20080907 tarskialgorithm matiyasevich_lecture01

Àëãîðèòì Àëüôðåäà Òàðñêîãî

Ãåîìåòðèÿ
Çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå

Ãåîìåòðèÿ
Çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå

Ãåîìåòðèÿ
Çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
Çàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè)

Îáúåêòû:

Îáúåêòû:

òî÷êè

Îáúåêòû:

òî÷êè
ïðÿìûå

Îáúåêòû:

òî÷êè
ïðÿìûå
îêðóæíîñòè

Îáúåêòû:

òî÷êè
ïðÿìûå
...

Îáúåêòû:

òî÷êè
ïðÿìûå
...

Îòíîøåíèÿ:

Îáúåêòû:

òî÷êè
ïðÿìûå
...

Îòíîøåíèÿ:

"Òî÷êà A ëåæèò íà ïðÿìîé l "

Îáúåêòû:

òî÷êè
ïðÿìûå
...

Îòíîøåíèÿ:

"Òî÷êà A ëåæèò íà îêðóæíîñòè O"

Îáúåêòû:

òî÷êè
ïðÿìûå
...

Îòíîøåíèÿ:

"Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäó
òî÷êàìè C è D"

Îáúåêòû:

òî÷êè
ïðÿìûå
...

Îòíîøåíèÿ:

...

Îáúåêòû:

òî÷êè
ïðÿìûå
...

Îòíîøåíèÿ:

"Òî÷êà A ëåæèò íà ïðÿìîé l " , OnLine(A, l )
...

Îáúåêòû:

òî÷êè
ïðÿìûå
...

Îòíîøåíèÿ:

OnLine(A, l )
"Òî÷êà A ëåæèò íà ïðÿìîé l " ,
"Òî÷êà A ëåæèò íà îêðóæíîñòè O" , OnCircle(A, O )
...

Îáúåêòû:

òî÷êè
ïðÿìûå
...

Îòíîøåíèÿ:

OnLine(A, l )
"Òî÷êà A ëåæèò íà ïðÿìîé l " ,
"Òî÷êà A ëåæèò íà îêðóæíîñòè O" , OnCircle(A, O )
òî÷êàìè C è D" , EqDistance(A, B , C , D )
...

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè):

Àêñèîìû:

Àêñèîìû:

"Äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê A è B ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ l , íà êîòîðîé
îáå ýòè òî÷êè ëåæàò":

Àêñèîìû:


∀A∀B ∃l {OnLine(A, l ) & OnLine(B , l )}

Àêñèîìû:



"Åñëè òî÷êè òî÷êè A è B ðàçëè÷íû è îáå ëåæàò íà ïðÿìûõ l è
m, òî ýòè ïðÿìûå ñîâïàäàþò":

Àêñèîìû:



"Åñëè òî÷êè òî÷êè A è B ðàçëè÷íû è îáå ëåæàò íà ïðÿìûõ l è
m, òî ýòè ïðÿìûå ñîâïàäàþò":

∀A∀B ∀l ∀m{A = B & OnLine(A, l ) & OnLine(B , l ) &
& OnLine(A, m) & OnLine(B , m) ⇒ l = m}

...

Òåîðåìà.
Êàêîâû áû íè áûëè òðè ïîïàðíî ðàçëè÷íûå òî÷êè A1 , A2 è A3 ,
ñóùåñòâóþò òî÷êè B1 , B2 , B3 è C è ïðÿìûå l1 , l2 , l3 , m1 , m2 è m3
òàêèå ÷òî

OnLine(A2 , l1 ) & OnLine(A3 , l1 ) & OnLine(B1 , l1 ) &
& OnLine(A1 , l2 ) & OnLine(A1 , l2 ) & OnLine(B2 , l2 ) &
& OnLine(A1 , l3 ) & OnLine(A2 , l3 ) & OnLine(B3 , l3 ) &
& OnLine(A1 , m1 ) & OnLine(B1 , m1 ) & OnLine(C , m1 ) &
& EqDistance(A1 , B2 , B2 , A3 ) &
& EqDistance(A1 , B3 , B3 , A2 )

ßçûê ãåîìåòðèè (íîâàÿ âåðñèÿ):

Îáúåêòû:

Îáúåêòû:

òî÷êè

Îáúåêòû:

òî÷êè
Îòíîøåíèÿ:

Îáúåêòû:

òî÷êè
Îòíîøåíèÿ:

"Òî÷êè A, B è C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé"

Îáúåêòû:

òî÷êè
Îòíîøåíèÿ:

"Òî÷êè A, B è C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé", OnLine(A, B , C )

Îáúåêòû:

òî÷êè
Îòíîøåíèÿ:

"Òî÷êè A è B ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîì â
òî÷êå C "

Îáúåêòû:

òî÷êè
Îòíîøåíèÿ:

òî÷êå C ", OnCircle(A, B , C )

Îáúåêòû:

òî÷êè
Îòíîøåíèÿ:


Îáúåêòû:

òî÷êè
Îòíîøåíèÿ:

òî÷êàìè C è D", EqDistance(A, B , C , D )
...

