Determinan Kelompok 9.pptx determinan.ppt
- 2. Anggota Kelompok 9 : Bestleader Yohannes Purba (5213351014) Leonardus Mikael Tambunan (5213351004) Nurul Izzati (5213351013)
- 3. Pengertian dan Fungsi Determinan Matriks 01
- 4. Pengertian Dan Fungsi Determinan Matriks PENGERTIAN : Determinan Matriks ialah suatu bilangan real yang diperoleh dari suatu proses dengan aturan tertentu terhadap matriks bujur sangkar. Jadi determinan matriks adalah nilai yang bisa dihitung dari unsur-unsur matriks. Determinan dinyatakan sebagai jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari matriks bujur sangkar A. Determinan dari sebuah matriks bujur sangkar A’ dinotasikan dengan det(A), atau |A|. FUNGSI : Suatu permutasi dari bilangan-bilangan bulat {1,2,3,…,n} adalah penyusunan bilangan bilangan tersebut dengan urutan tanpa pengulangan. Contoh : Permutasi dari {1,2,3} adalah (1,2,3) (2,1,3) (3,1,2) (1,3,2) (2,3,1) (3,2,1) Secara umum bilangan bilangan pada {1,2,…,n} akan mempunyai n! permutasi.
- 6. Sifat-sifat Fungsi Determinan ● Teorema 1: Jika A adalah sebarang matriks kuadrat di mana terdapat baris yang entri-entri pada baris tersebut semuanya mengandung sebarang bilangan nol, maka det(A) = 0. Contoh 1: Determinan Matriks Diketahui matriks A sebagai berikut. Determinan dari matriks A adalah nol (det(A) = 0), karena entri-entri pada baris ketiga dari matriks A berisi nol.
- 7. Sifat-sifat Fungsi Determinan ● Teorema 2: Jika A adalah matriks segitiga bawah atau matriks segitiga atas berukuran n×n, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama ; yakni, det(A)=a11a22 a ⋅⋅⋅ nn Contoh 2: Diketahui matriks segitiga atas sebagai berikut: Determinan dari matriks A adalah:
- 8. Sifat-sifat Fungsi Determinan ● Teorema 3: Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka det(AB) = det(A) det(B) ⋅ Contoh 7: Determinan Matriks Tinjaulah matriks-matris : Kita peroleh det(A) det(B) = (1) (-23) = -23. Dengan penghitungan langsung maka det(AB) = - ⋅ 23, sehingga det(AB) = det(A) det(B) ⋅ Perlu untuk ditekankan di sini bahwa biasanya det(A+B) tidaklah sama hasilnya dengan det(A) + det(B) atau dengan kata lain det(A + B) ≠ det(A) + det(B).
- 9. Sifat-sifat Fungsi Determinan Mari kita lihat contoh berikut: Kita peroleh det(A)=1, det(B)=8det(A), dan det(A+B)=23 jadi
- 10. Sifat-sifat Fungsi Determinan ● Teorema 4: Sebuah matriks A kuadrat dapat dibalik jika dan hanya jika det(A) ≠ 0. Jika A dapat dibalik, maka Karena baris pertama dan baris ketiga dari sebanding, maka det(A)=0. Jadi, AA tidak dapat dibalik.
- 11. Menghitung Determinan Dengan Ekspansi Kofaktor 03
- 12. Menghitung Determinan Dengan Ekspansi Kofaktor Definisi : Jika A adalah matriks kuadrat dengan entri atau elemennya aij, maka yang disebut minor entri aij atau dinotasikan dengan Mij adalah determinan submatriks setelah baris ke i dan kolom ke j dicoret dari A. Bilangan ( 1) − (i+j) Mij yang dinotasikan dengan Cij dinamakan kofaktor entri aij Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh soal berikut. 1. Tentukan minor entri dan kofaktor dari a11 dan a32
- 13. Menghitung Determinan Dengan Ekspansi Kofaktor Pembahasan : Dari definisi yang diberikan di atas, maka minor entri a11 adalah Perhatikan bahwa di sini kita mencoret baris dan kolom pertama dari matriks A sehingga diperoleh submatriks baru berukuran 2 x 2. Determinan dari submatriks yang diperoleh disebut minor entri a11. Dengan demikian, kofaktor a11 yaitu Hal yang sama dapat kita lakukan untuk mencari minor entri a32, yakni Dan kofaktor a32 yaitu
- 14. Menghitung Determinan Dengan Ekspansi Kofaktor ● Perhatikan bahwa kofaktor dan minor elemen aijaij hanya berbeda dalam tandanya,yakni Cij= ± Mij. ● Cara cepat untuk menentukan penggunaan tanda + atau tanda – berasal dari kenyataan bahwa penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris ke i dan kolom ke j dari susunan Misalnya, C21= M − 21, C12= M − 12, C22=M22 dan seterusnya.
- 15. Menghitung Determinan Dengan Ekspansi Kofaktor 2. diketahui matriks A sebagai berikut. Hitunglah det(A)dengan metode ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A. Pembahasan: Dari persamaan (1) diperoleh Dengan cara yang sama seperti kita lakukan untuk memperoleh persamaan (1), Perhatikan bahwa dalam setiap persamaan semua entri-entri dan kofaktor berasal dari baris atau dari kolom yang sama. Persamaan ini dinamakan ekspansi-ekspansi kofaktor det(A).
- 16. Menghitung Determinan Dengan Ekspansi Kofaktor Hasil-hasil yang baru saja kita berikan untuk matriks 3×3 membentuk kasus khusus dari teorema umum berikut: ● Determinan matriks A yang berukuran n×n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil- hasil kali yang dihasilkan; yakni, untuk setiap 1 i n dan 1 j n , maka ≤ ≤ ≤ ≤ Dan
- 17. Menghitung Determinan Dengan Ekspansi Kofaktor 3. Hitunglah det(A) dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama. Pembahasan: Dari persamaan (2) baris kedua diperoleh Ini sesuai dengan hasil yang kita peroleh pada contoh kita sebelumnya.
- 18. Menghitung Determinan Dengan Ekspansi Kofaktor ● Pada contoh ini kita tak perlu menghitung kofaktor akhir, karena kofaktor tersebut dikalikan oleh nol. Umumnya, strategi terbaik untuk menghitung determinan dengan menggunakan ekpansi kofaktor adalah dengan mengekspansikannya sepanjang baris atau kolom yang mempunyai bilangan nol yang terbanyak. ● Ekspansi kofaktor dan operasi baris atau operasi kolom kadang-kadang dapat digunakan bersama-sama untuk memberikan metode yang efektif untuk menghitung determinan.
- 19. Menghitung Determinan Dengan Reduksi Baris 04
- 20. Menghitung Determinan Dengan Reduksi Baris Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks tersebut pada bentuk eselon baris. Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara langsung. Contoh 1: Hitunglah det(A) di mana Pembahasan: Dengan mereduksi A pada bentuk eselon baris dan dengan menerapkan Teorema yang telah kita pelajari sebelumnya, maka kita dapatkan :
- 21. Menghitung Determinan Dengan Reduksi Baris
- 22. Menghitung Determinan Dengan Reduksi Baris Contoh 2 : Hitunglah determinan dari Determinan ini dapat dihitung seperti sebelumnya dengan menggunakan operasi baris elementer untuk mereduksi A pada bentuk eselon baris. Sebaliknya, kita dapat menaruh A pada bentuk segitiga bawah dalam satu langkah dengan menambahkan – 3 kali kolom pertama pada kolom keempat untuk mendapatkan
- 23. THANK YOU!