Abstract image of a woman sitting on books and studying on a laptop

20131106 h10 lecture6_matiyasevich

Computer Science Club, profile picture
Computer Science Club

Документ обсуждает операции с вещественными и целыми числами, а также рассматривает математические концепции, такие как системы векторного сложения и сети Петри. В нем также упомянуты проблемы достижимости и включения для векторных систем, которые являются неразрешимыми. Кроме того, документ затрагивает тему шахматных машин и их работу с состояниями и регистрами.

1 of 146
Download to read offline
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Шестая лекция Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений
Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia:
Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri
Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939
Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939 – at the age of 13
Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemical processes
Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemical processes Системы векторного сложения (systems of vector addition)
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n δj,k ∈ Z
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N δj,k ∈ Z
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , α n δj,k ∈ Z
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆ j1
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3
Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .
Проблема достижимости
Проблема достижимости ВХОД: Cистема векторного сложения {∆1 , . . . , ∆k } и два вектора A и B
Проблема достижимости ВХОД: Cистема векторного сложения {∆1 , . . . , ∆k } и два вектора A и B ВОПРОС: Верно ли, что вектор B достижим из вектора A в этой системе?
Проблема включения
Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A
Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A во второй системе, достижим из вектора A также и в первой системе?
Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A во второй системе, достижим из вектора A также и в первой системе? Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблема включения для систем векторного сложения неразрешима.
Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A во второй системе, достижим из вектора A также и в первой системе? Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблема включения для систем векторного сложения неразрешима.
Проблема эквивалентности ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A в одной из этих систем, достижим из вектора A также и в другой системе?
Проблема эквивалентности ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A в одной из этих систем, достижим из вектора A также и в другой системе? Теорема (M. Hack; T. Araki и T. Kasami). Проблема эквивалентности для систем векторного сложения неразрешима.
Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n δj,k ∈ Z
Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A)
Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A)
Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A)
Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1}
Специальные кони δ1 , . . . , δ n δi1 = · · · = δia = −1 δm ∈ {−1, 0, 1}
Специальные кони δ1 , . . . , δ n δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm ∈ {−1, 0, 1}
Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1} δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb }
Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1} δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb } i1 , . . . , ia j1 , . . . , jb
Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1} δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb } i1 , . . . , ia j1 , . . . , jb Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb
Шахматная машина
Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число.
Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина может находиться в одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ;
Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина может находиться в одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ; инструкции машины имеют вид Si0 Ri1 . . . Ria Sj0 Rj1 . . . Rjb где все числа i0 , i1 , . . . , ia , j0 , j1 , . . . , jb попарно различны.
Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина может находиться в одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ; инструкции машины имеют вид Si0 Ri1 . . . Ria Sj0 Rj1 . . . Rjb где все числа i0 , i1 , . . . , ia , j0 , j1 , . . . , jb попарно различны. Шахматная машина является недетерминированной!
Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb
Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se
Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты.
Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия.
Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия. 1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то rj ≤ F (x1 , . . . , xk )
Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия. 1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то rj ≤ F (x1 , . . . , xk ) 2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1 , . . . , xk ), существует поле r1 , . . . , rn , достижимое с поля (∗) и такое, что rj = y , re = 1.
Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия. 1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то rj ≤ F (x1 , . . . , xk ) 2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1 , . . . , xk ), существует поле r1 , . . . , rn , достижимое с поля (∗) и такое, что rj = y , re = 1. 3. Состояние Se не встречается в левых частях инструкций машины.
Сложение чисел S1 I4 S2 O6 S1 I5 S2 O6 S1 S3 S2 S1
Умножение чисел S1 I6 S2 S2 I7 S3 R8 O9 S3 S2 S3 S4 S4 R8 S1 I7 S1 S4 S1 S5
Сложение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) + F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ).
Сложение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) + F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ). S1 I4 S2 O6 S1 I5 S2 O6 S1 S3 S2 S1
Умножение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) × F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ).
Умножение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) × F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ). S1 I6 S2 S2 I7 S3 R8 O9 S3 S2 S3 S4 S4 R8 S1 I7 S1 S4 S1 S5
Альтернативы либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Альтернативы либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm )
Альтернативы либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm ) A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm )
Альтернативы либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm ) A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) либо ∃x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) = B(x1 , . . . , xm )} либо ∀x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) + 1}
Альтернативы либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm ) A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) либо ∃x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) = B(x1 , . . . , xm )} либо ∀x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) + 1}
Машина K A A(x1 , . . . , xm )
Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times
Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A .
Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры
Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр
Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние
Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9.
Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции: Sm+2 ... Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1 ... Sm+2 Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm Sm+3 Sm+2 Sm+3 Sb , Обозначим полученную машину через K A
Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции: Sm+2 ... Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1 ... Sm+2 Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm Sm+3 Sm+2 Sm+3 Sb , Обозначим полученную машину через K A , её начальным состоянием объявим Sm+2 .
Машина K B B(x1 , . . . , xm ) + 1 = B (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ). w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую B , Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции: Sm+2 ... Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1 ... Sm+2 Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm Sm+3 Sm+2 Sm+3 Sb , Обозначим полученную машину через K состоянием объявим Sm+2 . B, её начальным
Машина K Добавим к машине K A следующие инструкции
Машина K Добавим к машине K A следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St
Машина K Добавим к машине K A следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St 2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss St Rj
Машина K Добавим к машине K A следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St 2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss St Rj 3. для каждого состояния Sk машины KB : Ss Sk
Машина K Добавим к машине K A следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St 2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss St Rj 3. для каждого состояния Sk машины KB : Ss Sk St Ss 4.
Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA .
Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A)
Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ∧ K (A) ⊇ K (A)
Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ∧ K (A) ⊇ K (A) K (r1 , . . . , rn ) ⊇ K (r1 , . . . , rn ) ⇐⇒ ⇐⇒ K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ∧ K (A) ⊇ K (A) K (r1 , . . . , rn ) ⊇ K (r1 , . . . , rn ) ⇐⇒ ⇐⇒ K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn ) K(r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
Включение и эквивалентность K Ri1 . . . Ria K Rj1 . . . Rjb Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb K Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2 Tm+4 Tm+5 K все инструкции K Tm+6 Tm+7
Включение и эквивалентность K Ri1 . . . Ria K Rj1 . . . Rjb Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb K Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2 Tm+4 Tm+5 K все инструкции K Tm+6 Tm+7 K ⊇K ⇐⇒ K = K
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 Bn = b1 . . . bk . . . bn if k ∈ M otherwise
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 Bn = b1 . . . bk . . . bn if k ∈ M otherwise
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bob
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits - Bn
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn ? COMPRESSION Bob n bits - Bn
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn ? COMPRESSION ? Cn Bob n bits - Bn
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits - Bn ? COMPRESSION ? Cn Length(Cn ) bits -C n
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits ? COMPRESSION ? Cn - Bn DECOMPRESSION Length(Cn ) bits 6 -C n
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits ? COMPRESSION ? Cn - Bn 6 DECOMPRESSION Length(Cn ) bits 6 -C n
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits ? ZIP ? Cn - Bn 6 UNZIP Length(Cn ) bits 6 -C n
Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits ? A−1 A ? Cn - Bn 6 Length(Cn ) bits 6 -C n
Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): Cn = A(Bn ) Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): if n ≤ k + 1 otherwise Cn = A(Bn ) = Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): Cn = A(Bn ) = Alice Bn 0Bn n bits if n ≤ k + 1 otherwise Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): Cn = A(Bn ) = Alice Bn 0Bn 1bk+2 bk+3 . . . bn n bits if n ≤ k + 1 otherwise Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): 0Bn 1bk+2 bk+3 . . . bn Cn = A(Bn ) = if n ≤ k + 1 otherwise A−1 (0C ) = C Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): 0Bn 1bk+2 bk+3 . . . bn Cn = A(Bn ) = if n ≤ k + 1 otherwise A−1 (0C ) = C A−1 (1C ) = b1 . . . bk+1 C Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Case of Decidable M Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn Alice Bn bk = n bits 1, 0 if k ∈ M otherwise Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Case of Decidable M Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Cn = A(Bn ) Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Case of Decidable M Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn Cn = A(Bn ) Alice Bn bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise = n = binary notation of n ˜ n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
Case of Decidable M Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn Cn = A(Bn ) Alice Bn bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise = n = binary notation of n ˜ n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? n ˜ log(n) bits 6 - n ˜
Case of Diophantine M a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn ba = ? Cn if k ∈ M otherwise Bob n bits - Bn 6 A−1 A ? 1, 0 Length(Cn ) bits 6 -C n
Case of Diophantine M a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] Bn = b1 . . . bk . . . bn ba = 1, 0 if k ∈ M otherwise Cn = A(Bn ) Alice Bn Bob n bits ? A−1 A ? Cn - Bn 6 Length(Cn ) bits 6 -C n
Case of Diophantine M a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] Bn = b1 . . . bk . . . bn ba = Cn = A(Bn ) 1, 0 if k ∈ M otherwise = n qn ˜ where qn is the number of "1" in Bn and qn is the binary notation of qn padded by leading zeros to the length of n. Alice Bn Bob n bits ? A−1 A ? Cn - Bn 6 Length(Cn ) bits 6 -C n
Case of Diophantine M a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] Bn = b1 . . . bk . . . bn ba = Cn = A(Bn ) 1, 0 if k ∈ M otherwise = n qn ˜ where qn is the number of "1" in Bn and qn is the binary notation of qn padded by leading zeros to the length of n. Alice Bn Bob n bits ? A−1 A ? nqn ˜ - Bn 6 2 log(n) bits 6 - nq ˜ n
Computational Chaos in Number Theory Gregory Chaitin [1987] constructed a particular one-parameter exponential Diophantine equation and considered the set of all values of the parameter for which the equation has infinitely many solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃∞ x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0]
Computational Chaos in Number Theory Gregory Chaitin [1987] constructed a particular one-parameter exponential Diophantine equation and considered the set of all values of the parameter for which the equation has infinitely many solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃∞ x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0] He proved that so called prefix-free Kolmogorov complexity (defined up to an additive constant) of this set is equal to n.
Computational Chaos in Number Theory Gregory Chaitin [1987] constructed a particular one-parameter exponential Diophantine equation and considered the set of all values of the parameter for which the equation has infinitely many solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃∞ x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0] He proved that so called prefix-free Kolmogorov complexity (defined up to an additive constant) of this set is equal to n. Informally, one can say that the set M is completely chaotic.
More Computational Chaos in Number Theory Toby Ord and Tien D. Kieu [2003] constructed another particular one-parameter exponential Diophantine equation which for every value of the parameter has only finitely many solutions and considered the set of all values of the parameter for which the equation has even number of solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃even x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0]
More Computational Chaos in Number Theory Toby Ord and Tien D. Kieu [2003] constructed another particular one-parameter exponential Diophantine equation which for every value of the parameter has only finitely many solutions and considered the set of all values of the parameter for which the equation has even number of solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃even x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0] They proved that the prefix-free Kolmogorov complexity of this set is also equal to n (up to an additive constant).
Even More Computational Chaos in Number Theory Theorem (Matiyasevich [2006]). Let U be a decidable infinite set with infinite complement. WE CAN construct an exponential Diophantine equation which for every value of the parameter has only finitely many solutions and such that the prefix-free Kolmogorov complexity of the set a ∈ M ⇐⇒ ∃U x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0] is equal to n (up to an additive constant).
Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm )
Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима.
Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима. Проблема унификации для исчисления предикатов третьего порядка неразрешима.
Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима. Проблема унификации для исчисления предикатов третьего порядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новое доказательство этого факта с использованием неразрешимости диофантовых уравнений.
Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима. Проблема унификации для исчисления предикатов третьего порядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новое доказательство этого факта с использованием неразрешимости диофантовых уравнений. W. D. Golfarb [1981] установил неразрешимость проблема унификации для исчисления предикатов второго порядка, исходя из неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.
Одна история
Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)?
Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость одновременной жесткой E -унификации
Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость одновременной жесткой E -унификации путем сведения к ней так называемой проблемы монадической полуунификации (monadic semi-unification problem).
Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость одновременной жесткой E -унификации путем сведения к ней так называемой проблемы монадической полуунификации (monadic semi-unification problem). Неразрешимость проблемы монадической полуунификации установил ранее M. Baaz [1993] путем сведения к ней проблемы унификации для исчисления предикатов второго порядка.
Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость одновременной жесткой E -унификации путем сведения к ней так называемой проблемы монадической полуунификации (monadic semi-unification problem). Неразрешимость проблемы монадической полуунификации установил ранее M. Baaz [1993] путем сведения к ней проблемы унификации для исчисления предикатов второго порядка. W. D. Golfarb [1981] установил неразрешимость проблемы унификации для исчисления предикатов второго порядка, исходя из неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.
Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев [1996] дали прямое доказательство неразрешимость одновременной жесткой E -унификации на основе неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.

