SlideShare a Scribd company logo

Метод дискретных особенностей и компьютерный инструментарий для моделирования дифракции акустических волн на трехмерных плоскопаралле

Andrii Gakhov, profile picture
Andrii Gakhov

Диссертация Андрея Гахова описывает метод дискретных особенностей и компьютерный инструментарий для моделирования дифракции акустических волн на трехмерных плоскопараллельных структурах. Работа включает математические модели, основанные на гиперсингулярных интегральных уравнениях, и исследует характеристики этих моделей в контексте компьютерного моделирования. Целью исследования является создание адекватных методов вычисления и анализа результатов, что имеет значение для применения в технических задачах.

Technology
1 of 185
Download to read offline
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В.Н. КАРАЗИНА На правах рукописи ГАХОВ Андрей Владимирович УДК 519.6 МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ И КОМПЬЮТЕРНЫЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИФРАКЦИИ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН НА ТРЕХМЕРНЫХ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СТРУКТУРАХ 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: Мищенко Виктор Олегович кандидат физико-математических наук, доцент Харьков – 2008
2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 РАЗДЕЛ 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1. Физические аспекты задачи и существующие постановки задачи . . . 13 1.2. Методы дискретных особенностей (МДО) в математическом моделировании дифракции на экранах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3. Компьютерное моделирование дифракции на экранах на основе методов дискретных особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4. Выводы по разделу 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 РАЗДЕЛ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ НА ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СТРУКТУРАХ НА ОСНОВЕ ГРАНИЧНЫХ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . . . 33 2.1. Постановки краевых задач дифракции на трехмерных плоскопараллельных структурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2. Единственность решения рассматриваемых краевых задач . . . . . . . . 46 2.3. Граничное псевдодифференциальное уравнение в случае экрана на разделе сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4. Граничное псевдодифференциальное уравнение в случае экрана над жесткой стенкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.5. Граничное псевдодифференциальное уравнение в случае экрана на разделе сред над жесткой стенкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.6. Выводы по разделу 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3 РАЗДЕЛ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЯДЕР ГРАНИЧНЫХ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ГСИУ) . . 73 3.1. Представление для главной части ядра в случае экрана на разделе сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2. Представление для главной части ядра в случае экрана на разделе сред над жесткой стенки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3. Сравнение с подходом, основанным на методе потенциала . . . . . . 79 3.4. Выводы по разделу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 83 РАЗДЕЛ 4. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ПОЛУЧЕНЫХ ГСИУ . . . . . . . . . . . . . 4.1. Схема МДО для задач дифракции на плоскопараллельных структурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Алгоритм вычисления построенных гиперсингулярных интегральных операторов в классе кусочно-постоянных функций 4.3. Компьютерные аспекты 83 вычисления интегралов 85 от комплекснозначных функций специального вида . . . . . . . . . . . . . . 87 4.4. Вычисление интегральных характеристик для задач дифракции на плоскопараллельных структурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Выводы раздела 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . РАЗДЕЛ 5. ИНСТРУМЕНТАРИЙ ДЛЯ 96 103 КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.1. Программные системы компьютерного моделирования . . . . . . . . . 104 5.2. Форсирование используемых вычислительных алгоритмов. . . . . . . 121 5.3. Исследование практической сходимости и правильности вычислений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.4. Согласованность новых численных результатов с эталонными задачами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.5. Выводы по разделу 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4 РАЗДЕЛ 6. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.1. Вычислительная устойчивости дискретной модели . . . . . . . . . . . . . 133 6.2. Поведение приближенного решения вблизи края экрана . . . . . . . . . 136 6.3. Исследование поля в дальней зоне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.4. Влияние различия сред на время вычислений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.5. Метод факторизации для понижения размерности дискретной модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.6. Выводы по разделу 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 ВЫВОДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 ПРИЛОЖЕНИЕ А . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 ПРИЛОЖЕНИЕ Б . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ СОКРАЩЕНИЙ a.f.p. интеграл в смысле конечной части по Адамару (перед знаком интеграла) ГСИУ гиперсингулярное интегральное уравнение МДО методы дискретных особенностей ПДО псевдодифференциальный оператор СЛАУ система линейных алгебраических уравнений
6 ВВЕДЕНИЕ Актуальность темы диссертационной работы. В исследованиях и при решении таких технических задач как зондирование с целью обнаружения отдельных неоднородных включений в сплошной среде важную роль играет изучение взаимодействия плоских монохроматических волн с твердыми структурами. При этом наряду с экспериментами широко применяется компьютерное моделирование таких процессов. Однако до последнего времени постановка соответствующих математических задач в трехмерном пространстве предполагала только приближение коротковолнового диапазона или другие упрощающие предположения. За последние двадцать лет, во многом благодаря методам дискретных особенностей (МДО), к решенным задачам математической теории дифракции добавились и такие, в которых учитывается существенно трехмерная картина процесса для диапазонов длин волн, соразмерных с характерными размерами структур рассеяния. В то же время, применение этих методов требует развития в направлении адекватности постановок задач действительным условиям протекания соответствующих физических процессов. Особенно важным является учет неоднородности пространства распространения волн, например, если тонкий рассеиватель (который моделируется как плоский экран) находится в плоскости раздела сред (находится на дне или плавает на поверхности жидкости). Более сложные дифракционные явления приводят к усложнению построения математических моделей (даже моделей МДО) и повышению вычислительной ресурсоемкости компьютерного моделирования, однако их можно частично упростить такими предположениями, как кусочное постоянство физических параметров неоднородной среды, плоский характер слоев неоднородностей и т.п. Таким образом, для продолжения фундаментальных исследований в этом направлении актуальным является математическое и компьютерное
7 моделирование на основе МДО процесса дифракции акустических волн на плоскопараллельных структурах, которые составлены из плоских жестких экранов, размещенных на границах слоев с постоянными физическими свойствами. Математические модели и вычислительные методы, построенные в диссертации, непосредственно основываются на результатах, которые получили лично и в сотрудничестве со своими учениками известные ученые в области математического моделирования дифракционных явлений на базе МДО Ю.В. Гандель, Е.В. Захаров, И.К. Лифанов. Связь работы Диссертационная с научными программами, работа выполнена в рамках планами, темами. индивидуального плана подготовки аспиранта и является частью научной работы, которая проводится в по теме «Математическое моделирование физических процессов и численный эксперимент» (ГР №0104U0002366) кафедрой математической физики и вычислительной математики механико-математического факультета Харьковского национального университета имени В.Н. Каразина. Целью диссертационной работы является построение математических моделей и вычислительных методов на основе методов дискретных особенностей и создание компьютерного инструментария для проведения вычислительных экспериментов по исследованию дифракции акустических волн в пространстве на плоскопараллельных структурах. В соответствии с этим основными задачами диссертационной работы являются: ─ построить математическую модель на основе гиперсингулярного интегрального уравнения первого рода, исходя из постановки задачи математической теории дифракции в форме краевой задачи; ─ исследовать свойства ядра граничного гиперсингулярного интегрального (псевдодифференциального) уравнения, существенные для компьютерной реализации его вычисления;
8 ─ построить особенностей в соответствии дискретную со модель схемой на методов основе дискретных дискретизации гиперсингулярного интегрального уравнения; ─ создать компьютерный инструментарий моделирования дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на плоскопаралельних структурах, составленных из жестких экранов и слоев с постоянными физическими свойствами; ─ разработать методы анализа результатов вычислительных экспериментов для обоснования выводов относительно устойчивости и сходимости решений дискретной модели в соответствии с критериями, имеющими физический смысл, а также приемов снижения размерности дискретной модели. Объектом исследования выступает процесс дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на плоскопараллельных структурах. Предметом исследования являются математические модели дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на плоскопараллельных структурах, составленных из жестких экранов и слоев с постоянными физическими свойствами, а также инструментарий компьютерного моделирования на основе методов дискретных особенностей. Методы исследования. В диссертационной работе метод параметрических представлений псевдодифференциальных и гиперсингулярных интегральных операторов используется в качестве основного метода построения моделей; метод теории потенциала – в качестве альтернативного метода построения моделей; метод дискретных замкнутых вихревых рамок – при построении дискретной модели; методы математической физики – для обоснования корректности рассмотренных моделей; методы линейной алгебры – для решения систем линейных алгебраических уравнений; метод наименьших квадратов –для минимизации функционалов; для вычисления ядер интегральных уравнений используются эффективные численные методы, реализованные в библиотеках «БЧА НИВЦ МГУ» и IMSL; при построении компьютерного
9 инструментария используются методы структурного и объектно- ориентированного программирования, методы стандартов качества ISO, IEEE. Научная новизна полученных результатов: 1. Впервые построены математические модели на основе псевдодифференциального (гиперсингулярного) уравнения процесса дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на таких плоскопараллельных структурах: - плоском жестком ограниченном экране, размещенном в плоскости раздела двух сред; - плоском жестком ограниченном экране, размещенном над жесткой стенкой в однородном пространстве; - плоском жестком ограниченном экране, размещенном на поверхности слоя над жесткой стенкой (обобщение предыдущего случая). 2. По методу параметрических представлений псевдодифференциальных и гиперсингулярных интегральных операторов введены новые псевдодифференциальные операторы, определяющие построенные модели, и исследованы их ядра. 3. Впервые на основе известной схемы методов дискретных особенностей построена дискретная модель для приближенного описания рассматриваемых процессов дифракции. 4. Усовершенствован метод компьютерной проверки практической сходимости решений дискретной модели путем добавления критериев, имеющих физический смысл. 5. Впервые создан метод компьютерной проверки адекватности подхода к снижению размерности СЛАУ дискретной модели за счет приближенного представления решения произведением двух функций разных аргументов. Практическое значение полученных результатов. Впервые создан компьютерный инструментарий для моделирования дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на плоскопараллельных структурах, составленных из жестких экранов и слоев с постоянными физическими
10 свойствами. Этот инструментарий может быть применен специалистами по акустике и методам неразрушающего контроля при проведении ими собственных исследований, а также как материал для дальнейшего развития компьютерного моделирования специалистами по математическому моделированию методами дискретных особенностей. Разработанные средства математического моделирования внедрены в учебный процесс на факультете компьютерных наук Харьковского национального университета имени В.Н. Каразина в курсе «Разработка больших программных систем», а также в работе спецкурсов и спецсеминаров механико-математического факультета и факультета компьютерных наук. Акт об использовании результатов исследований диссертационной работы находится в Приложении А. Личный вклад соискателя. Результаты, изложенные в диссертационной работе, получены автором самостоятельно и опубликованы в работах [1-15]. В работе [1] соискателем разработаны компьютерная система моделирования и метод проведения вычислительного эксперимента. В [6] соискателем построена новая математическая модель на базе ГСИУ, а также соответствующая модификация вычислительного метода. В [7] соискателем опробована модель качества на примерах и доработаны алгоритмы вычисления метрик внешнего качества. В [8] соискатель осуществил альтернативную экспертизу при разработке метода верификации метрик и показателей качества. В работе [13] соискателем построена компьютерная реализация решения задачи дифракции акустических волн на основе метода параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов. В [15] соискателю принадлежат результаты исследования скалярной задачи дифракции и проверки достоверности программного обеспечения по каскадной схеме тестирования. Апробация результатов исследования. Результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на научных семинарах: - Харьковский г. Харьков, национальный международный университет семинар имени В.Н. Каразина, «Численное моделирование
11 методами дискретных особенностей в математической физике», руководитель проф. Ю.В. Гандель, 2003-2008 гг.; - Физико-механический институт им. Г.В. Карпенко, г. Львов, заседание объединенных научных семинаров «Фізичні поля для неоднорідних середовищ та неруйнівний контроль матеріалів» и «Теоретичні та прикладні проблеми трибології», руководитель акад. НАН Украины З.Т. Назарчук, 2008г.; а также на международных конференциях и симпозиумах: - международный симпозиум «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики МДОЗМФ-2003» (г. Херсон, 2003 г.); - Х международная конференция им. академика М. Кравчука (г. Киев, 2004 г.); - конференция «Каразинские чтения» (г. Харьков, 2004 г.); - международная конференция «SCALNET’04» (г. Кременчуг, 2004 г.); - международная школа-семинар молодых ученых Украины и России «МДОЗМФ» (Россия, г. Орел, 2005 г.); - конференция «Математика и ее приложения» для студентов и аспирантов (г. Харьков, 2005 г.); - международный симпозиум «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики МДОЗМФ-2005» (г. Херсон, 2005 г.); - международная школа-семинар молодых ученых Украины и России «МДОЗМФ» (Россия, г. Орел, 2006 г.); - международная конференция «  Mathematical Methods in Electromagnetic Theory – MMET'06» (г. Харьков, 2006 г.); - международная конференция по математическому моделированию «МКММ-2006» (г. Херсон, 2006 г.); - международная научная техническая конференция «DESSERT-2007» (г. Кировоград, 2007 г.); - международный симпозиум «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики МДОЗМФ-2007» (г. Херсон, 2007 г.);
12 - международная школа-семинар молодых ученых Украины и России «МДОЗМФ» (Россия, г. Орел, 2008 г.); - международная научная техническая конференция «DESSERT-2008» (г. Кировоград, 2008 г.); - ХII международная конференция им. академика М. Кравчука (г. Киев, 2008 г.). Публикации. Результаты, включенные в диссертационную работу, опубликованы в 8 статьях [1-8] и в 7 материалах и тезисах конференций и симпозиумов [9-15].
13 РАЗДЕЛ 1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ Математические модели для описания распространения звуковых волн в однородных изотропных средах восходят к исследованиям Лапласа, а их рассеяние на препятствиях с идеальными (в том или ином смысле) граничными условиями относится к классической математической физике прошлого века. Поэтому в обзоре относящихся сюда результатов, используемых в настоящей диссертации, мы не прослеживаем исторические приоритеты и оригинальные публикации. Вместо этого мы даём ссылки на их изложение в той монографической и учебной литературе, которая в настоящее время традиционно и широко используется в связи с исследуемой тематикой, в частности, именно в качестве традиционных ссылок. Напротив, по вопросам построения математических моделей сложных дифракционных процессов на основе ГСИУ, вопросам построения соответствующих дискретных моделей и разработки программных систем, реализующих компьютерное моделирование, мы ссылаемся на оригинальные работы последних десятилетий. Но в тех случаях, когда это возможно, мы вместо ссылок на разнообразные журнальные публикации автора, делаем указание на изложение соответствующих результатов в монографиях. 1.1. Физические аспекты задачи и существующие постановки задачи Математическое моделирование процессов рассеяния акустических волн ограниченными препятствиями несимметричных форм в пространстве всегда
14 представляло научный интерес, но приближенное решение таких задач дифракции начали соответствующим строить лишь инструментам в последнее компьютерного время [16]. Доступ моделирования к является актуальной проблемой тех ученых, перед которыми стоят разнообразные задачи фундаментальных исследований, связанные с зондированием инородных включений в сплошных средах, в том числе твёрдых включений на границах раздела неоднородных сред. Такие исследования по акустике, в свою очередь, вызываются к жизни сложными современными проблемами в медицине [17], военном деле [18], в экологии [19] и ликвидации последствий катастроф (например, защита от звуковых воздействий, поиск фрагментов разрушенных конструкций [20]), в проблематике зондировании океана [21] и неразрушающего контроля материалов [22]. Для математического моделирования дифракции волн различной природы, в том числе акустических, разработаны различные методы, которые применяются в зависимости от отношения характерного размера препятствия l к длине волны λ . Наибольшие математические и вычислительные трудности возникают, если длина волны соизмерима с характерным размером препятствия. В таком случае принято говорить, что задача «относится к резонансному диапазону» (хотя при расположении препятствия в свободном пространстве резонансные явления могут быть слабо выраженными). В этом случае длинноволновые или коротковолновые приближения не применимы [23]. Классической постановкой акустической задачи рассеяния является задача дифракции акустической волны на препятствии в пространстве. Для определения волнового движения в однородной изотропной среде без поглощения в пространстве ℜ 3 достаточно найти потенциал скоростей U = U ( x, t ) , из которого поле скоростей v и давление p выражаются в виде [24]: v= 1 ρ grad U ,
15 p − p0 = − где ∂U , ∂t ρ - плотность среды, p0 - давление в невозмущенной среде. В линеаризованной теории, которая используется в диссертационной работе, потенциал скоростей U удовлетворяет волновому уравнению [24,25] вне препятствия Ω : ∂ 2U − a 2 ΔU = 0 , 2 ∂t (1.1) где a - скорость распространения акустической волны в рассматриваемой среде. Из уравнения (1.1) при U ( x , t ) = u ( x ) ⋅ e − iω t , где ω > 0 - частота звуковых колебаний, следует уравнение Гельмгольца относительно амплитуды u ( x )  установившегося волнового процесса: Δu + k 2u = 0 , x ∈ ℜ 3 Ω , где k = ω a (1.2) > 0 - волновое число. Идеализированным и в то же время практически важным вариантом граничных условий (см., например, [23,24]) является условие Неймана (условие 2 рода): ∂u = 0, ∂n Σ r где n - нормаль к поверхности Σ . (1.3)
16 В акустике [20] условие Неймана (1.2)-(1.3) описывает жесткую границу и характеризует условия на поверхности твердых тел. В некоторых случаях морское дно, которое традиционно описывается условиями третьего рода, может моделироваться также жесткой границей [20]. При постановках внешних краевых задач для уравнения Гельмгольца для выделения единственного имеющего физический смысл решения используется условие излучения Зоммерфельда, которое полностью характеризует поведение решений уравнения Гельмгольца на бесконечности [24]. Решение уравнения Гельмгольца (1.2), отвечающее сферической волне, расходящейся от источника в точке x = 0 , имеет вид u(x ) = e ik x x , и в соответствии с этим условия излучения в задаче (1.2)-(1.3) задаются требованиями [24,26]: ⎛1⎞ ⎞ ⎛1⎞ ⎛x ⎜ , grad u ( x) ⎟ − ik u ( x) = o⎜ ⎟, u ( x) = O⎜ ⎟, ⎜x⎟ ⎟ ⎜x⎟ ⎜x ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ x →∞. (1.4) Известно, что если поверхность рассеяния Ω имеет ребра (т.е. линии, вдоль которых направление нормали к поверхности терпит разрыв), условий (1.2)-(1.4) не достаточно для выделения единственного решения [23]. Для однозначной разрешимости краевых задач в таком случае необходимо сформулировать условия, определяющие поведение решения в окрестности особой точки границы. При этом в случае задач дифракции естественное требование ограниченности решения в окрестности особой точки может быть слишком жестким, поскольку может не существовать решения, ограниченного в окрестностях ребер граничных поверхностей [27]. Поэтому добавляется
17 специальное условие, описывающее поведение волнового поля в окрестности ребер – «условие на ребре», которое в скалярной задаче дифракции формулируется, например, в виде [23]: lim (ρ ⋅ Π n ) = 0 , ρ →0 где (1.5) ρ - радиус окружности – сечения вспомогательного кольцевого валика, окружающего ребро, Π n - нормальная к поверхности валика производная вектора Пойтинга. Традиционно на практике условие излучения (1.5) ставится в эквивалентной формулировке [23] - в форме условия Мейкснера: ∫ (u U ∂Ω (ε ) 2 + ∇u 2 )dx < ∞ , (1.6) где U ∂Ω (ε ) - окрестность края рассеивателя ∂Ω . Условие (1.6) отвечает требуемому физическому смыслу условия на ребре [23,27] – ограниченности энергии в окрестности ребра рассеивателя, т.е. отсутствию внешних излучающих источников на ребре. Острые ребра имеют, в частности, и дифрагирующие экраны, которые рассматриваются как бесконечно тонкие ограниченные поверхности [23]. Таким образом, условия (1.2)-(1.4), (1.6) в совокупности обеспечивают единственность решения внешней краевой задачи для рассеивателей, имеющих ребра. Вопросы доказательства этого факта для скалярных задач дифракции в однородном пространстве рассмотрены, например, в [23] и (в несколько более общей постановке) в [28]. Вопросы единственности для краевой задачи Неймана в близких к диссертации постановках рассмотрены также в [29,30]. Доказанные в упомянутых работах теоремы можно применить далеко не ко всем
18 постановкам задач дифракции на экранах, но в их доказательствах используется подход, который можно применять и в других постановках. Рассмотренная выше классическая задача теории дифракции является частным случаем хорошо исследованного с точки зрения корректности широкого класса краевых задач для эллиптических уравнений. Построенная теория таких операторов в пространствах Соболева-Слободецкого устанавливает [31], что в областях с достаточно гладкими границами имеет место существование и устойчивость решений в определенных метриках, если только нуль не является точкой спектра сопряженного оператора. Поэтому, учитывая ( самосопряженность операторов рассматриваемых задач дифракции Δ + k 2 I при вещественном k ) [32], доказательство единственности, исключающее наличие нетривиальных решений для однородного уравнения (1.2), становится практически основным необходимым шагом в обосновании корректности таких задач. В силу указанных выше классических результатов функционального анализа актуальной проблемой математического моделирования дифракции вне конечной системы тел в трехмерном пространстве является построение приближенных методов их решения и средств построения таких решений на компьютере за практически приемлемое время. Особенностью постановки задачи дифракции настоящей диссертационной работы по сравнению с постановкой (1.2)-(1.5) является постоянство физических свойств среды (вне рассеивателей) не всюду, а только в полупространствах или слоях. Такие физические задачи приводят к необходимости рассмотрения т.н. внутренних краевых условий, поскольку уже у первых частных производных рассматриваемых полей отсутствует гладкость при переходе через плоскости раздела сред. Это не позволяет непосредственно использовать методы для однородных сред и, в том числе, требует уточнения вида поля, которое могло бы существовать при отсутствии рассеивающего экрана. Следует отметить, что, формально ограничившись только построением решений задач дифракции в случае падения плоской волны (общий случай получается суперпозицией таких
19 решений [26]), мы смогли использовать конструктивную теорию распространения таких волн в слоистых средах, изложенную, например, в известной монографии Л.М. Бреховских [33]. Прямая (конечноразностная) дискретизация [34,35] задач вида (1.2)-(1.5), а также их обобщений для неоднородных сред в диссертации не рассматривается. В связи с этим, отметим, что, несмотря на существование методов и подходов по «переносу» условий с бесконечности на границу некоторой конечной области, построение полей на основе конечноразностной аппроксимации с контролируемой погрешностью в любой точке (тем более их асимптотики на бесконечности) представляется проблематичным. Данное направление в вычислительных методах, по-видимому, перспективно для постановок задач, отличных от рассматриваемых в диссертации. Несмотря на успешное применение методов теории аналитических функций для двумерных задач, их применимость к трехмерным задачам весьма ограничена, поэтому такие методы в диссертации не рассматриваются. Основной прогресс последних десятилетий [24,27,36,37,38,39,52] в проблеме численного решения задач дифракции был связан со сведением задач к интегральным уравнениям. Методы интегральных уравнений для внешних граничных задач обладают тем преимуществом, что они сводят задачи в неограниченной трехмерной области к задачам на двумерной поверхности, причем уже удовлетворяющих условиям излучения на бесконечности [24]. 1.2. Методы дискретных особенностей (МДО) в математическом моделировании дифракции на экранах Для построения математических моделей на основе интегральных для дифракции акустических волн на плоских экранах традиционно применяется
20 классическая теория потенциала [26], заключающаяся в представлении решения в виде потенциалов простого или двойного слоя или их комбинации [40,41]. В случае задачи Неймана использование потенциала двойного слоя было связано со сложностями [24], возникающими из-за того, что нормальная производная потенциала двойного слоя с непрерывной плотностью в общем случае не существует на границе, а даже если и существует, то интегральное уравнение имеет сильную особенность. Численные методы в таких задачах могут строиться как за счет регуляризации [24,42], так и непосредственной дискретизацией получаемых сингулярных интегральных уравнений [24,28,40]. Начиная с 80-х годов прошлого века, исследователи всё больше отдают предпочтение моделированию процессов дифракции при помощи операторов, обобщающих интегральные, но порождаемых ядрами высокой сингулярности [28,38,43,44,45,46,91]. Определение Суперсингулярным 1.1. интегральным уравнением называется псевдодифференциальное уравнение [31] (порождаемое ядром r − λ , λ > n ), которое в теории МДО принято записывать в виде [28]: ∫ G где n G ⊂ ℜ , x0 ∈ G, r = f ( x, x0 ) ⋅u ( x0 ) ⋅ dx0 = F ( x ) rλ (1.7) n ∑ (x − x0 )2 , λ > n , i =1 f ( x, x0 ) - известная функция, F ( x ) - заданная функция, u ( x0 ) - неизвестная функция. При n = 2, λ = 3 оператор в уравнении (1.7) является гиперсингулярным интегральным оператором и может пониматься в смысле конечной части по Адамару.
21 Определение 1.2. ([28, стр. 131]) Конечная часть по Адамару определяется соотношением a. f . p.∫ σ где ⎡ ⎤ 2π ϕ (M 0 ) dσ M 0 = lim ⎢ ∫ dσ M 0 − ϕ (M )⎥ , 3 3 ε →0 ε M 0M ⎢σ σ ε M 0 M ⎥ ⎣ ⎦ ϕ (M 0 ) σ - поверхность, M ∈ σ - внутренняя точка, ∞ ϕ ∈ C0 (U ) , U - некоторое достаточно малое открытое множество на σ . В данной формуле подразумевается, что часть поверхности σ ε вырезается из σ прямым цилиндром, проведенным через границу круга Kε радиуса ε с центром в M , который расположен в касательной плоскости, построенной к поверхности σ в точке M . В начале 50-х годов ХХ века С.М.Белоцерковским был создан метод дискретных вихрей [48] для решения задач аэродинамики, где сингулярные уравнения возникают при моделировании обтекаемой поверхности вихревым слоем. При этом С.М. Белоцерковский использовал эвристические соображения, которые полностью подтвердились в численных экспериментах на ЭВМ. Позже удалось перенести эти идеи на задачи дифракции [49,50,51]. Начальные этапы применений метода дискретных вихрей и его обобщений – методов дискретных особенностей, а также их математическое обоснование изложены в работе [53]. Подробное исследование метода дискретных вихрей как численного метода решения сингулярных уравнений, изложение методов дискретных особенностей в задачах электродинамики и теории упругости, и соответствующий математический аппарат содержатся в монографии И.К.Лифанова [45]. В работе [43] по математическому моделированию дифракции волн в трехмерном пространстве на разомкнутых экранах произвольной формы с использованием уравнений с гиперсингулярными ядрами уравнений І рода и последовавших за ней работах [46,54] дискретизация ГСИУ осуществлялась
22 методом, который можно относить к методам дискретных особенностей, но который также близок к методу граничных элементов [55]. В 90-х годах прошлого века был разработан (первоначально – для задач аэродинамики) и изучен близкий к методу работы [43] метод дискретных замкнутых вихревых рамок, предназначенный для решения ГСИУ трехмерных задач [45]. В этом методе поверхность обтекаемого тела разбивается на одинаковые ячейки (как правило, квадратные), и по контуру каждой ячейки размещается вихревая нить неизвестной интенсивности. При этом поле скоростей ищется в виде суперпозиции скорости набегающего потока и скоростей, полей индуцируемых вихревыми рамками в соответствии с законом Био-Савара. Для нахождения неизвестных циркуляций вихревых рамок, на каждой рамке определенным образом выбирается точка коллокации (традиционно – в центре квадрата) и записывается граничное условие равенства нулю нормальной составляющей скорости [45]. В применении этого метода для численного решения задачи Неймана для скалярного уравнения Гельмгольца важную роль сыграли вычислительные эксперименты по моделированию дифракции волн на телах сложной формы [28,56]. Для исследования разрешимости ГСИУ некоторых задач, возникающих в аэродинамики и теории дифракции, а также сходимости к их решению приближений, полученных методом дискретных замкнутых вихревых рамок, И.К. Лифанов и Л.Н. Полтавский применили теорию псевдодифференциальных операторов [28,57,58]. интегрального При уравнения и этом искомое вопросы решение сходимости гиперсингулярного рассматривались в пространствах Соболева-Слободецкого. Определение 1.3. ([28, стр. 58]) Пространство Соболева-Слободецкого ( ) H s ℜn состоит, по определению, из обобщенных функций, преобразование Фурье которых является локально интегрируемой в смысле Лебега функцией ˆ u (ξ ) , такой, что
23 2 us= 2 2s ˆ ∫ u(ξ ) (1 + ξ ) dξ < ∞ , ℜn где s - любое действительное число, ξ = n ∑ ξi2 . i =1 В случае, когда в задаче дифракции вида (1.2)-(1.4) поверхность препятствия σ существование уравнения, является и частью единственность полученного плоскости, решений методом доказаны [28, ο u ( x ) ∈ H 1 / 2 (σ ) потенциала. Показана стр. 277] интегрального сходимость приближенных решений задачи (1.2)-(1.4) u ( x, h ) к точному u ( x ) ∈ H1 / 2 (σ ) по ο норме H r (σ ) для 0 < r < 1 при h → 0 . Для полученного гиперсингулярного 2 интегрального уравнения задачи (1.2)-(1.4) доказаны [28] существование и единственность решения для любой правой части из H −1/ 2 (Θ ) , где Θ - проекция σ на плоскость X 1OX 2 . Для системы линейных алгебраических уравнений, полученной по схеме метода дискретных замкнутых вихревых рамок, также доказаны существование решения при некотором наборе параметров и его сходимость в пространствах дробных отношений [28] к точному решению в ο u ( x ) ∈ H r (Θ ) для любого 0 ≤ r < 1 . Для суперсингулярного интегрального 2 уравнения (1.7) при λ = 3 и прямоугольной области G в работе [28] доказана слабая сходимость решения полученной СЛАУ к точному решению уравнения (1.7). Для ограниченной области G с границей класса C ∞ и правой частью ( ) F ∈ C ∞ (G ) получена оценка для всех точек M x1k1 , x2 k2 , находящихся на расстоянии δ > 0 от границы: ( ) ( ) 1 Qh x1k1 , x2 k2 − Q x1k1 , x2 k2 ≤ C (ε ) ⋅ h 4 , где Q( x1 , x2 ) - решение уравнения (1.7), −ε
