Διαγώνισμα επαναληπτικό στο Κεφάλαιο 2ο: Διαφορικός Λογισμός (edit 3)
1 like10,269 views
Επιμέλεια: Θοδωρής Παγώνης αποκλειστικά για το lisari.blogspot.gr
Διαγώνισμα επαναληπτικό στο Κεφάλαιο 2ο: Διαφορικός Λογισμός (edit 3)
- 1. ΑΡΧΗ 1ης ΑΠΟ 4 ΕΛΙΔΕ ΣΕΛΟ 1ης ΑΠΟ 4 ΕΛΙΔΕ Γ΄ ΤΑΞΗ Θεόδωξνο Παγώλεο Μαζεκαηηθόο e-mail:theomath@yahoo.gr ΓΗΑΓΩΝΗΜΑ Γ΄ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΤΡΗΑΚΖ 4 ΜΑΡΣΗΟΤ 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ- ΠΟΤΓΩΝ ΟΗΚΟΝΟΜΗΑ ΚΑΗ ΠΛΖΡΟΦΟΡΗΚΖ ΤΝΟΛΟ ΔΛΗΓΩΝ: ΣΔΔΡΗ (4) ΘΔΜΑ A A1. Να απνδείμεηε όηη, γηα κηα ζπλάξηεζε f ε νπνία είλαη ζπλερήο ζε έλα δηάζηεκα Δ, αλ ( ) 0 f x ζε θάζε εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ Δ, ηόηε ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζε όιν ην Δ. Μονάδες 5 A2. Να δηαηππώζεηε ην ζεώξεκα κέζεο ηηκήο (Θ.Μ.Τ.) θαη λα δώζεηε ηελ γεωκεηξηθή ηνπ εξκελεία. Μονάδες 5 A3. Πόηε ιέκε όηη κηα ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ ην παξνπζηάδεη ζην 0 x ηνπηθό κέγηζην; Μονάδες 5 A4. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ, γξάθνληαο ζην ηεηξάδην ζαο δίπια ζην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηαζε ηελ ιέμε ωζηό, αλ ε πξόηαζε είλαη ζωζηή ή Λάθος αλ ε πξόηαζε είλαη ιαλζαζκέλε. α. Έλα ηνπηθό κέγηζην είλαη πάληα κεγαιύηεξν από έλα ηνπηθό ειάρηζην. β. Αλ κηα ζπλάξηεζε f δελ είλαη παξαγωγίζηκε ζε έλα ζεκείν ηνπ πεδίν νξηζκνύ ηεο, ηόηε δελ παξνπζηάδεη ηνπηθό αθξόηαην ζην ζεκείν απηό. http://lisari.blogspot.gr
- 2. ΑΡΧΗ 2ης ΑΠΟ 4 ΕΛΙΔΕ ΣΕΛΟ 2ης ΑΠΟ 4 ΕΛΙΔΕ Γ΄ ΤΑΞΗ Θεόδωξνο Παγώλεο Μαζεκαηηθόο e-mail:theomath@yahoo.gr γ. Μηα ζπλάξηεζε f ε νπνία είλαη ζπλερήο ζε έλα δηάζηεκα Δ θαη παξαγωγίζηκε ζην εζωηεξηθό ηνπ, ζηξέθεη ηα θνίια πξνο ηα άλω ζην Δ, αλ ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην εζωηεξηθό ηνπ Δ. δ. Αλ κηα ζπλάξηεζε f έρεη ζεκείν θακπήο ηόηε νξίδεηαη εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ζεκείν απηό. ε. Αλ 0 0 ( ) ( ) 0lim lim x x x x f x g x θαη νη ζπλαξηήζεηο ,f g είλαη παξαγωγίζηκεο ζε όιν ην πεδίν νξηζκνύ ηνπο, ηόηε 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )lim lim x x x x f x f x g x g x . Μονάδες 10 ΘΔΜΑ Β Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε 2 , 1 ( ) ln 1 , 1 x x f x x ax x x . Αλ ηζρύεη 2 1 ( ) e ae f x e , γηα θάζε 1x , ηόηε: B1. Να δείμεηε όηη 0a . Μονάδες 4 B2. Γηα 0a : i. Να εμεηάζεηε αλ ε f είλαη ζπλερήο θαη παξαγωγίζηκε. Μονάδες 6 ii. Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε f ωο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα. Μονάδες 7 iii. Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε f ωο πξνο ηελ θπξηόηεηα θαη ηα ζεκεία θακπήο ζην δηάζηεκα 1, . Μονάδες 5 iv. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη 2 , e e ηέηνην ώζηε 3 4 1 ( ) f e e . Μονάδες 3
- 3. ΑΡΧΗ 3ης ΑΠΟ 4 ΕΛΙΔΕ ΣΕΛΟ 3ης ΑΠΟ 4 ΕΛΙΔΕ Γ΄ ΤΑΞΗ Θεόδωξνο Παγώλεο Μαζεκαηηθόο e-mail:theomath@yahoo.gr ΘΔΜΑ Γ Δίλεηαη ζπλάξηεζε : 0, f γηα ηελ νπνία ηζρύεη 2 1 ( ) ( ) ( ) f x f x f x x γηα θάζε 0, x θαη ε ζπλάξηεζε 2 ( ) ln ( ) g x x x f x , 0, x κε 2 0 1 0 g x , 2 0 1 1 g x . Γ1. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g είλαη ζηαζεξή. Μονάδες 4 Γ2.Να δείμεηε όηη ν ηύπνο ηεο f είλαη 1 ( ) x x f x e . Μονάδες 8 Γ3. Να βξείηε, αλ ππάξρνπλ, ηηο αζύκπηωηεο ηεο ζπλάξηεζεο f . Μονάδες 4 Γ4. Να βξείηε ηελ εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο fC ζην ζεκείν κε ηεηκεκέλε 0 1x . Μονάδες 4 Γ5. Να ππνινγίζεηε, αλ ππάξρεη, ην όξην ( ) 1 1 1 2 3 lim f x x x xx e e xe e . Μονάδες 5 ΘΔΜΑ Γ Δίλεηαη ζπλερήο ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία ηζρύεη 2 2 2 ( ) 2 ( ) 4ln 1 x f x xf x e x γηα θάζε x θαη (0) 2ln 2f . Γ1. Να απνδείμεηε όηη ( ) 2ln 1 x f x e x , x . Μονάδες 7 Γ2. Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε f ωο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα. Μονάδες 6 Γ3. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη θπξηή ζην . Μονάδες 4
- 4. ΑΡΧΗ 4ης ΑΠΟ 4 ΕΛΙΔΕ ΣΕΛΟ 4ης ΑΠΟ 4 ΕΛΙΔΕ Γ΄ ΤΑΞΗ Θεόδωξνο Παγώλεο Μαζεκαηηθόο e-mail:theomath@yahoo.gr Γ4. Να απνδείμεηε όηη ε εθαπηνκέλε ( ) ηεο fC ζηελ αξρή ηωλ αμόλωλ δηαπέξλα ηελ θακπύιε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f . Μονάδες 4 Γ5.i. Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f . Μονάδες 2 ii. Να απνδείμεηε όηη δελ ππάξρνπλ 1 2, x x ηέηνηα ώζηε 1 2( ) ( ) f x f x . Μονάδες 2 ΚΑΛΖ ΔΠΗΣΤΥΗΑ !!!