More Related Content

PDF
Юрий Владимирович Матиясевич. Десятая проблема Гильберта. Решение и применени...
Computer Science Club
 
PDF
Андрей Соболевский - Вокруг Базельской задачи: Бернулли, Эйлер, Риман
Yandex
 
PDF
Определенный интеграл
ssuser4d8a9a
 
PPT
Egje po matematike_zadaniya_s5
Иван Иванов
 
PDF
20111023 circuit complexity_seminar_lecture04_mihajlin
Computer Science Club
 
PDF
Лекция №7 "Машина опорных векторов"
Technosphere1
 
PDF
Suprun11 PROBLEMAS MATEMATICAS ESPECIALES 1
Armando Cavero
 
PPTX
ЕГЭ_№23
kuzinolga
 
Юрий Владимирович Матиясевич. Десятая проблема Гильберта. Решение и применени...
Computer Science Club
 
Андрей Соболевский - Вокруг Базельской задачи: Бернулли, Эйлер, Риман
Yandex
 
Определенный интеграл
ssuser4d8a9a
 
Egje po matematike_zadaniya_s5
Иван Иванов
 
20111023 circuit complexity_seminar_lecture04_mihajlin
Computer Science Club
 
Лекция №7 "Машина опорных векторов"
Technosphere1
 
Suprun11 PROBLEMAS MATEMATICAS ESPECIALES 1
Armando Cavero
 
ЕГЭ_№23
kuzinolga
 

What's hot (20)

PDF
Лекция №6 "Линейные модели для классификации и регрессии"
Technosphere1
 
PDF
Линейные многошаговые методы
Theoretical mechanics department
 
PDF
1555 показательн. и логарифмич. функции в зад. и примерах власова а.п. и др-...
psvayy
 