24 Qh ( x1 , x2 ) - решение СЛАУ, полученной по схеме метода дискретных замкнутых вихревых рамок, для уравнения (1.7), ε > 0. Результаты [28] имеют важное значение для теоретического доказательства корректности постановок, однако, к сожалению, не достаточны для целей компьютерного моделирования. Поэтому было введено понятие практической сходимости приближенных решений при увеличении параметра дискретизации, которое проверяется на основе численных экспериментов [45]. Другим подходом к построению математической модели дифракции на основе интегральных уравнений, отличным от метода потенциала, но позволяющим использовать все преимущества методов дискретных особенностей, является недавно предложенный Ю. В. Ганделем метод параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов [59]. Он нашел свое применение при решении трехмерных задач дифракции на плоских препятствиях. Краевая задача вида (1.2)-(1.4), (1.6) для плоского экрана Ω   с использованием метода параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов сведена в [59] к граничному гиперсингулярному интегральному уравнению: 1 u (η )dη k 2 u (η )dη k 4 + + ∫ ∫ ∫ K (η − ζ )u(η )dη = f (ξ ) , 2π Ω η − ξ 3 4π Ω η − ξ 2 Ω где (1.7) ξ ∈Ω, K (ζ ) = 2π ζ ∞ ∫⎛ J 0 (t )dt 0 t + t −k ζ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 , J 0 (t ) - функция Бесселя порядка 0. Численное решение уравнения (1.7) получено методом дискретных замкнутых вихревых рамок в [60].
25 Для трехмерных плоскопараллельных задач дифракции структурах метод электромагнитных параметрических волн на представлений псевдодифференциальных и гиперсингулярных интегральных операторов развит в [61], где для дискретизации полученной системы гиперсингулярных интегрального уравнения также применён подход метода дискретных замкнутых вихревых рамок. Отметим, что векторная задача дифракции в трехмерном пространстве не распадается на несколько скалярных задач, как это происходит в двумерном случае [25]. Поэтому результаты [61], относящиеся к выводу системы граничных уравнений, не могут быть применены или адаптированы для случая дифракции акустических волн (в трёхмерной постановке), как и наоборот. 1.3. Компьютерное моделирование дифракции на экранах на основе методов дискретных особенностей Под компьютерным инструментарием для моделирования физических процессов на основе математических моделей этих процессов, мы в соответствии с [62], понимаем набор взаимодействующих программ (согласованных по функциям и форматам, имеющих единообразные и точно определенные интерфейсы), составляющих полное средство для решения поставленной задачи моделирования. Другими словами, такой инструментарий является специальным случаем программных систем моделирования для обеспечения фундаментальных научных исследований. Он более гибок по сравнению с отдельными программами моделирования физических процессов, которые допускают только варьирование определённых числовых параметров и не предназначены для повторного использования своих компонент в других прикладных программах.
26 Численная эффективность и прозрачность алгоритмической схемы методов дискретных особенностей обеспечили их применение к компьютерному моделированию физических процессов с момента построения метода дискретных вихрей [49]. Разрабатывавшиеся к настоящему времени компьютерные программы, реализующие методы дискретных особенностей в дифракционных задачах с исследовательскими целями, упоминаются в большинстве работ данного направления (которые принято представлять статьями в трудах симпозиумов МДОЗМФ, например, в [63] из 11 статей данного направления 6 прямо ссылаются на вычислительные эксперименты). В большинстве случае они создаются с целью апробации новых вычислительных методов, но не дорабатываются авторами до систем компьютерного моделирования, которые могут быть переданы другим ученым для исследований в области акустики, радиофизики или радиоэлектроники (например, в [63] ни одной такой системы не упомянуто). Известно всего несколько сообщений в Интернете о публикации программных систем моделирования дифракции в трёхмерной постановке с использованием подхода МДО, из которых вполне апробирована и известна система ЭДЭМ 3D [64]. Инструментарий компьютерного моделирования методами дискретных особенностей не существует для двумерных задач дифракции, несмотря на то, что базовые алгоритмы опубликованы в учебном пособии [65], а приложения в фундаментальных и прикладных областях получили признание [66,67]. Поиск в Интернете доступа к компьютерному инструментарию решения задач дифракции акустических волн на плоскопараллельных структурах любыми методами в резонансном диапазоне (или в общих постановках) не позволил обнаружить ни таких систем, ни хотя бы описания проектов. Поэтому по вопросам создания такого компьютерного инструментария можно учитывать только опыт создания программного обеспечения для применений методов дискретных особенностей в моделировании физических процессов (явлений) другой природы. Имеются сообщения о таких системах,
27 например, САПР «Сударушка» [68], «Программа расчета обтекания летательных аппаратов на режимах сверхманевренности методом дискретных вихрей» [69], узкоспециализированная программа численного моделирования движения жидкости CATRAN [70], применяемая в кораблестроении. Эти системы, реализующие математические модели аэрогидродинамики, очевидно нельзя применить с целью компьютерного моделирования дифракции. Поэтому, их рассмотрение дает разработчикам систем компьютерного моделирования дифракции мало полезной информации помимо образцов интерфейса пользователя и подходов к декомпозиции сложных задач. В публикациях отсутствуют сведения, как о внешней экспертизе качества этих систем, так и о результатах самоанализа качества продукции и процесса её создания со стороны авторов. Возвращаясь к более подробному анализу публикаций по программной системе ЭДЭМ 3D («ЭлектроДинамика Элементов из Металла») [46,54,64,71], отметим, что эта система предназначена для идеально проводящих структур, допускающих аппроксимацию набором поверхностей базовых форм, и позволяет приближенно исследовать рассчитывать определённые электромагнитное электродинамические поле, а также характеристики таких структур. В качестве базовых форм определены плоские треугольники и четырехугольники, спирали, диски, кольца и их сектора, замкнутые и незамкнутые поверхности вращения и цилиндрические поверхности, образованные кривыми второго порядка и двумерными сплайн-линиями, а также поверхности, «натянутые» на трехмерные сплайн-линии. Метод решения системой ЭДЭМ 3D сложных задач охарактеризован авторами (без подробностей) как полуэвристический [72], отталкивающийся от математической модели на основе системы интегральных уравнений и метода дискретизации [43]. Указанный метод, как сказано выше, можно относить к классу МДО [54], а также к методам граничных элементов [55]. Как вытекает из авторского описания системы ЭДЭМ 3D [72], анализируемые объекты могут находиться в свободном пространстве или над
28 проводящей бесконечной плоскостью, но система неприменима к задачам в слоистых средах, включая и плоскопараллельные системы. Неотъемлемым аспектом современного использования программного обеспечения является вопрос его соответствия требованиям общих и специальных стандартов. При этом интерес представляет качество объектов (программных систем или их компонентов), под которым в литературе и документах понимается (см. стандарт ISO 9001:2000 [73]) степень соответствия характеристик стандартов объекта могут определённым трактоваться требованиям. довольно Требования широко, что общих предполагает конкретизацию модели качества для различных классов объектов (то есть, в нашем случае, программ) [74]. Общим требованием к программным системам является, конечно, их способность удовлетворять определенные потребности в соответствии с их назначением. В то же время модель качества определяет способ сопоставления программной системе числовых значений и способ их содержательной трактовки в соответствии с особенностями данного класса систем [74]. Структура модели и принципы сопоставления числовых характеристик (и, обычно, примеры) задаются стандартами верхнего уровня (международными и национальными). Особенности систем определённого класса учитываются в документах (фактических стандартах), которые принимают формальные или неформальные группы и организации, заинтересованные в обеспечении качества программного обеспечения данного класса. Стандартом верхнего уровня при рассмотрении качества систем компьютерного моделирования физических процессов следует рассматривать ISO/IEC 9126 1:2001 «Программная инженерия – Качество продукции – Часть 1: качество продукции» [75] и две его следующие части ISO/IEC TR 9126 2:2003 «Часть 2: Внешние метрики» и ISO/IEC TR 9126 3:2003 «Часть 3: Внутренние метрики». Они определяют шесть характеристик, допускающих интегральную (числовую) и комплексную (векторную) оценки: - функциональность (способность выполнять заданные функции);
29 - надежность (сохранение работоспособности – гарантия того, что вычислительный процесс не прервется в заданных условиях); - практичность (способность быть понятным, изучаемым и применимым для пользователей - гарантия того, что ошибки не будут сделаны от непонимания пользователем интерфейса программы); - эффективность (соответствие используемых ресурсов выполняемым функциям); - сопровождаемость (возможность модифицирования, которое включает в себя исправления, улучшения и адаптацию к изменениям требований); - переносимость (способность быть переносимым из одной среды выполнения в другую). Для полноты, каждая характеристика должна описываться так называемыми метриками (около десяти из них на выбор рекомендуются самим стандартом и можно добавлять еще), которые группируются и усредняются в соответствии с подхарактеристиками, определёнными в стандарте. Всякая метрика (или, иногда говорят, «мера» [76]) определяет требуемые измерения по исходным текстам программ или в процессе (или по результатам) специально организованного их выполнения, а также формулу подсчёта числового (иногда – рангового) значения и интерпретацию смысла этой величины. Отметим, что определяется также техника подсчётов и применения разных шкал, которая обеспечивает, чтобы средние оценки всех метрик каждой подхарактеристики лежали на отрезке [0,1] и могли считаться тем лучшими, чем ближе они к 1 (а для некачественной продукции были бы близки к 0). Конкретная модель качества для программных систем компьютерного моделирования дифракции (акустических или электромагнитных волн) сейчас только складывается. Начало ей положили работы В.О. Мищенко, который, прежде всего, заметил, что некоторые проблемы с качеством программ данного назначения из дипломных работ студентов-выпускников механико- математического факультета ХНУ имени В.Н.Каразина получают объяснение в терминах, так называемых, «научных метрик» Холстеда [77]. Эти метрики [78]
30 (точнее, их обобщения для современных программ [76]) с точки зрения качества программ трактуются документом IEEE 982.2-1988 «Руководство по использованию Стандартного Словаря IEEE по измерениям при производстве надёжного программного обеспечения» [79], который, таким образом, тоже необходимо присоединять к числу стандартов, формирующих модель качества для систем рассматриваемого класса. Обсуждаемые метрики для «простых программ» определяются следующим образом (термины и обозначения по версии [76, см. стр. 11-13, 20-21]): ( ) ( ) ∗ ∗ V ∗ = η 2 + 2 ⋅ log η 2 + 2 , (η ⋅ log(η ))2 , A= (1.8) (V ) E= (1.9) V∗ ∗ 3 λ2 где , ∗ η 2 – число различных входных и выходных параметров алгоритма, определенного рассматриваемой программой,   η – словарь программы (число различных программных символов, использованных в программе),   λ – уровень языка программирования (средние значения уровней многих универсальных языков программирования известны, например, для Фортрана непосредственно измеренное среднее λ = 1.14 [78], для Ады среднее λ   обычно принималось около 1.5, но по косвенной статистической оценке могло бы составлять 1.66-1.77 [76]). Применимость любых содержательных, включая корректность подсчёта их значений, требуют отдельных исследований. Например, такие исследования в отношении корректного обобщения научных метрик на современные программы
31 (использующие раздельную компиляцию модулей в сочетании с подходами структурного и объектно-ориентированного программирования) опубликованы в [76,80,81,82]. Эти метрики могут быть использованы в моделях оценки качества программных систем моделирования дифракции (см. [76]), согласованных со стандартами [75,79,83]. Компьютерное моделирование на основе МДО используется не только для изучения физических явлений, но и с целью определения свойств используемых вычислительных методов в приложениях. Например, была исследована практическая сходимость метода дискретных особенностей, основанного на применении потенциалов, в задаче дифракции волн на круглых экранах в однородном пространстве [84]. Традиционно об адекватности численного эксперимента судят по виду полученной диаграммы направленности [28,36,38]. Для преодоления вычислительных трудностей, которые возникаю в связи с дискретизацией моделей на основе гиперсингулярных (и некоторых других) интегральных уравнений модели иногда применяется метод наименьших квадратов [85,86,87]. Другой метод упрощения моделей, применяемый для сильно вытянутых рассеивателей, состоит в представлении искомой функции на поверхности этого рассеивателя в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной из координат параметризации поверхности [88,89]. 1.4. Выводы по разделу 1 Осуществлён обзор физических аспектов и существующих математических моделей задач дифракции акустических волн на плоских экранах и установлена их связь с задачами, рассмотренными в диссертации. Из проделанного обзора видно, что значительный вклад в разработку методов математического моделирования дифракции волн в пространстве, в том
32 числе и в неоднородном, внесли Л.М.Бреховских, К.Вестпфаль, Е.В.Захаров, Д.Колтон, Р.Кресс, А.Мауэ, З.Т.Назарчук, Ю.В.Пименов, Л.М.Полтавский, С.Л.Просвирнин, использованием дифракции С.И.Смагин, методов О.И.Сухаревский, дискретных рассматривали Х.Хёнл особенностей Ю.В.Гандель, и задачи Е.В.Захаров, др. С трехмерной И.К.Лифанов, В.О. Мищенко, Ю.В.Пименов, В.А.Щербина и др. На основе проведенного делаем вывод о фактическом отсутствии работ по решению задач дифракции акустических волн на плоскопараллельных структурах, составленных из жестких экранов и слоев с постоянными физическими свойствами, а также общедоступного для исследователей компьютерного инструментария, позволявшего бы моделировать такие дифракционные процессы в резонансном диапазоне. Следовательно, весьма актуальным и перспективным является проведение исследований с целью создания и численной реализации математических моделей дифракции акустических волн на плоскопараллельных структурах на основе граничных гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода. Cовременное состояние программного обеспечения компьютерного моделирования дифракционных процессов на основе МДО требует, чтобы эти исследования сопровождались воплощением вычислительных методов в форме компьютерного инструментария, который бы допускал развитие программной системы и был разработан с использованием системы контроля качества.
33 РАЗДЕЛ 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ НА ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СТРУКТУРАХ НА ОСНОВЕ ГРАНИЧНЫХ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ При постановке краевых задач дифракции в трехмерном пространстве на плоскопараллельных структурах, составленных из жестких экранов и слоев с постоянными физическими свойствами, используется известный подход, когда падающее поле моделируется с учетом неоднородности пространства. Для рассмотренных задач доказывается единственность решения и строятся граничные псевдодифференциальные уравнения. 2.1. Постановки краевых задач дифракции на трехмерных плоскопараллельных структурах Рассмотрим задачу (далее – основная задача) дифракции акустических волн в пространстве ℜ 3 на абсолютно жестком тонком ограниченном плоском экране ∑ , лежащем на плоской границе раздела двух сред (полупространств) с различными физическими характеристиками (рис. 2.1). Определение 2.1. Под экраном будем понимать подмножество ∑ { } плоскости x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ3 | x3 = 0 , ограниченное на этой плоскости границей, составленной из конечного количества кривых класса C 2 . В верхнем полупространстве { } D+ = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ3 | x3 > 0 (2.1)
34 плотность принимается постоянной и равной ρ+ > 0 , а в нижнем полупространстве { } D− = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ3 | x3 < 0 (2.2) плотность также принимается постоянной и равной ρ − > 0 . Рис. 2.1. Основная задача - абсолютно жесткий тонкий ограниченный плоский экран, находящийся на границе полупространств Падающая волна и, соответственно, рассеянное поле считаются имеющими постоянную частоту ω > 0 , так что волновые числа в верхнем и нижнем полупространствах соответственно равны [90]: k+ = k− = ω a+ ω a− > 0, x ∈ D+ , (2.3) > 0, x ∈ D− , (2.4) где a+ и a− - постоянные скорости распространения волны соответственно в верхнем и нижнем полупространствах.
35 Будем рассматривать в средах поле давлений, отражающих процесс распространения волн, в виде [26]: π ( x, t ) = ν ( x ) ⋅ e −iωt . (2.5) В дальнейшем мы будем интересоваться только амплитудами v( x ) , которые также имеют размерность давления. В плоскости раздела сред { } D0 = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ3 | x3 = 0 (2.6) рассматривается абсолютно жесткий тонкий ограниченный плоский экран Σ ⊂ D0 , жестко отражающий падающую волну в том смысле [24], что ∂v ∂v = ∂n ∑ ∂x3 = 0 , ~ = ( x1 , x2 ) ∈ ∑ , x (2.7) x3 =0 r где n = (0,0,1) - орт нормали к плоскости экрана. Поле p( x ), x ∈ ℜ 3 в верхнем полупространстве D+ (2.1) в отсутствии экрана ∑ может быть построено как суперпозиция падающей плоской волны p0 ( x ) и поля p+ ( x ), x ∈ D+ , отраженного от раздела сред (при этом, не ограничивая общности, можно считать плоскостью падения волны плоскость X 1 0X 3 ): ( ) p( x ) = p0 ( x ) + p+ ( x ) = e −ik+ x3⋅cosϕ + V ⋅ e ik+ x3⋅cosϕ ⋅ e −ik+ x1⋅cosϕ , x ∈ D+ , (2.8) где ϕ0 - угол падения падающей волны p0 ( x ) на D0 ;   r k + = k + (sin ϕ ,0,− cosϕ ) - волновой вектор в полупространстве D+ ;
36 V - коэффициент отражения границы раздела [33], зависящий от плотностей ρ + и ρ − . Поле p( x ), x ∈ ℜ3 в нижнем полупространстве D− (2.2) будем считать [33] образованным только волной p− ( x ), x ∈ D− , вызванной преломлением p0 ( x ) на границе раздела сред: p( x ) = p− ( x ) = W ⋅ e ik− ( x1⋅sin ϕ0 − x3 cosϕ0 ) , x ∈ D− , (2.9) где ϕ 0 - угол преломления падающей волны p0 ( x ) при переходе через D0 ;   r k − = k − (sin ϕ 0 ,0,− cosϕ 0 ) - волновой вектор в полупространстве D− ; W - коэффициент прозрачности границы раздела [33]. Таким образом, в нашей модели «падающее поле» p( x ), x ∈ ℜ3 во всем неоднородном пространстве будем рассматривать в следующей форме: ( ) ⎧ e −ik+ x3⋅cosϕ + V ⋅ e ik+ x3⋅cosϕ ⋅ e ik+ x1⋅sin ϕ , x ∈ D+ , p=⎨ ik − ( x1⋅sin ϕ0 − x3 cos ϕ0 ) , x ∈ D− . ⎩W ⋅ e (2.10) В частности, выбранное нами поле p( x ), x ∈ ℜ 3 удовлетворяет граничным условиям на разделе сред, которые приняты в акустике [33]: - непрерывность при переходе через D0 p x =+0 = p x =−0 , ~ ∈ ℜ 2 ; x 3 3 (2.11)
37 - «условие непрерывности импеданса» 1 ∂p ρ + ∂x3 = x3 = +0 1 ∂p ρ − ∂x3 , ~ ∈ ℜ2 . x (2.12) x3 = −0 Вследствие (2.11) для поля (2.10) выполняется закон преломления Снеллиуса, который имеет вид k + sin ϕ = k − sin ϕ 0 . Cледовательно, 2 ⎛k ⎞ cos ϕ 0 = 1 − ⎜ + ⎟ sin 2 ϕ . ⎜k ⎟ ⎝ −⎠ (2.13) В нашей постановке введем условия отсутствия комплексных волн в следующей форме: 2 ⎛ k+ ⎞ 1 ⎜ ⎟ ≤ . ⎜k ⎟ sin 2 ϕ ⎝ −⎠ (2.14) Замечание 2.1. Следствиями условия (2.14) будут условия на параметры процесса моделирования, а именно: 1. если среда в D+ более плотная, чем в D− (т.е. k + < k− ), тогда неравенство (2.14) верно всегда; 2. в случае нормального падения ( ϕ = 0 ) неравенство (2.14) верно всегда; 3. если же более плотная среда в D− , тогда в процессе моделирования ⎛ k ⎤ должны рассматриваться случаи, где угол падения ϕ ∈ ⎜ 0, arcsin − ⎥ . ⎜ k+ ⎦ ⎝ Полное, то есть фактически наблюдаемое в присутствии экрана поле v( x ), x ∈ ℜ 3 , будем искать в виде [24]:
38 v( x ) = p( x ) + w( x ) , x ∈ ℜ3 , (2.15) где w( x ), x ∈ ℜ3 - рассеянное экраном ∑ поле, которое необходимо определить. Для определения рассеянного поля w( x ), x ∈ ℜ3 рассматриваем следующие формальные условия [24], которые вытекают из имеющих физическую интерпретацию условий на наблюдаемые поля p( x ) и v( x ) : 1. Выполнение уравнений Гельмгольца вне экрана: 2 2 Δw + k + w = 0 , x ∈ D+ , Δw + k − w = 0 , x ∈ D− . (2.16) 2. Краевые условия в плоскости D0 : а) Жесткое рассеяние на экране ∑ в смысле (2.7). ∂v ∂x3 = x3 = −0 ∂w ∂x3 ∂w ∂x3 ∂v ∂x3 , ~ ∈ ∑ ⇒ (используя (2.15)) ⇒ x x3 = +0 x3 = −0 ∂p ∂x3 x3 = −0 x3 = +0 ∂p =− ∂x3 x3 = +0 =− , ~∈∑. x (2.17) Следовательно, с учетом (2.12): 1 ∂w ρ − ∂x3 = x3 = −0 1 ∂w ρ + ∂x3 ,~∈∑. x (2.18) x3 = +0 б) Непрерывность поля v( x ) и импеданса при переходе через плоскость D0 , в которой находится экран ∑ :
39 w x =−0 = w x =+0 , 3 3 1 ∂w ρ − ∂x3 = x3 = −0 1 ∂w ρ + ∂x3 , ~ ∈ ℜ2 Σ . x (2.19) x3 = +0 3. Условие на бесконечности (условие Зоммерфельда), состоящее в подобии уходящей сферической волне [26] и выполняющееся равномерно по всем направлениям x x : ⎛x ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ , grad w( x) ⎟ − ik ± w( x) = o⎜ ⎟, w( x) = O⎜ ⎟, ⎜x ⎟ ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x →∞. (2.20) 4. Условие конечности энергии поля [23,27] (условие Мейкснера) в окрестности U ∂ ∑ (ε ) края экрана ∂ ∑ , где ε - малое положительное: ∫ (w 2 + ∇w U ∂ ∑ (ε ) 2 )dx < ∞ . (2.21) Следующим вариантом рассматриваемых нами плоскопараллельных структур есть специальный вариант (рис. 2.2), когда в основной задаче полупространства D+ и D− имеют одинаковые физические характеристики ( ρ + = ρ − = ρ , k + = k − = k , a+ = a− = a ), а абсолютно жесткий тонкий ограниченный плоский экран ∑ находится в плоскости D0 (2.6) на расстоянии d >0 от стенки { } D∗ = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ 3 | x3 = − d , обладающей свойством абсолютной жесткости: ∂v ∂x3 = 0. x∈D∗ (2.22)
40 Рис. 2.2. Специальный вариант - абсолютно жесткий тонкий ограниченный плоский экран, находящийся над абсолютно жесткой стенкой в однородном пространстве { Обозначим через D = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ 3 | x3 > − d } полупространство над жесткой стенкой D∗ . Падающее поле p( x ), x ∈ D рассматриваем в виде плоской акустической волны [24], пришедшей от бесконечно далёкого источника, с учётом отражения от жесткой стенки D∗ , которое имело бы место при отсутствии там рассеивающего экрана Σ : ( ) p( x ) = p0 ( x ) + p+ ( x ) = e −ik ⋅x3⋅cosϕ + e ik ⋅x3⋅cosϕ ⋅ e −ik ⋅x1⋅cosϕ , x ∈ D , где ϕ0 - угол падения падающей волны p0 ( x ) на D∗ ;   (2.23) r k = k ⋅ (sin ϕ ,0,− cos ϕ ) - волновой вектор в полупространстве D . Краевое условие для поля p( x ), x ∈ D следует из условия (2.22) абсолютной жесткости стенки D∗ и имеет вид: ∂p ∂x3 = 0 , ~ ∈ ℜ2 . x x3 = − d + 0 (2.24)
41 Полное, то есть фактически наблюдаемое в процессе рассеяния (в присутствии рассеивающего экрана ∑ ) поле, будем искать в виде [24]: v( x ) = p( x ) + w( x ) , x ∈ D , (2.25) где w( x ), x ∈ D - рассеянное экраном ∑ поле, которое необходимо определить. Для нахождения рассеянного поля w( x ), x ∈ D рассматриваем следующие формальные условия [24], которые вытекают из имеющих физическую интерпретацию условий на наблюдаемые поля p( x ) и v( x ) : 1. Выполнение уравнения Гельмгольца вне экрана: Δw + k 2 w = 0 , x ∈ D ∑ . (2.26) 2. Краевые условия для w( x ) , определяемые необходимым поведением поля: а) Жесткое рассеяние на экране ∑ в смысле (2.7): ∂v ∂x3 x3 =0 ∂v = 0, ~∈∑ ⇒ x ∂x3 = x3 = −0 ∂v ∂x3 , ~∈∑. x x3 = +0 Используя (2.25) и факт непрерывности поля скоростей падающего поля при переходе через плоскость D0 , получаем: ∂w ∂x3 =− x3 =0 ∂p ∂x3 , ~∈∑. x (2.27) x3 =0 б) Непрерывность поля v( x ) при переходе через плоскость D0 , в которой находится экран ∑ : v x =−0 = v x =+0 , ~ ∈ ℜ 2 Σ . x 3 3
42 Используя соотношение (2.25) и факт непрерывности падающего поля при переходе через плоскость D0 , получаем: w x =−0 = w x =+0 , ~ ∈ ℜ 2 Σ . x 3 (2.28) 3 в) Условие жесткого рассеяния на стенке D∗ . Из условия (2.22) и соотношения (2.25) следует, что ∂w ∂x3 = 0 , ~ ∈ ℜ2 . x (2.29) x3 = − d + 0 3. Условие на бесконечности (условие Зоммерфельда), состоящее в подобии уходящей сферической волне [26] и выполняющееся равномерно по всем направлениям x x : ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎞ ⎛x ⎜ , grad w( x) ⎟ − ik ⋅ w( x) = o⎜ ⎟, w( x) = O⎜ ⎟, ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎟ ⎜x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ x →∞. (2.30) 4. Условие конечности энергии поля [23,27] (условие Мейкснера) в окрестности U ∂ ∑ (ε ) края экрана ∂ ∑ , где ε - малое положительное: ∫ (w U ∂ ∑ (ε ) 2 + ∇w 2 )dx < ∞ . (2.31) Обобщением (рис. 2.3) предыдущего специального варианта является случай (далее – модифицированная задача), когда в базовой задаче абсолютно жесткий тонкий ограниченный плоский экран ∑ лежит в плоскости D0 раздела двух сред с различными физическими характеристиками на расстоянии d > 0 от
43 { } стенки D∗ = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ 3 | x3 = −d , обладающей свойством абсолютной жесткости (2.22). Рис. 2.3. Модифицированная задача – абсолютно жесткий тонкий ограниченный плоский экран, находящийся в плоскости раздела сред над абсолютно жесткой стенкой Обозначим { } D− = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ3 | −d < x3 < 0 , { а верхнее } полупространство, как и ранее, D+ = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ 3 | x3 > 0 . Как и в основной задаче, падающее поле p( x ), x ∈ D рассматривается в виде, учитывающем неоднородность пространства (наличие стенки и раздела двух сред): ( ) ⎧ e −i⋅k+ cosϕ ⋅x3 + V ⋅ e i⋅k+ cosϕ ⋅x3 ⋅ e i⋅k+ sin ϕ ⋅x1 , x ∈ D+ , ⎪ −i⋅k+ ⋅cosϕ ⋅d p = ⎨e + Ve i⋅k+ ⋅cosϕ ⋅d −i⋅k− ⋅cosϕ0 ⋅x3 + e i⋅k− ⋅cosϕ0 ⋅x3 ⋅ e i⋅k− ⋅sin ϕ0 ⋅x1 , x ∈ D− . ⎪ e −i⋅k− ⋅cosϕ0 ⋅d + e i⋅k− ⋅cosϕ0 ⋅d e ⎩ ( ) (2.32) Краевые условия для p( x ), x ∈ D записываем в виде [33]:
44 - непрерывность при переходе через плоскость D0 : p x =+0 = p x =−0 , ~ ∈ ℜ2 ; x 3 (2.33) 3 – «условие непрерывности импеданса»: 1 ∂p ρ + ∂x3 = x3 = +0 1 ∂p ρ − ∂x3 , ~ ∈ ℜ2 ; x (2.34) x3 = −0 - свойство абсолютной жесткости стенки D∗ : ∂p ∂x3 = 0 , ~ ∈ ℜ2 . x (2.35) x3 = − d + 0 Аналогично базовой задаче, требуем выполнения условия (2.14). Полное, то есть фактически наблюдаемое в присутствии экрана поле v( x ), x ∈ D , будем искать в виде [24]: v( x ) = p( x ) + w( x ) , x ∈ D , (2.36) где w( x ), x ∈ D - рассеянное экраном ∑ поле, которое необходимо определить. Для определения рассеянного поля w( x ), x ∈ D рассматриваем следующие формальные условия [24], которые вытекают из имеющих физическую интерпретацию условий на наблюдаемые поля p( x ) и v( x ) : 1. Выполнение уравнений Гельмгольца вне экрана: 2 2 Δw + k + w = 0 , x ∈ D+ , Δw + k − w = 0 , x ∈ D− . (2.37)
45 2. Краевые условия, определяемые необходимым поведением поля: а) Жесткое рассеяние на экране ∑ , в смысле (2.7): ∂v ∂x3 x3 =0 ∂v = 0, ~∈∑ ⇒ x ∂x3 ∂w ∂x3 ∂w ∂x3 x3 = −0 ∂p ∂x3 x3 = −0 x3 = +0 ∂p =− ∂x3 = x3 = −0 ∂v ∂x3 , ~ ∈ ∑ ⇒ (используя (2.36)) x x3 = +0 x3 = +0 =− , ~∈∑. x (2.38) Заметим, что из формулы (2.38), с учетом (2.34), следует: 1 ∂w ρ − ∂x3 = x3 = −0 1 ∂w ρ + ∂x3 , ~∈∑. x (2.39) x3 = +0 б) Непрерывность поля v и импеданса при переходе через плоскость x экрана: v x =−0 = v x =+0 , ~ ∈ ℜ2 Σ ⇒ (используя (2.33) и (2.36)) ⇒ 3 3 w x =−0 = w x =+0 , 3 3 1 ∂w ρ − ∂x3 = x3 = −0 1 ∂w ρ + ∂x3 , ~ ∈ ℜ2 Σ . x (2.40) x3 = +0 в) Жесткое рассеивание на стенке D∗ : ∂v ∂x3 = 0 , ~ ∈ ℜ2   ⇒ (используя (2.35) и (2.36)) ⇒ x x3 = − d + 0 ∂w ∂x3 = 0 , ~ ∈ ℜ2 . x x3 = − d + 0 (2.41)
46 3. Условие на бесконечности (условие Зоммерфельда), состоящее в подобии уходящей сферической волне [26] и выполняющееся равномерно по всем направлениям x x : ⎛x ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ , grad w( x) ⎟ − ik ± w( x) = o⎜ ⎟, w( x) = O⎜ ⎟, ⎜x ⎟ ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x →∞. (2.42) 4. Условие конечности энергии поля [23,27] (условие Мейкснера) в окрестности U ∂ ∑ (ε ) края экрана ∂ ∑ , где ε - малое положительное: ∫ (w 2 + ∇w U ∂ ∑ (ε ) 2 )dx < ∞ . (2.43) 2.2. Единственность решения рассматриваемых краевых задач Как известно, одним из этапов обоснования корректности постановок является доказательство существования и единственности решения поставленных задач. Следуя [28], обозначим через H 1 (Ω ) , где Ω - область в ℜ 3 , класс функций, состоящий из интегрируемых с квадратом функций, чьи первые обобщенные производные тоже интегрируемые с квадратом.
47 Теорема 2.1 (о единственности решения основной задачи). Если функции w1 = w1 ( x ) и w2 = w2 ( x ) удовлетворяют условиям (2.16)(2.21) и принадлежат классу ( ) H 1 ℜ3 Σ , где Σ - экран в понимании Определения 2.1, тогда w1 = w2 . Доказательство. □ Обозначим сужение функции w1 на полупространство D+ через w1 , а её + сужение на полупространство D− через w1 . Тогда требование удовлетворения − { } условиям (2.16)-(2. 21) для функции w1 = w1 , w1 будет означать: + − 2 2 Δw1 + k + w1 = 0 , ( x ∈ D+ ) и Δw1 + k − w1 = 0 , ( x ∈ D− ) ; + + − − 1 ∂w1 − ρ − ∂x3 w1 − x3 = −0 1 ∂w1 − ρ − ∂x3 x 3 = −0 = w1 + x3 = −0 1 ∂w1 + = ρ + ∂x3 x3 = +0 (2.44) (~ ∈ ∑ ) ; x (2.45) x 3 = +0 , 1 ∂w1 + = ρ + ∂x3 ( ) , ( x1 , x2 ) ∈ ℜ 2 Σ ; (2.46) x 3 = +0 ⎛x ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ , grad w1 ( x) ⎟ − ik − w1 ( x) = o⎜ ⎟, w1 ( x) = O⎜ ⎟, − − − ⎜x ⎟ ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x →∞, ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎞ ⎛x ⎜ , grad w1 ( x) ⎟ − ik + w1 ( x) = o⎜ ⎟, w1 ( x) = O⎜ ⎟, + + + ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎟ ⎜x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ x →∞; ⎛ w1 2 + ∇w1 2 ⎞ dx < ∞ , + ⎟ ∫ ⎜ + ⎝ ⎠ + U (ε ) ∂∑ где U + ∂ ∑ (ε ) - окрестность края экрана ∂ ∑ в полупространстве D+ . (2.47) (2.48)
48 { } 1 1 Заметим, что для функции w1 = w+ , w− (где черта означает комплексное сопряжение) также выполняются в точности условия (2.44), (2.45), (2.46) и (2.48), а в условии (2.47) разность величин меняется на их сумму: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛x 1 1 1 ⎜ , grad w− ( x) ⎟ + ik − w− ( x) = o⎜ 1 ⎟, w− ( x) = O⎜ 1 ⎟, ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎟ ⎜x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ x →∞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎞ ⎛x 1 1 1 ⎜ , grad w+ ( x) ⎟ + ik + w+ ( x) = o⎜ ⎟, w+ ( x) = O⎜ ⎟, ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎟ ⎜x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ x →∞. Аналогичным условиям удовлетворяют и функции { , (2.49) { 2 2 w2 = w+ , w− } и } 2 2 w2 = w+ , w− . ( ) Введем в рассмотрение функцию u = w1 − w2 , u ∈ H 1 ℜ 3 Σ , тогда 2 2 u = {u+ , u− }, где u+ = w1 − w+ , u− = w1 − w− . Теорема будет доказана, если мы + − покажем, что u+ ≡ 0 на D+ и u− ≡ 0 на D− . Отметим, что функции u = {u+ , u− } и u = {u+ , u− } удовлетворяют условиям (2.44) - (2.49) по построению. Пусть R R S R = S+ ∪ S− сфера достаточно большого радиуса R, охватывающая наш плоский экран Σ , который лежит на диаметре, разделяющем R R сферу на две полусферы S + и S − . В связи с тем, что наш экран имеет ребра, окружим его поверхностью Σε = Σε ∪ Σε в виде кольцеобразного валика с малым радиусом ε .  + − Пусть T+R и T−R - области, ограниченные поверхностью Σε , разрезом P и сферой S R (рис. 2.4). В областях T+R и T−R , для функций u = {u+ , u− } и u = {u+ , u− } применима вторая формула Грина:
49 ⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ∂u + + + + ∫ (u+ Δu+ − u+ Δu+ )dτ = ∫ ⎜ u+ ∂n+ − u+ ∂n+ ⎟dσ + ∫ ⎜ u+ ∂n+ − u+ ∂n+ ⎟dσ + ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 0= R T+ R S+ R Σ+ ⎛ ∂u ∂u ⎞ + ∫ ⎜ u + + − u+ + ⎟dσ ,  ⎜ ∂n ∂n+ ⎟ ⎠ + P⎝ ⎞ ⎛ 0=   (2.50)   ⎞ ⎛ (u− Δu− − u− Δu− )dτ = ∫ ⎜ u− ∂u− − u− ∂u− ⎟dσ + ∫ ⎜ u− ∂u− − u− ∂u− ⎟dσ + ∫ ⎜ ∂n ⎜ ∂n ∂n ⎟ ∂n ⎟ R S− ⎝ ⎝ − ⎛ ∂u ∂u ⎞ + ∫ ⎜ u− − − u− − ⎟dσ .  ⎜ ∂n ∂n− ⎟ ⎠ − P⎝ R T−   − − ⎠ R Σ− − ⎠   (2.51) Рис 2.4. Вид областей для доказательства теоремы единственности Рассмотрим следующее выражение: Λ= ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂u ⎞ 1 ⎛ ∂u − − u − − ⎟dσ =   ⋅ ∫ ⎜ u− ⋅ ∫ ⎜ u + + − u + + ⎟dσ + ρ + P ⎜ ∂n+ ρ − P ⎜ ∂n− ∂n− ⎟ ∂n+ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1 ⎛ 1 ∂u ⎞ ∂u ∂u ∂u 1 1 1 ⋅ u − − ⎟dσ ⋅ u− − − ⋅ u+ + + = ∫⎜ ⋅ u+ + − ⎜ρ ∂n− ⎟ ∂n− ρ − ∂n+ ρ − ∂n+ ρ + ⎠ P⎝ +
50 Очевидно, что на поверхности P выполняется равенство ∂ ∂ =− , ∂n− ∂n+ следовательно, ⎛ 1 ∂u ∂u ⎞ ∂u ∂u 1 1 1 Λ = ∫⎜ ⋅ u+ + − ⋅ u+ + − ⋅ u− − + ⋅ u − − ⎟dσ ⎜ρ ∂n+ ρ + ∂n+ ρ − ∂n+ ρ − ∂n+ ⎟ ⎠ P⎝ + .  Пользуемся условием (2.46) и получаем, что ⎛ 1 ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞ 1 1 1 Λ = ∫⎜ ⋅ u+ + − ⋅ u+ − − ⋅ u− + + ⋅ u − − ⎟dσ = ⎜ρ ∂n+ ρ − ∂n+ ρ + ∂n+ ρ − ∂n+ ⎟ ⎠ P⎝ + ⎛ 1 ∂u 1 ∂u− ⎟ [u+ − u− ]⎞dσ = 0 .     ⋅ = ∫ ⎜ ⋅ + [u+ − u− ] − ⎜ ρ ∂n ⎟ ρ − ∂n+ ⎠ + P⎝ + Умножим обе части равенства (2.50) на 1 ρ+   , а равенства (2.51) на (2.52) 1 ρ− и сложим, пользуясь результатом (2.52): 0= 1 ρ+ ⋅ ⎛ ∂u+ ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂u ⎞ 1 ⎜ u+ − u+ + ⎟dσ + ⋅ ∫ ⎜ u+ + − u+ + ⎟dσ + ∫R ⎜ ∂n+ ∂n+ ⎟ ∂n+ ⎟ ρ + Σ R ⎜ ∂n+ ⎠ ⎝ ⎠ S+ ⎝ + + 1 ρ− ⋅ ⎛ ∂u ⎛ ∂u− ∂u ⎞ ∂u ⎞ 1 ⎜ u− ⋅ ∫ ⎜ u− − − u− − ⎟dσ . (2.53) − u− − ⎟dσ + ∫R ⎜ ∂n− ∂n− ⎟ ρ − Σ R ⎜ ∂n− ∂n− ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ S− ⎝ − R R Дифференцирование по внешней нормали для поверхностей S + и S − равносильно дифференцированию по радиусу сферы в соответствующей точке поверхности: ∂ ∂ ∂ = = . Воспользуемся условиями (2.47), (2.49) и выразим ∂n+ ∂n− ∂r производные по направлению:
51 ∂u + ∂u ⎛1⎞ ⎛1⎞ = −ik + u + + o⎜ ⎟ r → ∞ , + = ik + u + + o⎜ ⎟ r → ∞ , ∂r ∂r ⎝r⎠ ⎝r⎠ ∂u − ∂u ⎛1⎞ ⎛1⎞ = −ik − u − + o⎜ ⎟ r → ∞ , − = ik − u − + o⎜ ⎟ r → ∞ . ∂r ∂r ⎝r⎠ ⎝r⎠ Тогда ⎛ ∂u+ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ u+ − u+ + ⎟ = ⎜ u+ + − u+ + ⎟ = −2ik+ ⋅ u+ ⋅ u+ − u+ ⋅ o⎜ ⎟ + u+ ⋅ o⎜ ⎟ , ⎜ ∂n ∂n+ ⎟ ⎝ ∂r ∂r ⎠ ⎝r⎠ ⎝r⎠ ⎝ ⎠ + ⎛ ∂u− ∂u ⎞ ⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ u− − u− − ⎟ = ⎜ u− − − u− − ⎟ = −2ik− ⋅ u− ⋅ u− − u− ⋅ o⎜ ⎟ + u− ⋅ o⎜ ⎟ . (2.54) ⎜ ∂n ∂n− ⎟ ⎝ ∂r ∂r ⎠ ⎝r⎠ ⎝r⎠ ⎝ ⎠ − Подставляем выражение (2.54) в (2.53), получаем: 0= 1 ρ+ ⋅ ⎛ ∂u ⎞ ∂u ⎛ 1 ∂u ⎞ ∂u + + − − ∫ ⎜ u+ ∂n+ − u+ ∂n+ ⎟dσ + ρ − ⋅ ∫ ⎜ u− ∂n− − u− ∂n− ⎟dσ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ R Σ+ R Σ− − 2ik + ρ+ ⋅ ∫ u + ⋅ u + ⋅ dσ − R S+ 2ik − ρ− ⎛1⎞ ⋅ ∫ u − ⋅ u− ⋅dσ + F ⎜ ⎟ , ⎝R⎠ SR (2.55) − где 1 ⎡ ⎡ ⎛1⎞ 1 ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⋅ ∫ ⎢u + ⋅ o⎜ ⎟ − u + ⋅ o⎜ ⎟⎥ ⋅ dσ + ⋅ ∫ ⎢u − ⋅ o⎜ ⎟ − u − ⋅ o⎜ ⎟⎥ ⋅ dσ , F⎜ ⎟ = ρ− S R ⎣ ⎝ R ⎠ ρ + S+ ⎣ ⎝R⎠ ⎝ R ⎠⎦ ⎝R⎠ ⎝ R ⎠⎦ R − ⎛1⎞ причем F ⎜ ⎟ ⎯⎯ ∞ → 0 . ⎯ ⎝ R ⎠ R→ Рассмотрим более подробно интегралы по Σε и Σε . В силу выполнения + − условия Мейкснера (2.48) для функций u = {u+ , u− } и u = {u+ , u− } интегралы по таким вспомогательным поверхностям будут стремиться к нулю при ε → 0 .  В противном случае ребро бы излучало энергию [23, стр. 50]
52 Учитывая вышесказанное и переходя к пределу при ε → 0 в равенстве (2.55), получаем: 0=− 2ik + ρ+ ⋅ ∫ u + ⋅ u + ⋅ dσ − 2ik − R S+ ρ− ⎛1⎞ ⋅ ∫ u− ⋅ u− ⋅dσ + F ⎜ ⎟ . ⎝R⎠ SR (2.56) − ( R, θ , ϕ ) Введем сферические координаты в интегралах (2.56), полагая dΩ = sin θ ⋅ dθ ⋅ dϕ : 0=− 2ik + ρ+ ⋅ ∫ R ⋅ u+ 2 ⋅ dΩ − R S+ 2ik − ρ− ⋅ ∫ R ⋅ u− R S− 2 ⎛1⎞ ⋅dΩ + F ⎜ ⎟ . ⎝R⎠ (2.57) Переходя к пределу при R → ∞  в (2.57), получаем 2ik + ρ+ ⋅ ∫ R ⋅ u+ 2 R S+ ⋅ dΩ + 2ik − ρ− ⋅ ∫ R ⋅ u− R S− 2 ⋅dΩ ⎯R→∞ → 0 . ⎯ ⎯ (2.58) Каждое из слагаемых в (2.58) положительно и имеет одинаковую скорость стремления к 0, поэтому ∫ R ⋅ u+ R S+ 2 ⋅ dΩ ⎯⎯ ∞ → 0 и ⎯ R→ ∫ R ⋅ u− R S− 2 ⋅dΩ ⎯⎯ ∞ → 0 . ⎯ R→ (2.59) Если функция u = {u+ , u− } удовлетворяет условию (2.59), тогда она должна либо быть равна тождественно нулю либо иметь скорость убывания более чем 1 . Однако из теоремы Реллиха [23, стр. 45] следует, что всякое поле, R убывающее быстрее чем 1 , тождественно равно нулю во всем пространстве. R
53 Таким образом, u+ ≡ 0 на D+ и u − ≡ 0 на D− , что и доказывает единственность решения задачи. ■ Теорема 2.2 (о единственности решения модифицированной задачи). Если функции w1 = w1 ( x ) и w2 = w2 ( x ) , определенные в полупространстве { } Ψ = x ∈ ℜ 3 | x3 > −d , удовлетворяют условиям (2.37)-(2.43) и принадлежат классу H 1 (Ψ Σ ), где Σ - экран в понимании Определения 2.1, тогда w1 = w2 . Доказательство. □ Обозначим сужение функции w1 на полупространство D+ через w1 , а её + сужение на полупространство D− через w1 . Тогда требование удовлетворения − { } условиям (2.37)-(2.43) для функции w1 = w1 , w1 будет означать: + − 2 2 Δw1 + k + w1 = 0 , ( x ∈ D+ ) и Δw1 + k − w1 = 0 , ( x ∈ D− ) ; + + − − 1 ∂w1 − ρ − ∂x3 w1 − x3 = d − 0 1 ∂w1 − ρ − ∂x3 x3 = d − 0 = w1 + x3 = d − 0 1 ∂w1 + = ρ + ∂x3 x3 = d + 0 , (~ ∈ ∑ ) ; x (2.60) (2.61) x3 = d + 0 , 1 ∂w1 + = ρ + ∂x3 ( ) , ( x1 , x2 ) ∈ ℜ 2 Σ ; (2.62) x3 = d + 0 ⎛x ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ , grad w1 ( x) ⎟ − ik − w1 ( x) = o⎜ ⎟, w1 ( x) = O⎜ ⎟, − − ⎜x ⎟ ⎜x⎟ − ⎜x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛x ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ , grad w1 ( x) ⎟ − ik + w1 ( x) = o⎜ ⎟, w1 ( x) = O⎜ ⎟, + + + ⎜x ⎟ ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x →∞, x →∞; (2.63)
54 ⎛ 1 ∫ ⎜ w+ ⎝ U + (ε ) 2 2 + ∇w1 ⎞ dx < ∞ , + ⎟ ⎠ ⎛ 1 ∫ ⎜ w− ⎝ U − (ε ) 2 2 + ∇w1 ⎞ dx < ∞ ; − ⎟ ⎠ ∂∑ ∂∑ ∂w1 − ∂x3 (2.64) = 0 , ( x1 , x 2 ) ∈ ℜ 2 , (2.65) x3 = +0 где U ± ∂ ∑ (ε ) - окрестности края экрана ∂ ∑ в полупространствах D± . { } 1 1 Заметим, что для функции w1 = w+ , w− (где черта означает комплексное сопряжение) выполняются в точности условия (2.60)-(2.62), (2.64), а в условии (2.63) разность величин меняется на их сумму: ⎛x ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ , grad w1 ( x) ⎟ + ik − w1 ( x) = o⎜ ⎟, w1 ( x) = O⎜ ⎟, − − − ⎜x ⎟ ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x →∞, ⎛x ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ , grad w1 ( x) ⎟ + ik + w1 ( x) = o⎜ ⎟, w1 ( x) = O⎜ ⎟, + + ⎜x ⎟ ⎜x⎟ + ⎜x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x →∞. Аналогичным { условиям удовлетворяют функции { (2.66) 2 2 w 2 = w+ , w − } и } 2 2 w 2 = w+ , w− . Введем в рассмотрение функцию u = w1 − w2 , u ∈ H 1 (Ψ Σ ), тогда 2 2 u = {u + , u − }, где u + = w1 − w+ , u − = w1 − w− . Теорема будет доказана, если мы + − покажем, что u + ≡ 0 на D+ и u − ≡ 0 на D− . Отметим, что функции u = {u + , u − } и u = {u + , u − } удовлетворяет условиям (2.41) - (2.64) по построению.
55 Пусть R R S R = S+ ∪ S− - сфера достаточно большого радиуса R, охватывающая наш плоский тонкий ограниченный экран Σ , который лежит на R R диаметре, разделяющем сферу на две полусферы S + и S − . В связи с тем, что наш экран Σ имеет ребра, окружим его поверхностью Σ ε = Σ ε ∪ Σ ε в виде кольцеобразного валика с малым радиусом ε > 0 . Так как + − мы рассматриваем задачу в полупространстве, ограниченном плоскостью {x ∈ ℜ 3 : x3 = − d } , то 1⎫ ⎧ F R = ⎨ x ∈ D− : x3 = −d + ⎬ R⎭ ⎩ обозначим { и } 1⎫ ⎧ R R 2 2 Ω − = ⎨ x ∈ S − : x3 ≥ − d + ⎬ ∪ x ∈ F R : x12 + x2 + x3 ≤ R 2 . R⎭ ⎩ Тогда T+R и T−R - области, ограниченные поверхностью Σ ε , разрезом P , сферой S R и плоскостью F R (рис. 2.5). Рис 2.5. Вид областей для доказательства теоремы единственности В областях T+R и T−R для функций u = {u + , u − } и u = {u + , u − } применима вторая формула Грина: 0= ⎛ ∂u + ∫ (u + Δu + − u + Δu + )dτ = ∫ ⎜ u + ∂n+ ⎜ ⎝ T+R R S+ + ⎛ ∂u + ∂u + ∫R ⎜ u + ∂n+ − u + ∂n+ ⎜ Σ+ ⎝ − u+ ∂u + ∂n + ⎞ ⎟dσ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎛ ∂u ∂u ⎟dσ + ∫ ⎜ u + + − u + + ⎟ ⎜ ∂n ∂n + ⎠ + P⎝ ⎞ ⎟dσ , ⎟ ⎠ (2.67)
56 0= ⎛ ∂u − ∫ (u − Δu − − u − Δu − )dτ = ∫ ⎜ u − ∂n− ⎜ ⎝ T−R R Ω− − u− ∂u − ∂n − ⎞ ⎟dσ + ⎟ ⎠ ⎛ ∂u ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂u ⎞ + ∫ ⎜ u − − − u − − ⎟dσ + ∫ ⎜ u − − − u − − ⎟dσ , ⎜ ∂n ⎜ ∂n ∂n − ⎟ ∂n − ⎟ R ⎠ ⎠ − − P⎝ Σ− ⎝ где под (2.68) ∂ ∂ , понимается дифференцирование по нормали. ∂n+ ∂n− ∂ ∂ =− , ∂n − ∂n + Очевидно, что на поверхности P выполняется равенство следовательно, ⎛ ∂u ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂u ⎞ 1 ⋅ ∫ ⎜ u + + − u + + ⎟dσ + ⋅ ∫ ⎜ u − − − u − − ⎟dσ = ⎜ ∂n ⎟ ⎜ ∂n ρ+ P ⎝ ρ− P ⎝ ∂n + ⎠ ∂n − ⎟ ⎠ + − 1 ⎛ 1 ∂u ∂u ∂u ∂u 1 1 1 ⋅ u− − ⋅ u− − + ⋅ u+ + − = ∫⎜ ⋅ u+ + − ⎜ ∂n + ∂n + ρ − ∂n + ρ − ∂n + ρ + P ⎝ ρ+ ⎞ ⎟dσ . ⎟ ⎠ Пользуемся условием (2.62) и получаем ⎛ 1 ∂u + ⎞ ⎜ [u + − u − ] − 1 ⋅ ∂u − [u + − u − ]⎟dσ = 0 . ⋅ ∫ ⎜ ρ + ∂n+ ⎟ ρ − ∂n + ⎠ P⎝ Умножим обе части равенства (2.67) на 1 ρ+ , а (2.68) на (2.69) 1 ρ− и сложим, пользуясь результатом (2.69): 0= 1 ρ+ ⋅ ⎛ ∂u + ∫ ⎜ u + ∂n+ ⎜ ⎝ − u+ R S+ + 1 ρ− ⋅ ⎛ ∂u − ∫ ⎜ u − ∂n− ⎜ ⎝ R Ω− ∂u + ∂n + ⎞ ⎛ ∂u ∂u ⎞ 1 ⎟dσ + ⋅ ∫ ⎜ u + + − u + + ⎟dσ + ⎟ ρ + Σ R⎜ ∂n + ∂n + ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ + − u− ∂u − ∂n − ⎛ ∂u ⎞ ∂u ⎞ 1 ⎟dσ + ⋅ ∫ ⎜ u − − − u − − ⎟dσ . ⎜ ∂n ⎟ ρ − ΣR ⎝ ∂n − ⎟ ⎠ ⎠ − − (2.70)
57 R R Дифференцирование по внешней нормали для поверхностей S + и Ω − F R равносильно дифференцированию по радиусу сферы в соответствующей точке поверхности: ∂ ∂ ∂ = . Воспользуемся условиями (2.63) и выразим = ∂n + ∂n − ∂r производные по направлению: ∂u + ∂u + ⎛1⎞ ⎛1⎞ = −ik + u + + o⎜ ⎟, r → ∞ , = ik + u + + o⎜ ⎟, r → ∞ , ∂r ∂r ⎝r⎠ ⎝r⎠ ∂u − ∂u − ⎛1⎞ ⎛1⎞ = −ik − u − + o⎜ ⎟, r → ∞ , = ik − u − + o⎜ ⎟, r → ∞ . ∂r ∂r ⎝r⎠ ⎝r⎠ Тогда ⎛ ∂u + ∂u ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ u+ − u + + ⎟ = −2ik + ⋅ u + ⋅ u + − u + ⋅ o⎜ ⎟ + u + ⋅ o⎜ ⎟, ⎜ ∂n ⎟ ∂n+ ⎠ ⎝r⎠ ⎝r⎠ ⎝ + (2.71) ⎛ ∂u − ∂u − ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ u− ⎜ ∂n − u − ∂n ⎟ = −2ik − ⋅ u − ⋅ u − − u − ⋅ o⎜ r ⎟ + u − ⋅ o⎜ r ⎟. ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − − ⎠ Подставляя (2.71) в (2.70), получаем: 0= 1 ρ+ ⋅ ⎛ ∂u ⎛ ∂u + ∂u ⎞ ∂u ⎞ 1 ⎜ u+ ⋅ ∫ ⎜ u − − − u − − ⎟dσ + − u + + ⎟dσ + ∫R ⎜ ∂n+ ρ − Σ R ⎜ ∂n− ∂n− ⎟ ∂n+ ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ Σ+ ⎝ − 1 ρ− ⋅ ⎛ ∂u − ∂u − ⎞ ∫ ⎜ u − ∂n− − u− ∂n− ⎟dσ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ F R − 2ik − ρ− ⋅ 2ik + ρ+ ⋅ ∫ u + ⋅ u + ⋅ dσ −       R S+ ⎛1⎞ ∫ u − ⋅ u− ⋅dσ + Θ⎜ R ⎟ , ⎝ ⎠ (2.72) R Ω− F R где 1 ⎡ ⎡ ⎛1⎞ 1 ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ Θ⎜ ⎟ = ⋅ ∫ ⎢u + ⋅ o⎜ ⎟ − u + ⋅ o⎜ ⎟⎥dσ + ⋅ ∫ ⎢u − ⋅ o⎜ ⎟ − u − ⋅ o⎜ ⎟⎥dσ , ρ − ΩR F R ⎣ ⎝ R ⎠ ρ + S+ ⎣ ⎝R⎠ ⎝ R ⎠⎦ ⎝R⎠ ⎝ R ⎠⎦ R −
58 ⎛1⎞ причем Θ⎜ ⎟ ⎯R →∞ → 0 . ⎯ ⎯ R⎠ ⎝ Заметим, равенство что на поверхности FR (при R → ∞) выполняется ∂ ∂ =− , тогда вследствие условия (2.65) выполняется ∂x3 ∂n − ⎛ ∂u − ∫ ⎜ u − ∂n− ⎜ ⎝ F − u− R ∂u − ∂n − ⎞ ⎟dσ ⎯⎯ ∞ → 0 . ⎯ ⎟ R→ ⎠ (2.73) Рассмотрим более подробно интегралы по Σ ε и Σ ε . В силу выполнения + − условия Мейкснера (2.64) для функций u = {u + , u − } и u = {u + , u − } интегралы по таким вспомогательным поверхностям будут стремиться к нулю при ε → 0 . В противном случае ребро бы излучало энергию [23]. Учитывая вышесказанное и, переходя к пределу при ε → 0 в равенстве (2.72), получаем: 0=− 2ik + ρ+ ⋅ ∫ u + ⋅ u + ⋅ dσ − R S+ + 2ik − ⋅ ρ− 1 ρ− ∫ u− ⋅ u− ⋅dσ +   R Ω− F R ⋅ ⎛ ∂u − ∂u ⎞ ⎛1⎞ ⎜ u− − u − − ⎟dσ + Θ⎜ ⎟ . ∫R ⎜ ∂n− ⎟ ∂n− ⎠ ⎝R⎠ F ⎝ (2.74) R R Введем сферические координаты (R, θ , ϕ ) в интегралах по S + и Ω − F R и, полагая dΩ = sin θ ⋅ dθ ⋅ dϕ , перейдем к пределу в (2.74): 2ik + ρ+ ⋅ ∫ R ⋅ u+ R S+ 2 ⋅ dΩ + 2ik − ρ− ⋅ ∫ R ⋅ u− R S− 2 ⋅dΩ ⎯⎯ ∞ → 0 . ⎯ R→ (2.75)
59 Каждое из слагаемых в (2.75) положительно и имеет одинаковую скорость стремления к 0, поэтому ∫ R ⋅ u+ R S+ 2 ⋅ dΩ ⎯⎯ ∞ → 0 и ⎯ R→ ∫ R ⋅ u− R S− 2 ⋅dΩ ⎯⎯ ∞ → 0 . ⎯ R→ (2.76) Если функция u = {u + , u − } удовлетворяет условию (2.76), тогда она должна либо быть равна тождественно нулю, либо иметь скорость убывания более чем 1 . Однако из теоремы Реллиха [23] следует, что всякое поле, убывающее R быстрее, чем 1 тождественно равно нулю во всем пространстве. R Таким образом, u+ ≡ 0 на D+ и u − ≡ 0 на D− , что и доказывает единственность решения задачи. ■ Теорема 2.3 (о единственности решения специального варианта). Если функции w1 = w1 ( x ) и w2 = w2 ( x ) , определенные в полупространстве { } Ψ = x ∈ ℜ 3 | x3 > − d , удовлетворяют условиям (2.16)-(2.21) и принадлежат классу H 1 (Ψ Σ ), где Σ - экран в понимании Определения 2.1, тогда w1 = w2 . Доказательство. □ Теорема 2.3 является следствием Теоремы 2.4, т.к. при доказательстве нигде не использовалось различие в физических характеристиках сред над и под экраном. ■
60 2.3. Граничное псевдодифференциальное уравнение в случае экрана на разделе сред Для получения граничного псевдодифференциального уравнения для основной задачи представлений (2.16)-(2.21) воспользуемся интегральных и методом параметрических псевдодифференциальных операторов Ю.В. Ганделя [59]. Неизвестную представления: функцию { w( x ) будем искать в виде следующего } w( x ) = F −1 c ± ⋅e m x3⋅γ ± (~ ) , (~ = ( x1 , x2 ) ∉ ∑, x3 ∈ ℜ ) , x x где (2.77) c± (λ ) ∈℘ - неизвестные функции, 2 λ = (λ1 , λ2 )∈ ℜ 2 , λ = λ1 + λ2 , 2 2 γ ± (λ ) = λ − k ± , причем, учитывая (2.20), выбираем ту ветвь корня, для 2 которой Im γ ± ≤ 0 ( λ < k± ) или Re γ ± ≥ 0 ( λ ≥ k± ) . Действие оператора F −1 (обратного оператора Фурье) рассматриваем в пространстве обобщенных функций: (F где −1 ⎛ {g}(~ ),ψ (~ )) = ⎜ g (~ ), x x x ⎜ ⎝ 1 2π ⎞ ~ ψ (~ )e i (λ , x )d~ ⎟ , ( g (λ )∈℘′,ψ (~ )∈℘) , x x x ∫∫ ℜ2 ⎟ ⎠ ℘ - класс основных функций (быстро убывающих), ℘′ - класс обобщенных функций медленного роста [91]. Записывая выражение для ∂w из (2.77), получаем: ∂x3
61 { } ∂w = F −1 m γ ± ⋅ c± (λ ) ⋅ e m x3⋅γ ± ⎯⎯ ⎯→ F −1 {m γ ± ⋅ c± (λ )}, λ ∈ ℜ 2 . x3 →±0 ∂x3 Перепишем условие (2.18) в терминах преобразований (2.78) Фурье, используя (2.78): 1 ρ+ F −1 {− γ + ⋅ c+ (λ )} = 1 ρ− F −1 {γ − ⋅ c− (λ )}, λ ∈ ℜ 2 , тогда ⎧ 1 ⎫ ⎧1 ⎫ F −1 ⎨− γ + ⋅ c+ (λ )⎬ = F −1 ⎨ γ − ⋅ c− (λ )⎬ , λ ∈ ℜ 2 ⎩ ρ+ ⎭ ⎩ ρ− ⎭ и, так как равенство выполняется в каждой точке плоскости, получаем − 1 ρ+ γ + ⋅ c+ (λ ) = 1 ρ− γ − ⋅ c− (λ ) , λ ∈ ℜ 2 . Умножим равенство (2.79) на (2.79) ρ− ≠ 0 и выразим одну из неизвестных γ− функций через другую: c− (λ ) = − ρ− γ + ⋅ ⋅ c+ (λ ) , λ ∈ ℜ 2 . ρ+ γ − (2.80) Воспользуемся условием (2.19), представлением (2.77) и получим ( ) F −1 {c + (λ )} = F −1 {c − (λ )}, ~ ∈ ℜ 2 Σ , следовательно, x ( ) supp F −1 {c + (λ ) − c− (λ )} ⊆ Σ . (2.81)
62 Подставляя выражение (2.80) в (2.81), получаем ⎛ ⎧ ⎛ ρ γ ⎞⎫ ⎞ supp ⎜ F −1 ⎨c+ (λ ) ⋅ ⎜1 + − ⋅ + ⎟⎬ ⎟ ⊆ ∑ . ⎜ ⎜ ρ + γ − ⎟⎭ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎩ ⎝ (2.82) Для удобства введем в рассмотрение новую неизвестную функцию: def ⎧ ⎛ ρ γ ⎞⎫ u (~ ) = F −1 ⎨c+ (λ ) ⋅ ⎜1 + − ⋅ + ⎟⎬ ,   ~ ∈ ℜ 2 .  x x ⎜ ρ + γ − ⎟⎭ ⎝ ⎠ ⎩ ( )       (2.83) Сразу отметим, что вследствие (2.82) функция сосредоточена на экране: supp (u ) ⊆ ∑ . (2.84) Замечание 2.1. Если равенство (2.79) помножить на ρ+ ≠ 0 , тогда можно γ− получить эквивалентное (2.80) выражение c+ (λ ) = − ρ+ γ − ⋅ ⋅ c (λ ) .   ρ− γ + −                 Тогда финитную неизвестную функцию можно определить так: def ~ ) = F −1 ⎧c (λ ) ⋅ ⎛1 + ρ + ⋅ γ − ⎞⎫ ,  ~ ∈ ℜ 2 . ⎜ ⎟⎬ x u(x ⎨ − ⎜ ρ − γ + ⎟⎭ ⎝ ⎠ ⎩ ( Все последующие преобразования ) и вывод граничного псевдодифференциального уравнения производятся аналогично случаю выбора (2.83). При этом в силу соотношения (2.79) легко непосредственно увидеть, что решение задачи (2.16)-(2.21), использующее ПДО, в обоих подходах будет одно и то же.
63 Замечание 2.2. γ− ≡γ+, Случай λ ∈ ℜ2 (т.е. k+ = k− ) здесь не рассматривается, так как он не нов [59]. Однако как «предельный» случай рассматриваемой основной задачи он может быть использован для построения тестов. Для получения уравнения относительно неизвестной функции (2.83) воспользуемся граничным условием (2.17): ⎫ 1 ∂p F ⎨− γ + ⋅ c + (λ )⎬ = − ρ + ∂x3 ⎭ ⎩ ρ+ −1 ⎧ 1 def ( ) = f (~ ) , ~ ∈ ℜ 2 . x x (2.85) x3 = +0 Принимая во внимание следующее преобразование − 1 ρ+ ⎛ γ + ⋅ c+ (λ ) = c+ (λ ) ⋅ ⎜1 + ⎜ ⎝ ρ− γ + ⎞ ⋅ ⎟⋅ ρ+ γ − ⎟ ⎠ −γ+ ⎛ ρ γ ⎞ ρ + ⋅ ⎜1 + − ⋅ + ⎟ ⎜ ρ+ γ − ⎟ ⎝ ⎠ ,      получаем из (2.85) равенство: ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ρ− γ + ⎞ −γ+ ⎪ 2 −1 ⎪ ~ ~ F ⎨c+ (λ ) ⋅ ⎜1 + ⋅ ⎟⋅ ⎬ = f (x ), x ∈ ℜ , ⎟ ⎜ ρ+ γ − ⎠ ⎛ ρ γ ⎞ ⎝ ⎪ ρ + ⋅ ⎜1 + − ⋅ + ⎟ ⎪ ⎜ ⎪ ρ+ γ − ⎟ ⎪ ⎝ ⎠⎭ ⎩ ( ) x где можно заменить преобразование Фурье финитной функции u (~ ) (2.83) на обобщенную функцию (она заведомо принадлежит классу ℘′ обобщенных функций медленного роста [91]):
64 ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ −γ+ ⎪ ~ ) = F −1 ⎪ K (x ⎨ ⎬, ⎛ ρ− γ + ⎞ ⎪ ⎪ ρ ⋅ ⎜1 + ⋅ ⎟ ⎪ + ⎜ ρ+ γ − ⎟ ⎪ ⎠⎭ ⎝ ⎩ (2.86) которая будет служить ядром уравнения в форме свертки [91]: ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ρ− γ + ⎞ −γ+ −γ+ ⎪ ⎪ −1 ⎪ −1 ⎪ ⋅ ⎟⋅ F ⎨c+ (λ ) ⋅ ⎜1 + ⎬=u∗F ⎨ ⎬ , (2.87) ⎜ ρ γ ⎟ ⎛ ρ− γ + ⎞ ⎪ ⎛ ρ− γ + ⎞ ⎪ ⎝ + − ⎠ ⎪ ⎪ ρ ⋅ ⎜1 + ⋅ ⎟ ρ + ⋅ ⎜1 + ⋅ ⎟ ⎜ ρ γ ⎟⎪ ⎪ ⎪ + ⎜ ρ+ γ − ⎟ ⎪ ⎝ ⎝ ⎠⎭ + − ⎠⎭ ⎩ ⎩ где символ ∗ определяет оператор свертки [91]. Окончательно, граничное псевдодифференциальное уравнение относительно неизвестной функции u (~ ) (2.83) имеет вид: x ( ) u ∗ K ( ~ ) = f (~ ) , ~ ∈ ℜ 2 . x x x (2.88) x Если u (~ ) из уравнения (2.88) найдено, тогда значения w(x) определяются из (2.77) по формуле ~ w( x ) = (u ∗ Κ )( x ) , где (2.89) −1 ⎡ ρ − γ + ⎞ m x3γ ± ⎤ ~ ~ ~ ~ −1 ⎛ ⎟ e ⎥(x ) . Κ ( x ) = Κ ( x , x3 ) = F ⎢⎜1 + ⎜ ⎟ ⎢⎝ ρ + γ − ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ Замечание 2.3. Уравнение (2.89) в виду наличия оператора свертки можно считать «интегральным». Далее мы увидим, что такая трактовка требует идентификации построенного нами псевдодифференциального уравнения, что будет сделано в следующем разделе.
65 В работах [28,45] отмечено, что единственность решения рассматриваемой там близкой краевой задачи автоматически приводит к единственности решения соответствующего сильносингулярного интегрального уравнения. В нашем случае можно сделать аналогичные заключения. 2.4. Граничное псевдодифференциальное уравнение в случае экрана над жесткой стенкой Для получения граничного псевдодифференциального уравнения для специального варианта (2.26)-(2.31) воспользуемся, как и в предыдущем подразделе, методом параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов Ю.В. Ганделя [59]. функцию w( x ) { { Неизвестную } будем искать в виде следующего представления: ⎧ F −1 c+ (λ )e − x3γ (~ ), ~ = ( x1.x2 ) ∉ Σ, x3 > 0, x x w( x) = ⎨ −1 1 −( x3 + d )γ 2 x x + c− (λ )e ( x3 + d )γ (~ ), ~ ∉ Σ, − d < x3 < 0, ⎩ F c− (λ )e где (2.90) } 2 c + (λ ), c 1 (λ ), c − (λ ) ∈℘ - неизвестные функции; − 2 2 λ = (λ1 , λ 2 )∈ ℜ 2 , λ = λ1 + λ2 , γ ± (λ ) = λ − k ± , причем, учитывая (9), 2 2 выбираем ту ветвь корня, для которой Im γ ≤ 0 ( λ < k ) или Re γ ≥ 0 ( λ ≥ k ) . Из условия (2.29) получаем, def 2 c − (λ ) = c 1 (λ ) ≡ c − (λ ) , − что λ ∈ℜ2 . Следовательно, { { } ⎧ F −1 c (λ )e − x3γ (~ ), ~ ∉ Σ, x3 > 0, x x w( x) = ⎨ −1 + −( x3 + d )γ x x + e ( x3 + d )γ ) (~ ), ~ ∉ Σ, − d < x3 < 0. ⎩ F c− (λ )(e } (2.91)
66 Тогда { { } x x ∂w ⎧ F −1 − γ ⋅ c+ (λ )e − x3γ (~ ), ~ ∉ Σ, x3 > 0, = ⎨ −1 ∂x3 ⎩ F − γ ⋅ c− (λ )(e −( x3 + d )γ − e ( x3 + d )γ ) (~ ), ~ ∉ Σ, − d < x3 < 0. x x } (2.92) Из непрерывности нормальной производной при переходе через плоскость x3 = 0 следует, что { ( )} F −1 { − γ ⋅ c + (λ )} = F −1 − γ ⋅ c − (λ ) ⋅ e − dγ − e dγ , λ ∈ ℜ 2 , и, так как равенство выполняется в каждой точке плоскости, получаем γ ⋅ c + (λ ) = γ ⋅ c − (λ ) ⋅ (e − dγ − e dγ ), λ ∈ ℜ 2 . ( (2.93) ) В предположении, что γ ≠ 0 λ ∈ ℜ 2 : c − (λ ) = (e c + (λ ) − dγ −e dγ ) , λ ∈ℜ2 . (2.94) Из условия (2.28) следует, что ⎛ −1 ⎪ ⎧ ⎛ e dγ + e − dγ supp ⎜ F ⎨c + (λ ) ⋅ ⎜1 + dγ ⎜ e − e − dγ ⎜ ⎪ ⎝ ⎩ ⎝ ⎫ ⎞⎪ ⎞ ⎟⎬ ⎟ ⊆ ∑ . ⎟⎪ ⎟ ⎠⎭ ⎠ (2.95) Введем в рассмотрение новую неизвестную функцию def u (~ ) = F −1 {c+ (λ )(1 + cth (dγ ))}, ( x1 , x2 ) ∈ ℜ 2 . x (2.96)
67 x Сразу отметим, что вследствие (2.95) функция u (~ ) будет сосредоточена на экране, т.е. supp (u ) ⊆ ∑ . Для получения граничного уравнения относительно неизвестной функции u (~ ) в (2.96) воспользуемся условием (2.27): x F −1{− γ ⋅ c+ (λ )} = − Окончательно, ∂p ∂x3 граничное def = f ( x ) , ( x1 , x2 ) ∈ ℜ 2 . (2.97) x3 = +0 псевдодифференциальное уравнение x относительно неизвестной функции u (~ ) в (2.96) имеет вид: ( ) u ∗ K (~ ) = f (~ ) , ~ ∈ ℜ 2 . x x x (2.98) ⎧ ⎫ −γ x где K (~ ) = F −1 ⎨ ⎬. 1 + cth (dγ )⎭ ⎩ 2.5. Граничное псевдодифференциальное уравнение в случае экрана на разделе сред над жесткой стенкой Для получения граничного псевдодифференциального уравнения модифицированной задачи (2.37)-(2.43) основываемся, как и в предыдущих разделах, на методе параметрических псевдодифференциальных операторов представлений Ю.В. Ганделя интегральных [59]. и Неизвестную функцию w( x ) будем искать в виде представления: { { } ⎧ F −1 c+ (λ )e − x3γ + (~ ), ~ ∉ Σ, x3 > 0 , x x w( x) = ⎨ −1 1   −( x3 + d )γ − 2 F c− (λ )e x x + c− (λ )e ( x3 + d )γ − (~ ), ~ ∉ Σ, − d < x3 < 0, ⎩ }   (2.99)
68 где 2 c+ (λ ), c1 (λ ), c− (λ ) ∈℘ - неизвестные функции; − λ = (λ1 , λ2 )∈ ℜ 2 , 2 λ = λ1 + λ2 , 2 2 γ ± (λ ) = λ − k ± , причем, учитывая 2 (2.42), выбираем ту ветвь корня, для которой Im γ ± ≤ 0 ( λ < k± ) или Re γ ± ≥ 0 ( λ ≥ k ± ) . Записывая выражение для { { ∂w из (2.99), получаем ∂x3 } x x ∂w ⎧ F −1 − γ + c+ (λ )e − x3γ + (~ ), ~ ∉ Σ, x3 > 0, = ⎨ −1   −( x3 + d )γ − 1 2 ∂x3 ⎩ F − γ − c− (λ )e x x + γ − c− (λ )e ( x3 +d )γ − (~ ), ~ ∉ Σ, − d < x3 < 0. } (2.100)  Выполняя условие (2.41) в терминах преобразования Фурье, имеем { } 2 F −1 − γ − ⋅ c1 (λ ) + γ − ⋅ c− (λ ) = 0 , λ ∈ ℜ 2 , − и, так как равенство верно в каждой точке плоскости, получаем def 2 c− (λ ) = c1 (λ ) ≡ c− (λ ) , λ ∈ ℜ 2 . − (2.101) Возвращаясь к (2.99), получаем с учетом (2.101) представления: { { } ⎧ F −1 c+ (λ )e − x3γ + (~ ), ~ ∉ Σ, x3 > 0, x x w( x) = ⎨ −1 −( x3 + d )γ − x x + e ( x3 +d )γ − (~ ), ~ ∉ Σ, − d < x3 < 0, ⎩ F c− (λ ) ⋅ e { { ( )} } x x ∂w ⎧ F −1 − γ + c+ (λ )e − x3γ + (~ ), ~ ∉ Σ, x3 > 0, = ⎨ −1   ∂x3 ⎩ F − γ − c− (λ ) e −( x3 +d )γ − + e ( x3 +d )γ − (~ ), ~ ∉ Σ, − d < x3 < 0. x x ( )} (2.102) (2.103)
69 Перепишем условия (2.39) и (2.40) в терминах преобразований Фурье, используя (2.103): ρ+ F −1 { − γ + ⋅ c+ (λ )} = 1 ρ− ( { )} ( 1 ) F −1 − γ − ⋅ c− (λ ) ⋅ e −dγ − − e dγ − , λ ∈ ℜ 2 , тогда ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫ F −1 ⎨− γ + ⋅ c+ (λ )⎬ = F −1 ⎨− γ − ⋅ c− (λ ) ⋅ e −dγ − − e dγ − ⎬ , λ ∈ ℜ 2 , ⎩ ρ+ ⎭ ⎩ ρ− ⎭ и, так как равенство выполняется в каждой точке плоскости, получаем 1 ρ+ γ + ⋅ c+ (λ ) = 1 ρ− ( ) γ − ⋅ c− (λ ) ⋅ e −dγ − − e dγ − , λ ∈ ℜ 2 . ( (2.104) ) В предположении, что γ − ≠ 0 , λ ∈ ℜ 2 , умножим равенство (2.104) на ρ− ≠ 0 и выразим одну из неизвестных функций через другую: γ− c− (λ ) = ρ− γ + c (λ ) ⋅ ⋅ −dγ + dγ , λ ∈ ℜ 2 ρ+ γ − e − − e − ( (2.105) ) Воспользуемся условием (2.40), представлением (2.102) и получим: { ( )} ( ) x F −1{c + (λ )} = F −1 c − (λ ) ⋅ e −dγ − + e dγ − , ~ ∈ ℜ 2 Σ , тогда
70 ( { ( supp F −1 c + (λ ) − c− (λ ) ⋅ e −dγ − + e dγ − )}) ⊆ ∑ . (2.106) Подставляя выражение (2.105) в (2.106), получаем − dγ − dγ − ⎛ −1 ⎧ ⎜ F ⎪c+ (λ ) ⋅ ⎛1 + ρ − γ + e + e ⎜ supp ⎨ ⎜ ⎜ ρ + γ − e dγ − − e −dγ − ⎪ ⎝ ⎩ ⎝ ⎞⎫ ⎞ ⎟⎪ ⎟ ⊆ ∑ . ⎟⎬ ⎟ ⎠⎪ ⎠ ⎭ (2.107) Введем в рассмотрение новую неизвестную функцию def ⎧ ⎛ ⎞⎫ ρ γ u (~ ) = F −1 ⎨c+ (λ )⎜1 + − + cth (dγ − )⎟⎬ ,   ~ ∈ ℜ 2 .  x x ⎜ ⎟ ρ+ γ − ⎝ ⎠⎭ ⎩ ( )   (2.108) Сразу отметим, что вследствие условия (2.107) будем иметь supp (u ) ⊆ ∑ . (2.109) Замечание, аналогичное Замечанию 2.1, сделанному в подразделе 2.3, верно и для рассматриваемой задачи. Для получения уравнения относительно неизвестной функции (2.102) воспользуемся граничным условием (2.38): ⎧ 1 ⎫ 1 ∂p F −1 ⎨− γ + ⋅ c+ (λ )⎬ = − ρ + ∂x3 ⎩ ρ+ ⎭ def ( ) = f (~ ) , ~ ∈ ℜ 2 . x x (2.110) x3 = +0 Принимая во внимание преобразование − 1 ρ+ ⎛ γ + ⋅ c+ (λ ) = c+ (λ ) ⋅ ⎜1 + ⎜ ⎝ ⎞ ρ− γ + cth (dγ − )⎟ ⋅ ⎟ ρ+ γ − ⎠ −γ+ ⎞ ⎛ ρ γ ρ + ⋅ ⎜1 + − + cth (dγ − )⎟ ⎟ ⎜ ρ+ γ − ⎠ ⎝ ,
71 получаем из (2.110), что ⎧ ⎪ ⎛ ⎞ ρ γ −1 ⎪ F ⎨c+ (λ ) ⋅ ⎜1 + − + cth (dγ − )⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ρ+ γ − ⎝ ⎠ ρ ⎪ + ⎪ ⎩ ⎫ ⎪ −γ+ ⎪ 2 ~ ~ ⎬ = f (x ) , x ∈ ℜ . ⎛ ⎞ ρ γ ⋅ ⎜1 + − + cth (dγ − )⎟ ⎪ ⎜ ⎟⎪ ρ+ γ − ⎝ ⎠⎭ ( ) Функция u (~ ) (2.102) является вследствие (2.109) функцией с компактным x носителем, а ⎧ ⎪ −1 ⎪ F ⎨ ⎪ρ ⎪ + ⎩ ⎫ ⎪ −γ+ ⎪ ⎬ - обобщенная функция. Тогда ⎛ ⎞⎪ ρ− γ + ⋅ ⎜1 + cth (dγ − )⎟ ⎜ ⎟⎪ ρ+ γ − ⎝ ⎠⎭ справедливо равенство [91]: ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ −γ+ ρ− γ + ⎪ −1 ⎪ F ⎨c+ (λ ) ⋅ ⎜1 + cth (dγ − )⎟ ⋅ ⎬= ⎜ ⎟ ρ+ γ − ⎝ ⎠ ρ ⋅ ⎛1 + ρ − γ + cth (dγ )⎞ ⎪ ⎪ + ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ρ+ γ − ⎝ ⎠⎭ ⎩ ⎧ ⎪ −1 ⎪ =u∗F ⎨ ⎪ρ ⎪ + ⎩ ⎫ ⎪ −γ+ ⎪ ⎬. ⎛ ⎞⎪ ρ− γ + ⋅ ⎜1 + cth (dγ − )⎟ ⎜ ⎟⎪ ρ+ γ − ⎝ ⎠⎭ (2.111) Окончательно, граничное псевдодифференциальное уравнение (2.102) относительно неизвестной функции u (~ ) имеет вид: x ( ) u ∗ K (~ ) = f (~ ) , ~ ∈ ℜ 2 , x x x ⎧ ⎪ ~ ) = F −1 ⎪ где K ( x ⎨ ⎪ρ ⎪ + ⎩ ⎫ ⎪ −γ+ ⎪ ⎬. ⎛ ⎞⎪ ρ− γ + ⋅ ⎜1 + cth (dγ − )⎟ ⎜ ⎟⎪ ρ+ γ − ⎝ ⎠⎭ (2.112)
72 x Если u (~ ) из уравнения (2.112) найдено, то значения w( x) определяются формулой (2.102) как ~ w( x ) = u ∗ Κ ( x3 ) , где (2.113) ⎧ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ e − x3γ + ⎪~ ~ ⎪ u ∗ F −1 ⎪ ⎨ ⎬( x ), x ∉ Σ, x3 > 0, ⎪ ⎛ ⎞⎪ ρ− γ + ⎪ ⎜1 + cth (dγ − )⎟ ⎪ ⎟⎪ ⎪⎜ ρ+ γ − ⎪ ~ ~ ~ ⎝ ⎠⎭ ⎩ Κ ( x3 ) = Κ ( x , x3 ) = ⎨ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ −( x3 +d )γ − ⎪ ⎪ + e ( x3 +d )γ − ⎪ ~ ~ −1 ⎪ e ⎪u ∗ F ⎨ ⎬( x ), x ∉ Σ, − d < x3 < 0. ⎛ ⎞⎪ ρ− γ + ⎪ ⎪ ⎜1 + cth (dγ − )⎟ ⎟⎪ ⎪ ⎪⎜ ρ+ γ − ⎠⎭ ⎩⎝ ⎩ ( ) 2.6. Выводы по разделу 2 В разделе 2 поставлены краевые задачи дифракции в трехмерном пространстве на плоскопараллельных структурах, составленных из жестких экранов и слоев с постоянными физическими свойствами. Доказана единственность решения таких краевых задач. Впервые построены математические модели на основе псевдодифференциального (гиперсингулярного) уравнения процесса дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на таких плоскопараллельных структурах: - плоском жестком ограниченном экране, расположенном в плоскости раздела двух сред; - плоском жестком ограниченном экране, расположенном над жесткой стенкой в однородном пространстве; - плоском жестком ограниченном экране, расположенном на поверхности слоя над жесткой стенкой (обобщение предыдущего случая).
73 РАЗДЕЛ 3 ИССЛЕДОВАНИЕ ЯДЕР ГРАНИЧНЫХ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ГСИУ) Используя схему подхода метода параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов, для полученных нами псевдодифференциальных операторов проводится анализ структуры их ядер с целью выделения главной части, которая является гиперсингулярным интегральным оператором. 3.1. Представление для главной части ядра в случае экрана на разделе сред В работе [59] показано для задачи дифракции плоской волны на плоском жестком ограниченном экране в однородном пространстве, что, получаемое методом параметрических псевдодифференциальных представлений операторов интегральных гиперсингулярное и интегральное уравнение имеет ядро, в котором можно выделить гиперсингулярную, сингулярную и гладкую части. Для рассматриваемых в диссертации задач можно доказать аналогичные утверждения, позволяющие нам идентифицировать полученные граничные псевдодифференциальные уравнения как гиперсингулярные интегральные уравнения. Лемма 3.1. Ядро (2.86) граничного псевдодифференциального уравнения (2.88) основной задачи (2.16)-(2.21) можно представить в следующем виде: K =Η+Ο+Ρ, (3.1)
74 где 2 2 ~) = c ⋅ ⎛ ∂ + ∂ ⎞ 1 , ⎜ 2 ⎟ Η(x 1 ⎜ 2 ∂y1 ∂y 2 ⎟ ~ ⎝ ⎠x 1 x Ο( ~ ) = c 2 ⋅ ~ , x ( ) Ρ(~ ) ∈ C 1 ℜ 2 . x Доказательство. □ Для доказательства представления ядра (2.86) в виде (3.1) воспользуемся конструктивным подходом и построим требуемый вид ядра K . Рассмотрим следующую функцию: T (z ) = 2 2 1 − k+ ⋅ z ⋅ 1 − k− ⋅ z ρ− ⋅ 1 − 2 k+ ⋅ z + ρ+ ⋅ 1 − 2 k− ⋅z , (z ∈ ℜ). (3.2) Разложение в ряд Маклорена функции T ( z ) будет иметь вид: T ( z ) = t 0 + t1 ⋅ z + t 2 ⋅ z 2 + r ( z ) , где (3.3) ( ) r (ξ ) ∈C 3 ℜ 2 - остаток ряда, t 0 = T (0 ) = t2 2 2 2 ρ ⋅ k 2 + ρ − ⋅ k+ k+ + k− 1 + + − , , t1 = T ′(0 ) = − 2 ρ− + ρ+ 2 ⋅ (ρ + + ρ − ) 2 ⋅ (ρ + + ρ − ) (ρ = T ′′(0 ) = − 2 + ) ( )( ). 4 2 4 2 2 2 ⋅ k + + ρ − ⋅ k − + ρ − ρ + ⋅ k + + k − 3k − − 1 4 ⋅ (ρ + + ρ − ) 3 Тогда, в силу определения γ + (2.77) и вида (2.86) ядра, получаем:
75 2 2 2 2 − λ − k+ ⋅ λ − k− − γ + ⋅γ − γ+ = = = F [K ](λ ) = − ⎡ ρ− γ + ⎤ ρ− ⋅ γ + + ρ+ ⋅ γ − ρ ⋅ λ 2 − k 2 + ρ ⋅ λ 2 − k 2 − + + − ⋅ ρ + ⎢1 + ρ+ γ − ⎥ ⎣ ⎦ λ =− λ 2 2 1 − k+ ⋅ 1 2 ⋅ 1 − k− ⋅ 1 ⎛ 1 ⎞ = − λ ⋅T ⎜ 2 ⎟ = ⎜λ ⎟ 1 1 2 2 ⎠ ⎝ ρ − ⋅ 1 − k+ ⋅ 2 + ρ + ⋅ 1 − k− ⋅ 2 λ 2 λ 2 λ λ = −t0 ⋅ λ ⋅ −t1 ⋅ где R(ξ ) = 1 ξ 1 λ −t 2 ⋅ 1 λ 3 ( ), +R λ −5 (3.4) ( ) ⋅r ξ6 . На основе (3.4) и формулы Зоммерфельда [26], ядро K (2.86) принимает вид: K (~ ) = x где { ( )} 2 ⎛ ∂2 1 ∂ 2 ⎞ 1 k 2 ρ + k− ρ− 1 −2 ⎜ 2 + 2⎟~ + + + , + F −1 P λ ρ + + ρ − ⎜ ∂y1 ∂y 2 ⎟ x 2(ρ + + ρ − )2 ~ x ⎠ ⎝ (3.5) ⎛ 1 ⎞ y ∈ ℜ 2 , P(ξ ) = t 2 ⋅ ξ 2 + R⎜ 5 ⎟ . ⎜ξ ⎟ ⎝ ⎠ Что и требовалось доказать. ■ Замечание 3.1. В «предельном» случае однородного пространства (случай k + = k − = k , ρ + = ρ − = ρ ) представления (3.4) и (3.5) совпадают с аналогичными представлениями из работы [59]. Аналогично подходу Леммы 3.1, но более естественно в рассматриваемой нами задаче, можно выделить в качестве главной части символ того ядра ГСИУ,
76 которое позволяет решать внешнюю вторую краевую задачу для уравнения Гельмгольца [26], а не Пуассона. Лемма 3.2. Ядро (2.86) граничного псевдодифференциального уравнения (2.88) основной задачи (2.16)-(2.21) можно представить в следующем виде: K =Η+Ο+Ρ, (3.6) ~ где ik+ x 2 2 ~) = c ⋅ ⎛ ∂ + ∂ ⎞ ⋅ e ⎜ 2 ⎟ Η(x , 1 ⎜ 2 x ∂x1 ∂x2 ⎟ ~ ⎝ ⎠ ik + ~ x e x Ο( ~ ) = c 2 ⋅ ~ x , ( ) P(ξ ) ∈C 1 ℜ 2 . Доказательство. □ Рассмотрим ядро (2.86) уравнения (2.88) , тогда F {K }(λ ) = −γ+ ⎡ ρ + ⎢1 + ⎣ ρ− γ + ⎤ ⋅ ρ+ γ − ⎥ ⎦ = − γ + ⋅γ − ρ− ⋅ γ + + ρ+ ⋅ γ − и, применив преобразования, аналогичные преобразованиям Леммы 3.1, получаем ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 α ⋅ k+ − k− 1 α ⋅ k+ − k− F {K }(λ ) = − ⋅γ − ⋅ + + 2 ρ + + ρ − + 2(ρ + + ρ − ) γ + (ρ + + ρ − ) 2γ + ⋅ γ − + 2γ + (γ + + γ − ) ( 2 2 α ⋅ (1−α) ⋅ (k+ − k− ) + − (ρ+ + ρ− )((1−α) ⋅ γ − +α ⋅ γ + )(γ + + γ − )γ + 2 2 2 α ⋅ (1 − α ) ⋅ (k + − k − ) − = 2 (ρ + + ρ − )((1 − α ) ⋅ γ − + α ⋅ γ + )(2γ + ⋅ γ − + 2γ + )(γ + + γ − )2 3 )
77 ( ) 2 2 1 α ⋅ k+ − k− 1 =− ⋅γ − ⋅ + S( λ ) ρ + + ρ − + 2(ρ + + ρ − ) γ + где α= ρ− ρ+ + ρ− , ρ= (3.7) 1 (ρ + + ρ − ) , 2 ( ) S (τ ) ∈ O τ − 3 ,τ → ∞ . На основе (3.7) и интегральной формулы Зоммерфельда [26], ядро K (2.86) имеет вид: 1 K (~ ) = x ρ+ + ρ− где ~ ~ ik x ik x 2 2 ⎛ ∂2 2k + ρ+ + k − ( ρ+ + ρ− ) e + ∂2 ⎞ e + ⋅⎜ 2 + 2 ⎟⋅ ~ + ⋅ ~ + P( ~ ) , (3.8) x 2 ⎜ ∂x ⎟ x x ∂x2 ⎠ 4( ρ+ + ρ− ) ⎝ 1 ( ) P(ξ ) = F −1{S }(ξ )∈ C1 ℜ 2 . Что и требовалось доказать. ■ 3.2. Представление для главной части ядра в случае экрана на разделе сред над жесткой стенкой Аналогично Лемме 3.2, для уравнения (2.112) также можно представить ядро в виде гиперсингулярной, сингулярной и гладкой частей. Лемма 3.3. Ядро граничного псевдодифференциального уравнения (2.112) модифицированной задачи (2.37)-(2.43) можно представить в следующем виде: K =Η+Ο+Ρ, (3.9)
78 ~ где ik+ x 2 2 ~) = c ⋅ ⎛ ∂ + ∂ ⎞ ⋅ e ⎜ 2 ⎟ Η(x , 1 ⎜ 2 x ∂x1 ∂x2 ⎟ ~ ⎝ ⎠ ik + ~ x e x Ο( ~ ) = c 2 ⋅ ~ , x ( ) P(ξ ) ∈C 1 ℜ 2 . Доказательство. □ Для ядра граничного псевдодифференциального уравнения (2.112) получаем: F {K }(λ ) = = −γ+ ⎛ ⎞ ρ γ ρ + ⋅ ⎜1 + − + cth (dγ − )⎟ ⎜ ⎟ ρ+ γ − ⎝ ⎠ − γ+ ⋅γ− + (ρ + γ − + ρ −γ + ) = − γ+ ⋅γ− 2 ⎛ ⎞ ⎜ ρ + γ − + ρ − γ + + ρ − γ + ⋅ 2 dγ − ⎟ − 1⎠ e ⎝ 2 ρ− ⋅ γ + ⋅ γ − ⋅ = 2 e 2 dγ − −1 (ρ +γ − + ρ −γ + ) ⋅ ⎛ ρ +γ − + ρ −γ + + ρ −γ + ⋅ 2dγ2 ⎞ ⎜ ⎟ e − − 1⎠ ⎝ .  Первое слагаемое представляет собой преобразование Фурье ядра (2.86) задачи (2.16)-(2.21), и мы можем воспользоваться результатами Леммы 3.2. Рассмотрим поведение на бесконечности второго слагаемого: 2 ρ− ⋅ γ + ⋅ γ − ⋅ 2 e 2 dγ − − 1 (ρ +γ − + ρ −γ + ) ⋅ ⎛ ρ +γ − + ρ −γ + + ρ −γ + ⋅ 2dγ2 ⎞ ⎜ ⎟ e − −1⎠ ⎝ ( 2 ) = ⎛ρ λ 2 − k2 + ρ ⎜ + − − ⎝ 2 2 2 2 ρ − ⋅ λ − k+ ⋅ λ − k− ⋅ = e 2d 2 2 λ − k− −1 ⎛ 2 2 2 2 2 2 λ − k + ⎞⎜ ρ + λ − k − + ρ − λ − k + ⎟⎜ ⎠ ⎝ ⎛ ⋅ ⎜1 + ⎜ 2d ⎝ e 2 2 2 λ − k− ⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ −1⎠⎠ ~
79 ρ− ⋅ λ ⋅ 2 ⎛ e 2 λ d − 1⎞ ⎜ ⎟ n ⎝ ⎠ ~ = o λ , ∀n > 0 .  ⎛ ⎛ ⎞⎞ (ρ + + ρ − )⎜ ρ + + ρ − ⋅ ⎜1 + 2 λ 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ d − 1⎠⎠ ⎝ e ⎝ ( ) Характер стремления к нулю описанного выше слагаемого позволяет включить его в добавку L( λ ) к гладкой части S ( λ )  из Леммы 3.2: ( ) 2 2 ρ − ⋅ k+ − k− 1 1 F {K }(λ ) = − ⋅γ − ⋅ + S ( λ ) + L( λ ) , ρ + + ρ − + 2(ρ + + ρ − )2 γ + где (3.10) ( ) S (τ ) + L(τ ) = O τ − 3 , τ → ∞ . На основе (3.7) и интегральной формулы Зоммерфельда [26], ядро K уравнения (2.112) имеет вид: 1 K (~ ) = x ρ+ + ρ− где ~ ~ ik x ik x 2 2 ⎛ ∂2 2 k + ρ + + k − ( ρ+ + ρ − ) e + ∂2 ⎞ e + ⋅ ~ + P ( ~ ) , (3.11) x ⋅⎜ 2 + 2 ⎟⋅ ~ + 2 ⎟ x ⎜ ∂x x ∂x2 ⎠ 4( ρ+ + ρ− ) ⎝ 1 ( ) H (ξ ) = F −1 {S }(ξ ) + F −1 {L}(ξ ) ∈ C 1 ℜ 2 . Что и требовалось доказать. ■ 3.3. Сравнение с подходом, основанным на методе потенциала Рассмотрим задачу (2.26)-(2.31), и будем искать решение на основе метода потенциала. Будем искать решение в виде потенциала двойного слоя [24,28,92,93]:
80 ∂ G ( x, y ) ⋅ g ( y ) ds y , x ∈ D Σ , y ∈ Σ , g ( y ) ∈C (ℜ ) , ∂n y Σ w( x) = ∫ где (3.12) r r n y = e3 = (0,0,1) - орт нормали к экрану Σ в точке y , G ( x, y ) - фундаментальное решение уравнения Гельмгольца в пространстве с жесткой стенкой D ∗ . Применяя метод отражений [26], найдем функцию Грина полупространства D+ : ik x − y ik x∗ − y e e , + ∗ G ( x, y ) = x− y x −y где (3.13) y = ( y1 , y 2 , y3 ) ∈ D+ , x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ D+ , x ∗ = ( x1 , x2 ,− x3 − 2d ) , x− y = x∗ − y = (x1 − y1 )2 + (x 2 − y2 )2 + (x 3 − y3 )2 , (x1− y1 )2 + (x 2 − y2 )2 + (x 3 + y3 + 2d )2 . Исходя их краевых условий, выражение (3.12) с функцией Грина (3.13) будет представлять [24] искомое поле w(x) нашей задачи, если функция плотности u ( y ) является решением интегрального уравнения: ik x∗ − y ⎛ ik x − y ∂ ⎜e e + ∗ a.f.p.∫ 2 ⎜ x− y x −y Σ ∂x3 ⎜ ⎝ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⋅ u ( y ) ds y = f ( x ) , ⎟ ⎠ x, y ∈ Σ . (3.14) Рассмотрим подробнее ядро уравнения (3.14). Используя тот факт, что функция Грина (3.13) фактически является суперпозицией фундаментальных решений уравнения Гельмгольца в пространстве, получаем
81 ik x∗ − y ⎛ ik x− y ∂2 ⎜ e e + ∗ 2 ∂x3 ⎜ x − y ⎜ x −y ⎝ ⎞ ik x − y ik x − y ⎛ ∂2 ∂2 ⎞ e ⎟ 2 e ⎜ 2 + 2⎟ −k − ⎟ = −⎜ ∂x ⎟ x− y ⎟ ⎝ 1 ∂x2 ⎠ x − y ⎠ ik x∗ − y ik x∗ − y ⎛ ∂2 ∂2 ⎞ e e ⎜ 2 + 2⎟ − k2 ∗ . −⎜ ⎟ ∗ x −y ⎝ ∂x1 ∂x2 ⎠ x − y (3.15) Так как экран Σ расположен в плоскости D0 , то для всех точек экрана x3 = y3 = 0 , и выражение (3.15) принимает вид: ik x∗ − y ⎛ ik x − y ∂ ⎜e e + ∗ 2 ⎜ ∂x3 ⎜ x − y x −y ⎝ 2 − k2 e ik ⎞ ⎛ ∂2 ∂2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ = −⎜ ∂x 2 + ∂x 2 ⎟ ⎟ ⎝ 1 2 ⎠ ⎠ ( x1− y1 )2 +( x 2 − y2 )2 (x1 − y1 ) 2 + (x 2 − y2 ) 2 e ( x1− y1 )2 +( x 2 − y2 )2 ik (x1 − y1 ) + (x 2 − y2 ) 2 2 − − ⎛ ∂2 ∂2 ⎞ −⎜ 2 + 2 ⎟ ⎜ ∂x ⎟ ⎝ 1 ∂x2 ⎠ −k e ik ( x1− y1 )2 +( x 2 − y2 )2 + 4 d 2 (x1− y1 ) 2 2 e ik + ( x 2 − y 2 ) + 4d 2 2 − ( x1− y1 )2 +( x 2 − y2 )2 + 4 d 2 (x1 − y1 ) 2 + ( x 2 − y 2 ) + 4d 2 2 . (3.16) Для доказательства идентичности вычислительных формул рассмотрим граничное псевдодифференциальное уравнение (2.98). F [ K ](λ ) = ⎛ ⎞ sh (dγ ) −γ = −γ ⋅ ⎜ ⎟= 1 + cth (dγ ) ⎝ sh (dγ ) + ch (dγ ) ⎠ ch (2dγ ) − 1 ⎞ ⎛1 = −γ ⋅ sh (dγ ) ⋅ (ch (dγ ) − sh (dγ )) = −γ ⋅ ⎜ sh (2dγ ) − ⎟= 2 ⎝2 ⎠ −γ = 2 ⎛ e 2 dγ − e −2 dγ e 2 dγ + e −2 dγ ⎜1 + − ⎜ 2 2 ⎝ ⎞ 1 ⎟ = − γ + γ ⋅ e − 2 dγ . ⎟ 2 ⎠ ( ) (3.17)
