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計算機理論入門03
- 1. 計算機理論入門 3
2012 年度後期
垂水共之
tarumi@ems.okayama-u.ac.jp
20121003
20121017 講義終了後、誤植を修正
- 2. 2 進数、 8 進数、 10 進数、 16 進数
• 10 進数
– ０から９まで 10 種類の「文字」を使い
１０のベキ乗で位取り
例１） １ ２ ３ ＝ １ × １０２ ＋ ２ × １０１ ＋ ３ × １００
↑ ↑ ↑
10 ２ 10 １ 10 ０
の の の （例２） １ ０ １ ＝ １ × ２ ＋ ０ × ２ ＋ １ × ２
２ １
位 位 位 ↑ ↑ ↑ ＝ ４ ＋ ０ ＋ １
２２ ２１ ２０
の の の
位 位 位
• ２進数
– ０と１の 2 種類の「文字」を使い
２のベキ乗で位取り
– 電気の Off 、 On に対応して０，１
– ビット (bit) ０，１の 2 つの状態しか取れない情
報の単位
- 3. 進数表記
• １０１
– 10 進数？
– ２ 進数？
• １０１ (10)
• １０１ (2)
• ああ
- 4. １０進２進変換（その１ 整数の場合）
• 2 進数 to １０進数
– （位取り）２進数の各桁に２の対応するベキ乗をかけて加える
ｂｎ ｂｎ－１…ｂ２ ｂ１ ｂ０
＝ ｂｎ × ２ｎ＋ｂｎ－１ × ２ｎ－１＋…＋ｂ２ × ２２＋ｂ１ × ２１＋ｂ０ × ２０
ここにｂｎ，ｂｎ－１，…，ｂ２，ｂ１，ｂ０は０か１．
• 10 進数 to ２進数
– １０進数の値を２で割ってその余りを，商が０になるまで求め
て行く
– 上の式の両辺を２で割れば、 1 桁右にずれて
ｂｎ ｂｎ－１…ｂ２ ｂ１ ｂ０ ÷ ２
＝ ｂｎ ｂｎ－１…ｂ２ ｂ１ 余り ｂ０
ｂｎ × ２ｎ ＋ｂｎ－１ × ２ｎ－１＋…＋ｂ２ × ２２＋ｂ１ × ２１＋ｂ０ × ２０ ÷ ２
＝ ｂｎ × ２ｎ－１＋ｂｎ－１ × ２ｎ－２＋…＋ｂ２ × ２１＋ｂ１ × ２０
余り ｂ０
- 5. ａ０を与えられた１０進数としたとき，
ａ１ ＝ ａ０ ÷ ２ ＋ ｂ０
ａ２ ＝ ａ１ ÷ ２ ＋ ｂ１
：
ａｎ ＝ ａｎ－１ ÷ ２ ＋ ｂｎ－１
ａｎ＋１ ＝ ａｎ ÷ ２ ＋ ｂｎ
ここに ｂｉ（ｉ＝０，１，…，ｎ）は０か１，ａｎ＋１＝０ とする。
このとき，
ａ０（１０）＝ｂｎ ｂｎ－１ …ｂ２ ｂ１ ｂ０（２）
となる。
- 6. 例 3 10 進数の１２３を 2 進数へ変換
２）１２３
２）６１ ．．．１（＝ｂ０）
２）３０ ．．．１（＝ｂ１）
２）１５ ．．．０（＝ｂ２）
２）７ ．．．１（＝ｂ３）
２）３ ．．．１（＝ｂ４）
２）１ ．．．１（＝ｂ５）
０ ．．．１（＝ｂ６）
よって １２３（１０） ＝ １１１１０１１（２）
- 7. １０進２進変換（その２ 純小数 （整数部の無い）
の場合）
• ２進数から１０進数に変換するには，下のように２進数
の各桁に２の対応するベキ乗をかけて加えればよい。一
般には次式で表される。
０．ｂ－１ｂ－２ｂ－３……………（２）
＝ ｂ－１ × ２－１＋ｂ－２ × ２－２＋ｂ－３ × ２－３……………（１０）
ここにｂ -1 ，ｂ -2 ，…，ｂ -(n-1) ，ｂ -n は０か１
• この式の両辺を２倍すると小数点の位置が一桁右にずれ
ｂ－１．ｂ－２ｂ－３……………（２）
＝ ｂ－１＋ｂ－２ × ２－１＋ｂ－３ × ２－２……………（１０）
• となり、整数部にｂ－１が浮かび上がってくる。整数部の
ｂ－１を横に置いて、
０．ｂ－２ｂ－３……………（２）
＝ ｂ－２ × ２－１＋ｂ－３ × ２－２……………（１０）
- 8. （例４） ０．１ （１０） を２進数に変換する。
０．１
× ２
｜－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ ０．２
｜ × ２
｜｜－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ ０．４
｜｜ × ２
｜｜｜－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ ０．８
｜｜｜ × ２
｜｜｜｜－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ １．６
｜｜｜｜ × ２
｜｜｜｜｜－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ １．２
｜｜｜｜｜ × ２
