2020 2학기 정기스터디 2주차

서울시립대 알고리즘 소모임
최소 스패닝 트리
2학기 2주차

강의자 소개
2020 AL林 정기 스터디 2
이름 최문기
소속 서울시립대 컴퓨터과학부(16학번)
핸들 iknoom1107(BOJ) IKnoom(Codeforces) IKnoom(AtCoder)
ICPC 팀 ManManChiAnunTeam
- 김정현, 최문기, 최연웅

공지 : ICPC
2020 한국 대학생 프로그래밍 대회 / ACM-ICPC 예선 등록
9월 7일(월) ~ 9월 24일(목)

스패닝 트리 (spanning tree, 신장 트리)
정점이 V개이고 간선이 E개인
무향 연결 그래프에서
간선을 V – 1개만 남겨 트리가 되도록 만든 것
(V – 1 : 최소 개수의 간선)

스패닝 트리는 한가지가 아닙니다.
BFS 또는 DFS로 만들어지는 트리도 스패닝 트리입니다.

최소 스패닝 트리 (Minimum spanning tree, 최소 신장 트리)
간선의 가중치의 합이 가장 작은 스패닝 트리
→ 그래프에 있는 모든 정점을 연결하기 위한 최소 비용

최소 스패닝 트리를 찾는 알고리즘
✓ 프림 알고리즘
✓ 크루스칼 알고리즘
둘 다 그리디 알고리즘입니다.

간선이 하나도 없는 상태에서 시작해서
가중치가 작은 간선을 하나씩 추가해 가는 그리디 알고리즘
프림 : 간선이 없는 상태 → 하나의 트리 → 하나의 스패닝 트리
크루스칼 : 간선이 없는 상태 → 여러개의 트리 → 하나의 스패닝 트리
두 알고리즘 모두 같은 방법으로 정당성을 증명합니다.

프림 알고리즘

프림 알고리즘(Prim's algorithm)
- 하나의 정점 집합(트리)에서 점점 확장하는 방법
- 집합(트리)에 정점을 하나 더할 때마다 간선이 하나씩 확정된다.
- 모든 정점을 포함할 때까지 반복한다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Prim%27s_algorithm#/media/File:PrimAlgDemo.gif

어떻게 구현할까요?
다익스트라 알고리즘과 유사하게 구현합니다.

다익스트라 알고리즘 : O(V2)
더 구체적으로 봅시다.
s : 시작점, weight[][] : 가중치 인접 행렬
distance = [∞, ∞, ..., ∞]
found = [False, False, ..., False]
distance[s] = 0
found[s] = True
for (s에 인접한 정점 u에 대해서) {
distance[u] = weight[s][u]
}

다익스트라 알고리즘 : O(V2)
더 구체적으로 봅시다.
for (V – 1번 반복) {
u = (found[u]가 False이면서 distance가 가장 작은 정점)
found[u] = True
for (u에 인접한 정점 v에 대해서) {
if (distance[v] > distance[u] + weight[u][v])
distance[v] = distance[u] + weight[u][v])
}
}
return distance

프림 알고리즘(Prim's algorithm) : O(V2)
while (모든 정점을 포함할 때까지) {
새로운 정점을 포함시키는
가장 가중치가 작은 간선을 선택한다.
}

s : 시작점, weight[][] : 가중치 인접 행렬
minWeight = [∞, ∞, ..., ∞]
minWeight[s] = 0

for (V – 1번 반복) {
u = (found[u]가 False이면서 minWeight가 가장 작은 정점)
found[u] = True
if (minWeight[v] > weight[u][v])
minWeight[v] = weight[u][v]
}
}

프림 알고리즘(Prim's algorithm) : O(ElogV)
s : 시작점, weight[][] : 가중치 인접 리스트, priority_queue : 최소 힙
minWeight = [∞, ∞, ..., ∞]
minWeight[s] = 0
priority_queue ← {0, s} // {가중치, 정점 번호}

while (priority_queue is not empty) {
u = priority_queue.pop() // 가중치가 가장 작은 간선
if (found[u] = True) continue;
found[u] = True
w ← (u, v)의 가중치
if (minWeight[v] > w){
minWeight[v] = w
priority_queue.push( {minWeight[v], v} )
}
}
}

def Prim(s):
found = [False] * V
min_weight = [INF] * V
sum_weight = 0
min_weight[s] = 0
hq = [(0, s)]
while len(hq) > 0:
weight, u = heapq.heappop(hq)
if found[u]: continue
found[u] = True
sum_weight += weight
for v, w in adj[u]:
if min_weight[v] > w:
min_weight[v] = w
heapq.heappush(hq, (min_weight[v], v))
return sum_weight
소스코드 : http://boj.kr/6114c880a073475e80c7da1f03150562

크루스칼 알고리즘

크루스칼 알고리즘(Kruskal's algorithm)
- 여러 개의 집합(트리)에서 점점 확장하는 방법
- 집합(트리)과 집합(트리)를 합칠 때마다 간선이 하나씩 확정된다.
- 하나의 집합(트리)가 될 때까지 반복한다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal%27s_algorithm#/media/File:KruskalDemo.gif

while (모든 정점이 하나의 집합이 될 때까지) {
서로 다른 집합을 연결하는
가장 가중치가 작은 간선을 선택한다.
}

간선을 가중치 순으로 정렬한다.
while (V – 1개의 간선을 포함할 때까지) {
현재 간선 (u, v)에 대해서
if (u와 v가 다른 집합에 속하면) {
간선 (u, v)를 포함시킨다.
}
}

1 (a, b)
1 (a, c)
1 (b, c)
3 (a, d)
3 (c, d)
a b
d c
1
1
1
3
3

두 정점이 다른 집합에 속해 있는지 확인하는 방법
→ 분리 집합의 처리 (Union-Find)

소스코드 : http://boj.kr/03ced5904c3a4d4ea16b9db00e55587e
def find(a):
if p[a] != a: p[a] = find(p[a])
return p[a]
def union(a, b):
p[find(a)] = find(b)
if __name__ == "__main__":
n, m = map(int, input().split())
p = [i for i in range(n)]
edges = []
for _ in range(m):
u, v, w = map(int, input().split())
edges.append((w, u - 1, v - 1))

# Kruskal's algorithm
edges.sort()
count = 0
MST = 0
for w, u, v in edges:
if find(u) != find(v):
union(u, v)
MST += w
count += 1
if count == n - 1:
break
print(MST)

정렬하고 나서 while문은 아무리 많아봤자 O(E)번 수행합니다.
두 정점이 같은 집합인지 확인하는데 O(log*V)입니다.
따라서 크루스칼 알고리즘의 시간복잡도는 O(ElogE) 입니다.
(전체 과정 중 간선을 정렬하는 시간복잡도가 제일 큽니다.)

정당성

정당성
1. 탐욕적 선택의 안정성(최적해가 됨)을 증명
2. 매트로이드 이론의 관점에서의 증명

정당성

연습 문제
1197 최소 스패닝 트리
1647 도시 분할 계획
2887 행성 터널

출처
https://en.wikipedia.org/

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