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11X1 T14 06 derivative times function

N
Nigel Simmons

该文档涉及一些微积分和积分的计算，包括函数的导数和不定积分的设备示例。主要讨论了特定形式的函数以及如何通过积分计算这些函数的值。文中还通过各种计算例子演示了基本的积分技巧和方法。

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 f  x  f  x  dx n
 f  x  f  x  dx n  f  x n1  c  f  x  f  x  dx  n n 1
 f  x  f  x  dx n  f  x n1  c  f  x  f  x  dx  n n 1 e.g. i  a) Find d dx  1 x  3
 f  x  f  x  dx n  f  x n1  c  f  x  f  x  dx  n n 1 e.g. i  a) Find d dx  1 x  3   1  x 3  1  x 3  2  3 x 2  1 d 1  dx 2  3x 2  2 1  x3
x2 b) Hence find;  1 x 3 dx
x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx
x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3
x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx
x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx 1   2 x 2  x 2 dx 2
x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx 1   2 x 2  x 2 dx 2   2  x 2 2  c 3 1 2 2 3
x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx 1   2 x 2  x 2 dx 2   2  x 2 2  c 3 1 2 2 3  2  x 2  2  x 2  c 1 3
x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx 1   2 x 2  x 2 dx 2   2  x 2 2  c 3 1 2 2 3  2  x 2  2  x 2  c 1 3
x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2 1   2 x 2  x 2 dx 2   2  x 2 2  c 3 1 2 2 3  2  x 2  2  x 2  c 1 3
x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2 1 du   2 x 2  x 2 dx  2x 2 dx du  2 xdx   2  x 2 2  c 3 1 2 2 3  2  x 2  2  x 2  c 1 3
x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2 1 du   2 x 2  x 2 dx u  2x 2 dx du  2 xdx   2  x 2 2  c 3 1 2 2 3  2  x 2  2  x 2  c 1 3
x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2 1 du   2 x 2  x 2 dx 1 u  2x 2 du dx 2 du  2 xdx   2  x 2 2  c 3 1 2 2 3  2  x 2  2  x 2  c 1 3
x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2 1 du   2 x 2  x 2 dx 1 u  2x 2 du dx 2 du  2 xdx   2  x 2 2  c 3 1 2 1 1 2 2 3   u du 2  2  x 2  2  x 2  c 1 3
x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2 1 du   2 x 2  x 2 dx 1 u  2x 2 du dx 2 du  2 xdx   2  x 2 2  c 3 1 2 1 1 2 2 3   u du 2  2  x 2  2  x 2  c 1 1 2 2 3 3   u c 2 3
x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2 1 du   2 x 2  x 2 dx 1 u  2x 2 du dx 2 du  2 xdx   2  x 2 2  c 3 1 2 1 1 2 2 3   u du 2  2  x 2  2  x 2  c 1 1 2 2 3 3   u c 2 3  2  x 2  2  x 2  c 1 3
1 x2 iii  dx 0 x 3  2 3
1 x2 iii  dx 0 x 3  2 3 1 1 3x 2   dx 3 0 x  2  3 3
1 x2 iii  dx 0 x 3  2 3 1 1 3x 2   dx 3 0 x  2  3 3 1   3 x x  2  dx 1 2 3 3 30
1 x2 iii  dx 0 x 3  2 3 1 1 3x 2   dx 3 0 x  2  3 3 1   3 x x  2  dx 1 2 3 3 30 1 3 6    x  2  0 2 1 
1 x2 iii  dx 0 x 3  2 3 1 1 3x 2   dx 3 0 x  2  3 3 1   3 x x  2  dx 1 2 3 3 30 1 3 6    x  2  0 2 1  1 1 1     2 6  1  2   2 1  8
