Циклические коды БЧХ, Хемминга. Восстановление синхронизации
0 likes1,491 views
Документ обсуждает теорию кодирования, включая циклические коды и коды BCH, с акцентом на свойства и применение примитивных элементов полей. Также рассматриваются проблемы восстановления синхронизации и свойства свободы от запятой. Особое внимание уделяется совершенным кодам, таким как коды Хемминга и коды Голея.
Циклические коды БЧХ, Хемминга. Восстановление синхронизации
- 1. Теория кодирования МФТИ, осень 2013 Александр Дайняк www.dainiak.com
- 2. Циклический код Циклический код — это линейный код, такой, что для любого кодового слова 𝑎0, 𝑎1 … , 𝑎 𝑛−1 слово 𝑎 𝑛−1, 𝑎0 … , 𝑎 𝑛−2 также является кодовым. Циклический код — это подмножество 𝐶 кольца 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 , такое, что • 𝑓1, 𝑓2 ∈ 𝐶 ⇒ ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝔽 𝛼𝑓1 + 𝛽𝑓2 ∈ 𝐶 • 𝑓 ∈ 𝐶 ⇒ 𝑥 ⋅ 𝑓 ∈ 𝐶
- 3. Примитивный элемент Рассмотрим поле 𝔽 𝑞, где 𝑞 = 𝑝 𝑚, 𝑝 простое. Известно, что множество 𝔽 𝑞 ∖ 0 образует циклическую группу по умножению. Каждый образующий элемент этой группы (порядок которого равен 𝑞 − 1 ) называется примитивным элементом поля. Иными словами, примитивный элемент — это такой 𝜆 ∈ 𝔽 𝑞, что 1, 𝜆, 𝜆2, … , 𝜆 𝑞−2 = 𝔽 𝑞 ∖ 0 .
- 4. Граница Боуза—Чоудхури—Хоквингема Теорема. (A.Hocquenghem’1959, R.C. Bose and D.K. Ray-Chaudhuri’1960) Пусть 𝜆 — примитивный элемент 𝔽 𝑞. Пусть порождающий многочлен 𝑔 кода 𝐶 ⊆ 𝔽 𝑞 𝑛 таков, что в 𝔽 𝑞 среди его корней есть (различные) числа вида 𝜆 𝑏, 𝜆 𝑏+1, … , 𝜆 𝑏+𝛿−2 Тогда 𝑑 𝐶 ≥ 𝛿.
- 5. Граница Боуза—Чоудхури—Хоквингема Проблема: • Если применять теорему «в лоб», то невозможно доказать, что кодовое расстояние больше мощности кодового алфавита, даже если это и так. Решение: • Код рассмотрим как подмножество в 𝔽 𝑝 𝑛, но при применении границы БЧХ погрузим поле 𝔽 𝑝 в 𝔽 𝑝 𝑚.
- 6. Факты о полях • При любом простом 𝑝 и любом 𝑚 поле 𝔽 𝑝 можно вложить как подполе в 𝔽 𝑝 𝑚. Обычно поле 𝔽 𝑝 — это поле вычетов 𝔽 𝑝, а 𝔽 𝑝 𝑚 строится как множество многочленов с коэффициентами из ℤ 𝑝, которые складываются и умножаются по модулю некоторого многочлена степени 𝑚, неприводимого над ℤ 𝑝. Тогда вложение 𝔽 𝑝 в 𝔽 𝑝 𝑚 очевидно: элементам 𝔽 𝑝 соответствуют многочлены степени ≤ 0.
- 7. Факты о полях • Элементам 𝔽 𝑝 𝑚 можно сопоставить вектора из 𝔽 𝑝 𝑚, так, что сумме элементов 𝔽 𝑝 𝑚 соответствует сумма векторов в 𝔽 𝑝 𝑚. Раз 𝔽 𝑝 𝑚 — многочлены с коэффициентами из 𝔽 𝑝 степени ≤ 𝑚, то каждому элементу 𝔽 𝑝 𝑚 сопоставим вектор коэффициентов многочлена.
