Algoritmet C++

Universiteti i Prishtinës
Fakulteti i Inxhinierisë Elektrike dhe Kompjuterike

Agni H. Dika

Prishtinë 2007

Libri të cilin e keni në dorë së pari u dedikohet studentëve të
Fakultetit të Inxhinierisë Elektrike dhe Kompjuterike në Prishtinë. Por, ai
mund të përdoret edhe nga të interesuar tjerë për programim me
kompjuter.
Njësitë mësimore në libër janë organizuar ashtu që materiali i
përfshirë brenda tyre të jetë sa më i afërt për të gjithë ata të cilët fillojnë të
punojnë me kompjuter. Për këtë qëllim, gjatë shpjegimit të algoritmeve
janë shfrytëzuar shembuj të ndryshëm, duke filluar nga ato elementare.
Në libër, çdo algoritmi i shoqërohet edhe programi përkatës i
shkruar në gjuhën programuese C++, ashtu që përmes ekzekutimit në
kompjuter, të jetë edhe më i qartë funksionimi i tyre. Lexuesit të cilët nuk
kanë njohuri mbi gjuhën programuese C++, pa asnjë pengesë mund t'i
kapërcejnë programet që paraqiten në libër.

Autori

Paraqitja analitike 2
Paraqitja grafike 4
Testimi i algoritmeve 7
Përcjellja në kompjuter 9

2 Algoritmet

Grumbulli i veprimeve me një radhë të fiksuar, të cilët ndërmerren gjatë
zgjidhjes së një problemi të caktuar, quhet algoritëm.
Në jetën e përditshme, për zgjidhjen e problemeve të ndryshme, njeriu krijon
algoritme përkatëse, duke shfrytëzuar dijen e grumbulluar. Por, me kohë,
algoritmet që përsëriten fiksohen në ndërdije dhe sipas nevojës shfrytëzohen si të
gatshme. Kështu, p.sh., ardhja para rrugëkryqit, çdo këmbësori i imponon
përdorimin e algoritmit, i cili mund të përshkruhet përmes tekstit të dhënë në
Fig.1.1.

Nëse në rrugëkryq është vendosur semafori
dhe ai punon, rruga mund të kalohet në
vendëkalim pasi të paraqitet ngjyra e
gjelbër. Nëse në rrugëkryq nuk ka semafor,
ose ai nuk punon, rruga mund të kalohet në
vendkalim kur nuk ka automjete, duke shikuar
majtas dhe djathtas.

Fig.1.1 Algoritmi logjik për kalimin e rrugëkryqit
Varësisht nga operacionet që përdoren gjatë përpilimit, algoritmet mund të
grupohen në algoritme logjike dhe algoritme numerike. Derisa algoritmet
logjike mbështeten në operacione dhe konkluzione logjike, ashtu siç shihet në
shembullin e algoritmit të dhënë më sipër, në algoritmet numerike shfrytëzohen
operacionet dhe shprehjet aritmetikore.

Paraqitja analitike
Në formë më të lirë, paraqitja analitike e algoritmeve duket ashtu siç është
dhënë në shembullin e algoritmit për kalimin e rrugëkryqit, në Fig.1.1. Kjo formë
e paraqitjes së algoritmeve, nëse përdoret gjatë zgjidhjes së problemeve të
komplikuara, mund të jetë e paqartë dhe e papërcaktuar plotësisht.
Në praktikë përdoret forma analitike e paraqitjes së algoritmeve e shprehur
përmes një numri hapash, të cilët kryhen sipas një radhe të fiksuar plotësisht.
Kështu, shembulli i algoritmit të dhënë në Fig.1.1, i paraqitur në 10 hapa, do të
duket si në Fig.1.2.

Paraqitja e algoritmeve 3

1. Fillimi
2. A ka semafor?
Nëse JO, hapi i 6.
3. A punon semafori?
Nëse JO, hapi i 6.
4. A është paraqitur ngjyra e gjelbër?
Nëse PO, hapi i 9.
5. Duhet pritur. Hapi i 4.
6. Shiko majtas e djathtas
7. A ka automjete?
Nëse JO, hapi i 9.
8. Duhet pritur. Hapi i 6.
9. Kalo rrugën në vendëkalim
10. Fundi.
Fig.1.2 Forma analitike e algoritmit për kalimin e rrugëkryqit
Hapat e veçantë të këtij algoritmi kryhen me radhë prej fillimi, derisa nuk
urdhërohet kapërcimi në një hap të caktuar. Kështu, p.sh., nëse në rrugëkryq ka
semafor dhe paraqitet ngjyra e gjelbër, vargu i hapave nëpër të cilët do të kalohet
gjatë ekzekutimit të algoritmit të dhënë është: 1, 2, 3, 4, 9 dhe 10. Por, në
kushtet e kulturës së komunikacionit në hapësirat tona, kur shpesh ndodh që
automjetet e kalojnë rrugëkryqin kur në semafor është e ndezur drita e kuqe, më
e sigurt për këmbësorin është nëse hapi i katërt i algoritmit shkruhet kështu:

4. A është paraqitur ngjyra e gjelbër?
Nëse PO, hapi i 6.

ashtu që para se të kalohet rrugëkryqi, pavarësisht se për këmbësor është
paraqitur ngjyra e gjelbër, duhet të shikohet mos ndoshta kalon ndonjë automjet.
Kështu, për rastin e përmendur më sipër, kur në rrugëkryq ka semafor dhe është
paraqitur ngjyra e gjelbër, vargu i hapave nëpër të cilët kalohet është: 1, 2, 3, 4,
6, 7, 9 dhe 10.
Tek algaritmet numerike hapat e veçantë janë më të qartë, sepse konsistojnë
në operacione dhe në shprehje matematikore.

4 Algoritmet

Shembull Algoritmi numerik për llogaritjen e vlerës së funksionit:

⎧ x2 për x < 0.9
⎪
y = ⎨ 2x për x = 0.9
⎪x − 3 për x > 0.9
⎩

nëse dihet vlera e variablës x.

1. Fillimi.
2. Merre vlerën e variablës x
3. A është x<0.9, ose x=0.9, ose x>0.9?
Nëse x<0.9, hapi i 4.
Nëse x=0.9, hapi i 5.
Nëse x>0.9, hapi i 6.
4. y=x2. Hapi i 7.
5. y=2x. Hapi i 7.
6. y=x-3. Hapi i 7.
7. Shtype vlerën e variablës y
8. Fundi.
Fig.1.3 Algoritmi numerik
Algoritmi i dhënë është shkruar duke pasur parasysh zgjidhjen e këtij
problemi me kompjuter, gjë që vlen edhe për të gjithë algoritmet të cilat janë
dhënë në pjesën vijuese të librit. Gjatë ekzekutimit të këtij algoritmi, nëse për
variablën x merret vlera 4.7, do të kalohet nëpër hapat: 1, 2, 3, 6, 7 dhe 8.
Tek algoritmet e përbëra paraqitja e detajizuar e hapave të veçantë të
algoritmit e komplikon shumë dhe e bën të paqartë strukturën logjike të
algoritmit. Prandaj, si zgjidhje imponohet nevoja e paraqitjes së algoritmit në disa
hapa të përgjithësuar, përkatësisht të përpilimit të algoritmit të përgjithësuar. Pastaj,
për çdo hap të veçantë, mund të përpilohet edhe algoritmi i detajizuar.

Paraqitja grafike
Gjatë paraqitjes analitike të algoritmeve, nëse kemi të bëjmë edhe me
algoritme relativisht të komplikuara, vështirë se mund të ndiqet rrjedhja e
procesit llogaritës. Në praktikë, algoritmet paraqiten përmes skemave grafike, për
vizatimin e të cilave përdoren disa figura gjeometrike, përkatësisht blloqe të formave të
ndryshme.
Forma gjeometrike e blloqeve që shfrytëzohen gjatë përpilimit të skemave
grafike e tregon edhe natyrën e operacioneve që kryhen brenda tyre. Disa nga


blloqet elementare që përdoren gjatë vizatimit të skemave grafike janë dhënë në
Fig.1.4.

Blloku Përdorimi

Fillimi Tregon fillimin e algoritmit

Lexohen vlerat e variablave të shënuara
në bllok

Shtypen vlerat e variablave të shënuara
në bllok

Kryhen veprimet ose llogaritjet, duke
shfrytëzuar shprehjet e shënuara në bllok

Përcaktohet degëzimi i veprimeve të
ose mëtejme, duke pasur parasysh kushtet e
shënuara në bllok

Fundi Tregon fundin e algoritmit

Fig.1.4 Blloqet elementare
Me leximin e vlerave të variablave të shënuara në bllok nënkuptohet marrja e
vlerave përkatëse përmes njësisë hyrëse dhe vendosja e tyre në kujtesën e
kompjuterit. Kurse përmes shtypjes vlerat e variablave merren nga kujtesa e
kompjuterit dhe shtypen në njësinë dalëse të tij.
Skemat grafike të vizatuara duke shfrytëzuar blloqe të formave të ndryshme,
shpesh quhen edhe bllok-diagrame, siç do të quhen edhe në pjesën vijuese të librit.

Shembull Algoritmi për llogaritjen e sipërfaqes s dhe perimetrit p të
katërkëndëshit kënddrejtë, me brinjët a dhe b.

6 Algoritmet

a. Forma analitike

1. Fillimi.
2. Merri vlerat e brinjëve: a, b
3. s=a⋅b
4. p=2⋅(a+b)
5. Shtypi vlerat e llogaritura: s, p
6. Fundi.
Fig.1.5
b. Forma grafike
Fillimi 1

a,b 2

s=a⋅b 3

p=2⋅(a+b) 4

s,p 5

Fundi 6

Fig.1.6

Shembull Bllok-diagrami i algoritmit për kalimin e rrugëkryqit, i cili u
dha në formë analitike në Fig.1.2.


Fillimi 1
8
Jo Duhet
2 A ka semafor
pritur
Po
3 Jo
A punon semafori Shiko majtas
6
Po e djathtas
Duhet 5
pritur 7 Po
A ka automjete
A është paraqitur Jo
4
Jo drita e gjelbër
Po
Kalo rrugën në vendkalim 9

Fundi 10

Fig.1.7 Bllok-diagrami i algoritmit për kalimin e rrugëkryqit
Nga shembujt e dhënë shihet se paraqitja e algoritmeve përmes bllok-
diagrameve jep një dukshmëri shumë më të madhe të veprimeve që kryhen
brenda blloqeve, si dhe në krejt algoritmin.

Testimi i algoritmeve
Me qëllim të kontrollimit të saktësisë së funksionimit të algoritmeve që
përpilohen, duhet të bëhet testimi i tyre, duke marrë vetëm vlerat me të cilat
përfshihen të gjitha rastet e mundshme të shfrytëzimit të tyre. Në këtë mënyrë,
me punë minimale vërtetohet sjellja reale e algoritmeve para përdorimit praktik
të tyre.

Shembull Testimi i algoritmit numerik të dhënë në Fig.1.3, duke e
përpiluar fillimisht bllok-diagramin përkatës.

8 Algoritmet

a. Bllok-diagrami
Fillimi 1

x 2

< > 3
x < 0.9
-
>
=
y=x2 4 y=2x 5 y=x-3 6

y 7

Fundi 8

Fig.1.8
Me qëllim që testimi i bllok-diagramit të rrjedhë me një procedurë standarde,
mund të shfrytëzohet një tabelë për testim, p.sh., si ajo që është dhënë në Fig.1.9.

b. Testimi - për x=4.7

Vlerat numerike
Hapi Blloku Urdhri Rezultati
merren
Fillimi i
1 1 Fillimi -
algoritmit
2 2 Lexo: x Prej njësisë hyrëse x=4.7
3 3 Pyet:x≤0.9 x → 2 >
4 6 y=x-3 x → 2 y=4.7-3=1.7
Shtypet
5 7 Shtyp: y y → 3 numri 1.7
Fundi i
6 8 Fundi -
algoritmit

Fig.1.9
Në tabelë, me shkurtesat x→2 dhe y→3 duhet nënkuptuar se vlera
numerike e variablës x merret nga hapi i 2, kurse ajo e variablës y - nga hapi i 3.
Gjithnjë, mes Fillimit dhe Fundit të algoritmit, gjegjësisht bllok-diagramit,
ekziston një rrugë e mbyllur, e cila, varësisht nga vlerat hyrëse, kalon nëpër pjesë të
ndryshme të bllok-diagramit, ose një numër të ndryshëm herësh në pjesë të
caktuara të tij.


c. Rruga - për x=4.7

1

2

3

4 5 6

7

8

Fig.1.10
Testimi i algoritmit do të jetë komplet vetëm nëse, duke kaluar nëpër të
gjitha rrugët e mundshme, vërtetohet funksionimi i saktë i tij.
Algoritmet nëpër blloqet e bllok-diagramit përkatës të të cilëve mund të
kalohet vetëm njëherë, p.sh. si ai që është dhënë në Fig.1.6, quhen algoritme
lineare. Kurse, algoritmet te bllok-diagramet e të cilëve paraqiten më shumë degë,
p.sh. ashtu siç është ai i dhënë në Fig.1.8, quhen algoritme të degëzuara.

Përcjellja në kompjuter
Përkthimi i algoritmeve në një formë të kuptueshme për kompjuterin bëhet
duke i shkruar programet përkatëse në një gjuhë programuese. Meqë aktualisht njëra ndër
gjuhët programuese më të popullarizuara është gjuha C, përkatësisht versioni i saj
C++, në pjesën vijuese të librit, përveç paraqitjeve grafike të algoritmeve, do të
jepen edhe programet përkatëse në këtë gjuhë.

Shembull Programi i cili është shkruar në bazë të bllok-diagramit të
dhënë në Fig.1.8.

10 Algoritmet

// Programi Prg1_8
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
double x,y;
cout << "Vlera e variablës x=";
cin >> x;
if (x < 0.9)
y=x*x;
else
if (x == 0.9)
y=2*x;
else
y=x-3;
cout << "Rezultati y="
<< y
<< "n";
return 0;
}

Gjatë ekzekutimit të programit, nëse pas mesazhit:

Vlera e variablës x=

përmes tastierës kompjuterit i jepet vlera 4.7, në ekran do të shtypet vlera e
variablës y, kështu:

Rezultati y=1.7

gjë që i përgjigjet vlerës së fituar në tabelën e Fig.1.9.

Shumat e zakonshme 12
Shumat e çfarëdoshme 20

12 Algoritmet

Gjatë zgjidhjeve të problemeve të ndryshme, shpesh herë nevojitet të
mblidhen anëtarët e një serie numrash. Në matematikë kjo mbledhje realizohet
duke shtuar një nga një anëtarët e serisë, gjë që mund të shfrytëzohet edhe gjatë
zgjidhjes së këtij problemi me kompjuter. Për shtimin automatik të anëtarëve të
serisë, në algoritëm duhet të shfrytëzohet një unazë e mbyllur, para së cilës vlera
fillestare e shumës merret zero.

Shumat e zakonshme
Si raste më të thjeshta të llogaritjes së shumave merren mbledhjet e numrave
natyrorë, katrorëve ose kubeve të këtyre numrave, numrave natyrorë tek ose çift
etj.

Shembull Shuma e numrave natyrorë mes 3 dhe n, nëse është dhënë
vlera e variablës n.

n
s = 3 + 4 + ... + n = ∑i
i=3

Llogaritja e shumës 13

a. Bllok-diagrami b. Rruga - për n=5

Fillimi 1 1

n 2 2

s=0 3 3

i=3 4 4

s=s+i 5 5

i=i+1 6 6

Po
i ≤ n 7 7
Jo
s 8 8

Fundi 9 9

Fig.2.1 Fig.2.2
Në bllok-diagram është shfrytëzuar shprehja i=i+1, gjë që është e
palogjikshme në matematikë. Por, këtu me shprehjen e barazimit kompjuterit i
urdhërohet:

Llogarite vlerën numerike të shprehjes në anën e
djathtë dhe jepja variablës në anën e majtë të
barazimit!

Nga kjo shihet se me shprehjen i=i+1 së pari variabla i rritet për 1 dhe
pastaj rezultati i fituar ruhet përsëri te kjo variabël, përkatësisht me shprehjen e
dhënë kompjuteri e nënkupton rritjen për 1 të vlerës së variablës i.
Algoritmet, si ai që është dhënë përmes bllok-diagramit në Fig.2.1, te të cilët
pjesë të caktuara të tyre përsëriten brenda një unaze të mbyllur, quhen algoritme
ciklike. Përfundimi i cikleve të përsëritjes së unazës, përcaktohet me kushtin për
dalje nga unaza, i cili në shembullin konkret, lidhet me raportin e vlerave të
variablave i dhe n. Kështu, në momentin kur plotësohet kushti i>n, përsëritja e
ekzekutimit të unazës ndërpritet, përkatësisht dilet nga unaza.

14 Algoritmet

c. Testimi - për n=5

Vlerat numerike
Hapi Blloku Urdhëri Rezultati
merren
Fillimi i
1 1 Fillimi -
algoritmit
prej njësisë
2 2 Lexo: n n=5
hyrëse
3 3 s=0 - s=0
4 4 i=3 - i=3
5 5 s=s+i s → 3, i → 4 s=0+3=3
6 6 i=i+1 i → 4 i=3+1=4
7 7 Pyet:i≤n i → 6, n → 2 Po
8 5 s=s+i s → 5, i → 6 s=3+4=7
9 6 i=i+1 i → 6 i=4+1=5
10 7 Pyet:i≤n i → 9, n → 2 Po
11 5 s=s+i s → 8, i → 9 s=7+5=12
12 6 i=i+1 i → 9 i=5+1=6
13 7 Pyet:i≤n i → 12, n → 2 Jo
Shtypet numri
14 8 Shtyp:s s → 11 12
Fundi i
15 9 Fundi -
algoritmit
Fig.2.3
Vlera numerike e një variable, e cila nevojitet në një hap të caktuar, merret në
hapin ku ajo variabël takohet së pari, nëse kthehemi pas në rrugën e kaluar.
Kështu, p.sh., në tabelën e Fig.2.3, vlerat e variablave s dhe i në hapin e 11 janë
marrë nga hapat 8 e 9, sepse, nëse prej hapit të 11 kthehemi pas, në kolonën e
fundit të tabelës, variabla i së pari takohet në hapin e 9, kurse variabla s - në
hapin e 8. Shigjeta → e cila përdoret për të treguar se në cilin hap merren vlerat
e nevojshme numerike, duhet të lexohet prej hapit.
Gjatë testimit në tabelën e mësipërme, shtimi i anëtarëve të serisë së numrave
natyrorë, në hapat e veçantë rrjedh ashtu siç është treguar në Fig.2.4.


Vlera fillestare(3)
s = 0 + 3 + 4 + 5

5
8
11

Fig.2.4
d. Programi

// Programi Prg2_1
#include <iostream>
int main()
{
int n,i;
double s;
cout << "Vlera e variablës n=";
cin >> n;
s=0;
i=3;
do
{
s=s+i;
i=i+1;
}
while (i<=n);
cout << "Shuma e numrave natyrorë s="
<< s
<< "n";
return 0;
}

Nëse programi ekzekutohet për n=5, rezultati që shtypet në ekran është:

Shuma e numrave natyrorë s=12

gjë që përputhet me rezultatin i cili është fituar gjatë testimit përmes tabelës në
Fig.2.3.
Anëtarët e vargut mund të jenë numra me një ligjshmëri të caktuar,
përkatësisht nuk do të thotë se mes vete duhet të dallohen për vlerën 1. Për
gjetjen e shumës së anëtarëve të vargjeve të tilla shfrytëzohen algoritme të

16 Algoritmet

ngjashme me ato që u dhanë më sipër, duke pasur kujdes vetëm në ligjshmërinë e
gjenerimit të anëtarëve të vargut.

Shembull Shuma e kubeve të numrave natyrorë çiftë mes 2 dhe n, nëse
është dhënë vlera e variablës n.

n
s = 23 + 43 + ... = ∑ i3
i=2
(çift)


Fillimi

n

s=0

i=2

s=s+i3

i=i+2

Po
i ≤ n
Jo
s
Fundi

Fig.2.5 Fig.2.6
Rezultati që fitohet gjatë rrugës së kaluar është:

vlera fillestare
s = 0 + 23 + 43 + 63 + 83 = 800


c. Programi

// Programi Prg2_5
#include <iostream>
int main()
{
int n,i;
double s;
cin >> n;
s=0;
i=2;
do
{
s=s+i*i*i;
i=i+2;
}
while (i<=n);
cout << "Shuma s="
<< s
<< "n";
return 0;
}

Pas ekzekutimit të programit të dhënë për n=9, si rezultat në ekran do të
shtypet:

Shuma s=800

ashtu siç u tregua më sipër.

Detyra Të llogaritet shuma:

a. e numrave natyrorë çiftë mes 2 dhe n;
b. e numrave natyrorë tekë mes 1 dhe n;
c. e katrorëve të numrave natyrorë mes 4 dhe n;
d. e rrënjëve katrore të numrave natyrorë tekë mes 3
dhe n,

nëse dihet vlera e variablës n.

18 Algoritmet

Shprehjet e shumave përkatëse do të duken:

a.

n
s = 2 + 4 + 6 + ... = ∑i
i=2
(çift)
b.

n
s = 1 + 3 + 5 + ... = ∑ i
i=1
(tek)
c.

n
s = 42 + 52 + 62 + ... + n2 = ∑ i2
i =4
d.

n
s = 3 + 5 + 7 + ... = ∑ i
i =3
(tek)

Anëtarët e serive mund të formohen edhe duke shfrytëzuar ligjshmëri më
komplekse të raporteve të numrave natyrorë.

Shembull Shuma e prodhimit të numrave natyrorë tekë e çiftë - të
njëpasnjëshëm, mes vlerave 1 dhe n, nëse dihet vlera e
variablës n.

n
s = 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 + 5 ⋅ 6 + ... = ∑ i ⋅ (i + 1)
i =1
(tek)



Fillimi

n

s=0

i=1

s=s+i⋅(i+1)

i=i+2

Po
i ≤ n
Jo
s

Fundi

Fig.2.7 Fig.2.8
Shuma që fitohet gjatë rrugës së kaluar, për n=8 është:

s = 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 + 5 ⋅ 6 + 7 ⋅ 8 = 100

Detyra Të llogaritet shuma:

a. e pjesëtimit të numrave natyrorë tekë me katrorët e
numrave natyrorë çiftë - të njëpasnjëshëm, mes vlerave 1 dhe
n;
b. e katrorëve të numrave natyrorë tekë dhe e kubeve të
numrave natyrorë çiftë - të njëpasnjëshëm, mes vlerave 1 dhe
n,


20 Algoritmet

Shprehjet e shumave të kërkuara duken:

a.

1 3 5
s= + + + ...
2 2
2 4 62
b.

s = 12 + 23 + 32 + 43 + ...

Shumat e çfarëdoshme
Anëtarët e serive numerike mund të formohen si shprehje të çfarëdoshme
matematikore. Procedurat e gjetjes së shumave të tyre nuk do të ndryshojnë
aspak nga ato që u dhanë më sipër.

Shembull Llogaritja e vlerës së shumës:

n +1 2
⎧ x⎫
s = ∑ ⎨ 2i + ⎬
i=2 ⎩ 3⎭
(i ≠ 4)

nëse dihen vlerat e variablave n dhe x.


a. Bllok-diagrami b. Rruga - për x=1 dhe n=5

Fillimi

x,n

s=0

i=2

Jo
i ≠ 4
Po
2
⎧ x⎫
s = s + ⎨2i + ⎬
⎩ 3⎭

i=i+1

Po
i≤(n+1)
Jo
s

Fundi

Fig.2.9 Fig.2.10
Vlera e shumës, që fitohet gjatë rrugës së kaluar në Fig.2.10, është:

2 2 2 2
⎧ 1⎫ ⎧ 1⎫ ⎧ 1⎫ ⎧ 1⎫
s = ⎨2 ⋅ 2 + ⎬ + ⎨2 ⋅ 3 + ⎬ + ⎨2 ⋅ 5 + ⎬ + ⎨2 ⋅ 6 + ⎬ = 317.778
⎩ 3⎭ ⎩ 3⎭ ⎩ 3⎭ ⎩ 3⎭

c. Programi

// Programi Prg2_9
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
int n,i;
double x,s;

22 Algoritmet

cout << "Vlerat hyrëse x dhe n: ";
cin >> x
>> n;
s=0;
i=2;
do
{
if (i!=4)
s=s+pow(2*i+x/3,2);
i=i+1;
}
while (i<=n+1);
cout << "Shuma s="
<< s
<< "n";
return 0;
}

Nëse programi ekzekutohet për vlerat hyrëse x=1 dhe n=5, si rezultat do të
shtypet:

Shuma s=317.778

ashtu siç u fitua edhe gjatë llogaritjes me dorë.

Nga krejt kjo që u dha më sipër, si përfundim mund të nxirret se në rastin e
përgjithshëm, gjatë llogaritjes së shumës, shprehja për llogaritjen e shumës
brenda unazës së mbyllur shkruhet:

s=s+(shprehja nën simbolin e shumës)

Detyra Të llogariten shumat:

a.
n +1
y = ∑ {x + 2k − 1}3 2
k =1
b.
2
2n
⎧ i⎫
z = ∑ ⎨i + ⎬
i=2 ⎩ 3⎭
(çift)


c.
n +2 j3
⎧ 1 ⎫
g = ∑ ⎨ ⎬
j= 1 ⎩ 2j + 3 ⎭
(j≠ 3, , )
45


Gjatë vizatimit të bllok-diagrameve përkatës, duhet pasur parasyshë shprehjet
e zbërthyera të shumave të dhëna, të cilat duken:
a.

y = {x + 2 ⋅ 1 − 1}3 2 + {x + 2 ⋅ 2 − 1}3 2 + ... + {x + 2 ⋅ (n + 1) − 1}3 2
b.

2 2 2
⎧ 2⎫ ⎧ 4⎫ ⎧ 2n ⎫
z = ⎨2 + ⎬ + ⎨4 + ⎬ + ... + ⎨2n + ⎬
⎩ 3⎭ ⎩ 3⎭ ⎩ 3⎭
c.

13 23 63
⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫
g = ⎨ ⎬ + ⎨ ⎬ + ⎨ ⎬ + ...
⎩2 ⋅ 1 + 3⎭ ⎩2 ⋅ 2 + 3⎭ ⎩2 ⋅ 6 + 3⎭

Shumat mund të paraqiten edhe brenda shprehjeve të funksioneve të
ndyshme. Gjatë kësaj, së pari llogariten vlerat e shumave dhe pastaj, duke
shfrytëzuar këto vlera, llogariten edhe vlerat e funksioneve.

Shembull Llogaritja e vlerës së funksionit:

i3
x m+n−1 ⎧ 2⎫
y = + 2 ∑ ⎨x + ⎬
3 i=1 ⎩ i⎭

nëse dihen vlerat e variablave m, n dhe x.

24 Algoritmet

a. Bllok-diagrami b. Rruga - për x=1, m=3, n=1

Fillimi
m +n+1
⎧ 2⎫
i 3

x,m,n
s= ∑ ⎨x + ⎬
i =1
⎩ i⎭

s=0

i=1

i3
⎧ 2⎫
s = s + ⎨x + ⎬
⎩ i⎭

i=i+1
Po
i≤(m+n-1)
Jo
x
y= + 2⋅s
3
y

Fundi

Fig.2.11 Fig.2.12
Për vlerat hyrëse që janë marrë si shembull gjatë vizatimit të rrugës në
Fig.2.12, vlera e llogaritur e funksionit është:

1 ⎡⎧ 2⎫
13
⎧ 2⎫
23
⎧ 2⎫ ⎤
33
y = + 2 ⋅ ⎢⎨1 + ⎬ + ⎨1 + ⎬ + ⎨1 + ⎬ ⎥
3 ⎢⎩
⎣ 1⎭ ⎩ 2⎭ ⎩ 3⎭ ⎥ ⎦

c. Programi

// Programi Prg2_11
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{


int m,n,i;
double x,s,y;
cout << "Vlerat hyrëse x,m dhe n: ";
cin >> x
>> m
>> n;
s=0;
i=1;
do
{
s=s+pow(x+2./i,i/3.);
i=i+1;
}
while (i<=m+n-1);
y=x/3+2*s;
cout << "Vlera e funksionit y="
<< y
<< "n";
return 0;
}

Nëse pas ekzekutimit të programit, si vlera hyrëse përmes tastierës
kompjuterit i jepen vlerat x=1, m=3 dhe n=1, rezultati që shtypet në ekran
është:

Vlera e funksionit y=9.72597

Shuma mund të paraqitet edhe te funksionet të cilat përcaktohen përmes më
shumë shprehjeve.


