![演習3
32
5人の体重と身長のデータ
体重の平均、中央値、分散を求めなさい。
体重と身長の共分散を求めなさい。相関関係を述べなさい。
タイトル「演習レポート」、日付、学生番号、氏名を用紙の一
番上に記載
体重𝑋𝑋 [kg] 身長𝑌𝑌[cm]
50 160
45 155
60 170
70 175
55 165](https://image.slidesharecdn.com/dataanalysis4probability-181114031255/85/4-26-320.jpg)
![演習4
37
5人の体重と身長のデータ
体重と身長の分散共分散行列を求めなさい。
タイトル「演習レポート」、日付、学生番号、氏名を用紙の一
番上に記載
体重𝑋𝑋 [kg] 身長𝑌𝑌[cm]
50 160
45 155
60 170
70 175
55 165](https://image.slidesharecdn.com/dataanalysis4probability-181114031255/85/4-30-320.jpg)
データ解析4 確率の復習
- 1. データ解析 第4回 2018年5月10日 八谷 大岳 1
- 3. 内容：確率統計の復習 6 確率の基礎 条件付き確率とベイズの定理 累積分布関数と確率密度関数 統計の基礎 平均、中央値、分散、共分散 分散共分散行列 相関係数と相関行列
- 4. 確率の定義 7 試行：繰り返すことができて、結果が偶然に決まる実験や観察 事象：試行の結果起こる事柄 標本空間：試行の結果起こりうる全ての事柄の集合 確率の定義：標本空間の大きさを𝑁𝑁、事象𝑥𝑥𝑗𝑗の起こる場合の数 を𝑁𝑁𝑗𝑗とすると、事象𝑥𝑥𝑗𝑗が起こる確率 𝑃𝑃𝑋𝑋 𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑗𝑗 = 𝑃𝑃𝑋𝑋 𝑥𝑥𝑗𝑗 = 𝑁𝑁𝑗𝑗 𝑁𝑁 𝑋𝑋：確率変数 𝑥𝑥𝑗𝑗：事象（または事象に対応する実現値） サイコロを振る 2の目が出る 1の目が出る、2の目が出る、…、6の目が出る 𝑃𝑃𝑋𝑋 𝑋𝑋 = 2の目が出る = 𝑃𝑃 𝑋𝑋 = 2 = 1/6 6の目が出る 𝑃𝑃 X ：離散確率分布関数
- 5. 確率の例 8 試行：「ボールを箱から取り出す」 事象：「赤のボールが出る」 標本空間：「白のボールが出る」、「赤のボールが出る」 事象「青のボールが出る」の確率：𝑃𝑃𝑋𝑋 𝑥𝑥1 = 𝑁𝑁1 𝑁𝑁 = 6 14 = 3 7 事象「赤のボールが出る」の確率：𝑃𝑃𝑋𝑋 𝑥𝑥2 = 𝑁𝑁2 𝑁𝑁 = 8 14 = 4 7 全ての事象の確率の和は1：𝑃𝑃𝑋𝑋 𝑥𝑥1 + 𝑃𝑃𝑋𝑋 𝑥𝑥2 = 3 7 + 4 7 =1 標本空間𝑆𝑆 確率変数𝑋𝑋（ボールの色） 𝑥𝑥1：青 𝑥𝑥2：赤 6 8 赤の場合の数𝑁𝑁2箱 標本空間𝑆𝑆の大きさ： 𝑁𝑁 = 14 赤の場合の数𝑁𝑁1
- 6. 同時確率 9 同時確率：事象𝑦𝑦𝑖𝑖と事象𝑥𝑥𝑗𝑗が同時に起こる確率 標本空間𝑆𝑆 確率変数𝑋𝑋（ボールの色） 確率変数𝑌𝑌 （グループの種類） 𝑥𝑥1：青 𝑥𝑥2：赤 𝑦𝑦1: グループ1 5 1 2 6 𝑃𝑃𝑌𝑌𝑌𝑌 𝑦𝑦𝑖𝑖, 𝑥𝑥𝑗𝑗 = 𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁 箱 グループ1 グループ2 𝑦𝑦2: グループ2 グループ1の赤が選ばれる確率（同時確率） 𝑃𝑃𝑌𝑌𝑌𝑌 𝑌𝑌 = 𝑦𝑦1, 𝑋𝑋 = 𝑥𝑥2 = 𝑁𝑁12 𝑁𝑁 = 2 14 = 1 7 グループ1の赤の 場合の数𝑁𝑁12 確率変数が2つ