- 8. Коды БЧХ Пусть 𝑝 простое. Рассмотрим циклический код 𝐶 ⊆ 𝔽 𝑝 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 с порождающим многочленом 𝑔. Коэффициенты 𝑔 берутся из 𝔽 𝑝, но их можно считать одновременно элементами 𝔽 𝑝 𝑚. Рассмотрим код 𝐶 ⊆ 𝔽 𝑝 𝑚 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 , порождённый многочленом 𝑔 (если считать, что 𝑔 ∈ 𝔽 𝑝 𝑚 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 ). Можно в том же духе считать, что 𝐶 ⊆ 𝐶.
- 9. Коды БЧХ Коэффициенты 𝑔 берутся из 𝔽 𝑝, но их можно считать одновременно элементами 𝔽 𝑝 𝑚. 𝐶 ⊆ 𝔽 𝑝 𝑚 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 порождён 𝑔. Пусть 𝜆 — примитивный элемент 𝔽 𝑝 𝑚, и 𝑔 𝜆 𝑏 = ⋯ = 𝑔 𝜆 𝑏+𝛿−2 = 0 Тогда граница БЧХ гласит: 𝑑 𝐶 ≥ 𝛿. Так как 𝐶 ⊆ 𝐶, то и 𝑑 𝐶 ≥ 𝛿.
- 10. Коды БЧХ • Подбираем 𝑔 ∈ 𝔽 𝑝 𝑚 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 с коэффициентами из 𝔽 𝑝, так, чтобы в 𝔽 𝑝 𝑚 было выполнено 𝑔 𝜆 𝑏 = ⋯ = 𝑔 𝜆 𝑏+𝛿−2 = 0 и 𝑔| 𝑥 𝑛 − 1 . • На основе 𝑔 строим циклический код в 𝔽 𝑝 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 , для которого, по построению, выполнено 𝑑 𝐶 ≥ 𝛿. Вопросы: • Существует ли вообще такой 𝑔? • Как оценить dim 𝐶?
- 11. Минимальный многочлен Хорошие новости (без доказательства): Для любого 𝛼 ∈ 𝔽 𝑝 𝑚 ∖ 0 существует многочлен 𝑓 ∈ 𝔽 𝑝 𝑚 𝑥 ∖ 0 с коэффициентами из 𝔽 𝑝, для которого 𝑓 𝛼 = 0. Если взять такой 𝑓 минимальной степени, то • 𝑓 неприводим над 𝔽 𝑝, • deg 𝑓 ≤ 𝑚, • 𝑓 ∣ 𝑥 𝑝 𝑚−1 − 1 . Такой 𝑓 называется минимальным многочленом элемента 𝛼.
- 12. Коды БЧХ Следствия из хороших новостей: • Если 𝑛 = 𝑝 𝑚 − 1, то существует 𝑔, такой, что 𝑔 𝜆 𝑏 = ⋯ = 𝑔 𝜆 𝑏+𝛿−2 = 0 и 𝑔| 𝑥 𝑛 − 1 , причём deg 𝑔 ≤ 𝛿 − 1 𝑚. • Такой 𝑔 можно взять как LCM 𝑓 𝜆 𝑏, … , 𝑓 𝜆 𝑏+𝛿−2 где 𝑓 𝜆 𝑏, … , 𝑓 𝜆 𝑏+𝛿−2 — минимальные многочлены соответствующих элементов.
