Tugas Program Linier
2 likes5,356 views
Dokumen ini membahas masalah pemrograman linear mengenai produksi barang dan kebutuhan gizi. Beberapa kasus dianalisis untuk menemukan kuantitas optimal barang yang diproduksi dan biaya minimum makanan berdasarkan kendala yang diberikan. Solusi terbaik dicapai menggunakan metode grafis dan titik sudut, yang menunjukkan bagaimana memaksimalkan keuntungan dan meminimalkan biaya.
Tugas Program Linier
- 1. Oleh : Andriya Gandhi (10536 3416 09) Kelas 5 H FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERTSITAS MUHAMMADIYAH MAKASSAR 2011
- 2. 1. Suatu perusahaan memproduksi dua jenis barang dengan kuantitas X dan Yang dibatasi oleh jam kerja untuk setiap pemroduksiannya dalam setiap bulannya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada tabel berikut ini ; Barang X Barang Y Hours Available Profit 7 5 (Jam tersedia) Pembuatan 3 4 2400 Pemolesan 2 1 1000 Dengan ketentuan, pembuatan barang X 100 dan Y 450 (kuantitasnya) dalam setiap bulannya, X dan Y 0, barapa kuantitas barang yang akan diproduksi untuk mendapatkan keuntungan maksimun yang dibatasi oleh jam kerja untuk setiap bulannya? Penyelesaian ; Fungsi tujuan : P = 7x + 5y Fungsi kendala : 3x + 4y < 2400 (jam pembuatan) 2x + y < 1000 (jam pemolesan) X < 450 (kuantitas barang X) x, y > 100 (non negatif) titik potong untuk kendala 3x + 4y < 2400 adalah (0,600) dan (800,0). Titik potong untuk kendala 2x + y < 1000 adalah (0, 1000) dan (500,0). Untuk titik potong kedua kendala, bisa menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Misalkan menggunakan metode substitusi, maka nilai y pada persamaan 2x + y = 1000 1000 – 2x. Nilai x pada pers. Tersebut disubs. ke pers. 3x + 4y = 2400, sehingga rumus matematisnya untuk nilai x pada kedua kendala adalah : 3x + 4( 1000-2x) = 2400 3x + 4000-8x = 2400 -5x = -1600 x = 320. Kemudian nilai x = 320, disubs. ke salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai y sehingga nilai y pada persamaan 2x + y = 1000 adalah : 2 (320) + y = 1000 y = 1000-640 = 360. Jadi, titik potong kedua kendala adalah (320,360). Selanjutnya, menentukan solusi optimalnya dengan menggunakan dua cara, yaitu :
- 3. 1. dengan menggunakan garis profit (iso profi line) 2. dengan titik sudut (corner point) Jadi, untuk memperoleh keuntungan maksimal jika kedua barang diproduksi setidaknya barang x = 300 dan y= 375 (Y > X + 75 atau Y – X > 75).
