriedade será utilizada para demonstrar a
Lei dos Grandes Números.
E6.12 A DESIGUALDADE DE TCHEBYCHEFF, A LEI DOS GRANDES NÚMEROS E A
SIMULAÇÃO MONTE CARLO
A Desigualdade de Tchebycheff
Seja X uma variável aleatória (discreta ou contínua) com esperança matemá-
tica igual a E[x] e desvio padrão σx
. Considerando-se um valor ε ≥ 0, a desigualda-
de de Tchebycheff estabelece um limite superior para a probabilidade de um valor
obtido aleatoriamente se situar a uma distância maior do que ε vezes o desvio
padrão da variável, conforme mostrado pela fórmula a seguir:
>> 69 (E6.7)
Esta desigualdade é útil, na medida em que, mesmo que não se conheça a
distribuição de probabilidade de x, porém conhecendo-se a sua média e o seu desvio
padrão, é possível estabelecer limites para a probabilidade de ocorrência de valores
de x dentro (ou fora) de determinada faixa em torno da esperança da variável, cor-
respondentes a ε desvios padrão.
A Lei dos Grandes Números
Seja X uma variável aleatória e x um dos possíveis resultados do experimen-
to. Admita que o experimento aleatório ao qual X está vinculada seja repetido n
vezes, sendo que o resultado de uma repetição independe dos resultados das outras
repetições. Ao contar a quantidade de vezes que o possível resultado x ocorreu (nx
)
e dividi-lo pela quantidade total de repetições (n), obtém-se a razão nx
/n, que é
denominada freqüência relativa do resultado x (f’x).
>> 69
P ⏐x - E[x]⏐ ≥ ε . σx
≤ 1/ε2

A Lei dos Grandes Números assegura que a freqüência relativa
de ocorrência de um possível resultado x de uma variável aleatória
converge para a probabilidade de ocorrência do resultado x, à
medida que é aumentado o número de repetições do experimento
ao qual a variável aleatória está associada.
Para demonstrar a Lei dos Grandes Números, utiliza-se a desigualdade de
Tchebycheff, como mostrado a seguir.
Aplicando as relações de esperança e de variância do valor esperado mostradas
na seção anterior, ao conceito de freqüência relativa, obtemos as seguintes relações:
>> 70
Demonstração da Lei dos Grandes Números
Segundo a desigualdade de Tchebycheff, para qualquer ε > 0 teremos:
>> 71
Escolhendo ε = δ . n /σx
, sendo δ um valor, e substituindo ε na fórmula
anterior, obtém-se:
P [|f’x
- p | ≥ δ] ≤ 1/(δ . n / σx
)2
ou
P [|f’x
- p | ≥ δ] ≤ (σ x
/δ . n )2
ou
P [|f’x
- p | ≥ δ] ≤ σ2
x
/(δ2
. n)
concluímos, então, que:
Lim P [⏐ f’x
- p⏐ ≥ δ] ≤ σ2
x
/(δ2
. n) = 0 (E6.8)
n→ ∞
cqd
>> 70 E[f’x] = p
e
σ2
[f’x] =
σx
2
n
>> 71
[ ][ ]P ⏐ f’x
- p ⏐ ≥ ε . σ f’x
= P ⏐ f’x
- p ⏐ ≥ ε . σ x
/ n ≤ 1/ε2

11 O apêndice 12 especifica um método prático, por meio do aplicativo Excel, para a
estimativa de uma distribuição de probabilidade.
A Simulação Monte Carlo
A Lei dos Grandes Números é a base da metodologia de cálculo de risco
conhecida como metodologia da Simulação Monte Carlo, que será apresentada a
partir do capítulo 11. Esta metodologia também é útil para precificar opções de
compra e de venda, conforme veremos no capítulo 26.
Por meio da metodologia da Simulação Monte Carlo, simulam-se milhares
de possíveis valores para o patrimônio líquido de uma instituição (é necessário gerar
um número grande de simulações para que a freqüência relativa represente a estima-
tiva da probabilidade com grande confiabilidade), de acordo com parâmetros previ-
amente estabelecidos, com dois objetivos básicos:
• calcular o Value-at-Risk (risco de mercado) da instituição;
• estimar a distribuição de probabilidade do PL, que em geral é desconheci-
da. Conforme vimos anteriormente, o PL é uma função (linear ou não linear) de
variável aleatória n-dimensional. Portanto, em geral, mesmo que se conheça a distri-
buição de probabilidade das variáveis aleatórias que influenciam um balanço, não é
possível conhecer a distribuição de probabilidade do PL.
A estimativa da distribuição de probabilidade do PL por meio da metodologia
da Simulação Monte Carlo decorre da Lei dos Grandes Números, conforme mostra-
do no corolário a seguir.
Corolário da Lei dos Grandes Números
A distribuição de probabilidade dos números reais aleatórios
decorrentes da realização de um experimento aleatório ao qual uma
variável aleatória está associada converge para a distribuição de
probabilidade da variável aleatória, à medida que é aumentado o número
de repetições do experimento aleatório.
Portanto, quando a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória é
desconhecida, ela pode ser estimada por meio da repetição de um número muito
grande de experimentos aleatórios. Para demonstrar esse corolário, de forma análo-
ga à que utilizamos para demonstrar a Lei dos Grandes Números, bastaria conside-
rar todos os resultados possíveis ou diversos intervalos de resultados possíveis11
.

Conforme será mostrado no apêndice 12, ao calcular a freqüência relativa
das quantidades de simulações que têm valor em cada um dos cem intervalos de
classe com amplitudes iguais à amplitude total (o valor máximo menos o valor
mínimo obtidos nas simulações) dividida por 100, a metodologia da Simulação
Monte Carlo estima a probabilidade de que o patrimônio líquido se situe nos inter-
valos de classe e, conseqüentemente, estima a distribuição de probabilidade do
patrimônio líquido.