- 7. 条件付き確率 10 条件付き確率：事象𝑦𝑦𝑖𝑖が起きた条件下で事象𝑥𝑥𝑗𝑗が起こる確率 𝑃𝑃𝑋𝑋|𝑌𝑌 𝑥𝑥𝑗𝑗|𝑦𝑦𝑖𝑖 = 𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑖𝑖� = ⁄𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁 ⁄𝑁𝑁𝑖𝑖� 𝑁𝑁 = 𝑃𝑃𝑌𝑌𝑋𝑋(𝑦𝑦𝑖𝑖, 𝑥𝑥𝑗𝑗) 𝑃𝑃𝑌𝑌(𝑦𝑦𝑖𝑖) 標本空間𝑆𝑆 確率変数𝑋𝑋（ボールの色） 確率変数𝑌𝑌 （グループの種類） 𝑥𝑥1：青 𝑥𝑥2：赤 𝑦𝑦1: グループ1 5 1 2 6 箱 グループ1 グループ2 𝑦𝑦2: グループ2 グループ1の赤の 場合の数𝑁𝑁12 グループ1が選択された条件下で赤が選ばれる確率（条件付き確率） 𝑃𝑃𝑋𝑋|𝑌𝑌 𝑋𝑋 = 𝑥𝑥2|𝑌𝑌 = 𝑦𝑦1 = 𝑁𝑁12 𝑁𝑁1� = 2 7 = 2 7 グループ1の 場合の数𝑁𝑁1� 確率変数が2つ
- 8. 周辺確率 11 周辺確率：事象𝑦𝑦に関係なく事象𝑥𝑥𝑗𝑗が起こる確率 標本空間𝑆𝑆 確率変数𝑋𝑋（ボールの色） 確率変数𝑌𝑌 （グループの種類） 𝑥𝑥1：青 𝑥𝑥2：赤 𝑦𝑦1: グループ1 5 1 2 6 箱 グループ1 グループ2 𝑦𝑦2: グループ2 グループに関係なく赤が選ばれる確率（周辺確率） 𝑃𝑃𝑋𝑋 𝑋𝑋 = 𝑥𝑥2 = 𝑁𝑁12 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁22 𝑁𝑁 = 2 14 + 6 14 = 4 7 𝑃𝑃𝑋𝑋 𝑥𝑥𝑗𝑗 = 𝑁𝑁�𝑗𝑗 𝑁𝑁 = 1 𝑁𝑁 � 𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑖𝑖𝑗𝑗 = � 𝑖𝑖 𝑃𝑃𝑌𝑌𝑋𝑋 𝑦𝑦𝑖𝑖, 𝑥𝑥𝑗𝑗 事象𝑦𝑦との同時確率 の足し合わせと等しい 確率変数が2つ
- 9. 乗法定理 12 乗法定理：同時確率と条件付き確率との関係 標本空間𝑆𝑆 確率変数𝑋𝑋（ボールの色） 確率変数𝑌𝑌 （グループの種類） 𝑥𝑥1：青 𝑥𝑥2：赤 𝑦𝑦1: グループ1 5 1 2 6 箱 グループ1 グループ2 𝑦𝑦2: グループ2 グループ1の赤が選択される確率 𝑃𝑃𝑌𝑌|𝑋𝑋 𝑌𝑌 = 𝑦𝑦1|𝑋𝑋 = 𝑥𝑥2 = 𝑁𝑁12 𝑁𝑁�2 𝑁𝑁�2 𝑁𝑁 = 2 8 8 14 = 𝑁𝑁12 𝑁𝑁1� 𝑁𝑁1� 𝑁𝑁 = 2 7 7 14 = 1 7 𝑃𝑃𝑌𝑌𝑌𝑌 𝑦𝑦𝑖𝑖, 𝑥𝑥𝑗𝑗 = 𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁 = 𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁�𝑗𝑗 𝑁𝑁�𝑗𝑗 𝑁𝑁 = 𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑖𝑖� 𝑁𝑁𝑖𝑖� 𝑁𝑁 = 𝑃𝑃𝑌𝑌|𝑋𝑋 𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑗𝑗 𝑃𝑃𝑋𝑋(𝑥𝑥𝑗𝑗) = 𝑃𝑃𝑋𝑋|𝑌𝑌 𝑥𝑥𝑗𝑗 𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑃𝑃𝑌𝑌(𝑦𝑦𝑖𝑖) グループ1の赤の 場合の数𝑁𝑁12 グループ1の 場合の数𝑁𝑁1� 赤の場合の数𝑁𝑁�2 確率変数が2つ
- 10. ベイズの定理 13 ベイズの定理：乗法定理の展開 事象𝑦𝑦𝑖𝑖を原因、事象𝑥𝑥𝑗𝑗を結果と考える しかし、実際には診断では、逆の条件付き確率が必要 この結果𝑥𝑥を観測したもとでの原因𝑦𝑦の条件付き確率を 「事後確率」という 𝑃𝑃𝑌𝑌|𝑋𝑋 𝑦𝑦𝑖𝑖|𝑥𝑥𝑗𝑗 = 𝑃𝑃𝑋𝑋𝑋𝑋(𝑥𝑥𝑗𝑗, 𝑦𝑦𝑖𝑖) 𝑃𝑃𝑋𝑋(𝑥𝑥𝑖𝑖) = 𝑃𝑃𝑋𝑋|𝑌𝑌 𝑥𝑥𝑗𝑗 𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑃𝑃𝑌𝑌(𝑦𝑦𝑖𝑖) 𝑃𝑃𝑋𝑋(𝑥𝑥𝑗𝑗) 例えば、原因𝑦𝑦𝑖𝑖：病気、 結果𝑥𝑥𝑗𝑗：血圧140以上とした場合、病気の患者と健康な人 を集めて、血圧140以上の人を観測することにより、以下を求めることができる。 𝑃𝑃𝑋𝑋|𝑌𝑌 𝑋𝑋 = 血圧140以上 Y = 病気 と𝑃𝑃𝑋𝑋|𝑌𝑌 𝑋𝑋 = 血圧140以上 Y = 健康 𝑃𝑃𝑌𝑌|𝑋𝑋 Y = 病気 𝑋𝑋 = 血圧140以上