82 Используя представление (3.17) и формулу Зоммерфельда [24], получаем такое выражение для ядра K : 2 2 2 2 ik x1 + x2 ik x1 + x2 2 2 2 e ~) = ⎛ ∂ + ∂ ⎞ e ⎟ +k ⋅ + K (x ⎜ 2 2 ⎜ ∂x 2 2 2 ∂x2 ⎟ x12 + x2 x1 + x2 ⎝ 1 ⎠ 2 2 2 2 2 2 ik x + x + 4 d ik x + x + 4 d ⎛ ∂2 ∂2 ⎞ e 1 2 e 1 2 2 ⎜ 2 + 2⎟ +⎜ +k ⋅ ⎟ 2 2 2 2 x12 + x2 + 4d 2 ⎝ ∂x1 ∂x2 ⎠ x1 + x2 + 4d . (3.18) Подставляя вид (3.18) ядра K в сверточное уравнение (2.98), мы получим с уравнение (3.14) с ядром (3.16) с точностью до константы. Таким образом, для специального варианта (2.26)-(2.31) вычислительные формулы, полученные по методу параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов, эквивалентны формулам широко известного метода потенциала. Нетрудно заметить, что в рассмотренном случае граничное псевдодифференциальное уравнение (2.98) является гиперсингулярным интегральным уравнением. 3.4. Выводы по разделу 3 Проведен анализ ядер псевдодифференциальных операторов рассматриваемых задач дифракции акустических волн на плоскопараллельных структурах и получены представления для главной части ядер. Это позволило идентифицировать полученные граничные псевдодифференциальные уравнения как гиперсингулярные интегральные уравнения и обосновать выбор подхода на основе методов дискретных особенностей как адекватного метода их численного решения.
83 РАЗДЕЛ 4 ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ПОЛУЧЕНЫХ ГСИУ Используя схему обобщенного метода замкнутых вихревых рамок, в разделе строится дискретная модель рассматриваемых процессов дифракции, в рамках которой граничное интегральное уравнение сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Исследуются вопросы вычисления элементов матрицы, а также интегральных характеристик для рассматриваемых задач дифракции на плоскопараллельных структурах. 4.1. Схема МДО для задач дифракции на плоскопараллельных структурах Для построения дискретной модели рассмотрим ступенчатую область Σ′ , которая будет приближать исходный плоский ограниченный экран Σ (Рис 4.1). Рис. 4.1. Пример построения области Σ′ и ее покрытия {Σ μ }μ∈Μ
84 Пусть для области Σ′ путем разбиения на квадраты построена сеть покрытия {Σ μ }μ∈Μ , такая, что Σ′ = U Σ μ , Σ μ ∩ Ση = ∅ (μ ≠ η ) , (4.1) μ∈Μ где Μ < ∞ . Следуя подходу метода дискретных замкнутых вихревых рамок И.К. Лифанова [28,45], приближение к решению полученных в предыдущих разделах граничных ГСИУ в классе кусочно-постоянных функций на ступенчатой области Σ′ будем искать в таком виде: u (~ ) = x x ∑ u μ ⋅ I μ (~ ) , ~ ∈ Σ′ , x (4.2) μ ∈Μ где u μ = u (~μ ) , где ~μ - центр квадрата Σ μ (точка коллокации), x x ~ ~ ) = ⎧1, x ∈ Σ μ - индикаторная функция квадрата Σ . I μ (x ⎨ ~ μ ⎩0, x ∉ Σ μ Подстановка функции вида (4.2) в граничные псевдодифференциальные уравнения (2.88), (2.98) или (2.112) и использование результатов третьего раздела о структуре их ядер позволяют построить дискретную модель в форме системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): u (~ ) ∗ K (~ ) = x x x x x ∑ u μ ⋅ a.f.p.∫∫ K ( ~ − ~ν )d~ μ∈Μ x = f (~ν ) , ∀ν ∈ Μ : ~ν ∈ Σν . x (4.3) Σμ Разрешимость СЛАУ в общем случае доказать не удается, однако уверенность в ее наличии связана как с большим накопленным опытом применения МДО другими исследователями, так и благодаря проведенному в следующем разделе численному анализу устойчивости.
85 Схема (4.1)-(4.3) восходит к методам типа Галеркина, однако специфика методов дискретных особенностей заключается в следующем: 1. Практическое решение последней задачи всегда основано на знании специальной структуры ядер ГСИУ, которая может быть достаточно специфической для каждой новой задачи. Такое исследование для рассматриваемых задач было проведено в предыдущем разделе. 2. Каждая конкретная версия МДО должна обеспечивать эффективное вычисление элементов вида a.f.p.∫∫ K ( ~ − ~ν )d~ , которые являются x x x Σμ суммой гиперсингулярного, сингулярного и сильно осциллирующего интегралов, и каждый раз требуют специального подбора адекватных «квадратур» и контроля вычисления. 4.2. Алгоритм вычисления построенных гиперсингулярных интегральных операторов в классе кусочно-постоянных функций Для вычисления коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений (4.3), построенной для основной задачи, воспользуемся представлением (3.6) ядра K , адитивностью интеграла и приемом [28,45,92] для перехода к интегрированию по границе в интеграле от гиперсингулярной части ядра: ~ ~ ik + x − xν ⎛r 1 ⎜ dl × ∇ ~ e ⋅ ∫ x ~ ρ+ + ρ− ∂Σ μ ⎜ x − ~ν x ⎝ x x x a.f.p. ∫∫ K ( ~ − ~ν )d~ = − Σμ + где 2 2 2 k + ρ+ + k − ( ρ + + ρ− ) 4( ρ+ + ρ− ) 2 ⎞ r ⎟⋅n + ⎟ ⎠ ik ~ − ~ x x e + ν ~ ⋅ ∫∫ ~ ~ dx + ∫∫ P ( ~ − ~ν )d~ , x x x x − xν Σμ Σμ r n = (0,0,1) - вектор нормали к экрану Σ . (4.4)
86 x x Выражение для функции P( ~ − ~ν ) громоздко и будет представлено в преобразованном виде в следующем подразделе. Интеграл от P( ~ − ~ν ) не имеет x x особенности, однако подынтегральная функция является осциллирующей. Второй интеграл в (4.4) при k + ≠ 0  понимается в смысле главного значения по Коши и вычисляется путем перехода в полярные координаты с центром в x точке ~ : ν ik x − x ik x − x x1 = ( xν )1 + r ⋅ cos ϕ e + ν e + ν dx = lim ∫∫ dx = =  ∫∫ x − ~ν ε →+0 x2 = ( xν )2 + r ⋅ sin ϕ x x − ~ν x Σμ Σ μ U Σ μ (ε ) ~ ~ = lim ∫ dϕ ∫ e ε 0 i = lim ε → +0 k + где         Φ (ϕ ) ik+ r 2π ε → +0   2π ⎞ ⎛ 2π ik+Φ (ϕ ) i ⎜ ∫e lim ⎜ dϕ − ∫ e ik+ε dϕ ⎟ =   ⋅ r ⋅ dr = ⎟ r k + ε → +0⎝ 0 0 ⎠ 2π ∫e 2π ik +ε i = dϕ − lim e ε → +0 k k+ + ik + Φ (ϕ ) 0 2π ik Φ (ϕ ) ∫ e + dϕ − 0 2π , k+ (4.5) Φ(ϕ ) - функция, описывающая контур ∂Σν в полярных координатах. Для модифицированной задачи (2.37)-(2.43) коэффициенты СЛАУ (4.3), с учетом полученного представления (3.11) ядра K , имеют вид: x x x a.f.p. ∫∫ K ( ~ − ~ν )d~ = − Σμ + 2 2 2 k + ρ+ + k − ( ρ + + ρ− ) 4( ρ+ + ρ− ) 2 ~ ~ ik + x − xν ⎛r 1 ⎜ dl × ∇ ~ e ⋅ ∫ x ~ ρ+ + ρ− ∂Σ μ ⎜ x − ~ν x ⎝ ⎞ r ⎟⋅n + ⎟ ⎠   ik ~ − ~ x x e + ν ~ ⋅ ∫∫ ~ ~ dx + ∫∫ P ( ~ − ~ν )d~ + ∫∫ F −1 {L}( ~ − ~ν )d~ . (4.6) x x x x x x x − xν Σμ Σμ Σμ Как указывалось ранее, слагаемое с гладким ядром P( ~ − ~ν x x ) будет рассмотрено в следующем подразделе, а явное выражение последнего слагаемого имеет вид:
87 F −1 ∞ {L}(r ) = ∫ D(r , λ )d ( λ ) , (4.7) 0 где 2 2ρ − ⋅ γ + ⋅ γ − D(r , λ ) = λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ ( ρ + γ − + ρ − γ + ) ( ρ + γ − + ρ − γ + ) ⋅ e 2 dγ − − 1 + 2 ρ − γ + def ( ( ) ) .  При вычислении коэффициентов СЛАУ для модифицированной задачи (2.37)-(2.43) необходимо дополнительно исследовать вопросы эффективного вычисления интеграла (4.7), что будет сделано далее. 4.3. Компьютерные аспекты вычисления интегралов от комплекснозначных функций специального вида Для получения формул вычисления контурного интеграла в (4.4) воспользуемся свойством векторного произведения: ~ ~ ik + x − x ν ⎛r ⎜ dl × ∇ ~ e x ~ ∫⎜ x − ~ν x ∂Σ μ ⎝ r r ⎞ r ⎟ ⋅ n = ik + ⋅ dl × n ∫ ⎟ ∂Σ μ ⎠ ( ) ~−~ x xν ik ~ − ~ x x ⋅ e + ν ⋅ (ik + ~ − ~ν − 1) .  x x 3 ~−~ x x ν Тогда получаем такое разложение: ~ ~ ik + x − x ν ⎛r ⎜ dl × ∇ ~ e x ~ ∫⎜ x − ~ν x ∂Σ μ ⎝ a2 e ν = ∫ ν a1 ik+ ⎞ r ⎟⋅n =  ⎟ ⎠ ν ( x1 −( xν )1 )2 +(b1 −( xν )2 )2 ⎛ ⋅ ⎜ ik + ⎝ ⎛ ⎜ ⎝               (x1 − (xν )1 )2 + (b1ν − (xν )2 )2 − 1⎞ ⎟ (x1 − (xν )1 )2 + (b1ν − (xν )2 ) 2 ⎞ ⎟ ⎠ 3 (   )   ⎠ bν − ( x ) dx −   1 ν 2 1
88 b2 e ν − ik + (aν2 −( xν )1 )2 +(x2 −( xν )2 )2 ⋅ ⎛ ik (aν − (x ) )2 + (x − (x ) )2 − 1⎞ ⎜ + ⎟ 2 2 ν 1 ν 2 ⎝ ∫ (aν − (xν ) ) + (x ⎛ ⎜ ⎝ ν b1 2 − ( xν )2 ) ⎞ ⎟ ⎠ 2 2 1 2 ( ) ⎠ aν − ( x ) dx +   2 ν 1 2 3   a2 e ν − ik + ∫ (x1 −( xν )1 )2 +(bν −( xν )2 )2 ⎛ 2 ⋅ ⎜ ik + ⎝ (x1 − (xν )1 ) + (b2 − (xν )2 ) ⎛ ⎜ ⎝ ν a1 (x1 − (xν )1 )2 + (bν − (xν )2 )2 − 1⎞ ⎟ 2 2 ν 2 ⎞ ⎟ ⎠ ( ) ⎠ bν − ( x ) dx +   2 ν 2 1 3   b2 e ν + ∫ ν b1 ik+ (a1ν −( xν )1 )2 +(x2 −( xν )2 )2 ⋅ ⎛ ik (aν − (x ) )2 + (x − (x ) )2 − 1⎞ ⎜ + ⎟ 1 2 ν 1 ν 2 ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ (a ν 1 − ( xν )1 ) + (x 2 − ( xν )2 ) 2 2 ⎞ ⎟ ⎠ (   ) ⎠ aν − ( x ) dx ,  1 ν 1 2 3 (4.8) где [ ] [ ] ~ = ( x , x ) , ~ = (( x ) , ( x ) ), Σ = aν , aν × bν , bν . x xν ν 1 2 1 2 1 2 ν 1 ν 2 Важнейшей характеристикой эффективности алгоритма в условиях расчетов на персональных компьютерах является возможность такой его программной реализации, при которой исследователь может получить решение за приемлемое время с достаточной точностью. Поэтому была поставлена задача повышения эффективности (по критерию – точность за меньшее время) путем отбора наиболее производительных методов вычисления интегралов при формировании коэффициентов матрицы, расчета диаграмм направленности, полей и других интегральных характеристик. Программные системы Diffraction_On_Screens и Diffraction_On_Flatness разработаны на языке FORTRAN с тем, чтобы максимально использовать отлаженные и многократно опробованные стандартные процедуры как самой поставки компилятора Фортрана – библиотеки IMSL [94], так и набора
89 подпрограмм «Библиотеки численного анализа НИВЦ МГУ», разработанного в МГУ им. М.В. Ломоносова [73]. Для эффективного вычисления однократных интегралов по отрезкам среди рассматриваемых (табл. 4.1) была выбрана процедура DQDAG. На этот выбор однозначно указывают результаты тестовых расчетов (соответствующих версий программных систем Diffraction_On_Screens). Ее использование не только позволило оценить и проконтролировать погрешности, но и адаптировать счет к осциллирующим интегралам за счет выбора соответствующих параметров процедуры. Вычисления проводились с абсолютной погрешностью 10−4 и относительной погрешностью 10 −5 , значение параметра для квадратур ГауссаКронрода выбиралось равным 6 (30-61 узел) для интегралов с осцилляциями. Для вычислений однократных интегралов по полубесконечным отрезкам интегрирования была выбрана процедура QSL4D, т.к. она оптимизирована для счета интегралов по большому отрезку интегрирования (табл. 4.1). Вычисления проводились с относительной погрешностью 10 −5 . Из проанализированных библиотечных подпрограмм вычисления интегралов по прямоугольнику (табл. 4.1), в качестве достаточно эффективных зарекомендовали себя QS81D, DQAND и DTWODQ. Причем в случае наличия осцилляций предпочтение отдавалось DTWODQ (вычисления проводили с абсолютной погрешностью 10−4 и относительной погрешностью 10 −5 , значение параметра для квадратур Гаусса-Кронрода выбиралось равным 6 (30-61 узел)) для интегралов с осцилляциями, а в остальных случаях - QS81D, DQAND, разделяя применение только временем счета конкретных интегралов.
90 Таблица 4.1. Проанализированные подпрограммы стандартных библиотек FORTRAN IMSL БЧА НИВЦ МГУ вычисление однократного интеграла по отрезку DQDAGS – предназначена для вычисления однократного интеграла от функции по отрезку с заданной абсолютной и относительной погрешностями. DQDAG – предназначена для вычисления однократного интеграла функции с использованием квадратур Гаусса-Кронрода с заданной абсолютной и относительной погрешностями. QSS1D – предназначена для вычисления однократного интеграла по обобщенной квадратурной формуле Симпсона с заданной абсолютной погрешностью. QSL1D – предназначена для вычисления однократного интеграла по формулам Лобатто 11-й степени точности. QSK2D – предназначена для вычисления однократного интеграла по обобщенной квадратурной формуле Ньютона-Котеса, точной для многочленов 9-й степени. вычисление однократного интеграла по большому отрезку Специализированные процедуры QSL4D – предназначена для отсутствуют, предлагается вычислять вычисления определенного интеграла процедурами DQDAG, DQDAGS. для больших отрезков интегрирования по формулам Лобатто 11-ой степени с гарантированной точностью. вычисление двукратных интегралов по прямоугольной области DQAND – предназначена для QS81D – предназначена для вычисления двукратного интеграла вычисления определенного функции по гиперчетырехугольнику. N - кратного (N=2..15) интеграла по DTWODQ – предназначена для прямоугольному параллелепипеду вычисления двукратного интеграла от методом Гаусса с заданной абсолютной функции с использованием квадратур погрешностью. – предназначена для Гаусса-Кронрода с заданной QS82D определенного Nабсолютной и относительной вычисления кратного (N=2..15) интеграла по погрешностями. прямоугольному параллелепипеду методом Гаусса. В последнем интеграле формулы (4.4) регулярное ядро является двумерным преобразованием Фурье центрально симметричной функции громоздкого, но явного вида. Поэтому, пользуясь свойствами подынтегральной
91 функции, для вычисления интеграла x x x ∫∫ P( ~ − ~ν )d~ запишем ядро в форме Σμ интеграла Фурье-Бесселя (Ганкеля): ( ) 2 2 3 ⎡ ρ + ρ − k+ − k− P(r ) = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ ⎢ − 2 3 ⎢ 2(ρ + + ρ − ) γ + (γ + + γ − ) (ρ −γ + + ρ + γ − ) 0 ⎣ ∞ 2 2 ⎤ ρ − (ρ + − ρ − )(k + − k − ) − ⎥, 2 2 2(ρ + + ρ − ) (γ + + γ − ) (ρ −γ + + ρ + γ − )⎥ ⎦ 2 (4.9) где j0 (t ) - функция Бесселя 0-го порядка. Для численного определения такого интеграла рассматривался вопрос вычисления интегралов в виде: ∞ ∫ ξ ⋅ f (ξ ) ⋅ j0 ( x ⋅ ξ ) ⋅ dξ . (4.10) 0 В ходе проведенных нами исследований целесообразности использования при численном вычислении интегралов вида (4.10) полиномиального представления для функции Бесселя и построение с его помощью квадратурной формулы для всего интеграла был отмечен другой возможный путь вычисления необходимого интеграла. Это связано с неисследованной точностью представления такой квадратурой исходного интеграла и необходимостью сократить вероятность ошибок кодирования и представления при непосредственных вычислениях. Поэтому при построении программного обеспечения была использована зарекомендовавшая себя библиотека IMSL [94], которая располагает хорошо оптимизированной для счета процедурой вычисления функции Бесселя. Таким образом, при вычислении интегралов вида (4.10) использовалась стандартная
92 процедура вычисления функции Бесселя и построенная на ее основе квадратурная формула для интегралов (4.10). Интегралы вида (4.10) с ядром (4.9), встречающиеся при вычислении коэффициентов матрицы для основной задачи, являются интегралами с осцилляциями, однако амплитуда осцилляций затухает при ξ → ∞ . При проведении серии вычислительных экспериментов по определению практического конечного верхнего предела интегрирования для (4.10) для коэффициентов основной и модифицированной задач принималась во внимание точность такого представления. Была рассмотрена точечная погрешность и численная сходимость к точному значению. В качестве точного решения принималось численное значение интеграла (4.10) с ядром (4.9), вычисленного для интервала (0, 10 ) 5 с использованием стандартной подпрограммы «БЧА НИВЦ МГУ» QSL4D, реализующей интегрирование по формулам Лобатто 11-й степени с гарантированной точностью [95]. Принимая во внимание результаты экспериментов и поведение подынтегральной функции, на практике (для рассматриваемого нами класса задач) бесконечный интервал интегрирования в (4.10) с ядром (4.9) заменялся конечным интервалом. В модифицированной задаче интегралы, соответствующие сингулярной и гиперсингулярной части, полностью идентичны рассмотренным выше. А интеграл (4.7) хотя и имеет вид (4.10), однако из-за своей специфики требует дополнительного исследования. Вычисление интеграла (4.7) удобно разбить и проводить по отдельности на интервалах, для которых подынтегральное выражение имеет характерное поведение (рис. 4.2): ∞ min ( k− ,k+ ) max ( k− ,k+ ) 0 0 min ( k− ,k+ ) Ι = ∫ D( ~ − ~ν , λ )d ( λ ) = x x x x ∫ D( ~ − ~ν , λ )d ( λ ) + x x ∫ D( ~ − ~ν , λ )d ( λ ) +
93 + ∞ def x x ∫ D( ~ − ~ν , λ )d ( λ ) = Ι1 + Ι 2 + Ι 3 . (4.11) max ( k− ,k+ ) Рис.4.2. Пример графика модуля подинтегральной функции в (4.7) при k − = 2π , k + = 3π (значение в λ = 3π конечно и составляет 642.3) Вспомогательные вычислительные эксперименты показали, что для вычисления осциллирующего интеграла Ι1 целесообразно применить стандартную процедуру IMSL [94] DQDAG с IRULE=6 (30-61 узел). Обращение к данной процедуре вычисления интегралов с осцилляциями было подсказано документацией процедуры, а также опытом исследования интеграла (4.10). Для вычисления интеграла Ι 3 можно воспользоваться той же процедурой DQDAG, если использовать режим IRULE=2 (10-21 узел). При этом функция D(r , λ ) затухает, и экспериментально подобрано такое соотношение между max(k − , k + ) и верхней границей усеченного интервала, при котором ошибка усечения не превосходит по порядку погрешности вычисления интеграла по усеченному интервалу. Представляется естественным, что в реальных условиях плоская волна падает в пространстве из бесконечности на экран, лежащий на слое из более плотного материала (чем пространство над ним). Обычно это случай k − < k + , при котором выполняется условие (2.14), согласно Замечанию 2.1.
94 Несложно проверить, что особенность у функции D(r , λ ) если и есть, то [min(k − , k + ), max(k − , k + )] , она лежит на но при k − < k + подынтегральная функция не имеет особенностей, и интеграл Ι 2 может быть вычислен с использованием более простых квадратур. Поэтому программная реализация решения задачи дифракции осуществлена для этого практически важного случая k − < k + . Отдельные эксперименты для альтернативного случая ( k − > k + ) демонстрируют затягивание и неустойчивость вычислений (несмотря на Ι2 попытки использования при вычислении специальных подпрограмм стандартных библиотек). В модифицированной задаче (2.37)-(2.43), после получения численного решения СЛАУ, для вычисления рассеянного поля (например, в области x3 > 0 над экраном) необходимо воспользоваться формулой (2.113) восстановления рассеянного поля в заданной точке. Для численного расчета воспользуемся вычисленным при решении СЛАУ (4.3) кусочно-постоянным приближением (4.2) решения уравнения (2.112): w( x ) = 1 2π ∑ uμ ⋅ μ∈Μ e −γ + ⋅x3 ∫⎛ ℜ2 dγ − − dγ − ρ γ e +e ⎜ 1 + − + dγ ⎜ ρ + γ − e − − e − dγ − ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ e ( −i⋅ ~ − ~μ ,λ x x ) dλ . (4.12) Двумерное преобразование Фурье в интеграле (4.12) имеет ядро, 2 зависящее только от λ = λ1 + λ2 , что позволяет представить его в виде 2 интеграла Фурье-Бесселя (Ганкеля): ∞ x x ∫ G ( ~ − ~μ , λ )d ( λ ), (4.13) 0 где def G (r , λ ) = λ ⋅ j0 (r λ ) e −γ + ⋅x3 ⎛ ⎞ ρ γ ⎜1 + − + cth (dγ − )⎟ ⎜ ⎟ ρ+ γ − ⎝ ⎠ .
95 Как видно, интеграл (4.13) имеет подобную структуру с интегралами (4.10) и (4.7). Поэтому необходимо учесть опыт исследования структуры ядра D(r , λ ) и интеграла (4.10). При этом функция G (r , λ ) (рис. 4.3) затухает быстрее, чем D(r , λ ) (рис. 4.2), и нами экспериментально подобрано такое соотношение между max(k − , k + ) и верхней границей усеченного интервала, при котором ошибка усечения не превосходит по порядку погрешности вычисления интеграла по усеченному интервалу. Рис. 4.3. Пример графика модуля подинтегральной функции (4.13) при k − = 2π , k + = 3π
96 4.4. Вычисление интегральных характеристик для задач дифракции на плоскопараллельных структурах Одной из важных интегральных характеристик, которые интересны с практической точки зрения, выступают диаграммы направленности и радиолокационные сечения рассеяния (Sonar Cross Section, SCS). Рассмотрим вопрос численного нахождения указанных характеристик на примере более простого случая – задачи (2.26)-(2.31) рассеяния плоской акустической волны на плоском абсолютно жестком ограниченном экране над плоскостью в однородном пространстве. Для этого случая в подразделе 3.3 была показана эквивалентность формул подхода на основе метода параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов и метода потенциала. r Пусть x = ( x1 , x2 , x3 ) - точка наблюдения, r = ρ ⋅ e , где ρ - расстояние от r точки x до начала координат, e = (cos ϕ , sin ϕ ) - единичный вектор, указывающий направление на точку x из начала координат, ϕ - угол между r вектором e и осью x1 . Решение имеет вид: 1 u (x ) = 4π ik x − y ∂ ⎛e ⎜ ∫∫ ∂n y ⎜ x − y Σ ⎝ ⎞ ⎟ ⋅ g ( y ) ⋅ ds = 1 ⎟ 4π ⎠ 1 ⎛ ⎧ ik ⋅ e ⎜⎪ = ∫∫ ⎜ ⎨− x − y 4π Σ ⎪ ⎝⎩ ik x − y ik x − y ⎛ r ⎞ ⎜∇y e , n y ⎟ ⋅ g ( y ) ⋅ ds = ∫∫ ⎜ x − y ⎟ Σ ⎝ ⎠ ik x − y ⎫ ⎞ ⎪ x− y r ⎟ + , n y ⋅ g ( y ) ⋅ ds = ⎟ 2 ⎬ x− y e x− y ⎪ ⎭ ⎠ ik x − y ⎞ 1 ⎛e ⎜ {1 − ik ⋅ x − y }(x3 − y3 )⎟ ⋅ g ( y ) ⋅ ds . = ∫∫ ⎜ 3 ⎟ 4π Σ x − y ⎝ ⎠ Воспользуемся следующим известным выражением: (4.14)
97 2 2 2 ⎡⎛ ⎞ ⎛ ( x, y ) ⎞ ⎤ y ( x, y ) 2 2 x − y = ( x − y, x − y ) = x ⎢⎜1 − 2 ⎟ + 2 − ⎜ 2 ⎟ ⎥ , ⎜ x ⎟ ⎥ ⎢⎜ x ⎟ x ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣⎝ ⎞ ⎛ y тогда для дальней зоны ⎜ << 1⎟ , в которой и рассчитывается диаграмма ⎟ ⎜x ⎠ ⎝ направленности, получаем ⎛ ( x, y ) ⎞ x − y ~ x ⋅ ⎜1 − 2 ⎟ , ⎜ x ⎟ ⎠ ⎝ (4.15) где « ~ » означает асимптотическое равенство. Учитывая (4.15), формула (4.14) принимает следующий вид: u (x ) ~ 1 4π ∫∫ e ik x ⋅e ⎛ x ⎞ − ik ⎜ , y ⎟ ⎜ x ⎟ ⎠ ⎝ x Σ = 3 ik x (− ik ⋅ x )⋅ x3 ⋅ g ( y1, y 2 )dy1dy2 = 1 e ⋅ e 4π x ∫∫ Σ ik x 1 e e = ⋅ ∫∫ 4π x Σ ⎛ x ⎞ − ik ⎜ , y ⎟ ⎛ ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠⎜ x ⎞ − ik ⋅ 3 ⎟ ⋅ g ( y1 , y 2 )dy1 ⋅ dy2 = ⎜ x⎟ ⎝ ⎠ ⎛ x ⎞ − ik ⎜ , y ⎟ ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ x ik x (− ik ) ⋅ x3 ⋅ g ( y1 , y 2 )dy1dy2 = 1 e ⋅ F (x ) . 4π x (4.16) Функция F ( x )  по определению называется диаграммой направленности [24]: 1 F (x ) = 4π ∫∫ e Σ ⎛ x ⎞ −ik ⎜ , y ⎟ ⎛ ⎜ x ⎟ ⎠⎜ ⎝ x ⎞ − ik ⋅ 3 ⎟ ⋅ g ( y1 , y 2 ) ⋅ dy1 ⋅ dy 2 , ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ (4.17)
98 Переходя в (4.17) на сферу, т.е. рассматривая x ⎛ x1 x2 x3 ⎞ = ⎜ , , ⎟ как точку x ⎜ x x x ⎟ ⎝ ⎠ единичной сферы ⎧ x1 = x sin θ cos ϕ ⎪ ⎨ x2 = x sin θ sin ϕ ⎪ x = x cosθ , ⎩ 3 придадим диаграмме направленности вид, удобный для расчетов: F (θ , ϕ ) = − Вычисление 1 ik cos θ ⋅ ∫∫ e − ik sin θ ⋅( y1 cos ϕ + y 2 sin ϕ ) ⋅ g ( y1 , y2 ) dy1dy2 . 4π Σ SCS можно провести по известной (4.18) диаграмме направленности: SCS (θ , ϕ ) = 10 ⋅ lg 4π ⋅ F (θ , ϕ ) λ2 2 = 10 ⋅ lg k 2 ⋅ F (θ , ϕ ) π 2 . (4.19) Вычисление поперечника рассеяния σ (k )  проводится по формуле 4 k σ (k ) = Im F (0,0) . (4.20) Для повышения скорости расчетов нам пришлось разработать на основе стандартных процедур вычисления интегралов из библиотек «БЧА НИВЦ МГУ» и IMSL собственные процедуры вычислений, которые учитывают современные возможности работы с комплексными переменными на компьютере. Проблема состоит в том, что для диаграмм направленности (аналогично тому, как и для полей) нам необходимо вычислять интегралы следующего вида:
99 I= ∫ f ( x) K ( x )dx , (4.21) Σμ где K (ξ ) = ∫ g (ξ , y )dy = Ι p , ℜ p = 1,2 ; p f ( x), g (ξ , y ) - заданные комплекснозначные функции. При изучении возможности применения стандартных процедур (БЧА НИВЦ, IMSL) оказалось, что все подпрограммы настроены на работу с действительными подынтегральными функциями. Стандартным приемом является вычисление по очереди Re и Im частей подынтегральной функции. Но в данном случае он не эффективен по времени и затрачиваемым ресурсам потому, что функция K (ξ ) в (4.21) также комплекснозначная, а вычисление интеграла от нее весьма трудоемко. Вычисляя Re и Im частей интеграла (4.21) по очереди, приходится четырежды возвращаться к вычислению двойных интегралов вида (4.21). Оказалось, что в таком случае, несмотря на более быстрое вычисление вещественных интегралов по сравнению с комплексными [96], вычисление одного комплексного интеграла вида (4.21) дает ускорение счета примерно в 3 раза на компьютере с 512Mб оперативной памяти и частотой процессора 1.6ГГц. В связи с изложенными выше обстоятельствами, была разработана подпрограмма, вычисляющая двумерный интеграл от комплекснозначной функции по методу Симпсона с использованием стандартных процедур библиотеки IMSL. Нами был применен данный метод ввиду его простоты для двумерных интегралов, и в тоже время он обеспечивает приемлемую точность вычислений. Контроль погрешности проводился по принципу Рунге [97]. Также возможен другой подход – создание при первом счете K (ξ ) кеша вычисленных значений, и при остальных – использование этих значений. Данный подход не был применен в виду экономии памяти, так как он подразумевает размещение кеша значений в оперативной памяти.
100 Перейдем к определению диаграммы направленности в задаче (2.16)-(2.21) рассеяния на плоском экране, находящемся на разделе двух полупространств с различными характеристиками. Рассеянное поле w(x) в области x3 > 0 (для случая x3 < 0 все вычисления полностью аналогичные) может быть найдено с использованием (2.89): ~ ~ 1 e − γ + x3 w( x ) = u( y ) ∫ e − i ( x − y , λ )dλ dy . ∫ 2π Σ ⎛ ρ γ ⎞ ℜ 2 ⎜1 + − + ⎟ ⎜ ρ γ ⎟ ⎝ + − ⎠ (4.22) Рассмотрим ядро интеграла (4.22) Q(r , z ) = 1 2π ∫⎛ ℜ 2 e −γ + z e − i ( x − y , λ )dλ . ~ ~ ρ γ ⎞ ⎜1 + − + ⎟ ⎜ ρ γ ⎟ ⎝ + − ⎠ (4.23) 2 Отметим, что ядро интеграла (4.23) зависит только от λ = λ1 + λ2 , 2 поэтому можно представить интеграл Фурье (4.22) как интеграл Фурье-Бесселя: ∞ Q(r , z ) = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ 0 e −γ + z ⎛ ρ− γ + ⎞ ⎜1 + ⎜ ρ γ ⎟ ⎟ ⎝ + − ⎠ d (λ ). (4.24) Для того, чтобы воспользоваться преобразованиями, известными для интегралов такого вида, в (4.25) нам необходимо преобразовать ядро интеграла, используя промежуточные результаты при доказательстве Леммы 3.2: 1 ⎛ ρ γ ⎞ ⎜1 + − + ⎟ ⎜ ρ+ γ − ⎟ ⎝ ⎠ = γ+ ⋅ γ+ ⎛ 1 ρ γ ⎞ ⎜1 + − + ⎟ ⎜ ρ+ γ − ⎟ ⎝ ⎠ = − ρ+ γ+ ⋅ −γ+ ⎛ ρ γ ⎞ ρ + ⋅ ⎜1 + − + ⎟ ⎜ ρ+ γ − ⎟ ⎝ ⎠ =
101 2 2 ⎞ 1 ρ− k+ − k− 1 − ρ+ ⎛ γ+ − = ⋅⎜− ⋅ ⋅ + S ( λ )⎟ , ⎟ γ + ⎜ ρ+ + ρ− ρ + + ρ − 2(ρ + + ρ − ) γ + ⎝ ⎠ (4.25) ( ) где S (τ ) = O τ −3 ,τ → ∞ . Таким образом, интеграл (4.24) с использованием (4.25) и свойства аддитивности интеграла имеет вид: Q(r , z ) = ρ+ ρ+ + ρ− ∞ ∫ λ ⋅ j0 (r λ )⋅ e −γ + z 0 ∞ − ρ + ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ S ( λ ) ⋅ 0 e −γ + z γ+ 2 2 1 e −γ + z ρ + ρ − (k + − k − ) ∞ d (λ )+ λ ⋅ j0 (r λ )⋅ ⋅ d (λ )− 2 ∫ γ+ γ+ 2(ρ + + ρ − ) 0 2 2 ρ + ρ − (k + − k − ) d (λ ) = Q + Q − ρ Q (4.26) ρ + + ρ − 1 2(ρ + + ρ − )2 2 + 3 ρ+ def Интеграл Q1 в (4.26) вычисляется аналитически [26] и имеет вид: ∞ Q1 = ∫ λ ⋅ j0 (r λ )⋅ e −γ + z 0 ∞ d ( λ ) = ∫ λ ⋅ j0 (r λ )⋅ e 2 2 − z λ −k+ d (λ ) = 0 = eik + (r 2 r2 +z2 +z 2 ) 3 2 (1 − ik ) r2 + z2 . + Оставшиеся интегралы в (4.26) имеют вид: 2 ∞ 2 − z λ −k+ 0 ∞ 2 λ − k+ e 1 e −γ + z Q2 = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ ⋅ d ( λ ) = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ γ+ 0 ∞ γ+ Q3 = ∫ λ ⋅ j0 (r λ )⋅ S ( λ )⋅ 0 e −γ + z γ+ ∞ d ( λ ) = ∫ λ ⋅ j0 (r λ )⋅ 0 2 e −z λ ⋅ 2 2 λ −k+ 2 2 − k+ 1 2 2 λ − k+ d ( λ ), ⋅ S ( λ )⋅ d ( λ ) .
102 В случае модифицированной задачи (2.37)-(2.43) рассеянное поле может быть найдено через интеграл (4.12), ядро которого имеет вид: Q(r , z ) = ∫⎛ ℜ = e −γ + ⋅x3 ρ γ e dγ − + e − dγ − ⎜ 1 + − + dγ ⎜ ρ + γ − e − − e − dγ − ⎝ 2 ρ+ ρ+ + ρ− ∞ ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ e −γ + z 0 e ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( −i⋅ ~ − ~μ ,λ x x ) dλ =           2 2 ρ + ρ − (k + − k − ) ∞ 1 e −γ + z d (λ ) + λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ ⋅ d (λ ) − 2 ∫ γ+ γ+ 2(ρ + + ρ − ) 0 ∞ − ρ + ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ S ( λ ) ⋅ e −γ + z γ+ 0 ∞ d ( λ ) − ρ + ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ L( λ ) ⋅ e −γ + z 0 γ+ def d (λ ) = 2 2 ρ + ρ − (k + − k − ) = Q + Q − ρ Q − ρ Q ,  (4.27) ρ + + ρ − 1 2(ρ + + ρ − )2 2 + 3 + 4 ρ+ def ∞ где Q1 = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ e −γ + z 0 ∞ d ( λ ) = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ e Q2 = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ 0 1 e ⋅ γ+ −γ + z γ+ ∞ Q3 = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ S ( λ ) ⋅ 0 ∞ Q4 = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ L( λ ) ⋅ 0 ∞ =∫ 0 d (λ ) = 0 = ∞ 2 2 λ −k+ −z λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ ρ − ⋅ e −z e ik+ (r 2 ∞ d ( λ ) = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ +z e 0 e −γ + z γ+ e −γ + z γ+ 2 2 λ −k+ ∞ d ( λ ) = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ 0 (1 − ik r2 + z2 2 −z ) 3 2 2 2 λ −k+ 2 λ − e −z 2 k+ 2 2 λ − 2 k+ ) r2 + z2 ; 1 ⋅ 2 λ − k+ 2 λ − 2 k+ d ( λ ); ⋅ S ( λ ) ⋅ d ( λ ); d (λ ) = 2 2 2 2 2 ⋅ λ − k+ ⋅ λ − k− ⋅ e ⎛ρ λ 2 − k2 + ρ ⎜ + − − ⎝ + 2d ⎛ 2 2 2 2 2 2 λ − k + ⎞⎜ ρ + λ − k − + ρ − λ − k + ⎟⎜ ⎠ ⎝ 2 2 λ − k− −1 ⎛ ⋅ ⎜1 + ⎜ 2d ⎝ e ⋅ d (λ ) 2 2 2 λ − k− ⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ − 1⎠⎠ .
103 4.5. Выводы по разделу 4 Впервые на основе известной схемы методов дискретных особенностей построена дискретная модель для приближенного описания рассматриваемых процессов дифракции в трехмерном пространстве на плоскопараллельных структурах. Для построенных гиперсингулярных интегральных операторов в классе кусочно-постоянных функций предложен алгоритм вычисления и осуществлен выбор методов вычислений из библиотек IMSL и «БЧА НИВЦ МГУ». Выведены формулы и освещены вопросы практического вычисления интегральных характеристик для рассматриваемых задач дифракции на плоскопараллельных структурах.
104 РАЗДЕЛ 5 ИНСТРУМЕНТАРИЙ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Описываются разработанные автором программные системы компьютерного моделирования рассматриваемых процессов дифракции на плоскопараллельных вычислений, структурах. практической Исследуются сходимости и вопросы правильности согласованности результатов вычислений с известными ранее результатами. Отдельное внимание уделяется вопросам качественной оценки разработанного программного обеспечения в соответствии с требованиями международных стандартов. 5.1. Программные системы компьютерного моделирования При разработке программного обеспечения мы ориентировались на возможность его выполнения на персональных компьютерах со следующими характеристиками: 1) процессор с общей частотой от 1.7ГГц и математическим сопроцессором; 2) оперативная память от 256Мб при холостой загрузке не более, чем на 50%; 3) свободное пространство на жестком диске от 200Мб; 4) операционная система Windows XP, Vista. Для реализаций на языке Ада 95 использовались компиляторы GNAT Ada 3.15p и GNAT GAP 2006, GNAT GAP 2007, лицензированные и предоставленные нам в рамках программы The GNAT Academic Program (GAP)
105 компании-разработчика AdaCore (Париж, Франция). Для разработки программ на языке Фортран 95 использовался распространяемый бесплатно Salford FTN95 Fortran 95 Compiler Personal Edition v. 5.21, а при использовании библиотеки IMSL – компилятор Compaq Visual Fortran Professional Edition v.6.5. Первая программная система Diffraction_On_Rectangle включает в себя две версии программы решения задачи (1.2)-(1.4), (1.6) дифракции плоской акустической волны на плоском жестком ограниченном экране в однородном пространстве. Программная система Diffraction_On_Rectangle разработана ввиду того, что задача дифракции плоской акустической волны в однородном пространстве на плоском жестком тонком ограниченном экране была рассмотрена ранее при помощи метода потенциала в работе [28] с доказательством сходимости в функциональных пространствах. С другой стороны, такая же задача рассматривалась в работе [59], где применялся используемый в диссертации метод параметрических представлений псевдодифференциальных и гиперсингулярных интегральных операторов. При разработке программной системы Diffraction_On_Rectangle (рис. 5.1) уделялось особое внимание отработке приемов и технике разработки визуального интерфейса и функциональной части. Версия Diffraction Studio реализована на языке Ада 95, и в ней создан визуальный интерфейс пользователя при помощи бесплатной кроссплатформенной графической библиотеки GTKAda. Версия Potencial_Method реализована на языке Фортран 95, и в ней особое внимание было уделено вычислительной эффективности, для чего проводился подбор стандартных функций различных библиотек численных методов. Как было показано в подразделе 3.3 на примере задачи (2.26)-(2.31), для задач дифракции на плоских экранах в однородном пространстве подходы метода потенциала и метода параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов являются по сути эквивалентными, разнясь только вычислительными алгоритмами. Поэтому программная система
106 Diffraction_On_Rectangle в диссертации исполняет роль тестового эталонного примера для основной задачи (2.16)-(2.21). Замечание 5.1 Слово Rectangle в названии сохранилось по исторической причине, поскольку программа изначально создавалась методом поэтапного развития из прототипа, в котором экран был прямоугольником. В существующей на данный момент версии в качестве экрана может выступать любая плоская ограниченная область (в том числе и несвязная), которую можно разместить в некотором прямоугольнике. Рис. 5.1. Пример организации структуры программной системы Diffraction_On_Rectangle Программная система Diffraction_On_Screens (Приложение Б) позволяет запустить любое из четырёх приложений из своего меню, что дает возможность в соответствии с разработанными выше методами и алгоритмами моделировать на компьютере следующие процессы: - дифракцию плоской акустической волны на плоском жестком ограниченном экране прямоугольной формы (Rect_Toeplitz) (исследование
