![RUPC2016 Day3 2016/03/08
TLE解法(2)
最初C枚目にあった札が時刻tでどこにあるかだけわかれ
ばよい = DP
dp[t][p]: C枚目のカードが時刻tにおいて上からp枚
目にある
i番目のシャッフルをシミュレートすると、シャッフル前
のxi枚目がシャッフル後yiに行くという情報が得られる
dp[t+ti][yi] += dp[t][xi]
dpの計算時にシャッフルをシミュレートするとO(N)とな
るが、前処理でシミュレートすればO(1)にできる。全体
でO(KNT)
5](https://image.slidesharecdn.com/g-160416090428/85/2016Day3-G-5-320.jpg)
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想定解法
この行列をTLE解法(2)のDPに応用する
とO(max(ti)N2T) → まだ少し大きい
dpを拡張する
dp[t][v][p]: 初期にv枚目にあった
札が時刻tにおいてp枚目にある
こうすると、遷移は行列積を用いて書
ける(隣接行列の積がkステップで行け
るところを表すのと同じ)
9](https://image.slidesharecdn.com/g-160416090428/85/2016Day3-G-9-320.jpg)
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解法(4)
漸化式を明示すると以下のようになる
dp[i] = A1×dp[i-1] + A2×dp[i-2] +
A3×dp[i-3] + A4×dp[i-4] +
A5×dp[i-5]
Atiは先述の時刻ti毎にまとめた順列行列
行列の5項間漸化式になったので、行列の行
列を作って行列累乗のテクニックを用いる
行列サイズが(max(ti)*n)×(max(ti)*n)
なので、O((max(ti)*n)3
logT) → 間に
合う
10](https://image.slidesharecdn.com/g-160416090428/85/2016Day3-G-10-320.jpg)
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5項間漸化式の行列表現
11
dp[T+4]
dp[T+3]
dp[T+2]
dp[T+1]
dp[T]
A1 A2 A3 A4 A5
I O O O O
O I O O O
O O I O O
O O O I O
=
dp[4]
dp[3]
dp[2]
dp[1]
dp[0]
×
dp[5]
dp[4]
dp[3]
dp[2]
dp[1]
A1 A2 A3 A4 A5
I O O O O
O I O O O
O O I O O
O O O I O
=
dp[4]
dp[3]
dp[2]
dp[1]
dp[0]
×
T
※IはN×Nの単位行列、
OはN×Nの零行列](https://image.slidesharecdn.com/g-160416090428/85/2016Day3-G-11-320.jpg)
立命合宿2016Day3：G問題
- 1. RUPC2016 Day3 2016/03/08 RUPC2016 Day3 G: Destiny Draw 運命力 1 原案：井上 解説：井上 問題文：井上 解答：井上、栗田
- 2. RUPC2016 Day3 2016/03/08 問題概要 上から順に 1 ~ N の番号がついている カードの山がある K 種類のシャッフルが可能である K種類のうちi番目のシャッフルでは上か らai枚目からbi枚を抜き、上に重ねる。 シャッフルはそれぞれ ti 秒を要する。 ちょうど T 秒のシャッフルの後、一番上の カードを C にする方法は何通りあるか。 10 9 +7で割った余りを出力せよ。 制約： 2 ≦ N ≦ 40, 1≦ K ≦ N(N+1)/2, 1≦ ti ≦5, 1≦ T ≦ 10 6 2
- 5. RUPC2016 Day3 2016/03/08 TLE解法(2) 最初C枚目にあった札が時刻tでどこにあるかだけわかれ ばよい = DP dp[t][p]: C枚目のカードが時刻tにおいて上からp枚 目にある i番目のシャッフルをシミュレートすると、シャッフル前 のxi枚目がシャッフル後yiに行くという情報が得られる dp[t+ti][yi] += dp[t][xi] dpの計算時にシャッフルをシミュレートするとO(N)とな るが、前処理でシミュレートすればO(1)にできる。全体 でO(KNT) 5
- 7. RUPC2016 Day3 2016/03/08 順列行列のマージ 7 a=1,b=3,t=3 N=6 a=3,b=2,t=1 a=2,b=1,t=3 a=4,b=3,t=1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 (3 4 1 2 5 6) (1 2 3 4 5 6) (2 1 3 4 5 6) (4 5 6 1 2 3) 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 t=1 t=3
- 9. RUPC2016 Day3 2016/03/08 想定解法 この行列をTLE解法(2)のDPに応用する とO(max(ti)N2T) → まだ少し大きい dpを拡張する dp[t][v][p]: 初期にv枚目にあった 札が時刻tにおいてp枚目にある こうすると、遷移は行列積を用いて書 ける(隣接行列の積がkステップで行け るところを表すのと同じ) 9
- 10. RUPC2016 Day3 2016/03/08 解法(4) 漸化式を明示すると以下のようになる dp[i] = A1×dp[i-1] + A2×dp[i-2] + A3×dp[i-3] + A4×dp[i-4] + A5×dp[i-5] Atiは先述の時刻ti毎にまとめた順列行列 行列の5項間漸化式になったので、行列の行 列を作って行列累乗のテクニックを用いる 行列サイズが(max(ti)*n)×(max(ti)*n) なので、O((max(ti)*n)3 logT) → 間に 合う 10
- 11. RUPC2016 Day3 2016/03/08 5項間漸化式の行列表現 11 dp[T+4] dp[T+3] dp[T+2] dp[T+1] dp[T] A1 A2 A3 A4 A5 I O O O O O I O O O O O I O O O O O I O = dp[4] dp[3] dp[2] dp[1] dp[0] × dp[5] dp[4] dp[3] dp[2] dp[1] A1 A2 A3 A4 A5 I O O O O O I O O O O O I O O O O O I O = dp[4] dp[3] dp[2] dp[1] dp[0] × T ※IはN×Nの単位行列、 OはN×Nの零行列