E7 Amostras e Distribuições Amostrais
Quando temos a necessidade de tomar uma decisão que envolva determinada
população, o ideal é que tenhamos o conhecimento da distribuição de probabilidade
da população, pois, deste modo, a decisão será tomada com o conhecimento dos
riscos envolvidos.
O conhecimento da distribuição de probabilidade da população possibilita a
obtenção de todos os parâmetros da população, como, por exemplo, o valor espera-
do, o desvio padrão, a assimetria e a curtose.
No outro extremo, se a decisão for tomada sem qualquer conhecimento dos
parâmetros da população e sem que haja qualquer estimativa desses parâmetros, a
decisão será tomada sem o conhecimento dos riscos envolvidos. Neste caso, diz-se
que a decisão será tomada em condições de incerteza.
Embora a primeira situação seja a mais desejada para a tomada de deci-
sões, na prática nem sempre ela se verifica, inclusive por uma questão de custos
(é dispendioso manter o conhecimento permanente de toda a população).
Uma situação intermediária consiste na estimativa dos parâmetros da popula-
ção por meio da obtenção dos valores correspondentes das amostras (estatísticas)
representativas da população.
Em sentido mais amplo a Estatística cuida da coleta, organização,
resumo, apresentação e análise de dados, e também da obtenção de
conclusões que aumentem a probabilidade de acertos nos processos de
tomada de decisão.
A estatística pode ser dividida em estatística descritiva, que se preocupa em
descrever, calcular e analisar dados das amostras, sem tirar conclusões sobre as
populações, e em inferência estatística que se utiliza de dados das amostras para que
se possa realizar estimativas, previsões e conclusões sobre as populações.
Em sentido mais restrito o termo Estatística pode ser definido como
um valor obtido a partir dos dados da amostra, que serve de estimador
do valor correspondente da população, o qual é denominado parâmetro.
Em Finanças, os principais parâmetros que necessitamos conhecer são as
esperanças de retorno, as volatilidades futuras e as correlações futuras dos diversos
ativos sobre os quais necessitamos decidir. Como se trata de parâmetros futuros que
variam com o tempo, geralmente é impossível conhecê-los a priori, o que torna

necessário que eles sejam estimados para que as decisões sejam tomadas com maio-
res probabilidades de acerto.
Na prática, para estimar as volatilidades dos ativos, utilizam-se amostras das
volatilidades diárias de um período anterior ou as volatilidades implícitas nas op-
ções de compra e de venda dos ativos12
.
Na seção E7.3, estudaremos as estimativas de parâmetros por intervalos, que
estão intimamente ligadas ao cálculo do Value at Risk. Na seção E7.5, estudaremos
os testes de hipóteses, que são úteis para avaliar se os modelos de cálculo dos Value
at Risk os estão calculando de forma satisfatória, ao longo do tempo. Esses testes são
conhecidos como backtests.
E7.1 AMOSTRA ALEATÓRIA
O objetivo de utilizar amostras de uma população é obter estimativas dos
parâmetros da população que permitam o seu conhecimento sem a necessidade de
efetuar o censo da população.
Uma das técnicas de amostragem é por meio da realização de amostras
aleatórias13
.
E7.2 ESTIMATIVAS DOS RETORNOS, DAS VOLATILIDADES E DAS CORRELAÇÕES
FUTURAS DAS VARIÁVEIS
Para estimar os retornos, as volatilidades e as correlações futuras de diversos
ativos, o mais comum é basear-se nos retornos, nas volatilidades e nas correlações
dos ativos verificados no passado. A quantidade de dias escolhida representa o tama-
nho da janela temporal a ser utilizada para estimar a volatilidade futura. Normal-
mente utilizam-se os retornos, as volatilidades e as correlações diárias verificados
nos dias mais recentes (por exemplo, 20, 30, 40 ou 252 dias úteis mais recentes).
Na seção 22.8.1, discutiremos a conveniência de utilizar janelas temporais maiores
ou menores e mencionaremos algumas das técnicas que se vêm destacando para a
previsão de parâmetros futuros, a partir dos dados passados.
Distribuição Amostral
É a distribuição de probabilidade de uma estatística de uma amostra. Por
exemplo, as distribuições de probabilidade da média e do desvio padrão de uma
amostra de uma população são distribuições amostrais.
13 Quando se trata de populações com tamanhos conhecidos, pode-se calcular a quanti-
dade de amostras possíveis de serem obtidas.
12 Na seção 22.8, efetuamos uma breve descrição de alguns dos métodos utilizados para
prever as volatilidades futuras a partir das volatilidades passadas e, na seção 22.9, avalia-
mos as volatilidades implícitas das opções.

E7.3 ESTIMAÇÃO POR PONTOS OU POR INTERVALOS
Estimação por Ponto
As estimativas por pontos são representadas por uma estatística (um valor)
obtida a partir da amostra. O valor da estatística é considerado o melhor represen-
tante para o parâmetro da população. Portanto a estimativa por ponto fornece, por
meio de um único valor, uma estimativa para o parâmetro da população.
Por exemplo, quando se diz que o retorno esperado de um patrimônio líqui-
do é de 20% ao ano, está-se apresentando uma estimativa por ponto.
Estimação por Intervalo
Consiste em considerar um intervalo em torno do estimador por ponto. Esse
intervalo terá uma probabilidade conhecida de conter o verdadeiro valor do parâmetro
da população.
As estimativas por intervalos podem ser bilaterais ou unilaterais, conforme
definimos a seguir:
• intervalo bilateral – calculam-se limites bilaterais, que delimitam um inter-
valo para o qual haja uma probabilidade (nível de confiança) de o parâmetro da
população pertencer ao intervalo;
• intervalo unilateral inferior – calcula-se um limite (ou ponto crítico) unilate-
ral inferior, que delimita o intervalo para o qual haja uma probabilidade (nível de
confiança) de o parâmetro da população ser maior ou igual ao limite unilateral inferior;
• intervalo unilateral superior – calcula-se um ponto crítico unilateral superi-
or, que delimita o intervalo para o qual haja uma probabilidade (nível de confiança) de
o parâmetro da população ser menor ou igual ao ponto crítico unilateral superior.
Por exemplo, quando se afirma que o patrimônio líquido de uma instituição
tem 95% de probabilidade de estar situado entre R$ 90 milhões e R$ 100 mi-
lhões, está sendo realizada uma estimativa por intervalo bilateral.
Quando se afirma que o patrimônio líquido tem 95% de probabilidade de
ser maior ou igual a R$ 70 milhões (conseqüentemente, admite-se a hipótese de
que haja 5% de probabilidade de o patrimônio líquido ser inferior a esse valor), está
sendo realizada uma estimativa por intervalo unilateral inferior.
Quando se afirma que o patrimônio líquido tem 95% de probabilidade de
ser menor do que R$ 140 milhões (conseqüentemente, admite-se a hipótese de que
haja 5% de probabilidade de o patrimônio líquido ser igual ou superior a esse
valor), há a estimativa por intervalo unilateral superior.