107 структуры матрицы, лежащее в основе приложения, будет проведено в подразделе 5.2); - дифракцию плоской акустической волны на плоском жестком ограниченном экране, расположенном над жесткой плоскостью (Potencial_Method_Plane, Method_Plane) для (2.26)-(2.31) в соответствии с результатами подразделов 2.4 и 3.3; - дифракцию плоской акустической волны на системе из двух плоских жестких ограниченных экранов, расположенных в параллельных плоскостях (Potecial_Method_2Screens) в соответствии с подходом подраздела 3.3. Не считая пункта меню Rect_Toeplitz, предназначенного для целей контроля точности обеспечивает других программ, система Diffraction_On_Screens компьютерное моделирование дифракции на двух экранах в однородном пространстве, причем один из них может быть столь большим, что моделируется плоскостью. При этом новый, не рассматривавшийся другими исследователями случай рассеяния на плоском ограниченном экране над жесткой стенкой, представлен двумя реализациями, основанными на разных подходах (метод потенциалов и метод параметрических представлений псевдодифференциальных и гиперсингулярных интегральных операторов). Это обеспечивает возможность проверки достоверности и, отчасти, точности расчётов путём сравнения численных результатов моделирования. Результаты моделирования при помощи Diffraction_On_Screens могут использоваться сами по себе для целей исследования процессов дифракции, а также как эталон для сравнения с ними результатов других программ, которые предназначены для моделирования более сложных процессов. При построении этой системы были учтены недостатки метода использования ресурсов памяти Diffraction_On_Rectangle. Были приняты меры к сокращению времени вычислений (при тех же параметрах дискретизации) путем добавления в программные реализации новых модификаций алгоритмов и настройки стандартных процедур с учетом особенностей задачи. В частности,
108 использована информация о блочной-теплицевости матрицы СЛАУ для случая одного экрана прямоугольной формы (исследование будет проведено в подразделе 5.2), что позволило не только сократить затраты на хранение и формирования матрицы, но и осуществить вычисления для существенно более густых разбиений экрана. Программная система Diffraction_On_Flatness дает возможность запускать одно из двух приложений, позволяя моделировать на компьютере следующие процессы: - дифракцию плоской акустической волны на плоском жестком ограниченном экране, расположенном в плоскости раздела сред (Flatness_SLScreen) в соответствии с (2.16)-(2.21) и алгоритмами, описанными с подразделах 4.2,4.3,4.4; - дифракцию плоской акустической волны на плоском жестком ограниченном экране, расположенном на слое над жесткой плоскостью (Flatness_SLHScreen) в соответствии с (2.37)-(2.43) и алгоритмами, описанными с подразделах 4.2,4.3,4.4. Новизна постановки задачи математического моделирования, которое поддерживает на компьютере система Diffraction_On_Flatness, потребовала модифицировать, по сравнению с предыдущими системами, файлы входных данных, (оставив совместимость – файл входных данных следующей системы может использоваться в предыдущей), реализовать новые алгоритмы вычислений коэффициентов матрицы СЛАУ (4.3) и подобрать новые процедуры вычисления интегралов. При использовании разработанного компьютерного инструментария в исследованиях важную роль играет качество интерфейса пользователя. Удобный графический интерфейс пользователя разработан в диссертационной работе на примере программы Diffraction Studio (рис. 5.2). Он может служить образцом для построения интерфейсов других компьютерных систем математического моделирования дифракции акустических волн на плоскопараллельных структурах. Перенос разработанного для Diffraction Studio интерфейса в другие
109 приложения возможен (с очевидной конверсией), если их разработка осуществояется на языке Ада (или на другом языке, для которого существует версия кросс-платформенной библиотеки GTK 2.2, то есть, С++, C#, Java, Perl, PHP и др.). a) б) Рис. 5.2. Примеры этапов решения задачи в окне программы Diffraction Studio: а) – ввод данных о характере падающего поля; б) – построение графика диаграммы направленности.
110 Были приняты следующие решения по содержанию ввода-вывода, который должен обеспечиваться компьютерным инструментарием моделирования: - обеспечить расчет и визуализацию диаграмм направленности, их сохранение и экспорт; - обеспечить ввод данных, обеспечивающих варьирование всех параметров падающей волны; - обеспечить ввод данных, определяющих произвольную (в рамках определения 2.1) форму плоского экрана (не обязательно односвязного и, вообще, связного); - обеспечить соответствие файлов входных данных всех разрабатываемых программ по принципу: если постановка задачи моделирования одной из них обобщает другую, то наименования файлов входных данных сохраняются, а сам такой файл более сложной программы получается из файла более простой добавлением необходимых параметров; - обеспечить возможность сохранения вычисляемых матриц СЛАУ дискретных моделей для повторного использования и последующего исследования; - обеспечить возможность прерывания вычисления по алгоритму и сохранения данных его последнего завершенного этапа для восстановления в следующем сеансе работы; - обеспечить сохранение численного решения рассматриваемой задачи в форме, позволяющей дальнейшее использование в сторонних пакетах и системах (например, Waterloo Maple); - обеспечить интегральных графическое характеристик отображение найденного одной или нескольких рассеянного поля (диаграммы направленности, сечения рассеяния и т.п.). Этих требования, в частности, были основными при принятии решений по форматам файлов входных, выходных и промежуточных данных.
111 Были разработаны автоматизацию управляющие управления вычислительного этапа на памятью, программы, которые обеспечили передачи данных с другой, выдачу понятных одного информационных сообщений о ходе вычислительного процесса, как в прогнозируемых ситуациях успешного его окончания, так и в нештатных ситуациях. В связи со сказанным подчеркнем, что сохранение всех параметров счета и предоставление результатов вычисления, причём в известной и удобной для их анализа форме, является важным требованием к программному обеспечению исследовательского назначения в области моделирования акустических явлений. Это связано с тем, что достоверность моделирования картины распределения давлений в трёхмерной среде сложно оценить эмпирически, ограничившись просмотром иллюстративных примеров, которые характерны для журнальных статей. Для осуществления контроля разработанного компьютерного инструментария в диссертации используется система оценок (как принято говорить, модель) качества программного обеспечения, основанная на требованиях международных стандартов качества ISO/IEC 9126:2001 [75] и IEEE 928-1988[79], а также стандарта ДСТУ 2850-94 [83] (см. подраздел 1.3). Конкретная модель качества, применимая к компьютерным системам, разработанным в диссертации, описана в [81]. Её часть, определяющая внутреннее качество это список метрических (то есть, числовых) оценок, которые разработчик должен выполнить по отношению к исходным текстам своих программ и сопровождающей их документации. Далее эти оценки метрик последовательно усредняются по группам (подхарактристикам), а затем – по характеристикам, перечисленным в подразделе 1.3. В процессе разработки приложения Potencial_Method и систем Diffraction_On_Screens и Diffraction_On_Flatness дважды производилось комплексное оценивание их внутреннего качества с тем, чтобы сравнивать результаты с теми, которые имели место для Diffraction_On_Rectangle, служившей ориентиром «достаточного уровня» (рис. 5.3). После выяснения
112 причин обнаруженного отставания показателей и его устранения, соответствующие показатели приняли значения, не ниже «достаточного уровня». В связи с тем, что функциональность программы – образца «достаточного качества» находилась «всего лишь» на уровне 0.7 (рис. 5.3), поясним главную причину. Она типична и состоит в том, что некоторые функции, требуемые от систем данного класса по решениям 2007 г., не были предусмотрены проектом Diffraction_On_Rectangle в 2003-2005 гг. Рис. 5.3. Радиально-метрическая диаграмма комплексной оценки внутреннего качества для программы Diffraction_On_Rectangle (2004 г.) согласно [7] На самом деле, поскольку не для всех наших систем предполагалось реализовывать графический интерфейс пользователя и полиплатформенность, указанный контроль внутреннего качества имело смысл проводить только на основе следующих практичность и подхарактеристик [7], характеристик: эффективность. мы, не теряя функциональность, Больше в того, надёжность, учитывая достоверности, как веса правило, ограничивались рассмотрением следующих подхарактеристик: пригодность, точность, завершенность, восстанавливаемость, временные характеристики, использование ресурсов, анализируемость, устойчивость. Для этих
113 подхарактеристик делались оценки в соответствии с методами, которые принято называть «метриками». Для оценивания внутреннего качества программ компьютерного моделирования дифракции можно выделить следующие важные метрики. I. Пригодность (Suitability). Метрики: функциональная адекватность (functional adequacy); завершенность функциональной реализации (functional implementation completeness); функциональное покрытие (functional implementation coverage). II. Точность (Accuracy). Метрики: вычислительная точность (computational accuracy). III. Восстанавливаемость (Recoverability). Метрики: восстанавливаемость данных в худшем случае (Worst data restoration). IV. Временные характеристики (Time Behavior). Метрики: асимптотическая степень для времени обработки (asymptotic power for turnaround time). V. Использование ресурсов (Resource Utilization). Метрики: асимптотическая степень для использованной памяти (asymptotic power for utilized memory). VI. Анализируемость (Analyzability). Метрики: готовность функций диагностики (readiness of diagnostic function); запись активности программы (activity recording). VII. Устойчивость (Stability). Метрики: изменение влияния локализации (modification impact localization). Для пояснения смысла метрических оценок внутреннего качества приведём примеры оценивания метрик характеристики «Функциональность».
114 1) Метрики пригодности а) Функциональная адекватность Метрика вычисляется по формуле (см. [74,75]) X =1− A , B где A - количество функций, в которых найдены проблемы, B - число проверенных функций. Поскольку для некоторых подпрограмм и выражений на момент оценивания не была проведена исчерпывающая верификации, то для Diffraction_On_Rectanlge данной метрики получилась оценка 0.857. б) Завершенность функциональной реализации Метрика вычисляется по формуле (см. [74,75]) X =1− A , B где A - количество отсутствующих функций B - число проверенных функций из числа необходимых для реализаций данного типа. Для данного типа – систем реализации математического моделирования на основе методов дискретных особенностей – список необходимых функций был разработан в [7]. В частности, поэтому некоторые из них в проекте Diffraction_On_Rectanlge (2003-2005 гг.) не предусматривались. Оценка метрики составила 0.66. в) Функциональное покрытие Метрика вычисляется по формуле X =1− A , B
115 где A - количество некорректно реализованных или отсутствующих функций, B - число проверенных функций из числа необходимых для реализаций данного типа. Некорректно реализованных функций в чисто вычислительной части программы Diffraction_On_Rectanlge не обнаружено, отсутствующие функции (см. выше). Вцелом зато есть значение данной метрики 0.76. 2) Метрики точности а) Вычислительная точность Метрика вычисляется по формуле X= A , B где A - количество функций, в которых реализованы необходимые требования по точности (подтвержденные при проверке), B - количество функций, в которых необходимо реализовать необходимые требования по точности (исходя из спецификации программы или других соображений). В программе Diffraction_On_Rectanlge предпочтение отдано экономии по памяти и времени вычислений перед резервированием, повышеннием точности представления данных вместе с повышением размерности дискретной модели. Поэтому оценка метрики всего 0.6. 3) Метрики совместимости а) Возможность обмена данными Метрика вычисляется по формуле
116 X= A , B где A - количество форматов данных для обмена, которые корректно реализованы, B - количество форматов данных для обмена, которые необходимо реализовать (исходя из спецификации программы или других соображений). Для Diffraction_On_Rectanlge оценка метрики составила 1.0. 4) Метрики функционального соответствия а) Функциональное соответствие Метрика вычисляется по формуле X= A , B где A - количество корректно реализованных элементов, связанных с функциональным соответствием, B - количество элементов соответствия. Низкое абсолютное значение оценки для Diffraction_On_Rectanlge 0.46 объясняется тем, что при разработке этой программы требование функционального соответствия не рассматривалось (см. выше). Внешнее качество [75] может оцениваться, только начиная с того момента, когда программная система разработана настолько полно, что может быть запущена на выполнение (на реальных либо тестовых данных). На практике эта оценка, ввиду её трудоёмкости, если проводится для небольших систем, то как часть процесса их подготовки к передаче для использования потребителями.
117 Важность этой оценки состоит в том, что она объективно характеризует программную продукцию по её свойствам. Замечание 5.2. Если внутреннее качество является средством авторского контроля программ, то внешнее непременно проводится без активного участия разработчика. Более того, согласно [75], для оценки внешнего качества рекомендуется независимая оценка минимум 8 экспертов. Но этому не противоречит практика, при которой независимая экспертиза часто основывается на тестах и других необходимых материалах, предоставляемых разработчиком (в противном случае разработчик бывает заранее ознакомлен с методикой и примерами тестов внешней экспертизы). В связи с тем, что пока не нашлось достаточного числа экспертов специалистов, готовых провести независимую оценку разработанных в диссертации программных систем, в направлении внешнего тестирования, в настоящей работе проведена подготовка к оценке внешнего качества. Для этого созданы необходимые тесты, подобраны необходимые метрики и оценена возможная трудоёмкость такой работы [7]. В число подготовленных для внешнего оценивания входят следующие тесты: 1) Тесты функциональности. Содержание теста: Исследование реализованных в программе функций путем изменения входных данных. Количество: по 2 теста на каждую тестируемую функцию. 2) Тесты точности. Содержание теста: Исследование погрешности решения при сближении параметров моделирования, вытягивания формы экрана. Количество: по 5 тестов на каждую модификацию параметров. 3) Тесты ввода-вывода. Содержание теста: Изменение формы экрана, направления падения волны, параметров моделирования должны оказывать влияние на результаты вычислений.
118 Количество: по 3 теста на каждый исследуемый входной параметр. 4) Тест надежности. Содержание теста: При остановке работы программы проверяется возможность сохранения результатов расчетов и восстановление вычислений. Количество: 10 тестов, включающих срыв работы программы с шагом 10% от времени начала вычислений. В процессе подготовки к оцениванию созданных в диссертационной работе программ, была полностью конкретизирована [7] система оценки внешнего качества программных систем данного класса, основанная на [75]. В частности, были доработаны алгоритмы вычисления некоторых метрик. Предложена новая метрика внешнего качества – «Худший показатель времени» (Worst case of time power ration). Смысл этой метрики заключается в сравнении теоретической (асимптотической) и наблюдаемой оценок роста времени вычислений в зависимости от параметра дискретизации. Полагая, что зависимость времени T от параметра дискретизации N задается законом T ≈ cN b , экспериментально (на тестах) оценивается параметр b . Тогда числовое значение метрики X ∈ (0,1) определяется формулой X = max i где min (a, b ) , max (a, b ) i - номер эксперта, проводящего оценку (обычно не менее 8 экспертов); a - теоретическая оценка показателя при оценке времени выполнения указанной группы задач по закону T ≈ qN a . Принципиальная возможность использования данной системы оценивания и примерная трудоёмкость такого процесса были оценены путём проведенного в диссертационной работе эксперимента по применению к демо-версии программы ЭДЭМ 3D [64]. Была подтверждена практическая вычислимость выбранных метрик и соответствующие ориентировочные величины
119 продолжительности во времени. Итоговая оценка составила от 31 до 63 человеко-часов на весь цикл непрерывного оценивания внешнего качества согласно разработанной модели [7]. Таким образом, рассчитывать на проведение полноценной экспертизы внешнего качества разработанных программ можно, если, наряду с исследовательскими применениями, эти программы будут интересны и с коммерческой точки зрения. В дальнейшем в подобных ситуациях возможно будет заменять внешнюю экспертизу прогнозом на основе соответствующей математической модели и оценённого внутреннего качества [75]. Процесс создания такой модели начат, но еще не завершен [8]. Учитывая эти обстоятельства, мы обратились к другому пути исследования надёжности разработанных систем - на основе нормативного документа IEEE 982.2 [79]. В нём рекомендовано совмещение метрических оценок качества программной продукции с оцениванием процесса её разработки. Среди рекомендованных для этого средств выделяются научные метрики Холстеда. Этой группой мер, относящихся и к продукции, и к процессу разработки, охватывается несколько различных аспектов качества (см. подраздел 1.3). Используя обобщения научных метрик – энергетические метрики [76] (см. также подраздел 1.3), нами на каждом этапе разработки программных систем, который завершался очередной версией, вычислялись: A - работа программирования ([76], С. 51), E - спецификационная энергия ([76], С. 45), Q = E − A - информационное тепло, переданное программе. Интерпретация метрики «Энергетическая согласованность» [7] основана на том наблюдении [81], что цели, которые ставятся при разработке очередной версии, как бы чередуются: вначале создаётся версия для апробации костяка будущей программы, затем наращивается её функциональность, потом требуется улучшение структуры при сохранении функциональности и т.д. Это
120 должно приводить к значительным колебаниям величины информационного тепла, причём, если принять одну гипотезу Холстеда [82], колебания должны происходить вокруг нуля, то есть, со сменой знака величины Q . Рис. 5.4. Характерный пример изменения величины информационного тепла Q в зависимости от версии программного обеспечения, на чём основана интерпретация метрики «Энергетическая согласованность» Впервые такая закономерность была проверена в процессе разработки программной системы на примере Diffraction_On_Rectanlge. Это послужило основанием к построению алгоритма вычисления метрики «Энергетическая согласованность». Вариант 1. М++ (= 1.0) – все описания версий согласуются со знаком и величиной тепла Q , отвечающего подобным версиям. Вариант 2. М+- (= 0.6) – согласованность незаконченная, но это имеет простое объяснение. Вариант 3. М-+ (= 0.3) – согласованность не полная и нет этому простого объяснения. Вариант 4. М—(= 0.0) – согласованность отсутствует.
121 Учитывая информацию об этапах разработки Diffraction_On_Rectanlge (рис. 5.4), немедленно получаем максимальную оценку метрики как М++. Эта оценка проведена постфактум. Но уже при создании систем Diffraction_On_Screens, Diffraction_On_Flatness метрика «Энергетическая согласованность» использовалась в качестве средства самоконтроля при разработке. В этих разработках значение данной метрики также оказалось в среднем близкой к 1.0 (обычно получалось М++, иногда М+-). Но смысл применения данной метрики не в её численном значении. Для того, чтобы получать такие значения этой меры процесса разработки, пришлось явно и довольно тщательно планировать каждый очередной этап улучшения существующей версии, задумываясь над стратегическими целями очередной доработки (переработки) программы. Это полностью соответствует идее [79] по применению оценки качества разработчиком, не столько ради числового результата оценивания, сколько для гарантии того, что программная продукция получится действительно качественной. 5.2. Форсирование используемых вычислительных алгоритмов Специфика вычислительных экспериментов по трехмерному моделированию состоит в том, что, несмотря на значительно возросшие вычислительные мощности современных компьютеров, приходится констатировать недостаток ресурсов при их проведении [71]. Даже если имеющаяся в наличии вычислительная техника позволяет провести единичный счет, то этого недостаточно для проведения содержательных вычислительных экспериментов или их серий. В связи с этим, в задаче планирования вычислительных экспериментов возникают трудности, связанные с ограниченностью ресурсов.
122 Основным узким местом обобщенного метода дискретных замкнутых вихревых рамок является выбор достаточной степени дискретизации, необходимой для достижения точности получаемого численного решения. Конечно, для единичного счета можно увеличивать степень дискретизации, работая на пределе возможностей техники, однако в условиях необходимости многократного повторения счета за конечное время такой подход не применим. В работах исследователей [98,99,84] адекватность и близость численного решения проверялась путем наблюдения стабилизации счета при изменении густоты сетки (увеличения степени дискретизации). Однако ввиду ограниченности ресурсов приходится работать на небольших изменениях, что может приводить к некорректным выводам. В связи с этим в настоящей работе была изучена возможность, разработаны и применены алгоритмы по форсированному увеличению густоты сетки. К сожалению, такого рода форсирование невозможно на произвольной структуре, поэтому для отработки методик исследования адекватности и близости численного решения рассматриваемых задач дифракции проводились на прямоугольных структурах без отверстий. При большом параметре дискретизации N основным этапом, занимающим вычислительные ресурсы в рассматриваемых в работе задачах, является этап вычисления матричных элементов (более подробно это будет исследовано в подразделе 6.4). Как видно из выражения (4.3), коэффициенты представляют собой функции, зависящие от расстояния. Поэтому, при соответствующе выбранной нумерации [100], матрица СЛАУ должна иметь блочно-теплицеву структуру. Выбранная нами при вычислениях естественная нумерация ячеек Σ μ , μ ∈ Μ , которую можно считать общепринятой [43,38,45], заключается в последовательной нумерации, начиная с левого нижнего угла области Σ′ . При такой нумерации для прямоугольного экрана (без отверстий) Σ структура матрицы СЛАУ имеет блочно-теплицеву структуру. Для тех же прямоугольных экранов и той же нумерации ячеек дискретизации матрица
123 СЛАУ имеет блочно-диагональное преобладание, что в рассмотренных нами случаях устанавливалось экспериментально. Похожие исследования проводилось в [99]. Такой вид представления матрицы значительно сокращает необходимые ресурсы памяти для хранения (известны [101] компактные схемы хранения теплицевых матриц), а также сокращает затраты времени и счета [101], благодаря существующим алгоритмам решения систем с теплицевыми матрицами (например, в стандартной библиотеке «БЧА НИВЦ МГУ» [95] подпрограмма UASKBC). К сожалению, в случае произвольного допустимого экрана матрица имеет общую структуру. коэффициенты Однако СЛАУ, в матрица силу свойств содержит интегралов, большое входящих количество в групп повторяющихся элементов. а) б) Рис. 5.5. Идея (а) и реализация (б) схемы «фильтрации» элементов матрицы Для целей оптимизации счета по критерию времени и вычислительных ресурсов разработан и применен алгоритм «фильтрации» (рис. 5.5), который заключается в сохранении вычисляемых элементов СЛАУ, фильтровании и недопущении повторного счета ранее вычисленных элементов. Похожее исследование проводилось в [102]. Применение схемы фильтрации позволило ускорить вычисления (табл. 5.1) и стало возможным благодаря свойству вычисляемых интегралов,
124 зависящих от расстояния, что позволяет естественным образом ввести их параметризацию и организовать хранение вычисленных значений. Таблица 5.1. Характеристики затрат вычислений элементов матрицы СЛАУ в тестовых задачах. Сплошной прямоугольный экран БлочноМатрица общего теплицевая вида матрица Произвольный экран Вид матрицы Размерность матрицы Количество разных гиперсингуля рных интегралов Количество разных регулярных интегралов для вычислений Чем достигнута экономия Заполнение СЛАУ N = N1 N 2 × N1 N 2 N = N1 N 2 × N1 N 2 N1 ⋅ N 2 1 N1 N 2 ⋅ ( N1 N 2 − 1) ≥ ( N1 N 2 ) ⋅ nintegral 2 N1 ⋅ N 2 − 1 Использованием структуры матрицы и способом нумерации ячеек ≥ ( N1 N 2 ) ⋅ nintegral Прямоугольный экран с отверстием Матрица общего вида, много повторяющихся элементов ′ ′ N = ( N1 − M 1 )( N 2 − M 2 ) × ′ ′ × ( N1 − M 1 )( N 2 − M 2 ) 1 ′ ′ порядка N1 ⋅ N 2 , зависит от конкретного вида экрана Применением «фильтрации» при вычислении элементов матрицы ≥ ( N1 N 2 )2 ⋅ nintegral 3 В таблице 5.1 прямоугольный экран Σ покрывается N1 × N 2 ячейками Σ μ и может содержать отверстие, которое можно покрыть M 1 × M 2 ячейками той же сетки. Использование информации о блочно-теплицевой структуре матрицы реализовано в программе Rect_Toeplitz, а схема фильтрации – во всех остальных
125 программных реализациях программных систем Diffraction_On_Screens и Diffraction_On_Flatness. 5.3. Исследование практической сходимости и правильности вычислений Проверка численной сходимости часто трактуется в смысле обнаружения признаков внутренней сходимости (в смысле Коши) [45], однако установление такого факта еще не гарантируют того, что предельные значения составляют истинное решение задачи. Более естественным является проверка численного сближения приближений исследуемого метода с приближениями другого метода. Исследования предыдущего раздела позволило нам существенно форсировать вычисления для прямоугольных экранов, получив тем самым решение при существенно больших параметрах дискретизации. Рис. 5.6. Пример исследования численной сходимости сеточной m × m функции g m к hn для k = 8π (верхняя кривая) и для k = 4π (нижняя кривая)
126 При проверке практической сходимости в качестве известного «точного» решения использовалось решение, полученное программой Rect_Toeplitz при разбиении N = 99 для квадратного экрана. На рис.5.6 приведен график нормы разности дискретных приближений Π nm = hn − g m , где m = 3,9,15,21,27,33,60 ; n = 99 , g m - решение, полученное программой Diffraction Studio; hn - решение, полученное программой Rect_Toeplitz; gm = 1 ∑ u (i, j ) , Q i, j i, j - индекс произвольного узла дискретизации, попадающего во внутренний прямоугольник [ ][ ] Ω 1 = − 1 , 1 × − 1 , 1 , Q - число всех таких узлов. 3 3 3 3 3 Для проверки практической сходимости контролировалась сходимость полученных значений максимумов диаграмм направленности при различных порядках дискретизации. Так, например, для экрана в форме ковра Серпинского первого рода (квадратный экран с отверстием) пример такого исследования представлен на рис. 5.7. Рис. 5.7. Пример исследования численной сходимости максимума модуля диаграммы направленности для экрана в форме ковра Серпинского 1 порядка Осуществленное практической исследование сходимости численных позволяет решений говорить о рассматриваемых наличии задач,
127 полученных с использованием разработанного нами компьютерного инструментария. 5.4. Согласованность новых численных результатов с эталонными задачами Для проверки согласованности новых численных результатов и построения системы тестирования мы параметризовали (табл. 5.2, рис. 5.8) интересующие нас плоскопараллельные структуры при помощи следующего набора параметров: (l1 , l2 , d , k + , k − ) , где l1 - характерный размер основного (верхнего) рассеивающего экрана, l2 - характерный размер дополнительного рассеивающего экрана (при l 2 = 0 такой экран отсутствует, при l 2 = ∞ - экран представляет собой плоскость), d - расстояние по оси Ox3 между основным и дополнительным экраном (в случае отсутствия второго экрана считается d = 0 ), k + , k − - волновые числа над и под плоскостью основного экрана (случай однородного пространства соответствует k + = k − = k ). 
128 Таблица 5.2. Параметризация рассмотренных нами задач Набор Задача параметров Задача рассеяния на плоском жестком ограниченном (l1 ,0,0, k + , k + ) экране в однородном пространстве Задача рассеяния на системе из двух плоских жестких (l1 , l2 , d , k + , k + ) экранов в однородном пространстве Задача рассеяния на плоском жестком ограниченном (l1 , ∞, d , k + , k + ) экране в однородном пространстве над жесткой стенкой Задача рассеяния на плоском жестком ограниченном (l1 ,0,0, k + , k − ) экране, лежащем в плоскости раздела двух сред с разными характеристиками Задача рассеяния на плоском жестком ограниченном (l1 , ∞, d , k + , k + ) экране, лежащем в плоскости раздела двух сред с разными характеристиками над жесткой стенкой (l1 ,0,0, k + , k + ) ⇐ ⇓ ⇓ ⇒ ⇓ (l1 , l2 , d , k + , k + ) ⇓ ⇒ ⇓ (l1 , l2 , ∞, k + , k + ) ⇒ (l1 ,0,0, k + , k − ) ⇓ ⇓ ⇓ (l1 , l2 , ∞, k + , k − ) Рис. 5.8. Пример связи между задачами Для проверки реализации случая (l1 ,0,0, k + , k + ) нами было проведено сравнение (табл. 5.3) полученного коэффициента рассеяния с имеющимися данными численного счета по точным формулам [103] задачи дифракции плоской акустической волны единичной амплитуды для кругового диска.
129 В работе [103] были получены и приведены значения для поперечника рассеяния (4.20) в зависимости от величины волнового вектора k . Для целей сравнения (рис. 5.9) были проведены вычисления при тех же параметрах с использованием программы Rect_Toeplitz. Стоит заметить, что при сравнении результатов к погрешности вычислений добавляется погрешность приближения исходного кругового экрана Σ ступенчатой областью Σ′ . Таблица 5.3. Сравнение полученных значений σ (k ) . Данные k работы [103] σ0 Счет при 40х40 Счет при 60х60 σ 40 σ 60 Погрешность Δ 60 = σ 60 − σ 0 σ0 1 0.0821 0.0775128048 0.0759643447 0,0747 2 1.843 1.5831274578 1.6144863425 0,124 3 2.284 2.1585311194 2.1883975531 0,0419 4 1.787 1.7504799148 1.7553899192 0,0177 5 1.915 1.7367017118 1.7627354893 0,0795 6 2.129 1.9192124576 1.9775846608 0,0711 В рамках тестирования подхода на основе метода параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов было проведено сравнение результатов вычислений при различных параметрах k = π ...4π для задачи дифракции акустической волны на плоском экране в однородном пространстве с результатами вычислений по методу потенциала. При сравнении использовались две разработанные реализации - Potecial_Method, Rect_Toeplitz. нами программные
130 Рис. 5.9. График результатов вычисления σ (k ) (случай нормального падения) результаты Ю.В. Ганделя [103] вычисления при 60х60 вычисления при 40х40 Для тестирования программных реализаций новых задач применялась схема тестирования согласно рис. 5.8, по которой сравнивались результаты вычислений для «предельных» случаев новых задач для неоднородного пространства с соответствующими результатами в однородном пространстве. Еще одним методом подтверждающим правильность решений эталонных задач, является сравнение с двумерным случаем близкой задачи, для которого известны результаты других авторов. При сравнении трехмерной задачи дифракции плоской волны на вытянутом прямоугольном экране с двумерной задачей для полосы, из физических соображений следует ожидать совпадения амплитуды поля в центральном сечении. Перед построением теста следует заметить, что при такой замене концы прямоугольного экрана неминуемо будут оказывать влияние, что позволит получить лишь качественно верную картину с некоторой количественной
131 погрешностью. В связи с этим, необходимо как можно сильнее вытянуть экран и исследовать сечение функции амплитуды поля в его центре (равноудалено от концов). Увеличение длины экрана требует существенного увеличения количества точек дискретизации, однако, используя информацию о теплицевости матрицы СЛАУ в случае прямоугольного экрана, мы смогли рассмотреть экран [− 1,1] × [−35,35] . При сравнении использовались данные, приведенные в [104] для случая бесконечной ленты ширины L = 2 и волнового числа k = 5 (рис. 5.10). Рис. 5.10. Пример сравнения модуля амплитуды поля для задачи в пространстве с двумерной задачей для полосы (данные работы [104] отмечены пунктиром) Как видно, полученные при помощи программной реализацией Rect_Toeplitz, численные значения близки к результатам приближенного решения двумерной задачи. Наблюдается незначительное колебание данных в пределах 5%, что объясняется как влиянием концов конечного экрана, так и погрешностью вычислений.
132 5.5. Выводы по разделу 5 Для численного решения рассматриваемых задач дифракции на плоскопараллельных структурах разработан набор программ с использованием языков программирования Ада 95 и Фортран 95, исходные коды которых доступны через сеть Интернет. Проведена проверка правильности вычислений и согласованности с ранее известными результатами по разработанной каскадной схеме тестирования. Усовершенствован метод компьютерной проверки практической сходимости решений дискретной модели путем добавления критериев, имеющих физический смысл. Проведен контроль процесса разработки программного обеспечения, согласованный с требованиями стандарта IEEE 982, и внутреннего (т.е. авторского) контроля этих программ, согласно требованиям стандарта ISO/IEC TR 9126-3:2003. Отработан также (согласно требованиям стандарта ISO/IEC TR 9126-2:2003) метод оценки качества по результатам внешней экспертизы подобных систем.
