20120309 formal semantics shilov_lecture01

Computer Science клуб - Екатеринбург
Март 2012

Fun with Formal Program Semantics
(О формальной семантике программ
– просто)
Шилов Николай Вячеславович

Тема 1: Понятие об операционной,
денотационной, аксиоматической и
семантике второго порядка

(на примере игрушечного
эзотерического языка TEL)

Синтаксис, семантика, прагматика

• Язык программирования – это любой
искусственный язык для организации
автоматической обработки данных на
вычислительной машине.
• Всякий (искусственный или естественный) язык
обычно характеризуются своим синтаксисом,
семантикой и прагматикой.

10.03.12 3
Всего слайдов 66

Синтаксис, семантика, прагматика

• Синтаксис – это правописание языка.
• Семантика – это правила придания смысла
синтаксически правильным выражениям этого
языка.
• Прагматика – это практика, методы, способы, пути
использования грамматически правильных
осмысленных (т.е. имеющих семантику)
выражений языка.

10.03.12 4

«Пляшущие человечки» Артура Конана Дойля

• Очередное дело Шерлока
Холмса закручивается
вокруг пляшущих
человечков – с первого
взгляда, невинного
детского рисунка. Но в
итоге пляшущие
человечки оказались
шифром простой замены с
флагами – разделителями
слов.

10.03.12 5

«Пляшущие человечки» Артура Конана Дойля

• Синтаксис – как в естественном языке с заменой
букв на «пляшущих человечков».
• Семантика – в соответствии с семантикой
естественного языка (после обратной замены).
• Прагматика – шифр одной из чикагских
преступных группировок.
• Упражнение #1: расшифруйте следующую запись.

10.03.12 6

Семантика естественного языка

• Глокая куздра штеко будланула бокра и
курдячит бокрёнка — искусственная фраза на
основе русского языка, в которой все корневые
морфемы заменены на бессмысленные сочетания
звуков.
• Фраза создана академиком А. А. Потебня для
иллюстрации того, что многие семантические
признаки слова можно понять из его морфологии.
Пример использовался на вводных лекциях к
курсу «Основы языкознания».
10.03.12 7

Семантика естественного языка

• Общий смысл фразы понятен:
– некоторое, определенным образом
характеризуемое, существо женского пола
– что-то сделало определённым образом с
другим существом мужского пола,
– а затем начала (и продолжает до
настоящего момента) делать что-то другое
с его детёнышем (или более мелким
представителем того же вида).

10.03.12 8

Семантические парадоксы

• Фразы русского языка, записанные с
использованием только 33 символом клавиатуры,
состоящие из не более чем 73 символов, могут
закодировать (натуральные) числа от 1 до 3373.
• Спрашивается, какое число кодирует следующая
фраза: Эта фраза кодирует число на единицу
большее, чем 33 в 73-ей степени.

10.03.12 9

Игрушечный Эзотерический Язык
TEL (Toy Exoteric Language)
• TEL не является языком программирования, т.к.
не предназначен для обработки данных на
компьютере. Он предназначен (это его
прагматика) для первоначального знакомства с
понятиями операционная, денотационная и
аксиоматическая семантика.

10.03.12 10

Игрушечный Эзотерический Язык
TEL (Toy Exoteric Language)
• Синтаксис языка TEL чрезвычайно похож на
синтаксис языка программирования, его проще
объяснить на следующем простом примере
правильного выражения (которое мы обозначим
sample для удобства дальнейшего использования):
if z<0 then z:= -1
else (x:= 0 ; y:= 0 ;
while y≤z do
(y:= y + 2*x + 1 ; x:= x + 1) ;
x:= x – 1).
10.03.12 11

Игрушечный Эзотерический Язык TEL:
неформальный синтаксис
• Правильные выражения языка TEL – это как бы
«программы», построенные из переменных,
арифметических выражений, логических
выражений, операторов присваивания при
помощи разделителя «;», условий «if-then-else» и
циклов «while-do».

10.03.12 12

формальный синтаксис

BNF-определение синтаксиса TEL
10.03.12 13

неформальная семантика
• Так как правильные выражения языка выглядят
как программы, то их можно изображать
графически в виде блок-схем.
• Всякая блок-схема – это граф, вершины которого –
операторы присваивания и логические
выражения.

10.03.12 14

блок-схема для sample
начало

+
z<0
- x:= 0

y:= 0

z:= -1

x:= x-1
- y≤z

+
y:=
конец
y+2*x+1

Шилов Николай Вячеславович x:= x+1
10.03.12 15

• Договоримся измерять «длину» пути по блок-
схеме количеством операторов присваивания на
этом пути (т.е. логические выражения не идут в
счёт).
• Тогда «смыслом» каждого правильного
выражения является целое число, равное
«длине» кратчайшего пути по графу блок-схемы
«программы» от начала до конца.