Òåîðåìà.
Êàêîâû áû íè áûëè òî÷êè A1 , A2 è A3 , ñóùåñòâóþò òî÷êè B1 , B2 , B3
è C òàêèå, ÷òî

A1 = A2 & A1 = A3 & A2 = A3 ⇒
⇒ OnLine(A1 , A2 , B3 ) & OnLine(A2 , A3 , B1 ) & OnLine(A1 , A3 , B2 ) &
& OnLine(A1 , B1 , C ) & OnLine(A2 , B2 , C ) & OnLine(A3 , B3 , C ) &
& EqDistance(A1 , B3 , B3 , A2 )

Òåîðåìà.
Êàêîâû áû íè áûëè ÷èñëà a1, , a1, , a2, , a2, , a3, , a3, , ñóùåñòâóþò
x y x y x y

÷èñëà b1, , b1, , b2, , b2, , b3, , b3, , c è c òàêèå, ÷òî
x y x y x y x y

(a1, = a2, ∨ a1, = a2, )&(a1, = a3, ∨ a1, = a3, )&(a2, = a3, ∨ a2, = a3
x x y y x x y y x x y

⇒ OnLine(a1, , a1, , a2, , a2, , b3, , b3, ) &
x y x y x y

& OnLine(a2, , a2, , a3, , a3, , b1, , b1, ) &
x y x y x y

& OnLine(a1, , a1, , a3, , a3, , b2, , b2, ) &
x y x y x y

& OnLine(a1, , a1, , b1, , b1, , c , c ) &
x y x y x y

& OnLine(a2, , a2, , b2, , b2, , c , c ) &
x y x y x y

& OnLine(a3, , a3, , b3, , b3, , c , c ) &
x y x y x y

& EqDistance(a1, , a1, , b2, , b2, , b2, , b2, , a3, , a3, ) &
x y x y x y x y

& EqDistance(a2, , a2, , b1, , b1, , b1, , b1, , a3, , a3, ) &
x y x y x y x y

& EqDistance(a1, , a1, , b3, , b3, , b3, , b3, , a2, , a2, )
x y x y x y x y

Íåìíîãî àëãåáðû

EqDistance(a x ,a ,b ,b ,c ,c ,d ,d )
y x y x y x y


EqDistance(a x , a , b , b , c , c , d , d ) ⇐⇒
y x y x y x y

⇐⇒ (a − b ) + (a − b )2 = (c − d )2 + (c − d )2
x x
2
y y x x y y


y x y x y x y

⇐⇒ (a − b ) + (a − b )2 = (c − d )2 + (c − d )2
x x
2
y y x x y y

OnLine(a x ,a ,b ,b ,c ,c )
y x y x y


y x y x y x y

⇐⇒ (a − b ) + (a − b )2 = (c − d )2 + (c − d )2
x x
2
y y x x y y

OnLine(a x , a , b , b , c , c ) ⇐⇒ a b +a c +b c −a c −a b −b c = 0
y x y x y x y y x x y x y y x y x

Òåîðåìà.
Êàêîâû áû íè áûëè ÷èñëà a1, , a1, , a2, , a2, , a3, , a3, , ñóùåñòâóþò x y x y x y

÷èñëà b1, , b1, , b2, , b2, , b3, , b3, , c è c òàêèå, ÷òî
x y x y x y x y

(a1, = a2, ∨ a1, = a2, )&(a1, = a3, ∨ a1, = a3, )&
x x y y x x y y

&(a2, = a3, ∨ a2, = a3, ) ⇒
x x y y

⇒ a1, a2, + a1, b3, + a2, b3, − a1, b3, − a1, a2, − a2, b3, = 0 &
x y y x x y x y y x y x

& a2, a3, + a2, b1, + a3, b1, − a2, b1, − a2, a3, − a3, b1, = 0 &

& a1, a3, + a1, b2, + a3, b2, − a1, b2, − a1, a3, − a3, b2, = 0 &

& a1, b1, + a1, c + b1, c − a1, c − a1, b1, − b1, c = 0 &

& a2, b2, + a2, c + b2, c − a2, c − a2, b2, − b2, c = 0 &

& a3, b3, + a3, c + b3, c − a3, c − a3, b3, − b3, c = 0 &

& (a1, − b2, )2 + (a1, − b2, )2 = (b2, − a3, )2 + (b2, − a3, )2 &
x x y y x x y y

& (a2, − b1, ) + (a2, − b1, ) = (b1, − a3, ) + (b1, − a3, )2 &
x x
2
y y
2
x x
2
y y

& (a1, − b3, )2 + (a1, − b3, )2 = (b3, − a2, )2 + (b3, − a2, )2
x x y y x x y y

Áîëüøàÿ Ñîâåòñêàÿ Ýíöèêëîïåäèÿ:

Áîëüøàÿ Ñîâåòñêàÿ Ýíöèêëîïåäèÿ:
Àëãåáðà îäèí èç áîëüøèõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè,
ïðèíàäëåæàùèé íàðÿäó ñ àðèôìåòèêîé è ãåîìåòðèåé ê
÷èñëó ñòàðåéøèõ âåòâåé ýòîé íàóêè. Çàäà÷è, à òàêæå
ìåòîäû àëãåáðû, îòëè÷àþùèå åå îò äðóãèõ îòðàñëåé
ìàòåìàòèêè, ñîçäàâàëèñü ïîñòåïåííî, íà÷èíàÿ ñ äðåâíîñòè.
Àëãåáðà âîçíèêëà ïîä âëèÿíèåì íóæä îáùåñòâåííîé
ïðàêòèêè, è â ðåçóëüòàòå ïîèñêà îáùèõ ïðèåìîâ äëÿ
ðåøåíèÿ îäíîòèïíûõ àðèôìåòè÷åñêèõ çàäà÷. . . .