⎧ n +1
për x ≤ 4.55
⎪2x + 3 ∑ {j + 2x}
2
⎪ j= 1
y = ⎨
⎪
⎪ 3x2 + 2x − 1 për x > 4.55
⎩


26 Algoritmet

a. Bllok-diagrami

Fillimi

n,x
Po Jo
x≤4.55

s=0

j=1

n +1
s = ∑ {j + 2x}
2

j=1
s=s+{j+2x}2

j=j+1
Po
j≤(n+1)
Jo

y=2x+3⋅s y=3x2+2x-1

y

Fundi

Fig.2.13
Nga bllok-diagrami i dhënë në Fig.2.13 shihet se këtu përveç strukturës
algoritmike të degëzuar, në njërën degë të algoritmit paraqitet edhe strukturë
algoritmike ciklike. Për të qenë algoritmi më i saktë, vlera e variablës n do të duhej
të lexohet në degën e majtë të bllokut për degëzim.


b. Rruga - për n=3 dhe x=3.5

Fig.2.14
c. Programi

// Programi Prg2_13
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
int n,j;
double x,y,s;
cout << "Vlerat hyrëse n dhe x: ";
cin >> n
>> x;
if (x<=4.55)
{
s=0;

28 Algoritmet

j=1;
do
{
s=s+pow(j+2*x,2);
j=j+1;
}
while (j<=n+1);
y=2*x+3*s;
}
else
y=3*pow(x,2)+2*x-1;
<< y
<< "n";
return 0;
}

Nëse programi i dhënë ekzekutohet për vlerat hyrëse n=3 dhe x=3.5, si
rezultat në ekran do të shtypet:

Vlera e funksionit y=1105

Detyra Të llogariten vlerat e funksioneve:
a.
n +1
{
y = ax2 − bx + 4 ∑ i2 + 2a }x b
i =3
b.
x 3x
z = + n +3
∑ {m + 2i}a
a
i=2
(çift)
c.
⎧ 2x2 + 3x − 4 për x + 2 > a + 1
⎪
⎪
g=⎨
+
{
⎪x2 − 2n∑m 3k + k2
⎪
} për x + 2 ≤ a + 1
⎩ k =2

nëse dihen vlerat e variablave a, b, m, n dhe x.

Brenda shprehjes së një funksioni, njëkohësisht mund të paraqiten disa
shuma, të cilat duhet të llogariten para se kompjuterit t'i urdhërohet llogaritja e
vlerës së funksionit.


m +2 i
m
⎛ ⎞
+ 3 ∑ (2i + b) − 4 ∑ ⎜ − b ⎟
x
y =
2 i =1 i=2 ⎝a ⎠
nëse dihen m, a dhe b.
a. Bllok-diagrami b. Rruga - për m=2, a=2, b=3, x=4
Fillimi m
d= ∑ (2i + b )
x,a,b,m i=1

d=0

i=1

d=d+(2i+b)

i=i+1
Po
i≤ m
Jo

e=0

i=2

⎛i ⎞
e = e + ⎜ − b⎟
⎝a ⎠

i=i+1
Po
i≤ m+2
Jo
x
y= + 3d - 4e m+2
⎛ i⎞
2 e= ∑ ⎜ − b⎟
i = 2⎝ ⎠
a
y

Fundi
Fig.2.15 Fig.2.16
Vlera e funksionit, e cila llogaritet gjatë rrugës së kaluar më sipër, është:

30 Algoritmet

⎧⎛ 2 ⎞ ⎛3 ⎞ ⎛4 ⎞⎫
+ 3 {(2 ⋅ 1 + 3) + (2 ⋅ 2 + 3)} − 4 ⎨⎜ − 3⎟ + ⎜ − 3⎟ + ⎜ − 3⎟⎬
4
y =
2 ⎩⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠⎭
c. Programi
// Programi Prg2_15
#include <iostream>
int main()
{
int m,i;
double a,b,x,y,d,e;
cout << "Vlerat hyrëse x,a,b dhe m: ";
cin >> x
>> a
>> b
>> m;
d=0;
i=1;
do
{
d=d+(2*i+b);
i=i+1;
}
while (i<=m);
e=0;
i=2;
do
{
e=e+(i/a-b);
i=i+1;
}
while (i<=m+2);
y=x/3+3*d-4*e;
<< y
<< "n";
return 0;
}
Nëse programi ekzekutohet për vlerat e variablave të cilat janë shfrytëzuar
gjatë testimit të bllok-diagramit, rezultati që shtypet në ekran është:
Funksioni mund të ketë më shum vlera, nëse në shprehjen e shumës, e cila
merr pjesë në funksion, figurojnë parametra që ndryshojnë.


m +1
g = 2m − 3 ∑ (ki + b)
i=2
për k = 1,2,..., m
nëse janë dhënë vlerat e variablave m dhe b.

a. Bllok-diagrami b. Rruga - për m=2 dhe b=3.5

Fillimi

m,b

k=1 m +1
s = ∑ (k ⋅ i + b )
i=2

s=0

i=2

s=s+(ki+b)

i=i+1
Po
i≤(m+1)
Jo

g=2m-3s

k,g

k=k+1

Po
k ≤m
Jo
Fundi

Fig.2.17 Fig.2.18

Vlerat që llogariten gjatë rrugës së kaluar janë:

32 Algoritmet

k = 1 g = 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ {(1 ⋅ 2 + 3.5) + (1 ⋅ 3 + 3.5)}
k = 2 g = 2⋅2 − 3⋅ {(2 ⋅ 2 + 3.5) + (2 ⋅ 3 + 3.5)}

c. Programi

// Programi Prg2_17
#include <iostream>
int main()
{
int m,k,i;
double b,s,g;
cout << "Vlerat hyrëse b dhe m: ";
cin >> b
>> m;
for (k=1;k<=m;k++)
{
s=0;
for (i=2;i<=m+1;i++)
s=s+(k*i+b);
g=2*m-3*s;
cout << "k="
<< k
<< " g="
<< g
<< "n";
}
return 0;
}

Për vlerat hyrëse m=2 dhe b=3.5, pas ekzekutimit të programit, si rezultat
në ekran shtypen dy vlera, kështu:

k=1 g=-32
k=2 g=-47

sepse komanda cout, e cila gjendet brenda unazës së variablës k, ekzekutohet
vetëm dy herë, gjë që shihet edhe gjatë testimit të bllok-diagramit në Fig.2.18.

Prodhimet e zakonshme 34
Prodhimet e çfarëdoshme 37

34 Algoritmet

Prodhimi i anëtarëve të një serie numerike gjendet ngjajshëm si edhe shuma e
tyre. Por, për dallim nga shuma, gjatë llogaritjes së prodhimit vlera fillestare
merret 1, kurse brenda unazës së mbyllur në rast të përgjithshëm shkruhet:

p=p⋅(shprehja nën simbolin e prodhimit)

Prodhimet e zakonshme
Prodhimet elementare të cilat takohen në praktikë janë ato të llogaritjes së
prodhimit të numrave natyrorë, katrorëve ose kubeve të tyre, prodhimit të
numrave natyrorë tekë ose çiftë etj.

Shembull Prodhimi i numrave natyrorë mes 2 dhe n, nëse është dhënë
vlera e variablës n.

n
p = 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ n = ∏i
i=2

Llogaritja e prodhimit 35

Fillimi 1 1

n 2 2

p=1 3 3

i=2 4 4

p=p⋅i 5 5

i=i+1 6 6

Po
i ≤ n 7 7
Jo
p 8 8

Fundi 9 9

Fig.3.1 Fig.3.2
Vlerat numerike
merren
Fillimi i
1 1 Fillimi -
algoritmit
prej njësisë
2 2 Lexo: n n=3
hyrëse
3 3 p=1 - p=1
4 4 i=2 - i=2
5 5 p=p ⋅i p → 3, i → 4 p=1 ⋅2=2
6 6 i=i+1 i → 4 i=2+1=3
7 7 Pyet:i≤n i → 6, n → 2 Po
8 5 p=p ⋅i p → 5, i → 6 p=2 ⋅3=6
9 6 i=i+1 i → 6 i=3+1=4
10 7 Pyet:i≤n i → 9, n → 2 Jo
11 8 Shtyp:p p → 8 Shtypet numri 6
Fundi i
12 9 Fundi -
algoritmit

Fig.3.3

36 Algoritmet

Llogaritja e vlerës së prodhimit, në hapat e veçantë të testimit, rrjedh kështu:

Vlera fillestare(3)
p = 1 ⋅ 2 ⋅ 3

5
8

Fig.3.4
d. Programi

// Programi Prg3_1
#include <iostream>
int main()
{
int n,i;
double p;
cin >> n;
p=1;
i=2;
do
{
p=p*i;
i=i+1;
}
while (i<=n);
cout << "Prodhimi p="
<< p
<< "n";
return 0;
}

Nëse gjatë ekzekutimit të programit, përmes tastierës kompjuterit i jepet
vlera n=3, rezultati që shtypet në ekran është:

Prodhimi p=6

gjë që fitohet edhe gjatë testimit të algoritmit, ashtu siç është treguar në Fig.3.4.


Detyra Të llogaritet prodhimi:

a. i numrave natyrorë çiftë mes 4 dhe n;
b. i katrorëve të numrave natyrorë tekë mes 3 dhe n;
c. i shumës së numrave natyrorë tekë e çiftë - të
njëpasnjëshëm mes 1 dhe n;
d. i katrorëve të numrave natyrorë tekë dhe i kubeve të
numrave natyrorë çiftë - të njëpasnjëshëm mes 1 dhe n,


Shprehjet e prodhimeve të kërkuara duken kështu:

a.
p = 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅...
b.
p = 32 ⋅ 52 ⋅ 72 ⋅ ...
c.
p =(1 + 2)⋅(3 + 4)⋅(5 + 6)⋅...
d.
p = 12 ⋅ 23 ⋅ 32 ⋅ 43 ⋅ ...

Prodhimet e çfarëdoshme
Procedura që zbatohet gjatë llogaritjes së prodhimit të anëtarëve të serive të
çfarëdoshme, është e ngjashme me ate që përdoret për llogaritjen e shumës së
serive përkatëse.

Shembull Llogaritja e vlerës numerike të shprehjes:

m +1
⎛ 2⎞
g = 3x + 4 ∏ ⎜i + ⎟
i=2 ⎝ x⎠
(çift)

nëse janë dhënë vlerat e variablave m dhe x.

a. Bllok-diagrami b. Rruga - për m=8 dhe x=1.5

38 Algoritmet

Fillimi

x,m

p=1

i=2

⎛ 2⎞
p = p ⋅ ⎜i + ⎟
⎝ x⎠

i=i+2

Po
i≤(m+1)
Jo
g=3x+4p

g

Fundi

Fig.3.5 Fig.3.6
Vlera që llogaritet gjatë rrugës së kaluar është:

⎧⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎫
g = 3 ⋅ 1.5 + 4 ⋅ ⎨⎜ 2 + ⎟ ⋅ ⎜4 + ⎟ ⋅ ⎜6 + ⎟ ⋅ ⎜8 + ⎟⎬
⎩⎝ 1.5 ⎠ ⎝ 1.5 ⎠ ⎝ 1.5 ⎠ ⎝ 1.5 ⎠⎭

c. Programi

// Programi Prg3_5
#include <iostream>
int main()
{
int m,i;
double x,p,g;
cout << "Vlerat hyrëse x dhe m: ";
cin >> x
>> m;


p=1;
i=2;
do
{
p=p*(i+2/x);
i=i+2;
}
while (i<=m+1);
g=3*x+4*p;
cout << "Vlera e funksionit g="
<< g
<< "n";
return 0;
}

Për vlerat hyrëse x=1.5 dhe m=8, rezultati që shtypet në ekran është:

Vlera e funksionit g=4871.66

Prodhimi, njëlloj si edhe shuma, mund të paraqitet brenda shprehjeve te
funksioneve të cilat përcaktohen me më shumë shprehje.

Shembull Llogaritja e vlerës numerike të funksionit:

⎧ 2x + 3n − 1 për x > n + 2
⎪
⎪
⎪ x − 2n +2⎛ k 2 + x ⎞
⎪ ∏⎜ ⎟ për x < n + 2
d=⎨ k=1⎝ 3⎠
⎪
⎪ 2x
⎪e + 3 për x = n + 2
⎪
⎩

nëse janë dhënë vlerat e variablave n dhe x.

a. Bllok-diagrami

40 Algoritmet

Fillimi

n,x

< < (n+2) >
x -
>
=
p=1

k=1

⎛ x⎞
p = p ⋅ ⎜ k2 + ⎟
⎝ 3⎠

k=k+1
Po
k≤(n+2)
Jo
d=x-2p d=e2x+3 d=2x+3n-1

d

Fundi

Fig.3.7
Versioni më i saktë i bllok-diagramit mund të vizatohet duke e vendosur
bllokun për leximin e variablës n në degën e majtë të degëzimit që është
vendosur në fillim të tij, sepse variabla në fjalë shfrytëzohet vetëm në këtë pjesë.

b. Rruga - për n=2 dhe x=3


Fig.3.8
c. Programi

// Programi Prg3_7
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
int n,k;
double x,p,d;
cout << "Vlerat hyrëse n dhe x: ";
cin >> n
>> x;
if (x<(n+2))
{

42 Algoritmet

p=1;
for (k=1;k<=n+2;k++)
p=p*(k*k+x/3);
d=x-2*p;
}
else
if (x==n+2)
d=exp(2*x)+3;
else
d=2*x+3*n-1;
cout << "Rezultati d="
<< d
<< "n";
return 0;
}

Nëse programi i dhënë ekzekutohet për vlerat hyrëse n=2 dhe x=3, në ekran
do të shtypet:

Rezultati d=-3397

Brenda shprehjes së një funksioni mund të paraqiten edhe më shumë
prodhime të anëtarëve të serive, të cilat duhet të llogariten para se prej
kompjuterit të kërkohet llogaritja e vlerës së vetë funksionit.


m +1 m +n
z = 3a + 2 ∏ (2i + a) − ∏ (i + b)
i =1 i=2
(çift)

nëse janë dhënë vlerat e variablave m, n, a dhe b.


a. Bllok-diagrami b. Rruga - për m=2, n=7, a=3 dhe b=1

Fillimi

m,n,a,b

e=1

i=1

e=e⋅(2i+a)

i=i+1
Po
i≤(m+1)
Jo
f=1

i=2

f=f⋅(i+b)

i=i+2

Po
i≤(m+n)
Jo
z=3x+2e-f

z

Fundi

Fig.3.9 Fig. 3.10

44 Algoritmet

Vlera e funksionit, e cila llogaritet gjatë rrugës së kaluar në Fig.3.10, është:

z = 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ {(2 ⋅ 1 + 3) ⋅ (2 ⋅ 2 + 3) ⋅ (2 ⋅ 3 + 3)}
e
− {(2 + 1) ⋅ (4 + 1) ⋅ (6 + 1) ⋅ (8 + 1)}
f
c. Programi

// Programi Prg3_9
#include <iostream>
int main()
{
int m,n,i;
double a,b,e,f,z;
cout << "Vlerat hyrëse m,n,a dhe b: ";
cin >> m
>> n
>> a
>> b;
e=1;
for (i=1;i<=m+1;i++)
e=e*(2*i+a);
f=1;
i=2;
do
{
f=f*(i+b);
i=i+2;
}
while (i<=m+n);
z=3*a+2*e-f;
cout << "Vlera e funksionit z="
<< z
<< "n";
return 0;
}

Nëse programi ekzekutohet për vlerat e variablave hyrëse, të cilat janë
shfrytëzuar gjatë vizatimit të rrugës së kaluar, si rezultat në ekran shtypet:

Vlera e funksionit z=-306



a.

m+n
+ 2 ∏ {k + 3x}a 2
x
y =
2 k =1
(k ≠ 3)

b.

m
g = 3 ∏ {x + 2j}2 −
1
n
j= 2
∏ (k + 1)
k =2

c.
⎧ n
⎪ ∏(i + 3) për x 2 + 1 ≤ 7
⎪ i=2
⎪ çift)
(
t=⎨
⎪
m +2
⎪x
⎪ 2 − 4 ∏(2i + 1) për x + 1 > 7
2
⎩ i=1

nëse janë dhënë vlerat e variablave m, n dhe x.

48 Algoritmet

Brenda shprehjeve të funksioneve mund të paraqiten njëkohësisht shuma dhe
prodhime të anëtarëve të serive. Në këto raste, llogaritja rrjedh plotësisht njëlloj
si edhe kur në shprehje paraqiten disa shuma ose disa prodhime.

Shembull Llogaritja e vlerës numerike të shprehjes:

x m+n n
y = + 3 ∑ (2i + n) − 2 ∏ (k + x)
2 i =1 k =2
(tek)


a. Bllok-diagrami b. Rruga - për m=2, n=3 dhe x=1

Fillimi

m,n,x

s=0

i=1

s=s+(2i+n)

i=i+2
Po
i≤(m+n)
Jo
A B

Shuma dhe prodhimi 49

A B

p=1

k=2

p=p⋅(k+x)

k=k+1

Po
k ≤n
Jo
x
y= + 3s − 2p
2

y

Fundi

Fig.4.1 Fig.4.2
Vlera që llogaritet gjatë rrugës së kaluar në Fig.4.2 është:

+ 3 ⋅ { 2 ⋅ 1 + 3) + (2 ⋅ 3 + 3) + (2 ⋅ 5 + 3)
}
1
y = (
2
− 2 ⋅ { 2 + 1) ⋅ (3 + 1)
( }

c. Programi

// Programi Prg4_1
#include <iostream>
int main()
{
int m,n,i,k;
double s,p,x,y;
cout << "Vlerat hyrëse m,n dhe x: ";
cin >> m
>> n
>> x;
s=0;

50 Algoritmet

i=1;
do
{
s=s+(2*i+n);
i=i+2;
}
while (i<=m+n);

p=1;
for (k=2;k<=n;k++)
p=p*(k+x);

y=x/2+3*s-2*p;
<< y
<< "n";
return 0;
}

Pas ekzekutimit të programit të dhënë, për vlerat e shfrytëzuara gjatë
vizatimit të rrugës së kaluar në Fig.4.2, rezultati që shtypet në ekran është:


Shuma dhe prodhimi mund të paraqiten njëkohësisht edhe në rastet kur
funksionet përcaktohen me më shumë shprehje.


⎧ n +1
⎪ 2x − 3 ∑(i + x) për x + 1 < 4.5
⎪ i=2
⎪
⎪ 2
⎪4x + 3x + 1 për x + 1 = 4.5
g=⎨
⎪
⎪x m ⎛ x⎞
⎪ + 4 ∏ ⎜k + ⎟ për x + 1 > 4.5
⎪2 k=1 ⎝ 3⎠
⎪ (k≠3)
⎩



a. Bllok-diagrami

Fillimi

m,n,x

< >
x+1 < 4.5
-
>

s=0 = p=1

i=2 k=1
Po
k = 3
s=s+(i+x)
Jo
⎛ x⎞
i=i+1 p = p⋅⎜k + ⎟
⎝ 3⎠
Po
i≤(n+1)
Jo k=k+1

Po
k ≤ m
Jo
x
g=2x-3s g=4x2+3x+1 g= + 4p
2

d

Fundi
Fig.4.3
Këtu, versioni më i saktë i bllok-diagramit do të vizatohej nëse blloqet
për leximin e variablave m dhe n vendosen në degën e majtë dhe të djathtë
(përkatësisht), sepse vetëm në këto degë shfrytëzohen.

52 Algoritmet

b. Rruga - për m=4, n=4 dhe x=2

Fig.4.4
Gjatë rrugës së kaluar në Fig.4.4, meqë plotësohet kushti x+1<4.5, vlera e
funksionit llogaritet përmes shprehjes së parë ku figuron shuma, kështu:

g = 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ { 2 + 2) + (3 + 2) + (4 + 2) + (5 + 2)
( }
s


c. Programi

// Programi Prg4_3
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
int m,n,i,k;
double s,p,x,g;
cin >> m
>> n
>> x;
if (x+1<4.5)
{
s=0;
for (i=2;i<=n+1;i++)
s=s+(i+x);
g=2*x-3*s;
}
else
if (x+1==4.5)
g=4*pow(x,2)+3*x+1;
else
{
p=1;
for (k=1;k<=m;k++)
if (k!=3)
p=p*(k+x/3);
g=x/2+4*p;
}
cout << "Vlera e llogaritur g="
<< g
<< "n";
return 0;
}

Nëse ekzekutohet programi i dhënë dhe përmes tastierës i jepen vlerat e
shfrytëzuara gjatë vizatimit të rrugës së kaluar, në ekran do të shtypet rezultati:

Vlera e llogaritur g=-62

54 Algoritmet


a.
n+1
x + 1
y = x + 2 ∑ (i + 3)2 − m
i=1
(tek) ∏ (i + 1)
i=2

b.

⎧x n
⎪ + 3 ∏ (2i + 1) për 2x > m
⎪2 i =1
⎪
z = ⎨
⎪ x − 2 n (k + x)
⎪3 ∑ për 2x ≤ m
⎪ k =1
⎩ (k ≠ 3, )
4

c.
m
2 ∏ (k + 1)
1 k =2
v = e2x + m
− n
∑ (i + 1) 3 ∑ (k + 3)2
i =1 k =1


Faktorieli i zakonshëm 56
Faktorieli çift dhe tek 64
Faktorieli brenda shumës 66
Faktorieli brenda prodhimit 81

56 Algoritmet

Në praktikë shpesh herë përdoren edhe vlera të faktorielëve të ndryshëm.
Llogaritja e faktorielit është përafërsisht e njëjtë me llogaritjen e prodhimit, sepse
vlera fillestare e faktorielit merret 1. Por, këtu duhet pasur kujdes në një dallim
esencial të shprehjes e cila shkruhet brenda unazës në të cilën llogaritet faktorieli,
sepse ajo gjithnjë e ka formën:

F=F⋅i

ku i është një numërator.

Faktorieli i zakonshëm
Procedura për llogaritjen e faktorielit të zakonshëm, kur ai gjindet jashtë
shprehjeve të shumave, prodhimeve ose edhe shprehjeve tjera, është e njëjtë me
llogaritjen e prodhimit të numrave natyrorë.

Shembull Llogaritja e vlerës numerike të faktorielit:

F=n!

nëse është dhënë vlera e variablës n.

n

F = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n = ∏i
i=1

Brenda unazës përmes së cilës realizohet shumëzimi i numrave natyrorë mes
1 dhe n, shprehja për llogaritjen e faktorielit shkruhet ashtu siç u tha më sipër.

F = F ⋅ i

ku përmes variablës i gjenerohen të gjithë numrat natyror mes 1 dhe n.

Llogaritja e faktorielit 57

Fillimi 1 1

n 2 2

F=1 3 3

i=1 4 4

F=F⋅i 5 5

i=i+1 6 6

Po
i ≤ n 7 7
Jo
F 8 8

Fundi 9 9

Fig. 5.1 Fig.5.2


Vlerat numerike
merren
Fillimi i
1 1 Fillimi -
algoritmit
prej njësisë
2 2 Lexo: n n=3
hyrëse
3 3 F=1 - F=1
4 4 i=1 - i=1
5 5 F=F ⋅i F → 3, i → 4 F=1 ⋅1=1
6 6 i=i+1 i → 4 i=1+1=2
7 7 Pyet:i≤n i → 6, n → 2 Po
8 5 F=F ⋅i F → 5, i → 6 F=1 ⋅2=2
9 6 i=i+1 i → 6 i=2+1=3
10 7 Pyet:i≤n i → 9, n → 2 Po
11 5 F=F ⋅i F → 8, i → 9 F=2 ⋅3=6
12 6 i=i+1 i → 9 i=3+1=4
13 7 Pyet:i≤n i → 12, n → 2 Jo

58 Algoritmet

14 8 Shtyp:F F → 11 Shtypet vlera 6
Fundi i
15 9 Fundi -
algoritmit

Fig.5.3
Vlera e faktorielit që fitohet gjatë procedurës së testimit është:

Vlera fillestare(3)
F = 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3

5
8

11

Fig.5.4
d. Programi

// Programi Prg5_1
#include <iostream>
int main()
{
int n,i;
double F;
cout << "Vlera hyrëse n: ";
cin >> n;
F=1;
for (i=1;i<=n;i++)
F=F*i;
cout << "Faktorieli F="
<< F
<< "n";
return 0;
}

Nëse programi i dhënë ekzekutohet për vlerën hyrëse n=3, rezultati që
shtypet në ekran është:

Faktorieli F=6

gjë që përputhet me vlerën e fituar gjatë testimit.


Njëlloj gjendet edhe vlera e faktorielit për shprehjet e ndryshme, rezultati i të
cilave është një numër natyror.

Shembull Llogaritja e vlerës numerike të faktorielit:

F=(2m+n)!

nëse janë dhënë vlerat e variablave m dhe n.

2m + n

F = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (2m + n) = ∏i
i=1
a. Bllok-diagrami b. Rruga - për m=1 dhe n=2

Fillimi

m,n

F=1

i=1

F=F⋅i

i=i+1

Po
i≤(2m+n)
Jo
F

Fundi

Fig.5.5 Fig.5.6

c. Programi

// Programi Prg5_5
#include <iostream>

60 Algoritmet

int main()

{
int m,n,i;
double F;
cout << "Vlerat hyrëse m dhe n: ";
cin >> m
>> n;
F=1;
for (i=1;i<=2*m+n;i++)
F=F*i;
cout << "Faktorieli F="
<< F
<< "n";
return 0;
}

Nëse gjatë ekzekutimit të programit, si vlera hyrëse përmes tastierës jepen
vlerat m=1 dhe n=2, në ekran do të shtypet:

Faktorieli F=24

ku vlera 24 i përgjigjet 4!.
Procesi i llogaritjes do të ketë një cikël më pak, nëse gjatë llogaritjes së
faktorielit të një numri më të madhë se 1 nisemi prej vlerës fillestare F=1 dhe
vlera e variablës merret i=2. Ngjashëm, kur llogaritet faktorieli i një numri më
të madh se 2, procesi i llogaritjes do të zvogëlohet për dy cikle, nëse merret F=2
dhe i=3.
Nëse faktorieli paraqitet brenda shprehjeve të funksioneve, veprohet njëlloj
si edhe te shumat e prodhimet, përkatësisht së pari llogaritet vlera e faktorielit
dhe pastaj vlera e funksionit.


⎧ m + 1)! + 3x − 4 për x + m > 5
(
⎪
y = ⎨0 për x + m = 5
⎪
(3n + 2)! - x 2
për x + m < 5
⎩



a. Bllok-diagrami

Fillimi

m,n,x

< < >
(x+m) -
> 5

F=1 = F=1

i=1 i=1

F=F⋅i F=F⋅i

i=i+1 i=i+1
Po Po
i≤(3n+2) i≤(m+1)
Jo Jo
y=F-x2 y=0 y=F+3x-4

y

Fundi

Fig. 5.7

62 Algoritmet

b. Rruga - për m=2, n=1 dhe x=5

Fig.5.8

y = 1⋅2⋅3+ 3⋅5 −4
F

c. Programi

// Programi Prg5_7
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()


{
int m,n,i;
double F,x,y;
cin >> m
>> n
>> x;
if (x+m<5)
{
F=1;
for (i=1;i<=3*n+2;i++)
F=F*i;
y=F-pow(x,2);
}
else
if (x+m==5)
y=0;
else
{
F=1;
for (i=1;i<=m+1;i++)
F=F*i;
y=F+3*x-4;
}
<< y
<< "n";
return 0;
}

Nëse programi ekzekutohet për vlerat hyrëse që janë shfrytëzuar gjatë
vizatimit të rrugës në Fig.5.8, si rezultat në ekran do të shtypet:

Vlera e funksionit y=17

gjë që fitohet ashtu siç u tregua edhe më sipër.
Që algoritmi për llogaritjen e faktorielit të jetë plotësisht i saktë, në te mund
të parashihet edhe rasti kur duhet të llogaritet vlera 0!=1.


a.
x
y= −(3n + m + 1)!
2

64 Algoritmet

b.

⎧3x + 2 për x < m
⎪
⎪
z = ⎨
⎪ + 1)! + x
(m për x ≥ m
⎪
⎩ (m + n)!
c.

⎧ e2x − 3x2 + (4n)! për x + 3 < n
⎪
⎪
⎪
⎪(n + 1)!-2x për x + 3 = n
g = ⎨
⎪
⎪
(n! ) +
2 1
për x + 3 > n
⎪ (2n)!
⎪
⎩


Faktorieli çift dhe tek
Në matematikë përdoret edhe faktorieli i cili fitohet vetëm me shumëzimin e
numrave natyrorë çiftë, ose të numrave natyrorë tekë.

Shembull Llogaritja e vlerës numerike të faktorielit çift:

F = (2n)!!

nëse është dhënë vlera e variablës n.

2n
F = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ 2n = ∏i
i=2
(çift)


a. Bllok-diagrami c. Rruga - për n=3

Fillimi

n

F=1

i=2

F=F⋅i

i=i+2

Po
i≤(2n)
Jo
F

Fundi

Fig.5.9 Fig.5.10
c. Programi

// Programi Prg5_9
#include <iostream>
int main()
{
int n,i;
double F;
cout << "Vlera hyrëse n: ";
cin >> n;
F=1;i=2;
do
{
F=F*i;
i=i+2;
}
while (i<=2*n);
cout << "Faktorieli çift F="
<< F
<< "n";
return 0;

66 Algoritmet

}

Për vlerën hyrëse n=3, rezultati që shtypet në ekran është:

Faktorieli çift F=48

Plotësisht njëlloj llogaritet edhe vlera e faktorielit tek. Kështu, p.sh., nëse
kërkohet vlera e faktorielit:

F=(2n-1)!!

në bazë të përkufizimit përkatës matematikor kjo vlerë llogaritet:

2n − 1
F = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n − 1) = ∏i
i=1
(tek)

gjë që nuk është aspak rëndë të realizohet përmes bllok-diagramit.