- 4. 2. Enggar ingin merencanakan membuat dua jenis makanan yaitu jenis makanan A dan jenis makanan B. Dia ingin mengetahui berapa banyak kedua jenis bahan makanan tersebut harus dibeli, karena dia ingin keluarganya mendapat makanan yang bergizi. Dia pernah membaca dalam majalah “GAUL” bahwa satu orang kebutuhan minimun perharinya adalah 12 unit protein dan 9 unit karbohidrat. Sedangkan kandungan unsur-unsur itu dalam jenis makanan A dan jenis makanan B dapat dilihat pada tabel berikut ini : Kandungan Jenis makanan A Jenis Makanan B Protein 1 3 Karbohidrat 2 1 Di pasar dia melihat harga kedua jenis bahan makanan tersebut adalah satu unit A harganya Rp 500,- dan satu unit B harganya Rp 300,- Jawaban : Jenis makanan A Jenis makanan B Jumlah Kandungan (unit) (unit) minimun Protein 1 3 12 Karbohidrat 2 1 9 Harga 500 300 Variabel keputusan : x1 = banyaknya jenis makanan A yang dibuat. x2 = banyaknya jenis makanan B yang dibuat. Fungsi tujuan : Zmin = 500x1 + 300x2 Kendala : x1 + 3x2 12 (protein) 2x1 + x2 9 (karbohidrat) x1 dan x2 0
- 5. metode grafik : x1 + 3x2 = 12 x1 = 0 ; x2 = 12/3 = 4 ( 0, 4) x2 = 0 ; x1 = 12 (12,0) 2x1 + x2 = 9 x1 = 0 ; x2 = 9 (0,9) x2 = 0 ; x1 = 4½ ( 4½, 0) Grafik : Untuk grafiknya kurang lebih sama dengan pengerjaan nomor 1, tapi untuk garisnya kita menggunakan istilah iso cost line karena case ini fungsi tujuannya adalah meminimunkan biaya. Yang terpenting adalah mengetahui solusi optimal dari setiap case yang ada dengan menggunakan garis (line) dan titik sudut (corner point), juga titik potong setiap constrains (kendala-kendala) untuk lebih memudahkan mencari nilai atau feasible region (area layak) yang memenuhi.. titik A : x1 = 0 , x2 = 9, jadi z = 300 (9) = 2700 titik B : x1 + 3x2 = 12 x2 2x1 + 6x2 = 24 2x1 + x2 = 9 x1 2x1 + x2 = 9 5x2= 15 x2= 3. Untuk nilai x1, maka x1 + 3 (3) = 12 x1= 12 – 9 = 3 jadi z = 500 (3) + 300 (3) = 1.500 +900 = 2.400 minimum titik c : x1 = 12 ; x2 = 0, jadi z = 500 (12) = 6.000. 3. Seorang ahli gizi ingin membuat menu makanan untuk pasien rumah sakit. Menu makanan terdiri dari dua tipe, yaitu A dan B. Misalkan setiap ons dari tipe A terdiri dari 2 unit vitamin C dan 2 unit zat besi, sedangkan untuk tipe B terdiri dari 1 unit vitamin C dan 2 unit zat besi. Biaya dari tipe makanan A adalah Rp 4/ons dan B Rp 3/ons. Jika menu makanan harus atau paling tidak terdiri dari 8 unit vitamin C dan 10 unit zat besi. Berapa biaya minimun untuk setiap ons dari item tersebut?
- 6. Penyelesaian : Tipe A = x ; Tipe B = y. Fungsi tujuan : Min. (C) = 4x + 3y. Fungsi kendala : 2x + y 8 (vitamin C) 2x + 2y 10 (zat besi) x, y 0 (kendala untuk setiap kandungan item (tipe)) kendala 1 : 2x + y 8 Memotong sumbu x pada saat y = 0, maka 2x + 0 = 8 2x = 8 x=4 (4,0) Memotong sumbu y pada saat x = 0, maka 0+y =8 y=8 (0,8) Kendala 2 : 2x + 2y 10 Memotong sumbu x pada saat y = 0, maka 2x + 2 (0) = 10 2x = 10 x=5 (5,0) Memotong sumbu y pada saat x = 0, maka 2(0) + 2y = 10 2y = 10 y=5 (0,5) titik potong kedua kendala : 2x + y = 8 8 – 2x, nilai y pada persamaan di samping disubtitusi ke persamaan 2x + 2y = 10, sehingga 2x + 2(8-2x) = 10. 2x + 16 – 4x = 10 -2x = -6 x = 3,
