20090426 hardnessvsrandomness itsykson_lecture09
- 1. Âû÷èñëèòåëüíî òðóäíûå çàäà÷è è äåðàíäîìèçàöèÿ Ëåêöèÿ 9: Ýêñïàíäåðû è ïîíèæåíèå âåðîÿòíîñòè îøèáêè Äìèòðèé Èöûêñîí ÏÎÌÈ ÐÀÍ 26 àïðåëÿ 2009 1 / 11
- 2. Ïëàí 1 Ïîëèíîìèàëüíîå ïîíèæåíèå îøèáêè áåç èñïîëüçîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ áèòîâ 2 Ýêñïîíåíöèàëüíîå ïîíèæåíèå îøèáêè ñ èñïîëüçîâàíèåì î÷åíü ìàëåíüêîãî ÷èñëà äîïîëíèòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ áèòîâ 2 / 11
- 3. RP: âåðîÿòíîñòíûå àëãîðèòìû ñ îäíîñòîðîííåé îøèáêîé Îïðåäåëåíèå: ßçûê L ∈ RP, åñëè ñóùåñòâóåò ïîëèíîìèàëüíûé âåðîÿòíîñòíûé àëãîðèòì A, òàêîé ÷òî • A(x) = 0, ïðè x ∈ L / • P{A(x) = 1} ≥ 2 , ïðè x ∈ L 1 Öåëü Óìåíüøèòü âåðîÿòíîñòü îøèáêè, èñïîëüçóÿ êàê ìîæíî ìåíüøå äîïîëíèòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ áèòîâ. 3 / 11
- 4. Êîìáèíàòîðíûå ýêñïàíäåðû Ãðàô G (V , E ) íàçûâàåòñÿ (n, d, c)-êîìáèíàòîðíûì ýêñïàíäåðîì, åñëè: • Â íåì n âåðøèí • Âñå âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü d • ∀A ⊂ V , |A| ≤ n âûïîëíÿåòñÿ |A ∪ Γ(A)| ≥ (1 + c)|A|. 2 • Γ(A) = {v ∈ V | ∃a ∈ A : (v , a) ∈ E } Ýêñïàíäåð íàçûâàåòñÿ ÿâíûì, åñëè ñóùåñòâóåò ïîëèíîìèàëüíûé àëãîðèòì, êîòîðûé ïî íîìåðó âåðøèíû âûäàåò íîìåðà åãî ñîñåäåé. 4 / 11
- 5. Ïîíèæåíèå âåðîÿòíîñòè îøèáêè • Ïóñòü ÿçûê L ðåøàåòñÿ àëãîðèòìîì A ñ îäíîñòîðîííåé îøèáêîé. • Ïóñòü A èñïîëüçóåò r ñëó÷àéíûõ áèòîâ • 2r ïëîõèõ ñëó÷àéíûõ ñòðîê (íà êîòîðûõ àëãîðèòì äàåò íåïðàâèëüíûé îòâåò) • Ðàññìîòðèì ÿâíûé (2r , d, c)-êîìáèíàòîðíûé ýêñïàíäåð.  êàæäîé âåðøèíå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ áèòîâ. • Âûáåðåì ñëó÷àéíûì îáðàçîì âåðøèíó (ïîòðàòèâ r ñëó÷àéíûõ áèòîâ). È çàïóñòèì àëãîðèòì ñî âñåìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè ñëó÷àéíûõ áèòîâ, êîòîðûå ëåæàò íà ðàññòîÿíèè l îò äàííîé âåðøèíû. Âûäàäèì 1, åñëè ≥ 1 èç îòâåòîâ áûë 1. • Ïóñòü B ìíîæåñòâî ïëîõèõ âåðøèí (èç êîòîðûõ ìû íå çàïóñòèì àëãîðèòì â õîðîøèõ âåðøèíàõ). • |B|(1 + c)l ≤ 2r =⇒ äîëÿ ïëîõèõ âåðøèí (1+c) . l 5 / 11
- 6. Ïîíèæåíèå âåðîÿòíîñòè îøèáêè • Åñëè l = log n, òî ïîòåðÿ ïî âðåìåíè poly (n), îøèáêà óìåíüøàåòñÿ â poly (n) ðàç. • À åñëè íàäî óìåíüøèòü îøèáêó â 2n ðàç? • Ñëó÷àéíî âûáåðåì âåðøèíó ãðàôà (ïîòðàòèâ r ñëó÷àéíûõ áèòîâ). • Óñòðîèì ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå äëèíû k (ïîòðàòèì O(k) áèòîâ). • Çàïóñòèì àëãîðèòì íà ñòðî÷êàõ â k âåðøèíàõ áëóæäàíèÿ. Âûäàäèì 1, åñëè ≥ 1 èç îòâåòîâ áûë 1. • Íàøà öåëü ïîêàçàòü, ÷òî òàê ìîæíî óìåíüøèòü îøèáêó äî 2Ω(k) . 6 / 11
