Abstract image of a woman sitting on books and studying on a laptop

20130922 lecture3 matiyasevich

Computer Science Club, profile picture
Computer Science Club

Документ обсуждает десятую проблему Гильберта, связанную с разрешимостью диофантовых уравнений, где требуется определить, существует ли общий метод для нахождения решений. Гильберт сформулировал эту проблему в 1900 году, а современные исследования показывают, что она неразрешима, то есть не существует алгоритма, позволяющего распознавать решения для произвольных диофантовых уравнений. Эта проблема считается первой неразрешимой массовой проблемой в чистой математике.

Education
1 of 324
Download to read offline
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900]
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Entscheidung der L¨osbarkeit einer diophantischen Gleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sich mittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden l¨asst, ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen l¨osbar ist.
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Entscheidung der L¨osbarkeit einer diophantischen Gleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sich mittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden l¨asst, ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen l¨osbar ist. 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Греческий математик Диофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры.
Полиномиальные уравнения у древних греков x2 = 2
Полиномиальные уравнения у древних греков x2 = 2 1 1
Полиномиальные уравнения у древних греков x2 = 2 1 1                        
Полиномиальные уравнения у древних греков x2 = 2 1 1                         x
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет. Целые рациональные числа
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет. Целые рациональные числа – это числа 0, ±1, ±2, ±3, . . .
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах Можно также ограничиться только решениями в положительных целых числах или только в неотрицательных целых числах
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах Можно также ограничиться только решениями в положительных целых числах или только в неотрицательных целых числах
От Диофанта до Гильберта Диофант жил – когда?
От Диофанта до Гильберта Диофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры.
От Диофанта до Гильберта Диофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры. Гильберт сформулировал проблемы – когда?
От Диофанта до Гильберта Диофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры. Гильберт сформулировал проблемы в 1900 году
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900]
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
Массовые проблемы В современной терминологии 10-я проблема Гильберта является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в требовании найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов.
Массовые проблемы В современной терминологии 10-я проблема Гильберта является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в требовании найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов. Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта 10-я является единственной массовой проблемой
Массовые проблемы В современной терминологии 10-я проблема Гильберта является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в требовании найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов. Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта 10-я является единственной массовой проблемой и она может рассматриваться как проблема информатики.
Массовые проблемы В современной терминологии 10-я проблема Гильберта является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в требовании найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов. Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта 10-я является единственной массовой проблемой и она может рассматриваться как проблема информатики.
Ответ Сегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения не имеет. Это означает, что она неразрешима как массовая проблема:
Ответ Сегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения не имеет. Это означает, что она неразрешима как массовая проблема: Теорема (Неразрешимость 10-й проблемы Гильберта) Не существует алгоритма, который по узнавал бы по произвольному диофантову уравнению, имеет ли оно решения.
Ответ Сегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения не имеет. Это означает, что она неразрешима как массовая проблема: Теорема (Неразрешимость 10-й проблемы Гильберта) Не существует алгоритма, который по узнавал бы по произвольному диофантову уравнению, имеет ли оно решения. В этом смысле говорят об отрицательном решении 10-й проблемы Гильберта.
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900]
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
Первая неразрешимая массовая проблема в чистой математике A. A. Марков (сын) Emil L. Post 1903–1979 1897–1954
Recursively enumerable sets of positive integers and their deci- sion problems. Bulletin AMS, 50, 284–316 (1944); reprinted in: The Collected Works of E. L. Post, Davis, M. (ed), Birkh¨auser, Boston, 1994. Hilbert’s 10th problem “begs for an unsolvability proof” Emil L. Post 1897–1954
Хронология
Хронология Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул Martin Davis.
Хронология Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул Martin Davis. Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достигли Martin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson.
Хронология Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул Martin Davis. Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достигли Martin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson. 1970 год: последний шаг сделал Ю.Матиясевич.
An e-mail
An e-mail Dear Professor, you are wrong. I am a brilliant young programmer and last night I wrote a sophisticated program in Java##. My program solves Hilbert’s tenth problem in the __positive__ sense. Namely, for every Diophantine equation given as input, the program will print 1 or 0 depending on whether the equation has a solution or not. The attachment contains my ingenious program. You can run it on your favorite Diophantine equations and see how fast my program works. Have a fun, Professor!
Точка зрения студента S
Точка зрения студента S- M = 0
Точка зрения студента S- M = 0 - 1, если существует хотя бы одно решение 0, если решений вообще не суще- ствует   
Точка зрения студента Для любого многочлена M: S- M = 0 - 1, если существует хотя бы одно решение 0, если решений вообще не суще- ствует   
Точка зрения профессора:
Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - ОШИБКА
Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - ОШИБКА
Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует   
Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений не существует   
Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений не существует ДРУГОЙ ОТВЕТ   
Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений не существует ДРУГОЙ ОТВЕТ остановка без ответа   
Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений не существует ДРУГОЙ ОТВЕТ остановка без ответа не останавливается и ничего не печатает   
Программа профессора
Программа профессора P
Программа профессора P- S
Программа профессора P- S - MS = 0
Программа профессора P- S - MS = 0 S -
Программа профессора P- S - MS = 0 S - ОШИБКА
Усовершенствованная программа профессора P-S S-MS = 0 - ОШИБКА
Усовершенствованная программа профессора P-S S-MS = 0 - ОШИБКА Формальное доказательство того, что S ошибется на MS -¦
Усовершенствованная программа профессора P-S S-MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений нет ДРУГОЙ ОТВЕТ остановка без ответа не останавливается    Формальное доказательство того, что S ошибется на MS -¦
Усовершенствованная программа профессора P-S S-MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений нет ДРУГОЙ ОТВЕТ остановка без ответа не останавливается    Доказательство того, что: если S выдает 0, то уравнение MS = 0 имеет решение если S выдает 1, то уравнение MS = 0 решений не имеет -¦
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами.
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах Можно также ограничиться только решениями в положительных целых числах или только в неотрицательных целых числах
Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах Можно также ограничиться только решениями в положительных целых числах или только в неотрицательных целых числах
Натуральные числа против целых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3
Натуральные числа против целых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3 Имеет ли это уравнение решение в целых числах?
Натуральные числа против целых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3 Имеет ли это уравнение решение в целых числах? Да, и это тривиально: y = −1, z = x.
Натуральные числа против целых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3 Имеет ли это уравнение решение в целых числах? Да, и это тривиально: y = −1, z = x. Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целых числах?
Натуральные числа против целых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3 Имеет ли это уравнение решение в целых числах? Да, и это тривиально: y = −1, z = x. Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целых числах? Нет, не имеет, но это нетривиально (частный случай Великой теоремы Ферма).
От целых чисел к натуральным Диофантово уравнение P(x1, . . . , xm) = 0 имеет решение в целых числах x1, . . . , xm тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(p1 − q1, . . . , pm − qm) = 0. имеет решение в натуральных числах p1, . . . , pm, q1, . . . , qm.
От целых чисел к натуральным Диофантово уравнение P(x1, . . . , xm) = 0 имеет решение в целых числах x1, . . . , xm тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(p1 − q1, . . . , pm − qm) = 0. имеет решение в натуральных числах p1, . . . , pm, q1, . . . , qm. Говорят, что массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах.
От натуральных чисел к целым Диофантово уравнение P(p1, . . . , pm) = 0 имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(w2 1 + x2 1 + y2 1 + z2 1 , . . . , w2 m + x2 m + y2 m + z2 m) = 0. имеет решение в целых числах.
От натуральных чисел к целым Диофантово уравнение P(p1, . . . , pm) = 0 имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(w2 1 + x2 1 + y2 1 + z2 1 , . . . , w2 m + x2 m + y2 m + z2 m) = 0. имеет решение в целых числах. Теорема (Joseph-Louis Lagrange [1770], знал и Pierre Fermat, но не опубликовал) Каждое натуральное число является суммой четырех квадратов.
От натуральных чисел к целым Диофантово уравнение P(p1, . . . , pm) = 0 имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(w2 1 + x2 1 + y2 1 + z2 1 , . . . , w2 m + x2 m + y2 m + z2 m) = 0. имеет решение в целых числах. Теорема (Joseph-Louis Lagrange [1770], знал и Pierre Fermat, но не опубликовал) Каждое натуральное число является суммой четырех квадратов. Таким образом, массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах.
Натуральные числа против целых У нас есть два свед´ения: массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах. массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах.
Натуральные числа против целых У нас есть два свед´ения: массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах. массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах. Таким образом, массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах эквивалентна массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах.
Натуральные числа против целых У нас есть два свед´ения: массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах. массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах. Таким образом, массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах эквивалентна массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах. Мы будем заниматься решением уравнений в натуральных числах 0, 1, 2, . . .
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы:
Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an;
Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an; неизвестные x1, . . . ,xm.
Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an; неизвестные x1, . . . ,xm. Рассмотрим множество M такое, что a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.
Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an; неизвестные x1, . . . ,xm. Рассмотрим множество M такое, что a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}. Множества, имеющие такие представления называются диофантовыми.
Примеры диофантовых множеств
Примеры диофантовых множеств Множество всех полных квадратов, представлено уравнением
Примеры диофантовых множеств Множество всех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0
Примеры диофантовых множеств Множество всех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0 Множество всех составных чисел, представлено уравнением
Примеры диофантовых множеств Множество всех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0 Множество всех составных чисел, представлено уравнением a − (x1 + 2)(x2 + 2) = 0
Примеры диофантовых множеств Множество всех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0 Множество всех составных чисел, представлено уравнением a − (x1 + 2)(x2 + 2) = 0 Множество всех нестепеней числа 2, представлено уравнением
Примеры диофантовых множеств Множество всех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0 Множество всех составных чисел, представлено уравнением a − (x1 + 2)(x2 + 2) = 0 Множество всех нестепеней числа 2, представлено уравнением a − (2x1 + 3)x2 = 0
Программа Диофанта
Программа Диофанта ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0
Программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}
Программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}
Программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} D
Программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} D-a1, . . . , an
Программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} D-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
Программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} D-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае    for (y=0;;y++) for (x1=0;x1<y;x1++) ........................ for (xm=0;xm<y;xm++) if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP
Перечислимые множества
Перечислимые множества Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
Перечислимые множества Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае    Эквивалентное определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу P которая (работая бесконечно долго) будет печатать только элементы множества M и напечатает каждое из них, быть может, много раз.
Вторая программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}
Вторая программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} for (y=0;;y++) for (a1=0;a1<y;a1++) ....................... for (an=0;an<y;an++) for (x1=0;x1<y;x1++) ........................ for (xm=0;xm<y;xm++) if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) print(a1,...,an)
Пример P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2)
Пример P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2) for y do for a1 to y do for x1 to y do for x2 to y do if a1 - (x1 + 2)*(x2 + 2)=0 then print(a1) fi od od od od
Пример P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2) for y do for a1 to y do for x1 to y do for x2 to y do if a1 - (x1 + 2)*(x2 + 2)=0 then print(a1) fi od od od od 4, 4, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 8, 8, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 4, 6, 6,. . .
Перечислимые множества
Перечислимые множества Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
Перечислимые множества Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае    Эквивалентное определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу P которая (работая бесконечно долго) будет печатать только элементы множества M и напечатает каждое из них, быть может, много раз.
Гипотеза Martin’a Davis’а
Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является перечислимым.
Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является перечислимым. Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое множество является диофантовым.
Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является перечислимым. Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году. DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и диофантово множество совпадают.
Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является перечислимым. Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году. DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и диофантово множество совпадают. Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson, Юрий Матиясевич
Перечисление диофантовых уравнений M1(a, ¯x) = 0, . . . , Mk(a, ¯x) = 0, . . .
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , Mk(a, ¯x) = 0, . . .
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0)
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ?
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ?
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MS (k, ¯x) = 0}
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0}
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0)
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) =?
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 0
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 0 ⇒ kS ∈ MS
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 0 ⇒ kS ∈ MS ⇒ ∃¯x{MkS (kS , ¯x) = 0}
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 1
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 1 ⇒ kS ∈ MS
Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 1 ⇒ kS ∈ MS ⇒ ¬∃¯x{MkS (kS , ¯x) = 0}
Универсальное уравнение
Универсальное уравнение Список всех однопараметрических уравнений: M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . , Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .
Универсальное уравнение Список всех однопараметрических уравнений: M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . , Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . . a, k ∈ U ⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}
Универсальное уравнение Список всех однопараметрических уравнений: M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . , Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . . a, k ∈ U ⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} a, k ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k, y1, . . . , yn) = 0}
Универсальное уравнение Список всех однопараметрических уравнений: M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . , Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . . a, k ∈ U ⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} a, k ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k, y1, . . . , yn) = 0} ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k, y1, . . . , yn) = 0}
Текущие рекорды Задача о решении произвольного параметрического диофантова уравнения может быть сведена к решению эквивалентного диофантова уравнения, имеющего степень D и N неизвестных, где в качестве D, N можно взять любую из следующих пар: 4, 58 , 8, 38 , 12, 32 , 16, 29 , 20, 28 , 24, 26 , 28, 25 , 36, 24 , 96, 21 , 2668, 19 , 2 × 105, 14 , 6.6 × 1043, 13 , 1.3 × 1044, 12 , 4.6 × 1044, 11 , 8.6 × 1044, 10 , 1.6 × 1045, 9 .
Непростой многочлен для простых чисел Теорема (J.P.Jones, D.Sato, H.Wada, D.Wiens, [1976]) Множество всех простых чисел – это в точности множество всех положительных значений, принимаемых многочленом (k + 2) { 1 −[wz + h + j − q]2 − [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h − z]2 − [2n + p + q + z − e]2 − 16(k + 1)3 (k + 2)(n + 1)2 + 1 − f 2 2 − e3 (e + 2)(a + 1)2 + 1 − o2 2 − (a2 − 1)y2 + 1 − x2 2 − 16r2 y4 (a2 − 1) + 1 − u2 2 − [n + l + v − y]2 − (a + u2 (u2 − a))2 − 1 (n + 4dy)2 + 1 − (x + cu)2 2 − (a2 − 1)l2 + 1 − m2 2 − q + y(a − p − 1) + s(2ap + 2a − p2 − 2p − 2) − x 2 − z + pl(a − p) + t(2ap − p2 − 1) − pm 2 − [ai + k + 1 − l − i]2 − p + l(a − n − 1) + b(2an + 2a − n2 − 2n − 2) − m 2 } при натуральных значениях 26 переменных a, b, c, . . . , x, y, z.
Диофантовы машины Формализация недетерминизма Leonard Adleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятие недетерминированной диофантовой машины, NDDM .
Диофантовы машины Формализация недетерминизма Leonard Adleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятие недетерминированной диофантовой машины, NDDM . NDDM P(a, x1, . . . , xm) ? = 0 'E c EE вход a угадать x1, . . . , xm ДА НЕТ принять a отвергнуть
Диофантовы машины Формализация недетерминизма Leonard Adleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятие недетерминированной диофантовой машины, NDDM . NDDM P(a, x1, . . . , xm) ? = 0 'E c EE вход a угадать x1, . . . , xm ДА НЕТ принять a отвергнуть DPRM-теорема: NDDM имееют такую же вычислительную силу как, например, машины Тьюринга, то есть любое множество, принимаемое некоторой машиной Тьюринга, принимается некоторой NDDM, и, очевидно, наоборот.
Диофантова сложность Определения NDDM P(a, x1, . . . , xm) ? = 0 'E c EE вход a угадать x1, . . . , xm ДА НЕТ принять a отвергнуть
Диофантова сложность Определения NDDM P(a, x1, . . . , xm) ? = 0 'E c EE вход a угадать x1, . . . , xm ДА НЕТ принять a отвергнуть SIZE(a)=минимально возможное значение |x1| + · · · + |xm|, где |x| обозначает длину двоичной записи x.
Диофантова сложность D vs NP Leonard Adleman и Kenneth Manders [1975] ввели в рассмотрение класс D состоящий из множеств M имеющих представления вида a ∈ M ⇐⇒ ⇐⇒ ∃x1 . . . xm P(a, x1, . . . , xm) = 0 & |x1| + · · · + |xm| ≤ |a|k .
Диофантова сложность D vs NP Leonard Adleman и Kenneth Manders [1975] ввели в рассмотрение класс D состоящий из множеств M имеющих представления вида a ∈ M ⇐⇒ ⇐⇒ ∃x1 . . . xm P(a, x1, . . . , xm) = 0 & |x1| + · · · + |xm| ≤ |a|k . Открытая проблема. D ? = NP.
Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] Вместе с тем бывает и так, что мы добиваемся ответа при недостаточ- ных предпосылках, или идя в неправильном направлении, и вследствии этого не достигаем цели. Тогда возникает задача доказать неразрешимость дан- ной проблемы при принятых предпосылках и выбранном направлении. Такие доказательства невозможности проводились еще старыми математиками, на- пример, когда они обнаруживали, что отношение гипотенузы равнобедрен- ного прямоугольного треугольника к его катету есть иррациональное число. В новейшей математике доказательства невозможности решений определен- ных проблем играют выдающуюся роль; там мы констатируем, что такие старые и трудные проблемы, как доказательство аксиомы о параллельных, как квадратура круга или решение уравнения пятой степени в радикалах, получили все же строгое, вполне удовлетворяющее нас решение, хотя и в другом направлении, чем то, которое сначала предполагалось. Этот удивительный факт наряду с другими философскими основаниями создает у нас уверенность, которую разделяет, несомненно, каждый матема- тик, но которую до сих пор никто не подтвердил доказательством, – уверен- ность в том, что каждая определенная математическая проблема непременно должна быть доступна строгому решению или в том смысле, что удается по- лучить ответ на поставленный вопрос, или же в том смысле, что будет уста- новлена невозможность ее решения и вместе с тем доказана неизбежность неудачи всех попыток ее решить.
DPR-теорема
DPR-теорема Теорема (Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson [1961]). Для каждого перечислимого множества можно построить его экспоненциально диофантово представление: a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = ER(a1, . . . , an, x1, . . . , xm)} где EL и ER – выражения, построенные по традиционным пра- вилам из переменных и конкретных натуральных чисел с по- мощью операций сложения, умножения и возведения в степень.
DPR-теорема Теорема (Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson [1961]). Для каждого перечислимого множества можно построить его экспоненциально диофантово представление: a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = ER(a1, . . . , an, x1, . . . , xm)} где EL и ER – выражения, построенные по традиционным пра- вилам из переменных и конкретных натуральных чисел с по- мощью операций сложения, умножения и возведения в степень. Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
DPR-теорема Теорема (Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson [1961]). Для каждого перечислимого множества можно построить его экспоненциально диофантово представление: a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = ER(a1, . . . , an, x1, . . . , xm)} где EL и ER – выражения, построенные по традиционным пра- вилам из переменных и конкретных натуральных чисел с по- мощью операций сложения, умножения и возведения в степень. Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
An e-mail
An e-mail Dear Professor, you are wrong. I am a brilliant young programmer and last night I wrote a sophisticated program in Java##. My program solves Hilbert’s tenth problem in the __positive__ sense. Namely, for every Diophantine equation given as input, the program will print 1 or 0 depending on whether the equation has a solution or not. The attachment contains my ingenious program. You can run it on your favorite Diophantine equations and see how fast my program works. Have a fun, Professor!
Регистровые машины
Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число.
Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина выполняет программу состоящую из конечного числа инструкций снабженных метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk.
Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина выполняет программу состоящую из конечного числа инструкций снабженных метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk. Инструкции бывают трёх типов:
Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина выполняет программу состоящую из конечного числа инструкций снабженных метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk. Инструкции бывают трёх типов: I. Sk: R + +;Si
Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина выполняет программу состоящую из конечного числа инструкций снабженных метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk. Инструкции бывают трёх типов: I. Sk: R + +;Si II. Sk: R − −; Si;Sj
Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина выполняет программу состоящую из конечного числа инструкций снабженных метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk. Инструкции бывают трёх типов: I. Sk: R + +;Si II. Sk: R − −; Si;Sj III. Sk: STOP
Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина выполняет программу состоящую из конечного числа инструкций снабженных метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk. Инструкции бывают трёх типов: I. Sk: R + +;Si II. Sk: R − −; Si;Sj III. Sk: STOP Lambek [1961], Melzak [1961], Minsky [1961], Minsky [1967], Shepherdson и Sturgis [1963]
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP Начальное состояние S1
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP Начальное состояние S1 Начальное содержимое регистров R1=a, R2=0
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP Начальное состояние S1 Начальное содержимое регистров R1=a, R2=0 В каком случае машина остановится?
Протокол
Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 S1 s1,q . . . s1,t+1 s1,t . . . s1,0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 ... ... ... ... ... ... ... Sm sm,q . . . sm,t+1 sm,t . . . sm,0 sk,t = 1, если на шаге t машина была в состоянии k 0 в противном случае
Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 ... ... ... ... ... ... ... R1 r1,q . . . r1,t+1 r1,t . . . r1,0 ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 ... ... ... ... ... ... ... Rn rn,q . . . rn,t+1 rn,t . . . rn,0 r ,t – это содержимое -го регистра на шаге t
Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 ... ... ... ... ... ... ... Z1 z1,q . . . z1,t+1 z1,t . . . z1,0 ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 ... ... ... ... ... ... ... Zn zn,q . . . zn,t+1 zn,t . . . zn,0 z ,t = 1, если r ,t > 0 0 в противном случае
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 =
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 =
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 =
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 =
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 =
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 =
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 =
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 =
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 =
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 =
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 =
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 =
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0 r1,0 =
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0 r1,0 = a
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0 r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0 sm,q = 1
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0 r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0 sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0
Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0 r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0 sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0
Новые значения регистров r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t
Новые значения регистров r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t где + -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R + +; Si,
Новые значения регистров r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t где + -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R + +; Si, а − -суммирование – по всем инструкциям вида Sk : R − −; Si; Sj.
Новые состояния sd,t+1 = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t
Новые состояния sd,t+1 = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t где + d -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R + +; Sd,
Новые состояния sd,t+1 = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t где + d -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R + +; Sd, − d -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R − −; Sd; Sj,
Новые состояния sd,t+1 = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t где + d -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R + +; Sd, − d -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R − −; Sd; Sj, а 0 d -суммирование – по всем инструкциям вида Sk : R − −; Si; Sd.
Начальные значения
Начальные значения Всегда начинаем в состоянии S1: s1,0 = 1, s2,0 = · · · = sm,0 = 0.
Начальные значения Всегда начинаем в состоянии S1: s1,0 = 1, s2,0 = · · · = sm,0 = 0. (Единственная) входная величина a помещается в регистр R1: r1,0 = a,
Начальные значения Всегда начинаем в состоянии S1: s1,0 = 1, s2,0 = · · · = sm,0 = 0. (Единственная) входная величина a помещается в регистр R1: r1,0 = a, все остальные регистры пусты: r2,0 = · · · = rn,0 = 0.
Остановка Sm является единственной командой STOP: sm,q = 1, s1,q = · · · = sm−1,q = 0. При остановке все регистры пусты: r1,q = · · · = rn,q = 0.
Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 ... ... ... ... ... ... ...
Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 sk = q t=0 sk,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 ... ... ... ... ... ... ...
Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 = sk = q t=0 sk,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 ... ... ... ... ... ... ...
Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 = sk = q t=0 sk,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 = r = q t=0 r ,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 ... ... ... ... ... ... ...
Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 = sk = q t=0 sk,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 = r = q t=0 r ,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 = z = q t=0 z ,tbt ... ... ... ... ... ... ...
Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 b = 2c+1 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 = sk = q t=0 sk,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 = r = q t=0 r ,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 = z = q t=0 z ,tbt ... ... ... ... ... ... ...
Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k
Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k a & b = ∞ k=0 akbk2k
Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t
Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t
Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t
Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t
Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt r ,t+1bt+1 = r ,tbt+1 + + sk,tbt+1 − − z ,tsk,tbt+1
Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 r ,t+1bt+1 = q−1 t=0 r ,tbt+1 + + sk,tbt+1 − − z ,tsk,tbt+1
Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 r ,t+1bt+1 = q−1 t=0 r ,tbt+1 + + sk,tbt+1 − − z ,tsk,tbt+1
Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 r ,t+1bt+1 = q−1 t=0 r ,tbt+1 + + sk,tbt+1 − − z ,tsk,tbt+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk)
Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 r ,t+1bt+1 = q−1 t=0 r ,tbt+1 + + sk,tbt+1 − − z ,tsk,tbt+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk) r1 − a = br1 + b + sk − b − (z & sk) r = br + b + sk − b − (z & sk), = 2, . . . , n
Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt sd,t+1 = = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t
Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt sd,t+1 = = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t
Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt sd,t+1 = = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t
Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt sd,t+1 = = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t
Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt sd,t+1bt+1 = = + d sk,tbt+1 + − d z ,tsk,tbt+1 + 0 d (1 − z ,t)sk,tbt+1
Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 sd,t+1bt+1 = = q−1 t=0 + d sk,tbt+1 + − d z ,tsk,tbt+1 + 0 d (1 − z ,t)sk,tbt+1
Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 sd,t+1bt+1 = = q−1 t=0 + d sk,tbt+1 + − d z ,tsk,tbt+1 + 0 d (1 − z ,t)sk,tbt+1
Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 sd,t+1bt+1 = = q−1 t=0 + d sk,tbt+1 + − d z ,tsk,tbt+1 + 0 d (1 − z ,t)sk,tbt+1 sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk)
Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 sd,t+1bt+1 = = q−1 t=0 + d sk,tbt+1 + − d z ,tsk,tbt+1 + 0 d (1 − z ,t)sk,tbt+1 sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk) e = q−1 t=0 1 · bt+1 = bq − 1 b − 1
Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае
Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1
Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1
Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t =
Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае
Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае 2c & (2c − 1 + r ,t) = 2c z ,t
Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае 2c & (2c − 1 + r ,t) = 2c z ,t q t=0 (2c & (2c − 1 + r ,t))bt = q t=0 2c z ,tbt
Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае 2c & (2c − 1 + r ,t) = 2c z ,t q t=0 (2c & (2c − 1 + r ,t))bt = q t=0 2c z ,tbt 2c f & ((2c − 1)f + r ) = 2c z f = q t=0 1 · bt+1 = bq+1 − 1 b − 1
Выбор c r ,t < b
Выбор c r ,t < b = 2c+1
Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае
Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае
Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае 2c & r ,t = 0
Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае 2c & r ,t = 0
Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае 2c & r ,t = 0
Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае q t=0 (2c & r ,t)bt = 0
Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае q t=0 (2c & r ,t)bt = 0 2c f & r = 0 f = q t=0 1 · bt+1 = bq+1 − 1 b − 1
Все условия
Все условия b = 2c+1
Все условия b = 2c+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk)
Все условия b = 2c+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk) sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk)
Все условия b = 2c+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk) sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk) e = bq − 1 b − 1
Все условия b = 2c+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk) sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk) e = bq − 1 b − 1 2c f & ((2c − 1)f + r ) = 2c z f = bq+1 − 1 b − 1
Все условия b = 2c+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk) sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk) e = bq − 1 b − 1 2c f & ((2c − 1)f + r ) = 2c z f = bq+1 − 1 b − 1 2c f & r = 0
Все условия b = 2c+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk) sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk) e = bq − 1 b − 1 2c f & ((2c − 1)f + r ) = 2c z f = bq+1 − 1 b − 1 2c f & r = 0 sm = bq
Теорема Куммера m + n m = Cm m+n
Теорема Куммера m + n m = Cm m+n = (m + n)! m!n!
Теорема Куммера m + n m = Cm m+n = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
Теорема Куммера m + n m = Cm m+n = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа m и n в позиционной системе счисления с основанием p и сложим их «в столбик»;
Теорема Куммера m + n m = Cm m+n = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа m и n в позиционной системе счисления с основанием p и сложим их «в столбик»; αp(m, n) равно количеству переносов из разряда в разряд при этом сложении.
Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . .
Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . .
Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . p, 2p, 3p, . . . ,
Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . p, 2p, 3p, . . . , k p p
Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p
Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p Имеется k p2 чисел кратных p2 : p2 , 2p2 , 3p2 , . . . , k p2 p2
Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p Имеется k p2 чисел кратных p2 : p2 , 2p2 , 3p2 , . . . , k p2 p2 Имеется k p3 чисел кратных p3 : p3 , 2p3 , 3p3 , . . . , k p3 p3
Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p Имеется k p2 чисел кратных p2 : p2 , 2p2 , 3p2 , . . . , k p2 p2 Имеется k p3 чисел кратных p3 : p3 , 2p3 , 3p3 , . . . , k p3 p3 ...
Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p Имеется k p2 чисел кратных p2 : p2 , 2p2 , 3p2 , . . . , k p2 p2 Имеется k p3 чисел кратных p3 : p3 , 2p3 , 3p3 , . . . , k p3 p3 ... βp(k) = k p + k p2 + k p3 + . . .
Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . .
Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . .
Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . .
Теорема Куммера αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . .
Теорема Куммера αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . . = m + n p − m p − n p + m + n p2 − m p2 − n p2 + + m + n p3 − m p3 − n p3 + . . .
Теорема Куммера m + n pk − m pk − n pk = 1, если есть перенос 0, если нет переноса
Теорема Куммера m + n pk − m pk − n pk = 1, если есть перенос 0, если нет переноса m = r j=0 mj pj = mr . . . mk mk−1 . . . m0 n = r j=0 nj pj = nr . . . nk nk−1 . . . n0 m + n = r j=0 j pj = r . . . k k−1 . . . 0 m/pk = mr . . . mk n/pk = nr . . . nk (m + n)/pk = r . . . k
Теорема Куммера αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . .
Теорема Куммера αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . . = m + n p − m p − n p + m + n p2 − m p2 − n p2 + + m + n p3 − m p3 − n p3 + . . .
Следствие теоремы Куммера
Следствие теоремы Куммера Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент a+b a явлется нечетным
Следствие теоремы Куммера Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент a+b a явлется нечетным, то есть существует натуральное число d такое, что a + b a = 2d + 1.
Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k
Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k
Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k
Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b =⇒ a c нечетн.
Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b =⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн.
Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b =⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b =⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b ⇐= a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b ⇐⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b ⇐⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b ⇐⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты (1 + u)m = m m um + m m − 1 um−1 + m m − 2 um−2 + + · · · + m n un + · · · + m 1 u + m 0
Биномиальные коэффициенты (1 + u)m = m m um + m m − 1 um−1 + m m − 2 um−2 + + · · · + m n un + · · · + m 1 u + m 0 2m = m 0 + · · · + m n + · · · + m m
Биномиальные коэффициенты (1 + u)m = m m um + m m − 1 um−1 + m m − 2 um−2 + + · · · + m n un + · · · + m 1 u + m 0 2m = m 0 + · · · + m n + · · · + m m c = m n ⇐⇒ ∃upq{(1 + u)m = pun+1 + cun + q ∧ c < u ∧ q < un−1 ∧ u > 2m }

