ushtrime matlab

Ing. dip.Ramiz Kastrati

Detyra të Zgjidhura me Programin
MATLAB® (Versioni 7.0.0)

Prishtinë
Janar 2010

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB

Përmbajtja:

1. Llojet e fajllave në programin Matlab
2. Operatorët: Logjikë, Relacionet dhe aritmtikë
3. Numrat komplekës
4. Vektorët dhe Matricat
5. Ekuacionet algjebrike dhe transandente
6. Paraqitjet grafike, funksionet me një të panohur
7. Kushtëzimet dhe unazat
8. Llogaritja e shumës
9. Llogaritja e limitit
10. Ekuacionet Diferenciale
11. Llogaritja e |Integralit
12. Ekuacionet e Laplasit
13. Inversi i Laplasit, Funksionet Transmetuese
14. Ekuacionet e gjendjes
15. Diagrami i Bodeu dhe Nikvistit
16. Simulink
17. S- Function
18. Rrjetat Fuzzy Neurale

2/224



Llojet e fajllave në programin Matlab
Gjatë përdorimit të programit Matlab, kemi mundësi ti përdorim dy mënyra të shkrimit të
kodit:
 Përmes linjës komanduese Command window dhe
 M – fajllave.

Përdorimi i linjës komanduese ka përparësi e veta por edhe mangësitë sepse me
përdorimin e kësaj forme kodet e shkruara dhe rezultatet humben pas përfundimit dhe
mbylljes së programit Matlab. Për këtë arsye paraqitet nevoja e formimit të fajllave në të
cilët mundemi ti fusim kodet programore , rezultatet numerike , grafikën dhe strukturat
etj.të cilat mbesin të ruajtura në këto fajlla dhe mundë të thirren sa herë që na nevojiten.
Varësisht se çka dëshirojm të ruajmë programi Matlab gjeneron dhe shfrytëzon këto
fajlla me këto ekstensione: M, MAT dhe MEX.

Ekzistojnë dy lloje të M fajllave :
Komandues (script) dhe funksione (function).
Ne për shkuarjen e kodit programor po përdorim formën linjore pra comman windows,
por të gjithë shembujt janë të realizuar edhe duke përdor M fajllat.

Operatorët Logjikë, Relacionit dhe aritmtikë

Në vazhdim po paraqesim tabelat për operacione Logjike, Relacionale dhe aritmetike.

& DHE
| OSE
~ JO

Tabelat me vlerat e operacioneve logjike

A B ~A A&V A|B
1 1 0 1 1
1 0 0 0 1
0 1 1 0 1
0 0 1 0 0

3/224



Vërejtje:
MATLAB e trajton çdo vlerë jo zero si vlerë të sakët, kurse vlerën zero si vlerë te pa sakët

Operatoret e relacionit janë operator binar dhe shfrytëzohen për krahasimin e shprehjeve.
Krahasimi i shprehjeve është i sakët ( true ) me shenjë 1 ose jo i sakët ( false ) me
shenjen 0.

< Më e vogël
<= bartë ose më e vogël se
> Më e madhe
<= Më e madhe ose e barabartë
== E barabartë
~= Jobarabartë
Tabelat me vlerat e operacioneve relacionit

Shprehjet aritmetike shfrytëzojnë operacionet e zakonshme aritmetike

+ mbledhja
- zbritja
* shumëzimi
/ pjesëtimi
^ fuqizimi
Pjesëtim nga ana e djathët

Tabelat me vlerat e operacioneve aritmetike

Shembull 1:
Llogarit vlerën e shprehjes:

>> 2+4-6
ans =
0

Vërejtje :
Nga ky Shembull shohim se MATLAB- i vet e krijon shprehjen me emër ans (answer-
përgjigjeje )

4/224



Shembulli 2:

 1
x  2  24  
Te llogaritet   .

>> x=2+(2*4-pi)

x=

27.1327
Vërejtje:
Numri  je si madhësi konstante në MATLAB. Mjafton ta shtypim simbolin pi ( e jo
3.14)

Shembulli 3:

Të llogaritet vlera e shprehjes y=3x për x=32 :

>> x=3^2;
>> y=3*x
y=
27

Vërejtje :
Nëse nuk duam menjëherë të paraqitet në ekran, atëherë në fund të komandës vendosim ;
(pikëpresje).

Shembulli 4:

Të llogariten shprehjet :
1. 2 + 4 + 6
2. 4*25+6*22+2*99
3. D=A+B+C për A=2 , B=4 , C=6
4. E=B*25+C*22+A*99 për A=2 , B=4 , C=6
5. D=A+B+C për A=2 , B=4 , C=6

% llogaritja e shprehjes a
>> 2 + 4 + 6
Ans =
12
% llogaritja e shprehjes b
>> 4*25+6*22+2*99
ans = 430

5/224



% llogaritja e shprehjes c
>> A=2

A=
2
>> B=4;

>>C=6

C=
6
>> D=A+B+C

D=
12

% Vlerat për A,B,C i marrim nga shembulli nën c:
% llogaritja e shprehjes d
>> E=B*25+C*22+A*99

E=
430

% llogaritja e shprehjes e
% Vrejtje : Vlerat për A,B,C i marrim nga shembulli nën c:

>>A=2;
>>B=4;
>>C=6;
>>D=A+B+C
D=
12

Shembull 5:

>> %shembulli 5.a

6/224



>> ~4
ans =
0

>> %shembulli 5.b

>>5 <=9
ans=
1

>> %shembulli 5.c

>>9<=5
ans=
0

>> %shembulli 5.d
>> 2*5
ans =
10

>> %shembulli 5.e
>> 3*8 ; % për shkak‘;’ rezultati nuk do të paraqitet.

ans =
24

shembull 6:

>> a=1; b=3; % vlerat për variabla
>> if a==b % shprehja logjike për vlerat a dhe b
disp ('a më e madhe se b')
else disp ('b më e madhe se a')
end

Rezultati nga kompjuteri

b me e madhe se a

Shembulli 7:
Llogarit vlerën e shprehjes:
5<3

7/224



>> 5<3
ans =
0

Numrat komplekës

Pjesa Imagjinare është e definuar si vlerë e përhershme. Shfrytëzohet zakonisht shprehja
i   1 ose j   1 .

>> i=sqrt(-1)
i=
0 + 1.0000i

Numrat kompleksë munden sikurse në matematikë të definohen në dy mënyra.

z  x  iy Forma algjebrike
ku x pjesa reale , kurse pjesa imagjinare e numrit kompleks.

w  re i Forma eksponenciale.
Ku r moduli, kurse b  argumenti i numrit kompleks.

Shembulli 8:
Të shkruhet numri z  2  3i .

>> z=2+3*i
z=
2.0000 + 3.0000i

Shembulli 9:
i
6
Të shkruhet numri w  2e .

>> w=2*exp(i*pi/6)
w=
1.7321 + 1.0000i

Sqarim:

8/224



Moduli, argumenti, pjesa reale dhe imagjinare e numrit kompleks fitohet duke shfrytëzuar
urdhërat abs, angle, real, imag, conj.

Shembull 10:
c=a+b
për :
a  2  3i dhe b 1- i

>> % shprehja për mbledhjen e dy numrave kompleks.

>> format short
>> a = 2 + 3i;
>> b = 1 - i;
>> c = a + b
c=
3.0000 + 2.0000i

Shembull 12:

>> c1=1-2i
c1 =
1.0000 - 2.0000i

Shembull 13:

Të llogaritet shprehja

c1  3(2  (1) * 3
a.

c 2  (  2)
b.

c. c3  6  i sin( 0.5)

d. c4  6  j sin( 0.5)

%ekuacioni duke përdor numrat kompleks shprehja a.
>> c1= 3*( 2-sqrt ( -1 ) *3 )

c1=
6.0000 - 9.0000i

%llogaritja e shprehjës b

9/224



» c2=sqrt ( -2 )
c2 =
0 + 1.4142i

%llogaritja e shprehjes c

>> c4=6+sin( .5 )*i
c4 =
6.0000 + 0.4794i

%llogaritja e shprehjes d

>> c5=6+sin( .5 )*j
c5 =
6.0000 + 0.4794i

Sqarim:
Për caktimin e moduli dhe argumentit të numrave kompleks shfrytëzojmë shprehjen:
a  ib  Me j
ku M-moduli , kurse  - argumenti

për shprehjen e më poshtme vlen :
M  a 2  b2
b
  arctg ( )
a
a  M cos 
b  M sin 

Kalimi nga koordinatat e dekartit në polare dhe anasjelltas i realizojmë duke përdor
urdhrat :
abs, angle, real i imag :

Shembull 14:

>>c1=1-2i; % shprehja
>>mag_c1=abs(c1) % moduli i numrit kompleks

mag_c1 =
2.2361
>>angle_c1=angle(c1) % argumenti i numrit kompleks

angle_c1 =
-1.1071
>>deg_c1=angle_c1*180/pi % këndi në grad

10/224



deg_c1 =
-63.4349
>>real_c1=real(c1) % pjesa reale

real_c1 =
1

>>imag_c1=imag(c1) % pjesa imagjinare

imag_c1 =
-2

Shembull 15:

>> z = 3 + 4 * i % pjesa reale 3, pjesa imagjinare 4

z=
3.0000 + 4.0000i
>> z = 3 + 4 * j

z=
3.0000 + 4.0000i
>> z = 3 + 4 * sqrt(-1)

z=
3.0000 + 4.0000i

Forma polare
>> z=5*exp(i*0.927295218) % kendi i dhene ne radiana

z=
3.0000 + 4.0000i

Shembull 16:

>> E=[1 2; 3 4] + i*[5 6; 7 8];
>> E=[1+5*i 2+6*i; 3+7*i 4+8*i]

11/224



E=
1.0000 + 5.0000i 2.0000 + 6.0000i
3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i

Funksionet kuadratike

ax 2  bx  c  0
Forma m,matematikore e zgjidhjes
 b  b 2  4ac
x1,2 
2a

Shembull 17:

Për a=1, b=5 dhe c=6, zgjidhja do të jepet në formën e më poshtme .

% detyra për funksionin kuadrarik
>>a=1; b=5; c=6;
>>x1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)

x1 =
-2

>>x2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)

x2 =
-3

>>a*x1^2+b*x1+c % vërtetimi i rezultatit

ans =
0

>>a*x2^2+b*x2+c % vërtetimi i rezultatit

ans =
0

Shembull 18:

12/224



2
Po i zgjedhim vlerën e koeficientet të ekuacionit të detyrës ax  bx  c  0
a=1, b=4 i c=13. atëherë zgjidhjet e ekuacionit do të jenë.

%detyra për funksionin kuadrarik për a=1, b=4 i c=13

>>a=1; b=4; c=13;
>>x1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)

x1 =
-2.0000+3.0000i

>>x2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)

x2 =
-2.0000-3.0000i

Vrejtje : Rrënjët janë komplekse të konjuguara me rezultat x1 =-2.0000+3.0000i
Dhe x2 =-2.0000-3.0000i

13/224



Vektorët dhe Matricat

Shembull 19:
Shkruani vektorin x=(1, 2, ... , 10).

>> x=1:10

x=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Urdhri length llogaritë gjatësinë e vektorit.

Shembull 20.a:

>> x=1:10

x=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

>> length(x)

ans =
10

Shembull 20.b:

Shkruani vektorin x=(1, 3, 5,7).

>> x=1:2:8
x=
1 3 5 7
Shembull 21:

>>A=[1; 4; 5 ];
>>B=[2; 3; 3 ];
>>D=[A; B]

D=1
4
5
2
3
3

14/224



Shembulli 22:

Të gjinden vlerat max dhe min të vektorëve

>> A = [8 4 4 1 7 11 2 0];
>> max(A)

ans =
11

>> min(A)

ans =
0

Shembull 23:

Produkti i vektorit me vetveten

>>J=[0; 3; 4 ];

>>J.*J

a= 25

>>a=sum(J.*J)

ans= 0
9
16

Shembulli 24:

Të paraqitet matrica A

>> A = [-2 2; 4 1 ]

A=
-2 2
4 1

Shembulli 25:

15/224



Të llogaritet prodhimi i matricës (A )me skalar (2).

>> A = [-2 2; 4 1 ]
>>C=2*A

C=
-4 4
8 2

Shembull 26:

Matrica e transformuar e matricës A

>> A = [-1 2 0; 6 4 1 ]

A=
-1 2 0
6 4 1

>> B=A’

B=

-1 6
2 4
0 1

Shembull 27:

Numri i ai antarëve të matricës

>> A = [2;3;3;4;5];
>> length(A)

ans =
5

>> B = [1;1];
>> length(B)

ans =
2

Shembull 28:

16/224



Numri max i vektorit të dhënë

>> A = [8 4 4 1 7 11 2 0];
>> max(A)

ans =
11
>> min(A)

ans =
0

Shembull 29.a:

>> u = [i; 1 + 2i; 4];
>> sum(u.*u)

ans =
12.
Shembull 29.b:

Matrica e transformuar e matricës u

>> u = [i; 1 + 2i; 4];
>> v = u'

v=
0 – 1.0000i 1.0000 – 2.0000i 4.0000

Shembull 29.c:

>> v = conj(u)

v=
0 – 1.0000i
1.0000 – 2.0000i
4.0000

Shembull 29.d:

>> b = sum(v.*u)

b=
22

17/224



>> magu = sqrt(b)

magu =
4.6904

Shembull 30:
Gjetja e antarit ai të vektorit të dhënë A

>> A = [12; 17; –2; 0; 4; 4; 11; 19; 27];
>> A(2)

ans =
17
>> A(8)

ans =
19

Matrica është fushë e numrave e cila definohet me dy indekse mxn, ku indeksi i parë m
nënkupton numrin e rreshtit , kurse i dyti n numrin e kolonës. Elementet zakonisht
vendosen në rreshta, kurse në kllapa [ , ] vendosen lista e elementeve. Lista e elementeve
ndahet me presje apo me pikëpresje. Tasteri Enter ose pikëpresje ( ; ) shfrytëzohet për
ndarjen rreshtave të matricës.

Shembull 31:
shkruaje matricën :
 1  2 4
A   6 8 5
 
 7  4 2
 

>> A=[1 -2 4; -6 8 5; 7 -4 2]

A=
1 -2 4
-6 8 5
7 -4 2

Forma e dytë për shkrimin e matricës është :

>> A=[1, -2, 4; -6, 8, 5; 7, -4, 2]

18/224



A=
1 -2 4
-6 8 5
7 -4 2

Matricat me strukturë speciale

Urdhri eye na jep matricën njësi (tabela 1).

Urdhri Përshkrimi
eye(n) Matrica njësi me dimensione nxn
eye(m,n) Matrica njësi me dimensione mxn
eye(size(A)) Matrica njësi me dimensione të matricës A

Shembull 35:

Të Formohet matricën me dy rreshta dhe tri kolona elementet e së cilës në diagonalen
kryesore janë 1, kurse elementet tjera janë 0 .

>> X=eye(2,3)

X=
1 0 0
0 1 0

Shembull 32:

Të formohet matricën njësi, dimensionet e matricës janë dhënë nga shembulli i latë
shënuar.
>> A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] ;
>>X=eye(size(A))
X=
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Urdhëri ones i jep matricës elementet e së cilës janë të gjithë zero (tabela 2).

Urdhëri Përshkrimi
Matrica me dimensione nxn ku të gjithë elementet
ones(n)
janë një 1

19/224



Matrica me dimensione mxn nxn ku të gjithë
ones(m,n)
elementet janë një 1
Matrica me dimensione të matricës së dhënë A nxn
ones(size(A))
ku të gjithë elementet janë një 1

Shembull 33:

Të formohet matricën kuadratike të rendit 2 ku të gjithë elementet janë një.

>> X=ones(2)

X=
1 1
1 1

Urdhëri zeros i jepet matricës ku elementet e së cilës janë zero (tabela 3).

Urdhëri Përshkrimi
Matrica me dimensione nxn ku të gjithë elementet
zeros(n)
janë zero
Matrica me dimensione mxn ku të gjithë elementet
zeros(m,n)
janë zero
Matrica me dimensione të matricës së dhënë A nxn
zeros(size(A))
ku të gjithë elementet janë zero

Shembull 34:

Të formohet matricën me dy rreshta dhe dy kolona ku të gjithë elementet janë të njëjtë
pra .

>> X=zeros(2,3)
X=
0 0 0
0 0 0

Shembull 35:

Të formohet matrica e rendit të tretë duke shfrytëzuar urdhrin magic

Urdhri magic(n) i jepen matricës me elemente të plotë në mesë 1 dhe n2, dimensioni
nxn, duke marrë parasysh që mbledhja e elementeve në rreshta dhe kolona është
konstante

20/224



>> X3=magic(3)

X3=
8 1 6
3 5 7
4 9 2

Shembull 46:

Urdhri diag(A) fiton matricën diagonale të matricës së dhënë A.

Të formohet matrica duke shfrytëzuar urdhrin diag.

>> A , X1=diag(A) , X2=diag(diag(A))
A=
1 2 3
2 -3 1
-4 -5 -6

X1 =
1
-3
-6

X2 =
1 0 0
0 -3 0
0 0 -6

Në operacionet bazike me matricat hyjnë:

 mbledhja

21/224



 zbritja
 shumëzimi
 pjesëtimi

Mbledhja dhe zbritja e matricave

Mbledhja dhe zbritja e matricave realizohet duke u mbledhur respektivisht duke u zbritur
elementet e caktua të matricës. Në këto raste duhet të kihet parasysh që matricat të jenë të
njëjtit dimension.

Shembull 37:
Të mblidhen matricat A dhe B, ku matrica C është matrica e fituar.

>> A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] ;
>>B=[2, 3,-4; 1, -1, 1; 3, 2, -1] , C=A+B

B=

2 3 -4
1 -1 1
3 2 -1

C=

3 5 -1
3 -4 2
-1 -3 -7

Shembull 38:

Nga matrica A të zbritet skalari 1 për A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]

>> D=A-1

D=
0 1 2
1 -4 0
-5 -6 -7

Vërejtje : Në Shembullin paraprak, skalarin 1 MATLAB-i automatikisht e kupton si
matricë me dimensione të njëjta sikurse matrica A me të gjithë elementet e barabartë me
1

22/224



Shumëzimi i matricave
Shumëzimi i matricave me skalar realizohet ashtu që secili element i matricës e
shumëzojmë me vlerën e skalarit të dhënë. Duhet të kihet parasysh që vlen ligji. kA=Ak.

Shembull 39.

Nëse k=5, cakto F=5A. Për A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]

>>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]
>> A , F=5*A

A=
1 2 3
2 -3 1
-4 -5 -6

F=
5 10 15
10 -15 5
-20 -25 -30

a b
Shumimi i dy matricave : Prodhimi i matricës A={ i , j } (dimensione mxr) dhe B={ i , j }
(dimensione rxn) është matrica e re C (dimensione mxn) elementet e së cilës janë :
r
cij   ai ,k bk , j
k 1 .

Shembull 40:

Shumëzo matricën A dhe A1, për A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]

>>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]
>> A1=[1, 2 ; 2, -3 ; 1, 6] , P=A*A1

A=
1 2 3
2 -3 1
-4 -5 -6

A1 =
1 2

23/224



2 -3
1 6
P=
8 14
-3 19
-20 -29

Shembull 41:

Nëse kishim dëshiruar që të shumëzojmë matricën me rend jo të njëjtë A1*A, atëherë do
të fitojmë mesazhin

>> A1*A
??? Error using ==> *
Inner matrix dimensions must agree.

