20111002 circuit complexity_seminar_lecture03_kulikov
0 likes209 views
Документ представляет собой лекцию о сложности булевых функций, сосредотачиваясь на методах элиминации гейтов и нижних оценках схемной сложности. Обсуждаются примеры свойств функций и доказательства нижних оценок для симметрических функций, обобщенных функций индексации и аффинных дисперсеров. Лекция также касается применения линейных подстановок для удаления гейтов и поиска аффинных дисперсеров.
![Аффинные дисперсеры
Итак, линейные подстановки помогают при элиминации гейтов, но
где взять функцию, которая выживает относительно таких
подстановок?
Непросто построить функцию, которая не обращается в константу
после любых n − o(n) линейных подстановок. Например, любая
симметрическая функция становится константой после n/2
линейных подстановок: x1 ⊕ x2 = 1, x3 ⊕ x4 = 1, . . . .
Объект, который мы ищем, называется аффинным дисперсером.
Формально, аффинный дисперсер для размерности d это
функция f : {0, 1}n → {0, 1}, которая не константа ни на каком
аффинном подпространстве пространства {0, 1}n размерности
хотя бы d .
Только недавно была представлена явная конструкция аффинных
дисперсеров для d = o(n) [Ben-Sasson and Kopparty, 09].
А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов
3. Метод элиминации 02.10.2011 13 / 16](https://image.slidesharecdn.com/20111002circuitcomplexityseminarlecture03kulikov-111008071755-phpapp01/85/20111002-circuit-complexity_seminar_lecture03_kulikov-29-320.jpg)
20111002 circuit complexity_seminar_lecture03_kulikov
- 1. Семинар по сложности булевых функций Лекция 3: Линейные нижние оценки на схемную сложность и метод элиминации гейтов (продолжение) А. Куликов Computer Science клуб при ПОМИ http://compsciclub.ru 02.10.2011 А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 1 / 16
- 2. План лекции 1 Метод элиминации гейтов 2 Примеры свойств функций, использующихся в доказательствах нижних оценок 2.5n для симметрических функций 3n для обобщённой функции индексации 3n для аффинных дисперсеров А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 2 / 16
- 3. План лекции 1 Метод элиминации гейтов 2 Примеры свойств функций, использующихся в доказательствах нижних оценок 2.5n для симметрических функций 3n для обобщённой функции индексации 3n для аффинных дисперсеров А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 3 / 16
- 4. План лекции 1 Метод элиминации гейтов 2 Примеры свойств функций, использующихся в доказательствах нижних оценок 2.5n для симметрических функций 3n для обобщённой функции индексации 3n для аффинных дисперсеров А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 4 / 16
- 5. План лекции 1 Метод элиминации гейтов 2 Примеры свойств функций, использующихся в доказательствах нижних оценок 2.5n для симметрических функций 3n для обобщённой функции индексации 3n для аффинных дисперсеров А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 5 / 16
- 6. Нижняя оценка 2.5n для симметрических функций Теорема (Stockmeyer, 77) Для любых m ≥ 3 и r , C (MODn ) ≥ 2.5n − c. Также m,r C (MODn ) ≤ 2.5n + O(1). 4,r А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 6 / 16
- 7. Нижняя оценка 2.5n для симметрических функций Теорема (Stockmeyer, 77) Для любых m ≥ 3 и r , C (MODn ) ≥ 2.5n − c. Также m,r C (MODn ) ≤ 2.5n + O(1). 4,r Идея доказательства В этом доказательстве уже довольно много случаев. А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 6 / 16
- 8. Нижняя оценка 2.5n для симметрических функций Теорема (Stockmeyer, 77) Для любых m ≥ 3 и r , C (MODn ) ≥ 2.5n − c. Также m,r C (MODn ) ≤ 2.5n + O(1). 4,r Идея доказательства В этом доказательстве уже довольно много случаев. Как обычно, сначала рассматриваются случаи, где довольно легко удалить три гейта одной подстановкой. А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 6 / 16