More Related Content

PDF
20101029 reals and_integers_matiyasevich_ekb_lecture03-04
Computer Science Club
 
PDF
20101030 reals and_integers_matiyasevich_ekb_lecture05-06
Computer Science Club
 
PDF
Parrilla programacion del 03 al 09 de diciembre 2012 mod
canalwebpdf
 
PDF
Termo delubio cut1
Conversa Afiada
 
PPTX
Cyberbullying zii
mikeqian11
 
PDF
Termo delubio cut
Conversa Afiada
 
PDF
logo
John Masusock
 
DOCX
Doc3josh
jose rodriguez
 
20101029 reals and_integers_matiyasevich_ekb_lecture03-04
Computer Science Club
 
20101030 reals and_integers_matiyasevich_ekb_lecture05-06
Computer Science Club
 
Parrilla programacion del 03 al 09 de diciembre 2012 mod
canalwebpdf
 
Termo delubio cut1
Conversa Afiada
 
Cyberbullying zii
mikeqian11
 
Termo delubio cut
Conversa Afiada
 
logo
John Masusock
 
Doc3josh
jose rodriguez
 

Viewers also liked (20)

DOC
Indicatii Pentru Detalierea Elementelor Pm
guestc3bede
 
PPT
talking about health and fitness in French.
alice ayel
 
PPS
Accidents
Countess Efi
 
PDF
Batman.407.ano.um.04.de.04.hq.br.28 ago2005.gibihq
Marcos Donato
 
PDF
Batman.405.ano.um.02.de.04.hq.br.28 ago2005.gibihq
Marcos Donato
 
PDF
O Espetacular Homem-Aranha 447
Marcos Donato
 
PDF
Presentació
teresa terrades pons
 
DOC
Kwl
egana27
 
DOCX
Pedido Ginares Diaz
ginaresdiaz
 
DOCX
1. cover ppl
Egouh Suherman
 
PDF
One piece volume 02(009-017)
Marcos Donato
 
PDF
Trompito 1
Escuela primaria
 
PDF
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
Computer Science Club
 
PDF
One piece volume 48(460-470)
Marcos Donato
 
PDF
Jose david
delgadodavidjose
 
PPTX
Mis objetos tecnologicos diego viviescas
diegoviviescas
 
DOCX
Chevrolet
Leo Blue
 
PDF
One piece volume 09(072 081)
Marcos Donato
 
PPSX
In Purple
maditabalnco
 
PDF
One piece volume 08(063-071)
Marcos Donato
 
Indicatii Pentru Detalierea Elementelor Pm
guestc3bede
 
talking about health and fitness in French.
alice ayel
 
Accidents
Countess Efi
 
Batman.407.ano.um.04.de.04.hq.br.28 ago2005.gibihq
Marcos Donato
 
Batman.405.ano.um.02.de.04.hq.br.28 ago2005.gibihq
Marcos Donato
 
O Espetacular Homem-Aranha 447
Marcos Donato
 
Presentació
teresa terrades pons
 
Kwl
egana27
 
Pedido Ginares Diaz
ginaresdiaz
 
1. cover ppl
Egouh Suherman
 
One piece volume 02(009-017)
Marcos Donato
 
Trompito 1
Escuela primaria
 
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
Computer Science Club
 
One piece volume 48(460-470)
Marcos Donato
 
Jose david
delgadodavidjose
 
Mis objetos tecnologicos diego viviescas
diegoviviescas
 
Chevrolet
Leo Blue
 
One piece volume 09(072 081)
Marcos Donato
 
In Purple
maditabalnco
 
One piece volume 08(063-071)
Marcos Donato
 
Ad

Similar to 20130922 lecture3 matiyasevich (8)

PPT
Reshenie diofantovyh uravnenij
dimonz9
 
PDF
20131006 h10 lecture2_matiyasevich
Computer Science Club
 
PPT
Nestandartnye prijomy resheniya_kvadratnyh_uravnen
Ivanchik5
 
PPT
Irracionalnye chisla
Ivanchik5
 
PPT
8, 11 иррациональные числа
Natali Ivanova
 
PDF
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
Computer Science Club
 
PPT
консультация 1 (11.03.2012)
Ilia Bazhenov
 
PPT
презентация учащихся
guest9b374f
 
Reshenie diofantovyh uravnenij
dimonz9
 
20131006 h10 lecture2_matiyasevich
Computer Science Club
 
Nestandartnye prijomy resheniya_kvadratnyh_uravnen
Ivanchik5
 
Irracionalnye chisla
Ivanchik5
 
8, 11 иррациональные числа
Natali Ivanova
 
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
Computer Science Club
 
консультация 1 (11.03.2012)
Ilia Bazhenov
 
презентация учащихся
guest9b374f
 
Ad

More from Computer Science Club (20)