Para o cálculo do risco de mercado (Value at Risk) utiliza-se o
conceito de estimativa por intervalo unilateral inferior, pois há a
preocupação com o patrimônio líquido atingir valores muito baixos.
Como não há a preocupação com o patrimônio líquido atingir valores muito
elevados, não são utilizados os outros dois métodos de estimação por intervalos
mencionados, para o cálculo do Value at Risk.
E7.3.1 EXEMPLOS DA ESTIMAÇÃO POR PONTO E DA ESTIMAÇÃO POR INTERVALO
Como exemplos de estimadores por ponto, podemos mencionar os estimadores
da média e da variância da população:
• o melhor estimador da média da população é a média da amostra, na
medida em que é não tendencioso, mais eficiente e consistente14
;
• o melhor estimador da σ2
(variância da população) é s2
(variância da amos-
tra), na medida em que é não tendencioso, mais eficiente e consistente.
Como exemplos de estimadores por intervalos, mencionaremos intervalos e
probabilidades que são freqüentemente utilizados.
Sejam μPL
e σPL
a média e o desvio padrão de uma distribuição de probabili-
dade do PL após decorrido um período (PLt+1
).
Se for admitido que a fdp do PLt+1
é normal (nos capítulos 11 e 12 veremos que
geralmenteafdpdoPLt+1
temformatodesconhecido),pode-seesperarouestarconfiante
de encontrar-se o PL (PLt+1
) nos intervalos a seguir, com as respectivas probabilidades:
P (μPL
- σPL
≤ PL ≤ μPL
+ σPL
) = 68,27%
P (μPL
- 1,96 . σPL
≤ PL ≤ μPL
+ 1,96 . σPL
) = 95,00%
P (μPL
- 2 . σPL
≤ PL ≤ μPL
+ 2 . σPL
) = 95,45%
P (μPL
- 2,58 . σPL
≤ PL ≤ μPL
+ 2,58 . σPL
) = 99,00%
P (μPL
- 3 . σPL
≤ PL ≤ μPL
+ 3 . σPL
) = 99,73%
Pode-se falar, também, em limites unilaterais:
P (PL > μPL
+ 1,65 . σPL
) = 5% (limite unilateral superior com ∝ = 5%)
P (PL < μPL
- 1,65 . σPL
) = 5% (limite unilateral inferior com ∝ = 5%)
P (PL > μPL
+ 2,33 . σPL
) = 1% (limite unilateral superior com ∝ = 1%)
P (PL < μPL
- 2,33 . σPL
) = 1% (limite unilateral inferior com ∝ = 1%)
Se for admitido que a fdp do PL é lognormal, definindo σ como o desvio
14 Essas propriedades de um estimador serão estudadas na seção E7.4.

padrão de uma unidade monetária do PL (geralmente σ é calculada a partir das
volatilidades e das correlações dos retornos logarítmicos passados das variáveis que
influenciam o PL), pode-se esperar ou estar confiante de encontrar-se o PL (PLt+1
)
nos intervalos a seguir, com as respectivas probabilidades:
P (μPL
- (1 - e - σ
) . PL ≤ PL ≤ μPL
+ (e + σ
-1) . PL) = 68,27%
P (μPL
- (1 - e – 1,96 . σ
+ (e + 1,96 . σ
-1) . PL) = 95,00%
P (μPL
- (1 - e – 2 . σ
+ (e + 2 . σ
-1) . PL) = 95,45%
P (μPL
- (1 - e – 2,58 . σ
+ (e + 2,58 . σ
-1) . PL) = 99,00%
P (μPL
- (1 - e – 3 . σ
+ (e + 3 . σ
-1) . PL) = 99,73%
Pode-se falar, também, em limites unilaterais:
P (PL > μPL
+ (e + 1,65 σ
- 1) = 5% (limite unilateral superior com ∝ = 5%)
P (PL < μPL
- (1 - e - 1,65 σ
)= 5% (limite unilateral inferior com ∝ = 5%)
P (PL > μPL
+ (e + 2,33 σ
- 1) = 1% (limite unilateral superior com ∝ = 1%)
P (PL < μPL
– (1 - e - 2,33 σ
)= 1% (limite unilateral inferior com ∝ = 1%)
Vale ressaltar que a média do PL após decorrido um período (μPL
) será igual ao PL
inicial multiplicado pela média de uma distribuição lognormal que é igual a eμ+σ2/2
.
Estimação das Médias
Caso se queira estimar o intervalo de confiança da média da população μ
(desconhecida) a partir da média da amostra X (conhecida), e tendo-se um σ (conhe-
cido), deve-se utilizar a seguinte fórmula:
>> 75
onde:
_
X = média da amostra retirada da população;
σ = desvio padrão da população;
n = tamanho da amostra retirada (número de elementos da amostra);
1-∝= nível de confiança do intervalo;
∝ = nível de significância;
Z∝/2
= valor da normal padronizada tal que P (Z > Z∝/2
) = ∝/2.
Pode-se perceber que o intervalo de confiança da média é reduzido à medida
que se aumenta o tamanho da amostra (n).
( )P X - Z∝/2
. σ/ n . X ≤ μ ≤ X + Z∝/2
. σ/ n . X = 1-∝>> 75
_ _ _ _

15 Se a amostra fosse inferior a 30 deveria ser utilizada a distribuição “t” de Student. Os
estatísticos admitem que quando a amostra é grande (n ≥ 30) a distribuição t aproxima-se
muito da distribuição normal e, desse modo, pode ser substituída pela distribuição normal.
Estimação das Freqüências Relativas
Caso se queira estimar o intervalo da probabilidade (desconhecida) da ocor-
rência de determinado resultado da população a partir das freqüências relativas (f’)
de ocorrência verificadas na amostra (conhecida), e tendo-se um σ (conhecido),
deve-se utilizar a seguinte fórmula:
>> 76
Também neste caso observa-se que o intervalo de confiança da probabilidade
da população é reduzido à medida que se aumenta o tamanho da amostra (n). Isto
está de acordo com a Lei dos Grandes Números, segundo a qual a freqüência relati-
va f’ tende para a probabilidade da população p, à medida que o tamanho da amos-
tra tenda a infinito.
Para calcular os intervalos de confiança para μ ou para p, se σ não for
conhecido e se a amostra tiver n ≥ 30, pode-se utilizar as fórmulas anteriores,
procedendo-se a substituição de σ por s (desvio padrão da amostra)15
.
E7.4 PROPRIEDADES DESEJÁVEIS DE UM ESTIMADOR
É desejável que as estatísticas, que são as estimadoras dos parâmetros da
população, apresentem as propriedades de ser não tendenciosas, eficientes e
consistentes.
Baseando-se nas definições a seguir, apresentaremos as três propriedades:
θ = uma estatística obtida em uma amostra de uma população;
θ = parâmetro da população, que deverá ser estimado a partir da estatística
da amostra.
Não Tendenciosidade
O estimador θ de θ será não tendencioso se:
E (θ) = θ
A diferença [E (θ) - θ] é a tendenciosidade do estimador.
P f’ - Z∝/2
. σ/ n ≤ p ≤ f’ + Z∝/2
. σ/ n = 1- ∝( )
^
^
^
^