PDF
Решение систем линейных уравнений: трехдиагональные, симметричные и положител...
Theoretical mechanics department
 
PDF
Итерационные методы решения СЛАУ
Theoretical mechanics department
 
DOC
Мысль №7
rasparin
 
PDF
Integral1
Lha Bolorerdene
 
PDF
Сплайн интерполяция
Theoretical mechanics department
 
PDF
Численное решение ОДУ. Метод Эйлера
Theoretical mechanics department
 
PPT
показательная функция. решение показательных уравнений
ermolaeva_mv
 
PDF
Pr i-4
gthtcnhjqrf1952
 
PDF
1742 повторяем математику за курс средней школы арефьева и.г-2015 -118с
psvayy
 
PDF
Otkrytye uroki matematiki_5_6_klassy
ssusera868ff
 
PPT
задание 17 (c3) неравенства Vopvet
Leva Sever
 
PDF
Коды Адамара. Каскадные коды Форни.
Alex Dainiak
 
PDF
Лекция №9 "Алгоритмические композиции. Начало"
Technosphere1
 
PPT
Ustnoe reshenie kvadratnogo_uravneniya
Иван Иванов
 
PDF
Лекция №4 "Задача классификации"
Technosphere1
 
PDF
L6: Метод опорных векторов
Technosphere1
 
PDF
01 - Введение в дискретную математику. Теория множеств и комбинаторика
Roman Brovko
 
Лекция №6 "Линейные модели для классификации и регрессии"
Technosphere1
 
Линейные многошаговые методы
Theoretical mechanics department
 
1555 показательн. и логарифмич. функции в зад. и примерах власова а.п. и др-...
psvayy
 
Решение систем линейных уравнений: трехдиагональные, симметричные и положител...
Theoretical mechanics department
 
Итерационные методы решения СЛАУ
Theoretical mechanics department
 
Мысль №7
rasparin
 
Integral1
Lha Bolorerdene
 
Сплайн интерполяция
Theoretical mechanics department
 
Численное решение ОДУ. Метод Эйлера
Theoretical mechanics department
 
показательная функция. решение показательных уравнений
ermolaeva_mv
 
Pr i-4
gthtcnhjqrf1952
 
1742 повторяем математику за курс средней школы арефьева и.г-2015 -118с
psvayy
 
Otkrytye uroki matematiki_5_6_klassy
ssusera868ff
 
задание 17 (c3) неравенства Vopvet
Leva Sever
 
Коды Адамара. Каскадные коды Форни.
Alex Dainiak
 
Лекция №9 "Алгоритмические композиции. Начало"
Technosphere1
 
Ustnoe reshenie kvadratnogo_uravneniya
Иван Иванов
 
Лекция №4 "Задача классификации"
Technosphere1
 
L6: Метод опорных векторов
Technosphere1
 
01 - Введение в дискретную математику. Теория множеств и комбинаторика
Roman Brovko
 
Ad

Viewers also liked (9)

PPT
20111204 computer graphics_galinsky_lecture12_real_time
Computer Science Club
 
PDF
20080323 machine learning_nikolenko_lecture05
Computer Science Club
 
PDF
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
Computer Science Club
 
PDF
20081116 auctions nikolenko_lecture10
Computer Science Club
 
PDF
20130915 lecture1 2-tarski_matiyasevich
Computer Science Club
 
PDF
20111015 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture02
Computer Science Club
 
PDF
20121006 uralcsslub fall_term_opening
Computer Science Club
 
PDF
20130429 dynamic c_c++_program_analysis-alexey_samsonov
Computer Science Club
 
PPT
20120309 formal semantics shilov_lecture02
Computer Science Club
 
20111204 computer graphics_galinsky_lecture12_real_time
Computer Science Club
 
20080323 machine learning_nikolenko_lecture05
Computer Science Club
 
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
Computer Science Club
 
20081116 auctions nikolenko_lecture10
Computer Science Club
 
20130915 lecture1 2-tarski_matiyasevich
Computer Science Club
 
20111015 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture02
Computer Science Club
 
20121006 uralcsslub fall_term_opening
Computer Science Club
 
20130429 dynamic c_c++_program_analysis-alexey_samsonov
Computer Science Club
 
20120309 formal semantics shilov_lecture02
Computer Science Club
 
Ad

Similar to 20131106 h10 lecture6_matiyasevich (20)

PDF
20100418 hilberts tenth_problem_matiyasevich_lecture10
Computer Science Club
 
PDF
Slides2
Computer Science Club
 
PDF
20100923 proof complexity_hirsch_lecture02
Computer Science Club
 
PDF
20100930 proof complexity_hirsch_lecture03
Computer Science Club
 
PDF
векторная алгебра
Vladimir Yaschuk
 
PDF
Maths 18-01-23
foxford-ru
 
PDF
Matanal 31oct
Антон Савостьянов
 
PDF
алгебра и геометрии учебное пособие. тестовые задании
Иван Иванов
 
PDF
20131013 h10 lecture4_matiyasevich
Computer Science Club
 
PPT
Лекция 14 Матрицы
simple_people
 
DOC
Применение скалярного произведения векторов к решению алгебраических задач
rasparin
 
