Apresentação 2

Engenharia Elétrica – 3º Semestre

Cilindro de raio R 1 e altura h 1 .

Tronco do cone, com raio menor igual ao raio do cilindro (R 1 ), raio maior igual a R 2 e altura h 2.

Segmento Esférico de Raio R 3, com raio inferior igual a R 4, raio superior igual a R 5, altura igual a h 3.

Calculo do Volume do Cilindro.

Por Geometria Espacial. Vc = π.R².h

Por Coordenadas Cilíndricas. ∫ ∫ ∫ dz r dr dө Vc = ∫ ∫ ∫ dz r dr dө Vc = ∫ ∫ h.r dr dө Vc = ∫ h.r 2 / 2│ dө Vc = ∫ h.R 2 / 2 dө Vc = h.R² / 2 . (2π) Vc = h. R².π R 0 0 0 0 0 0 0 2π R R 2π 2π 2π h 0 R

Por Coordenadas Cartesianas. V = ∫ ∫ ∫ dz dy dx -R R -√R² - x² √ R² - x² 0 h

V = 2 ∫ ∫ z│ dy dx √ R² - x² 0 -R R 0 h

E por outra simetria temos que:

V = 4 ∫ ∫ h dy dx V = 4h ∫ √R² - x² dx 0 0 R R 0 √ R² - x²

R ө X √ R² - x² sen ө = x/R x = R sen ө dx/d ө = R cos ө dx = R cos ө d ө Usando a Técnica de Substituição Trigonométrica

V = 4h ∫ √R² - R²sen² ө R cos ө d ө V = 4Rh ∫ √R² (1-sen² ө ) cos ө d ө cos² ө ↓ V = 4R²h ∫ cos² ө d ө V = 4R²h ∫ (1/2 + ½ cos2 ө ) d ө V = 2R²h [ ө │ + ½ sen2 ө │ ] V = π R² h 0 π /2 π /2 π /2 π /2 π /2 0 0 0 0 0 π /2

Para o calculo do volume do tronco calcularemos o volume do cone todo, e depois faremos um corte ( na altura do tronco que iremos calcular ) calculando assim o volume do cone da parte de cima. Com isso iremos subtrair do volume do cone maior o volume do cone menor, tendo assim a área do tronco.

Por Geometria Espacial Vc = π R² h / 3

Por Coordenadas Esféricas Vc = ∫ ∫ ∫ dө r dr dy Vc = ∫ ∫ ө │ r dr dy Vc = ∫ ∫ 2π r dr dy Vc = ∫ 2π r² / 2 │ dy Vc = ∫ π r².y² / h² dy Vc = π r².y³ / 3h² │ Vc = π r².h³ / 3h² Vc = π r².h / 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h h h h Ry/h Ry/h Ry/h 2π 2π 0 Ry/h 0 h h 0

Para o calculo do segmento esférico calculamos primeiramente o volume da esfera como um todo. Depois, calculamos o volume das calotas esféricas (sendo uma diferente da outra), subtraindo do volume da esfera os volumes encontrados nas duas calotas, tendo assim o volume do segmento esférico.

Por Geometria Espacial (Esfera) V = (4/3) π R³

Por Geometria Espacial (Calota esférica) Vc = π h²(3R-h)/3

Por Coordenadas Esféricas (Esfera) V = ∫ ∫ ∫ ρ² senφ dρ dφ dө V = ∫ ∫ ρ³/3 │ senφ dφ dө V = -R³/3 ∫ cosφ │ dө V = -R³/3 [cosπ – 1] ∫ dө V = 2R³/3 ө │ V = 4πR³/3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2π 2π 2π 2π 2π π π π R R

Volume da calota A equação desta esfera será dada por: x² + y² + (z-R)² = R² A altura da calota será indicada pela letra h e o plano que coincide com o raio da calota será indicado por z=h. A interseção entre a esfera e este plano é dado pela circunferência x² + y² = R² - (h-R)²

Obteremos o volume da calota esférica com a altura h menor ou igual ao raio R da esfera, isto é, h pertence ao intervalo [0,R] e neste caso poderemos explicitar o valor de z em função de x e y para obter: Z = R - √R² - (x² + y²) Para simplificar as operações algébricas, usaremos a letra r para indicar: r² = R² - (h-R)² = h(2R-h) A região circular S de integração será descrita por x²+y² < R² ou em coordenadas polares através de: 0 < m < R, 0 < t < 2 π

