20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01

1. Квантовые алгоритмы: возможности и ограничения. Лекция 1: стандартная модель М. Вялый Вычислительный центр им. А.А.Дородницына Российской Академии наук Санкт-Петербург, 2011 М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 1 / 36

2. План 1 Введение 2 Состояния классических систем 3 Чистые состояния квантовых систем 4 Преобразования чистых состояний 5 Стандартная идеализация квантового компьютера М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 2 / 36

3. С кем и чем имеют дело в информатике? Носитель информации: М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 3 / 36

4. С кем и чем имеют дело в информатике? Носитель информации: Преобразование информации М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 3 / 36

5. С кем и чем имеют дело в информатике? Носитель информации: Преобразование информации Передача информации М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 3 / 36

6. С кем и чем имеют дело в информатике? Носитель информации: Преобразование информации Объединение систем М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 3 / 36

7. С кем и чем имеют дело в информатике? Носитель информации: Преобразование информации Разделение систем М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 3 / 36

8. С кем и чем имеют дело в информатике? Носитель информации: Преобразование информации Забывание информации М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 3 / 36

9. С кем и чем имеют дело в информатике? Носитель информации: Преобразование информации Измерение 1 М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 3 / 36

11. Система с конечным числом состояний Классическая детерминированная система: конечное множество. Пример: бит Множество из двух элементов. Обычное обозначение 0 и 1. Вероятностная система. Пример: подбрасывание монеты Равновероятны оба исхода. Поэтому состояние описывается линейной комбинацией 1 1 орел + решка . 2 2 М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 5 / 36

15. Состояния вероятностной системы Исход это результат наблюдения над системой. Два возможных исхода 0, 1 Отрезок {(p0 , p1 ) : p0 0, p1 0, p0 + p1 = 1}. Конечное множество возможных исходов 0, 1, . . . , n − 1 Симплекс n−1 {(p0 , . . . , pn−1 ) : pi 0, pi = 1}. i=0 М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 6 / 36

16. Состояния вероятностной системы Исход это результат наблюдения над системой. Два возможных исхода 0, 1 Отрезок {(p0 , p1 ) : p0 0, p1 0, p0 + p1 = 1}. Конечное множество возможных исходов 0, 1, . . . , n − 1 Симплекс n−1 {(p0 , . . . , pn−1 ) : pi 0, pi = 1}. i=0 М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 6 / 36

18. Квантовая система с двумя состояниями: кубит Пространство состояний кубита это 2-мерная сфера. Сфера описывает только чистые состояния. В самом общем случае, когда возможны рандомизированные смеси чистых квантовых состояний, получается шар. 1 1 0 0 бит кубит: сфера Блоха 1 1 0 0 случайный бит смешанное состояние кубита: шар Блоха М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 8 / 36

19. Пространство чистых состояний Пусть квантовая система имеет конечное количество n исходов (результатов наблюдения). Определение Пространство чистых состояний (n − 1)-мерное комплексное проективное пространство. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 9 / 36

20. Напоминание Комплексное число представляется в виде z = x + iy , где i 2 = −1, а x, y вещественные числа. Другая форма представления: r (cos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ . Здесь |z| = x 2 + y 2 модуль числа z, ϕ аргумент (фаза, как говорят физики). y z = x + iy |z | i ' 0 1 x М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 10 / 36

21. d-мерное комплексное проективное пространство Определение Точки d -мерного комплексного проективного пространства задаются ненулевыми наборами из d + 1 комплексного числа. Два набора комплексных чисел задают одну и ту же точку, если они различаются на комплексный множитель: (α0 , α1 , . . . , αd ) ∼ (β0 , β1 , . . . , βd ) ⇔ αi = γβi . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 11 / 36

22. d-мерное комплексное проективное пространство Определение Точки d -мерного комплексного проективного пространства задаются ненулевыми наборами из d + 1 комплексного числа. Два набора комплексных чисел задают одну и ту же точку, если они различаются на комплексный множитель: (α0 , α1 , . . . , αd ) ∼ (β0 , β1 , . . . , βd ) ⇔ αi = γβi . Обычно квантовое состояние системы с n исходами задается набором n комплексных чисел амплитуд, которые нормированы на 1: n−1 {(α0 , α1 , . . . , αn−1 ) : αk ∈ C, |αk |2 = 1}. k=0 М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 11 / 36

