Integer programming
5 likes6,550 views
Dokumen tersebut menjelaskan tentang program integer yang merupakan bentuk lain dari program linier dimana asumsi divisibilitas melemah. Terdapat tiga jenis program integer yaitu integer murni, campuran, dan 0-1. Diberikan contoh soal program integer dan penyelesaiannya melalui pencabangan untuk mendapatkan solusi optimal berupa bilangan bulat.
Integer programming
- 1. *****
- 2. Merupakan bentuk lain dari programa linier dimana asumsi divisibilitas melemah. Asumsi divisibilitas melemah artinya sebagian nilai variabel keputusan harus berupa bilangan bulat dan sebagian yang lain boleh berupa bilangan pecahan. Oleh karena itu terdapat 3 macam programa intejer yaitu Intejer Murni, Intejer Campuran dan Intejer 01
- 3. Contoh Intejer Murni (Pure Integer): Maks. f = 3x1 + 2x2 kendala: x1 + x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 ; x1, x2 : intejer Contoh Intejer Campuran (Mixed Integer): Maks. f = 3x1 + 2x2 kendala: x1 + x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 ; x1: intejer
- 4. Contoh Intejer ) 0 – 1 (Zero – One) Maks. f = x1 − x2 kendala: x1 + 2x2 ≤ 2 2x1 − x2 ≤ 1 x1, x2 = 0 atau 1
- 5. Contoh 1: Maks. f = 10x1 + x2 kendala: 2x1 + 5x2 ≤ 11 x1, x2 ≥ 0 dan intejer Solusi Grafis akan diperoleh:
- 6. x2 A(0;2,2) maka f = 2,2 (tdk fisibel) B(5,5;0) maka f = 55 (fisibel) 6 5 < x1 < 6 3 A B 0 3 6 x1
- 7. Solusi fisibel dibagi 2 menjadi: (1) Maks. f = 10x1 + x2 kendala: 2x1 + 5x2 ≤ 11 x1 ≤ 5 x1, x2 ≥ 0 dan intejer, dan (2) Maks. f = 10x1 + x2 kendala: 2x1 + 5x2 ≤ 11 x1 ≥ 6 x1, x2 ≥ 0 dan intejer
- 8. Problem (2) infeasible. Problem (1) mempunyai solusi fisibel dengan: x1 = 5 ; x2 = 0,2 dengan f = 50,2 Pencabangan dilakukan pada x2 karena: 0 ≤ x2 ≤ 1, sehingga terbentuk dua permasalahan lagi yaitu:
- 9. (3) Maks. kendala: f = 10x1 + x2 2x1 + 5x2 ≤ 11 x1 ≤5 x2 ≤ 0 x1, x2 ≥ 0 dan intejer, dan (4) Maks. f = 10x1 + x2 kendala: 2x1 + 5x2 ≤ 11 x1 ≤5 x2 ≥ 1 x1, x2 ≥ 0 dan intejer
- 10. Problem (3) diperoleh solusi: x1 = 5 ; x2 = 0 dan f=50 Problem (4) diperoleh solusi: x1 = 3 ; x2 =1 dan f=31 Karena keduanya sudah intejer, maka tidak ada lagi pencabangan. Permasalahannya Maksimasi, maka solusi optimumnya adalah x1* = 5 ; x2* = 0 dengan f = 50
- 11. f* = 50 4 f* = 50,2 2 f*=55 1 (5,5;0) f* = 31 (5; 0,2) 5 infeasible 3
- 12. Contoh 2: Maks. kendala: f = 3x1 + 4x2 2x1 + x2 ≤ 6 2x1 + 3x2 ≤ 9 x1, x2 ≥ 0 dan intejer Dengan mengikuti solusi dari programa linier, diperoleh solusi fisibel dengan: x1* = 2,25 ; x2* =1,5 dan f =12,75 I. Gunakan pencabangan pada x2: 1≤ x2 ≤2
- 13. (2) Maks. kendala: f = 3x1 + 4x2 2x1 + x2 ≤ 6 2x1 + 3x2 ≤ 9 x2 ≤ 1 x1, x2 ≥ 0 dan intejer, dan (3) Maks. f = 3x1 + 4x2 kendala: 2x1 + x2 ≤ 6 2x1 + 3x2 ≤ 9 x2 ≥ 2 x1, x2 ≥ 0 dan intejer, dan
- 14. Solusi fisibel (2) diperoleh: x1 = 2,5 ; x2 = 1 dan f = 11,5 Solusi fisibel (3) diperoleh: x1 = 1,5 ; x2 = 2 dan f = 12,5 Keduanya belum intejer. Pencabangan dilanjutkan pada (3) karena lebih dekat ke solusi optimal sesuai fungsi tujuan. Pencabangan dilakukan pada x1 : 1≤ x1≤ 2
- 15. (4) Maks. f = 3x1 + 4x2 kendala: 2x1 + x2 ≤ 6 2x1 + 3x2 ≤ 9 x2 ≥ 2 x1 ≤ 1, x1, x2 ≥ 0 dan intejer (5) Maks. f = 3x1 + 4x2 kendala: 2x1 + x2 ≤ 6 2x1 + 3x2 ≤ 9 x2 ≥ 2 x1 ≥2 x1 ≤ 1, x1, x2 ≥ 0 dan intejer
- 16. Solusi (5) infeasible. Solusi fisibel (4) diperoleh: x1 = 1 ; x2 = 7/3 dan f = 12,33 Selanjutnya dilakukan pencabangan pada x2 dengan : 2 ≤ x1 ≤ 3
- 17. (6) Maks. f = 3x1 + 4x2 kendala: 2x1 + x2 ≤ 6 2x1 + 3x2 ≤ 9 x2 ≥ 2 x1 ≤1 x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0 dan intejer
- 18. (7) Maks. f = 3x1 + 4x2 kendala: 2x1 + x2 ≤ 6 2x1 + 3x2 ≤ 9 x2 ≥ 2 x1 ≤1 x2 ≥ 3 x1, x2 ≥ 0 dan intejer
- 19. Solusi fisibel (6) adalah: x1 =1 ; x2 = 2 dengan f = 11 Solusi fisibel (7) adalah: x1 = 0 ; x2 = 3 dengan f = 12 Keduanya intejer, maka solusi optimum adalah (7) sesuai fungsi tujuan.
- 20. f* = 11 f* = 11,5 6 2 x2≤1 (2,5;1) 1 f* = 12,75 x2≤2 f* = 12,33 4 (2,25;1,5) x2≥2 f* = 12,5 3 (1,5;2) x2≥3 f* = 12 7 (1;7/3) (0;3) x1≤1 x1≥2 (1;2) infeasible 5