133 РАЗДЕЛ 6 АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Принимая во внимание качество построенного компьютерного инструментария, в разделе рассмотрены вопросы устойчивости вычислений, исследовано соответствие результатов компьютерных экспериментов физическому смыслу явления дифракции, разработан метод понижения размерности СЛАУ дискретной модели. Для прямоугольных экранов устанавливается блочно-теплицевая структура и численно подтверждается блочно-диагональное преобладание матриц полученных системы линейных алгебраических уравнений. Исследуется поведение решения вблизи края экрана и другие признаки правильности вычислений с использованием известных физических представлений о процессе дифракции. Путем численного анализа факторизуемости плотности граничного гиперсингулярного уравнения рассматривается вопрос понижения размерности дискретной модели. 6.1. Вычислительная устойчивость дискретной модели Как известно [45], в системах линейных алгебраических уравнений, получаемых методами дискретных особенностей в двумерных областях, матрицы должны иметь диагональное преобладание, благодаря наличию сингулярных или гиперсингулярных интегралов. Известны примеры, когда это доказано [45,105]. Для трёхмерных постановок задач дифракции на экранах следует ожидать, что матрица дискретной модели гиперсингулярного уравнения имеет блочно-диагональное преобладание.
134 Рассмотрим матрицу СЛАУ (4.3). Она имеет вид ⎛ a11 a12 ⎜ a22 ⎜a A = ⎜ 12 M ⎜ ⎜a ⎝ n1 an 2 K a1n ⎞ ⎟ K a2 n ⎟ ⎟, O ⎟ K ann ⎟ ⎠ (6.1) где aij - элемент, получающийся вычислением интеграла (4.3) по квадрату Σ j при расположении точки коллокации в центре Σ i . Под строгим диагональным преобладанием в матрице (6.1) мы понимаем выполнение неравенства aii > ∑ aij , i, j = 1, n . (6.2) i≠ j Как было отмечено, в отличие от двумерного случая, в рассматриваемых нами пространственных задачах дифракции в общем случае следует ожидать блочное диагональное преобладание: Aii > ∑ Aij i, j = 1, k , (6.3) i≠ j где Aij - блок матрицы A , стоящий на пересечении i -го и j -го блочных столбцов. В алгоритмы, реализуемые разработанными нами программами (см. подраздел 5.1), заложена численная проверка условия (6.2) для матриц дискретных моделей решаемых задач (рис. 6.1).
135 а) б) Рис. 6.1. Пример матриц модулей элементов в случае квадратного экрана для дискретизации 3х3 для задачи в однородном пространстве (а) и задачи на разделе сред (б) Наличие строго диагонального преобладания в матрицах СЛАУ позволяет, вследствие теоремы Леви-Деспланка [83], говорить о невырожденности матрицы системы (4.3). Вместе с этим, строгое диагональное преобладание позволяет при выборе диагонального элемента в качестве главного по строке (столбцу) в методе Гаусса избежать накопления ошибок округления результатов арифметических операций [107]. Данный факт позволяет говорить об устойчивости вычислений. В случае непрямоугольной области строгое диагональное преобладание, вообще говоря, не гарантировано, однако, рассматривая области односвязные выпуклые - типа рамки, несвязные - состоящие из 4-5 полос и т.п., мы не наблюдали развития численной неустойчивости вплоть до n = 121 , где n – среднее геометрическое числа узлов вдоль каждой их двух декартовых осей в плоскости экрана.
136 6.2. Поведение приближенного решения вблизи края экрана В математической постановке рассматриваемых задач дифракции (2.16)(2.21), (2.26)-(2.31) и (2.37)-(2.43) присутствует условие на ребре в форме Мейкснера (условия (2.21), (2.31) и (2.43), соответственно) заключающееся в том, чтобы плотность энергии была интегрируема в окрестности ребра экрана (конечная энергия в конечной области). Как показано в [23], такое условие можно записать в различных эквивалентных постановках, например, задав вид особенности компонент поля на ребре. Как известно из теоретических соображений [23,26], особенность на ребре имеет вид r α , где α = 1 , r 2 расстояние до края экрана. В используемом в настоящей работе методе такое поведение поля не закладывается в вид решения. Однако решение дискретной модели, как предполагается по аналогии с задачами, где это строго доказано [26], при достаточно большом значении параметра дискретизации N должно приближенно иметь указанное поведение вблизи края. Для проверки выполнения условия Мейкснера мы дополнительно исследовали полученные численные решения. Пусть приближенное численное решение граничного гиперсингулярного уравнения одной из задач при m > m0 становится близким (в некотором практическом смысле) к точному решению в равномерной метрике. Однако, отступая на фиксированное расстояние от края экрана, нельзя ожидать признаков обнуления решения, если судить только по ближайшим к краю узлам дискретизации, до тех пор, пока m не станет намного большим m0 . Поэтому при проверке целесообразно рассмотреть прямоугольный экран, т.к. для него можно рассмотреть большие значения за счет использования структуры матрицы СЛАУ (4.3). Для численной проверки (рис. 6.2) условия Мейкснера был разработан метод в предположении, что поведение численного решения в окрестности
137 ребра экрана задается законом C ⋅ r α , где C ,α - константы, которые необходимо определить. α N Рис. 6.2. Пример оценки степени α убывания решений в окрестности края экрана (пунктиром отмечен случай k = 8π , а штрихпунктирном – случай k = 4π ) Описанные выше эксперименты проводились при фиксированных значениях m и диапазонов k = π ..16π , а также для фиксированных длин волн и диапазонов значений m = 5k 25k .. . π π Проверка того, что экстраполированное в окрестность края экрана решение дискретной задачи ведёт себя (в смысле оценки наименьших квадратов) по закону C ⋅ r α при α приближенно равном 0.5, проводилась и для экранов различных форм. Например, для экрана «рамка», усреднение по экспериментам для фиксированной длины волны и дальнейшее усреднение по различным длинам волн показало (рис. 6.3), что показатель α в среднем составил 0.42 со среднеквадратичным отклонением 0.018.
138 Рис. 6.3. Пример поведения решения в окрестности края экрана «рамка» Таким образом, удается экспериментально подтвердить близость получаемого нами численного решения к точному и предложить критерий проверки такой близости для приближенных решений задач в близких постановках: α − 0.5 < ε , где ε > 0 малое положительное число. 6.3. Исследование поля в дальней зоне В следующем примере использовались данные реальных сред – воды и стекла: ρ + = 999.03 кг a− = 2350 м с м3 (стекло). , a+ = 1460 м с (пресная вода) и k + = 12.56637, k − = 7.807192 . При ρ − = 2500 кг этом м3 , экраны выбирались трех видов (рис. 6.4): «рамка» (вариант (а)), «решетка» (вариант (б)) и «уголок» (вариант (в)).
139 Нами проведено исследование зависимости диаграммы направленности от угла падения для различных типов рассеивающих структур. (в) (a) (б) «рамка» (двусвязная область) «решетка» (несвязная область) пластина «уголок» (односвязная область) Рис. 6.4. Набор модельных рассеивающих экранов На рис. 6.5. представлены результаты моделирования при наклонном падении под углом 450 к плоскости экрана.   Рис. 6.5. График модуля диаграммы направленности для экранов «рамка» (а), «решетка» (б) и «уголок» (в) при падении волны под углом θ = π 4 Анализ полученных в ходе вычислительных экспериментов данных показывает зависимость модуля диаграммы направленности (следовательно и всей диаграммы направленности) от азимутального угла ϕ и практически не чувствительность к изменению зенитного угла θ направления падающего поля. Как показало исследование влияния на диаграммы направленности длины волны падающей волны, в зависимости от отношения длины волны и
140 характерного (большего) размера рассеивателя наблюдается сужение раствора угла, в котором сосредоточен максимум диаграммы (рис. 6.6). k = π , λ = 2, l = 2 k = 2π , λ = 1 , l = 2 k = 3π , λ = 0.66 , l = 2 k = 4π , λ = 0.5 , l = 2 Рис. 6.6.Зависимость графика abs (Im F (θ ,0 )) от длины волны Следующий рисунок 6.7 иллюстрирует пример сравнения модулей рассеянного поля над и под экраном типа «рамка» в зависимости от наличия жесткой стенки в задаче дифракции на экране, лежащем в неоднородном пространстве.
141 а) б) в) г) Рис. 6.7. График модуля рассеянного поля для основной (а – над экраном, в – под экраном) и модифицированной задачи (б – над экраном, г – под экраном). 6.4. Влияние различия сред на время вычислений На рис. 6.8 изображены графики зависимости времени формирования матрицы и общего времени вычислений в случае модифицированной 3 ( k + = π , k − = 2π ) и основной ( k + = k − = 2π ) задач. 2 Как видно (рис. 6.8), в нашем случае наблюдается нелинейная зависимость времени вычислений от параметра дискретизации. В приведенных на рис. 6.8 (а) примерах наблюдалась (при уровне надежности R 2 = 0.9999 ) следующая зависимость:
142 t = 0.2305 N 5 − 4.4459 N 4 + 31.461N 3 − 81.3 N 2 + 148.89 N − 70.242 ( k + ≠ k − ); t = 0.6525 N 3 + 0.1322 N 2 + 16.896 N − 12.792 ( k + = k − ), где t - время формирования матрицы СЛАУ, N - количество расчетных точек по одной из сторон квадратного экрана. а) б) Рис. 6.8. Пример графика зависимости времени вычислений от разбиения для случаев k + ≠ k − (верхняя кривая) и k + = k − (нижняя кривая): а) – этап формирования матрицы СЛАУ, б) – общее время решения задачи. Продолжительность вычислений тем выше, чем больше значение максимального из двух волновых чисел (табл. 6.1). Такая зависимость вполне прогнозируема из-за наличия осциллирующих множителей в ядрах полученных гиперсингулярных интегральных уравнений, для которых при большем параметре осцилляции необходимо увеличивать, например, густоту сетки для достижения приемлемой точности.
143 Таблица 6.1. Исходные данные и продолжительность вычислительных экспериментов («рамка», 30х30) Вычисления проводились на персональном компьютере со следующими характеристиками: процессор Intel Core 2 Duo 1.7ГГц, оперативная память - 1Гб (холостая загрузка 49%), операционная система Windows Vista HE. 6.5. Метод факторизации для понижения размерности дискретной модели При использовании методов дискретных особенностей дискретизация сингулярных или гиперсингулярных уравнений, непременно появляющихся в этих методах, требует ограничений на форму клеток сетки, которой покрывается экран. В соответствии с имеющейся теоретической базой [28], она должна быть приблизительно квадратной, что не позволяет для вытянутых экранов очевидным приемом сократить размерность дискретной модели (при условии сохранения точности вычислений), в отличие от применения, например, метода конечных элементов. Однако такой особенностью экрана можно
144 воспользоваться другим способом, если считать искомое решение приближением к результату произведения двух функций разных аргументов (факторизация). Рассмотрим задачу (1.2)-(1.4), (1.6) рассеяния плоской акустической волны на плоском жестком ограниченном экране Σ = [ A1 , B1 ] × [ A2 , B2 ] в однородном пространстве, которая формально является частным случаем основной задачи (2.16)-(2.21) при k = k + = k − , ρ + = ρ − . Для такой задачи на основе представления решения в виде потенциала двойного слоя рядом авторов было получено [24,41] следующее ГСИУ: ik x − y ∂ ∂ e a.f.p. ∫ ⋅ g ( y ) ds y = f ( x ) , x, y ∈ Σ , ∂n x ∂n y x − y Σ (6.4) r r где n x , n y - орты нормали в точках x и y , соответственно. Будем рассматривать задачу о возможности приближенного представления g h ( y ) ≈ h( y1 ) ⋅ p ( y 2 ) , где (6.5) g h ( y ) - сеточный аналог функции g ( y ) , h( y1 ), p( y 2 ) - сеточные функции, определенные на h Ω1 , Ω h , 2 соответственно, { } m k h Ω h = ( y1k , y2 ) : y1k = A1 + kh, y2 = A2 + mh, 0 ≤ k ≤ N1 , 0 ≤ m ≤ N 2 = Ω1 × Ω h . 2 Такой подход к факторизации применялся в [88] для проволочных антенн, а также при фиксированной длине волны в [89] для полосковых антенн. Однако проволочная антенна - тонкий идеально проводящий цилиндр и для него очевидно представление вида (6.5), где один из множителей является константой. В рассматриваемой нами модельной задаче представление вида (6.5) не является очевидным.
145 Для численного изучения возможности факторизации функции плотности ГСИУ (6.4) была разработаны программы Rect_Toeplitz, Potencial_Method и Diffraction_on_Rectangle, описанные в подразделе 5.1. Для проведения численного эксперимента разработан метод проверки на основе применения модификации метода наименьших квадратов. Приведенное в (6.5) равенство будем понимать в смысле минимизации функционала: F = Τ⋅ ∑ y∈Ω где h g h ( y ) − h( y1 ) ⋅ p ( y 2 ) , ⎡⎛ ⎞ ⎛ 2 ⎞⎤ 2 Τ = ⎢⎜ ∑ h( y1 ) ⎟ ⋅ ⎜ ∑ g h ( y ) ⎟⎥ ⎟⎥ ⎟ ⎜ y∈Ω h ⎢⎜ y1 ∈Ω1h ⎠⎦ ⎠ ⎝ ⎣⎝ (6.6) −1 - нормировочная константа. Для построения итерационного процесса и для ликвидации произвола в выборе сомножителей выберем два условия: 1. «условие на модуль» ∑ p ( y2 ) 2 = 1, (6.7) y 2 ∈Ω h 2 2. «условие на аргумент» ( ( ) ) l l Im h( y1 ) = 0 , где y1 = A1 + 1 + 1 N1 ⋅ h, 2 l h y1 ∈ Ω1 . (6.8) Для численной минимизации функционала (6.6) рассмотрим систему уравнений для его стационарных точек. В качестве переменных целесообразно ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) выбрать Re h y1 , Im h y1 , Re p y2 , Im p y2 . Тогда, используя «условие на модуль» (6.7), получим уравнения: Re(h( y1 )) = Im(h( y1 )) = ∑ (Re(g h ( y) ) ⋅ Re( p( y2 )) + Im(g h ( y)) ⋅ Im( p( y2 ))), y1 ∈ Ω1h , y2∈Ω h 2 ∑ (Im(g y2∈Ω h 2 h ) ( ) ) h ( y ) ⋅ Re( p( y 2 )) − Re g h ( y ) ⋅ Im( p( y 2 )) , y1 ∈ Ω1 . (6.9)
146 Придадим оставшимся уравнениям вид, подходящий для построения итерационного процесса: Re( p( y2 )) = ∑ (Re(g h ( y) )⋅ Re(h( y1 )) + Im(g h ( y))⋅ Im(h( y1 ))) h y1 ∈Ω1 ∑ ([Re(h( y ))] 2 h y1 ∈Ω1 Im( p( y2 )) = 1 + [Im(h( y1 ))] 2 ) , y2 ∈ Ω h , 2 (6.10) , y2 ∈ Ω h . 2 (6.11) ∑ (Im(g h ( y))⋅ Re(h( y1 )) − Re(g h ( y))⋅ Im(h( y1 ))) h y1 ∈Ω1 ∑ ([Re(h( y ))] 2 h y1 ∈Ω1 1 + [Im(h( y1 ))] 2 ) При планировании вычислительных экспериментов по формулам (6.7)(6.11) нас интересовали следующие вопросы: 1. Возможность факторизации, т.е. представления (6.5). 2. Качество представления (6.5), т.е. оценка погрешности. 3. Определение зависимости факторизационных множителей h и g от длины пластины, величины волнового вектора k и угла падения плоской акустической волны. Как показало исследование модуля погрешности представления (6.5), например, на квадрате, что погрешность имеет некоторое среднее значение (составляющее около 10%), большее нуля. Отметим также, что значения погрешности, превышающие среднее, составляют не более 3%-7% общей площади и процент уменьшается с ростом k . Концентрация погрешности наблюдается в окрестности углов прямоугольного экрана. В качестве основной характеристики для исследования была выбрана диаграмма направленности, определяемая асимптотической формулой (4.18). Такой выбор можно объяснить основным назначением решения - применением
147 при расчете характеристик (как правило, интегральных), интересующих исследователей дифракции. При проведении экспериментов был использован предел по степени дискретизации, равный использованию 128Mb ОЗУ, т.е. доступный для выполнения на любом современном ПК (расчеты проводились в 2003 году). С другой стороны, затраты времени составляют от нескольких минут и часов до нескольких суток (в зависимости от ПК и выполняемой задачи). Например, для компьютера на базе процессора AMD с частотой 1.5ГГц и 256Mb ОЗУ длительность решения задачи без учета структуры матрицы и с количеством ячеек разбиения M = 1024 составляет порядка 6 часов. Однако используя результаты, полученные в подразделе 5.2, для прямоугольных экранов удается форсировать вычисления до M = 16900 , используя блочно-теплицеву структуру матрицы СЛАУ, что и было сделано в программе Rect_Toeplitz. На этой основе удалось подтвердить возможность факторизации вида (6.5) по следующему плану: - при выбранном волновом числе k решается одна и та же задача по нахождению рассеянной волны на различных прямоугольных экранах. Работа производится в пределах приведенных масштабов. Ширина экрана во всех экспериментах равна 1, а длина равна l , т.е. подбирается k так, чтобы работать в интересующей нас зоне. В наших экспериментах длина экрана выбирается в диапазоне от 0.5 до 2 длин волн; - при проведении экспериментов длины экранов l выбираются так, чтобы они составляли некоторую последовательность: 1, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40; - результаты признаются достоверными, если точность представления (6.5) увеличивается по мере увеличения l в смысле (6.6); В результате серии численных экспериментов удается подтвердить практическую сходимость при k = 2π , 3π , 4π с максимальным удлинением экрана 30, 15, 10, соответственно.
148 Точность факторизации возрастает, но из этого ещё не следует, что функции h и p стремятся к пределам. На рис. 6.9 изображены графики модулей компонент факторизации для задачи дифракции акустической волны при k =π на плоском экране [− 0.5,0.5] × [− 0.5,0.5] в однородном пространстве. а) б) в) г) Рис. 6.9. Пример графиков модулей полученных множителей факторизации. Случай нормального падения (а- модуль h , б – модуль p ) и случай падения под углом 450 (в – модуль h , г – модуль p ). Удалось численно проверить, что функция p (в поперечнике) стремится к некоторому пределу. По результатам серии экспериментов есть все основания считать, что существует предел и для функции h . Это можно увидеть при визуализации решения g (6.4), а также при сравнении произведения полученных в соответствии с предложенным подходом функций h и p с найденным численным решением ГСИУ (6.4) g (в том числе и визуально).
149 6.6. Выводы раздела 6 При компьютерном компьютерах при моделировании ограниченных дифракции вычислительных на персональных ресурсах необходимо прибегать к различным приемам для определения минимально допустимым параметров, позволяющих гарантировать правильность вычислений. Другой возможностью является исследование структуры матриц. Численно установлено, что для прямоугольных экранов в рассматриваемых задачах матрицы имеют блочно-диагональное преобладание, что гарантирует невырожденность и вычислительную устойчивость полученных СЛАУ. Для экранов других форм такой вывод, характерный для наличия гиперсингулярной составляющей в ядрах псевдодифференциальных операторов, подтверждается во многих сериях вычислительных экспериментов. Разработан метод численного исследования поведения решений вблизи края экрана с целью проверки точности выполнения условия конечности энергии (условие Мейкснера). Показано, что форма диаграмм направленности, в зависимости от волнового вектора и угла падения волны, соответствуют физическим представлениям, а практическая сходимость максимумов таких диаграмм может служить признаком практической сходимости решений. Исследовано влияние изменения материала среды в полупространстве под экраном на форму диаграмм направленности и длительность вычислений. Впервые создан метод компьютерной проверки адекватности подхода к снижению размерности СЛАУ дискретной модели за счет приближенного представления решения произведением двух функций разных аргументов.
150 ВЫВОДЫ Тема данной диссертационной работы логически продолжает то современное направление в математическом моделировании дифракции, которое развивает подход к построению моделей с помощью параметрических представлений псевдодифференциальных операторов и подход к дискретизации этих моделей методами дискретных особенностей. Новизна и сложность этой темы связаны с трёхмерной постановкой задачи, в которой учитываются различия материальных сред в плоскопараллельных структурах, на которых происходит рассеяние акустических волн. Постановка задачи диссертационного исследования учитывает также актуальность разработки компьютерного инструментария моделирования, который бы базировался на построенных математических моделях для резонансного диапазона. При этом он должен обладать определенным уровнем качества с точки зрения стандартных требований к программным системам, и быть полностью готовым для передачи ученым, которые проводят фундаментальные исследования в области дифракции акустических волн. В диссертационной работе построены математические модели процесса дифракции акустических соответствующие волн дискретные на модели плоскопараллельных и разработан структурах, компьютерный инструментарий для проведения численного анализа дифракции по этим моделям. Впервые построены математические модели на основе псевдодифференциального (гиперсингулярного) уравнения процесса дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на следующих плоскопараллельных структурах: - плоском жестком ограниченном экране, расположенном в плоскости раздела сред с разными физическими свойствами;
151 - плоском жестком ограниченном экране, расположенном над жесткой стенкой в однородном пространстве; - плоском жестком ограниченном экране, расположенном на поверхности слоя над жесткой стенкой (обобщение предыдущего случая). Это позволяет строить новые методы решения и исследования дифракции акустических волн на плоскопараллельных задач структурах, составленных с жестких экранов и слоев с постоянными физическими свойствами. По методу параметрических представлений псевдодифференциальных и гиперсингулярных интегральных операторов введены новые псевдодифференциальные операторы, определяющие построенные модели, а также исследованы их ядра. Это позволяет использовать структуру и вид главной части таких операторов (которые определены как гиперсингулярные) для построения адекватных дискретных моделей рассматриваемых дифракционных процессов. На основе известной схемы методов дискретных особенностей впервые построена дискретная модель для приближенного описания рассматриваемых процессов дифракции. Эта модель позволяет непосредственно разрабатывать алгоритмы и программные средства компьютерного моделирования. Впервые создан компьютерный инструментарий для моделирования дифракции акустических волн в пространстве на плоскопараллельных структурах, что позволяет исследовать свойства построенных моделей и сократить количество необходимых физических экспериментов в акустических исследованиях. Усовершенствовано за счет добавления критериев, имеющих физический смысл, методы анализа результатов вычислительных экспериментов, которые позволяют обосновать корректность применения дискретных моделей, в том числе и в варианте понижения размерности СЛАУ этой модели за счет приближенного представления решения произведением двух функций разных аргументов.
152 Для обоснования достоверности полученных в работе численных результатов, подтверждения формул и теоретических выводов использовалось тестирование по каскадной схеме. То есть, результаты, полученные для более сложных задач, сравнивались с решениями, полученными тем же методом для более простых задач или для близких задач, но другим методом. Материалы диссертационной работы нашли свое применение в учебном процессе на факультете компьютерных наук и механико-математическом факультете Харьковского национального университета имени В.Н. Каразина, при выполнении темы «Математическое моделирование физических процессов и вычислительный эксперимент» кафедры математической физики и вычислительной математики, а также в исследованиях, которые ведутся лабораторией математического моделирования физических процессов под руководством проф. Ю.В. Ганделя. Автор благодарит научного руководителя доц. Мищенко В.О. за поставку задачи, постоянный интерес к работе и неоценимую поддержку при подготовке диссертации. Так же хотелось выразить благодарность проф. Ю.В. Ганделю за внимание к работе и ценные советы.  
153 ПРИЛОЖЕНИЕ А
154 ПРИЛОЖЕНИЕ Б program Rect_Toeplitz use use use use use use use Types IO Slau Integral exIntegral msimsl Factor ! файл исходных данных character(len=11) :: Fin_Name='domain.conf' ! дескриптор файла выходных данных integer :: Fout=19 ! дескриптор файла выходных матричных данных integer :: Fout_M=21 integer integer integer :: Fout_V=23 :: FoutField=33 :: FoutTime=37 ! файл выходных данных character (len=10) :: Fout_Name='output.dat' ! файл выходных матричных данных character (len=14) :: Fout_Matrix_Name='mtr_output.dat' ! файл выходных векторных данных character (len=14) :: Fout_Vector_Name='vec_output.dat' ! файл данных о времени character (len=8) :: Fout_Time_Name='time.txt' ! 0 - standart in/output integer :: System_Output=0 ! реальные декартовы координаты вектора K double precision :: Alpha_0_real, Beta_0_real, Gamma_0_real ! число строк и столбцов в матрице области integer :: N1,N2 ! длина и ширина рассеивателя double precision :: L1,L2 ! углы падения волны double precision :: Theta_0,Phi_0 ! количество точек разбиения по осям integer :: Nx,Ny ! количество ненулевых элементов матрицы области integer :: Size ! 1 - output matrix into mtr_output integer :: Flag_Output=0
155 complex(8), allocatable :: D(:,:) ! матрица области после разбиения на квадраты integer, allocatable :: Dom(:,:) ! матрица СЛАУ (1я строка и столбец по блокам) complex(8), allocatable :: A(:,:,:) ! вектор правой части СЛАУ complex(8), allocatable :: V(:) ! вектор решения СЛАУ complex(8), allocatable :: X(:,:) ! матрица СЛАУ (non rectangle domain) complex(8), allocatable :: nA(:,:) ! вектор правой части СЛАУ (non rectangle domain) complex(8), allocatable :: nV(:) ! вектор решения СЛАУ (non rectangle domain) complex(8), allocatable :: Xn(:) ! вектор решения СЛАУ (rectangle domain) complex(8), allocatable :: Xr(:) integer :: NOX,NOZ,NON ! координаты точечного источника double precision :: Z(3) ! отрезок изображения поля по оси Z double precision :: Az,Bz ! x3=X3 - плоскость, где смотрим поле double precision :: X3 complex(8), allocatable:: mFIELD(:,:) ! полное поле complex (8), allocatable:: FULL_FIELD(:,:) ! диаграмма направленности complex (8), allocatable:: DIAGRAMM(:) complex (8), allocatable:: FDIAGRAMM(:) ! поперечник рассеяния complex (8), allocatable:: SONAR_CROSS_SECTION(:) ! рассеянное поле complex (8), allocatable :: SC_FIELD(:,:) ! факторизационные множители complex (8), allocatable:: G(:,:) complex (8), allocatable:: H(:,:) ! factor error double precision, allocatable:: FERROR(:,:) complex (8), allocatable :: FACTOR_FIELD(:,:) complex (8), allocatable :: FACTOR_TEST(:,:) integer, allocatable :: SquareError(:)
156 double precision complex (8) complex (8) double precision integer :: :: :: :: :: Temp,Temp2 CTemp II Medium ErN ! границы прямоугольника, ограничивающего область double precision :: Ax,Bx,Ay,By logical :: Tmp ! переменные времени real(4) :: start_time, curr1_time,curr2_time, finish_time !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!! ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ УПРАВЛЯЮЩЕЙ ПРОГРАММЫ !!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! PI = CONST('PI') II=CMPLX(0d+0,1d+0) call cpu_time(start_time) ! инициализация данных N1=IntInit(Fin_Name, 'Nr') N2=IntInit(Fin_Name, 'Nc') L1=DbInit(Fin_Name, 'Lx') L2=DbInit(Fin_Name, 'Ly') Theta_0=DbInit(Fin_Name, 'th') Phi_0=DbInit(Fin_Name, 'ph') Nx=IntInit(Fin_Name, 'Nx') Ny=IntInit(Fin_Name, 'Ny') NOX=IntInit(Fin_Name, 'OX') write(*,'(a,i)') 'NOX=',NOX X3=DbInit(Fin_Name, 'Zz') write(*,'(a,e)') 'Z=',X3 ! интервал и количество расчетных точек рассеянного поля по OХ Ah=DbInit(Fin_Name, 'Ah') Bh=DbInit(Fin_Name, 'Bh') Ch=IntInit(Fin_Name,'Ch') ! интервал и количество расчетных точек рассеянного поля по OY Ag=DbInit(Fin_Name, 'Ag') Bg=DbInit(Fin_Name, 'Bg') Cg=IntInit(Fin_Name,'Cg') flag_point_source=IntInit(Fin_Name, 'fs')
157 if(flag_point_source == 1) Z(1)=DbInit(Fin_Name, Z(2)=DbInit(Fin_Name, Z(3)=DbInit(Fin_Name, else Z(1)=0.0 Z(2)=0.0 Z(3)=0.0 end if then 'Z1') 'Z2') 'Z3') ! число точек разбиения для вычисления ДН NON=180 sf_time=0.0 hs_time=0.0 hs_count=0 sf_count=0 ! инициализация размеров системы уравнений Size=InitSizeOfSystem(Fin_Name, N1, N2) * Nx * Ny / (N1 * N2) ! файл вывода Flag_Output=IntInit(Fin_Name, 'Fl') write(System_Output,'(a,i8)') write(System_Output,'(a,i4)') write(System_Output,'(a,i4)') write(System_Output,'(a,i4)') 'Size 'Nx = 'Ny = 'Flag = ', Size ', Nx ', Ny = ', Flag_Output Flag_Output=IntInit(Fin_Name, 'Fl') write(System_Output,'(a,i8)') write(System_Output,'(a,i4)') write(System_Output,'(a,i4)') write(System_Output,'(a,i4)') 'Size 'Nx = 'Ny = 'Flag = ', Size ', Nx ', Ny = ', Flag_Output if(Size/=Nx*Ny) then write(System_Output,'(a)') 'The domain is not a rectangle. General function will be used' else write(System_Output,'(a)') 'Rectangle Domain. Toeplitz Solver will be used' end if allocate( Dom(Ny,Nx) ) ! инициализация волнового числа Kk = DbInit (Fin_Name, 'Kk') ! реальные координаты волнового вектора Alpha_0_real=Kk*Sin(Theta_0)*Cos(Phi_0) Beta_0_real=Kk*Sin(Theta_0)*Sin(Phi_0) Gamma_0_real=Kk*Cos(Theta_0)
158 ! приведенные координаты (для совместимости версий) Alpha_0=Alpha_0_real Beta_0=Beta_0_real Gamma_0=Gamma_0_real ! инициализация границ экрана Ax = - (L1 / 2d+0) Bx = (L1 / 2d+0) Ay = - (L2 / 2d+0) By = (L2 / 2d+0) ! исследование ГСИУ ! call GetSingularLine(Ax,Bx,Ay,By,Nx,Ny,10) ! формирование матрицы-образа области Dom call GetDomain(N1,N2,Nx,Ny,Fin_Name,Dom) ! вывод матрицы образа на экран (при небольших размерах) write (System_Output,'(a)') 'Matrix of Domain' if (ubound(Dom,2)<=30) then do I=lbound(Dom,1),ubound(Dom,1) do J=lbound(Dom,2),ubound(Dom,2) write(System_Output,'(i1,a)',advance='NO') Dom(I,J), ' ' end do write(System_Output,*) ' ' end do end if write (System_Output,'(a,i5)') 'Size is',Size if (Size .eq. Nx*Ny) then !rectangle domain allocate( A(2*Size-1,Ny,Ny) ) if (allocated(A)) then write (System_Output,'(a)') 'Allocated OKn'c else write (System_Output,'(a)') 'Allocated errorn'c end if allocate ( V(Size) ) open(Fout,file=Fout_Name)! открытие файла вывода ! сохранение параметров счета call PutParametr2File(Fout,Kk,Ax,Bx,Ay,By,Az,Bz,Nx,Ny,Size,Z) open(FoutTime,file=Fout_Time_Name) write (System_Output,'(a)') '>> Forming the main matrix of the system' write(System_Output,*) "Please, wait..." write(Fout,'(a)') ' '
159 call cpu_time(curr1_time) ! формирование матрицы СЛАУ (Теплиц) call Toeplitz_Form_Main_Matrix(Ax,Bx,Ay,By,Nx,Ny,Size,Dom,A) call cpu_time(curr2_time) write(FoutTime,'(a,f,a)') 'Form main matrix time = ',curr2_time-curr1_time,' ' write(FoutTime,'(a,e,a,i)') 'HSI time =',hs_time,' /',hs_count write(FoutTime,'(a,e,a,i)') 'nHSI time=',sf_time,' /',sf_count write (System_Output,'(a,f15.10,a)') 'OK! (curr2_time-curr1_time)/60d+0,'min' time =', ! проверка разрешения вывода информации if(Flag_Output/=0) then ! вывод в файл write (System_Output,'(a)') '>> Writing the matrix to file' write(System_Output,*) "Please, wait..." open(Fout_M,file=Fout_Matrix_Name) write(Fout_M,'(i10)') Size call PutMatrix2File('// Matrix of the system',Fout_M,A, ubound(A,1),ubound(A,2),ubound(A,3)) close(Fout_M) write (System_Output,'(a)') ' end if [OK]' write (System_Output,'(a)') ' OK!' write (System_Output,'(a)') '>> Forming the right vector ' write(System_Output,*) "Please, wait..." call cpu_time(curr1_time) ! формирование вектора правой части СЛАУ call FormRightComplexVector(Ax,Bx,Ay,By,Nx,Ny,Z(1),Z(2),Z(3), Size,Dom,V) call cpu_time(curr2_time) write(FoutTime,'(a,f)') 'Form right vector time = ',curr2_time-curr1_time write(FoutTime,'(a)') ' ' ! проверка разрешения вывода информации if (Flag_Output/=0) then write (System_Output,'(a)') '>> Writing the right vector to file' write(System_Output,*) "Please, wait..."
160 open(Fout_V,file=Fout_Vector_Name) write(Fout_V,'(i10)') Size call PutVector2File('Vector',Fout_V,V,ubound(V,1)) close(Fout_V) write (System_Output,'(a)') ' end if write(Fout,'(a)') ' ' write (System_Output,'(a)') ' [OK]' OK!' ! выделяем память для массива-решения allocate ( Xr(Size) ) ! инициализируем нулями do I=lbound(Xr,1),ubound(Xr,1) Xr(I) = (0d+0,0d+0) end do write (System_Output,'(a)') '>> Solving the system' write(System_Output,'(a)') "Please, wait..." call cpu_time(curr1_time) ! решение СЛАУ call ToeplitzSolve(A,V,Size,Nx,Ny,Xr) call cpu_time(curr2_time) write(FoutTime,'(a,e)') 'Solve time = ',curr2_time-curr1_time write(FoutTime,'(a)') ' ' write (System_Output,'(a,f15.10,a)') ' [OK] (curr2_time-curr1_time)/60d+0,'min' time =', deallocate(A,V) if (.not. allocated(X)) then allocate ( X(Nx,Ny) ) end if do I=lbound(X,1),ubound(X,1) do J=lbound(X,2),ubound(X,2) X(I,J) = (0d+0,0d+0) end do end do ! транформация вектора в матрицу по форме экрана call DomainTransform(Xr,X,Dom,Nx,Ny,Size)
161 deallocate(Xr) else ! non rectangle domain allocate( nA(Size,Size) ) allocate ( nV(Size) ) if(allocated(nA)) then write (System_Output,'(a)') 'Allocated OKn'c else write (System_Output,'(a)') 'Allocated errorn'c end if open(Fout,file=Fout_Name) ! передача параметров в файл call PutParametr2File(Fout,Kk,Ax,Bx,Ay,By,Az,Bz,Nx,Ny,Size,Z) ! открытие файла вывода времени open(FoutTime,file=Fout_Time_Name) write (System_Output,'(a)') '>> Forming of the main matrix' write(System_Output,*) "Please, wait..." write(Fout,'(a)') ' ' call cpu_time(curr1_time) ! формирование матрицы СЛАУ call Complex_Form_Main_Matrix(Ax,Bx,Ay,By,Nx,Ny,Size,Dom,nA) call cpu_time(curr2_time) ! передача данных о времени формирования в файл write(FoutTime,'(a,f,a)') 'Form main matrix time = ',curr2_time-curr1_time,' ' write(FoutTime,'(a,e,a,i)') 'HSI time =',hs_time,' /',hs_count write(FoutTime,'(a,e,a,i)') 'nHSI time=',sf_time,' /',sf_count write (System_Output,'(a,f15.10,a)') ' (curr2_time-curr1_time)/60d+0,'min' [OK] time =', ! проверка разрешения вывода информации if (Flag_Output/=0) then ! передача матрицы модулей в файл write (System_Output,'(a)') '>> Writing (abs) matrix of the system to file' write(System_Output,*) "Please, wait..." open(FoutField,file="mat_abs_matrix.txt") call Put2dAbsMatrix2File('Matrix of system (abs)', FoutField,nA,ubound(nA,1),ubound(nA,2))
162 close(FoutField) write (System_Output,'(a)') ' [OK]' ! передача матрицы в файл write (System_Output,'(a)') '>> Writing matrix of the system to file' write(System_Output,*) "Please, wait..." open(Fout_M,file=Fout_Matrix_Name) write(Fout_M,'(i10)') Size write(Fout_M,'(i10)') Size call Put2dMatrix2File('// Matrix of system',Fout_M, nA,ubound(nA,1),ubound(nA,2)) close(Fout_M) write (System_Output,'(a)') ' end if [OK]' write (System_Output,'(a)') '>> Forming the right vector ' write(System_Output,*) "Please, wait..." call cpu_time(curr1_time) ! формирование вектора правой части СЛАУ call FormRightComplexVector(Ax,Bx,Ay,By,Nx,Ny,Z(1),Z(2),Z(3) ,Size,Dom,nV) call cpu_time(curr2_time) write (System_Output,'(a)') ' [OK]' write(FoutTime,'(a,f)') 'Form right vector time = ', curr2_time-curr1_time write(FoutTime,'(a)') ' ' ! проверка разрешения вывода информации на экран if (Flag_Output/=0) then write(System_Output,'(a)') '>> Writing right part of the system to file' write(System_Output,*) "Please, wait..." open(Fout_V,file=Fout_Vector_Name) write(Fout_V,'(i10)') Size call PutVector2File('Vector',Fout_V,nV,ubound(nV,1)) close(Fout_V) write (System_Output,'(a)') ' [OK]' end if ! выделяем память для массива-решения
