Основы теории графов 10: экстремальная теория графов
0 likes1,203 views
Документ обсуждает теорию графов, фокусируясь на задаче Турана, которая определяет условия для наличия клики в графе и максимальное количество рёбер в графе без клики заданного размера. Теорема Турана устанавливает, что для графа с заданным количеством вершин и ограниченной хроматической шириной, максимальное количество рёбер достигается в полном k-дольном графе. Дополнительно рассматриваются обобщения этой теоремы и выводы касательно подграфов.
Основы теории графов 10: экстремальная теория графов
- 1. Основы теории графов осень 2013 Александр Дайняк www.dainiak.com
- 2. Задача Турана • Пусть у нас есть пустой граф 퐺 ≔ 퐾푛. • Будем добавлять в 퐺 рёбра по одному. • На каком шаге в графе 퐺 точно появится треугольник? А клика на 푘 вершинах? Иными словами, • Сколько рёбер должно быть в графе на 푛 вершинах, чтобы он наверняка содержал клику на 푘 вершинах? • Как много рёбер может быть в графе на 푛 вершинах, не содержащем клику на 푘 вершинах?
- 3. Задача Турана Задача Турана — типичный пример задачи из экстремальной теории графов. Общая постановка экстремальных задач обычно такая: • Как много/мало рёбер/вершин/… может быть в графе, имеющем заданные свойства? • Как «выглядят» графы, на которых достигаются экстремумы?
- 4. Теорема Турана Теорема. (Turán ’1941) Пусть 퐺 — граф на 푛 вершинах, и 휔 퐺 ≤ 푘. И пусть 퐺 имеет наибольшее число рёбер среди всех графов с указанными свойствами. Тогда 퐺 является полным 푘-дольным графом, в котором мощности любых двух долей отличаются не более чем на 1. Такие графы называются графами Турана. ⋯
- 5. Теорема Турана Доказательство: Вначале докажем, что 퐺 полный 푘-дольный. Заметим, что 휔 퐺 = 푘, т.к. иначе в 퐺 можно было бы добавить произвольное ребро, сохранив неравенство 휔 퐺 ≤ 푘. Далее докажем, что для любых 푢, 푣, 푤 ∈ V 퐺 если 푢푣, 푣푤 ∉ 퐸 퐺 , то 푢푤 ∉ 퐸 퐺 . Допустим, это не так, и нашлись 푢, 푣, 푤, такие, что 푢푣, 푣푤 ∉ 퐸 퐺 и 푢푤 ∈ 퐸 퐺 . Покажем, что тогда число рёбер в 퐺 можно увеличить.
- 6. 푣 Теорема Турана Допустим, что 푢푣, 푣푤 ∉ 퐸 퐺 и 푢푤 ∈ 퐸 퐺 . Случай 1: 푑 푣 < 푑 푢 . Тогда рассмотрим граф 퐺′, для которого 퐸 퐺′ ≔ 퐸 퐺 − 푣 ∪ 푣푥 ∣ 푥 ∈ 푁 푢 в 퐺 푣 푢 푤 퐺 − 푢, 푣, 푤 푢 푤 퐺′ − 푢, 푣, 푤 В 퐺′ по-прежнему нет клик размера 푘 + 1 , и при этом 퐺′ = 퐺 − 푑 푣 + 푑 푢 > 퐺 , противоречие с максимальностью 퐺 .
- 7. Теорема Турана Случай 2: 푑 푣 < 푑 푤 — аналогичен случаю 1. Случай 3: 푑 푣 ≥ 푑 푢 и 푑 푣 ≥ 푑 푤 . Тогда рассмотрим граф 퐺′, для которого 퐸 퐺′ ≔ 퐸 퐺 − 푢, 푤 ∪ 푢푥, 푤푥 ∣ 푥 ∈ 푁 푣 в 퐺 푣 푢 푤 퐺 − 푢, 푣, 푤 푣 푢 푤 퐺′ − 푢, 푣, 푤 В 퐺′ по-прежнему нет клик размера 푘 + 1 , а рёбер строго больше, чем в 퐺: 퐺′ = 퐺 − 푑 푢 + 푑 푤 − 1 + 2푑 푣 > 퐺
- 8. Теорема Турана Мы доказали «транзитивность несмежности»: для любых 푢, 푣, 푤 ∈ 푉 퐺 если 푢푣, 푣푤 ∉ 퐸 퐺 , то 푢푤 ∉ 퐸 퐺 . Пусть 퐴 = 푣1, … , 푣푘 — клика в 퐺, и пусть 푣 — любая вершина из 푉 퐺 ∖ 퐴. Вершина 푣 не может быть смежна со всеми вершинами из 퐴, иначе было бы 휔 퐺 ≥ 푘 + 1. Также 푣 не может быть несмежна более чем с одной вершиной из 퐴, иначе получаем противоречие с транзитивностью несмежности.
