03 1 alg_bool
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L'algebra di Boole, sviluppata da George Boole nel XIX secolo, si basa su operazioni logiche applicabili a valori veri e falsi, rappresentati rispettivamente da 1 e 0. Essa include operatori logici fondamentali come AND, OR e NOT, e utilizza tabelle di verità per definire il risultato di combinazioni di operandi logici. Il documento tratta anche proprietà e identificazioni delle espressioni logiche, evidenziando concetti come tautologie, contraddizioni e leggi dell'algebra, utilizzabili per semplificare e trasformare espressioni logiche equivalenti.
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- 1. Algebra di Boole ed Elementi di Logica
- 2. Cenni all’algebra di Boole L’algebra di Boole (inventata da George Boole, britannico, ’800), o algebra della logica, si basa su operazioni logiche Le operazioni logiche sono applicabili a operandi logici, cioè a operandi in grado di assumere solo i valori vero e falso Si può rappresentare vero con il bit 1 e falso con il bit 0 (convenzione di logica positiva)
- 3. Operazioni logiche fondamentali Operatori logici binari (con 2 operandi logici) Operatore OR, o somma logica Operatore AND, o prodotto logico Operatore logico unario (con 1 operando) Operatore NOT, o negazione, o inversione Poiché gli operandi logici ammettono due soli valori, si può definire compiutamente ogni operatore logico tramite una tabella di associazione operandi-risultato, chiamata tabella di verità
- 4. Operazioni logiche fondamentali Tabelle di verità A B A or B A B A and B A not A 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 (negazione) 1 1 1 1 1 1 (somma logica) (prodotto logico) Le tabelle elencano tutte le possibili combinazioni in ingresso e il risultato associato a ciascuna combinazione
- 5. Altri operatori logici A B A xor B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 XOR, detto anche EX-OR o OR esclusivo: il risultato è vero se solo uno dei due operandi è vero A xor B = ( A and ( not B ) ) or ( ( not A ) and B )
- 6. Altri operatori logici A B A xnor B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 XNOR, detto anche EX-NOR: l’inverso di XOR A xnor B = not(A xor B) = = not(( A and ( not B ) ) or ( ( not A ) and B ))
- 7. Espressioni logiche (o Booleane) Come le espressioni algebriche, costruite con: Variabili logiche (letterali): p. es. A, B, C = 0 oppure 1 Operatori logici: and, or, not Esempi: A or (B and C) (A and (not B)) or (B and C) Precedenza: l’operatore “not” precede l’operatore “and”, che a sua volta precede l’operatore “or” A and not B or B and C = (A and (not B)) or (B and C) Per ricordarlo, si pensi OR come “+” (più), AND come “×” (per) e NOT come “−” (cambia segno)
- 8. Tabelle di verità delle espressioni logiche A B NOT ( ( A OR B) AND ( NOT A ) ) 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 Specificano i valori di verità per tutti i possibili valori delle variabili
- 9. Tabelle di verità delle espressioni logiche A and B or not C ABC X = A and B Y = not C X or Y 000 0 and 0 = 0 not 0 = 1 0 or 1 =1 001 0 and 0 = 0 not 1 = 0 0 or 0 =0 010 0 and 1 = 0 not 0 = 1 0 or 1 =1 011 0 and 1 = 0 not 1 = 0 0 or 0 =0 100 1 and 0 = 0 not 0 = 1 0 or 1 =1 101 1 and 0 = 0 not 1 = 0 0 or 0 =0 110 1 and 1 = 1 not 0 = 1 1 or 1 =1 111 1 and 1 = 1 not 1 = 0 1 or 0 =1
- 10. Tabelle di verità delle espressioni logiche A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 ( B OR NOT C ) AND ( A OR NOT C ) 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