1 1 x 2 x2 iii  dx  x dx  2 OR 0 x 3  2 3 0 3 3 1 1 3x 2   dx 3 0 x  2  3 3 1   3 x x  2  dx 1 2 3 3 30 1 3 6    x  2  0 2 1  1 1 1     2 6  1  2   2 1  8
1 1 x 2 x2 u  x3  2 iii  dx  x dx  2 OR 0 x 3  2 3 0 3 3 du  3 x 2 dx 1 1 3x 2   dx 3 0 x  2  3 3 1   3 x x  2  dx 1 2 3 3 30 1 3 6    x  2  0 2 1  1 1 1     2 6  1  2   2 1  8
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1 1 x 2 x2 u  x3  2 iii  dx  x dx  2 OR 0 x 3  2 3 0 3 3 du  3 x 2 dx 1 x  0, u  2 1 1 3x 2 1 3   dx   u du 3 0 x  2  3 3 3 2 x  1, u  1 1   3 x x  2  dx 1 2 3 3 30 1 3 6    x  2  0 2 1  1 1 1     2 6  1  2   2 1  8
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1 1 x 2 x2 u  x3  2 iii  dx  x dx  2 OR 0 x 3  2 3 0 3 3 du  3 x 2 dx 1 x  0, u  2 1 1 3x 2 1 3   dx   u du 3 0 x  2  3 3 3 2 x  1, u  1   u  2 1   3 x x  2  dx 1 2 3 3 1  2 1 30 6 6    x  2  0 1 3 2 1  1 1   2  1  2 6  1  2   1 1 1  1    2  6  1  2   2 8 1  8
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11X1 T14 06 derivative times function

  • 1. f  x  f  x  dx n
  • 2. f  x  f  x  dx n  f  x n1  c  f  x  f  x  dx  n n 1
  • 3. f  x  f  x  dx n  f  x n1  c  f  x  f  x  dx  n n 1 e.g. i  a) Find d dx  1 x  3
  • 4. f  x  f  x  dx n  f  x n1  c  f  x  f  x  dx  n n 1 e.g. i  a) Find d dx  1 x  3   1  x 3  1  x 3  2  3 x 2  1 d 1  dx 2  3x 2  2 1  x3
  • 5. x2 b) Hence find;  1 x 3 dx
  • 6. x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx
  • 7. x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3
  • 8. x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx
  • 9. x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx 1   2 x 2  x 2 dx 2
  • 10. x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx 1   2 x 2  x 2 dx 2   2  x 2 2  c 3 1 2 2 3
  • 11. x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx 1   2 x 2  x 2 dx 2   2  x 2 2  c 3 1 2 2 3  2  x 2  2  x 2  c 1 3
  • 12. x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx 1   2 x 2  x 2 dx 2   2  x 2 2  c 3 1 2 2 3  2  x 2  2  x 2  c 1 3
  • 13. x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2 1   2 x 2  x 2 dx 2   2  x 2 2  c 3 1 2 2 3  2  x 2  2  x 2  c 1 3
  • 14. x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2 1 du   2 x 2  x 2 dx  2x 2 dx du  2 xdx   2  x 2 2  c 3 1 2 2 3  2  x 2  2  x 2  c 1 3
  • 15. x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2 1 du   2 x 2  x 2 dx u  2x 2 dx du  2 xdx   2  x 2 2  c 3 1 2 2 3  2  x 2  2  x 2  c 1 3
  • 16. x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2 1 du   2 x 2  x 2 dx 1 u  2x 2 du dx 2 du  2 xdx   2  x 2 2  c 3 1 2 2 3  2  x 2  2  x 2  c 1 3