- 9. Теорема Турана Пусть 퐴 = 푣1, … , 푣푘 — клика в 퐺. Пусть 푉푖 — все вершины графа 퐺, не смежные с вершиной 푣푖 (сама 푣푖 принадлежит 푉푖). Мы показали, что каждая вершина графа 퐺 не смежна ровно с одной вершиной клики 퐴, следовательно 푉 퐺 = 푉1 ⊔ ⋯ ⊔ 푉푘 . Из транзитивности несмежности следует, что при каждом 푖 множество 푉푖 независимое, следовательно, 퐺 — полный 푘- дольный граф.
- 10. Теорема Турана Осталось доказать «почти-равномощность» долей графа 퐺. Положим 푛푖 ≔ 푉푖 . Имеем 퐺 = 1≤푖<푗≤푘 푛푖푛푗 = 1 2 Σ푛푖 2 2 − Σ푛푖 Следовательно, чтобы величина 퐺 была максимальной, нужно, чтобы сумма Σ푖 푛푖 2 была минимальна при ограничении Σ푖 푛푖 = 퐺 . Покажем, что 푛푖 − 푛푗 ≤ 1 для любых 푖 и 푗.
- 11. Теорема Турана Покажем, что 푛푖 − 푛푗 ≤ 1 для любых 푖 и 푗. Допустим, что это не так: например, 푛1 − 푛2 ≥ 2. Тогда рассмотрим набор чисел 푛1 ′ , … , 푛푘′ , где 푛1 ′ ≔ 푛1 − 1, 푛2 ′ ≔ ′ ≔ 푛푖 при 푖 > 2. 푛2 + 1, и 푛푖 Имеем 2 − Σ 푛푖 Σ푛푖 ′ 2 = 푛1 2 + 푛2 2 − 푛1 − 1 2 − 푛2 + 1 2 = = 2 푛1 − 푛2 − 1 > 0, что противоречит максимальности 퐺 .
- 12. Теорема Эрдёша—Стоуна Можно обобщить вопрос Турана с клик на произвольные подграфы: • Каково максимальное число рёбер в графе на 푛 вершинах, не содержащем заданного подграфа 퐻? Обозначим это число ex퐻 푛 . Теорема (Erdős, Stone, Simonovits ’1946, 1966) Для любого фиксированного 퐻 при 푛 → ∞ ex퐻 푛 푛 푛 − 1 2 → 휒 퐻 − 2 휒 퐻 − 1
- 13. Теорема Эрдёша—Стоуна—Симоновица Лемма. Для любых 푟, 푡 ∈ ℕ и любого 휀 ∈ 0, 1 푟 при всех достаточно больших 푛 (т.е. для всех 푛 начиная с некоторого 푛0 = 푛0 푟, 푡 ) в любом графе на 푛 вершинах с 1 − 1 푟 + 휀 ⋅ 푛2 2 рёбрами найдётся полный 푟 + 1 -дольный подграф, в котором мощность каждой доли не меньше 푡.
- 14. Доказательство леммы: ищем подграф с большой 훿 Индукция по 푟. • Полный 푟 + 1 -дольный подграф найдётся при 푟 = 0 — можно взять произвольные 푡 вершин. • Пусть граф 퐺 удовлетворяет условиям Леммы, и пусть для всех меньших значениях 푟 (и при любых 푡) утверждение леммы выполнено. Докажем, что в 퐺 есть нужный 푟 + 1 -дольный подграф.
- 15. Доказательство леммы: ищем подграф с большой 훿 Сначала найдём в 퐺 подграф, в котором степень каждой вершины большая: 1. Пусть в 퐺 есть вершина 푣, такая, что deg 푣 < 1 − 1 푟 + 휀 2 ⋅ 퐺 2. Тогда полагаем 퐺 ≔ 퐺 − 푣 и возвращаемся на шаг 1 (при этом 퐺 , очевидно, уменьшается на единицу). Вопрос: сколько шагов придётся сделать до остановки (сколько вершин выживет)?