10.03.12 16

• В частности,
семантика выражения
sample есть число 1.
if z<0
then z:=-1
else (x:=0;y:=0 ;
while y≤z do
y:=y+2*x+1;

x:= x+1) ;
x:= x–1).
10.03.12 17

Операционная семантика:
механический арифмометр
• Операционная семантика – это подход к
определению семантики через работу
«механического устройства», умеющего
выполнять определённый набор действий
(операций), переходя из состояния в состояние.

10.03.12 18

Операционная семантика:
механический арифмометр
• Обычно операционная семантика языка задаётся
описанием метода трансляции правильных
выражений языка в соответствующую
последовательность действий такого устройства,
а семантика каждого правильного выражения
определяется путём выполнения
соответствующей последовательности действий.

10.03.12 19

операционная семантика
• Для TEL в качестве механического устройства
примем «арифмометр», способный складывать
натуральные числа и выбирать минимум из двух
натуральных чисел.

10.03.12 20

• Определим алгоритм трансляции F рекурсивно
следующим образом:
– F(x:=t) = 1 для любо присваивания;
– F(β;γ) = F(β) + F(γ);
– F(if ζ then β else γ) = min{F(β), F(γ)};
– F(while ζ do β) = 0.
• Такой метод трансляции языка сопоставляет
каждому правильному выражению TEL
арифметическое выражение, состоящее из 0, 1 и
операций «+» и «min».
10.03.12 21

• Например, трансляция sample и соответствующее
арифметическое выражение получаются
следующим образом:
F(if z<0 then z:=−1 else(x:=0;y:=0;
while y≤z do(y:=y+2∗x+1;x:=x+1);x:=x−1) =
= min{F(z:=−1),
F(x:=0;y:=0; while y≤z do(y:=y+2∗x+1;x:=x+1);x:=x−1)} =
= min{1, F(x:=0) +
F(y:=0; while y≤z do(y:=y+2∗x+1;x:=x+1);x:=x−1)} =
10.03.12 22

= min{1, 1 + F(y:=0) +
F(while y≤z do(y:=y+2∗x+1;x:=x+1);x:=x−1)} =
= min{1, 1 + 1 + F(while y≤z do(y:=y+2∗x+1;x:=x+1)) +
+ F(x:=x−1)} =
= min{1, 1 + 1 + 0 + 1}.
• Следовательно, операционная семантика
правильного выражения есть 1, что получается,
если выполнить все эти действия на нашем
«арифмометре».
10.03.12 23

Денотационная семантика:
алгебра для вычислений
• Алгебра – это множество элементов и операций
над ними.
• Например, множество натуральных чисел N с
нульместными операциями (константами) 0 и 1,
бинарными операциями «+» и «−», – это алгебра.
• Тоже множество N, но с одной константой 0,
унарной (одноместной) операцией «+1» и
бинарной операцией «min» – это уже другая
алгебра, т.к. использует другой набор операций.

10.03.12 24

• Денотационная семантика – это определение
семантики языка в терминах подходящей алгебры
путём согласованного сопоставления
• каждому правильному выражению языка –
элемента алгебры,
• каждому конструктору правильных выражений –
алгебраической операции.

10.03.12 25

• Часто сопоставляющую функцию обозначают
посредством двойных квадратных скобок «[[…]]»;
• Элемент алгебры или операция алгебры,
сопоставленные посредством функции [[…]]
правильному выражению или конструктору
выражений, называют его денотацией.

10.03.12 26

денотационная семантика
• Выберем в качестве носителя алгебру
натуральных чисел N с константами 0, 1 и
бинарными операциями «+» и «min».
• Функцию [[ ]] определим следующим образом:
– [[x:=t]] = 1 для любого присваивания;
– [[;]] = +, [[if−then...else...]]=min, [[while–do...]]=0;
– [[constr(α, β)]] = [[constr]]([[α]], [[β]]) для любого
конструктора из «;», «if−then...else...»,
«while−do...».

10.03.12 27

• Определение сопоставляет заведомо
согласованные денотации правильным
выражениям и конструкторам выражений, т.к.
определяется композиционно (см. пункт
определения для const).

