744.введение в цифровую обработку сигналов и изображений математические модели изображений

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА»
ВВЕДЕНИЕ В ЦИФРОВУЮ ОБРАБОТКУ
СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ИЗОБРАЖЕНИЙ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
С А М А Р А
Издательство СГАУ
2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

УДК 004.932, 519.7
ББК 22.343
В241
Инновационная образовательная программа
"Развитие центра компетенции и подготовка
специалистов мирового уровня в области аэро-
космических и геоинформационных технологий”
ПРИ
О
РИТЕТНЫЕ
Н
А
Ц И О Н А Л Ь Н Ы
Е
ПРОЕКТЫ
Авторы: В.А. Сойфер, В.В. Сергеев, С.Б. Попов,
В.В. Мясников, А.В. Чернов
Рецензенты: д-p физ.-мат. наук, проф. А. И. Ж д а н о в,
д-p техн. наук, проф. В. Г. К а р т а ш е в с к и й
В241 Введение в цифровую обработку сигналов и изображений:
математические модели изображений: учеб. пособие / [В.А. Сойфер и
др.]. – Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2006. – 180 с. : ил.
ISBN 5-7883-04-91-1
В учебном пособии даются основы цифровой обработки сигналов и
изображений, в частности, рассматриваются основные математические мо-
дели, позволяющие описывать изображения, процессы их формирования и
преобразования, представление этих моделей в виде линейных систем.
Представлены различные подходы к описанию дискретных сигналов и сис-
тем. Рассмотрены вопросы спектрального анализа дискретных сигналов –
одной из основных задач цифровой обработки сигналов и изображений.
Приведены вероятностные модели изображений.
Предназначено для подготовки студентов по направлениям (специаль-
ностям) «Прикладная математика и информатика» 010500, 010501, «При-
кладные математика и физика» 010600, «Биотехнические и медицинские ап-
параты и системы» 200401.
УДК 004.932, 519.7
ББК 22.343
ISBN 5-7883-04-91-1 © В.А. Сойфер, В.В. Сергеев, С.Б. Попов,
В.В. Мясников, А.В. Чернов, 2006
© Самарский государственный
аэрокосмический университет, 2006
2

3
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Модели непрерывных изображений........................................................... 5
1.1. Функция яркости ............................................................................... 5
1.2. Оптический сигнал ............................................................................ 7
1.3. Двумерные линейные системы......................................................... 10
2. Спектры сигналов. Преобразование Фурье. Линейные системы............... 16
2.1. Спектр периодического сигнала....................................................... 16
2.2. Спектр непериодического сигнала ................................................... 19
2.3. Спектры импульсов ......................................................................... 23
2.4. Спектры обобщенных функций........................................................ 30
2.5. Двумерное преобразование Фурье ................................................... 33
2.6. Оптические линейные системы в частотной области........................ 36
3. Представление изображений в компьютере ............................................. 37
3.1. Средства ввода изображения............................................................ 37
3.2. Дискретизация изображений............................................................ 38
4. Последовательности и линейные системы с постоянными параметрами....... 41
4.1. Последовательности ........................................................................ 41
4.2. Дискретные ЛПП-системы............................................................... 44
4.3. Физическая реализуемость и устойчивость ЛПП-систем.................. 47
4.4. Разностные уравнения...................................................................... 49
4.5. Двумерные последовательности....................................................... 52
4.6. Двумерные дискретные ЛПП-системы............................................. 56
4.7. Физическая реализуемость двумерных систем................................. 59
4.8. Двумерные разностные уравнения ................................................... 63
5. Описание дискретных сигналов и систем в частотной области ............... 67
5.1. Частотная характеристика ЛПП-систем и спектры дискретных
сигналов............................................................................................ 67
5.2. Основные свойства спектров последовательности ........................... 70
5.3. Соотношение между спектрами непрерывных и дискретных
сигналов............................................................................................ 76
5.4. Описание двумерных дискретных сигналов и систем в частотной
области ............................................................................................. 80

4
6. Описание дискретных сигналов и систем с помощью
z-преобразования.................................................................................... 86
6.1. Прямое z-преобразование................................................................. 86
6.2. Основные свойства z-преобразования .............................................. 94
6.3. Обратное z-преобразование.............................................................. 98
6.4. Анализ и синтез ЛПП-систем с использованием z-преобразования105
6.5. Двумерное z-преобразование ......................................................... 113
6.6. Основные свойства двумерного z-преобразования ......................... 123
6.7. Анализ и синтез двумерных ЛПП-систем с использованием
z-преобразования ............................................................................ 126
7. Спектральный анализ дискретных сигналов........................................... 133
7.1. Дискретное преобразование Фурье ................................................ 133
7.2. Связь ДПФ с z-преобразованием и непрерывным спектром
последовательности ........................................................................ 137
7.3. Использование ДПФ для вычисления отсчетов непрерывного
спектра............................................................................................ 139
7.4. Использование ДПФ для вычисления последовательности
по ее спектру................................................................................... 140
7.5. Основные свойства ДПФ ............................................................... 143
7.6. Вычисление линейной свертки при помощи ДПФ.......................... 146
7.7. Быстрое преобразование Фурье ..................................................... 148
8. Вероятностные модели изображений..................................................... 157
8.1. Случайные процессы ..................................................................... 157
8.2. Случайные последовательности и их характеристики .................... 164
8.3. Преобразование случайных последовательностей
в ЛПП-системах .............................................................................. 168
8.4. Факторизация энергетического спектра ......................................... 170
Литература ................................................................................................ 178

1. МОДЕЛИ НЕПРЕРЫВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
1.1. Функция яркости
Необходимость построения математической модели возникает
сразу же при необходимости использовать компьютер для обработки
изображений. Оценивая «на глаз» расстояние между двумя предмета-
ми, мы не задумываемся о том, как это делается. Поручив эти задачи
компьютеру, мы обязаны научить его выполнять подобные действия,
то есть заложить в него соответствующие данные и алгоритмы. Хо-
рошо известно, что компьютер в качестве данных имеет дело с масси-
вами чисел. Таким образом, первой задачей компьютерной обработки
изображений является перевод изображений в числовую форму. Это
требует конкретизации самого понятия «изображение».
5
1
Рассмотрим объект, освещенный источником света, как показано
на рис.1. На некотором расстоянии от объекта распределение энергии
источника светового излучения, отраженного объектом, по простран-
ственным координатам x , 2x и по длинам волн λ описывается функ-
цией . Эта величина является неотрицательной. Ее макси-
мальное значение в изображающих системах ограничено предельной
величиной светочувствительности регистрирующих сред.
(C x )1 2, ,x λ
( )1 2 max0 , ,C x x C≤ λ ≤
max
1 2 2 2,L L x L≤ − ≤ ≤
, (1)
где C - максимальная яркость изображения.
Геометрические размеры ограничены характеристиками форми-
рующей системы и размерами фоторегистрирующей среды. Будем пола-
гать, что все изображения отличны от нуля в прямоугольной области:
. (2)1 1L x− ≤
Человеческое зрение и видеодатчики обладают спектральной чув-
ствительностью, описываемой функцией ( )s λ . Как известно, челове-
ческий глаз обладает чувствительностью к свету в диапазоне волн от
мкм до мкм. При этом функция спектральнойmin 0,35λ = ma 8x 0,7λ =

чувствительности достигает своего максимума приблизительно в се-
редине этого диапазона и спадает к его краям.
Каждый видеодатчик обладает индивидуальной характеристикой
спектральной чувствительности, обусловленной физикой прибора.
Имеются видеодатчики ультрафиолетового и инфракрасного диапазо-
нов, которые широко используются, например, при проведении спек-
трозональных съемок Земли из космоса.
Рис.1. Формирование изображения объекта,
освещенного источником света
Как в случае наблюдения объекта человеком, так и в случае ис-
пользования видеодатчика, наблюдаемое изображение является ре-
зультатом усреднения функции ( )1 2, ,C x x λ по диапазону длин волн с
весовой функцией ( )s λ и описывается выражением
( )
max
min
1 2f x x
λ
λ
( ) ( )1 2, , , dC x x s= λ λ λ
(
∫ . (3)
)fФункцию 1 2,x x в дальнейшем будем называть изображением. Та-
ким образом изображение - это ограниченная функция двух простран-
ственных переменных, заданная на ограниченной прямоугольной об-
ласти.
6

1.2. Оптический сигнал
В целом ряде ситуаций необходимо рассматривать не только ин-
тенсивность, но и фазу световой волны. Положим для простоты, что
свет линейно поляризован. Электрическое поле в момент времени t в
точке с координатами ( )1 2 3, ,x x x=x , возбуждаемое монохроматиче-
ским источником света, может быть записано в комплексном виде
( ) ( ), i t
7
E t U e− ω
=x x , (4)
где
2 cπ
ω =
λ
- частота источника света, c – скорость света,
( ) ( ) ( )i
U A e ϕ
= x
x x (5)
( )ϕ x .( )A x и фазуоптический сигнал, имеющий амплитуду
Выражение (4), в котором пространственная и временная перемен-
ные разделены, может быть использовано и для квазимонохроматиче-
ского источника света, ширина полосы частот Δω которого сущест-
венно меньше средней частоты излучаемого света:
1Δω . (6)<<
ω
Фотодетектор регистрирует среднюю интенсивность света на доста-
точно большом интервале времени ( ),T T− , существенно превышаю-
щем период 2π ωT >> :
( ) ( )
21
, d
2
T
T
f E t t
T −
= ∫x x
( )1 2,
. (7)
В двумерном случае фотодетектор регистрирует изображение
f x x .
Отметим, что голографическая запись позволяет регистрировать
как амплитуду, так и фазу оптического сигнала через его квадратур-
ные компоненты – синусную и косинусную составляющие, каждая из
которых может быть представлена как изображение.
Рассмотрим примеры оптических сигналов.

Пример 1. Сферическая волна описывается выражением
( )
2
2
1 i
U e
π
λ
=
x
x
x
,
2 2 2 2
1 2 3x
8
x x= + +x . (8)
Поверхность постоянной фазы – сфера.
Пример 2. Плоская монохроматическая волна, распространяющаяся
вдоль оси 3x , имеет вид
( )
3
1 2 3, , ,
x
i t
c
x x t e
⎛ ⎞− ω −⎜ ⎟
⎝ ⎠
E x . (9)
Поверхность постоянной фазы – плоскость.
Отметим, что сферическая линза преобразует сферическую волну
в плоскую и наоборот, как изображено на рис.2.
Рис.2. Преобразование сферической волны в плоскую
Интерферограмма
Явление интерференции заключается в усилении или ослаблении
поля двух световых волн в зависимости от разности их фаз. Зарегист-
рированное изображение интерференционной картинки называется
интерферограммой. Интерференционные методы исследования часто
применяются в физике и технике.
Рассмотрим интерферометр Ллойда, изображенный на рис.3.

Рис.3. Интерферометр Ллойда
На некотором расстоянии от зеркала находится источник моно-
хроматического света S, в зеркале появляется мнимый источник света
. Рассмотрим интерференцию волн от этих двух источников в точ-
ке x, учитывая что оптический сигнал, идущий от мнимого источника
, отличается только запаздыванием на время τ, запишем
S′
S′
( ) ( ) ( )U t U tE t + − τ . (10)=
Приемник света в точке x регистрирует интенсивность
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 21 1
d
d d .
T T
T T
T
T T
t U t t
T T
U t U t t
− −
− −
+
+ − τ
∫ ∫
∫ ∫
2
2 2
1 1
2
T
I E
U t t
T T
τ = =
+ − τ
(11)
Вводя в рассмотрение автокорреляционную функцию оптического
сигнала
9
( ) ( ) ( )d
T
T
1
lim
2T
R U t U t t
−
− τ∫
T → ∞
T→∞
τ = , (12)
из (11) при получим
( ) ( ) ( )2 0 2I R Rτ = + τ . (13)
Отметим, что использовать понятие “автокорреляция” для детер-
минированного оптического сигнала не вполне корректно, так как оно
изначально введено для случайных сигналов, однако этот термин уко-
ренился и широко используется в оптике и смежных науках.
Пример 3. Рассмотрим точечный монохроматический источник.
( ) cosU t A tω . (14)=

Автокорреляционная функция вычисляется в виде
( ) ( )
2
d cos
2 2
A
t t− τ ⎤ = ωτ⎣ ⎦ ω
( )
21
lim cos cos
T
T
T
R A t
T→∞
−
τ = ω ⎡ω∫ , (15)
и интерференционная картина описывается выражением
10
( )
2
1 cos
2
A
I τ = + ωτ
ω
. (16)
График функции (16) приведен на рис.4.
Рис.4. Интерференционная картина
для монохроматического источника
В двумерном случае интерференционная картина будет представ-
лять собой чередование темных и светлых полос с плавным перехо-
дом от темного к светлому. Замерив расстояние между максимумами,
можно определить частоту излучения ω .
1.3. Двумерные линейные системы
Из курса физики хорошо известно понятие оптической системы,
осуществляющей преобразование изображений по правилам, опреде-
ляемым совокупностью используемых в ней оптических элементов и
их взаимосвязью.
С математической точки зрения под системой будем понимать
правило L, ставящее в соответствие входной функции f выходную
функцию g. Различают одномерные (1-D) и двумерные (2-D) системы.
Одномерные системы преобразуют функции одной переменной

( ) ( )g x f x
11
= ⎡ ⎤⎣ ⎦L . (17)
Соответственно двумерные системы преобразуют функции двух пе-
ременных
( ) ( )1 2 1 2, ,g x x f x x= ⎡ ⎤⎣ ⎦L . (18)
Оптические системы по сути своей являются двумерными, но в
некоторых случаях могут рассматриваться как одномерные.
Особое место среди всевозможных систем занимают линейные
системы. Система называется линейной, если для нее справедлив
принцип суперпозиции (наложения), который заключается в том, что
отклик системы на взвешенную сумму двух входных воздействий ра-
вен взвешенной сумме откликов на каждое из воздействий, то есть
( ) ( )
( )
2 2 1 2
2 2 1 2
, ,
, , .
a f x x
a f x x( )
1 1 1 2
1 1 1 2
a f x x
a f x x
⎡ + ⎤ =⎣ ⎦
⎤ + ⎡ ⎤= ⎡⎣ ⎦ ⎣ ⎦L L
( )1 2
1 1
, ,
K K
k k
k k
a f x x
= =
L
(19)
Принцип суперпозиции можно выразить в более общем виде, рас-
сматривая произвольное число K входных воздействий.
( )1 2k ka f x x
⎡ ⎤
= ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦L
1 2, 0 и 0,
в других случаях.
x x
⎣ ⎦
∑ ∑L . (20)
В изучении оптических систем фундаментальную роль играет по-
нятие точечного источника света. Точечный источник обладает бес-
конечно большой плотностью вероятностей яркости в бесконечно ма-
лой пространственной области – в точке:
( )1 2,
0,
x x
∞ = =⎧
δ = ⎨
⎩
(21)
Такое представление исключительно полезно и допускает ясную
физическую трактовку: дельта-функция может быть определена как
предел обычной функции, например
( ) ( ){ }2 2 2 2
1 2exp x x1 2, limx x ⎡ ⎤−α π +δ = α ⎣ ⎦α→∞
. (22)
Согласно выражению (22) дельта-функция может рассматриваться
как бесконечно узкая колоколообразная функция, одномерный вари-
ант которой приведен на рис.5.

Рис.5. Физическая трактовка дельта-функции Дирака
Можно также ввести дельта-функцию, расположенную не в начале
координат, а в произвольной точке с координатами ( )1 2,ξ ξ
1 1 2 2и ,
ругих случаях.
x x
по формуле
( )1 1 2 2
,
,
0, в д
x x
∞ = ξ = ξ⎧
δ − ξ − ξ = ⎨
⎩
(23)
Дельта-функция обладает следующими важными свойствами:
Свойство нормировки
( )1 2 1 2, d d 1x x x x
∞ ∞
−∞ −∞
δ =∫ ∫ . (24)
Физически это означает, что, хотя плотность вероятностей яркости
точечного источника бесконечна, энергия его ограничена и равна еди-
нице.
Фильтрующее свойство
( ) (1 2 1 1 2 2, ,f x x x x
∞ ∞
−∞ −∞
) 1 2 1 2d d ( , )x x fδ − ξ − ξ∫ ∫ = ξ ξ , (25)
( )1 2,fгде ξ ξ - произвольная функция двух переменных. Доказатель-
ство приведенных свойств выполняются с помощью подстановки в
(24) и (25) выражения (22) и раскрытия предела.
Рассмотрим 2-D линейную систему, на вход которой подан сигнал
в виде дельта-функции. Реакция системы на дельта-функцию будет
12

разной для различных систем. Она называется импульсным откликом
и служит характеристикой 2-D системы. Систему называют про-
странственно-инвариантной, если ее импульсный отклик зависит от
разности координат входной ( )1 2,x x и выходной ( )1 2,ξ ξ плоскостей.
Для оптической системы, показанной на рис.6, это означает, что при
перемещении точечного источника во входной (предметной) области
изображение этого предмета в плоскости наблюдения будет также из-
менять положение, но сохранять форму.
Рис.6. Оптическая пространственно-инвариантная система
Для пространственно-инвариантных систем импульсный отклик
описывается функцией
( ) ( )1 1h x 2 2 1 2, ,x h− ξ − ξ ≡ ζ ζ , (26)
13
где 1 1 1 2 2 2,x x− ζξ = ζ − ξ =
( ) ( )1 2 1 2, ,x x xh x ≡ ⎡δ ⎤⎣ ⎦L
(
. (27)
Используя функцию импульсного отклика, можно записать урав-
нение, связывающее изображения на входе и выходе 2-D линейной
оптической системы. Для этого представим входной сигнал )f 1 2,x x
(
в виде (25) и подадим его на вход 2-D системы с характеристикой
)1 2,h ζ ζ . Выходной сигнал запишем в виде

( ) ( )
)
1 2
1 2 2 1 2
, ,
, , d d .
x x
x
⎤ =⎣ ⎦
⎧ ⎫⎪ ⎪
( ) (
1 2
1 2 1
g x x f
f x
∞ ∞
−∞ −∞
= ⎡
= ζ ζ δ − ζ − ζ ζ ζ⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
){ }1 2 2 1 2, d dg x x f x x
∞ ∞
−∞ −∞
=
∫ ∫
L
L
(28)
Поскольку операция L линейна и операция интегрирования в фи-
гурных скобках (28) также линейна, их можно поменять местами и
записать
.( ) ( ) (1 2 1 2 1, ,ζ ζ δ − ζ − ζ ζ ζ∫ ∫ L
Учитывая, что по определению
( ){ } ( )1 1 2 2x xδ − 1 1 2 2, , ,h x xζ − ζ ≡ − ζ − ζL
окончательно получим выражение, устанавливающее связь между
изображениями во входной и выходной плоскостях линейной системы
( ) ( ) (1 2 1 2 1, , )1 2 2 1 2,g x x f h x
∞ ∞
−∞ −∞
= x d dζ ζ − ζ − ζ ζ ζ∫ ∫ . (29)
Уравнение (29) называется интегралом свертки. Из этого уравне-
ния следует, что, зная импульсный отклик оптической системы
, можно рассчитать выходное изображение по входному.( )1 2,h x x
(
Процесс свертки иллюстрирует рис.7. На рис.7а и 7б изображены
функция )f 1 2,x x
1 2,
на входе и импульсный отклик. На рис. 7в показан
импульсный отклик при обращении координат, а на рис.7г - со сдви-
гом на величину x x
( )
. На рис.7д заштрихована область, в которой
произведение ( )1 1 2 2, ,f h x x1 2ζ ζ − ζ − ζ , входящее в подынтегральное
выражение (29), не равно нулю. Интегрирование по этой области дает
величину ( )1 2,g x x 1 2,для заданных значений координат x x . Таким
образом, функция ( )1 2,g x x на выходе может быть найдена сканиро-
ванием входной функции скользящим “окном” - обращенным им-
пульсным откликом, и интегрированием по области, в которой эти
функции перекрываются.
14

Рис.7. Пример двумерной свертки
15

2. СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ.
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
2.1. Спектр периодического сигнала
Периодический сигнал – это полезная математическая модель, по-
зволяющая описывать некоторые существующие в природе процессы
и их преобразования.
Периодический сигнал – это сигнал, определяемый выражением
( ) ( )f x f x lL= + , (30)
где L – период;
l – любое целое число, принимающее положительные и отрица-
тельные значения.
Как и всякая периодическая функция, он может быть разложен в
ряд Фурье по тригонометрическим функциям
( ) 0
1k
f x c
∞
=
cos 2k k
x
c k
L
⎛ ⎞
= + π − ϕ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ . (31)
При этом периодический сигнал представляется суммой синусои-
дальных колебаний, частоты которых кратны основной частоте 1
L
.
Колебание с частотой 1
L
называется первой гармоникой (k=1), с час-
тотой 2
L
- второй гармоникой (k=2) и т.д.
Выражение (31) часто записывают в форме
( ) 0
1
cosk
k
2 2
sink
k k
f x c a
∞
=
= + ∑ x b x
L L
π π⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
a c= ϕ sink k kb c
, (32)
где
ϕ 1k ≥, ,;cosk k k =
так что
2 2
kb+k kc a= ;
16
arctg k
k
k
b
a
ϕ = 1k ≥
ka kb
, .
Коэффициенты и вычисляют по формулам

( )
2
2
L
k
L
a f
−
= ∫
2 2
cos d
k
x x x
L L
π⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
( )
17
2
2
2 2
sin d
L
k
L
k
b f x x x
L L−
π⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ 1k ≥
0c
, . (33)
При этом постоянную составляющую определяют по формуле
( )
2
0
2
1
d
L
L
c f x x
L −
= ∫
( )
. (34)
Ряд Фурье может быть также записан в комплексной форме:
2 k
i x
L
k
k
f x d e
π∞
=−∞
= ∑ , (35)
где
0 0
2 ,
2 ; .
ki
k k k k
k k
d c e a ib
c d c d
− ϕ
= = −
= =
kd
(36)
Величина называется комплексной амплитудой и может быть
вычислена по формуле
( )
22
2
1
d
L
k
i x
L
k
L
d f x e x
L
π
−
−
= ∫ . (37)
( )fКак видим из формул (35), (36), функция x
kc k
полностью опре-
деляется совокупностью величин и ϕ . Совокупность величин
называется спектром амплитуд. Совокупность величин
kc
kϕ называет-
ся спектром фаз. Вообще говоря, спектром называют совокупность
всех значений какой-либо величины, характеризующей систему или
процесс. В физике изучают оптические спектры-разложения света по
длинам волн, акустические спектры – характеристики звука, выра-
жающие его частотный состав, и т.д. В теории сигналов изучаются
спектры сигналов и систем вне зависимости от их физической приро-
ды. Заметим, что из общего определения спектра не следует, что в ка-

честве спектральных компонент обязательно должны быть коэффици-
енты функции по тригонометрическому базису.
Введение ряда Фурье позволяет описывать периодические сигналы
по всей оси x− ∞ ≤ ≤ ∞ . Они же широко применяются для описания
сигналов, заданных на ограниченных временных или пространствен-
ных интервалах (финитных во времени или пространстве).
( )f x отличен от нуля на отрезкеНапример, пусть сигнал
2 2
L
x− ≤ ≤
L
, а вне этого отрезка равен нулю. Используем прием пе-
риодического продолжения и рассмотрим сигнал ( )fL x , заданный на
всей оси (рис. 8). Сигнал ( )Lf x является периодическим и может
быть разложен на ряд Фурье в любой из введенных выше форм запи-
си. В то же время на отрезке ,
2 2
L L ( )L
⎡ ⎤− f
⎦
сигнал
⎣
x совпадает с
сигналом ( )f x , поэтому из формулы (35) получим
( )
2
k
k
f x d e
∞
=−∞
= ∑
k
i x
L
π
,
18
2 2
L L
x , (38)− ≤ ≤
где
( )
22
2
1
d
L
k
i
L
L
d f x e x
L
π
−
−
∫k = . (39)
Рис. 8. Периодическое продолжение сигнала

Подчеркнем, что формулы (38) и (39) дают спектральное пред-
ставление финитного сигнала на ограниченном отрезке времени. Для
решения целого ряда задач такое представление является достаточ-
ным, однако не следует забывать, что оно является в значительной
мере формальным и не позволяет описывать сигнал ( )f x
kd
полностью
(на всей оси времени). Для полного описания непериодической функ-
ции следует использовать интеграл Фурье.
2.2. Спектр непериодического сигнала
Будем рассматривать непериодическую функцию как предельный
случай периодической при неограниченно возрастающем периоде.
Возьмем формулу (35) и, подставив в нее значение из выраже-
ния (37), получим
19
( ) ( )
2 22
2
d
L
k k
i x i x
L L
L
1
k
f x e
L
∞
=−∞
= ∑ f x e x
π π
−
−
∫
→ ∞
.
Перейдем к пределу при . ВместоL 1
L
ϖ
введем основную
круговую частоту . Эта величина есть частотный интервал между
соседними гармониками, частота которых равна 2
k
L
π . При предель-
ном переходе сделаем замену по следующей схеме:
, , 2
k
L d
L
→ ω π → ω
ω d
→ ∞ ϖ ,
где - текущая частота, изменяющаяся непрерывно, ω - ее прира-
щение. Сумма перейдет в интеграл и мы получим
( ) ( ) d di t
f t e t
∞ ∞
ω − ω
−∞
1
2
i x
f x e
−∞
⎡ ⎤
= ω⎢ ⎥
π ⎣ ⎦
∫ ∫ (40)
или

20
( ) ( )
1
d
2
i x
F e
∞
ω
−∞
f x = ω ω
π ∫
( ) ( ) di t
, (41)
где
f t e t
∞
− ω
−∞
ω = ∫
( )xf
. (42)F
Формулы (41) и (42) являются основными в теории спектров сиг-
налов. Они представляют собой пару преобразований Фурье, связы-
вающих между собой вещественную функцию времени и ком-
плексную функцию частоты ( )F ω . Для обозначения этой связи бу-
дем использовать в дальнейшем символическую запись:
( ) ( ), ( ) ( )
-1
f x F⎯⎯→ ωF F f xω ⎯⎯⎯→F .
( )fПри этом функция x описывается суммой бесконечно большо-
го числа бесконечно малых колебаний бесконечно близких частот.
Комплексная амплитуда каждого такого колебания составляет вели-
чину
( )
1
dc F d= ω ω . (43)
π
Частотный интервал между двумя соседними колебаниями беско-
нечно мал и равен . Величинаdω
( )
dc
F
d
ω = π (44)
ω
выражает не непосредственно спектр, а так называемую спектраль-
ную плотность, то есть распределение сигнала по спектру. Однако
эту деталь обычно опускают и называют ( )F ω комплексным спек-
тром непериодического сигнала, а абсолютное значение (модуль) этой
величины называют просто спектром.
Рассмотрим некоторые свойства спектров, основанные на свойст-
вах преобразования Фурье.

( ) ( )2F ( )Линейность. Если 1F
21
ω и ω - спектры функций 1f x
(
и
)2f x 1α 2α, а , - произвольные комплексные числа, то спектр
функции ( ) ( ) ( )2 21 1x f= α x f x+ α равен ( ) ( ) ( )1 1 2 2F F Fωf = α ω + α ω
( ) ( )
( )
2
2 2 .
x F
F F
или в символической записи
( ) ( )
( )
1 1 2
1 1
f x f x f= α + α
= α ω +
⎯⎯→ ω =
α ω
F
(45)
Смысл соотношения (45) кратко выражается так: спектр суммы
равен сумме спектров.
Изменение масштаба. Если α - действительное число, то
( )
1
f x F
ω⎛ ⎞
α ⎯⎯→ ⎜ ⎟
α α⎝ ⎠
F . (46)
Особый интерес представляет случай при 1α = −
( ) ( )f x F
, тогда
⎯⎯→ −ωF . (47)−
( )Свойство запаздывания. Если функцию f x сдвинуть на вели-
чину ( )f xζ , то спектр функции − ζ окажется
( ) ( )i
f x e f x− ωζ
⎡ − ζ ⎤= ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦FF . (48)
Таким образом, при сдвиге функции ( )f x на величину ζ , ее Фу-
рье-образ умножается на i
e− ωζ
, при этом изменяется только фаза, а
модуль остается без изменения.
Перенос спектра. Если ϖ - действительное число, то
( ) ( ) j x
F f x e ϖ
ω − ϖ = ⎡ ⎤⎣ ⎦F , (49)
то есть перенос спектра по частоте на ϖ приводит к появлению до-
полнительного множителя i x
e ϖ
перед функцией исходного сигнала.
Спектр производной. Выполняя дифференцирование обеих сторон
соотношения (41) s раз по x, получим

( )
( ) ( )1 s
i F−
s
s
d f x
dx
⎡ ⎤
22
= ω ω
⎣ ⎦
F , (50)
то есть дифференцирование функции соответствует умножению ее
спектра на (iω). При этом, конечно, полагается, что производная в ле-
вой части (41) существует.
Все перечисленные свойства элементарно доказываются из соот-
ношений (41) и (42).
( )x (и )Теорема о свертке. Сверткой двух функций 1f f2 x будем
называть функцию ( )f x
( ) ( )1 2 df f x
, определяемую соотношением
( )f x
∞
−∞
= ζ − ζ ζ∫ . (51)
Вычислим спектр этой функции:
( )
( )
( )
i x
F e
f e
f e
∞ ∞
− ω
−∞ −∞
∞ ∞
− ω
−∞ −∞
∞ ∞
− ωζ
−∞
ω = ( ) ( )
( )
( )
1 2
1 2
1 2
d d
d d
d d .
i x
i j
x f f x
f x
e f− ωξ
−∞
ζ − ζ ζ =
− ζ ζ =
ζ ξ ξ
x
= ζ ζ
= ζ
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Здесь после перемены порядка интегрирования сделана замена пе-
ременной по формуле ξ = − ζ .
( )f x естьИтак, спектр функции
( ) ( ) ( )1 2F F F= ω ω . (52)ω
Теорема Парсеваля. Рассматривая интеграл от произведения двух
функций ( ) ( )21f x и f x , нетрудно получить соотношение
( ) ( ) ( ) ( )1 2d dF F
−∞
1 2
1
2
f x f x x
∞ ∞
−∞
= ω −ω ω∫π∫ (53)
( ) ( )или, с учетом F Fω = −ω ,

( ) ( )
23
( ) ( )1 2d dF F
∞ ∞
−∞
1 2
1
2
f x f x x
−∞
= ω ω ω∫
1 2
π∫ . (54)
f fДля частного случая = получаем соотношение
( ) ( )
21
d d
2
x F
∞ ∞
−∞
2
f x
−∞
= ω ω
π ∫
( )
∫ , (55)
известное как формула Парсеваля.
2.3. Спектры импульсов
Рассмотрим спектры импульсных сигналов, наиболее часто встре-
чающихся в практике.
Прямоугольный импульс (рис. 9) выражается формулой
1
, ,
2
0, .
x L
x LL
x L
⎧
≤⎪
∏ = ⎨
⎪ >⎩
(56)
Рис. 9. Прямоугольный импульс и его спектр
Фурье-образ этой функции равен:

24
( ) ( )
1 sin
d sinc
L L
x
L L2
L
i x
L
L
F x e− ω
−
ω ω
= =ω = ⎡∏ ⎤ =⎣ ⎦ ω π∫F , (57)
где
xsin
sinc x
x
π
=
π
называется функцией отсчетов.
Если прямоугольный импульс сдвинуть на величину ζ , то, со-
гласно свойству запаздывания, получим
( )
sin
A x e− ωζ
sinci iL L
e
L
− ωζω ω
=⎡∏ − ζ ⎤ =⎣ ⎦ ω π
F . (58)
Графики функции и компоненты ее спектра приведены на рис. 10.
Рис. 10. Сдвинутый прямоугольный импульс и его спектр
Функция отсчетов произвольной частоты ϖ имеет вид
( )
sin
sinc
x xϖ
f x
x
ϖ
= =
ϖ
(
. (59)
π
)Спектр ее вычислим из соотношения взаимности. Если F ω -
Фурье-образ функции ( )f x , то в результате прямого преобразования
Фурье получим

( ) ( )2 fF x ⎯⎯→ π −ωF
( )2 di x
F e
∞
− ω
−∞
. (60)
Это соотношение вытекает из равенства
( )f xπ − = ω ω∫ . (61)
В соответствии с формулами (57) и (60) получим
, ,
0, .
π⎧
ω
( ) sinc 2
x
F ϖ ( )
≤ ϖ⎪
ω = ϖ⎨
⎪
ϖ⎡ ⎤
ω = = π∏⎢ ⎥π⎣ ⎦ ω > ϖ⎩
F
График функции отсчетов и ее спектр изображены на рис. 11. От-
метим, что спектр функции отсчетов вещественен и лежит в ограни-
ченной полосе частот.
Рис. 11. Функция отсчетов и ее спектр
Два прямоугольных импульса разной полярности («меандр») име-
ют аналитическое выражение
( ) ( ) ( )L Lx x L x L+ − ∏ −Ξ = ∏ . (62)
Фурье-образ такой функции вычислим, используя свойства линей-
ности и запаздывания,
25

( )( )
26
2
sin
2i LL L
e i
L L
ω − ωsin i L
F e
ω ω
=
ω ω
ω = − . (63)
Графики меандра и его спектра приведены на рис. 12.
Рис. 12. Два прямоугольных импульса разной полярности и спектр их суммы
Треугольный импульс (рис. 13) можно записать в виде формулы
( )
1
0,
L
1 , 2 ,
2 2
2 .
x
x L
L Lx
x L
⎛ ⎞
− ≤⎜ ⎟
⎝ ⎠
>
⎧
⎪
Λ = ⎨
⎪
⎩
(64)
Легко убедиться, что функция (64) представляет собой интеграл от
функции (62), деленный на 2L, то есть спектр функции (64) связан со
спектром функции (62) соотношением
( ) ( )L L
1
2
x i x
L
⎡Λ ⎤ = ω ⎡Ξ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦F F
)
,
откуда искомый спектр
( )
( ) (
1
2
L
L
x
F x
⎡Ξ ⎤⎣
L i
⎦⎤ =⎣ ⎦ ω
F
ω = ⎡ΛF . (65)
Используя выражение (63), получим

( )
2
sin
2F i 21 1
sinc
2
L L
L i L
ω ω
=ω =
ω ω π
. (66)
Замечаем, что спектр в данном случае – вещественная неотрица-
тельная функция (см. рис. 14).
Рис. 13. Треугольный импульс и его спектр
Рис. 14. Спектр экспоненциального импульса
27

28
0x ≥
( )
, 0,
0, 0.
ax
e x
f x
x
−
⎧ ≥
= ⎨
Экспоненциальный спад описывается функцией, отличной от нуля,
только при :
<⎩
(67)
Спектр функции вычисляется по формуле
( )
0
F e
∞
ω =
1
dax i x
e x
a i
− − ω
=
+ ω∫ (68)
или через амплитуду и фазу
( ) 2 2
1 i arctg
a
F e
a
ω
− ⋅
+ ω
ω = . (69)
График амплитуды и фазы экспоненциального импульса приведен
на рис. 14.
Двусторонний экспоненциальный спад выражается как
( ) a x
f x e
−
= . (70)
Спектр такого сигнала имеет вид
( )
0
ax i
0
2 2
d d
1 1 2
x ax i x
F e e
a i a
− ω
−∞
t e e x
a
i a
∞
− − ω
ω = + =
=
+ ω + ω
∫ ∫
( )
= +
− ω
(71)
и является вещественной функцией.
Функция Гаусса имеет вид
2
2
x
f a
x e
−
=
( )
. (72)
Спектр ее вычисляется с помощью таблиц интегралов и имеет вид
2 2
4
a
F a e
ω
−
ω = π , (73)
то есть также описывается гауссовской функцией, в чем и состоит
двойственность рассматриваемого сигнала. График функции (72) при-
веден на рис. 15а, а график функции (73) на рис. 15б.