Ìàòåìàòè÷åñêèé Ýíöèêëîïåäè÷åñêèé Ñëîâàðü:

ÀËÃÅÁÐÀ

ÀËÃÅÁÐÀ
1. ÷àñòü ìàòåìàòèêè. Â ýòîì ïîíèìàíèè òåðìèí
Àëãåáðà óïîòðåáëÿåòñÿ â òàêèõ ñî÷åòàíèÿõ, êàê
ãîìîëîãè÷åñêàÿ àëãåáðà, êîììóòàòèâíàÿ àëãåáðà,
ëèíåéíàÿ àëãåáðà, òîïîëîãè÷åñêàÿ àëãåáðà. . . .

ÀËÃÅÁÐÀ
2. Àëãåáðà íàä ïîëåì P, íàç. òàêæå ë è í å é í î é
à ë ã å á ð î é. Àëãåáðà â ýòîì ñìûñëå åñòü êîëüöî, â
êîòîðîì îïðåäåëåíî óìíîæåíèå ýëåìåíòîâ íà íà
ýëåìåíòû èç P, óäîâëåòâîðÿþùåå åñòåñòâåííûì
àêñèîìàì . . .

ÀËÃÅÁÐÀ
2. Àëãåáðà íàä ïîëåì P, íàç. òàêæå ë è í å é í î é
à ë ã å á ð î é. Àëãåáðà â ýòîì ñìûñëå åñòü êîëüöî, â
êîòîðîì îïðåäåëåíî óìíîæåíèå ýëåìåíòîâ íà íà
ýëåìåíòû èç P, óäîâëåòâîðÿþùåå åñòåñòâåííûì
àêñèîìàì . . .
3. Òî æå, ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ àëãåáðà.

??? ???? ???:
Àëãåáðà ýòî àðèôìåòèêà äëÿ ëåíòÿåâ

??? ???? ???:
Àëãåáðà ýòî àðèôìåòèêà äëÿ ëåíòÿåâ

Àëãåáðà ýòî ãåîìåòðèÿ äëÿ ëåíòÿåâ

ßçûê A
îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, 2,-3,5/7,-451/53,. . .

ßçûê A
îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë
ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

ßçûê A
ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, a, b , c , . . . , a1 , b2 , x6 , . . .

ßçûê A
îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

ßçûê A
îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ, ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîÿòñÿ
ìíîãî÷ëåíû

ßçûê A
îòíîøåíèÿ =, ,

ßçûê A
îòíîøåíèÿ =, , , ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîÿòñÿ ýëåìåíòàðíûå
ôîðìóëû

ßçûê A
ôîðìóëû:
åñëè P è Q ìíîãî÷ëåíû, òî P = Q, P Q, P Q
ýëåìåíòàðíûå ôîðìóëû

ßçûê A
ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè

ßçûê A
ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè (è), ∨ (èëè), ¬ (íå), =⇒ (åñëè . . . ,
òî . . . )

ßçûê A
òî . . . ) , ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîÿòñÿ ôîðìóëû

ßçûê A
òî . . . ) , ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:
åñëè Φ è Ψ ôîðìóëû, òî (Φ Ψ) , (Φ ∨ Ψ), ¬Φ, (Φ =⇒ Ψ)
òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

ßçûê A
òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè.

x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y (∗)

ßçûê A

x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y (∗)

Âåðíî ëè (∗)?

ßçûê A

x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y (∗)

Âåðíî ëè (∗) ïðè x = 4, y = 5?

ßçûê A

x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y (∗)

Âåðíî ëè (∗) ïðè ëþáûõ x , y ?

ßçûê A

x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y (∗)

Ñóùåñòâóþò ëè x , y òàêèå, ÷òî âûïîëíåíî (∗)?

ßçûê A

x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y (∗)

Âåðíî ëè, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ñóùåñòâóåò y òàêîå, ÷òî
âûïîëíåíî (∗)?

ßçûê A
òî . . . )

êâàíòîðû

ßçûê A
òî . . . )

êâàíòîðû ∀ (äëÿ âñåõ), ∃ (ñóùåñòâóåò)

ßçûê A
òî . . . )

êâàíòîðû ∀ (äëÿ âñåõ), ∃ (ñóùåñòâóåò), ñ èõ ïîìîùüþ
ñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:
åñëè Φ ôîðìóëà, à α ïåðåìåííàÿ, òî ∀α{Φ}, ∃α{Φ}

ßçûê A
òî . . . )

x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y (∗)

ßçûê A
òî . . . )

x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y (∗)

∀x ∀y {x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y }

ßçûê A
òî . . . )

x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y (∗)

ßçûê A
òî . . . )

x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y (∗)

∃x ∃y {x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y }

ßçûê A
òî . . . )

x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y (∗)

ßçûê A
òî . . . )

x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y (∗)

∀x ∃y {x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y }

ßçûê A
òî . . . )

x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y (∗)

∀x ∃y {x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y }
∀x {∃y {x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 } ∃y {xy = 3x + 2y }}

ßçûê A
òî . . . )

x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y (∗)

∀x ∃y {x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 xy = 3x + 2y }
∀x {∃y {x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 } ∃y {xy = 3x + 2y }}

∀x {∃y {x 2 y + 4xy 3 (x − y )2 } xy = 3x + 2y }

Òåîðåìà Àëüôðåäà Òàðñêîãî

Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ïîçâîëÿ-
þùèé ïî ëþáîé ôîðìóëå ÿçû-
êà À áåç ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ
óçíàâàòü çà êîíå÷íîå ÷èñëî øà-
ãîâ, ÿâëÿåòñÿ ëè ýòà ôîðìóëà
èñòèííîé.