  • 17. x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2 1 du   2 x 2  x 2 dx 1 u  2x 2 du dx 2 du  2 xdx   2  x 2 2  c 3 1 2 1 1 2 2 3   u du 2  2  x 2  2  x 2  c 1 3
  • 18. x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2 1 du   2 x 2  x 2 dx 1 u  2x 2 du dx 2 du  2 xdx   2  x 2 2  c 3 1 2 1 1 2 2 3   u du 2  2  x 2  2  x 2  c 1 1 2 2 3 3   u c 2 3
  • 19. x2 b) Hence find;  1 x 3 dx x2 2  3x 2  1 x 3 dx    3 2 1 x 3 dx 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR  x 2  x 2 dx u  2  x2 1 du   2 x 2  x 2 dx 1 u  2x 2 du dx 2 du  2 xdx   2  x 2 2  c 3 1 2 1 1 2 2 3   u du 2  2  x 2  2  x 2  c 1 1 2 2 3 3   u c 2 3  2  x 2  2  x 2  c 1 3
  • 20. 1 x2 iii  dx 0 x 3  2 3
  • 21. 1 x2 iii  dx 0 x 3  2 3 1 1 3x 2   dx 3 0 x  2  3 3
  • 22. 1 x2 iii  dx 0 x 3  2 3 1 1 3x 2   dx 3 0 x  2  3 3 1   3 x x  2  dx 1 2 3 3 30
  • 23. 1 x2 iii  dx 0 x 3  2 3 1 1 3x 2   dx 3 0 x  2  3 3 1   3 x x  2  dx 1 2 3 3 30 1 3 6    x  2  0 2 1 
  • 24. 1 x2 iii  dx 0 x 3  2 3 1 1 3x 2   dx 3 0 x  2  3 3 1   3 x x  2  dx 1 2 3 3 30 1 3 6    x  2  0 2 1  1 1 1     2 6  1  2   2 1  8
  • 25. 1 1 x 2 x2 iii  dx  x dx  2 OR 0 x 3  2 3 0 3 3 1 1 3x 2   dx 3 0 x  2  3 3 1   3 x x  2  dx 1 2 3 3 30 1 3 6    x  2  0 2 1  1 1 1     2 6  1  2   2 1  8
  • 26. 1 1 x 2 x2 u  x3  2 iii  dx  x dx  2 OR 0 x 3  2 3 0 3 3 du  3 x 2 dx 1 1 3x 2   dx 3 0 x  2  3 3 1   3 x x  2  dx 1 2 3 3 30 1 3 6    x  2  0 2 1  1 1 1     2 6  1  2   2 1  8
  • 27. 1 1 x 2 x2 u  x3  2 iii  dx  x dx  2 OR 0 x 3  2 3 0 3 3 du  3 x 2 dx x  0, u  2 1 1 3x 2   dx 3 0 x  2  3 3 x  1, u  1 1   3 x x  2  dx 1 2 3 3 30 1 3 6    x  2  0 2 1  1 1 1     2 6  1  2   2 1  8
  • 28. 1 1 x 2 x2 u  x3  2 iii  dx  x dx  2 OR 0 x 3  2 3 0 3 3 du  3 x 2 dx 1 x  0, u  2 1 1 3x 2 1 3   dx   u du 3 0 x  2  3 3 3 2 x  1, u  1 1   3 x x  2  dx 1 2 3 3 30 1 3 6    x  2  0 2 1  1 1 1     2 6  1  2   2 1  8
  • 29. 1 1 x 2 x2 u  x3  2 iii  dx  x dx  2 OR 0 x 3  2 3 0 3 3 du  3 x 2 dx 1 x  0, u  2 1 1 3x 2 1 3   dx   u du 3 0 x  2  3 3 3 2 x  1, u  1   u  2 1   3 x x  2  dx 1 2 3 3 1  2 1 30 6 1 3 6    x  2  0 2 1  1 1 1     2 6  1  2   2 1  8
  • 30. 1 1 x 2 x2 u  x3  2 iii  dx  x dx  2 OR 0 x 3  2 3 0 3 3 du  3 x 2 dx 1 x  0, u  2 1 1 3x 2 1 3   dx   u du 3 0 x  2  3 3 3 2 x  1, u  1   u  2 1   3 x x  2  dx 1 2 3 3 1  2 1 30 6 6    x  2  0 1 3 2 1  1 1   2  1  2 6  1  2   1 1 1  1    2  6  1  2   2 8 1  8
  • 31. 1 1 x 2 x2 u  x3  2 iii  dx  x dx  2 OR 0 x 3  2 3 0 3 3 du  3 x 2 dx 1 x  0, u  2 1 1 3x 2 1 3   dx   u du 3 0 x  2  3 3 3 2 x  1, u  1   u  2 1   3 x x  2  dx 1 2 3 3 1  2 1 30 6 6    x  2  0 1 3 2 1  1 1   2  1  2 6  1  2   1 1 1  1    2  6  1  2   2 8 1  8 Exercise 11H; 1, 3, 5, 7ace etc, 8bdf,9 11*