20110403 quantum algorithms_vyali_lecture03

1. Квантовые алгоритмы: возможности и ограничения. Лекция 3: Сложность булевых функций в модели запросов М. Вялый Вычислительный центр им. А.А.Дородницына Российской Академии наук Санкт-Петербург, 2011 М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 1 / 30

2. План 1 Определения и основные результаты 2 Квантовое вычисление дизъюнкции 3 Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижняя оценка 4 Степень многочлена, приближающего булеву функцию М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 2 / 30

3. Три вида запросов Булева функция x → f (x), x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}. Классический запрос Посылаем k, 1 k n. Получаем xk . Вероятностный запрос Посылаем k, выбранное по некоторому вероятностному распределению (pk ). Получаем xk . Квантовый запрос Оператор Ox : |k, b → |k, b ⊕ xk (общий случай) или фазовый запрос Ox : |k → (−1)xk |k . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 3 / 30

7. Формулировка задачи Задача(-и) вычисления булевой функции f Дано: Черный ящик , который выдает значения переменных из некоторого набора (x1 , . . . , xn ). Найти: значение f (x). Сложность алгоритма: количество запросов. Вероятность ошибки: меньше 1/3. Определения D(f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f по классическим запросам. R1/3 (f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f по вероятностным запросам. Q1/3 (f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f по квантовым запросам. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 4 / 30

8. Формулировка задачи Задача(-и) вычисления булевой функции f Дано: Черный ящик , который выдает значения переменных из некоторого набора (x1 , . . . , xn ). Найти: значение f (x). Сложность алгоритма: количество запросов. Вероятность ошибки: меньше 1/3. Определения D(f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f по классическим запросам. R1/3 (f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f по вероятностным запросам. Q1/3 (f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f по квантовым запросам. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 4 / 30

9. Полиномиальная эквивалентность между сложностями Теорема Для любой всюду определенной булевой функции f Q1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f ) = O Q1/3 (f )6 . Наилучший известный разрыв Для дизъюнкции OR = x1 ∨ x2 ∨ · · · ∨ xn выполняется √ Q1/3 (OR) = O( n); R1/3 (OR) = Ω(n); D(OR) = n. Открытая проблема Какова точная величина разрыва между сложностями? М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 5 / 30

12. Очевидные соотношения Q1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f ) Классический алгоритм это вероятностный, который использует только детерминированные распределения (одна из вероятностей равна 1). Вероятностные и детерминированные запросы можно моделировать квантовыми, как уже объяснялось. D(OR) = n Дизъюнкция от нулевого набора равна 0, а от остальных 1. Если сделать меньше n запросов противник даст нулевые ответы и затем обмануть алгоритм. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 6 / 30

13. Очевидные соотношения Q1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f ) Классический алгоритм это вероятностный, который использует только детерминированные распределения (одна из вероятностей равна 1). Вероятностные и детерминированные запросы можно моделировать квантовыми, как уже объяснялось. D(OR) = n Дизъюнкция от нулевого набора равна 0, а от остальных 1. Если сделать меньше n запросов противник даст нулевые ответы и затем обмануть алгоритм. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 6 / 30

15. Квантовое вычисление дизъюнкции Модификация алгоритма Гровера обеспечит вычисление дизъюнкции √ за O( n) квантовых запросов. Аналогично предыдущим случаям, попробуем фазовый запрос Ox : |k → (−1)xk |k . Будем применять итерацию Гровера G = Rψ Ox , начиная с вектора |ψ . Здесь, как и раньше Rψ = 2|ψ ψ| − I . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 8 / 30

18. Инвариантное двумерное подпространство G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ ) 1 |ξ = √ |k h k:x =1 k Проверим: 1 1 |ψ = √ |k + √ |k = n n k:xk =1 k:xk =0 h n−h 1 h n−h = |ξ + √ |k = |ξ + |η n n n−h n n k:xk =0 Ox |ξ = −|ξ Ox |η = |η М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 30

25. Угол поворота 1 1 h sin ϑ = ψ|ξ = h √ √ = n h n |ξ 2ϑ |ψ ϑ М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 10 / 30

26. Схема алгоритма Количество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно. Будем выбирать случайно. Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 30

36. Свойства алгоритма √ Количество запросов O( n). Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0. Утверждение Если OR(x) = 1, то вероятность ошибки < 3/4. Повторив алгоритм k раз, сделаем вероятность ошибки < (3/4)k . Теорема Существует алгоритм, который вычисляет дизъюнкцию n переменных √ с вероятностью ошибки ε за O( n log ε−1 ) квантовых запросов. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 12 / 30