Àëü-Õîðåçìè Àáó Àáäàëëà Ìóõàììåä áåí Ìóññà

Æèë ïðèìåðíî â 787-850

Æèë ïðèìåðíî â 787-850

Êèòàá àëü-ìóõòàñàð ôè õèñàá àëü-ãàáð â'àëìóêêàáàëëà

ßçûê A:
ôîðìóëû: åñëè P è Q ìíîãî÷ëåíû, òî P = Q, P Q, P Q
ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè (è), ∨ (èëè), ¬ (íå), =⇒ (åñëè ...,
òî ...)

ßçûê A:
òî ...)
ßçûê A (óïðîùåííûé âàðèàíò):

ßçûê A:
òî ...)

ßçûê A:
òî ...)
ôîðìóëû

ßçûê A:
òî ...)
ôîðìóëû:
åñëè P ìíîãî÷ëåí, òî P = 0, P 0, P 0 ýëåìåíòàðíûå
ôîðìóëû

ßçûê A:
òî ...)
ôîðìóëû:
ôîðìóëû
òî ...)

Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ïî ëþáîé ôîðìóëå ÿçûêà À áåç
ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ óçíàâàòü çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ, ÿâëÿåòñÿ
ëè ýòà ôîðìóëà èñòèííîé.


Òðèâèàëüíûé ñëó÷àé áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà


Òðèâèàëüíûé ñëó÷àé áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà

Áàçà èíäóêöèè îäíîêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà, ∃x Φ(x ) èëè ∀x Φ(x )

Îñíîâíàÿ èäåÿ
1 11 11 13 1 1
+ x − x2 − x3 + x4 + x5 = 0
2 20 20 20 20 10

1 11 11 13 1 1
+ x − x2 − x3 + x4 + x5 = 0
2 20 20 20 20 10

2

1

-2 -1 1 2

-1

-2

1 11 11 13 1 1
+ x − x2 − x3 + x4 + x5 0
2 20 20 20 20 10

1 11 11 13 1 1
+ x − x2 − x3 + x4 + x5 0
2 20 20 20 20 10

2

1

-2 -1 1 2

-1

-2

Àëãîðèòì Òàðñêîãî (1-ÿ âåðñèÿ) äëÿ Qx Φ(x )

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1 (x ), . . . , P (x ) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõ
k

â Φ(x ) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

k

2. Íàéòè ìíîæåñòâî N = {x0 , . . . , x }, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðíåé
n

âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P1 (x ), . . . , P (x );
k

k

n

âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P1 (x ), . . . , P (x ); íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè
k

ìû ñ÷èòàåì, ÷òî

x0 x1 · · · x n −1 x n

k

n

k


x0 x1 · · · x n −1 x n

3. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâà M = {y0 , . . . , y } ⊃ N m

òàêîãî, ÷òî

k

n

k


x0 x1 · · · x n −1 x n


äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 i ≤ n, ñóùåñòâóåò j , òàêîå ÷òî
0 i ≤n è x −1 y x
i j i

k

n

k


x0 x1 · · · x n −1 x n


0 i ≤n x −1 y x
è i j i

äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n , y0 x i

k

n

k


x0 x1 · · · x n −1 x n


0 i ≤n x −1 y x
è i j i


äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n , x y i m

k

n

k


x0 x1 · · · x n −1 x n


0 i ≤n x −1 y x
è i j i



4. Ôîðìóëà ∃x Φ(x ) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0 ) ∨ · · · ∨ Φ(y ) m

k

n

k


x0 x1 · · · x n −1 x n


0 i ≤n x −1 y x
è i j i




Φ(y0 ) ∨ · · · ∨ Φ(y ) m

Ôîðìóëà ∀x Φ(x ) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0 ) . . . Φ(y ) m

Íóëè ïðîèçâîäíîé
2

1

-2 -1 1 2

-1

-2

k


k

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0 (x ) = (P1 (x ) . . . P (x )) þ
k

k

k

n

âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P0 (x ), P1 (x ), . . . , P (x ).
k

k

k

n

k

4. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâà
M = {x−∞ , x0 , x1 , . . . , x , x+∞ }, ãäå x−∞ è x+∞ òàêèå ÷èñëà,
n

÷òî x−∞ x0 x1 · · · x −1 x x+∞
n n

k

k

n

k

n

÷òî x−∞ x0 x1 · · · x −1 x x+∞
n n


Φ(x−∞ ) ∨ Φ(x0 ) ∨ · · · ∨ Φ(x ) ∨ Φ(x+∞ )
n

k

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0 (x ) = (P1 (x ) . . . P (x )) þk

n

k

n

÷òî x−∞ x0 x1 · · · x −1 x x+∞
n n


Φ(x−∞ ) ∨ Φ(x0 ) ∨ · · · ∨ Φ(x ) ∨ Φ(x+∞ )
n

Ôîðìóëà ∀x Φ(x ) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(x−∞ )Φ(x0 ) . . . Φ(x )Φ(x+∞ )
n

Òàáëèöà Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ P0(x ), . . . , Pk (x )

... ...
.
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. .. .
. .. .
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... ...
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... ...