10.03.12 28

• В частности, для sample имеем:
[[if z<0 then z:= -1 else (x:=0 ; y:=0 ;
while y≤z do (y:= y+2*x+1 ; x:= x+1) ; x:= x-1)]] =
= [[if−then...else...]]([[z:= -1]] , [[x:=0 ; y:=0 ;
while y≤z do (y:= y+2*x+1 ; x:= x+1) ; x:= x-1]]) =
= min{1 , [[;]]([[x:= 0]] , [[y:= 0 ;
while y≤z do (y:= y+2*x+1 ; x:= x+1) ; x:= x-1]])} =

10.03.12 29

= min{1 , 1 + [[;]]([[y:= 0]] ,
[[while y≤z do (y:= y+2*x+1 ; x:= x+1) ; x:= x-1]])} =
= min{ 1 , 1 + (1 + [[;]](
[[while y≤z do (y:= y+2*x+1 ; x:= x+1)]] , [[x:= x-1]]))} =
= min{ 1 , 1 + (1 + (0 + 1))} = 1.

10.03.12 30

• То, что операционная и денотационная семантики
sample совпали, не случайно:
• Утверждение 1: F(α) = [[α]] для любого
правильного выражения α языка TEL.
• Доказательство (в качестве упражнения #2) –
индукция по синтаксической структуре
правильного выражения α.
• Таким образом, операционная и денотационная
семантики TEL хорошо согласованы друг с другом.

10.03.12 31

Аксиоматическая семантика:
синтаксически управляемое доказательство
• Аксиоматическая семантика – это исчисление
для вывода («доказательства») новых
утверждений («теорем») по правилам вывода из
заранее определённых аксиом («фактов»).

10.03.12 32

аксиоматическая семантика
• Аксиоматическая семантика языка TEL имеет дело
с утверждениями вида
m≤α≤n
где
– m – натуральное число,
– α – правильное выражение языка TEL,
– n – или натуральное число такое, что m≤ n, или
символ бесконечности «∞».

10.03.12 33


10.03.12 34

Loop axiom Assignment axiom

Assignment axiom 0≤ while y≤z do (y:= y + 2*x + 1 ; x:= x + 1)≤0 1≤ x:= x - 1≤1

1≤ y:= 0≤1 0≤ while y≤z do (y:= y + 2*x + 1 ; x:= x + 1) ; x:= x - 1≤1

0≤ y:= 0≤1 0≤ while y≤z do (y:= y + 2*x + 1 ; x:= x + 1) ; x:= x - 1≤∞

0≤ y:= 0 ; while y≤z do (y:= y + 2*x + 1 ; x:= x + 1) ; x:= x - 1≤∞

Assignment axiom

Assignment axiom 1≤ x:= 0≤1

1≤ z:= -1 ≤1 1≤ x:= 0 ; y:= 0 ; while y≤z do (y:= y + 2*x + 1 ; x:= x + 1) ; x:= x - 1≤∞

1≤ if z<0 then z:= -1 else (x:= 0 ; y:= 0 ; while y≤z do (y:= y + 2*x + 1 ; x:= x + 1) ; x:= x - 1) ≤1

10.03.12 35

Аксиоматическая семантика:
истинность vs. доказуемость,
надёжность vs. полнота
• Будем говорить, что утверждение m≤α≤n верно
(истинно), если m≤[[α]]≤n.
• Говорят, что аксиоматическая семантика
надёжна, если любое доказуемое утверждение
верно;
• наоборот, говорят что аксиоматическая семантика
полна, если всякое верное утверждение
доказуемо.
• Говорят, что аксиоматическая семантика
непротиворечива, если … (закончить
лпределение – упражнение #3)
10.03.12
36

надёжность и полнота
аксиоматической семантики

• Пример истинного
и доказуемого
утверждения:
1≤ sample≤ 1.

10.03.12 37

надёжность и полнота
аксиоматической семантики
• Такое совпадение неслучайно.
• Утверждение 2: Аксиоматическая семантика
игрушечного языка TEL надёжна и полна.
• Доказательство надёжности – индукцией по
высоте дерева вывода (в качестве упражнения
#4), а доказательство полноты – индукцией по
структуре правильного выражения (в качестве
упражнения #5) .

10.03.12 38

Семантика второго порядка:
преобразователь предикатов
• Предикат (одноместный предикат) – это
множество однородных значений.
• Если эти значения одного «типа» D, то множество
всех предикатов – это множество 2D всех
подмножеств D.
• Преобразователь предикатов – это произвольная
функция F:2D →2D, т.е. функция, которая
преобразует «входной» S⊆D предикат – в
«выходной» предикат F(S) ⊆ D.