Matrica e transponuar

Transponimi i matricave me koeficient real është ndërrimi i rreshtave me shtyllat e
matricës . Realizohet me përdorimin e operatorit ' .

Shembull 42:
Është dhënë matrica e transponuar A, ku E është matrica e fituar për

%vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]

>>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]
>> E=A'

A=
1 2 3
2 -3 1
-4 -5 -6

E=
1 2 -4
2 -3 -5
3 1 -6

Shembull 43:

24/224



Tek matricat e transponuar ku si elemente të matricës janë numrat kompleksë,
MATLAB-i kryen të ashtu quajturën transponimin kompleksë, ku njëherësh e transponon
matricën dhe njëkohësisht e konjugon çdo element të tij.

>> Z=[1+2*i , 2-6*i ; 3+7*i , 4+8*i] , W=Z'

Z=
1.0000 + 2.0000i 2.0000 - 6.0000i
3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i

W=
1.0000 - 2.0000i 3.0000 - 7.0000i
2.0000 + 6.0000i 4.0000 - 8.0000i

Determinanta

Determinanta e matricës kuadratike është numri i cili llogaritet duke përdor operatorin
det.

Shembull 44:

Të llogaritet determinanta A.

% vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]
>>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]
>> D=det(A)

A=
1 2 3
2 -3 1
-4 -5 -6

D=
-27

Nëse është në pyetje matrica me elemente komplekse mundemi njëkohësisht të
shfrytëzojmë dy format e shkrimit të matricës .

Shembull 45:

Shkruani matricën .

25/224



 1  5i 2  6i 
Z 
 3  7i 4  8i 

Matricën e shënojmë ashtu që në formë të veçanta pjesën reale dhe në formë tjetër pjesën
, pra i ndajmë pjesën reale nga ajo imagjinare.

>> a=[-1, 2; 3, 4] ; b=[5, -6; 7, 8] ; Z=a+b*i

Z=
-1.0000 + 5.0000i 2.0000 - 6.0000i

3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i

Shembull 46:

Shkruaje matricën Z nga shembulli paraprak ashtu që elementet i vendosim menjëherë
edhe pjesën reale edhe atë imagjinare.

>> Z=[-1+5*i , 2-6*i ; 3+7*i , 4+8*i]

Z=
-1.0000 + 5.0000i 2.0000 - 6.0000i

3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i

Në shembujt e më sipërm pamë se si bëhet shkruarja e matricave në programin Matlab.
Tani do të njihemi me matrica speciale, operacionet me matrica dhe veprimet tjera me
matrica
Elementet e matricës A të cilat ndodhen në rreshtin e i-së dhe kolonës j-mundë të fitohen
me përdorimin e urdhrit A(i,j).

Shembull 47:

1 2 3
 2 3 1 
A 
  4  5  6
 

Nga matrica ndaj elementin në rreshtin e dytë dhe kolonën e tretë.

>> A=[1 2 3 ; 2 -3 1 ; -4 -5 -6] ;

26/224



>> A(2 , 3)

ans =
1

Nëse dëshirojmë të ndajmë të gjithë rreshtin apo kolonën shfrytëzojmë komandën A(k,:),
A(:,k), ku k paraqet rreshtin e kërkuar, ose kolonën.

Shembull 48:

Të caktohet dimensionet e matricës së dhënë A nga shembulli i më sipërm, duke
shfrytëzuar urdhrin size.
>> size(A)

ans =
3 3

Shembull 49:

Të caktohet dimensionet e matricës së dhënë A nga shembulli i më sipërm , duke
shfrytëzuar urdhrin [m,n]=size(A).

>> [m, n]=size(A)
m=
3
n=
3

Shembull 50:

>> A = [-1,6; 7, 11];
>>B = [2,0,1;-1,7,4; 3,0,1]
>>A = [-2 2; 4 1]

B=

2 0 1
-1 7 4
3 0 1

27/224



A=

-2 2
4 1

>> C = 2*A

C=

-4 4
8 2

Shembull 51.:

>> A = [5 1; 0 9];
>> B = [2 –2; 1 1];
>> A + B

ans =
7 –1
1 10
>> A – B
ans =
3 3
–1 8

Shembull 52.a:

>> A = [-1 2 0; 6 4 1]

A=
–1 2 0
6 4 1
>> B = A'

B=
–1 6
2 4
0 1

Shembull 52.b:

>> C = [1 + i, 4 -i; 5 + 2*i, 3 -3*i]

28/224



C=
1.0000 + 1.0000i 4.0000 – 1.0000i
5.0000 + 2.0000i 3.0000 – 3.0000i

>> D = C'

D=
1.0000 – 1.0000i 5.0000 – 2.0000i
4.0000 + 1.0000i 3.0000 + 3.0000i

Shembull 52.c:

>> A = [12 3; –1 6]; B = [4 2; 9 1];
>> C = A.*B

C=
48 6
–9 6

Shembull 52.d:

>> A = [2 1; 1 2]; B = [3 4; 5 6];
>> A.*B
ans =
6 4
5 12

>> A*B
ans =
11 14
13 16

Shembull 52.f:

>> A = [1 4; 8 0; –1 3]; B = [–1 7 4; 2 1 –2];
>> C = A*B
C=
7 11 –4
–8 56 32
7 –4 –10

29/224



Shembull 52.g:

>> A = [1 2 3 4];
>> b = 2;
>> C = b + A

C=
3 4 5 6

Shembull 52.h:

>>A = [2 4 6 8]; B = [2 2 3 1];
>> C = A./B

C=
1 2 2 8

>> C = A.B

C=
1.0000 0.5000 0.5000 0.1250

Shembull 52.i:

>> B = [2 4; -1 6]

B=
2 4
–1 6
>> B.^2
ans =
4 16
1 36

Shembull 53:

30/224



Caktimi i anëtarit te matricës

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9

>> A(2,3)

ans =
6

>> A(:,2)

ans =
2
5
8

>> A(:,2:3)

ans =
2 3
5 6
8 9

>> A(2:3,1:2)

ans =
4 5
7 8

Matrica inverse

31/224



1
A 1  adjA
Nga definim matematikë det( A) .
1
Matrica inverse A , matrica e dhënë A në MATLAB caktohet me ndihmën e
operatorit inv(A).

Shembull 54:

Gjeni matricën inverse, të matricës së dhënë A.

>>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]
>> A ; Ai=inv(A)

Ai =
-0.8519 0.1111 -0.4074
-0.2963 -0.2222 -0.1852
0.8148 0.1111 0.2593

Fuqizimi i matricës

Nëse A matricë kuadratike , kurse p numër i plotë pozitiv, fuqizimin e matricës mundë
A p  1 4 4 2 4 43
AAAAL AAAA
p
ta definojmë në formën vijuese: .
p
Për matrica rregullare (determinanta e ndryshueshme prej zeros) A, vlen A  A
1
.  p

Fuqizimi i matricave kuadratike realizohet me ndihmën e operatorit ^ , ashtu që
^ ^
shprehja A p dhe A ( p) jep p -në dhe  p -në shkallën e matricës A .

Shembull 55:
2 2
Për matricën rregullare A të caktohet A , A dhe të vërtetohet a vlen A  A  I , ku
2 2

I matrica njësi me dimensione të njëjta sikurse matrica A.

>> A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]
>> J=A^2 , M=A^(-2) , I=J*M

J=
-7 -19 -13
-8 8 -3
10 37 19

32/224



M=
0.3608 -0.1646 0.2209
0.1674 -0.0041 0.1139
-0.5158 0.0947 -0.2853

I=
1.0000 0.0000 -0.0000
-0.0000 1.0000 0.0000
-0.0000 -0.0000 1.0000

Pjesëtimi i matricave

Në llogaritjet për matrica operacioni i pjesëtimit nuk është i definuar kurse në MATLAB
ekzistojnë dy operator për pjesëtim:
nënkupton “pjesëtim ” nga e majta
/ nënkupton “pjesëtim ” nga e djathta

Le të jetë A matricë rregullare kuadratike

A B  A1 * B A / B  B * A1
Rezultati fitohet direkt, pa llogaritjen e matricës inverse.

Shembull 56:

Në shembullin e ardhshëm mundë të shohim ndryshimin në mesë operatorit “pjesëtimi”
nga e majta dhe nga e djathta /.

% vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6], B=[2, 3,-4; 1 -1, 1; 3, 2, -1]

>>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6], B=[2, 3,-4; 1 -1, 1; 3, 2, -1]
>> A , B , K=AB , K1=A/B

A=
1 2 3
2 -3 1
-4 -5 -6

B=
2 3 -4
1 -1 1

33/224



3 2 -1

K=
-2.8148 -3.4815 3.9259
-1.3704 -1.0370 1.1481
2.5185 2.8519 -3.4074

K1 =
-2.2000 -3.0000 2.8000
0.9000 3.5000 -1.1000
4.6000 6.0000 -6.4000

1
Po theksojmë se X=AB (X= A B) paraqet zgjedhjen e ekuacionit AX=B, kurse
1
X=A/B (X=B A ), paraqet zgjedhjen e ekuacionit XA=B.

Shembull 57:
Të zgjidhet ekuacioni i matricës AX=B.
1 2 3 1 
A  2 3 1  B 2 
  
  4  5  6
  dhe   2
 .
Ku matricat e dhëna janë:
1
(vërejtje : AX  B  X  A B )
>>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]
>>B=[1; 2; -2]

>> A ; B ; X=inv(A)*B

X=
0.1852
-0.3704
0.5185

%Ose forma tjetër
>> X=AB

X=
0.1852
-0.3704
0.5185

Shembull 58:

34/224



Të pjesëtohet matrica A me skalarin 2, nga ana e majta dhe e djathta .

% pjesëtimi nga ana e majtë
>> A2
??? Error using ==>
Matrix dimensions must agree.

% pjesëtimi nga ana e djathtë

>> A/2

ans =
0.5000 1.0000 1.5000
1.0000 -1.5000 0.5000
-2.0000 -2.5000 -3.0000

Shembull 59.a:

Shumëzimi i matricës A dhe matricës B

>> A = [12 3; -1 6]; B = [4 2; 9 1];
>> C = A.*B

C=

48 6
-9 6

Shembull 59.b:


>> A = [2 1; 1 2]; B = [3 4; 5 6];
>> A.*B

ans =
6 4
5 12

Shembull 59.c:

35/224




>> A = [2 1; 1 2]; B = [3 4; 5 6];
>> A*B
ans =
11 14
13 16

Shembull 60:

>> A = [1 4; 8 0; -1 3]; B = [-1 7 4; 2 1 -2];
>> C = A*B

C=
7 11 –4
–8 56 32
7 –4 –10

Ekuacionet algjebrike dhe transandente

Shembull 61.a:

Të zgjidhet ekuacioni x+5=0 duke përdor urdhrin (solove).

% zgjidhet ekuacioni x+5=0
>> eq1='x+5=0';
>> solve(eq1)

ans =
-5

Shembull 61.b:

% zgjidhet ekuacioni x+5=0

>> solve('x+5=0')

36/224



>> syms x

ans =
-5

Shembull 61.c:

>> % zgjidhet ekuacioni x+5=0
>> solve(x+5)

ans =
-5

Shembull 61.d:

>> % zgjidhet ekuacioni x+5=0
>> syms x
>> x=solve(x+5)

x=
-5

Shembull 62:

Të zgjidhet ekuacioni
e 2 x  3e x  54

>> solve('exp(2*x)+3*exp(x)=54')

ans =

log(6)
log(9)+i*pi

Shembull 64:

Të zgjidhet ekuacioni y2  3y  2  0

>> eq2='y^2+3*y+2=0';

37/224



>> solve(eq2)

ans =
[-2]
[-1]
Zgjidhja do të jetë për y1=-2 dhe y2=-1

Shembull 65:

>> eq3='x^2+9*y^4=0‘;
>> solve(eq3) % Note that x is presumed to ve the unknown variable

ans =
[3*i*y^2]
[-3*i*y^2]

38/224



Paraqitjet grafike funksionet me një të panohur
Njëra ndër përparësitë ndoshta më të mëdha të programit Matlab është mundësia
shumë e madhe e paraqitjeve grafike.
Në Programin Matlab ekzistojnë shumë komanda përmes së cilave paraqiten format
grafike e të dhënave 2D ose 3D. Forma grafike e fituara mundë të ruhen në formate të
tilla ashtu që mundë të ruhen dhe të përdoren ne programet tjera.
MATLABI posedon mundësi të mëdha të paraqitjeve grafike. Urdhri bazikë për
vizatimin është plot.
Mënyra më e lehtë e paraqitjes grafike në boshtin kordinativ është shfrytëzimi i i urdhrit
plot(x).
Me rastin e vizatimit bëhet hapja e dritarja për grafikë në të cilën vlejnë të gjitha rregullat
sikurse edhe në dritaret e sistemit operativ Windows.

Lista e urdhrave dhe funksioneve të shfrytëzuar

plot vizatimi linear
zplot grafiku i funksionit
fplot grafiku i funksionit
subplot ndarja në pjesë e dritares grafike
figure dritarja për vizatim
title emërtimi i grafikut
xlabel teksti nën boshtin x
ylabel teksti nën boshtin y
zlabel teksti nën boshtin z
text përshkrimi tekstual
gtext vendosja e tekstit me prekjen me mi
grid rrjeta
hold on mbajtja e grafikut (figurës) në dritare
hold off heqja e grafikut (figurës ) nga dritarja
syms definohet ndryshorja simbolike
meshgrid Shfrytëzohet për vizatim tre dimensional

39/224



Shembull 66:

Të vizatohet vektori me koordinatat e dhëna .

>> x=[1,2,4,8,16];
>> plot(x)

16

14

12

10

8

6

4

2

0
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Nga ky shembull mundemi të shohim se MATLABI për vlera të ndryshores x ka fituar
shumë vlera, kurse grafiku ka vlerat e x-it njashtu pikat e grafikut të vizatuar kanë
koordinatat     
1, x 1 , 2, x  2   ....

Në rastin e përgjithshëm urdhri plot(x) vizaton grafikë duke i lidhë pikat (i, x(i)), i=1, 2,
3,…, N, ku N gjatësia e vektorit.

Vlerat e ndryshores mundë të jepen në formë të pa mvarura. Në këtë rast shfrytëzohet
urdhri plot(x,y).

40/224



Shembull 67:

Të vizatohet vekori me koordinatat e dhëna. x=[1,2,4,8,16];

>> x=[1,2,4,8,16];
>> plot(x)
>> x=[1 2 3 4 5];
>> y=[-2,3,4,-5,6];
>> plot(x,y)

Figura 7. 1

Shembull 68:
2
Të paraqitet grafikisht funksioni y  x sin xx  në kufijtë e dhënë. -

>> x=-4:.1:4;
>> y=x.*sin(pi*x).^2;
>> plot(x,y)

41/224



Vrejtje: Në sistemin e njëjtë kordinativ mundë të vizatohen më shumë funksione.

Shembull 69:
x
Të paraqitet grafikisht funksioni y  2 x dhe y  xe në sistemin e njëjtë kordinativ

>> x1=-1:1:1;y1=2*x1;
>> x2=-1:.1:1;y2=x2.*exp(x2);
>> plot(x1,y1,x2,y2)
3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

42/224



Forma e paraqitjes dhe vijave mundë të përdorin urdhrin plot.

Për caktimin e llojit të vijave dhe formën mundë të shfrytëzojmë urdhrin plot(x,y,'lloji i
vijave'). Tabela 7. 1 Mundëson zgjedhjen e llojit të vijave.

Simboli I vijave
pershkrimi
. Pika
o rrethi
h h-shenja
+ plusi
* ylli
- Vija e plotë
-. pikë – vijë
: dypika
-- Vija me ndërprerje

Tabela 7. 1

Tabela 7. 2 Mundëson zgjedhjen e llojit të ngjyrës së vijës.
Tabela me anën e e së cilës mundemi të caktojm ngjyrat e lakoreve në Matlab.

Ngjyra Simboli
Bardhe w
E zeze k
E kalter b
E kuqe r
E verdhe y
vjollce c
E gjelber g

Tabela 7. 2

Shembull 70:

Nëse shfrytëzojmë shembullin 69 dhe vendosim për llojin e vijave dhe ngjyrën e tyre.

>> x1=-1:1:1;y1=2*x1;
>> x2=-1:.1:1;y2=x2.*exp(x2);
>> plot(x1,y1,'g',x2,y2,'r+')

43/224



3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Për paraqitje grafike të funksioneve mundemi ta shfrytëzojmë edhe urdhrin
fplot(f,xmin,xmax).

f  x
Funksionin që e vizatojmë ka formën , ku x është vektor ku elementi i parë xmin,
kurse elementi i fundit xmax.

Në urdhrin fplot funksioni jepet me shkurtesën ' f '.

Shembull 71:
2
Të paraqiten grafikisht funksioni y  x  9 në domenin [-3 , 3].

>> f='x^2-9';
>> fplot(f,[-3,3])

44/224



0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9
-3 -2 -1 0 1 2 3

Urdhri ezplot mundëson vizatatimin e funksioneve në domenin e definuar:

2  x  2 .
f  f  x , y
Për vizatimin e funksioneve të dhëna implicite përdorim urdhrin ezplot(f).
Me këtë urdhër vizatohet grafiku i funksionit 
f x, y  0
në domenin fikës
2  x  2 dhe 2  y  2 .

Nëse është e nevojshme të ndërrohet domeni i funksionit atëherë mundë të nderohet dhe
urdhri ka formën ezplot(f,[a,b]). Me këtë urdhër vizatohet grafiku i funksionit   në
f x
intervalin a  x  b .
Urdhri ezplot(f,[a,b]) bën vizatimin e grafikut të funksionit 
f x, y  0
në domenin
a  x  b dhe a  y  b.

Shembull 72:
x
Të vizatohet grafiku i funksionit y  xe .

>> y='x*exp(x)';ezplot(y)

45/224



x exp(x)
1000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

0

-6 -4 -2 0 2 4 6
x

Vrejtje:
Mënyra tjetër që simbolikisht ta paraqesim funksionin është që së pari definojmë
ndryshoret e pa varura x si ndryshore simbolike duke shfrytëzuar urdhrin syms.

Shfrytëzimin e këtij urdhri mundë ta shohim në shembullin e më poshtëm.

Shembull 73:

Të vizatohet grafiku i funksionit nga shembulli i më sipërm duke përdor urdhrin sym.
>> syms x
>> y=x*exp(x);ezplot(y)

46/224



x exp(x)
1000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

0

-6 -4 -2 0 2 4 6
x

Shembull 74:
Të vizatohet grafiku i funksionit implicit .
x2 y2
 1
2 4 .