Рис. 15. Гауссовский импульс и его спектр
Связь между длительностью импульса и шириной его спектра
Рассмотрим результаты этого параграфа в аспекте длительности
импульса и ширины его спектра. У прямоугольного импульса дли-
тельности L ширина основного лепестка спектра пропорциональна
величине 1
L
. Чем больше крутизна спада экспоненциального им-
пульса (чем больше a), тем шире его спектр; аналогичным свойством
обладает гауссов импульс. Представление о связи длительности им-
пульса с шириной его спектра вытекает из свойства изменения мас-
штаба в преобразовании Фурье (46): если длительность функции
уменьшена в a раз, то во сколько же раз возрастает ширина спектра
функции. При этом полагается, что определения длительности им-
пульса Δ и ширины спектра Δω остаются неизменными. К практиче-
скому их определению можно подходить из энергетических сообра-
жений. В частности, под длительностью импульса следует понимать
29

промежуток времени, в котором сосредоточена подавляющая часть
энергии импульса,
( ) ( )2 2
d df f
∞
−∞
2
2
x
x
Δ
+
Δ
−
ξ ξ = η ξ ξ∫∫ , (74)
где x - характерная точка, определяющая местоположение импульса
на оси времени; η - доля полной энергии импульса, приходящаяся на
промежуток .Δ
Аналогичным образом можно определить и ширину спектра:
( )
30
( )
2 2
0 0
d dF F
∞Δω
ω ω = η ω ω∫
Δ Δω
1
a
∫ . (75)
Из уравнений (74) и (75) при заданном η определяют и .
Например, при η=0,9 говорят, что длительность импульса и ширина
спектра определены на уровне 0,9 по энергии. Так, для экспоненци-
ального импульса (67) при η=0,9 имеем 1,155 −
Δ = Δω
Δω
, =6,16 a,
измеряется в радианах в секунду.
2.4. Спектры обобщенных функций
Теория обобщенных функций разрешает много неясных вопросов
о преобразовании Фурье физических сигналов и создает удобный ап-
парат целого ряда прикладных задач. Рассмотрим наиболее важные
обобщенные функции.
( )Дельта-функция xδ
) ( ) ( )d
введена Дираком. Значение ее равно нулю
всюду, кроме одной точки, где оно равно бесконечности, но интеграл
от дельта-функции равен единице.
Вместо того, чтобы точно определить дельта-функцию, достаточно
указать ее основное, фильтрующее свойство:
( x f f xζ ζ =
∞
−∞
δ ζ −∫ , (76)

( )fгде x
x
- любая достаточно “хорошая” функция, которая имеет не-
прерывные производные всех порядков. При 0= имеем соотноше-
ние
. (77)( ) ( ) ( )d 0f fδ ζ ζ ζ =
( )
1, 0,
0, 0.
x
u x
x
>⎧
= ⎨
∞
−∞
∫
Функция единичного скачка (Хэвисайда) (рис. 16) задается выражением
31
<⎩
( )
(78)
Легко заметить, что введенные функции связаны соотношением
( )du x
x
d x
δ = . (79)
( )u xМожно также ввести функцию − ζ , описывающую единич-
ный скачок в момент времени ζ .
Рис. 16. Единичный скачок
Из дальнейших рассуждений увидим, что введенные здесь обоб-
щенные функции являются очень полезными при решении задач пре-
образования сигналов в линейных системах, однако встречаются лишь
на промежуточных этапах преобразований, а в окончательных резуль-
татах отсутствуют.
Рассмотрим спектры обобщенных функций.
Спектр дельта-функции определяется на основании ее фильт-
рующего свойства (77):

32
( ) ( )d 1i x
x x e x− ω
( )
∞
−∞
⎡δ ⎤ =⎣ ⎦ ∫F δ = ω , (80)
( )1где ω - функция, принимающая значение 1 при
(рис. 17).
− ∞ ≤ ω ≤ ∞
Рис. 17. Дельта-функция и ее спектр
Отсюда видим, что дельта функция обладает бесконечно широким
равномерным спектром. С точки зрения связи длительности импульса
и ширины его спектра здесь имеет место предельный случай: беско-
нечно узкий импульс имеет бесконечно широкий спектр.
( )xСпектр функции δ − ζ имеет вид
( )x x
∞
( ) di x i
e x e− ω − ωζ
− ζ =
−∞
⎡δ − ζ ⎤ = δ⎣ ⎦ ∫F .
( )1 ω , а фаза линейна (рис. 18).Модуль его равен
Рис. 18. Сдвинутая дельта-функция и ее спектр
(Спектр функции )u x может быть вычислен с учетом соотноше-
ния (79) на основании свойств преобразования Фурье
( ) ( )x i u x⎡δ ⎤ = ω ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦F F ,
откуда
( ) ( )
1 1
x
i i
= ⎡δ ⎤=⎣ ⎦u x⎡ ⎤⎣ ⎦ ω ω
F F . (81)

Теперь рассмотрим сигналы, спектры которых выражаются через
обобщенные сигналы.
33
cosСпектры гармонических функций x xϖ и ϖ :sin
( ) ( )ω− ϖ + δ ω+ ϖ ⎤
1
cos
2
i x i x
x e eϖ − ϖ
⎡ ⎤ϖ = + ⎯⎯→π⎡δ⎣ ⎦⎣ ⎦
F (82)
и
( ) ( )ω+ ϖ − δ ω− ϖ ⎤
1
sin
2
i x i x
x e e i
i
ϖ − ϖ
⎡ ⎤ϖ = − ⎯⎯→ π⎡δ⎣ ⎦
( )1 2,
⎣ ⎦
F . (83)
2.5. Двумерное преобразование Фурье
fПусть x x - функция двух переменных. По аналогии с одно-
мерным преобразованием Фурье, определенным формулами (41) и
(42), можно ввести двумерное преобразование Фурье
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 22
1 2 1 2
1
, ,
4
, ,
f x x F
F f x
∞
− ∞
∞
− ω
− ∞
⎧ 1 1 2 2
1 1 2 2
1 2
1 2
d d ,
d d .
i x i x
i x i x
e
x e
− ω + ω
− ω
= ω ω⎪
π⎪
⎨
⎪
ω ω =⎪
⎩
∫ ∫
∫ ∫
ω ω
ω ω
( )1 1 2 2i x x
e ω +ω
1
(84)
Функция при фиксированных значениях ω , опи-
сывает плоскую волну в плоскости
2ω
( )1 2,x x (рис. 19).
Величины , имеют смысл пространственных частот и раз-
мерность , а функция
1ω 2ω
1
мм−
( )1 2,F ω ω определяет спектр пространст-
венных частот.
Сферическая линза способна вычислять спектр оптического сиг-
нала (рис. 20).
На рис. 20. введем обозначения:
φ - фокусное расстояние, 1 2
1 1
2 2
,
x xπ π
ω =ω =
φ λφ
. (85)
λ
Двумерное преобразование Фурье обладает всеми свойствами од-
номерного преобразования, кроме того отметим два дополнительных

свойства, доказательство которых легко следует из определения дву-
мерного преобразования Фурье.
Рис. 19. Иллюстрация к определению пространственных частот
Рис. 20. Вычисление спектра оптического сигнала
с использованием сферической линзы
Факторизация
Если двумерный сигнал факторизуется
( ) ( ) ( )1 1 2 21 2,f x x f x f x= ⋅ , (86)
то факторизуется и его спектр
34

( ) ( ) ( )1 2, 1 1 2 2F F Fω ω = ω ⋅ ω . (87)
Пример.4. Прямоугольная апертура (рис. 21) описывается факто-
ризуемой функцией
( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2,f x x f x f x= ,
35
где ( ) (11 1 1L )f x x= ∏ , ( ) ( )22 2 2Lf x x= ∏ .
Используя результат (57), получаем выражение для двумерного
спектра
( ) 1 1 2 2
1 1 2 2
sin sinL L
L L
ω
1 2,F
ω
⋅
ω ω
ω ω = . (88)
Рис. 21. Прямоугольная апертура
Радиальная симметрия
Если двумерный сигнал радиально-симметричен, то есть
( ) ( )1 2,f x x f≡ 2 2
1 2r x x= +r , , (89)

то из (1.84) следует
36
( ) ( )
( ) ( )
0
0
d ,
d ,
F r( )
( )
0
0
f r
F r f r r r
∞
∞
⎧
= ρ ρ ℑ ρ ρ
ℑ ρ
⎪
⎪
⎨
⎪ ρ =⎪
⎩
∫
∫
(90)
( )0 rℑ ρ
) 1 1 2 2
2 1 2d di x i x
x x e x x− ω − ω
- функция Бесселя нулевого порядка.где
Формулу (90), определяющую связь между радиально-
симметричным двумерным сигналом и его пространственным спек-
тром называют преобразованием Ганкеля.
2.6. Оптические линейные системы в частотной области
Введем понятие частотной характеристики линейной системы, оп-
ределив ее как преобразование Фурье импульсного отклика (27):
. (91)( ) (1 2 1, ,H h
∞ ∞
−∞ −∞
ω ω ≡ ∫ ∫
Тогда спектры сигналов ( ) ( )1 2,1 2,f x x и g x x во входной и вы-
ходной плоскостях, соответственно, связаны соотношением:
( ) ( ) ( )1 2 1 2, , ,F1 2G Hω ω = ω ω ⋅ ω ω . (92)
При этом импульсный отклик может быть вычислен через частотную
характеристику с использованием обратного преобразования Фурье
( ) ( ) 1 1 2 2
2 1 2d di x i x
e ω + ω
ω ω ω1 2 12
1
, ,
4
h x x H
∞ ∞
−∞ −∞
= ω
π ∫ ∫ . (93)

37
3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ В КОМПЬЮТЕРЕ
3.1. Средства ввода изображения
Техническая задача, которую необходимо решить в компьютерной
обработке изображений, это ввод оптических изображений в память
компьютера и вывод (визуализация) изображений. К счастью, в со-
временных компьютерах задача визуализации решена. Для этих целей
используется высокоразрешающие цветные дисплеи и другая техника
отображения информации.
Ввод изображений в память компьютера осуществляется с помо-
щью видеодатчиков. Видеодатчик переводит оптическое распределе-
ние яркости изображения в электрические сигналы и далее в цифро-
вые коды. Поскольку изображение является функцией двух простран-
ственных переменных, а электрический сигнал является функцией од-
ной переменной - времени, то для преобразования используется раз-
вертка. Например, при использовании телевизионной камеры, изо-
бражение считывается по строкам: строка за строкой. При этом в пре-
делах каждой строки зависимость яркости от пространственной коор-
динаты x преобразуется в пропорциональную зависимость амплиту-
ды электрического сигнала от времени t. Переход от конца предыду-
щей строки к началу следующей осуществляется практически мгно-
венно. Широкое применение в качестве видеодатчиков находят также
матрицы фотодиодов и матрицы приборов с зарядовой связью. При
использовании матричных видеодатчиков изображение как бы наблю-
дается сквозь экран с множеством прозрачных ячеек. Число таких
ячеек для современных видеодатчиков весьма велико и составляет ве-
личину 1024х1024 и более (см. рис. 22).
Исходное изображение, как уже отмечалось, представляет собой
функцию двух непрерывных аргументов. В то же время цифровая па-
мять компьютера способна хранить только массивы данных. Поэтому
ввод изображения в компьютер неизбежно связан с дискретизацией
изображений по пространственным координатам и по яркости.

Рис. 22. Фрагмент матричного видеодатчика
3.2. Дискретизация изображений
( )fРассмотрим непрерывное изображение 1 2,x x - функцию двух
пространственных переменных 1x и 2x на ограниченной прямоуголь-
ной области (рис. 23).
Рис. 23. Переход от непрерывного изображения к дискретному
Введем понятие шага дискретизации 1Δ по пространственной пе-
ременной 1x и по переменной2Δ 2x . Например, можно представить,
что в точках, удаленных друг от друга на расстояние 1Δ по оси 1x
расположены точечные видеодатчики. Если такие видеодатчики уста-
новить по всей прямоугольной области, то изображение окажется за-
данным на двумерной решетке:
( ) ( ) 1 1 1 2 2 2
1 2 ,
, , x n x n
f x x1 1 2 2f n n = Δ = Δ
Δ Δ = . (94)
38

Для сокращения записи обозначим
( ) ( )2 2 1 2, ,1 1f n n f n nΔ Δ ≡
(
. (95)
)f 1 2,Функция n n является функцией двух дискретных перемен-
ных и называется двумерной последовательностью. То есть дискрети-
зация изображения по пространственным переменным переводит его в
таблицу выборочных значений. Размерность таблицы (число строк и
столбцов) определяется геометрическими размерами исходной прямо-
угольной области и выбором шага дискретизации по формуле
39
1 2
2
1 2
2 2
,
L L
N N1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =
Δ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1
, (96)
где [...] обозначает целую часть числа.
Если область определения непрерывного изображения - квадрат
L1=L2=L, и шаг дискретизации выбран одинаковым по осям x и 2x
(Δ1=Δ2=Δ), то
1 2N N N= =
(
(97)
и размерность таблицы составляет N2
.
Элемент таблицы, полученной путем дискретизации изображения,
называют «пиксел» или «отсчет». Рассмотрим пиксел )f 1 2,n n . Это
число принимает непрерывные значения.
Память компьютера способна хранить только дискретные числа.
Поэтому для записи в памяти непрерывная величина f должна быть
подвергнута аналогово-цифровому преобразованию с шагом fΔ (см.
рис. 24).
Операцию аналого-цифрового преобразования (дискретизации не-
прерывной величины по уровню) часто называют квантованием. Чис-
ло уровней квантования, при условии что значения функции яркости
лежат в интервале [ ]min min,f f A+ , равно
AQ ⎡
f
⎤= . (98)
Δ⎢ ⎥⎣ ⎦
В практических задачах обработки изображений величина Q варь-
ируется в широких пределах от Q=2 («бинарные» или «черно-белые»

изображения) до Q=210
и более (практически непрерывные значения
яркости). Наиболее часто выбираются Q=28
, при этом пиксел изобра-
жения кодируется одним байтом информации. Из всего вышеуказан-
ного делаем вывод, что пикселы, хранящиеся в памяти компьютера,
представляют собой результат дискретизации исходного непрерывно-
го изображения по аргументам и по уровням. Ясно, что шаги дискре-
тизации Δ1, Δ2 должны выбираться достаточно малыми, для того что-
бы погрешность дискретизации была незначительна, и цифровое
представление сохраняло основную информацию об изображении.
Рис. 24. Квантование непрерывной величины
При этом следует помнить, что чем меньше шаг дискретизации и
квантования, тем больший объем данных об изображении должен
быть записан в память компьютера. Рассмотрим в качестве иллюстра-
ции этого утверждения изображение на слайде размером 50х50 мм,
которое вводится в память с помощью цифрового измерителя оптиче-
ской плотности (микроденситометра). Если при вводе линейное раз-
решение микроденситометра (шаг дискретизации по пространствен-
ным переменным) составляет 100 микрон, то в память записывается
двумерный массив пикселов размерности N2
=500х500=25х104
. Если
же шаг уменьшить до 25 микрон, то размеры массива возрастут в 16
раз и составят N2
=2000х2000=4х106
. Используя квантование по 256
уровням, то есть кодируя найденный пиксел байтом, получаем, что в
первом случае для записи необходим объем 0,25 мегабайт памяти, а во
втором случае 4 мегабайта.
40

4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
4.1. Последовательности
( )fПри цифровой обработке непрерывный сигнал t
Δ
представля-
ется набором своих значений (отсчетов) в дискретные моменты вре-
мени – последовательностью. Мы ограничимся рассмотрением наибо-
лее распространенного на практике случая, когда интервал между от-
счетами (шаг дискретизации во времени) постоянен и равен .
Для записи последовательности будем пользоваться одним из двух
обозначений: ( ){f f n= }Δ или {
41
( )}f f n= n. В обоих случаях - це-
лое. Первая запись определяет значения элементов последовательно-
сти как значения непрерывного сигнала в дискретные моменты физи-
ческой шкалы времени, то есть непосредственно отражает процесс
дискретизации сигнала:
( ) ( ) t nf n f t = ΔΔ =
n
. (99)
Во второй записи в качестве аргумента дискретного сигнала ис-
пользуется просто порядковый номер отсчета , которому в этом слу-
чае придается смысл дискретного безразмерного времени. Второе обо-
значение короче и поэтому предпочтительнее, однако в случаях, когда
требуется учитывать реальный масштаб времени, применяется первое.
Интервал определения последовательности может быть конечным,
полубесконечным или бесконечным. При [ ]1 2, N 1 2,n N∈ , где N N
( ]2,n N∈ −∞
- це-
лые, имеем последовательность конечной длины, при ле-
востороннюю, а при ( )1,n N∈ ∞ правостороннюю последователь-
ность. При последовательность является двусторонней
(бесконечной, неограниченной по аргументу). Для унификации рас-
смотрения всякую последовательность обычно приводят к бесконеч-
ной, полагая отсчеты, лежащие вне интервала определения, тождест-
венно равными нулю. При этом данная классификация по существу
( ),∈ −∞ ∞n

относится не к области определения, а к области, в которой значения
последовательности могут отличаться от нуля.
42
n
( )
1, 0,
0, 0.
n
n
n
Последовательность называется детерминированной, если можно
точно указать ее значения для любого момента дискретного времени
. Последовательность - случайная, если ее элементы - случайные ве-
личины.
Приведем примеры важнейших детерминированных последова-
тельностей.
Единичный импульс:
=⎧
δ = ⎨
≠⎩
0n
( ) 0
0
0
1, ,
0, .
n n
n n
n n
=⎧
= ⎨
≠⎩
( )
1, 0,
0, 0.
n
u n
n
≥⎧
= ⎨
(100)
Графическое изображение единичного импульса приведено на
рис. 25. Аналогично определяется и единичный импульс, сдвинутый
на отсчетов:
(101)δ −
Единичный скачок:
<⎩
( ) ( )
0k k
k n k
∞
=
(102)
Графическое изображение единичного скачка показано на рис. 26.
Единичный скачок можно выразить через единичный импульс:
( )
n
u n
=−∞
= δ = δ −∑ ∑ .
Рис. 25. Иллюстрации единичного импульса

Рис. 26. Иллюстрация единичного скачка
Приведенные обозначения единичного импульса и единичного
скачка являются стандартными и используются далее везде.
Дискретный прямоугольный импульс длины N:
(103)( )
1,
0,
f n
⎧
= ⎨
⎩
0 1,
0 .
n N
n или n N
≤ ≥ −
< ≥
) ( ) ( )
Эта последовательность (рис. 27) очевидным образом выражается
через функции единичного импульса или единичного скачка:
( ) (
1
0
N
k
f n n
−
=
= δ −∑ k u n u n N= − − .
Рис. 27. Иллюстрация дискретного прямоугольного импульса
Дискретная правосторонняя экспонента:
( ) ( )
, 0
0, 0
n
na n
f n a u n
n
⎧ ⎫≥
= =⎨ ⎬
<⎩ ⎭
a
. (104)
График последовательности при 0 1< < показан на рис. 28.
43

Рис. 28. Иллюстрация дискретной правосторонней экспоненты
Дискретная комплексная экспонента задается выражением
( ) i n
cos sinf n e ω
n i n= = ω + ω
i
, (105)
где - мнимая единица, ω - константа, имеющая смысл безразмерной
частоты. Последовательность (105) играет исключительно важную
роль при анализе сигналов и систем в частной области (см. п. 5).
4.2. Дискретные ЛПП-системы
Будем называть дискретной системой правило L – преобразова-
ния одной последовательности f , называемой входной, в другую
последовательность g , называемую выходной.
В общем виде это преобразование обозначается
44
( ){ } { ( )}g n f n⎡ ⎤= ⎣ ⎦L . (106)
Дискретная система L называется линейной, если для нее соблюдает-
ся принцип суперпозиции, то есть для любых 1 2,f f и постоянных ,a b
( ) ( ){ } ( ){ } { ( )}1 2af n bf n a f⎡ ⎤+ =⎣ ⎦L L 1 2n b f n⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ⎣ ⎦L . (107)
Дискретная система с постоянными параметрами характеризует-
ся тем, что если справедливо соотношение (106), то справедливо
и соотношение
( ){ } { ( )}0 0f n ng n n ⎡ ⎤− = −⎣ ⎦L
0.n
(108)
при любом целом Иными словами, такая система обладает свойст-
вом инвариантности к сдвигу во времени: задержка входного сигнала

приводит к равной задержке выходного сигнала без изменения самого
закона преобразования входа в выход.
Дискретные системы, обладающие одновременно свойствами ли-
нейности и инвариантности к сдвигу, называются дискретными ли-
нейными системами с постоянными параметрами (ЛПП-системами).
Классу ЛПП-систем принадлежат многие алгоритмы цифровой обра-
ботки сигналов и дискретные модели реальных динамических объек-
тов. Для таких систем наиболее глубоко разработаны математические
методы анализа и синтеза. Мы ограничимся рассмотрением именно
этого класса дискретных систем.
45
h
Чтобы описать систему, нужно указать конкретное правило преоб-
разования входного сигнала в выходной. ЛПП-систему можно описать
с помощью ее импульсной характеристики.
Импульсная характеристика дискретной ЛПП-системы опреде-
ляется как реакция системы на выходное воздействие в форме еди-
ничного импульса:
( ){ } { ( )}h n n⎡ ⎤= δ⎣ ⎦L
( ) ( )
k
. (109)
Импульсная характеристика исчерпывающим образом описывает
ЛПП-систему с точки зрения преобразования сигналов. Действитель-
но, любую последовательность на входе ЛПП-системы можно пред-
ставить в виде бесконечной суммы
( )f n f k n k
∞
=−∞
= δ −∑
( ) ( )
k
f k h n k
∞
=−∞
. (110)
В силу соотношения (107) преобразование суммы равно сумме
преобразований слагаемых. Каждое слагаемое в сумме (110) есть
сдвинутый единичный импульс с коэффициентом - значением соот-
ветствующего отсчета входной последовательности. Согласно (108) и
(109) каждый такой импульс дает на выходе отклик в виде сдвинутой
импульсной характеристики с тем же коэффициентом. Полная выход-
ная последовательность записывается в виде
−∑ . (111)( )g n =

46
.n
(Здесь и далее полагаем, что последовательности, входящие в выра-
жения вида (111) таковы, что эта сумма ряда сходится при любом ко-
нечном )
Таким образом, знания импульсной характеристики достаточно,
чтобы по выходной последовательности вычислить выходную.
Выражение (111) задает свертку последовательностей f и .
Часто используется его краткая символическая запись:
h
( ) ( ) ( )y n f n h n= ∗
,a b с
. (112)
Отметим некоторые легко доказываемые свойства свертки (пусть
и - произвольные последовательности):
- коммутативность
( ) ( ) ( ) ( )b n b n a n∗ = ∗a n ; (113)
- ассоциативность
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a n b n c n∗ ⎤ ∗⎣ ⎦a n b n c n∗ ⎡ ∗ ⎤ = ⎡⎣ ⎦ ; (114)
- дистрибутивность
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a n b n c n a n∗ ⎡ + ⎤ = ∗⎣ ⎦ b n a n c n+ ∗ . (115)
( )a n можно записатьДля любой последовательности
( ) ( ) ( )0 0n n a n n− = −
0n
1 2, ,..., ,Nh h h h
a n ∗δ (116)
при любом целом (формула (116) выражает так называемое
фильтрующее свойство единичного импульса).
Легко показать, что если ЛПП-система состоит из N последова-
тельно соединенных звеньев с импульсными характеристиками
то ее импульсная характеристика равна свертке им-
пульсных характеристик звеньев:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... Nh n h n= ∗ ∗ ∗h n h n . (117)
При параллельном соединении звеньев их импульсные характери-
стики суммируются, то есть для системы в целом
( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... Nh n h n+ +h n h n= + (118)

4.3. Физическая реализуемость и устойчивость ЛПП-систем
47
0n
0.n n≤
Дискретная система называется физически реализуемой, если зна-
чение выходной последовательности в произвольный момент за-
висит только от значений входной последовательности при
Иначе говоря, для физически реализуемой системы отклик не опере-
жает входное воздействие.
Для независимости выхода физически реализуемой дискретной
ЛПП-системы от "будущих" значений входной последовательности
требуется, чтобы в свертку (111) все значения ( )f k k n>при входи-
ли с нулевыми коэффициентами. Очевидно, это выполняется, если
( ) 0h n = при 0.n < (119)
Это условие является необходимым и достаточным для физиче-
ской реализуемости ЛПП-системы.
Дискретная система называется устойчивой, если любому ограни-
ченному входному воздействию соответствует ограниченный отклик,
то есть при
( )f fn M n (120)≤ ∀
из (110) следует
( )g gn M n≤ ∀
,
, (121)
где M f gM
( )
- некоторые положительные константы.
Необходимым и достаточным условием устойчивости дискрет-
ной ЛПП-системы является абсолютная суммируемость импульсной
характеристики:
.
n
h n
∞
=−∞
< ∞∑ (122)
Докажем это. Сначала докажем необходимость, используя контр-
пример. Рассмотрим ограниченную входную последовательность
(
( )
)
( )
при 0,
при 0.
h n
h n
1
1
f n
⎧ − ≥⎪
= ⎨
− − <⎪⎩
(123)

48
0.n =
( )
Определим значение последовательности на выходе системы при
В соответствии с формулами (111) и (123)
( ) ( ) ( ) ( )0
k k k
g f k h k
∞ ∞
=−∞ =−∞
= −∑ ∑ h k h k
∞
=−∞
= − = ∑ .
Если условие (122) не выполняется, то не выполняется и условие
устойчивости (121). Следовательно, выполнение условия (122) являет-
ся необходимым условием устойчивости системы. Для доказательства
достаточности предположим, что условие (122) выполняется, и на
вход системы поступает ограниченная последовательность, то есть
справедливо неравенство (120). Тогда, используя свойство коммута-
тивности свертки (111), получаем:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ,f g
n k
h k M
∞
∞
= − ≤
= < ∞
k
k k
g n h k f
h k f n k M
∞
=−∞
∞
=−∞ =−
≤ ⋅ − ≤
∑
∑ ∑
то есть всегда выполняется соотношение (121), выходная последова-
тельность ограничена, и система устойчива.
Теперь, после введения понятий физической реализуемости и ус-
тойчивости можно дать простую, но важную классификацию ЛПП-
систем по форме импульсной характеристики. У ЛПП-систем с конеч-
ной импульсной характеристикой (КИХ-систем), как следует из само-
го названия, импульсная характеристика представляет собой последо-
вательность конечной длины, то есть ( ) 0h n = при [ ]1 2, .n N N∈
1 0N ≥
0= 1N
КИХ-
системы всегда устойчивы, так как для них сумма (122) конечна. При
такие системы являются физически реализуемыми.
ЛПП-системы с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-
системы) имеют в качестве импульсной характеристики правосторон-
нюю, левостороннюю или двустороннюю последовательность, то есть
при или( )h n n < ( )h n 0= при , или при
. Такие системы могут быть неустойчивыми. Требование
физической реализуемости здесь выполняется только в первом случае
при .
2N ( ) 0h n ≠
( ),n∉ −∞ ∞
1 0N ≥
n >

49
1 0,n N< <
Если у КИХ- или БИХ-системы импульсная характеристика равна
нулю при то такая система тоже может быть реализована,
если допустить задержку в получении сигнала на выходе. Величина
этой задержки должна быть достаточной, чтобы "сдвинуть" импульс-
ную характеристику вправо в область неотрицательных значений ар-
гумента на число отсчетов не меньше ( )1N−
( ) ( )
1 0
M N
j j
j j
n j b f n j
= =
. Строго говоря, при этом
реализуется не исходная система, а другая, эквивалентная последова-
тельному соединению системы и звена задержки. Однако в большин-
стве практических приложений такая замена вполне допустима.
4.4. Разностные уравнения
Как следует из выражений (111) и (119), для физически реализуе-
мой БИХ-системы значение последовательности на выходе зависит от
текущего и всех предыдущих значений входной последовательности.
Описание (111) не является конструктивным в том смысле, что не по-
зволяет практически построить БИХ-систему: для получения каждого
значения выходной последовательности требуется выполнить беско-
нечное число операций сложения и умножения. Число операций мож-
но сделать конечным, если выразить текущее значение выходной по-
следовательности не только через входные, но и через предыдущие
выходные значения, иначе говоря, записать уравнение ЛПП-системы в
рекурсивной форме. При этом получаем описание ЛПП-системы в виде
линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами:
( )g n a g= − + −∑∑ , (124)
где{ } { },j ja b ,- коэффициенты уравнения, M N - целые константы,
характеризующие сложность системы.
0MaM приВеличина ≠ определяет порядок разностного уравне-
ния (ЛПП-системы). БИХ-системы всегда имеют ненулевой порядок и
являются рекурсивными: для них каждое следующее значение выходной