PDF
20141223 kuznetsov distributed
Computer Science Club
 
PDF
Computer Vision
Computer Science Club
 
PDF
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
Computer Science Club
 
PDF
20140531 serebryany lecture02_find_scary_cpp_bugs
Computer Science Club
 
PDF
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
Computer Science Club
 
PDF
20140511 parallel programming_kalishenko_lecture12
Computer Science Club
 
PDF
20140427 parallel programming_zlobin_lecture11
Computer Science Club
 
PDF
20140420 parallel programming_kalishenko_lecture10
Computer Science Club
 
PDF
20140413 parallel programming_kalishenko_lecture09
Computer Science Club
 
PDF
20140329 graph drawing_dainiak_lecture02
Computer Science Club
 
PDF
20140329 graph drawing_dainiak_lecture01
Computer Science Club
 
PDF
20140310 parallel programming_kalishenko_lecture03-04
Computer Science Club
 
PDF
20140223-SuffixTrees-lecture01-03
Computer Science Club
 
PDF
20140216 parallel programming_kalishenko_lecture01
Computer Science Club
 
PDF
20131106 h10 lecture6_matiyasevich
Computer Science Club
 
PDF
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
Computer Science Club
 
PDF
20131013 h10 lecture4_matiyasevich
Computer Science Club
 
PDF
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
Computer Science Club
 
PDF
20130922 h10 lecture1_matiyasevich
Computer Science Club
 
PDF
20130928 automated theorem_proving_harrison
Computer Science Club
 
20141223 kuznetsov distributed
Computer Science Club
 
Computer Vision
Computer Science Club
 
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
Computer Science Club
 
20140531 serebryany lecture02_find_scary_cpp_bugs
Computer Science Club
 
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
Computer Science Club
 
20140511 parallel programming_kalishenko_lecture12
Computer Science Club
 
20140427 parallel programming_zlobin_lecture11
Computer Science Club
 
20140420 parallel programming_kalishenko_lecture10
Computer Science Club
 
20140413 parallel programming_kalishenko_lecture09
Computer Science Club
 
20140329 graph drawing_dainiak_lecture02
Computer Science Club
 
20140329 graph drawing_dainiak_lecture01
Computer Science Club
 
20140310 parallel programming_kalishenko_lecture03-04
Computer Science Club
 
20140223-SuffixTrees-lecture01-03
Computer Science Club
 
20140216 parallel programming_kalishenko_lecture01
Computer Science Club
 
20131106 h10 lecture6_matiyasevich
Computer Science Club
 
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
Computer Science Club
 
20131013 h10 lecture4_matiyasevich
Computer Science Club
 
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
Computer Science Club
 
20130922 h10 lecture1_matiyasevich
Computer Science Club
 
20130928 automated theorem_proving_harrison
Computer Science Club
 

20130922 lecture3 matiyasevich

  • 1. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 2. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 3. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 5. Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Entscheidung der L¨osbarkeit einer diophantischen Gleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sich mittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden l¨asst, ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen l¨osbar ist.
  • 6. Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Entscheidung der L¨osbarkeit einer diophantischen Gleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sich mittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden l¨asst, ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen l¨osbar ist. 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
  • 7. Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами.
  • 8. Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Греческий математик Диофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры.
  • 9. Полиномиальные уравнения у древних греков x2 = 2
  • 10. Полиномиальные уравнения у древних греков x2 = 2 1 1
  • 11. Полиномиальные уравнения у древних греков x2 = 2 1 1                        
  • 12. Полиномиальные уравнения у древних греков x2 = 2 1 1                         x
  • 13. Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
  • 14. Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет. Целые рациональные числа
  • 15. Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет. Целые рациональные числа – это числа 0, ±1, ±2, ±3, . . .
  • 16. Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами.
  • 17. Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах
  • 18. Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах
  • 19. Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах Можно также ограничиться только решениями в положительных целых числах или только в неотрицательных целых числах
  • 20. Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах Можно также ограничиться только решениями в положительных целых числах или только в неотрицательных целых числах
  • 21. От Диофанта до Гильберта Диофант жил – когда?
  • 22. От Диофанта до Гильберта Диофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры.
  • 23. От Диофанта до Гильберта Диофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры. Гильберт сформулировал проблемы – когда?
  • 24. От Диофанта до Гильберта Диофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры. Гильберт сформулировал проблемы в 1900 году
  • 26. Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
  • 27. Массовые проблемы В современной терминологии 10-я проблема Гильберта является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в требовании найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов.
  • 28. Массовые проблемы В современной терминологии 10-я проблема Гильберта является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в требовании найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов. Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта 10-я является единственной массовой проблемой
  • 29. Массовые проблемы В современной терминологии 10-я проблема Гильберта является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в требовании найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов. Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта 10-я является единственной массовой проблемой и она может рассматриваться как проблема информатики.
  • 30. Массовые проблемы В современной терминологии 10-я проблема Гильберта является массовой проблемой, то есть проблемой, состоящей из счетного числа вопросов, на каждый из которых требуется дать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит в требовании найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов. Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта 10-я является единственной массовой проблемой и она может рассматриваться как проблема информатики.
  • 31. Ответ Сегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения не имеет. Это означает, что она неразрешима как массовая проблема:
  • 32. Ответ Сегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения не имеет. Это означает, что она неразрешима как массовая проблема: Теорема (Неразрешимость 10-й проблемы Гильберта) Не существует алгоритма, который по узнавал бы по произвольному диофантову уравнению, имеет ли оно решения.
  • 33. Ответ Сегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения не имеет. Это означает, что она неразрешима как массовая проблема: Теорема (Неразрешимость 10-й проблемы Гильберта) Не существует алгоритма, который по узнавал бы по произвольному диофантову уравнению, имеет ли оно решения. В этом смысле говорят об отрицательном решении 10-й проблемы Гильберта.
  • 35. Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
  • 36. Первая неразрешимая массовая проблема в чистой математике A. A. Марков (сын) Emil L. Post 1903–1979 1897–1954
  • 37. Recursively enumerable sets of positive integers and their deci- sion problems. Bulletin AMS, 50, 284–316 (1944); reprinted in: The Collected Works of E. L. Post, Davis, M. (ed), Birkh¨auser, Boston, 1994. Hilbert’s 10th problem “begs for an unsolvability proof” Emil L. Post 1897–1954
  • 39. Хронология Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул Martin Davis.
  • 40. Хронология Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул Martin Davis. Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достигли Martin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson.
  • 41. Хронология Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул Martin Davis. Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достигли Martin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson. 1970 год: последний шаг сделал Ю.Матиясевич.
  • 43. An e-mail Dear Professor, you are wrong. I am a brilliant young programmer and last night I wrote a sophisticated program in Java##. My program solves Hilbert’s tenth problem in the __positive__ sense. Namely, for every Diophantine equation given as input, the program will print 1 or 0 depending on whether the equation has a solution or not. The attachment contains my ingenious program. You can run it on your favorite Diophantine equations and see how fast my program works. Have a fun, Professor!
  • 46. Точка зрения студента S- M = 0 - 1, если существует хотя бы одно решение 0, если решений вообще не суще- ствует   
  • 47. Точка зрения студента Для любого многочлена M: S- M = 0 - 1, если существует хотя бы одно решение 0, если решений вообще не суще- ствует   
  • 49. Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - ОШИБКА
  • 50. Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - ОШИБКА
  • 51. Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует   
  • 52. Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений не существует   
  • 53. Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений не существует ДРУГОЙ ОТВЕТ   
  • 54. Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений не существует ДРУГОЙ ОТВЕТ остановка без ответа   
  • 55. Точка зрения профессора: Существует многочлен MS такой, что S- MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений не существует ДРУГОЙ ОТВЕТ остановка без ответа не останавливается и ничего не печатает   
  • 63. Усовершенствованная программа профессора P-S S-MS = 0 - ОШИБКА Формальное доказательство того, что S ошибется на MS -¦
  • 64. Усовершенствованная программа профессора P-S S-MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений нет ДРУГОЙ ОТВЕТ остановка без ответа не останавливается    Формальное доказательство того, что S ошибется на MS -¦
  • 65. Усовершенствованная программа профессора P-S S-MS = 0 - 0, но решение существует 1, но решений нет ДРУГОЙ ОТВЕТ остановка без ответа не останавливается    Доказательство того, что: если S выдает 0, то уравнение MS = 0 имеет решение если S выдает 1, то уравнение MS = 0 решений не имеет -¦
  • 66. Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами.
  • 67. Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах
  • 68. Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах
  • 69. Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах Можно также ограничиться только решениями в положительных целых числах или только в неотрицательных целых числах
  • 70. Диофантовы уравнения Определение. Диофантово уравнение имеет вид M(x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами. Диофант искал решения в (положительных) рациональных числах Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах Можно также ограничиться только решениями в положительных целых числах или только в неотрицательных целых числах
  • 71. Натуральные числа против целых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3
  • 72. Натуральные числа против целых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3 Имеет ли это уравнение решение в целых числах?
  • 73. Натуральные числа против целых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3 Имеет ли это уравнение решение в целых числах? Да, и это тривиально: y = −1, z = x.
  • 74. Натуральные числа против целых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3 Имеет ли это уравнение решение в целых числах? Да, и это тривиально: y = −1, z = x. Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целых числах?
  • 75. Натуральные числа против целых (x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3 Имеет ли это уравнение решение в целых числах? Да, и это тривиально: y = −1, z = x. Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целых числах? Нет, не имеет, но это нетривиально (частный случай Великой теоремы Ферма).
