20101125 proof complexity_hirsch_lecture08
0 likes175 views
Документ обсуждает теорию доказательства и коммуникационную сложность в контексте семантических полуалгебраических систем и дерева решений. В нем описываются протоколы для вычисления функций с использованием различных моделей, включая вероятностные и детерминированные подходы, а также приводятся нижние оценки на длину доказательств. В заключении представлены планы экзамена и консультации, связанные с курсом.
![Decision tree → вероятностный протокол
Вычислим с ошибкой 1/n и сложностью O(d(log log N)2).
(k + 1)-NIH протокол для проверки y1 + . . . + yk+1 ≥ 0
с ошибкой O(1/nc) и сложностью O(k · log2
n),
где n — число битов в yi :
yi = hi + i , где hi ≤ yi /2 n/2
(старшие n/2 битов),
Если hi > 0 или hi < −k, то всё ясно.
Поэтому “главный” выбирает p ∈ P ∩ [nc+2
ln n..2nc+2
ln n],
собирает hi mod p, вычисляет сумму mod p.
6 / 8](https://image.slidesharecdn.com/20101125proofcomplexityhirschlecture08-101126160854-phpapp02/85/20101125-proof-complexity_hirsch_lecture08-18-320.jpg)
![Decision tree → вероятностный протокол
Вычислим с ошибкой 1/n и сложностью O(d(log log N)2).
(k + 1)-NIH протокол для проверки y1 + . . . + yk+1 ≥ 0
с ошибкой O(1/nc) и сложностью O(k · log2
n),
где n — число битов в yi :
yi = hi + i , где hi ≤ yi /2 n/2
(старшие n/2 битов),
Если hi > 0 или hi < −k, то всё ясно.
Поэтому “главный” выбирает p ∈ P ∩ [nc+2
ln n..2nc+2
ln n],
собирает hi mod p, вычисляет сумму mod p.
Если получилось j ∈ {−k, . . . , 0},
то запускаем для 1 + . . . + k+1 + j · 2 n/2
≥ 0.
6 / 8](https://image.slidesharecdn.com/20101125proofcomplexityhirschlecture08-101126160854-phpapp02/85/20101125-proof-complexity_hirsch_lecture08-19-320.jpg)
![Decision tree → вероятностный протокол
Вычислим с ошибкой 1/n и сложностью O(d(log log N)2).
(k + 1)-NIH протокол для проверки y1 + . . . + yk+1 ≥ 0
с ошибкой O(1/nc) и сложностью O(k · log2
n),
где n — число битов в yi :
yi = hi + i , где hi ≤ yi /2 n/2
(старшие n/2 битов),
Если hi > 0 или hi < −k, то всё ясно.
Поэтому “главный” выбирает p ∈ P ∩ [nc+2
ln n..2nc+2
ln n],
собирает hi mod p, вычисляет сумму mod p.
Если получилось j ∈ {−k, . . . , 0},
то запускаем для 1 + . . . + k+1 + j · 2 n/2
≥ 0.
Иначе запускаем для h1 + . . . + hk+1 ≥ 0.
6 / 8](https://image.slidesharecdn.com/20101125proofcomplexityhirschlecture08-101126160854-phpapp02/85/20101125-proof-complexity_hirsch_lecture08-20-320.jpg)
![Decision tree → вероятностный протокол
Вычислим с ошибкой 1/n и сложностью O(d(log log N)2).
(k + 1)-NIH протокол для проверки y1 + . . . + yk+1 ≥ 0
с ошибкой O(1/nc) и сложностью O(k · log2
n),
где n — число битов в yi :
yi = hi + i , где hi ≤ yi /2 n/2
(старшие n/2 битов),
Если hi > 0 или hi < −k, то всё ясно.
Поэтому “главный” выбирает p ∈ P ∩ [nc+2
ln n..2nc+2
ln n],
собирает hi mod p, вычисляет сумму mod p.
Если получилось j ∈ {−k, . . . , 0},
то запускаем для 1 + . . . + k+1 + j · 2 n/2
≥ 0.
Иначе запускаем для h1 + . . . + hk+1 ≥ 0.
Ошибка, если p оказалось среди делителей чисел { hi + t}k
t=0.