Por exemplo, para efetuar uma simulação Monte Carlo, devem-se inserir no
computador que efetuará a simulação, as verdadeiras esperanças de retorno das
variáveis, pois, caso contrário, o resultado da simulação será tendencioso (ou viesado).
Eficiência
Um estimador será mais eficiente do que outro, se a sua variância for menor.
Portanto, se VAR (θ1
) < VAR (θ2
), então θ1
será mais eficiente do queθ2
.
Vale lembrar que é bastante utilizada a análise por erro quadrático médio
(EQM) para comparar dois estimadores. O EQM de um estimador é obtido pela
fórmula seguinte:
E [θ - θ]2
= VAR (θ) + [E (θ) - θ]2
= variância de θ + tendenciosidade de θ
Com base nesta análise, um estimador θ1
será preferível a um estimador θ2
,se
EQM θ1
<θ2
.
Por exemplo, ao efetuar uma mesma Simulação Monte Carlo por diversas
vezes, é desejável que os resultados obtidos nas diversas simulações sejam bastante
próximos uns dos outros, pois, caso contrário, a simulação Monte Carlo seria
ineficiente. Vale lembrar que, como é utilizado um número bastante grande de
simulações aleatórias em cada Simulação Monte Carlo, segundo a Lei dos Grandes
Números esta metodologia tende a ser bastante eficiente. Conforme mencionamos
no início do capítulo 12, há estudos a respeito de técnicas de redução de variância
que visam tornar a metodologia da Simulação Monte Carlo ainda mais eficiente.
Consistência
Se a variância de um estimador diminui à medida que o tamanho da amostra
é aumentado, o estimador será consistente:
lim E (θ) = θ
n → ∞
e
lim VAR (θ) = 0 (zero)
n → ∞
^
^
^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^
^^
^ ^

Conforme vimos na seção E6.12, pela Lei dos Grandes Números, quando se
aumenta o número de repetições aleatórias de um evento aleatório, a variância da
freqüência relativa de ocorrência do evento aleatório tende para zero. Portanto a
freqüência relativa é um estimador consistente e não tendencioso (não viesado) da
probabilidade (desconhecida) de ocorrência do evento.
Na mesma seção E6.12, mostramos que a distribuição de probabilidade do
PL (pode se visto como uma função de variável aleatória n-dimensional) obtida em
uma Simulação Monte Carlo é um estimador consistente e não tendencioso (não
viesado) da verdadeira distribuição de probabilidade do PL.
E7.5 TESTES DE HIPÓTESES
São testes que permitem aceitar ou rejeitar, com determinada probabilidade
de acerto, uma hipótese a respeito do valor de um parâmetro populacional, tendo
por base os valores obtidos na estatística correspondente da amostra.
Por exemplo, vamos considerar que uma instituição decida testar o seu mo-
delo de avaliação do risco de mercado. O modelo que a instituição utiliza admite o
nível de significância de 5%, o que eqüivale a dizer que, em 5 dias, a cada 100 dias,
a instituição deveria apresentar PLs menores do que os PLs críticos unilaterais
inferiores previstos pelo modelo.
Se a instituição observar que, em um número muito pequeno de vezes, os
PLs foram inferiores aos PLs críticos unilaterais inferiores previstos pelo modelo,
este deverá ser rejeitado, pois está superestimando o risco de perdas.
Por outro lado, se a instituição observar que, em um número muito grande de
vezes, os PLs foram inferiores aos PLs críticos unilaterais inferiores previstos pelo
modelo, este também deverá ser rejeitado, pois está subestimando o risco de perdas.
Para realizar os testes de hipóteses, devem-se admitir duas hipóteses iniciais a
respeito do valor do modelo que estará sendo testado, conforme mostramos a seguir.
Hipótese Nula (H0
)
É a que vai ser testada. Supõe que a eventual diferença entre o número de
vezes em que os PLs diários ficam inferiores aos PLs críticos unilaterais inferiores
diários previstos pelo modelo e o número de vezes previsto é devida ao acaso e,
portanto, não é significativa.
Para que esta hipótese seja aceita, é necessário que não haja diferença signifi-
cativa entre o número de vezes observado e o número de vezes esperado.

Se a diferença for significativa, H0
será rejeitada, e, conseqüentemente, não
será aceita a hipótese de que os PLs críticos unilaterais inferiores verdadeiros este-
jam contidos na região de aceitação prevista pelo modelo que foi testado.
Hipótese Alternativa (H1
)
É uma hipótese diferente de H0
, ou seja, admite que os PLs críticos unilate-
rais inferiores verdadeiros estejam fora da região de aceitação da hipótese nula.
Quando H1
é testada e a diferença entre o número de vezes observado e o número de
vezes esperado pela hipótese alternativa não é significativa, H1
será aceita. Quando
H1
é aceita, H0
será rejeitada. Neste caso, a conclusão é que a diferença entre o
número de vezes observado e o número de vezes esperado pelo modelo da hipótese
nula é significativa.
E7.5.1 ANÁLISE DAS HIPÓTESES
Em torno do valor do parâmetro assumido por H0
cria-se uma região de
aceitação. Se a estimativa do parâmetro populacional aceita por H0
estiver compre-
endida dentro dessa região, a hipótese nula será aceita. Se estiver fora da região
determinada, H0
será rejeitada.
Os limites da região de aceitação são conhecidos como pontos críticos. No
caso de teste unilateral, haverá apenas um ponto crítico.
➢ Tipos de Erros
Ao se realizarem testes de hipóteses, há dois tipos de erros possíveis:
• erro Tipo I - é o que se comete quando se rejeita H0
,sendo ela verdadeira.
Tem probabilidade ∝ (nível de significância da hipótese nula H0
);
• erro Tipo II - é o que se comete quando se aceita H0
, sendo ela falsa. Tem
probabilidade β (nível de significância da hipótese alternativa H1
).
Em resumo, teremos:
H0
Verdadeira Decisão Correta Erro Tipo I
Probabilidade (1- ααααα) Probabilidade ααααα
H1
Verdadeira (H0
Falsa) Erro Tipo II Decisão Correta
Probabilidade βββββ Probabilidade (1- βββββ)
Aceitar H0
Rejeitar H0

As probabilidades de ocorrência dos dois tipos de erro podem ser vistas nos
gráficos a seguir:
• hipótese de que o parâmetro populacional seja normalmente distribuído:
• hipótese de que o parâmetro populacional seja lognormalmente distribuído:
Exemplo E7.1 – Um banco utiliza modelo analítico de cálculo de risco
(Value at Risk – VaR) diário, admitindo que o nível de significância seja de 5%. Ao
perceber que, freqüentemente, a perda sofrida é superior ao VaR previsto pelo mo-
delo, o banco resolve testá-lo, realizando um backtest. O banco decidiu realizar o
backtest nos 100 dias úteis mais recentes e observou que, em 9 dias, a perda verificada
foi maior do que o VaR previsto pelo modelo.
Probabilidade de Erro do Tipo I
x
Região de Aceitação de Ho
Probabilidade de Erro do Tipo II
Probabilidade de Erro do Tipo I
x
Região de Aceitação de Ho
Probabilidade de Erro do Tipo II
Gráfico E7.1a Erros Tipo I e Tipo II, Admitindo Distribuições Normais
Gráfico E7.1b Erros Tipo I e Tipo II, Admitindo Distribuições Normais