последовательности вычисляется через M предыдущих. В частном
случае, когда все коэффициенты { }ja равны нулю, уравнение (124) опи-
сывает нерекурсивную КИХ-систему, имеющую нулевой порядок.
Заметим, что разностное уравнение (124) при конечных ,M N
описывает более узкий класс физически реализуемых ЛПП-систем,
нежели свертка (111). Для некоторых форм импульсной характеристи-
ки переход от свертки к разностному уравнению осуществить не уда-
ется. Впрочем, такие «неприводимые» случаи на практике не встре-
чаются и поэтому ниже не рассматриваются.
Обратный переход от разностного уравнения (124) к свертке (111)
возможен всегда, его осуществление означает выражение выходной
последовательности через входную в явной форме, то есть решение
разностного уравнения. Методы решения разностных уравнений хо-
рошо разработаны. В простейших случаях продуктивным является
последовательное отыскание отсчетов выходного сигнала путем пря-
мой подстановки в уравнение с дальнейшим обобщением результата
методом математической индукции.
Пример 5. Пусть физически реализуемая ЛПП-система первого
порядка описывается разностным уравнением
( ) ( ) ( )1g n ag n f n= − +
a
, (125)
где - постоянный коэффициент. Требуется получить описание сис-
темы в виде свертки. Найдем вначале импульсную характеристику
системы. В соответствии с определением импульсной характеристики
(109) уравнение (125) можно переписать в виде
( ) ( ) ( )1 .ah n n= − + δ
n
h n (126)
Рассматриваемая система физически реализуема, поэтому все зна-
чения импульсной характеристики при 0< равны нулю (см. форму-
лу (119)). При 0 значения импульсной характеристики определя-
ются прямой подстановкой в уравнение (126) предыдущих значений
с учетом формулы (100):
n >
( ) ( ) ( )0 1h ah 0 0 1 1a= − + δ = ⋅ + = ;
50

( ) ( ) ( )1 1 0a a1 0h ah= + δ = ⋅ + = ;
( ) ( ) ( ) 2
2 0a a aδ = ⋅ + =2 1h ah= + ;
. . .
Анализируя этот результат, нетрудно заметить, что импульсная
характеристика имеет аналитическое выражение в виде правосторон-
ней экспоненты (104):
( ) ( ).n
h n a u n=
) ( )
( )
0
.k k
k k
f n k
a f n k
∞
=
= − =
= −∑ ∑
n ≥
( )
(127)
С учетом свойства коммутативности свертки (111), а также выраже-
ния (102) для единичного скачка получаем окончательный результат:
(128)
( ) (
( ) ( )
k
g n h k
a u k f n k
∞
=−∞
∞
=−∞
= −
∑
Заметим, что при решении разностного уравнения (124) прямой под-
становкой необходимо задавать начальные условия, число которых зависит
от сложности уравнения. Так, для получения решения при 0 нужно
задать ( ) ( ),y M−1 , 2 ,...,y y− − а также ( ) ( ) ( )1 , 2 ,...,f f f N− − −
)
, то
есть всего (M N+
z
величин.
Метод прямой подстановки, будучи громоздким, имеет весьма ог-
раниченное применение. Существуют другие, более мощные аналити-
ческие методы решения разностных уравнений, позволяющие сразу
получить результат в общем виде. Один из таких методов, основан-
ный на применении -преобразования, мы рассмотрим ниже.
Описание ЛПП-системы с помощью разностного уравнения имеет
важное практическое значение, поскольку непосредственно определяет
алгоритм преобразования входной последовательности в выходную. По
разностному уравнению легко строится структурная схема ЛПП-системы,
состоящая из комбинации типовых элементов, осуществляющих
операции суммирования (рис. 29а), умножения на коэффициент (рис.
29б) и задержки (сдвига) последовательности (рис. 29в).
51

а) б) в)
Рис. 29. Типовые элементы структурных схем ЛПП-систем:
элемент суммирования (а); элемент умножения (б); элемент задержки (в)
На рис. 30 представлена структурная схема, соответствующая
прямой реализации ЛПП-системы по разностному уравнению (124).
Рис. 30. Пример структурной схемы для прямой реализации ЛПП-системы
по разностному уравнению
4.5. Двумерные последовательности
Обобщим изложенное выше на случай двумерных сигналов.
Двумерный дискретный сигнал (последовательность) может быть
получен из двумерного непрерывного сигнала ( )1 2,f x x путем его
52

53
1 2,
дискретизации по аргументам. Пусть интервалы между отсчетами
сигнала (шаги дискретизации) по каждой координате плоскости аргу-
ментов постоянны и равны Δ Δ , то есть двумерная последователь-
ность задается выражением
( ) ( )1 1 2 2f n nΔ Δ 1 2
1 1 1
2 2 2
, ,f x x
x n
x n
=
= Δ
= Δ
1 2,n n
(129)
при целочисленных . Формула (129) определяет последователь-
ность ( ){ }1 1 2 2,n n Δf f= Δ через значения непрерывного сигнала в
дискретных точках плоскости аргументов, то есть непосредственно
отражает процесс дискретизации сигнала. В тех случаях, когда “при-
вязка” отсчетов к физической шкале непрерывных координат не игра-
ет роли, можно воспользоваться более кратким и удобным обозначе-
нием последовательности: ( ){ }1 2,f f n= n 1 2,n n, где приобретают
смысл порядковых номеров отсчетов по координатам.
Следует заметить, что термин “последовательность” формально
перенесен сюда из теории одномерных сигналов и в данном контексте
не вполне корректен. Действительно, для отсчетов на плоскости нет
объективно существующего “следования” (то есть отношения поряд-
ка, описываемого понятиями “раньше” - “позже”), а имеется просто их
двумерная совокупность или, как говорят, решетка отсчетов.
Заметим также, что если в одномерном случае существовал един-
ственный способ дискретизации с постоянным шагом, то для двумер-
ного мы имеем бесконечное множество ее вариантов, отличающихся
наклоном прямых, “вдоль” которых берутся отсчеты сигнала. Запи-
санная выше процедура формирования двумерной последовательно-
сти соответствует так называемой прямоугольной решетке (см. рис.
31а). В некоторых системах ввода изображений используется дискре-
тизация по треугольной решетке (см. рис. 31б), которая, как показы-
вают исследования, обеспечивает определенные преимущества при
обработке двумерных сигналов. Ниже мы будем рассматривать только

двумерные последовательности, заданные на прямоугольной решетке,
поскольку этот случай наиболее распространен на практике.
Рассмотрим некоторые важнейшие двумерные последовательности.
а) б)
Рис. 31. Положение отсчетов двумерной последовательности
на плоскости аргументов непрерывного сигнала:
прямоугольная решетка (а); треугольная решетка (б)
Двумерный единичный импульс:
1 2
1 2
0,
0 или 0.
n n
n n
= =
( )1 2
1, при
,
0, при
n n
⎧
δ = ⎨
≠ ≠⎩
(130)
Графическое изображение единичного импульса представлено на рис. 32.
Рис. 32. Двумерный единичный импульс
Двумерный единичный скачок:
1 2
1 2
0 и 0,
0 и 0.
n n
n n
≥ ≥
( )1 2
1 при
,
0 при
u n n
⎧
= ⎨
< <⎩
(131)
54

Эта последовательность изображена на рис. 33. Приведенные обо-
значения двумерных единичных импульса и скачка будем использо-
вать везде далее.
Рис. 33. Двумерный единичный скачок
Двумерная экспоненциальная функция первого квадранта:
( ) ( )1 2
1 2, ,n n
1 2f n n a b u n n=
0 a
. (132)
< , 1b < дано на рис. 34.Изображение этой последовательности для
Рис. 34. Двумерная экспоненциальная функция первого квадранта
Двумерная дискретная комплексная экспонента задается выражением
( ) ( )1 1 2 2
1 2, i n n
f n n e ω +ω
=
1 2,
, (133)
где i – мнимая единица, ω ω - вещественные константы, имеющие
смысл безразмерных пространственных частот (см. п. 5).
Важный класс двумерных последовательностей составляют разде-
лимые (факторизуемые) последовательности, которые можно предста-
вить в виде
( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2,f n n f n f n= . (134)
55

Для разделимых последовательностей многие задачи анализа
и синтеза двумерных сигналов и систем решаются наиболее просто,
так как сводятся к решению соответствующих “одномерных” задач.
Все рассмотренные выше двумерные последовательности являются
разделимыми. Например,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2,n u n u n=1 2 1 2, ,n n n n u nδ = δ δ ,
где ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , ,n n u n u nδ δ - одномерные единичные импульсы
и скачки.
Как и в одномерном случае, можно дать классификацию двумер-
ных последовательностей по форме области ненулевых значений от-
счетов. Правда, здесь вместо четырех классов последовательностей
(конечной длины, бесконечных, право- и левосторонних) мы будем
иметь гораздо большее многообразие. Так, только для разделимых
последовательностей, опираясь на классификацию одномерных по-
следовательностей, входящих в (134), можно указать 16 классов.
Столь громоздкая классификация не очень удобна для анализа, поэто-
му мы ограничимся разделением двумерных последовательностей
всего на два класса: на последовательности конечной длины:
[( ) ]
[ ]
1 1 1
2 2 2
и ,
и , ,
n M N
n M N
= ∉
∉
1 2 1 2, , ,
1 2, 0 пр
ил
f n n
(135)
M N N - целые константы ( )1 1 2 2,M Mгде N M N≤ ≤ , и на по-
следовательности бесконечной длины, для которых записанное усло-
вие не выполняется. Детализацию второго класса будем вводить
по мере необходимости.
4.6. Двумерные дискретные ЛПП-системы
Двумерной дискретной системой будем называть правило L, ста-
вящее в соответствие входной двумерной последовательности f вы-
ходную двумерную последовательность g. В общем виде это соответ-
ствие (преобразование) записывается в виде
( ){ } { ( )}1 2g n n 1 2, ,f n n⎡ ⎤= ⎣ ⎦L . (136)
56

Определение двумерных дискретных линейных систем с постоян-
ными параметрами (ЛПП-систем) аналогично определению одномер-
ных: для них должен соблюдаться принцип суперпозиции:
( ) ( ){ }
( ){ }
1 1 2
1 1 2
af n n
a f n n
⎣
( ){ }
2 1 2
2 1 2
, ,
, ,
bf n n
b f n n
⎡ ⎤+ =⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦L L
1 2,
L
(137)
fдля любых f и постоянных a, b, и они должны обладать свойст-
вом инвариантности к сдвигу сигнала по каждой координате, то есть
( ){ } ( ){ }1 1 2 2,g n m n m f 1 1 2 2,n m n m⎡ ⎤− −− − = ⎣ ⎦
1 2,m m
L (138)
при любых целых . Двумерные системы, для которых выполня-
ется условие (138), называются также пространственно-
инвариантными или изопланатичными.
Импульсная характеристика h двумерной дискретной ЛПП-
системы определяется как реакция системы на входное воздействие в
форме двумерного единичного импульса:
( ){ } { ( )}1 2h n n 1 2, ,n n⎡ ⎤= δ⎣ ⎦L
) ( )1 1 2 2,
. (139)
Импульсная характеристика исчерпывающим образом описывает
двумерную ЛПП-систему с точки зрения преобразования сигналов.
Выходная последовательность определяется через двумерную дис-
кретную свертку импульсной характеристики и входной последова-
тельности:
( ) (
1 2
1 2 1 2, ,
m m
g n n h m m
∞ ∞
=−∞ =−∞
= ∑ ∑ f n m n m− −
21, nn
. (140)
(Здесь и далее полагаем, что последовательность, входящая в выражения
вида (140) таковы, что эта сумма сходится при любых конечных .)
Ниже наряду с (140) будем использовать краткую символическую
запись двумерной свертки:
( ) ( ) ( )1 2 1 2, , ,1 2g n n h n n f n n= ∗∗ . (141)
Двумерная свертка обладает всеми свойствами одномерной сверт-
ки: коммутативностью, дистрибутивностью (см. п. 4.2) и, кроме того,
57

рядом дополнительных свойств, вытекающих именно из двумерности
рассматриваемых последовательностей. Так, если h и f – разделимые
последовательности, то и выходная последовательность также разде-
лима. Действительно, при выполнении соотношений (134) и
( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2n h n h n=
) ( )
) ( ) ( )
1 2 2 2
2 1 1 2 2 ,
f n m
g n g n
− =
− =
( ) ( )2 2 2 2 2
,h n (142)
из (140) получаем:
( ) ( ) ( ) (
( ) ( ) ( ) (
1 2
1 2
1 2 1 1 2 2 1 1
1 1 1 1 1 2 2 2 2
,
m m
m m
g n n h m h m f n m
h m f n m h m f n m
∞ ∞
=−∞ =−∞
∞ ∞
=−∞ =−∞
= −
= −
∑ ∑
∑ ∑
где обозначено
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1 1 1 1 1 1 1 2 2;
m m
g n h m f n m g n
∞ ∞
=−∞ =−∞
= −∑ ∑ h m f n m= − .
Иначе говоря,
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2
2 2 2 2 ,
f n f n
h n f n
⎤ =⎣ ⎦
⎡ ∗ ⎤⎣ ⎦
( )
)
1 1 2 2
2
, ,
, ,
n m n m
n
= − − =
(1h n 1n ( )2 2h n
2n
( ) ( )
1 1 2 2
1 1 1 1
h n h n
h n f n
⎡ ⎤ ∗∗⎡⎣ ⎦
= ⎡ ∗ ⎤ ×⎣ ⎦
(143)
то есть для разделимых последовательностей двумерная свертка вы-
числяется через произведение одномерных.
Если импульсная характеристика двумерной ЛПП-системы факто-
ризуема, то для произвольного входного сигнала
(144)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
1 2
1 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1
m m
g n n h m h m f
h n h n f n
∞ ∞
=−∞ =−∞
= ∗ ∗
∑ ∑
то есть операция двумерной свертки сводится к последовательному
выполнению двух одномерных сверток. Это означает, что преобразо-
вание сигнала двумерной ЛПП-системой с разделимой импульсной
характеристикой эквивалентно его последовательному преобразова-
нию двумя одномерными системами: с импульсной характеристикой
по координате и с импульсной характеристикой
по координате .
)1
58

Развивая аналогию между одномерными и двумерными система-
ми, отметим, что, как и в одномерном случае, двумерные ЛПП-
системы могут характеризоваться фундаментальными свойствами фи-
зической реализуемости и устойчивости. Двумерная система называ-
ется устойчивой, если любому ограниченному входному сигналу со-
ответствует ограниченный выходной сигнал, то есть при
( )f
59
1 2, fn n M≤
выполняется
( )g 1 2, gn n M≤
,
,
где M f gM
( )
- некоторые положительные константы. Необходимым и дос-
таточным условием устойчивости двумерной дискретной ЛПП-системы
является абсолютная суммируемость импульсной характеристики:
1 2
1 2,
n n
h n n
∞ ∞
=−∞
<
=−∞
∞∑ ∑ . (145)
Доказательство этого факта – такое же, как и в одномерном случае.
С понятием физической реализуемости двумерных систем дело обсто-
ит сложнее, этот вопрос требует отдельного рассмотрения.
4.7. Физическая реализуемость двумерных систем
Вспомним, что мы называли физически реализуемой такую одно-
мерную систему, у которой выходной сигнал не зависел от входного
сигнала в опережающие моменты времени, то есть от его "будущих"
значений. Однако, как уже отмечалось, в двумерной последовательно-
сти аргументы являются не временными, а пространственными, для ее
отсчетов не определено отношение порядка типа "прошлое" – "буду-
щее", и поэтому, строго говоря, понятие физической реализуемости
системы не имеет смысла. Тем не менее на практике обычно приходится
искусственно вводить указанное отношение для двумерного сигнала, за-
давая некоторое правило его развертки (упорядочения отсчетов) в од-
номерную последовательность. При этом понятие физической

реализуемости вновь приобретает смысл, но оказывается жестко свя-
занным с конкретным видом развертки.
60
( ) ( )2 21 1N M× − +
Известны различные, в том числе и довольно сложные способы
развертки, используемые в устройствах ввода и обработки двумерных
сигналов. Наибольшее распространение получила развертка телеви-
зионного типа. Пусть имеется двумерная последовательность конеч-
ной длины, отвечающая условию (135). Представим прямоугольную
область ее ненулевых отсчетов в виде матрицы размерами
:1 1N M− +
( ){ }
( ) ( ) ( )
) ( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 ,
1,
,
f M N
f M N
f N N
⎞
⎜ ⎟
+ +⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) (
( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
, ,
1, 1, 1
,
, , 1
f M M f M M
f M M f M M
f n n
f N M f N M
⎛ +
+ +
=
+
K
K
K
K
.
Развертка телевизионного типа заключается в последовательном
упорядочении строк или столбцов этой матрицы. Очевидно, сущест-
вует восемь вариантов такой развертки: начиная с каждого из четырех
углов матрицы, по ее строкам и столбцам. Мы ограничимся рассмот-
рением лишь одного, наиболее часто используемого варианта - строч-
ной развертки в направлении возрастания аргументов. В этом случае
осуществляется так называемое лексикографическое упорядочение
отсчетов, в результате которого они выстраиваются в одномерную
последовательность вида
( ) ( ) ( )
) ( )
1 2
2 1 2
, ,
, , , .
N
N f N N+K K( ) ( ) (
1 2 1 2
1 2 1 2 1
, , , 1 , ,
1, , 1, 1 , , 1,
f M M f M M f M
f M M f M M f M
+
+ + +
K
Для простоты изложения далее будем считать, что размеры матри-
цы отсчетов достаточно велики, чтобы не обращать внимание на нере-
гулярность строчной развертки, то есть на ее скачки с конца каждой
строки на начало следующей. С учетом этой оговорки, для строчной
развертки области “прошлого” и “будущего”, заданные относительно
некоторого отсчета ( )1 2,f n n , на плоскости аргументов выглядят так,
как показано на рис. 35. При этом из соотношения свертки (130)

( )1 2,gследует, что независимость выходных отсчетов n n
1 2
1 2
0, 0
0 и любых .
h m m m
m m
= <
<
от будущих
(в принятом смысле) значений входного сигнала обеспечивается, если
(146)
( )1 2, 0 при
и при
m=
Условие (146) является необходимым и достаточным для физиче-
ской реализуемости двумерной ЛПП-системы при строчной развертке
сигнала, его графическая иллюстрация дана на рис. 36а.
Рис. 35. Области «прошлого» и «будущего» при строчной развертке
Часто к двумерной системе предъявляется более жесткое требова-
ние физической реализуемости при любом порядке возрастания аргу-
ментов выходного сигнала, то есть и при строчной развертке,
и при ее транспонированном варианте – развертке по столбцам. В этом
случае приходим к следующему необходимому и достаточному усло-
вию реализуемости:
1 2,n n
1 2
1 2
0 и любом
юбом и 0.
m m
m m
= <( )1 2, 0 при
и при л
h m m
<
(147)
Двумерная ЛПП-система, для которой выполняется это условие,
называется каузальной, иллюстрация для ее импульсной характери-
стики дана на рис. 36б.
Наряду с каузальными системами иногда приходится рассматри-
вать и полукаузальные ЛПП-системы, для которых
61

( )1 2, 0 приh m m m1 20 или 0m= < < (148)
(см. рис. 36в, г). Для таких двумерных систем считается, что вся строка
(или столбец) матрицы отсчетов сигнала соответствует одному и тому
же моменту времени. Соответственно, есть «прошлые» и «будущие»
строки (столбцы), но отсчеты внутри каждой строки (столбца) посту-
пают на обработку одновременно (параллельно).
а) б)
в) г)
Рис. 36. Области потенциально ненулевых значений импульсных характеристик
двумерных ЛПП-систем (отмечены крестиками): система, физически реализуемая
при строчной развертке (а); каузальная система (б); полукаузальные системы (в, г)
И, наконец, существуют некаузальные двумерные ЛПП-системы,
то есть такие, для которых не налагается никаких ограничений на об-
ласть ненулевых значений импульсной характеристики. Их одномер-
ными аналогами являются физически нереализуемые ЛПП-системы.
Заметим, что, если импульсная характеристика двумерной сис-
темы является факторизуемой (см. (132)), то прослеживается про-
стая связь между физической реализуемостью составляющих ее од-
номерных систем и каузальностью. Если одномерные ЛПП-системы
62

63
1h 2hс импульсными характеристиками и обе физически реализуе-
мы, то двумерная система является каузальной, если физически реали-
зуема лишь одна из одномерных систем, то двумерная система полу-
каузальна, если обе одномерные физически нереализуемы, то двумер-
ная некаузальна.
В заключение параграфа отметим, что, как и в одномерном случае,
можно выделить двумерные ЛПП-системы с конечной и бесконечной
импульсной характеристикой (КИХ- и БИХ-системы). У двумерной
КИХ-системы импульсная характеристика – двумерная последова-
тельность конечной длины. Такая система либо является каузальной,
либо может быть приведена к каузальной системе введением задержки
по строкам и столбцам при получении выходного отсчета. Как следует
из (145), двумерная КИХ-система всегда устойчива.
Двумерная БИХ-система, как и ее одномерный аналог, в общем
случае может быть и физически нереализуемой (некаузальной), и не-
устойчивой.
4.8. Двумерные разностные уравнения
Двумерные системы, обладающие свойством физической реали-
зуемости при заданной развертке сигнала, во многих случаях можно
описать, указав способ рекурсивного вычисления отсчетов выходной
последовательности. Для двумерной ЛПП-системы такое описание
дается в форме двумерного линейного разностного уравнения с посто-
янными коэффициентами:
( ) ( )
( )
1 1 2 2
1 2 2
, ,
, ,
n m n m
m n m
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 ,
,
, 1
,
g
f
m m
m m Q
m m
m m Q
g n n a g
b f n
∈
∈
= − − +
−+ −
∑ ∑
∑ ∑
(149)
{ }1 2,m ma {, }1 2,m mb - коэффициенты уравнения,где fQ gQ, - конечные
множества индексов, по которым производится суммирование отсче-
тов входной (f) и выходной (g) последовательностей.

Множества fQ gQи должны выбираться так, чтобы при задан-
ном способе развертки двумерных сигналов используемые в (149) от-
счеты входной последовательности не были «будущими» по отноше-
нию к текущему моменту (точке ( )1 2,n n
( )
( )
1 1 2 2
1 2 2
, ,
, ,
g n m n m
m n m
= − − +
−
1 2 1 2, , ,
на плоскости аргументов),
а отсчеты выходной последовательности были строго «прошлыми».
Так, например, для каузальной двумерной ЛПП-системы уравнение
(149) записывается в виде:
(150)
( )
( ) ( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 ,
0 0
, 0,0
, 1
0 0
M M
m m
m m
m m
N N
m m
m m
g n n a
b f n
= =
≠
= =
+ −
∑ ∑
∑ ∑
Mгде M N N
( )1 2,M M
- целые константы, характеризующие сложность
системы.
Пара значений при
1 2
2 20
max 0M m
m M
a
≤ ≤
> и 1 2
1 10
max 0m M
m M
a
≤ ≤
>
1
определяет порядок разностного уравнения (150) (каузальной ЛПП-
системы) по каждой из координат. Для БИХ-систем хотя бы одна
из величин M и 2M положительна, такие системы являются рекур-
сивными: в них каждый следующий отсчет выходной двумерной по-
следовательности вычисляется через ( )( )1 21 1 1M M+ + − предыду-
щих. В частном случае, когда все { }1 2,m ma равны нулю, уравнения
(149) и (150) описывают нерекурсивную КИХ-систему порядка (0,0).
Для нее, очевидно, имеет место совпадение разностного уравнения
со сверткой (140) при конечной импульсной характеристике
( )
( )
( )
1 2
1 2
и , ,
и , .
f1 2
1 2
пр
,
0 пр
m m
f
b m m Q
m m Q
⎧ ∈
∉
h m m
⎪
= ⎨
⎪⎩
Как средство описания ЛПП-системы разностное уравнение имеет
очевидное преимущество перед сверткой: в нем каждый отсчет
64

выходной последовательности может вычисляться за конечное число
операций сложения и умножения. В то же время следует иметь ввиду,
что представление в виде разностного уравнения удается применить
далеко не к каждой двумерной ЛПП-системе. Во-первых, еще раз на-
помним, что такое представление имеет практический смысл, только
если ЛПП-система физически реализуема, и, следовательно, ее им-
пульсная характеристика удовлетворяет рассмотренным ограничени-
ям. Во-вторых, импульсная характеристика даже физически реализуе-
мой системы может быть такова, что в разностном уравнении (149)
потребуется использовать бесконечные множества fQ gQ, (для кау-
зальной системы уравнение (150) будет иметь бесконечный порядок).
На вопросах переходов от импульсной характеристики двумерной
ЛПП-системы к разностному уравнению (в случае, когда это возмож-
но) и обратно мы остановимся ниже в параграфе 6.
Рис. 37. Схемы вычисления отсчетов двумерной выходной последовательности
по разностному уравнению (149)
Разностное уравнение (149) непосредственно определяет алгоритм
преобразования двумерного сигнала дискретной физически реализуе-
мой ЛПП-системой. Для иллюстрации такого преобразования часто
используется условная схема вычисления отсчетов выходной после-
довательности, общий вид которой представлен на рис. 37. Для осу-
ществления рекурсивных вычислений по разностному уравнению
65

66
1 0n ≥ 2 0n ≥ ( )1 2,
необходимо задать довольно много начальных условий. Так, в случае
каузальной ЛПП-системы, описываемой разностным уравнением
(150), для получения отсчетов выходной последовательности в первом
квадранте (при и ) требуется указать значения g n n
1 1 0
при
M n− ≤ < 2 2n M≥ −
0 2 2 0M n
и ,
и1n ≥ ≤ < ,−
( )1 2,fа также рассматривать входной сигнал n n
1 1 0
не только в первом
квадранте, но и при
N n− ≤ < 2 2n N≥ −
0 2 2 0N n
и ,
и1n ≥ − ≤ < .
Ниже при использовании разностных уравнений мы будем счи-
тать, что входные и выходные сигналы заданы на всей плоскости ар-
гументов, поэтому указывать начальные условия нам не потребуется.

5. ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ И СИСТЕМ
В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
5.1. Частотная характеристика ЛПП-систем
и спектры дискретных сигналов
Весьма ценным для анализа ЛПП-системы является ее описание
с помощью отклика на синусоидальный входной сигнал. В теоретиче-
ских исследованиях вместо синусоидального сигнала обычно берется
комплексная экспонента (105). Обратим внимание на использование
в выражении (105) безразмерной частоты
ω = ΩΔ
Ω
( )i n i k
k
e h k e
∞
, (151)
использование которой является традиционным при описании дис-
кретных сигналов и систем вне связи с масштабом времени. В (151)
– угловая частота, имеющая размерность радиан/единица времени
(см. п. 5.3).
Итак, пусть на вход дискретной ЛПП-системы поступает последова-
тельность (105). Тогда выходная последовательность запишется в виде
( ) ( ) ( ) ( ) ( )i n k
k k
g n h k f n k h k e
∞ ∞
ω − ω − ω
=−∞
= ∑
( ) ( )i i k
k
h k e
∞
=−∞ =−∞
= − =∑ ∑ .
Мы получили выходную последовательность, совпадающую с входной
с точностью до множителя, зависящего от частоты. Этот множитель
− ω
=−∞
= ∑ (152)H e ω
называется частотной характеристикой дискретной ЛПП-системы.
Частотная характеристика задает "коэффициент передачи" ЛПП-
системой с ее входа на выход эталонного сигнала – комплексной экс-
поненты для каждого значения ее частоты ω .
Частотная характеристика определена тогда, когда ряд (152) схо-
дится. Условие устойчивости ЛПП-системы (122) одновременно явля-
ется и условием абсолютной сходимости этого ряда. Таким образом,
для устойчивой системы частотная характеристика определена всегда.
67

68
ω
= i
ez
Отметим, что ряд (152) можно рассматривать как степенной от
комплексной переменной . Известно, что степенной ряд, аб-
солютно сходящийся на некотором множестве точек (в нашем случае -
на единичной окружности в плоскости z или, что одно и то же, на
всей числовой оси вещественной переменной ω ), на том же множе-
стве сходится равномерно. Этот факт равномерной сходимости нам
понадобится ниже.
Выражение (152) позволяет вычислить частотную характеристику
по импульсной. Установим и правило обратного перехода, для чего
умножим обе части выражения (152) на i n
e ω
и проинтегрируем по ин-
тервалу изменения частоты ( ),−π π
( ) ( )
d
i n k
h k e
π
ω −
∞ −π
ω∫
( )d 2
n k
e n k
n k
π =⎧ ⎫
= πδ −⎨ ⎬
≠⎩ ⎭
( ) ( ) ( )2 2
(учтем при этом, что равномерно
сходящийся ряд можно интегрировать почленно):
. (153)( ) ( )d di i n i n i k
H e e e h k e
π π ∞ ∞
ω ω ω − ω
−∞ −−π −π
ω = ω =∑ ∑∫ ∫
Вычисление интегралов под суммой с учетом формулы (101) дает
,( ) 2 ,
0 ,
i n k
π
ω −
−π
ω=∫
выражение (153) приводится к свертке и, в соответствии со свойством
свертки (116), упрощается:
( ) ( ) ( )d 2i i n
k
H e e h k n k h
π ∞
ω ω
=−∞−π
ω = πδ − = π∑∫ n n h n∗δ = π .
Таким образом, окончательно будем иметь
( ) ( ) d .i i n
H e e
π
ω ω
−π
1
2
h n = ω
π ∫ (154)
Выражения (152) и (154) определяют соответственно прямое и об-
ратное преобразование Фурье функции дискретного аргумента (по-
следовательности). Преобразование Фурье функции иначе называется
ее спектром. Частотная характеристика ЛПП-системы – это спектр ее
импульсной характеристики.

Преобразование Фурье можно записать и для произвольной после-
довательности f:
69
( ) ( )i i k
k
f k e
∞
ω − ω
=−∞
= ∑ , (155)F e
( ) ( )1
di i n
F e e
π
ω ω
−π
2
f n = ω
π ∫
) ( )
.
i m
k
i m
k h m k e
∞
− ω
− ω
⎡ ⎤
− =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑
.j m k= −
( )i i k i j
j
e h j e
∞
ω − ω − ω
=−∞
∑
. (156)
Выражение (155) определяет спектр последовательности, а выраже-
ние (156) представляет последовательность через спектр. Будем считать,
что ряд (155) сходится (на условиях сходимости ряда и, следовательно,
существования спектра мы еще остановимся в следующем параграфе).
Спектральное представление сигналов и систем широко применя-
ется при анализе измерительной информации, синтезе фильтров и т.д.
Описание ЛПП-системы посредством частотной характеристики во
многих случаях проще и удобнее описания во временной области.
Убедимся в этом, установив связь спектров последовательностей на
входе и выходе системы. Спектр выходной последовательности с уче-
том ее выражения через свертку (111) будет иметь вид
( ) ( ) (
( ) ( )
i i m
m m
k m
G e g m e f
f k h m k e
∞ ∞
ω − ω
=−∞ =−∞ =−∞
∞ ∞
=−∞ =−∞
= =
= −
∑ ∑
∑ ∑
Заметим, что допустимость перестановки сумм можно обосновать
при условии ограниченности последовательности f и абсолютной
суммируемости h. Заменим переменную для внутренней суммы
Тогда
.( ) ( ) ( ) ( )
( )i j k
k j k
G e f k h j e f k
∞ ∞ ∞
− ω +
=−∞ =−∞ =−∞
= =∑ ∑ ∑
Принимая во внимание выражения (152) и (155), получаем алгеб-
раическое соотношение
( ) ( ) ( )i i i
F e H eG e ω ω ω
= , (157)

которое однозначно связывает спектры входной и выходной последо-
вательностей.
Сопоставление формул (111) и (157) показывает, что свертка по-
следовательностей преобразуется в произведение спектров. Этот факт
часто используют при анализе прохождения сигналов через ЛПП-
систему и вообще при вычислении сверток: применение прямого и
обратного преобразования Фурье и соотношения (157) по сложности
вычислений иногда оказывается проще непосредственного использо-
вания формулы (111).
5.2. Основные свойства спектров последовательности
Перечислим некоторые наиболее существенные свойства спектров
последовательностей. Для определенности будем в основном говорить
о спектрах дискретных сигналов, хотя все сказанное, с точностью до
обозначений, остается справедливым и для частотной характеристики
дискретной ЛПП-системы. Вначале приведем несколько свойств, ка-
чественно характеризующих спектры.
Свойство 1. Достаточным (но не необходимым!) условием суще-
ствования спектра последовательности f является абсолютная сходи-
мость ряда (155):
( )
n
f n
∞
=−∞
70
< ∞∑
ω
. (158)
При выполнении условия (158) спектр (155) есть непрерывная
функция частоты . Соответственно, как уже отмечалось, частотная
характеристика ЛПП-системы определена и непрерывна в случае, если
система устойчива (см. формулу (122)). Если условие (158) не выпол-
няется, то ряд (155) либо расходится (при этом, естественно, спектр не
определен), либо сходится условно (не абсолютно). В последнем слу-
чае спектр существует, хотя возможно не для всех значений частот,
и может иметь разрывы.