−∞ x0 ... x j ... x
n +∞

... ...
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... ...
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... ...


−∞ x0 ... x j ... x
n +∞

P0 (x ) ... ...
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P (x )
i ... ...
.
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P (x )
k ... ...


−∞ x0 ... x j ... x
n +∞

P0 (x ) ... ...
.
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. . . . . . . .

P (x )
i ... ...
.
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. .. .
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P (x )
k ... ...
x0 · · · x · · · x
j n


−∞ x0 ... x j ... x
n +∞

P0 (x ) ... ...
.
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. .. .
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P (x )
i ... ...
.
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. .. .
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. . . . . . . .

P (x )
k ... ...
x0 · · · x · · · x
j n

∀j ∃i {P (x ) ≡ 0 P (x ) = 0}
i i j


−∞ x0 ... x j ... x
n +∞

P0 (x ) ... ...
.
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. .. .
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. . . . . . . .

P (x )
i ... ...
.
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P (x )
k ... ...
x0 · · · x · · · x
j n

∀j ∃i {P (x ) ≡ 0 P (x ) = 0}
i i j

∀i ∀x {(P (x ) ≡ 0 P (x ) = 0) ⇒ ∃j {x = x }}
i i j


−∞ x0 ... x j ... x n +∞

P0 (x ) ... ...
.
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P (x )
i ... t,
i j ...
.
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P (x )
k ... ...


−∞ x0 ... x j ... x n +∞

P0 (x ) ... ...
.
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P (x )
i ... t,
i j ...
.
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P (x )
k ... ...

åñëè P (x ) 0

 −, i j

t,
i j = 0, åñëè P (x ) = 0
i j

+, åñëè P (x ) 0

i j


−∞ x0 ... x j ... x n +∞

P0 (x ) − |0|+ ... − |0|+ ... − |0|+
.
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P (x )
i − |0|+ ... − |0| + ... − |0|+
.
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. .. .
. .. .
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. . . . . . . .

P (x )
k − |0|+ ... − |0|+ ... − |0|+


−∞ x0 ... x j ... x n +∞

P0 (x ) − |0|+ ... − |0|+ ... − |0|+
.
. .
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. .. .
. .. .
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P (x )
i t ,−∞
i − |0|+ ... − |0| + ... − |0|+ t ,+∞
i

.
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. .. .
. .. .
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.
. . . . . . . .

P (x )
k − |0|+ ... − |0|+ ... − |0|+

−∞ x0 ... x j ... x n +∞

P0 (x ) − |0|+ ... − |0|+ ... − |0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
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P (x )
i t ,−∞
i − |0|+ ... − |0| + ... − |0|+ t ,+∞
i

.
. .
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. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .

P (x )
k − |0|+ ... − |0|+ ... − |0|+
 −, åñëè ∃x−∞ ∀x {x x−∞ ⇒ P (x ) 0}

i

t ,−∞
i = 0, åñëè ∃x−∞ ∀x {x x−∞ ⇒ P (x ) = 0}
i

+, åñëè ∃x−∞ ∀x {x x−∞ ⇒ P (x ) 0}

i

 −, åñëè ∃x+∞ ∀x {x x+∞ ⇒ P (x ) 0}

i

t ,+∞
i = 0, åñëè ∃x+∞ ∀x {x x+∞ ⇒ P (x ) = 0}
i

+, åñëè ∃x+∞ ∀x {x x+∞ ⇒ P (x ) 0}

i


−∞ x0 ... x j ... x n +∞

P0 (x ) − |0|+ − |0|+ ... − |0|+ ... − |0|+ − |0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
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P (x )
i − |0| + − |0|+ ... − |0| + ... − |0|+ − |0|+
.
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. .. .
. .. .
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.
. . . . . . . .

P (x )
k − |0|+ − |0|+ ... − |0|+ ... − |0|+ − |0|+


−∞ x0 ... x j ... x n +∞

P0 (x ) − |0|+ − |0|+ ... − |0|+ ... − |0|+ − |0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
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.
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P (x )
i − |0| + − |0|+ ... − |0| + ... − |0|+ − |0|+
.
. .
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. .. .
. .. .
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.
. . . . . . . .

P (x )
k − |0|+ − |0|+ ... − |0|+ ... − |0|+ − |0|+

Ëåììà. Çíàêè − è + íå ìîãóò ñòîÿòü â äâóõ ñîñåäíèõ ïî
ãîðèçîíòàëè êëåòêàõ.