- 7. kemudian nilai x disubs. ke salah satu persamaan, misalnya, 2x + y = 8, maka 2(3) + y = 8 y = 2, jadi titik potongnya adalah (3,2) Grafik : Untuk pembuatan grafiknya sama dengan nomor 2, kita menggunakan istilah iso cost line karena case ini fungsi tujuannya adalah meminimunkan biaya. Yang terpenting adalah mengetahui solusi optimal dari setiap case yang ada dengan menggunakan garis (line) dan titik sudut (corner point), juga titik potong setiap constrains (kendala-kendala) untuk lebih memudahkan mencari nilai atau feasible region (area layak) yang memenuhi. Untuk menentukan solusi optimal, ada dua cara yang bisa kita gunakan, yaitu ; 1. Dengan menggunakan garis profit or biaya (iso profit or cost line) 2. Dengan titik sudut (corner point) Karena dalam case ini, meminimunkan biaya maka saya menggunakan solusi kedua yaitu dengan titik sudut (corner point). Dari penyelesaian di atas untuk tiap-tiap titik pada masing-masing sumbu diperoleh 4 titik yang membatasi area layak (feasible region), yaitu titik (0,0), (0,8), (5,0) dan (3,2). Biaya minimun pada titik (0,0) adalah 4(0) + 3(0) = 0. Biaya minimun pada titik (0,8) adalah 4(0) + 3(8) = 24. Biaya minimun pada titik (5,0) adalah 4(5) + 3(0) = 20. Biaya minimun pada titik (3,2) adalah 4(3) + 3(2) = 18. Karena dalam hal ini ada prasyarat x, y 0, jadi biaya minimunnya bisa saja 0, ketika dia tidak ingin membuat menu makanan, tapi dalam hal ini saya batasi dalam artian untuk apa kita memplaningkan suatu case jika conclution (kesimpulan akhirnya) adalah nihil... Jadi, untuk case ini, seorang ahli gizi dapat membuat makanan 3 tipe A dan 2 tipe B dengan biaya minimun Rp 18,-/onsnya. 4. Suatu perusahaan memproduksi dua jenis barang dengan kuantitas x1 dan x2. Ongkos produksinya dapat dinyatakan sebagai Z = 3x1 + 15x2. Kendala-kendala yang ada adalah : 2x1 + x2 8 X1 dan x2 0 7x1 + 5x2 35
- 8. Tentukan kuantitas optimal yang diproduksi agar ongkos produksinya minimun dengan graphics method? Penyelesaian : Fungsi tujuan Z = 3x1 + 15x2 Fungsi kendala 2x1 + x2 8 7x1 + 5x2 35 X1 dan x2 0 Kendala 1 : 2x1+x2 8 Memotong sumbu x1 pada saat x2 =0, 2x1 + (0) = 8 2x1 = 8 x1 = 4 (4,0) Memotong sumbu x2 pada saat x1 = 0, 2(0) + x2 = 8 x2 = 8 (0,8) Kendala 2 : 7x1 + 5x2 35 Memotong sumbu x1 pada saat x2 = 0, 7x1 + 5(0) = 35 7x1 = 35 x1 = 5 (5,0) Memotong sumbu x2 pada saat x1 = 0, 7(0) + 5x2 = 35 5x2 = 35 x2 = 7 (0,7) titik potong kedua kendala dengan menggunakan metode substitusi, yaitu : 2x1 + x2 = 8 x2 = 8 – 2x1, nilai x2 pada persamaan ini disubs. ke persamaan 7x1 + 5x2 = 35, maka : 7x1 + 5 (8-2x1) = 35 ; 7x1 + 40 - 10x1 = 35 -3x1 = -5 x1 = ,
- 9. Setelah didapatkan nilai x1, maka untuk mencari nilai x2, nilai x1 disubs. ke salah satu persamaan, misal : 2x1 + x2 = 8, jadi, 2( ) + x2 = 8. + x2 = 8 x2 = = . sehingga kedua kendala akan saling berpotongan pada titik ( , ). Untuk menentukan solusi optimal pada case ini, ada dua cara yang bisa kita gunakan, yaitu, ; 1. Dengan menggunakan garis biaya (iso cost line) 2. Dengan titik sudut (corner point)... Dalam hal ini, saya menggunakan titik sudut (corner point), di mana kita harus mencari nilai terendah pada area layak (feasible region) ; 0. Pada penyelesaian titik sudut di atas, diperoleh 4 titik yang membatasi area layak (feasible region), yaitu (0,0), (0,8), ( , ), dan (5,0). Biaya pada titik (0,0) adalah 3(0) + 15(0) = 0. Biaya pada titik (0,8) adalah 3(0) + 15(8) = 120. Biaya pada titik (( , ) adalah 3 ( ) + 15 ( ) = 75. Biaya pada titik (5,0) adalah 3(5) + 15(0) = 15. Jadi, biaya terendah jatuh pada titik (0,0) ketika perusahaan itu tidak memproduksi barang apapun, terkecuali perusahaan itu ingin mengeluarkan biaya, maka biaya minimumnya adalah 15, jika perusahaan itu memproduksi 5 jenis barang x1 dan tidak memproduksi barang x2. 5. Seorang anak diharuskan makan 2 jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak itu memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B, jika harga tablet pertama Rp 4,-/biji dan tablet kedua Rp 8,-/biji. Berapa pengeluaran minimun untuk tablet itu?