Свойство 2. Спектр последовательности - периодическая функция
частоты. Его период равен 2π , то есть (
71
( ) [ ]
)2i ki
F e F e
ω+ πω
= для лю-
бого целого k. Это очевидным образом вытекает из периодичности по
частоте дискретной комплексной экспоненты, используемой в выра-
жениях (155) и (156):
[ ]2i kω+ π 2n i n i kn i n
e e e eω π ω
= = .
В силу этого свойства для полного описания спектра достаточно
задать его на любом интервале частот длиной в период. Обычно ис-
пользуется интервал [ )0,2 .∈ πω
В общем случае спектр - комплексная функция, которую можно пред-
ставить через вещественную и мнимую части или через модуль и фазу:
(
( ) ( ) ( ) ( ) )arg i
i F ei i
F e e
ω
ω ω
=R e Imi i
F e F e i F eω ω
= + .
Указанные компоненты спектра обладают следующим свойством.
Свойство 3. Если f - вещественная последовательность, то модуль
и вещественная часть ее спектра являются четными функциями частоты,
а фаза и мнимая часть - нечетными. Это свойство несложно доказать.
Принимая во внимание периодичность спектра и рассматривая его
на интервале , данное свойство можно сформулировать
иначе: модуль и вещественная часть спектра симметричны, а фаза
и мнимая часть антисимметричны относительно середины интервала
(точки
[ )0,2ω∈ π
ω = π ). Такая симметрия позволяет полностью описать спектр
вещественной последовательности, задав его лишь на половине пе-
риода, то есть при [ )0,ω∈ π . Рассмотрим примеры, иллюстрирующие
указанные свойства.
Пример 1. Определим частотную характеристику ЛПП-системы
первого порядка из (125). Импульсная характеристика системы зада-
ется выражением (127). Частотную характеристику - спектр импульс-
ной характеристики - получим, подставив выражение (127) в (152):

72
( )
0 0
kk i k i
k
e ae
∞
− ω − ω
=
=∑ . (159)( ) ( )i i k
k k
H e h k e a
∞ ∞
ω − ω
=−∞ =
= =∑ ∑
Полученная сумма геометрической прогрессии сходится, и притом аб-
солютно, если 1.i
ae a− ω
= < Одновременно обеспечивается и сходи-
мость ряда (122), то есть устойчивость системы. Пусть система устойчи-
ва. Тогда после суммирования ряда (159) получаем
( ) 1 1
cos sina i a1 1
i
i
H e
ae
ω
− ω
= =
− − ω+ ω
.
Модуль и фаза частотной характеристики определяются соответ-
ственно по формулам
( )
( )
2 2
1 1
1 2 cosa a2 2
1 cos sin
i
H e
a a
ω
= =
+ − ω− ω + ω
;
( ) sin
arctg .
1 cos
a
a
ω
arg i
H e ω
= −
ω−
Частотная характеристика зависит от синуса и косинуса частоты,
то есть является периодической (см. свойство 2). Семейства графиков
для ее модуля и фазы при различных значениях параметра a приведе-
ны на рис. 38. Видно, что частотная характеристика - непрерывная
функция частоты. Так как импульсная характеристика системы веще-
ственна, частотная характеристика обладает симметрией на рассмот-
ренном интервале (см. свойство 3).
Если 1a ≥ , то ряды (122) и (152) не сходятся, система неустой-
чива, и ее частотная характеристика не существует.
Пример 2. Последовательность
( ) 0sin n
f n
n
ω
=
π
[ ]0,π 0
(160)
не удовлетворяет условию (158), но ее спектр существует на интерва-
ле частот всюду, кроме точки = ω и равенω

73
( ) 0
0
0 ,1,
,0,
≤ ω < ω⎧
= ⎨
i
F e ω
ω < ω ≤ π⎩
0 .ω = ω
(161)
что легко проверяется подстановкой выражения (161) в (156) с учетом
симметрии спектра. Для данной последовательности ряд (155) являет-
ся условно сходящимся, и ее спектр имеет разрыв в точке
Рис. 38. Модуль и фаза частотной характеристики
ЛПП-системы первого порядка
ЛПП-система с импульсной характеристикой вида (160) называет-
ся идеальным фильтром низких частот дискретного времени. Этот
фильтр удаляет из входного сигнала все спектральные составляющие
в диапазоне частот 0 .ω < ω ≤ π Такая система не является ни физиче-
ски реализуемой, ни устойчивой, но тем не менее играет важную тео-
ретическую роль в задачах синтеза цифровых фильтров.
Следующие свойства спектров касаются различных действий с ними.

Свойство 4. Преобразование Фурье линейно. Это означает, что для
любых последовательностей 1 2,f f и постоянных a, b из соотношения
( ) ( ) ( )3 1 2f n a f n b f n= + (162)
следует
( ) ( ) ( )3 1 2
i i i
F e a F e b F eω ω ω
= + . (163)
Свойство 5. Сдвиг последовательности соответствует умножению
ее спектра на комплексную экспоненту, а именно, если
( ) ( )2 1 0f n f n n= − , (164)
то
( ) ( ) 0
2 1
i ni i
F e e− ωω ω
=F e . (165)
Такое преобразование спектра оставляет неизменным его модуль, но
прибавляет к фазе слагаемое ( )0n−ω , линейно зависящее от частоты.
Свойство 6. Инверсия (изменение знака аргумента последова-
тельности) соответствует инверсии частоты в спектре, то есть если
( ) ( )f
74
2 1n f n− , (166)=
то
( ) ( )2 1
i i
F e F eω − ω
= . (167)
Если инверсии подвергается вещественная последовательность, то
с учетом 4-го свойства модуль и вещественная часть ее спектра оста-
ются без изменения, а фаза и мнимая часть меняют знак, то есть полу-
чаем спектр, комплексно-сопряженный исходному.
Справедливость выражений (163), (165) и (167) легко проверяется
подстановкой последовательностей (162), (164) и (166) в формулу (155).
Свойство 7. Свертка последовательностей соответствует произве-
дению их спектров, то есть последовательность
( ) ( ) ( )3 1 2f n f n f n= ∗ (168)
имеет спектр

( ) ( ) ( )3 1 2
i i i
F e F e F eω ω ω
= . (169)
Это важное свойство в других обозначениях уже доказывалось и
обсуждалось в предыдущем параграфе.
Свойство 8. Произведение последовательностей соответствует
свертке их спектров, а именно, если
( ) ( ) ( )3 1 2f n f n f n= , (170)
то
( ) ( ) [ ]
( )2
ii i
3 1
1
2
F e F
π
−π
e F e d
ω−ϕω ϕ
= ϕ
1
π ∫ . (171)
Формула (171) определяет так называемую круговую (цикличе-
скую) свертку периодических функций F и 2F . Для доказательства
свойства 8 покажем, что из соотношения (171) следует соотношение
(170). Подставим формулу (171) в выражение обратного преобразова-
ния Фурье (156) и далее переменим порядок интегрирования:
( ) ( )
( )
( )
( )
[ ]
( )
( )
3 3
1 22
1 22
1
2
1
2
1
2
f n F
F e F
F e F
π
−π
π π
−π −π
π π
−π −π
π
π
π
∫
∫ ∫
∫ ∫
[ ]
( )
d
d d
d d .
i i n
ii i n
ii i n
e e
e e
e e
ω ω
ω−ϕω ω
ω−ϕϕ ω
= ω =
= ϕ ω =
⎡ ⎤
= ω ϕ⎢ ⎥
⎣ ⎦
3
Заметим, что для допустимости перемены порядка интегрирования
достаточно, чтобы подынтегральное выражение (то есть спектр F )
было ограниченным. Введем новую переменную для внутреннего ин-
теграла: , тогда получим, чтоυ = ω− ϕ
( )
( )
( )3 12
1
2
i i n
f n F e e
π−ϕπ
ϕ ϕ
−π −π−ϕπ
∫ ∫ ( )2 d di i n
F e eυ υ
⎡ ⎤
= υ ϕ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
.
75

Все подынтегральные выражения - периодические, интегрирова-
ние идет по периоду, поэтому можно сдвинуть пределы интегрирова-
ния для внутреннего интеграла, тогда
( ) ( ) ( )3 1 2
1 1
d d
2 2
i i n i i
( ) ( )1 2
n
f n F e e F e
π π
ϕ ϕ υ υ
−π −π
⎡ ⎤ ⎡
= ϕ⎢ ⎥ ⎢
π π⎣ ⎦ ⎣
∫ ∫ e f n f n
⎤
υ =⎥
⎦
,
что и требовалось доказать.
5.3. Соотношение между спектрами непрерывных
и дискретных сигналов
Как уже отмечалось, дискретный сигнал - последовательность -
обычно получают посредством дискретизации непрерывного сигнала.
Дискретизация оказывает влияние на характеристики сигнала и, в ча-
стности, изменяет его спектр. Определим, как соотносятся между со-
бой спектр исходной непрерывной функции времени и спектр полу-
ченной из нее последовательности.
Известно, что непрерывный сигнал ( )f t и его спектр ( )нF Ω
( ) ( ) i t
свя-
заны между собой преобразованиями Фурье:
f t e dt
∞
− Ω
−∞
Ω = ∫ , (172)нF
( ) ( )н
i t1
2
f t F e d
∞
Ω
−∞
= Ω Ω
π ∫
Ω
,− ∞ ∞
, (173)
где - угловая частота. Выражение (172) определяет спектр непре-
рывного сигнала (прямое преобразование Фурье), а выражение (173)
дает представление сигнала через спектр (обратное преобразование).
Для взаимно однозначного соответствия непрерывного сигнала и его
спектра достаточно, чтобы тот и другой были абсолютно интегрируе-
мыми на ( ), кусочно-непрерывными и кусочно-монотонными.
Чтобы сравнить спектр (172) со спектром последовательности
(155), нужно выразить последний в сопоставимых координатах, то
есть задать спектр последовательности в виде функции размерной
76

частоты. Подставляя выражение для частоты (151) в формулы (155)
и (156), получаем
77
( )i i k
k
f k e
∞
( )F e ΩΔ − ΩΔ
=−∞
= Δ∑ , (174)
( ) ( )2
i i n
f n F e e dΩΔ ΩΔ
π
Δ
π
−
Δ
Δ
Δ = Ω
π ∫ . (175)
В выражениях (174) и (175) использовано обозначение последова-
тельности, отражающее процесс дискретизации непрерывного сигна-
ла (см. формулу (99)). Спектр последовательности в формуле (174),
в отличие от формулы (175), зависит от шага дискретизации Δ и явля-
ется периодическим по частоте Ω с периодом 2 .π Δ
н
Установим связь выражений (174) и (172). Дальнейшие преобразо-
вания ведутся в предположении, что функция F ограничена и абсо-
лютно интегрируема на ( ),−∞ ∞ . С учетом формулы (99), перейдем
от непрерывного сигнала (173) к последовательности
( ) ( ) ( )
( )
( )2 1
2 1
1 1
2 2
m
i n
m m
н н
i n
f n F e d
∞ ∞
ΩΔ
=−∞−∞ −
Δ = Ω Ω =
π π
∑∫ ∫ F e d
+ π Δ
ΩΔ
π Δ
Ω Ω .
Здесь на втором шаге произведена тождественная замена несобст-
венного интеграла бесконечной суммой интегралов по смежным ин-
тервалам длиной 2π Δ . После введения для каждого слагаемого но-
вой переменной интегрирования
2
m
π
′Ω = Ω −
Δ
получаем
( )
2
m n
i
н
1 2
2 m
f n F
π Δ∞
=−∞ −π Δ
π
m e d
π⎛ ⎞′Ω + Δ⎜ ⎟
Δ⎝ ⎠⎛ ⎞′ ′Ω⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
1i mn
e π
=
Δ = Ω +
π Δ
∑ ∫ .
Изменим порядок суммирования и интегрирования, отбросим не-
нужный штрих в обозначении частоты и учтем, что . Тогда
( ) н
2 m
1 2 i n
f n f
π Δ ∞
=−∞−π Δ
Δ = Ω∑∫ m e dΩΔπ⎛ ⎞
+ Ω⎜ ⎟
π Δ⎝ ⎠
.

Сравнение полученного выражения с выражением (175) выявляет
искомое соотношение между спектрами:
( )
78
н
1 2i
m
F e F m
∞
π⎛ ⎞
= Ω +⎜ ⎟
Δ Δ⎝ ⎠
∞
ΩΔ
=−
∑ . (176)
Таким образом, спектр последовательности состоит из суммы
бесконечного числа спектров непрерывного сигнала, сдвинутых друг
относительно друга на .2π Δ
Если спектр непрерывного сигнала ограничен по полосе частот, то есть
( )нF 0Ω = при , (177)Ω ≥ π Δ
( )то в диапазоне ,Ω∈ −π Δ π Δ
( )
, определяющем один период спектра
последовательности,
( )н
1i
F e FΩΔ
.= Ω
Δ
Этот факт иллюстрирует рис. 39. Очевидно, что в данном случае
можно однозначно восстановить спектр непрерывного сигнала по
спектру последовательности, а следовательно, и сам непрерывный
сигнал по дискретному.
Если ограничение (177) не выполняется, то возникает эффект на-
ложения спектров, выражающийся в том, что высокочастотные со-
ставляющие спектра непрерывного сигнала попадают в область более
низких частот в спектре последовательности (рис. 40). Этот эффект
всегда нежелателен, поскольку из-за него теряется взаимно однознач-
ная связь спектров; часть информации, содержащейся в непрерывном
сигнале, необратимо теряется при дискретизации.
Эффекта наложения можно избежать, если дискретизировать не-
прерывный сигнал с достаточно высокой скоростью: для выполнения
неравенства (177) нужно, чтобы верхняя частота вΩ в спектре непре-
рывного сигнала была меньше π Δ , или, соответственно, шаг дис-
кретизации
. (178)Δ в< π Ω

Рис. 39. Пример спектров непрерывного и дискретного сигналов
Рис. 40. Пример спектра непрерывного сигнала
и дискретного сигнала с наложением спектров
Неравенство (178) представляет собой ограничение, налагаемое на
шаг дискретизации непрерывного сигнала известной теоремой Ко-
тельникова.
79

5.4. Описание двумерных дискретных сигналов
и систем в частотной области
Пусть на вход двумерной ЛПП-системы подается двумерная дис-
кретная экспонента (133). При условии сходимости суммы (140) для
данного входного сигнала на выходе системы имеем выходную дву-
мерную последовательность
80
) ( ) ( )
( )
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
, ,
i n m n m
i n n
e
m m e
ω − +ω −⎡ ⎤⎣ ⎦
− ω +ω
= =
1
( ) (
( )
( )
1 2
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2
1 2
, ,
m m
i n n
m m
g n n h m m
e h
∞ ∞
=−∞ =−∞
∞ ∞
ω +ω
=−∞ =−∞
=
∑ ∑
∑ ∑
совпадающую с входной с точностью до множителя, зависящего от
пространственных частот ω , 2ω . Этот множитель
(179)( )1 2
1 2
,i i
m m
H e e h
∞ ∞
ω ω
=−∞ =−∞
= ∑ ∑ ( ) ( )1 1 2 2
1 2, i n n
m m e− ω +ω
1
называется частотной характеристикой двумерной дискретной
ЛПП-системы. Частотная характеристика задает коэффициент переда-
чи ЛПП системы при входном сигнале – двумерной комплексной экс-
поненте для каждого значения параметров ω и 2ω . Выражение
(179) задает прямое преобразование Фурье двумерной последователь-
ности, которое также называется двумерным (пространственным)
спектром. Частотная характеристика двумерной ЛПП-системы есть
пространственный спектр ее импульсной характеристики.
По формуле (179) можно установить и правило обратного перехо-
да, то есть выразить импульсную характеристику двумерной системы
через частотную:
( ) ( )1 2
1 2 2
1
, ,
4
i i
h m m H e e
π π
ω ω
−π −π
π ∫ ∫
( )1 1 2 2
1 2
i n n
e d d
ω +ω
= ω ω , (180)
данное соотношение определяет обратное преобразование Фурье дву-
мерной последовательности h.

Преобразования Фурье по аналогии с (179) можно записать для
произвольного двумерного дискретного сигнала f:
81
( ) ( )1 1 2 2
1 2, i n n
f n n e− ω +ω
, (181)( )1 2
1 2
,i i
n n
F e e
∞ ∞
ω ω
=−∞ =−∞
= ∑ ∑
( ) ( )1 2
1 2 2
1
, ,
4
i i
f n n F e e
π π
ω ω
−π −π
π ∫ ∫
( )1 1 2 2
1 2
i n n
e d d
ω +ω
= ω ω . (182)
Выражение (181) определяет пространственный спектр двумерной
последовательности, а выражение (182) – представление двумерной
последовательности через пространственный спектр.
Представления двумерных дискретных сигналов и ЛПП-систем
в частотной области (то есть с помощью преобразования Фурье) ши-
роко применяются при их анализе и синтезе, поскольку во многих слу-
чаях проще и удобнее соответствующих представлений в области
пространственных аргументов.
Перечислим некоторые важнейшие свойства спектров последова-
тельностей (их более простые «одномерные» аналоги изложены в п. 5.2).
Свойство 1. Достаточным условием существования спектра двумер-
ной последовательности f является ее абсолютная суммируемость:
( )
1 2
1 2,f n n
∞ ∞
=−∞
<
n n=−∞
∞∑ ∑ . (183)
Из сопоставления условий (145) и (183) следует, что для сущест-
вования частотной характеристики двумерной ЛПП-системы доста-
точно, чтобы система была устойчивой.
Свойство 2. Двумерное преобразование Фурье линейно. Это озна-
чает, что для любых последовательностей 1f , 2f и постоянных a, b
из соотношения
( ) ( ) ( )1 2 2 1 2, , ,1 2 1f n n a f n n b f n n= + ,
следует
( ) ( ) ( )1 2 1 2
, ,i i i i
F e e a F e eω ω ω ω 1 2
1 2 ,i i
b F e eω ω
= + .

Свойство 3. Если двумерная последовательность разделима, то
есть для нее выполняется соотношение (134), то ее спектр также явля-
ется разделимым:
( ) ( ) ( )1 2
,i i 1 1
1 2
i i
F e eω ω
F e F eω ω
= . (184)
Свойство 4. Спектр двумерной последовательности f - периодиче-
ская функция пространственных частот 1ω , 2ω . Его период по этим
переменным равен 2π , то есть
( )1 2 ( ) ( )1 1 2 22 2
,i k i k
F e F e eω + π ω + π
82
, ⎡i i
eω ω
⎤= ⎣ ⎦
1k 2kпри любых целых , .
Свойство 5. Если двумерная последовательность f вещественна, то
ее спектр обладает следующими свойствами центральной симметрии:
( ) ( )1 2
Re ,i i
F e eω ω 1 2
Re ,i i
F e e− ω − ω
= ,
( ) ( )1 2
Im ,i i
F e eω ω
=− 1 2
Im ,i i
F e e− ω − ω
,
( ) ( )1 2i i
F e eω ω 1 2
, ,i i
F e e− ω − ω
= ,
( ) ( )1 2
arg ,i i
F e eω ω
=− 1 2
arg ,i i
F e e− ω − ω
1ω 2ω
.
В соответствии со свойствами 4 и 5, линии равных значений веще-
ственной части (или модуля) и мнимой части (или аргумента) спектра
двумерной последовательности в плоскости переменных , мо-
гут выглядеть, например, так, как показано на рис. 41. Очевидно, что-
бы полностью описать такой спектр, достаточно задать его на периоде
по одной пространственной частоте и на половине периода по другой,
то есть, например, на двумерном «прямоугольном» интервале:
1 1− π < ω ≤ π 20, ω ≤ π .≤
Если вещественная последовательность разделима, то свойства
симметрии ее спектра усиливаются, поскольку симметричным являет-
ся каждый из двух одномерных спектров, входящих как сомножители

в (184). При этом достаточно рассматривать двумерный спектр на одном
квадрате шириной в половину периода, то есть, например, при
83
10 ≤ ω ≤ π 20, ≤ ω ≤ π .
Рис. 41. Линии равных уровней спектров
двумерной вещественной последовательности
Свойство 6. Свертка двумерных последовательностей соответст-
вует произведению их спектров, то есть последовательность (141)
имеет спектр
( ) ( ) ( )1 2i i
G e e H eω ω
= 1 2 1 2
, , ,i i i i
e F e eω ω ω ω
.
Из последнего свойства следует, что, как и в одномерном случае,
частотная характеристика ( )1 2
,i i
H e eω ω
1
полностью определяет ЛПП-
систему, то есть однозначно задает правило преобразования входной
двумерной последовательности в выходную (при их описании в час-
тотной области).
Остановимся на важном вопросе соответствия между спектром
двумерной последовательности и спектром непрерывной двумерной
функции, из которой эта последовательность получена. Прямое и об-
ратное преобразования Фурье (переход к спектру и обратно) для не-
прерывной функции f пространственных переменных x , 2x задается
соотношением:

84
) ( )1 1 2 2
2 1 2
i x x
( ) (н 1 2 1, ,F f x x
∞ ∞
−∞ −∞
Ω Ω = ∫ ∫ e dx dx
− Ω +Ω
, (185)
( ) ( ) ( )1 1 2 2
1 2
i x x
1 2 н 1 22
1
, ,
4
f x x F
∞ ∞
−∞ −∞
= Ω
π ∫ ∫ e dx dx
Ω +Ω
Ω
1Ω 2Ω
н
, (186)
где , - угловые пространственные частоты, имеющие размер-
ность радиан/единица длины. Из (129) и (186) выразим двумерную
последовательность, полученную в результате пространственной дис-
кретизации непрерывной функции, через спектр F этой функции:
( ) ( )
( )
1 2 1
н 1 22
1
4
f n n f n
F e
∞ ∞
Ω Δ
−∞ −∞
= Δ
= Ω Ω
π ∫ ∫
( )1 1 1 2 2 2
1 2 2
1 2
, ,
, d d .i n n
n
+Ω Δ
Δ =
Ω Ω
1 1
(187)
С учетом значений шагов дискретизации произведем замену размер-
ных пространственных частот на безразмерные 1ω = Ω Δ 2 2 2ω = Ω Δ,
и выполним несложные преобразования выражения (187), заключаю-
щиеся в разбиении интегрирования, замене переменных и порядка
выполнения и суммирования:
( ) ( )
( )1 1 2 2
2 2
1 2, d di n n
n
ω +ω
Δ =
= ω ω =
1 2 1 1
1 2
н2
1 2 1 2
, ,
1 1
4
f n n f n
F e
∞ ∞
−∞ −∞
= Δ
⎛ ⎞ω ω
⎜ ⎟
π Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠
∫ ∫
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
1 1 2 2
1 2
2
1 2
, d d
, d d .
n
i n n
F e
ω
ω +ω
= ω ω =
Δ
= ω ω
1 2
1 1
1 2 1 2
1 2
2 1 2 1
1 2
н2
1 2 1 22 1 2 1
1 1 2
н2
1 2 1 2
1 1
4
2 21 1
4
k k
i n
k k k k
k k
F e
k k
+ π + π∞ ∞
ω +
=−∞ =−∞ − π − π
π π ∞ ∞
=−∞ =−∞−π −π
⎛ ⎞ω ω
⎜ ⎟
π Δ Δ Δ⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ω + π ω + π
⎢ ⎥⎜ ⎟
π Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∑ ∫ ∫
∑ ∑∫ ∫
Сопоставление последнего выражения с формулой (182) выявляет
искомое соотношение между спектрами:
( )1 2
1 2
н
1 2
1i i
k k
F e e F
∞ ∞
ω ω
=−∞ =−∞
ω +
=
Δ Δ
∑ ∑ 1 1 2 2
1 2
2 2
, ,
k k⎛ ⎞π ω + π
⎜ ⎟
Δ Δ⎝ ⎠
. (188)

85
1ω
2ω
), 0=
Таким образом, спектр двумерной последовательности формиру-
ется как сумма бесконечного числа спектров исходной непрерывной
функции, сдвинутых друг относительно друга по переменным ,
на интервалы, кратные 2π. Данное суммирование и определяет
периодичность спектра последовательности (см. свойство 4).
Если спектр непрерывной функции ограничен, а именно,
при(н 1 2F Ω Ω 1
π
Ω ≥
1Δ
или
π
, (189)2
2
Ω ≥
Δ
то на интервале 1 2,ω < π ω < π , определяющем период спектра по-
следовательности,
( )1 2i i
F e eω ω
= 1 2
н
1 2 1 2
1
, ,F
⎛ ⎞ω ω
⎜ ⎟
Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠
.
В этом случае можно однозначно восстановить спектр непрерыв-
ного двумерного сигнала по спектру последовательности, а сам не-
прерывный сигнал - по дискретному.
Если ограничение (189) не выполняется, то наблюдается эффект
наложения спектров, выражающийся в том, что высокочастотные со-
ставляющие спектра непрерывной функции попадают в область более
низких частот в спектре последовательности. Такое наложение нару-
шает взаимно однозначное соответствие спектров непрерывного
и дискретного двумерных сигналов и исключает возможность без-
ошибочного восстановления непрерывной функции по ее отсчетам.
Чтобы не допустить эффекта наложения нужно выбрать шаги дискре-
тизации из условий
1
1max
π
Δ <
Ω
,
π
2
2max
Δ <
Ω
1maxΩ 2maxΩ
)
,
где , - максимальные (граничные) пространственные
частоты спектра непрерывного двумерного сигнала:
при(н 1 2, 0F Ω Ω = 1 1Ω ≥ Ω max или 2 2maxΩ ≥ Ω .

6. ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ И СИСТЕМ
С ПОМОЩЬЮ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
6.1. Прямое z-преобразование
При изучении дискретных сигналов и систем чрезвычайно полез-
ным оказывается представление последовательностей при помощи z-
преобразования. Прямым z-преобразованием последовательности f
называется комплексная функция
86
( ) ( ) n
n
z f n z
∞
−
=−∞
= ∑
( ) ( )
z
, (190)F
где z - комплексная переменная. Ниже иногда будем использовать со-
кращенную запись (190) в форме f n F z→
z
( ) ( ) n
n
. Множество значе-
ний z, для которых ряд (190) сходится, и, следовательно, z-
преобразование существует и является конечным, называется обла-
стью сходимости z-преобразования. Область сходимости зависит от
формы преобразуемой последовательности.
Часто в литературе -преобразование вводится в форме
0
F z f n z
∞
−
=
= ∑ z
n ≥
z
. Это так называемое одностороннее -преобра-
зование, которое применяется для последовательностей, заданных
только при 0 . Выражение (190) задает более общее двустороннее
-преобразование. С математической точки зрения оно определяет
разложение комплексной функции ( )F z в степенной ряд Лорана.
( )Если f - последовательность конечной длины, то есть 0f n =
[ ]1 2,n N N∉
( ) ( )
2
1
N
n
k N
при , то z-преобразование вычисляется как сумма конеч-
ного числа слагаемых
z f n z−
=
= ∑ . (191)F

Очевидно, что его область сходимости включает те значения z, при
которых все слагаемые в сумме (191) конечны, то есть всю комплекс-
ную z-плоскость за исключением точки 0z = , если , и точки
, если . Этот факт иллюстрирует рис. 42а, на котором
область сходимости z-преобразования отмечена штриховкой (такой
способ изображения областей сходимости будем использовать и в
дальнейшем).
2 0N >
= ∞ 1 0N <
( )( 0f n =
z
Для полубесконечной левосторонней последовательности
)2при n N>
( ) ( )
2N
n
n
87
F z f n z−
=−∞
= ∑ . (192)
В данном случае степенной ряд бесконечен по положительным
степеням z. Известно, что такой ряд сходится в круге с центром в на-
чале координат (рис. 42б), то есть при
z R , (193)< +
Rгде + - внешний радиус сходимости, некоторая постоянная. Вопрос
о сходимости на границе области, то есть при z R=
2 0N >
0
+ должен иссле-
доваться дополнительно для каждого конкретного ряда. Следует заме-
тить, что, если , то ряд (192) содержит и конечное число членов
с отрицательными степенями z, в этом случае, очевидно, из области
сходимости исключается точка z = .
Для полубесконечной правосторонней последовательности
( )( )10 приf n n N= <
( ) ( )
1
n
n N
имеем бесконечный ряд по отрицательным
степеням z:
z f n z
∞
−
=
= ∑ . (194)F
Опираясь на предыдущий случай, легко показать, что ряд (194)
сходится во внешней части круга (рис. 42в):
z R , (195)> −

Rгде − - внутренний радиус сходимости, а также, возможно, на самой
границе области (то есть при z R−= ). Если 0N < , то из области
сходимости исключается точка z = ∞ .
а) б) в) г)
Рис. 42. Примеры различных областей сходимости для z-преобразования
В общем случае, когда f - бесконечная двусторонняя последова-
тельность, ее z-преобразование можно представить как сумму z-преоб-
разований левосторонней и правосторонней последовательностей:
( ) ( ) ( )
N
n n
( )
1
n n n
n N
F z f n z f n z f n z
∞ ∞
− − −
= +
+ ∑=−∞ =−∞
= =∑ ∑ , (196)
где N - произвольное целое число. Первое слагаемое в выражении
(196) имеет область сходимости вида (193), второе слагаемое - область
сходимости вида (195). Если R R− +< , то получаем, что полное z-
преобразование сходится внутри кольца (рис. 42г):
R
88
z R (197)+< <−
R Rи, возможно, на его границах. Если − +> , то области сходимости
слагаемых в выражении (196) не пересекаются, и z-преобразование
двусторонней последовательности не существует. Если R R− += , то z-
преобразование определено лишь тогда, когда оба слагаемых в выра-
жении (196) сходятся на границах своих областей сходимости. При-
мером такого "экзотического" случая может служить z-
преобразование последовательности 0sin n
n
ω
π
, сходящееся только на
единичной окружности (см. табл. 1, строка 14).