>> ezplot('x^2/2+y^2/4-1')

x 2/2+y 2/4-1 = 0
6

4

2

0
y

-2

-4

-6
-6 -4 -2 0 2 4 6
x

47/224



Shënimet në boshtet e grafikut
Programi Matlab mundëson vendosjen e shënimeve në boshte si tekste të ndryshme dhe
forma të ndryshme të paraqitjes plotësuese me qëllim të sqarimeve më të mira. Disa nga
ato janë paraqitur në tabelën 7. 3.

shënjimi përshkrimi
title Emri i grafikut
xlabel Emri i boshtit x
ylabel Emri i boshtit y
text Emetimi i tekstit në grafikë
Teksti në pozicionin e vendosjes së
gtext
miut
grid Vizatimi i vijave të rrjetës

Tabela 7. 3

Teksti në urdhëratë e lartshënuara (tabelë) futet në kllapa dhe mbyllet në shojza . Urdhri
hold on e mbanë foton në ekran. E kundërta me atë është urdhri hold off .

Shembull 75:
Të vizatohet grafiku i funksionit y  sin x dhe të shfrytëzohen urdhëratë nga tabela 3

>> syms x
>> y=sin(x);
>> ezplot(y)
>> hold on
>> title('sinus')
>> xlabel('boshti x')
>> ylabel('boshti y')
>> text(0,0,'zero')
>> gtext('max')
>> grid

48/224



sinus

1

0.5
boshti y

0 zero

-0.5

-1

-6 -4 -2 0 2 4 6
boshti x

Shembull 76:
2 2
Të vizatohet grafiku i funksionit y  a  x .

>> x=-5 : .5 : 5;
>> a=1 : 5;
>> [xx , aa]=meshgrid(x .^ 2 , a .^ 2);
>> plot(x , xx-aa , 'k')

25

20

15

10

5

0

-5

-10

-15

-20

-25
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

49/224



Me shfrytëzimin e urdhrit meshgrid i cili transformon vektorin x dhe y në fusha dy
dimensionale të cilat mundë të shfrytëzohen për vizatimin edhe në fusha tre
dimensionale

Urdhri subplot(m,n,p) nderon dimensionin e grafikut e cila mundëson në formimin e më
shumë grafikeve në dritare. Dritarja ndahet në m  n pjesë, kurse grafiku vizatohet në
përpjesën p të ndarjes së dritares.

Shembull 77:

Me shfrytëzimin e urdhrit subplot të vizatohet grafiku i katër funksioneve:

y1=x1
y2=x2*exp(x2)
y3=cos(x3)
z=exp(x4*i)
Zgjidhje

>> x1=-1:1:1;y1=x1;
>> x2=0:0.5:1;y2=x2.*exp(x2);
>> x3=-pi:pi;y3=cos(x3);
>> x4=0:pi/8:2*pi;z=exp(x4*i);

>> subplot(221), plot(x1,y1)
>> subplot(224), plot(z)

1 3

0.5
2
0
1
-0.5

-1 0
-1 -0.5 0 0.5 1 0 0.5 1

1 1

0.5 0.5

0 0

-0.5 -0.5

-1 -1
-4 -2 0 2 4 -1 -0.5 0 0.5 1

50/224



Paraqitjet grafike e funksioneve të ndryshme.

Shembull 78:

Të paraqesim funksionin y=sin(x) për x prej 0 deri 2  . Së pari duhet të definohet numri
i pikave në intervalin 0 dhe 2  .

>> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 );
>> y=sin ( x );
>> plot ( x, y )

Pas së cilës paraqitet grafiku i më poshtëm.
1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 1 2 3 4 5 6 7

Shembull 79:
2
y=x në intervalin prej -2 deri 2.

>> x = -2 : 0.01 : 2 ;
>> y=x.^2 ;
>> plot ( x , y )

51/224



4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Shembull 80:

Me shfrytëzimin e komandës plot mundë ti paraqesim funksionet për më shumë
funksione.

y=sin ( x );
z=cos ( x );

>> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 );
>> y=sin ( x );
>> z=cos ( x );
>>plot ( x, y, x, z )

52/224



1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 1 2 3 4 5 6 7

Shënimi i grafikës dhe boshteve duke përdor urdhrat :
title, xlabel dhe ylabel

Shembull 81:

>> x=-4*pi : pi/100 : 4*pi ;
>> y=sin ( x );
>> plot ( x , y )
>> title ( ' Grafiku i funksionit y=sin ( x ) ' )
>> xlabel ( ' vlera e ndryshores x ' )

53/224



Grafiku i funksionit y=sin ( x )
1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
-15 -10 -5 0 5 10 15
vlera e ndryshores x

Shembull 82:

Të vizatohet grafiku me pika në vendet e prerjes

>> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 );
>> y=sin ( x );
>> plot ( x , y , x , y , '+' )

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 1 2 3 4 5 6 7

Në shembujt e deritanishëm grafiku është paraqitur në një ekran të plotë, por ka
mundësi që të paraqiten më shumë forma grafike të ndryshme në më shumë ekrane
(maksimalisht 4) për çka përdoret komanda subPLOT.
Forma e përgjithshme e kësaj komande është subplot(mnp).

54/224



Forma tre dimensionale e grafikut

Siç thamë më lartë funksionet grafike në Matlab mundë të paraqiten edhe në formë 3D

Shembull 83:

Të paraqitet grafikisht funksioni Z=cos(x)sin(x)

>> [x,y] = meshgrid(-2*pi:0.1:2*pi);
>> z = cos(x).*sin(y);
>> mesh(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')

1

0.5

0
z

-0.5

-1
10
5 10
0 5
0
-5 -5
y -10 -10
x

Shembull 84:

Të paraqitet grafikisht funksioni

Z  ye  x2  y2
>> [x,y] = meshgrid(-2:0.1:2);
>> z = y.*exp(-x.^2-y.^2);
>> mesh(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')
>> surf(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')

55/224



0.5

0
z

-0.5
2
1 2
0 1
0
-1 -1
y -2 -2
x

Shembull 85:

Të paraqesim funksionin y=sin(x) për x prej 0 deri 2  . Së pari duhet të definohet numri
i pikave në intervalin 0 dhe 2  .

>> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 );
>>y=sin ( x );
>>plot ( x, y )

Pas së cilës paraqitet grafiku i më poshtëm.

Shembull 86:
2
Ose për shembull funksioni y=x në interval prej -2 deri 2.

>>x =-2 : 0.01 : 2 ;
>> y=x.^2 ;
>> plot ( x , y )

56/224



Shembull 87:

Me shfrytëyimin e komandes plot mundë ti paraqesim funksionet për më shumë
funksione.

>> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 );
>> y=sin ( x );
>> z=cos ( x );
>> plot ( x, y, x, z )

57/224



Shembull 88:
f (t )  e  t sin( t )
Per kufijt 0 deri në 4 me hap 0,01

Zgjidhje

>> t = [0:0.01:4];
>> f = exp(-2*t).*sin(t);
>> plot(t, f)
0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

-0.02
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Shembull 89:

Të vizatohen dy funksione
f (t )  e  t
g (t )  e 2t
për intervalin 0 ≤t≤5:
Zgjidhje

% se pari definohet intervali i perkufizimit
>> t = [0:0.01:5];
% pastaj definohen te dy funksionet :
>> f=exp(-t);
>> g = exp(-2*t);
%paraqitja grafike
>> plot(t,f,t,g,'--')

58/224



1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Shembull 90:

Të definohen funksionet trigonometrike dhe hiperbollike
y = sinh(x);
z = cosh(x);
per kufijte 0<x<2 për hapin 0,01

Zgjidhje

% se pari e definojm vlerat per x:
>> x = [0:0.01:2];
>> y = sinh(x);
>> z = cosh(x);
% po paraqesim formen e paraqitjes grafike
>> plot(x,y,x,z,'-.'),xlabel('x'),ylabel('Potenciali'),legend('sinh(x)','cosh(x)')
4
sinh(x)
3.5 cosh(x)

3

2.5
Potenciali

2

1.5

1

0.5

0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x

59/224



Shembull 91:

y = sinh(x);
z = cosh(x);
Për vlera -5<x<5.

Zgjidhje

>> x = [-5:0.01:5];
>> y = sinh(x);
>> z = cosh(x);
%forma e paraqitjes se grafikut permes ngjyrave te kuqe
>> plot(x,y,'r',x,z,'b')
%forma e paraqitjes se grafikut me nderprerje permes ngjyrave te kalter
>> plot(x,y,'r',x,z,'b--')

80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

60/224



Shembull 92:

Të paraqitet grafiku për funksionin
y = sin(2x + 3) për 0 <x <5.

Zgjidhje

>> x = [0:0.01:5];
>> y = sin(2*x + 3);
>> plot(x,y), axis([0 5 -1 1])

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Shembull 93:

x(t) = t
y(t) = t2
z(t) = t3 0 ≤ t ≤ 2.0

Zgjidhje

>> t = linspace(0, 2,100) ;
>> x = t ; y = t.^2 ; z = t.^3;
>> plot3(x, y, z), grid

61/224



8

6

4

2

0
4
3 2
2 1.5
1
1 0.5
0 0

Shembull 94:

Të vizatohet grafiku i funksionit y ( x)  e 0.7 x sin x
Nëse w = 15 rad/s, dhe 0 ≤ x ≤ 15. me hap rritje prej 0.1.

Zgjidhje
>> x = [0 : 0.1 : 15];
>> w = 15;
>> y = exp(- 0.7*x).*sin(w*x);
>> plot(x, y)
>> title('y(x) = e^-^0^.^7^x sinomega x')
>> xlabel('x')
>> ylabel('y')

62/224



y(x) = e-0.7x sin x
1

0.8

0.6

0.4

0.2
y

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8
0 5 10 15
x

Shembull 95:

Të vizatohet grafiku i funksionit y ( x)  e 0.6 x cos x
Nëse ω =10 rad/s, dhe 0 ≤ x ≤ 15. me hapë të rritjes prej 0.05.

Zgjidhje
>> x = [0 : 0.1 : 15];
>> w = 10;
>> y = exp(- 0.6*x).*cos(w*x);
>> plot(x, y)
>> title('y(x) = e^-^0^.^6^x cosomega x')
>> xlabel('x')
>> ylabel('y')

63/224



y(x) = e-0.6x cos x
1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
y

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 5 10 15
x

Shembull 96:

Te vizatohet grafiku i funksionit

y(x) = e–0.7x sin x
nese w = 15 rad/s, dhe 0 ≤ x ≤ 15. x rritet per 0,1

Zgjidhje .

>> x = [0 : 0.1 : 15];
>> w = 15;
>> y = exp(– 0.7*x).*sin(w*x);
>> plot(x, y)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8
0 5 10 15

64/224



Shembull 97:

Te vizatohet grafiku i funksionit y(x) = e–0.6x cos x
Nëse  = 10 rad/s, dhe 0 ≤ x ≤ 15. x rritet për 0.05.

Zgjidhje .

x = [0 : 0.1 : 15];
w = 10;
y = exp(- 0.6*x).*cos(w*x);
plot(x, y)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 5 10 15

Shembull 98:

Të vizatohet grafiku i funksionit polar.

r 2  5 cos 3t për 0≤t≤2π

Zgjidhje

>> t = linspace(0, 2*pi, 200);
>> r = sqrt(abs(5*cos(3*t)));
>> % forma polare e grafikut
>> polar(t, r)

65/224



90
2.5
120 60
2

1.5
150 30
1

0.5

180 0

210 330

240 300
270

Shembull 99:

Të vizatohet grafiku i funksionit polar.
r 2  5 cos 3t për 0≤t≤2π
x  r cos t y  r sin t

Zgjidhje
>> t = linspace(0, 2*pi, 200);
>> polar(t, r)
>> t = linspace(0, 2*pi, 200);
>> x = r.*cos(t);
>> y = r.*sin(t);
>> fill(x, y,' k'),
>> axis('square')

66/224



2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2
-3 -2 -1 0 1 2 3

Shembull 100:

Të vizatohet grafiku i funksionit

y1  e 2 x. cos x për 0≤t≤20
y1  e 2 x.

Zgjidhje
>> x = 1 : 0.1 : 20;
>> y1 = exp(- 2*x).*cos(x);
>> y2 = exp(2*x);
>> Ax = plotyy(x, y1, x, y2);
>> hy1 = get(Ax(1), 'ylabel');
>> hy2 = get(Ax(2), 'ylabel');
>> set(hy1, 'string', 'exp(- 2x).cos(x) ')
>> set(hy2, 'string', 'exp(-2x) ');

67/224



17
x 10
0.08 2.5

0.06 2
exp(- 2x).cos(x)

0.04 1.5

exp(-2x)
0.02 1

0 0.5

-0.02 0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Shembull 101:

Të vizatohet grafiku i funksionit

f  e 3t / 5 cos t për 0≤t≤2π

Zgjidhje

>> t = linspace(0, 2*pi, 200);
>> f = exp(- 0.6*t).*sin(t);
>> stem(t, f)
0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-0.1
0 1 2 3 4 5 6 7

68/224



Kushtëzimet dhe unazat
Programi Matlab në paketën e tij ka edhe urdhëra për kushtëzim dhe unaza si :

if, for, while, else, break, error, while...

Urdhëri if

Shfrytëzohet për realizim (përfundim )të programit me kushtë .

Forma e kushtit :
Forma I:

if kushti

urdhëri

end

Forma II:

if kushti
urdhëri 1
else
urdhëri 2
end

Forma III:

if kushti 1

urdhëri 1

elseif kushti 2

urdhëri 2

else

urdhëri 3
end

Vlera e ndryshores së pa mvarur mundë të futet duke shfrytëzuar urdhrin
input(‘teksti’).

69/224



Psh.
>> x=input('sheno vlerën e ndryshores x=');
>> y=input(''shëno vlerën e ndryshores y=');

Për paraqitjen e rezultateve në ekran përdorim urdhrin disp(‘tekst’).

Forma e unazës for:

for ndryshorja=shprehja
urdhri
end

Forma e unazës While:

While unaza e përfundon programin deri sa të plotësohen më parë kushtet.

while shprehja
urdhri
end

70/224



Shembull 102:

Për moshën e dhënë merrni këto vendime :

Nëse mosha është më e re se 21 vjet paraqit në dalje 'ndalohet alkoholi ', në të
kundërtën dil nga programi .

Fillimi

Sh;no vitet

Nëse vitet Dalje, nuk ka
janë më alkohol
pakë se 21

Fundi

>> vitet = input('vitet janë :')
vitet janë :20
>> if vite <21
disp(' ndalohet alkoholi')
end
ndalohet alkoholi

Vërejtje :
Për moshen më të re se 21 vjeqare paraqitet shprehja ndalohet alkoholi , kurse për
moshat më të mëdha se 21 vjeqare nuk na paraqitet shprehje sepse sipas algoritmit kemi
vetem një degë.

Shembull 103:

Për moshën e përsonit vendos:
Nëse mosha është më e vogël se 21 vjet shkruaj në dalje 'ndalohet alkoholi', në
të kundërtën 'lejohet alkoholi'.

71/224



% .m fajlli
mosha =input('mosha eshte:');
if mosha <21
disp( 'ndalohet alkoholi' )
else
disp( 'lejohet alkoholi' )
end % sheno moshen

% shprehja e paraqitur ne ekran

Rezultati në Command Window:

>> mosha eshte: 25
>> lejohet alkoholi

Si rezultat na paraqitet shprehja e më poshtme :

mosha eshte: 25 dhe ne kemi zgjedhur 17
dhe në dalje do të fitojm shprehjen lejohet alkooli

72/224



Shembull 104:

Për vlerat e ndryshoreve të dhëna x, y llogaritën vlerat e ndryshores c, ashtu që venë për
x  y , c  x 2  y , përndryshe, c  ln  y / x 

% .m fajlli
x =input(x=:');
y =input(y=:');
if x>=y
c=x^2-y;
elseif y/x>0.0
c=log(y/x);
else
disp( 'c nuk eshte e definuar' )
end
%shprehja e kërkuar ne dalje
c

For unaza mundëson përsëritjen e pjesëve të programit disa herë. Përfundon me
komandën end.

Rezultatet e paraqitura në Command Window:

x=:1
y=:2

c=

0.6931

Ose nëse japim vlera tjera:

x=:2
y=:1

c=

3

73/224



Shembull 105:

Me shfrytëzimin e urdhrit for mundemi të njoftohemi në shembullin e më poshtëm.

% .m fajlli
for i=1:5
a(i)=sin(2*i);
end
%shprehja e kërkuar ne dalje
a

Nëse e aktivizojm .m fajllin dhe në command window fitojm rezultatin

a=

0.9093 -0.7568 -0.2794 0.9894 -0.5440

74/224



Shembull 106:

Të shkruhet matrica A elementet e së cilit janë llogariten sipas ligjit
1
a  i, j  
2i  j  2 , e cila ka 4 rreshta dhe 3 kolona.

% .m fajlli
for i=1:4
for j=1:3
A(i,j)=1/(2*i+j-2);
end
end
% shprehja e kërkuar ne dalje
A
Nëse e aktivizojm .m fajllin dhe në command window fitojm rezultatin

>> A

A=
1.0000 0.5000 0.3333
0.3333 0.2500 0.2000
0.2000 0.1667 0.1429
0.1429 0.1250 0.1111

Në këtë shembull shfrytëzojmë urdhrin e dyfishtë të unazës for.

Me shfrytëzimin e urdhrit while mundë të shohim shembullin e më poshtëm.

>> x=1;
while x > 0.01
x=x/2;
end
>> x

x=

0.0078

75/224



Shembull 107:

Për të parë më mirë se si funksionon urdhri në shembullin e njëjtë i provojmë të gjitha
rezultatet për ndryshoren x .

>> x=1;
while x>0.01
x=x/2
end
x=

0.5000

x=

0.2500

x=

0.1250

x=

0.0625

x=

0.0313

x=

0.0156

x=

0.0078
Vrejtje:
Një pjesë e programit në mes while dhe end kryhet vetëm atëherë kur shprehja e cila
vije pas urdhrit WIHLE është e sakët.

76/224



Shembull 108:

Të gjenerohet matrica 5x5 ashtu që të gjithë elementet në diagonalen kryesore janë të
njejtë pra 2 , kurse të tjerat elemente ku mbledhja e indekseve (i+j=6) janë 6 kurse të
gjithë elementet tjera të barabarta me zero

% 2 0 0 0 6
% 0 2 0 6 0
% 0 0 2 0 0
% 0 6 0 2 0
% 6 0 0 0 2

n=5;
a=ones(5,5);
for i = 1:n
for j = 1:n
if i == j
a(i,j) = 2;
elseif (i + j) == 6
a(i,j) = 6;
else
a(i,j) = 0;
end
end
end
a


a=

2 0 0 0 6
0 2 0 6 0
0 0 2 0 0
0 6 0 2 0
6 0 0 0 2

77/224



Shembull 109:

Të gjenerohet matrica e cila elementet e diagonales janë 2, kurse të gjithë elementet e
tjera të rendit të parë janë 1 kurse elementet tjera janë zero.

n=5;
for i=1:n
for j=1:n
if i==j
a(i,j)=2;
elseif abs(i)==1
a(i,j)=1;
else
a(i,j)=0;
end
end
end
a

a=

2 1 1 1 1
0 2 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 0 2

78/224



Llogaritja e shumës

Shuma (E)
x 1

 E ( x)  E (0)  E (1)  E (2)    E ( x  1)
x0

Forma e përgjithshme e llogaritjes së shumës

S = symsum (E, a, b)

b

 E ( x)  E (a)  E (a  1)  E (a  2)    E (b)
x a

Shembull 110.:

Të llogariten shprehjet për shumë.