  • 76. От целых чисел к натуральным Диофантово уравнение P(x1, . . . , xm) = 0 имеет решение в целых числах x1, . . . , xm тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(p1 − q1, . . . , pm − qm) = 0. имеет решение в натуральных числах p1, . . . , pm, q1, . . . , qm.
  • 77. От целых чисел к натуральным Диофантово уравнение P(x1, . . . , xm) = 0 имеет решение в целых числах x1, . . . , xm тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(p1 − q1, . . . , pm − qm) = 0. имеет решение в натуральных числах p1, . . . , pm, q1, . . . , qm. Говорят, что массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах.
  • 78. От натуральных чисел к целым Диофантово уравнение P(p1, . . . , pm) = 0 имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(w2 1 + x2 1 + y2 1 + z2 1 , . . . , w2 m + x2 m + y2 m + z2 m) = 0. имеет решение в целых числах.
  • 79. От натуральных чисел к целым Диофантово уравнение P(p1, . . . , pm) = 0 имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(w2 1 + x2 1 + y2 1 + z2 1 , . . . , w2 m + x2 m + y2 m + z2 m) = 0. имеет решение в целых числах. Теорема (Joseph-Louis Lagrange [1770], знал и Pierre Fermat, но не опубликовал) Каждое натуральное число является суммой четырех квадратов.
  • 80. От натуральных чисел к целым Диофантово уравнение P(p1, . . . , pm) = 0 имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда диофантово уравнение P(w2 1 + x2 1 + y2 1 + z2 1 , . . . , w2 m + x2 m + y2 m + z2 m) = 0. имеет решение в целых числах. Теорема (Joseph-Louis Lagrange [1770], знал и Pierre Fermat, но не опубликовал) Каждое натуральное число является суммой четырех квадратов. Таким образом, массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах.
  • 81. Натуральные числа против целых У нас есть два свед´ения: массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах. массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах.
  • 82. Натуральные числа против целых У нас есть два свед´ения: массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах. массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах. Таким образом, массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах эквивалентна массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах.
  • 83. Натуральные числа против целых У нас есть два свед´ения: массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах. массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах. Таким образом, массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах эквивалентна массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в натуральных числах. Мы будем заниматься решением уравнений в натуральных числах 0, 1, 2, . . .
  • 84. Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] 10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения. Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
  • 85. Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы:
  • 86. Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an;
  • 87. Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an; неизвестные x1, . . . ,xm.
  • 88. Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an; неизвестные x1, . . . ,xm. Рассмотрим множество M такое, что a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.
  • 89. Уравнения с параметрами Семейство диофантовых уравнений имеет вид M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0, где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменные которго разделены на две группы: параметры a1, . . . ,an; неизвестные x1, . . . ,xm. Рассмотрим множество M такое, что a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}. Множества, имеющие такие представления называются диофантовыми.
  • 91. Примеры диофантовых множеств Множество всех полных квадратов, представлено уравнением
  • 92. Примеры диофантовых множеств Множество всех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0
  • 93. Примеры диофантовых множеств Множество всех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0 Множество всех составных чисел, представлено уравнением
  • 94. Примеры диофантовых множеств Множество всех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0 Множество всех составных чисел, представлено уравнением a − (x1 + 2)(x2 + 2) = 0
  • 95. Примеры диофантовых множеств Множество всех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0 Множество всех составных чисел, представлено уравнением a − (x1 + 2)(x2 + 2) = 0 Множество всех нестепеней числа 2, представлено уравнением
  • 96. Примеры диофантовых множеств Множество всех полных квадратов, представлено уравнением a − x2 = 0 Множество всех составных чисел, представлено уравнением a − (x1 + 2)(x2 + 2) = 0 Множество всех нестепеней числа 2, представлено уравнением a − (2x1 + 3)x2 = 0
  • 98. Программа Диофанта ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0
  • 99. Программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}
  • 100. Программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}
  • 101. Программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} D
  • 102. Программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} D-a1, . . . , an
  • 103. Программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} D-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
  • 104. Программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} D-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае    for (y=0;;y++) for (x1=0;x1<y;x1++) ........................ for (xm=0;xm<y;xm++) if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP
  • 106. Перечислимые множества Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
  • 107. Перечислимые множества Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае    Эквивалентное определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу P которая (работая бесконечно долго) будет печатать только элементы множества M и напечатает каждое из них, быть может, много раз.
  • 108. Вторая программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}
  • 109. Вторая программа Диофанта a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0} for (y=0;;y++) for (a1=0;a1<y;a1++) ....................... for (an=0;an<y;an++) for (x1=0;x1<y;x1++) ........................ for (xm=0;xm<y;xm++) if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) print(a1,...,an)
  • 110. Пример P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2)
  • 111. Пример P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2) for y do for a1 to y do for x1 to y do for x2 to y do if a1 - (x1 + 2)*(x2 + 2)=0 then print(a1) fi od od od od
  • 112. Пример P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2) for y do for a1 to y do for x1 to y do for x2 to y do if a1 - (x1 + 2)*(x2 + 2)=0 then print(a1) fi od od od od 4, 4, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 8, 8, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 4, 6, 6,. . .
  • 114. Перечислимые множества Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
  • 115. Перечислимые множества Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае    Эквивалентное определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу P которая (работая бесконечно долго) будет печатать только элементы множества M и напечатает каждое из них, быть может, много раз.
  • 117. Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является перечислимым.
  • 118. Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является перечислимым. Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое множество является диофантовым.
  • 119. Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является перечислимым. Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году. DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и диофантово множество совпадают.
  • 120. Гипотеза Martin’a Davis’а Тривиальный факт. Каждое диофантово множество является перечислимым. Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году. DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество и диофантово множество совпадают. Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson, Юрий Матиясевич
  • 123. Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0)
  • 124. Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ?
  • 125. Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ?
  • 126. Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS
  • 127. Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS
  • 128. Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MS (k, ¯x) = 0}
  • 129. Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0}
  • 130. Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0)
  • 131. Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) =?
  • 132. Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 0
  • 133. Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 0 ⇒ kS ∈ MS
  • 134. Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 0 ⇒ kS ∈ MS ⇒ ∃¯x{MkS (kS , ¯x) = 0}
  • 135. Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 1
  • 136. Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 1 ⇒ kS ∈ MS
  • 137. Программа профессора Генератор уравнений ? M1(a, ¯x) = 0, . . . , ? Mk(a, ¯x) = 0, . . . ? . . . . . .S(M1(1, ¯x) = 0) S(Mk(k, ¯x) = 0) ? ? if S outputs 0 then print(1) if S outputs 0 then print(k). . . . . . ? ? S(Mk(k, ¯x) = 0) = 0 ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯x{MkS (k, ¯x) = 0} S(MkS (kS , ¯x) = 0) = 1 ⇒ kS ∈ MS ⇒ ¬∃¯x{MkS (kS , ¯x) = 0}
  • 139. Универсальное уравнение Список всех однопараметрических уравнений: M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . , Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .
  • 140. Универсальное уравнение Список всех однопараметрических уравнений: M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . , Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . . a, k ∈ U ⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}
  • 141. Универсальное уравнение Список всех однопараметрических уравнений: M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . , Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . . a, k ∈ U ⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} a, k ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k, y1, . . . , yn) = 0}
  • 142. Универсальное уравнение Список всех однопараметрических уравнений: M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . , Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . . a, k ∈ U ⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} a, k ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k, y1, . . . , yn) = 0} ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k, y1, . . . , yn) = 0}
  • 143. Текущие рекорды Задача о решении произвольного параметрического диофантова уравнения может быть сведена к решению эквивалентного диофантова уравнения, имеющего степень D и N неизвестных, где в качестве D, N можно взять любую из следующих пар: 4, 58 , 8, 38 , 12, 32 , 16, 29 , 20, 28 , 24, 26 , 28, 25 , 36, 24 , 96, 21 , 2668, 19 , 2 × 105, 14 , 6.6 × 1043, 13 , 1.3 × 1044, 12 , 4.6 × 1044, 11 , 8.6 × 1044, 10 , 1.6 × 1045, 9 .
  • 144. Непростой многочлен для простых чисел Теорема (J.P.Jones, D.Sato, H.Wada, D.Wiens, [1976]) Множество всех простых чисел – это в точности множество всех положительных значений, принимаемых многочленом (k + 2) { 1 −[wz + h + j − q]2 − [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h − z]2 − [2n + p + q + z − e]2 − 16(k + 1)3 (k + 2)(n + 1)2 + 1 − f 2 2 − e3 (e + 2)(a + 1)2 + 1 − o2 2 − (a2 − 1)y2 + 1 − x2 2 − 16r2 y4 (a2 − 1) + 1 − u2 2 − [n + l + v − y]2 − (a + u2 (u2 − a))2 − 1 (n + 4dy)2 + 1 − (x + cu)2 2 − (a2 − 1)l2 + 1 − m2 2 − q + y(a − p − 1) + s(2ap + 2a − p2 − 2p − 2) − x 2 − z + pl(a − p) + t(2ap − p2 − 1) − pm 2 − [ai + k + 1 − l − i]2 − p + l(a − n − 1) + b(2an + 2a − n2 − 2n − 2) − m 2 } при натуральных значениях 26 переменных a, b, c, . . . , x, y, z.
  • 145. Диофантовы машины Формализация недетерминизма Leonard Adleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятие недетерминированной диофантовой машины, NDDM .
  • 146. Диофантовы машины Формализация недетерминизма Leonard Adleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятие недетерминированной диофантовой машины, NDDM . NDDM P(a, x1, . . . , xm) ? = 0 'E c EE вход a угадать x1, . . . , xm ДА НЕТ принять a отвергнуть