A integral dupla que representa o volume da calota em função da altura h é dada por: Vc (h) = ∫ ∫ (h – z) dx dy ou seja Vc (h) = ∫ ∫ (h – R + √R² - (x² + y²)) dx dy Escrita em Coordenadas Polares, esta integral fica na forma: Vc(h) = ∫ ∫ (h – R + √R² - (R² + m²) m dm dt Após realizar a integral na variável t, podemos separá-la em duas integrais: Vc(h) = 2π { ∫ (h – R) m dm + ∫ √R² - m² m dm} 0 0 R R 0 0 2 π R s s

ou seja: Vc(h) = π {(h – R) R² - ∫ √R² - m² (-2m) dm} Com a mudança de variável u=R²-m² e du=(-2m)dm poderemos reescrever: Vc(h) = π {(h – R) R² + ∫ √u du} Após alguns cálculos obtemos: VC(h) = π (h-R) [R² -(h-R)²] - (2/3) π [(R-h)³ - R³] e assim temos a fórmula para o cálculo do volume da calota esférica no hemisfério Sul com a altura h no intervalo [0,R], dada por: VC(h) = π h²(3R-h)/3 0 R² 0 R

Como vimos anteriormente, o volume total da figura será dado por:

Medidas do Cilindro. Vcilindro = πR²h Vcilindro = 3,14 * 3,87² * 5,15 Vcilindro = 242,94 ml Altura (h) : 5,15 cm Raio (R) : 3,87 cm

Medidas do Cone. Temos que: Raio Maior: 6.12 cm Raio Menor: 3.87 (Igual ao do cilindro) Altura do Tronco: 2,25 cm Assim, temos que:

Então temos que: Tg ө = h / Raio maior – Raio menor Tg ө = 2,25 / 6,12 – 3,87 Tg ө = 2,25 / 2,25 Tg ө = 1 ө = 45º

Com o ângulo descobrimos as medias do cone todo, pois: Tg 45º = Hcone / 6,12 Hcone = 6,12 cm

Agora, calcularemos a altura do cone menor: Tg 45º = Hcone Menor / 3,87 Hcone = 3,87 cm

Volume do cone maior: Vcone Maior = π R² h / 3 Vcone Maior = 3,14 * 6,12² * 6,12 / 3 Vcone Maior = 240,50 ml Volume do cone menor: Vcone Menor = π R² h / 3 Vcone Menor = 3,14 * 3,87² * 3,87 / 3 Vcone Menor = 60,69 ml

Como foi dito antes, o volume do tronco corresponde ao volume do cone maior menos o volume do cone menor, tendo assim: Vtronco = Vcone maior – Vcone menor Vtronco = 240,50 – 60,69 Vtronco = 179,81 ml

Medidas da Esfera: Raio (R) = 7,75 cm Então, o volume da esfera toda: Vesfera = 4 π R³ / 3 Vesfera = 4 * 3,14 * 7,75³ / 3 Vesfera = 1.949,81 ml

Agora temos duas calotas diferentes: Raio da calota superior (Igual ao do cone) = 6,12 cm Raio da calota inferior = 5,82 cm Altura da calota superior = 3,00 cm Altura da calota inferior = 2,69 cm Obs: O raio usado na formula encontrada não é o raio da calota, e sim o raio da esfera.

Calota Superior: Vcalota↑ = π h² ( 3R – h) / 3 Vcalota↑ = 3,14 * 3,00² ( 3*7,75 – 3,00) / 3 Vcalota↑ = 191,23 ml Calota Inferior: Vcalota↓ = π h² ( 3R – h) / 3 Vcalota↓ = 3,14 * 2,69² ( 3*7,75 – 2.69) / 3 Vcalota↓ = 156,53 ml

Como vimos, o volume do segmento esférico é igual ao volume da esfera menos o volume das duas calotas. Vsegmento = Vesfera - Vcalota↑ - Vcalota↓ Vsegmento = 1949,81 – 191,23 – 156,53 Vsegmento = 1602,05 ml

Como vimos, o volute total da figura será dado por:

Volume Total = Vcilindro + Vtronco + Vsegmento Volume Total = 242,94 + 179,81 + 1602,05 Volume Total = 2024,80 ml

Paquímetro ( precisão de 0,05 )

Corel Draw X3 – Graphics Suite

Alunos: Claudio Yoshio Kanno Rodrigo Massato Kikuchi Thiago Côrtes de Almeida Docente: Valdemir Antunes

Apresentação 2

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