163 allocate ( Xn(Size) ) ! инициализируем нулями do I=lbound(Xn,1),ubound(Xn,1) Xn(I) = (0d+0,0d+0) end do write (System_Output,'(a)') '>> Solving the system' write(System_Output,'(a)') "Please, wait..." call cpu_time(curr1_time) ! решение СЛАУ call ComplexSolve(nA,nV,Size,Xn) call cpu_time(curr2_time) write(FoutTime,'(a,e)') 'Solve time = ',curr2_time-curr1_time write(FoutTime,'(a)') ' ' write (System_Output,'(a,f15.10,a)') ' (curr2_time-curr1_time)/60d+0,'min' [OK] if(IsSolve (nA,nV,Xn,Size)) then write(*,'(a)') '==OK==' end if deallocate(nA,nV) if(.not. allocated(X)) then allocate ( X(Nx,Ny) ) end if do I=lbound(X,1),ubound(X,1) do J=lbound(X,2),ubound(X,2) X(I,J) = (0d+0,0d+0) end do end do ! транформация вектора в матрицу по форме экрана call DomainTransform(Xn,X,Dom,Nx,Ny,Size) deallocate(Xn) end if time =',
164 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!! ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК !!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !-------------------------------------------------------!-------- ПОЛЕ -----------------------------------------!-------------------------------------------------------allocate ( mFIELD(NOX,NOX) ) allocate ( FULL_FIELD(NOX,NOX) ) call cpu_time(curr1_time) ! поле плоской волны call FieldKernelCalcPlane(mFIELD,FULL_FIELD,X,X3,Ax,Bx,Ay,By, Nx,Ny,NOX) call cpu_time(curr2_time) write(FoutTime,'(a,f)') 'FIELD time = ',curr2_time-curr1_time write(FoutTime,'(a)') ' ' open(FoutField,file="abs_pole.txt") ! сохранение модуля рассеянного поля call Put2dAbsMatrix2File("// scattered pole abs",FoutField,mFIELD, ubound(mFIELD,1),ubound(mFIELD,2)) close(FoutField) deallocate (FULL_FIELD) deallocate (mFIELD) !-------------------------------------------------------!-------- ДИАГРАММА ------------------------------------!-------------------------------------------------------allocate ( DIAGRAMM(2*NON) ) write (System_Output,'(a)') '>> call cpu_time(curr1_time) Diagramm Calc' call DiagrammCalc(DIAGRAMM,X,Ax,Bx,Ay,By,Nx,Ny,Phi_0,NON) call cpu_time(curr2_time) write(FoutTime,'(a,f)') 'Diagramm calculation time = ',curr2_timecurr1_time write(FoutTime,'(a)') ' '
165 ! сохранение данных для сравнения диаграмм write (System_Output,'(a)') '>> Output compare data' open(FoutField,file="diagramm-compare.csv") do I=lbound(DIAGRAMM,1),ubound(DIAGRAMM,1) write(FoutField,'(f15.10,a,f15.10)') (2d+0*PI*(Ilbound(DIAGRAMM,1))/(ubound(DIAGRAMM,1)lbound(DIAGRAMM,1))),',' ,4d+0*Abs(Imag(DIAGRAMM(I)))/Kk end do close(FoutField) ! вывод мнимой части диаграммы ДН в полярных координатах write (System_Output,'(a)') '>> Output Imag part of Diagramm' open(FoutField,file="diagramm-abs-polar-im.csv") do I=lbound(DIAGRAMM,1),ubound(DIAGRAMM,1) write(FoutField,'(f15.10,a,f15.10)') (2d+0*PI*(Ilbound(DIAGRAMM,1))/(ubound(DIAGRAMM,1)lbound(DIAGRAMM,1))),',',Imag(DIAGRAMM(I)) end do close(FoutField) ! вывод действительной части ДН в полярных координатах write (System_Output,'(a)') '>> Output Real part of Diagramm' open(FoutField,file="diagramm-abs-polar-re.csv") do I=lbound(DIAGRAMM,1),ubound(DIAGRAMM,1) write(FoutField,'(f15.10,a,f15.10)') (2d+0*PI*(Ilbound(DIAGRAMM,1))/(ubound(DIAGRAMM,1)lbound(DIAGRAMM,1))),',',Real(DIAGRAMM(I)) end do close(FoutField) ! вывод модуля ДН в полярных координатах write (System_Output,'(a)') '>> Output Abs Polar diag' open(FoutField,file="diagramm-abs-polar.csv") do I=lbound(DIAGRAMM,1),ubound(DIAGRAMM,1) write(FoutField,'(f15.10,a,f15.10)') (2d+0*PI*(Ilbound(DIAGRAMM,1))/(ubound(DIAGRAMM,1)lbound(DIAGRAMM,1))),',',Abs(DIAGRAMM(I)) end do close(FoutField) ! Нормализация и вычисление максимума call Normalization(DIAGRAMM,NON) write(Fout,'(a,f15.10)',advance='NO') 'nMAX DIAG = 'c,MaxValue write (System_Output,'(a)') '>> Output ABS of Normalized diag' open(FoutField,file="diagramm.txt") ! открытие файла вывода do I=lbound(DIAGRAMM,1),ubound(DIAGRAMM,1) write(FoutField,'(f15.10,a)',advance='NO') Abs(DIAGRAMM(I)),' ' end do close(FoutField) deallocate (DIAGRAMM)
166 !-------------------------------------------------------!-------- SONAR CROSS SECTION --------------------------!-------------------------------------------------------write (System_Output,'(a)') '>> Output Factor SCS' write(Fout,'(a,e)',advance='NO') 'nMAX SCS = 'c, (Kk*Kk*MaxValue*MaxValue/PI) open(FoutField,file="scs.txt") do I=lbound(DIAGRAMM,1),ubound(DIAGRAMM,1) Temp = Kk*Kk*Abs(DIAGRAMM(I))*Abs(DIAGRAMM(I))/PI write(FoutField,'(f15.10,a)',advance='NO') Temp,' ' end do close(FoutField) !-------------------------------------------------------!-------- ФАКТОРИЗАЦИЯ ---------------------------------!-------------------------------------------------------allocate (G(1:2,0:Nx-1)) allocate (H(1:2,0:Ny-1)) call cpu_time(curr1_time) call Factor_MNK(X,Nx,Ny,G,H) call cpu_time(curr2_time) write(FoutTime,'(a,e)') 'Factor time = ',curr2_time-curr1_time write(FoutTime,'(a)') ' ' ErN=20 allocate(FACTOR_FIELD(0:ubound(X,1),0:ubound(X,2))) allocate (FERROR(ubound(X,1)+1,ubound(X,2)+1)) allocate (SquareError(ErN)) write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR error' open(FoutField,file="factor-error.txt") ! открытие файла вывода do I=lbound(X,1),ubound(X,1) do J=lbound(X,2),ubound(X,2) FACTOR_FIELD(I,J)=((G(1,I)*H(1,J)G(2,I)*H(2,J))+CMPLX(0d+0,1d+0)*(G(2,I)*H(1,J)+H(2,J)*G(1,I))) Temp=ABS(X(I,J)-FACTOR_FIELD(I,J)) FERROR(I+1,J+1)=Temp write(FoutField,'(f15.10,a)',advance='NO') Temp,' ' end do write(FoutField,'(a)') ' ' end do close(FoutField) ! G write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR G' open(FoutField,file="factor-G.txt") do I=lbound(X,1),ubound(X,1)
167 CTemp=G(1,I)+CMPLX(0d+0,1d+0)*G(2,I) write(FoutField,'(a,e,a,e,a)',advance='NO') '(', REAL(CTemp),',',AIMAG(CTemp),') ' end do close(FoutField) write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR G-Re' open(FoutField,file="factor-G-re.txt") ! открытие файла вывода do I=lbound(X,1),ubound(X,1) CTemp=G(1,I)+CMPLX(0d+0,1d+0)*G(2,I) write(FoutField,'(e,a)',advance='NO') REAL(CTemp),' ' end do close(FoutField) write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR G-Im' open(FoutField,file="factor-G-im.txt") ! открытие файла вывода do I=lbound(X,1),ubound(X,1) CTemp=G(1,I)+CMPLX(0d+0,1d+0)*G(2,I) write(FoutField,'(e,a)',advance='NO') AIMAG(CTemp),' ' end do close(FoutField) write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR G-abs' open(FoutField,file="factor-G-abs.txt") ! открытие файла вывода do I=lbound(X,1),ubound(X,1) CTemp=G(1,I)+CMPLX(0d+0,1d+0)*G(2,I) write(FoutField,'(e,a)',advance='NO') Abs(CTemp),' ' end do close(FoutField) ! H write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR H' open(FoutField,file="factor-H.txt") do J=lbound(X,2),ubound(X,2) CTemp=H(1,J)+CMPLX(0d+0,1d+0)*H(2,J) write(FoutField,'(a,e,a,e,a)',advance='NO') '(',REAL(CTemp),',',AIMAG(CTemp),') ' end do close(FoutField) write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR H-Re' open(FoutField,file="factor-H-re.txt") do J=lbound(X,2),ubound(X,2) CTemp=H(1,J)+CMPLX(0d+0,1d+0)*H(2,J) write(FoutField,'(e,a)',advance='NO') REAL(CTemp),' ' end do close(FoutField) write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR H-Im' open(FoutField,file="factor-H-im.txt") do J=lbound(X,2),ubound(X,2) CTemp=H(1,J)+CMPLX(0d+0,1d+0)*H(2,J) write(FoutField,'(e,a)',advance='NO') AIMAG(CTemp),' '
168 end do close(FoutField) write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR H-abs' open(FoutField,file="factor-H-abs.txt") do J=lbound(X,2),ubound(X,2) CTemp=H(1,J)+CMPLX(0d+0,1d+0)*H(2,J) write(FoutField,'(e,a)',advance='NO') Abs(CTemp),' ' end do close(FoutField) write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR mult' open(FoutField,file="factor-mult.txt") call PutMVector2File ('// Solution: Factor Density',FoutField,FACTOR_FIELD,ubound(FACTOR_FIELD,1),ubound( FACTOR_FIELD,2)) close(FoutField) ! вычисление погрешности call GetSquare(FERROR,lbound(FERROR,1),ubound(FERROR,1), SquareError,ErN) write (System_Output,'(a)') '>> Output Factor Square of ERROR' open(FoutField,file="factor-error-square.txt") do I=lbound(SquareError,1),ubound(SquareError,1) write(FoutField,'(f4.2,a)',advance='NO') (100d+0*SquareError(I)/(Nx*Ny)),' ' end do close(FoutField) deallocate(FERROR,SquareError) write (System_Output,'(a)') '>> FACTOR FIELD' open(FoutField,file="factor-mult-abs.txt") do I=lbound(FACTOR_FIELD,1),ubound(FACTOR_FIELD,1) do J=lbound(FACTOR_FIELD,2),ubound(FACTOR_FIELD,2) Temp=ABS(FACTOR_FIELD(I,J)) write(FoutField,'(f15.10,a)',advance='NO') Temp,' ' end do write(FoutField,'(a)') ' ' end do close(FoutField) allocate ( FDIAGRAMM(2*NON) ) write (System_Output,'(a)') '>> Factor Diagramm Calc' call cpu_time(curr1_time) call DiagrammCalc(FDIAGRAMM,FACTOR_FIELD,Ax,Bx,Ay,By,Nx,Ny,NON) call cpu_time(curr2_time) write(FoutTime,'(a,f)') 'Factor Diagramm calculation time = ',curr2_time-curr1_time write(FoutTime,'(a)') ' '
169 Medium = Middle(FDIAGRAMM,NON) write (System_Output,'(a)') '>> Output factor direct coeff' open(FoutField,file="coef-direct.txt") do I=lbound(FDIAGRAMM,1),ubound(FDIAGRAMM,1) write(FoutField,'(f15.10,a)',advance='NO') Abs(FDIAGRAMM(I))/Medium,' ' end do close(FoutField) call Normalization(FDIAGRAMM,NON) write (System_Output,'(a)') '>> Output Factor DIAG' write(Fout,'(a,f15.10)',advance='NO') 'nMAX FACTOR DIAG = 'c,MaxValue open(FoutField,file="factor-diagramm.txt") do I=lbound(FDIAGRAMM,1),ubound(FDIAGRAMM,1) write(FoutField,'(f15.10,a)',advance='NO')Abs(FDIAGRAMM(I)),'' end do close(FoutField) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!! ЗАВЕРШЕНИЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ !!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! write(System_Output,'(a)') '>> Output data' write(System_Output,*) "Please, wait..." write(Fout,'(a)') 'n=='c allocate( D(Ny,Nx) ) ! переформатирование вектора решения учитывая форму области call Transform(X,D,Nx,Ny) ! вывод плотности уравнения call PutMVector2File ('// Solution: Density',Fout,D, ubound(D,1),ubound(D,2)) write (System_Output,'(a)') ' [OK]' open(FoutField,file="abs_dens.txt") call Put2dAbsMatrix2File("// density abs",FoutField,D, ubound(D,1),ubound(D,2)) close(FoutField) deallocate(D,Dom,X) call cpu_time(finish_time) write(FoutTime,'(a,f)') 'Total time = ',finish_time-start_time write(FoutTime,'(a)') 'n Time in seconds'c write(System_Output,'(a,f15.10,a)') 'n>> Total time = 'c, (finish_time-start_time)/60d+0,'minn'c close(FoutTime) close(Fout) end program Rect_Toeplitz
170 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Гахов А. В. Вычислительный эксперимент на базе численного решения гиперсингулярного интегрального уравнения для прямоугольной области / А. В. Гахов, В. О. Мищенко // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Х., 2003. - № 590. — С. 84–91 – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 1). 2. Гахов А. В. Эффективность вычислений МДО в скалярной задаче 3-мерной дифракции на экране, лежащем в плоскости раздела сред / А. В. Гахов // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Х., 2006. — № 733. — С. 76–91. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 6). 3. Гахов А. В. Математическое моделирование рассеяния акустических волн на жестком экране в слоисто-неоднородном полупространстве / А. В. Гахов // Вісник Харківського національного університету : Зб. наук. праць. – Х., 2007. — № 775. — С. 92–98. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 7). 4. Гахов А. В. Численное исследование рассеяния скалярных волн плоским экраном на границе слоя в полупространстве над жесткой плоскостью / А. В. Гахов // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Х., 2007. — № 780. — С. 79–93. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 8). 5. Гахов А. В. Математические модели и численный эксперимент в 3D задачах акустической дифракции на плоскопараллельных структурах / А. В. Гахов // Вісник Запорізького національного університету: Зб. наук. статей. – Запоріжжя, 2008. – №1. – С. 26-35. – (Серія: Фізико-математичні науки).
171 6. Гахов А. В. Трехмерная модель метода дискретных особенностей рассеяния скалярных волн экраном на границе раздела сред / А. В. Гахов, В. О. Мищенко // Вестник Херсонского Национального Технического Университета: Зб. науч. трудов. – Херсон, 2006. — № 2 (25). — С. 135–140. 7. Gahov A. V. The validation of the software that was developed for calculations related to the design of antennas / A. V. Gahov, V. O. Mishchenko // Радіоелектронні і комп’ютерні системи. — 2007. — № 6 (25). — С. 180–185. 8. Гахов А. В. Поиск математической модели при анализе связи между видами качества расчетных программ / А. В. Гахов, В. О. Мищенко // Радіоелектронні і комп’ютерні системи. — 2008. — № 6 (33). — С. 214–218. 9. Gahov A. Testing a new approach to the analysis of projects development using generalization parameters offered by software science / A. Gahov // International Conference of Science and Technology Scalable Systems and Computer Networks Design and Applications. Kremenchuk, 28-30 September 2004. — Kremenchuk, 2004. – P. 118–119. 10. Гахов А. В. Вычислительный эксперимент на базе решения задачи дифракции на ковре Серпинского методом дискретных особенностей / А. В. Гахов // Десятая международная научная конференция им. акад. М. Кравчука. Киев, 13-15 мая 2004 г. – К., 2004. — С. 73. 11. Гахов А. В. Экспериментальное определение параметров достоверного моделирования дифракции на предфракталах методом дискретных особенностей / А. В. Гахов // Труды международных школ-семинаров «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Орел, 22-24 февраля 2005 г. — Орел, 2005. — вып. 4. – С. 23–29.
172 12. Гахов А. В. Численные эксперименты на базе программной реализации 3- мерной акустической дифракции на плоском экране / А. В. Гахов // XII Международный симпозиум «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Херсон, 13-18 июня 2005 г. — Харьков; Херсон, 2005. – С. 93–96. 13. Gahov A. The Hypersingular Equation Technique for the 3-d Problem of Diffraction on a Metal Screen in a Stratified Medium / A. Gahov, V. Mishchenko // 11th International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Kharkiv, 26-29 June 2006. — Kharkiv, 2006. — P. 602–604. 14. Гахов А. В. Математическая модель рассеяния акустических волн экраном, расположенном на слое конечной ширины / А. В. Гахов // XIII Международный симпозиум «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Херсон, 10-17 июня 2007 г. — Харьков; Херсон, 2007. — С. 100–104. 15. Гахов А. В. Компьютерное моделирование дифракции на планарных структурах на основе метода параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов / А. В. Гахов, В. О. Мищенко // Двенадцатая международная научная конференция им. акад. М.Кравчука. Киев, 15-17 мая 2008 г. – К., 2008. — С. 564. 16. Doicu A. Acoustic and Electromagnetic Scattering Analysis Using Discrete Sources / A. Doicu, Yuri A. Eremin, T. Wriedt. – Academic Press, 2000. – 317 p. 17. Применение ультразвука в медицине: Физические основы / [Э. Миллер, К. Хилл, Дж. Бембер и др.]; пер. с англ. В. Н. Дмитриев, В. П. Юшин, А. М. Рейман, Л. В. Бабин; под ред. К. Хилла. – М.: Мир, 1989. – 568 с. 18. Fillinger Laurent Time Reversed Sound detects land mines [Электронный ресурс] / L. Fillinger, B. Libbey, A. Sutin, A. Sarvazyan // ASA
173 MEETING ARCHIVES (145th Meeting, Nashville, Tennessee, April 28 – May 2, 2003). – Режим доступа - http://www.acoustics.org/press/154th/fillinger.html. 19. Гутников В. А. Математическое моделирование аэродинамики городской застройки / В. А. Гутников, И. К. Лифанов, А. В. Сетуха. – М.: Пасьва, 2002. – 244 с. 20. Hunter Alan Underwater Acoustic Modelling for Synthetic Aperture Sonar: Ph.D. thesis in Electrical and Computer Engineering / Alan J. Hunter. – Christchurch, 2006 – 120 p. 21. Акустика океана [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.akin.ru/spravka/s_ocean.htm. — Заголовок с титул. экрана. 22. Ермолов И. Н. Неразрушающий контроль: в 5 кн. / И. Н. Ермолов, Н. П. Алешин, А. И. Потапов; под ред. В. В. Сухорукова. – М.: Высшая школа, 1991. – 283 с. – (Акустические методы контроля: Практ. пособие; кн. 2). 23. Хенл Х. Теория дифракции / Х. Хенл, А. Мауэ, К. Вестпфаль; пер. с нем. Н. Г. Вахитов, В. И. Иванов, М. П. Сахарова; под. ред. Г. Д. Малюжинца. – М.: Мир, 1964 – 428 с. 24. Колтон Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс; пер. с англ. Ю. А. Еремин, Е. В. Захаров; под ред. А. Г. Свешникова - М.: Мир, 1987. - 311 с. 25. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики / Евгений Львович Шендеров. – Л.: Судостроение, 1972. – 362 с. 26. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – [5-е изд.]. – М.: Наука, 1977. – 735 с.
174 27. Ильинский А. С. Математические модели электродинамики: Учеб. пособ. для вузов / А. С. Ильинский, В. В. Кравцов, А. Г. Свешников. – М.: Высш. школа, 1991 – 224 с. 28. Вайникко Г. М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский. – М.: Янус-К, 2001. – 508 с. 29. Сетуха А. В. О краевой задаче Неймана с обобщенными граничными условиями / А. В. Сетуха // Труды X Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Херсон, 29 мая – 5 июня 2001 г. – Херсон, 2001. — С. 317–323. 30. Сетуха А. В. О краевой задаче Неймана в полупространстве / А. В. Сетуха // Труды IX Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики (МДОЗМФ-2000)». Орел, 29 мая-2 июня 2000г. – Орел, 2000. – С. 421–424. 31. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений / Георгий Иосифович Эскин. – М.: Наука.– 1973.– 232 с. 32. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве: Учеб. пособие / М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк. – Л.:ЛГУ, 1980. – 264 с. 33. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах / Леонид Максимович Бреховских. – [2-е изд.]. – М.: Наука, 1973. – 343 с. 34. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер; пер. с англ. В. М. Картвелишвили; под. ред. Н. В. Баничука. – М.: Мир, 1984. - 428 с.
175 35. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган; пер. с англ. Б. И. Квасов; под. ред. Н. С. Бахвалова. – М.: Мир, 1986. – 318 с. 36. Захаров Е. В. Численный анализ дифракции радиоволн / Е. В. Захаров, Ю. В. Пименов. – М.: Радио и связь, 1982. – 184 с. 37. Иванов Е. А. Общая задача о дифракции плоской электромагнитной волны, наклонно падающей на круговой диск, лежащий на границе раздела двух сред / Е.А. Иванов // Дифференциальные уравнения. – 1985. – Т. XXI, № 12 - С. 21142124. 38. Назарчук З. Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах / Зиновий Теодорович Назарчук. – К.: Наукова думка, 1989. – 256 c. 39. Щербина В. А. Граничные уравнения для квазистационарной задачи дифракции электромагнитного поля в R 3 на идеально проводящем разрезе / В. А. Щербина // Труды VII Международного «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Феодосия, 26-29 июня 1997 г. – Феодосия, 1997. – С. 234-235. 40. Довгий С. А. Методы решения интегральных уравнений. Теория и приложения / С. А. Довгий, И. К. Лифанов. – К.: Наукова Думка, 2002. – 343с. 41. Смагин С. И. Метод потенциалов в трехмерной задаче дифракции электромагнитных волн / С. И. Смагин // Журнал вычислительной математики и математической физики.– 1989. – Т.29, № 1. – С. 82-92. 42. Манжиров А. В. Методы решения интегральных уравнений: Справочник / А. В. Манжиров, А. Д. Полянин. – М.: Факториал, 1999. – 272 с.
176 43. Давыдов А. Г. Метод численного решения задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях произвольной формы / А. Г. Давыдов, Е. В. Захаров, Ю. В. Пименов // ДАН СССР. – 1984. – Т. 286, № 1. – С. 96-100. 44. Ставцев С. Л. Некоторые численные решения гиперсингулярных интегральных уравнений в задачах акустики / С. Л. Ставцев // Труды международных школ-семинаров «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Орел, 22-24 февраля 2005 г. — Орел, 2005. — вып. 4. – С. 120–125. 45. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / Иван Кузьмич Лифанов. – М.: ТОО "Янус", 1995. – 520 с. 46. Давыдов А. Г. О гиперсингулярных интегральных уравнениях в задачах дифракции электромагнитных волн / А. Г. Давыдов, Е. В. Захаров, Ю. В. Пименов // Труды IX Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики (МДОЗМФ-2000)». Орел, 29 мая-2 июня 2000г. – Орел, 2000. – С. 173–177. 47. Сетуха А. В. Некоторые особенности численного решения задач распространения звука в мелкой воде на основе интегральных уравнений / С. Л. Ставцев, А. В. Сетуха // Труды XII Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Херсон, 13-18 июня 2005 г. — Харьков; Херсон, 2005. – С.327-330. 48. Белоцерковский С.М. Исследования по аэродинамике современных несущих поверхностей: Дис. … доктора тех. наук / Белоцерковский Сергей Михайлович. – М., 1955 – 214с. 49. Гандель Ю. В. О приложении идей метода дискретных вихрей к задачам электродинамики / Ю. В. Гандель, И. К. Лифанов // Научно-методические
177 материалы по численным методам Военно-Воздушной Инженерной Академии им. проф. Н. Е. Жуковского. – М., 1985 – С. 3-13. 50. Гандель Ю. В. Метод дискретных особенностей в задачах электродинамики / Ю. В. Гандель // Вопросы кибернетики. – 1986. – № 124. – С. 166-183. 51. Гандель Ю. В. К обоснованию метода дискретных особенностей в двумерных задачах дифракции / Ю. В. Гандель, И. К. Лифанов, Т. С. Полянская // Дифференциальные уравнения. – 1995. – Т. 31, № 9. - С. 1536-1541. 52. Фундаментальные электромагнитных волн и / прикладные [Ю. К. задачи Сиренко, теории И. В. рассеяния Сухаревский, О. И. Сухаревский, Н. П. Яшина]; под ред. Ю. К. Сиренко. – Х.: Крок, 2000. – 344 с. 53. Белоцерковский С. М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях / С. М. Белоцерковский, И. К. Лифанов. – М.: Наука, 1985. – 256 с. 54. Давыдов А. Г. Об использовании гиперсингулярных интегральных уравнений для численного анализа задач дифракции электромагнитных волн на магнитодиэлектрических телах / А. Г. Давыдов, Е. В. Захаров, Ю. В. Пименов // Труды XII Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Херсон, 13-18 июня 2005 г. – Харьков; Херсон, 2005. – С.114-117. 55. Бенерджи П. Методы граничных элементов в прикладных науках / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд; пер. с англ. А. Ф. Зазовский, А. В. Клапцов, М. Л. Холмянский; под ред. Р. В. Гольдштейна. - М.: Мир, 1984. – 494 с. 56. Лифанов И. К. Модификация метода дискретных рамок к расчету некоторых пространственных задач дифракции электромагнитных волн /
178 И. К. Лифанов, Д. Ю. Петров // Электромагнитные волны и электронные системы. – 2002. – Т. 7, № 7. – С. 4-9. 57. Лифанов И.К. Обобщенный оператор Фурье и его применение в обосновании метода дискретных вихрей / И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский // Математический сборник. – 1992. – Т. 183, № 5. – С. 79-114. 58. Лифанов И.К. Пространства дробных отношений, дискретне операторы и их приложения. I. / И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский // Математический сборник. – 1999. – Т. 190, № 9. – С. 41-98. 59. Гандель Ю. В. Парные и гиперсингуляные интегральные уравнения задач дифракции электромагнитных волн на плоских решетках и экранах / Ю. В. Гандель // Труды XI Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Херсон, 11-18 июня 2003 г. – Харьков; Херсон, 2003. – С.53-58. 60. Антонец А. В. Численный анализ гиперсингулярного интегрального уравнения задач дифракции на плоском экране / А. В. Антонец, Ю. В. Гандель // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Х., 2003. — № 590. — С. 9-14. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 1). 61. Гандель Ю. В. Псевдодифференциальные уравнения электромагнитной дифракции на плоскопараллельной структуре и их дискретная модель / Ю. В. Гандель, В. О. Мищенко // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Х., 2006. — № 733. — С. 58-75. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 6).
179 62. Словарь -  Программный комплекс [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://dictionary.finam.ru/dictionary/wordf024D600012/default.asp?n=2. — Заголовок с титул. экрана. 63. Труды XI Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики»: сб. науч. трудов по материалам межд. симпозиума, 11-18 июня 2003 г. / Харьк. нац. ун-т им. В. Н. Каразина [и др.]. – Х., Херсон: ХНУ имени В.Н. Каразина, 2003 – 308 с. 64. Давыдов А. Г. Программный комплекс EDEM3D для исследования электродинамических характеристик идеально проводящих трехмерных объектов / А. Г. Давыдов, Ю. В. Пименов // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. – 1999. – Т. 7. - № 2 (23). – C. 24-26. 65. Гандель Ю. В. Математические вопросы метода дискретных зарядов: Учеб. пособие / Ю. В. Гандель, Т. С. Полянская. – Х.: Ротапринт ХГУ, 1991. – 67 с. 66. Гандель Ю. В. Новый численно-аналитический метод волнового анализа коаксиального гиротрона / Ю. В. Гандель, Г. И. Загинайлов, С. А. Стешенко // Радиофизика и электроника. – 2002. – Т. 7. – C. 196-203. – (Специальный выпуск). 67. Гандель Ю. В. Гиперсингулярное интегральное уравнение математической модели гиротрона для случая ТМ-волн / Ю. В. Гандель, А. С. Кононенко // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Х., 2005. — № 661. — С. 83–88. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 4). 68. САПР «Сударушка». МДВ. Аэродинамические расчёты. Прикладные программы [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.sdr.ru/caa.htm. — Заголовок с экрана.
180 69. ГОДОВОЙ ОТЧЕТ открытого акционерного общества «ОКБ Сухого» за 2007 год [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.sukhoi.org/files/report2007.pdf. — Заголовок с титул. экрана. 70. CATRAN [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.catran- cae.com. – Заголовок с экрана. 71. Давыдов А. Г. О возможностях новой версии программного комплекса EDEM / А. Г. Давыдов, Ю. В. Пименов // Тезисы докладов и сообщений I Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». Самара, 10 – 16 сентября 2001 г. – Самара, 2001. – Т.1. - С. 21-26. 72. Программа для расчета электромагнитных полей [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.edem3d.ru. – Заголовок с экрана. 73. ISO 9001:2000 - Quality management systems – Requirements [Электронный ресурс]. Режим доступа - http://www.iso.org/iso/catalogue_detail?csnumber=21823. – Заголовок с экрана. 74. Харченко В. С. Методы моделирования и оценки качества и надёжности программного обеспечения: Учеб. пособие / В. С. Харченко, В. В. Скляр, О. М. Тарасюк. – Х.: НАУ «ХАИ», 2004. – 159 с. 75. ISO/IEC 9126-1:2001 - Software engineering -- Product quality [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.iso.org/iso/iso_catalogue/catalogue_tc/ catalogue_detail.htm?csnumber=22749. – Заголовок с экрана. 76. Мищенко В. О. Энергетический анализ программного обеспечения с примерами реализации для Ада-программ / Виктор Олегович Мищенко. – Х.: ХНУ имени В.Н. Каразина, 2007. – 129 с.
181 77. Мищенко В. О. Применение математического моделирования в системном анализе проекта программного обеспечения методов дискретных особенностей / В. О. Мищенко // Труды VII Международного «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Феодосия, 26-29 июня 1997 г. – Феодосия, 1997. – С. 117-120. 78. Холстед М. Х. Начала науки о программах / М. Х. Холстед; пер. с англ. В. М. Юфа. – М.: Финансы и статистика, 1981. – 128 с. 79. IEEE Std 982.2-1988, IEEE Guide for the Use of IEEE Standard [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://ieeexplore.ieee.org/iel1/2596/983/00026479.pdf?arnumber=26479. — Заголовок с экрана. 80. Мищенко В. О. Математическая модель стиля Software Science для метрического анализа сложных наукоёмких программ / В. О. Мищенко // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Х., 2004. — № 629. — С. 70–85. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 3). 81. Mishchenko V. O. One Experiment in Using Energy Metrics Proposed for Software Process Assessment / V. O. Mishchenko // Радіоелектронні і комп’ютерні системи. — 2007. — №8 (27). — С. 121–124. 82. Мищенко В. О. Согласование требований при формализации одного метода энергетического анализа программ / В. О. Мищенко // Радіоелектронні і комп’ютерні системи. — 2008. — №5 (32). — С. 177–182. 83. ДСТУ 2850-94. Програмні засоби ЕОМ. Показники і методи оцінювання якості. – Держстандарт України. – 1994. – 20 с.
182 84. Петров Д. Ю. Исследование сходимости МДО на окружности / Д. Ю. Петров // Труды X Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Херсон, 29 мая – 5 июня 2001 г. – Херсон, 2001. — С. 261–265. 85. Еремин Ю. А. Дифракция плоской электромагнитной волны на ленте Мебиуса / Ю. А. Еремин, М. Х. Зимнов, Б. З. Каценеленбаум // Радиотехн. и электрон. – 1995. – Т. 40, № 7. – С. 1017-1029. 86. Wolberg J. Data Analysis Using the Method of Least Squares: Extracting the Most Information from Experiments / John Wolberg. – Springer, 2005. – 250 p. 87. Лоусон Ч. Численное решение задач метода наименьших квадратов / Ч. Лоусон, Р. Хенсон; пер. с англ. Х. Д. Икрамов – М.: Наука, 1986. – 232 с. 88. Анфиногенов А. Ю. Расчёт тонкой проволочной антенны методом дискретных особенностей / А. Ю. Анфиногенов, И. К. Лифанов // Труды X Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Херсон, 29 мая – 5 июня 2001 г. – Херсон, 2001. — С. 23–25. 89. Воробьев С. Н. Дифракция электромагнитных волн на ограниченной полосковой структуре: спектральный метод и приближение заданного тока / С. Н. Воробьев, С. Л. Просвирнин // Радиотехника и электроника. – 1994. – Т. 39, вып. 12. – С. 1951–1960. 90. Рабинович М. И. Введение в теорию колебаний и волн / М. И. Рабинович, Д. И. Трубецков. – М.: Наука, 1984. - 432 с. 91. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике / Василий Сергеевич Владимиров. – М.: Наука, 1979. - 318 с.
183 92. Anfinogenov A. Yu. On numerical solution of integral equations of planar and spatial diffraction problems / A. Yu. Anfinogenov, I. I. Lifanov // Russ. J. Numer. Annal. Math. Modeling. – 1992. – Vol. 7, № 5. – P. 387-404. 93. Анфиногенов А. Ю. Численное решение задачи дифракции электромагнитной волны на незамкнутой идеально проводящей поверхности / А. Ю. Анфиногенов // Труды IX Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики (МДОЗМФ-2000)». Орел, 29 мая-2 июня 2000г. – Орел, 2000. – С. 32–35. 94. Visual Numerics [Электронный ресурс]. - Developers of IMSL and PV-WAVE Режим доступа: http://www.vni.com/products/imsl/. — Заголовок с экрана. 95. Общее Руководство по Библиотеке Численного Анализа НИВЦ МГУ [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.srcc.msu.su/num_anal/lib_na/libnal.htm. — Заголовок с экрана. 96. задач Анфиногенов А. Ю. Повышение вычислительной эффективности решения теории дифракции методом дискретних особенностей / А. Ю. Анфиногенов // Труды XII Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Херсон, 13-18 июня 2005 г. — Харьков; Херсон, 2005. – С.13-16. 97. Калиткин Н. Н. Численные методы / Николай Николаевич Калиткин. – М.: Наука, 1978. – 512с. 98. Петров Д. Ю. математической Исследование модели сходимости трехмерной векторной квадратурных задачи формул дифракции / Д. Ю. Петров // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Х., 2003. — № 590. — С. 193-196. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 1).
184 99. Анфиногенов А. Ю. Практическое ускорение численного решения трехмерной скалярной задачи дифракции методом дискретных особенностей. / А. Ю. Анфиногенов // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Х., 2007. — № 775. — С. 3-10. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 7). 100. Воеводина С. Н. Клеточно-теплицевы матрицы и интегральные уравнения Фредгольма / С. Н. Воеводина // Вычислительные методы и программирование. – М.: МГУ, 1975. – вып. 24. – С.91-94. 101. Воеводина С. Н. Решение системы уравнений с клеточно-теплицевыми матрицами / С. Н. Воеводина // Вычислительные методы и программирование. – М.: МГУ, 1975. – вып. 24. – С. 94-100. 102. Анфиногенов А. Ю. Численное исследование взаимного влияния элементов антенной решетки / А. Ю. Анфиногенов, Д. Ю. Петров // Труды IX Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики (МДОЗМФ-2000)». Орел, 29 мая-2 июня 2000г. – Орел, 2000. – С. 48–51. 103. Гандель Ю. В. Интегральные уравнения некоторых аксиально симметричных задач математической теории дифракции волн: дис. … кандидата физ.-мат. наук: 01.003 / Гандель Юрий Владимирович. – Харьков, 1971. – 133с. 104. Булыгин В. С. Скалярная третья краевая задача математической теории дифракции на плоском экране и ее дискретная математическая модель / В. С. Булыгин // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Харків, 2003. — № 775. — С. 62-72. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 7).
185 105. Батченко В. А. Диагональное преобладание матрицы дискретного аналога гиперсингулярного интегрального оператора / В. А. Батченко // Труды IX Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики (МДОЗМФ-2000)». Орел, 29 мая-2 июня 2000г. – Орел, 2000. — С. 69–72. 106. Тыртышников Е. Е. Методы численного анализа: Курс лекций / Евгений Евгеньевич Тыртышников. – М.: ИВМ РАН, 2006. – 291 с. 107. Форсайт Дж. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений / Дж. Форсайт, К. Молер; пер. с англ. В. П. Ильин, Ю. И. Кузнецов; под ред. Г. И. Марчука. – М.: Мир, 1969. – 167 с.