10.03.12 39

математическое отступление о порядке
элементов, множеств, функций и теорий
• Пусть D – некоторое множество («область»).
• Элементы D и векторы с компонентами из D (т.е.
элементы пространства D1= ∪k≥1Dk) называют
элементами первого порядка над D.
• Подмножества D1 (и, в частности, все функции из
Dp в Dq) называются множествами (предикатами)
первого порядка над D (функциями
соотвественно).

10.03.12 40

• Всякая «теория», изучающая или описывающая
свойства элементов первого порядка, называется
теорией первого порядка области D.

10.03.12 41

• Подмножества D1 и векторы, компонентами
которых являются подмножества D1 (т.е.
элементы пространства D2= ∪k≥1(2D1)k), называют
элементами второго порядка над D.
• В частности, предикаты и функции первого
порядка являются элементами второго порядка
над D.

10.03.12 42

• Подмножества D2 и функции из D2в D2
называются множествами (предикатами) второго
порядка и функциями второго порядка
(функционалами) над D.
свойства элементов второго порядка, называется
теорией второго порядка области D.

10.03.12 43

• Пусть для некоторого n>0 уже определены
множество Dn, элементы, множества и функции
n-ого порядка над областью D.
• Подмножества Dn и векторы, компонентами
которых являются подмножества Dn (т.е.
элементы пространства D(n+1)= ∪k≥1(2Dn)k),
называют элементами (n+1)-ого порядка над D.
• В частности, предикаты и функции n-ого порядка
являются элементами (n+1)-ого порядка над D.

10.03.12 44

• Подмножества D(n+1) и функции из D(n+1) в
D(n+1) называются множествами (предикатами) и
функциями (n+1)-ого порядка над D.
свойства элементов (n+1)-ого порядка,
называется теорией (n+1)-ого порядка области D.

10.03.12 45

свойства элементов любого порядка, называется
теорией высшего порядка области D.
• Упражнение #6: Что такое элементы, множества,
функции и теория нулевого порядка области D?

10.03.12 46

математическое отступление о школьной
алгебре,
математическом и функциональном анализе
• Рассмотрим с точки зрения классификации
теорий по порядкам такие учебные предметы,
как:
– элементарная алгебра, изучаемая в старших
классах средней школы;
– математический анализ, изучаемый на первых
курсах вузов;
– функциональный анализ, который изучается на
3 – 4 курсах на факультетах физико-
математического профиля.
10.03.12 47

алгебре,
• Элементарная алгебра занимается решением
(систем) уравнений и неравенств в вещественных
числах.
• Эти уравнения заданы многочленами с
параметрическими коэффициентами, которые
обозначают опять же вещественные числа.
• Например, типичными задачами элементарной
алгебры является нахождение всех вещественных
корней квадратного уравнения с вещественными
коэффициентами a·x2 + b·x + c = 0
10.03.12 48

алгебре,
• Например, в школьном курсе доказывается, что
для любых вещественных значений
коэффициентов уравнение a·x2 + b·x + c = 0
имеет решение в вещественных числах тогда и
только тогда, когда b2 - 4·a·c ³ 0,
• т. е., что следующее предложение принадлежит
теории первого порядка поля вещественных
чисел: ∀a∀b∀c( b2-4·a·c≥0 ⇔ ∃x(a·x2+b·x+c=0) ).

10.03.12 49

алгебре,
• Таким образом, можно предположить, что курс
элементарной алгебры изучает теорию первого
порядка поля вещественных чисел.

10.03.12 50

алгебре,
• Математический анализ занимается изучением
свойств непрерывных и дифференцируемых
функций вещественной переменной.
• Примером может служить теорема о
промежуточном значении непрерывной функции
на замкнутом отрезке, авторство которой
приписывается К.Т.В. Веерштрассу, Б. Больцано и
О.Л. Коши.

10.03.12 51

алгебре,
• Для любой функции f
непрерывной на
отрезке вещественных
чисел [a..b], для
любого числа
y∈[f(a)..f(b)] найдётся
такое число x∈[a..b],
что f(x)=y.

10.03.12 52

алгебре,
• Вспомним, что всякая вещественная функция –
это просто множество пар чисел.
• Поэтому теорема может быть сформулирована в
терминах логики второго порядка над полем
вещественных чисел следующим образом:
• ∃∀f∈2R×R∀a∈R∀b∈R ∀c∈R∀d∈R∀y∈R (C(f,a,b) &
(a,c)∈f & (b,d)∈f & c≤y≤d ⇒∃x∈R( a≤x≤b & (x,y)∈f)),
где C – трёхместное отношение «быть
непрерывной вещественной функцией на
отрезке».
10.03.12 53

алгебре,
• Подобным образом курс математического
анализа формализуем как теория второго
порядка поля вещественных чисел.
• Упражнение #7: Определите на языке логики
второго порядка над полем вещественных чисел
использованное трёхместное отношение «быть
непрерывной вещественной функцией на
отрезке».