- 9. Продолжение идеи Не удаётся это сделать в случае, когда в топ-гейт типа ⊕ входят две переменные, степень каждой из которых равна 2. h xi xj ⊕ ⊕ А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 7 / 16
- 10. Продолжение идеи Не удаётся это сделать в случае, когда в топ-гейт типа ⊕ входят две переменные, степень каждой из которых равна 2. h xi xj ⊕ ⊕ Ключевой момент: сделаем подстановку xi = h, xj = h ⊕ 1. А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 7 / 16
- 11. Продолжение идеи Не удаётся это сделать в случае, когда в топ-гейт типа ⊕ входят две переменные, степень каждой из которых равна 2. h xi xj ⊕ ⊕ Ключевой момент: сделаем подстановку xi = h, xj = h ⊕ 1. Вообще говоря, не очень понятно, почему мы можем заменять xi на функцию h. Позволяет нам это сделать тот факт, что h не зависит от xi и что xj мы заменяем на h ⊕ 1. Такая замена эквивалентна тому, что xi + xj = 1, то есть мы просто убиваем зависимость симметрической функции от двух переменных. А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 7 / 16
- 12. Продолжение идеи Не удаётся это сделать в случае, когда в топ-гейт типа ⊕ входят две переменные, степень каждой из которых равна 2. h xi xj ⊕ ⊕ Ключевой момент: сделаем подстановку xi = h, xj = h ⊕ 1. Вообще говоря, не очень понятно, почему мы можем заменять xi на функцию h. Позволяет нам это сделать тот факт, что h не зависит от xi и что xj мы заменяем на h ⊕ 1. Такая замена эквивалентна тому, что xi + xj = 1, то есть мы просто убиваем зависимость симметрической функции от двух переменных. Разбором случаев показывается, что при этом можно удалить пять гейтов. А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 7 / 16
- 13. План лекции 1 Метод элиминации гейтов 2 Примеры свойств функций, использующихся в доказательствах нижних оценок 2.5n для симметрических функций 3n для обобщённой функции индексации 3n для аффинных дисперсеров А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 8 / 16
- 14. Нижняя оценка 3n Теорема (Blum, 84) Пусть fB : {0, 1}n+3 log n+3 определяется следующим образом: для p, q, r ∈ {0, 1}, a, b, c ∈ {0, 1}log n и x ∈ {0, 1}n r f (a, b, c, p, q, r , x) = q(xa xb ∨ px|b| x|c| ) ∨ q (x|a| ⊕ x|b| ) . ¯ Тогда C (f ) ≥ 3n − 3. А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 9 / 16
- 15. Основная идея доказательства Как и в случае функции индексации будем подставлять только переменные из x. А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 10 / 16
- 16. Основная идея доказательства Как и в случае функции индексации будем подставлять только переменные из x. Когда не удаётся подставить константу вместо переменной, попробуем подставить произвольную функцию вместо переменной. А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 10 / 16
- 17. Основная идея доказательства Как и в случае функции индексации будем подставлять только переменные из x. Когда не удаётся подставить константу вместо переменной, попробуем подставить произвольную функцию вместо переменной. Если ничего из этого не помогает, то каждая переменная из x входит ровно в один гейт, причём этот гейт типа ⊕ и у него ровно один потомок. А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 10 / 16
- 18. Основная идея доказательства Как и в случае функции индексации будем подставлять только переменные из x. Когда не удаётся подставить константу вместо переменной, попробуем подставить произвольную функцию вместо переменной. Если ничего из этого не помогает, то каждая переменная из x входит ровно в один гейт, причём этот гейт типа ⊕ и у него ровно один потомок. Покажем тогда, что в текущей схеме есть 3n − 3 гейта. Поможет нам в этом тот факт, что для любых 1 ≤ i < j ≤ n можно так подставить почти все переменные, чтобы функция превратилась как в xi xj , так и в xi ⊕ xj . А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 10 / 16
- 19. План лекции 1 Метод элиминации гейтов 2 Примеры свойств функций, использующихся в доказательствах нижних оценок 2.5n для симметрических функций 3n для обобщённой функции индексации 3n для аффинных дисперсеров А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 11 / 16