  • 147. Диофантовы машины Формализация недетерминизма Leonard Adleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятие недетерминированной диофантовой машины, NDDM . NDDM P(a, x1, . . . , xm) ? = 0 'E c EE вход a угадать x1, . . . , xm ДА НЕТ принять a отвергнуть DPRM-теорема: NDDM имееют такую же вычислительную силу как, например, машины Тьюринга, то есть любое множество, принимаемое некоторой машиной Тьюринга, принимается некоторой NDDM, и, очевидно, наоборот.
  • 148. Диофантова сложность Определения NDDM P(a, x1, . . . , xm) ? = 0 'E c EE вход a угадать x1, . . . , xm ДА НЕТ принять a отвергнуть
  • 149. Диофантова сложность Определения NDDM P(a, x1, . . . , xm) ? = 0 'E c EE вход a угадать x1, . . . , xm ДА НЕТ принять a отвергнуть SIZE(a)=минимально возможное значение |x1| + · · · + |xm|, где |x| обозначает длину двоичной записи x.
  • 150. Диофантова сложность D vs NP Leonard Adleman и Kenneth Manders [1975] ввели в рассмотрение класс D состоящий из множеств M имеющих представления вида a ∈ M ⇐⇒ ⇐⇒ ∃x1 . . . xm P(a, x1, . . . , xm) = 0 & |x1| + · · · + |xm| ≤ |a|k .
  • 151. Диофантова сложность D vs NP Leonard Adleman и Kenneth Manders [1975] ввели в рассмотрение класс D состоящий из множеств M имеющих представления вида a ∈ M ⇐⇒ ⇐⇒ ∃x1 . . . xm P(a, x1, . . . , xm) = 0 & |x1| + · · · + |xm| ≤ |a|k . Открытая проблема. D ? = NP.
  • 152. Давид Гильберт, “Математические проблемы”, [1900] Вместе с тем бывает и так, что мы добиваемся ответа при недостаточ- ных предпосылках, или идя в неправильном направлении, и вследствии этого не достигаем цели. Тогда возникает задача доказать неразрешимость дан- ной проблемы при принятых предпосылках и выбранном направлении. Такие доказательства невозможности проводились еще старыми математиками, на- пример, когда они обнаруживали, что отношение гипотенузы равнобедрен- ного прямоугольного треугольника к его катету есть иррациональное число. В новейшей математике доказательства невозможности решений определен- ных проблем играют выдающуюся роль; там мы констатируем, что такие старые и трудные проблемы, как доказательство аксиомы о параллельных, как квадратура круга или решение уравнения пятой степени в радикалах, получили все же строгое, вполне удовлетворяющее нас решение, хотя и в другом направлении, чем то, которое сначала предполагалось. Этот удивительный факт наряду с другими философскими основаниями создает у нас уверенность, которую разделяет, несомненно, каждый матема- тик, но которую до сих пор никто не подтвердил доказательством, – уверен- ность в том, что каждая определенная математическая проблема непременно должна быть доступна строгому решению или в том смысле, что удается по- лучить ответ на поставленный вопрос, или же в том смысле, что будет уста- новлена невозможность ее решения и вместе с тем доказана неизбежность неудачи всех попыток ее решить.
  • 154. DPR-теорема Теорема (Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson [1961]). Для каждого перечислимого множества можно построить его экспоненциально диофантово представление: a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = ER(a1, . . . , an, x1, . . . , xm)} где EL и ER – выражения, построенные по традиционным пра- вилам из переменных и конкретных натуральных чисел с по- мощью операций сложения, умножения и возведения в степень.
  • 155. DPR-теорема Теорема (Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson [1961]). Для каждого перечислимого множества можно построить его экспоненциально диофантово представление: a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = ER(a1, . . . , an, x1, . . . , xm)} где EL и ER – выражения, построенные по традиционным пра- вилам из переменных и конкретных натуральных чисел с по- мощью операций сложения, умножения и возведения в степень. Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
  • 156. DPR-теорема Теорема (Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson [1961]). Для каждого перечислимого множества можно построить его экспоненциально диофантово представление: a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = ER(a1, . . . , an, x1, . . . , xm)} где EL и ER – выражения, построенные по традиционным пра- вилам из переменных и конкретных натуральных чисел с по- мощью операций сложения, умножения и возведения в степень. Определение. Множество M, состоящее из n-ок натуральных чисел называется перечислимым, если можно написать программу R, такую что R-a1, . . . , an - остановка, если a1, . . . , an ∈ M вечная работа в противном случае   
  • 158. An e-mail Dear Professor, you are wrong. I am a brilliant young programmer and last night I wrote a sophisticated program in Java##. My program solves Hilbert’s tenth problem in the __positive__ sense. Namely, for every Diophantine equation given as input, the program will print 1 or 0 depending on whether the equation has a solution or not. The attachment contains my ingenious program. You can run it on your favorite Diophantine equations and see how fast my program works. Have a fun, Professor!
  • 160. Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число.
  • 161. Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина выполняет программу состоящую из конечного числа инструкций снабженных метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk.
  • 162. Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина выполняет программу состоящую из конечного числа инструкций снабженных метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk. Инструкции бывают трёх типов:
  • 163. Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина выполняет программу состоящую из конечного числа инструкций снабженных метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk. Инструкции бывают трёх типов: I. Sk: R + +;Si
  • 164. Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина выполняет программу состоящую из конечного числа инструкций снабженных метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk. Инструкции бывают трёх типов: I. Sk: R + +;Si II. Sk: R − −; Si;Sj
  • 165. Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина выполняет программу состоящую из конечного числа инструкций снабженных метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk. Инструкции бывают трёх типов: I. Sk: R + +;Si II. Sk: R − −; Si;Sj III. Sk: STOP
  • 166. Регистровые машины Регистровая машина имеет конечное количество регистров R1, . . . ,Rn каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина выполняет программу состоящую из конечного числа инструкций снабженных метками S1, . . . ,Sm. Когда машина выполняет инструкцию с меткой Sk, мы говорим, что машина находится в состоянии Sk. Инструкции бывают трёх типов: I. Sk: R + +;Si II. Sk: R − −; Si;Sj III. Sk: STOP Lambek [1961], Melzak [1961], Minsky [1961], Minsky [1967], Shepherdson и Sturgis [1963]
  • 167. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
  • 168. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP Начальное состояние S1
  • 169. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP Начальное состояние S1 Начальное содержимое регистров R1=a, R2=0
  • 170. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP Начальное состояние S1 Начальное содержимое регистров R1=a, R2=0 В каком случае машина остановится?
  • 172. Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 S1 s1,q . . . s1,t+1 s1,t . . . s1,0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 ... ... ... ... ... ... ... Sm sm,q . . . sm,t+1 sm,t . . . sm,0 sk,t = 1, если на шаге t машина была в состоянии k 0 в противном случае
  • 173. Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 ... ... ... ... ... ... ... R1 r1,q . . . r1,t+1 r1,t . . . r1,0 ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 ... ... ... ... ... ... ... Rn rn,q . . . rn,t+1 rn,t . . . rn,0 r ,t – это содержимое -го регистра на шаге t
  • 174. Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 ... ... ... ... ... ... ... Z1 z1,q . . . z1,t+1 z1,t . . . z1,0 ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 ... ... ... ... ... ... ... Zn zn,q . . . zn,t+1 zn,t . . . zn,0 z ,t = 1, если r ,t > 0 0 в противном случае
  • 175. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP
  • 176. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 =
  • 177. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t
  • 178. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t
  • 179. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t
  • 180. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t
  • 181. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t
  • 182. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t
  • 183. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t
  • 184. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 =
  • 185. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t
  • 186. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t
  • 187. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t
  • 188. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 =
  • 189. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t
  • 190. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 =
  • 191. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t
  • 192. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 =
  • 193. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t
  • 194. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t
  • 195. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 =
  • 196. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t
  • 197. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 =
  • 198. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t
  • 199. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 =
  • 200. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t
  • 201. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t
  • 202. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 =
  • 203. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t
  • 204. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 =
  • 205. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t
  • 206. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t
  • 207. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 =
  • 208. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 =
  • 209. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1
  • 210. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0
  • 211. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0 r1,0 =
  • 212. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0 r1,0 = a
  • 213. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0 r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0 sm,q = 1
  • 214. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0 r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0 sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0
  • 215. Пример S1:R1−−; S2; S8 S4:R1−−; S5; S6 S7:R1++; S6 S2:R1−−; S3; S9 S5:R1−−; S3; S8 S8:R1++; S8 S3:R2++; S4 S6:R2−−; S7; S1 S9:STOP r1,t+1 = r1,t + s7,t + s8,t − z1,ts1,t − z1,ts2,t − z1,ts4,t − z1,ts5,t r2,t+1 = r2,t + s3,t − z2,ts6,t s1,t+1 = (1 − z2,t)s6,t s2,t+1 = z1,ts1,t s3,t+1 = z1,ts2,t + z1,ts5,t s4,t+1 = s3,t s5,t+1 = z1,ts4,t s6,t+1 = (1 − z4,t)s4,t + s7,t s7,t+1 = z2,ts6,t s8,t+1 = (1 − z1,t)s1,t + s8,t s9,t+1 = (1 − z1,t)s2,t s1,0 = 1 s2,0 = · · · = sm,0 = 0 r1,0 = a r2,0 = · · · = rn,0 = 0 sm,q = 1 s1,q = · · · = sm−1,q = 0
  • 216. Новые значения регистров r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t
  • 217. Новые значения регистров r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t где + -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R + +; Si,
  • 218. Новые значения регистров r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t где + -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R + +; Si, а − -суммирование – по всем инструкциям вида Sk : R − −; Si; Sj.
  • 219. Новые состояния sd,t+1 = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t
  • 220. Новые состояния sd,t+1 = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t где + d -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R + +; Sd,
  • 221. Новые состояния sd,t+1 = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t где + d -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R + +; Sd, − d -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R − −; Sd; Sj,