- 13. Коды БЧХ Окончательный способ построения кода: • Берём 𝑛 ≔ 𝑝 𝑚 − 1 и 𝑔 ≔ LCM 𝑓 𝜆 𝑏, … , 𝑓 𝜆 𝑏+𝛿−2 где 𝑓 𝜆 𝑏, … , 𝑓 𝜆 𝑏+𝛿−2 — минимальные многочлены соответствующих элементов в 𝔽 𝑝 𝑚. • Строим циклический код в 𝔽 𝑝, используя 𝑔 в качестве порождающего многочлена наименьшей возможной степени Получаем код с параметрами 𝑝 𝑚 − 1, 𝑘, 𝑑 𝑝, где • 𝑘 = 𝑛 − deg 𝑔 ≥ 𝑛 − 𝛿 − 1 𝑚 • 𝑑 ≥ 𝛿
- 14. Задача восстановления синхронизации Пусть по каналу передаются слова … 𝒂, 𝒃, 𝒄 … 𝑎1 𝑎2 … 𝑎 𝑛 𝑏1 𝑏2 … 𝑏 𝑛 𝑐1 𝑐2 … 𝑐 𝑛 … Если в канале выпадают символы, может произойти ошибка синхронизации: 𝑎𝑖+1 𝑎𝑖+2 … 𝑎 𝑛 𝑏1 𝑏2 … 𝑏 𝑛 𝑐1 𝑐2 … 𝑐 𝑛 … и есть шанс неправильно разбить принятую последовательность на слова: 𝑎𝑖+1 … 𝑎 𝑛 𝑏1 … 𝑏𝑖 ∣ 𝑏𝑖+1 … 𝑏 𝑛 𝑐1 … 𝑐𝑖 ∣ 𝑐𝑖+1 … Если при этом такие слова окажутся кодовыми, то мы далеко не сразу обнаружим ошибку!
- 15. Задача восстановления синхронизации При потере синхронизации имеем разбиение: 𝑎𝑖+1 … 𝑎 𝑛 𝑏1 … 𝑏𝑖 ∣ 𝑏𝑖+1 … 𝑏 𝑛 𝑐1 … 𝑐𝑖 ∣ 𝑐𝑖+1 … Циклические коды очень плохие с точки зрения восстановления синхронизации: если 𝒂 ∈ 𝐶 и в канал передавалось 𝒂𝒂𝒂 … то при потере синхронизации мы обнаружим ошибку только в самом конце приёма.
- 16. Свобода от запятой Пусть по каналу передаются слова … 𝒂, 𝒃, 𝒄 … 𝑎1 𝑎2 … 𝑎 𝑛 𝑏1 𝑏2 … 𝑏 𝑛 𝑐1 𝑐2 … 𝑐 𝑛 … Если при приёме слова 𝒃 «запоздать» на 𝑖 тактов, то мы примем слово 𝑏𝑖+1 … 𝑏 𝑛 𝑐1 … 𝑐𝑖 а если «забежать вперёд» на 𝑖 тактов, примем 𝑎 𝑛−𝑖+1 … 𝑎 𝑛 𝑏1 … 𝑏 𝑛−𝑖 Код обладает свободой от запятой степени 𝑟, если для любых кодовых слов 𝒂, 𝒃, 𝒄 и любого 𝑖 ≤ 𝑟 коду не принадлежат слова 𝑏𝑖+1 … 𝑏 𝑛 𝑐1 … 𝑐𝑖 и 𝑎 𝑛−𝑖+1 … 𝑎 𝑛 𝑏1 … 𝑏 𝑛−𝑖.
- 17. Свобода от запятой Код обладает свободой от запятой степени 𝑟, если для любых кодовых слов 𝒂, 𝒃, 𝒄 и любого 𝑖 ≤ 𝑟 коду не принадлежат слова 𝑏𝑖+1 … 𝑏 𝑛 𝑐1 … 𝑐𝑖 и 𝑎 𝑛−𝑖+1 … 𝑎 𝑛 𝑏1 … 𝑏 𝑛−𝑖. Если 𝑟 ≥ 𝑛 2 , то считаем, что 𝑟 = ∞, а код называется кодом без запятой. Если 𝑟 < ∞, то при приёме можно (перебором) исправить синхросдвиг на ≤ 𝑟 2 символов. Если 𝑟 = ∞, то может быть исправлен любой синхросдвиг.
- 18. Свобода от запятой Код обладает свободой от запятой степени 𝑟, если для любых кодовых слов 𝒂, 𝒃, 𝒄 и любого 𝑖 ≤ 𝑟 коду не принадлежат слова 𝑏𝑖+1 … 𝑏 𝑛 𝑐1 … 𝑐𝑖 и 𝑎 𝑛−𝑖+1 … 𝑎 𝑛 𝑏1 … 𝑏 𝑛−𝑖. • Циклические коды — не годятся • Зато смежные классы циклических кодов — вполне!
