PROGRAM LINIER
2 likes3,120 views
Dokumen ini membahas berbagai permasalahan pemrograman linier dengan fungsi tujuan dan kendala yang berbeda. Setiap problem dipecahkan menggunakan metode titik potong dan garis biaya untuk menemukan solusi optimal. Terdapat beberapa contoh formulasi permasalahan yang diinformasikan secara detail pada setiap langkah penyelesaiannya.
PROGRAM LINIER
- 1. PROGRAM LINIER F I N A L T ANDRIYA GANDHI E 10536 3416 09 MATEMATIKA 5H S T FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MAKASSAR 2012
- 2. ANDRIYA GANDHI 10536 3416 09 MATEMATIKA 5H 1) Tentukan solusi dari permasalahan pemrograman linier berikut dengan fungsi tujuan (Objective Function), minimalkan : Z = 3x1 + 5x2 Dengan kendala (Constraint) : x1 + x2 ≥ 30 5 x1 + 10 x2 ≥ 7 4x1 + 12 x2 ≤ 9 x1,x2 ≥ 0 (non-negative) 2) Minimalkan : Z = 4x1 + 6x2 dengan daerah pembatas (limited resources) x1 + x2 ≥ 36 2x1 + 8x2 ≥ 4 5x1 + 11 x2 ≤ 9 x1,x2 ≥ 0 (non-negative) 3) Carilah solusi optimal dari permasalahan berikut ; Z = 3x1 + 6x2, dengan fungsi kendala ; x1 + x2 ≥ 36 3x1 + 6x2 ≥ 4 4x1 + 10 x2 ≤ 8 x1,x2 ≥ 0 (non-negative) 4) Diketahui fungsi objektif, Z = 4x1 + 2x2, dengan sumber terbatas x1 + x2 ≥ 24 2x1 + 8x2 ≥ 4 x1 + 9x2 ≤ 6 x1,x2 ≥ 0 (non-negative) Tentukanlah solusi optimal dari formulasi permasalahan di atas!
- 3. 5) Tentukan solusi optimal dari permasalahan berikut dengan fungsi tujuan Z = 2x1 + 4x2, dengan fungsi kendala ; x1 + x2 ≥ 36 10x1 + 16x2 ≥ 12 14x1 + 20 x2 ≤ 18 x1,x2 ≥ 0 (non-negative) PENYELESAIAN 1) Z = 3x1 + 5x2 Dengan kendala (Constraint) : x1 + x2 ≥ 30 5 x1 + 10 x2 ≥ 7 4x1 + 12 x2 ≤ 9 x1,x2 ≥ 0 (non-negative) Untuk memudahkan dalam perhitungan maka kendala di atas ditransform ke bentuk persamaan implisit, sehingga 5 x1 + 10 x2 ≥ 7 menjadi 5 x1 + 10 x2 ≥ 7 (x1 + x2) ⟹ 5 x1 + 10 x2 ≥ 7 (x1 + x2) ⟹5 x1 + 10 x2 ≥ 7 x1 + 7 x2 ⟹ (7 x1 - 5 x1) + (7 x2 - 10 x2) ≤ 0 ⟹ 2 x1 - 3 x2 ≤ 0, dengan cara yang sama kendala 4x1 + 12 x2 ≤ 9 diubah menjadi , ⟹ 4x1 + 12 x2 ≤ 9 (x1 + x2) ⟹ 4x1 + 12 x2 ≤ 9 x1 + 9 x2 ⟹ (9 x1 - 4x1) + (9 x2 – 12 x2) ≥ 0 ⟹ 5 x1 - 3 x2 ≥ 0. Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai berikut : Fungsi tujuan : Z = 3x1 + 5x2 Fungsi kendala : x1 + x2 ≥ 30, 2 x1 - 3 x2 ≤ 0, 5 x1 - 3 x2 ≥ 0, dan x1,x2 ≥ 0
- 4. Untuk menggambarkan fungsi kendala, maka terlebih dahulu mencari titik potong ketiga kendala, bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi. Jadi, Titik potong kendala 2 x1 - 3 x2 ≤ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 30 3 2 x1 - 3 x2 ≤ 0 ⟹ 2 x1 = 3 x2 ⟹ x1 = 2 x2. 3 5 x1 + x2 ≥ 30 ⟹ 2 x2 + x2 = 30 ⟹ 2 x2 = 30, untuk nilai x2 = 12. x1 + (12) = 30, untuk nilai x1 = 18. Jadi, titik potong kendala adalah (18,12) Titik potong kendala 5 x1 - 3 x2 ≥ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 30 3 5 x1 - 3 x2 ≥ 0 ⟹ 5 x1 = 3 x2 ⟹ x1 = 5 x2 3 8 x1 + x2 ≥ 30 ⟹ 5 x2 + x2 = 30 ⟹ 5 x2 = 30, untuk nilai x2 = 18,75. x1 + (18,75) = 30, untuk nilai x1 = 11,25. Jadi, titik potong kendala adalah (11,25 ; 18,75). GRAFIK 30 x=y 25 20 A 15 10 5 5 10 15 20 B 25 30 35 15 = 3 x1 + 5 x2