｜｜｜｜｜｜－－－－－－－－－－－－－－－－－－ ０．４
↓↓↓↓↓↓
０．０００１１０……………
• 以下同様に行えば、 0011 が繰り返す循環小数とな
る
０．１（１０） ＝ ０．０００１１（２）
- 10. 8 進数、 16 進数
• １０進数を２進数に変換すると，桁数が多くる。
• このため３個ずつ区切って８進数（２３＝８）で表現す
ることも多い。
（例５） １ | １１１ | ０１１（２） ＝ １７３（８）
＝ １ × ８２＋７ × ８１＋３ × ８０
• 近年は別の理由から４個づつ対応させて１６進数（２４
＝１６）で表現することが多い。
– １６進数では１つの桁を表すのに１６種類の文字がいるので，
０，１，…，９，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆを用いている。
（例６） １１１ | １０１１（２） ＝ ７Ｂ（１６）
＝ ７ × １６１＋１３ × １６０
- 11. 進数変換
１０進数 ２進数 ８進数 １６進数
０ ００００ ００ ０ • 【注意】８進数、１
１ ０００１ ０１ １ ６進数に変換する場
２ ００１０ ０２ ２
３ ００１１ ０３ ３
合、２進数を経由し
４ ０１００ ０４ ４ なくてもよい。
５ ０１０１ ０５ ５ • １０進２進の変換方
６ ０１１０ ０６ ６
７ ０１１１ ０７ ７ 法で２をかけたり、
８ １０００ １０ ８ ２で割ったりすると
９ １００１ １１ ９ ころで、２の代わり
１０ １０１０ １２ Ａ
１１ １０１１ １３ Ｂ に８、または１６を
１２ １１００ １４ Ｃ 用い、余り、または
１３ １１０１ １５ Ｄ 整数部を取り出せば
１４ １１１０ １６ Ｅ
１５ １１１１ １７ Ｆ よい。
- 12. ビット、バイト、語
• ビット（ｂｉｔ）
– 計算機の最小記憶単位であり，１ビットで０，１の２種類の状
態を表現する。
• バイト（Ｂｙｔｅ）
– 文字の記憶単位であり，昔の計算機では１つの文字を表現する
のに６ビットを用いるものが多かったが，近年の計算機では１
つの文字を表現するのに８ビット又は９ビットを用いている。
これをバイトという。
• ニブル（ nibble ）
– 最近は１Ｂ＝８ bits のマシンが増え、 16 進数で表現する機会が
増えてきた。このため 16 進数一桁に対応する 4bits を「ニブル
」という。
- 13. • 語 word
– 数値の記憶単位であり，そのビット数は機種によりまちまちで
ある。近年のマイコンを除き次のような数の機種がある。
– １語 ＝ １６ビット
– ＝ ３２
– ＝ ３６
– ＝ ４８
– ＝ ６０
– 以前は小型，中型では１６ビット（＝２バイト）、大型では３
２ビット（＝４バイト）以上と分かれていたが、近年では３２
ビットが普通になった。昨年あたりから６４ビットが普及し始
めている。
– 以下の例では１バイト＝８ビット，１語＝１６ビット＝２バイ
トで述べることが多い。
- 14. 数値の表現形式
• 数値の記憶単位である「語」の中に、実際の値をどのよ
うに格納するか、それが「数値の表現形式」である。
– 固定小数点形式 fixed binary
– 浮動小数点形式 flowting binary
– 10 進数形式 BCD = binary coded decimal
• よく用いられるのは上の２つ、固定小数点形式と浮動小
数点形式である。
- 15. 固定小数点形式 fixed binary
• 小数点の位置が固定された表現形式
‥‥通常，最右桁の次に小数点の位置を仮定する‥‥
であり，通常整数値に用いる。
（例１） ７の固定小数点表現
０００００００００００００１１１
↑
ここに小数点を仮定する
- 16. 浮動小数点形式 flowting binary
• 固定小数点形式では小数点の位置が固定されているため
通常の実数（少数）を表現できない。
• このため１０進数の精度表現で用いたように
１５００ と ０ . １５ × １０ 4
小数と１０のベキ乗の積という形と似た形式で表現する
のが浮動小数点形式である。計算機では１０のベキ乗と
は限らず一般には
０．ｍ 1 ｍ 2 ・・・ × ｂｅ 1 ｅ 2 ・・・
（例えば，０．１１０１ (2) × ２ 11(2) ＝ １１０．１ (2) ＝ ６
．５ (10) ）
という形式で表す。ここで
ｍ 1 ｍ 2 ・・・ の部分を〈仮数部〉，
ｅ 1 ｅ 2 ・・・
の部分を〈指数部〉，
ｂ を〈底〉という。
- 19. 符号付き絶対値表現
• １語を構成するｂｉｔ列のうち，特定のビットが符号を