Faktorieli brenda shumës
Faktorielët mund të paraqiten brenda shprehjeve të shumave, ose edhe
brenda funksioneve të ndryshme.


n
⎡ i⎤
y = 3x − 2 ∑ ⎢ n + 2)! + ⎥
(
i =1 ⎣ 3⎦

nëse janë dhënë vlerat e variablave x dhe n.

⎧⎡ 1⎤ ⎡ 2⎤ ⎡ n ⎤⎫
y = 3x − 2⎨⎢ n + 2)! + ⎥ + ⎢ n + 2)! + ⎥ + ... + ⎢ n + 2)! + ⎥ ⎬
( ( (
⎩⎣ 3⎦ ⎣ 3⎦ ⎣ 3 ⎦⎭

Meqë, siç shihet edhe më sipër, vlera e faktorielit është konstante brenda të
gjithë anëtarëve të serisë që mblidhen, atë duhet llogaritur së pari, për ta
shfrytëzuar pastaj gjatë procesit të gjetjes së shumës.


a. Bllok-diagrami b. Rruga - për n=2 dhe x=3

Fillimi

x,n F=(n+2)!

F=1

i=1

F=F⋅i

i=i+1
Po
i≤(n+2)
Jo

s=0

i=1

⎛ i⎞
s = s + ⎜F + ⎟
⎝ 3⎠

i=i+1
Po
i ≤ n
Jo

y=3x-2s n
⎛ i⎞
s = ∑ ⎜F + ⎟
i = 1⎝
3⎠
y

Fundi

Fig.5.11 Fig.5.12

c. Programi

68 Algoritmet

// Programi Prg5_11
#include <iostream>
int main()
{
int n,i;
double x,y,F,s;
cin >> x
>> n;
F=1;
for (i=1;i<=n+2;i++)
F=F*i;
s=0;
for (i=1;i<=n;i++)
s=s+(F+i/3.);
y=3*x-2*s;
<< y
<< "n";
return 0;
}

Nëse programi i dhënë ekzekutohet për vlerat e shfrytëzuara gjatë vizatimit
të rrugës në Fig.5.12, rezultati që shtypet në ekran do të duket:

Vlera e funksionit y=-89

Faktorieli brenda shumës mund të mos ketë vlerë konstante, përkatësisht të
mos varet nga vlera e variablës e cila i përcakton anëtarët e serisë që mblidhen.


n
⎡ i⎤
y = 3x − 2 ∑ ⎢ i + 2)! + ⎥
(
i = 1⎣ 3⎦


⎧⎡ 1⎤ ⎡ 2⎤ ⎡ n ⎤⎫
y = 3x − 2⎨⎢3! + ⎥ + ⎢4! + ⎥ + ... + ⎢ n + 2)! + ⎥ ⎬
(
⎩⎣ 3⎦ ⎣ 3⎦ ⎣ 3 ⎦⎭


Nga shprehja e dhënë më sipër shihet se vlera e faktorielit nuk është
konstante, por ajo ndryshon për çdo i, gjë që e imponon nevojën e llogaritjes së
kësaj vlere brenda unazës për llogaritjen e shumës. Meqë në anëtarin e parë i cili
merr pjesë në mbledhje figuron 3!, vlera fillestare e faktorielit duhet të merret
2!=2 dhe pastaj të shumëzohet me (i+2).

a. Bllok-diagrami b. Rruga - për n=2 dhe x=3

Fillimi

x,n

s=0

F=2

i=1

F=F⋅(i+2)

⎛ i⎞
s = s + ⎜F + ⎟
⎝ 3⎠

i=i+1

Po
i ≤ n
Jo
y=3x-2s

y

Fundi

Fig.5.13 Fig.5.14

c. Programi

70 Algoritmet

// Programi Prg5_13
#include <iostream>
int main()
{
int n,i;
double x,y,F,s;
cin >> x
>> n;
s=0;
F=2;
for (i=1;i<=n;i++)
{
F=F*(i+2);
s=s+(F+i/3.);
}
y=3*x-2*s;
<< y
<< "n";
return 0;
}
Pas ekzekutimit të programit të dhënë, p.sh. për vlerat hyrëse të shfrytëzuara
gjatë vizatimit të rrugës së kaluar, rezultati që shtypet në ekran është:

Vlera e funksionit y=-53

Gjetja e ligjshmërisë për ta fituar vlerën aktuale të faktorielit, duke
shfrytëzuar vlerën paraprake të tij, në rast të përgjithshëm e komplikon punën e
shkruarjes së programit për llogaritjen e vlerës së faktorielit. Më thjesht është
nëse brenda unazës së shumës çdo vlerë e faktorielit llogaritet prej fillimit, pa
menduar aspak se a mund të thjeshtohet llogaritja, nëse shfrytëzohet vlera e
faktorielit e cila është llogaritur paraprakisht.


n
− 3 ∑ [ 2i + 1)! − x]
x
y = (
2 i =1

y =
x
− 3⋅ {[ ⋅ 1
(2 + 1)! - x ] + [ ⋅ 2 + 1)! - x
(2 ] + ... + [ ⋅ n + 1)! - x
(2 ]}
2


a. Bllok-diagrami
Fillimi

x,n

s=0

i=1
F=(2i+1)!

F=1

j=1

F=F⋅j

j=j+1
Po
j≤(2i+1)
Jo

s=s+[F-x]

i=i+1
Po
i ≤ n
Jo
x
y = − 3s
2

y

Fundi

Fig.5.15
Nëse vizatohet rruga e kaluar në këtë rast, numri i vijave te pjesa e bllok-
diagramit për llogaritjen e faktorielit do të jetë i madh, sepse llogaritja përsëritet
prej fillimit për çdo vlerë të variablës i.
b. Programi

72 Algoritmet

// Programi Prg5_15
#include <iostream>
int main()
{
int n,i,j;
double x,y,s,F;
cin >> x
>> n;
s=0;
for (i=1;i<=n;i++)
{
F=1;
for (j=1;j<=2*i+1;j++)
F=F*j;
s=s+(F-x);
}
y=x/2-3*s;
<< y
<< "n";
return 0;
}

Nëse programi ekzekutohet për vlerat hyrëse x=3 dhe n=2, rezultati që
shtypet në ekran duket:

Vlera e funksionit y=-358.5

Plotësisht njëlloj rrjedh llogaritja e faktorielëve, kur ata figurojnë brenda
anëtarëve të serive për të cilët gjenden prodhimet.
Gjatë llogaritjes së faktorielit çift ose tek, kur ata figurojnë nën shenjën e
shumës ose të prodhimit, duhet pasur kujdes të veçantë.


n +1
y = 3x + 4 ∑ [ 2i + 1)!! + i]
(
i =1


y = 3x + 4{ [3!! + 1] + [5!! + 2] + ... + [2 n + 1) ! + (n + 1) }
( ! ]



Fillimi

x,n

s=0

i=1

F=1

j=3

F=F⋅j

s=s+[F+i]

j=j+1

i=i+1
Po
i≤(n+1)
Jo
y=3x+4s

y

Fundi

Fig.5.16 Fig.5.17

c. Programi

// Programi Prg5_16
#include <iostream>
int main()

{

74 Algoritmet

int n,i,j;
double x,y,s,F;
cin >> x
>> n;
s=0;
i=1;
F=1;
j=3;
do
{
F=F*j;
s=s+(F+i);
j=j+2;
i=i+1;
}
while (i<=n+1);
y=3*x+4*s;
cout << "Vlera e llogaritur y="
<< y
<< "n";
return 0;
}

Rezultati që do të shtypet në ekran, nëse ekzekutohet programi i dhënë për
vlerat e variablave hyrëse, të cilat janë marrë gjatë vizatimit të rrugës së kaluar në
Fig.5.17, është:

Vlera e llogaritur y=522

Në një shprehje të funksionit mund të ndodhë të nevojitet llogaritja
alternative e faktorielit çift dhe tek.


n
⎡ x⎤
g = 2a + 3 ∑ ⎢i!! + ⎥
i =1 ⎣ 2⎦

nëse janë dhënë vlerat e variablave a, x dhe n.


⎧⎡ x⎤ ⎡ x⎤ ⎡ x⎤ ⎫
g = 2a + 3 ⋅ ⎨ ⎢1!! + ⎥ + ⎢2!! + ⎥ + ... + ⎢n!! + 2 ⎥ ⎬
⎩⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎦⎭

a. Bllok-diagrami b. Rruga - për a=5, x=2 dhe n=4

Fillimi

a,x,n

s=0

i=1

F=1

j=i

F=F⋅j

j=j-2
Po
j > 1
Jo
⎛ x⎞
s = s + ⎜F + ⎟
⎝ 2⎠

i=i+1

Po
i ≤ n
Jo
y=2a+3s

y

Fundi

Fig.5.18 Fig.5.19

76 Algoritmet

c. Programi

// Programi Prg5_18
#include <iostream>
int main()
{
int n,i,j;
double a,x,y,s,F;
cout << "Vlerat e variablave a, x dhe n: ";
cin >> a
>> x
>> n;
s=0;
for (i=1;i<=n;i++)
{
F=1;
j=i;
do
{
F=F*j;
j=j-2;
}
while (j>1);
s=s+(F+x/2);
}
y=2*a+3*s;
<< y
<< "n";
return 0;
}

Pas ekzekutimit të programit për vlerat e variablave hyrëse, të cilat janë
shfrytëzuar gjatë vizatimit të rrugës së kaluar në Fig.5.19, në ekran fitohet:

Rezultati y=64


a.
n +2 2
3x ⎡ i⎤
y = + 4 ∑ ⎢ 2i + 3)! + ⎥
(
a i = 2⎣ b⎦


b.

⎧ n + 1)!
( për x < (a + b)
⎪
⎪
⎪ m ⎡ a⎤
⎪ 3 ∑ ⎢ 2i + 1)!! + ⎥
( për x = (a + b)
g = ⎨ i =1 ⎣ i⎦
⎪
⎪
⎪(2n)!! për x > (a + b)
⎪
⎩

nëse janë dhënë vlerat e variablave a, b, x, m dhe n.

Në shprehjet e funksioneve njëkohësisht mund të paraqiten shuma,
prodhime dhe faktoriele, të cilat llogariten duke u mbështetur në algoritmet
elementare përkatëse.


m −1 (m + 1)!
2m
⎡ ⎤
z = 3 ∑ [k + a]2 − 4
i
∏ ⎢ + 3⎥ +
k =1 i=2 ⎣ 2 ⎦ x + 2
(çift)

nëse janë dhënë vlerat e variablave x, a dhe m.

z = 3⋅ { [1 + a]2 + [2 + a]2 + ... + [(m + 1) + a]2 }
⎧ ⎡2 ⎤ ⎡4 ⎤ ⎡ 2m ⎤⎫
− 4⎨ ⎢ + 3⎥ ⋅ ⎢ + 3⎥ ⋅ ... ⋅ ⎢ + 3⎥ ⎬
⎩ ⎣2 ⎦ ⎣2 ⎦ ⎣ 2 ⎦⎭
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (m + 1)
+
x + 2

78 Algoritmet

a. Bllok-diagrami b. Rruga - për x=3, a=0.5 dhe m=3

Fillimi
m -1

x,a,n
s= ∑ [k + a]2
k=1

s=0

k=1

s=s+[k+a]2

k=k+1

Po
k≤(m-1)
Jo

p=1

i=2

2m ⎡ i ⎤
⎡i ⎤ p= ∑ ⎢ + 3⎥
p = p ⋅ ⎢ + 3⎥
⎣2 ⎦ i=2
⎣ 2 ⎦
(çift)
i=i+2
Po
i ≤ 2m
Jo

A B


A B

F=1

i=1

F=F⋅i F=(n+1)!

i=i+1

Po
i≤(m+1)
Jo

F
z = 3 ⋅s − 4⋅ p +
x+2

z

Fundi

Fig.5.20 Fig.5.21
c. Programi

// Programi Prg5_20
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
const double x=3,a=0.5;
const int m=3;
int i,k;
double s,p,F,z;
s=0;
for (k=1;k<=m-1;k++)
s=s+pow(k+a,2);
p=1;
i=2;
do
{
p=p*(i/2.+3);

80 Algoritmet

i=i+2;
}
while (i<=2*m);
F=1;
for (i=1;i<=m+1;i++)
F=F*i;
z=3*s-4*p+F/(x+2);
cout << "Rezultati z="
<< z
<< "n";
return 0;
}

Nëse programi ekzekutohet për vlerat hyrëse të deklaruara si konstante,
rezultati që shtypet në ekran është:

Rezultati z=-449.7

Detyra Të llogariten vlerat numerike të funksioneve:

a.

n +1
+ 2 ∑ [ 2i)!! + 3] − [ n + 2)!] 2
x
f = ( (
3 i =1
(i ≠ 3)
b.

⎧ n
⎪(n + 1)! + 3 ∏ [k + 1] për (a + x) < b
⎪ k =1
⎪ (tek)
⎪
⎪(2n + 1)!! + 2a - b për (a + x) = b
⎪
g = ⎨
⎪
⎪(2n)!! + x për (x + a) > b
⎪ 2
⎪
⎪
⎪
⎩

nëse janë dhënë vlerat e variablave a, b, x dhe n.


Faktorieli brenda prodhimit
Faktorielët mund të paraqiten edhe brenda anëtarëve të serive për të cilat
kërkohet prodhimi. Gjatë përpilimit të algoritmeve përkatëse, në këto raste
shfrytëzohen procedura plotësisht të njëjta si edhe te shumat.


n
⎡ i⎤
y = 3x + 2 ∏ ⎢ + 1)! + 3 ⎥
(i
i =1 ⎣ ⎦
(i ≠ 2, )
3


⎧ ⎡ 1⎤ ⎡ 4⎤ ⎡ n + 1⎤ ⎫
y = 3x + 2 ⋅ ⎨ ⎢2! + 3 ⎥ ⋅ ⎢5! + 3 ⎥ ⋅ ... ⋅ ⎢ + 1)! +
(n ⎬
⎩ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 3 ⎥⎭
⎦

82 Algoritmet

a. Bllok-diagrami
Fillimi

x,n

p=1

i=1

Po
i=2
Jo
Po
i=3
Jo
F=1

j=1

F=F⋅j

j=j+1
Po
j≤(i+1)
Jo
⎡ i⎤
p = p ⋅ ⎢F + ⎥
⎣ 3⎦

i=i+1

Po
i ≤ n
Jo
y=3x+2p

y

Fundi

Fig.5.22


b. Rruga - për x=2 dhe n=4

Fig.5.23

84 Algoritmet

c. Programi

// Programi Prg5_22
#include <iostream>
int main()
{
int n,i,j;
double x,y,p,F;
cin >> x
>> n;
p=1;
for (i=1;i<=n;i++)
if ((i==2) || (i==3))
{
}
else
{
F=1;
for (j=1;j<=i+1;j++)
F=F*j;
p=p*(F+i/3.);
}
y=3*x+2*p;
<< y
<< "n";
return 0;
}

Nëse programi ekzekutohet për vlerat hyrëse të shfrytëzuara gjatë vizatimit të
rrugës së kaluar, në ekran do të fitohet rezultati:

Vlera e llogaritur y=572.222


a.

x m
⎡ x⎤
f = − 3 ∏ ⎢k!! + ⎥
2 k =1 ⎣ 2⎦


b.

⎧ m +1 i
⎡ ⎤
⎪3x + 2 ∑ ⎢ + 3⎥ për x ≠ a
⎪ i =1 ⎣2 ⎦
⎪
g = ⎨
2
⎪ ax m
⎡ x⎤
⎪e + 3 ∏ ⎢ (2j + 3)! - ⎥ për x = a
⎪ j= 2 ⎣ a⎦
⎩ (çift)

c.

m +2 i 2 m ⎡ 2 a⎤
1 ⎡ ⎤
h = − ∑ ⎢ + 4i⎥ − ∏ ⎢j ) − ⎥
(!
3 i =1 ⎣ 3 ⎦ 3 j= 1 ⎣ j⎦
(i ≠ 3, )
5

nëse janë dhënë vlerat e variablave x, a dhe m.

Vektorët 90
Matricat 134
Fushat tridimensionale 217

88 Algoritmet

Grumbulli i numrave të vendosur në një hapësirë në bazë të parimeve të
caktuara, quhet fushë numerike. Kur pozicionet e numrave në hapësirën e fushës
numerike përcaktohen nga një madhësi, për fushën thuhet se është njëdimensionale
dhe quhet vektor. Nëse për përcaktimin e pozicioneve të numrave përdoren dy
madhësi, fusha numerike është dydimensionale dhe quhet matricë. Kurse, kur pozita
e numrave në fushë përcaktohet përmes më shumë madhësive, për fushën thuhet
se është shumëdimensionale.
Për t'i kuptuar më mirë fushat numerike, do ta marrim si shembull
grumbullin e notave të 5 nxënësve të parë, në regjistrin e notave të një klase, i
cili është dhënë në Fig.6.1.

1 2 3 4 5 6 7 8
Numri rendor

Gjuha amtare

Gjuha e huaj

Matematika

Programimi
Biologjia

Edukata
Fizika

fizike
Emri
Kimia

1 Agroni 5 5 5 5 5 5 5 5
2 Ardiani 5 5 5 4 4 4 5 5
3 Arianisa 5 5 5 5 5 5 5 5
4 Arta 5 5 5 5 5 5 5 5
5 Besa 5 5 4 4 4 5 5 4

Fig.6.1 Notat e nxënësve të një klase
Këtu, grumbulli i notave të një nxënësi është fushë njëdimensionale dhe e
paraqet vektorin e notave të tij. Kështu, p.sh., vektori i notave të Ardianit është:

1 2 3 4 5 6 7 8
A = 5 5 5 4 4 4 5 5

Notat në këtë vektor nuk janë shënuar arbitrarisht, sepse çdo pozicioni në te i
përgjigjet nota e një lënde të caktuar.

Fushat numerike 89

Grumbulli i notave të nxënësve, të cilat janë shënuar në tabelën e dhënë në
Fig.6.1:

1 2 3 4 5 6 7 8
1 5 5 5 5 5 5 5 5
2 5 5 5 4 4 4 5 5
B = 3 5 5 5 5 5 5 5 5
4 5 5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 4 4 4 5 5 4

paraqetë fushë dydimensionale dhe e formon matricën e notave të tyre.
Nga shembulli i dhënë më sipër shihet se te vektorët e notave të nxënësve,
notat shënohen në bazë të lëndëve, përkatësisht numrave rendorë të tyre. Kurse,
te matrica e notave të nxënësve, vendosja e notave në fushat e veçanta bëhet në
bazë të nxënësve dhe lëndëve, ose numrave rendorë të tyre.
Në rastin e përgjithshëm, kur kemi të bëjmë me m-nxënës dhe n-lëndë,
vektori i notave të nxënësit mund të paraqitet kështu:

1 2 ... n
A = a1 a2 ... an

ose shkurt A(n), ku a1, a2, ..., an janë anëtarët e vektorit. Matrica e notave të
nxënësve është:

j=1 2 ... n
i=1 b11 b12 ... b1n
2 b21 b22 ... b2n
B = ... ... ... ... ...
m bm1 bm2 ... bmn

dhe shkurt shënohet B(m,n), ku b11, b12, ..., bm1, bm2,..., bmm janë anëtarët e
matricës.
Numrat të cilët i shoqërojnë anëtarët e vektorit, ose të matricës, quhen
indekse. Kështu, p.sh., indeksi i notës së matematikës te vektorët e notave të
nxënësve është 3, kurse anëtari i këtij vektori për notën e Artës është a3=5.
Te matrica, p.sh., anëtari b53=4 i përgjigjet notës së Besës nga lënda e
matematikës.

90 Algoritmet

Vektorët
Mbushja e vektorëve me vlera numerike, përkatësisht operimi me vlerat e
anëtarëve të veçantë të tyre bëhet duke i shfrytëzuar indekset përkatës.

Përcaktimi i vektorëve
Vlerat numerike të anëtarëve të vektorëve kompjuterit mund t'i jepen përmes
leximit si numra të gatshëm, ose ato mund të llogariten në bazë të ligjshmërisë së
dhënë.

Shembull Formimi i vektorit A(n), duke i llogaritur anëtarët ai të tij
kështu:

ai=3i+1



Fillimi

n

i=1

ai=3i+1

i,ai

i=i+1

Po
i ≤ n
Jo
Fundi

Fig.6.2 Fig.6.3
Në gjuhën C++ indekset e anëtarëve të vektorëve dhe matricave fillojnë
me vlerën 0. Për këtë arsye, në pjesën vijuese, gjatë shkruarjes së programeve,
indekset fillestare dhe kufijt e tyre do të zvogëlohen për një, krahasuar me vlerat
përkatëse në bllok-diagrame.

Fushat numerike 91

c. Programi

// Programi Prg6_2
#include <iostream>
int main()
{
int const n=5;
int i,A[n];
for (i=0;i<n;i++)
{
A[i]=3*i+1;
cout << "A["
<< i
<< "]="
<< A[i]
<< "n";
}
return 0;
}

Pas ekzekutimit të programit, anëtarët e vektorit do të shtypen në ekran
kështu:

A[0]=1
A[1]=4
A[2]=7
A[3]=10
A[4]=13

Anëtarët e vektorit mund edhe të llogariten, duke shfrytëzuar shprehje të
çfarëdoshme.

Shembull Formimi i vektorit A(n), duke llogaritur anëtarët ai të tij
kështu:

x i
ai = + 3 ∑ (j + 2i)
3 j= 1



92 Algoritmet

Fillimi

n,x

i=1

s=0

j=1

s=s+(j+2i)

j=j+1
Po
j ≤ i
Jo
x
a = + 3s
i 2

i,ai

i=i+1

Po
i ≤ n
Jo
Fundi

Fig.6.4 Fig.6.5
Vlerat e llogaritura gjatë rrugës së kaluar:

a1 =
1
+ 3⋅ { [1 + 2 ⋅ 1] }
2
a2 =
1
+ 3⋅ { [1 + 2 ⋅ 2] + [2 + 2 ⋅ 2] }
2
a3 =
1
+ 3⋅ { [1 + 2 ⋅ 3] + [2 + 2 ⋅ 3] + [3 + 2 ⋅ 3] }
2
c. Programi

Fushat numerike 93

// Programi Prg6_4
#include <iostream>
int main()
{
int const n=3,
x=1;
int i,j;
double s,A[n];
for (i=0;i<n;i++)
{
s=0;
for (j=1;j<=i;j++)
s=s+(j+2*i);
A[i]=x/2.+3*s;
cout << "A["
<< i
<< "]="
<< A[i]
<< "n";
}
return 0;
}

Nëse ekzekutohet programi i dhënë, rezultati që shtypet në ekran është:

A[0]=0.5
A[1]=9.5
A[2]=33.5

Vektorët mund të formohen edhe duke shfrytëzuar anëtarët e vektorëve të
tjerë.

Shembull Formimi i vektorit B(n), duke shfrytëzuar vlerat e anëtarëve
të vektorit të dhënë A(n), në bazë të ligjshmërisë:

bi = i + 2ai − 1
2

94 Algoritmet

a. Bllok-diagrami b. Rruga - për A= 3 5 -2 8

Fillimi

n,(ai,i=1,n)

i=1

bi=i+2ai2-1

i,bi

i=i+1

Po
i ≤ n
Jo
Fundi

Fig.6.6 Fig.6.7
Në bllok-diagram, me (ai,i=1,n) shënohet shkurt vargu i anëtarëve të
vektorit, përkatësisht a1, a2, ... , an.

c. Programi

// Programi Prg6_6
#include <iostream>
int main()
{
int const n=4;
int i,A[n]={3,5,-2,8},B[n];
for (i=0;i<n;i++)
{
B[i]=i+2*(A[i]*A[i])-1;
cout << "B["
<< i
<< "]="
<< B[i]
<< "n";
}
return 0;
}

Fushat numerike 95

Pas ekzekutimit të programit, anëtarët e vektorit të formuar do të shtypen në
ekran kështu:

B[0]=17
B[1]=50
B[2]=9
B[3]=130

Vektorët mund të formohen edhe duke shfrytëzuar vlerat numerike të
anëtarëve të disa vektorëve njëkohësisht.

Shembull Formimi i vektorit G(k), duke shfrytëzuar vlerat e anëtarëve
të vektorëve A(n) dhe B(m), kështu:

G = B A

a. Bllok-diagrami

Fillimi

m,n,(ai,i=1,n),(bi,i=1,m)

i=1

Po Jo
i ≤ m

gi=bi gi=ai-m

i,gi

i=i+1
Po
i≤(m+n)
Jo
Fundi

Fig.6.8

96 Algoritmet

b. Rruga

A = 9 -3

B = 6 -2 8

Fig.6.9
c. Programi

// Programi Prg6_8
#include <iostream>
int main()
{
int const m=3,n=2;
int A[n]={9,-3},
B[m]={6,-2,8},
i,G[m+n];
for (i=0;i<m+n;i++)
{
if (i<m)
G[i]=B[i];

Fushat numerike 97

else
G[i]=A[i-m];
cout << "G["
<< i
<< "]="
<< G[i]
<< "n";
}
return 0;
}

Anëtarët e vektorit të formuar G, pas ekzekutimit të programit të dhënë, në
ekran do të shtypen kështu:

G[0]=6
G[1]=-2
G[2]=8
G[3]=9
G[4]=-3

Operacionet aritmetikore
Në praktikë shpesh herë kryhen operacione të ndryshme aritmetikore mbi
anëtarët e një vektori, si dhe mes anëtarëve të dy ose më shum vektorëve.

Shembull Formimi i vektorit B(n), nga anëtarët përkatës të vektorit të
dhënë A(n), duke shumëzuar anëtarëve negativë me vlerat e
indekseve të tyre, kurse anëtarët pozitivë - me vlerën e
konstantes së dhënë x.

98 Algoritmet

a. Bllok-diagrami
Fillimi

x,n,(ai,i=1,n)

i=1

Po Jo
ai < 0

bi=i⋅ai bi=x⋅ai

i,bi

i=i+1
Po
i ≤ n
Jo
Fundi

Fig.6.10

b. Rruga e kaluar - për x=2 dhe A = 6 9 -3 4 -2

Fig.6.11

Fushat numerike 99

Vlerat që llogariten gjatë rrugës së kaluar janë:

b1 = x ⋅ a1
b2 = x ⋅ a2
b3 = 3 ⋅ a3
b4 = x ⋅ a4
b5 = 5 ⋅ a5

c. Programi

// Programi Prg6_10
#include <iostream>
int main()
{
int const x=2,n=5;
int A[n]={6,9,-3,4,-2},i,B[n];
for (i=0;i<n;i++)
{
if (A[i]<0)
B[i]=i*A[i];
else
B[i]=x*A[i];
cout << "B["
<< i
<< "]="
<< B[i]
<< "n";
}
return 0;
}

Nëse programi i dhënë ekzekutohet, vlerat e vektorit B të cilat shtypen në
ekran, janë:

B[0]=12
B[1]=18
B[2]=-6
B[3]=8
B[4]=-8

Vlerat e anëtarëve të vektorit mund të përcaktohen edhe përmes llogaritjeve
të ndryshme më komplekse.
Shembull Formimi i vektorit Z(m), nga anëtarët e vektorit të dhënë

100 Algoritmet

F(m), duke ua shtuar anëtarëve të veçantë vlerat e shumave:
⎧fi + i për i ≥ 3
⎪
⎪
zi = ⎨ i
⎪ ∑ fj2
për i < 3
⎪j= 1
⎩

a. Bllok-diagrami
Fillimi

m,(fi,i=1,m)

i=1

Po Jo
i < 3

s=0

j=1

s=s+fj2

j=j+1

Po
j ≤ i
Jo
zi=s zi=fi+i

i,zi

i=i+1

Po
i ≤ m
Jo
Fundi

Fig.6.12

Fushat numerike 101

b. Rruga - për m=5 dhe F= 3 2 -1 6 -4

Fig.6.13

102 Algoritmet

Gjatë rrugës së kaluar në Fig.6.13 anëtarët e vektorit Z(n) llogariten kështu:
z1 = f1
2

z2 = 2
f1 + f22

z3 = f3 + 3
z4 = f4 + 4
z5 = f5 + 5

c. Programi
// Programi Prg6_12
#include <iostream>
int main()
{
int const m=5;
int F[m]={3,2,-1,6,-4},i,j,s,Z[m];
for (i=0;i<m;i++)
{
if (i<2)
{
s=0;
for (j=0;j<=i;j++)
s=s+F[j]*F[j];
Z[i]=s;
}
else
Z[i]=F[i]+i;
cout << "Z["
<< i
<< "]="
<< Z[i]
<< "n";
}
return 0;
}
Vektori Z, që formohet pas ekzekutimit të programit, për vlerat e vektorit F
të cilat janë shfrytëzuar gjatë rrugës së kaluar në Fig.6.13, është:

Z[1]=9
Z[2]=13
Z[3]=1
Z[4]=9
Z[5]=0

Fushat numerike 103

Operacionet aritmetikore mund të zbatohen edhe mbi anëtarët e më shumë
vektorëve njëkohësisht.