Таблица 1. z-преобразования некоторых последовательностей
№
п/п
Последовательность z-преобразование Область сходимости
z-преобразования
1 Единичный импульс
( )
1 , 0,
0, 0
n
n
n
=⎧
δ = ⎨
≠⎩
1 Вся z-плоскость
2 ( )00 при 0z n >
(
или≠
( )0
1, 0,
0, 0
n n
n
n =⎧
δ − = ⎨
≠⎩
0n
z−
)0при 0z n≠ ∞ <
3 Единичный скачок
89
( )
1,
0,
u n
⎧
= ⎨
0,
0
n
n
≥
<⎩
1
1
z1 −
−
1z >
4 Прямоугольный импульс
( ) ( ), 0u n u n N N− − >
( ) 0z ≠11 2
1
.
1
1
N
N
z z
z
z
− −− −
−
−
1 .. z+ + + + =
−
=
−
5 ( )n
a u n
1
1
a z−
−
z a>
1
6 ( )1n− − −n
a u
1
1
a z−
z a<
1−
7 ( )n
a u nn
( )
1
1 2
a z−
−
z a>
1 a z−
8 ( ) ( )n
n a u n1+
( )1 2
1
−
z a>
1 a z−
9 ( )− + ( )1 1n
n a u n− −
( )1 2
1
a z−
z a<
1−
10 ( ) ( )1
, 0,
, 0, 1
n n
n
n
a u n b u n
a n
b n ab
−
−
+ − − =
⎧ ≥⎪
= ⎨
< <⎪⎩
( )( )1
1
1 1
ab
a z b z−
−
− −
1
a z
b
< <
11 2
2
1 1 1
,
1
1
n
a
aa
a
⎛ ⎞− −
⎜ ⎟
⎜ ⎟− ⎝ ⎠
<
( )1
1
1 0,5a z z−
− +
2 2
1 1 1 1a a
z
a a
− − + −
< <
12 ( ) ( )cosn
a n u nω + ϕ ( )
( )
1
2
cos
1 2 cos
a z
a z a z
−
1 2
cos
− −
ϕ −
− ω +
ϕ − ω z a>

Таблица 1 (продолжение)
№
п/п
Последовательность z-преобразование Область сходимости
13
( )1u n −
1
n 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
1
ln
1 z−
−⎝ ⎠
1z ≥ 1z ≠,
14
90
0sin
, 0
n
ω π
< ω < π
π
0
0
1, arg
0, arg
z
z
⎧ < ω⎪
⎨
ω < ≤ π⎪⎩
01, argz z= ≠ω
15
( )
!
u n ( )1
exp az−
− 0z ≠n
a
n
Следует заметить, что функция F(z), если ее задать не через ряд, а
в явном виде, может иметь смысл не только в области сходимости, но
и на всей комплексной плоскости. Область сходимости начинает иг-
рать роль лишь тогда, когда мы связываем эту функцию с определен-
ной последовательностью f, то есть пытаемся получить ее, суммируя
ряд (190). Только при указании области сходимости соответствие по-
следовательности и ее z-преобразования является взаимно однознач-
ным. Одно и то же z-преобразование, но с различными областями схо-
димости, соответствует разным последовательностям (см. табл.1,
строки 5, 6 и 8, 9), поэтому при вычислении z-преобразований и манипу-
ляциях с ними указание областей сходимости является обязательным.
Как следует из свойств степенных рядов, внутри области сходимо-
сти функция F(z) является аналитической. Особые точки функции, в
которых она теряет аналитичность, определяют границу области.
Важнейший класс z-преобразований представляют дробно-
рациональные функции, то есть отношения полиномов от z или, что
эквивалентно, от :1
z−
( ) 0
0
N
j
j
j
M
j
j
j
b z
F z
c z
=
=
=
∑
∑
, (198)
где { }jb ,{ }jc - постоянные коэффициенты.

Особыми точками дробно-рациональной функции, которые могут
ограничить область сходимости z-преобразования, являются полюсы,
то есть те значения z, при которых она обращается в бесконечность.
Очевидно, полюсы – это корни полинома в знаменателе F(z). Введем в
рассмотрение и нули дробно-рациональной функции – корни полино-
ма в числителе. Разлагая полиномы на множители, можно привести
формулу (198) к виду
( )
( )
91
( )
1
10
10
1
1
1
N
j
j
M
j
j
q z
b
c
F z
p z
−
=
−
=
−
−
∏
∏
= , (199)
где { }jq - нули, { }jp – полюсы.
При получении (199) предполагается, что коэффициенты и
не равны нулю. В более общем случае, когда и
0b 0с
10 1, ,..., Nb b b
10 1, ,..., Mc c c все равны нулю, выражение (199) принимает вид
( )
( )
( )
( )
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
N N
j
j
M M
j
j
q z
p z
−
−
=
−
−
=
−
−
∏
∏
1
1
1
1
N M N
M
b
F z z
c
+ −
+
= ,
здесь кроме нулей { }jq и полюсов { }jp имеется еще ( )1 1M N−
1
-
кратный нуль (если 1M N> ) или ( )1 1N M− - кратный полюс (если
1 1N M> ) в начале координат.
Как следует из формулы (199), дробно-рациональное z-преобра-
зование с точностью до константы описывается расположением нулей
и полюсов в z-плоскости. Диаграмма нулей и полюсов в сопоставле-
нии с областью сходимости z-преобразования наглядно отражает ос-
новные качественные характеристики последовательности. Отметим,
что область сходимости дробно-рационального z-преобразования ни-

когда не включает границы, то есть соответствует строгим неравенст-
вам (193), (195) или (197).
Пример 6. Вычислим z-преобразование правосторонней экспонен-
ты ( ) ( )n
f n a u n=
( ) ( )1
0
n
n n
n n
n z az
∞ ∞
− −
=
= =∑ ∑
. В соответствии с формулой (190), имеем
.( )F z a u
=−∞
1
a z−
Этот ряд (геометрическая прогрессия) сходится, если или
z a> . При этом ( )
92
1
1
1
F z
az
.= −
−
Данное дробно-рациональное z-преобразование имеет единствен-
ный полюс в точке z a= и единственный нуль в начале координат.
Соответствующая ему диаграмма нулей и полюсов для вещественного
положительного a приведена на рис. 43 (на этом и следующих ри-
сунках полюсы обозначаются крестиком, а нули - кружочком).
Рис. 43. Диаграмма нулей и полюсов для правосторонней экспоненты
Еще раз обратимся к выражению (190). Если комплексную пере-
менную представить через модуль и фазу: i
z r e ω
=
( )i n i n
n
f n r e
∞
, то
( ) ( )F z F re ω − − ω
=−∞
∑= = . (200)

93
r =При 1 выражение (200) совпадает с (155), то есть z-
преобразование превращается в спектр последовательности. Таким
образом, спектр последовательности - это ее z-преобразование, вычис-
ленное на единичной окружности (рис. 44):
( ) ( ) i
i
z e
F e F z ω
ω
=
=
1R−
. (201)
Разумеется, выражение (201) имеет смысл только тогда, когда
единичная окружность принадлежит области сходимости z-
преобразования, то есть когда < , и 1 , (см. формулы (193),
(195), (197)). Если область сходимости не включает единичную ок-
ружность, то спектр последовательности не определен, однако z-
преобразование существует. Следовательно, z-преобразование являет-
ся более общим средством описания последовательностей, чем спектр
Фурье. Класс последовательностей, описываемых при помощи z-
преобразования, включает не только затухающие в обе стороны по-
следовательности, для которых сходится ряд (155), но и многие дру-
гие, не являющиеся ограниченными при устремлении аргумента к
плюс или минус бесконечности.
R+ >
Рис. 44. Иллюстрация к интерпретации спектра последовательности

6.2. Основные свойства z-преобразования
Для работы с z-преобразованиями и, в частности, для вычисления
z-преобразований последовательностей, не вошедших в приведенную
выше таблицу, могут оказаться полезными следующие их свойства.
Свойство 1. Z-преобразование последовательности f существует, и
ряд (190) сходится в кольце
R
94
z R , (202)+< <−
R Rгде − - неотрицательная, а + - положительная константы
( )R R− +< , если
( )f n Rlim n
n
,= −
→∞
( )f n Rlim n
n
, (203)+
→∞
− =
где lim
n→∞
означает верхний предел последовательности.
Напомним, что верхним пределом действительной последователь-
ности a(n) называется число A такое, что:
1) существует подпоследовательность данной последовательности,
стремящаяся к A;
2) каково бы ни было 0ε > , найдется такое N, что
( )a n A + ε Nпри .n ≥<
Всякая последовательность имеет единственный (конечный или
бесконечный) верхний предел. Верхний предел совпадает с пределом
в обычном смысле, если последний существует.
На границах кольца, то есть при z R−= и z R+= z-
преобразование может как сходиться, так и расходиться. Примем этот
результат без доказательства, ограничившись его простой интерпрета-
цией. Пределы (203) означают, что абсолютные значения элементов
последовательности могут, например, иметь экспоненциальную асим-
птотику:

( ) 1
n
~f n A R− при ,n → ∞
( ) 2~ n
f n A R+ при ,n → −∞
1 2,A A 1R R+ −> >где - некоторые положительные числа. Если , то по-
следовательность ( )f n , является расходящейся, то есть
( )lim
n
f n
→−∞
= ( )lim
n
f n
→∞
. Если 1R R− +<0, = ∞ < , то она сходится к
нулю ( )lim
n
f n
→−∞
= ∞ , ( )lim
n
f n
→∞
1R−0= . При < имеем затухающую в
обе стороны последовательность ( )lim 0
n
f n
→±∞
= , для которой выпол-
няется условие абсолютной суммируемости (158).
Свойство 2. Z-преобразование линейно, то есть если
( ) ( )Z
1 1f n F⎯⎯→
95
z , ( ) ( )2 2
Z
f n F z⎯⎯→ , то для любых постоянных a, b
( ) ( ) ( ) ( )1 2aF z bF z⎯→ +1 2
Z
af n bf n+ ⎯ . (204)
Справедливость соотношения (204) вытекает из самого определе-
ния z-преобразования (190). Областью сходимости суммы (204) явля-
ется пересечение областей сходимости слагаемых. Исключение со-
ставляют ситуации, когда, например, при линейной комбинации дроб-
но-рациональных z-преобразований появившиеся нули компенсируют
некоторые полюсы; в этом случае область сходимости может расши-
риться (такой эффект имел место при переходе от z-преобразования
единичного скачка к z-преобразованию прямоугольного импульса, см.
табл.1, поз. 3 и 4).
Свойство 3. Сдвиг последовательности соответствует умножению
ее z-преобразования на целую степень z, а именно, если
( ) ( )2 1 0 ,f n f n n= − (205)
то
( ) ( )0
2 1
n
z z F z−
= . (206)F

Для доказательства достаточно подставить последовательность
(205) в формулу (190) и заменить переменную при суммировании:
96
( )
( )
0
0 0
1
1 1 .
m n
m
n n
f m z
z z F z
∞ ∞
− −
=−∞
− −
= =∑ ∑
0z =
z = ∞
( ) ( )
( )
2 1 0
n
n
m
m
F z f n n z
z f m
−
=−∞
∞
−
=−∞
= −
= =∑
При сдвиге последовательности область сходимости z-преобразо-
вания не изменяется за исключением, возможно, точек и
.
Свойство 4. Умножение последовательности на аргумент соответ-
ствует дифференцированию ее z-преобразования, а точнее, если
( ) ( )2 1f n nf n=
( )
, (207)
то
( )1
2
dF z
F z z
dz
= −
1
. (208)
Докажем это, для чего запишем сумму (190) относительно после-
довательности f и продифференцируем:
( )1dF z
( )1
n
n
d
f n z
dz
∞
dz
−
=−∞
= ∑ .
Внутри области сходимости степенной ряд можно дифференциро-
вать почленно, поэтому
( )
( )( )
( )
1
n
n
dF z
f n n z
dz
z f n z
− −
=−∞
∞
− −
=−∞
= −
= − = −∑
( )
( )
1 1
1 1
1 1
2 2 ,
n n
n n
z nf n z
z F z
∞ ∞
− −
=−∞
−
=− =∑ ∑
(
что эквивалентно соотношению (208). При умножении последова-
тельности на аргумент область сходимости z-преобразования не меня-
ется за исключением, возможно, точек границ области, на которых
функция )1F z теряет аналитичность.

Свойство 5. Умножение последовательности на экспоненту изме-
няет масштаб аргумента в z-преобразовании. Если ( ) ( )1 1
Z
f n F z⎯⎯→ с
областью сходимости R
97
z R− +< < и
( ) ( )2 1
n
f n a f n= , (209)
то
( ) ( )2 1 /F z F z a= (210)
с областью сходимости a R z a R+< <
( ) ( )1 1/ /
n
− . Для доказательства этого
свойства подставим последовательность (209) в формулу (190):
( ) ( ) ( )2 1
n n
n n
F z a f n z f
∞ ∞
−
=−∞ =−∞
= =∑ ∑ n z a F z a
−
= ,
( )что и требуется получить. Область сходимости для 2F z
/z a
(
получается
подстановкой вместо z в неравенство для области сходимости
)1F z .
Свойство 6. Инверсия (изменение знака) времени последователь-
ности приводит к замене переменной z на 1
z−
в выражении z-преобра-
зования, то есть, если ( ) ( )1 1
Z
f n F z⎯⎯→ с областью сходимости
R z R− +< < и
( ) ( )2 1f n f n− , (211)=
то
( )( ) 1
2 1z F z−
= (212)F
с областью сходимости ( ) ( )1 1R z R−< <
( ) ( )1 1
1 1
m
+ . Доказательство этого
свойства сводится к подстановке последовательности (211) в формулу
(190) и замене переменной при суммировании:
( ) ( ) ( ) ( )2 1 1
n m
n m m
F z f n z f m z f
∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =−∞
= − = =∑ ∑ ∑ m z F z
−− − −
= .

( )2 z 1
zполучим, подставивFОбласть сходимости −
вместо z в
неравенство для области сходимости ( )1F z .
Свойство 7. Свертка последовательностей соответствует произведе-
нию их z-преобразований. Если
( ) ( ) ( )3 1 2f n f n f n= ∗ , (213)
то
( ) ( ) ( )3 1 2F z F z F z= . (214)
Нетрудно провести доказательство этого свойства, с точностью до
обозначений совпадающее с доказательством аналогичного свойства
для спектров (см. п. 5.1). Областью сходимости ( )3F z является пере-
сечение областей сходимости ( )1F z и ( )2F z . Исключение составля-
ют случаи компенсации полюсов ( )1F z нулями ( )2F z или наоборот,
при которых область сходимости может расшириться.
6.3. Обратное z-преобразование
Установим правило перехода от z-преобразования к исходной по-
следовательности. Соотношение для такого обратного z-преобразо-
вания можно вывести из интегральной теоремы Коши, из которой
следует, что
( )1
2k
z dz i k−
= π δ
1k
z
C
∫ , (215)
где интеграл берется против часовой стрелки по замкнутому контуру
C, охватывающему начало координат комплексной z-плоскости. Ум-
ножим обе части выражения (190) на −
и проинтегрируем по C,
выбрав контур так, чтобы он полностью лежал внутри области сходи-
мости z-преобразования:
( ) k k
C C
( )1 1 n
n
F z z d z z=∫ ∫ f n z d z
∞
− − −
=−∞
∑ .
98

Равномерно сходящийся на C ряд можно интегрировать почленно,
поэтому с учетом формул (215) и (116) имеем
99
( )
) ( )
1 1
2 2 .
k k n
C C
( )
( ) (
n
n
F z z d z
i f n
∞
=−∞
∞
=−∞
f n z d z
k n i f k
− − −
= =
− = π
∫ ∫
= π δ
∑
∑
Отсюда следует окончательное соотношение для обратного z-пре-
образования:
( ) ( ) 11 n
C
2
f n F z z d z
i
−
π ∫= , (216)
где C - контур, окружающий начало координат с направлением обхода
против часовой стрелки и расположенный в области сходимости F(z).
Практически взять интеграл (216) можно несколькими способами.
Если подынтегральная функция
( ) ( ) 1n
W z F z z −
= (217)
является аналитической во всей внутренней области контура, за ис-
ключением конечного числа особых точек, то универсальный способ
вычисления дает теорема о вычетах. В соответствии с ней, интеграл
(216) определяется через сумму вычетов:
( )
1
1
2
N
( )Res , j
jC
W z d z
i =
W z z p⎡ ⎤= =⎣ ⎦π
∑∫ , (218)
{ }где N - число особых точек внутри контура C, jp - особые точки,
( )Res , jW z z p⎡ ⎤=⎣ ⎦ - вычет функции W(z) в точке jz p= .
Для функции W(z), имеющей своими особыми точками полюсы,
вычеты вычисляются следующим образом. Если полюс в точке
jz p=
( )
простой, то есть W(z) можно представить в виде
( )
j
U z
W z
z p
=
−
,

где U(z) - функция, не имеющая особенностей (аналитическая) в точке
jz p= , то
( ) ( ) (( ) )Res , lim
j
j j jp W z U p⎡ ⎤− =⎣ ⎦z p
W z z p z
→
⎡ ⎤= =⎣ ⎦ . (219)
( )
( )
( )
100
Если полюс в точке jz p= l-кратный, то есть ,l
j
U z
W z
z p
=
−
2l ≥
,
, то
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
Res , lim
1 !
1
1 !
j
l
lz p
l
l
z p
d
W z z p
l d z
d U z
l d z
−
−→
−
−
=
.
j
l
j jz p W z⎡ ⎤− =⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦−
=
−
(220)
Выражения (217) - (220) позволяют находить, в частности, обрат-
ные z-преобразования для дробно-рациональных функций F(z).
Пример 7. Вычислим последовательность, соответствующую z-пре-
образованию ( ) 1
1
1
F z
az−
=
−
с областью сходимости z a> .
Согласно соотношению (216), в данном случае
( )
1
1
2 1
1 1
2
n n
C C
z z
f n d
i az
−
−
π −
z d z
i z a
= =
π −∫ ∫ .
Контур интегрирования C должен располагаться в области сходи-
мости, то есть вне круга радиуса a
n ≥ ( )
с центром в начале координат.
При 0 подынтегральная функция
n
z
W z
z a
=
−
имеет один про-
стой полюс в точке z a= . При n<0 появляется второй полюс крат-
ности (-n) в начале координат. Взаимное расположение области сходи-
мости, контура интегрирования и обоих полюсов показано на рис. 45.
Как видно, оба полюса охватываются контуром. В соответствии с

101
( )выражениями (218) и (219) при 0n ≥ Res ,
n
nz
n z a a
z a
⎡ ⎤
= = =⎢ ⎥
−⎣ ⎦
f .
При n<0 последовательность определяется как сумма двух вычетов,
значение первого из которых уже найдено:
( ) Res , Re
Res ,
n
n
f n z a
z a
z
z a
s , 0
0 .
n n
z z
z
z a
a z
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+ = == =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤
=⎢ ⎥
⎣ ⎦
= +
−
(221)
Найдем вычет в начале координат. При 1n = − z =полюс в 0 про-
стой, и поэтому
( )
1
, a
z z a
1
Res 0z −
⎡ ⎤
= =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
−
−
n. При 2= − полюс дву-
кратный. В соответствии с выражением (220)
( ) ( )
2
2
0
1
z
z a
z a
−
=
= −
−
2
0
1 1
Res , 0
1!
n
z
z d
z z a d z z a
=
⎡ ⎤ ⎛ ⎞
= = = −⎢ ⎥ ⎜ ⎟
− −⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Для произвольного отрицательного n получается
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
1
0
0
1
.
n
n
n n
z
a
z a
− −
−
=
⎡ ⎤
= =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
= −
−
(
1
1
0
Res ,
1 1
1 !
n
n
n
z
z
z
z z a
d
n z ad z
−
− −
− −
=
−
−⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
− − −⎝ ⎠
(222)
Таким образом, подставив выражение (222) в формулу (221), при
n<0 имеем ) 0n n
f n a a= − =
( )
, 0
0
na n
.
Окончательный результат: ( )
0 ,
n
f n a u n
n
⎧ ⎫≥
= =⎨ ⎬
<⎩ ⎭
.

Рис. 45. Взаимное расположение области сходимости,
контура интегрирования и полюсов: иллюстрация к примеру
Непосредственное вычисление обратного z-преобразования мето-
дом вычетов может оказаться весьма трудоемким, особенно если у
функции F(z) имеется много особых точек. На практике чаще исполь-
зуют обходной путь, приводя F(z) к представлению в виде суммы про-
стых функций, обратные z-преобразования которых известны. Так, для
дробно-рациональной функции F(z) общего вида (198) применяется ее
разложение на простые дроби:
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
P z
F z A z
Q z
−
−
−
= =
1
1 1 1
jlM
jk
k
j k
j
C
p z−
= =
+
−
∑ ∑ , (223)
где ( ) ( ) ( )1 1 1
, ,P z Q z A− − 1
zz−
- полиномы от −
, M - общее число по-
люсов,
102
jl - кратность полюса jp , jkC - постоянные коэффициенты.
Слагаемое A в разложении (223) присутствует, если степень полинома
P не меньше степени полинома Q, и определяется алгебраическим де-
лением P на Q. Значения постоянных C можно найти методом неопре-
деленных коэффициентов (см. пример ниже). Выражение (223) позво-

ляет представить произвольную дробно-рациональную функцию через
сумму табличных z-преобразований.
При переходе от выражения (223) к самой последовательности
следует обращать особое внимание на взаимное расположение полю-
сов z-преобразования и его области сходимости вида (197). Как уже
отмечалось, именно полюсы определяют радиусы области сходимо-
сти. Простая дробь
103
( )1
1
jk
k
j
C
p z−
−
p R−≤соответствует последовательности правосторонней, если j , и
левосторонней, если p R≥j + . Область сходимости такого элемен-
тарного z-преобразования будет определяться соответственно нера-
венством z > jp или jz p< .
Пример 8. Определим последовательность, соответствующую
z-преобразованию
( )
( )( )1
F z
az−
1
1 1
ab
bz
−
=
− −
, 1ab (224)<
с областью сходимости
1
a z
b
< < . (225)
Для этого запишем выражение (224) в виде отношения полиномов
по отрицательным степеням z:
( )
( )
1
1 1
1
1
1 1
a z
b
az z
b
−
− −
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
F z = , (226)
а затем, учитывая наличие полюсов в точках z=a и z=1/b, произведем
разложение на простые дроби:

( )
104
1 2
1
111 1
C C
az z
b
−
F z
−
= +
− −
1 2,C C 1C 2C
, (227)
где - неопределенные коэффициенты. Для отыскания и
приведем выражение (227) к общему знаменателю и сравним его с за-
писью (226):
( ) ( )
1
1 1
1
1 1
1 1
a z
b
az z
b b
−
− −
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1
1 2 2 2
1 1
1
1 1
C C z C aC z
b
az z
− −
− −
− + −
=
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Приравнивая в числителях коэффициенты при одинаковых степе-
нях z, получаем систему линейных уравнений
1 2
1 2
0
1 1
,
C C
C aC a
b b
+ =
− − = −
1 21, 1
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
решение которой дает: C C= = − , то есть
( ) ( ) ( )1 2
1
.1
1 1
11
F z
az a z
b
−
= +
− −
F z F z
−
= +
( )
(228)
Первое слагаемое 1 1
1
1
F z
az−
=
−
имеет полюс в точке z=a, рас-
положенной на внутренней границе кольца сходимости (225), как по-
казано на рис. 46. Следовательно, оно соответствует правосторонней
последовательности и имеет область сходимости z a> . Из таблицы
z преобразований получаем
( ) ( )1
n
f n a u n=
( )
.
Второе слагаемое в сумме (228)
2
1
1
1
F z
a z
b
−
=
− −

имеет полюс в точке z=1/b, расположенной на внешней границе коль-
ца сходимости (225).
Рис. 46. Расположение полюсов: иллюстрация к примеру
Следовательно, оно соответствует левосторонней последователь-
ности и имеет область сходимости 1z b< . Из таблицы z-
преобразований: ( ) ( )1n
f n b u n−
2 − −
( )
, 0,
, 0.
n
n
a n
n
b n−
⎧ ≥
= ⎨
.=
В силу линейности z-преобразования окончательный результат по-
лучаем в виде
( ) ( )1 2f n f n f= +
<⎩
( ) ( ) n
n
H z h n z
∞
6.4. Анализ и синтез ЛПП-систем
с использованием z-преобразования
Определим передаточную функцию дискретной ЛПП-системы как
z-преобразование ее импульсной характеристики:
−
=−∞
= ∑ . (229)
105

Передаточная функция является еще одной формой описания
ЛПП-системы, она однозначно определяет закон преобразования
входной последовательности в выходную. Действительно, учитывая
соответствие формул (213) и (214), свертку (112) можно записать в z-
области в виде
( ) ( ) ( )G z F z H z= , (230)
(где ) ( ),G z F z
( )
( )
0
1 0
.
M N
j j
j j
j
N
j j
j j
j j
b F z z
F z b z
− −
=
− −
= =
- z-преобразования выходной и входной последова-
тельностей. Область сходимости G(z) состоит как минимум из пересе-
чения областей сходимости F(z) и H(z).
Выражение, аналогичное (230), мы имели и раньше при описании
ЛПП-системы в частотной области (см. формулу (157)). Это естест-
венно, ведь в соответствии с соотношением (201) частотная характе-
ристика системы есть ее передаточная функция (а спектр дискретного
сигнала - его z-преобразование) при значениях переменной z, взятых
на единичной окружности в комплексной z-плоскости. Однако поня-
тие передаточной функции существенно шире понятия частотной ха-
рактеристики, поскольку применимо и к системам, для которых ряд
(229) не сходится на единичной окружности.
Передаточную функцию нетрудно получить непосредственно из
разностного уравнения ЛПП-системы. Покажем это на примере физи-
чески реализуемой системы, описываемой разностным уравнением
(124). Используя сформулированные в п. 6.2 свойства 2 и 3
z-преобразования (линейность и сдвиг последовательности), уравне-
ние (124) можно записать в преобразованной форме:
( ) ( )
( )
1j
M
G z a G z z
G z a z
=
= + =∑ ∑
∑ ∑= +
.
( )G z в явном виде:Отсюда легко выражается
106

107
( )( ) 0
1
1
N
j
j
j
M
j
j
j
b z
F z
a z
−
=
−
=
−
∑
∑
( )
G z = . (231)
Сопоставив выражения (231) и (230), видим, что
0
1
1
N
j
j
j
M
j
j
j
b z
H z
a z
−
=
−
=
=
−
∑
∑
. (232)
Полученная передаточная функция H(z) отличается от записи (198)
только обозначениями коэффициентов в знаменателе, то есть является
дробно-рациональной. Нетрудно показать, что ЛПП-системы, допус-
кающие представление в виде разностных уравнений конечного по-
рядка, всегда имеют дробно-рациональные передаточные функции.
Заметим, что переход от уравнения (124) к (231) по существу оп-
ределяет метод решения линейных разностных уравнений с помощью
z-преобоазования. В отличие от громоздкого и неуниверсального ме-
тода прямой подстановки, рассмотренного в п. 4, в данном случае
можно получить результат в общем виде и не указывать начальные
значения для участвующих в решении последовательностей (предпо-
лагается, что они являются бесконечными, то есть заданы для всех
значений дискретного времени).
Пример 9. На вход ЛПП-системы, описываемой разностным урав-
нением (125), поступает сигнал - правосторонняя экспонента:
( ) ( ),n
f n b u n b a≠ . (233)=
Определим последовательность на выходе системы. Для этого пе-
рейдем от разностного уравнения к передаточной функции:
( ) ( ) ( )1
aG z z F z−
= +G z ( ) ( ), 1
1
1
G z F z
a z−
=
−
( )
, (234)
1
1
1
H z
az
. (235)=
− −

Передаточная функция имеет один полюс в точке z=a и соответст-
вует правосторонней импульсной характеристике (так как система фи-
зически реализуема). Следовательно, область сходимости H(z) - внеш-
няя часть круга: z a> . Определив по таблице z-преобразований со-
ответствующую передаточной функции (235) импульсную характери-
стику
( ) ( )n
h n a u n=
( ) ( )
0
k
k
,
можно записать решение разностного уравнения во временной облас-
ти в виде свертки:
n a f n k
∞
=
−∑ ,g =
что совпадает с выражением (128). Однако в данном случае нам из-
вестна входная последовательность, поэтому можно конкретизировать
результат. Для последовательности (233) из таблицы находим
108
( ) 1
1
,
1
F z z b
b z−
= >
−
)
. (236)
Подставив формулы (225) и (236) в (230), получим
( )
( )(
{ }, max ,z a b= >1 1
1
1 1
G z
a z b z− −
− −
.
После разложения G(z) на простые дроби имеем
( ) 1 1
1 1
1 1
b
a b b z
a
G z
a b a z− −
− ×
− −
= ×
− −
. (237)
Сопоставление полюсов функции G(z) с ее областью сходимости
показывает, что оба слагаемых в выражении (237) соответствуют пра-
восторонним последовательностям. После перехода от (237) к после-
довательности получаем окончательный результат
( ) ( ) ( ) ( )
1 1n n
a bn na b
g n a u n b u n
a b a b
= −
− −
u n
a b
+ +
−
=
−
.
Выполняя последовательность преобразований (124) в (232) в об-
ратном порядке, можно перейти от дробно-рациональной переда-
точной функции к разностному уравнению. Это открывает простую

возможность синтеза структуры ЛПП-системы с заданной импульсной
характеристикой.
Пример 10. Построим структурную схему ЛПП-системы с им-
пульсной характеристикой
109
( ) ( )cos
2
n
a n u n
π⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
h n = . (238)
С помощью таблицы z-преобразований перейдем от характеристи-
ки (238) к передаточной функции системы:
( ) 2 2
1
,
1
z a
a z−
H z = >
+
( ) ( )
.
В соответствии с выражением (230)
( ) ( ) 2 2
1
1
z F z
a z−
= =
+
(
G z F z H
или
( ) ) ( )2 2
a z F z−
+ = ( ) ( ) ( )2 2
a G z z F z−
= − +G z .1G z ,
Последнему соотношению во временной области соответствует
разностное уравнение
( ) ( ) ( )2
2g n = −a g n g n− + . (239)
Структурная схема системы, описываемой разностным уравнени-
ем (239), представлена на рис. 47.
Рис. 47. Структурная схема, описываемая разностным уравнением (239)

Формулу (230) можно использовать и для определения передаточ-
ной функции ЛПП – системы по известным сигналам на входе и вы-
ходе, то есть для синтеза системы, осуществляющей заданное преоб-
разование:
( )
110
( )
( )
G z
H z , (240)
F z
=
( )
а также для определения входного сигнала по известным выходному
сигналу и передаточной функции:
( )
( )
G z
F z
H z
= . (241)
При этом однако следует учитывать, что соотношения (240) и
(241) не всегда позволяют однозначно определить последовательность
h и f соответственно, так как во многих случаях можно произвольно
назначать область сходимости и, следовательно, получать правосто-
ронние, левосторонние или двусторонние последовательности.
Пример 11. Определим, какую последовательность f нужно подать
на выход ЛПП - системы с импульсной характеристикой
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1h n n n= δ + δ − , чтобы получить на выходе g 3n u n=
( )
.
Перейдем к z - преобразованиям:
( ) 1
1 2 , 0;H z z z G−
= + ≠ 1
3
, 1
1
z z
z−
= >
−
.
В соответствии с формулой (241) z - преобразование входной по-
следовательности
( ) ( )
( ) 1 1
1 3 1
1 1 2z z
F z G z
H z − −
= =
− +
. (242)
Для первого сомножителя в выражении (242) область сходимости
известна ( )1z >
z
. Для второго ее можно назначить либо внутри ок-
ружности, проходящей через полюс в точке 2= − , либо вне ее. В
первом случае область сходимости F(z) - кольцо: 1 2z , то есть f< <

будет двусторонней последовательностью. Во втором случае область
сходимости F(z) – внешняя часть круга: 2z >
( )
, то есть f - правосторон-
няя последовательность. Таким образом, задача имеет два решения:
f - двусторонняя последовательность:
( )
( )
111
1 11 1
3 1 2
1 1 21 1 2
1 2 1 2
F z
z zz z
z z z
− −− −
= = +
− +− +
< < > <
( ) ( )2 2 1
n
u n
;
( ) ( )f n u n= − − − −
)
;
f - правосторонняя последовательность:
( )
( )( 1 1
3 1 2
1 1 2
2 1 2
z z
z z z
1 1
1 1 2
F z
z z
− −
= = +
− +
> > >
( ) ( )1 2 2
n
− −
− + ;
( )f n u n⎡ ⎤= + −
⎣ ⎦
.
Ранее было сформулировано условие устойчивости ЛПП-системы,
выраженное как требование абсолютной суммируемости ее импульс-
ной характеристики (см. неравенство (122). То же условие можно вы-
разить и как требование к передаточной функции системы. Имеется
простая взаимосвязь между расположением полюсов на z - плоскости,
областью сходимости передаточной функции и такими свойствами
системы, как устойчивость и физическая реализуемость. Неравенство
(122) означает, что ряд (229) абсолютно сходится на единичной ок-
ружности, а такое возможно, если единичная окружность расположена
в области сходимости ряда. Следовательно, ЛПП-система является
устойчивой, если область сходимости передаточной функции содер-
жит внутри себя окружность единичного радиуса на z - плоскости.
Как уже говорилось, область сходимости дробно-рационального
z-преобразования ограничена полюсами. Если ЛПП-система физиче-
ски реализуема, то есть ее импульсная характеристика является право-
сторонней последовательностью, удовлетворяющей условию (119), то