10

108.a.  k  0  1  2  3    9  10  55
k 0

n 1
1 2 1
108. b.  k  0  1  2  3    n 1  2 n
k 0
 n
2
4
2
108.c. k
k 1
 1  4  9  16  30

Shembull 110.a.

%Shprehja nën a
>> syms k n
>> symsum(k,0,10)

ans =

55

Shembull 110.b:

>> %Shprehja nën b
>> symsum(k,0,n-1)

79/224



ans =

1/2*n^2-1/2*n

Shembull 110.c:

>> %Shprehja nën a

>> symsum(k^2,1,4)

ans =

30

Shembull 111:

(1) n

Të llogaritet shuma e serisë  2 për sakësinë 10-4.
n 1 n

% permes .m fajllit
s=0;
n=1;
while abs((-1)^n/n^2)>10^(-4)
s=s+(-1)^n/n^2;
n=n+1;
end

Në command Windows shkruajm :

>> s
Dhe fitohet rezultati :

s=
-0.8225

80/224



Llogaritja e limitit
Shembull 112:

Të llogaritet shprehja për limitin e dhënë: lim sin( ax )  a
x

>> syms a x
>> limit(sin(a*x)/x)
ans =
a

Shembull 113:

Të zgjidhen limitet e dhëna sipas formës së përgjithshme të dhënë
limiti (E, v, a) për limitin v  a

x3 1
lim 
x 3 x 2  9 6

Zgjidhje

>> syms h x
>> limit((x-3)/(x^2-9),3)
ans =
1/6

Shembull 114:

sin(x  h)  sin(x)
lim
h 0 h

>> limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0)

ans =
cos(x)

81/224



Ekuacionet Diferenciale

Zgjidhja simbolike duke përdor funksionin dsolove

Shembull 115:

Të llogaritet ekuacioni diferencial

Zgjidhja analitike është y (t )  6  C1e 2t
kurse ajo përmes softuerit Matlab është paraqitur si më poshtë:

>> dsolve('Dy+2*y=12')

ans =

6+exp(-2*t)*C1

Shembull 116:
2
Të llogaritet ekuacioni diferencial d y
2
 c 2 y , y (0)  1, y (0)  0
&
dt
duke përdor formën :

dsolve(‘eqn’,’cond1’,’cond2’)

Zgjidhja analitike është:

y (t )  (e ct  e  ct ) / 2

Kurse ajo përmes softuerit Matlab është paraqitur si më poshtë:

>> Dsolve('D2y=c^2*y','y(0)=1','Dy(0)=0')

ans =

1/2*exp(-c*t)+1/2*exp(c*t)

82/224



Shembull 117:

Të zgjidhet shprehja
dx n
 nx n1
dx

>> syms n x y
>> diff(x^n)
ans =
x^n*n/x

Shembull 118:

Të zgjidhet shprehja d ln x 1

dx x
>> diff(log(x))

ans =
1/x

Shembull 119:


d sin 2 x
 2 sin x cos x
dx

>> diff((sin(x)^2))

ans =

2*sin(x)*cos(x)

83/224



Shembull 120:


d sin y
 cos y
dy
>> diff((sin(y))

ans =
cos(y)

Shembull 121:

Të zgjidhet shprehja f ( x, y )  sin( xy )

>> diff(sin(x*y))

ans =
cos(x*y)*y

Shembull 122:

[ x sin( xy )]
 x 2 cos( xy )
y

>> syms x y
>> diff(x*sin(x*y),y)

ans =

x^2*cos(x*y)

84/224



Shembull 123:

d 2 ( x3 )
 6x
dx 2
>> syms x
>> diff(x^3,2)

ans =

6*x

Shembull 124:

 2 [ x sin( xy )]
2
  x 3 sin( xy )
y

>> syms x y
>> diff(x*sin(x*y),y,2)
ans =
-x^3*sin(x*y)

85/224



Llogaritja e integralit

Shembull 125:

Të zgjidhen integralet e më poshtme duke përdor softuerin Matlab

n x n 1
a.  x dx  n 1

1
b.
 x dx  ln x

c.  cos xdx  sin x

d.  sin ydy   cos y
Shembull 125.a:

>> % shembulli a
>> syms n x y
>> int(x^n)

ans =

x^(n+1)/(n+1)

Shembull 125.b:

% shembulli b
>> int(1/x)

ans =

log(x)

Shembull 125.c:

% shembulli c
>> int(cos(x))

86/224



ans =

sin(x)

Shembull 125.d

>> % shembulli d
>> int(sin(y))

ans =

-cos(y)

Shembull 126:

Të zgjidhet integrali n xn
 x dn  ln x
Përdorim formën int (E, a, b)

>> syms n x
>> int(x^n,n)

ans =

1/log(x)*x^n

Shembull 127:

Të zgjidhet integrali 5 y 3 5 125
 xy 2 dy  x 0 x
0 3 3

Për integralet të cilët kanë kufijt e integrimit përdorim formën int (E, v, a, b)

>> syms x y
>> int(x*y^2,y,0,5)

ans =

125/3*x

87/224



Shembull 128:

Të zgjidhet integrali
b b3 a 3
 x 2 dx  
a 3 3

>> syms a b x
>> int(x^2,a,b)

ans =

1/3*b^3-1/3*a^3

Shembull 129:

5 y 3 5 125
 xy 2 dy  x 0 x
Përdorim formën int (E, v, a, b) 0 3 3

>> syms x y
>> int(x*y^2,y,0,5)

ans =

125/3*x

Shembull 130:

b b3 a 3
 x 2 dx  
a 3 3
>> syms a b x
>> int(x^2,a,b)

ans =

1/3*b^3-1/3*a^3

88/224



Shembull 131:

t x2 t 1 1
1 xdx  2 1  t2 
2 2

>> syms t x
>> int(x,1 ,t)

ans =

1/2*t^2-1/2

Shembull 32:

et t

 sin xdx   cos x e   cos(e t )  cos t
t
t

>> int(sin(x),t,exp(t))

ans =

-cos(exp(t))+cos(t)

Shembull 133:


1
 x  1dx  ln x  1
>> syms x
>> int(1/(x-1))

ans =

log(x-1)

>> int(1/(x-1),0,2)

89/224



ans =

NaN

90/224



Ekuacionet e Laplasit

MATLAB mund te ndarjen e polinomit ne pjese ;

Shprehja për polinomin B(s)/A(s) po e paraqesim me shembujt në vazhdim .

Gjetja e poleve dhe zerove të funksioneve për B(s)/A(s)

Komanda e Programit Matlab [z, p, k] = tf2zp(num,den) e cila mundë ta gjejë polet ,
zerot dhe përforcimin K të B(s)/A(s).

Shembull 134:

Të gjindet transformimet e Laplasit për funksionin e dhënë duke përdor programin
Matlab
f(t) = - 7te- 5t

Zgjidhje

>>syms t x
>>f = -7*t*exp(-5*t);
>> laplace(f, x)

ans =
- 7/(x + 5)^2

Shembulli 135:

Matlab

f(t) = - 3 cos 5t

>>syms t x
>>f = - 3*cos(5*t);
>> laplace(f, x)
ans =
- 3*x/(x^2 + 25)

91/224



Shembull 136:

Të grindet transformimet e Laplasit për funksionin e dhënë duke përdor programin
Matlab

f(t) = t sin 7t

>>syms t x
>>f = t*sin(7*t);
>> laplace(f, x)
ans =
1/(x^2 + 49)*sin(2*atan(7/x))

Shembull 137:

Matlab

f(t) = 5 e–2t cos 5t

>>syms t x
>>f = 5*exp(– 2*t)*cos(5*t);
>> laplace(f, x)

ans =
5*(x + 2)/((x + 2)^2 + 25)

Shembull 138:

Matlab

f(t) = 3 sin(5t + 45º)

>>syms t x
>>f = 3*sin(5*t + (pi/4));
>> laplace(f, x)
ans =
3*(1/2*x*2^(1/2) + 5/2*2^(1/2))/(x^2 + 25)

92/224



Shembull 139:

Matlab .
f(t) = 5 e–3t cos(t – 45º)

>>syms t x
>>f = 5*exp(- 3*t)*cos(t - (pi/4));
>> laplace(f, x)

ans =
5*(1/2*(x + 3)*2^(1/2)+1/2*2^(1/2))/((x + 3)^2 + 1)

Shembull 140:

Të shkruhet programi i cili me metodën e Transformimeve të Laplacit të caktohet dhe të
d2y
vizatohet odziv të ekuacionit diferencial të dhënë:  y  3 x ku x(t )   (t ) ,
dt 2
t 0,20] kurse hapi është: 0.01

>> syms s t;
>> Y=-(s^2+3*s+1)/(s+1)/(s^2+s+5)

Y=

(-s^2-3*s-1)/(s+1)/(s^2+s+5)

>>y=ilaplace(Y)

y=

-6/5*exp(-1/2*t)*cos(1/2*19^(1/2)*t)-14/95*19^(1/2)*exp(-
1/2*t)*sin(1/2*19^(1/2)*t)+1/5*exp(-t)

>>t=0:0.01:20;
>>x=exp(-t);
>>plot(t,x,t,y);

93/224



y=-6/5*exp(-1/2*t).*cos(1/2*19^(1/2)*t)-14/95*19^(1/2)*exp(-
1/2*t).*sin(1/2*19^(1/2)*t)+1/5*exp(-t)

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Shembull 141:

Të shkruhet programi i cili me metodën e Transformimeve të Laplacit të caktohet dhe të
vizatohet pergjigjeja të ekuacionit diferencial të dhënë:
d 2 y dy
2
  5 y  e t për y(0)=y,(0)=-1: t 0,20] ; për hapin 0,01 në të njëjtin grafik të
dt dt
vizatohet edhe

>>syms s t;
>>Y=3/(s^2+1)

Y=

3/(s^2+1)

>>y=ilaplace(Y)

y=
3*sin(t)

>>t=0:0.01:20;
>>y=3.*sin(t);

94/224



plot(t,y);

3

2

1

0

-1

-2

-3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Shembull 142:

Të shkruhet programi ashtu që përmes metodës së transformimit të laplasit të caktohet
d2y
2
 5 y  3 x (t )
dhe vizatohet pergjigjeja sistemi i ekuacionit diferencial të dhënë. dt ku
x(t )  sin( t )
t  [0.20] me hap 0,01

Në grafikun e njëjtë të paraqitet dhe pergjigjeja nëse kushtet fillestare janë zero.

Zgjidhje:

>>syms s t;
Y=
3/(s^2+1)/(s^2+5)

>>y=ilaplace(Y)

Y=

-3/20*5^(1/2)*sin(5^(1/2)*t)+3/4*sin(t)

>>t=0:0.01:20;

95/224



>>x=sin(t);
Y=
-3/20*5^(1/2).*sin(5^(1/2)*t)+3/4.*sin(t);

>>plot(t,x,t,y);

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

]

96/224



Inversi i Laplasit

Shembull 143:

Të llogaritet transformimet inverze të Laplasit për funksionet e dhëna .

s
F ( s) 
s ( s  2)( s  6)

>> syms s
>> f = s/(s*((s + 2)*(s + 6)));
>> ilaplace(f)

ans =
1/2*exp(– 4*t)*sinh(2*t)

Shembull 143.b:
Të llogaritet transformimet inverze të Laplasit për funksionet e dhëna

1
F ( s)  2
s ( s  5)

>> syms s
>> f = 1/((s^2)*(s + 5));
>> ilaplace(f)
ans =
1/3*t – 2/9*exp(– 3/2*t)*sinh(3/2*t)

Shembull 143. c.

3s  1
F ( s)  2
( s  2 s  9)

>>syms s
>> f = (3*s + 1)/(s^2 + 2*s + 9);
>> ilaplace(f)

97/224



ans =
3*exp(– t)*cos(2*2^(1/2)*t) – 1/2*2^(1/2)*exp(– t)*sin(2*2^(1/2)*t)

Shembull 143.d:


s  25
F ( s)  2
s ( s  3s  20)
>>syms s
>> f = (s – 25)/(s*(s^2 + 3*s + 25));
>> ilaplace(f)
ans =
5/4*exp(– 3/2*t)*cos(1/2*71^(1/2)*t)+23/284*71^(1/2)*exp(– 3/2*t)*sin
(1/2*71^(1/2)*t) – 5/4

Shembull 144:

Të gjindet transformimi invers i Laplasit për funksionin e dhënë.

(s 2  9 s  7)( s  7)
G( s) 
(s  2)(s  3)(s 2  12s  150)

Zgjidhje

% Programi ne matlab
>> syms s % s është simbol
>> % definimi i funksionit
>>G = (s^2 + 9*s +7)*(s + 7)/[(s + 2)*(s + 3)*(s^2 + 12*s + 150)];
>>pretty(G) % funksioni pretty e printon simboliken ne dalje.

(s2 + 9 s + 7) (s + 7)
---------------------------------
(s + 2) (s + 3) (s2 + 12 s + 150)

98/224



>> g = ilaplace(G); % transformimi invers i Laplasit
>>pretty(g)

2915 1/2 889 1/2 1/2
---- exp(-6 t) cos(114 t) + ----- 114 exp(-6 t) sin(114 t)
3198 20254

44
- 7/26 exp(-2 t) + --- exp(-3 t)
123

Shembull 144:

Caktoje transformimet inverse te laplasit për funksionin transmetues duke përdor
programin Matlab .

Shembull 144.a.
s
F ( s) 
s (s  2)(s  6)

>> syms s
>> f = s/(s*((s + 2)*(s + 6)));
>> ilaplace(f)

ans =

1/2*exp(-4*t)*sinh(2*t)

99/224



Shembull 144. b.
1
F ( s)  2
s ( s  5)

>> syms s
>> f = 1/((s^2)*(s + 5));
>> ilaplace(f)

ans =

1/5*t-2/25*exp(-5/2*t)*sinh(5/2*t)

Shembull 144.c.

3s  1
F ( s)  2
( s  2 s  9)

>>syms s
>> f = (3*s + 1)/(s^2 + 2*s + 9);
>> ilaplace(f)
ans =
3*exp(– t)*cos(2*2^(1/2)*t) – 1/2*2^(1/2)*exp(– t)*sin(2*2^(1/2)*t)

Shembull 144.d.
s
F ( s)  2
s ( s  3s  20)

>>syms s
>> f = (s – 25)/(s*(s^2 + 3*s + 20);
>> ilaplace(f)
ans =
5/4*exp(– 3/2*t)*cos(1/2*71^(1/2)*t)+23/284*71^(1/2)*exp(– 3/2*t)*sin
(1/2*71^(1/2)*t) – 5/4

100/224



Shembull 145:

Caktoje transformimet inverse te laplasit për funksionin transmetues të dhënë.
(s 2  9 s  7)(s  7)
F ( s) 
( s  2)(s  3)(s 2  12 s  150)

Zgjidhje :

% Programi MATLAB
>> syms s % i tregohet programit Matlab se “s” është një simbol.
>>G = (s^2 + 9*s +7)*(s + 7)/[(s + 2)*(s + 3)*(s^2 + 12*s + 150)]; % definimi i funksionit.
>>pretty(G) % funksioni ne dalje i paraqitur ne forme matematikore

(s2 + 9 s + 7) (s + 7)
---------------------------------
(s + 2) (s + 3) (s2 + 12 s + 150)

>> g = ilaplace(G); % forma inverse e laplasit
>>pretty(g)
44 2915 1/2
--- exp(-3 t) + ---- exp(-6 t) cos(114 t)
123 3198

889 1/2 1/2
+ ----- 114 exp(-6 t) sin(114 t) - 7/26 exp(-2 t)
20254

Shembull 146:

The MATLAB program for determining the partial-fraction expansion is given below:

Zgjidhje

101/224



>> b = [0 0 5 3 6];
>> a = [1 3 7 9 12];
>> [r, p, k] = residue(b, a)
r=
– 0.5357 – 1.0394i
– 0.5357 + 1.0394i
0.5357 – 0.1856i
0.5357 + 0.1856i
p=
– 1.5000 + 1.3229i
– 1.5000 – 1.3229i
– 0.0000 + 1.7321i
– 0.0000 – 1.7321i
k=[]

Rezultatet e fituara nga programi matlab i zëvendësojm më poshtë do të fitojm:
r1 r2 r3 r4
F ( s)    
( s  p1 ) (s  p2 ) ( s  p3 ) ( s  p4 )
 0.5357  j1.0394 (0.5357  j1.039)
F ( s)  
s  (1.500  j1.3229) s  (1.500  1.3229i )
0.5357  j 0.1856 0.5357  j 0.1856
 
s  (0  j1.732) s  (0  j1.732)

Programi matlab për caktimin e fitimin e transormimit invers të Laplasit do të fitojmë:

>> syms s
>> f = (5*s^2 + 3*s +6)/(s^4 + 3*s^3 + 7*s^2 + 9*s +12);
>> ilaplace(f)

ans =
11/14*exp(– 3/2*t)*7^(1/2)*sin(1/2*7^(1/2)*t) – 15/14*exp
(– 3/2*t)*cos(1/2*7^(1/2)*t) + 3/14*3^(1/2)*sin(3^(1/2)*t)+15/14*cos(3^(1/2)*t)

102/224



Shembull 147:

Për funksionin e dhënë F(s) përmes programit Matlab të bëhet particioni i funksionit ,
pra të gjindet transformimi invers i Laplasit për këtë funksion.
s 4  3s 3  5s 2  7 s  25
F ( s)  4
s  5s 3  20s 2  40s  45

Zgjidhje

>> num = [ 1 3 5 7 25];
>> den = [1 5 20 40 45];
>> [r, p, k] = residue(num, den)
r=
– 1.3849 + 1.2313i
– 1.3849 – 1.2313i
0.3849 – 0.4702i
0.3849 + 0.4702i

p=
– 0.8554 + 3.0054i
– 0.8554 – 3.0054i
– 1.6446 + 1.3799i
– 1.6446 – 1.3799i

k=
1
Nga paraqitja ne dalje e programit për ndarjen e funksionit dotë shkruajm.

r1 r2 r3 r4
F ( s)    
( s  p1 ) (s  p2 ) ( s  p3 ) ( s  p4 )

(1.3849  j1.2313) (1.3849  j1.2313) 0.3849  j 0.4702)
F ( s)    
( s  0.8554  j3.005) ( s  0.8554  j3.005) ( s  1.6446  j1.3799)
(0.3849  j 0.4702)
1
( s  1.6446  j1.3779)

103/224



Shembull 148:

Për funksionin e dhënë F(s) përmes programit Matlab të bëhet particioni i funksionit ,
pra të gjindet transformimi invers i Laplasit pëtr këtë funksion.

8( s  1)( s  3)
F ( s) 
( s  2)(s  4)(s  6)2

Zgjidhje

8( s  1)(s  3) (8s  8)(s  3)
F ( s)  2
 2
( s  2)(s  4)( s  6) (s  6 s  8)(s 2  12 s  36)

Ndarja e funksionit përmes programit Matlab është.