23. d-мерное комплексное проективное пространство Определение Точки d -мерного комплексного проективного пространства задаются ненулевыми наборами из d + 1 комплексного числа. Два набора комплексных чисел задают одну и ту же точку, если они различаются на комплексный множитель: (α0 , α1 , . . . , αd ) ∼ (β0 , β1 , . . . , βd ) ⇔ αi = γβi . Обычно квантовое состояние системы с n исходами задается набором n комплексных чисел амплитуд, которые нормированы на 1: n−1 {(α0 , α1 , . . . , αn−1 ) : αk ∈ C, |αk |2 = 1}. k=0 При этом остается еще одна степень свободы: умножение всех амплитуд на множитель e iϕ , по модулю равный 1 (сдвиг фазы). Состояние от такого умножения не меняется. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 11 / 36

24. Вернемся к кубиту Вопрос Почему пространство состояний кубита (1-мерное комплексное проективное пространство) 2-мерная вещественная сфера? М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 12 / 36

25. Вернемся к кубиту Вопрос Почему пространство состояний кубита (1-мерное комплексное проективное пространство) 2-мерная вещественная сфера? Точки вида (α0 , α1 ) ∼ (1, α1 /α0 ), α0 = 0, образуют вещественную плоскость. Есть еще одна точка (0, α) (бесконечно удаленная точка). Получается сфера. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 12 / 36

26. Вернемся к кубиту Вопрос Почему пространство состояний кубита (1-мерное комплексное проективное пространство) 2-мерная вещественная сфера? (0, 1) Точки вида (α0 , α1 ) ∼ (1, α1 /α0 ), α0 = 0, образуют вещественную плоскость. Есть еще одна точка (0, α) (бесконечно удаленная точка). Получается сфера. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 12 / 36

27. Состояния из многих кубитов В классическом случае состояния n битов это двоичные слова длины n и их 2n штук. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 13 / 36

28. Состояния из многих кубитов В классическом случае состояния n битов это двоичные слова длины n и их 2n штук. В вероятностном случае мы получаем многомерное распределение (pi0 i1 ...in−1 ), pi0 i1 ...in−1 0, pi0 i1 ...in−1 = 1. (Pn ) (i0 ,i1 ,...,in−1 )∈{0,1}n М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 13 / 36

29. Состояния из многих кубитов В классическом случае состояния n битов это двоичные слова длины n и их 2n штук. В вероятностном случае мы получаем многомерное распределение (pi0 i1 ...in−1 ), pi0 i1 ...in−1 0, pi0 i1 ...in−1 = 1. (Pn ) (i0 ,i1 ,...,in−1 )∈{0,1}n В квантовом случае мы получаем вектор в комплексном пространстве: αi0 i1 ...in−1 |i0 , i1 , . . . , in−1 , |αi0 i1 ...in−1 |2 = 1. (Qn ) (i0 ,i1 ,...,in−1 )∈{0,1}n М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 13 / 36

30. Состояния из многих кубитов В классическом случае состояния n битов это двоичные слова длины n и их 2n штук. В вероятностном случае мы получаем многомерное распределение (pi0 i1 ...in−1 ), pi0 i1 ...in−1 0, pi0 i1 ...in−1 = 1. (Pn ) (i0 ,i1 ,...,in−1 )∈{0,1}n В квантовом случае мы получаем вектор в комплексном пространстве: αi0 i1 ...in−1 |i0 , i1 , . . . , in−1 , |αi0 i1 ...in−1 |2 = 1. (Qn ) (i0 ,i1 ,...,in−1 )∈{0,1}n Обозначения Дирака: |ψ обозначает вектор, а если этот вектор принадлежит вычислительному базису, то мы между | и пишем его индекс. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 13 / 36