Shembull Formimi i vektorit G(m), duke shumëzuar katrorët e
anëtarëve përkatës të vektorit A(m) me vlerat absolute të
anëtarëve me indeks të njëjtë të vektorit B(m). Njëkohësisht,
anëtarët e vektorit G(m), të cilët janë më të mëdhenj se
numri i dhënë x, duhet të pjesëtohen me indeksin përkatës.

a. Bllok-diagrami

Fillimi

x,m,(ai,i=1,m),(bi,i=1,m)

i=1

gi=ai2⋅|bi|

Po
gi > x
Jo
gi=gi/i

i,gi

i=i+1

Po
i ≤ m
Jo
Fundi

Fig.6.14

104 Algoritmet

b. Rruga - për x=20 dhe A= -1 7 5 2

B = 2 -3 8 -4

Fig.6.15
c. Programi

// Programi Prg6_14
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
int const x=20,m=4;
int A[m]={-1,7,5,2},
B[m]={2,-3,8,4},i;
double G[m];
for (i=0;i<m;i++)

Fushat numerike 105

{
G[i]=A[i]*A[i]*abs(B[i]);
if (G[i]>x)
G[i]=G[i]/i;
cout << "G["
<< i
<< "]="
<< G[i]
<< "n";
}
return 0;
}

Pas ekzekutimit të programit të dhënë për vlerat e shfrytëzuara gjatë vizatimit
të rrugës në Fig.6.15, vlerat e anëtarëve të vektorit G, të cilat shtypen në ekran,
janë:

G[0]=2
G[1]=147
G[2]=100
G[3]=16

Shuma dhe prodhimi
Gjatë llogaritjeve të ndryshme praktike, shpesh herë shfrytëzohet, p.sh.,
shuma, ose prodhimi, ose shuma e katrorëve, ose shuma e kubeve, përkatësisht
shumë kombinime të tjera të mbledhjes, të zbritjes, të shumëzimit dhe të
pjesëtimit të anëtarëve të vektorëve.

Shembull Mbledhja e anëtarëve pozitiv dhe e katrorëve të anëtarëve
negativ të vektorit të dhënë A(n).

106 Algoritmet

a. Bllok-diagrami

Fillimi

n,(ai,i=1,n)

s=0

i=1

Po Jo
ai < 0

s=s+ai2 s=s+ai

i=i+1

Po
i ≤ n
Jo
s

Fundi

Fig.6.16

Fushat numerike 107

b. Rruga - për A = 7 -2 4 6 -3

Fig.6.17

Shuma e cila llogaritet gjatë rrugës së kaluar është:

s = 7 + (-2)2 + 4 + 6 + (-3) 2

c. Programi

// Programi Prg6_16
#include <iostream>
int main()
{
int const n=5;
int A[n]={7,-2,4,6,-3},i,s;
s=0;
for (i=0;i<n;i++)

108 Algoritmet

{
if (A[i]<0)
s=s+A[i]*A[i];
else
s=s+A[i];
}
cout << "Shuma e kërkuar s="
<< s
<< "n";
return 0;
}

Nëse ekzekutohet programi i dhënë, si rezultat në ekran do të shtypet vlera:

Shuma e kërkuar s=30

Ngjashëm, vlerat e anëtarëve të vektorëve mund të shfrytëzohen për gjetjen e
prodhimeve të ndryshme.

Shembull Prodhimi i anëtarëve të vektorit A(n) të cilët kanë vlerë
absolute më të madhe se 5 dhe më të vogël se 12, duke
shtypur anëtarët që nuk marrin pjesë në prodhim si dhe
indekset e tyre.

Fushat numerike 109

b. Bllok-diagrami b. Rruga - për A = 7 19 8 -2 10

Fillimi

n,(ai,i=1,n)

p=1

i=1

Jo
ai > 5
Po
Jo
ai < 12
Po
p=p⋅ai i,ai

i=i+1
Po
i ≤ n
Jo
p

Fundi

Fig.6.18 Fig.6.19


Vlera fillestare
p = 1 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 10

Njëkohësisht, shtypen edhe indekset dhe vlerat e anëtarëve të cilët janë jashtë
kufijve të dhënë:
2 19
4 -2

110 Algoritmet

c. Programi
// Programi Prg6_18
#include <iostream>
int main()
{
int const n=5;
char t[20]="--------------";
int A[n]={7,19,8,-2,10},i,p;
p=1;
cout << " i A[i]"
<< "n"
<< t
<< "n";
for (i=0;i<n;i++)
{
if ((A[i]>5) && (A[i]<12))
p=p*A[i];
else
cout << " "
<< i
<< " "
<< A[i]
<< "n";
}
cout << t
<< "n"
<< "Prodhimi p="
<< p
<< "n";
return 0;
}
Për vlerat e shfrytëzuara gjatë rrugës së kaluar në Fig.6.19, si rezultat në ekran
shtypet:

i A[i]
--------------
1 19
3 -2
--------------
Prodhimi p=560

Anëtarët e vektorëve mund të shfrytëzohen edhe brenda shprehjeve të
ndryshme për llogaritjen e shumave ose të prodhimeve, përmes indekseve
përkatëse.

Fushat numerike 111

Shembull Llogaritja e vlerës së shprehjes:

⎧
⎪3x + 4 ∏ ( ai + 2)
n
për x < 0.55
⎪ i =1
⎪
y = ⎨

⎪ ∑ i (
⎪ e2x − 2 n a2 − x ) për x ≥ 0.55
⎪ i=2
⎩ (çift)

ku me ai nënkuptohen anëtarët e vektorit të dhënë A(n).

a. Bllok-diagrami
Fillimi

n,(ai,i=1,n),x

Po Jo
x < 0.55
p=1 s=0

i=1 i=2

p=p⋅(|ai|+2) s=s+(ai2-x)

i=i+1 i=i+2

Po Po
i ≤ n i ≤ n
Jo Jo
y=3x+4p y=e2x-2s

y

Fundi

Fig.6.20

112 Algoritmet

b. Rruga - për x = 0.2 dhe A= 6 4 -9

Fig.6.21
c. Programi

// Programi Prg6_20
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
int const n=3;
int A[n]={6,4,-9},i;
double s,p,x,y;
cout << "Vlera e variablës x=";
cin >> x;

Fushat numerike 113

if (x<0.55)
{
p=1;
for (i=0;i<n;i++)
p=p*(abs(A[i])+2);
y=3*x+4*p;
}
else
{
s=0;
i=2;
do
{
s=s+A[i]*A[i]-x);
i=i+2;
}
while (i<=n);
y=exp(2*x)-2*s;
}
<< y
<< "n";
return 0;
}

Rezultati që shtypet në ekran, për vlerat numerike që janë shfrytëzuar gjatë
vizatimit të rrugës së kaluar në Fig.6.21, është:

Vlera e llogaritur y=2112.6

Numërimi i anëtarëve të caktuar
Për t'i numëruar anëtarët e caktuar brenda vektorit, të gjithë anëtarët e tij
duhet të krahasohen me kushtet e përcaktuara për numërim.

Shembull Numri n i anëtarëve me vlerë numerike negative, në vektorin
e dhënë A(m).

Këtu, vlera fillestare e numëratorit n duhet të merret zero. Pastaj, sa herë që
gjendet ndonjë anëtar me vlerë numerike negative, vlera e numëratorit n rritet
për një, kurse për anëtarët e tjerë kjo madhësi nuk ndryshohet.

114 Algoritmet

a. Bllok-diagrami b. Rruga - për A= 3 -2 7 -4 5
Fillimi

m,(ai,i=1,m)

n=0

i=1

Jo
ai < 0
Po
n=n+1

i=i+1

Po
i ≤ m
Jo
n

Fundi

Fig.6.22 Fig.6.23

c. Programi

// Programi Prg6_22
#include <iostream>
int main()
{
int const m=5;
int A[m]={3,-2,7,-4,5},i,n;
n=0;
for (i=0;i<m;i++)
if (A[i]<0)
n=n+1;
cout << "Anëtarë negativë n="
<< n
<< "n";
return 0;
}

Fushat numerike 115

Rezultati që shtypet në ekran, për vlerat e shfrytëzuara gjatë vizatimit të
bllok-diagramit në Fig.6.23, pas ekzekutimit të programit të dhënë, është:

Anëtarë negativë n=2

gjë që shihet edhe nga rruga e vizatuar, kur nëpër bllokun në të cilin rritet
numëratori n kalohet vetëm dy herë.

Numërimi mund të bëhet edhe duke shtruar më shumë kushte njëkohësisht.

Shembull Numërimi k i anëtarëve negativë të vektorit F(m), por të
cilët për nga vlera absolute janë më të mëdhenj se numri
pozitiv x.

a. Bllok-diagrami b. Rruga - për x=3 dhe A= -7 4 -5 -1 6

Fillimi

x,m,(fi,i=1,m)

k=0

i=1

Jo
fi<0
Po
Jo
|fi|>x
Po
k=k+1

i=i+1
Po
i ≤ m
Jo
k

Fundi

Fig.6.24 Fig.6.25
c. Programi

116 Algoritmet

// Programi Prg6_24
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
int const m=5,x=3;
int F[m]={-7,4,-5,-1,6},i,k;
k=0;
for (i=0;i<m;i++)
if ((F[i]<0) && (abs(F[i])>x))
k=k+1;
cout << "Numri i kërkuar k="
<< k
<< "n";
return 0;
}

Pas ekzekutimit të programit të dhënë, për vlerat hyrëse të shfrytëzuara gjatë
vizatimit të rrugës së kaluar në Fig.6.25, si rezultat në ekran shtypet:

Numri i kërkuar k=2

meqë vetëm dy vlera numerike i plotësojnë dy kushtet e shtruara (-7 dhe -5).

Bllok-diagrami mund të përpilohet edhe ashtu që brenda tij njëkohësisht të
bëhen disa numërime.

Shembull Numri p i anëtarëve pozitivë dhe numri n i anëtarëve
negativë brenda vektorit A(m).

a. Bllok-diagrami b. Rruga - për A= 2 -3 -7 4 1

Fushat numerike 117

Fillimi

m,(ai,i=1,m)

p=0

n=0

i=1

Po Jo
ai < 0

n=n+1 p=p+1

i=i+1

Po
i ≤ m
Jo
n,p

Fundi
Fig.6.26 Fig.6.27
c. Programi
// Programi Prg6_26
#include <iostream>
int main()
{
int const m=5;int A[m]={2,-3,-7,4,1},i,p,n;
p=0;n=0;
for (i=0;i<m;i++)
if (A[i]<0)
n=n+1;
else
p=p+1;
cout << "Anëtarë pozitiv p="
<< p
<< "n";
cout << "Anëtarë negativ n="
<< n
<< "n";
return 0;

118 Algoritmet

}
Për vlerat e shfrytëzuara gjatë vizatimit të rrugës së kaluar në Fig.6.27, pas
ekzekutimit të programit, si rezultat shtypet:
Anëtarë pozitivë p=3
Anëtarë negativë n=2
Gjatë procedurës së numërimit të anëtarëve të vektorit mund të kërkohet që
njëkohësisht të shtypen anëtarët që i plotësojnë, ose anëtarët që nuk i plotësojnë kushtet
e numërimit.

Shembull Numëri k i anëtarëve të vektorit A(n) me vlera absolute
mes vlerave 3 dhe 8, duke shtypur njëkohësisht anëtarët me
vlera jashtë këtij diapazoni, si dhe indekset përkatëse.

a. Bllok-diagrami b. Rruga - për A= 5 2 4 9 -7

Fillimi

n,(ai,i=1,n)

k=0

i=1

Jo
ai>3
Po
Jo
ai<8
Po
k=k+1 i,ai

i=i+1
Po
i ≤ n
Jo
k

Fundi

Fig.6.28 Fig.6.29

c. Programi
// Programi Prg6_28

Fushat numerike 119

#include <iostream>
int main()
{
int const n=5;int A[n]={5,2,4,9,-7},i,k;
k=0;
for (i=0;i<n;i++)
{
if ((A[i]>3) && (A[i]<8))
k=k+1;
else
cout << "i="
<< i
<< " A["
<< i
<< "]="
<< A[i]
<< "n";
}
cout << "Numri i kërkuar k="
<< k
<< "n";
return 0;
}
Nëse ekzekutohet programi i dhënë për vlerat hyrëse të shfrytëzuara gjatë
vizatimit të rrugës së kaluar në Fig.6.29, në ekran do të shtypen së pari indekset
dhe vlerat e anëtarëve të cilët nuk i plotësojnë kushtet:
i=1 A[1]=2
i=3 A[3]=9
i=4 A[4]=-7
dhe pastaj edhe numri i anëtarëve që i plotësojnë kushtet:
Numri i kërkuar k=2
Detyra Të gjendet:

a. sa anëtarë të vektorit të dhënë Y(n), përnga vlera
absolute janë numra më të mëdhenj se numri pozitiv x;

b. numri i anëtarëve në vektorin e dhënë T(m), të cilët janë
më të mëdhenj se x e më të vegjël se y, ku x>y.

120 Algoritmet

Gjetja e anëtarëve të caktuar
Shpeshherë, gjatë zgjidhjes së problemeve të ndryshme me kompjuter,
nevojiten vlera të caktuara brenda fushave numerike, siç është, p.sh., anëtari me
vlerë numerike minimale, ose anëtari me vlerë numerike maksimale. Procesi i
gjetjes së tyre fillon me përvetësimin e vlerës fillestare të një variable ndihmëse,
tek e cila do të ruhet vlera e kërkuar. Si vlerë fillestare e variablës ndihmëse
merret kryesisht anëtari i parë në vektor, ose vlera e saj formohet nga ky anëtar i
vektorit. Pastaj, krahasohen me vlerën e variablës ndihmëse të gjithë anëtarët e
tjerë të vektorit. Sa herë që gjatë krahasimit vlera e anëtarit të vektorit, e cila
krahasohet, është më e afërt me vlerën e kërkuar, ajo vlerë ruhet te variabla
ndihmëse. Në fund, pasi të krahasohen të gjithë anëtarët e vektorit, variabla
ndihmëse e përmban vlerën e kërkuar.

Shembull Gjetja e vlerës maksimale x në vektorin e dhënë A(n).

a. Bllok-diagrami b. Rruga - për A= 3 7 5 9

Fillimi

m,(ai,i=1,m)

x=a1

i=2

Po
x ≥ ai
Jo
x=ai

i=i+1
Po
i ≤ m
Jo
x

Fundi

Fig.6.30 Fig.6.31

Fushat numerike 121

c. Testimi – për A= 3 7 5 9

Vlerat numerike
merren
Fillimi i
1 1 Fillimi -
algoritmit
Lexo: m prej njësisë m=4, a1 =3, a2 =7,
2 2
(ai ,i=1,m) hyrëse a3 =7, a4 =9
3 3 x=a1 a1 →2 x=3
4 4 i=2 - i=2
5 5 Pyet: x≥ai x→3, i→4, ai →2 Jo
6 6 x=ai i→4, ai →2 X=7
7 7 i=i+1 i→4, i=2+1=3
8 8 Pyet:i≤m i→7, m→2 Po
9 5 Pyet: x≥ai x→6, i→7, ai →2 Po
10 7 i=i+1 i→7, i=3+1=4
11 8 Pyet:i≤m i→10, m→2 Po
12 5 Pyet: x≥ai x→6, i→10, ai →2 Jo
13 6 x=ai i→10, ai →2 x=9
14 7 i=i+1 i→10, i=4+1=5
15 8 Pyet:i≤m i→14, m→2 Jo
16 9 Shtyp:x x→13 Shtypet numri 9
Fundi i
17 10 Fundi -
algoritmit

Fig.6.32
d. Programi

// Programi Prg6_30
#include <iostream>
int main()
{
int const m=4;
int A[m]={3,7,5,9},i,x;
x=A[0];
for (i=1;i<m;i++)
{
if (x>=A[i])
{
}
else

122 Algoritmet

x=A[i];
}
cout << "Numri më i madh x="
<< x
<< "n";
return 0;
}
Pas ekzekutimit të programit, për vlerat hyrëse të shfrytëzuara për testimin e
bllok-diagramit, rezultati që shtypet në ekran është:

Numri më i madh x=9

Gjatë gjetjes së vlerës së caktuar, si vlerë fillestare mund të merret edhe
anëtari i fundit në vektor.

Shembull Gjetja e anëtarit me vlerë numerike më të vogël v për nga
vlera absolute, në vektorin e dhënë G(n).

a. Bllok-diagrami b. Rruga - për A= -7 3 -6 4 -8

Fillimi

n,(gi,i=1,n)

v=|gn|

i=n-1

Po
v ≤ |gi|
Jo
v=|gi|

i=i-1
Po
i > 0
Jo
v

Fundi

Fig.6.33 Fig.6.34

Fushat numerike 123

c. Programi

// Programi Prg6_33
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
int const n=5;
int G[n]={-7,3,-6,4,-8},i,v;
v=abs(G[n-1]);
i=n-2;
do
{
if (v<=abs(G[i]))
{
}
else
v=abs(G[i]);
i--;
}
while (i>0);
cout << "Vlera më e vogël v="
<< v
<< "n";
return 0;
}

Për vlerat numerike të shfrytëzuara gjatë vizatimit të rrugës së kaluar në
bllok-diagramin e dhënë në Fig.6.34, si rezultat shtypet:

Vlera më e vogël v=3

Si vlerë fillestare gjatë gjetjes së anëtarit të caktuar në vektor mund të merret
edhe vlera e cilitdo anëtar brenda vektorit. Por, gjatë kësaj duhet gjetur
ligjshmërinë se si të bëhet krahasimi i të gjitha vlerave të vektorit me vlerën e
variablës ndihmëse.
Përveç vlerës së anëtarit të caktuar, mund të kërkohet edhe pozita e tij në
vektor, përkatësisht indeksi i tij.

Shembull Gjetja e anëtarit me vlerë numerike më të madhe t për nga
vlera absolute, si dhe pozita përkatëse k në vektorin e dhënë
Z(n).

124 Algoritmet

a. Bllok-diagrami b. Rruga - për A= 4 -7 2 9 -5

Fillimi

n,(zi,i=1,n)

t=|z1|

k=1

i=2

Jo
t < |zi|
Po
t=|zi|

k=i

i=i+1
Po
i ≤ n
Jo
k,t

Fundi

Fig.6.35 Fig.6.36

c. Programi

// Programi Prg6_35
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
int const n=5;
int Z[n]={4,-7,2,9,-5},i,t,k;
t=abs(Z[0]);
k=0;
for (i=1;i<n-1;i++)

Fushat numerike 125

{
if (t<abs(Z[i]))
{
t=abs(Z[i]);
k=i;
}
}
cout << "Vlera më e madhe ... t="
<< t
<< "n";
cout << "Indeksi ............ k="
<< k
<< "n";
return 0;
}

Nëse programi i dhënë ekzekutohet për vlerat e anëtarëve të vektorit Z të
shfrytëzuara gjatë vizatimit të rrugës së kaluar në Fig.6.36, rezultati që shtypet në
ekran është:

Vlera më e madhe ... t=9
Indeksi ............ k=3

Brenda një vektori mund të gjendet edhe anëtari i caktuar nga grumbulli i
vlerave numerike të anëtarëve të cilët plotësojn kushte të fiksuara paraprakisht.
Kështu, p.sh., mund të gjendet anëtari më i madh (më i vogël) në grumbullin e
anëtarëve pozitivë (negativë) të vektorit, duke i marrë si vlera reale, ose si vlera
absolute etj.

Shembull Gjetja e anëtarit me vlerë numerike më të madhe d për nga
vlera absolute, në grumbullin e anëtarëve negativë të vektorit
A(n).

126 Algoritmet

a. Bllok-diagrami
Fillimi

n,(ai,i=1,n)

i=1
X Y
Po
ai < 0
Jo d=|ai|
i=i+1
k=i+1
Po
i ≤ n
Jo
Jo ak<0
Po
Jo
d>|ak|
Po d=|ak|

k=k+1
Po
k ≤ n
Jo
Mesazhi d

Fundi

Fig.6.37
Pjesa X e bllok-diagramit të dhënë në Fig.6.37 shfrytëzohet për përcaktimin e
vlerës fillestare të variablës d, në të cilën si rezultat do ruhet vlera e kërkuar e
vektorit. Në këtë pjesë, variablës d i shoqërohet vlera e anëtarit negativ, i cili
gjendet në procesin e kërkimit, që fillon prej anëtarit të parë të vektorit.
Në pjesën Y, pasi paraprakisht është përcaktuar vlera fillestare e variablës d,
procedura e krahasimit dhe e gjetjes së vlerës absolute më të madhe në
grumbullin e anëtarëve negativë fillon prej anëtarit k=i+1, ku i është indeksi i
anëtarit të parë negativ në vektor, i cili fitohet në pjesën X të bllok-diagramit.

Fushat numerike 127

b. Rruga - për A = 3 9 -2 6 -7 5

Fig.6.38
c. Programi

// Programi Prg6_37
#include <iostream>
#nclude <cmath>
int main()
{
int const n=6;
int A[n]={3,-9,2,-6,7,-15},i,d,k;
i=0;

128 Algoritmet

do
{
if (A[i]<0)
goto Y;
i++;
}
while (i<n);
cout << "Nuk ka asnjë vlerë negative"
<< "n";
goto F;
Y:
d=abs(A[i]);
for (k=i+1;k<n;k++)
{
if (A[k]<0)
if (d>abs(A[k]))
{
}
else
d=abs(A[k]);
}
cout << "Vlera e gjetur d="
<< d
<< "n";
F:
return 0;
}

Programi i dhënë është shkruar ashtu që për nga struktura t'i ngjajë bllok-
diagramit. Nëse gjatë kërkimit në pjesën X nuk gjendet asnjë anëtar negativ, është
paraparë që si rezultat të shtypet mesazhi përkatës:

Nuk ka asnjë vlerë negative

Për vlerat e marra gjatë vizatimit të rrugës së kaluar në Fig.6.38 rezultati që

Vlera e gjetur d=7

sepse, prej dy vlerave negative (-2 dhe -7), numri i dytë është më i madh si
vlerë absolute.

Detyra Në vektorin e dhënë F(n), të gjendet:

Fushat numerike 129

a. anëtari me vlerë numerike më të vogël v, si dhe indeksi
përkatës k;

b. anëtari më i madh, në grupin e vlerave numerike, të cilat
sillen mes vlerave x dhe y, nëse x<y.

Radhitja e anëtarëve
Anëtarët e vektorit të dhënë A(n) mund të radhiten sipas madhësisë, në
(n-1)-hapa, kështu:

Hapi i parë (i=1) a 1 krahasohet me a 2 ,a3 ,...,an
Hapi i dytë (i=2) a 2 krahasohet me a 3 ,a4 ,...,an
............. ...........
Hapi i fundit (i=n-1) a n-1 krahasohet me a n .

Në çdo hap të ndërmarrë fiksohet vlera numerike e një anëtari të vektorit, kurse
ngelin të pandryshuara vlerat numerike të anëtarëve që janë fiksuar në hapat
paraprakë. Gjatë krahasimit të dy anëtarëve, për ndërrimin e vendeve të tyre
shfrytëzohet një variabël ndihmëse, duke pasur parasysh radhën e cila është
treguar në Fig.6.39, ku b është variabla ndihmëse, kurse ai dhe aj janë anëtarët,
vlerat e të cilëve i ndërrojnë vendet mes vete.

2
ai aj

1 3
b

Fig.6.39

Shembull Radhitja sipas madhësisë e vlerave numerike të anëtarëve të
vektorit A(n), prej vlerës më të vogël.

130 Algoritmet

a. Bllok-diagrami b. Rruga - për A= 7 2 8 3

Fillimi

n,(ai,i=1,n)

i=1

j=i+1

Po
ai≤aj
Jo
b=ai

ai=aj

aj=b

j=j+1

Po
j≤n
Jo
i=i+1

Po
i≤ n-1
Jo
(ai,i=1,n)

Fundi

Fig.6.40 Fig.6.41
c. Programi

// Programi Prg6_40
#include <iostream>
int main()
{
int const n=4;

Fushat numerike 131

int A[n]={7,2,8,3},i,j,b;
for (i=0;i<n-1;i++)
for (j=i+1;j<n;j++)
{
if (A[i]<=A[j])
{
}
else
{
b=A[i];
A[i]=A[j];
A[j]=b;
}
}
cout << "A=[ ";
for (i=0;i<n;i++)
cout << A[i]
<< " ";
cout << "]"
<< "n";
return 0;
}

Këtu, meqë si shembull është marrë vektori me n=4 anëtarë, radhitja do të
kryhet në 3-hapa. Vlerat e anëtarëve të vektorit në fund të çdo hapi janë:

Hapi i parë (i=0): 2 7 8 3
Hapi i dytë (i=1): 2 3 8 7
Hapi i tretë (i=2): 2 3 7 8

Vlerat e fiksuara në fund të hapit të tretë janë vlerat e radhitura të vektorit sipas
madhësive, prej më të voglit kah më i madhi, dhe rezultati që shtypet pas
ekzekutimit të programit është:

A=[ 2 3 7 8 ]

Bllok-diagrami i dhënë në Fig.6.40 gjegjësisht programi përkatës, vlen edhe
nëse vektori përmban vlera numerike negative.
Anëtarët e vektorit mund të radhiten edhe në bazë të vlerave absolute.

Shembull Radhitja sipas vlerave absolute të anëtarëve të vektorit A(n),
prej vlerës më të madhe.

a. Bllok-diagrami b. Rruga - për A= 3 -7 5 -4

132 Algoritmet

Fillimi

n,(ai,i=1,n)

i=1

j=i+1

Jo
|ai|≥|aj|
Po
b=ai

ai=aj

aj=b

j=j+1

Po
j≤n
Jo
i=i+1

Po
i≤ n-1
Jo
(ai,i=1,n)

Fundi

Fig.6.42 Fig.6.43

c. Programi

// Programi Prg6_42
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{

Fushat numerike 133

int const n=4;
int A[n]={3,-7,5,-4},i,j,b;
for (i=0;i<n-1;i++)
for (j=i+1;j<n;j++)
{
if (abs(A[i])>=abs(A[j]))
{
}
else
{
b=A[i];
A[i]=A[j];
A[j]=b;
}
}
cout << "A=[ ";
for (i=0;i<n;i++)
cout << A[i]
<< " ";
cout << "]"
<< "n";
return 0;
}

Si rezultat, pas ekzekutimit të programit të dhënë në ekran, do të shtypet
vektori me vlerat e radhitura brenda tij, kështu:

A=[ -7 5 -4 3 ]

meqë është kërkuar radhitja në bazë të vlerave absolute.

Detyra Të radhiten sipas madhësisë anëtarët e vektorit të dhënë
G(m):

a. prej më të madhit kah më i vogli;

b. si vlera absolute, prej më të voglit kah më i madhi.

134 Algoritmet

Matricat
Gjatë punës me matrica, për t'i shfrytëzuar anëtarët e vendosur në fushat e
veçanta të tyre, përdoren indekset e rreshtave dhe të kolonave përkatëse.

Përcaktimi i matricave
Vlerat e anëtarëve të matricave kompjuterit mund t'i jepen si vlera të gatshme
hyrëse, ose duke i llogaritur ato në bazë të procedurës së dhënë.

Shembull Formimi i matricës A(m,n), duke i llogaritur anëtarët aij të
saj kështu:

⎧ 2i + 3j për i < j
⎪
aij = ⎨i + j për i = j
⎪ 3i − j2 për i > j
⎩

nëse dihen dimensionet e matricës.

Fushat numerike 135

a. Bllok-diagrami

Fillimi

m,n

i=1

j=1

< >
i < j
>-
=
aij=2i+3j aij=i+j aij=3i-j2

j=j+1

Po
j ≤ n
Jo
i=i+1

Po
i ≤ m
Jo
⎛ a ,i=1,m ⎞
⎜ ij j=1,n ⎟
⎝ ⎠

Fundi

Fig.6.44

b. Rruga - për m=2, n=3

136 Algoritmet

Fig.6.45
c. Programi

// Programi Prg6_44
#include <iostream>
int main()
{
int const m=2,n=3;
int i,j,A[m][n];
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<n;j++)
if (i<j)

Fushat numerike 137

A[i][j]=2*i+3*j;
else
if (i==j)
A[i][j]=i+j;
else
A[i][j]=3*i-j*j;
cout << "Matrica e formuar"
<< "n";
for (i=0;i<m;i++)
{
for (j=0;j<n;j++)
cout << A[i][j]
<< " ";
cout << "n";
}
return 0;
}


Matrica e formuar
0 3 6
3 2 8

Ligjshmëritë për llogaritjen e anëtarëve të matricave, përkatësisht për
formimin e tyre, mund të jenë të ndryshme.