6 / 8](https://image.slidesharecdn.com/20101125proofcomplexityhirschlecture08-101126160854-phpapp02/85/20101125-proof-complexity_hirsch_lecture08-21-320.jpg)
![Decision tree → вероятностный протокол
Вычислим с ошибкой 1/n и сложностью O(d(log log N)2).
(k + 1)-NIH протокол для проверки y1 + . . . + yk+1 ≥ 0
с ошибкой O(1/nc) и сложностью O(k · log2
n),
где n — число битов в yi :
yi = hi + i , где hi ≤ yi /2 n/2
(старшие n/2 битов),
Если hi > 0 или hi < −k, то всё ясно.
Поэтому “главный” выбирает p ∈ P ∩ [nc+2
ln n..2nc+2
ln n],
собирает hi mod p, вычисляет сумму mod p.
Если получилось j ∈ {−k, . . . , 0},
то запускаем для 1 + . . . + k+1 + j · 2 n/2
≥ 0.
Иначе запускаем для h1 + . . . + hk+1 ≥ 0.
Ошибка, если p оказалось среди делителей чисел { hi + t}k
t=0.
Вместо того, чтобы сообщать сумму мономов,
воспользуемся вероятностным протоколом
(свободный член учитывает первый участник). 6 / 8](https://image.slidesharecdn.com/20101125proofcomplexityhirschlecture08-101126160854-phpapp02/85/20101125-proof-complexity_hirsch_lecture08-22-320.jpg)
20101125 proof complexity_hirsch_lecture08
- 1. Сложность пропозициональных доказательств Эдуард Алексеевич Гирш http://logic.pdmi.ras.ru/~hirsch ПОМИ РАН 25 ноября 2010 г. 1 / 8
- 2. Семантическая полуалгебраическая система Система Th(k): Строки — мультилинейные неравенства степени k. Аксиомы — перевод исходной формулы. Правило — f (z) ≥ 0 g(z) ≥ 0 , если ∀z ∈ {0, 1}n (f ≥ 0 =⇒ g ≥ 0). 2 / 8
- 3. Семантическая полуалгебраическая система Система Th(k): Строки — мультилинейные неравенства степени k. Аксиомы — перевод исходной формулы. Правило — f (z) ≥ 0 g(z) ≥ 0 , если ∀z ∈ {0, 1}n (f ≥ 0 =⇒ g ≥ 0). Доказательство нижней оценки для treelike Th(k): док-во → decision tree → коммуникационный протокол. 2 / 8
- 4. Семантическая полуалгебраическая система Система Th(k): Строки — мультилинейные неравенства степени k. Аксиомы — перевод исходной формулы. Правило — f (z) ≥ 0 g(z) ≥ 0 , если ∀z ∈ {0, 1}n (f ≥ 0 =⇒ g ≥ 0). Доказательство нижней оценки для treelike Th(k): док-во → decision tree → коммуникационный протокол. Decision tree для C1 ∧ C2 ∧ . . . от переменных z: f (z) ≥ 0 f0(z) ≥ 0 f1(z) ≥ 0 f00(z) ≥ 0 f01(z) ≥ 0 f10(z) ≥ 0 f11(z) ≥ 0 ¬Ci (z) ¬Cj (z) ¬Ck(z) ¬C (z) . . . 2 / 8
- 5. Древесное док-во → decision tree Дано док-во π — дерево P, соблюдающее логические следствия и с противоречием в корне. Найдём поддерево T размера |π|/3..2|π|/3 с корнем g(z) ≥ 0. Это будет корень decision tree. 3 / 8
- 6. Древесное док-во → decision tree Дано док-во π — дерево P, соблюдающее логические следствия и с противоречием в корне. Найдём поддерево T размера |π|/3..2|π|/3 с корнем g(z) ≥ 0. Это будет корень decision tree. Если g(z) < 0, ложная дизъюнкция — в T, построим decision subtree для T рекурсивно. А если g(z) ≥ 0, то не в T, заменим T на 0 ≥ 0 и построим decision subtree для P рекурсивно. 3 / 8
- 7. Древесное док-во → decision tree Дано док-во π — дерево P, соблюдающее логические следствия и с противоречием в корне. Найдём поддерево T размера |π|/3..2|π|/3 с корнем g(z) ≥ 0. Это будет корень decision tree. Если g(z) < 0, ложная дизъюнкция — в T, построим decision subtree для T рекурсивно. А если g(z) ≥ 0, то не в T, заменим T на 0 ≥ 0 и построим decision subtree для P рекурсивно. Итого размер тот же, неравенства те же, глубина O(log |π|). 3 / 8