- 10. Penyelesaian : Tablet Vitamin A Vitamin B Harga 1 5 3 4 2 10 1 8 Perumusan case di atas adalah Misalkan x : tablet 1 Y : tablet 2 Fungsi tujuan : C(Cost) = 4x + 8 y Fungsi kendala 5 x1 + 10 x2 20 (untuk vitamin A) 3 x1 + x2 5 (untuk vitamin B). x1 , x2 0 (asumsi nilai x1 dan x2 tidak negatif) kendala 1 : 5x1 + 10x2 20 Memotong sumbu x1 pada saat x2 = 0 5x1 + 10x2 = 20 5x1 + 10(0) = 20 5x1 = 20 x1 = 4 (4,0) Memotong sumbu x2 pada saat x1 = 0 5x1 + 10x2 = 20 5(0) + 10x2 = 20 10x2 = 20 x2 = 2 (0,2) kendala 2 : 3 x1 + x2 5 Memotong sumbu x1 pada saat x2 = 0 3 x1 + x2 = 5 3x1 + (0) = 5 x1 = ( ,0) Memotong sumbu x2 pada saat x1 = 0 3 x1 + x2 = 5 3(0) + x2 = 5 x2 = 5 (0,5) titik potong untuk kedua kendala adalah (dengan metode substitusi) 3 x1 + x2 = 5 x2 = 5 – 3x1, nilai x2 disubs. ke pers. 5x1 + 10x2 = 20, sehingga 5x1 + 10(5 – 3x1) = 20 5x1 + 50 - 30x1 = 20
- 11. -25x1 = -30 x1 = , kemudian nilai x1 disubs. ke salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai x2, misalnya 5x1 + 10x2 = 20 , maka 5( ) + 10x2 = 20 10x2 = 14 x2 = . Jadi titik potong kedua kendala adalah ( , ) Untuk menentukan solusi optimal pada case ini, kita dapat menggunakan dua cara yaitu ; 1. Dengan menggunakan garis biaya (iso cost line) 2. Dengan titik sudut (corner point) Grafik ; (kurang lebih sama dengan soal-soal sebelumnya yang meminimunkan biaya). Untuk area layak (feasible region) terdapat 4 titik yang membatasi area layak tersebut, yaitu (0,0), (4,0), (0,5), dan , ). Biaya pada titik (0,0) adalah 4(0) + 8 (0) = 0 Biaya pada titik (4,0) adalah 4(4) + 8(0) = 16 Biaya pada titik (0,5) adalah 4(0) + 8(5) = 40 Biaya pada titik ( , ) adalah 4 ( )+8( ) = 16. Karena pada case ini, seorang anak diharuskan makan 2 jenis tablet setiap hari maka titik ( , ) yang kita ambil sebagai prasyarat dari case ini. Olehnya itu, biaya minimun yang harus dikeluarkan adalah 16.