O banco deveria aceitar ou rejeitar o modelo de cálculo de VaR, consideran-
do um nível de confiança de 95%, admitindo que os percentuais são normalmente
distribuídos?
Comentários:
Há somente dois resultados possíveis quando se efetua um back-test, que são:
a) perda superior ao VaR ou b) perda inferior ao VaR.
Caso se queira avaliar se a freqüência absoluta observada (igual a 9) deve ser
aceita ou não, deve-se aplicar a esperança e o desvio padrão de uma distribuição de
probabilidade Binomial considerando a probabilidade de sucesso igual a 5% e a
probabilidade de fracasso igual a 95% e o número de repetições igual a 100. Apli-
cando as fórmulas de esperança e de desvio-padrão da distribuição binomial, obte-
mos os seguintes resultados:
Esperança = n . p = 100 . 0,05 = 5
Desvio-padrão = n . P . (1-P) = 100 . 0,05 . 0,95 = 2,179
Alternativamente, pode-se avaliar se a freqüência relativa observada (igual a
9%) deve ser aceita ou não. Neste caso deve-se aplicar a esperança e o desvio
padrão de uma distribuição de probabilidade de Bernoulli (análoga a uma binomial
com n=1) considerando a probabilidade de sucesso igual a 5% e a probabilidade
de fracasso igual a 95%. Aplicando as fórmulas de esperança e de desvio padrão
obtemos:
Esperança = p = 0,05
Desvio-padrão = P . (1-P) = 0,05 . 0,95 = 0,2179
Logicamente as regiões de aceitação serão equivalentes, sendo que na primei-
ra alternativa, a região estará expressa em quantidades e, na segunda, estará expressa
em percentual Utilizaremos a segunda alternativa para elaborarmos a resposta.
Resposta - Considerando que iremos avaliar a freqüência relativa, devemos
efetuar o seguinte teste de hipóteses a respeito da probabilidade das perdas diárias
observadas superarem o VaR que havia sido calculado:

H0
: p = 5% e o modelo é correto
H1
: p ≠ 5% e o modelo subestima ou superestima o VaR
Ao nível de significância de 5% (não confundir com o nível de significância
de 5% considerado para o cálculo do VaR) tem-se a seguinte região de aceitação
para o percentual de dias em que as perdas superam o VaR:
P (0,05 -1,96 . 0,2179 / 100 ≤ percentual ≤ 0,05 +1,96 . 0,2179 / 100) = 95%
P (0,05 - 0,0427 ≤ percentual ≤ 0,05 + 0,0427) = 95%
P (0,0073 ≤ percentual ≤ 0,0927) = 95%
ou
P (0,73% ≤ percentual ≤ 9,27%) = 95%
Conclusão: como o percentual observado de 9% está dentro da região de
aceitação ao nível de significância de 5%, o modelo deveria ser aceito.
b) Se o backtest fosse realizado em 252 dias e o modelo tivesse falhado em
22 dias (8,73%), o modelo deveria ser aceito ou rejeitado?
Resposta - Como o número de dias considerado é maior, a região de aceita-
ção seria reduzida, conforme mostramos a seguir:
P (0,05 -1,96 x 0,2179/ 252 ≤ percentual ≤ 0,05 +1,96 x 0,2179/ 252) = 95%
P (0,05 - 0,0269 ≤ percentual ≤ 0,05 + 0,0269) = 95%
P (0,0231 ≤ percentual ≤ 0,0769) = 95%
ou
P (2,31% ≤ percentual ≤ 7,69%) = 95%
Conclusão: como o percentual observado de 8,73% está fora da região de
aceitação ao nível de significância de 5%, o modelo deveria ser rejeitado. Portanto
a conclusão é a de que o modelo está subestimando o risco, pois as perdas verificadas
têm superado o nível de significância de 5% considerado para o cálculo do VaR em
um nível significativo. Se o percentual observado estivesse abaixo de 2,31% o mode-
lo estaria superestimando o risco, pois as perdas verificadas estariam inferior ao nível
de significância de 5% considerado para o cálculo do VaR em um nível significativo.

E8 Modelos Estatísticos Utilizados em Finanças
Nesta seção, mostraremos algumas das análises de risco de ativos e de cartei-
ras (conjunto de posições em ativos) que são freqüentemente utilizadas em Finanças.
Apresentaremos os modelos clássicos Capital Asset Pricing Model (CAPM) e de
Marckowitz, que analisam a relação retorno esperado/risco16
. Conforme dissemos
no início desta Revisão de Estatística, os interessados em se aprofundar nos tópicos
apresentados deverão recorrer a literaturas especializadas nos temas abordados.
E8.1 ANÁLISES DA RELAÇÃO RETORNO ESPERADO/RISCO E
DA RELAÇÃO CUSTO ESPERADO/RISCO
Quando uma instituição ou uma empresa necessita decidir sobre qual alter-
nativa adotar para aplicar recursos ou para captar recursos, ela deve comparar o
retorno (ou custo) esperado com a volatilidade (risco) do retorno (ou do custo).
Admitindo que a instituição seja avessa ao risco, ela preferirá adotar as alter-
nativas que tenham menores volatilidades, para um dado nível de retorno ou de
custo esperado. Por outro lado, para um dado nível de volatilidade, ela preferirá
maior retorno esperado e menor custo esperado.
Para avaliar e comparar as alternativas de aplicação disponíveis no mercado,
apresentaremos, na seção a seguir, o modelo CAPM.
Na seção E8.3, apresentaremos o modelo de Marckowitz, que avalia a possi-
bilidade de diversificar as aplicações e captações e que permite (em algumas situa-
ções) a redução do risco, sem que haja necessariamente a redução do retorno. O
modelo de Marckowitz também avalia as escolhas das alternativas de aplicação
disponíveis mais adequadas aos perfis dos aplicadores.
E8.2 O CAPITAL ASSET PRICING MODEL
Este modelo parte do pressuposto de que os agentes econômicos sejam aves-
sos ao risco. Conseqüentemente, deve-se esperar uma relação de mercado positiva
entre retorno esperado e volatilidade dos ativos.
Ao plotar em um gráfico bidimensional que meça os riscos e os retornos
esperados das alternativas de aplicação de recursos, ou de investimento de capital,
disponíveis na economia, deve-se esperar, segundo o CAPM, que os pontos se situem
de forma semelhante aos que se encontram no gráfico E8.1, a seguir.
16 No capítulo 1, comentamos a respeito da Teoria de Arbitragem de Preços
(Arbitrage Price Theory – APT).