- 11. ベイズの定理 続き 14 ベイズの定理：乗法定理の展開 ベイズの定理より、事後確率を求めることができる ただし、𝑃𝑃(𝑦𝑦𝑗𝑗)を事前確率といい、人間が経験的に決定 分母は、周辺確率と乗法定理より求める 𝑃𝑃𝑌𝑌|𝑋𝑋 𝑦𝑦𝑖𝑖|𝑥𝑥𝑗𝑗 = 𝑃𝑃𝑋𝑋𝑋𝑋(𝑥𝑥𝑗𝑗, 𝑦𝑦𝑖𝑖) 𝑃𝑃𝑋𝑋(𝑥𝑥𝑖𝑖) = 𝑃𝑃𝑋𝑋|𝑌𝑌 𝑥𝑥𝑗𝑗 𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑃𝑃𝑌𝑌(𝑦𝑦𝑖𝑖) 𝑃𝑃𝑋𝑋(𝑥𝑥𝑗𝑗) 事前確率 事後確率 𝑃𝑃𝑌𝑌|𝑋𝑋 Y = 病気 𝑋𝑋 = 血圧140以上 = 𝑃𝑃𝑋𝑋|𝑌𝑌 𝑋𝑋 = 血圧140以上 Y = 病気 𝑃𝑃𝑌𝑌 Y = 病気 𝑃𝑃𝑋𝑋(𝑋𝑋 = 血圧140以上) 例えば、病気の人の割合は、一般的に低いので𝑃𝑃𝑌𝑌 Y = 病気 = 0.1 𝑃𝑃𝑋𝑋 𝑋𝑋 = 血圧140以上 = � 𝑦𝑦∈{病気、健康} 𝑃𝑃𝑋𝑋|𝑌𝑌 𝑋𝑋 = 血圧140以上 Y = 𝑦𝑦 𝑃𝑃𝑌𝑌 Y = 𝑦𝑦
- 12. ベイズの定理 続き 15 ベイズの定理は、1700年代にイギリスのエディンバラ大の トーマスベイズにより発見 古典的確率の頻度主義者からの批判 原因と結果の順番が異なり、本来は観測できない確率 事前確率を人間が設定することから主観的 近年、未観測の事象の確率や予測の不確実性などで 工学的にとても有用なため応用が進んでいる
- 13. ベイズの定理の応用例 16 周辺確率より ベイズの定理より、事後確率𝑃𝑃 𝑦𝑦2|𝑥𝑥2 は以下のように求まる。 いずれかのグループからボールを1個取り出したと ころ、 青いボールでした。このボールがグループ2 から取り出された確率𝑃𝑃 𝑦𝑦2|𝑥𝑥2 を求めなさい。 𝑦𝑦𝑖𝑖：グループ𝑖𝑖を選択する事象 𝑥𝑥𝑗𝑗：ボールを取り出す事象（赤：j=1、青：j=2） 𝑃𝑃 𝑥𝑥2 = ∑𝑖𝑖 𝑃𝑃 𝑥𝑥2, 𝑦𝑦𝑖𝑖 = ∑𝑖𝑖 𝑃𝑃 𝑥𝑥2|𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑃𝑃 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 5 7 1 2 + 1 7 1 2 = 6 14 = 3 7 𝑃𝑃 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 = 5 7 𝑃𝑃 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 = 1 7 𝑃𝑃 𝑦𝑦2|𝑥𝑥2 = 𝑃𝑃 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 𝑃𝑃(𝑦𝑦2) 𝑃𝑃(𝑥𝑥2) = 1 7 1 2 3 7 = 1 6 グループ1 グループ2 ？ ？ ただし、各グループを選択した条件下で青いボールを選択する確率は、実験より以下 のようにわかっているとする。また、各グループを選択する事前確率は𝑃𝑃 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 1 2 とする