- 16. Доказательство леммы: ищем подграф с большой 훿 Пусть процесс завершился и мы пришли к графу на 푛′ вершинах. Тогда количество рёбер, которые мы удалили из 퐺, не превосходит 푛 푘=푛′+1 1 − 1 푟 + 휀 2 ⋅ 푘 = 1 − 1 푟 + 휀 2 ⋅ 푛 − 푛′ 푛 + 푛′ + 1 2 ≤ 1 − 1 푟 + 휀 2 ⋅ 푛2 − 푛′2 2 + 푛 − 푛′ 2
- 17. Доказательство леммы: ищем подграф с большой 훿 Мы пришли к графу на 푛′ вершинах, количество рёбер в котором не менее чем 퐺 − 1 − 1 푟 + 휀 2 ⋅ 푛2 − 푛′2 2 + 푛 − 푛′ 2 ≥ ≥ 1 − 1 푟 + 휀 ⋅ 푛2 2 − 1 − 1 푟 + 휀 2 ⋅ 푛2 − 푛′2 2 − 푛 − 푛′ 2 = 휀 2 ⋅ 푛2 2 + 1 − 1 푟 + 휀 2 ⋅ 푛′2 2 − 푛 − 푛′ 2 С другой стороны, рёбер в нём не более чем 푛′2 2.
- 18. Доказательство леммы: ищем подграф с большой 훿 Получаем неравенство 푛′2 2 ≥ 휀 2 ⋅ 푛2 2 + 1 − 1 푟 + 휀 2 ⋅ 푛′2 2 − 푛 − 푛′ 2 Отсюда 1 푟 − 휀 2 ⋅ 푛′2 − 푛′ ≥ 휀푛2 2 − 푛 И следовательно 푛′2 ≥ 휀푛2 2 − 푛.
- 19. Доказательство леммы: ищем подграф с большой 훿 푛′2 ≥ 휀푛2 2 − 푛 Главный вывод: 푛′ неограниченно растёт при росте 푛. Поэтому будем доказывать лемму в предположении, что мы уже преобразовали 퐺 так, что 훿 퐺 ≥ 1 − 1 푟 + 휀 2 ⋅ 퐺 .
- 20. Доказательство леммы: применяем индуктивное предположение • Полагаем, что 훿 퐺 ≥ 1 − 1 푟 + 휀 2 ⋅ 퐺 . Обозначим 푡 ≔ 4푡 휀 . Т.к. количество рёбер в 퐺 не меньше 1 2 ⋅ 퐺 ⋅ 훿 퐺 > 퐺 2 2 ⋅ 1 − 1 푟−1 + 휀 2 , то, по предположению индукции, при достаточно большом 퐺 в 퐺 найдётся полный 푟-дольный подграф с долями 퐴1, … , 퐴푟 , где 퐴푖 = 푡 для каждого 푖.
- 21. Доказательство леммы: ищем недостающую долю • 훿 퐺 ≥ 1 − 1 푟 + 휀 2 ⋅ 퐺 . • В 퐺 есть полный 푟-дольный подграф с долями 퐴1, … , 퐴푟 , где 퐴푖 = 푡 = 4푡 휀 . Пусть 퐴 ≔ 푉 퐺 ∖ 퐴1 ∪ ⋯ ∪ 퐴푟 . Пусть 퐴good — множество всех таких 푣 ∈ 퐴, что для каждого 푖 ∈ 1, … , 푟 из 푣 в 퐴푖 идут не менее чем 푡 рёбер.
- 22. Доказательство леммы: ищем недостающую долю • 훿 퐺 ≥ 1 − 1 푟 + 휀 2 ⋅ 퐺 . • В 퐺 есть полный 푟-дольный подграф с долями 퐴1,…, 퐴푟, где 퐴푖 = 푡 = 4푡 휀 . • 퐴good ≔ 푣 ∈ 퐴 ∣ ∀푖 푁 푣 ∩ 퐴푖 ≥ 푡 Количество пар несмежных вершин из 퐴 × 퐴1 ∪ ⋯ ∪ 퐴푟 не превосходит 퐴1 ∪ ⋯∪ 퐴푟 ⋅ 퐺 − 훿 퐺 ≤ 푟푡 ⋅ 1 푟 − 휀 2 ⋅ 퐺 Это же количество пар вершин не меньше 퐴 − 퐴good ⋅ 푡 − 푡 = 퐺 − 푟푡 − 퐴good ⋅ 푡 − 푡
- 23. Доказательство леммы: ищем недостающую долю • 훿 퐺 ≥ 1 − 1 푟 + 휀 2 ⋅ 퐺 . • В 퐺 есть полный 푟-дольный подграф с долями 퐴1, … , 퐴푟 , где 퐴푖 = 푡 = 4푡 휀 . • 퐴good ≔ 푣 ∈ 퐴 ∣ ∀푖 푁 푣 ∩ 퐴푖 ≥ 푡 Имеем 퐺 − 푟푡 − 퐴good ⋅ 푡 − 푡 ≤ 푟푡 ⋅ 1 푟 − 휀 2 ⋅ 퐺 . Отсюда 퐴good ≥ 휀 2 ⋅ 푟푡 − 푡 ⋅ 퐺 − 푟푡 푡 − 푡 푡 − 푡 ≥ 푡 ⋅ 퐺 − 푟푡 2 푡
- 24. Доказательство леммы: ищем недостающую долю • В 퐺 есть полный 푟-дольный подграф с долями 퐴1, … , 퐴푟 , где 퐴푖 = 푡 = 4푡 휀 . • 퐴good ≔ 푣 ∈ 퐴 ∣ ∀푖 푁 푣 ∩ 퐴푖 ≥ 푡 Имеем 퐴good ≥ 푡 ⋅ 퐺 − 푟푡 2 푡 . Поскольку 푡, 푟, 푡 —константы, а 퐺 растёт, то можно добиться, чтобы 퐴good > 푡 푡 푟 ⋅ 푡 − 1 .