- 5. Untuk menentukan solusi optimal, ada dua cara yang bisa digunakan, yaitu : 1. dengan menggunakan garis biaya (iso cost line) 2. dengan titik sudut (corner point) Penyelesaian dengan menggunakan iso cost line adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kiri sampai menyinggung titik terdekat dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi biaya. Pada kasus ini, angka yang mudah dibagi angka 3 (koefisien x1) dan angka 5 (koefisien x2) adalah 15, sehingga fungsi tujuan menjadi 15 = 3 x1 + 5 x2. Garis ini akan memotong sumbu x1 pada titik (5,0) dan sumbu x2 pada titik (0,3). Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) Untuk penyelesaian dengan menggunakan titik sudut, kita mencari nilai z di kedua titik tersebut kemudian kita pilih nilai z yang paling kecil. Titik A nilai x1 = 18 dan x2 = 21. Dengan mensubstitusi angka tersebut ke fungsi tujuan kita peroleh 3 (18) + 5 (12) = 114. Dan pada titik B nilai x1 = 18,75 dan x2 = 11,25, kita peroleh 3 (18,75) + 5 (11,25) = 112,5. Ternyata nilai z pada titik B lebih kecil daripada titik A. Dengan demikian titik B adalah titik optimal. 2) Z = 4x1 + 6x2 dengan daerah pembatas (limited resources) x1 + x2 ≥ 36 2x1 + 8x2 ≥ 4 5x1 + 11 x2 ≤ 9 x1,x2 ≥ 0 (non-negative) Untuk memudahkan dalam perhitungan maka kendala di atas ditransform ke bentuk persamaan implisit, sehingga 2 x1 + 8 x2 ≥ 4 menjadi 2 x1 + 8 x2 ≥ 4 (x1 + x2) ⟹ 2 x1 + 8 x2 ≥ 4 (x1 + x2) ⟹ 2 x1 + 8 x2 ≥ 4 x1 + 4 x2 ⟹ (4 x1 - 2 x1) + (4 x2 - 8 x2) ≤ 0 ⟹ 2 x1 - 4 x2 ≤ 0,
- 6. dengan cara yang sama kendala 5x1 + 11 x2 ≤ 9 diubah menjadi , ⟹ 5x1 + 11 x2 ≤ 9 (x1 + x2) ⟹ 5x1 + 11 x2 ≤ 9 x1 + 9 x2 ⟹ (9 x1 - 5x1) + (9 x2 – 11 x2) ≥ 0 ⟹ 4 x1 - 2 x2 ≥ 0. Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai berikut : Fungsi tujuan : Z = 4x1 + 6x2 Fungsi kendala : x1 + x2 ≥ 36, 2 x1 - 4 x2 ≤ 0, 4 x1 - 2 x2 ≥ 0, dan x1,x2 ≥ 0 Untuk menggambarkan fungsi kendala, maka terlebih dahulu mencari titik potong ketiga kendala, bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi. Jadi, Titik potong kendala 2 x1 - 4 x2 ≤ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 36 2 x1 - 4 x2 ≤ 0 ⟹ 2 x1 = 4 x2 ⟹ x1 = 2 x2. x1 + x2 ≥ 36 ⟹ 2 x2 + x2 = 36 ⟹ 3 x2 = 36, untuk nilai x2 = 12. x1 + (12) = 36, untuk nilai x1 = 24. Jadi, titik potong kendala adalah (24,12) Titik potong kendala 4 x1 - 2 x2 ≥ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 36 1 4 x1 - 2 x2 ≥ 0 ⟹ 4 x1 = 2 x2 ⟹ x1 = 2 x2 1 3 x1 + x2 ≥ 36 ⟹ 2 x2 + x2 = 36 ⟹ 2 x2 = 36, untuk nilai x2 = 24. x1 + (24) = 36, untuk nilai x1 = 12. Jadi, titik potong kendala adalah (12, 24).