Ao efetuar uma regressão linear17
entre a variável esperança de retorno dos
ativos e a variável volatilidade dos ativos, chega-se à seguinte equação de reta (cha-
mada de linha característica de mercado, conforme mostrado no gráfico anterior),
decorrente da regressão:
E[Ri
] = αi
+ θ . σi
(E8.1a)
De acordo com o CAPM, o intercepto linear αi
pode ser substituído pela taxa de
juro dos títulos de renda fixa. O coeficiente angular (inclinação) da reta é igual a θ, que
pode ser vista como uma medida do grau de aversão ao risco de mercado, por parte dos
agentes econômicos. Portanto o θ representa o quanto deve haver de acréscimo de
retorno esperado, para cada unidade de aumento da volatilidade esperada do ativo:
E[Ri
] = rf
+ θ . σi
(E8.1b)
onde:
σi
= volatilidade do ativo i.
Seja E[Rm
] a esperança de retorno da carteira de mercado. Como o risco da
carteira de mercado (σm
) é maior do que o risco de renda fixa (que é considerado
igual a zero), de acordo com o CAPM deve-se esperar que E[Rm
] > rf
.
Na medida em que o modelo prevê uma relação linear entre o aumento do
risco e o aumento do retorno para os diversos ativos, o retorno da carteira de mer-
17 No capítulo 8, apresentamos de forma sucinta o conceito de regressão linear.
σ
E [R]
rf
0
Linha Característica
de Mercado
..
. .
. .
.
.
.
Gráfico E8.1 Linha Característica de Mercado

cado (retorno médio) será igual à taxa de renda fixa mais o coeficiente angular da
linha característica de mercado (θ) multiplicada pelo risco da carteira de mercado
(σm
), conforme se pode observar na equação a seguir:
>> E82 (E8.2)
(E8.3)
Portanto, em equilíbrio, o retorno esperado de cada ativo individualmente
deve crescer linearmente com o risco do ativo, de acordo com o CAPM.
Os pontos que estivessem acima da linha característica de mercado
representariam oportunidades de investimento com relação retorno/
risco acima da média, e os pontos que estivessem abaixo da linha
característica de mercado representariam oportunidades de
investimento com relação retorno/risco abaixo da média.
E8.2.1 MODELO CAPM E ESPERANÇAS DE RETORNO DE ATIVOS PARA OS QUAIS
HÁ MERCADOS DERIVATIVOS DESENVOLVIDOS
O modelo CAPM não inclui em sua análise a possibilidade de reduzir ou
mesmo de eliminar os riscos de manter ativos em carteira, por meio da realização
de operações em mercados derivativos.
Como veremos ao longo do livro, é possível eliminar o risco de manter posi-
ção em um ativo com alta volatilidade, realizando-se operações específicas (opera-
ções de hedge) em mercados derivativos, como, por exemplo, a venda do ativo no
mercado a termo ou no mercado futuro, conforme será estudado nos capítulos 4 e 6.
>> 82
E[Rm
] = rf
+ θ . σm
Isolando-se o θ na equação anterior, chegamos a:
θ =
Substituindo o θ na equação (E8.1b), chega-se a:
E[Ri
] = rf
+
ou
E[Ri
] = rf
+
E[Rm
] - rf
σm
E[Rm
] - rf
σm
. σi
E[Rm
- rf
]
σm
. σi

Também será visto na seção 6.5 que, em mercados nos quais não há interfe-
rência governamental ou manipulação de preços, o preço à vista esperado para de-
terminada data futura (E[PVV
]) deverá ser igual ao preço futuro do ativo (Pfuturo)
em situação de equilíbrio, de forma que, em equilíbrio, devemos observar a seguin-
te esperança de retorno (efetivo) do ativo:
>> 83
Portanto, na medida em que é possível eliminar o risco de manter um ativo
financeiro em posição ativa, vendendo-o no mercado futuro, e que o preço futuro de
equilíbrio reflete a variação esperada do preço do ativo, pode-se concluir que o
retorno esperado desse ativo, em situação de equilíbrio, deve ser igual ao retorno
dos títulos de renda fixa (igual à taxa de juro), dado que ambos os conjuntos de
posições têm risco zero18
. Nesta análise consideramos um ativo financeiro que não
tenha rendimentos extras como dividendos ou aluguel.
Portanto, segundo a análise anterior a relação tradicional (linearmente positi-
va) entre retorno esperado e volatilidade do ativo deve ocorrer para os ativos que
não apresentam mercados derivativos desenvolvidos e com alta liquidez e também
quando houver risco na execução de uma atividade. Por exemplo, a construção de
uma fábrica deverá ter retorno esperado acima da taxa de juro, ainda que seja possí-
vel vender a sua produção no mercado futuro, pois ainda permanecerá o risco
operacional referente à construção e à manutenção da produção da fábrica.
Conforme será visto nos capítulos 4 e 6, há diversas fórmulas para encontrar
os preços a termo e futuros de equilíbrio, dependendo das características do ativo.
Por exemplo, se um ativo tem taxa de aluguel (i*) positiva, o seu preço futuro de
equilíbrio é igual a (1+i)t
/(1+i*)t
. PV (onde (1+i)t
é igual ao fator de juros previsto
até o vencimento do mercado futuro e (1+i*)t
é igual ao fator de aluguel previsto até
o vencimento do mercado futuro.
Desse modo, admitindo que este tipo de ativo tenha um mercado futuro ou a
termo bem desenvolvido e que seja possível a todos os seus detentores efetuar hedge,
a variação de preço esperada do ativo deverá ser, em situação de equilíbrio, menor
do que a taxa de juro, mesmo que o ativo tenha volatilidade elevada, na medida em
que é possível eliminar o seu risco por meio dos mercados futuros ou a termo.
Entretanto o rendimento com o aluguel do ativo deverá compensar o seu detentor
pela baixa variação esperada no seu preço.
Se a taxa de aluguel for maior do que a taxa de juro, o preço futuro de
18 Conforme mostrado na seção 6.5, nos mercados futuros bem desenvolvidos verifica-se
uma relação mútua de causa e efeito entre o preço à vista e o preço futuro.
>> 83 E[PVV
]
PV
Pfuturo
PV
- 1- 1=

