20111023 circuit complexity_seminar_lecture04_mihajlin

Семинар по сложности булевых функций
Лекция 4: Сложность графов: на расстоянии
константы от P̸=NP

И. Михайлин

Computer Science клуб при ПОМИ
http://compsciclub.ru

02.10.2011

И. Михайлин (Computer Science клуб)
4. Сложность графов 02.10.2011 1 / 19

План лекции

1 Определения

2 Связь оценок на графы и на схемы


Введение

Почти все известные функции или очень простые (пороговые
функции, MOD-функции. . . ) или очень сложные (клика и другие
NP-трудные задачи). С другой стороны, например, графы обладают
значительно более широким спектром сложности. Кроме того их
свойства хорошо изучены, и можно было бы ожидать, что если
связать графы и схемы, то можно было бы получить новый подход к
доказательству нижних оценок.


Показательная функция для графов



Неформально: показательная функция при подстановке в нее
строки с двумя единицами проверяет, соединены ли
соответствующие вершины.



Неформально: показательная функция при подстановке в нее
строки с двумя единицами проверяет, соединены ли
соответствующие вершины.
Дан граф G = (V , E ), |V | = n. Каждой вершине сопоставляется
переменная, которые в совокупности дают вектор a ∈ {0, 1}n .
Рассмотрим вектор a(u, v ) :

au = 1, av = 1, aj = 0 ⇐⇒ j ̸= u, j ̸= v
Тогда f : {0, 1}n → {0, 1} называется показательной функцией
для графа G, если:

f (a(u, v )) = 1 ⇐⇒ {Vu , Vv } ∈ E
, где u, v ≤ n и Vv вершина c номером v , а Vu вершина с
номером u. (На строках, которые нельзя представить в виде
a(u, v ), значение функции произвольно).

Показательная функция для двудольного графа

Показательная функция для двудольного графа: Дан двудольный граф
G = (U, V , E ), |U| = |V | = n. Каждой вершине сопоставляется
переменная, которые в совокупности дают вектора x ∈ {0, 1}n и
y ∈ {0, 1}n для вершин из U и V соответственно. Рассмотрим вектор
длины 2n a(u, v ) :

u, v ≤ n, au = 1, an+v = 1, aj = 0 ⇐⇒ j ̸= u, j ̸= n + v
Тогда f : {0, 1}2n → {0, 1} является показательной функцией для
графа G, если:

f (a(u, v )) = 1 ⇐⇒ {Uu , Vv } ∈ E
, где u, v ≤ n и Uu - вершина из первой доли с номером u, а Vv -
вершина из второй доли с номером p. (На строках, которые нельзя
представить в виде a(m, n), значение произвольно).


Характеристическая функция

Дан двудольный граф G = (U, V , E ), |U| = |V | = 2n . Функция
f : {0, 1}2n ⇐⇒ {0, 1} является характеристической, если для всех
q, p ∈ {0, 1}n : f (qp) = 1 ⇔ {Uq , Vp } ∈ E .
Лемма
Лемма о расширении. В схеме FG , вычисляющей характеристическую
функцию графа G , можно заменить литералы на дизъюнкции новых
переменных, так, чтобы полученная схема HG стала показательной для
G.


Лемма о расширении

Доказательство
Обозначим входные литералы векторами x и y и введем следующие
обозначения:
{︃ {︃
xi = xi , = 0 y = yi , = 0
= ¬x , = 1
, i
xi i yi = ¬yi , = 1

Теперь мы заменим исходные литералы дизъюнкциями новых
литералов z:
⋁︁ ⋁︁
xi = zv , yi = zu
v ∈V ,vi = u∈U,ui =

Тогда если в строке z только 2 единицы в позиции u и v , то в x и y
будет закодированы v и u соответственно. А так как FG (x, y )
характеристическая, то HG будет показательной.


Сложность графа



Сложность графа C (G ) это минимальный размер
показательной для графа схемы.



Монотонная сложность графа C+ (G ) это минимальный размер
показательной для графа монотонной схемы.



Монотонная сложность графа C+ (G ) это минимальный размер
показательной для графа монотонной схемы.
Почти все графы имеют монотонную сложность:
C+ (G ) = Ω(n2 / log n). Доказательство абсолютно аналогично
приводившемуся в первой лекции. Достаточно заметить, что
количество монотонных схем из не более t элементов не больше
2
(nt)O(t) , а количество графов есть 2n .


Открытая задача

Придумать явный двудольный граф размера n × n, с монотонной
сложностью (2 + )n


Лемма о вычислении дизъюнкций

Лемма
Лемма о вычислении дизъюнкций: Пусть n = 2k . Тогда любой набор
из p log2 (n) дизъюнкций может быть посчитан за 3pn гейтов.
Доказательство этого факта будет приведено в конце лекции.


Теорема
Пусть мы можем предъявить явный граф G , такой, что
C+ (G ) ≥ 12n + (n), тогда можно построить функцию
f : {0, 1}2m → {0, 1} , которую нельзя посчитать меньше чем за (2m )
гейтов.


Теорема
C+ (G ) ≥ 12n + (n), тогда можно построить функцию
f : {0, 1}2m → {0, 1} , которую нельзя посчитать меньше чем за (2m )
гейтов.