Shembull Formimi i matricës R(m,n), duke llogaritur anëtarët e saj
kështu:

⎧ i + j+ 1
⎪3 ∑ (k + 2i − 3j) për i < j
⎪
rij = ⎨ k =1
⎪
⎪ (i + j)!
⎩ për i ≥ j

a. Bllok-diagrami

138 Algoritmet

Fillimi

i+j+1 m,n
s= ∑(k + 2i − 3j)
k =1 i=1

j=1

Po Jo F=(i+j)!
i < j

s=0 F=1

k=1 k=1

s=s+(k+2i-3j) F=F⋅k

k=k+1 k=k+1
Po Po
k ≤ i+j+1 k ≤ i+j
Jo Jo
rij=3s rij=F

j=j+1

j ≤ n

i=i+1

i ≤ n

⎛ r ,i=1,m ⎞
⎜ ij j=1,n ⎟
⎝ ⎠

Fundi

Fig.6.46

Fushat numerike 139

Këtu, nuk është vizatuar edhe rruga që kalohet në bllok-diagram për vlera të
caktuara të dimensioneve të matricës m dhe n, meqë numri i tyre është i madhë,
gjë që do të praktikohet edhe në shumicën e shembujve të pjesës vijuese të librit.

b. Programi

// Programi Prg6_46
#include <iostream>
int main()
{
int const m=2,n=3;
int i,j,k,s,f,R[m][n];
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<n;j++)
if (i<j)
{
s=0;
for (k=1;k<=(i+j+1);k++)
s=s+(k+2*i-3*j);
R[i][j]=3*s;
}
else
{
f=1;
for (k=1;k<=(i+j);k++)
f=f*k;
R[i][j]=f;
}
<< "n";
for (i=0;i<m;i++)
{
for (j=0;j<n;j++)
{
cout.width(5);
cout << R[i][j];
}
cout << "n";
}
return 0;
}

140 Algoritmet

Nëse ekzekutohet programi i dhënë për matricën me dimensione m=2 dhe
n=3, rezultati që shtypet në ekran është:

Matrica e formuar
1 -9 -36
1 2 -18

Detyra Të formohet matrica katrore G(m,m), duke përcaktuar
elementet e saj kështu:

a. j=1 2 3 ... m
i=1 1 5 5 ... 5
2 -3 1 5 ... 5
G = 3 -3 -3 1 ... 5
... ... ... ... ... ...
m -3 -3 -3 ... 1

b.
j=1 2 3 ... m
i=1 0 2 3 ... m
2 2 0 3 ... m
G = 3 2 2 0 ... m
... ... ... ... ... ...
m 2 2 2 ... 0

Matricat mund të formohen edhe duke shfrytëzuar vlerat e anëtarëve të
vektorëve të dhënë.

Fushat numerike 141

Shembull Formimi i matricës katrore A(m,m), duke shfrytëzuar
anëtarët e vektorit të dhënë D(m), kështu:
j=1 2 3 ... m
i=1 d1 d1 +2 d1 +3 ... d1 +m
2 d2 +8 d2 d2 +3 ... d2 +m
A = 3 d3 +8 d3 +8 d3 ... d3 +m
... ... ... ... ... ...
m dm +8 dm +8 dm +8 ... dm

a. Bllok-diagrami Fillimi

m,(di,i=1,m)

i=1

j=1

< >
i < j
-
>
=
aij=di+j aij=di aij=di+8

j=j+1

Po
j ≤ m
Jo
i=i+1

Po
i ≤ m
Jo
⎛ a ,i=1,m ⎞
⎜ ij j=1,m ⎟
⎝ ⎠

Fundi

Fig.6.47

142 Algoritmet

Siç shihet edhe nga bllok-diagrami, për i<j duhet të mbushen anëtarët mbi
diagonalen kryesore, kurse kur është i>j kemi të bëjmë me anëtarët nën
diagonalen kryesore.
b. Programi
// Programi Prg6_47
#include <iostream>
int main()
{
int const m=5;
int D[m]={3,-7,4,9,-2};
int i,j,A[m][m];
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<m;j++)
if (i<j)
A[i][j]=D[i]+j;
else
if (i==j)
A[i][j]=D[i];
else
A[i][j]=D[i]+8;
<< "n";
for (i=0;i<m;i++)
{
for (j=0;j<m;j++)
{
cout.width(5);
cout << A[i][j];
}
cout << "n";
}
return 0;
}

Rezultati që shtypet në ekran pas ekzekutimit të programit të dhënë është:
Matrica e formuar
3 4 5 6 7
1 -7 -5 -4 -3
12 12 4 7 8
17 17 17 9 13
6 6 6 6 -2
Me vlerat e anëtarëve të vektorit, përveç diagonales kryesore që u tregua në
shembullin e mësipërm, mund të mbushet edhe një rresht, ose një kolonë e
caktuar e matricës.

Fushat numerike 143

Shembull Formimi i matricës G(m,m), duke i shfrytzëzuar edhe
anëtarët e vektorit B(m):
j=1 2 3 ... m
i=1 b1 1 1 ... 1
2 b2 2 2 ... 2
G = 3 b3 3 3 ... 3
... ... ... ... ... ...
m bm m m ... m

a. Bllok-diagrami
Fillimi

m,(bi,i=1,m)

i=1

j=1

Po Jo
j=1

gij=bj gij=i

j=j+1

Po
j ≤ m
Jo
i=i+1

Po
i ≤ m
Jo
⎛ g ,i=1,m ⎞
⎜ ij j=1,m ⎟
⎝ ⎠

Fundi
Fig.6.48

144 Algoritmet

b. Programi

// Programi Prg6_48
#include <iostream>
int main()
{
int const m=5;
int B[m]={9,2,-4,6,-5};
int i,j,G[m][m];
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<m;j++)
if (j==0)
G[i][j]=B[i];
else
G[i][j]=i;
<< "n";
for (i=0;i<m;i++)
{
for (j=0;j<m;j++)
{
cout.width(5);
cout << G[i][j];
}
cout << "n";
}
return 0;
}

Nëse programi i dhënë ekzekutohet, si rezultat në ekran do të fitohet:

Matrica e formuar
9 0 0 0 0
2 1 1 1 1
-4 2 2 2 2
6 3 3 3 3
-5 4 4 4 4

Fushat numerike 145

Detyra Të formohet matrica katrore A(m,m), nëse anëtarët e
vektorit të dhënë R(m) brenda matricës vendosen kështu:

a. b.

a. b.
j=1 2 ... n j=1 2 ... n
i=1 R i=1
2 2
-5 R
A = ... 3 A = ...
m m

kurse pjesët e tjera të matricës mbushen me numrat e dhënë.

Formimi i matricave mund të mbështetet edhe në shfrytëzimin e anëtarëve të
matricave të tjera.

Shembull Formimi i matricës Z, duke shfrytëzuar anëtarët e matricës
A(m,m), kështu:

j=1 2 ... m m+1
i=1
2
A 4
Z = ...
m
m+1 9 0

146 Algoritmet

a. Bllok-diagrami
Fillimi

i=1,m
m,⎛ aij,j=1,m ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

i=1

j=1

zij=aij

j=j+1

Po
j ≤ m
Jo
zi,m+1=4

i=i+1

Po
i ≤ m
Jo
j=1

zm+1,j=9

j=j+1

Po
j ≤ m
Jo
zm+1,m+1=0

⎛ z ,i=1,m +1⎞
⎜ ij j=1,m +1 ⎟
⎝ ⎠

Fundi

Fig.6.49

Fushat numerike 147

b. Programi

// Programi Prg6_49
#include <iostream>
int main()
{
int const m=4;
int A[m][m]={ {3,5,-4,2},
{6,9,-2,8},
{1,-3,7,4},
{2,0,-5,3}
};
int i,j,Z[m+1][m+1];

for (i=0;i<m;i++)
{
for (j=0;j<m;j++)
Z[i][j]=A[i][j];
Z[i][m]=4;
}
for (j=0;j<m;j++)
Z[m][j]=9;
Z[m][m]=0;
<< "n";
for (i=0;i<=m;i++)
{
for (j=0;j<=m;j++)
{
cout.width(5);
cout << Z[i][j];
}
cout << "n";
}
return 0;
}
Pas ekzekutimit të programit, rezultati që shtypet në ekran është:

Matrica e formuar
3 5 -4 2 4
6 9 -2 8 4
1 -3 7 4 4
2 0 -5 3 4
9 9 9 9 0

148 Algoritmet

Algoritmi për formimin e matricës Z mund të realizohet edhe ndryshe, duke
paraparë mbushjen e të gjitha pjesëve të saj brenda unazave për indekset i dhe
j, të cilat ndryshohen mes vlerave 1 dhe m+1, ashtu siç është treguar në vijim.

a. Bllok-diagrami
Fillimi

i=1,m
m,⎛ aij,j=1,m ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

i=1

j=1

Po Jo
i=m+1
Po Jo Po Jo
j=m+1 j=m+1

zij=0 zij=9 zij=4 zij=aij

j=j+1

Po
j≤ m+1
Jo
i=i+1

Po
i≤ m+1
Jo
⎛ z ,i=1,m +1 ⎞
⎜ ij j=1,m +1 ⎟
⎝ ⎠

Fundi

Fig.6.50

Fushat numerike 149

b. Programi

// Programi Prg6_50
#include <iostream>
int main()
{
int const m=4;
int A[m][m]={ {3,5,-4,2},
{6,9,-2,8},
{1,-3,7,4},
{2,0,-5,3}
};
int i,j,Z[m+1][m+1];
for (i=0;i<=m;i++)
for (j=0;j<=m;j++)
if (i==m)
if (j==m) Z[i][j]=0;
else Z[i][j]=9;
else
if (j==m) Z[i][j]=4;
else Z[i][j]=A[i][j];
<< "n";
for (i=0;i<=m;i++)
{
for (j=0;j<=m;j++)
{
cout.width(5);
cout << Z[i][j];
}
cout << "n";
}
return 0;
}

Detyra Duke shfrytëzuar anëtarët e matricës X(m,m), të formohet
matrica R, kështu:
a. b.

0 X R = 1 X 2
R =

5 -9

150 Algoritmet

Gjatë formimit të matricave, pjesë të caktuara të tyre mund të mbushen edhe
me vlerat e matricave të njohura, p.sh., siç është matrica njësi, ose matrica zero
etj.

Shembull Formimi i matricës T, kështu:

j=1 ... n
i=1
.
E
:
T = n
n+1
.
0
:
2n

ku E(n,n) është matrica njësi, kurse O(n,n) është matrica
zero.

Fushat numerike 151

a. Bllok-diagrami
Fillimi

n

i=1

j=1

Po Jo
i ≤ n

Jo Po
i=j

tij=0 tij=1 tij=0

j=j+1

Po
j ≤ n
Jo
i=i+1

Po
i ≤ 2n
Jo
⎛ t ,i=1,2n ⎞
⎜ ij j=1,n ⎟
⎝ ⎠

Fundi

Fig.6.51
b. Programi

// Programi Prg6_51
#include <iostream>
int main()
{
int const n=5;
int i,j,T[2*n][n];

152 Algoritmet

for (i=0;i<(2*n);i++)
for (j=0;j<n;j++)
if (i<n)
if (i==j)
T[i][j]=1;
else
T[i][j]=0;
else
T[i][j]=0;

<< "n";
for (i=0;i<(2*n);i++)
{
for (j=0;j<n;j++)
{
cout.width(3);
cout << T[i][j];
}
cout << "n";
}
return 0;
}

Rezultati që shtypet në ekran pas ekzekutimit të programit të dhënë është:

Matrica e formuar
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

Fushat numerike 153

Detyra Të formohet matrica R, kështu:

a. j=1 ... m m+1 ... 2m
i=1
2
R = . E 0
:
m

b. j=1 ... m+1
i=1
2
R = . 5 E
:
m

ku E(m,m) është matrica njësi, kurse O(m,m) është matrica
zero.

Matricat mund të formohen edhe duke shfrytëzuar njëkohësisht më shum
matrica, me vlera të çfarëdoshme.

Shembull Formimi i matricës D nga anëtarët e matricave A(m,m) dhe
B(m,m), kështu:

j=1 ... m m+1 ... 2m
i=1
2
D = . A B
:
m

154 Algoritmet

a. Bllok-diagrami
Fillimi

i=1,m ⎞ ⎛ i=1,m ⎞
m,⎛ aij,
⎜ ⎟,⎜ b , ⎟
⎝ j=1,m ⎠ ⎝ ij j=1,m ⎠

i=1

j=1

Po Jo
j≤ m

dij=aij dij=bi,j-m

j=j+1

Po
j ≤ 2m
Jo
i=i+1

Po
i≤ m
Jo
⎛ d ,i=1,m ⎞
⎜ ij j=1,2m ⎟
⎝ ⎠

Fundi

Fig.6.52

b. Programi
// Programi Prg6_52
#include <iostream>
int main()
{
int const m=3;
int A[m][m]={ {4,7,3},
{-2,3,9},

Fushat numerike 155

{8,-4,2}
};
int B[m][m]={ {-2,9,1},
{4,8,3},
{6,1,7}
};
int i,j,D[m][2*m];
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<(2*m);j++)
if (j<m)
D[i][j]=A[i][j];
else
D[i][j]=B[i][j-m];
<< "n";
for (i=0;i<m;i++)
{
for (j=0;j<(2*m);j++)
{
cout.width(4);
cout << D[i][j];
}
cout << "n";
}
return 0;
}
Pas ekzekutimit të programit të dhënë, rezultati që shtypet në ekran është:
Matrica e formuar
4 7 3 -2 9 1
-2 3 9 4 8 3
8 -4 2 6 1 7

156 Algoritmet

Detyra Të formohet matrica G, duke shfrytëzuar anëtarët e matricave
A(m,n) dhe B(m,n), kështu:
a. b.

A A B
G =
G = 3
-6
B

Kur në formimin e matricës përdoren më shum matrica, mbushja e saj në
bllok-diagram mund të realizohet duke shfrytëzuar pjesë të veçanta për çdo
matricë, ose përmes një tërësie të përbërë për të gjitha matricat.

Shembull Formimi i matricës R, duke shfrytëzuar anëtarët e matricave
F(m,n) dhe G(l,k), kështu:

j=1 ... n n+1 ... n+k
i=1

. F 0
:
R = m
m+1

. 0 G
:
m+l

ku me 0 është shënuar matrica zero.

Fushat numerike 157

a. Bllok-diagrami
Fillimi

m,n,l,k

⎛ f ,i=1,m ⎞,⎛ g ,i=1,l ⎞
⎜ ij j=1,n ⎟ ⎜ ij j=1,k ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠

i=1

j=1

Po Jo
i≤ m
Po Jo Po Jo
j≤ n j≤ n

rij=fij rij=0 rij=0 rij=gi-m,j-n

j=j+1

Po
j≤ n+k
Jo
i=i+1

Po
i≤ m+l
Jo
⎛ r ,i=1,m +l ⎞
⎜ ij j=1,n+k ⎟
⎝ ⎠

Fundi

Fig.6.53
b. Programi

// Programi Prg6_53
#include <iostream>
int main()

158 Algoritmet

{
int const m=3,n=4,l=4,k=3;
int F[m][n]={ {4,7,3,5},
{-2,3,9,2},
{8,-4,2,7}
};
int G[l][k]={ {-2,9,1},
{4,8,3},
{6,1,7},
{-9,4,2}
};
int i,j,R[m+l][n+k];
for (i=0;i<m+l;i++)
for (j=0;j<n+k;j++)
if (i<m)
if (j<n)
R[i][j]=F[i][j];
else
R[i][j]=0;
else
if (j<n)
R[i][j]=0;
else
R[i][j]=G[i-m][j-n];
<< "n";
for (i=0;i<m+l;i++)
{
for (j=0;j<n+k;j++)
{
cout.width(4);
cout << R[i][j];
}
cout << "n";
}
return 0;
}

Rezultati që do të shtypet në ekran, nëse ekzekutohet programi i dhënë,
është:
Matrica e formuar
4 7 3 5 0 0 0
-2 3 9 2 0 0 0
8 -4 2 7 0 0 0
0 0 0 0 -2 9 1

Fushat numerike 159

0 0 0 0 4 8 3
0 0 0 0 6 1 7
0 0 0 0 -9 4 2

Këtu, siç u theksua edhe më sipër, mund të zbatohet procedura e mbushjes
parciale të matricës. Kështu, nëse, p.sh., mbushet së pari pjesa e majtë e matricës
dhe pastaj pjesa e djathtë e saj, algoritmi përkatës do të duket si në vijim.

a. Bllok-diagrami
Fillimi

m,n,l,k

⎛ f ,i=1,m ⎞,⎛ g ,i=1,l ⎞
⎜ ij j=1,n ⎟ ⎜ ij j=1,k ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠

i=1

j=1

Po Jo
i≤ m

rij=fij rij=0

j=j+1

Po
j≤ n
Jo
i=i+1

Po
i≤ m+l
Jo
A

160 Algoritmet

A

i=1

j=n+1

Po Jo
i≤ m

rij=0 rij=gi-m,j-n

j=j+1

Po
j≤ n+k
Jo
i=i+1

Po
i≤ m+l
Jo
⎛ r ,i=1,m +l ⎞
⎜ ij j=1,n+k ⎟
⎝ ⎠

Fundi

Fig.6.54
b. Programi

Pjesa e programit për mbushjen e matricës me vlera, e cila ndryshon nga
programi që u dha më sipër, duket si në vijim.

// Programi Prg6_54
.......................................
for (i=0;i<m+l;i++)
for (j=0;j<n;j++)
if (i<m)
R[i][j]=F[i][j];
else
R[i][j]=0;
for (i=0;i<m+l;i++)

Fushat numerike 161

for (j=n;j<n+k;j++)
if (i<m)
R[i][j]=0;
else
R[i][j]=G[i-m][j-n];
.............................................

Nëse matricat që përdoren për mbushje kanë vlera të caktuara, gjatë
vendosjes së vlerave në matricë duhet pasur kujdes në indekset e anëtarëve të
cilët shfrytëzohen për mbushje.

Shembull Formimi i matricës F, duke shfrytëzuar anëtarët e matricave
A(m,n), B(m,k), C(l,n) dhe D(l,k), kështu:

j=1 ... n n+1 ... n+k
i=1
.
. A B
.
F = m
m+1
.
. C D
.
m+l

162 Algoritmet

a. Bllok-diagrami
Fillimi

m,n,l,k

⎛ a ,i=1,m ⎞,⎛ b ,i=1,m ⎞
⎜ ij j=1,n ⎟ ⎜ ij j=1,k ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ c ,i=1,l ⎞,⎛ d ,i=1,l ⎞
⎜ ij j=1,n ⎟ ⎜ ij j=1,k ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠

i=1

j=1

Po Jo
i≤ m
Po Jo Po Jo
j≤ n j≤ n

fij=aij fij=bi,j-n fij=ci-m,j fij=di-m,j-n

j=j+1

Po
j≤ n+k
Jo
i=i+1

Po
i≤ m+l
Jo
⎛ f ,i=1,m +l ⎞
⎜ ij j=1,n+ k ⎟
⎝ ⎠

Fundi

Fig.6.55

Fushat numerike 163

b. Programi
// Programi Prg6_55
#include <iostream>
int main()
{
int const m=3,n=2,l=2,k=3;
int A[m][n]={ {4,7},
{-2,5},
{8,3}};
int B[m][k]={ {-1,9,6},
{2,3,8},
{4,1,5}
};
int C[l][n]={ {1,2},
{3,4}
};
int D[l][k]={ {5,4,3},
{2,1,0}
};
int i,j,F[m+l][n+k];
for (i=0;i<m+l;i++)
for (j=0;j<n+k;j++)
if (i<m)
if (j<n)
F[i][j]=A[i][j];
else
F[i][j]=B[i][j-n];
else
if (j<n)
F[i][j]=C[i-m][j];
else
F[i][j]=D[i-m][j-n];
<< "n";
for (i=0;i<m+l;i++)
{
for (j=0;j<n+k;j++)
{
cout.width(4);
cout << F[i][j];
}
cout << "n";
}

164 Algoritmet

return 0;
}
Pas ekzekutimit të programit, matrica F e shtypur në ekran duket kështu:

Matrica e formuar
4 7 -1 9 6
-2 5 2 3 8
8 3 4 1 5
1 2 5 4 3
3 4 2 1 0

Detyra Të formohet matrica F, duke shfrytëzuar anëtarët e matricave
A(m,n) dhe B(k,l), si dhe matricën njësi E dhe matricën
zero 0, ashtu siç është treguar më poshtë.

a.

E A
F=
B 0

b.

0 E
F=
A 0

c.

E 0
F=
0 E

d.

A E
F=
B 0

Fushat numerike 165

Operacionet aritmetikore
Mbi anëtarët e matricave mund të zbatohen operacionet elementare
aritmetikore.

Mbledhja dhe zbritja
Mblidhen vetëm matricat të cilat kanë dimensione të barabarta. Operacioni i
mbledhjes kryhet duke i mbledhur anëtarët në pozicionet e njëjta të dy matricave,
përkatësisht anëtarët me indekse të njëjtë.

Shembull Gejtja e shumës C(m,n) të matricave A(m,n) dhe
B(m,n).

a11 a12 ... a1n b11 b12 ... b1n
a21 a22 ... a2n b21 b22 ... b2n
C = A+B = + =
... ... ... ... ... ... ... ...
am1 am2 ... amn bm1 bm2 ... bmn

a11 +b11 a12 +b12 ... a1n +b1n
a21 +b21 a22 +b22 ... a2n +b2n
=
... ... ... ...
am1 +bm1 am2 +bm2 ... amn +bmn

c11 =a11 +b11
c12 =a12 +b12
.........
cij =aij +bij
.........
cmn =amn +bmn

166 Algoritmet

a. Bllok-diagrami
Fillimi

i=1,m i=1,m
m,n,⎛ aij,j=1,n ⎞,⎛ bij,j=1,n ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠

i=1

j=1

cij=aij+bij

j=j+1

Po
j ≤ n
Jo
i=i+1

Po
i ≤ m
Jo
⎛ c ,i=1,m ⎞
⎜ ij j=1,n ⎟
⎝ ⎠

Fundi

Fig.6.56
c. Programi

// Programi Prg6_56
#include <iostream>
int main()
{
int const m=4,n=5;
int A[m][n]={ {4,7,8,-6,9},
{1,-2,5,4,6},
{8,3,2,-1,0},
{-3,5,8,4,1}
};
int B[m][n]={ {-1,6,9,6,4},

Fushat numerike 167

{2,3,7,4,-8},
{4,3,2,-1,5},
{9,-2,6,4,1}
};
int i,j,C[m][n];
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<n;j++)
C[i][j]=A[i][j]+B[i][j];
<< "n";
for (i=0;i<m;i++)
{
for (j=0;j<n;j++)
{
cout.width(4);
cout << C[i][j];
}
cout << "n";
}
return 0;
}

Duke pasur parasysh vlerat hyrëse për matricat A dhe B, të cilat kompjuterit i
janë dhënë si konstante, rezultati që shtypet në ekran pas ekzekutimit të
programit është:

Matrica e formuar
3 13 17 0 13
3 1 12 8 -2
12 6 4 -2 5
6 3 14 8 2

Operacioni i zbritjes kryhet plotësisht njëlloj si edhe mbledhja, që do të thotë se
shfrytëzohet algoritmi, përkatësisht programi i njëjtë.

Shumëzimi
Matrica shumëzohet me vektorë nëse numri i kolonave të matricës është i
barabartë me numrin e anëtarëve të vektorit. Rezultati që fitohet pas shumëzimit
të matricës me vektorë është vektor, i cili do të ketë aq anëtarë sa ka rreshta
matrica.

168 Algoritmet

Shembull Prodhimi T(m) i matricës A(m,n) me vektorin B(n).

a11 a12 ... a1n b1
a21 a22 ... a2n b2
T = A⋅B = ⋅ =
... ... ... ... ...
am1 am2 ... amn bn

a11 ⋅b1 +a12 ⋅b2 +...+a1n ⋅bn
a21 ⋅b1 +a22 ⋅b2 +...+a2n ⋅bn
=
...
am1 ⋅b1 +am2 ⋅b2 +...+amn ⋅bn

t1 =a11 ⋅b1 +a12 ⋅b2 +...+a1n ⋅bn
t2 =a21 ⋅b1 +a22 ⋅b2 +...+a2n ⋅bn
......................
n
ti =ai1 ⋅b1 +ai2 ⋅b2 +...+ain ⋅bn = ∑ a ij ⋅ b j
j=1
......................
tm =am1 ⋅b1 +am2 ⋅b2 +...+amn ⋅bn

Fushat numerike 169

a. Bllok-diagrami
Fillimi

m,n

⎛ a ,i=1,m ⎞
⎜ ij j=1,n ⎟
⎝ ⎠

(bi,i=1,n)

i=1

s=0

j=1

s=s+aij⋅bj

j=j+1

Po
j≤ n
Jo
ti=s

i=i+1

Po
i≤ m
Jo
(ti,i=1,m)

Fundi

Fig.6.57

b. Programi

170 Algoritmet

// Programi Prg6_57
#include <iostream>
int main()
{
int const m=4,n=5;
int A[m][n]={ {3,5,8,-1,4},
{7,-4,9,2,1},
{6,2,1,5,-7},
{2,4,6,-8,3}
};
int B[n]={-1,6,9,6,4};
int i,j,s,T[m];
for (i=0;i<m;i++)
{
s=0;
for (j=0;j<n;j++)
s=s+A[i][j]*B[j];
T[i]=s;
}
cout << "Vektori i prodhimit"
<< "n";
cout << "T=[ ";
for (i=0;i<m;i++)
cout << T[i]
<< " ";
cout << "]"
<< "n";
return 0;
}
Pas ekzekutimit të programit të dhënë, rezultati i prodhimit në ekran shtypet
kështu:
Vektori i prodhimit
T=[ 109 66 17 40 ]

Detyra Të gjendet:

a. matrica Y(m,n) si prodhim i matricës X(m,n) me
konstanten k;

b. vektori F(n) si prodhim i vektorit A(m) me matricën
B(m,n).

Fushat numerike 171

Dy matrica shumëzohen, nëse numri i kolonave të matricës së parë është i
barabartë me numrin e rreshtave të matricës së dytë. Shumëzimi i dy matricave e
jep si rezultat matricën tek e cila ruhet numri i rreshtave të matricës së parë dhe
numri i kolonave të matricës së dytë.

Shembull Gjetja e matricës C(m,n) si prodhim i matricës A(m,k)
me matricën B(k,n).

a11 a12 ... a1k b11 b12 ... b1n
a21 a22 ... a2k b21 b22 ... b2n
C = A⋅B = ⋅
... ... ... ... ... ... ... ...
am1 am2 ... amk bk1 bk2 ... bkn

c11 =a11 ⋅b11 +a12 ⋅b21 +...+a1k ⋅bk1
c12 =a11 ⋅b12 +a12 ⋅b22 +...+a1k ⋅bk2
........................
k
c1k =a11 ⋅b1n +a12 ⋅b2n +...+a1k ⋅bkn = ∑ ail ⋅ b
l=1 lj
........................
cij =ai1 ⋅b1j +ai2 ⋅b2j +...+aik ⋅bkj
........................
cmn =am1 ⋅b1n +am2 ⋅b2n +...+amk ⋅bkn

172 Algoritmet

a. Bllok-diagrami
Fillimi

m,n,k

⎛ a ,i=1,m ⎞,⎛ b ,i=1,k ⎞
⎜ ij j=1,k ⎟ ⎜ ij j=1,n ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠

i=1

j=1

s=0

l=1

s=s+ail⋅blj

l=l+1
Po
l≤ k
Jo
cij=s

j=j+1
Po
j≤ n
Jo
i=i+1
Po
i≤ m
Jo
⎛c , i=1,m ⎞
⎜ ij j=1,n ⎟
⎝ ⎠

Fundi

Fig.6.58

b. Programi

Fushat numerike 173

// Programi Prg6_58
#include <iostream>
int main()
{
int const m=4,n=5,k=3;
int A[m][k]={ {3,5,8},
{7,-4,9},
{6,2,1},
{2,4,6}
};
int B[k][n]={ {-1,6,9,6,4},
{2,6,8,4,-3},
{5,3,-2,5,9}
};
int i,j,l,s,C[m][n];
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<n;j++)
{
s=0;
for (l=0;l<k;l++)
s=s+A[i][l]*B[l][j];
C[i][j]=s;
}
cout << "Matrica e prodhimit C"
<< "n";
for (i=0;i<m;i++)
{
for (j=0;j<n;j++)
{
cout.width(5);
cout << C[i][j];
}
cout << "n";
}
return 0;
}

Rezultati që fitohet në ekran pas ekzekutimit të programit të dhënë është:

Matrica e prodhimit C
47 72 51 78 69
30 45 13 71 121
3 51 69 49 27
36 54 38 58 50

174 Algoritmet

Ekuacionet matricore
Duke u mbështetur në rregullat e ekzekutimit të operacioneve elementare
aritmetikore të dhëna më sipër, mund të formohen ekuacione matricore.