equilíbrio torna-se inferior ao preço à vista e a esperança de variação de preços
torna-se negativa em situação de equilíbrio. Também neste caso, a taxa de aluguel
elevada deverá compensar o detentor do ativo.
Como exemplos de esperanças de variação de preços negativas, menciona-
mos, a seguir, duas situações para as quais teremos que precificar produtos derivati-
vos ao longo do livro:
➢ produtos agropecuários no período da entressafra têm tendência de queda
de preços até o período da safra.
Por exemplo, se a arroba do boi gordo custa R$ 40 em julho (mês de
entressafra), o preço futuro da arroba para fevereiro (mês de safra) poderá ser de
R$ 35. Neste caso, a taxa de dividendos equivalentes ao aumento de peso esperado
até a época da safra, seria superior à taxa de juro, o que justifica a tendência de
queda de preços. Entretanto, o ganho esperado de peso do gado deverá levar o
retorno esperado de volta ao equilíbrio, que, devido ao risco do desenvolvimento da
atividade, deverá ser superior à taxa de juro.
➢ taxas de câmbio em relação ao dólar americano, de países que tenham
taxa de inflação sistematicamente superior à dos Estados Unidos têm tendência de
queda, dado que a paridade do poder de compra das moedas não pode ser alterada
indefinidamente19
.
Por exemplo, se a taxa de câmbio de um país que tenha inflação elevada em
relação ao dólar americano estiver em US$ 0,50 para uma unidade monetária do
país em determinado momento, o preço futuro da moeda para seis meses poderá ser
de US$ 0,40 para uma unidade monetária do país. Neste caso, a diferença entre as
taxas de juros dos países deverá compensar a tendência de queda de valor da moeda.
Como possibilidades de esperanças de variação de preços acima das taxas de
juros, vamos citar dois exemplos:
➢ produtos agropecuários no período de safra:
Esses produtos têm tendência de aumento de preço a taxa superior à taxa de
juro até o período da entressafra. Por exemplo, se a arroba do boi gordo custa R$ 35
19 O conceito de taxas de câmbio ao qual estamos nos referindo é o da quantidade
de dólares necessária para adquirir uma unidade das moedas dos países. Este é o
conceito considerado no mercado futuro de real negociado nos Estados Unidos.

em fevereiro (mês de safra), o preço futuro da arroba para julho (mês de entressafra)
poderia ser de R$ 42, ao passo que a taxa de juro efetiva no período poderia ser de
apenas 8%. Entretanto, a perda de peso do gado deverá levar o retorno esperado de
volta ao equilíbrio, que deverá ser superior à taxa de juro, devido ao risco de desen-
volvimento da atividade.
➢investimento na construção de uma fábrica
Devido aos riscos envolvidos, de acordo com o CAPM o retorno esperado do
projeto de construção e manutenção da fábrica deverá ser superior à taxa de juro,
pois, caso contrário, o projeto não seria implementado (conforme vimos, o CAPM
admite que os agentes econômicos sejam avessos ao risco).
Portanto, se uma empresa pretendesse realizar um contrato particular para
comprar uma opção de compra da fábrica a ser construída, que lhe desse o direito
(mas não a obrigação) de adqüiri-la quando ela estivesse pronta20
, de acordo com
condições previamente estabelecidas, a esperança de retorno da fábrica (superior à
taxa de juro) deveria ser considerada na determinação do preço justo da opção.
Neste caso, o preço justo da opção seria maior do que o preço justo que seria obtido,
caso a esperança de retorno da fábrica fosse igual à taxa de juro.
Na seção 6.5.2 mostraremos que, em mercados em que haja interferência
governamental (como ocorre, geralmente, nos mercados de câmbio, por exemplo)
ou em que haja manipulação de preços, o preço futuro poderá não representar um
bom estimador do preço à vista no vencimento.
Ao longo do livro teremos que precificar diversos derivativos de ativos que
tenham, em situação de equilíbrio, esperanças de variação de preços iguais ou dife-
rentes da taxa de juro, e, conforme veremos, os preços de equilíbrio dos derivativos
também são influenciados pelas variáveis que afetam a esperança de variação de
preços dos ativos.
E8.3 REDUÇÃO DE RISCO GERADA PELA DIVERSIFICAÇÃO DAS APLICAÇÕES
De forma semelhante à análise das combinações de duas variáveis que vimos
no exemplo E5.2, também é possível fazer uma análise gráfica do conjunto de balan-
ços factíveis (balanços possíveis de serem montados) para um aplicador de recursos,
na hipótese de haver mais de duas variáveis nas quais ele possa assumir posições,
captando ou aplicando recursos.
20 Essas modalidades de opções são conhecidas como “opções reais” e há diversos
artigos e até livros sobre o tema, que tratam, inclusive, de modelos de precificação das
opções reais.

Quando há mais de duas variáveis, o conjunto das possíveis combinações de
posições deixa de ser representado por uma linha e passa a ser representado por uma
área. Por exemplo, admitindo que haja quatro variáveis, A, B, C e D, o conjunto de
combinações de posições possíveis passa a ser representado por um gráfico seme-
lhante ao gráfico E8.2, a seguir:
Neste caso, a fronteira eficiente é representada pela linha de fronteira à direi-
ta do balanço de mínima volatilidade.
A área que representa o conjunto de balanços factíveis está situada abaixo da
linha de fronteira eficiente. O formato da linha de fronteira eficiente dependerá da
relação retorno/volatilidade de cada variável e das correlações entre as variáveis.
E8.3.1 FRONTEIRA EFICIENTE E A TEORIA DE ADMINISTRAÇÃO DE CARTEIRAS, DE
HARRY MARKOWITZ
A teoria de administração de carteiras (ou de diversificação de carteiras), de
Markowitz, visa à redução do risco de um balanço cujas posições não sejam perfei-
tamente correlacionadas, sem que, necessariamente, seja sacrificado o retorno espe-
rado. Markowitz partiu da hipótese de que os retornos dos ativos seguem distribui-
ções normais. O grande atrativo dessa hipótese é que uma distribuição fica perfeita-
mente conhecida apenas pelo conhecimento de sua média e de seu desvio padrão.
σ
E [Retorno]
. C
. D
Fronteira
Eficiente
Cmín
Conjunto de Possibilidades de Aplicação
(Conjunto de Balanços Factíveis)
. B
. A
Gráfico E8.2 Conjunto de Possibilidades de Aplicação e Fronteira Eficiente

Markowitz admitiu, também, as hipóteses de que os aplicadores preferem
maiores retornos esperados do que menores retornos esperados e de que ficam mais
satisfeitos em estar expostos a menores riscos, em relação a maiores riscos. Portanto
as curvas de indiferença (curvas que representam o conjunto de pontos que tornam o
aplicador igualmente satisfeito) deveriam ser positivamente inclinadas no gráfico re-
torno esperado/risco, conforme ilustrado no gráfico E8.2b. Neste gráfico a curva de
indiferença U3
representa um nível de satisfação maior do que o da curva de indiferen-
ça U2
que, por sua vez, representa um nível de satisfação maior do que o da curva U1
.
A Escolha da Composição de Posições
As posições deveriam ser combinadas de modo a se obter o balanço que
maximizasse a utilidade do aplicador. Este processo de maximização pode ser
visualizado no gráfico a seguir:
Há programas de computadores que calculam a fronteira eficiente a partir de
um conjunto de variáveis.
E8.3.1.1 INCLUSÃO DE TÍTULOS COM VOLATILIDADE NULA
Conforme será estudado nos capítulos 9, 21 e 30, os títulos de renda fixa
prefixados têm risco, dado que suas cotações, antes das datas de seus vencimentos,
σ
E [Retorno]
. A
. C
. D
Cmín
rf
Combinação que Maximiza a
Utilidade do Aplicador
U3
U2
U1
Fronteira
Eficiente
. B
.
(Conjunto de Balanços Factíveis). A
Gráfico E8.2b Maximização da Utilidade do Aplicador