- 19. Смежные классы линейных кодов Пусть 𝐶 ⊆ 𝔽 𝑛 — линейный код. Его смежный класс — это множество вида 𝐶 + 𝒂 ≔ 𝒄 + 𝒂 ∣ 𝒄 ∈ 𝐶 Заметьте: при 𝒂 ∉ 𝐶 такой код не линейный! Для циклического кода с порождающим многочленом 𝑔 смежный класс имеет вид 𝑓 ⋅ 𝑔 + 𝑠 ∣ 𝑓 ∈ 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 для некоторого 𝑠 ∈ 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 .
- 20. Смежные классы циклических кодов Для циклического кода с порождающим многочленом 𝑔 смежный класс имеет вид 𝑓 ⋅ 𝑔 + 𝑠 ∣ 𝑓 ∈ 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 для некоторого 𝑠 ∈ 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 . Теорема. При 𝑠 ≡ 1 степень свободы от запятой смежного класса циклического кода равна deg 𝑔 − 1 при 𝑛 ≥ 2 deg 𝑔, и равна ∞ при 𝑛 < 2 deg 𝑔. (Подробно обоснуем только нижнюю оценку.)
- 21. Смежные классы циклических кодов Пусть передавались слова 𝒂, 𝒃 ∈ 𝐶. Если при приёме слова 𝒂 произошло запаздывание на 𝑖 тактов, то будет принято слово, которому отвечает многочлен 𝑥−𝑖 ⋅ 𝑓𝒂 − 𝑡1 + 𝑥 𝑛−𝑖 ⋅ 𝑡2, где 𝑡1 и 𝑡2 — многочлены, образованные 𝑖 первыми координатами слов 𝒂 и 𝒃 соответственно, а 𝑓𝒂 — многочлен, отвечающий слову 𝒂.
- 22. Смежные классы циклических кодов В кольце 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 имеем 𝑥−𝑖 ⋅ 𝑓𝒂 − 𝑡1 + 𝑥 𝑛−𝑖 ⋅ 𝑡2 = 𝑥 𝑛−𝑖 ⋅ 𝑓𝒂 − 𝑡1 + 𝑡2 Аналогично, если при приёме слова 𝒃 произошло «забегание вперёд», то будет принято слово 𝑥 𝑖 ⋅ 𝑓𝒃 + 𝑡3 − 𝑡4 , где 𝑡3 и 𝑡4 — многочлены, образованные 𝑖 старшими разрядами слова 𝒂 и 𝑖 младшими разрядами 𝒃 соответственно. При этом deg 𝑡1 , deg 𝑡2 , deg 𝑡3 , deg 𝑡4 < 𝑖
- 23. Смежные классы циклических кодов Итак, в случае рассинхронизации принятое слово будет иметь вид 𝑥 𝑛−𝑖 ⋅ 𝑓 + Δ или 𝑥 𝑖 ⋅ 𝑓 + Δ, где 𝑓 ∈ 𝐶 и deg Δ < 𝑖. Нужно, чтобы 𝑥 𝑛−𝑖 ⋅ 𝑓 + Δ ∉ 𝐶 и 𝑥 𝑖 ⋅ 𝑓 + Δ ∉ 𝐶 при 0 < 𝑖 ≤ 𝑟.
- 24. Смежные классы циклических кодов Пусть 𝐶 — смежный класс ц.к. вида 𝑓 ⋅ 𝑔 + 1 ∣ 𝑓 ∈ 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 Нужно, чтобы для любых 𝑓1, 𝑓2, Δ, 𝑖, таких, что deg Δ < 𝑖 и 0 < 𝑖 ≤ 𝑟 в кольце 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 было выполнено 𝑓1 ⋅ 𝑔 + 1 ≠ 𝑥 𝑛−𝑖 ⋅ 𝑓2 ⋅ 𝑔 + 1 + Δ 𝑓1 ⋅ 𝑔 + 1 ≠ 𝑥 𝑖 ⋅ 𝑓2 ⋅ 𝑔 + 1 + Δ Это равносильно тому, что для любых 𝑓, Δ, 𝑖 𝑓 ⋅ 𝑔 ≠ 𝑥 𝑖 + Δ − 1
- 25. Смежные классы циклических кодов Пусть 𝐶 — смежный класс ц.к. вида 𝑓 ⋅ 𝑔 + 1 ∣ 𝑓 ∈ 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 Нужно, чтобы для любых 𝑓, Δ, 𝑖, таких, что deg Δ < 𝑖 и 0 < 𝑖 ≤ 𝑟 в кольце 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 было выполнено 𝑓 ⋅ 𝑔 ≠ 𝑥 𝑖 + Δ − 1 Имеем 𝑥 𝑖 + Δ − 1 ≢ 0 при любом 𝑖 > 0. Т.к. deg 𝑥 𝑖 + Δ − 1 = 𝑖 ≤ 𝑟, то достаточно, чтобы deg 𝑔 > 𝑟. Это и требовалось доказать.