PDF
Дмитрий Кашицын, Вывод типов в динамических и не очень языках II
Platonov Sergey
 
PDF
Численные методы решения СЛАУ. Метод Гаусса.
Theoretical mechanics department
 
PDF
435.элементы теории множеств и математической логики теория и задачи
ivanov15548
 
PDF
526.высшая математика линейная алгебра и аналитическая геометрия
efwd2ws2qws2qsdw
 
PDF
Решение задач на собственные значения
Theoretical mechanics department
 
PDF
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
Computer Science Club
 
PPT
решение заданий части 2 (c) (222) Vopvet.Ru
Leva Sever
 
PDF
20110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture02
Computer Science Club
 
PDF
20110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture03
Computer Science Club
 
20100418 hilberts tenth_problem_matiyasevich_lecture10
Computer Science Club
 
Slides2
Computer Science Club
 
20100923 proof complexity_hirsch_lecture02
Computer Science Club
 
20100930 proof complexity_hirsch_lecture03
Computer Science Club
 
векторная алгебра
Vladimir Yaschuk
 
Maths 18-01-23
foxford-ru
 
Matanal 31oct
Антон Савостьянов
 
алгебра и геометрии учебное пособие. тестовые задании
Иван Иванов
 
20131013 h10 lecture4_matiyasevich
Computer Science Club
 
Лекция 14 Матрицы
simple_people
 
Применение скалярного произведения векторов к решению алгебраических задач
rasparin
 
Дмитрий Кашицын, Вывод типов в динамических и не очень языках II
Platonov Sergey
 
Численные методы решения СЛАУ. Метод Гаусса.
Theoretical mechanics department
 
435.элементы теории множеств и математической логики теория и задачи
ivanov15548
 
526.высшая математика линейная алгебра и аналитическая геометрия
efwd2ws2qws2qsdw
 
Решение задач на собственные значения
Theoretical mechanics department
 
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
Computer Science Club
 
решение заданий части 2 (c) (222) Vopvet.Ru
Leva Sever
 
20110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture02
Computer Science Club
 
20110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture03
Computer Science Club
 

More from Computer Science Club (20)