- 11. A che cosa servono le espressioni logiche? A modellare alcune (non tutte) forme di ragionamento A = è vero che 1 è maggiore di 2 ? (sì o no, qui è no) = 0 B = è vero che 2 più 2 fa 4 ? (sì o no, qui è sì) = 1 A and B = è vero che 1 sia maggiore di 2 e che 2 più 2 faccia 4 ? Si ha che A and B = 0 and 1 = 0, dunque no A or B = è vero che 1 sia maggiore di 2 o che 2 più 2 faccia 4 ? Si ha che A or B = 0 or 1 = 1, dunque sì OR, AND e NOT vengono anche chiamati connettivi logici, perché funzionano come le congiunzioni coordinanti “o” ed “e”, e come la negazione “non”, del linguaggio naturale Si modellano ragionamenti (o deduzioni) basati solo sull’uso di “o”, “e” e “non” (non è molto, ma è utile)
- 12. Che cosa non si può modellare tramite espressioni logiche? Le espressioni logiche (booleane) non modellano: Domande esistenziali: “c’è almeno un numero reale x tale che il suo quadrato valga −1 ?” (si sa bene che non c’è) ∃x | x2 = −1 è falso Domande universali: “ogni numero naturale è la somma di quattro quadrati di numeri naturali ?” (si è dimostrato di sì) ∀x | x = a2+b2+c2+d2 è vero (“teorema dei 4 quadrati”) Più esattamente andrebbe scritto: ∀x ∃a,b,c,d | x = a2+b2+c2+d2 ∃ e ∀ sono chiamati “operatori di quantificazione”, e sono ben diversi da or, and e not La parte della logica che tratta solo degli operatori or, and e not si chiama calcolo proposizionale Aggiungendo gli operatori di quantificazione, si ha il calcolo dei predicati (che è molto più complesso)
- 13. Tautologie e Contraddizioni Tautologia Una espressione logica che è sempre vera, per qualunque combinazione di valori delle variabili. Nella tabella della verità risulta sempre 1 Esempio: principio del “terzo escluso”: A or not A (tertium non datur, non si dà un terzo caso tra l’evento A e la sua negazione) Contraddizione Una espressione logica che è sempre falsa, per qualunque combinazione di valori delle variabili. Nella tabella della verità risulta sempre 0 Esempio: principio di “non contraddizione”: A and not A (l’evento A e la sua negazione non possono essere entrambi veri)
- 14. Equivalenza tra espressioni Due espressioni logiche si dicono equivalenti (e si indica con ⇔) se hanno la medesima tabella di verità. La verifica è algoritmica. Per esempio: AB not A and not B ⇔ not (A or B) 00 not 0 = 1 01 1 and 0 = 0 not 1 = 0 10 0 and 1 = 0 not 1 = 0 11 1 and 1 = 1 0 and 0 = 0 not 1 = 0 Espressioni logiche equivalenti modellano gli stessi stati di verità a fronte delle medesime variabili
- 15. Proprietà dell’algebra di Boole L’algebra di Boole gode di svariate proprietà, formulabili sotto specie di identità (cioè formulabili come equivalenze tra espressioni logiche, valide per qualunque combinazione di valori delle variabili) Esempio celebre: le “Leggi di De Morgan” not (A and B) not (A or B) = not A or not B = not A and not B (1a legge) (2a legge)
- 16. Proprietà dell’algebra di Boole Alcune proprietà somigliano a quelle dell’algebra numerica tradizionale: Proprietà associativa: A or (B or C) = (A or B) or C (idem per AND) Proprietà commutativa: A or B = B or A (idem per AND) Proprietà distributiva di AND rispetto a OR: A and (B or C) = A and B or A and C … e altre ancora Ma parecchie altre sono alquanto insolite… Proprietà distributiva di OR rispetto a AND: A or B and C = (A or B) and (A or C) Proprietà di assorbimento (A assorbe B): A or A and B = A Legge dell’elemento 1: not A or A = 1 … e altre ancora
- 17. Uso delle proprietà Trasformare un’espressione logica in un’altra, differente per aspetto ma equivalente: = = = = = = not A and B or A = (assorbimento) not A and B or (A or A and B) = (togli le parentesi) not A and B or A or A and B = (commutativa) not A and B or A and B or A = (distributiva) (not A or A) and B or A = (legge dell’elemento 1) VERO and B or A = (vero and B = B) B or A è più semplice dell’espressione originale ! Si verifichi l’equivalenza con le tabelle di verità! Occorre conoscere un’ampia lista di proprietà e si deve riuscire a “vederle” nell’espressione (qui è il difficile)