- 26. Циклическое представление кодов Хемминга Пусть 𝜆 — примитивный элемент поля 𝔽2 𝑚. Пусть 𝑔 — минимальный многочлен для 𝜆, и 𝐶 ⊂ 𝔽2 2 𝑚−1 — код, порождённый 𝑔. Любой кодовый многочлен 𝑓 ∈ 𝐶 имеет корень, равный 𝜆. Поэтому кодовые вектора 𝑐0, … , 𝑐2 𝑚−2 удовлетворяют соотношению 𝑐0 + 𝑐1 𝜆 + 𝑐2 𝜆2 + ⋯ + 𝑐2 𝑚−2 𝜆2 𝑚−2 = 0
- 27. Циклическое представление кодов Хемминга Кодовые вектора 𝑐0, … , 𝑐2 𝑚−2 удовлетворяют соотношению 𝑐0 + 𝑐1 𝜆 + 𝑐2 𝜆2 + ⋯ + 𝑐2 𝑚−2 𝜆2 𝑚−2 = 0 Так как 𝜆0, 𝜆1, … , 𝜆2 𝑚−2 = 𝔽2 𝑚 ∖ 0 , и так как каждому элементу 𝔽2 𝑚 отвечает вектор из 𝔽2 𝑚 , то проверочная матрица кода равна 𝑣 𝜆0, 𝑣 𝜆1, … , 𝑣 𝜆2 𝑚−2 ∈ 𝔽2 𝑚× 2 𝑚−1 где 𝑣 𝜆 𝑖 — вектор, отвечающий 𝜆𝑖. Столбцы матрицы — все ненулевые вектора 𝔽2 𝑚 .
- 28. Циклическое представление кодов Хемминга Утверждение. Двоичный код Хемминга с параметрами 2 𝑚 − 1, 2 𝑚 − 1 − 𝑚, 3 эквивалентен циклическому коду, порождённому минимальным многочленом примитивного элемента 𝔽2 𝑚.
- 29. Коды Голея М. Голей (M. J. E. Golay) предложил два кода, позже было замечено, что они циклические: • 23,12,7 -код с порождающим многочленом 1 + 𝑥 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 + 𝑥9 + 𝑥11 • 11,6,5 3-код с порождающим многочленом 2 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 Расширенные коды Голея: • 23,12,7 -код → 24,12,8 -код • 11,6,5 3-код → 12,6,6 3-код
- 30. Совершенные коды Граница Хемминга (сферической упаковки). Для любого 𝑛, 𝑀, 𝑑 𝑞-кода имеем 𝑀 ≤ 𝑞 𝑛 𝑆 𝑑−1 2 𝟎 Для любого линейного 𝑛, 𝑘, 𝑑 𝑞-кода 𝑆 𝑑−1 2 𝟎 ≤ 𝑞 𝑛−𝑘 Коды, достигающие эту границу, — совершенные. 𝒂1 𝒂2 𝒂 𝑀 ⋯
- 31. Совершенные коды 𝑆 𝑑−1 2 𝟎 = 𝑞 𝑛−𝑘 Утверждение. Коды Голея и Хемминга — совершенные. Доказательство: • Для 23,12,7 -кода Голея: 𝑖=0 3 23 𝑖 = 223−12 • Для 11,6,5 3-кода Голея: 𝑖=0 2 𝑛 𝑖 ⋅ 2𝑖 = 311−6 • Для двоичных кодов Хемминга проверяли ранее. Теперь проверим в общем случае.