- 20. Стандартный узкий случай x1 x2 x3 x4 x5 x6 G1 ⊕ G3 ⊕ G4 ⊕ G2 ⊕ G5 ∧ G6 ⊕ А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 12 / 16
- 21. Стандартный узкий случай x1 x2 x3 x4 x5 x6 так выглядит стандартный уз- кий случай G1 ⊕ G3 ⊕ G4 ⊕ G2 ⊕ G5 ∧ G6 ⊕ А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 12 / 16
- 22. Стандартный узкий случай x1 x2 x3 x4 x5 x6 так выглядит стандартный уз- кий случай G1 ⊕ G3 ⊕ G4 ⊕ подставляя константу вместо переменной мы не можем уда- G2 ⊕ лить больше двух гейтов G5 ∧ G6 ⊕ А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 12 / 16
- 23. Стандартный узкий случай x1 x2 x3 x4 x5 x6 так выглядит стандартный уз- кий случай G1 ⊕ G3 ⊕ G4 ⊕ подставляя константу вместо переменной мы не можем уда- G2 ⊕ лить больше двух гейтов G5 ∧ G6 ⊕ и в то же время не можем ис- ключить, что верх схемы выгля- дит так А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 12 / 16
- 24. Стандартный узкий случай x1 x2 x3 x4 x5 x6 так выглядит стандартный уз- кий случай G1 ⊕ G3 ⊕ G4 ⊕ подставляя константу вместо переменной мы не можем уда- G2 ⊕ лить больше двух гейтов G5 ∧ G6 ⊕ и в то же время не можем ис- ключить, что верх схемы выгля- дит так рассмотрим подстановку x1 ⊕ x2 ⊕ x3 = 0: G5 превращается в константу А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 12 / 16
- 25. Аффинные дисперсеры Итак, линейные подстановки помогают при элиминации гейтов, но где взять функцию, которая выживает относительно таких подстановок? А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 13 / 16
- 26. Аффинные дисперсеры Итак, линейные подстановки помогают при элиминации гейтов, но где взять функцию, которая выживает относительно таких подстановок? Непросто построить функцию, которая не обращается в константу после любых n − o(n) линейных подстановок. Например, любая симметрическая функция становится константой после n/2 линейных подстановок: x1 ⊕ x2 = 1, x3 ⊕ x4 = 1, . . . . А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 13 / 16
- 27. Аффинные дисперсеры Итак, линейные подстановки помогают при элиминации гейтов, но где взять функцию, которая выживает относительно таких подстановок? Непросто построить функцию, которая не обращается в константу после любых n − o(n) линейных подстановок. Например, любая симметрическая функция становится константой после n/2 линейных подстановок: x1 ⊕ x2 = 1, x3 ⊕ x4 = 1, . . . . Объект, который мы ищем, называется аффинным дисперсером. А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 13 / 16
- 28. Аффинные дисперсеры Итак, линейные подстановки помогают при элиминации гейтов, но где взять функцию, которая выживает относительно таких подстановок? Непросто построить функцию, которая не обращается в константу после любых n − o(n) линейных подстановок. Например, любая симметрическая функция становится константой после n/2 линейных подстановок: x1 ⊕ x2 = 1, x3 ⊕ x4 = 1, . . . . Объект, который мы ищем, называется аффинным дисперсером. Формально, аффинный дисперсер для размерности d это функция f : {0, 1}n → {0, 1}, которая не константа ни на каком аффинном подпространстве пространства {0, 1}n размерности хотя бы d . А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 13 / 16
- 29. Аффинные дисперсеры Итак, линейные подстановки помогают при элиминации гейтов, но где взять функцию, которая выживает относительно таких подстановок? Непросто построить функцию, которая не обращается в константу после любых n − o(n) линейных подстановок. Например, любая симметрическая функция становится константой после n/2 линейных подстановок: x1 ⊕ x2 = 1, x3 ⊕ x4 = 1, . . . . Объект, который мы ищем, называется аффинным дисперсером. Формально, аффинный дисперсер для размерности d это функция f : {0, 1}n → {0, 1}, которая не константа ни на каком аффинном подпространстве пространства {0, 1}n размерности хотя бы d . Только недавно была представлена явная конструкция аффинных дисперсеров для d = o(n) [Ben-Sasson and Kopparty, 09]. А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 13 / 16