41. Оценка вероятности ошибки: два случая 1 Количество единиц велико: h n/5. Вторая стадия алгоритма потребуется с вероятностью, не превосходящей 5 1 1− ≈ e −1 5 и вероятность ошибки не больше этой величины. 2 Количество единиц мало: 0 < h < n/5. Будем оценивать вероятность успеха при итерациях Гровера. Успех: такое измерение, которое дает номер переменной, равной 1. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 13 / 30

45. Оценка вероятности успеха для заданного числа итераций Лемма Вероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния |ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ). Доказательство |ξ 2ϑ |ψ ϑ М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 30

46. Оценка вероятности успеха для заданного числа итераций Лемма Вероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния |ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ). Доказательство |ξ Начальный угол ϑ. 2ϑ |ψ ϑ М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 30

47. Оценка вероятности успеха для заданного числа итераций Лемма Вероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния |ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ). Доказательство |ξ Начальный угол ϑ. 2ϑ Каждая итерация поворачивает |ψ вектор на угол 2ϑ. ϑ М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 30

48. Оценка вероятности успеха для заданного числа итераций Лемма Вероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния |ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ). Доказательство |ξ Начальный угол ϑ. 2ϑ Каждая итерация поворачивает |ψ вектор на угол 2ϑ. ϑ Координаты вектора после t итераций (cos((2t + 1)ϑ), sin((2t + 1)ϑ)) М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 30

49. Оценка вероятности успеха для заданного числа итераций Лемма Вероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния |ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ). Доказательство |ξ Вероятность успеха квадрат модуля 2ϑ амплитуды базисного вектора |ξ : |ψ ϑ sin2 ((2t + 1)ϑ) М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 30

50. Случайный выбор числа итераций Лемма Вероятность успеха 1 sin(4mϑ) Pm = − . 2 4m sin(2ϑ) Доказательство По формуле полной вероятности m−1 m−1 1 1 Pm = sin2 ((2j + 1)ϑ) = 1 − cos((2j + 1)2ϑ) . m 2m j=0 j=0 Теперь свернем сумму косинусов, используя формулу m−1 sin(2mϕ) cos((2j + 1)ϕ) = . 2 sin ϕ j=0 М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 15 / 30

51. Случайный выбор числа итераций Лемма Вероятность успеха 1 sin(4mϑ) Pm = − . 2 4m sin(2ϑ) Доказательство По формуле полной вероятности m−1 m−1 1 1 Pm = sin2 ((2j + 1)ϑ) = 1 − cos((2j + 1)2ϑ) . m 2m j=0 j=0 Теперь свернем сумму косинусов, используя формулу m−1 sin(2mϕ) cos((2j + 1)ϕ) = . 2 sin ϕ j=0 М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 15 / 30

52. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма Из второй леммы 1 sin(4mϑ) Pm = − 2 4m sin(2ϑ) При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4. Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n. Поэтому √ n 1 1 n> = > . h sin ϑ sin(2ϑ) Вероятность успеха не меньше 1/4. Вероятность ошибки меньше 3/4. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 30

59. Чувствительность Определение Чувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количеству переменных xk , для которых f (x) = f (x ⊕ ek ). Здесь ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). k−1 (Сколько соседей на булевом кубе имеют другое значение функции.) Чувствительность s(f ) функции f равна maxx sx (f ). Пример s(OR) = n, так как s0n (OR) = n (у всех соседей точки 0n значение 1, а у самой точки 0). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 18 / 30

63. Нижняя оценка вероятностной сложности Теорема s(f ) 3R1/3 (f ) Доказательство Аналогично оценке для числа вероятностных запросов в задаче поиска. Пусть в x достигается максимум sx (f ) = s, а x1 , . . . , xs соответствующие переменные. Если алгоритм делает k s/3 запросов, то вероятность того, что одна из этих переменных пропущена, не меньше 1/3. Но в этом случае противник может гарантировать ошибку, так как f (x) = f (x ⊕ ej ). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 19 / 30