Shembull Llogaritja e anëtarëve të matricës R(m,k), nga matricat
X(m,k), Y(k,n) dhe Z(m,n), përmes ekuacionit
matricor:

R=X⋅Y-Z

Nga shprehja e ekuacionit të dhënë shihet se së pari duhet llogaritur anëtarët
e prodhimit X⋅Y dhe pastaj, përmes zbritjes përkatëse, gjendet rezultati R i
ekuacionit matricor.

Fushat numerike 175

a. Bllok-diagrami
Fillimi

m,n,k

⎛ x ,i=1,m ⎞,⎛ y ,i=1,k ⎞,⎛ z ,i=1,m ⎞
⎜ ij j=1,k ⎟ ⎜ ij j=1,n ⎟ ⎜ ij j=1,n ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

i=1

j=1

s=0

l=1

k
s=s+ail⋅blj s= ∑ a il ⋅ b lj
l =1

l=l+1
Po
l≤ k
Jo
rij=s-zij

j=j+1
Po
j≤ n
Jo
i=i+1
Po
i≤ m
Jo
⎛ z ,i=1,m ⎞
⎜ ij j=1,n ⎟
⎝ ⎠

Fundi

Fig.6.59

176 Algoritmet

b. Programi
// Programi Prg6_59
#include <iostream>
int main()
{
int const m=4,n=5,k=3; int i,j,l,s,R[m][n];
int X[m][k]={ {3,5,8},
{7,-4,9},
{6,2,1},
{2,4,6}};
int Y[k][n]={ {-1,6,9,6,4},
{2,6,8,4,-3},
{5,3,-2,5,9}};
int Z[m][n]={ {3,4,6,2,-1},
{9,1,3,-5,2},
{7,-2,1,4,8},
{-2,5,3,1,4}};
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<n;j++)
{
s=0;
for (l=0;l<k;l++)
s=s+X[i][l]*Y[l][j];
R[i][j]=s-Z[i][j];
}
cout << "Matrica e rezultatit R"
<< "n";
for (i=0;i<m;i++)
{
for (j=0;j<n;j++)
{
cout.width(4);
cout << R[i][j];
}
cout << "n";
}
return 0;
}

Zgjidhja e ekuacionit do të shtypet në ekran si matricë:

Matrica e rezultatit R
44 68 45 76 70
21 44 10 76 119
-4 53 67 45 19
38 49 35 57 46

Fushat numerike 177

Anëtarët në vektor
Duke shfrytëzuar anëtarët e matricave, mund të formohen vektorë të
ndryshëm. P.sh., me qëllim të sortimit sipas madhësisë të anëtarëve të matricës
së dhënë, vlerat e tyre mund të vendosen në vektorë, p.sh., duke shkuar sipas
rreshtave të matricës. Pastaj, sortimi i vlerave të anëtarëve të vektorit bëhet ashtu
siç u tregua më parë.
Shembull Vendosja e anëtarëve të matricës A(m,n) në vektorin
Z(m⋅n).
a. Bllok-diagrami
Fillimi

⎛ i = 1,m ⎞
m, n, ⎜ aij,
⎝ j= 1,n ⎟⎠

k=0

i=1

j=1

k=k+1

zk=aij

j=j+1

Po
j≤ n
Jo
i=i+1

Po
i≤ m
Jo
(zi,i=1,k)

Fundi

Fig.6.60

178 Algoritmet

Këtu, numëratori k shfrytëzohet për përcaktimin e indeksit të pozitës në
vektor të anëtarëve të veçantë të matricës.

b. Programi

// Programi Prg6_60
#include <iostream>
int main()
{
int const m=4,n=3;
int A[m][n]={ {3,-4,6},
{-9,1,2},
{7,-8,1},
{-2,5,-3}
};
int i,j,k,Z[m*n];
k=-1;
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<n;j++)
{
k=k+1;
Z[k]=A[i][j];
}
cout << "Z=[";
for (i=0;i<=k;i++)
{
cout.width(3);
cout << Z[i];
}
cout << " ]n";
return 0;
}

Vektori që shtypet në ekran pas ekzekutimit të programit të dhënë është:

Z=[ 3 -4 6 -9 1 2 7 -8 1 -2 5 -3 ]

Mbushja e vektorit mund të bëhet vetëm me anëtarë të matricës që kanë vlera
të caktuara.

Shembull Mbushja e vektorit Z me anëtarët e matricës A(m,n) që
kanë vlera negative.

Fushat numerike 179

Për caktimin e pozitave të anëtarëve që marrin pjesë në formimin e vektorit
duhet të shfrytëzohet një numërator, p.sh. k, i cili në këtë rast rritet për 1 sa
herë që gjendet anëtar me vlerë numerike negative. Vlera përfundimtare e
numëratorit, vetëm nëse të gjithë anëtarët e matricës janë numra negativë, do të
jetë e barabartë me numrin e anëtarëve të matricës.

a. Bllok-diagrami
Fillimi

⎛ i = 1,m ⎞
m, n, ⎜ aij,
⎝ j= 1,n ⎟⎠

k=0

i=1

j=1

Jo
aij < 0
Po
k=k+1

zk=aij

j=j+1

Po
j≤n
Jo
i=i+1

Po
i≤m
Jo
(zi,i=1,k)

Fundi

Fig.6.61

b. Programi

180 Algoritmet

// Programi Prg6_61
#include <iostream>
int main()
{
int const m=4,n=3;
int A[m][n]={ {3,-4,6},
{-9,1,2},
{7,-8,1},
{-2,5,-3}
};
int i,j,k,Z[m*n];
k=-1;
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<n;j++)
if (A[i][j]<0)
{
k=k+1;
Z[k]=A[i][j];
}
cout << "Z=[";
for (i=0;i<=k;i++)
{
cout.width(3);
cout << Z[i];
}
cout << " ]n";
return 0;
}

Rezultati që shtypet në ekran pas ekzekutimit të programit, për shembullin e
vlerave të matricës A, do të duket kështu:

Z=[ -4 -9 -8 -2 -3 ]

Me vlerat e ndyshme të matricave mund të mbushen njëkohësisht disa
vektorë.

Shembull Mbushja e vektorëve F dhe G me anëtarë pozitivë dhe
negativë të matricës A(m,n).

Fushat numerike 181

Këtu, për secilin vektor duhet të shfrytëzohet një numërator i veçantë i
anëtarëve të matricës të cilët janë vendosur në vektorin përkatës.

a. Bllok-diagrami
Fillimi

⎛ i = 1,m ⎞
m, n, ⎜ aij,
⎝ j= 1,n ⎟⎠

x=0

y=0

i=1

j=1

Po Jo
aij < 0

x=x+1 y=y+1

fx=aij gy=aij

j=j+1

Po
j ≤ n
Jo
i=i+1

Po
i ≤ m
Jo
(fi,i=1,x)

(gi,i=1,y)

Fundi

Fig.6.62
b. Programi

182 Algoritmet

// Programi Prg6_62
#include <iostream>
int main()
{
int const m=4,n=3; int i,j,x,y,F[m*n],G[m*n];
int A[m][n]={ {3,-4,6},
{-9,1,2},
{7,-8,1},
{-2,5,-3}};
x=-1;y=-1;
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<n;j++)
if (A[i][j]<0)
{
x=x+1; F[x]=A[i][j];
}
else
{
y=y+1; G[y]=A[i][j];
}
cout << "F=[";
for (i=0;i<=x;i++)
{
cout.width(3);
cout << F[i];
}
cout << " ]n";
cout << "G=[";
for (i=0;i<=y;i++)
{
cout.width(3);
cout << G[i];
}
cout << " ]n";
return 0;
}
Vektorët të cilët shtypen në ekran pas ekzekutimit të programit të dhënë
duken kështu:

Z=[ -4 -9 -8 -2 -3 ]
G=[ 3 6 1 2 7 1 5 ]

Vlerat e anëtarëve të matricave mund të vendosen në vektor edhe të
ndryshuar në bazë të një ligjshmërie të caktuar.

Shembull Mbushja e vektorit F me katrorët e anëtarëve pozitivë të

Fushat numerike 183

matricës A(m,n), por të cilët janë më të vegjël se numri
pozitiv x.

a. Bllok-diagrami
Fillimi

⎛ i = 1,m ⎞
m, n, x, ⎜ a ij,
⎝ j= 1,n ⎟⎠

k=0

i=1

j=1

Jo
aij > 0
Po
Jo
aij < x
Po
k=k+1

fk=aij2

j=j+1

Po
j ≤ n
Jo
i=i+1

Po
i ≤ m
Jo
(fi,i=1,k)

Fundi

Fig.6.63

184 Algoritmet

b. Programi

// Programi Prg6_63
#include <iostream>
int main()
{
int const x=6,m=4,n=3;
int A[m][n]={ {3,-4,6},
{-9,1,2},
{7,-8,4},
{-2,5,-3}
};
int i,j,k,F[m*n];
k=-1;
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<n;j++)
if ((A[i][j]>=0) && (A[i][j]<x))
{
k=k+1;
F[k]=A[i][j]*A[i][j];
}
cout << "F=[";
for (i=0;i<=k;i++)
{
cout.width(3);
cout << F[i];
}
cout << " ]n";
return 0;
}

Rezultati i programit të dhënë në ekran shtypet kështu:

F=[ 9 1 4 16 25 ]

Vektorët mund të mbushen edhe duke i shfrytëzuar anëtarët e matricës të
cilët gjenden në rreshtat ose në kolonat e caktuara të matricës.

Shembull Mbushja e vektorit F me sinuset e anëtarëve pozitivë të
matricës A(m,n), por të cilët gjenden në rreshtat çiftë.

a. Bllok-diagrami

Fushat numerike 185

Fillimi

⎛ i = 1,m ⎞
m, n, ⎜ aij,
⎝ j= 1,n ⎟⎠

k=0

i=2

j=1

Jo
aij > 0
Po
k=k+1

fk=sin(aij)

j=j+1

Po
j≤n
Jo
i=i+2

Po
i≤m
Jo
(fi,i=1,k)

Fundi

Fig.6.64
b. Programi

// Programi Prg6_64
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
int const m=4,n=3;
int A[m][n]={ {3,-5,6},

186 Algoritmet

{-9,1,2},
{7,-8,4},
{-2,5,-3}
};
int i,j,k;
double F[m*n];
k=-1;
i=1;
do
{
for (j=0;j<n;j++)
if (A[i][j]>=0)
{
k=k+1;
F[k]=sin(A[i][j]);
}
i=i+2;
}
while (i<=m);
cout << "F=[";
for (i=0;i<=k;i++)
{
cout.precision(3);
cout.width(7);
cout << F[i];
}
cout << " ]n";
return 0;
}

Vektori që formohet përmes programit të dhënë, në ekran do të shtypet
kështu:

F=[ 0.841 0.909 -0.959 ]

ku tre anëtarët e vektorit në fakt janë sinuset e vlerave numerike 1, 2 dhe 5, të
anëtarëve pozitivë të matricës A të cilët gjenden në rreshtat çiftë.

Veprime të tjera
Përveç veprimeve të përmendura më sipër, për pjesë të caktuara të matricës,
siç janë rreshtat, kolonat, pjesa mbi, në ose nën diagonalen kryesore të matricës,
ose për komplet matricën, mund të gjendet shuma, prodhimi, të numërohen ose
të gjenden anëtarë të caktuar etj.

Fushat numerike 187

Shuma dhe prodhimi
Procedura e llogaritjes së shumës ose e prodhimit të anëtarëve të matricës
nuk dallon nga ajo që zbatohet te vektorët, me përjashtim të asaj se këtu
operohet me dy indekse.
Shembull Llogaritja e shumës së anëtarëve të matricës A(m,n).
s = a11 + a12 + ... + a1n
+ a21 + a22 + ... + a2n
+ ..................
+ a m1 + a m2 + ... + a mn
m n
= ∑ ∑ aij
i = 1j= 1
Fillimi
a. Bllok-diagrami i = 1,m ⎞
⎛
m, n, ⎜ aij,
⎝ j= 1,n ⎟⎠

s=0

i=1

j=1

s=s+aij

j=j+1

Po
j≤n
Jo
i=i+1

Po
i≤m
Jo
s

Fundi

Fig.6.65

188 Algoritmet

b. Programi

// Programi Prg6_65
#include <iostream>
int main()
{
int const m=4,n=5;
int A[m][n]={ {3,-5,6,7,2},
{-9,1,2,5,8},
{7,-8,4,3,9},
{6,5,-3,4,8}
};
int i,j,s;
s=0;
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<n;j++)
s=s+A[i][j];
cout << "Shuma s="
<< s
<< "n";
return 0;
}


Shuma s=55

dhe numri i fituar e paraqet shumën e të gjithë anëtarëve të matricës.
Për matricën e dhënë mund të llogaritet shuma ose prodhimi i pjesëve të
caktuara të matricës, gjë që përcaktohet përmes zgjedhjes së indekseve përkatëse.

Shembull Llogaritja e shumës s të anëtarëve në rreshtat e matricës
A(m,n).

a. Bllok-diagrami

Fushat numerike 189

Fillimi

⎛ i = 1,m ⎞
m, n, ⎜ aij,
⎝ j= 1,n ⎟⎠

i=1

s=0

j=1

aij

s=s+aij

j=j+1

Po
j≤n
Jo
s

i=i+1

Po
i≤m
Jo
Fundi

Fig.6.66
b. Programi

// Programi Prg6_66
#include <iostream>
int main()
{
int const m=4,n=5;
int A[m][n]={ {3,-5,6,7,2},
{-9,1,2,5,8},
{7,-8,4,3,9},

190 Algoritmet

{6,5,-3,4,8}
};
int i,j,s;
for (i=0;i<m;i++)
{
s=0;
for (j=0;j<n;j++)
{
cout.width(4);
cout << A[i][j];
s=s+A[i][j];
}
cout << " s="
<< s
<< "n";
}
return 0;
}

Nëse ekzekutohet programi i dhënë, për vlerat e matricës së marrë si
shembull, rezultati që shtypet në ekran është:

3 -5 6 7 2 s=13
-9 1 2 5 8 s=7
7 -8 4 3 9 s=15
6 5 -3 4 8 s=20

Njëkohësisht mund të llogariten edhe më shumë vlera për pjesë të caktuara të
matricës, siç janë, p.sh., anëtarët mbi diagonalë, në diagonalë ose nën diagonalë.

Shembull Llogaritja e shumës s të anëtarëve mbi diagonalen kryesore
dhe prodhimit p të anëtarëve në diagonalen kryesore të
matricës A(m,m).

a. Bllok-diagrami

Fushat numerike 191

Fillimi

⎛ i = 1,m ⎞
m, ⎜ aij,
⎝ j= 1,m ⎟⎠

s=0

p=1

i=1

j=1

Po
i < j
Jo
Jo
i = j
Po
s=s+aij p=p⋅aij

j=j+1

Po
j ≤ m
Jo
i=i+1

Po
i ≤ m
Jo
s,p

Fundi

Fig.6.67

b. Programi

192 Algoritmet

// Programi Prg6_67
#include <iostream>
int main()
{
int const m=5;
int A[m][m]={ {4,3,5,-7,1},
{-5,6,4,9,2},
{3,-4,7,6,1},
{8,3,-2,5,9},
{6,4,8,-3,7}
};
int i,j,s,p;
s=0;
p=1;
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<m;j++)
if (i<j)
s=s+A[i][j];
else
if (i==j)
p=p*A[i][j];
cout << "Shuma s="
<< s
<< "n"
<< "Prodhimi p="
<< p
<< "n";
return 0;
}
Pas ekzekutimit të programit, për vlerat e anëtarëve të matricës, e cila është
marrë si shembull, rezultati që shtypet në ekran është:
Shuma s=33
Prodhimi p=5880

Numërimi i anëtarëve të caktuar
Brenda një matrice mund të numërohen anëtarë të caktuar të matricës, p.sh.,
anëtarët negativë, pozitivë, më të mëdhenj ose më të vegjël se vlera të dhëna etj.
Shembull Numërimi i anëtarëve pozitivë x, negativë y dhe zero z, në
matricën e dhënë A(m,n).

a. Bllok-diagrami

Fushat numerike 193

Fillimi

⎛ i = 1,m ⎞
m, n, ⎜ aij,
⎝ j= 1,n ⎟⎠

x=0

y=0

z=0

i=1

j=1

Po
aij > 0
Jo
Jo
aij < 0
Po
x=x+1 y=y+1 z=z+1

j=j+1

Po
j ≤ n
Jo
i=i+1

Po
i ≤ m
Jo
x,y,z

Fundi

Fig.6.68

b. Programi
// Programi Prg6_68
#include <iostream>

194 Algoritmet

int main()
{
int const m=4,n=5;
int A[m][n]={ {3,-5,6,7,2},
{-9,1,0,-7,8},
{0,-8,4,3,9},
{6,5,-3,0,8}
};
int i,j,x,y,z;
x=0;y=0;z=0;
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<n;j++)
if (A[i][j]>0)
x=x+1;
else
if (A[i][j]<0)
y=y+1;
else
z=z+1;
cout << "Anëtarë pozitivë x="
<< x
<< "n"
<< "Anëtarë negativë y="
<< y
<< "n"
<< "Anëtarë zero z="
<< z
<< "n";
return 0;
}
Për shembullin e matricës së marrë në program, pas ekzekutimit të
programit, numrat e kërkuar do të shtypen kështu:
Anëtarë pozitivë x=12
Anëtarë negativë y=5
Anëtarë zero z=3
Numërimi i anëtarëve mund të zbatohet edhe në pjesë të veçanta të matricës.
Shembull Numërimi i anëtarëve pozitivë x dhe negativë y në rreshtat e
veçantë të matricës A(m,n), pa anëtarët me vlerë zero.

a. Bllok-diagrami

Fushat numerike 195

Fillimi

⎛ i = 1,m ⎞
m, n, ⎜ aij,
⎝ j= 1,n ⎟⎠

i=1

x=0

y=0

j=1

Po Jo Po
aij > 0 aij < 0
Jo
x=x+1 y=y+1

aij

j=j+1

Po
j≤n
Jo
x,y

i=i+1

Po
i≤m
Jo
Fundi

Fig.6.69

b. Programi

// Programi Prg6_69
#include <iostream>

196 Algoritmet

int main()
{
int const m=4,n=5;
int A[m][n]={ {1,-8,-5,7,2},
{-6,0,-4,3,-8},
{4,-8,0,3,2},
{-1,0,-3,9,0}
};
int i,j,x,y;
for (i=0;i<m;i++)
{
x=0;
y=0;
for (j=0;j<n;j++)
{
if (A[i][j]>0)
x=x+1;
else
if (A[i][j]<0)
y=y+1;
cout.width(3);
cout << A[i][j];
}
cout << " x="
<< x
<< " y="
<< y
<< "n";
}
return 0;
}

Për shembullin e matricës së marrë në program, rezultati që shtypet në ekran
është:

1 -8 -5 7 2 x=3 y=2
-6 0 -4 3 -8 x=1 y=3
4 -8 0 3 2 x=3 y=1
-1 0 -3 9 0 x=1 y=2

Anëtarët e caktuar mund të numërohen edhe vetëm në një pjesë të matricës.

Shembull Numërimi i anëtarëve nën diagonalen kryesore të matricës
A(m,m), të cilët janë më të mëdhenj se 2 dhe më të vegjël
se 7.

Fushat numerike 197

a. Bllok-diagrami

Fillimi

⎛ i = 1,m ⎞
m, ⎜ aij,
⎝ j= 1,m ⎟⎠

n=0

i=2

j=1

Jo
aij > 2
Po
Jo
aij < 7
Po
n=n+1

j=j+1

Po
j ≤ i-1
Jo
i=i+1

Po
i ≤ m
Jo
n

Fundi

Fig.6.70
b. Programi

// Programi Prg6_70
#include <iostream>

198 Algoritmet

int main()
{
int const m=5;
int A[m][m]={ { 4, 3, 5,-7, 1},
{-5, 6, 4, 9, 2},
{ 3, 9, 7, 6, 1},
{ 1,-3,-2, 5, 9},
{ 6, 5, 8, 4, 7}
};
int i,j,n;
n=0;
for (i=1;i<m;i++)
for (j=0;j<=i-1;j++)
{
if ((A[i][j]>2) && (A[i][j]<7))
n=n+1;
}
cout << "Numri i kërkuar n="
<< n
<< "n";
return 0;
}

Pas ekzekutimit të programit, për shembullin e matricës së marrë, rezultati që

Numri i kërkuar n=4

Gjetja e vlerës së caktuar
Plotësisht njëlloj si te vektorët, edhe te matricat mund të gjendet anëtari i
caktuar, siç është, p.sh., anëtari minimal, ose anëtari maksimal etj. Procedura e
gjetjes edhe këtu fillon me përvetësimin e një vlere fillestare të një variable
ndihmëse, tek e cila në fund merret edhe rezultati i kërkuar. Si vlerë fillestare
rregullisht merret anëtari i parë në matricë, ose kjo vlerë formohet nga ky anëtar i
matricës.

Shembull Gjetja e vlerës minimale z në matricën A(m,n).

a. Bllok-diagrami

Fushat numerike 199

Fillimi

⎛ i = 1,m ⎞
m, n, ⎜ aij,
⎝ j= 1,n ⎟⎠

z=a11

i=1

j=1

Jo
aij < z
Po
zk=aij

j=j+1
Po
j≤n
Jo
i=i+1

Po
i≤m
Jo
z

Fundi

Fig.6.71

Këtu, për i=1 dhe j=1 do të krahasohet anëtari i parë i matricës me
vetveten, gjë që imponohet si krahasim i domosdoshëm, meqë nëse merret i=1
dhe j=2, për vlerat e tjera të variablës i, gjatë krahasimit do të kapërcehen
anëtarët e kolonës së parë të matricës.

b. Programi

200 Algoritmet

// Programi Prg6_71
#include <iostream>
int main()
{
int const m=4,n=5;
int A[m][n]={ {3,-5,6,7,2},
{-9,1,2,5,8},
{7,-8,4,3,9},
{6,5,-3,4,8}
};
int i,j,z;
z=A[0][0];
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<n;j++)
if (A[i][j]<z)
z=A[i][j];
cout << "Vlera minimale z="
<< z
<< "n";
return 0;
}

Rezultati që shtypet në ekran pas ekzekutimit të programit është:

Vlera minimale z=-9

Në matricë, përveç anëtarit të caktuar, mund të gjendet edhe pozita e tij,
përkatësisht indekset përkatëse.

Shembull Anëtari më i madh për nga vlera absolute x si dhe pozita e
tij, përkatësisht indekset f dhe g, në matricën e dhënë
A(m,n).

Fushat numerike 201

a. Bllok-diagrami

Fillimi

⎛ i = 1,m ⎞
m, n, ⎜ aij,
⎝ j= 1,n ⎟⎠

x=|a11|

f=1

g=1

i=1

j=1

Jo
|aij| > x
Po
x=|aij|

f=i

g=j

j=j+1
Po
j≤n
Jo
i=i+1

Po
i≤m
Jo
f,g,x

Fundi

Fig.6.72
b. Programi

202 Algoritmet

// Programi Prg6_72
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
int const m=4,n=5;
int A[m][n]={ {3,-5,8,7,2},
{-4,1,2,5,8},
{7,-9,4,3,2},
{6,5,-3,4,7}
};
int i,j,f,g,x;
x=abs(A[0][0]);
f=1;g=1;
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<n;j++)
if (abs(A[i][j])>x)
{
x=abs(A[i][j]);
f=i;
g=j;
}
cout << "Vlera maksimale absolute x: "
<< x
<< "n"
<< "Pozita ............... f,g: "
<< f
<< ","
<< g
<< "n";
return 0;
}

Pas ekzekutimit të programit, për shembullin e matricës së marrë në
program, rezultati që shtypet në ekran është:

Vlera maksimale absolute x: 9
Pozita ............... f,g: 2,1

Anëtari i caktuar mund të gjendet edhe për çdo rresht ose kolonë, si dhe për
pjesë të caktuar të matricës.

Shembull Anëtari më i madh për çdo rresht të matricës A(m,n).

Fushat numerike 203

a. Bllok-diagrami

Fillimi

⎛ i = 1,m ⎞
m, n, ⎜ aij,
⎝ j= 1,n ⎟⎠

i=1

x=ai1

j=1

Jo
aij > x
Po
x=aij

aij

j=j+1

Po
j≤n
Jo
x

i=i+1

Po
i≤m
Jo
Fundi

Fig.6.73

b. Programi

204 Algoritmet

// Programi Prg6_73
#include <iostream>
int main()
{
int const m=4,n=5;
int A[m][n]={ {3,-5,8,7,2},
{-4,1,2,6,-3},
{7,-9,4,3,2},
{9,5,-3,4,1}
};
int i,j,x;
for (i=0;i<m;i++)
{
x=A[i][1];
for (j=0;j<n;j++)
{
if (A[i][j]>x)
x=A[i][j];
cout.width(3);
cout << A[i][j];
}
cout << " x="
<< x
<< "n";
}
return 0;
}

Pas ekzekutimit të programit, rezultati në ekran duket kështu:

3 -5 8 7 2 x=8
-4 1 2 6 -3 x=6
7 -9 4 3 2 x=7
9 5 -3 4 1 x=9

Vlera e caktuar mund të gjendet edhe vetëm në një pjesë të matricës.

Shembull Anëtari më i madh mbi diagonalën kryesore x dhe nën
diagonalen kryesore y, të matricës së dhënë A(m,n).

a. Bllok-diagrami

Fushat numerike 205

Fillimi

⎛ i = 1,m ⎞
m, n, ⎜ aij,
⎝ j= 1,n ⎟⎠

x=a12

y=a21

i=1

j=1

Jo
i ≠j
Po
Po Jo
i<j
Jo Jo
aij > x aij > y
Po Po
x=aij y=aij

j=j+1

Po
j≤ n
Jo
i=i+1

Po
i≤ m
Jo
x,y

Fundi

Fig.6.74

b. Programi

206 Algoritmet

// Programi Prg6_74
#include <iostream>
int main()
{
int const m=4,n=5;
int A[m][n]={ {3,-5,8,7,2},
{-4,1,2,6,-3},
{7,-9,6,3,4},
{9,5,-3,4,1}
};
int i,j,x,y;
x=A[0][1];
y=A[1][0];
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<n;j++)
if (i!=j)
if (i<j)
if (A[i][j]>x)
x=A[i][j];
else
{
}
else
if (A[i][j]>y)
y=A[i][j];
else
{
}
cout << "Mbi diagonale x="
<< x
<< "n"
<< "Nën diagonale y="
<< y
<< "n";
return 0;
}

Pas ekzekutimit të programit të dhënë, rezultati në ekran shtypet kështu:

Mbi diagonale x=8
Nën diagonale y=9

Fushat numerike 207

Detyra Në matricën e dhënë A(m,n), të gjendet:

a. anëtari me vlerë numerike më të madhe;

b. anëtari me vlerë absolute më të vogël si dhe pozita e tij në
matricë;

c. anëtari më i vogël për çdo kolonë;

d. anëtari më i madh në çdo rresht tek;

e. anëtari më i vogël për nga vlera absolute në kolonat çiftë
të matricës;

f. anëtari më i madh për çdo rresht, duke marrë vetëm vlerat
të cilat gjenden mbi diagonalen kryesore.

Në matricë mund të gjenden edhe vlerat mesatare të anëtarëve të matricës,
anëtarëve në rreshtat ose në kolonat e veçanta, anëtarëve mbi, në ose nën
diagonalen kryesore etj.

Shembull Vlerat mesatare x të rreshtave të veçantë të matricës
A(m,n).

1 n
x = ∑ aij , për i = 1,2,..., m.
n j= 1

208 Algoritmet

a. Bllok-diagrami

Fillimi

⎛ i = 1,m ⎞
m, n, ⎜ aij,
⎝ j= 1,n ⎟⎠

i=1

s=0

j=1

s=s+aij

aij

j=j+1

Po
j≤ n
Jo
s
x =
n

x

i=i+1

Po
i≤ m
Jo
Fundi

Fig.6.75

Fushat numerike 209

b. Programi

// Programi Prg6_75
#include <iostream>
int main()
{
int const m=4,n=5;
int A[m][n]={ {7,3,4,9,5},
{6,1,2,4,8},
{7,6,4,1,2},
{9,5,3,8,7}
};
int i,j;
double s,x;
for (i=0;i<m;i++)
{
s=0;
for (j=0;j<n;j++)
{
s=s+A[i][j];
cout.width(3);
cout << A[i][j];
}
x=s/n;
cout << " x="
<< x
<< "n";
}
return 0;
}

Rezultati i programit të dhënë, pas ekzekutimit të tij, në ekran do të shtypet
kështu:

7 3 4 9 5 x=5.6
6 1 2 4 8 x=4.2
7 6 4 1 2 x=4
9 5 3 8 7 x=6.4

210 Algoritmet

Detyra Për matricën A(m,m), të gjendet vlera mesatare:

a. e të gjithë anëtarëve;

b. e anëtarëve pozitivë;

c. e vlerave absolute të anëtarëve negativë;

d. e anëtarëve të diagonales kryesore;

e. e anëtarëve mbi diagonalen kryesore;

f. e anëtarëve nën diagonalen kryesore;

g. e kolonave të veçanta.