- 30. Идея доказательства нижней оценки 3n x1 x2 x3 x4 x5 x6 G1 ⊕ G3 ⊕ G4 ⊕ G2 ⊕ G5 ∧ G6 ⊕ А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 14 / 16
- 31. Идея доказательства нижней оценки 3n x1 x2 x3 x4 x5 x6 возьмём первый гейт, не явля- ющийся гейтом типа ⊕ исходя- G1 ⊕ G3 ⊕ щей степени 1 G4 ⊕ G2 ⊕ G5 ∧ G6 ⊕ А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 14 / 16
- 32. Идея доказательства нижней оценки 3n x1 x2 x3 x4 x5 x6 возьмём первый гейт, не явля- ющийся гейтом типа ⊕ исходя- G1 ⊕ G3 ⊕ щей степени 1 G4 ⊕ G2 ⊕ G5 ∧ G6 ⊕ А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 14 / 16
- 33. Идея доказательства нижней оценки 3n x1 x2 x3 x4 x5 x6 возьмём первый гейт, не явля- ющийся гейтом типа ⊕ исходя- G1 ⊕ G3 ⊕ щей степени 1 G4 ⊕ G2 ⊕ на обоих его входах вычисляют- ся линейные функции G5 ∧ G6 ⊕ А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 14 / 16
- 34. Идея доказательства нижней оценки 3n x1 x2 x3 x4 x5 x6 возьмём первый гейт, не явля- ющийся гейтом типа ⊕ исходя- G1 ⊕ G3 ⊕ щей степени 1 G4 ⊕ G2 ⊕ на обоих его входах вычисляют- ся линейные функции G5 ∧ G6 ⊕ А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 14 / 16
- 35. Идея доказательства нижней оценки 3n x1 x2 x3 x4 x5 x6 возьмём первый гейт, не явля- ющийся гейтом типа ⊕ исходя- G1 ⊕ G3 ⊕ щей степени 1 G4 ⊕ G2 ⊕ на обоих его входах вычисляют- ся линейные функции G5 ∧ G6 ⊕ сделаем подстановку x1 ⊕ x2 ⊕ x3 ⊕ x5 ⊕ x6 = 1 А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 14 / 16
- 36. Идея доказательства нижней оценки 3n x1 x2 x3 x4 x5 x6 возьмём первый гейт, не явля- ющийся гейтом типа ⊕ исходя- G1 ⊕ G3 ⊕ щей степени 1 G4 ⊕ G2 ⊕ на обоих его входах вычисляют- ся линейные функции G5 ∧ G6 ⊕ сделаем подстановку x1 ⊕ x2 ⊕ x3 ⊕ x5 ⊕ x6 = 1 это убивает рассматриваемый гейт и его потомков А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 14 / 16
- 37. Идея доказательства нижней оценки 3n x1 x2 x3 x4 x5 x6 возьмём первый гейт, не явля- ющийся гейтом типа ⊕ исходя- G1 ⊕ G3 ⊕ щей степени 1 G4 ⊕ G2 ⊕ на обоих его входах вычисляют- ся линейные функции G5 ∧ G6 ⊕ сделаем подстановку x1 ⊕ x2 ⊕ x3 ⊕ x5 ⊕ x6 = 1 это убивает рассматриваемый гейт и его потомков А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 14 / 16
- 38. Идея доказательства нижней оценки 3n x1 x2 x3 x4 x5 x6 возьмём первый гейт, не явля- ющийся гейтом типа ⊕ исходя- G1 ⊕ G3 ⊕ щей степени 1 G4 ⊕ G2 ⊕ на обоих его входах вычисляют- ся линейные функции G5 ∧ G6 ⊕ сделаем подстановку x1 ⊕ x2 ⊕ x3 ⊕ x5 ⊕ x6 = 1 это убивает рассматриваемый гейт и его потомков более того, его предшественни- ки больше не нужны тоже А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 14 / 16
- 39. Идея доказательства нижней оценки 3n x1 x2 x3 x4 x5 x6 возьмём первый гейт, не явля- ющийся гейтом типа ⊕ исходя- G1 ⊕ G3 ⊕ щей степени 1 G4 ⊕ G2 ⊕ на обоих его входах вычисляют- ся линейные функции G5 ∧ G6 ⊕ сделаем подстановку x1 ⊕ x2 ⊕ x3 ⊕ x5 ⊕ x6 = 1 это убивает рассматриваемый гейт и его потомков более того, его предшественни- ки больше не нужны тоже А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 14 / 16
- 40. Идея доказательства нижней оценки 3n x1 x2 x3 x4 x5 x6 G1 ⊕ G3 ⊕ небольшим разбором слу- G4 ⊕ чае можно показать, что G2 ⊕ так всегда можно удалить 3 гейта; поскольку мы G5 ∧ G6 ⊕ можем сделать n − o(n) таких подстановок, по- лучаем нижнюю оценку 3n − o(n) А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 14 / 16
- 41. Открытая задача Открытая задача Доказать нижнюю оценку 3.1n на схемную сложность явно заданной булевой функции. А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 15 / 16
- 42. Спасибо за внимание! А. Куликов (Computer Science клуб) гейтов 3. Метод элиминации 02.10.2011 16 / 16