>> num = conv([8 8], [1 3]);
>> den = conv([1 6 8], [1 12 36]);
>> [r, p, k] = residue(num, den)

r=

3.2500
15.0000
-3.0000
-0.2500

p=

-6.0000
-6.0000
-4.0000
-2.0000

k=

[]
Nga rezultatet e fituara nga programi matlab do të kemi këtë vijim të zgjerimit të
funksionit.

r1 r2 r3 r4
F ( s)    
( s  p1 ) (s  p2 ) ( s  p3 ) ( s  p4 )

104/224



3.25 15 3  0.25
F ( s)     0
( s  6) ( s  15) (s  3) ( s  0.25 p4 )

F ( s )  3.25e 6t  15e15t  3e 3t  0.25e 0.25t

105/224



Funksionet Transmetuese

Urdhërat për caktimin e funksioneve transmetuese të sistemit:

 PRINTSYS
 SERIES,
 PARALLEL,
 CLOOP,
 FEEDBACK
 PRINTSYS():

106/224


Sqarim:

SERIES():

[num,den]=series(num1,den1,num2,den2):
Llogaritja e lidhjes serike të dy funksioneve transmetuese, ku në këtë rast num1,den1 është emruesi
dhe numruesi i funksionit transmetues G1(s), num2,den2 është emruesi dhe numruesi i funksionit
transmetues G2(s). Ndërsa num,den është emruesi dhe numruesi i funksionit transmetues e lidhjes
serike të funksioneve transmetuese G1(s) dhe G2(s)
Shembull 149

s 1 1
G1 (s )  G2 ( s) 
s2 500s 2

Zgjidhje

>> num1=[1 1]; den1=[1 2];
>> num2=[1]; den2=[500 0 0];
>> [num,den]=series(num1,den1,num2,den2);
>> printsys(num,den)

num/den =

s+1
------------------
500 s^3 + 1000 s^2

Shembull 150:

Sqarim:

PARALLEL():

[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2):
Bëhet llogaritja e lidhjës paralele të dy funksioneve transmetuese ku me num1,den1 emruesi dhe
numruesi i funksioni transmetues G1(s) , me num2,den2 emruesi dhe numruesi i funksioni transmetues
G2(s).
Ndërsa num,den lidhja e dy funksioneve transmetuese G1(s) dhe G2(s)


s 1 s3
G1 ( s )  G2 ( s ) 
s2 s4

>> num1=[1 1]; den1=[1 2];
>> num2=[1 3]; den2=[1 4];
>> [num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2);

num/den =

2 s^2 + 10 s + 10
-----------------
s^2 + 6 s + 8

Shembull 151:

CLOOP():

Sqarim:

[num,den]=cloop(num1,den1,sign):
Bën llogartitjen e funksionit transmetues të qarkut të mbyllur me riveprim njësi, ku na paraqiten
num1,den1 emruesi dhe numruesi i degës direkte G(s) , me sign parashenjsa e qarkur riveprues (–1 ose
+1) e nënkuptueshme -1 num,den emruesi dhe numruesi i qarkut të mbyllur

1
G1 (s )  2
s  s 1

>> %funksioni i qarkut direkt të shembullit :
>> num1=[1]; den1=[1 1 1];
>> [num,den]=cloop(num1,den1);

num/den =
1
------------
s^2 + s + 2

Shembull 152:

FEEDBACK():

108/224



Sqarim:

[num,den]=feedback(num_G,den_G,num_H,den_H,sign):
Llogaritja e funksionit transmetues me lidhje rivepruese ku num_G,den_G paraqitet emruesi dhe
numruesi i funksionit transmetues i degës direkte G(s) ndërsa num_H,den_H emruesi dhe numruesi i i
degës rivepruese të funksionit transmetues. Me sign parashenjsa e qarkur riveprues (–1 ose +1) e
nënkuptueshme -1. ndërsa num,den emruesi dhe numruesi i funksionit transmetues i qarkut të mbyllur.

Të llogaritet funksioni transmetues i qarkut të mbyllur me lidhje rivepruese.
1 s 1
G( s)  2
kurse qarku riveprues H ( s ) 
500 s s 2

>> num_G=[1]; den_G=[500 0 0];
>> num_H=[1 1]; den_H=[1 2];
>> [num,den]=feedback(num_G,den_G,num_H,den_H);

num/den =
s+2
---------------------------
500 s^3 + 1000 s^2 + s + 1

Urdhërat për caktimin e POLEVE, ZEROS

PZM
AP

Shembull 153:

PZMAP()

Llogaritja dhe vizatimi i poleve dhe zeros të funksionit transmetues në rrafshin komplekës .

109/224



pzmap(num,den): Vizatimi
[P,Z]=pzmap(num,den): Logaritja e zeros dhe poleve të funksionit transmetues në rrafshin komplekës
ku : P: polet e matricës, Z Zerot e matricës

Të llogaritet polet dhe zerot e funksionit transmetues

s 2  5s  4
G (s ) 
s 3  7 s 2  13s  9

>> num=[1 5 4]; den=[1 7 13 9];

>> [P,Z]=pzmap(num,den)
>> % te llogaritet P = -4.5987 -1.2007 + 0.7180i -1.2007 - 0.7180i Z = -4 -1
>> pzmap(num,den)

Pamja e vendosjes se zero dhe poleve ne rrafshin komplekes:
P=

-4.5987
-1.2007 + 0.7180i
-1.2007 - 0.7180i

Z=

-4
-1
Pole-Zero Map
0.8

0.6

0.4

0.2
Imaginary Axis

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
Real Axis

Shembull 154:

110/224



1 1
s 1 s2

4s  2
2
s  2s  1

s2
s  14

a. Duke përdor programin Matlab të reduktohen blloqet dhe të llogariten funksionet transmetuese
W(s)=Y(s)/X(s).
b. Të vizatohet për zerot dhe polet e funksionit transmetues duke përdor urdhërin pzmap().
c. të vizatohen zerot dhe polet e funksionit transmetues duke shfrytëzuar urdhërin rots( ).

>> nr_A1=[1]; emr_A1=[1 1];
>> nr_A2=[1 0]; emr_A2=[1 2];
>> [nr_A,emr_A]=series(nr_A1,emr_A1,nr_A2,emr_A2);
>> printsys(nr_A,emr_A)

num/den =

s
-------------
s^2 + 3 s + 2

>> nr_A=[1 0]; emr_A=[1 3 2];
>> nr_H1=[4 2]; emr_H1=[1 2 1];
>> [nr_B, emr_B]=feedback(nr_A, emr_A,nr_H1, emr_H1);
>> printsys(nr_B, emr_B)

num/den =

s^3 + 2 s^2 + s
------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 9 s + 2

>> nr_C=[1]; emr_C=[1 0];

111/224


>> nr_H2=[50]; emr_H2=[1];
>> [nr_D,emr_D]=feedback(nr_C,emr_C,nr_H1,emr_H1);
>> printsys(nr_D,emr_D)

num/den =

s^2 + 2 s + 1
---------------------
s^3 + 2 s^2 + 5 s + 2

>>nr_B=[1 2 1 0]; emr_B=[1 5 13 9 2];
>>nr_D=[1 2 1]; emr_D=[1 2 5 2];
>> [nr_E,emr_E]=series(nr_B,emr_B,nr_D,emr_D);
>>printsys(nr_E,emr_E)

num/den =

s^5 + 4 s^4 + 6 s^3 + 4 s^2 + s
----------------------------------------------------------
s^7 + 7 s^6 + 28 s^5 + 62 s^4 + 95 s^3 + 75 s^2 + 28 s + 4

>> nr_E=[1 4 6 4 1 0]; emr_E=[1 7 28 62 95 75 28 4];
>> nr_H3=[1 2]; emr_H3=[1 14];
>> [nr_F,emr_F]=feedback(nr_E,emr_E,nr_H3,emr_H3);
>>printsys(nr_F,emr_F)

num/den =

s^6 + 18 s^5 + 62 s^4 + 88 s^3 + 57 s^2 + 14 s
--------------------------------------------------------------------------------------
s^8 + 21 s^7 + 127 s^6 + 460 s^5 + 977 s^4 + 1421 s^3 + 1087 s^2 + 398 s + 56

>> nr_F=[1 18 62 88 57 14 0]; emr_F=[1 21 127 460 977 1421 1087 398 56];
>> nr_G=[4]; emr_G=[1];
>> [nr_I,emr_I]=series(nr_F,emr_F,nr_G,emr_G);
>>printsys(nr_I,emr_I)

112/224



num/den =

4 s^6 + 72 s^5 + 248 s^4 + 352 s^3 + 228 s^2 + 56 s
---------------------------------------------------------------------------------------------
s^8 + 21 s^7 + 127 s^6 + 460 s^5 + 977 s^4 + 1421 s^3 + 1087 s^2 + 398 s + 56

>>nr_I=[4 72 248 352 228 56 0]; emr_I=[1 21 127 460 977 1421 1087 398 56];
>> [P,Z]=pzmap(nr_I,emr_I)

P=

-13.9265
-2.0730 + 2.2500i
-2.0730 - 2.2500i
-0.7873 + 1.9007i
-0.7873 - 1.9007i
-0.4465 + 0.1461i
-0.4465 - 0.1461i
-0.4599

Z=

0
-14.0000
-1.0002 + 0.0002i
-1.0002 - 0.0002i
-0.9998 + 0.0002i
-0.9998 - 0.0002i

>>pzmap(nr_I,emr_I)

113/224


Pole zero map
2.5

2

1.5

1

Imag Axis 0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0
Real Axis

Shembull 155:

Funksioni transmetues i Sistemit me degës direkte dhe degës rivepruese është?
s 1
G( s)  3
s  4s 2  6 s  10
Duke shfrytëzuar programin Matlab të caktohen zerot dhe polet e funksioni transmetues.

>> nr_G=[1 0]; emr_G=[1 4 6 10];
>> [nr_W,emr_W]=cloop(nr_G,emr_G);
>> printsys(nr_W,emr_W)

num/den =

114/224


s
----------------------
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 10

>>nr_W=[1 0]; emr_W=[1 4 7 10];
>> [P]=residue(nr_W,emr_W)

P=

-0.3509
0.1755 - 0.0670i
0.1755 + 0.0670i

Shembull 156:

1
Është dhënë funksioni transmetues T ( s ) 
s  2s 2  s  1
3

Të llogariten polet e funksionit transmetues , e pastaj të vizatohen pergjigjeja kur në hyrje sjellim :
a. step funksioni.
b. Impulsin e dirakut
c. Sinjalin sinusoidal x(t)=5sin(3t)

>> nr_T=[1]; emr_T=[1 2 1 1];
>> [P]=pzmap(nr_T,emr_T)

P=

-1.7549
-0.1226 + 0.7449i
-0.1226 - 0.7449i

>>step(nr_T,emr_T);

115/224


Step Response
From: U(1)
1.6

1.4

1.2

1
Amplitude

To: Y(1)

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Time (sec.)

>> impulse(nr_T,emr_T);

Impulse Response
From: U(1)
0.6

0.5

0.4

0.3

0.2
Amplitude

To: Y(1)

0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Time (sec.)

>> t=0:0.01:5;
>> u=5*sin(3*t);
>> y=lsim(nr_T,emr_T,u,t);
>> plot(t,u,t,y)

116/224


5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Shembull 157.a:

Përcakto polet e funksionit transmetues përmes programit Matlab.

C ( s) s 3  6s 2  7 s  15
 5
R( s ) s  s 4  5s 3  9s 2  11s  12

Zgjidhje .

>> % Programi MATLAB
>> den = [1 1 -5 -9 11 -12];
>> A = roots (den)

A=

-2.1586 + 1.2396i
-2.1586 - 1.2396i
2.3339
0.4917 + 0.7669i
0.4917 - 0.7669i

Shembull 157.b:

117/224



>> den=[1 1 -5 -9 11 -12 ];
>> A = roots (den)

A=

-2.1586 + 1.2396i
-2.1586 - 1.2396i
2.3339
0.4917 + 0.7669i
0.4917 - 0.7669i

Shembull 158:

Përcakto polet e funksionit transmetues përmes degën kthyes përmes programit Matlab.

150
G( s) 
( s  5)(s  7)( s  9)( s  11)
Zgjidhje .

>> numg = 150

numg =

150

>> deng = poly([-5 -7 -9 -11]);
>> 'G(s)'

ans =

G(s)

>> G = tf (numg, deng)

Transfer function:

150
--------------------------------------
s^4 + 32 s^3 + 374 s^2 + 1888 s + 3465
118/224



>> 'polet e G(s)'

ans =

polet e G(s)
>> pole (G)
ans =

-11.0000
-9.0000
-7.0000
-5.0000
>> 'T(s)'

ans =

T(s)

>> T = feedback (G, 1)
Transfer function:

150
--------------------------------------
s^4 + 32 s^3 + 374 s^2 + 1888 s + 3615

>> pole (T)

ans =

-10.9673 + 1.9506i
-10.9673 - 1.9506i
-5.0327 + 1.9506i
-5.0327 - 1.9506i

Shembull 159:

119/224


30( s 2  5s  3)
Për qarkun me riveprim si në figurë Fig. Blloku , G(s) ka vlerën G ( s ) 
(s  1)(s  2)(s  4)(s  5)

Të caktohet përmes programit Matlab reagimi i qarkut të mbyllur

Zgjidhje .

>> numg =30*[1 -5 3 ];
>> deng = poly([-1 -2 -4 -5 ]);
>> G = tf(numg,deng);
>> T = feedback(G,1)
>> step(T)

Përgjigjja përmes kompjuterit:

Transfer function:

30 s^2 – 150 s + 90
----------------------------------
s^4 + 12 s^3 + 79 s^2 - 72 s + 130

Fig.

120/224



Step Response
10

8

6
Amplitude

4

2

0

-2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Time (sec)

Ekuacionet e gjendjes

Shembull 160:

Sistemi i kontrollit është i dhënë më anë të ekuacionit të gjendjes.

    4  1  x  1  x1 
 x1   

1
  x   3u y  1 2 
 x 2   2  3  2   
   x2 

Të gjindet funksioni transmetues i sistemit G(s)përmes programit Matlab.

Zgjidhje .

  4  1 1
A  B  C  1 2
 2  3 3

121/224


Funksioni transmetues G(s) për sistemin e dhënë.

s  4 1  1 1 s  3 1  2
G ( s )  C ( sI  A) 1 B  1
2     1 2   2 s  4  5 
  2 s  3 3 ( s  4)(s  3)  2   

 2
1
1 2
2s  1  12s  49

s  7 s  14  5s  24  s 2  7 s  14
 
 

>> A = [-4 -1 ; 2 -3];
>> B = [1 ; 3];
>> C = [1 2];
>> D = 0;
>> [num, den] = ss2tf(A, B, C, D)

num =

0 7.0000 28.0000

den =
a=
1.0000 7.0000 14.0000 x1 x2 x3 x4
x1 0 3 5 0
x2 0 0 1 0
Rezultati është i njëjtë sikurse ai i derivimit, i x3 0 0 0 1 zgjidhur në
fillim. x4 -5 -6 8 5

Shembull 161: b=
u1
x1 0
Llogarit funksionin transmetues G(s) = Y(s)/R(s), x2 5 për sistemin
pasues i prezantuar nga ekuacioni i gjendjes. x3 7
x4 2
0 3 7 0  0 

0 0 1 0  5 
x  x   r c=
0 0 0 1 7
    x1 x2 x3 x4
 5  6 9 5  2 y1 1 3 7 5

d=
122/224 u1
y1 0


y  1 3 6 5x

Zgjidhje .

>> A = [0 3 5 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1; -5 -6 8 5];
>> B = [0; 5; 7; 2];
>> C = [1 3 7 5];
>> D = 0;
>> statespace = ss(A, B, C, D)

Vazhdueshmëria e sistemit .

>> [A, B, C, D] = tf2ss(num,den);
>>G = tf(num, den)

Transfer function:
7 s + 28
--------------
s^2 + 7 s + 14

Shembull 162:

Të gjindet ekuacioni i gjendjes për funksionin në vijim përmes programit MATLAB.

C ( s) 35s  7
 3
R( s ) s  5s 2  36s  7)

Zgjidhje .

>>% MATLAB programi
>> num = [0 0 35 7];

123/224


>> den = [1 5 36 7];
>> g = tf(num,den)

Transfer function:
35 s + 7
----------------------
s^3 + 5 s^2 + 36 s + 7

>>%paraqitja e rezultateve për caktimin e ekuacionit te gjendjes
>> [A, B, C, D] = tf2ss(num, den)

A=

-5 -36 -7
1 0 0
0 1 0

B=

1
0
0

C=

0 35 7

D=

0

124/224


Përmes rezultateve të marra nga programi Matlab në mundë të shkruajm ekuacionin e gjendjeve si më
poshtë.

 
 x1    5  36  7   x1  1

 x1 
 x2    1 0 0   x2   0u y  0 35 7 x2   ou
         
 x3   0
 1 0   x3  0
     x3
 
 

Shembull 163:

Të llogaritet ekuacioni gjendjes phase-variable për sistemin e dhënë .

Zgjidhje .

>>% MATLAB Program
>> den = [1 7 10 8 1 25];
>> G = tf(num, den)

Transfer function:
50
-------------------------------------
s^5 + 7 s^4 + 10 s^3 + 8 s^2 + s + 25

>> [AC, BC, CC, DC] = tf2ss(num, den);
>>Af = flipud(AC)
Af =

0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
-7 -10 -8 -1 -25

125/224


>>A = fliplr(Af)

A=

0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
-25 -1 -8 -10 -7

>>B = flipud(BC)
B=

0
0
0
0
1

>>C = fliplr(CC)

C=

28.0000 7.0000 0 0 0

Shembull 164:

Përmes Programit Matlab të shkruhet ekuacioni i gjendjes dhe ekuacioni dalës për Variablat e Gjendjes
për sistemet e paraqitura më

poshtë.

Zgjidhje .
Shembull 164.a:

>>num = [5 7]
num =

5 7

>> den = [1 7 3 9 8]

den =

126/224



1 7 3 9 8

>> G = tf(num,den)

Transfer function:
5s+7
-----------------------------
s^4 + 7 s^3 + 3 s^2 + 9 s + 8

>> [Ac, Bc, Cc, Dc] = tf2ss(num, den);
>> Af = flipud(Ac)

Af =

0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
-7 -3 -9 -8

>> A = fliplr(Ac)

A=

-8 -9 -3 -7
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0

>> B = flipud(Bc)

B=

0
0
0
1

>> C = fliplr(Cc)

C=

7 5 0 0

127/224



Shembull 164. b:

%Pjesa e dyte

>> num = [1 3 10 5 6];
>> den = [1 7 8 6 0 0];
>> G = tf(num, den)

Transfer function:

s^4 + 3 s^3 + 10 s^2 + 5 s + 6
------------------------------
s^5 + 7 s^4 + 8 s^3 + 6 s^2

>> [Ac, Bc, Cc, Dc] = tf2ss(num,den);
>> Af = flipud(Ac);
>> A = fliplr(Af)

A=

0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 -6 -8 -7

>> B = flipud(Bc)

B=

0
0
0
0
1
>> C = fliplr(Cc)

C=

6 5 10 3 1

128/224



ans =

[ 3/(s^2+2*s+5), -1/(s^2+2*s+5)]
[ 6*s/(s^3+8*s^2+17*s+30)+5/(s+6), -2*s/(s^3+8*s^2+17*s+30)]

Shembull 165:

Të gjindet funksioni transmetues për sistemin e dhënë përmes Matlabit.

 
 x1   0

1 0   x1  0 0 
x2    5  2 0   x   3  1u
    2   
 x3   0
 2  6  x 3   5 0 
   
 

 x1 
1 0 0  
y   x2 
0 0 1  
 x3

Zgjidhje .