Fshirja e rreshtave dhe e kolonave
Gjatë zgjidhjes së problemeve të ndryshme, duke shfrytëzuar matricat,
shpesh herë në matrica duhet fshirë rreshta, kolona, ose rreshta e kolona
njëkohësisht. Problemi kryesor këtu qëndron në zhvendosjen lart të rreshtave që
gjenden pas rreshtit që fshihet, përkatësisht zhvendosjen majtë të kolonave që
gjenden pas kolonës që fshihet.

Shembull Formimi i matricës B(m-1,n) nga anëtarët e matricës
A(m,n), pasi në të të fshihet rreshti i l-të.

Fushat numerike 211

a. Bllok-diagrami

Fillimi

⎛ i = 1,m ⎞
m, n, l, ⎜ aij,
⎝ j= 1,n ⎟⎠

i=1

j=1

Po Jo
i<l

bij=aij bij=ai+1,j

j=j+1

Po
j≤ n
Jo
i=i+1

Po
i ≤ m-1
Jo
⎛ i = 1,m -1⎞
⎜ bij,j= 1,n ⎟
⎝ ⎠

Fundi

Fig.6.76
b. Programi

// Programi Prg6_76
#include <iostream>
int main()
{
int const m=4,n=5,l=2;
int A[m][n]={ {7,-3,4,-9,5},
{6,1,-2,4,-8},
{-7,6,-4,1,2},

212 Algoritmet

{9,-5,3,8,-6}
};
int i,j,B[m][n];
for (i=0;i<m-1;i++)
for (j=0;j<n;j++)
if (i<1)
B[i][j]=A[i][j];
else
B[i][j]=A[i+1][j];
cout << "Matrica B"
<< "n";
for (i=0;i<m-1;i++)
{
for (j=0;j<n;j++)
{
cout.width(3);
cout << B[i][j];
}
cout << "n";
}
return 0;
}

Nëse ekzekutohet programi i dhënë, pas fshirjes së rreshtit të dytë në
matricën A, matrica që fitohet do të duket kështu:

Matrica B
7 -3 4 -9 5
-7 6 -4 1 2
9 -5 3 8 -6

Plotësisht njëlloj veprohet edhe gjatë fshirjes së kolonës në matricë.

Shembull Formimi i matricës B(m,n-1) nga anëtarët e matricës
A(m,n), pasi në të të fshihet kolona e k-të.

a. Bllok-diagrami

Fushat numerike 213

Fillimi

⎛ i = 1,m ⎞
m, n, k, ⎜ aij,
⎝ j= 1,n ⎟⎠

j=1

i=1

Po Jo
j<k

bij=aij bij=ai,j+1

i=i+1

Po
i≤ m
Jo
j=j+1

Po
j ≤ n-1
Jo
⎛ i = 1,m ⎞
⎜ bij,j= 1,n-1⎟
⎝ ⎠

Fundi

Fig.6.77
b. Programi

// Programi Prg6_77
#include <iostream>
int main()
{
int const m=4,n=5,k=2;
int A[m][n]={ {7,-3,4,-9,5},
{6,1,-2,4,-8},
{-7,6,-4,1,2},
{9,-5,3,8,-6}
};

214 Algoritmet

int i,j,B[m][n];
for (j=0;j<n-1;j++)
for (i=0;i<m;i++)
if (j<k)
B[i][j]=A[i][j];
else
B[i][j]=A[i][j+1];
cout << "Matrica B"
<< "n";
for (i=0;i<m;i++)
{
for (j=0;j<n-1;j++)
{
cout.width(3);
cout << B[i][j];
}
cout << "n";
}
return 0;
}

Matrica që formohet pas fshirjes së kolonës k=2 përmes programit të dhënë
më sipër, në ekran do të shtypet kështu:

Matrica B
7 -3 -9 5
6 1 4 -8
-7 6 1 2
9 -5 8 -6

Nëse fshihen njëkohësisht rreshti dhe kolona e caktuar në matricën e dhënë,
duhet të zhvendosen rreshtat dhe kolonat të cilat gjenden pas atyre që fshihen.

Shembull Formimi i matricës B(m-1,n-1) nga anëtarët e matricës
A(m,n), pasi në të të fshihet rreshti i l-të dhe kolona e k-
të.

a. Bllok-diagrami

Fushat numerike 215

Fillimi

i=1,m ⎞
m,n,k,l,⎛ aij,
⎜ ⎟
⎝ j=1,n ⎠

i=1

j=1

Po Jo
i<l
Po Jo Po Jo
j<k j<k

bij=aij bij=ai,j+1 bij=ai+1,j bij=ai+1,j+1

j=j+1

Po
j≤ n-1
Jo
i=i+1

Po
i≤ m-1
Jo
⎛ b ,i=1,m −1 ⎞
⎜ ij j=1,n−1 ⎟
⎝ ⎠

Fundi

Fig.6.78

b. Programi

216 Algoritmet

// Programi Prg6_78
#include <iostream>
int main()
{ int const m=4,n=5,l=1,k=2;
int A[m][n]={ {7,-3,4,-9,5},
{6,1,-2,4,-8},
{-7,6,-4,1,2},
{9,-5,3,8,-6}
};
int i,j,B[m-1][n-1];
for (i=0;i<n-1;i++)
for (j=0;j<m;j++)
if (i<1)
if (j<k)
B[i][j]=A[i][j];
else
B[i][j]=A[i][j+1];
else
if (j<k)
B[i][j]=A[i+1][j];
else
B[i][j]=A[i+1][j+1];
cout << "Matrica B"
<< "n";
for (i=0;i<m-1;i++)
{
for (j=0;j<n-1;j++)
{
cout.width(3);
cout << B[i][j];
}
cout << "n";
}
return 0;
}
Nëse ekzekutohet programi i dhënë, matrica e cila fitohet pas fshirjes së
rreshtit l=1 dhe k=2 të matricës A, duket kështu:

Matrica B
7 -3 -9 5
-7 6 1 2
9 -5 8 -6
Algoritmet për fshirjen e njëkohshme të më shumë rreshtave, ose të më
shumë kolonave në matricë, do të jenë të ngjashme me ato që u dhanë më sipër.

Fushat numerike 217

Detyra Formimi i matricës B nga anëtarët e matricës A(m,n), pasi
në të të fshihen:

a. x-rreshta, duke filluar prej rreshtit të l-të;

b. y-kolona, duke filluar prej kolonës së k-të;

c. x-rreshta dhe y-kolona, duke filluar prej rreshtit të l-të
dhe kolonës së k-të.

Këtu, para se të fillojë fshirja duhet të kontrollohet se a ka për fshirje x-
rreshta dhe y-kolona, prej rreshtit të l-të dhe kolonës së k-të.

Fushat tridimensionale
Gjatë zgjidhjes së problemeve me kompjuter përdoren edhe fusha
shumëdimensionale. Kështu, p.sh., operimi me të dhëna, të cilat përcaktohen
përmes tri madhësive të ndryshme, thjeshtohet dukshëm, nëse shfrytëzohen
fusha tridimensionale.
Në algoritme, me fushat tridimensionale operohet duke i shikuar ato si
grumbuj matricash, ku me dimensionin e tretë të tyre përcaktohet numri i
matricës në strukturën tridimensionale të fushës, ashtu siç shihet në Fig.6.79.

218 Algoritmet

k

j j=1 2 ... n
a111 a121 ... a1n1 i=1 a111 a121 ... a1n1

a211 a221 ... a2n1 2 a211 a221 ... a2n1
A = = +
... ... ... ... ... ... ... ... ...

am11 am21 ... amn1 m am11 am21 ... amn1
k=1
i

j=1 2 ... n j=1 2 ... n
i=1 a112 a122 ... a1n2 i=1 a11l a12l ... a1nl
2 a212 a222 ... a2n2 2 a21l a22l ... a2nl
+ + ... +
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
m am12 am22 ... amn2 m am1l am2l ... amnl
k=2 k=l
Fig.6.79 Fusha tridimensionale

Shembull Formimi i fushës tridimensionale C(m,n,2), nga anëtarët e
matricave A(m,n) dhe B(m,n).

Fushat numerike 219

a. Bllok-diagrami

Fillimi

i=1,m ⎞ ⎛ i=1,m ⎞
m,n,l,⎛ aij,
⎜ ⎟,⎜ b , ⎟
⎝ j=1,n ⎠ ⎝ ij j=1,n ⎠

k=1

i=1

j=1

Po Jo
k=1

cijk=aij cijk=bij

j=j+1

Po
j≤ n
Jo
i=i+1

Po
i≤ m
Jo
k=k+1

Po
k≤l
Jo
⎛ k = 1,l ⎞
⎜ ⎟
⎜ cijk , i = 1,m ⎟
⎜ j = 1,n ⎟
⎝ ⎠

Fundi

Fig.6.80

220 Algoritmet

b. Programi

// Programi Prg6_80
#include <iostream>
int main()
{
int A[m][n]={ { 4,-2, 3, 7, 1},
{ 2, 5,-9, 1,-5},
{ 6, 4, 2, 9, 3},
{ 6,-2, 1, 8,-4}
};
int B[m][n]={ { 1, 3,-4,-6, 2},
{ 6, 5,-2, 4,-8},
{-2, 3,-7, 1, 8},
{ 9,-6, 2, 1, 7}
};
int i,j,k,C[m][n][l];
for (k=0;k<l;k++)
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<n;j++)
if (k==0)
C[i][j][k]=A[i][j];
else
C[i][j][k]=B[i][j];

cout << " Fusha C"
<< "n";
for (k=0;k<l;k++)
{
cout << " k="
<< k
<< "n";
for (i=0;i<m;i++)
{
for (j=0;j<n;j++)
{
cout.width(3);
cout << C[i][j][k];
}
cout << "n";
}
cout << "n";
}
return 0;

Fushat numerike 221

}

Fusha tridimensionale, e cila formohet përmes programit të dhënë, në ekran
do të shtypet kështu:

Fusha C

k=0
4 -2 3 7 1
2 5 -9 1 -5
6 4 2 9 3
6 -2 1 8 -4

k=1
1 3 -4 -6 2
6 5 -2 4 -8
-2 3 -7 1 8
9 -6 2 1 7

Plotësisht njëlloj si edhe gjatë punës me matrica, mund të operohet edhe me
anëtarët e fushave tridimensionale.

Shembull Llogaritja e shumës s të katrorëve të anëtarëve negativë të
fushës tridimensionale A(m,n,l).

a. Bllok-diagrami

222 Algoritmet

Fillimi

⎛ k = 1,l ⎞
⎜ ⎟
m,n,l,⎜ aijk , i = 1,m ⎟
⎜ j = 1,n ⎟
⎝ ⎠

s=0

k=1

i=1

j=1

Jo
aijk < 0
Po
s=s+aijk2

j=j+1
Po
j≤ n
Jo
i=i+1

Po
i≤ m
Jo
k=k+1

Po
k≤l
Jo
s

Fundi

Fig.6.81
b. Programi

Fushat numerike 223

// Programi Prg6_81
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
int A[m][n][l]={ {{3,5},{-2,4},{5,2},{-7,-1}},
{{-4,9},{6,1},{-2,7},{4,8}},
{{7,3},{6,-5},{8,1},{-2,9}}
};
int i,j,k;
double s;
s=0;
for (k=0;k<l;k++)
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<n;j++)
if (A[i][j][k]<0)
s=s+A[i][j][k]*A[i][j][k];
cout << "Fusha A"
<< "n";
for (k=0;k<l;k++)
{
cout << " k="
<< k
<< "n";
for (i=0;i<m;i++)
{
for (j=0;j<n;j++)
{
cout.width(3);
cout << A[i][j][k];
}
cout << "n";
}
cout << "n";
}
cout << "Shuma s="
<< s
<< "n";
return 0;
}

224 Algoritmet

Pas ekzekutimit të programit të dhënë, fusha e lexuar A si dhe shuma e
katrorëve të anëtarëve negativë të saj në ekran do të shtypen kështu:

Fusha A

k=0
3 -2 5 -7
-4 6 -2 4
7 6 8 -2

k=1
5 4 2 -1
9 1 7 8
3 -5 1 9

Shuma s=103

Detyra Për fushën tridimensionale A(m,n,l), të gjendet shuma:

a. e kubeve të anëtarëve të saj;

b. e anëtarëve të saj, të pjesëtuar me shumën e indekseve
përkatëse;

c. e anëtarëve të diagonales së saj;

d. e anëtarëve me indeks të parë tek e indeks të tretë çift;

e. e anëtarëve me të tri indekset tek;

f. e anëtarëve pozitivë, por me indeks të tretë tek.

Për gjetjen e anëtarit të caktuar, edhe te fushat tridimensionale mund të
veprohet plotësisht njëlloj si edhe te vektorët ose matricat.

Shembull Gjetja e anëtarit më të madh për nga vlera absolute e, në
fushën tredimensionale A(m,n,l).

226 Algoritmet

b. Programi

// Programi Prg6_82
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
int A[m][n][l]={ {{3,-9},{-2,3},{4,2},{-5,-1}},
{{-4,8},{6,1},{-2,7},{-4,-8}},
{{7,3},{6,-5},{8,1},{-2,1}}
};
int i,j,k,e;
e=abs(A[0][0][0]);
for (k=0;k<l;k++)
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<n;j++)
if (abs(A[i][j][k])>e)
e=abs(A[i][j][k]);
cout << "Fusha A"
<< "n";
for (k=0;k<l;k++)
{
cout << " k="
<< k
<< "n";
for (i=0;i<m;i++)
{
for (j=0;j<n;j++)
{
cout.width(3);
cout << A[i][j][k];
}
cout << "n";
}
cout << "n";
}
cout << "Vlera absolute më e madhe e="
<< e
<< "n";
return 0;
}

Fushat numerike 227

Për vlerat numerike të anëtarëve të fushës tridimensionale, që është marr si
shembull në program, rezultati që shtypet në ekran është:

Fusha A

k=0
3 -2 4 -5
-4 6 -2 -4
7 6 8 -2

k=1
-9 3 2 -1
8 1 7 -8
3 -5 1 1

Vlera absolute më e madhe e=9

Edhe te fushat tridimensionale mund të numërohen anëtarët e caktuar,
plotësisht njëlloj si edhe te matricat ose vektorët.

Shembull Numri i anëtarëve pozitivë p brenda fushës tridimensionale
A(m,n,l), por të cilët gjenden mes vlerave 5 dhe 9, duke i
shtypur njëkohësisht anëtarët negativë dhe indekset e tyre.

a. Bllok-diagrami

228 Algoritmet

Fillimi

⎛ k = 1,l ⎞
⎜ ⎟
m,n,l,⎜ aijk , i = 1,m ⎟
⎜ j = 1,n ⎟
⎝ ⎠

p=0

k=1

i=1

j=1

Po
aijk < 0
Jo
Po Po
aijk > 5 aijk < 9

Jo Jo
k,i,j,aijk p=p+1

j=j+1
Po
j≤ n
Jo
i=i+1
Po
i≤ m
Jo
k=k+1
Po
k≤l
Jo
p

Fundi

Fig.6.83

Fushat numerike 229

b. Programi

// Programi Prg6_83
#include <iostream>
int main()
{
int A[m][n][l]={ {{3,-9},{-2,3},{4,2},{-5,-1}},
{{-4,8},{6,1},{-2,7},{-4,-8}},
{{7,3},{6,-5},{8,1},{-2,1}}};
int i,j,k,p;
p=0;
cout << " k i j A[i][j][k]"
<<"n";
for (k=0;k<l;k++)
for (i=0;i<m;i++)
for (j=0;j<n;j++)
if (A[i][j][k]<0)
{
cout << "t"
<< k
<< "t"
<< i
<< "t"
<< j
<< "t"
<< A[i][j][k]
<< "t";
}
else
if (A[i][j][k]>5 && A[i][j][k]<9)
p=p+1;
cout << "Numri i kërkuar p="
<< p
<< endl;
return 0;
}

Rezultati që shtypet në ekran, pas ekzekutimit të programit të dhënë, është:

k i j A[i][j][k]
0 0 1 -2
0 0 3 -5
0 1 0 -4
0 1 2 -2
0 1 3 -4
0 2 3 -2

230 Algoritmet

1 0 0 -9
1 0 3 -1
1 1 3 -8
1 2 1 -5
Numri i kërkuar p=6

ku në pjesën e parë janë shtypur indekset dhe vlerat e anëtarëve negativë të
fushës, kurse p=6 është numri i anëtarëve pozitivë të fushës të cilët gjenden mes
vlerave 5 dhe 9.

Detyra Në fushën tridimensionale A(m,n,l) të gjendet:

a. numri i anëtarëve pozitivë;

b. numri i anëtarëve më të mëdhenj se vlera x, por të
ndryshëm nga vlera y;

c. shuma e anëtarëve pozitivë;

d. prodhimi i anëtarëve më të vegjël se vlera x;

e. anëtari me vlerë minimale, për çdo vlerë të indeksit të
tretë.

232 Algoritmet

Në praktikë, vlerat numerike të funksioneve të ndryshme llogariten duke
shfrytëzuar seri të pafundme. Por, meqë realisht nuk mund të shkohet në
pafundësi, llogaritjet ndërpriten duke marrë parasyshë një numër të caktuar
anëtarësh të serive, me çka fitohen vlerat e përafërta të funksioneve.

Shembull Llogaritja e vlerës së përafërt s të shumës:

∞
1
∑ 2i
i =1 i

duke marrë parasysh vetëm anëtarët të cilët janë më të
mëdhenj se numri i dhënë ε.

a. Bllok-diagrami
Fillimi

ε
s=0

i=1

1 Jo
2i
>ε
i
Po s
1
z= 2i
i Fundi

s=s+z

i,z

i=i+1

Fig.7.1

Vlerat e serive të pafundme 233

Algoritmet e tillë te të cilët paraprakisht nuk dihet se sa herë do të përsëritet
një pjesë e caktuar e tyre, quhen edhe algoritme iterative.

b. Programi

// Programi Prg7_1
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
int main()
{
const double e=0.0000001;
float i;
double z,s;
s=0;
i=1;
while ((1/pow(i,2*i)) > e)
{
z=1/pow(i,2*i);
s=s+z;
cout.precision(0);
cout.width(5);
cout <<i;
cout.precision(7);
cout.width(12);
cout.setf(ios::fixed, ios::floatfield);
cout <<z;
cout << "n";
i=i+1;
}
cout << "Shuma s="
<< s
<<"n";
return 0;
}
Në program, fuqizimi është llogaritur përmes funksionit pow, te i cili,
argumenti i parë e paraqet madhësin që fuqizohet, kurse fuqia shënohet si
argument i dytë.
Rezultati që do të shtypet në ekran, pas ekzekutimit të programit të dhënë,
duket kështu:

1 1.0000000
2 0.0625000
3 0.0013717
4 0.0000153
5 0.0000001

234 Algoritmet

Shuma s=1.0638871
ku në kolonën e dytë janë shtypur anëtarët e serisë së pafundme të cilët marrin
pjesë në llogaritjen e vlerës së shumës.
Gjatë llogaritjes së vlerave përmes serive të pafundme, llogaritja mund të
ndërpritet në një numër të caktuar anëtarësh të serisë, i cili zgjidhet lirisht.


∞
x
∑ (−1)i
3i − 2
i =1

duke marrë parasysh k-anëtarët e parë të serisë.

a. Bllok-diagrami
Fillimi

x,k

s=0

i=1

z = (− 1)
i x
3i - 2

s=s+z

i,z

i=i+1

Po
i≤k
Jo
s

Fundi

Fig.7.2


b. Programi

// Programi Prg7_2
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
int const x=2,k=5;
int i;
double z,s;
s=0;
for (i=1;i<=k;i++)
{
z=pow((-1.),i)*x/(3*i-2);
s=s+z;
cout.width(5);
cout <<i;
cout.precision(7);
cout.width(13);
cout <<z;
cout << "n";
}
cout << "Shuma s="
<< s
<< "n";
return 0;
}

Në program, për llogaritje të fuqizimit është shfrytëzuar funksioni pow,
përmes së cilit (-1) ngritet në fuqinë i. Rezultati që fitohet në ekran, për vlerat
k=5 dhe x=2, do të duket kështu:

1 -2.0000000
2 0.5000000
3 -0.2857143
4 0.2000000
5 -0.1538462
Shuma s=-1.7395604

Kushti për ndërprerejen e shtimit të anëtarëve gjatë llogaritjeve përmes serive
të pafundme mund të jetë edhe ndonjë vlerë e cila llogaritet nga vlera e anëtarit
që shtohet.

236 Algoritmet


∞
⎛ π ⎞
∑ ⎜1 + ⎟
i =1 ⎝ 5i4 ⎠

duke marrë parasysh vetëm anëtarët, logaritmi natyror i të
cilëve është më i madh se numri i dhënë ε.

a. Bllok-diagrami
Fillimi

π
s=0

i=1

⎛ π ⎞ Jo
ln⎜ 1 +
⎜ ⎟>ε
⎟
⎝ 5i4 ⎠
Po s
π
z = 1+ 4
Fundi
5i

s=s+z

i,z

i=i+1

Fig.7.3


b. Programi

// Programi Prg7_3
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
int main()
{
const double e=0.001,pi=3.1415926,x=2;
float i;
double z,s;
s=0;
i=1;
while (log(1+pi/(5*pow(i,4))) > e)
{
z=1+pi/(5*pow(i,4));
s=s+z;
cout.precision(0);
cout.width(5);
cout <<i;
cout.precision(5);
cout.width(10);
cout <<z;
cout << "n";
i=i+1;
}
cout << "Shuma s="
<< s
<<"n";
return 0;
}

Rezultati që shtypet në ekran, nëse ekzekutohet programi i dhënë, duket
kështu:

1 1.62832
2 1.03927
3 1.00776
4 1.00245
5 1.00101
Shuma s=5.67881

238 Algoritmet

ku në kolonën e dytë janë shtypur anëtarët e serisë, të cilët i shtohen vlersës së
shumës.

Seritë e pafundme shfrytëzohen gjatë llogaritjes së vlerave të funksioneve të
ndryshme trigonometrike.

Shembull Llogaritja e vlerës së përafërt s e funksionit sin(x),
përmes serisë së pafundme:

∞
x2i + 1
∑ (−1)i (2i + 1)!
i =0

nëse gabimi relativ i lejuar është ε.

Gabimi relativ llogaritet përmes shprehjes:

Sv − Sp
r =
Sv

ku janë:

Sp - shuma parciale paraprake
Sv - shuma parciale vijuese.


a. Bllok-diagrami

Fillimi

x,ε

s=0

240 Algoritmet i=0

Sp=s

F=1
Fig.7.4
b. Programi j=1

// Programi
Prg7_4 F=F⋅j F=(2i+1)!
#include
<iostream> j=j+1
#include
<cmath> Po
#include j≤(2i+1)
<iomanip> Jo
using namespace
std; 2i+1
s = s + (- 1)
i x
int main()
{ (2i + 1)!
const
double Sv=s
e=0.0001,x=0.75
;
Sv − Sp
int i,j; r=
double Sv
s,Sp,Sv,r,F;
s=0; i,r
i=0;
do
{ i=i+1

Po
Sp=s; r≥ε
F=1;
Jo
for s,sin(x)
(j=1;j<=2*i+1;j
++) Fundi

F=F*j;

s=s+pow((-1.),i)*pow(x,2*i+1)/F;
Sv=s;
r=fabs((Sv-Sp)/Sv);

cout.width(4);
cout <<i;
cout.precision(6);
cout.width(10);


cout <<r;
cout << "n";

i=i+1;
}
while (r>=e);

cout << "Vlera e përafërt s="
<< s
<<"n"
<< "Vlera e saktë sin="
<< sin(x)
<<"n";
return 0;
}

242 Algoritmet

Nëse ekzekutohet programi, rezultati që shtypet në ekran është:

0 1.000000
1 0.103448
2 0.002901
3 0.000039
Vlera e përafërt s=0.681639
Vlera e saktë sin=0.681639

Në pjesën e parë të rezultatit janë shtypur vlerat e variablës i dhe gabimi
absolut r për çdo i, i cili, siç shihet, shkon gjithnjë duke u zvogëluar. Kurse në
dy rreshtat e fundit, së pari është shtypur shuma s e vlerës së përafërt të sinusit,
dhe pastaj edhe vlera e funksionit sin(x), e llogaritur përmes funksionit sin,
i cili gjendet në kuadër të bibliotekës së funksioneve të gjuhës C++. Siç shihet,
vlera e llogaritur përmes serisë së pafundme dhe ajo e llogaritur duke shfrytëzuar
funksionin sin, për saktësinë e kërkuar, janë të barabarta.

Vlerat e serive të pafundme mund të llogariten edhe duke e pasur parasysh
gabimin e lejuar relativ.

Shembull Llogaritja e vlerës së përafërt s e serisë së pafundme:

∞
x
∑
i =1 i3

nëse gabimi absolut i lejuar është ε.

Gabimi absolut llogaritet përmes shprehjes:

a = Sv − Sp

ku janë:

Sp - shuma parciale paraprake
Sv - shuma parciale vijuese.


a. Bllok-diagrami
Fillimi

x,ε

s=0

i=1

Sp=s
x
s = s+ 3
i

Sv=s

a=|Sv-Sp|

i,a

i=i+1
Po
a≥ε
Jo
s

Fundi

Fig.7.5
b. Programi

// Programi Prg7_5
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
int main()
{
const double x=2,e=0.01;
float i;
double s,Sp,Sv,a;
s=0;
i=1;
do
{

244 Algoritmet

Sp=s;
s=s+x/pow(i,3);
Sv=s;
a=fabs(Sv-Sp);
cout.precision(0);
cout.width(4);
cout <<i;
cout.precision(6);
cout.width(10);
cout <<a;
cout << "n";
i=i+1;
}
while (a>=e);
cout << "Vlera e llogaritur s="
<< s
<<"n";
return 0;
}

Rezultati që fitohet në ekran pas ekzekutimit të programit të dhënë është:

1 2.000000
2 0.250000
3 0.074074
4 0.031250
5 0.016000
6 0.009259
Vlera e llogaritur s=2.380583

Në kolonën e dytë të rezultateve të dhëna më sipër janë shtypur vlerat e
gabimit absolut a në iteracionet e veçanta, përkatësisht për çdo vlerë të variablës
i.

Detyrë Të llogaritet vlera e përafërt z e funksionit ex, përmes serisë
së pafundme:

∞
x
∑
i =1 i3

nëse gabimi relativ i lejuar është ε.

246 Algoritmet

Gjatë llogaritjeve të ndryshme, kur kemi të bëjmë me vlera komplekse,
operohet veç me pjesën reale dhe veç me atë imagjinare.

Shembull Llogaritja e shumës së anëtarëve kompleksë të vektorit
Z(n), nëse anëtarët e pjesës reale dhe të pjesës imagjinare
janë dhënë përmes vektorëve X(n) dhe Y(n).

n
s = ∑ zi
i =1
n
= ∑ (xi + jyi)
i =1
n n
= ∑ xi + j ∑ yi = a + jb
i =1 i =1

Numrat kompleksë 247

a. Bllok-diagrami

Fillimi

n,(xi,i=1,n),(yi,i=1,n)

a=0

b=0

i=1

a=a+xi

b=b+yi

i,xi,yi

i=i+1
Po
i≤n
Jo
a,b

Fundi

Fig.8.1

b. Programi

// Programi Prg8_1
#include <iostream>
#include <iomanip>
int main()
{
int const n=5;
int a,b,i;
int X[n]={3,7,4,2,-8};
int Y[n]={6,-9,5,8,1};
a=0;
b=0;
cout << " i X Y"

248 Algoritmet

<< "n";
cout << "-------------"
<< "n";
for (i=0;i<n;i++)
{
a=a+X[i];
b=b+Y[i];
cout << setw(4) << i
<< setw(4) << setiosflags(ios::right)<<X[i]
<< setw(4) << setiosflags(ios::right)<<Y[i]
<< "n";
}
cout << "Shuma reale .... a="
<< a
<< "n"
<< "Shuma imagjinare b="
<< b
<< "n";
return 0;
}

Për vlerat e vektorit kompleks Z(n), përkatësisht komponentes reale X(n)
dhe komponentes imagjinare Y(n), të cilat janë marrë si shembull, pas
ekzekutimit të programit në ekran do të shtypen këto rezultate:

i X Y
-------------
1 3 6
2 7 -9
3 4 5
4 2 8
5 -8 1
Shuma reale .... a=8
Shuma imagjinare b=11

Për llogaritjen e prodhimit të anëtarëve të një vektori kompleks duhet
shfrytëzuar formën eksponenciale të shprehjes së anëtarëve përkatës të vektorit.