- 8. Коммуникационная сложность Общаются A1, . . . , Ak. Общий вход F и ещё входы z1, . . . , zk. 4 / 8
- 9. Коммуникационная сложность Общаются A1, . . . , Ak. Общий вход F и ещё входы z1, . . . , zk. Number-in-hand model: Ai знает zi . Number-on-forehead model: Ai знает всё, кроме zi . 4 / 8
- 10. Коммуникационная сложность Общаются A1, . . . , Ak. Общий вход F и ещё входы z1, . . . , zk. Number-in-hand model: Ai знает zi . Number-on-forehead model: Ai знает всё, кроме zi . Надо вычислить f (F, z1, . . . , zk). Сложность — общее кол-во переданных битов. 4 / 8
- 11. Коммуникационная сложность Общаются A1, . . . , Ak. Общий вход F и ещё входы z1, . . . , zk. Number-in-hand model: Ai знает zi . Number-on-forehead model: Ai знает всё, кроме zi . Надо вычислить f (F, z1, . . . , zk). Сложность — общее кол-во переданных битов. Можно детерминированно, можно вероятностно. 4 / 8
- 12. Коммуникационная сложность Общаются A1, . . . , Ak. Общий вход F и ещё входы z1, . . . , zk. Number-in-hand model: Ai знает zi . Number-on-forehead model: Ai знает всё, кроме zi . Надо вычислить f (F, z1, . . . , zk). Сложность — общее кол-во переданных битов. Можно детерминированно, можно вероятностно. Наша задача: дана КНФ F, набор значений z разбит на части. Надо выдать номер невыполненной дизъюнкции. 4 / 8
- 13. Коммуникационная сложность Общаются A1, . . . , Ak. Общий вход F и ещё входы z1, . . . , zk. Number-in-hand model: Ai знает zi . Number-on-forehead model: Ai знает всё, кроме zi . Надо вычислить f (F, z1, . . . , zk). Сложность — общее кол-во переданных битов. Можно детерминированно, можно вероятностно. Наша задача: дана КНФ F, набор значений z разбит на части. Надо выдать номер невыполненной дизъюнкции. F — цейтинская, но xi заменены на k j=1 zij . 4 / 8
- 14. Decision tree → детерминированный протокол Вычисляем R(x1, . . . , xn), имея дерево глубины d, неравенства степени k, n и коэффициенты ≤ N. Строим (k + 1)-NOF протокол сложности O(d · log N). 5 / 8
- 15. Decision tree → детерминированный протокол Вычисляем R(x1, . . . , xn), имея дерево глубины d, неравенства степени k, n и коэффициенты ≤ N. Строим (k + 1)-NOF протокол сложности O(d · log N). Каждый моном целиком виден хотя бы одному участнику. Протокол: каждый сообщает сумму “своих” мономов, проверяет неравенство и движется дальше по дереву. 5 / 8
- 16. Decision tree → вероятностный протокол Вычислим с ошибкой 1/n и сложностью O(d(log log N)2). 6 / 8
- 17. Decision tree → вероятностный протокол Вычислим с ошибкой 1/n и сложностью O(d(log log N)2). (k + 1)-NIH протокол для проверки y1 + . . . + yk+1 ≥ 0 с ошибкой O(1/nc) и сложностью O(k · log2 n), где n — число битов в yi : 6 / 8
- 18. Decision tree → вероятностный протокол Вычислим с ошибкой 1/n и сложностью O(d(log log N)2). (k + 1)-NIH протокол для проверки y1 + . . . + yk+1 ≥ 0 с ошибкой O(1/nc) и сложностью O(k · log2 n), где n — число битов в yi : yi = hi + i , где hi ≤ yi /2 n/2 (старшие n/2 битов), Если hi > 0 или hi < −k, то всё ясно. Поэтому “главный” выбирает p ∈ P ∩ [nc+2 ln n..2nc+2 ln n], собирает hi mod p, вычисляет сумму mod p. 6 / 8