Nga matricat e dhëna të caktohet shprehja G(s)=C[sI-A]-1B

0 1 0 
0 0 
 5  2 0 
A 1 0 0
 B  3  1
  C 
0
 2  6
 5 0  0 0 1
 
s 1 0  0 0 
1 0 0 
G( s)    5 s  2 0  3  1
 
0 0 1 
0  2 s  6 5 0 
 

>> %Programi Matlab
>> syms s
>> C = [1 0 0; 0 0 1];
>> M=[s -1 0 ; 5 s+2 0; 0 -2 s+6];

129/224


>> B = [0 0; 3 -1; 5 0 ];
>> C*inv(M)*B

ans =

[ 3/(s^2+2*s+5), -1/(s^2+2*s+5)]
[ 6*s/(s^3+8*s^2+17*s+30)+5/(s+6), -2*s/(s^3+8*s^2+17*s+30)]

Shembulli 166:

Modeli i sistemit të dhënë në ekuacionet e gjendjes është:

 6 0 0  1
 2  5 0  ; b  1 ;
A d t   16  16  8 ; h  8
 
  1  1  2
  1


>> A=[-6,-2,-1;0,-5,-1;0,0,-2];
>> B=[1;1;1];D=[-16,-16,-8];
>> H=8;
>> [Z,p,k]=ss2zp(A,B,D,H)

Rezultati i fituar :

Z=

-4.0000
-1.0000
-3.0000

p=

-6
-5
-2

k=

8

Atëherë funksioni transmetues do të jetë:

130/224


(s  1)(s  3)(s  4)
W ( s)  8
( s  2)( s  5)(s  6)

Shembulli 167:

Të bëhet shndërrimi i funksionit transmetues në model të ekuacionit të gjendjes:

s 3  4s 2  2 s  1
W ( s) 
s 3  3s 2  5s  6

>>NUM=[8,4,2,1];den=[1,3,5,6];
>> [A,B,D,H]=tf2ss(NUM,den)

A=

-3 -5 -6
1 0 0
0 1 0

B=

1
0
0

D=

-20 -38 -47

H=

8

131/224



 
 x1   3  5  6  x1  1

x    1 0 0   x2   0u
 2      
 x3   0
 1 0   x3  0
   
 
 

 x1 
c   20  38  47 x2   8u
 
 x3 
 

Shembulli 168:

Të bëhet shndërrimi i funksionit transmetues në model të ekuacionit të gjendjes:

(s  1)(s  3)(s  4)
W ( s)  8
( s  2)( s  5)(s  6)

>>z=[-1;-3;-4];
>>p=[-2;-5;-6];
>>k=8;
>> [A,B,D,H]=zp2ss(z,p,k)

A=

-2.0000 0 0
-1.0000 -11.0000 -5.4772
0 5.4772 0

B=

1
1
0

D=

-8.0000 -32.0000 -26.2907

132/224



H=

8

Pra modeli i ekuacioni të gjendjeve do të jetë:


 x1   2

0 0   x1  1
x    1  11  5.4772  x2   1 u
 2      
 x3   0 5.4772
 0   x3  0
   
 
 

 x1 
c   8  32  26.2907 x2   8u
 
 x3 
 

133/224



Diagrami i Bodeu dhe Nikvistit

Shembull:169:

Të shkruhet programi dhe te paraqitet diagrami i Bodeut duke marre parasysh funksionin transmetues
15
G( s) 
s ( s  3)(0.7 s  5)

Zgjidhje

>> % Programi ne Matlab
>> %diagrami i bodeut
>> clf
>> num = 15;
>> den = conv([1 0], conv([1 3],[0.7 5]));
>> bode(num, den)

Paraqitja grafike nga programi :

Bode Diagram
50

0
Magnitude (dB)

-50

-100

-150
-90

-135
Phase (deg)

-180

-225

-270
-1 0 1 2 3
10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)

134/224



Shembulli 170:


(7 s 3  15s 2  7 s  80)
G( s) 
(s 4  8s 3  12 s 2  70s  110)
Zgjidhja

>> %MATLAB Program
>> %Bode plot
>> clf
>> num=[0 7 15 7 80];
>> den=[1 8 12 70 110];
>> bode(num,den)


Bode Diagram
10

0
Magnitude (dB)

-10

-20

-30
0

-45
Phase (deg)

-90

-135
-1 0 1 2
10 10 10 10
Frequency (rad/sec)

135/224


Shembull 171:

Të shkruhet programi në Matlab që mundëson të vizatohet diagrami i Bodeut për funksioniet
transmetues të dhënëna.
15
G( s) 
s ( s  3)(0.7  5)

Zgjidhje .

>> % Program ne MATLAB
>> % diagrami i bodeut
>> clf
>> num = 15;
>> den = conv([1 0], conv([1 3],[0.7 5]));
>> bode(num, den)

Rezultati i fituar në formë grafike për diagramin e Bodeut.

Bode Diagram
50

0
Magnitude (dB)

-50

-100

-150
-90

-135
Phase (deg)

-180

-225

-270
-1 0 1 2 3
10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)

Shembull 172:

136/224



(7 s 3  15s 2  7 s  80)
G( s)  4
( s  8s 3  12 s 2  70s  110)

>> %Programi ne Matlab
>> %Vizato diagramin e Bodeut
>> clf
>> num=[0 7 15 7 80];
>> den=[1 8 12 70 110];
>> bode(num,den)

Rezultati i fituar në formë grafike për diagramin e Bodeut.

Bode Diagram
10

0
Magnitude (dB)

-10

-20

-30
0

-45
Phase (deg)

-90

-135
-1 0 1 2
10 10 10 10
Frequency (rad/sec)

Shembulli 173:

Për sistemin e dhënë të funksionit transmetues me qark të hapur të vizatohet diagrami amplitudor dhe i
Bodeut .

137/224



20
W0 (s ) 
s (s  2)(s  5)

Zgjidhje

Forma e zgjidhjes në formë matematike:
20 20 2 1 1 1
W0 ( s )     2* * *
s ( s  2)(s  5) 2  5  s (0.5s  1)(0.2 s  1) s (0.5s  1)(0.2 s  1) s 0.5s  1 0.2 s  1
Në grafikun e njëjtë do të vizatojmë diagramin e bode-ut për të gjitha funksionet elementare pra për të
gjitha funksionet W0.

% duke përdor .m fajllin
num_K=[2]; emr_K=[1] % Definimi elementar i funksionit K
num_W1=[1]; emr_W1=[1 0]; % Definimi elementar i funksioni W1
num_W2=[1]; emr_W2=[0.5 1]; % Definimi elementar i funksioni W2
num_W3=[1]; emr_W3=[0.2 1]; % Definimi elementar i funksioni W3
num_Wo=[20]; emr_Wo=conv([1 2 0],[1 5]) % definim i funksionit transmetues
% i qarkut te hapur Wo
% vizatimi i diagramit te bode-ut:
bode(num_K,emr_K,'y'); hold on % grafiku me ngjyre te verdhe
bode(num_W1,emr_W1,'r'); % grafiku me ngjyre te kuqe
bode(num_W2,emr_W2,'b'); % grafiku me ngjyre te kalter
bode(num_W3,emr_W3,'g'); % grafiku me ngjyre te gjelber
bode(num_Wo,emr_Wo,'k'); % grafiku me ngjyre te zeze

Si rezultat i programit përfundimtar kemi fituar diagramin për amplitudë dhe fazën në diagramin e
bodeut.

emr_K =

1

emr_Wo =

1 7 10 0

138/224



Bode Diagram
100

50
Magnitude (dB)

0

-50

-100

-150
0

-90
Phase (deg)

-180

-270
-2 -1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)

Shembulli 174:

Të vizatohet karakteristika amplitudo fazo, frekuencore e funksionit transmetues të dhënë përshkruar në
funksionin transmetues:
s2
W ( s) 
s ( s  5)2

num_K=[2]; emr_K=[25]
num_W1=[1]; emr_W1=[1 0];
num_W2=[0.5 1]; emr_W2=[1];
num_W3=[1]; emr_W3=conv([0.2 1],[0.2 1]);
num_Wo=[1 2]; emr_Wo=conv([1 0],conv([1 5],[1 5])) % definimi i qarkut te hapur Wo
% vizatimi i diagramit te bode-ut:
bode(num_K,emr_K,'y'); hold on % grafiku me ngjyre te verdh
bode(num_W1,emr_W1,'r'); % grafiku me ngjyre te zeze

Rezultati i fituar:

139/224


emr_K =

25

emr_Wo =

1 10 25 0

Bode Diagram
100

50
Magnitude (dB)

0

-50

-100

-150
90

0
Phase (deg)

-90

-180
-1 0 1 2 3
10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)

Shembulli 175:

Të vizatohet diagrami i bodeut për karakteristika amplitude dhe karakteristika fazo frekuencore e
sistemit të dhënë me funksionin transmetues të qarkut të hapur.

10(0.1s  1)
W0 (s ) 
(0.2 s  1)(0.33s  1) 2 (0.5s  1)

num_K=[10]; emr_K=[1]

140/224


num_W1=[0.1 1]; emr_W1=[1];
num_W2=[1]; emr_W2=[0.2 1];
num_W3=[1]; emr_W3=conv([0.33 1],[0.33 1]);
num_W4=[1]; emr_W4=[0.5 1];
num_Wo=[1 10]; % Definimi i F.T. te qarkut te hapur Wo
emr_Wo=conv(emr_W2,conv(emr_W3,emr_W4))
% vizatimi i diagramit te bodeut:
bode(num_K,emr_K,'y'); hold on % grafiku me ngjyre te verdhe
bode(num_W1,emr_W1,'r'); % grafiku me ngjyre te kuqe
bode(num_W4,emr_W4,'m'); % grafiku me ngjyre vjollce

Rezultati i fituar :

emr_K =

1

emr_Wo =

0.0109 0.1422 0.6709 1.3600 1.0000

141/224



Bode Diagram

0
Magnitude (dB)

-50

-100

90
45
0
Phase (deg)

-45
-90
-135
-180
-225
-270
-2 -1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)

Shembulli 176


(7 s 3  15s 2  7 s  80)
G( s)  4
(s  8s 3  12 s 2  70s  110)
Zgjidhja

% Program ne MATLAB
% diagrami i bodeut
clf
num=[0 7 15 7 80];
den=[1 8 12 70 110];
bode(num,den)


142/224



Bode Diagram
10

0
Magnitude (dB)

-10

-20

-30
0

-45
Phase (deg)

-90

-135
-1 0 1 2
10 10 10 10
Frequency (rad/sec)

Shembull 177:

143/224


Kontrolleri PID është dhënë me :
( s  057) 2
Gc ( s )  29.125
s
Të vizatohet diagrami i bodeut duke përdor programin Matlab

Zgjidhje

29.125( s 2  1.14s  0.3249)
Gc ( s ) 
s
2
29.125s  33.2025s  9.4627

s

>> %Bode diagram
>> num= [29.125 33.2025 9.4627];
>> den= [0 1 0];
>> bode (num, den)
>> title ('Diagrami i Bodeut G(s)')

Diagrami i Bodeut G(s)
70

60
Magnitude (dB)

50

40

30
90

45
Phase (deg)

0

-45

-90
-2 -1 0 1 2
10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)

Shembulli 178:

Të konstruktohet diagrami i bodeut për amplitude dhe faze të sistemit me që rastë funksioni idegës
këthyesë është:

144/224


( s  2)
W ( s )  10
s ( s  0.5)(s  4)
Të shqyrtohet stabiliteti i sistemit:
Në Matlab, analiza mundet të realizohet me ndihmen e funksionit bode dhe margin. Funksioni bode
vizaton sakësisht amplituden dhe fazën e diagramit të bodeut, ndërsa margin llogaritë pikat e
stabilitetit.

% programi ne Matlab
sys1=zpk(-2,[0 -0.5 -4],10);
bode(sys1);
hold on
plot([0.1 0.5 2 4 10], [40 26.0206 1.9382 -4.0824 -20],'r')
[d,Fpf,wpi,wpf]=margin(sys1);
hold off
% po i paraqesim rrjetën
grid on

Bode Diagram
100

50
Magnitude (dB)

0

-50

-100
-90
Phase (deg)

-135

-180
-2 -1 0 1 2
10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)

Rezultati i stabilitetit:

d = Inf
wpi = Inf
Fpf = 30.2997
wpf = 2.5981
ddB=20log(d)=Inf

145/224



Shembulli 179:

Të vizatohet diagrami i bodeut për amplitud dhe fazë për sistemin me degë këthyese dhe të
shqyrtohet stabiliteti.

256
w( S ) 
s ( S  4)(S  16)

% programi ne Matlab
sys2=zpk([ ],[0 -4 -16],256);
bode(sys2);
[d2,Fpf2,wpi2,wpf2]=margin(sys2);
ddB2=20*log10(d2);
grid on

Bode Diagram
50

0
Magnitude (dB)

-50

-100

-150
-90

-135
Phase (deg)

-180

-225

-270
-1 0 1 2 3
10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)

d2=5.0000
wpi2=8.0000
Fpf2=41.2246
wpf2=3.1028
ddB2=13.9794
Fpf2>0 dhe ddB2>0 → Sistemi është stabil edhe kur mbyllet dega këthyese.

146/224



Shembulli 180:

Të vizatohet diagrami i bodeut për amplitudë dhe fazë nëse funksioni transmetues i të cilit është.
s 1
W ( s )  10
s s
s 2 (( ) 2   1)
4 4
Dhe të caktohen kufijt e stabilitetit.

sys3=tf([10 10],[1/16 1/4 1 0 0]);
bode(sys3)
[d3,Fpf3,wpi3,wpf3]=margin(sys3);
ddB3=20*log10(d3)
% vendosja e rrjetes ne grafike
grid on

Bode Diagram
150

100
Magnitude (dB)

50

0

-50

-100
-135

-180
Phase (deg)

-225

-270
-2 -1 0 1 2
10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)

d3=0.3000
wpi3=3.4641
Fpf3= -46.1198
wpf3=5.7239
ddB3= -10.4577
Fpf3<0 dhe ddB3<0 → sistemi është jo stabil kur të mbyllet dega këthyese.

147/224



Shembull 181:

Të shkruhet programi në Matlab që të fitohet diagrami i Nyquist-it dhe Nichols-it për funksionin
transmetues në vijim për k=30.

k ( s  1)(s  3  7i)( s  3  7i )
G( s) 
( s  1)( s  3)(s  3  7i)( s  3  7i)

Zgjidhje .

>> %MATLAB Programi
>> %shembull i diagramit te nikvistit dhe nikollsit
>> % Program MATLAB
>> numg = 15*[1 3 7];
>> deng = conv([1 3 7],poly([-1 -3]));
>> T = feedback(G, 1);
>> step(T)

Përgjigjja nga kompjuteri

Step Response
1

0.9

0.8

0.7

0.6
Amplitude

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Time (sec)

148/224



>> clf
>> z = [-1 -3+7*i -3-7*i];
>> p = [-1 -3 -5 -3+7i -3 -7*i];
>> k=30;
>> [num, den] = zp2tf (z', p', k');
>> subplot (211), nyquist (num, den)
>> subplot (212), Nichols (num, den)
>> ngrid
>> axis ([50 360 -40 30])

Nyquist Diagram
1

0.5
Imaginary Axis

0

-0.5

-1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
Real Axis

Nichols Chart
0.5 dB dB
0.25
Open-Loop Gain (dB)

20 1 dB -1 dB
3 dB
6 dB -3 dB
0 -6 dB
-12 dB
-20 -20 dB

-40 dB
-40
90 135 180 225 270 315 360
Open-Loop Phase (deg)

Shembull 182:

Sistemi i kontrollit është definuar me.

  0 1   x1  1 1  u1 
 x1   
      
 x   30  7  x2  0 1 u2 
 2

149/224



  1 0 x
 y1     1 
   0 1  x 
 2 
 y1 
Të vizatohen katër forma të caktuara të diagramin e Bodeut për sistemin [dy për input1,dhe dy për input
2]përmes Matlabit.

Zgjidhje .

>> %Diagrami i Bodeut
>> A = [0 1;-30 -7];
>> B = [1 1; 0 1];
>> C = [1 0; 0 1];
>> D = [0 0; 0 0];
>> bode(A, B, C, D)
Bode Diagram
From: In(1) From: In(2)
0
To: Out(1)

-50

-100
0
Magnitude (dB) ; Phase (deg)
To: Out(1)

-45

-90
-135
100
To: Out(2)

0

-100
180
To: Out(2)

0

-180
0 2 0 2
10 10 10 10
Frequency (rad/sec)

Shembull 183:

Të vizatohet diagrami i Nyquist-it për sistemin e definuar me.

  0 1   x1   0   x1 
 x1   
      u y  1 0   0u
 x   30  7  x2  30  x2 
 2

150/224



Përmes programit Matlab .

Zgjidhje .

Diagrami i nikuistit mundë të fitohet përmes komandës nyquist (A, B, C, D) ose nyquist (A, B, C, D,
1).

>> %MATLAB Programi
>> A = [0 1; - 30 7];
>> B = [0; 30];
>> C = [1 0];
>> D = [0];
>> nyquist(A, B, C, D)
>> grid
>> title('Diagrami i nikuistit')

Diagrami i nikuistit
1
2 dB 0 dB -2 dB -4 dB
4 dB
0.8
-6 dB
0.6 6 dB

0.4 10 dB -10 dB

0.2
Imaginary Axis

20 dB -20 dB

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Real Axis

Shembull 184:

Kontrolleri komplekes eshte dhene permes funksionit transmetues
s5
G( s)  2
( s  7  25)

Te gjinden lokusi i rrënjëve përmes programit Matlab.

151/224


Zgjidhje .

>> %MATLAB Programi
>> clf
>> num = [1 5];
>> den = [1 7 25];
>> rlocus(num, den);

Rezultatin është dhëne ne Figurë.

Root Locus
4

3

2

1
Imaginary Axis

0

-1

-2

-3

-4
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0
Real Axis

Shembull 185:

Të vizatohet diagrami për lokusin e rrënjeve për sistemin e hapur të funksionit transmetues e dhën G(s)
dhe H(s)

K ( s  3)
G ( s) H (s) 
(s  3s  7)(s 2  2s  7)
2

K (s  3) K ( s  3)
G ( s) H (s)   4
(s  3s  4)( s  2s  7) ( s  5s  17 s 2  29 s  28)
2 2 3

>> %MATLAB Programi
>> num = [0 0 0 1 3];
>> den = [1 5 17 29 28];
>> K1 = 0:0.1:2;
>> K2 = 2:0.02:2.5;
>> K3 = 2.5:0.5:10;
>> K4 = 10:1:50;

152/224


>> K5 = 50:5:800;
>> K = [K1 K2 K3 K4 K5];
>> r = rlocus(num, den, K);
>> plot(r, 'o')
>> v = [-10 5 -8 8];
>> axis(v)
>> grid
>> title('llokusi i rrenjeve per G(s)H(s)')
>> xlabel('boshti real')
>> ylabel('boshti imagjinar ')
llokusi i rrenjeve per G(s)H(s)
8

6

4

2
boshti imagjinar

0

-2

-4

-6

-8
-10 -5 0 5
boshti real

Shembull 186:

Sistemi i kontrollit është dhënë me .


 x1  3 0 0  x1  0 2  x1 
 x   0 1 0  x   2 0  u1  1 2 0  

y   x2 
 2    2    u  0 1 0  
 x3  0 4 5  x3  0 1   2 
     x3 
 
 

Të caktohet kontrollabiliteti dhe observabilitetit përmes programit Matlab.