область сходимости передаточной функции - внешняя часть круга,
проходящего через наиболее удаленный от начала координат полюс.
Такая система устойчива, если все полюсы ее передаточной функции
лежат внутри единичной окружности. Пример диаграммы полюсов
для устойчивой физически реализуемой системы дан на рис. 48.
Отметим, наконец, следующее: в соответствии с формулами (117),
(118) и свойствами z - преобразования при последовательном соеди-
нении N ЛПП-систем (звеньев) передаточная функция объединенной
системы
112
( ) ( )
1
N
j
j
H z H z
=
= ∏
( )j
, (243)
Hгде z
( ) ( )
1
N
j
j
- передаточная функция j-го звена, а при параллельном
соединении
H z H z
=
= ∑ . (244)
Рис. 48. Диаграмма полюсов для устойчивой физически реализуемой ЛПП-системы

Соотношение (243) используется при реализации системы в по-
следовательной (каскадной) форме, а соотношение (244) - в парал-
лельной. Представление дробно-рациональной передаточной функции
в виде (243) легко получить, выразив ее через нули и полюсы
(см. формулу (199)), а представление в виде суммы (244) - разложив ее
на простые дроби (см. формулу (223)).
6.5. Двумерное z-преобразование
Прямым z-преобразованием двумерной последовательности f на-
зывается комплексная функция
113
( ) 1 2
1 2 1 2, n n
( )
1 2
1 2,
n n
F z z
∞ ∞
=−∞ =−
= ∑ ∑ f n n z z− −
∞
1z 2z
, (245)
где , - комплексные переменные. Ниже иногда будем использо-
вать сокращенную запись (245) в форме
( ) ( )1 2 1 2, ,z
f n n F z z⎯⎯→
1z 2z
( )
.
Естественно, данное “двумерное“ z-преобразование имеет смысл
только в своей области сходимости, то есть на множестве таких зна-
чений и , при которых сумма (245) существует и является ко-
нечной. Достаточным условием этого является абсолютная сходи-
мость записанного двойного ряда:
( )
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
,
, .
n n
n n
n z z
z z
− −
− −
=
= < ∞
1z 2z
1 2
1 2
1 2
n n
n n
f n
f n n
∞ ∞
=−∞ =−∞
∞ ∞
=−∞ =−∞
∑ ∑
∑ ∑
(246)
Из этой формулы следует важный вывод о том, что область схо-
димости определяется только абсолютными значениями комплексных
переменных , , а значит, может быть задана на плоскости в ко-
ординатах ( 1z , 2z ). Речь идет о внутренних точках области сходи-
мости z-преобразования. На границах области условие (246) может не
выполняться, но ряд (245) сходится неабсолютно (условно). Вопрос

о существовании z-преобразования в каждой точке границы области
должен исследоваться дополнительно для конкретного ряда. Рассмот-
рим частные случаи.
Пусть f - двумерная последовательность конечной длины, удовле-
творяющая условию (135). Тогда ее z-преобразование будет вычис-
ляться как сумма конечного числа слагаемых:
114
( ) 1 2
2
1 2 1 2, n n
M
( )
1 2
1 1 2
1 2,
N N
n M n
F z z
= =
= ∑ ∑ f n n z z− −
1z 2z
. (247)
Очевидно, что область сходимости такого z-преобразования вклю-
чает в себя те значения переменных , , при которых все слагае-
мые в сумме (247) конечны, то есть все точки плоскости ( 1z , 2z ) за
исключением, возможно, некоторых: точки 1 0z = , если , точки1 0N >
1z = ∞ M 0, если , точки1 0< 2z = , если и точки2 0N > 2z = ∞
2 0M
, ес-
ли < .
Этот факт иллюстрирует рис. 49а, на котором область сходимости
z-преобразования отмечена штриховкой.
Пусть двумерная последовательность f разделима (для нее выпол-
няется условие (144)). При этом ее двумерное z-преобразование также
является разделимым:
( ) ( ) (
1 2
1 2 1 1 1 2,
n n
) ( ) ( )1 2
2 2 1 1 2 2
n n
F z z f n z f n
∞ ∞
=−∞ =−∞
∑ ∑ z F z F z− −
= = , (248)
и, следовательно, область сходимости можно определить по каждой
переменной. Известно что одномерное z-преобразование общего вида
сходится в кольце, то есть для ( ) ( )2 21 1F z и F z
( )
области сходимости
записываются соответственно в форме двойных неравенств:
( )
( ) ( )
1 1
1
2 2
2
,
,
R z R
R z R
− +
− +
⎧ < <⎪
⎨
< <⎪⎩
(249)
где ( )1
R− , ( )1
R+
( )2
, ( )2
R R− , + - некоторые постоянные, характеризующие
границы области сходимости. Система неравенств (249) определяет

115
1
область сходимости разделимого двумерного z-преобразования (248).
В общем случае эта область имеет прямоугольную форму (см.
рис. 49б). С конкретизацией одномерных последовательностей, вхо-
дящих в (144), конкретизируется и форма области сходимости
z-преобразования. Так, если f и 2f - правосторонние последова-
тельности (в частности, если ненулевые отсчеты f лежат в первом
квадранте), то область сходимости двумерного z-преобразования (248)
определяется системой неравенств
( )
( )
1
1
2
2
,z R
z R
−
−
⎧ >⎪
⎨
>⎪⎩
(250)
и, следовательно, имеет вид, показанный на рис. 49в.
Если f – двумерная неразделимая бесконечная последовательность,
то область сходимости ее z-преобразования уже не выражается неза-
висимо по переменным 1z и 2z
1 0n ≥ 2 0n ≥
. Так, можно показать, что, если не-
нулевые отсчеты последовательности сосредоточены только в первом
квадранте плоскости аргументов (то есть при и ), то об-
ласть сходимости z-преобразования опять задается системой нера-
венств типа (250), однако граница области по каждой переменной за-
висит от другой переменной:
( )
( )
( )
( )
1
1 2
2
2 1
,
.
z R z
z R z
−
−
⎧ >⎪
⎨
>⎪⎩
( )1
− ⋅
(251)
( )Функции и( )R ( )2
R− ⋅ здесь являются взаимообратными, они
определяют границу области сходимости в плоскости ( 1z , 2z ). В
соответствии с (251) эта граница не может иметь участков с положи-
тельным наклоном, то есть ограничивает область сходимости снизу и
слева (см. рис. 49г). Здесь и далее условие взаимообратности позволя-
ет на практике ограничиться использованием любого одного из двух
записанных неравенств.

116
1 0n
Аналогично, для бесконечной последовательности с ненулевыми
отсчетами во втором квадранте (при ≤ , ) область сходимо-
сти определяется системой неравенств
2 0n ≥
( )
( )
( )
( )
1
1 2
2
2 1
,z R z
z R z
+
−
⎧ <⎪
⎨
>⎪⎩
(252)
(при взаимообратных функциях ( )
)1
R+ (( )
)2
R−⋅ и ⋅ . Здесь граница облас-
ти сходимости имеет неотрицательный наклон и ограничивает область
снизу и справа (см. рис. 49д).
Для последовательности, расположенной в третьем квадранте (при
, ) имеем1 0n ≤ 2 0n ≤
( )
( )
( )
( )
1
1 2
2
2 1
,z R z
z R z
+
+
⎧ <⎪
⎨
<⎪⎩
(253)
(при взаимообратных ( )
)1
R+ (( )
)2
R+⋅ и ⋅ , область сходимости ограниче-
на сверху и справа (см. рис. 49е).
Для последовательности в четвертом квадранте (при ,
)
1 0n ≥
2 0n ≤
( )
( )
( )
( )
1
1 2
2
2 1
,z R z
z R z
−
+
⎧ >⎪
⎨
<⎪⎩
(254)
( ) ( )( ) ( )1
R−
2
R+⋅ ипри взаимообратных ⋅ , область сходимости ограниче-
на сверху и слева (см. рис. 49ж).
В самом общем случае, когда двумерная последовательность f рас-
сматривается как отличная от нуля на всей плоскости аргументов, ее
всегда можно представить в виде четырех составляющих:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 4 1 2, ,1 2 1 1 2 2 1 2 3, , ,f n n f n n f n n f= + n n f n n+ +
i
, (255)
где f - последовательности с ненулевыми отсчетами только в i-м
квадранте (i ). Слагаемые в (255) имеют z-преобразования
с областями сходимости (251) - (254). Если эти области имеют общее
1, 2, 3, 4=

пересечение, то существует и z-преобразование всей последователь-
ности f, область сходимости которого может быть записана в виде
обобщения системы двойных неравенств (249):
( )
( )
117
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1 1
2 1 2
2 2
1 2 1
,
.
z R z
z R z
− +
− +
< <
< <
R z
R z
⎧⎪
⎨
⎪⎩
(256)
В соответствии с (256), любое сечение области сходимости при
1z co= nst или 2z const= является односвязным, граница области в
общем случае замкнута и состоит из четырех сегментов, два из кото-
рых имеют неотрицательный наклон, а два – неположительный. Воз-
можный вид такой области дан на рис. 49з. Для иллюстрации к ска-
занному рассмотрим несколько простых примеров.
Пример 12. Вычислим z-преобразование двумерной экспоненты
первого квадранта (132):
( ) ( )1 2
1 2, ,n n
1 2f n n a b u n n= .
Данная двумерная последовательность является разделимой, соот-
ношение (134) для нее выполняется при
( ) ( )1
1 1 1
n
f n a u n= , ( ) ( )2
2 2 2
n
f n a u n= .
z-преобразования и области сходимости приведенных одновременных
последовательностей записываются в виде (см. табл.1, раздел 6.1):
( )1 1
1
11
1
1
,F z z a
az−
= >
−
,
( )2 2
1
21
2
1
,F z z b
bz−
= >
( )( )
−
.
В соответствии с (248), для рассматриваемой двумерной последо-
вательности получаем
( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2,F z z F z F z= = 1 1
1 2
1
1 1az bz− −
− −
.

а) б)
в) г)
д) е)
ж) з)
Рис. 49. Формы области сходимости двумерного z-преобразования:
последовательность конечной длины (а), разделимая бесконечная
последовательность (общий случай) (б), разделимая бесконечная
последовательность (правосторонние составляющие) (в), произвольная
бесконечная последовательность первого квадранта (г), произвольная бесконечная
последовательность второго квадранта (д), произвольная бесконечная
последовательность третьего квадранта (е), произвольная бесконечная
последовательность четвертого квадранта (ж), последовательность,
отличная от нуля на всей плоскости аргументов (з)
118

а) б)
Рис. 50. Импульсная характеристика и область сходимости её двумерного
z-преобразования: одномерная экспонента, расположенная по биссектрисе
первого квадранта (а); область сходимости двумерного z-преобразования
одномерной экспоненты (б)
Область сходимости этого двумерного z-преобразования:
1
2
,
,
z a
z b
⎧ >⎪
⎨
>⎪⎩
она имеет вид, показанный на рис. 49в.
Пример 13. Вычислим z-преобразование двумерной последова-
тельности
( ) ( ) ( )1
1 1 2
n
1 2,f n n a u n n n= δ −
) ( )
( )
1 1 2
1
2
1 1
1 2 1 2
1 1
1 2
0
.
n n n
nn
n n z z
az z
− −
∞ ∞
− −
=
− =
( )
,
(a – постоянная), представляющей собой "одномерную" экспоненту,
расположенную на биссектрисе первого квадранта (см. рис. 50а). Оче-
видно, данная последовательность не является разделимой, поэтому
произведем вычисления по общей формуле (245):
( ) (
( )
1 2
1 1
1 2 1
1 1 2
,
n n
n n
n n
F z z a u n
a u n z z
∞ ∞
=−∞ =−∞
− −
=−∞
= δ
= =
∑ ∑
∑ ∑
Если полученный ряд (сумма геометрической прогрессии) сходится, то
119
1 2 1 1
1 2
1
,
1
z
az z
F z − −
=
−
.

Условие сходимости ряда:
1 1
1 2 1az z− −
,<
его можно переписать в форме неравенств (251):
1
2
2
1
,
.
a
z
z
a
z
z
⎧
>⎪
⎪
⎨
⎪ >⎪
⎩
120
Вид этой области сходимости в плоскости ( 1z , 2z ) показан на рис. 50б.
Пример 14. Вычислим z-преобразование двумерной последова-
тельности
( )
1
1 2
1 2
,
0 ,
при n n
при n n
=
≠
1 2,
n
a
f n n
⎧⎪
= ⎨
⎪⎩
где a – постоянная ( 1a < ). Данная неразделимая последовательность
представляет собой “крест” из одинаковых экспонент, “разбегающих-
ся” по биссектрисам четырех квадрантов (рис. 51а). Запишем ее через
функции единичных импульсов и скачков в виде четырех составляю-
щих по квадрантам:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
1
1 2 1 1 2
1 1 2
n n
n n
f n n a u n n n a u
a u n n n a u n
−
−
= δ − +
+ − − δ − + ( ) ( )1
1 1 2
1 1 2
, 1
1 1 .
n n n
n n
− − δ + +
− δ +
Для первой составляющей мы уже вычислили z-преобразование
в предыдущем примере:
( ) ( )1
1 1 2
1 2
1
1
z
n
a u n n n
az z− −
δ − →
−
1
2
1 1
2
1
,
,
.
a
z
z
a
z
z
⎧
>⎪
⎪
⎨
⎪ >⎪
⎩
Производя аналогичные вычисления для остальных слагаемых, не-
сложно получить:

( ) ( )1
1
1 2
1 1 2 1
1 2
1 ,
1
z
n a z z
a u n n n
a z z
−
−
−
− − δ + →
−
2
1
2 1
,
;
z
z
a
z a z
⎧
<⎪
⎨
⎪ >⎩
( ) ( )1 1 2
1 1 2
1 2
1 ,
1
z
n a z z
a u n n n
az z
−
− − δ − →
−
1
2
2
1
1
,
1
;
z
a z
z
a z
⎧
<⎪
⎪
⎨
⎪ <
⎪⎩
( ) ( ) 11
1
2
1 1 2 1
1 2
1 ,
1
z
n
a z z
a u n n n
a z z
−
−
− δ + →
−
1 2
1
2
,
.
z a z
z
z
a
⎧ >
⎪
⎨
<⎪
⎩
Для точек пересечения областей сходимости этих z-преобразова-
ний можно записать
( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) (
( )
)
1
1
2
1
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 2 2
1 1 2 2
1
.
a z z
a z z
z z z z
z z z z
−
−
− −
− −
+ =
−
+ + +
+ + +
1
1 2 1 2
1 2 1 1 1
1 2 1 2 1 2
2 2 3 1 1 2
1 1 2 2
22 2 1 1
1 1 2 2
1
,
1 1 1
1 1 3 2
1 1
a z z a z z
F z z
a z z a z z a z z
a a a z z z z a
a a a z z z z a
−
− − −
− −
− −
= + +
− − −
+ − + + + −
=
+ − + + + +
Указанное пересечение (область сходимости искомого z-преоб-
разования) существует при
121
1a < и может быть представлено в виде
системы неравенств (256), в которой
( )
( ) 2
2 2
при 1,
при 1 1 ,
a z
z a
< ≤
< <
1
22
a
zR z
a z
−
⎧
⎪
= ⎨
⎪
⎩
( )
( )
2
1
2
2
1
z
a
R z
a z
+
⎧
⎪
⎪
= ⎨
⎪
⎪
⎩
2
2
при 1,
при 1 1 ,
a z
z a
< ≤
< <

( )
( ) 1
1 1
при 1,
при 1 1 ,
a z
z a
< ≤
< <
2
11
a
zR z
a z
−
⎧
⎪
= ⎨
⎪
⎩
( )
( )
1
2
1
1
1
z
a
R z
a z
+
⎧
⎪
⎪
= ⎨
⎪
⎪
⎩
1
1
при 1,
при 1 1 .
a z
z a
< ≤
< <
Форму данной области иллюстрирует рис. 51б.
Если двумерное z-преобразование сходится при 1 2 1z z= =
1 2
1 2,i i
z e z e
, то,
положив
ω ω
= =
1ω 2при вещественных , ω , из формулы (245) получаем спектр Фурье
(181) двумерной последовательности. Таким образом, как и в одно-
мерном случае, преобразование Фурье есть частный случай
z - преобразования, который находит применение при анализе дву-
мерных абсолютно суммируемых сигналов и устойчивых ЛПП-систем
(при выполнении условий (183) и (145)). Само же z-преобразование
является более общим средством двумерных последовательностей
и применяется значительно шире.
а) б)
Рис. 51. Импульсная характеристика и область сходимости ее двумерного
z-преобразования: иллюстрация “креста” из экспонент по биссектрисам
квадрантов (а); область сходимости двумерного z-преобразования (б)
122

123
1z 2z
Важный класс двумерных z-преобразований образуют дробно-
рациональные функции двух переменных, представляющие собой от-
ношения полиномов от и . Если использовать запись полиномов
по отрицательным степеням переменных, то двумерное дробно-
рациональное z-преобразование имеет общий вид
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
0 0
1 2
0 0
N N
m m
m m
m m
M M
m m
m m
m m
b z z
C z z
− −
= =
− −
= =
∑ ∑
∑ ∑
1 2,F z z = . (257)
В одномерном случае подобные z-преобразования было удобно
описывать своими нулями и полюсами, которые определялись в ре-
зультате разложения полиномов числителя и знаменателя на простые
множители. Такое разложение опиралось на основную теорему алгеб-
ры, согласно которой степенной полином одной переменной всегда
может быть представлен через свои корни. Однако для полинома от
нескольких переменных аналогичной теоремы в общем случае не су-
ществует, и подобное разложение невыполнимо. Многомерный поли-
ном, как правило, не имеет конечного числа корней, он равен нулю на
непрерывных множествах значений переменных. В этом заключается
главное качественное отличие одномерных и многомерных (в частно-
сти, двумерных) сигналов и систем, серьезно усложняющее их анализ.
6.6. Основные свойства двумерного z-преобразования
При работе с двумерным z-преобразованием полезно учитывать
его свойства, которые перечисляются ниже. Некоторые из них доста-
точно очевидны или легко доказываются, другие – уже обсуждались в
предыдущем параграфе.
Свойство 1. Если z-преобразование двумерной последовательно-
сти f существует, то ряд (245) абсолютно сходится во внутренних точках
области сходимости, в общем случае определяемой системой двойных не-
равенств (256). В точках границы области ряд, соответствующий

z - преобразованию, может как сходиться, так и расходиться. Область
дробно-рационального двумерного z-преобразования всегда является
открытой (не включает границы).
Свойство 2. Двумерное z-преобразование линейно, то есть если
( ) ( )1 1 2 1 1 2, ,
z
( ) ( )2 1 2 2 1 2, ,
z
f n n F z z→ , f n n F z z→
( ) ( )1 2 2 1 2, ,z z bF z z+
,
то при любых постоянных a, b
.( ) ( )1 1 2 2 1 2 1, ,
z
a f n n bf n n aF+ →
Областью сходимости этого суммарного z - преобразования в об-
щем случае является пересечение областей сходимости слагаемых.
Свойство 3. Если двумерная последовательность разделима, то ее
z-преобразование также является разделимым, то есть из соотношения
( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2,f n n f n f n=
следует
( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2,F z z F z F z= .
Свойство 4. Сдвиг двумерной последовательности по каждой ко-
ординате выражается в умножении ее z-преобразования на целую сте-
пень соответствующей переменной, а именно, если
( ) ( )1 1 1 2 2, ,2 1 2f n n f n k n k= − −
1k 2kпри целых , , то
( ) ( )1 2
1 2 1 1 2, ,k k
2 1 2F z z z z F z z− −
= . (258)
При сдвиге последовательности область сходимости двумерного
z-преобразования не меняется за исключением, возможно, точек
,1 0z = 2 0z = ,
124
1z = ∞ и 2z .= ∞
Свойство 5. Умножение двумерной последовательности на аргу-
мент выражается в дифференцировании ее z-преобразования по соот-
ветствующей переменной, если, например,

( ) ( )2 1 1 1 2, ,2 1f n n n f n n=
( )
,
то
( )
125
1 1 2
2 1
1
,F
2 1,
z z
z
z
∂
= −
∂
F z z . (259)
При умножении последовательности на аргумент область сходи-
мости двумерного z-преобразования не меняется за исключением,
возможно, точек границ области.
Свойство 6. Умножение двумерной последовательности на экспо-
ненту изменяет масштаб аргумента в z-преобразовании. Если
( ) ( )2 1 1 2, ,z
1 1f n n F z z⎯⎯→
с областью сходимости общего вида (256), и
( ) ( )1 2
2 1 1 2, ,n n
2 1f n n a b f n n=
( )
,
где a, b – произвольные постоянные, то
1 2
2 1, ,
z z
z F
a b
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 1F z (260)
с областью сходимости, выражаемой системой неравенств
( ) ( )
( ) ( )
1 12 2
1
2 21 1
2
,
.
z z
z a R
b b
z z
z b R
a a
− +
− +
⎛ ⎞
< < ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
< < ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
a R
b R
⎧ ⎛ ⎞
⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎪ ⎝ ⎠
⎨
⎛ ⎞⎪
⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩
Свойство 7. Инверсия (изменение знака) аргумента последова-
тельности приводит к замене соответствующей переменной в z-пре-
образовании на обратную величину, если, например,
( ) ( )2 1 2 1 1 2, ,
z
f n n F z z→
с областью сходимости общего вида (256), и
( ) ( )2 1 1 2, ,2 1f n n f n n= − ,

то
( )( ) 1
2 1 1 2, ,2 1F z z F z z−
= (261)
с областью сходимости, выражаемой системой неравенств
( )
( ) ( )
126
( )
( ) ( )
11 1
2 2
1 2
2
1 1
1 1
,
1 1
.
z
R z
R z R
z z
+ −
− +
< <
⎛ ⎞
< < ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
R z
⎧
⎪
⎪
⎨
⎛ ⎞⎪
⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩
Свойство 8. Свертка двумерных последовательностей соответст-
вует произведению их z-преобразований. Если
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , ,g n n h n n f n n= ∗∗ ,
то
( ) ( ) ( )1 2G z z = 1 2 1 2, , ,H z z F z z
(
. (262)
)Областью сходимости двумерного z-преобразования 1 2,G z z
( )1 2,H z z
( )1 2,
яв-
ляется, как правило, пересечение областей сходимости и
F z z
(
.
6.7. Анализ и синтез двумерных ЛПП-систем
с использованием z-преобразования
Введем понятие передаточной функции двумерной дискретной
ЛПП-системы )1 2,H z z
( )1 2,h n n
– z-преобразования ее импульсной характе-
ристики . Передаточная функция исчерпывающим образом
описывает систему, так как с учетом соответствия (141) и (262) одно-
значно определяет преобразование входной двумерной последова-
тельности в выходную.
Передаточная функция может быть получена непосредственно из
разностного уравнения, описывающего двумерную ЛПП-систему.
Действительно, используя сформулированные в предыдущем пара-

графе свойства z-преобразования, уравнение (149) можно записать в
преобразованной форме:
( ) ( )
( )
1 2
1 2
1 2 1 2
2 1 2
, ,
, .
m m
m m
G z z z z
z z z z
− −
− −
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 ,
,
, 1
,
g
f
m m
m m Q
m m
m m Q
G z z a
b F
∈
∈
= +
+
∑ ∑
∑ ∑
Отсюда
( )
( )
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
, ,
m m
m m
z
F z z
a z z
− −
− −
1 2
1 2
1 2
,
1 2
,
1
f
g
m m
m m Q
m m
m m Q
b z
G z z
∈
∈
=
−
∑ ∑
∑ ∑
. (263)
Сопоставляя выражения (263) и (262), видим, что
( )
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
f
g
m m
m m
Q
m m
m m
Q
b z z
a z z
− −
∈
− −
∈
1 2
1 2
,
1 2
,
,
1
m m
m m
H z z =
−
∑ ∑
∑ ∑
( )
. (264)
Аналогично, для каузальной ЛПП-системы, описываемой разност-
ным уравнением (150), имеем
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
0 0
1 2
0 0
, 0,0
N N
m m
m m
M M
m m
m m
m m
b z z
a z z
− −
= =
− −
= =
≠
∑ ∑
1 2
1 2,
1
m m
m m
H z z =
−
∑ ∑
. (265)
Передаточные функции (264), (265) представляют собой частные
случаи записи выражения вида (257), то есть являются дробно-
рациональными. Несложно показать, что двумерные ЛПП-системы,
представляемые разностными уравнениями конечного порядка, всегда
имеют дробно-рациональные передаточные функции.
Важной для практики является и возможность обратного перехода
от передаточных функций (264), (265) через соотношение (263) к раз-
ностным уравнениям (149), (150). Такой переход позволяет решить
задачу синтеза и реализации двумерной ЛПП-системы с требуемой
импульсной характеристикой.
127

Пример 15. Построим разностное уравнение для каузальной
ЛПП-системы с импульсной характеристикой
( ) ( ) ( )1 2 1 2, ,h n n u n n 1 21, 1u n n= − − − .
Графическое изображение этой импульсной характеристики дано
на рис. 52а. Вычисление z-преобразования от представленной двумер-
ной последовательности (переход к передаточной функции) дает:
( )
( )( )
1 1 1
1 2 1 2
1 2 1 11 1
1 21 2
1 1
11 1
z z z z
H z z
z zz z
− − −
− −− −
− −
= =
− −− −
1
1
1 1
21 2
1,
, ,
1.
z
zz z
−
− −
⎧ >⎪
⎨
>+ ⎪⎩
Связь z-преобразований входного и выходного сигналов задается
выражением
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 2
1 21 1
1 2
,
z z
F z z
z z
− −
− −
+
1 2 1 2 1 2 1 1
1 2
1
, , ,
1
G z z H z z F z z
z z− −
−
= =
− −
.
Отсюда получаем
( ) ( ) ( ) ( )1 1
1 2 1 21 ,z z F z z− −
−1 1 1 1
1 2 1 2 1 21 ,z z z z G z z− − − −
− − + = ,
или
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
2 1 2
1 1
1 2 1 2
,
, .
z G z z
z z F z z
− −
− −
( )
1 2 1 1 2
1 1
1 2 1 2 1 2
, ,
, ,
G z z z G z z
z z G z z F z z− −
= + −
−− +
Последнему соотношению в области пространственных аргумен-
тов соответствует двумерное разностное уравнение
( ) ( ) ( )
) ( )
1 2
2 1 2
, , 1
1, 1 .
g n n
f n n( ) (
1 2 1 2
1 2 1
, 1
1, 1 ,
g n n g n n
g n n f n n
= − + − −
− − −
( )
− − − +
Построенная на базе этого уравнения схема вычисления отсчетов
двумерного выходного сигнала представлена на рис. 52б.
Аппарат z-преобразования весьма эффективен при решении задачи
синтеза двумерной ЛПП-системы, осуществляющей заданное преоб-
разование сигналов, то есть при конструировании передаточной
функции системы по соотношению
( )
128
( )
1 2
1 2
1 2
,
,
,
G z z
H z z . (266)
F z z
=

а)
б)
Рис. 52. Импульсная характеристика и соответствующая ей схема вычисления
выходных отсчетов: импульсная характеристика двумерной ЛПП-системы (а),
схема вычисления выходных отсчетов (б)
Следует, однако, иметь в виду, что результатами такого синтеза
удается воспользоваться на практике только тогда, когда z-пре-
образования входного и выходного сигналов являются дробно-рацио-
нальными, поскольку только в этом случае ЛПП-системе соответству-
ет разностное уравнение конечного порядка.
Пример 16. Построим разностное уравнение для каузальной
ЛПП-системы, преобразующей последовательность
( ) ( ) ( )2 1 21, 1u n n1 2 1, ,f n n u n n= − − −
129

в единичный импульс:
( ) ( )1 2 1 2, ,g n n n n= δ .
Для z-преобразования входного сигнала имеем (см. предыдущий
пример)
( )
1 1
1 2
1 2 1 1
1 2
1
1
z z
F z z
z z
− −
− −
−
=
− − +
1
1 1
21 2
1,
, ,
1,
z
zz z− −
⎧ >⎪
⎨
>⎪⎩
(G z
а для выходного сигнала
)1 2, 1z = при любых
130
1 2,z z .
Следовательно, по (266) можно записать
( )
1 1 1 1
1 2 1 2
1 1
1 21
z z z z
z z
− − − −
− −
− − +
−
1 2
1
,H z z =
и далее перейти от передаточной функции к искомому разностному
уравнению (см. также рис. 53)
( ) ( ) ( )
( )
1 2
1 2
, 1 ,
1, 1 .
f n n
f n n( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2
, 1
1, , 1
g n n g n n
f n n f n n
= − −
− − −
+ −
− + − −
1z 2z
1 0
При решении подобных задач, когда числитель и знаменатель
дробно-рациональной функции меняются местами, возникает вопрос
определения области сходимости z-преобразования. В рассмотренном
примере ответ на него достаточно прост и однозначен. Область схо-
димости записанной дробно-рациональной передаточной функции
ограничивается такими значениями , , при которых ее знамена-
тель обращается в нуль, то есть выполняется равенство
1 1
1 2z z− −
− = , или 1
2
1
z
z
= .
Соответственно, для абсолютных значений комплексных перемен-
ных имеем
1
2
1
z
z
= .

Последнее соотношение задает гиперболическую границу области
сходимости в координатах (
131
1z , 2z ). Форма границы позволяет рас-
сматривать два варианта самой области:
1
2
2
1
1
1
z
z
z
z
⎧
>⎪
⎪
⎨
⎪ >
⎪⎩
,
,
или
1
2
2
1
1
,
1
.
z
z
z
z
⎧
<⎪
⎪
⎨
⎪ <
⎪⎩
Поскольку ЛПП-система полагается каузальной (с импульсной ха-
рактеристикой в первом квадранте), то необходимо принять первый
вариант. Для нашего примера решение оказалось очевидным, однако в
общем случае назначение области сходимости “синтезированному”
двумерному z-преобразованию может оказаться сложной процедурой
с неоднозначным ответом.
Рис. 53. Схема вычисления выходных отсчетов для ЛПП-системы, преобразующей
последовательность вида ( ) ( )1 2 1 2, 1, 1n u n nu n − − в единичный импульс−
Еще более сложным (а иногда и невозможным) является обратный
переход от z-преобразования к исходной двумерной последовательно-
сти. Существует общий метод вычисления обратного двумерного
z-преобразования, но он имеет весьма ограниченное применение из-за
громоздкости вычислений, связанной, в частности, с невозможностью
представления произвольных двумерных дробно-рациональных функ-
ций в виде суммы простых составляющих. Обычно реконструкция

двумерной последовательности осуществима лишь тогда, когда
z-преобразование с учетом его свойств удается свести к совокупности
“табличных” формул, для которых указанный переход заранее известен.
Как и в одномерном случае, важным применением z – преобра-
зования к анализу двумерных ЛПП-систем является проверка устой-
чивости системы по передаточной функции. Из сравнения основного
критерия устойчивости (145) с условием сходимости z – преобразо-
вания (246) следует, что для устойчивости двумерной ЛПП-системы
необходимо и достаточно, чтобы область сходимости передаточной
функции включала в себя значения ее комплексных аргументов, для
которых
132
1 1z = , 2 1z = . Это условие выглядит простым, однако его
выполнение обычно трудно проверить на практике. Для анализируе-
мой ЛПП-системы, как правило, известно разностное уравнение, по
которому можно легко построить саму дробно-рациональную переда-
точную функцию, но чрезвычайно сложно в явном виде выразить ее
область сходимости. По этой причине находят применение косвенные
тесты устойчивости, не требующие определения всей области сходи-
мости и проверки охвата ею точки 1 1z = , 2 1z = . Более подробное
рассмотрение вопросов анализа устойчивости двумерных ЛПП-систем
выходит за рамки данного учебного пособия.

7. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
Анализ спектров – это одна из основных задач цифровой обработ-
ки сигналов. Основой цифрового спектрального анализа является дис-
кретное преобразование Фурье (ДПФ), которое переводит последова-
тельность, заданную во временной области, в последовательность, со-
ответствующую компонентам спектра. Связь между непрерывным и
дискретным преобразованиями Фурье является одним из вопросов,
рассматриваемых в данном разделе.
Практическая ценность ДПФ заключается в том, что для него раз-
работаны чрезвычайно эффективные алгоритмы вычисления, назы-
ваемые алгоритмами быстрого преобразования Фурье (БПФ).
7.1. Дискретное преобразование Фурье
133
( )нf t - непрерывная периодическая функция времени (рис. 54):Пусть
( ) ( )fн нt f t kT= + , (267)
где T – период, k – любое целое число.
Рис. 54. Пример непрерывной периодической функции времени
Такую функцию можно разложить в ряд Фурье (см. п. 2.1), то есть
представить в спектральной области. Этот ряд (спектр) будет содер-
жать гармонические (синусоидальные) составляющие с периодами T,
2
T ,
3
T T
m
, …, , … . В комплексной форме представление перио-
дической функции через ряд Фурье записывается в виде

134
( )( )
2
i mt
T
н н
m
F m e
π∞
=−∞
= ∑f t . (268)
Здесь
2
i mt
T
m
e
∞π
=−∞
⎧ ⎫
⎨ ⎬
⎩ ⎭
- набор функций, образующих базис, по кото-
рому производится разложение ( )нf ( )t в ряд, нF m
( )н
- коэффициенты
этого разложения – спектральные компоненты сигнала. Эти компоненты
образуют последовательность – дискретный спектр (см. рис. 55). Заме-
тим, что дискретность спектра связана с тем, что функция f t пе-
риодична.
Рис. 55. Дискретный спектр функции
( )f n - последовательность, периодическая с периодом N:Пусть теперь
( ) ( )f n f n kN= +
( )
, (269)
которую можно получить дискретизацией периодической функции
непрерывного аргумента, удовлетворяющей условию (267). Такая по-
следовательность есть частный случай периодической функции обще-
го вида, поэтому для нее все сказанное выше остается в силе. При пе-
реходе от (267) к (269) мы просто заменили t на n, а T на N. В новых
обозначениях можно записать и ряд (268):
( )
2
i mn
N
m
F m e
π∞
=−∞
= ∑f n . (270)
Однако то, что теперь функция рассматривается при целочислен-
ных значениях аргумента, дает основание не удовлетвориться такой

записью. Действительно, в данной ситуации базис разложения содер-
жит только N различных функций:
135
12
0
N
i mn
N
m
e
−π
=
⎧ ⎫
⎨ ⎬
⎩ ⎭
, а остальные базис-
ные функции совпадают с ними. Это связано со свойством периодич-
ности дискретной комплексной экспоненты:
( )
2 2mn
i i m k N n
N N
e e
π π
+
= .
Естественно, одинаковые базисные функции дают и одинаковые
коэффициенты разложения. Поэтому представление последовательно-
сти через ряд вида (270) является избыточным.
Для устранения избыточности предлагается усечь ряд (270), огра-
ничась базисом только из N различных комплексных экспонент. Раз-
ложение по такому базису принято записывать в виде
( ) ( )
21
0
1 mnN i
N
m
F m e
N
π−
=
∑f n = , (271)
( )Fгде последовательность коэффициентов m называется дискрет-
ным спектром (ДПФ) исходной последовательности. Появившийся
множитель перед суммой не меняет характера представления, он вво-
дится исходя из некоторых дополнительных соображений.
Определим коэффициенты разложения (271). Умножим обе части вы-
ражения (271) на
2
i k
N
e
π
− n
k Nпри 0 1≤ − и просуммируем по периоду:<
( ) ( )
( )
2 21
0
N i n m k
N
m
F m e
π π−− −
=
∑
1 1
0 0
1N Ni k n
N
n n
f n e
N
− −
= =
=∑ ∑ . (272)
После замены порядка суммирования выражение (272) преобразу-
ется к виду
( )
( )
2 21
0
N i n m k
N N
n
F m e
π π−− −
=
∑
0 , 1m k N
1 1
0 0
1
( )
N Ni kn
n m
f n e
N
− −
= =
=∑ ∑ . (273)
Будем рассматривать интервал значений индексов длиной в пери-
од: ≤ ≤ − . Нетрудно показать, что для этого интервала внут-
ренняя сумма

( )
21
0
,
0,
N i n m k
N
n
N m
e
π− −
=
( )
k
N m k
m k
=⎧ ⎫
= = δ −⎨ ⎬
≠⎩ ⎭
( )
∑ . (274)
Подставив (274) в (273) после замены индекса получаем
( )
21
0
N i mn
N
n
f n e
π− −
=
= ∑
( )
F n . (275)
Пара соотношений (275), (271) определяют дискретное преобразова-
ние Фурье последовательности: (275) – прямое ДПФ, (271) – обратное.
Заметим, что, в отличие от «классического» преобразования Фу-
рье, здесь и ( )f n , и F m - последовательности. Как следствие, и в
этом легко убедиться, и ( ) ( )F m , и f n - периодичны с периодом N
(условная иллюстрация этого факта дана на рис. 56).
Рис. 56. Иллюстрация периодичности последовательности
и ее дискретного спектра
Из соотношений (271), (275) видно, что для вычисления и прямого,
и обратного ДПФ берутся отсчеты последовательностей только в N
точках одного периода. Это позволяет формально использовать ДПФ
и для последовательностей ( ) ( )f n и F m
0, 1N −
, заданных только на ин-
тервале , то есть непериодических (имеющих конечную дли-
ну). Однако при этом всегда неявно предполагается периодическая
продолженность преобразуемых последовательностей на всю беско-
нечную числовую ось аргумента, как это показано на рис. 56.
[ ]
136

7.2. Связь ДПФ с z-преобразованием и непрерывным
спектром последовательности
ДПФ - это третье функциональное преобразование последователь-
ностей, которое мы определяем в данном учебном пособии. До этого
были введены в рассмотрение преобразование Фурье последователь-
ности (см. п. 5) и z-преобразование (п. 6). Выясним, как связано ДПФ
с введенными ранее преобразованиями.
Пусть имеется последовательность конечной длины:
[ ]0, 1n N( ) 0f n = при ∉ −
) ( )
1
0
N
n n
n n
.
Вычислим ее z-преобразование (чтобы не было путаницы в обо-
значениях, будем индексировать его буквой z):
( ) (zF z f n z f n z
∞ −
− −
=
= ∑=−∞
= ∑ . (276)
Сравнение выражений (275) и (276) показывает, что коэффициен-
ты ДПФ последовательности конечной длины N равны значениям ее
z-преобразования в N точках, равномерно распределенных по единич-
ной окружности в комплексной z – плоскости (см. рис. 57):
( ) ( )F m 2
, 0 1
i m
Nz z e m N
F z π
= ≤ ≤ −
= . (277)
Формула (277) задает простой способ определения ДПФ по z-пре-
образованию. Возможен и обратный переход, то есть определение
z-преобразования по ДПФ:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
21
0
2
1
2
1
1 1
2 2
0 01 1
1
1
.
1 1
i mn
n nN
N
i m
N
i m
N
i m
N N
m e z
e z
e z
F m
e z
π−
− −
=
π
−
π
−
− −
π π
= =− −
⎡ ⎤
=⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎛ ⎞
− ⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1
0 0
21 1 1
1
0 0 0
1
1 1
1 1 1
N N N
z
n n m
n
N N Ni m
N
m n m
N NN N
i mm m
F z f n z F
N
F m e z F m
N N
z z
F m
N N
e z
− −
= =
π− − −
−
= = =
− −
= =
⎛ ⎞
= = =
−
− −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
− −
= =
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑
(278)
137

Рис. 57. Связь ДПФ и z-преобразования
Выражение (278) интерполируют значения коэффициентов ДПФ
на всю комплексную z-плоскость.
Теперь определим связь ДПФ и непрерывного спектра. Ранее мы
уже получали, что преобразование Фурье последовательности есть ее
z-преобразование, вычисленное на единичной окружности, то есть при
(см. формулу (201)). Поэтому здесь можно воспользоваться
только что полученными результатами. Переход от непрерывного
спектра к ДПФ задается выражением:
i
z e ω
=
( )( ) 2
, 0 1
i
m m N
N
e ω
πzF m F
ω= ≤ ≤ −
[ ]0,2π
i
z e
= . (279)
Иными словами, коэффициенты ДПФ есть равноотстоящие отсче-
ты непрерывного спектра последовательности конечной длины на ин-
тервале частот (см. рис. 58).
Нетрудно выполнить и обратный переход, то есть вычислить не-
прерывный спектр по ДПФ. Для этого нужно в формулу (268) для
z-преобразования подставить ω
= . Поскольку получающееся при
такой подстановке соотношение нам далее не понадобится, мы не бу-
дем его записывать.
138

Рис. 58. Иллюстрация связи непрерывного спектра и ДПФ
7.3. Использование ДПФ для вычисления
отсчетов непрерывного спектра
При цифровом спектральном анализе прикладной интерес пред-
ставляют отсчеты непрерывного спектра. Если требуемое число от-
счетов равно N – длине исходной последовательности, то они непо-
средственно определяются через ДПФ в соответствии с формулой
(279). Однако часто требуется более “детальный” анализ спектра, то
есть получение большего чем N , числа отсчетов. Дадим решение
этой задачи.
Пусть имеется последовательность конечной длины:
[ ]0, 1n N( ) 0f n = при −
(
∉
)i
zFи требуется определить L отсчетов ее непрерывного спектра e ω
,
равномерно распределенных на интервале [ ]0,2π , то есть на периоде
спектра .( )L N>
( )
1
0
N
i i n i n
n n
f n e
∞ −
ω − ω
=
= ∑
Преобразование Фурье (спектр) последовательности задается вы-
ражением (155), которое в данном случае записывается в виде
. (280)( ) ( )zF e f n eω −
=−∞
= ∑
139

Определим отсчеты спектра в L точках спектра (280), а именно,
при значениях частоты
2
, 0 1l l L
L
l
π
ω = ≤ ≤ −
( ) ( )
:
140
21
0
N i nl
L
n
f n e
π− −
=
= ∑li
zF e ω
. (281)
С другой стороны, введем в рассмотрение новую последователь-
ность длиной в L отсчетов:
( )
( ), 0 1,
1
f n n N
N n L0,
f n∗ ⎧ ≤ ≤ −
= ⎨
≤ ≤ −⎩
(282)
и вычислим её L-точечное ДПФ:
( ) ( ) ( )
2 21 1
0 0
L Ni nl i nl
L L
n n
f n e
π π− −− −
= =
=∑
N n L
F l f n e∗ ∗
= ∑ . (283)
На последнем шаге преобразований здесь учтено, что поскольку
при 1≤ ≤ − последовательность (282) равна нулю, то пределы
суммирования в (283) сужаются. Сравнивая выражения (281) и (283)
видим, что
( ) ( )li
z e F lω ∗
= .F
Таким образом, простое дополнение последовательности конечной
длины нулями позволяет получить сколь угодно большое число отсче-
тов ее спектра при помощи ДПФ. На практике ограничениями при
этом выступают конечность арифметики и шумы вычислений.
7.4. Использование ДПФ для вычисления
последовательности по ее спектру
Спектральный анализ дискретного сигнала основан на переходе от
последовательности к ее спектру. Выше мы видели, что для вычисле-
ния любого числа отсчетов спектра можно использовать ДПФ. Однако
в практических приложениях встречается и обратная задача, когда
спектр задан, а требуется получить саму последовательность.

Оказывается, для получения последовательности по спектру также
можно использовать ДПФ (точнее, обратное ДПФ).
141
( )
Для вычисления обратного ДПФ нужен не сам непрерывный
спектр последовательности, а лишь его отсчеты, то есть дискретный
спектр F m
( )
. Переход от непрерывного спектра к отсчетам («дискре-
тизация» спектра) может повлиять на форму получаемой последова-
тельности. Поэтому, чтобы получить искомый результат, нужно пра-
вильно выбирать значение N – длину ДПФ (число отсчетов непрерыв-
ного спектра). Рассмотрим эти вопросы детально.
fПусть n
( ) ( ) n
n
- произвольная последовательность (не обязательно
конечной длины). Будем предполагать, что z-преобразование
z f n z
∞
−
=−∞
= ∑
i
z e
zF
сходится в области, включающей в себя единичную окружность. В
этом случае можно положить ω
=
( ) ( )i i n
n
f n e
∞
и перейти к непрерывному спек-
тру последовательности:
− ω
=−∞
= ∑ .zF e ω
( )i
zF eИ теперь, имея ω
, мы должны при помощи обратного ДПФ
получить исходную последовательность ( )f n .
В первую очередь произведем дискретизацию спектра. Для этого
на интервале частот [ )0,2π возьмем N равномерно расположенных
отсчетов спектра, которые будем считать коэффициентами ДПФ:
( ) ( ) ( )
2
2
i N
z
m
nN
F m F e f n e
π∞ −
ω
π
ω=
=−∞
= = ∑ , 0 1
i mn
m N≤ ≤ − . (284)
( )FОт дискретного спектра m при помощи обратного ДПФ (271)
можно перейти к самой последовательности. Но, как уже говорилось,
при этом получается не исходная (произвольная) последовательность,
а периодическая с периодом N:

142
( ) ( )
21
0
1 N i mn
N
m
F m e
N
π−
=
∑Nf n = . (285)
( ) ( )Nf n и fВыясним, как связаны между собой n . Для этого
подставим в выражение (285) значения коэффициентов ДПФ (284)
(при этом заменим индекс внутреннего суммирования):
( ) ( )
( )
( )
2 2
21
0
.
i mk i mn
N N
i m n k
N
k e e
e
π π
−
π
−
=
⎡ ⎤1
0
1
1
N
N
m k
N
k m
f n f
N
f k
N
− ∞
= =−∞
∞ −
=−∞
= =⎢ ⎥
⎣ ⎦
=
∑ ∑
∑ ∑
(286)
Заметим, что в (286) внутренняя сумма при произвольных n, k:
( )
21
0
0
0 0
N i m n k
N
N при n k rN
e N
при n k rN
π
− − + =⎧ ⎫
= =⎨ ⎬
− + ≠⎩ ⎭
( )
m r
n k rN
− ∞
= =−∞
δ − +∑ ∑ ,
где r – любое целое. Поэтому, продолжая цепочку преобразований
(286), получаем:
( ) ( )
( ) (
1
N
k r
r k
f n f k N
N
( )
) ( ).
r
n k rN
f k n k r
∞ ∞
=−∞ =−
∞ ∞
=−∞ =−∞
N f n rN
∞
∞
=−∞
= δ − + =
+ = +∑= δ −
∑ ∑
∑ ∑
(287)
Таким образом, периодическая последовательность, полученная
при помощи обратного ДПФ из дискретизированного спектра непе-
риодической последовательности, состоит из бесконечной суммы
сдвинутых копий исходной последовательности.
( )fЕсли длина последовательности n превышает N, то слагаемые
в (287) имеют пересекающиеся области ненулевых значений, то есть
возникает «эффект наложения». Для бесконечной последовательности
эффект наложения есть всегда.
В случае последовательности конечной длины, чтобы эффекта на-
ложения не было, следует выбирать N больше длины последова-
тельности.

7.5. Основные свойства ДПФ
Дадим сводку некоторых свойств ДПФ, которые могут быть по-
лезны в дальнейшем.
Свойство 1. - Линейность. Если ( ) ( )1 1f n F→ ( ) ( )2 2m , f n F m→ ,
то ( ) ( ) ( ) ( )1 2a F m bF m+
1
1 2a f n b f n+ → при любых постоянных a, b.
Здесь предполагается, что последовательности f и 2f имеют оди-
наковую длину.
Свойство 2. - Периодичность (уже упоминалось выше). Последо-
вательности, удовлетворяющие прямому ДПФ
( ) ( )
21
0
N i mn
N
n
f n e
π− −
=
= ∑F m
и, соответственно, обратному ДПФ
( ) ( )
21
0
1 N i mn
N
m
F m e
N
π−
=
∑
[ ]0, 1N −
f n =
являются периодическими с периодом N. Такие последовательности
удобно представлять не на числовой прямой, а на окружности, как по-
казано на рис. 59.
При таком представлении их можно рассматривать одновременно
и как периодические, и как последовательности конечной длины на
интервале .
( )Свойство 3. - Сдвиг. Если последовательность f n - периодична
с периодом N и ее ДПФ - ( ) ( )F m , то последовательность f 0n n−
( )имеет ДПФ
0
2
i n m
N
e
π
−
F m .
Следует учитывать особенности сдвига, если ДПФ применяется
к последовательности конечной длины. В этом случае последователь-
ность дополняется до периодической и осуществляется так называемый
143

144
0n
круговой («циклический») сдвиг. Если представить такую последова-
тельность на окружности, то циклической сдвиг соответствует пово-
роту окружности на точек.
Рис. 59. Представление конечных последовательностей, удовлетворяющих ДПФ
Эффект циклического сдвига для последовательности конечной
длины, представленной на числовой оси, иллюстрирует рис. 60. На
рис. 60а показана последовательность конечной длины, заданная на
. При ДПФ последовательность считается периодически
продолженной (см. рис. 60б). При умножении ДПФ на экспоненту
сдвигается именно периодическая последовательность, то есть мы по-
лучаем последовательность, показанную на рис. 60в. И сдвинутая по-
следовательность снова рассматривается на интервале , то
есть в результате имеем последовательность конечной длины, пока-
занную на рис. 60г, в которой отсчеты, вышедшие в результате сдвига
за пределы интервала
[ ]0, 1N −
[ ]0, 1N −
[ ]0, 1N − , например, как в данной иллюстрации,
вправо, опять появляются на этом же интервале слева.
Свойство 4. Циклическая свертка последовательностей. Пусть
( )n ( )h nи - периодические последовательности с периодом N и ихf

( ) (F m иДПФ равны соответственно )H m . Сформируем новое
ДПФ, перемножив два имеющихся:
( ) ( ) ( )F m H m=G m ,
и вычислим обратное ДПФ от произведения. Полученная в результате
этих действий последовательность ( )g n
( ) ( )
1
0
N
k
будет связана с исходными
последовательностями следующим соотношением:
145
( )g n f k h n k
−
=
−∑ . (288)=
Выражение определяет так называемую круговую (циклическую)
свертку периодических последовательностей.
а) б)
в) г)
Рис. 60. Иллюстрация эффекта циклического сдвига
Такое название становится понятным, если рассмотреть последо-
вательности на окружностях (см. рис. 61). Значения циклической
свертки получаются поэлементным перемножением соответственных
отсчетов на окружностях и последующим суммированием произведе-
ний. На рис. 61а дана иллюстрация для вычисления ( )0g
( ) ( ) ( )
1
0
N
k
g f k h k
−
=
:
−∑ .0 =

Различные значения отсчетов круговой свертки получаются при
смещении одной окружности относительно другой (см. рис. 61б, в):
146
( ) ( )1f k h N k= − − .( ) ( ) ( ) ( )
1 1
0 0
1 1 , ... , 1
N N
k k
g f k h k g N
− −
= =
= − −∑ ∑
( )gОчевидно, последовательность n также является периодичной
с периодом N. Рассматривается она на том же интервале [ ]0, 1N − , что
и сворачиваемые последовательности.
а)
б) в)
Рис. 61. Иллюстрация циклической свертки последовательностей
7.6. Вычисление линейной свертки при помощи ДПФ
Практический интерес при обработке сигналов представляет ли-
нейная (апериодическая) свертка последовательностей вида (111), ко-
торая не совпадает с циклической сверткой (288). Тем не менее, хоте-
лось бы для получения линейной свертки применить ДПФ, поскольку
это преобразование имеет очень эффективный алгоритм вычисления

(см. далее п. 7.7). Возникает задача, как, производя вычисление цик-
лической свертки последовательностей, получить результат, совпа-
дающий с линейной сверткой. Рассмотрим ее решение.
Пусть имеются две последовательности конечной (и, возможно,
разной) длины
[( ) ]
[ ]
1
2
и 0, 1 ,
и 0, 1
n N
n N( )
0 пр
0 пр
f n
h n
= ∉ −
= ∉ −
( ) ( )
k
и требуется вычислить их линейную свертку (см. также (111)):
( )g n f k h n k
∞
=−∞
= −∑
( )1 2 1N N
. (289)
Нетрудно убедиться, что последовательность (289) также имеет
конечную длину в − отсчетов:+
[ ]1 20, 2n N N( ) 0g n = при ∉ + −
n
.
С учетом этого согласимся получать вместо конечной последова-
тельности – линейной свертки периодическую последовательность –
циклическую свертку с тем условием, что на основном периоде (начи-
нающего с точки 0= ) они совпадут. Такое совпадение возможно,
если период циклической свертки будет не меньше, чем длина линей-
ной (то есть не меньше 1 2 1N N+ − ). Но для того, чтобы циклическая
свертка имела заданный период, такой же период должны иметь сво-
рачиваемые последовательности, и такую же длину должно иметь
ДПФ, применяемое здесь по схеме, изложенной в свойстве 4 (см. пре-
дыдущий параграф). Поэтому исходные последовательности нужно
дополнить нулями, как минимум до длины в ( )1 2 1N N+ − отсчетов и
применять ДПФ такой же длины.
Благодаря дополнению нулями при циклической свертке ненуле-
вые значения периода одной последовательности ( )f n будут взаи-
модействовать с ненулевыми значениями только одного периода вто-
рой последовательности ( )h n . При этом полностью исключатся кру-
говые наложения, характерные для циклической свертки.
147

148
1
Метод вычисления линейной свертки при помощи ДПФ, который
иллюстрирован схемой на рис. 62 получил название “быстрой сверт-
ки” в отличие от непосредственного суммирования произведений в
соответствии с (289) ("прямой" свертки). Термин “быстрая” здесь
употреблен потому, что вычисление свертки через ДПФ более эффек-
тивно с точки зрения числа выполняемых арифметических операций.
Выигрыш в эффективности начинает ощущаться при длинах сворачи-
ваемых последовательностей в несколько десятков отсчетов (20-30) и
быстро растет с увеличением N и 2N .
7.7. Быстрое преобразование Фурье
Рассмотрим принцип построения алгоритмов вычисления ДПФ,
обладающих малой вычислительной сложностью и называемых алго-
ритмами быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Здесь построим так называемый алгоритм БПФ с прореживанием
во времени, как наиболее простой и наглядный. Вопрос построения
быстрых алгоритмов дискретных ортогональных преобразований под-
робно рассмотрим в главе 5.
Дискретное преобразование Фурье (прямое) можно записать в виде
, (290)( ) ( )
1
0
N
mn
N
n
F m f n w
−
=
= ∑
где
2
i
N
Nw e
π
−
=
Nw
- так называемый фазовый (поворачивающий) множи-
тель. Если использовать векторное представление комплексного числа
на комплексной плоскости, то умножение этого числа на повора-
чивает вектор вокруг начала координат по часовой стрелке на угол
2π
(см. рис. 63).
N

Рис. 62. Схема вычисления линейной свертки при помощи ДПФ
Рис. 63. Иллюстрация умножения комплексного числа на фазовый множитель
Сформулируем некоторые очевидные свойства фазового множите-
ля, которые нам будут нужны далее.
1) N K
Nw+
= при произвольном целом l, то есть степень Nw ,
рассматриваемая как показательная функция, периодична с
периодом N;
K l
Nw
2) 1N
w = ;N
3) 2
1N
= − ;Nw
4) 2
2N Nw= .w
149

150
( )0 1m N≤ ≤ −
Поскольку дискретный спектр (290) рассматривается в N точках
, то если вычислять его непосредственно по формуле
(290), считая, что фазовые множители получены заранее, потребуется
N раз выполнить по N операций умножения и по (N-1) операций сло-
жения комплексных чисел. Так как преобразование вычисляется на
ЭВМ, то общее время его выполнения (без учета служебных опера-
ций) равно:
( )( )2 2
1y c y cT N T T− ≈ +
yT
cT
ДПФT N T N N= + ,
где - время выполнения операции комплексного умножения,
- время выполнения операции комплексного сложения. Квадра-
тичный характер возрастания вычислительной сложности ДПФ и вы-
зывает необходимость разработки алгоритмов БПФ.
Одна из основных идей БПФ заключается в том, что исходная
N - точечная последовательность разбивается на несколько более ко-
ротких последовательностей, дискретные спектры которых могут
быть скомбинированы таким образом, чтобы в итоге получилось ДПФ
полной последовательности. В частности, можно разбить последова-
тельность на две равные части по N
2
отсчетов. Тогда, если пренеб-
речь затратами времени на объединение (комбинирование) частей,
( ) ( )
2
ДПФ y c
N
T T T
⎛ ⎞
≈ + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 1
2
2 2
y cT T N× = +
2
,
то есть, имеем двукратный выигрыш во времени по сравнению с (291).
Причем операцию разбиения можно повторять многократно, при этом
выигрыш будет еще более значительным.
Реализуем идею разбиения для частного, но широко рассматри-
ваемого случая, когда длина ДПФ равна целой степени двойки:
M
N =
( ), 0 1f n n N≤ ≤ −
. Напомним, что преобразованию подлежит последователь-
ность . Введем в рассмотрение две N 2 - точеч-
ные последовательности, состоящие из четных и нечетных членов ис-
ходной последовательности:

151
)( ) ( ) ( ) (1 22 , 2f l f l f l f l= = 1 , 0 1
2
N
l+ ≤ ≤ −
( )
)
.
Тогда N - точечное ДПФ разбивается на два слагаемых:
( ) ( ) ( )
( ) (
( ) ( ) ( )
1 1
0 0
1 1
2 2
2 12
0 0
по четным по не
2 2 1 ,
N N
mn mn
N N
n n
N N
m lml
N N
l l
F m f n w f n w
f l w f l w
− −
= =
− −
+
= =
1
0
четным
N
mn
N
n
f n w
−
=
= = +
= + +
∑ ∑
∑ ∑
=∑
окончательно
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 2 ,
ml
N
m
N
w
1 1
2 2
1 2
0 0
1 1
2 2
1 2 2 2
0 0
N N
ml m
N N
l l
N N
ml m ml
N N N
l l
F m f l w w f l
f l w w f l w
− −
= =
− −
= =
= +
= +
∑ ∑
∑ ∑ F m w F m
=
= +
(292)
где ( ) ( )1 2, 2F m F m N−
( ) ( )1 2и
- точечные ДПФ последовательностей
f n f n .
( ) ( )1 2иF m F m определены приДискретные спектры
0
2
N
m≤ ≤ −1 , однако нам нужно знать ( )F m при 0 1m N≤ ≤ − . По-
этому нужно доопределить формулу (292) для интервала
1
2
N
m N≤ ≤ − , используя свойство периодичности спектров:
( )
( ) ( )1 2
1 2
при
при
2 2
m
N
m
N
F m w F m
F m
N N
F m w F m
⎧
⎪⎪
= ⎨
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩
0 1,
2
1.
2
N
m
N
m N
+ ≤ ≤ −
≤ ≤ −
(293)
Заметим, что из свойств фазового множителя следует:
2
N
m
m
N Nw w
−
= − ,
это позволяет в два раза сократить в (293) число используемых значе-
ний фазового множителя и записать окончательно:

( )
( ) ( )1 2
2
1 2
при
пр
2 2
m
N
N
m
N
F m w F m
F m
N N
F m w F m
−
⎧
⎪⎪
= ⎨
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩
0 1,
2
и 1.
2
N
m
N
m N
+ ≤ ≤ −
≤ ≤ −
(294)
В этой формуле в обеих строках содержатся одинаковые значения
дискретных спектров ( ) ( )1 2иF m F m и одинаковые значения фазовых
множителей.
Полученное соотношение определяет операцию объединения "по-
ловинных" ДПФ в целое, которую часто изображают графически. Для
этого приняты специальные обозначения. Вычисления по (294) тре-
буют выполнения двух типов "элементарных" операций: сложения-
вычитания пары чисел (так называемой "бабочки") и умножения на по-
стоянный множитель, который мы уже использовали ранее (рис. 64).
В качестве примера на рис. 65 изображена схема формирования
8-точечного ДПФ из двух ДПФ длины 4.
Рис. 64. Элементарные операции, используемые в ДПФ
Используя аналогичную операцию разбиения (прореживания), вы-
числим каждое 4-точечное ДПФ через пару двухточечных. При этом
обозначим:
( ) ( )1
152
11f n f- четные члены n
( )12
,
( )1f n - нечетные члены f n
( )21
,
( )2f n - четные члены f n
( )22
,
( )f n - нечетные члены f n .2

Схема, соответствующая предпоследнему шагу преобразований,
показанная на рис. 65, имеет вид, изображенный на рис. 66.
Рис. 65. Схема формирования 8- точечного ДПФ из двух 4-точечных
Рис. 66. Предпоследний шаг преобразования 8-точечной последовательности в ДПФ
И, наконец, двухточечное ДПФ может быть вычислено впрямую,
так как показано на рис. 67 для первого блока приведенной схемы.
153

154
0
2 1wЗдесь учтено, что = , поэтому преобразование выполняется без
умножений:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
11 11
11 11
0 0 1
1 0 1
F f f
F f f
= +
= −
11
11
.
На рис. 68 изображена схема 8-точечного ДПФ полностью, в ней
учтено известное свойство фазового множителя 2
2
N Nw w= , а также
ради регулярности структуры показаны и тривиальные умножения.
Аналогичную структуру имеет и схема БПФ для большего числа точек
(равного целой степени двойки).
Рис. 67. Вычисление 2-точечного ДПФ
Рис. 68. Полная схема 8- точечного ДПФ

155
2log
Произведем оценку вычислительной эффективности алгоритма
БПФ. Преобразование выполняется за N шагов. На каждом шаге,
очевидно, нужно выполнить N сложений (или вычитаний) и N
2
ум-
ножений. Поэтому время выполнения БПФ:
БПФ 2log y c
N
T N T N T
⎡ ⎤
= +⎢ ⎥
⎣ ⎦
2log
2 2
y
c
T
N N T
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
БПФT 2log
, (295)
NТо есть пропорционально N , что существенно
меньше оценки (291). Относительный выигрыш от применения БПФ:
ДПФ БПФT T пропорционален
2g
N
lo N
и растет с увеличением N.
В завершение параграфа сделаем несколько замечаний.
Во-первых, из схемы БПФ видно, что дискретный спектр получа-
ется из последовательности с перестановленными элементами. Пере-
становка (переупорядочение) данных - характерная особенность
большинства алгоритмов БПФ. При M
2N = закон перестановки
весьма прост: отсчеты входной последовательности должны быть рас-
положены в двоично-инверсном порядке. Такой порядок определяется
следующим образом. Нужно записать аргументы (номера) отсчетов
последовательности в двоичном коде, используя М двоичных разря-
дов. Затем порядок следования разрядов инвертируется (заменяется на
обратный). Получаемые после этого числа и будут являться порядко-
выми номерами отсчетов после перестановки.
На рис. 69 показана схема двоично-инверсионного переупорядо-
чения отсчетов для N=8, на нем же приведено двоичное представление
номеров отсчетов до и после инверсии.