Shembull Llogaritja e prodhimit të anëtarëve kompleksë të vektorit
Z(n), nëse anëtarët e pjesës reale dhe të pjesës imagjinare
janë dhënë përmes vektorëve X(n) dhe Y(n).

n
P= ∏(xi + jy i)
i=1

=
n
(
∏ ρi ⋅ ejϕi )
i=1
( )( )
= ρ1 ⋅ ejϕ1 ⋅ ρ 2 ⋅ ejϕ2 ⋅...⋅ ρ n ⋅ ejϕn ( )
n
n j ∑ ϕi
= ∏ ρi ⋅ e i=1 = α ⋅ ejβ
i=1
= α ⋅ cos β + jα ⋅ sin β
= a + jb

ku janë:
n
α = ∏ ρi
i =1
n
β= ∑ ϕi
i=1

a = α ⋅ cos β ,

b = α ⋅ sin β

ρi = xi2 + yi2
y
ϕi = arctg i
xi

250 Algoritmet

a. Bllok-diagrami

Fillimi

n,(xi,i=1,n),(yi,i=1,n)

α=1

β=0

i=1

ρi = x i + y i
2 2

y
ϕi = arctg i
xi

α=α⋅ρ i

β=β⋅ϕ i

i,xi,yi

i=i+1
Po
i≤ n
Jo
a=α⋅cosβ

b=α⋅sinβ

a,b

Fundi

Fig.8.2


b. Programi

// Programi Prg8_2
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
int main()
{
int const n=5;
int i;
double X[n]={3,7,4,2,-8};
double Y[n]={6,-9,5,8,1};
double a,b,Alfa,Beta,Ro[n],Fi[n];
Alfa=1;
Beta=0;
cout << " i X Y"
<< "n";
cout << "-------------"
<< "n";
for (i=0;i<n;i++)
{
Ro[i]=sqrt(pow(X[i],2)+pow(Y[i],2));
Fi[i]=atan(Y[i]/X[i]);
Alfa=Alfa*Ro[i];
Beta=Beta+Fi[i];
<< setw(4) << setiosflags(ios::right)<< X[i]
<< setw(4) << setiosflags(ios::right)<< Y[i]
<< "n";
}
a=Alfa*cos(Beta);
b=Alfa*sin(Beta);
cout << "Pjesa reale .... a="
<< a
<< "n"
<< "Pjesa imagjinare b="
<< b
<< "n";
return 0;
}

Nëse ekzekutohet programi i dhënë, rezultati që shtypet në ekran do të duket
si në vijim.

252 Algoritmet

i X Y
-------------
0 3 6
1 7 -9
2 4 5
3 2 8
4 -8 1
Pjesa reale .... a=-21570
Pjesa imagjinare b=24390

Për llogaritjen e shumës ose të prodhimit të funksioneve trigonometrike, ose
edhe të funksioneve të tjera, duhet gjetur rrugë që shprehjet të zbërthehen në
pjesën reale dhe në pjesën imagjinare të tyre.

Shembull Llogaritja e shumës:

n
s= ∑ sin zi
i =1

ku zi janë anëtarët kompleksë të vektorit Z(n), kurse
anëtarët e pjesës reale dhe të pjesës imagjinare të tij janë
dhënë përmes vektorëve X(n) dhe Y(n).

n
s= ∑ sin zi
i=1
n
= ∑ sin(xi + jyi)
i=1
n ej xi +jyi) − e −j xi +jyi)
( (
= ∑
i=1 2j
eyi + e −yi
n n eyi − e −yi
= ∑ sin xi + j ∑ cos xi
i=1 2 i=1 2
= a + jb

ku janë:

n eyi + e −yi
a= ∑ sin xi
i=1 2

n eyi − e −yi
b= ∑ cos xi
i=1 2


a. Bllok-diagrami
Fillimi

n,(xi,i=1,n),(yi,i=1,n)

a=0

b=0

i=1

yi − yi
e +e
a =a+ sin x i
2
yi − yi
e −e
b = b+ cos x i
2

i,xi,yi

i=i+1
Po
i≤n
Jo
a,b

Fundi

Fig.8.3
b. Programi

// Programi Prg8_3
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
int main()
{
int const n=5;
int i;
double X[n]={3,7,4,2,-8};
double Y[n]={6,-9,5,8,1};

254 Algoritmet

double a=0,b=0;
cout << " i X Y"
<< "n";
cout << "-------------"
<< "n";
for (i=0;i<n;i++)
{
a=a+(exp(Y[i])+exp(-Y[i]))/2*sin(X[i]);
b=b+(exp(Y[i])-exp(-Y[i]))/2*cos(X[i]);
<< setw(4) << setiosflags(ios::right)<<X[i]
<< setw(4) << setiosflags(ios::right)<<Y[i]
<< "n";
}
cout << "Pjesa reale .... a="
<< a
<< "n"
<< "Pjesa imagjinare b="
<< b
<< "n";
return 0;
}


i X Y
-------------
1 3 6
2 7 -9
3 4 5
4 2 8
5 -8 1
Pjesa reale .... a=3987.87
Pjesa imagjinare b=-3923.09

Detyra Nëse anëtarët e vektorit Z(n) janë numra kompleksë dhe
pjesët reale dhe imagjinare të tyre jepen përmes vektorëve
X(n) dhe Y(n), të llogariten vlerat:

n
p= ∏ coszi
i=1

n
s= ∑ ln zi
i=1

256 Algoritmet

Me tabelimin e vlerave numerike të funksioneve nënkuptohet llogaritja e
vlerave të tyre, për vlera të ndryshme të variablave që paraqiten brenda
shprehjeve përkatëse.

Shembull Llogaritja e vlerave të funksionit:

⎧ e2x + 1 për x ≤ 3
⎪
⎪
y = ⎨ n 2
⎪ ⎛x ⎞
⎪∑ ⎝2 ⎜ + 2i ⎟ për x > 3
⎩i = 1 ⎠

për vlera të ndryshme të variablës x mes a dhe b, duke
ndryshuar atë me hapin h.

Tabelimi i funksioneve 257

a. Bllok-diagrami

Fillimi

n,a,b,h

x=a

Po Jo
x≤3
s=0

i=1

2
⎛x ⎞
s = s + ⎜ + 2i ⎟
⎝2 ⎠
i=i+1

Po
i ≤ n
Jo
2x+1
y=e y=s

x,y

x=x+h

Po
x≤b
Jo
Fundi

Fig.9.1

258 Algoritmet

b. Programi

// Programi Prg9_1
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
int main()
{
const double a=2,b=5,h=0.5;
int n=3,i;
double x,y,s;
cout << "Tabela e vlerave"
<< "n";
cout << " x y"
<< "n";
x=a;
do
{
if (x<=3)
y=exp(2*x+1);
else
{
s=0;
for (i=1;i<=n;i++)
s=s+pow(x/2+2*i,2);
y=s;
}
cout.setf(ios::fixed);
cout.precision(2);
cout.width(6);
cout << x;

cout.precision(4);
cout.width(12);
cout << y
<< "n";
x=x+h;
}
while (x<=b);
return 0;
}

Rezultati që shtypet në ekran do të duket:

Tabela e vlerave
x y
2.00 148.4132
2.50 403.4288


3.00 1096.6332
3.50 107.1875
4.00 116.0000
4.50 125.1875
5.00 134.7500

Tabela mund t'i përmbajë vlerat numerike të disa funksionve njëkohësisht.

Shembull Llogaritja e vlerave numerike të funksioneve:

y = 3x2 + 2x − 1
1
z =
2 − x
v = 3 ln(x − 1)
t = ex + 2 sin x

për vlera të ndryshme të variablës x mes a dhe b, duke
ndryshuar vlerën e saj me hapin h.

Meqë për të gjitha vlerat e variablës x mund të llogariten vetëm funksionet
y dhe t, shprehjet e tyre janë vendosur menjëherë në fillim të bllok-diagramit.
Për funksionet e tjera, para se të llogariten vlerat e tyre, duhet kontrolluar vlerën
e variablës x, sepse funksioni v nuk mund të llogaritet, nëse x≤1, kurse vlera e
funksionit z është e padefinuar për x=2, gjë që shihet edhe në paraqitjen
vijuese:

y
z
v
t
x
-3 -2 -1 0 1 2 3

260 Algoritmet

a. Bllok-diagrami

Fillimi

a,b,h

x=a

y=3x2+2x-1

t=ex+2sin x
Po
x≤1
Jo
v=3 ln(x-1)

Po
x=2
Jo
1 1
z= z=
2− x 2− x

x,y,z,v,t x,y,v,t x,y,z,t

x=x+h
Po
x≤b
Jo
Fundi

Fig.9.2


b. Programi

// Programi Prg9_1
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
int main()
{
const double a=-3,b=3,h=0.5;
double x,y,z,v,t;
cout << " x y z v t"
<< "n"
<< "----------------------------------"
<< "n";
x=a;
cout.precision(2);
do
{
y=3*pow(x,2)+2*x-1;
t=exp(x)+2*sin(x);
if (x<=1)
{
z=1/(2-x);
cout << setw(5)
<< x
<< setw(8)
<< y
<< setw(6)
<< z
<< " Mungon"
<< setw(7)
<< t
<< "n";
}
else
{
v=3*log(x-1);
if (x==2)
{
cout << setw(5)
<< x
<< setw(8)
<< y
<< " ----"
<< setw(8)
<< v
<< setw(7)

262 Algoritmet

<< t
<< "n";
}
else
{
z=1/(2-x);
cout << setw(5)
<< x
<< setw(8)
<< y
<< setw(6)
<< z
<< setw(8)
<< v
<< setw(7)
<< t
<< "n";
}
}
x=x+0.5;
}
while (x<=b);
return 0;
}

Tabela e vlerave numerike, e cila fitohet në ekran pas ekzekutimit të
programit të dhënë, do të duket kështu:

x y z v t
----------------------------------
-3.00 20.00 0.20 Mungon -0.23
-2.50 12.75 0.22 Mungon -1.11
-2.00 7.00 0.25 Mungon -1.68
-1.50 2.75 0.29 Mungon -1.77
-1.00 0.00 0.33 Mungon -1.32
-0.50 -1.25 0.40 Mungon -0.35
0.00 -1.00 0.50 Mungon 1.00
0.50 0.75 0.67 Mungon 2.61
1.00 4.00 1.00 Mungon 4.40
1.50 8.75 2.00 -2.08 6.48
2.00 15.00 ---- 0.00 9.21
2.50 22.75 -2.00 1.22 13.38
3.00 32.00 -1.00 2.08 20.37

264 Algoritmet

Në praktikë, përveç mesatares aritmetikore, përdoret edhe mesatarja gjeometrike,
si dhe mesatarja harmonike.

Shembull Llogaritja e mesatares aritmetikore, mesatares gjeometrike
dhe e mesatares harmonike, për anëtarët e vektorit X(n).

Për llogaritjen e mesatareve në fjalë, përdoren shprehjet:

• Mesatarja aritmetikore
1 n
a = ∑ xi
n i =1

• Mesatarja gjeometrike

n
g = n ∏ xi
i =1

• Mesatarja harmonike

n
h = n
1
∑x
i =1 i

Mesataret dhe devijimet 265

a. Bllok-diagrami
Fillimi

n,(xi,i=1,n)

s1=0

p=1

s2=0

i=1

s1=s1+xi

p=p⋅xi

1
s =s +
2 2 x
i

i=i+1
Po
i≤n
Jo
s
a= 1
n

g= n p

n
h=
s
2

a,g,h

Fundi

Fig.10.1

266 Algoritmet

b. Programi

// Programi Prg10_1
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
const int n=5;
int X[n]={7,4,2,8,5},i;
double s1=0,p=1,s2=0,a,g,h;
for (i=0;i<n;i++)
{
s1=s1+X[i];
p=p*X[i];
s2=s2+1./X[i];
}
a=s1/n;
cout << "Mesatarja aritmetikore a="
<< a;
g=pow(p,1./n);
cout << "nMesatarja gjeometrike g="
<< g;
h=n/s2;
cout << "nMesatarja harmonike h="
<< h
<< "n";
return 0;
}

Për vlerat e anëtarëve të vektorit që është marra si shembull në program, pas
ekzekutimit të programit, si rezultat në ekran do të shtypet:

Mesatarja aritmetikore a=5.2
Mesatarja gjeometrike g=4.67789
Mesatarja harmonike h=4.10557

Duke shfrytëzuar vlerat e llogaritura të mesatareve, përmes shprehjeve
vijuese mund të gjenden edhe devijimet standarde përkatëse:

• Devijimi aritmetikor

1 n
σ = ∑ (xi − a)2
n i =1


• Devijimi gjeometrik

1 n
ρ = ∑ (xi − g)2
n i =1

• Devijmi absolut
1 n
δ = ∑ xi − a
n i =1

Shembull Llogaritja e devijimit standard aritmetikor, gjeometrik dhe
harmonik, për anëtarët e vektorit X(n).

a. Bllok-diagrami

Fillimi

n,(xi,i=1,n)

s1=0

p=1

s2=0

i=1

s1=s1+xi

p=p⋅xi

1
s =s +
2 2 x
i

i=i+1
Po
i≤n
Jo

A

268 Algoritmet

A

a = s1 / n

g=np

h = n/s2

a,g,h

s3=0

s4=0

s5=0

i=1

s3=s3+(xi-a)2

s4=s4+(xi-g)2

s5=s5+|xi-a|

i=i+1
Po
i≤n
Jo
σ = s3 / n

ρ = s4 / n

δ = s5 / n

σ,ρ,δ

Fundi

Fig.10.2


b. Programi

// Programi Prg10_2
#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
const int n=5;
int X[n]={7,4,2,8,5},i;
double s1=0,p=1,s2=0,a,g,h;
double s3=0,s4=0,s5=0,Sigma,Ro,Delta;
for (i=0;i<n;i++)
{
s1=s1+X[i];
p=p*X[i];
s2=s2+1./X[i];
}
a=s1/n;
cout << "Mesatarja aritmetikore a="
<< a;
g=pow(p,1./n);
cout << "nMesatarja gjeometrike g="
<< g;
h=n/s2;
cout << "nMesatarja harmonike h="
<< h;
for (i=0;i<n;i++)
{
s3=s3+pow(X[i]-a,2);
s4=s4+pow(X[i]-g,2);
s5=s5+fabs(X[i]-a);
}
Sigma=sqrt(s3/n);
cout << "nDevijimi aritmetikor Sigma="
<< Sigma;
Ro=sqrt(s4/n);
cout << "nDevijimi gjeometrik Ro="
<< Ro;
Delta=s5/n;
cout << "nDevijimi absolut Delta="
<< Delta
<< "n";
return 0;
}

270 Algoritmet

Pas ekzekutimit të programit të dhënë, rezultatet në ekran do të shtypen
kështu:

Mesatarja aritmetikore a=5.2
Mesatarja gjeometrike g=4.67789
Mesatarja harmonike h=4.10557
Devijimi aritmetikor Sigma=2.13542
Devijimi gjeometrik Ro=2.19832
Devijimi absolut Delta=1.84

Integralet e njëfishta 272
Integralet e dyfishta 277

272 Algoritmet

Për llogaritjen e vlerës së integralit të caktuar, përdoret Metoda e Trapezit, ose
Metoda e Simpsonit.

Integralet e njëfishta
Vlera e integralit të njëfishtë:

b
∫ f x)dx
(
a

sipas Metodës së Trapezit llogaritet me shprehjen:

⎡ f a) + f b) n −1 ⎤
( (
T = h ⋅ ⎢ + ∑ fa
( + i ⋅ h)⎥
⎢
⎣ 2 i =1 ⎥
⎦
ku
b − a
h =
n

është hapi i integrimit, nëse zona e integrimit ndahet në n-pjesë.

Shembull Llogaritja e vlerës së integralit:

4
∫ (x + 1)dx
2

1

me metodën numerike të Trapezit.

Integrimi numerik 273

a. Bllok-diagrami
Fillimi

f(x)=x2+1

n,a,b

b-a
h=
n
s=0

i=1

s=s+f(a+ih)

i=i+1

Po
i ≤ n-1
Jo

T = h⋅
⎡ f(a)+ f(b) + s⎤
⎢
⎣ 2 ⎥
⎦
T

Fundi

Fig.11.1
b. Programi

// Programi Prg11_1
#include <iostream>
double f(double x);
int main()
{
const int n=10;
const double a=1,b=4;
int i;
double T,s,h;
h=(b-a)/n;
s=0;
for (i=1;i<=n-1;i++)

274 Algoritmet

s=s+f(a+i*h);
T=h*((f(a)+f(b))/2+s);
cout << "Vlera e integralit T="
<< T
<< "n";
return 0;
}

// Nënprogrami
double f(double x)
{
return x*x+1;
}

Pas ekzekutimit të programit të dhënë, rezultati që shtypet në ekran është:

Vlera e integralit T=24.045

Vlera e integralit llogaritet edhe përmes Metodës së Simpsonit, duke shfrytëzuar
shprehjen:

⎧ n −1 ⎫
h ⎪ n
⎪
S = ⋅ ⎨f a) + f b) + 4 ∑ f[a + (2i − 1) ] + 2 ∑ f[a + 2ih]⎬
( ( h
3 ⎪⎩ i =1 i =1 ⎪
⎭

ku hapi i integrimit llogaritet kështu:

b − a
h =
2n

nëse zona e integrimit ndahet në n-pjesë.

Shembull Llogaritja e vlerës së integralit:

4
∫ (x + 1)dx
2

1

me metodën numerike të Simpsonit.


a. Bllok-diagrami

Fillimi

f(x)=x2+1

n,a,b

b-a
h=
2n
s1=0

s2=0

i=1

s1=s1+f[a+(2i-1)h]

s2=s2+f(a+2ih)

i=i+1

Po
i ≤ n-1
Jo
s1=s1+f[a+(2n-1)h]

S=
h
3
{
⋅ f(a)+ f(b)+ 4 ⋅ s + 2 ⋅ s
1 2
}
S
Fundi

Fig.11.2

276 Algoritmet

b. Programi

// Programi Prg11_2
#include <iostream>
double f(double x);
int main()
{
const int n=10;
const double a=1,b=4;
int i;
double S,s1,s2,h;
h=(b-a)/(2*n);
s1=0;
s2=0;
for (i=1;i<=n-1;i++)
{
s1=s1+f(a+(2*i-1)*h);
s2=s2+f(a+2*i*h);
}
s1=s1+f(a+(2*n-1)*h);
S=h/3*(f(a)+f(b)+4*s1+2*s2);
cout << "Vlera e integralit S="
<< S
<< "n";
return 0;
}

// Nënprogrami
double f(double x)
{
return x*x+1;
}

Pas ekzekutimit të programit të dhënë, rezulati në ekran do të shtypet kështu:

Vlera e integralit S=24


Integralet e dyfishta
Për llogaritjen e vlerës së integralit të dyfishtë:

bd
∫ ∫ f x, y)dx dy
(
ac

sipas Metodës së Trapezit, shfrytëzohet shprehja:

⎧1
T = h ⋅ g ⋅ ⎨ [f a,c)+ f a,d)+ f b,c)+ f b,d)
( ( ( ( ]
⎩4
1 ⎡n −1 m −1 ⎤
+ ⎢ ∑ f xi,c)+ f xi,d)+ ∑ f a,y j)+ f b,y j)
( ( ( ( ⎥
2 ⎢i=1
⎣ j=1 ⎥
⎦
m-1 n-1 ⎫
⎪
+ ∑ ∑ f(xi,y j)⎬
j=1 i=1 ⎪
⎭

ku janë:

xi = a + ih
yj = c + jd
b − a
h =
n
d − c
g =
m

Shembull Llogaritja e vlerës së integralit të dyfishtë:

24
1
∫∫ dx dy
1 3 (x + y )2

me metodën numerike të Trapezit.

278 Algoritmet

a. Bllok-diagrami

Fillimi

1
f(x,y) =
(x + y )2
m,n,a,b,c,d

b-a
h=
n

d-c
g=
m

r=
1
4
[
⋅ f(a,c)+ f(a,d)+ f(b,c)+ f(b,d) ]
s1=0

i=1

xi=a+i⋅h

s1=s1+f(xi,c)+f(xi,d)

i=i+1

Po
i ≤ n-1
Jo

A


A

s2=0

j=1

yj=c+j⋅g

s2=s2+f(a,yj)+f(b,y1)

j=j+1

Po
j ≤ m-1
Jo
s3=0

i=1

j=1

yj=c+j⋅g

s3=s3+f(xi,yi)

j=j+1

Po
j ≤ m-1
Jo
i=i+1

Po
i ≤ n-1
Jo
⎧
T = h ⋅g ⋅ ⎨ r +
⎩
1
2
[s
1
+s
2
] + s3 ⎫
⎬
⎭
T

Fundi

Fig.11.3

280 Algoritmet

b. Programi

// Programi Prg11_3
#include <iostream>
#include <cmath>
double f(double x,double y);
int main()
{
const int m=6,n=4;
const double a=1,b=2,c=3,d=4;
int i,j;
double T,s1,s2,s3,r,h,g,xi,yj;
h=(b-a)/n;
g=(d-c)/m;
r=(f(a,c)+f(a,d)+f(b,c)+f(b,d))/4;

s1=0;
for (i=1;i<=n-1;i++)
{
xi=a+i*h;
s1=s1+f(xi,c)+f(xi,d);
}

s2=0;
for (j=1;j<=m-1;j++)
{
yj=c+j*g;
s2=s2+f(a,yj)+f(b,yj);
}

s3=0;
for (i=1;i<=n-1;i++)
{
xi=a+i*h;
for (j=1;j<=m-1;j++)
{
yj=c+j*g;
s3=s3+f(xi,yj);
}
}

T=h*g*(r+(s1+s2)/2+s3);

cout << "Vlera e integralit T="
<< T
<< "n";
return 0;
}


// Nënprogrami
double f(double x,double y)
{
return 1/pow(x+y,2);
}

Rezultati që do të shtypet në ekran, nëse ekzekutohet programi i dhënë,
është:

Vlera e integralit T=0.0408994

Metoda Runge-Kutta 284
Metoda Kutta-Merson 287

284 Algoritmet

Për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale lineare përdoren metoda të
ndryshme numerike. Këtu do të jepen metodat Runge-Kutta dhe Kutta-Merson.

Metoda Runge-Kutta
Sipas metodës Runge-Kutta të rendit të katërt, për pikën (xi,yi), fillimisht
llogariten vlerat e koeficientëve:

r1 = f(xi, yi ) ⋅ h
⎛ h r ⎞
r2 = f⎜ xi + , yi + 1 ⎟ ⋅ h
⎝ 2 2⎠
⎛ h r ⎞
r3 = f⎜ xi + , yi + 2 ⎟ ⋅ h
⎝ 2 2⎠
r4 = f(xi + h, yi + r3 ) ⋅ h

përmes së cilëve pastaj gjendet pika vijuese (xi+1,yi+1), kështu:

xi + 1 = xi + h

yi + 1 = yi + {r1 + 2r2 + 2r3 + r4}
1
6

ku hapi i diferencimit llogaritet me shprehjen:

x p − x0
h =
n

nëse kushtet fillestare merren (x0,y0) dhe zona e diferencimit [x0,xp]
ndahet në n-pjesë.

Shembull Zgjidhja e ekuacionit diferencial:

dy
= x2 + y
dx

përmes metodës Runge-Kutta, për kushtet fillestare x0=1 dhe
y0=1.

Diferencimi numerik 285

a. Bllok-diagrami
Fillimi

f(x,y)=x2+y

n,x0,y0,xp
x -x
p 0
h=
n
x=x0

y=y0

i=1

r1=f(x,y)⋅h

⎛ h r1 ⎞
r = f⎜ x + ,y + ⎟⋅h
2
⎝ 2 2 ⎠

⎛ h r2 ⎞
r = f⎜ x + ,y + ⎟⋅h
3
⎝ 2 2 ⎠
r4=f(x+h,y+r3)⋅h

y=y+
1
(r + 2⋅r + 2⋅r + r
6 1 2 3 4
)
x=x+h

i,x,y

i=i+1

Po
i≤n
Jo
Fundi

Fig.12.1

286 Algoritmet

b. Programi

// Programi Prg12_1
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
int main()
{
const int n=10;
const double x0=1,y0=1,xp=2;
int i;
double x,y,h,r1,r2,r3,r4;
h=(xp-x0)/n;
x=x0;y=y0;
cout << " i x y"
<< "n------------------------"
<< "n";
for (i=1;i<=n;i++)
{
r1=f(x,y)*h;
r2=f(x+h/2,y+r1/2)*h;
r3=f(x+h/2,y+r2/2)*h;
r4=f(x+h,y+r3)*h;
y=y+(r1+2*r2+2*r3+r4)/6;
x=x+h;
cout.width(4);
cout << i;
cout.precision(2);
cout.width(8);
cout << x;
cout.precision(5);
cout.width(11);
cout << y
<< "n";
}
return 0;
}

// Nënprogrami
{
return pow(x,2)+y;
}


Pas ekzekutimit të programit, rezultatet që shtypen në ekran duken:
i x y
------------------------
1 1.10 1.22103
2 1.20 1.48842
3 1.30 1.80915
4 1.40 2.19095
5 1.50 2.64233
6 1.60 3.17271
7 1.70 3.79251
8 1.80 4.51324
9 1.90 5.34761
10 2.00 6.30968

Metoda Kutta-Merson
Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale sipas metodës Kutta-Merson,
vlera e pikës vijuese të funksionit yi+1 caktohet duke shfrytëzuar vlerën e pikës
paraprake yi:
yi + 1 = yi +
1
(k1 + 4k4 + k5 )
6
ku koeficientët e veçantë llogariten përmes shprehjeve:
k1 = f(xi, yi ) ⋅ h
⎛ h k ⎞
k2 = f⎜ xi + , yi + 1 ⎟ ⋅ h
⎝ 3 3⎠
⎛ h k + k2 ⎞
k3 = f⎜ xi + , yi + 1 ⎟ ⋅ h
⎝ 3 6 ⎠
⎛ h k1 3 ⎞
k4 = f⎜ xi + , yi + + k3 ⎟ ⋅ h
⎝ 2 8 8 ⎠
⎛ k1 3 ⎞
k5 = f⎜ xi + h , yi + − k3 + 2k4 ⎟ ⋅ h
⎝ 2 2 ⎠
Nëse kushtet fillestare merren (x0,y0) dhe zona e diferencimit [x0,xp]
ndahet në n-pjesë, hapi përkatës i diferencimit është:
x p − x0
h =
n
Shembull Zgjidhja e ekuacionit diferencial:
dy 1
= xy
dx 2
përmes metodës Kutta-Merson, për kushtet fillestare x0=1 e
y0=1, si dhe xp=1 e n=10.

288 Algoritmet

a. Bllok-diagrami
Fillimi

f(x,y)= (x ⋅ y)/2

n,x0,y0,xp

h = (x p - x 0)/2

x=x0

y=y0

i=1

k1=f(x,y)⋅h

⎛ h k1 ⎞
k = f⎜ x + ,y + ⎟⋅h
2
⎝ 3 3 ⎠
⎛ h ( k1 + k 2 ) ⎞
k = f⎜ x + ,y + ⎟⋅h
3
⎝ 3 6 ⎠
⎛ h k 3 ⎞
k = f⎜ x + ,y + 1 + ⋅ k ⎟ ⋅ h
4
⎝ 2 8 8 3
⎠
⎛ k 3 ⎞
k5 = f⎜ x + h,y + 1 − ⋅ k3 + 2 ⋅ k4 ⎟ ⋅ h
⎝ 2 2 ⎠

y = y +(k1 + 4k4 + k5)/6

x=x+h

i,x,y

i=i+1

Po
i≤n
Jo
Fundi
Fig.12.2


b. Programi
// Programi Prg12_2
#include <iostream>
#include <iomanip>
int main()
{ const int n=10;
const double x0=0,y0=1,xp=1;
int i; double x,y,h,k1,k2,k3,k4,k5;
h=(xp-x0)/n; x=x0;y=y0;
cout << " i x y"
<< "n------------------------" << "n";
for (i=1;i<=n;i++)
{ k1=f(x,y)*h;
k2=f(x+h/3,y+k1/3)*h;
k3=f(x+h/3,y+(k1+k2)/6)*h;
k4=f(x+h/2,y+k1/8+(3*k3)/8)*h;
k5=f(x+h,y+k1/2-(3*k3)/2+2*k4)*h;
y=y+(k1+4*k4+k5)/6;
x=x+h;
cout.width(4); cout << i;
cout.precision(2); cout.width(8);
cout << x;
cout.precision(5); cout.width(11);
cout << y << "n";
}
return 0;
}
// Nënprogrami
{
return (x*y)/2;
}
Pas ekzekutimit të programit, vlerat numerike të cilat fitohen si zgjidhje e
ekuacionit diferencial, në ekran do të shtypen kështu:
i x y
------------------------
1 0.10 1.00250
2 0.20 1.01005
3 0.30 1.02276
4 0.40 1.04081
5 0.50 1.06449
6 0.60 1.09417
7 0.70 1.13032
8 0.80 1.17351
9 0.90 1.22446

290 Algoritmet

10 1.00 1.28403

Agni H. Dika
Fakulteti i Inxhinierisë Elektrike dhe Kompjuterike
Prishtinë

ALGORITMET
njohuri themelore
me programe në gjuhën C++

Lektor
Dr. Ilaz Metaj

Kopertina
AfiDesign

Shtypi
Adea
Prishtinë

Copyright © 2007

Algoritmet C++

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Algoritmet C++ (20)

More from Ajla Hasani (7)

Algoritmet C++