PDF
20141223 kuznetsov distributed
Computer Science Club
 
PDF
Computer Vision
Computer Science Club
 
PDF
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
Computer Science Club
 
PDF
20140531 serebryany lecture02_find_scary_cpp_bugs
Computer Science Club
 
PDF
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
Computer Science Club
 
PDF
20140511 parallel programming_kalishenko_lecture12
Computer Science Club
 
PDF
20140427 parallel programming_zlobin_lecture11
Computer Science Club
 
PDF
20140420 parallel programming_kalishenko_lecture10
Computer Science Club
 
PDF
20140413 parallel programming_kalishenko_lecture09
Computer Science Club
 
PDF
20140329 graph drawing_dainiak_lecture02
Computer Science Club
 
PDF
20140329 graph drawing_dainiak_lecture01
Computer Science Club
 
PDF
20140310 parallel programming_kalishenko_lecture03-04
Computer Science Club
 
PDF
20140223-SuffixTrees-lecture01-03
Computer Science Club
 
PDF
20140216 parallel programming_kalishenko_lecture01
Computer Science Club
 
PDF
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
Computer Science Club
 
PDF
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
Computer Science Club
 
PDF
20131006 h10 lecture2_matiyasevich
Computer Science Club
 
PDF
20130922 h10 lecture1_matiyasevich
Computer Science Club
 
PDF
20130928 automated theorem_proving_harrison
Computer Science Club
 
PDF
20130922 lecture3 matiyasevich
Computer Science Club
 
20141223 kuznetsov distributed
Computer Science Club
 
Computer Vision
Computer Science Club
 
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
Computer Science Club
 
20140531 serebryany lecture02_find_scary_cpp_bugs
Computer Science Club
 
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
Computer Science Club
 
20140511 parallel programming_kalishenko_lecture12
Computer Science Club
 
20140427 parallel programming_zlobin_lecture11
Computer Science Club
 
20140420 parallel programming_kalishenko_lecture10
Computer Science Club
 
20140413 parallel programming_kalishenko_lecture09
Computer Science Club
 
20140329 graph drawing_dainiak_lecture02
Computer Science Club
 
20140329 graph drawing_dainiak_lecture01
Computer Science Club
 
20140310 parallel programming_kalishenko_lecture03-04
Computer Science Club
 
20140223-SuffixTrees-lecture01-03
Computer Science Club
 
20140216 parallel programming_kalishenko_lecture01
Computer Science Club
 
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
Computer Science Club
 
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
Computer Science Club
 
20131006 h10 lecture2_matiyasevich
Computer Science Club
 
20130922 h10 lecture1_matiyasevich
Computer Science Club
 
20130928 automated theorem_proving_harrison
Computer Science Club
 
20130922 lecture3 matiyasevich
Computer Science Club
 

20131106 h10 lecture6_matiyasevich

  • 1. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 2. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 3. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 4. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Шестая лекция Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 6. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
  • 7. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia:
  • 8. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri
  • 9. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939
  • 10. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939 – at the age of 13
  • 11. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemical processes
  • 12. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemical processes Системы векторного сложения (systems of vector addition)
  • 13. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n
  • 14. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n δj,k ∈ Z
  • 15. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N δj,k ∈ Z
  • 16. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , α n δj,k ∈ Z
  • 17. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j
  • 18. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N
  • 19. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆ j1
  • 20. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2
  • 21. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3
  • 22. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .
  • 24. Проблема достижимости ВХОД: Cистема векторного сложения {∆1 , . . . , ∆k } и два вектора A и B
  • 25. Проблема достижимости ВХОД: Cистема векторного сложения {∆1 , . . . , ∆k } и два вектора A и B ВОПРОС: Верно ли, что вектор B достижим из вектора A в этой системе?
  • 27. Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A
  • 28. Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A во второй системе, достижим из вектора A также и в первой системе?
  • 29. Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A во второй системе, достижим из вектора A также и в первой системе? Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблема включения для систем векторного сложения неразрешима.
  • 30. Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A во второй системе, достижим из вектора A также и в первой системе? Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблема включения для систем векторного сложения неразрешима.
  • 31. Проблема эквивалентности ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A в одной из этих систем, достижим из вектора A также и в другой системе?
  • 32. Проблема эквивалентности ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A в одной из этих систем, достижим из вектора A также и в другой системе? Теорема (M. Hack; T. Araki и T. Kasami). Проблема эквивалентности для систем векторного сложения неразрешима.
  • 33. Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n δj,k ∈ Z
  • 34. Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
  • 35. Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
  • 36. Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
  • 37. Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
  • 38. Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A)
  • 39. Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A)
  • 40. Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A)
  • 41. Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1}
  • 42. Специальные кони δ1 , . . . , δ n δi1 = · · · = δia = −1 δm ∈ {−1, 0, 1}
  • 43. Специальные кони δ1 , . . . , δ n δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm ∈ {−1, 0, 1}
  • 44. Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1} δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb }
  • 45. Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1} δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb } i1 , . . . , ia j1 , . . . , jb
  • 46. Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1} δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb } i1 , . . . , ia j1 , . . . , jb Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb
  • 48. Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число.
  • 49. Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина может находиться в одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ;
  • 50. Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина может находиться в одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ; инструкции машины имеют вид Si0 Ri1 . . . Ria Sj0 Rj1 . . . Rjb где все числа i0 , i1 , . . . , ia , j0 , j1 , . . . , jb попарно различны.
  • 51. Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина может находиться в одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ; инструкции машины имеют вид Si0 Ri1 . . . Ria Sj0 Rj1 . . . Rjb где все числа i0 , i1 , . . . , ia , j0 , j1 , . . . , jb попарно различны. Шахматная машина является недетерминированной!
  • 52. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb
  • 53. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se
  • 54. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
  • 55. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты.
  • 56. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия.