Рис. 69. Схема двоично-инверсионного переупорядочения отсчетов,
используемая в ДПФ длины 8
Если требуется обрабатывать последовательность, представлен-
ную в естественном порядке, нужно граф двоичной инверсии присое-
динить слева к рассмотренной ранее схеме БПФ.
Во-вторых, при использовании рассмотренного алгоритма не тре-
буется дополнительной памяти ЭВМ кроме той, которая отведена под
исходные данные (обрабатываемый массив). Результаты всех проме-
жуточных шагов вычислений, а также сам дискретный спектр можно
размещать в той же памяти, что и входную последовательность. По-
добные алгоритмы БПФ, в которых для входной и выходной последо-
вательности, а также для промежуточных данных используется одна и
та же область памяти, называются алгоритмами БПФ с замещением.
В третьих, хотя мы рассмотрели алгоритм прямого ДПФ, заданно-
го выражениями (275) и (290), все сказанное остается в силе и для об-
ратного преобразования (271):
( ) ( )
1
0
1 N
mn
N
m
F m w
N
−
−
=
= ∑
Nw 1
N
w
f n . (296)
Обратное ДПФ вычисляется по тому же самому алгоритму БПФ,
если в нем заменить на −
, а в конце вычислений разделить ре-
зультат на N. То есть рассмотренный алгоритм БПФ обеспечивает вы-
числение как прямого, так и обратного преобразований.
156

157
8. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ИЗОБРАЖЕНИЙ
8.1. Случайные процессы
В отличие от детерминированных процессов, течение которых оп-
ределено однозначно, случайный процесс ( сигнал) представляет из-
менения физической системы во времени и в пространстве, которые
заранее в точности предсказать невозможно.
Понятие случайного процесса хорошо знакомо. Каждый раз, когда
проводится эксперимент (опыт), итогом его является функция, опреде-
ленная на интервале времени, а не какое-либо одно число. Если f - функ-
ция одной переменной, то говорят о случайном процессе, если f - функ-
ция двух или большего числа переменных, то говорят о случайном поле.
Аргумент функции f может быть непрерывным и дискретным. В по-
следнем случае используют термин "случайная последовательность" -
одномерная (случайный процесс) или многомерная (случайное поле).
Для описания изображений широко используются математические
модели случайных двумерных последовательностей. На рис. 70 пока-
заны примеры синтезированных случайных полей, полученные при
использовании различных моделей. На рис. 71 приведены примеры
текстурных изображений, полученные в электронном микроскопе при
исследовании кровяной плазмы. На рис. 72 приведены аэрофотосним-
ки различных участков поверхности земли. При всем внешнем разли-
чии этих изображений, они могут быть описаны моделями двухмер-
ных случайных последовательностей. В этой общности – достоинства
и недостатки вероятностных моделей изображений.

Рис. 70. Синтезированные случайные поля
158

Рис. 71. Изображения кристаллограмм кровяной плазмы
159

Рис. 72. Снимки различных участков поверхности земли
Заметим следующее: каждая отдельная реализация случайного
сигнала является функцией детерминированной. Поэтому для описа-
ния индивидуальных свойств реализаций случайного процесса следу-
ет использовать методы, изложенные в предыдущих разделах. Осо-
бенности случайного процесса проявляются при изучении свойств со-
вокупности реализаций или всего ансамбля. Поскольку этот ансамбль
- вероятностный, то и характеристики случайного процесса оказыва-
ются вероятностными.
160

Одномерная функция распределения вероятностей
{( ) ( ) }tP P f t
161
η = < η
( )
(297)
связана с одномерной плотностью вероятностей
( )t
t
P
p
∂ η
η = . (298)
∂η
Соответственно, r - мерная плотность вероятностей
( )
( ) ( )1, 2,
1, 2,
... 1
... 1 2,
1 2
,
, ...
...
r
r
r
t t t
t t t r
P
p
∂ η
η η η =
∂η ∂η
2,... r
r
r
Pη η ∂
=
∂η ∂
t η
η
, (299)
где ( ) ( )1 2t t t=t 1 2, , ,r r= η η ηηK K
( ) 1tp d
∞
−∞
.
Плотность вероятностей удовлетворяет условию нормировки в од-
номерном случае:
η η =∫
( )... 1p d
∞ ∞
−∞ −∞
, (300)
а в r - мерном случае:
=∫ ∫ t η η
1 2, 1 2), ( , ), ...,t t tp p
. (301)
Последовательности функций (η η η
1 2, 1 2( , )rt t t rp η η ηL K представляют своеобразную лестницу, поднимаясь
по которой, удается все более и более подробно характеризовать слу-
чайный процесс. В прикладных задачах часто достаточно знать о слу-
чайном процессе меньше, чем дают функции распределения: можно
ограничиться числовыми характеристиками случайного процесса.
Среди числовых характеристик случайного процесса наиболее
важными являются среднее значение ( )f tμ , дисперсия ( )2
f tσ и кор-
реляционная функция ( ),fB t τ :
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )({ })
2
fE f t t= − μ
( )
2
,f ft E f t tμ = σ ,
( ) ( )( )( ( ) ( )){ },f fB t E f tτ = − μ ft f τ − μ τ ,

где (как и везде далее) E{⋅} – оператор математического ожидания.
Очевидно, значения корреляционной функции зависят не только
от степени взаимосвязи, но и от абсолютных значений процесса. Эта
зависимость устраняется введением нормировки:
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
, ,
, ,
f f
f
f ff f
B t B t
tB t t B
τ τ
, , , 1ft tρ τ = =
σ στ τ
ρ τ <
τ
( )
- эту величину называют коэффициентом корреляции между сечения-
ми процесса и она показывает меру их линейной зависимости.
Для определения меры статистической зависимости между двумя
случайными процессами f и g рассматривают взаимную корреляци-
онную функцию
( ) ( )( )( ( ) ( )){ },fg fB t E f tτ = − μ gt g τ − μ τ .
Если описание случайного процесса не выходит за рамки введен-
ных статистических моментов, говорят, что оно выполнено в рамках
корреляционной теории или на уровне статистики второго порядка.
( )fСлучайный процесс t называется стационарным в узком
смысле (строго), если аналитическое выражение плотности вероятно-
сти не зависит от выбора точки начала отсчета времени. Из приведен-
ного определения стационарного процесса следует, что одномерная
плотность вероятностей не зависит от времени, а для числовых харак-
теристик стационарного процесса справедливы следующие свойства:
Среднее значение и дисперсия не зависят от времени:
( ) ( )2 2
,f f f ft m tμ = σ = σ
t t′
; (302)
= − τ :корреляционная функция зависит только от разности
( ) ( ) ( ),f f fB t B t B t′ ′ − τ =τ = . (303)
При этом
( ) ( ) 2
0
162
f f fB t B ( ) ( )B≤ = σ , f ft B t− . (304)=
Кроме того, обычно выполняется условие:
( ) 0→ t → ∞fB t при . (305)

Случайные процессы, удовлетворяющие условиям (302), (303) на-
зывают стационарными в широком смысле (по А.Я. Хинчину). Слу-
чайные процессы, стационарные в узком смысле (строго), являются
стационарными в широком смысле, но не наоборот.
Вместо термина "стационарный процесс" в двумерном случае ис-
пользуется термин "однородное поле", корреляционная функция кото-
рого зависит от двух аргументов:
( ) ( )1 2 1 2, , ,fB t t 1 1 2 2,fB t tτ τ = − τ − τ .
Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если
любая его вероятностная характеристика может быть получена из од-
ной достаточно длинной его реализации путем усреднения во време-
ни: среднее во времени равно среднему по ансамблю. На практике, как
правило, мы не располагаем множеством реализаций случайного про-
цесса, но имеем возможность наблюдать его в течение большого про-
межутка времени T или на большем пространственном интервале. В
этом случае выражения для оценок математического ожидания и кор-
реляционной функции выглядят следующим образом:
163
( )
0
1
T
f f t dt
T
μ ≈ ∫ , (306)
( ) ( )( )
0
1
T
f ( )( )df fB f t
T
τ ≈ − μ∫ f t t+ τ − μ . (307)
В двумерном случае:
$ ( )
1 2
1 2 1 2
0 0
,
T T
1 2
1
f f t t dt dt∫∫TT
μ ≈ ,
( )
( )( )
1 2
1 2
1 2 1 1
1 2 0 0
,
1
, ,
f
T T
B
( )( )2 2 1 2d d .f ff t t f t
TT
τ τ ≈
≈ − μ∫∫ t t t+ τ + τ − μ
(308)
Свойство эргодичности стационарных случайных процессов соз-
дает конструктивную основу для экспериментального определения
требуемых вероятностных характеристик.

8.2. Случайные последовательности и их характеристики
( )fПроизвольная случайная последовательность n может быть
описана посредством указания тех или иных ее статистических харак-
теристик. В дальнейшем ограничимся рассмотрением статистик вто-
рого порядка. Для среднего и дисперсии выражения будут иметь вид:
164
( ) ( ){ }f n E f nμ = , ( ) ( ) ( ){ }( )
22
f fn E f n nσ = − μ , (309)
Корреляционная функция последовательности f и взаимная кор-
реляционная функция последовательностей f и g определяются сле-
дующим образом:
( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( )){ },f f fB k l E f k k= − μ f l l⋅ − μ
)
, (310)
( ) ( ) (( ) ( ( ) ( )){ },fg f gB k l E f k k= − g l lμ ⋅ − μ
( )
. (311)
Коэффициент корреляции для случайных последовательностей за-
дается:
( )
( ) ( )
,
,
f
f f
B k l
k l
k l
ρ =
σ σ
( )
f ,
при этом во многих практических приложениях важную роль играет
средний коэффициент корреляции между соседними отсчетами
{ }, 1f fE n nρ = ρ + .
Условия стационарности (в широком смысле) случайной последо-
вательности аналогичны условиям для случайных процессов:
( )f ( )2 2
fnμ fn= μ , = σ ,σf
( ) ( ),f fB k l B k l− , (312)=
Для корреляционных функций стационарных последовательностей
справедливы следующие свойства:
( ) 2
0f fB = σ , ( ) ( )f fB k B k= − , ( ) ( )gf fgB k B k− , (313)=
( )lim f
k
B k
→∞
( )lim 0fg
k
B k
→∞
0= , = . (314)

Везде далее мы ограничимся рассмотрением именно стационарных
последовательностей.
165
1 n N≤ ≤
$
Используя свойство эргодичности применительно к случайной по-
следовательности, можно получить оценки ее числовых характери-
стик. Действительно, пусть число элементов последовательности
, тогда дискретные аналоги выражений (306)-(308) запишутся
следующим образом:
( )
1
1 N
f
k
f k
N =
μ ≈ ∑ ,
( ) ( )
1
1 N n
f ( ) ( )( )f ff k nμ + − μ
k
B n f k
N n
−
=
≈ −
−
∑ .
В двумерном случае ( )1 1 2 21 , 1n N n N≤ ≤≤ ≤ :
$ ( )
1 2
1 2
1 2
1 11 2
1
,
N N
k k
f f k k
N N = =
∑∑
( )
μ ≈ , (315)
( )
( )
( )( )
1 1 2 2
1 2
1 2
1 1
1 2 1
1 1
1
,f
N n N n
k k
B n n
N n
f k k f n
− −
= =
× − μ∑ ∑ ( )( )
2 2
1 2 2, , .f f
N n
k n k
≈ ×
− −
+ + − μ
(
(316)
Для одномерной стационарной случайной последовательности
) ( )f n корреляционная функция Bf m представляет собой одномер-
ную детерминированную последовательность. Введем преобразование
Фурье последовательности ( )fB m , которое называется спектральной
плотностью мощности (энергетическим спектром) последователь-
ности ( )f n :
( ) ( )i i n
f f
n
e B m e
∞
ω − ω
=−∞
Φ = ∑ . (317)
При этом отсчеты корреляционной функции могут быть вычисле-
ны через спектральную плотность ( )i
f e ω
Φ через обратное преобразо-
вание Фурье:

( ) ( )i i m
f
1
2
fB m e e d
π
ω ω
−π
= Φ ω∫
( ) 1 1 2 2
1 2, i n i n
fB n n e− ω − ω
π
. (318)
Соответственно, в двумерном случае связь корреляционной функ-
ции и спектральной плотности мощности определяется уравнением:
, (319)( )1 2
1 2
,i i
f
n n
e e
∞ ∞
ω ω
=−∞ =−∞
Φ = ∑ ∑
( ) ( ) 1 1 2 2
1 2
i n i n1 2
1 2 2
1
,
4
i i
f fB n n e e
π π
ω ω
−π −π
= Φ
π ∫ ∫ e d dω + ω
ω ω . (320)
Отметим некоторые свойства энергетических спектров:
- энергетический спектр ( )i
f e ω
Φ - вещественная функция час-
тоты;
- энергетический спектр всегда неотрицателен: ( ) 0i
e ω
fΦ ≥ ;
- энергетический и взаимный энергетический спектры обладают
свойствами симметрии:
( ) ( )i i
f fe eω − ω
Φ = Φ , ( ) ( )i i
fg gfe eω − ω
Φ = Φ .
Рассмотрим примеры.
Пример 19. Белый шум (последовательность независимых случай-
ных величин). Его корреляционная функция имеет вид
( ) ( )2
f fB n n= σ δ .
Из (317) следует
( ) 2i
f fe ω
Φ = σ , π ≤ ω ≤ π ,−
то есть спектральная плотность белого шума постоянна на всех часто-
тах (см. рис. 74).
166

Рис. 74. Спектральная плотность мощности
последовательности типа "белый шум"
( ) ( )
( )1, 2
2
1 2 1 2
2
1 2
, , ,
,
, .
f f
i i
f f
B n n n n
e e
ω ω
= σ δ
Φ = σ
−π ≤ ω ≤ π − π ≤ ω ≤ π
Пример 20. Последовательность с биэкспоненциальной корреля-
ционной функцией
( ) 2 n
f fB n (321)= σ ⋅ρ
( )
имеет энергетический спектр следующего вида (см. рис. 75):
( )
2
2
1
1 2 c
− ρ
os
i
f e ω
Φ =
+ ρ − ρ
π ≤ ω ≤ −π ,
ω
, −
где ρ - коэффициент корреляции между соседними отсчетами после-
довательности.
( ) 1 22
1 2 1 2, n n
f fnB n σ ⋅ρ ρ ,=
( ) ( ) ( )
1 2
1 1 1
,
1 2 cos
i i
f e eω ω − ρ
Φ =
2 2
1 2
2 2
2 2 1
1 1
1 2 cos
− ρ
⋅
+ ρ − ρ ω + ρ − ρ ω
1 2,
,
−π ≤ ω ≤ π − π ≤ ω ≤ π .
167

168
0,1ρ = 0,5= 90,ρ =ρ
Рис. 75. Спектральная плотность мощности случайной последовательности
с биэкспоненциальной корреляционной функцией
8.3. Преобразование случайных последовательностей
в ЛПП-системах
Пусть известны характеристики входного сигнала – стационарной
случайной последовательности ( )f n : среднее значение fμ , автокор-
реляционная функция fB и энергетический спектр fΦ . Требуется по-
лучить соответствующие характеристики для последовательности
( )g n на выходе устойчивой ЛПП-системы с импульсной характери-
стикой ( )h n
( ) ( )
){ } ( ).f
k k
h k f n k
k h k
∞
∞
=−∞
, а также взаимные статистические характеристики вход-
ной и выходной последовательностей.
Среднее значение для выходной последовательности с учетом ста-
ционарности сигналов и известной формулы свертки определяется
следующим образом:
( ){ }
( ) (
g
k
E g n E
h k E f n
∞
=−
∞
=−∞
⎧ ⎫
− =μ = = ⎨ ⎬
⎩ ⎭
= μ∑ ∑
(
= −
∑
(322)
Если ЛПП-система описана не импульсной характеристикой, а
частотной ) (i
H e ω
или передаточной функцией )H z , то для вычис-
ления среднего значения выходной последовательности можно вос-
пользоваться соотношениями:

( ) 0
i
g f H e ω
ω=
μ = μ , ( ) 1g f z
H z , (323)μ = μ
0g fμ = μ =
=
которые вытекают из сравнения (322) с формулами (152) и (229), оп-
ределяющими указанные характеристики системы.
В дальнейшем для сокращения изложения будем полагать
. При невыполнении этого равенства всегда можно учесть
математическое ожидание и его преобразование отдельно на основа-
нии формул (322) и (323).
Корреляционная функция выходной последовательности
( ) ( )( )( ( ) ){ }gB n E g k= − g gg k nμ + − μ
( ) ( )f
определяется следующим образом:
( ) ( )g
k l
B n h
∞ ∞
=−∞ =−∞
⎡
= ⎢∑ ∑ l h l k B n k
⎤
+ −⎥
⎣ ⎦
. (324)
Выражение (324), записанное с использованием оператора сверт-
ки, выглядит следующим образом:
( ) ( ) ( ) ( )* *g fB n h n h n B n= −
fμ =
. (325)
Взаимная корреляционная функция входной и выходной последо-
вательностей при 0 вычисляется в виде
( ) ( )( )( ( ) ){ }
( ) ( )
fg f
k
B n E f n
h k B n k
∞
=−∞
( ) ( ).
g
f f
g n k
h n B n
= − μ
= −∑
+ − μ =
= ∗
(326)
То есть искомая характеристика является сверткой импульсной
характеристики ЛПП-системы и автокорреляционной функции вход-
ного сигнала.
Энергетический спектр последовательности на выходе системы
легко выводится из уже полученного соотношения (325). Действи-
тельно, с учетом свойств z-преобразования (см. п. 6.2) имеем
( )( ) ( ) ( )1
g fz H z z−
Φz HΦ = , (327)
169

170
i
z e ω
и далее, положив = , получаем собственно энергетический
спектр:
( ) ( ) ( ) ( )i i
g e H i i
fe H e eω ω − ω ω
ΦΦ = . (328)
Частотная характеристика обладает известной симметрией и вы-
ражение (328) может быть записано в более компактной форме:
( ) ( ) ( )
2
i i i
g fe H e eω ω ω
ΦΦ = . (329)
Получаем, что энергетический спектр последовательности на вы-
ходе ЛПП-системы равен энергетическому спектру входной последо-
вательности, умноженному на квадрат модуля частотной характери-
стики системы.
Взаимный энергетический спектр входной и выходной последова-
тельности вычисляется аналогично:
( ) ( ) ( )fz H z zΦ = Φ
i
z e ω
=
fg , (330)
и далее при :
( ) ( ) ( )i i i
fe H e eω ω ω
Φ = Φfg (331)
он равен произведению частотной характеристики системы и энерге-
тического спектра входной последовательности.
8.4. Факторизация энергетического спектра
В развитие полученных результатов рассмотрим один важный ме-
тодический прием, который часто используется при синтезе алгорит-
мов цифровой обработки сигналов.
Поставим следующую задачу: синтезировать физически реализуе-
мую устойчивую ЛПП-систему, которая при поступлении на вход
дискретного стационарного белого шума дает на выходе сигнал с за-
данной корреляционной функцией ( )gB n . Такую систему иногда на-
зывают “формирующим фильтром”. Для простоты изложения будем
считать что входной белый шум имеет единичную дисперсию, то есть
его корреляционная функция

( ) ( )fB n n= δ
( ) 1f zΦ = ( )g zΦ
.
Нам известно выражение (327), связывающее энергетические
спектры на входе и выходе ЛПП-системы. В данном случае
, а энергетический спектр выходного сигнала - вы-
числяется по заданной последовательности ( )gB n . При этом выте-
кающее из (327) соотношение
( )( ) ( ) 1
z H z H z−
Φ =
( )H z
( )H z
g (332)
можно рассматривать как уравнение относительно передаточной
функции искомого формирующего фильтра. Процедура нахож-
дения предполагает разложение ( )g zΦ на пару “симметрич-
ных” (в смысле (332)) множителей. Осуществление такого разложения
будем называть факторизацией энергетического спектра.
Решение задачи факторизации не является единственным. Для то-
го, чтобы оно имело практический смысл необходимо выполнить сле-
дующие два требования:
1) Найденная передаточная функция ( )H z должна соответствовать
физически реализуемой ЛПП-системе конечного порядка, то есть
допускать представление в дробно-рациональной форме (в виде
отношения полиномов по отрицательным степеням z).
2) Передаточная функция ( )H z должна соответствовать устойчивой
ЛПП-системе, то есть иметь полюсы, лежащие внутри единичной
окружности в комплексной z-плоскости.
Если энергетический спектр ( )g zΦ является дробно-рацио-
нальным, то среди решений задачи факторизации всегда найдется та-
кое, которое удовлетворяет выдвинутым требованиям. Рассмотрим
детально процедуру построения этого решения.
171

172
( )gBВ силу четности автокорреляционной функции n ее z-
преобразование – энергетический спектр ( )zgΦ обладает свойством
симметрии:
( )( ) 1
g gz z−
Φ = Φ
( )
,
и, следовательно, если он является дробно-рациональным, может быть
представлен в виде
( )B
( )g
z
z
A z
Φ =
( )
M
j
j
j M
A z a z−
=−
= ∑
( )
N
j
j
j N
B z b z−
=−
= ∑
, (333)
где
, (334)
(335)
полиномы из положительных и отрицательных степеней z с коэффи-
циентами, удовлетворяющими условиям:
j ja a−= , j jb b−= .
Рассмотрим сначала полином (334), стоящий в знаменателе дроб-
но-рационального энергетического спектра (333). Уравнение
( ) 0A z =
имеет 2M (то есть четное) число корней. Причем, благодаря симмет-
рии коэффициентов, если комплексное число p – корень этого уравне-
ния (полюс функции ( )g zΦ ), то и 1 p также является корнем (полю-
сом). Если 1p < , то 1 1p > , то есть половина корней будет лежать
внутри единичной окружности комплексной z-плоскости, а другая по-
ловина – вне единичной окружности комплексной окружности. На
самой единичной окружности корней нет, так как наличие таковых
противоречило бы условиям сходимости рассматриваемого дробно-
рационального z-преобразования при 1z = ). Обозначим через jp

173
j M≤ ≤
( ) ( )1
1 1
1 1
M M
j j
j j
p z p z−
= =
−∏
0A
(1 ) корни, лежащие внутри единичной окружности. Несложно
показать, что при этом степенной полином (334) может быть пред-
ставлен через свои корни в виде
, (336)( ) 0A z A= −∏
где - некоторая постоянная. Введем обозначение
( ) ( )1
1
1
M
o j
j
A p z+ −
=
= −∏A z , (337)
после которого выражение (336) записывается в форме
( )( ) ( ) 1
A z A z+ + −
=A z , (338)
( )A z произведена.то есть требуемая факторизация полинома
Аналогичным образом осуществляется и факторизация полинома
(335) из числителя дробно-рационального энергетического спектра:
( )( ) ( ) 1
B z B z B z+ + −
= , (339)
где
( ) ( )1
1
1
M
o j
j
z B q z+ −
=
= −∏
0
(340)B
-полином по отрицательным степеням z, B - некоторая постоянная,
- корни(1q j≤ ≤ )j N ( )B z+
.
Следует остановиться на особенностях выбора корней полинома
(340). Во-первых, уравнение ( ) 0B z = может иметь решение, лежащее
на единичной окружности комплексной Z-плоскости (это всего лишь
означает, что для некоторых частот ω энергетический спектр ( )i
g e ω
Φ
равен нулю). Во-вторых, к корням ( )1jq j N≤ ≤ нет необходимости
предъявлять требование 1jq < , поскольку, как мы увидим ниже, они
будут определять положение нулей передаточной функции искомой
ЛПП-системы, не влияющей на ее устойчивость. Основное условие
формирования полинома (340) заключается в том, что из всех 2N корней

указанного уравнения должно быть использовано по одному корню из
каждой пары взаимообратных.
Полученные факторизованные представления (338) и (339) поли-
номов (334) и (335) позволяют произвести факторизацию и энергети-
ческого спектра (333) в целом:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )1
g gz z
−
+ + −
−
=Φ Φ
( )
1
1g
B z B z
z
A z A z
+ +
+ +
Φ = , (341)
где
( )B
174
( )g
z
z
A z
+
+
+
Φ =
1
z
(342)
дробно-рациональная функция от −
, не имеющая полюсов вне еди-
ничной окружности в z-плоскости. Из сравнения (341) с (332) видно,
что в качестве искомой передаточной функции физически реализуе-
мого и устойчивого формирующего фильтра можно принять
( ) ( ) L
gH z z z+ −
= Φ
L ≥
( )
при любом целом 0 . Для простоты везде далее будем полагать
, то есть брать0L =
( )B
( )
( )g
z
z
A z
+
+
+
= Φ =H z . (343)
Пример 21. Определим передаточную функцию и построим раз-
ностное уравнение физически реализуемой и устойчивой ЛПП-
системы, преобразующей белый шум с единичной дисперсией в ста-
ционарную случайную последовательность с автокорреляционной
функцией
( ) 1 1k k k
a a−
yB k +
ρ − ρ − ρ=
1, 0.5aρ < ≤ .
С помощью табл.1 (раздел 6.1) и свойств z-преобразования (раз-
дел 6.2) вычисляем энергетический спектр выходной последова-
тельности:

( )
( )( )
( )( )
( )
( )
175
2 1
1 1
az az
1
1 1
g
B z
A zz z
−
− −
=
− ρ
z −
− ρ
Φ =
− ρ
.
Полином в знаменателе сразу записан в требуемой факторизован-
ной форме:
( ) ( )( ( )) ( )1 1
z A z A z+ + −
=1 1A z z−
= − ρ − ρ ,
где
( ) 1
1A z z+ −
= − ρ .
Произведем факторизацию полинома в числителе, для чего решим
уравнение
( ) ( )( )2 1
1 1 0a z a z−
B z = − ρ − − =
2
0a z z a
или
+ = .−
Корни этого уравнения:
( )21
1 1 4
2
z a
a
= ± −1,2 .
Легко проверить, что они являются взаимообратными: 1
2
1
z
z
=
1q
. В
зависимости от выбора одного из этих корней, используемого в каче-
стве в (340), имеем два варианта факторизации ( )B z :
2
11 1 4
2
a
( ) 0 1B z B z
a
+ −
⎛ ⎞± −
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
,
где значения множителя
2
2 1 1 4
2
a−
= − ρ
m
( )
0 1B
найдены подстановкой (340) в (339), раскрытием скобок и приравни-
ванием коэффициента при любом из имеющихся степеней z к соответ-
ствующему коэффициенту в первоначальном представлении B z .

Итак, согласно (343), получаем две различные передаточные
функции искомой ЛПП-системы:
( ) ( )
2
1
1
1 1 4
2
2 1
a
z
a
z
−
−
⎛ ⎞± −
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
− ρ
( )
2
2
1
1 1 4
1
a
H z
−
= − ρ
m
,
по которым легко строятся два варианта, описывающих систему раз-
ностных уравнений:
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
1 1 4
2
4
1 .
a
a
f n
−
− ρ ×
⎡ ⎤
−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
m
1 1
1 1
2
g n g n
f n
a
= ρ − +
± −
× −
Процедуру факторизации, очевидно, можно использовать и для
решения более общей задачи, чем та, которая была поставлена в нача-
ле данного параграфа, а именно для синтеза физически реализуемой
устойчивой ЛПП-системы, преобразующей стационарную случайную
последовательность с одной автокорреляционной функцией ( )Bf n
( )g
в
последовательность с другой автокорреляционной функцией B n .
Действительно, непосредственно из (327) следует
( )
( )
( ) ( )1
z
H z H z
z
−
=
g
f
Φ
Φ
,
дробно-рациональные энергетические спектры входного и выходного
сигналов могут быть факторизованы:
( )( ) ( ) 1
f f fz z z+ + −
Φ = Φ Φ ,
( )( ) ( ) 1
g g gz z z+ + −
Φ = Φ Φ ,
где
( )
( )
( )
f
f
f
B z
z
A z
+
+
+
Φ = ,
( )
176
( )
( )
g
g
g
B z
z
A z
+
+
+
Φ = ,

177
fA+
( )f( )z , z+
( )gA z+
, , ( )gB B z+
- полиномы, определяемые в процессе
факторизации, и, следовательно, в качестве передаточной функции
ЛПП-системы можно принять:
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
g f g
f g f
z A z B z
z A z B z
+ + +
+ + +
= =H z
Φ
Φ
. (344)
Причем, здесь нужно более строго, чем раньше, подходить к вы-
бору корней при факторизации числителя энергетического спектра
входного сигнала - ( )f zΦ , то есть при конструировании полинома
( )fB z+
: в соответствии с (344) корни этого полинома оказываются по-
люсами передаточной функции и для того, чтобы система была устой-
чивой, они должны обязательно выбираться внутри единичной ок-
ружности z-плоскости. Задача не будет иметь решения (система не
получится устойчивой), если у ( )fB z+
будут иметься корни, лежащие
на единичной окружности, и эти корни не будут скомпенсированы
соответствующими корнями ( )g z+
.B
Заметим, что в двумерном случае общего подхода к факторизации
энергетического спектра не существует.

178
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Анисимов Б.В., Курганов В.Д., Злобин В.К. Распознавание и цифровая
обработка изображений (М.: Высшая школа, 1983)
2. Ахмед Н., Рао К. Р. Ортогональные преобразования при обработке циф-
ровых сигналов (М.: Связь, 1980)
3. Ван дер Варден. Алгебра. (M.: Наука, 1976)
4. Виттих В.А., Сергеев В.В., Сойфер В.А. Обработка изображений в ав-
томатизированных системах научных исследований (М.: Наука, 1982)
5. Горелик А.Л., Скрипкин В.А. Методы распознавания (М.: Высшая шко-
ла, 1984)
6. Гренандер У. Лекции по теории образов: Синтез образов 1 (М.: Мир,
1979)
7. Гренандер У. Лекции по теории образов: Анализ образов 2 (М.: Мир,
1981)
8. Гренандер У. Лекции по теории образов: Регулярные структуры 3 (М.:
Мир, 1983)
9. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов
(М.: Мир, 1988)
10. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен (М.: Мир, 1976)
11. Журавлев Ю.И. Избранные научные труды (М.: Магистр, 1998)
12. Касселс Дж. Введение в теорию диофантовых приближений. (М.: ИЛ,
1961)
13. Оппенгейм А.В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов (М.: Связь,
1979)
14. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. (М.: Наука,
1971)
15. Прэтт У.К. Цифровая обработка изображений (М.: Мир, 1982, 2 т.)
16. Рабинер Р., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов
(М.: Мир, 1978)
17. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов (М.: Мир, 1978)
18. Физический энциклопедический словарь, 2 (М.: Советская энциклопе-
дия, 1962).
19. Фу К. Последовательные методы в распознавании образов и обучении
машин (М.: Наука, 1971)

179
20. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов
(М.: Наука, 1979)
21. Шмидт В. Диофантовы приближения. (М.: Мир, 1983)
22. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений
(М.: Советское радио, 1979)
23. Ярославский Л.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии:
Введение в цифровую оптику (М.: Радио и связь, 1987)
24. Chernov V.M. Spectral Method of Algebraic Primitives Extracting Based on
Multidimensional Images Representation. Fundamental Structural Properties
in Image and Pattern Analysis. Schriftenreihe der Oesterreichischen Computr
Gesellschaft. 130 169-179 1999
25. Chernov V.M. The "modular perceptron": A linear classes separability in the
non-Archimedean features spaces. Proc.of the 10th Scandinavian Conference
on Image Analysis (SCIA'97) (Lappeenranta, Finland, 2, 803-808, 1997)
26. Chernov V.M. Diophantine Theorems on Stability of Polinomial Decision
Rules. Pattern.Recognition and Image Analysis 11(1) 16-18 (2001)
27. Hewitt E., Ross K. Abstract harmonic analysis. (Berlin, Springer, 1963)
28. Kargaev P.P, Zhigljavsky A. Approximation of real numbers by rationals:
some metric theorems. Journal of Number Theory 65 130-149 1996
29. Pruefer H. Neue Begruendung der algebraischen Zahlentheorie. Math. Ann.
94(3-4) 198-243 1925

Учебное издание
Сойфер Виктор Александрович
Сергеев Владислав Викторович
Попов Сергей Борисович
Мясников Владислав Валерьевич
Чернов Андрей Владимирович
ВВЕДЕНИЕ В ЦИФРОВУЮ ОБРАБОТКУ
СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Учебное пособие
Технический редактор В.А. Фурсов
Редакторская обработка Е.П. Сеничкина
Корректорская обработка Е.П. Сеничкина
Компьютерная верстка М.А. Вахе, С.В. Смагин
Доверстка Е.П. Сеничкина
Подписано в печать 28.12.06. Формат 60х84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 10,46 . Усл. кр.-отт. 10,58 . Печ.л. 11,25 .
Тираж 50 экз. Заказ . ИП-68/2006
Самарский государственный
аэрокосмический университет.
443086 Самара, Московское шоссе, 34.
Изд-во Самарского государственного
аэрокосмического университета.
443086 Самара, Московское шоссе, 34.
180

744.введение в цифровую обработку сигналов и изображений математические модели изображений

More Related Content

Viewers also liked (20)

Similar to 744.введение в цифровую обработку сигналов и изображений математические модели изображений (14)

More from ivanov1566353422 (12)

744.введение в цифровую обработку сигналов и изображений математические модели изображений