flutuam à medida que as taxas de juros previstas pelo mercado até essas datas flutu-
em. Entretanto, o risco será nulo se ele estiver sendo analisado para um período
idêntico ao prazo até o vencimento do título.
Outra forma de tornar coerente com a realidade a hipótese admitida por
Markowitz de que um título de renda fixa prefixado apresenta risco nulo é admitir
que o título seja intransferível, e que o seu emissor garanta a sua recompra pelas
cotações de sua curva. É necessário que o título seja intransferível, para que o seu
detentor não possa revendê-lo, caso haja uma redução nas taxas de juros, o que
acarretaria um aumento na cotação do título. Este seria o caso de uma empresa que
aplicasse recursos sob a forma de um recibo de depósito bancário (RDB21
) em um
banco que garantisse a recompra do RDB pela cotação da curva, a qualquer momento.
Considerando que existem títulos de renda fixa que seguem exatamente a traje-
tória da curva, ou seja, títulos não intercambiáveis em que o emissor garante o resgate
antecipado com a rentabilidade proporcional à taxa da emissão do título, o compra-
dor do título não estará sujeito ao risco de obter uma taxa de rendimento menor do
que a taxa inicial, caso necessite dos recursos antes do vencimento do título.
Ao introduzir a possibilidade de aplicar ou de captar recursos à taxa do título
de renda fixa, que, para Markowitz, seria um título do governo americano, a fron-
teira eficiente passa a ser uma linha reta que tangencia a fronteira eficiente original,
como pode ser observado no gráfico a seguir:
21 Os RDBs não são intercambiáveis (são intransferíveis) e os certificados de depó-
sitos bancários (CDBs) são intercambiáveis (são transferíveis).
σ
E [Retorno]
. A
. C
. D
Cmín
rf
Combinação que Maximiza a
Utilidade do Aplicador
U3
U2
U1
Fronteira
Eficiente
. B
.
(Conjunto de Balanços Factíveis)
. A
F
E
.
Gráfico E8.3 Maximização da Utilidade do Aplicador Quando Há Título de Renda Fixa

Pelo gráfico anterior, pode-se perceber que a combinação que maximiza a
utilidade do aplicador é a representada pelo ponto F, que está fora do conjunto de
pares ordenados (E[R],σ) possíveis antes de considerarmos o título de renda fixa.
Após a introdução da variável renda fixa, há um deslocamento da fronteira eficiente
para a reta que tangencia o conjunto de combinações (E[R],σ) possíveis originalmen-
te. Conseqüentemente, o conjunto de combinações (E[R] σ) possíveis amplia-se para
a área situada abaixo da reta de fronteira eficiente.
Para que o aplicador possa atingir o ponto F, é necessário que ele aplique o
capital inicial em renda variável, na combinação representada pelo balanço E (que é
um ponto possível, mesmo quando não se considera a possibilidade de captar ou
aplicar recursos no mercado de renda fixa) e capte no mercado de renda fixa (que
possui custo menor do que o retorno esperado do balanço E) a quantia necessária
para complementar a aplicação na composição representada pelo balanço E (que
possui retorno esperado maior), levando à combinação representada pelo balanço F.
Qualquer combinação eficiente à direita do ponto E será composta de capta-
ções em renda fixa para complementar a aplicação na composição E. As combina-
ções sobre a fronteira eficiente à esquerda do ponto E serão compostas de aplicações
de parte do capital inicial em renda fixa.
Caso o aplicador aplique 100% de seu capital em renda fixa, o seu balanço
será representado por um ponto sobre o eixo das ordenadas.
E8.4 REDUÇÃO DE RISCO, DECORRENTE DO AUMENTO DO NÚMERO DE ATIVOS
E8.4.1 HIPÓTESE DE INDEPENDÊNCIA ENTRE OS ATIVOS
Vamos admitir que um aplicador divide as aplicações do seu patrimônio
líquido em n ativos, sendo o valor destinado a cada ativo igual a 1/n . PL. Se os n
ativos são independentes e possuem desvio padrão igual a σ, o desvio padrão do
patrimônio líquido será igual a:
>> 84
Portanto o desvio padrão de um capital alocado em n ativos
independentes entre si tende para zero, à medida que n tende para
infinito, considerando que cada ativo receba a alocação de 1/n do
capital total e que possua o mesmo desvio padrão.
>> 84 σ PL = [n . ( 1/n )2 . σ2
]1/2
= [1/n . σ2
]1/2
= (1/n)1/2 . σ

A redução do risco do capital, em decorrência do aumento do número de
ativos, pode ser observada no gráfico E8.4 a seguir:
Este gráfico nos permite concluir que, à medida que n tende para infinito, o
risco do capital a ser aplicado (PL) tende para zero.
E8.4.2 DIVERSIFICAÇÃO NO MERCADO DE AÇÕES
Na realidade de um mercado acionário, as ações individuais não são inde-
pendentes entre si (geralmente as ações são positivamente correlacionadas), não
possuem desvios padrão iguais, e o número máximo de ações que podem ser utiliza-
das para a alocação de um capital não é infinito (é igual ao número de ações do
mercado).
Desse modo, a redução de risco ocasionada pela diversificação não reduz o
risco a zero, mas, sim, ao risco da carteira de mercado, que é conhecido como risco
sistemático ou risco não-diversificável.
O risco de cada ação individualmente pode ser eliminável pela diversificação
e é conhecido como risco único, risco não-sistemático ou, ainda, como risco
diversificável.
Os riscos mencionados podem ser observados no gráfico a seguir.
0 n
σ PL
σ 1 ativo
Gráfico E8.4 Redução do Risco do PL à Media que Aumenta o Número de Ativos

Pelo que vimos nos gráficos anteriores, é possível afirmar que a diversificação
reduz riscos (volatilidades).
No capítulo 8 estudaremos o mercado futuro de Índice da Bolsa de Valores
de São Paulo (mercado futuro de IBOVESPA) e retornaremos a este assunto mais
detalhadamente. No referido capítulo veremos que o risco não-diversificável é
eliminável por meio do mercado futuro de índice da bolsa.
As Referências Bibliográficas encontram-se ao final do Volume 2.
0 n
σ PL
σ 1 ativo
R i s c o
To t a l
risco não-sistemático ou diversificável
(eliminável por meio da diversificação)
risco sistemático ou não-diversificável
(eliminável por meio do mercado futuro de índice)
Gráfico E8.5 Redução do Risco Decorrente da Diversificação
de Aplicação em Diversas Ações

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