![RUPC2016 2016/03/08
問題概要
• 長さNの順列pが隠されている
• 2つの整数 l, r をサーバーに送ると、区間
[l, r]のコンプレックス度を教えてくれる
• コンプレックス度 := | { (i,j) | pi>pj か
つ l≤i<j≤r} |
• 200,000回以内のクエリで隠された順列pを当
てろ
• 制約: 1≤N≤100,000
2](https://image.slidesharecdn.com/d-160416085005/85/2016Day3-D-2-320.jpg)
![RUPC2016 2016/03/08
問題概要
• 長さNの順列pが隠されている
• 2つの整数 l, r をサーバーに送ると、区間
[l, r]のコンプレックス度を教えてくれる
• コンプレックス度 := | { (i,j) | pi>pj か
つ l≤i<j≤r} |
= 転倒数 (=バブルソートの交換回数)
• 200,000回以内のクエリで隠された順列pを当
てろ
• 制約: 1≤N≤100,000
3](https://image.slidesharecdn.com/d-160416085005/85/2016Day3-D-3-320.jpg)
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解法のアイデア
• inv(l,r) = | { (i,j) | pi>pj かつ l≤i<j≤r} |
とする
• inv(l,r) - inv(l+1, r) から、lより右にpl よ
り小さい値がいくつあるかわかる
→ p[l,N] のみの順列での何番目かがわかる
4
6 4 1 3 5 2
1
2
2 3 1
2番目](https://image.slidesharecdn.com/d-160416085005/85/2016Day3-D-4-320.jpg)
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TLE解法
• p[l,N] のみの順列での何番目かがわかる
• 後ろから更新、p[x]がp[x,N]でk番目なら、
• p[x+1,N]で k≤p[y] であるp[y]を1増やす
• p[x] = k とする
• クエリN-1回、ナイーブに更新するとO(N2)でTLE
5
? ? ? 2 3 1
2
4
2 3 4 1
2番目 +1 +1](https://image.slidesharecdn.com/d-160416085005/85/2016Day3-D-5-320.jpg)
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想定解法
• p[l,N] のみの順列での何番目かがわかる
• 逆に、前から考えると、まだ使ってない数字で
k番目のものを使えばOK
• 平衡二分木やセグメントツリーなどを使ってこ
のクエリをO(logN)で処理して、全体 O(NlogN)
• クエリN-1回
6
4 3 ? ? ? ?
3番目
候補: {1,2,5,6}
4 3 5 ? ? ?](https://image.slidesharecdn.com/d-160416085005/85/2016Day3-D-6-320.jpg)
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想定解法2
• p[x,N] のみの順列での何番目かがわかる
• 逆方向にも同様のクエリを投げると、p[1,x] での
(降順での) 何番目かがわかる
• x-1個のうちk個が自分より大きい → 自分はx-k
番目
• 左右に自分より小さい要素がそれぞれa,b個
→ 自分は全体でa+b+1番目 → p[x] = a+b+1
• クエリ2N-2回、O(N)
11
? ? ? ? ? ?
