2. Permutasi
Permutasi
Definisi
Suatu permutasi dari bilangan-bilangan bulat {1,
2, 3, …, n} adalah penyusunan bilangan-
bilangan tersebut dengan urutan tanpa
pengulangan
Contoh:
Permutasi dari {1, 2, 3} adalah
(1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2)
(1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1)
Secara umum, bilangan-bilangan pada
{1, 2, …, n} akan mempunyai n! permutasi
3. Suatu permutasi (j1, j2, …, jn) dikatakan
mempunyai 1 inversi jika terdapat satu bilangan
yang lebih besar mendahului suatu bilangan
yang lebih kecil.
Contoh:
(6, 1, 3, 4, 5, 2)
•6 mendahului 1, 3, 4, 5, 2 = 5 inversi
•3 mendahului 2 = 1 inversi
•4 mendahului 2 = 1 inversi
•5 mendahului 2 = 1 inversi
Jadi terdapat 8 inversi dalam permutasi di atas
Sedangkan,
(1, 2, 3, 4) : tidak terdapat inversi
4. Definisi
Permutasi Genap dan Permutasi Ganjil
• Suatu permutasi dikatakan permutasi genap
jika banyaknya inversinya sejumlah genap dan
dikatakan permutasi ganjil jika banyak
inversinya sejumlah ganjil
• Perkalian elementer dari matriks A ukuran nn
adalah perkalian dari n entri dari A dimana
tidak ada yang datang dari baris atau kolom
yang sama
Contoh:
maka a11a22 dan a12a21 merupakan perkalian
elementer
11 12
21 22
a a
a a
5. Perkalian elementer dari matriks A adalah
dalam bentuk
dimana bilangan pada kolom diisi dengan
permutasi dari {1, 2, 3}
Jadi perkalian elementer dari A adalah:
a11a22a33 a12a21a33 a13a21a32
a11a23a32 a12a23a31 a13a22a31
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
_
3
_
2
_
1 a
a
a
6. Jika A adalah matriks berukuran nn maka
terdapat n! perkalian elementer dengan bentuk
a1_ a2_ ... an_ dimana bilangan pada kolom
adalah permutasi dari {1, 2, ..., n}
Perkalian elementer bertanda dari A adalah
perkalian elementer dikali +1 jika merupakan
permutasi genap dan dikali 1 jika merupakan
permutasi ganjil.
Pada contoh sebelumnya, perkalian bertanda
dari A adalah
a11a22a33 a12a21a33 a13a21a32
a11a23a32 a12a23a31 a13a22a31
7. Definisi
Jika A adalah matriks bujursangkar. Fungsi
determinan dari A, det(A) didefinisikan
sebagai jumlah semua perkalian
elementer bertanda dari A.
det(A) = a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31
a12a21a33 a11a23a32 a13a22a31
8. Sifat-sifat Fungsi Determinan
Sifat-sifat Fungsi Determinan
Anggap A dan B adalah matriks nxn dan k
adalah sebarang skalar,
det (kA)=kn
det(A)
Contoh:
33
32
31
23
22
21
13
12
11
3
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
k
ka
ka
ka
ka
ka
ka
ka
ka
ka
9. Teorema
Anggap A, B, dan C adalah matriks nxn
yang berbeda hanya pada salah satu
barisnya, misal baris ke r, dan anggap baris
ke r dari C diperoleh dengan menambahkan
anggota-anggota yang berpadanan pada
baris ke r dari A dan B, maka
det(C)= det(A) + det(B)
Hal yang sama berlaku untuk kolom.
Teorema
Jika A adalah matriks bujursangkar dimana
terdapat dua baris atau dua kolom yang
saling berkelipatan, maka det(A) = 0
10. Teorema
Suatu matriks bujursangkar A dapat dibalik
(invertible) jika dan hanya jika det(A) ≠ 0
Teorema
Jika A dan B adalah matriks bujursangkar
dengan ukuran sama, maka
det(AB) = det (A) det(B)
Teorema
Jika A dapat dibalik (invertible), maka
1 1
det( )
det( )
A
A
11. Menghitung Determinan Matriks
Menghitung Determinan Matriks
dengan Reduksi Baris
dengan Reduksi Baris
Teorema
Misalkan A adalah matriks bujursangkar.