  • 57. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия. 1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то rj ≤ F (x1 , . . . , xk )
  • 58. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия. 1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то rj ≤ F (x1 , . . . , xk ) 2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1 , . . . , xk ), существует поле r1 , . . . , rn , достижимое с поля (∗) и такое, что rj = y , re = 1.
  • 59. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия. 1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то rj ≤ F (x1 , . . . , xk ) 2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1 , . . . , xk ), существует поле r1 , . . . , rn , достижимое с поля (∗) и такое, что rj = y , re = 1. 3. Состояние Se не встречается в левых частях инструкций машины.
  • 60. Сложение чисел S1 I4 S2 O6 S1 I5 S2 O6 S1 S3 S2 S1
  • 61. Умножение чисел S1 I6 S2 S2 I7 S3 R8 O9 S3 S2 S3 S4 S4 R8 S1 I7 S1 S4 S1 S5
  • 62. Сложение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) + F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ).
  • 63. Сложение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) + F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ). S1 I4 S2 O6 S1 I5 S2 O6 S1 S3 S2 S1
  • 64. Умножение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) × F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ).
  • 65. Умножение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) × F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ). S1 I6 S2 S2 I7 S3 R8 O9 S3 S2 S3 S4 S4 R8 S1 I7 S1 S4 S1 S5
  • 66. Альтернативы либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 67. Альтернативы либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm )
  • 68. Альтернативы либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm ) A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm )
  • 69. Альтернативы либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm ) A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) либо ∃x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) = B(x1 , . . . , xm )} либо ∀x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) + 1}
  • 70. Альтернативы либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm ) A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) либо ∃x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) = B(x1 , . . . , xm )} либо ∀x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) + 1}
  • 71. Машина K A A(x1 , . . . , xm )
  • 72. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times
  • 73. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A .
  • 74. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры
  • 75. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр
  • 76. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние
  • 77. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9.
  • 78. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции: Sm+2 ... Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1 ... Sm+2 Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm Sm+3 Sm+2 Sm+3 Sb , Обозначим полученную машину через K A
  • 79. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции: Sm+2 ... Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1 ... Sm+2 Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm Sm+3 Sm+2 Sm+3 Sb , Обозначим полученную машину через K A , её начальным состоянием объявим Sm+2 .
  • 80. Машина K B B(x1 , . . . , xm ) + 1 = B (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ). w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую B , Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции: Sm+2 ... Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1 ... Sm+2 Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm Sm+3 Sm+2 Sm+3 Sb , Обозначим полученную машину через K состоянием объявим Sm+2 . B, её начальным
  • 81. Машина K Добавим к машине K A следующие инструкции
  • 82. Машина K Добавим к машине K A следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St
  • 83. Машина K Добавим к машине K A следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St 2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss St Rj
  • 84. Машина K Добавим к машине K A следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St 2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss St Rj 3. для каждого состояния Sk машины KB : Ss Sk
  • 85. Машина K Добавим к машине K A следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St 2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss St Rj 3. для каждого состояния Sk машины KB : Ss Sk St Ss 4.
  • 86. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA .
  • 87. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 88. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 89. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 90. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 91. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 92. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 93. Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A)
  • 94. Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ∧ K (A) ⊇ K (A)
  • 95. Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ∧ K (A) ⊇ K (A) K (r1 , . . . , rn ) ⊇ K (r1 , . . . , rn ) ⇐⇒ ⇐⇒ K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
  • 96. Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, что K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ∧ K (A) ⊇ K (A) K (r1 , . . . , rn ) ⊇ K (r1 , . . . , rn ) ⇐⇒ ⇐⇒ K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn ) K(r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
  • 97. Включение и эквивалентность K Ri1 . . . Ria K Rj1 . . . Rjb Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb K Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2 Tm+4 Tm+5 K все инструкции K Tm+6 Tm+7
  • 98. Включение и эквивалентность K Ri1 . . . Ria K Rj1 . . . Rjb Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb K Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2 Tm+4 Tm+5 K все инструкции K Tm+6 Tm+7 K ⊇K ⇐⇒ K = K
  • 99. Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0]
  • 100. Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise
  • 101. Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 Bn = b1 . . . bk . . . bn if k ∈ M otherwise
  • 102. Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 Bn = b1 . . . bk . . . bn if k ∈ M otherwise
  • 103. Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bob
  • 104. Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob
  • 105. Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits - Bn
  • 106. Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn ? COMPRESSION Bob n bits - Bn
  • 107. Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn ? COMPRESSION ? Cn Bob n bits - Bn
  • 108. Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits - Bn ? COMPRESSION ? Cn Length(Cn ) bits -C n