- 7. GRAFIK 30 25 20 A 15 10 5 5 10 15 20 25 30 35 B Untuk menentukan solusi optimal, ada dua cara yang bisa digunakan, yaitu : 1. dengan menggunakan garis biaya (iso cost line) 2. dengan titik sudut (corner point) Penyelesaian dengan menggunakan iso cost line adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kiri sampai menyinggung titik terdekat dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi biaya. Pada kasus ini, angka yang mudah dibagi angka 4 (koefisien x1) dan angka 6 (koefisien x2) adalah 24, sehingga fungsi tujuan menjadi 24 = 4 x1 + 6 x2. Garis ini akan memotong sumbu x1 pada titik (6,0) dan sumbu x2 pada titik (0,4).
- 8. Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) Untuk penyelesaian dengan menggunakan titik sudut, kita mencari nilai z di kedua titik tersebut kemudian kita pilih nilai z yang paling kecil. Titik A nilai x1 = 24 dan x2 = 12. Dengan mensubstitusi angka tersebut ke fungsi tujuan kita peroleh 4 (24) + 6 (12) = 168. Dan pada titik B nilai x1 = 12 dan x2 = 24, kita peroleh 4 (12) + 6 (24) = 192. Ternyata nilai z pada titik A lebih kecil daripada titik B. Dengan demikian titik A adalah titik optimal. 3) Z = 3x1 + 6x2, dengan fungsi kendala ; x1 + x2 ≥ 24 3x1 + 6x2 ≥ 4 4x1 + 10 x2 ≤ 8 x1,x2 ≥ 0 (non-negative) Untuk memudahkan dalam perhitungan maka kendala di atas ditransform ke bentuk persamaan implisit, sehingga 3 x1 + 6 x2 ≥ 4 menjadi 3 x1 + 6 x2 ≥ 4 (x1 + x2) ⟹ 3 x1 + 6 x2 ≥ 4 (x1 + x2) ⟹ 3 x1 + 6 x2 ≥ 4 x1 + 4 x2 ⟹ (4 x1 - 3 x1) + (4 x2 - 6 x2) ≤ 0 ⟹ x1 - 2 x2 ≤ 0, dengan cara yang sama kendala 4x1 + 10 x2 ≤ 8 diubah menjadi , ⟹ 4x1 + 10 x2 ≤ 8 (x1 + x2) ⟹ 4x1 + 10 x2 ≤ 8 x1 + 8 x2 ⟹ (8 x1 - 4x1) + (8 x2 – 10 x2) ≥ 0 ⟹ 4 x1 - 2 x2 ≥ 0. Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai berikut : Fungsi tujuan : Z = 3x1 + 6x2 Fungsi kendala : x1 + x2 ≥ 24, x1 - 2 x2 ≤ 0, 4 x1 - 2 x2 ≥ 0, dan x1,x2 ≥ 0 Untuk menggambarkan fungsi kendala, maka terlebih dahulu mencari titik potong ketiga kendala, bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi. Jadi,
- 9. Titik potong kendala x1 - 2 x2 ≤ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 24 x1 - 2 x2 ≤ 0 ⟹ x1 = 2 x2 ⟹ x1 = 2 x2. x1 + x2 ≥ 24 ⟹ 2 x2 + x2 = 24 ⟹ 3 x2 = 24, untuk nilai x2 = 8. x1 + (8) = 24, untuk nilai x1 = 16. Jadi, titik potong kendala adalah (16, 8) Titik potong kendala 4 x1 - 2 x2 ≥ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 24 1 4 x1 - 2 x2 ≥ 0 ⟹ 4 x1 = 2 x2 ⟹ x1 = 2 x2 1 3 x1 + x2 ≥ 24 ⟹ 2 x2 + x2 = 24 ⟹ 2 x2 = 24, untuk nilai x2 = 16. x1 + (16) = 24, untuk nilai x1 = 8. Jadi, titik potong kendala adalah (8, 16). GRAFIK 30 25 20 15 10 5 5 10 15 20 25 30 35 Untuk menentukan solusi optimal, ada dua cara yang bisa digunakan, yaitu : 1. dengan menggunakan garis biaya (iso cost line) 2. dengan titik sudut (corner point) Penyelesaian dengan menggunakan iso cost line adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser
- 10. ke kiri sampai menyinggung titik terdekat dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi biaya. Pada kasus ini, angka yang mudah dibagi angka 3 (koefisien x1) dan angka 6 (koefisien x2) adalah 18, sehingga fungsi tujuan menjadi 18 = 3 x1 + 6 x2. Garis ini akan memotong sumbu x1 pada titik (6,0) dan sumbu x2 pada titik (0,3). Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) Untuk penyelesaian dengan menggunakan titik sudut, kita mencari nilai z di kedua titik tersebut kemudian kita pilih nilai z yang paling kecil. Titik A nilai x1 = 16 dan x2 = 8. Dengan mensubstitusi angka tersebut ke fungsi tujuan kita peroleh 3 (16) + 6 (8) = 96. Dan pada titik B nilai x1 = 8 dan x2 = 16, kita peroleh 3 (8) + 6 (16) = 120. Ternyata nilai z pada titik A lebih kecil daripada titik B. Dengan demikian titik A adalah titik optimal. 4) Z = 4x1 + 2x2, dengan sumber terbatas x1 + x2 ≥ 18 2x1 + 8x2 ≥ 4 x1 + 9x2 ≤ 6 x1 , x2 ≥ 0 (non-negative) Untuk memudahkan dalam perhitungan maka kendala di atas ditransform ke bentuk persamaan implisit, sehingga 2 x1 + 8 x2 ≥ 4 menjadi 2 x1 + 8 x2 ≥ 4 (x1 + x2) ⟹ 2 x1 + 8 x2 ≥ 4 (x1 + x2) ⟹ 2 x1 + 8 x2 ≥ 4 x1 + 4 x2 ⟹ (4 x1 - 2 x1) + (4 x2 - 8 x2) ≤ 0 ⟹ 2 x1 - 4 x2 ≤ 0, dengan cara yang sama kendala x1 + 9 x2 ≤ 6 diubah menjadi , ⟹ x1 + 9 x2 ≤ 6 (x1 + x2) ⟹ x1 + 9 x2 ≤ 6 x1 + 6 x2 ⟹ (6 x1 - x1) + (6 x2 – 9 x2) ≥ 0 ⟹ 5 x1 - 3 x2 ≥ 0.
- 11. Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai berikut : Fungsi tujuan : Z = 4x1 + 2x2 Fungsi kendala : x1 + x2 ≥ 18, 2 x1 - 4 x2 ≤ 0, 5 x1 - 3 x2 ≥ 0, dan x1,x2 ≥ 0 Untuk menggambarkan fungsi kendala, maka terlebih dahulu mencari titik potong ketiga kendala, bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi. Jadi, Titik potong kendala 2 x1 - 4 x2 ≤ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 18 2 x1 - 4 x2 ≤ 0 ⟹ 2 x1 = 4 x2 ⟹ x1 = 2 x2. x1 + x2 ≥ 18 ⟹ 2 x2 + x2 = 18 ⟹ 3 x2 = 18, untuk nilai x2 = 6. x1 + (6) = 18, untuk nilai x1 = 12. Jadi, titik potong kendala adalah (12, 6) Titik potong kendala 5 x1 - 3 x2 ≥ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 18 3 5 x1 - 3 x2 ≥ 0 ⟹ 5 x1 = 3 x2 ⟹ x1 = 5 x2 3 8 x1 + x2 ≥ 18 ⟹ 5 x2 + x2 = 18 ⟹ 5 x2 = 18, untuk nilai x2 = 11,25. x1 + (11,25) = 18, untuk nilai x1 = 6,75. Jadi, titik potong kendala adalah (6,75 ; 11,25). GRAFIK 30 25 20 15 10 5 5 10 15 20 25 30 35
- 12. Untuk menentukan solusi optimal, ada dua cara yang bisa digunakan, yaitu : 1. dengan menggunakan garis biaya (iso cost line) 2. dengan titik sudut (corner point) Penyelesaian dengan menggunakan iso cost line adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kiri sampai menyinggung titik terdekat dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi biaya. Pada kasus ini, angka yang mudah dibagi angka 4 (koefisien x1) dan angka 2 (koefisien x2) adalah 8, sehingga fungsi tujuan menjadi 8 = 4 x1 + 2 x2. Garis ini akan memotong sumbu x1 pada titik (2,0) dan sumbu x2 pada titik (0,4). Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) Untuk penyelesaian dengan menggunakan titik sudut, kita mencari nilai z di kedua titik tersebut kemudian kita pilih nilai z yang paling kecil. Titik A nilai x1 = 12 dan x2 = 6. Dengan mensubstitusi angka tersebut ke fungsi tujuan kita peroleh 4 (12) + 2 (6) = 60. Dan pada titik B nilai x1 = 6,75 dan x2 = 11,25, kita peroleh 4 (6,75) + 2 (11,25) = 49,5. Ternyata nilai z pada titik B lebih kecil daripada titik A. Dengan demikian titik B adalah titik optimal. 5) Z = 2x1 + 4x2, dengan fungsi kendala ; x1 + x2 ≥ 36 10x1 + 16x2 ≥ 12 14x1 + 20 x2 ≤ 18 x1,x2 ≥ 0 (non-negative) Untuk memudahkan dalam perhitungan maka kendala di atas ditransform ke bentuk persamaan implisit, sehingga 10 x1 + 16 x2 ≥ 12 menjadi 10 x1 + 16 x2 ≥ 12 (x1 + x2) ⟹ 10 x1 + 16 x2 ≥ 12 (x1 + x2) ⟹ 10 x1 + 16 x2 ≥ 12 x1 + 12 x2 ⟹ (12 x1 - 10 x1) + (12 x2 - 16 x2) ≤ 0 ⟹ 2 x1 - 6 x2 ≤ 0,
- 13. dengan cara yang sama kendala 14x1 + 20 x2 ≤ 18 diubah menjadi , ⟹ 14x1 + 20 x2 ≤ 18 (x1 + x2) ⟹ 14x1 + 20 x2 ≤ 18 x1 + 18 x2 ⟹ (18 x1 - 14x1) + (18 x2 – 20 x2) ≥ 0 ⟹ 4 x1 - 2 x2 ≥ 0. Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai berikut : Fungsi tujuan : Z = 2x1 + 4x2 Fungsi kendala : x1 + x2 ≥ 36, 2 x1 - 6 x2 ≤ 0, 4 x1 - 2 x2 ≥ 0, dan x1,x2 ≥ 0 Untuk menggambarkan fungsi kendala, maka terlebih dahulu mencari titik potong ketiga kendala, bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi. Jadi, Titik potong kendala 2 x1 - 6 x2 ≤ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 36 2 x1 - 6 x2 ≤ 0 ⟹ 2 x1 = 6 x2 ⟹ x1 = 3 x2. x1 + x2 ≥ 36 ⟹ 3 x2 + x2 = 36 ⟹ 4 x2 = 36, untuk nilai x2 = 9. x1 + (9) = 36, untuk nilai x1 = 27. Jadi, titik potong kendala adalah (27, 9) Titik potong kendala 4 x1 - 2 x2 ≥ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 36 1 4 x1 - 2 x2 ≥ 0 ⟹ 4 x1 = 2 x2 ⟹ x1 = 2 x2 1 3 x1 + x2 ≥ 36 ⟹ 2 x2 + x2 = 36 ⟹ 2 x2 = 36, untuk nilai x2 = 24. x1 + (24) = 36, untuk nilai x1 = 12. Jadi, titik potong kendala adalah (12, 24).
- 14. GRAFIK 30 25 20 15 10 5 5 10 15 20 25 30 35 Untuk menentukan solusi optimal, ada dua cara yang bisa digunakan, yaitu : 1. dengan menggunakan garis biaya (iso cost line) 2. dengan titik sudut (corner point) Penyelesaian dengan menggunakan iso cost line adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kiri sampai menyinggung titik terdekat dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi biaya. Pada kasus ini, angka yang mudah dibagi angka 2 (koefisien x1) dan angka 4 (koefisien x2) adalah 8, sehingga fungsi tujuan menjadi 8 = 2 x1 + 4 x2. Garis ini akan memotong sumbu x1 pada titik (4,0) dan sumbu x2 pada titik (0,2). Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) Kita mencari nilai z di kedua titik tersebut kemudian kita pilih nilai z yang paling kecil. Titik A nilai x1 = 12 dan x2 = 6. Dengan mensubstitusi angka tersebut ke fungsi tujuan kita peroleh 2 (27) + 4 (9) = 90. Dan pada titik B nilai x1 = 12 dan x2 = 24, kita peroleh 2 (12) + 4 (24) = 120. Ternyata nilai z pada titik A lebih kecil daripada titik B. Dengan demikian titik A adalah titik optimal.