- 14. 演習1 17 いずれかの箱からボールを1個取り出したところ、白いボールでした。この ボールが箱2から取り出された確率を求めなさい。 タイトル「演習レポート」、日付、学生番号、氏名を用紙の一番上に記載 箱1 箱2 箱3 𝑦𝑦𝑖𝑖：箱𝑖𝑖を選択する事象 𝑥𝑥𝑗𝑗：ボールを取り出す事象（赤：j=1、白：j=2）？ ？ ？ 𝑃𝑃 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 = 5 7 𝑃𝑃 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 = 1 7 𝑃𝑃 𝑥𝑥2 𝑦𝑦3 = 2 7 ただし、各箱を選択した条件下で白いボールを選択する確率は、実験より以下のよう にわかっているとする。また、各箱を選択する確率は𝑃𝑃 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 1 3 とする
- 15. 内容：確率統計の復習 19 確率の基礎 条件付き確率とベイズの定理 累積分布関数と確率密度関数 統計の基礎 平均、中央値、分散、共分散 分散共分散行列 相関係数と相関行列
- 16. 累積分布関数 （cumulative distribution function）20 確率変数𝑋𝑋が実現値𝑥𝑥以下の値をとる確率 確率変数𝑋𝑋が実現値𝑎𝑎以上𝑏𝑏以下の値をとる確率 確率変数が連続の場合 積分を用いて定義 𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥)=∑𝑥𝑥𝑖𝑖≤𝑥𝑥 𝑃𝑃(𝑥𝑥𝑖𝑖) 例）出る目が2以下となる確率 F 𝑥𝑥 = 𝑃𝑃 𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥 = � −∞ 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑃𝑃 𝑎𝑎 < 𝑋𝑋 ≤ 𝑏𝑏 = 𝐹𝐹 𝑏𝑏 − 𝐹𝐹 𝑎𝑎 例）出る目が2以上4以下 となる確率 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ：確率密度関数 F 𝑥𝑥 は単調増加 𝑥𝑥 𝐹𝐹 𝑥𝑥 1 2 3 4 ⋯ 1 6 2 6 3 6 4 6 ⋯ -3 -2 -1 0 1 2 3 0.00.20.40.60.81.0 Normal Distribution: = 0, = 1 xCumulativeProbability 正規分布の累積分布関数
- 17. 確率密度関数 21 離散的な確率変数：事象の実現値がとびとび サイコロの目、ボールの色など 連続な確率変数：事象の実現値が少数をとる連続 平均身長、平均寿命など 離散的な事象を前提にしていた以下の確率の定義は適用できない 実現値が連続なので𝑥𝑥𝑗𝑗が無限に存在する 代わりに、確率密度関数𝑓𝑓 𝑥𝑥 を用いて確率を定義する 代表的な確率密度関数：正規分布、ベータ分布など 𝑃𝑃 𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑗𝑗 = 𝑃𝑃 𝑥𝑥𝑗𝑗 = 𝑁𝑁𝑗𝑗 𝑁𝑁
- 18. 正規分布（Normal Distribution） 22 代表的な確率密度関数の一つで、工学分野にて幅広く応用 19世紀にガウスにより提案されたためガウス分布とも呼ばれる 0 0.1 0.2 0.3 0.4 -3 -2 -1 0 1 2 3 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = Ν 𝜇𝜇, 𝜎𝜎2 = 1 2𝜋𝜋𝜎𝜎 𝑒𝑒 − (𝑥𝑥−𝜇𝜇)2 2𝜎𝜎2 𝜇𝜇 𝜇𝜇：平均（正規分布の中心） 𝜎𝜎2：分散（正規分布の幅） 𝜇𝜇 − 𝜎𝜎 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 34.1% 34.1% 𝜇𝜇 − 2𝜎𝜎 13.6% 2.1% 𝜇𝜇 − 3𝜎𝜎 𝜇𝜇 + 2𝜎𝜎 13.6% 2.1% 𝜇𝜇 + 3𝜎𝜎 𝑥𝑥