- 7. Àëãåáðàè÷åñêèé ýêñïàíäåð Ãðàô G (V , E ) íàçûâàåòñÿ (n, d, α)-àëãåáðàè÷åñêèì ýêñïàíäåðîì, åñëè: •  íåì n âåðøèí • Âñå âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü d • A íîðìèðîâàííàÿ ìàòðèöà ñìåæíîñòè Ai,j = d , åñëè k âåðøèíû i è j ñîåäèíåíû k ðåáðàìè. • λ âòîðîå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ñîáñòâåííîå ÷èñëî ìàòðèöû A, |λ| ≤ α 1. Òåîðåìà. Åñëè G ÿâëÿåòñÿ (n, d, α)-àëãåáðàè÷åñêèì ýêñïàíäåðîì, òî îí ÿâëÿåòñÿ è (n, d, 1−α )-êîìáèíàòîðíûì ýêñïàíäåðîì. 2d 7 / 11
- 8. Îïðåäåëåíèå. A = max{ Av 2 : v 2 = 1} Ëåììà. Ïóñòü A íîðìàëèçîâàííàÿ ìàòðèöà (n, d, α)-ýêñïàíäåðà. Òîãäà A = (1 − α)J + αC , ãäå J ìàòðèöà n × n, Jij = n , à C ≤ 1. 1 Äîêàçàòåëüñòâî. • C = α (A − (1 − α)J). Íàäî äîêàçàòü: ∀v , Cv 2 ≤ v 2 . 1 • v = γ1 + w , ãäå w ⊥ 1. • A1 = 1, J1 = 1, Jw = 0. • Cv = α (A − (1 − α)J)(γ1 + w ) = γ1 + α Aw . 1 1 2 2 1 2 2 2 2 • Cv = γ1 + α Aw ≤ γ1 + w = v 8 / 11
- 9. Ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå • Åñòü (n = 2r , d, α) àëãåáðàè÷åñêèé ýêñïàíäåð. • Êàæäîé âåðøèíå ñîïîñòàâëåíà ñòðîêà èç r ñëó÷àéíûõ áèòîâ. • Ïóñòü X ýòî ìíîæåñòâî ïëîõèõ âåðøèí. |X | = n. • Îöåíèì âåðîÿòíîñòü ïðè ñëó÷àéíîì áëóæäàíèè íè ðàçó íå âûéòè èç X . • Ïóñòü B ýòî ìàòðèöà ïðîåêöèè íà X . Ò.å., åñëè i ∈ X , òî (Bu)i = ui , èíà÷å (Bu)i = 0. • p0 = ( n , n , . . . , n ) íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. 1 1 1 • p1 = Bp0 âåêòîð, íåíóëåâûå êîîðäèíàòû ñîîòâåòñòâóþò X . i -ÿ êîîðäèíàòà âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ äëèíû 1 ïî âåðøèíàì èç X , çàêàí÷èâàþùåãîñÿ â i . 9 / 11
- 10. Ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå 1 1 íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. 1 • p0 = ( n , n , . . . , n ) • p1 = Bp0 âåêòîð, íåíóëåâûå êîîðäèíàòû ñîîòâåòñòâóþò X . i -ÿ êîîðäèíàòà âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ äëèíû 1 ïî âåðøèíàì èç X , çàêàí÷èâàþùåãîñÿ â i . • p2 = BABp0 • pl = (BA)l−1 p0 âåêòîð, íåíóëåâûå êîîðäèíàòû ñîîòâåòñòâóþò X . i -ÿ êîîðäèíàòà âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ äëèíû l ïî âåðøèíàì èç X , çàêàí÷èâàþùåãîñÿ â i . • Íàøà öåëü îöåíèòü pk 1 = (BA)k−1Bp0 1 √ • v 1≤ n v 2 • BA = B((1 − α)J + αC ) • BA ≤ (1 − α) BJ + α BC √ • n Bp0 = n2 = √ n 10 / 11
- 11. Ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå • Íàøà öåëü îöåíèòü √ pk 1 = (BA)k−1 Bp0 1 • v 1 ≤ n v 2 • BA = B((1 − α)J + αC ) • BA ≤ (1 − α) BJ + α BC √ • n Bp0 = n2 = √ n √ • BJ = • B ≤1 √ • BA ≤ (1 − α) + α √ √ • (BA)k−1 Bp0 ≤ ((1 − α) + α)k−1 √n 2 √ √ • pk 1 = (BA)k−1 Bp0 1 ≤ ((1 − α) + α)k−1 11 / 11