69. Многочлены и булевы функции Определения Многочлен p : Rn → R приближает булеву функцию f : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого x ∈ {0, 1}n выполняется 1 |p(x) − f (x)| < . 3 Степенью (приближения) deg(f ) булевой функции f называется наименьшая степень многочлена, приближающего f . Задача Докажите, что для любой булевой функции f от n переменных существует единственный мультилинейный многочлен p степени не выше n, который точно представляет f : равенство f (x) = p(x) выполняется для всех x ∈ {0, 1}n . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 21 / 30

73. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения Теорема Для любой булевой функции deg(f ) 2Q1/3 (f ). Лемма Если алгоритм вычисления f делает d квантовых запросов, то состояние его памяти перед финальным измерением имеет вид αw (x)|w , w ∈W где w состояния памяти алгоритма, а αw (x) (комплексные) многочлены от x степени не выше d . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 22 / 30

74. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения Теорема Для любой булевой функции deg(f ) 2Q1/3 (f ). Лемма Если алгоритм вычисления f делает d квантовых запросов, то состояние его памяти перед финальным измерением имеет вид αw (x)|w , w ∈W где w состояния памяти алгоритма, а αw (x) (комплексные) многочлены от x степени не выше d . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 22 / 30

75. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения Перед измерением: αw (x)|w , deg αw (x) d. w ∈W Вывод теоремы из леммы Исход w наблюдается при измерении с вероятностью pw (x) = |αw (x)|2 . W1 множество тех состояний памяти, в которых алгоритм выдает ответ 1 . Вероятность ответа 1 равна p1 (x) = pw (x). w ∈W1 Это многочлен от x степени 2d и такой, что 1 p1 (x) > 2/3 при f (x) = 1; 1/3 > p1 (x) 0 при f (x) = 0. Таким образом, deg(f ) deg p1 (x) 2d . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 23 / 30

80. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммы Состояние памяти алгоритма после k запросов: |ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 . Доказательство индукцией по k. Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0. Применение запроса. Было · · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . . Стало · · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . . Степень увеличилась самое большее на 1. Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не увеличивается. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 30

87. Насколько хорошо степень приближает Qε (f )? Амбайнис (2006) построил семейство функций, для которых deg(fk ) = 2k , а Q1/3 (f ) = Ω(2.5k ). Для доказательства нижней оценки на квантовую сложность он использовал метод квантового противника (Амбайнис, 2002). Рейхарт (2010) доказал для одной из версий метода квантового противника, что она дает оценку Qε (f ) с точностью до мультипликативной константы. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 25 / 30

90. Оценка квантовой сложности дизъюнкции Теорема deg(OR) n/6. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 26 / 30

91. Оценка квантовой сложности дизъюнкции Доказательство p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ). Симметризация многочлена: 1 p sym (x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ). n! σ∈Sn p sym (x1 , . . . , xn ) симметрический мультилинейный многочлен от переменных x1 , . . . , xn . Поэтому он представляется в виде p sym (x1 , . . . , xn ) = a0 + a1 σ1 (x) + · · · + ad σd (x), где σj (x1 , . . . , xn ) = xk S⊂{1,...,n}, |S|=j k∈S элементарный симметрический многочлен. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 27 / 30

94. Оценка квантовой сложности дизъюнкции (окончание) Завершение доказательства Специализация p (t) = p sym (1, 1, . . . , 1, 0, . . . , 0) = p sym (xt ). ˜ t единиц t Это многочлен степени d , так как σj (xt ) = j . Свойства специализации |˜(0)| < 1/3; p |˜(k) − 1| < 1/3 при 1 p k n. Отсюда следует d = deg p deg p sym deg p ˜ n/6. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 28 / 30

99. Оценка степени многочлена Теорема (нижняя оценка на степень многочлена) Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| < 1/3, а −1/3 < f (k) < 4/3 при 2 k n. Тогда deg f n/6. Теорема (Марков, 1889) Если |f (x)| 1 на отрезке [−1; 1], то |f (x)| (deg f )2 на отрезке [−1; 1]. Задача Выведите нижнюю оценку на степень многочлена из неравенства Маркова. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 29 / 30

103. Оценка квантовой сложности дизъюнкции: итог Теорема √ √ √1 n Q1/3 (OR) n. 24 Зазор между вероятностной и квантовой сложностью 1√ R1/3 (OR) √ √ n 24 n 3 Q1/3 (OR) М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 30 / 30

20110403 quantum algorithms_vyali_lecture03

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (20)

Similar to 20110403 quantum algorithms_vyali_lecture03 (20)

More from Computer Science Club (20)

20110403 quantum algorithms_vyali_lecture03