Ëåììà.
Çíàêè − è + íå ìîãóò ñòîÿòü â äâóõ ñîñåäíèõ ïî ãîðèçîíòàëè
2

1

-2 -1 1 2

-1

-2

Àëãîðèòì Òàðñêîãî (ìîäèôèöèðîâàííàÿ 2-ÿ âåðñèÿ)

k


k

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0 (x ) = (P1 (x ) . . . P (x )) .
k

k

k

3. Ïîñòðîèòü òàáëèöó Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ
P0 (x ), P1 (x ), . . . , P (x ).
k

k

k

P0 (x ), P1 (x ), . . . , P (x ).
k

4. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x ) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöà
j

òàáëèöû, ïîëüçóÿñü òîëüêî ñîäåðæèìûì òàáëèöû:
−∞ x0 ... x ... jx +∞ n

P0 (x ) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
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P (x )
i −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
.
. .
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. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P (x )
k −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
Φ(x ) è/ë è/ë ... è/ë ... è/ë è/ë

k

k

P0 (x ), P1 (x ), . . . , P (x ).
k

j

−∞ x0 ... x ... jx +∞ n

P0 (x ) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
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. . . . . . . .
P (x )
i −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
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.
. . . . . . . .
P (x )
k −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
Φ(x ) è/ë è/ë ... è/ë ... è/ë è/ë
5. Ôîðìóëà ∃x Φ(x ) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èç
ýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀x Φ(x ) èñòèííà, åñëè è òîëüêî
åñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû.

òàáëèöà Òàðñêîãî
−∞ x0 ... x
j ... xn +∞
P0 (x ) −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
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P (x )
i −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
.
. .
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. .. .
. .. .
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.
. . . . . . . .
P (x )
k −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
Φ(x ) è/ë è/ë ... è/ë ... è/ë è/ë

Ñîêðàùåííàÿ òàáëèöà Òàðñêîãî
−∞ x0 ... x
j ... xn +∞
P0 (x ) −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
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. . . . . . . .
P (x )
i −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
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.
. . . . . . . .
P (x )
k −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
Φ(x ) è/ë è/ë ... è/ë ... è/ë è/ë

−∞ +∞
P0 (x ) −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P (x )
i −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P (x )
k −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
Φ(x ) è/ë è/ë ... è/ë ... è/ë è/ë

k

k

3. Ïîñòðîèòü ñîêðàùåííóþ òàáëèöó Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ
P0 (x ), P1 (x ), . . . , P (x ).
k

k

k

P0 (x ), P1 (x ), . . . , P (x ).
k

j

−∞ +∞
P0 (x ) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
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.
. . . . . . . .
P (x )
i −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P (x )
k −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
Φ(x ) è/ë è/ë ... è/ë ... è/ë è/ë

k

k

P0 (x ), P1 (x ), . . . , P (x ).
k

j

−∞ +∞
P0 (x ) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P (x )
i −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P (x )
k −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
Φ(x ) è/ë è/ë ... è/ë ... è/ë è/ë
åñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû.

−∞ +∞
P0 (x ) −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P (x )
i −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P (x )
k −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+

Ïîëóíàñûùåííûå ñèñòåìû

Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ ïîëóíàñûùåííîé,
åñëè âìåñòå ñ êàæäîé ôóíêöèåé îíà ñîäåðæèò è åå ïðîèçâîäíóþ.

Ïîëóíàñûùåííûå ñèñòåìû


Ëåììà. Êàæäóþ êîíå÷íóþ ñèñòåìó ìíîãî÷ëåíîâ ìîæíî
ðàñøèðèòü äî êîíå÷íîé ïîëóíàñûùåííîé ñèñòåìû.

Òàáëèöà Òàðñêîãî
−∞ x
i x +1
i +∞
P0 (x ) −|0|+ ... −|0|+ −|0|+ ... −|0|+
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
i −|0|+ ... 0 0 ... −|0|+
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
k −|0|+ ... −|0|+ −|0|+ ... −|0|+

Òàáëèöà Òàðñêîãî
−∞ x
i x +1
i +∞
P0 (x ) −|0|+ ... −|0|+ −|0|+ ... −|0|+
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
i −|0|+ ... 0 0 ... −|0|+
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
k −|0|+ ... −|0|+ −|0|+ ... −|0|+

Ëåììà. Åñëè ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâ P0 (x ), . . . , P (x )
k

ïîëóíàñûùåííà è P (x ) ≡ 0, òî â i-îé ñòðîêå ñèìâîë 0 íå ìîæåò
i

ñòîÿòü â äâóõ ñîñåäíèõ êëåòêàõ.

Íàñûùåííûå ñèñòåìû


Îïðåäåëåíèå. Ïîëóíàñûùåííàÿ ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâ
P0 (x ), . . . , P (x ) íàçûâàåòñÿ íàñûùåííîé, åñëè âìåñòå ñ êàæäûìè
n

äâóìÿ ìíîãî÷ëåíàìè P (x ) è P (x ) òàêèìè, ÷òî
k m

0 degree(P (x )) ≤ degree(P (x )), îíà ñîäåðæèò è îñòàòîê R (x ) îò
m k

äåëåíèÿ P (x ) íà P (x ).
k m

P (x )
k = Q (x )P (x ) + R (x ),
m degree(R (x )) degree(P m (x ))


n

k m

m k

k m

P (x )
k = Q (x )P (x ) + R (x ),

ðàñøèðèòü äî êîíå÷íîé íàñûùåííîé ñèñòåìû.


n

k m

m k

k m

P (x )
k = Q (x )P (x ) + R (x ),

ðàñøèðèòü äî êîíå÷íîé íàñûùåííîé ñèñòåìû.