• Jika A memiliki satu baris nol atau kolom
nol, maka det(A) = 0
• det(A) = det (AT
)
Teorema
Jika A adalah matriks segitiga nn (segitiga
atas, segitiga bawah atau diagonal), maka
det(A) adalah perkalian entri-entri pada
diagonal utamanya
det(A) = a11a22...ann
12. Teorema
Misalkan A adalah matriks bujursangkar
• Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari
perkalian suatu baris atau kolom dengan
skalar k ≠ 0 maka det(B) = k det(A)
• Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari
pertukaran dua baris atau kolom dari A
maka det(B) = –det(A)
• Jika B adalah matriks yang dihasilkan
ketika suatu baris ditambahkan dengan
kelipatan baris lain atau suatu kolom
ditambahkan dengan kelipatan kolom lain
dari A, maka det(B) = det(A).
Dampak Operasi Baris Elementer
Dampak Operasi Baris Elementer
pada suatu Determinan Matriks
pada suatu Determinan Matriks
13. Contoh:
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
ka ka ka a a a
a a a k a a a
a a a a a a
11 12 13 11 12 13
31 32 33 21 22 23
21 22 23 31 32 33
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
11 31 12 32 13 33 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
a ka a ka a ka a a a
a a a a a a
a a a a a a
14. Teorema
Misal E adalah matriks elementer berukuran
nn,
• Jika E dihasilkan dari suatu baris In dikali k,
maka det(E) = k
• Jika E dihasilkan dari pertukaran dua baris
pada In, maka det(E) = 1
• Jika E dihasilkan dari suatu baris ditambah
kelipatan baris lain di In, maka det(E) = 1
Contoh:
Determinan Matriks Elementer
Determinan Matriks Elementer
1 0 0
0 1 0 2
0 0 2
1 0 0
0 0 1 1
0 1 0
1 2 0
0 1 0 1
0 0 1
17. Minor dan Kofaktor
Minor dan Kofaktor
Definisi
Jika A matriks bujursangkar, maka minor
minor
dari entri aij dinotasikan dengan Mij
adalah determinan dari submatriks
setelah baris ke-i dan kolom ke-j
dihilangkan dari A.
Kofaktor
Kofaktor dari entri aij adalah bilangan
, dinotasikan dengan Cij.
( 1)i j
ij
M
20. Ekspansi Kofaktor
Ekspansi Kofaktor
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
det(A) = a11
a22
a33
+ a13
a21
a32
+ a12
a23
a31
a12
a21
a33
a11
a23
a32
a13
a22
a31
det(A) = a11
(a22
a33
a23
a32
) a12
(a21
a33
a23
a31
)
+ a13
(a21
a32
a22
a31
)
= a11
M11
– a12
M12
+ a13
M13
= a11
c11
+ a12
c12
+ a13
c13
Formula ini menyatakan determinan matriks A
ekspansi kofaktor berdasarkan baris pertama dari A
21. Teorema
Determinan dari matriks A berukuran n n
dengan cara ekspansi kofaktor
• ,
i = 1, 2, ..., n : ekspansi menurut baris i
• ,
j = 1, 2, ..., n : ekspansi menurut kolom j
1
det( )
n
ij ij
j
A a c
1
det( )
n
ij ij
i
A a c
25. Latihan Soal
(dikerjakan di buku latihan)
Dari Buku Dasar-dasar Aljabar Linier,
Howard Anton and Chris Rorres, Edisi 11
(dari ebook)
Chapter 2 Halaman 129
Soal Latihan
Nomor 3, 4, 5, 6, dan 7 (masing-masing
menggunakan metode ekspansi kofaktor
dan metode baris elementer)
Nomor 14, 15, 16