Zgjidhje :

153/224


>> %MATLAB Programi
>> A = [3 0 0; 0 1 0; 0 4 5];
>> B = [0 2; 2 0; 0 1];
>> C = [1 2 0; 0 1 0];
>> D = [0 0; 0 0];
>> rank ([B A*B A^2*B])
ans =

3
>> rank ([C' A*C' A^2*C'])

ans =

3
>> rank ([C*B C*A*B C*A^2*B])

ans =

2

Nga paraqitja sistemi është në gjendje të kontrollabilitetit por nuk është komplet observatibil. Dalja e tijë
është e kontrollueshme.

Shembull 187:

Të konsiderohet sistemi


 x1  3 0 0  x1 

 x   0 1 0  x 
 2    2 
 x3  0 3 2  x3 
  
 
 
Dalja e tijë është :

 x1 
y  1 1 1 x2 
 
 x3 
 

Të shqyrtohet observabiliteti i sistemit me programin Matlab.

 x1 
 y1  1 1 1  
 y   1 3 2  x2 
 2   
 x3 

154/224



Zgjidhje .

>> A = [3 0 0; 0 1 0; 0 3 2];
>> C = [1 1 1];
>> rank ([C' A' *C' A'^2*C'])

ans =

3

Nga rezultati ne shohim se sistemi është observabil dhe i kontrollueshem.

Shembull 188:

C ( s) s 3  6 s 2  7 s  15
 
R( s ) s 5  s 4  5s 3  9s 2  11s  12

Zgjidhje

>> %Programi ne Matlab
>> den = [1 1 - 5 - 9 11 -12];
>> A = roots (den)

A=

12.1776
0.4112 + 0.9035i

155/224


0.4112 - 0.9035i0.4917 – 0.7669i

Shembull 189:

Të përcaktohet me sakësi ekuacioni i rendit të dytë i përafërt me Programin Matlab dhe të simulohet
sistemi këthyesë .

15( s 2  3s  7)
G( s) 
(s 2 3s  7)(s  1)(s  3)

Zgjidhje.

>> numg = 15*[1 3 7];
>> deng = conv([1 3 7],poly([-1 -3]));

>> T = feedback(G, 1);
>> step(T)

Step Response
1

0.9

0.8

0.7

0.6
Amplitude

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Time (sec)

156/224



Shembull 190:

Është dhënë sistemi me lidhje rivepruese si në figurë.
a. Të llogaritet përmes Matlab-ut funksioni transmetues i qarkut të mbyllur dhe të paraqitet rezultati
duke përdor urdhërin printsys

Zgjidhje

% m-fajlli: sistemi transmetues.m
nr_G1=[1]; emr_G1=[1 1];
nr_G2=[1 -2]; emr_G2=[1 10];
[nr_G,emr_G]=series(nr_G1,emr_G1,nr_G2,emr_G2);
% funksioni transmetues i degës direkte
[nr_W,emr_W]=cloop(nr_G,emr_G); % funksioni transmetues I sistemit printsys(nr_W,emr_W)
step(nr_W,emr_W);
title('funksioni transmetues me dege njesi')
xlabel('t(s)')
ylabel('y(t)')

Rezultati :

num/den =

s-2
–-------------
s^2 + 12 s + 8

157/224



f unksioni transmetues me dege njesi
0.1

0.05

0

-0.05
y(t)

-0.1

-0.15

-0.2

-0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8
t(s) (sec)

158/224



Shembull 191:

Është dhënë sistemi mekanik i dhënë në figurë. Të llogaritet dhe të vizatohet çvendosja e masës nëse në
të veprojm:
a. Forcë konstante prej 5N.
b. Forcën në formë f(t)=3sin(t)

Janë dhënë : M=10kg; k=1N/m; b=0.5Ns/m

Zgjidhje:

Funksionin transmetues do ta caktoj si :

Mx''(t)=f(t)-kx(t)-bx'(t) / L
2
s MX(s)=F(s)-kX(s)-bsX(s)
2
X(s)[s M+bs+k]=F(s)

X (s) 1 1
 2
 2
F ( s ) Ms  bs  k 10 s  0.5s  1

Për caktimin e emruesit të sistemit do ta përdorim urdhërin lsim x=lsim[nr,emr,u,t];

% m-fajlli:
nr=[1]; emr=[10 0.5 1];
t=1:0.1:200;
% zgjidhja nen a):
u=5*ones(1,length(t)) % vektori ku te gjithe elementet jane =5;

y_a=lsim(nr,emr,u,t);

159/224


% zgjidhja nen b):
u=3*sin(t);
y_b=lsim(nr,emr,u,t);
% vizatimi i emruesit

subplot(211); plot(t,y_a);
title('forca qe vepron f(t)=5N'), ylabel('x(m)')
subplot(212); plot(t,y_b);
title(' forca qe vepron f(t)=3sin(t)'), xlabel('t(s)'), ylabel('x(m)')

forca qe vepron f(t)=5N
10

8

6
x(m)

4

2

0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

forca qe vepron f(t)=3sin(t)
1

0.5
x(m)

0

-0.5

-1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
t(s)

160/224



Simulink

Shembulli 193:
.
Të simulohet ekuacioni y  10 sin( t ) duke përdor Simulinkun e programit Matlab
intervali 0 ≤ t ≤ 13.

dy
 10 sin( t ) y (0)  0
dt

Zgjidhja e së cilit është :

y (t )  10(1  cos t )

Modeli i Simulinkut

1
10
s
Sine Wave Gain Integrator Scope

Parametrat për bllokun Sine Wave:

Amplitude= 1,
Frequency= 1,
Phase= 0,
Sample time= 0

161/224



Parametrat për bllokun Gain:

Hapi i simulimit është : 25

Pas simulimit klikojm dy here në Scope block fitohet paraqitja grafike.

162/224



Shembulli 194:

Funksioni transmetues i dhënë me ekuacionin:

6 s  14
G
s  2 s 2  5s  9
3

Të vizatohet sistemi i dhënë përmes variablave të gjendjes dhe dhe bllok diagrami duke përdor
funksioni STEP

Duke i bërë zëvendësimet e më poshtëme:

6s  14 Y ( s) Z ( s) 1 Z ( s)
G 3 2
 *  3 2

s  2 s  5s  9 Z ( s ) U ( s ) s  2 s  5s  9 U ( s )

Y ( s)
6s  14   z ' ' '2 z ' '5 z '9 z  u
Z ( s)

163/224



y  6 z '14 z 1.

I vendosim variablat e gjendjeve në formë:

  
x1  Z  x1  Z 2.

   
x2  Z  x 2  Z  x1 dhe x 2  x1 3.

  
x3  Z  x 3  Z  x2 dhe x 3  x2 4.

Me kombinimin e ek. 1 dhe ek. 2 do të kemi :


x1  2 x1  5 x2  9 x3  u ek. 5

Nga ekuacioni 2 , 3, 4 do të paraqesim në formë matricore:


 x1    2  5  9  x1  1

x    1 0 0  *  x 2    0 u
 2       
 x3   0
 1 0   x3  0
    
 
 

 x1 
y  6 x2  14 x3  y  0 6 1 4 *  x2 
 
 x3 
 
Modeli në Simulink për ekuacionet e gjendjës:

6

Step Gain3 1 1 1 Scope
s s s
Integratori 1 ntegratori 2 ntegratori 3 6

Add Gain4
Gain2
1
2 Gain1 14
Out1
5 Gain5
Gain Add1

9

164/224


Paraqitja e simulimit është dhënë në figurën e më poshtme :

Shembulli 195

6
Sistemi dinamik është dhënë me Gp  3 2
s  7 s  14 s  8

Të zgjidhet sistemi i dhënë përmes variablave të gjendjës. Variablat e gjendjës janë dhënë x1  y

x2  y x  y
Të gjenerohet ndryshimi i kohës i variablave përmes Simulinkut

6 Y ( s)
Gp  3 2

s  7 s  14 s  8 U ( s )

s 3Y  7 s 2Y  14Y  8Y  6U

Y ' ' '7Y ' '14Y '8Y  6u ek.1

 
x1  y  x1  y ek.2

165/224


  
x2  y  x2  y  x1 dhe x 2  x1 ek.3

  
x3  y  x3  y  x2 dhe x 3  x2 ek.4

Me kombinimin e ekuacionit m1 dhe ekuacionit 2 do të kemi:


x1  7 x1  14 x2  8 x3  6u ek 5

Ekuacionet 2 ,3 dhe 4 do ti shkruajm në formën matricore:


 x1   7  14  8  x1  6

 x1 
x    1 0 0  *  x 2   0u y  x 3  y  0 0 1 0 *  x 2 
 2         
 x3   0
 1 0   x3  0
      x3 
 
 
 

Modeli në Simulink për ekuacionet e gjendjës:

6
1 1 1 Scope
Step Gain3
s s s
1
Integratori 1 ntegratori 2 ntegratori 3
Out1
Add
Gain2

7 Gain1

14
Gain

8

Parametrat për bllokun e ngacmimit :

166/224



Paraqitja e simulimit është dhënë në figurën e më poshtme :

167/224



Shembulli 196:

Përmes metodës së variablave të gjendjës:

Për një qark elektrik pas ekujvalentimit ekuacioni i tijë është :
di
Ril  L L vc  u0 (t )
dt
1 diL
vc  (1)iL  vc  1
4 dt

diL
 4iL  4vc  4 1
dt c
Më pastaj po definojm variablat e gjendjës:
x1  iL dhe x2  ic 2

 diL  dvc
x1  dhe x2  .3
dt dt

168/224


dv
Atëher: iL  C c
dt

dvc 4
x1  iL  C  C x2  x 2
dt 3
Ose
 3
x2  x1 .4
4

Nga ekuacionet e lartëshënuara do të shprehim ekuacionet e gjendjës:


x1  4 x1  4 x2  4

 3
x2  x1
4
Kurse forma matricore është:
     4  4  x   4 
 x1   

1
  x    0  u 0 (t ) .5
 x 2  3 / 4 0   2   
 
Atëher zgjidhja e ekuaciuonit 5 do të jetë:
 x1   e  t  e 3 t 
x   t  3t 
 2  1  0.75e  0.25e 

Atëherë:

x1  iL  e  t  e 3t

x2  vc  1  0.75e t  0.25e 3t

Detyra për ekuacionet diferenciale do të zgjidhet përmesë simulink-ut në dy mënyra:

Mënyra e parë:

Duke shfrytëzuar ekuacione e më sipërme formojm modelin në Simulink i cili ka formën si më poshtë:

169/224


3
1 1
Step Gai n s s
Integrator1 Integrator Scope
Add

Gain1

-4

Gain5

-3

Paraqitja grafike për hapë simulimi 10 është paraqitur në figurën e më poshtëme.

Mënyra e dytë përtmes ekuacionit të gjendjeve:

Nga ekuacioni 5 do të kemi

     4  4  x   4 
 x1   

1
  x    0  u 0 (t )
 x 2  3 / 4 0   2   
 

x 
y  Cx  du ose y  0 1 1   0u
 x2 
Modeli i simulinkut ka këtë formë :
x' = Ax+Bu
y = Cx+Du
Step State-Space Scope

170/224
simout

To Workspace


Atëher në bllokun për parametrat e funksionit do të shenojmë:

Shenojmë vlerën në command window:

>> x1=0;x2=0.5;

171/224



Shembulli 197:

Është dhënë ekuacioni diferencial :
d4y d3y d2y d y
4
 a3 3  a2 2  a1  a0 y (t )  u (t )
dt dt dt dt

172/224



Nëse me y(t) marrim madhësin dalëse kurse me u(t) atë hyrëse

y(0)=y’(0)= y’’(0)= y’’(0)=0
nga forma matematike dihet se zgjidhja e ekuacionit diferencial është:

d4y d3y
 2 3  y (t )  sin t
dt 4 dt
duke përdor vlerat fillestare y(0)=y’(0)= y’’(0)= y’’(0)=0

y (t )  0.125[(3  t 2 )  3t cos t ]

Për ta shëndërruar ekuacionin ek. 2 përmes variablave të gjendjës duhet të përdorim katër variabla, pra
do të përdorim variablat e gjendjës x1 x2 x3 dhe x4 ekuacionet diferenciale do të jenë:

y (t ) y 2 (t ) y 3 (t )
x1  y (t ) x2  x3  x4 
dt dt 2 dt 3

Ne vijmë në përfundim se

  
x1  x2 x 2  x3 x3  x4

d4y
 x4  a0 x1  a1 x2  a2 x3  a3 x4  u (t )
dt 4

Kurse forma matricore është:


 x1   0 1 0 0   x1  0
x   0 0   x2  0

0 1
 2          u (t )
 x3   0 0 0 1   x3  0
    a  a1  a2
    
 a3   x4  1
 x4   0
 


x  Ax  du

173/224


y  x  du


 x1   0 1 0 0   x1  0


x   0 0 1 0  x  0
x   2  A  x 
2
b    u=u(t)
 x3   0 0 0 1   x3  0
      
 x4   a0  a1  a2  a3   x4  1
 

y (t )  x1
 x1 
x 
y  1 0 0 0   0u (t )
2

 x3 
 
 x4 

Duke zëvendësuar ekuacionet e lartëposhtëm në ekuacionin 1 do të fitojmë.

a3  0 a2  2 a1  0 a0  1 u (t )  sin t


 x1   0 1 0 0  x1  0
x   0 0  x2  0

0 1
 2           sin t
 x3   0 0 0 1  x3  0
    a 0 2
    
0  x4  1
 x4   0
 


 x1   0 1 0 0  x1  0

x   0 0 1 0  x   
 x   2  b  0

x   A
2
u=sint
 x3   0 0 0 1  x3  0
      
 x4   a0
 0  2 0
  x4  1
 

y(t)=x1

174/224


 x1 
x 
y  1 0 0 0   0sin t
2

 x3 
 
 x4 


x' = Ax+Bu
y = Cx+Du
Signal State-Space Scope
Generator

0

Display

Amplitude: 1
Frequency: 2
Units: Hertz

Parametrat në bllokun State –Space

175/224



Shkruajm ne :
Command windows
>> a0=1; a1=0; a2=2; a3=0; x0=[0 0 0 0]';

Paraqitja grafike për modelin e simulinkut është dhënë në figurën e më poshtëme:

Shembulli 198

176/224



Është dhënë funksioni transmetues:
V ( s) s
G( s)  d  2
Vh ( s ) s  s  1

Duke përdor Programin Matlab të vizatohet modeli dhe të paraqitet grafikisht funksioni nëse në hyrje
vepron sinjali Step.

Modeli duke u bazuar në shprehjen e funksionit transmetues.

s
s2 +s+1
Step Transfer Fcn Scope

Parametrat për bllokun STEP.

177/224



Parametrat për bllokun Transfer Fcn

Paraqitja grafike e funksionit

Shembulli 199:

178/224



5s ( s  3)
Për funksionin e dhëne G ( s ) 
(s  1)(s  2)(s  4)
Duke i marrë parasysh tre modelet e me poshtme të modelit supozojm se vlerat fillestare të gjendjes
janë: -0,1,0 dhe 0. Ne mundë ti caktojm matricat A,B,C dhe D përmesë Programit Matlab me
funksionin zp2ss.


5s(s+3)
Step
(s+1)(s+2)(s+4) Scope1

Zero-Pole

x' = Ax+Bu
y = Cx+Du
Scope2
State-Space

5s(s+3)
(s+1)(s+2)(s+4) Scope3
Zero-Pole1

Për këtë shembull funksioni transmetues në variabla të gjendjes është paraqitur përmes shprehjës.

Shprehja në:
Command Window

>> z=[0 -3]; p=[-1 -2 -4]'; k=5; [A B C D]=zp2ss(z,p,k)

Kurse rezultati eshtë:

A=

-1.0000 0 0
1.0000 -6.0000 -2.8284
0 2.8284 0

B=

1

179/224


0
0

C=

5.0000 -15.0000 -14.1421

D=

0

Parametrat në bllokun Step

Parametrat në bllokun Zero-Pole

Parametrat në bllokun State – Space

180/224



Parametrat në bllokun Zero- Pole1

Paraqitja grafike e simulinkut për tri modelet është paraqitur në figurat e më poshtme.

181/224



182/224



Shembulli 200:

Le të jetë dhënë ekuacioni diferencial i një osilatori të thjeshtë.

d2y dy
2
 a  by  0
dt dt
Ose
d2y dy
2
 a  by  0
dt dt

Duke u bazuar në ekuacionet e më sipërme fitojm modelin:

1 1
s s
Scope1
Integrator Integrator1

Add
Gai n1

a

Gain2

b

Në Command Window:
>> a=0.1;
>> b=3;

183/224



184/224



Shembulli 2001:

Modelet me funksione diferenciale te rendit të dytë për figuren e më poshtme të llogariten përmes
Simulinkut të programit Matlab :

f(t) – k x – b x’ – m x” = 0

Përmes veprimeve matematikore fitojm shprehjen:

x" = 1/m[bx' + kx + f(t)]

1 1
1/m
Step s s

perforcuesi 3 integratori 1 Integratori 2 Scope

perforcuesi1

b

perforcuesi 2

k

185/224



Përgjigjëja për sinjalin step ka këto vlera:

Simulation time =10s

Në:
command windows:

>> m = 2;

>> b = 5;

>> k = 3;

Ku fitohet grafiku për ekuacionin e rendit të dytë , ku si ngacmim kemi marrë sinjalin step.