Ëåììà. Åñëè P0 (x ), . . . , P k −1 (x ), Pk (x ) íàñûùåííàÿ ñèñòåìà
ìíîãî÷ëåíîâ, è

degree(P0 (x )) ≤ · · · ≤ degree(P k −1 (x )) ≤ degree(P (x )),
k

òî ñèñòåìà P0 (x ) . . . P k −1 ( x ) òàêæå ÿâëÿåòñÿ íàñûùåííîé.

Ïîñòðîåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãî
äëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ P0 (x ), . . . , P (x )
k

k

Ñëó÷àé k = 0: ñèñòåìà èç îäíîãî ìíîãî÷ëåíà P0 (x )

k

Ñëó÷àé k = 0: ñèñòåìà èç îäíîãî ìíîãî÷ëåíà P0 (x ) ≡ 0

k

Ñëó÷àé k = 0: ñèñòåìà èç îäíîãî ìíîãî÷ëåíà P0 (x ) ≡ 0
−∞ +∞
P0 (x ) 0 0

k

Ñëó÷àé degree(P1 (x )) = · · · = degree(P k (x )) = 0

k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 0
P1 (x )
.
. .
. .
.
. . .
P (x )
k

k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 0
P1 (x ) −|+ −|+
.
. .
. .
.
. . .
P (x )
k −|+ −|+

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãî
k

−∞ +∞
P0 (x ) ... ...
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P (x )
k ... ...

k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 0 ... 0 ... 0 0
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P −1 (x )
k −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
P (x )
k

k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 0 ... 0 ... 0 0
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P −1 (x )
k −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
P (x )
k ?

äëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ P0 (x ), . . . , P (x ) k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 0 ... 0 ... 0 0
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P −1 (x )
k −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
P (x )
k ?

−1
P (x )
k = p x +p
n
n
n −1 x
n
+ · · · + p0

p −1 p0
= p x 1+
n n
+ ··· +
x x
n
n


−∞ +∞
P0 (x ) 0 0 ... 0 ... 0 0
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P −1 (x )
k −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
P (x )
k − |+

−1
P (x )
k = p x +p
n
n
n −1 x
n
+ · · · + p0

p −1 p0
= p x 1+
n n
+ ··· +
x x
n
n


−∞ +∞
P0 (x ) 0 0 ... 0 ... 0 0
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P −1 (x )
k −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
P (x )
k ? − |+

−1
P (x )
k = p x +p
n
n
n −1 x
n
+ · · · + p0

p −1 p0
= p x 1+
n n
+ ··· +
x x
n
n


−∞ +∞
P0 (x ) 0 0 ... 0 ... 0 0
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P −1 ( x )
k −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
P (x )
k − |+ − |+

−1
P (x )
k = p x +p
n
n
n −1 x
n
+ · · · + p0

p −1 p0
= p x 1+
n n
+ ··· +
x x
n
n

k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 0 ... 0 ... 0 0
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P −1 ( x )
k −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
P (x )
k − |+ ? − |+

k

−∞ x j +∞
P0 (x ) 0 0 ... 0 ... 0 0
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P −1 ( x )
k −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
P (x )
k − |+ ? − |+

k

−∞ x j +∞
P0 (x ) 0 0 ... 0 ... 0 0
.
. .
. .
. .. .
. .. .
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. . . . . . . .
P (x )
m −|+ −|0|+ ... 0 ... −|0|+ −|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
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. . . . . . . .
P −1 (x )
k −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
P (x )
k −|+ ? −|+

k

−∞ xj +∞
P0 (x ) 0 0 ... 0 ... 0 0
.
. .
. .
. .. .
. .. .
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. . . . . . . .
P (x )
n −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
.
. .
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. .. .
. .. .
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. . . . . . . .
P (x )
m −|+ −|0|+ ... 0 ... −|0|+ −|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
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. . . . . . . .
P −1 (x )
k −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
P (x )
k −|+ ? −|+

P (x )
k = Q (x )P (x ) + P (x )
m n


−∞ xj +∞
P0 (x ) 0 0 ... 0 ... 0 0
.
. .
. .
. .. .
. .. .
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. . . . . . . .
P (x )
n −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
.
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. .. .
. .. .
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P (x )
m −|+ −|0|+ ... 0 ... −|0|+ −|+
.
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. .. .
. .. .
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.
. . . . . . . .
P −1 (x )
k −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
P (x )
k −|+ ? −|+

P (x )
k = Q (x )P (x ) + P (x )
m n

P (x )
k j = Q (x )P (x ) + P (x )
j m j n j


−∞ xj +∞
P0 (x ) 0 0 ... 0 ... 0 0
.
. .
. .
. .. .
. .. .
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P (x )
n −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
.
. .
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. .. .
. .. .
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. . . . . . . .
P (x )
m −|+ −|0|+ ... 0 ... −|0|+ −|+
.
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. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P −1 (x )
k −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
P (x )
k −|+ ? −|+