- 19. 正規分布の平均と分散 23 -5 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 σ= 1.0 σ= 2.0大きい σ= 1.5 σ= 0.5小さい 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = Ν 2, 𝜎𝜎2 【標準偏差𝜎𝜎による正規分布の変化】【平均𝜇𝜇による正規分布の変化】 -4 -2 2 4 0.1 0.2 0.3 0.4 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = Ν 𝜇𝜇, 1
- 20. 多変量正規分布 24 多次元の確率変数𝒙𝒙 = 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑑𝑑 𝛵𝛵の正規分布 2次元の場合の正規分布 𝑓𝑓 𝒙𝒙 = Ν 𝜇𝜇, 𝜎𝜎2 = 1 2𝜋𝜋 𝑑𝑑 Σ exp − 1 2 (𝒙𝒙 − 𝝁𝝁)ΤΣ−1(𝒙𝒙 − 𝝁𝝁) Σ：分散共分散行列 𝝁𝝁 = 𝜇𝜇1, 𝜇𝜇2, … , 𝜇𝜇𝑑𝑑 𝛵𝛵 ：平均ベクトル 𝑓𝑓 𝒙𝒙 = Ν 𝜇𝜇, 𝜎𝜎2 = 1 2𝜋𝜋 Σ exp − 1 2 (𝒙𝒙 − 𝝁𝝁)ΤΣ−1(𝒙𝒙 − 𝝁𝝁) 𝑑𝑑：次元数
- 21. 内容：確率統計の復習 25 確率の基礎 条件付き確率とベイズの定理 累積分布関数と確率密度関数 統計の基礎 平均、中央値、分散、共分散 分散共分散行列 相関係数と相関行列
- 22. 平均値と中央値 26 データの中心を測るための統計量 平均： データとの二乗誤差和が最小の値： 中央値：データを値の大きさ順に並べたときの真ん中の値 データとの絶対値誤差和が最小の値 𝜇𝜇 = ̅𝑥𝑥 = 1 𝑁𝑁 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑥 𝑁𝑁 = 1 𝑁𝑁 � 𝑖𝑖=1 𝑁𝑁 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝜇𝜇 = min 𝑢𝑢 � 𝑖𝑖=1 𝑁𝑁 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑢𝑢 2 二乗差の意味で中心 𝑐𝑐 = min 𝑢𝑢 � 𝑖𝑖=1 𝑁𝑁 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑢𝑢 絶対値差の意味で中心
- 23. 平均値と中央値の例 27 データ： 30, 10,25, 40,15 の平均と中央値 平均： 中央値 昇順に並べ替える 10, 15,25,30, 40 データ数が5なので、真ん中の3番目の値を選択する 𝜇𝜇 = ̅𝑥𝑥 = 1 5 30 + 10 + 25 + 40 + 15 =24 10, 15,25,30, 40
- 24. 演習2 29 平均が、データからの二乗誤差和の最小値と等しいことを 証明しなさい。 おまけ：中央値が、データからの絶対値誤差の最小値と 等しいことを証明しなさい。 タイトル「演習レポート」、日付、学生番号、氏名を用紙の一 番上に記載 𝜇𝜇 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎min 𝑢𝑢 � 𝑖𝑖=1 𝑁𝑁 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑢𝑢 2
- 25. 分散と共分散 31 分散：1変数のバラツキを測るための統計量 データの平均 ̅𝑥𝑥からの二乗差の平均： 𝜎𝜎を標準偏差と呼ぶ 共分散： 2変数の相関（直線的な比例関係の強さ）を測るための 統計量 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑋𝑋 = 𝜎𝜎2 = S𝒙𝒙𝒙𝒙 = 1 𝑁𝑁 � 𝑖𝑖=1 𝑁𝑁 (𝑥𝑥𝑖𝑖 − ̅𝑥𝑥)2 二乗差の意味でのバラツキ Cov 𝑋𝑋, 𝑌𝑌 = S𝒙𝒙𝒙𝒙 = 1 𝑁𝑁 ∑𝑖𝑖=1 𝑁𝑁 (𝑥𝑥𝑖𝑖 − ̅𝑥𝑥)(𝑦𝑦𝑖𝑖 − �𝑦𝑦) 𝑋𝑋 𝑌𝑌 Cov 𝑋𝑋, 𝑌𝑌 ≫ 0：正の相関 𝑋𝑋 𝑌𝑌 Cov 𝑋𝑋, 𝑌𝑌 ≪ 0：負の相関 𝑋𝑋 𝑌𝑌 Cov 𝑋𝑋, 𝑌𝑌 ≈ 0：無相関 偏差