  • 109. Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits ? COMPRESSION ? Cn - Bn DECOMPRESSION Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 110. Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits ? COMPRESSION ? Cn - Bn 6 DECOMPRESSION Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 111. Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits ? ZIP ? Cn - Bn 6 UNZIP Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 112. Archiving Diophantine Sets a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] B = b1 . . . bk . . . bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn Bob n bits ? A−1 A ? Cn - Bn 6 Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 113. Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 114. Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 115. Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): Cn = A(Bn ) Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 116. Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): if n ≤ k + 1 otherwise Cn = A(Bn ) = Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 117. Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): Cn = A(Bn ) = Alice Bn 0Bn n bits if n ≤ k + 1 otherwise Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 118. Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): Cn = A(Bn ) = Alice Bn 0Bn 1bk+2 bk+3 . . . bn n bits if n ≤ k + 1 otherwise Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 119. Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): 0Bn 1bk+2 bk+3 . . . bn Cn = A(Bn ) = if n ≤ k + 1 otherwise A−1 (0C ) = C Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 120. Saving Constant Number of Bits B = b1 . . . bk . . . WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k): 0Bn 1bk+2 bk+3 . . . bn Cn = A(Bn ) = if n ≤ k + 1 otherwise A−1 (0C ) = C A−1 (1C ) = b1 . . . bk+1 C Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 121. Case of Decidable M Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn Alice Bn bk = n bits 1, 0 if k ∈ M otherwise Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 122. Case of Decidable M Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise Cn = A(Bn ) Alice Bn n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 123. Case of Decidable M Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn Cn = A(Bn ) Alice Bn bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise = n = binary notation of n ˜ n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? Cn Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 124. Case of Decidable M Bn = b1 b2 . . . bk . . . bn Cn = A(Bn ) Alice Bn bk = 1, 0 if k ∈ M otherwise = n = binary notation of n ˜ n bits Bob - Bn 6 ? A−1 A ? n ˜ log(n) bits 6 - n ˜
  • 125. Case of Diophantine M a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] Bn = b1 . . . bk . . . bn Alice Bn ba = ? Cn if k ∈ M otherwise Bob n bits - Bn 6 A−1 A ? 1, 0 Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 126. Case of Diophantine M a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] Bn = b1 . . . bk . . . bn ba = 1, 0 if k ∈ M otherwise Cn = A(Bn ) Alice Bn Bob n bits ? A−1 A ? Cn - Bn 6 Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 127. Case of Diophantine M a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] Bn = b1 . . . bk . . . bn ba = Cn = A(Bn ) 1, 0 if k ∈ M otherwise = n qn ˜ where qn is the number of "1" in Bn and qn is the binary notation of qn padded by leading zeros to the length of n. Alice Bn Bob n bits ? A−1 A ? Cn - Bn 6 Length(Cn ) bits 6 -C n
  • 128. Case of Diophantine M a ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm [P(a, x1 , . . . , xm ) = 0] Bn = b1 . . . bk . . . bn ba = Cn = A(Bn ) 1, 0 if k ∈ M otherwise = n qn ˜ where qn is the number of "1" in Bn and qn is the binary notation of qn padded by leading zeros to the length of n. Alice Bn Bob n bits ? A−1 A ? nqn ˜ - Bn 6 2 log(n) bits 6 - nq ˜ n
  • 129. Computational Chaos in Number Theory Gregory Chaitin [1987] constructed a particular one-parameter exponential Diophantine equation and considered the set of all values of the parameter for which the equation has infinitely many solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃∞ x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0]
  • 130. Computational Chaos in Number Theory Gregory Chaitin [1987] constructed a particular one-parameter exponential Diophantine equation and considered the set of all values of the parameter for which the equation has infinitely many solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃∞ x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0] He proved that so called prefix-free Kolmogorov complexity (defined up to an additive constant) of this set is equal to n.
  • 131. Computational Chaos in Number Theory Gregory Chaitin [1987] constructed a particular one-parameter exponential Diophantine equation and considered the set of all values of the parameter for which the equation has infinitely many solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃∞ x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0] He proved that so called prefix-free Kolmogorov complexity (defined up to an additive constant) of this set is equal to n. Informally, one can say that the set M is completely chaotic.
  • 132. More Computational Chaos in Number Theory Toby Ord and Tien D. Kieu [2003] constructed another particular one-parameter exponential Diophantine equation which for every value of the parameter has only finitely many solutions and considered the set of all values of the parameter for which the equation has even number of solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃even x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0]
  • 133. More Computational Chaos in Number Theory Toby Ord and Tien D. Kieu [2003] constructed another particular one-parameter exponential Diophantine equation which for every value of the parameter has only finitely many solutions and considered the set of all values of the parameter for which the equation has even number of solutions: a ∈ M ⇐⇒ ∃even x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0] They proved that the prefix-free Kolmogorov complexity of this set is also equal to n (up to an additive constant).
  • 134. Even More Computational Chaos in Number Theory Theorem (Matiyasevich [2006]). Let U be a decidable infinite set with infinite complement. WE CAN construct an exponential Diophantine equation which for every value of the parameter has only finitely many solutions and such that the prefix-free Kolmogorov complexity of the set a ∈ M ⇐⇒ ∃U x1 . . . xm [E (a, x1 , x2 , . . . , xm ) = 0] is equal to n (up to an additive constant).
  • 135. Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm )
  • 136. Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима.
  • 137. Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима. Проблема унификации для исчисления предикатов третьего порядка неразрешима.
  • 138. Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима. Проблема унификации для исчисления предикатов третьего порядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новое доказательство этого факта с использованием неразрешимости диофантовых уравнений.
  • 139. Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима. Проблема унификации для исчисления предикатов третьего порядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новое доказательство этого факта с использованием неразрешимости диофантовых уравнений. W. D. Golfarb [1981] установил неразрешимость проблема унификации для исчисления предикатов второго порядка, исходя из неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.
  • 141. Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)?
  • 142. Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость одновременной жесткой E -унификации
  • 143. Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость одновременной жесткой E -унификации путем сведения к ней так называемой проблемы монадической полуунификации (monadic semi-unification problem).
  • 144. Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость одновременной жесткой E -унификации путем сведения к ней так называемой проблемы монадической полуунификации (monadic semi-unification problem). Неразрешимость проблемы монадической полуунификации установил ранее M. Baaz [1993] путем сведения к ней проблемы унификации для исчисления предикатов второго порядка.
  • 145. Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимость одновременной жесткой E -унификации путем сведения к ней так называемой проблемы монадической полуунификации (monadic semi-unification problem). Неразрешимость проблемы монадической полуунификации установил ранее M. Baaz [1993] путем сведения к ней проблемы унификации для исчисления предикатов второго порядка. W. D. Golfarb [1981] установил неразрешимость проблемы унификации для исчисления предикатов второго порядка, исходя из неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.
  • 146. Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)? A. Воронков и A. Дегтярев [1996] дали прямое доказательство неразрешимость одновременной жесткой E -унификации на основе неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.