- 32. Совершенные коды Проверочная матрица 𝑞-ичного кода Хемминга содержит все линейно независимые столбцы высоты 𝑚. Получается 𝑛 = 𝑞 𝑚−1 𝑞−1 , 𝑘 = 𝑛 − 𝑚, 3 𝑞 -код. Проверяем соотношение 𝑆 𝑑−1 2 𝟎 = 𝑞 𝑛−𝑘: 𝑆1 𝟎 = 1 + 𝑛 𝑞 − 1 = 𝑞 𝑚 = 𝑞 𝑛−𝑘
- 33. Тривиальные совершенные коды • 𝑛, 1, 𝑛 𝑞-код (состоит из одного слова) • 𝑛, 2, 𝑛 2-код (пара слов-антиподов) при нечётных 𝑛
- 34. Совершенные коды Теорема. (В. А. Зиновьев, В. К. Леонтьев ’1972, A. Tietäväinen ’1973, J. H. van Lint ’1971, M. R. Best ’1983, Y. Hong ’1983, V. Pless ’1968) — Б/д. • Нетривиальных совершенных кодов с расстоянием > 7 не существует. • Единственным с точностью до эквивалентности совершенным кодом с расстоянием 7 является 23,12,7 -код Голея. • Любой нетривиальный код над алфавитом мощности 𝑞 = 𝑝 𝑚 с расстоянием ≤ 5 либо эквивалентен 11,6,5 3-коду Голея, либо имеет те же длину, число слов и кодовое расстояние, что и 𝑞 𝑡−1 𝑞−1 , 𝑞 𝑡−1 𝑞−1 − 𝑡, 3 𝑞 -код Хемминга.
- 35. Совершенные коды Следствие теоремы: Для любого совершенного кода над 𝔽 𝑞 существует линейный код с той же длиной слов, числом слов и кодовым расстоянием. Нерешённая проблема: Существуют ли совершенные коды над алфавитами мощности ≠ 𝑝 𝑚 ?
- 36. Совершенные коды Теорема. (Ю. Л. Васильев ’1962, обобщения: J. Schonheim ’1968, B. Lindstrom ‘1969) Для любого 𝑞 = 𝑝 𝑚 существуют совершенные коды с расстоянием 3, не эквивалентные линейным кодам. Докажем только для случая 𝑞 = 2: При любом 𝑚 существует нелинейный 2 𝑚 − 1, 22 𝑚−𝑚−1, 3 -код.
- 37. Совершенные коды Лемма. (Конструкция Васильева) Пусть 𝐶′, 𝐶′′ ⊆ 𝔽2 𝑛 — коды с расстояниями 𝑑′ и 𝑑′′, причём 𝑑′ нечётно. Положим 𝜋 𝒂 ≔ 𝑖 𝑎𝑖. Для произвольного 𝛾: 𝐶′′ → 𝔽2 рассмотрим код 𝐶 ≔ 𝒄′ ∣ 𝒄′ + 𝒄′′ ∣ 𝜋 𝒄′ + 𝛾 𝒄′′ , где 𝒄′ ∈ 𝐶′ , 𝒄′′ ∈ 𝐶′′ Тогда 𝐶 является 2𝑛 + 1, 𝐶′ ⋅ 𝐶′′ , 𝑑 -кодом, где 𝑑 ≥ min 2𝑑′ + 1, 𝑑′′ Доказательство: Нетривиальна только оценка 𝑑 𝐶 . (Похоже на конструкцию Плоткина.)
- 38. Доказательство леммы Васильева Возьмём пару различных слов кода 𝐶: 𝒂 = 𝒄′ ∣ 𝒄′ + 𝒄′′ ∣ 𝜋 𝒄′ + 𝛾 𝒄′′ 𝒂 = 𝒄′ ∣ 𝒄′ + 𝒄′′ ∣ 𝜋 𝒄′ + 𝛾 𝒄′′ Рассматриваем случаи: • 𝒄′ ≠ 𝒄′ и 𝒄′′ = 𝒄′′. Если 𝑑 𝒄′, 𝒄′ = 𝑑′, то 𝜋 𝒄′ ≠ 𝜋 𝒄′ и следовательно 𝑑 𝒂, 𝒂 = 2𝑑′ + 1. Если 𝑑 𝒄′, 𝒄′ > 𝑑′, то 𝑑 𝒂, 𝒂 > 2𝑑′ .