- 26. 演習3 32 5人の体重と身長のデータ 体重の平均、中央値、分散を求めなさい。 体重と身長の共分散を求めなさい。相関関係を述べなさい。 タイトル「演習レポート」、日付、学生番号、氏名を用紙の一 番上に記載 体重𝑋𝑋 [kg] 身長𝑌𝑌[cm] 50 160 45 155 60 170 70 175 55 165
- 27. 内容：確率統計の復習 34 確率の基礎 条件付き確率とベイズの定理 累積分布関数と確率密度関数 統計の基礎 平均、中央値、分散、共分散 分散共分散行列 相関係数と相関行列
- 28. 分散・共分散の行列表現 35 𝒙𝒙 = 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 𝚻𝚻 と、𝒚𝒚 = 𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 , … , 𝑦𝑦 𝑁𝑁 𝚻𝚻 の分散・共分散 分散共分散行列： 2変数の場合2x2の行列 対角成分：それぞれの変数の分散 非対角成分：共分散 𝑺𝑺 = 1 𝑁𝑁 𝑩𝑩𝚻𝚻 𝑩𝑩 = 1 𝑁𝑁 𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥 𝒚𝒚 − �𝑦𝑦 𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥 𝒚𝒚 − �𝑦𝑦 = 1 𝑁𝑁 (𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥)𝚻𝚻(𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥) (𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥)𝚻𝚻(𝒚𝒚 − �𝑦𝑦) (𝒚𝒚 − �𝑦𝑦)𝚻𝚻 (𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥) (𝒚𝒚 − �𝑦𝑦)𝚻𝚻 (𝒚𝒚 − �𝑦𝑦) 𝑩𝑩 = 𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥 𝒚𝒚 − �𝑦𝑦 = 𝑥𝑥1 − ̅𝑥𝑥 𝑥𝑥2 − ̅𝑥𝑥 ⋮ 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − ̅𝑥𝑥 𝑦𝑦1 − �𝑦𝑦 𝑦𝑦2 − �𝑦𝑦 ⋮ 𝑦𝑦 𝑁𝑁 − �𝑦𝑦 𝒙𝒙の分散S𝒙𝒙𝒙𝒙 𝒚𝒚の分散S𝒚𝒚𝒚𝒚 𝒙𝒙と𝒚𝒚の共分散S𝒙𝒙𝒙𝒙 N（データ数）×2（変数の数）の行列
- 29. 3変数の分散共分散行列 36 3変数なので3x3の分散共分散行列 対角成分が分散、その他は共分散 𝑩𝑩 = 𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥 𝒚𝒚 − �𝑦𝑦 𝒛𝒛 − ̅𝑧𝑧 = 𝑥𝑥1 − ̅𝑥𝑥 𝑥𝑥2 − ̅𝑥𝑥 ⋮ 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − ̅𝑥𝑥 𝑦𝑦1 − �𝑦𝑦 𝑦𝑦2 − �𝑦𝑦 ⋮ 𝑦𝑦 𝑁𝑁 − �𝑦𝑦 𝑧𝑧1 − ̅𝑧𝑧 𝑧𝑧2 − ̅𝑧𝑧 ⋮ 𝑧𝑧 𝑁𝑁 − ̅𝑧𝑧 𝑺𝑺 = 1 𝑁𝑁 𝑩𝑩𝚻𝚻 𝑩𝑩 = 1 𝑁𝑁 (𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥)𝚻𝚻(𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥) (𝒚𝒚 − �𝑦𝑦)𝚻𝚻(𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥) (𝒛𝒛 − ̅𝑧𝑧)𝚻𝚻(𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥) (𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥)𝚻𝚻(𝒚𝒚 − �𝑦𝑦) (𝒚𝒚 − �𝑦𝑦)𝚻𝚻(𝒚𝒚 − �𝑦𝑦) (𝒛𝒛 − ̅𝑧𝑧)𝚻𝚻(𝒚𝒚 − �𝑦𝑦) (𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥)𝚻𝚻(𝒛𝒛 − ̅𝑧𝑧) (𝒚𝒚 − �𝑦𝑦)𝚻𝚻(𝒛𝒛 − ̅𝑧𝑧) (𝒛𝒛 − ̅𝑧𝑧)𝚻𝚻(𝒛𝒛 − ̅𝑧𝑧) = S𝒙𝒙𝒙𝒙 S𝒙𝒙𝒙𝒙 S𝒙𝒙𝒛𝒛 S𝒚𝒚𝒚𝒚 S𝒚𝒚𝒚𝒚 S𝒚𝒚𝒚𝒚 S𝒛𝒛𝒙𝒙 S𝒛𝒛𝒚𝒚 S𝒛𝒛𝒛𝒛
- 30. 演習4 37 5人の体重と身長のデータ 体重と身長の分散共分散行列を求めなさい。 タイトル「演習レポート」、日付、学生番号、氏名を用紙の一 番上に記載 体重𝑋𝑋 [kg] 身長𝑌𝑌[cm] 50 160 45 155 60 170 70 175 55 165
- 31. 内容：確率統計の復習 39 確率の基礎 条件付き確率とベイズの定理 累積分布関数と確率密度関数 統計の基礎 平均、中央値、分散、共分散 分散共分散行列 相関係数と相関行列
- 32. 相関係数と相関行列 40 共分散の大きさは、データの値の範囲に依存 異なるデータ間で相関を比較するのが困難 相関係数：共分散を標準偏差で割って正規化 相関行列 𝒓𝒓𝒙𝒙𝒙𝒙 = S𝒙𝒙𝒚𝒚 S𝒙𝒙𝒙𝒙 S𝒚𝒚𝒚𝒚 = (𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥)𝚻𝚻(𝒚𝒚 − �𝑦𝑦) (𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥)𝚻𝚻(𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥) (𝒚𝒚 − �𝑦𝑦)𝚻𝚻(𝒚𝒚 − �𝑦𝑦) 𝑹𝑹 = 𝒓𝒓𝒙𝒙𝒙𝒙 𝒓𝒓𝒙𝒙𝒙𝒙 𝒓𝒓𝒙𝒙𝒛𝒛 𝒓𝒓𝒚𝒚𝒚𝒚 𝒓𝒓𝒚𝒚𝒚𝒚 𝒓𝒓𝒚𝒚𝒚𝒚 𝒓𝒓𝒛𝒛𝒙𝒙 𝒓𝒓𝒛𝒛𝒚𝒚 𝒓𝒓𝒛𝒛𝒛𝒛 𝑺𝑺 = S𝒙𝒙𝒙𝒙 S𝒙𝒙𝒙𝒙 S𝒚𝒚𝒚𝒚 S𝒚𝒚𝒚𝒚 = 𝟕𝟕𝟒𝟒 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟓𝟓𝟓𝟓 【体重xと身長yの分散共分散行列の例】 【体重xと身長yの相関行列の例】 𝑹𝑹 = 𝒓𝒓𝒙𝒙𝒙𝒙 𝒓𝒓𝒙𝒙𝒙𝒙 𝒓𝒓𝒚𝒚𝒚𝒚 𝒓𝒓𝒚𝒚𝒚𝒚 = 𝟏𝟏 𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟏𝟏
- 33. 相関の目安 41 相関係数を基準に、相関の強弱の判定ができる 相関係数rの値 相関の強弱 1.0 ～ 0.7 強い正の相関がある 0.7 ～ 0.4 中程度の正の相関がある 0.4 ～ 0.2 弱い正の相関がある 0.2 ～-0.2 ほとんど相関がない -0.2 ～-0.4 弱い負の相関がある -0.4 ～-0.7 中程度の負の相関がある -0.7 ～-1.0 強い負の相関がある