  • 222. Новые состояния sd,t+1 = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t где + d -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R + +; Sd, − d -суммирование ведется по всем инструкциям вида Sk : R − −; Sd; Sj, а 0 d -суммирование – по всем инструкциям вида Sk : R − −; Si; Sd.
  • 224. Начальные значения Всегда начинаем в состоянии S1: s1,0 = 1, s2,0 = · · · = sm,0 = 0.
  • 225. Начальные значения Всегда начинаем в состоянии S1: s1,0 = 1, s2,0 = · · · = sm,0 = 0. (Единственная) входная величина a помещается в регистр R1: r1,0 = a,
  • 226. Начальные значения Всегда начинаем в состоянии S1: s1,0 = 1, s2,0 = · · · = sm,0 = 0. (Единственная) входная величина a помещается в регистр R1: r1,0 = a, все остальные регистры пусты: r2,0 = · · · = rn,0 = 0.
  • 227. Остановка Sm является единственной командой STOP: sm,q = 1, s1,q = · · · = sm−1,q = 0. При остановке все регистры пусты: r1,q = · · · = rn,q = 0.
  • 228. Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 ... ... ... ... ... ... ...
  • 229. Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 sk = q t=0 sk,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 ... ... ... ... ... ... ...
  • 230. Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 = sk = q t=0 sk,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 ... ... ... ... ... ... ...
  • 231. Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 = sk = q t=0 sk,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 = r = q t=0 r ,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 ... ... ... ... ... ... ...
  • 232. Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 = sk = q t=0 sk,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 = r = q t=0 r ,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 = z = q t=0 z ,tbt ... ... ... ... ... ... ...
  • 233. Протокол q . . . t + 1 t . . . 0 b = 2c+1 ... ... ... ... ... ... ... Sk sk,q . . . sk,t+1 sk,t . . . sk,0 = sk = q t=0 sk,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... R r ,q . . . r ,t+1 r ,t . . . r ,0 = r = q t=0 r ,tbt ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z z ,q . . . z ,t+1 z ,t . . . z ,0 = z = q t=0 z ,tbt ... ... ... ... ... ... ...
  • 235. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k a & b = ∞ k=0 akbk2k
  • 236. Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t
  • 237. Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t
  • 238. Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t
  • 239. Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt r ,t+1 = r ,t + + sk,t − − z ,tsk,t
  • 240. Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt r ,t+1bt+1 = r ,tbt+1 + + sk,tbt+1 − − z ,tsk,tbt+1
  • 241. Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 r ,t+1bt+1 = q−1 t=0 r ,tbt+1 + + sk,tbt+1 − − z ,tsk,tbt+1
  • 242. Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 r ,t+1bt+1 = q−1 t=0 r ,tbt+1 + + sk,tbt+1 − − z ,tsk,tbt+1
  • 243. Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 r ,t+1bt+1 = q−1 t=0 r ,tbt+1 + + sk,tbt+1 − − z ,tsk,tbt+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk)
  • 244. Новые значения регистров sk = q t=0 sk,tbt r = q t=0 r ,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 r ,t+1bt+1 = q−1 t=0 r ,tbt+1 + + sk,tbt+1 − − z ,tsk,tbt+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk) r1 − a = br1 + b + sk − b − (z & sk) r = br + b + sk − b − (z & sk), = 2, . . . , n
  • 245. Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt sd,t+1 = = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t
  • 246. Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt sd,t+1 = = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t
  • 247. Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt sd,t+1 = = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t
  • 248. Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt sd,t+1 = = + d sk,t + − d z ,tsk,t + 0 d (1 − z ,t)sk,t
  • 249. Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt sd,t+1bt+1 = = + d sk,tbt+1 + − d z ,tsk,tbt+1 + 0 d (1 − z ,t)sk,tbt+1
  • 250. Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 sd,t+1bt+1 = = q−1 t=0 + d sk,tbt+1 + − d z ,tsk,tbt+1 + 0 d (1 − z ,t)sk,tbt+1
  • 251. Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 sd,t+1bt+1 = = q−1 t=0 + d sk,tbt+1 + − d z ,tsk,tbt+1 + 0 d (1 − z ,t)sk,tbt+1
  • 252. Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 sd,t+1bt+1 = = q−1 t=0 + d sk,tbt+1 + − d z ,tsk,tbt+1 + 0 d (1 − z ,t)sk,tbt+1 sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk)
  • 253. Новые состояния sk = q t=0 sk,tbt z = q t=0 z ,tbt q−1 t=0 sd,t+1bt+1 = = q−1 t=0 + d sk,tbt+1 + − d z ,tsk,tbt+1 + 0 d (1 − z ,t)sk,tbt+1 sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk) e = q−1 t=0 1 · bt+1 = bq − 1 b − 1
  • 254. Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае
  • 255. Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1
  • 256. Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1
  • 257. Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t =
  • 258. Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае
  • 259. Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае 2c & (2c − 1 + r ,t) = 2c z ,t
  • 260. Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае 2c & (2c − 1 + r ,t) = 2c z ,t q t=0 (2c & (2c − 1 + r ,t))bt = q t=0 2c z ,tbt
  • 261. Индикаторы нуля z ,t = 0, если r ,t = 0 1 в противном случае b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае 2c & (2c − 1 + r ,t) = 2c z ,t q t=0 (2c & (2c − 1 + r ,t))bt = q t=0 2c z ,tbt 2c f & ((2c − 1)f + r ) = 2c z f = q t=0 1 · bt+1 = bq+1 − 1 b − 1
  • 263. Выбор c r ,t < b = 2c+1
  • 264. Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае
  • 265. Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае
  • 266. Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае 2c & r ,t = 0
  • 267. Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае 2c & r ,t = 0
  • 268. Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае 2c & r ,t = 0
  • 269. Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае q t=0 (2c & r ,t)bt = 0
  • 270. Выбор c r ,t < b = 2c+1 r ,t ≤ 2c − 1 = 01 . . . 1 2c − 1 + r ,t = 01 . . . 1, если r ,t = 0 1 ∗ · · · ∗ в противном случае q t=0 (2c & r ,t)bt = 0 2c f & r = 0 f = q t=0 1 · bt+1 = bq+1 − 1 b − 1
  • 273. Все условия b = 2c+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk)
  • 274. Все условия b = 2c+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk) sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk)
  • 275. Все условия b = 2c+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk) sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk) e = bq − 1 b − 1
  • 276. Все условия b = 2c+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk) sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk) e = bq − 1 b − 1 2c f & ((2c − 1)f + r ) = 2c z f = bq+1 − 1 b − 1
  • 277. Все условия b = 2c+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk) sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk) e = bq − 1 b − 1 2c f & ((2c − 1)f + r ) = 2c z f = bq+1 − 1 b − 1 2c f & r = 0
  • 278. Все условия b = 2c+1 r − r ,0 = br + b + sk − b − (z & sk) sd − sd,0 = b + d sk + b + d (z & sk) + b 0 d ((e − z ) & sk) e = bq − 1 b − 1 2c f & ((2c − 1)f + r ) = 2c z f = bq+1 − 1 b − 1 2c f & r = 0 sm = bq
  • 280. Теорема Куммера m + n m = Cm m+n = (m + n)! m!n!
  • 281. Теорема Куммера m + n m = Cm m+n = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
  • 282. Теорема Куммера m + n m = Cm m+n = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа m и n в позиционной системе счисления с основанием p и сложим их «в столбик»;
  • 283. Теорема Куммера m + n m = Cm m+n = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа m и n в позиционной системе счисления с основанием p и сложим их «в столбик»; αp(m, n) равно количеству переносов из разряда в разряд при этом сложении.
  • 284. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
  • 285. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . .
  • 286. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
  • 287. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . .
  • 288. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . p, 2p, 3p, . . . ,
  • 289. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . p, 2p, 3p, . . . , k p p
  • 290. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p
  • 291. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p Имеется k p2 чисел кратных p2 : p2 , 2p2 , 3p2 , . . . , k p2 p2
  • 292. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p Имеется k p2 чисел кратных p2 : p2 , 2p2 , 3p2 , . . . , k p2 p2 Имеется k p3 чисел кратных p3 : p3 , 2p3 , 3p3 , . . . , k p3 p3
  • 293. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p Имеется k p2 чисел кратных p2 : p2 , 2p2 , 3p2 , . . . , k p2 p2 Имеется k p3 чисел кратных p3 : p3 , 2p3 , 3p3 , . . . , k p3 p3 ...
  • 294. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p Имеется k p2 чисел кратных p2 : p2 , 2p2 , 3p2 , . . . , k p2 p2 Имеется k p3 чисел кратных p3 : p3 , 2p3 , 3p3 , . . . , k p3 p3 ... βp(k) = k p + k p2 + k p3 + . . .
  • 295. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
  • 296. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . .
  • 297. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . .
  • 298. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
  • 299. Теорема Куммера m + n m = (m + n)! m!n! = 2α2(m,n) 3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . . k! = 2β2(k) 3β3(k) . . . pβp(k) . . . αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . .
  • 300. Теорема Куммера αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . .
  • 301. Теорема Куммера αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . . = m + n p − m p − n p + m + n p2 − m p2 − n p2 + + m + n p3 − m p3 − n p3 + . . .
  • 302. Теорема Куммера m + n pk − m pk − n pk = 1, если есть перенос 0, если нет переноса
  • 303. Теорема Куммера m + n pk − m pk − n pk = 1, если есть перенос 0, если нет переноса m = r j=0 mj pj = mr . . . mk mk−1 . . . m0 n = r j=0 nj pj = nr . . . nk nk−1 . . . n0 m + n = r j=0 j pj = r . . . k k−1 . . . 0 m/pk = mr . . . mk n/pk = nr . . . nk (m + n)/pk = r . . . k
  • 304. Теорема Куммера αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . .
  • 305. Теорема Куммера αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n) = m + n p + m + n p2 + m + n p3 + . . . − m p − m p2 − m p3 − . . . − n p − n p2 − n p3 − . . . = m + n p − m p − n p + m + n p2 − m p2 − n p2 + + m + n p3 − m p3 − n p3 + . . .
  • 307. Следствие теоремы Куммера Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент a+b a явлется нечетным
  • 308. Следствие теоремы Куммера Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент a+b a явлется нечетным, то есть существует натуральное число d такое, что a + b a = 2d + 1.
  • 312. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
  • 313. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b =⇒ a c нечетн.
  • 314. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b =⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн.
  • 315. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b =⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
  • 316. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b =⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
  • 317. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b ⇐= a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
  • 318. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b ⇐⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
  • 319. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b ⇐⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
  • 320. Поразрядное умножение a = ∞ k=0 ak2k b = ∞ k=0 bk2k c = ∞ k=0 ck2k a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . . b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . c = a&b ⇐⇒ a c нечетн. ∧ b c нечетн. ∧ ∧ (a − c) + (b − c) a − c нечетн.
  • 322. Биномиальные коэффициенты (1 + u)m = m m um + m m − 1 um−1 + m m − 2 um−2 + + · · · + m n un + · · · + m 1 u + m 0
  • 323. Биномиальные коэффициенты (1 + u)m = m m um + m m − 1 um−1 + m m − 2 um−2 + + · · · + m n un + · · · + m 1 u + m 0 2m = m 0 + · · · + m n + · · · + m m
  • 324. Биномиальные коэффициенты (1 + u)m = m m um + m m − 1 um−1 + m m − 2 um−2 + + · · · + m n un + · · · + m 1 u + m 0 2m = m 0 + · · · + m n + · · · + m m c = m n ⇐⇒ ∃upq{(1 + u)m = pun+1 + cun + q ∧ c < u ∧ q < un−1 ∧ u > 2m }