Доказательство:
Дан граф G : C+ (G ) ≥ 12n + (n). Рассмотрим его
характеристическую функцию FG . Пусть C (FG ) < (n), тогда можно
заменить литералы в функции F , чтобы получить показательную
функцию HG . Для этого нужно заменить 4 log2 (n) литералов и их
отрицаний на соответствующие дизъюнкции. По лемме о быстром
вычислении дизъюнкций на это уйдет 12n. Значит показательная
функция HG посчиталась за < 12n + (n) - противоречие. Значит
C (FG ) ≥ (n) = (2m ).

Лемма о вычислении произвольного набора дизъюнкций

Лемма
Лемма о вычислении произвольного набора дизъюнкций: Любой
набор из k дизъюнкций может быть посчитан за n + 2k+1 − k − 2:

Доказательство: Дано k множеств S1 , S2 ..Sk ⊂ {1, 2 . . . n}, схема
получает на вход {0, 1}n выходом схемы являются: i∈Sj xi , j = 1 . . . k.
⋃︀

Для всех строк w длины ≤ k построим вспомогательные множества Jw
:
Jw = {j|j ∈ Si ⇔ wi = 1}
Тогда множества Jw обладают следующими свойствами:
1)Jw ∩ Jw ′ = ∅, если |w | = |w ′ |, w ̸= w ′
2)Jw =⋃︀w 0 ∪ Jw 1 , если |w | < k
J
3)Si = |w |=i−1 Jw 1 , для i ≤ k


Продолжение доказательства

1)Jw ∩ Jw ′ = ∅, если |w | = |w ′ |, w ̸= w ′
2)Jw =⋃︀w 0 ∪ Jw 1 , если |w | < k
J
3)Si = |w |=i−1 Jw 1 , для i ≤ k ⋃︀
Для начала посчитаем все Vw = i∈Jw xi для всех w : |w | = k. По
первому свойству у них нет общих элементов, а значит они все могут
быть посчитаны за n гейт. Теперь все остальные Vw , по свойству 2,
выражаются как дизъюнкция уже полученных V, а значит все вместе
могут быть посчитаны за 2k − 1. m-ный выходной гейт может быть
посчитан, через свойство 3, как дизъюнкция 2m−1 Vw , а значит на всех
уйдет k −1m=0 (2m−1 − 1) = 2k − k − 1 Итого: набор из k
∑︀
дизъюнкций может быть посчитан за n + 2k+1 − k − 2.


Лемма о быстром вычислении дизъюнкций

Лемма
Пусть n = 2k . Тогда любой набор из p log2 (n) дизъюнкций может быть
посчитан за 3pn гейтов.

Любой набор из k дизъюнкций может быть посчитаны за
n + 2k+1 − k − 2. Если в качестве k подставить log2 (n), то:
n + 2log2 (n)+1 − log2 (n) − 2 < 3n. Значит если разбить набор из
p log2 (n) дизъюнкций на p групп, то каждую из них можно будет
посчитать за 3n. А значит на все уйдет 3pn


Задачи


Задачи

1)Дан граф G , состоящий из полного подграфа на n − 1 вершине
и одной изолированной вершины.
Докажите, что C+ (G ) ≥ 2n − c.


Задачи

1)Дан граф G , состоящий из полного подграфа на n − 1 вершине
и одной изолированной вершины.
Докажите, что C+ (G ) ≥ 2n − c.
2) Рассмотрим граф G = {V⋁︀E }, |V | = n. Пусть теперь степень
,
i-ой вершины di . Тогда F = Fi , где
⋁︁
Fi = xi ∧ ( xj )
j:{Vi ,Vj }∈E

Особым свойством этой формулы является то, что переменная xi
входит в нее не более di + 1 раз.
Докажите, что если ∀i : di < (n − 1), то любая минимальная
показательная формула для G будет обладать тем же свойством.


Задачи


Задачи

3) Назовем граф насыщенным, если его дополнение не содержит
треугольников и изолированных вершин. Докажите, что для
любого насыщенного графа G = {V , E }, функция
⋁︀
fG = i,j:{Vi ,Vj }∈E (xi ∧ xj ) является единственной показательной
функцией.


Задачи

3) Назовем граф насыщенным, если его дополнение не содержит
треугольников и изолированных вершин. Докажите, что для
любого насыщенного графа G = {V , E }, функция
⋁︀
fG = i,j:{Vi ,Vj }∈E (xi ∧ xj ) является единственной показательной
функцией.
4) Мультипликативная сложность функции F - CM (F )
минимальное количество гейтов типа AND, необходимых для
вычисления функции F . Минимальная мультипликативная
сложность графа G CM (G ) - минимальное CM (FG ), где FG -
показательная функция графа G .
CM (G ) ≥ (n), тогда можно построить функцию
F : {0, 1}2m → {0, 1} , такую, что CM (F ) ≥ (2m )


Спасибо за внимание!


20111023 circuit complexity_seminar_lecture04_mihajlin

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (9)

Similar to 20111023 circuit complexity_seminar_lecture04_mihajlin (20)

More from Computer Science Club (20)

20111023 circuit complexity_seminar_lecture04_mihajlin