186/224



Shembulli 202:

 1 
x ( f ( x )  c x  kx )
m

Modeli simulues.

m
1 1
m asa s s
Step
i ntegrali x'' integral i x' Scope

vl era per 'c'

c

vlera per 'k'

k

Parametrat e bllokut Step:

187/224



Vlerat e dhena në Command Window:
>> m=0.5;
>> c=0.35;
>> k=0.5;

Paraqitja grafike:

188/224



Shembulli 203:

Të simulohet sistemi i dhënë në Simulink. Me këto vlera: m1=5, m2=3, c1=4, c2=8, k1=1, dhe k2=4

k1 c1

x2
m1

c2
k2

x1
m2
f

Ekuacioni i lëvizjës është:
.. . .
5 x1 12 x1 5 x1  8 x 2  4 x 2  0
.. . .
3 x 2 8 x 2 4 x 2  8 x 1  4 x1  f (t )

Ekuacioni i më sipërm mundë ta shndërrojmë në ekuacione të gjendjes:
. .
z 2  1 (5 z1 12 z 2 4 z3  8 z 4) z 1  z2
5
. .
z 4  1 (4 z1 8 z 2 4 z3  8 z 4  f (t )) z 3  z4
3
Forma matricore:

.
z  Az  Bf (t )

x1
.
x1

x2
.
x2
189/224



k1 c1

x2
m1

c2
k2

x1
m2
f

. .
Të dhënat inicuese janë: x 1(0)  0.2, x1(0)  0, x 2(0)  0.5, x 2(0)  0
Ekuacionet dalëse: y  Cz  Bf (t )
Modeli për variablat e gjendjes:
x' = Ax+Bu
y = Cx+Du
Step State-Space Scope

Parametrat për bllokun Step:

190/224



Parametrat për bllokun State Space:

Paraqitja grafike e ekuacionit të gjendjes:

191/224



S- Function
Shembulli 204:

Zgjidhja e një ekuacioni diferencial të rendit të dytë në funksion të kohës.

x' '2 x  sin( t ) ose në Mekanikë: x  2 x  sin( t ) ekuacioni (1)

Për kushtet fillestare t=0, x=0, x' '  0.5

Duke ditur se problemet reale përshkruhet me ekuacione diferenciale mjaft të komplekse dhe në të
shumtën e rasteve “të pazgjidhshme me dorë” në vijim le të realizojmë zgjidhjen e ekuacionit paraprak
në Matlab.
Së pari bëjmë uljen e rendit të ekuacionit diferencial, pra marrim këto shënime:

x  x (1)
 ekuacioni (2)
x  x (2)  dx (1)

Prej nga :
  
x  dx(2)  x(2)  x (1)
Ekuacionin fillestar do ta shprehim si :

x  2 * x  sin( t ) ekuacioni (3)

Në këtë ekuacion hyrje (ngacmim) në funksion të kohës është M=sin(t), e cila brenda nën-programit të
zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale do të identifikohet me u, atëherë ekuacionet (2) dhe (3) paraqesin
dy ekuacione diferenciale të rendit të parë të rrjedhura nga ekuacioni diferencial i rendit të dytë (1). Një
veprim i tillë shpesh quhet edhe paraqitje e ekuacioneve diferenciale nëpërmjet variablave të gjendjes.
Kështu ekuacionet që duhet të shkruhet në nën-programin zgjidhja.m do kenë formën:

dx(1)  x(2)

dx(2)  2 * x(1)  u

192/224



[t,M] zgjidhja

From S-Function
Workspace Scope

Listingu i nën-programit për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale zgjidhja.m është dhënë në vijim:

function [dx,x0,str,ts] = int(t,x,u,flag)
switch flag
case 0
dx=[2, %
0,
2,
1,
0,
2,
1];
x0 = [0,0.5];
str=[];
ts=[0 0];
case 1

dx(1)=x(2);
dx(2)=-2*x(1) + u;

case 2
dx=[];
case 3
dx=x;
case 9
dx=[];
otherwise
error(['unhndled flag = ' ,num2str(flag)]) ;
end

Commande Window:

>> t = ( 0 : 0.01 : 10 )';
>>M = sin( t );

193/224


Pas hapjes së Simulinkut, hapim modelin e ri në dritaren modeli.mdl, vendosim modulim për lexim të të
dhëna nga “Command Window” përkatësisht modulin “From Workspace” dhe aty shënojmë se ky
modul duhet të lexoj funksionin M.

194/224



Shembulli 205:

Të zgjidhet qarku i më poshtëm për i1 , i2, Vc dhe të paraqitet ndryshimi i këtyre madhësive në raport
me kohën dhe këto të paraqiten grafikisht duke përdor Programin Matlab.

Janë dhënë këto vlera:

Lp=0.1H, Ls=0.2H, Rp=1Ω, Rs=2Ω,R1=1Ω,Mi=0,1H, C=1μF, V=10V
Sinjali hyrës STEP

Metoda I

Vetem me kodin ne MATLAB

% Vetem me kodin ne MATLAB
clear all
Lp = 0.1;
Ls = 0.2;
Mi = 0.1;
Rp = 1;
Rs = 2;
R1 = 1;
C = 1e-6;
V = 10;
alpha = 0.1;
R = [-Rp 0 0; 0 -(Rs+R1) -1; 0 1 0]
D = [1;0;0]
L = [(Lp+Mi) -Mi 0; -Mi (Ls+Mi) 0; 0 0 C]
Linv = inv(L);
A = Linv*R;
B = Linv*D;
X = [0;0;0];
U = V;
T = 0.0001; % Koha e ngacmimit

195/224


for n = 1:10000
n1(n) = n;
Xest = X + T*(A*X + B*U);
Xdotest = A*Xest + B*U;
alpha1 = 1 + alpha;
alpha2 = 1 - alpha;
term1 = alpha1*Xdotest;
termint = A*X + B*U;
term2 = alpha2 + termint;
X = X + (T/2)*(term1 + term2);
i1(n) = X(1);
i2(n) = X(2);
Vc(n) = X(3);
end
figure (1)
subplot(3,1,1)
plot(n1*T,i1)
grid
ylabel('i_1 [A]')
title('i_1 vs time')
subplot(3,1,2)
plot(n1*T,i2)
grid
axis([0 1 -0.01 0.01])
ylabel('i_2 [A]')
title('i_2 vs time')
subplot(3,1,3)
plot(n1*T,Vc)
grid
axis([0 1 -5 10])
xlabel('Time')
ylabel('V_c [V]')
title('V_c vs time')

Rezultati

196/224


i1 vs time
i1 [A] 10

5

0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
i2 vs time
0.01
i2 [A]

0

-0.01
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Vc vs time
10
5
Vc [V]

0
-5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Time

197/224


Metoda II
Matlab + Simulink: S-function

time
Clock
To Workspace
i1

T o Workspace1

10 funksioni

Constant S-Function

i2

To Workspace2 Scope

Vc

To Workspace3

Parametrat për bllokun To Workspace:

198/224



% fajlli funksioni
function [sys, x0]=prob1(t,x,u,flag)
Lp = 0.1;
Ls = 0.2;
Mi = 0.1;
Rp = 1;
Rs = 2;
Rl = 1;
C = 1e-6;
V = 10;
alpha = 0.1;
R = [-Rp 0 0; 0 -(Rs+Rl) -1; 0 1 0]
D = [1;0;0]
L = [(Lp+Mi) -Mi 0; -Mi (Ls+Mi) 0; 0 0 C]
Linv = inv(L);
A = Linv*R;
B = Linv*D;
if abs(flag)==1
sys(1:3)=A*x(1:3)+B*u;
elseif abs(flag)==3
sys(1:3)= x(1:3);
elseif flag==0
sys(1)=3;
sys(2)=0;
sys(3)=3;
sys(4)=1;
sys(5)=0;
sys(6)=0;
x0= [0; 0; 0];
else
sys=[];
end;

Parametrat për bllokun S- Function

199/224



% fajlli plot_1
figure(1)
subplot(3,1,1)
plot(time,i1)
grid
ylabel('i_1 [A]')
title('i_1 Vs koha')
subplot(3,1,2)
plot(time,i2)
grid
ylabel('i_2 [A]')
title('i_2 Vs koha')
subplot(3,1,3)
plot(time,Vc)
grid

xlabel('koha')
xlabel('V_c [V]')
title('V_c Vs koha')

Parametrat për bllokun Scope:

200/224



Vetitë e modelit:

201/224



Paraqitja Grafike e Simulimit të modelit:

202/224



Shembulli 206:

Të shkruhet S funksioni i cili e modelon sistemin nga figura e më poshtme. Së simulohet puna e sistemit
për 8 sekonda në vazhdim për sinjalin e paraqitur.

 
p 4 p p  5 p  e 2
 p
p (0)  0.3 p (0)  1 s3

Zgjidhje

 
p 4 p p  5 p  e

p(0)  0.3 p (0)  1

x1  p

x2  p

x1  x2
e  u  2 x3

x2  (u  2 x3 )  5 x1  4 x1x2

x2  e  5 x1  4 x1 x2

Y 2 
  y  2q  3 y
Q s3
x3  y  q  p  x1

x3  2 x1  3x3

203/224



Modeli në Simulink i cili është i përbër edhe nga blloku S- Function

sinjal sistem

From S-Function Scope
Workspace

Scope1

Listingu i nën programit sistem.m

% .m fajlli me emertim sistem.m
function [sys,x0] = sistem2(t,x,u,flag)
if flag == 0
sys = [3;0;1;1;0;0];
x0 = [-0.3;1;0];
elseif flag == 1
sys(1) = x(2);
sys(2) = (u-2*x(3))-5*x(1)-4*x(1)*x(2);
sys(3) = 2*sqrt(abs(x(1)))-3*x(3);
elseif flag == 3
sys = x(3);
else
sys =[];
end

Sinjali:
Në Command Window:

t=0:0.01:8;
u=min(abs(2*sin(t)),(t<4).*(1/2).*t+(t>=4).*(4-t/2));
sinjal=[t' u'];

204/224



Paraqitja grafike e simulimit të modelit në Simulink.

205/224



Shembulli 207:

d 2 d
Është Dhënë ekuacioni për lavjerrës M J 2
c  mgL sin 
dt dt
Ose

d 2 1 d
2
 (M  c  mgL sin  )
dt J dt

Le të jetë   x1 dhe d / dt  x2

  1
Atëher : x1  x2 dhe x 2  d 2 / dt 2  ( M  cx2  mgLx1 )
J
Per: J=2, M=1, c=0.2, mgL=2
 
Ekuacioni i gjendjes është: x1  x2 x 2   x1  0.1x2  0.5
 0 1   x1  0
 x1   
      u
 x   1  0.1  x2  1
 2
Nese u=M=hyrje
Ateher:

x  Ax  Bu
y  Cx  Du

0 1  0
A  B  1
 1  0.1  

C  1 1

 0
D 
1

206/224



Modeli në Simulink i cili është i përbër edhe nga blloku S- Function

1 lavjerresi

Constant S-Function Scope

Listingu i nenprogramit:

function [sys,x0,str,ts]=lavjerresi(t,x,u,flag)

%
A=[0 1; -1 -0.1]; B=[0; 1]; C=[0 1]; D=[0; 1];
%
switch flag

case 0
[sys, x0,str, ts]=mdlInitializeSizes(A,B,C,D);

% Derivimi
case 1
sys=mdlDerivatives(t,x,u,A,B,C,D);
%
% daljet
%
case 3
sys=mdlOutputs(t,x,u,A,B,C,D);

case 9

end

% S-funksionet

function [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes(A,B,C,D)
sizes=simsizes;
sizes.NumContStates=size(A,1);
sizes.NumDiscStates=0;

207/224


sizes.NumOutputs=size(D,1);
sizes.NumInputs=size(D,2);
sizes.DirFeedthrough=any(any(D~=0));
sizes.NumSampleTimes=1;
sys=simsizes(sizes);
x0=ones(size(A,1),1);
str=[];
ts=[0 0];

function sys=mdlDerivatives(t,x,u,A,B,C,D)
sys=A*x+B*u;

function sys=mdlOutputs(t,x,u,A,B,C,D)
sys=C*x+D*u;
%
% fundi

Paraqitja grafike e simulimit të modelit i cili pëmban edhe S- Function

208/224



Rrjetat Fuzzy Neurale
Shembulli 208:

Llogaritja e vlerës mesatare në dalje në disa intervale për funksionin Y(t)=4sin(t).

Zgjidhje

Në detyrën tonë ne do të zbatojmë metodën Sugeno ku fillimisht e bëjmë definimin e hyrjeve apo
intervaleve të vlerave hyrëse në nënintervale. Amplituda e funksionit është -4 dhe 4 dhe këtë e ndajmë
në nënintervalet e që do të jenë: [-4 -2] , [-1 0] , [0 0] , [0 2] , [2 4].
Me zbatimin e paketës MATLAB 7.4.0 (R2007) ne do të zbatojmë metodën Sugeno. Me
fillimin e programit dhe me zgjedhjen Start, Toolboxes, Fuzzy Logic, Fis Editor Viewer dhe do të
fitojmë dritaren e Fis Editor Viewer. Pasi kemi ndar nën intervalet dhe kemi filluar punën me zgjedhjen
e metodës Sugeno dhe përcaktimit të hyrjeve dhe daljeve ne fillojmë futjen e të dhënave një nga një për
hyrje dhe dalje të veçanta. Më pastaj fillojmë definimi i rregullave ku bëjmë lidhjen e hyrjeve me daljet
e caktuara ku secilës hyrje i korrespondon nga një nëninterval e cila lidhet me daljen përkatëse. Me
pastaj do të shohim se si ndërron dalja e caktuar në varshmëri të hyrjes së caktuar dhe pamja rules dhe
surface për rastin e daljes 1 deri te dalja 5. Dhe në fund me paraqitjen e skemën në Simulink ku modeli i
paraqitur do të na mundësoj pamjen grafike të ndryshimeve e në rastin tonë kemi pesë paraqitje të
grafikut për intervalin kohor prej 10s.
Në pjesën e më poshtme po paraqesim procedurën e zgjidhjes së detyrës së dhënë hap pas hapi
duke e ilustruar me pamje.

209/224



Me startimin e editorit FIS dhe caktimit të daljeve sipas intervaleve të parapërcaktuara (pesë) fillimisht
përcaktojmë amplitudën e që në rastin tone, është -4 dhe 4.

Figura.2.1. Fis Editor Sugeno me parametra e caktuar me hyrje dhe pesë daljet

Intervalin e parë [-4 -2]

Figura.2.2. Definimi i hyrjes së parë me intervalin e parë [-4 -2]

210/224



Intervalin e dytë [-2 0]

Figura 2.3. Definimi i hyrjes së dytë, në intervalin e dytë [-2 0]

Intervalin e tretë [0 0]

211/224


Figura 2.4. Definimi i hyrjes së tretë, në intervalin e tretë [0 0]

Intervalin e katërt [0 2]

Figura 2.5. Definimi i hyrjes së katërt, në intervalin e katërt [0 2]

Intervalin e pestë [2 4]

212/224


Figura 2.6. Definimi i hyrjes së pestë, në intervalin e pestë [2 4]

Pas caktimit të intervaleve për hyrje fillojmë caktimin e definimi i daljeve për secilin rast veç e veç .
Definimi i vlerës së parë dalëse (D1) është marrë mesi i intervalit [-4 -2] respektivisht (-3).

Figura 2.7. Definimi i daljes së parë.

Definimi i vlerës së parë dalëse (D2) është marrë mesi i intervalit [-2 -0] respektivisht (-
1).

Figura 2.8. Definimi i daljes së dytë.

213/224


Definimi i vlerës së parë dalëse (D3) është marrë mesi i intervalit [0 0] respektivisht (0).

Figura 2.9. Definimi i daljes së tretë.


Figura 2.10. Definimi i daljes së katërt.


214/224



Figura 2.11. Definimi i daljes së pestë.

Hapi i tretë më radhë është definimi i kushteve ku zgjedhim edits rule dhe paraqitet pamja dhe
nga forma zgjedhim kushtet e me poshtme të paraqitura në figurën 2.16

Figura 2.12. Definimi i rregullave.

215/224



Për pamje të varshëmëris së daljes nga hyrja kemi marrë hyrjen e katërt dhe daljen e katërt.

Figura 2.13. Ndërrimi i daljes së katërt në varshmëri të hyrjes së katërt.

Figura 2.14. Ndërrimi i daljes së dytë në varshmëri të hyrjes së dytë.

216/224



Pamja surface viewer për secilin rast të intervalit.

Figura 2.15. dalja e parë .

Figura 2.16. dalja e dytë.

217/224



Figura 2.17. dalja tretë.

Figura 2.18. dalja katërt.

218/224



Figura 2.19. dalja pestë.

Me zgjedhjen e menynë Edit, Anfis do të fitojmë dritaren si në figurën 2.21. dhe me zgjedhjen e
opcionit Structure do të fitojmë pamjen si në figurën e më poshtme.

Figura 2.20. Dritarja Anfis Editori.

219/224



Kurse me zgjedhjen e opcionit Anfis model structure, na paraqitet pamja e lidhjes së hyrjeve dhe
daljeve.

Figura 2.21. Dritarja Anfis Model Structure.

Dhe në fund kemi paraqitur modelin e SIMULINK-ut ku janë paraqitur grafikisht hyrja dhe daljet e
modelit si dhe blloku kryesor Fuzzy Logic Controller me anë të secilit është bërë lidhja e fis editorit me
modelin .

Figura 2.22. Pamja e modelit në Simulink

220/224



Dhe me ekzekutimin e modelit paraqiten format grafike të intervaleve në dalje .

Figura 2.23. Grafiku për daljen: [-3]

Figura 2.24. Grafiku për daljen: [-1]

221/224



Figura 2.25. Grafiku për daljen: [0]

Figura 2.26. Grafiku për daljen: [1]

222/224



Figura 2.27. Grafiku për daljent: [3]

223/224



Literatura:

[1]: Prof Dr. Sc.Ramë Likaj “Simulimi i Sistemeve Mekanike /” shembuj të zgjidhur / Dispencë
U.Prishtinës.
[2]: Dr. sc. Ahmet SHALA “Softuerët Aplikativë “ Dispencë PRISHTINË, 2004
[3]: Brian D. Hahn and Daniel T. Valentine “Essential MATLAB For Engineers and Scientists “,
Butterworth-Heinemann 2007
[4]: Dingy¨u Xue, YangQuan Chen, Derek P. Atherton “Linear Feedback Control analysis
and Design with MATLAB”, pringer-Verlag 2002.
[5]: Sergey E. Lyshevsk,” Engineering and Scientific Computations Using MATLAB”, A John
Wiley & Sons, Inc., Publication 2003
[6]: O. BEUCHER and M. WEEKS “ INTRODUCTION TO MATLAB® & SIMULINK” , Infinity
Science Press LLC 2006
[7]: Jamal T. Manassah , “ELEMENTARY MATHEMATICAL and Computational Tools For
Electrical and Computer Engineers Using Matlab®”, CRC Press 2001
[8]: Jaan Kiusalaas, “Numerical Methods In Engineering With Matlab® “ , Cambridge
university press 2005
[9]: Rao V. Dukkipati, “ANALYSIS AND DESIGN OF CONTROL SYSTEMS USING MATLAB”,
PUBLISHING FOR ONE WORLD 2006
[10]: Steven T. Karris, “ Introduction to Simulink® with Engineering Applications”, Orchard
Publications 2008
[11]: Won Young Yang, Wenwu Cao, Tae-Sang Chung, John Morris, “APPLIED Numerical
Methods Using Matlab”, A John Wiley & Sons, Inc., Publication 2005
[12]: Ionut Danaila, Pascal Joly, Sidi Mahmoud Kaber, Marie Postel” An Introduction to
Scientific Computing”, Springer 2006
[13] Dr.Sc Ahmet Shala, “Rrjetat Fuzzy Neurale”, EALGA, Prishtinë 2006
[14[ www.mathworks.com, “Fuzzy Logic Toolbox”
[15] Gyla Mester “ Intelegentni Roboti i Sistemi’’ Subotica 2001
[16] Huaguang Zhang“ Fuzzy Modeling and Fuzzy Control’’ 2006 Boston

224/224


ushtrime matlab

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (20)

Similar to ushtrime matlab (20)

More from Burim Guri (8)

ushtrime matlab