P (x )
k = Q (x )P (x ) + P (x )
m n

P (x )
k j = Q (x )P (x ) + P (x ) = P (x )
j m j n j n j


−∞ xj +∞
P0 (x ) 0 0 ... 0 ... 0 0
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P (x )
n −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
.
. .
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. .. .
. .. .
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.
. . . . . . . .
P (x )
m −|+ −|0|+ ... 0 ... −|0|+ −|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P −1 (x )
k −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
P (x )
k −|+ − |0|+ −|+

P (x )
k = Q (x )P (x ) + P (x )
m n

P (x )
k j = Q (x )P (x ) + P (x ) = P (x )
j m j n j n j


−∞ +∞
P0 (x ) 0 0 ... 0 ... 0 0
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P (x )
n −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
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.
. . . . . . . .
P (x )
m −|+ −|0|+ ... 0 ... −|0|+ −|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P −1 (x )
k −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
P (x )
k −|+ − |0|+ −|+

P (x )
k = Q (x )P (x ) + P (x )
m n

P (x )
k j = Q (x )P (x ) + P (x ) = P (x )
j m j n j n j


−∞ +∞
P0 (x ) 0 0 ... 0 ... 0 0
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P (x )
n −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P (x )
m −|+ −|0|+ ... 0 ... −|0|+ −|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P −1 (x )
k −|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|+
P (x )
k −|+ − |0| + ... − |0|+ ... − |0| + −|+

P (x )
k = Q (x )P (x ) + P (x )
m n

P (x )
k j = Q (x )P (x ) + P (x ) = P (x )
j m j n j n j

k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 ... 0 0 ... 0
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
i −|+ ... −|0|+ −|0|+ ... −|+
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
k −|+ ... − + ... −|+

k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 ... 0 0 0 ... 0
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
i −|+ ... − |0| + − |0| + ... −|+
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
k −|+ ... − 0 + ... −|+

k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 ... 0 0 0 ... 0
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
i −|+ ... − |0| + ? − |0| + ... −|+
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
k −|+ ... − 0 + ... −|+

k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 ... 0 0 0 ... 0
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
i −|+ ... + ? − |0| + ... −|+
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
k −|+ ... − 0 + ... −|+

k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 ... 0 0 0 ... 0
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
i −|+ ... + + − |0| + ... −|+
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
k −|+ ... − 0 + ... −|+

k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 ... 0 0 0 ... 0
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
i −|+ ... − ? − |0| + ... −|+
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
k −|+ ... − 0 + ... −|+

k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 ... 0 0 0 ... 0
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
i −|+ ... − − − |0| + ... −|+
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
k −|+ ... − 0 + ... −|+

k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 ... 0 0 0 ... 0
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
i −|+ ... 0 ? − |0| + ... −|+
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
k −|+ ... − 0 + ... −|+

k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 ... 0 0 0 ... 0
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
i −|+ ... 0 ? + ... −|+
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
k −|+ ... − 0 + ... −|+

k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 ... 0 0 0 ... 0
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
i −|+ ... 0 + + ... −|+
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
k −|+ ... − 0 + ... −|+

k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 ... 0 0 0 ... 0
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
i −|+ ... 0 ? − ... −|+
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
k −|+ ... − 0 + ... −|+

k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 ... 0 0 0 ... 0
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
i −|+ ... 0 − − ... −|+
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
k −|+ ... − 0 + ... −|+

k

−∞ +∞
P0 (x ) 0 ... 0 0 0 ... 0
.
. .
. .. .
. .
. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
i −|+ ... 0 ? 0 ... −|+
.
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. .. .
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. .. .
.
. . . . . . .
P (x )
k −|+ ... − 0 + ... −|+

4

3

2

1

-2 -1 1 2

2

1

-2 -1 1 2

-1

-2

Àëãîðèòì Òàðñêîãî äëÿ ôîðìóëû Qx Φ(x )

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê Q1 (x ), . . . , Q (x ) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõ
l


l

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí Q0 (x ) = (Q1 (x ) . . . Q (x ))
l

l

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí Q0 (x ) = (Q1 (x ) . . . Q (x )) l

3. Ðàñøèðèòü ýòîò ñïèñîê äî íàñûùåííîé ñèñòåìû
P0 (x ), . . . , P (x ) c
k

degree(P0 (x )) ≤ · · · ≤ degree(P k −1 (x )) ≤ degree(P (x ))
k

l


P0 (x ), . . . , P (x ) c
k

k

4. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîñòðîèòü ñîêðàùåííûå òàáëèöû Òàðñêîãî äëÿ
ìíîãî÷ëåíîâ P0 (x ), P1 (x ), . . . , P (x ), m = 0, 1, 2, . . . , k
m

l


P0 (x ), . . . , P (x ) c
k

k

m

j

ïîñëåäíåé òàáëèöû:
−∞ x0 ... x j ... x n +∞
P0 (x ) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P (x )
k −|0|+ −|0|+ ... −|0|+ ... −|0|+ −|0|+
Φ(x ) è/ë è/ë ... è/ë ... è/ë è/ë

l


P0 (x ), . . . , P (x ) c
k

k

m

j

ïîñëåäíåé òàáëèöû:
−∞ x0 ... x j ... x n +∞
P0 (x ) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
.
. .
. .
. .. .
. .. .
. .
.
. . . . . . . .
P (x ) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+
k

Φ(x ) è/ë è/ë ... è/ë ... è/ë è/ë
åñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû

20080907 tarskialgorithm matiyasevich_lecture01

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