- 39. Доказательство леммы Васильева Возьмём пару различных слов кода 𝐶: 𝒂 = 𝒄′ ∣ 𝒄′ + 𝒄′′ ∣ 𝜋 𝒄′ + 𝛾 𝒄′′ 𝒂 = 𝒄′ ∣ 𝒄′ + 𝒄′′ ∣ 𝜋 𝒄′ + 𝛾 𝒄′′ Рассматриваем случаи: • 𝒄′ = 𝒄′ и 𝒄′′ ≠ 𝒄′′. Тогда, очевидно, 𝑑 𝒂, 𝒂 ≥ 𝑑 𝒄′′, 𝒄′′ ≥ 𝑑′′.
- 40. Доказательство леммы Васильева 𝒂 = 𝒄′ ∣ 𝒄′ + 𝒄′′ ∣ 𝜋 𝒄′ + 𝛾 𝒄′′ 𝒂 = 𝒄′ ∣ 𝒄′ + 𝒄′′ ∣ 𝜋 𝒄′ + 𝛾 𝒄′′ Остался случай 𝒄′ ≠ 𝒄′ и 𝒄′′ ≠ 𝒄′′: Пусть 𝒄′ и 𝒄′ отличаются на множестве позиций 𝐷1, а 𝒄′′ и 𝒄′′ отличаются на множестве позиций 𝐷2. Тогда 𝒄′ + 𝒄′′ и 𝒄′ + 𝒄′′ отличаются по крайней мере на множестве 𝐷2 ∖ 𝐷1. Следовательно 𝑑 𝒂, 𝒂 ≥ 𝐷1 + 𝐷2 ∖ 𝐷1 ≥ 𝐷2 ≥ 𝑑′′
- 41. Теорема Васильева Следствие из леммы Васильева. Пусть 𝐶′′ ⊆ 𝔽2 𝑛 — код с расстоянием 3. Для произвольного отображения 𝛾: 𝐶′′ → 𝔽2 код 𝒄′ ∣ 𝒄′ + 𝒄′′ ∣ 𝜋 𝒄′ + 𝛾 𝒄′′ , где 𝒄′ ∈ 𝔽2 𝑛 , 𝒄′′ ∈ 𝐶′′ является 2𝑛 + 1, 2 𝑛 ⋅ 𝐶′′ , 3 -кодом. Доказательство: применяем Лемму с 𝐶′ ≔ 𝔽2 𝑛 . Замечание: если отображения 𝛾 и 𝛾 + 1 нелинейны, то получаемый код не эквивалентен никакому линейному.
- 42. Теорема Васильева Следствие из леммы Васильева. Если существует 𝑛, 𝑀, 3 -код, то существует 2𝑛 + 1, 2 𝑛 ⋅ 𝑀, 3 -код, не эквивалентный никакому линейному. Теорема. Для любого 𝑚 ≥ 2 существует совершенный 2 𝑚 − 1, 22 𝑚−𝑚−1 , 3 -код, не эквивалентный никакому линейному. Доказательство: Заметим, что при каждом 𝑚 ≥ 2 есть 2 𝑚−1 − 1, 22 𝑚−1−𝑚, 3 -код Хемминга, и применим Следствие с 𝑛 ≔ 2 𝑚−1 − 1 и 𝑀 ≔ 22 𝑚−1−𝑚 .
- 43. Линейные коды не всегда лучшие Теорема. (F. P. Preparata ’1968, J.-M. Goethals and S. L. Snover ’1972) • Для ∀𝑚 ≥ 2 существует 4 𝑚, 24 𝑚−4𝑚, 6 -код. • Любой линейный код длины 4 𝑚 с расстоянием 6 имеет меньшую мощность. Коды с параметрами 4 𝑚, 24 𝑚−4𝑚, 6 называют кодами Препа́раты.