31. Обратите внимание (pi0 i1 ...in−1 ), pi0 i1 ...in−1 0, pi0 i1 ...in−1 = 1. (Pn ) (i0 ,i1 ,...,in−1 )∈{0,1}n αi0 i1 ...in−1 |i0 , i1 , . . . , in−1 , |αi0 i1 ...in−1 |2 = 1. (Qn ) (i0 ,i1 ,...,in−1 )∈{0,1}n Замечание Довольно часто особенную силу квантовых вычислений видят в том, что пространство состояний системы из n кубитов имеет очень большую размерность 2n . Сравнение формул (Pn ) и (Qn ) показывает неточность такого наблюдения: 300 кубитов описываются таким же количеством амплитуд, что и 300 случайных битов (вещественных параметров в два раза больше, конечно). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 14 / 36

32. Объединение систем Правило Пространство состояний составной системы является тензорным произведением пространств состояний ее частей. Тензорное произведение: простое определение Если есть пространства с выделенными базисами U = (u1 , . . . , un ); V = (v1 , . . . , vk ), то их тензорное произведение U ⊗ V имеет выделенный базис uj ⊗ v , 1 j n; 1 k, |j, (в обозначениях Дирака). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 15 / 36

33. Разложимые векторы Тензорное произведение векторов билинейно (λu + µu ) ⊗ v = λ(u ⊗ v ) + µ(u ⊗ v ); u ⊗ (λv + µv ) = λ(u ⊗ v ) + µ(u ⊗ v ). Используя билинейность, можно выразить тензорное произведение любой пары векторов через базисные векторы. Разложимые вектора имеют u ⊗ v . В вероятностном случае разложимое распределение обладает таким свойством, что величины, относящиеся к двум подсистемам независимы. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 16 / 36

37. Неразложимые состояния Вероятностное распределение 1 1 p00 = ; p11 = ; p01 = p10 = 0. 2 2 Квантовое состояние 1 1 √ |00 + √ |11 2 2 Замечание Для неразложимых состояний составных квантовых систем используется специальный термин сцепленность . Сцепленность играет большую роль в квантовой теории информации. Как, впрочем, и понятие независимости в теории вероятностей. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 17 / 36

41. Наблюдение (измерение) Основное правило Пусть система находится в состоянии n−1 {(α0 , α1 , . . . , αn−1 ) : αk ∈ C, |αk |2 = 1}. k=0 Тогда при наблюдении этой системы вероятность исхода k равна |αk |2 . Умножение всех амплитуд на одно и то же число, равное по модулю 1, не меняет вероятностей исходов. Поэтому-то мы и считаем пространством состояний комплексное проективное пространство. Однако и умножение амплитуд на разные множители, равные по модулю 1, не изменяет вероятности исходов. Почему же мы не считаем все такие состояния одинаковыми? (В таком случае квантовое пространство состояний выродится в вероятностное.) М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 19 / 36

45. Ответ Мы считаем состояния разными, если можно опытным путем обнаружить отличия между ними. Разницу между состояниями, амплитуды которых различаются лишь фазовыми множителями (модуль равен 1), можно обнаружить двумя способами: Выполнить некоторое преобразование (одно и то же в обоих случаях) и потом произвести то же самое измерение. Выполнить измерение другим прибором. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 20 / 36

46. Ответ Мы считаем состояния разными, если можно опытным путем обнаружить отличия между ними. Разницу между состояниями, амплитуды которых различаются лишь фазовыми множителями (модуль равен 1), можно обнаружить двумя способами: Выполнить некоторое преобразование (одно и то же в обоих случаях) и потом произвести то же самое измерение. Выполнить измерение другим прибором. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 20 / 36

47. Свойства измерения Важно! Состояние системы после наблюдения k описывается набором чисел (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0 ). k n−k −1 Повторные наблюдения будут давать k с вероятностью 1 (если с системой ничего не делать). Это полностью аналогично вероятностному случаю: когда подброшенная монета упала на орла , она так и будет лежать этой стороной вверх, если ее не трогать. Еще важнее!! В квантовой физике могут быть разные приборы для наблюдения. Последовательные измерения разными приборами могут менять состояние системы. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 21 / 36

50. Пример с кубитом и сферой Блоха Прибор описывается направлением x из центра сферы Блоха (это один и тот же прибор, но по-разному повернутый в пространстве). Вероятность наблюдения 1 в состоянии, описываемом вектором y равна 1+x ·y . 2 y1 Пусть измерение прибором y 1 y2 дало исход 1. Состояние куби- та после измерения стало y 1 . Оно обязательно изменится по- сле измерения прибором y 2 . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 22 / 36