表すことにする。
• 通常第０ビットを符号に用い，オフ（０）のとき 正
又は 零，オン（１）のとき 負を表す。
• 残りのビットは符号を除いた絶対値を固定小数点形式で
表現する。
（例１） １０（１０） ＝ ００００００００００００１０１０（２）
↑
正
－１０（１０） ＝１０００００００００００１０１０（２）
↑
負
- 20. 下駄上げ表現
• 負数の表現形式の一つとして、「下駄はかせ」の方式が
ある。いわゆるテストの点数に下駄を履かせて成績を付
けるやつである。テストの点数の場合には０点から１０
０点までの値しかなく、下駄を例えば３０点とすれば、
テストの生点に３０点加えたものが成績の点数になる。
• 計算機の値の表現の場合も考え方は同じで、表現したい
生の値に「下駄」の値を加えた値を，内部的に表現する
ことにする。「下駄」の値としては最左端ビットだけを
１にしたもの（１語ｎビットの場合 ２ n-1 ）を用いるの
が普通である。
- 21. 下駄上げ表現（つづき）
１００ (10) ＝１１００１００ (2) をあらわす場合、
０００００００００１１００１００
＋）１０００００００００００００００ ( 下駄 )
１００００００００１１００１００
－１００ (10) では
１０００００００００００００００ ( 下駄 )
－）０００００００００１１００１００
０１１１１１１１１００１１１００
• 結果的に最左端ビットが符号を表すことになり、０
の時負、１の時正の値を表す。
• この下駄上げ表現は「浮動小数点」の「指数部」
の表現として使われることが多い。
- 22. ２の補数表現
• 与えられた負数の絶対値を固定小数点表現したものを，
各ビットの０，１を反転し（“１の補数”という），
その値に１を加える（“２の補数”という）
• これを，与えられた負数の表現形式とするものであり，
結果として第０ビットが符号を表す。
（例２） －１０（１０）の“２の補数表現”
絶対値 （＋１０（１０）） ００００００００００００１０１０
ビット反転（１の補数） １１１１１１１１１１１１０１０１
１加える （２の補数） １１１１１１１１１１１１０１１０
• 負数の絶対値の求め方
与えられた負数 １１１１１１１１１１１１０１１０
ビット反転 ００００００００００００１００１
１加える ００００００００００００１０１０
- 25. 練習問題
• 問１ 10 進数の１２３．６７５を 2 進数、 8 進数、 16
進数に変換しよう。
• 問２ 10 進数のー１２３を 2 進数、 8 進数、 16 進数に
変換しよう。
• 問３ なぜ ２の補数表現，１の補数表現と呼ばれるか
浮動小数点の仮数部に適用して考えよ。
• 問４ １語のビット数をｎとしたとき符号つき絶対値表
現，２の補数表現とでは，各々どのような値の範囲を表
現できるか？
- 26. 単位 ＫＭＧＴＰＥ
• 計算機では２進数が使われるため、２の巾乗で数えるこ
とが多い。２の１０乗が１０２４と１０００に近いため
、計算機の世界では２ 10 を１Ｋ（キロ）として取り扱う
。すなわち、
１Ｋ（キ ロ） ＝ ２１０ ＝ ２１０ （千）
１Ｍ（メ ガ） ＝ ２１０Ｋ ＝ ２２０ （百万）
１Ｇ（ギ ガ） ＝ ２１０Ｍ ＝ ２３０ （十億）
１Ｔ（テ ラ） ＝ ２１０Ｇ ＝ ２４０ （一兆）
１Ｐ（ペ タ） ＝ ２１０Ｔ ＝ ２５０ （千兆）
１Ｅ（エクサ） ＝ ２１０Ｐ ＝ ２６０ （百京）
- 28. 32bits 単精度
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
符 指数部（ 8 ビット） 仮数部（ 23 ビット、ケチ表現）
号
• 指数部
– 下駄 01111111
– 1 ～ 254
– 0 のとき、仮数部０であればゼロ
– 255 のとき、無限大（仮数部０）、または NaN （仮数部 非
０）
• 仮数部
– 絶対値表現
– 1.xxxx に正規化し、頭の１は記録しない
64bits 倍精度 128bits4 倍精度
指数部 11 ビット 指数部 15 ビット
仮数部 52 ビット 仮数部 112 ビット
- 29. 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
符
指数部（ 8 ビット） 仮数部（ 23 ビット、ケチ表現）
号
3 F 8 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3F800000 10 進数に直すと？
10 進数の -118.625 はどんなビット配列になるかな？