- 19. Decision tree → вероятностный протокол Вычислим с ошибкой 1/n и сложностью O(d(log log N)2). (k + 1)-NIH протокол для проверки y1 + . . . + yk+1 ≥ 0 с ошибкой O(1/nc) и сложностью O(k · log2 n), где n — число битов в yi : yi = hi + i , где hi ≤ yi /2 n/2 (старшие n/2 битов), Если hi > 0 или hi < −k, то всё ясно. Поэтому “главный” выбирает p ∈ P ∩ [nc+2 ln n..2nc+2 ln n], собирает hi mod p, вычисляет сумму mod p. Если получилось j ∈ {−k, . . . , 0}, то запускаем для 1 + . . . + k+1 + j · 2 n/2 ≥ 0. 6 / 8
- 20. Decision tree → вероятностный протокол Вычислим с ошибкой 1/n и сложностью O(d(log log N)2). (k + 1)-NIH протокол для проверки y1 + . . . + yk+1 ≥ 0 с ошибкой O(1/nc) и сложностью O(k · log2 n), где n — число битов в yi : yi = hi + i , где hi ≤ yi /2 n/2 (старшие n/2 битов), Если hi > 0 или hi < −k, то всё ясно. Поэтому “главный” выбирает p ∈ P ∩ [nc+2 ln n..2nc+2 ln n], собирает hi mod p, вычисляет сумму mod p. Если получилось j ∈ {−k, . . . , 0}, то запускаем для 1 + . . . + k+1 + j · 2 n/2 ≥ 0. Иначе запускаем для h1 + . . . + hk+1 ≥ 0. 6 / 8
- 21. Decision tree → вероятностный протокол Вычислим с ошибкой 1/n и сложностью O(d(log log N)2). (k + 1)-NIH протокол для проверки y1 + . . . + yk+1 ≥ 0 с ошибкой O(1/nc) и сложностью O(k · log2 n), где n — число битов в yi : yi = hi + i , где hi ≤ yi /2 n/2 (старшие n/2 битов), Если hi > 0 или hi < −k, то всё ясно. Поэтому “главный” выбирает p ∈ P ∩ [nc+2 ln n..2nc+2 ln n], собирает hi mod p, вычисляет сумму mod p. Если получилось j ∈ {−k, . . . , 0}, то запускаем для 1 + . . . + k+1 + j · 2 n/2 ≥ 0. Иначе запускаем для h1 + . . . + hk+1 ≥ 0. Ошибка, если p оказалось среди делителей чисел { hi + t}k t=0. 6 / 8
- 22. Decision tree → вероятностный протокол Вычислим с ошибкой 1/n и сложностью O(d(log log N)2). (k + 1)-NIH протокол для проверки y1 + . . . + yk+1 ≥ 0 с ошибкой O(1/nc) и сложностью O(k · log2 n), где n — число битов в yi : yi = hi + i , где hi ≤ yi /2 n/2 (старшие n/2 битов), Если hi > 0 или hi < −k, то всё ясно. Поэтому “главный” выбирает p ∈ P ∩ [nc+2 ln n..2nc+2 ln n], собирает hi mod p, вычисляет сумму mod p. Если получилось j ∈ {−k, . . . , 0}, то запускаем для 1 + . . . + k+1 + j · 2 n/2 ≥ 0. Иначе запускаем для h1 + . . . + hk+1 ≥ 0. Ошибка, если p оказалось среди делителей чисел { hi + t}k t=0. Вместо того, чтобы сообщать сумму мономов, воспользуемся вероятностным протоколом (свободный член учитывает первый участник). 6 / 8
- 23. Нижняя оценка на длины док-в в Th(k) Теорема Нижняя оценка (log n)3+ на (k + 1)-NOF сложность задачи OddCharge (по суммам в вершинах и набору значений, распределённому среди участников, определить вершину с ошибкой) влечёт суперполиномиальную нижнюю оценку на длины доказательств формул для тех же графов в treelike Th(k). 7 / 8
- 24. Планы Список вопросов к экзамену — на сайте клуба. Последняя лекция и консультация — 16 декабря. Экзамен рекомендуется сдать до конца декабря. 8 / 8
- 25. Планы Список вопросов к экзамену — на сайте клуба. Последняя лекция и консультация — 16 декабря. Экзамен рекомендуется сдать до конца декабря. . . . но можно и после 15 января. 8 / 8