10.03.12 54

алгебре,
• Функциональный анализ изучает свойства
функционалов, т. е. отображений, которые
сопоставляют функциям некоторые числа или
функции.
• Часто изучаются свойства линейных операторов, к
которым относятся, например,
дифференцирование и интегрирование
вещественных функций.

10.03.12 55

алгебре,
• Поэтому часть функционального анализа,
изучающая теорию линейных операторов на
функциях вещественной переменной, может быть
формализована как теория третьего порядка поля
вещественных чисел. (Поэтому её и изучают на
третьем курсе;-)

10.03.12 56

Почему «семантика второго порядка»?

• Семантика второго порядка – это сопоставление
каждому синтаксически правильному выражению
некоторого преобразователя предикатов первого
порядка, т.е. функции F:2D →2D, которая
преобразует «входной» S⊆D предикат – в
«выходной» предикат F(S)⊆ D.

10.03.12 57

семантика второго порядка
• Для любого выражения α языка TEL определим
преобразователь предикатов PTα на натуральных
числах N следующим образом:
• для любого множества натуральных чисел S,
PTα(S) – это множество таких натуральных чисел
n∈N, что для любого выражения β языка TEL, если
[[β]]=n, то [[β ; α]]∈S.

10.03.12 58

• Утверждение 3: Для любого выражения α языка
TEL, для любого множества натуральных чисел
S, PTα(S) = S -- [[α]], где операция «--» – это
поэлементное вычитание, которое не выводит
из множества положительных чисел.
• Доказательство остаётся в качестве упражнения
#8.

10.03.12 59

• Хорошие свойства PT:
– PTx:=t(S) = {n > 0 : (n+1)∈S},
– PT(α)(S) = PTα(S),
– PTβ;α(S) = PTβ(PTα(S)),
– Ptwhile-do(S) = S
• Упражнение #9: Как выразить Ptif-then β else α(S) через
PTβ(S) и PTα(S)?

10.03.12 60

О λ-нотации
(ещё одно математическое отступление)
• Наряду с этой общеизвестной нотацией для
функций сложилась и другая нотация, широко
используемая в математической логике и теории
программирования – т.н. λ-нотация (читается
«лямбда-нотация»).

10.03.12 61

• Суть λ-нотации поясним на примере:
• «2×y + 3, где y∈R» – это число (но не функция),
значение которого зависит от значения числового
параметра y по закону 2×y + 3;
• «λy∈R . (2×y + 3)» - это функция (без имени), где y
объявлен переменной посредством
спецификатора «λ» (а не параметром с каким-то
значением), которая каждому числу r∈R
сопоставляет число (2×r + 3)∈R;

10.03.12 62

• «f = λy∈R . (2×y + 3)» - это высказывание о том,
что функция f совпадает (как множество) с
функцией λy∈R . (2×y + 3);
• «f ≡ λy∈R . (2×y + 3)» - это объявление о том, что
функция λy∈R . (2×y + 3) получает имя «f».

10.03.12 63

• Пусть g ≡ λm∈N. (λn∈N. (λy∈R . (m×y + n))).
Функция g - это функция от одной переменной m,
которая «пробегает» натуральные числа.
• Функция g сопоставляет каждому натуральному
числу M функцию hM = (λn∈N. (λy∈R . (M×y + n)),
в частности, h2 = (λn∈N. (λy∈R . (2×y + n)).

10.03.12 64

• Функция hM – тоже функция одной переменной n,
которая тоже «пробегает» натуральные числа и
сопоставляет каждому натуральному числу N
функцию fM,N = (λy∈R . (M×y + N), в частности f2,3 –
это уже знакомая нам функция f = (2×y + 3).

10.03.12 65

• С использованием λ-нотации Утверждение 3
может быть переформулировано следующим
образом: PT = λα∈TEL. λS⊆N. (S -- [[α]]), где
– PT – семантика второго порядка для
игрушечного эзотерического языка TEL,
– а «--» – это поэлементное вычитание,
которое не выводит из множества
положительных чисел.
• (Проверка остается в качестве упражнения #9.)

10.03.12 66

20120309 formal semantics shilov_lecture01

More Related Content

Viewers also liked (19)

More from Computer Science Club (20)

20120309 formal semantics shilov_lecture01