51. Что такое прибор в нашем формализме? Ответ Прибор это ортонормированный базис {uk } в n-мерном унитарном пространстве: 1, если k = , uk · u = δk = 0, иначе. Слово унитарный означает, что пространство снабжено эрмитовым скалярным произведением ∗ ∗ (α0 , . . . , αn−1 ) · (β0 , . . . , βn−1 ) = α0 β0 + · · · + αn−1 βn−1 . Здесь z ∗ = x − iy обозначает число, комплексно сопряженное числу z = x + iy . Амплитуда состояния x относительно k-го вектора uk в базисе равна скалярному произведению x · uk . Это не то скалярное произведение, которое использовалось в примере со сферой Блоха! М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 23 / 36

52. Что такое прибор в нашем формализме? Ответ Прибор это ортонормированный базис {uk } в n-мерном унитарном пространстве: 1, если k = , uk · u = δk = 0, иначе. Слово унитарный означает, что пространство снабжено эрмитовым скалярным произведением ∗ ∗ (α0 , . . . , αn−1 ) · (β0 , . . . , βn−1 ) = α0 β0 + · · · + αn−1 βn−1 . Здесь z ∗ = x − iy обозначает число, комплексно сопряженное числу z = x + iy . Амплитуда состояния x относительно k-го вектора uk в базисе равна скалярному произведению x · uk . Это не то скалярное произведение, которое использовалось в примере со сферой Блоха! М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 23 / 36

53. Стандартное предположение Мы почти всегда будем обсуждать ситуации, в которых прибор фиксирован. Поэтому у нас, как и в вероятностном случае, есть выделенный базис, который обычно называют вычислительным базисом. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 24 / 36

54. Стандартное предположение Мы почти всегда будем обсуждать ситуации, в которых прибор фиксирован. Поэтому у нас, как и в вероятностном случае, есть выделенный базис, который обычно называют вычислительным базисом. В этом случае разницу между состояниями, амплитуды которых различаются лишь фазовыми множителями, можно обнаружить, применяя одно и то же преобразование к обоим системам. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 24 / 36

55. Преобразования чистых состояний Постулат стандартной квантовой механики Преобразования должны быть линейными. Правило Возможны преобразования, задаваемые произвольными унитарными операторами: ψ → Uψ, где U † U = I . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 25 / 36

56. Преобразования чистых состояний Постулат стандартной квантовой механики Преобразования должны быть линейными. Правило Возможны преобразования, задаваемые произвольными унитарными операторами: ψ → Uψ, где U † U = I . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 25 / 36

57. Преобразования чистых состояний Постулат стандартной квантовой механики Преобразования должны быть линейными. Правило Возможны преобразования, задаваемые произвольными унитарными операторами: ψ → Uψ, где U † U = I . Унитарный оператор сохраняет длину вектора ψ|U † U|ψ = ψ|ψ и, более общим образом, скалярное произведение между векторами ξ|U † U|ψ = ξ|ψ М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 25 / 36

58. Обозначения Дирака: более тесное знакомство Кет-векторы: |ψ ∈ V (вектор-столбцы). Бра-векторы: ψ| ∈ V ∗ линейные функционалы на V (вектор-строки). Скалярное произведение: ψ|ξ . Индуцирует изоморфизм V → V ∗: |ψ → ψ|; ψ|(|ξ ) = ψ|ξ . Пример 1 i 1 |ψ = √ , ψ| = √ −i 1 . 2 1 2 М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 26 / 36

62. Операторы и матрицы в обозначениях Дирака ξ|A|η = ξ|A|η = ξ|A|η Второе равенство задает линейный функционал ψ| = ξ|A. Соответствующий кет-вектор |ψ получается из |ξ применением линейного оператора A† , который называется эрмитово сопряженным к A. Из определения сразу следует, что A† ξ|η = ξ|A|η . Операторы можно задавать матрицами в ортонормированном базисе: A= ajk |j k|, где ajk = j|A|k матричный элемент. j,k Упражнение Проверьте, что матрица оператора A† получается транспонированием и комплексным сопряжением: (A† )jk = (Akj )∗ . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 27 / 36