- 34. 相関係数の解釈 42 データ数の次元のベクトルの内積 𝒙𝒙と𝒚𝒚の相関係数を展開 相関係数はデータ数次元の空間での2つのベクトルのなす角に対応 𝒙𝒙𝒙 = 𝑥𝑥1 − ̅𝑥𝑥, 𝑥𝑥2 − ̅𝑥𝑥, … , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − ̅𝑥𝑥 𝚻𝚻 𝒚𝒚𝒚 = 𝑦𝑦1 − �𝑦𝑦, 𝑦𝑦2 − �𝑦𝑦, … , 𝑦𝑦 𝑁𝑁 − �𝑦𝑦 𝚻𝚻 𝒙𝒙′𝚻𝚻 𝒚𝒚′= 𝒙𝒙𝒙 𝒚𝒚𝒚 cos 𝜃𝜃 𝒙𝒙’ 𝒚𝒚𝒚 θ なす角 𝒓𝒓𝒙𝒙𝒙𝒙 = (𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥)𝚻𝚻(𝒚𝒚 − �𝑦𝑦) (𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥)𝚻𝚻(𝒙𝒙 − ̅𝑥𝑥) (𝒚𝒚 − �𝑦𝑦)𝚻𝚻(𝒚𝒚 − �𝑦𝑦) = 𝒙𝒙𝒙𝚻𝚻 𝒚𝒚𝒚 𝒙𝒙𝒙𝚻𝚻 𝒙𝒙𝒙 𝒚𝒚′𝚻𝚻 𝒚𝒚′ = 𝒙𝒙𝒙 𝒚𝒚𝒚 cos 𝜃𝜃 𝒙𝒙𝒙 𝒚𝒚𝒚 = cos 𝜃𝜃 𝒙𝒙 𝒚𝒚 中程度正の相関 θ = 45° 𝒙𝒙 𝒚𝒚 無相関 θ = 90° 𝒙𝒙𝒚𝒚 強い正の相関 θ = 0° 𝒙𝒙 𝒚𝒚 強い負の相関 θ = 180°
- 35. 相関係数=0は無関係？ 43 相関係数は、2変数間の直線的な比例の強さを表す 相関係数=0（無相関）の場合、2変数間に直線的な比例関係が無い 無相関でも、2変数が関係がないとは言い切れない 例えば、データが2次関数や円に乗っている場合、直線的な関係では 無相関であるが、2次関数や円の意味では相関がある 𝑋𝑋 𝑌𝑌 𝒓𝒓𝒙𝒙𝒙𝒙 ≈ 0：無相関 𝑋𝑋 𝑌𝑌 𝒓𝒓𝒙𝒙𝒙𝒙 ≈ 0：無相関
- 36. 課題1 44 X1とX2の平均値を求めなさい。 X1とX2の分散と共分散を求める定義式を書き、分散共分散 行列Sを求めなさい。 分散共分散行列Sの固有値を求める定義式を書き、固有値 を求めなさい。 No. 標本 英語(X1) 数学(X2) 1 A 5 8 2 B 5 5 3 C 8 7 4 D 4 5
- 37. 課題2 45 相関行列Rの3つの固有値の中2つが既知であり、それぞれ、 1.57と0.527とする。以下の問に答えなさい。 1. 残りのもう1つの固有値を求めなさい。 2. 相関行列Rの行列式を求めなさい。 𝑹𝑹 = 𝟏𝟏 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 −𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏𝟏 −𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 −𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 −𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏𝟏
- 38. 課題3 46 いずれかの箱からボールを1個取り出したところ、白いボールでした。 このボールが箱3から取り出された確率を求めなさい。 箱1 箱2 箱3 𝑦𝑦𝑖𝑖：箱𝑖𝑖を選択する事象 𝑥𝑥𝑗𝑗：ボールを取り出す事象（赤：j=1、白：j=2）？ ただし、各箱を選択した条件下で白いボールを選択する確率は、実験より以下のよう にわかっているとする。 ？ 𝑃𝑃 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 = 5 7 𝑃𝑃 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 = 1 7 𝑃𝑃 𝑥𝑥2 𝑦𝑦3 = 2 7 ？ また、各箱を選択する確率は𝑃𝑃 𝑦𝑦1 = 2 3 、𝑃𝑃 𝑦𝑦2 = 1 6 、 𝑃𝑃 𝑦𝑦3 = 1 6 とする
- 39. レポートの提出方法 47 演習レポート： タイトル「演習レポート」、日付・学生番号・氏名を用紙の一番上に記載 課題レポート ： タイトル「課題レポート」、出題日・学生番号・氏名を用紙の一番上に記載 2ページ以上になる場合は、ホッチキス留め A4サイズの用紙を使用 一度に複数の課題レポートを提出する場合出題日ごとに別々に綴じる