- 25. Доказательство леммы: ищем недостающую долю • В 퐺 есть полный 푟-дольный подграф с долями 퐴1,…, 퐴푟, где 퐴푖 = 푡 . • 퐴good ≔ 푣 ∈ 퐴 ∣ ∀푖 푁 푣 ∩ 퐴푖 ≥ 푡 • 퐴good > 푡 푡 푟 ⋅ 푡 − 1 . Удалим из 퐺 произвольные рёбра, так, чтобы выполнялось условие ∀푣 ∈ 퐴good ∀푖 푁 푣 ∩ 퐴푖 = 푡
- 26. Доказательство леммы: ищем недостающую долю • В 퐺 есть полный 푟-дольный подграф с долями 퐴1,…, 퐴푟, где 퐴푖 = 푡 . • 퐴good ≔ 푣 ∈ 퐴 ∣ ∀푖 푁 푣 ∩ 퐴푖 = 푡 • 퐴good > 푡 푡 푟 ⋅ 푡 − 1 . При 푣 ∈ 퐴good число различных вариантов для множества 푁 푣 ∩ 퐴1 ⊔ ⋯ ⊔ 퐴푟 равно 푡 푡 푟 . По принципу Дирихле, в 퐴good найдутся 푡 вершин, у которых окрестности в 퐴1 ∪ ⋯ ∪ 퐴푟 совпадают. Эти вершины и составят множество 퐴푟+1.
- 27. Теорема Эрдёша—Стоуна Теорема (Erdős, Stone, Simonovits ’1946, 1966) Для любого фиксированного 퐻 при 푛 → ∞ имеем ex퐻 푛 푛 푛 − 1 2 → 휒 퐻 − 2 휒 퐻 − 1 Переформулировка теоремы. Для любого фиксированного графа 퐻 и любого 휀 > 0 при всех достаточно больших 푛 в любом 푛-вершинном графе 퐺, таком, что 퐺 ≥ 1 − 1 휒 퐻 − 1 + 휀 ⋅ 푛2 2 , найдётся подграф, изоморфный 퐻. С другой стороны, найдётся 푛-вершинный граф с числом рёбер ≥ 1 − 1 휒 퐻 − 1 − 휀 ⋅ 푛2 2 в котором нет подграфов, изоморфных 퐻.
- 28. Доказательство теоремы Эрдёша—Стоуна: существование графа без 퐻 Рассмотрим полный 휒 퐻 − 1 -дольный граф 퐺, в котором каждая доля имеет размер ∼ 퐺 휒 퐻 −1. Граф 퐺 не содержит подграфов, изоморфных 퐻, поскольку 휒 퐺 < 휒(퐻). При этом 퐺 ∼ 휒 퐻 − 1 2 ⋅ 퐺 휒 퐻 − 1 2 = 퐺 2 2 ⋅ 휒 퐻 − 2 휒 퐻 − 1
- 29. Доказательство теоремы Эрдёша—Стоуна: наличие 퐻 в графе с большим числом рёбер Пусть теперь 퐺 — большой произвольный граф, такой, что 퐺 ≥ 1 − 1 휒 퐻 − 1 + 휀 ⋅ 퐺 2 2 . По Лемме (применённой с 푟 ≔ 휒 퐻 − 1 и 푡 ≔ 퐻 ), в 퐺 есть полный 휒 퐻 -дольный подграф 퐺′ с мощностью каждой доли ≥ 퐻 . Очевидно, что 퐻 ⊆ 퐺′.