68. Какие бывают унитарные операторы Теорема Для любого унитарного оператора есть ортонормированный базис, в котором его матрица диагональна: Ujk = λj δjk . Из условия унитарности следует, что λ∗ λj = 1, т. е. все собственные j числа унитарного оператора равны по модулю 1. В вычислительном базисе унитарный оператор записывается матрицей, столбцы (и строки) которой образуют ортонормированный базис. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 28 / 36

69. Эрмитовы операторы Определение Оператор A эрмитов, если A† = A. Теорема Для любого эрмитова оператора есть ортонормированный базис, в котором его матрица диагональна. Следствие ∗ Собственные числа эрмитова оператора вещественны: akk = akk М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 29 / 36

72. Наблюдаемые Наблюдаемая A это эрмитов оператор. Возможные значения наблюдаемой собственные числа A. Правило из физики Если оператор A имеет собственные числа λk и собственные векторы |ψk , то при измерении состояния |ψ = ck |ψk k наблюдается значение λk с вероятностью |ck |2 . Среднее значение наблюдаемой ∗ E (|ψ , A) = |ck |2 λk = ψk |ck ck λk |ψk = ψ|A|ψ . k k М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 30 / 36

75. События Событие L подпространство унитарного пространства. Наблюдаемая, связанная с событием: проектор на подпространство ΠL . Собственные числа проектора равны 1 (событие происходит) и 0 (событие не происходит). Вероятность события в состоянии |ψ Pr(|ψ , L) = ψ|ΠL |ψ = ψ|Π† ΠL |ψ , L так как Π2 = ΠL . L Вероятность события равна квадрату длину проекции вектора состояния на подпространство, отвечающее этому событию. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 31 / 36

80. Преобразования составной системы Если мы применяем оператор U к первой части (первому регистру) составной системы AB, то на составную систему действует оператор U ⊗ I. Определение Тензорное произведение операторов на разложимых векторах действует покомпонентно: Z = X ⊗ Y ⇔ Z (u ⊗ v ) = (Xu) ⊗ (Yv ), а на остальные продолжается по линейности. Вопрос Почему это определение корректно? (Не зависит от выбора представления суммой разложимых векторов.) М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 32 / 36

83. Корректность определения тензорного произведения операторов Задача Пусть α : U × V → W билинейное отображение. Тогда существует единственное линейное отображение β : U ⊗ V → W , для которого равенство β(u ⊗ v ) = α(u, v ) выполняется для любых векторов u ∈ U, v ∈ V. Если α(u, v ) = (Xu) ⊗ (Yv ), то β является искомым тензорным произведением. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 33 / 36

84. Корректность определения тензорного произведения операторов Задача Пусть α : U × V → W билинейное отображение. Тогда существует единственное линейное отображение β : U ⊗ V → W , для которого равенство β(u ⊗ v ) = α(u, v ) выполняется для любых векторов u ∈ U, v ∈ V. Если α(u, v ) = (Xu) ⊗ (Yv ), то β является искомым тензорным произведением. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 33 / 36

85. Свойства тензорного произведения операторов Задача Докажите, что тензорное произведение унитарных операторов унитарно. Указание: используйте следующий факт. Упражнение Проверьте мультипликативность скалярного произведения на разложимых векторах в тензорном произведении унитарных пространств ψ , ξ |ψ , ξ = ψ |ψ · ξ |ξ . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 34 / 36

86. Свойства тензорного произведения операторов Задача Докажите, что тензорное произведение унитарных операторов унитарно. Указание: используйте следующий факт. Упражнение Проверьте мультипликативность скалярного произведения на разложимых векторах в тензорном произведении унитарных пространств ψ , ξ |ψ , ξ = ψ |ψ · ξ |ξ . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 34 / 36

88. Использование квантового ресурса в алгоритмах Использование квантового ресурса в алгоритмах Предварительные манипуляции с классическими системами; приготовление некоторого чистого состояния (обычно это одно из состояний вычислительного базиса); унитарные преобразования; измерение в вычислительном базисе; обработка результатов измерения классическими средствами; циклическое повторение предыдущих шагов при необходимости. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 1: стандартная модель Санкт-Петербург, 2011 36 / 36

20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01

More Related Content

What's hot (13)

Similar to 20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01 (7)

More from Computer Science Club (20)

20110204 quantum algorithms_vyali_lecture01