前から1番目](https://image.slidesharecdn.com/d-160416085005/85/2016Day3-D-11-320.jpg)
立命合宿2016Day3：D問題
- 1. RUPC2016 2016/03/08 RUPC2016 Day3 D: Complex Oracle 1 原案：井上 解説：井上 問題文：井上 解答：青木・井上
- 2. RUPC2016 2016/03/08 問題概要 • 長さNの順列pが隠されている • 2つの整数 l, r をサーバーに送ると、区間 [l, r]のコンプレックス度を教えてくれる • コンプレックス度 := | { (i,j) | pi>pj か つ l≤i<j≤r} | • 200,000回以内のクエリで隠された順列pを当 てろ • 制約: 1≤N≤100,000 2
- 3. RUPC2016 2016/03/08 問題概要 • 長さNの順列pが隠されている • 2つの整数 l, r をサーバーに送ると、区間 [l, r]のコンプレックス度を教えてくれる • コンプレックス度 := | { (i,j) | pi>pj か つ l≤i<j≤r} | = 転倒数 (=バブルソートの交換回数) • 200,000回以内のクエリで隠された順列pを当 てろ • 制約: 1≤N≤100,000 3
- 4. RUPC2016 2016/03/08 解法のアイデア • inv(l,r) = | { (i,j) | pi>pj かつ l≤i<j≤r} | とする • inv(l,r) - inv(l+1, r) から、lより右にpl よ り小さい値がいくつあるかわかる → p[l,N] のみの順列での何番目かがわかる 4 6 4 1 3 5 2 1 2 2 3 1 2番目
- 5. RUPC2016 2016/03/08 TLE解法 • p[l,N] のみの順列での何番目かがわかる • 後ろから更新、p[x]がp[x,N]でk番目なら、 • p[x+1,N]で k≤p[y] であるp[y]を1増やす • p[x] = k とする • クエリN-1回、ナイーブに更新するとO(N2)でTLE 5 ? ? ? 2 3 1 2 4 2 3 4 1 2番目 +1 +1
- 6. RUPC2016 2016/03/08 想定解法 • p[l,N] のみの順列での何番目かがわかる • 逆に、前から考えると、まだ使ってない数字で k番目のものを使えばOK • 平衡二分木やセグメントツリーなどを使ってこ のクエリをO(logN)で処理して、全体 O(NlogN) • クエリN-1回 6 4 3 ? ? ? ? 3番目 候補: {1,2,5,6} 4 3 5 ? ? ?
- 7. RUPC2016 2016/03/08 セグメントツリーを使う方法 • セグメントツリーについては蟻本等を参照 • k番目の要素をとるため、区間和を管理する • k<=sumなら左に降る • 違うなら k = k - sum として右に降る 7 1 0 1 1 0 1 0 0候補: {1,3,4,6} 0121 13 4k=3
- 8. RUPC2016 2016/03/08 セグメントツリーを使う方法 • セグメントツリーについては蟻本等を参照 • k番目の要素をとるため、区間和を管理する • k<=sumなら左に降る • 違うなら k = k - sum として右に降る 8 1 0 1 1 0 1 0 0候補: {1,3,4,6} 0121 13 4 k=3
- 9. RUPC2016 2016/03/08 セグメントツリーを使う方法 • セグメントツリーについては蟻本等を参照 • k番目の要素をとるため、区間和を管理する • k<=sumなら左に降る • 違うなら k = k - sum として右に降る 9 1 0 1 1 0 1 0 0候補: {1,3,4,6} 0121 13 4 k=2
- 10. RUPC2016 2016/03/08 セグメントツリーを使う方法 • セグメントツリーについては蟻本等を参照 • k番目の要素をとるため、区間和を管理する • k<=sumなら左に降る • 違うなら k = k - sum として右に降る 10 1 0 1 1 0 1 0 0候補: {1,3,4,6} 0121 13 4
- 11. RUPC2016 2016/03/08 想定解法2 • p[x,N] のみの順列での何番目かがわかる • 逆方向にも同様のクエリを投げると、p[1,x] での (降順での) 何番目かがわかる • x-1個のうちk個が自分より大きい → 自分はx-k 番目 • 左右に自分より小さい要素がそれぞれa,b個 → 自分は全体でa+b+1番目 → p[x] = a+b+1 • クエリ2N-2回、O(N) 11 ? ? ? ? ? ? 前から1番目
- 12. RUPC2016 2016/03/08 ジャッジ解 • 青木 (Java, O(N)): 59行 1886B • 井上 (C++, O(N)): 44行 781B • 井上 (C++, O(NlogN)): 71行 1308B 12
- 13. RUPC2016 2016/03/08 回答状況 • Accept / Submit • 15 / 47 (31.91%) • First Acceptance • onsite: popnow (00:56) • online: rickytheta (00:33) 13