More Related Content

PDF
проба пера
Екатерина Редько
 
PDF
П.Г. Круг.; Нейронные сети и Нейрокомпьютеры
Grigory Pomadchin
 
PDF
Dis chikunov
Володимир Andrienko22
 
PDF
Dis akel
Володимир Andrienko22
 
PDF
Руководство QPF600 (полное)
QOMO
 
PDF
Ляпичев. Проектирование, строительство и поведение современных высоких плотин...
Yury Lyapichev
 
PDF
озеров в. Delphi. советы программистов (2004)
StAlKeRoV
 
PDF
7
ssusera868ff
 
проба пера
Екатерина Редько
 
П.Г. Круг.; Нейронные сети и Нейрокомпьютеры
Grigory Pomadchin
 
Dis chikunov
Володимир Andrienko22
 
Dis akel
Володимир Andrienko22
 
Руководство QPF600 (полное)
QOMO
 
Ляпичев. Проектирование, строительство и поведение современных высоких плотин...
Yury Lyapichev
 
озеров в. Delphi. советы программистов (2004)
StAlKeRoV
 
7
ssusera868ff
 

Viewers also liked (20)

POTX
Leveraging Social Media to Grow Your Business
James Windrow
 
PPT
Burson-Marsteller and Proof Integrated Communications report: The State of Mo...
rsimiele
 
PPTX
Use of synchronous communication in online learning_ Trupti Gawde
trupts123
 
PPT
David costlow power point
dc0615
 
PPTX
Ready player One - Week 2 overview
center4edupunx
 
PDF
Lista de-precios-compugreiff-enero-14-2014
xxxxx
 
PPT
Leveraging Social Media to Drive Revenue
James Gagliardi
 
PDF
Leveraging Social Media: Tweet Me - Like Me - Buy Me
Digital Vidya
 
PPSX
Φέτος τα Χριστούγεννα - Σταν
Nickos Nickolopoulos
 
PDF
Práctica iv núclidos
Giuliana Tinoco
 
PDF
Barna encendida - Evento de Marketing Digital de SiteGround - Joan Boluda
SiteGround España
 
PDF
Nafees Butt - The bachelorette, a quest for scrum master
Scrum Australia Pty Ltd
 
PPT
Leveraging Social Media for Teaching/Learning
Melida Busch
 
PDF
Lista de-precios-compugreiff-agosto-27-2012
xxxxx
 
PPTX
[BIO102] Control and Integration (Nervous and Endocrine Systems)
Nidelli Vinson
 
PDF
Embedding Design in Large Organizations
Juha Kronqvist
 
PDF
Lista de-precios-compugreiff-agosto-22-2012
xxxxx
 
PPT
Universidad nacional de panamá
belkyssaba
 
PPTX
Leveraging Social Media Marketing: Lincoln Property Company Annual Marketing ...
Erica Campbell Byrum
 
PDF
Guía de distancia y desplazamiento
Giuliana Tinoco
 
Leveraging Social Media to Grow Your Business
James Windrow
 
Burson-Marsteller and Proof Integrated Communications report: The State of Mo...
rsimiele
 
Use of synchronous communication in online learning_ Trupti Gawde
trupts123
 
David costlow power point
dc0615
 
Ready player One - Week 2 overview
center4edupunx
 
Lista de-precios-compugreiff-enero-14-2014
xxxxx
 
Leveraging Social Media to Drive Revenue
James Gagliardi
 
Leveraging Social Media: Tweet Me - Like Me - Buy Me
Digital Vidya
 
Φέτος τα Χριστούγεννα - Σταν
Nickos Nickolopoulos
 
Práctica iv núclidos
Giuliana Tinoco
 
Barna encendida - Evento de Marketing Digital de SiteGround - Joan Boluda
SiteGround España
 
Nafees Butt - The bachelorette, a quest for scrum master
Scrum Australia Pty Ltd
 
Leveraging Social Media for Teaching/Learning
Melida Busch
 
Lista de-precios-compugreiff-agosto-27-2012
xxxxx
 
[BIO102] Control and Integration (Nervous and Endocrine Systems)
Nidelli Vinson
 
Embedding Design in Large Organizations
Juha Kronqvist
 
Lista de-precios-compugreiff-agosto-22-2012
xxxxx
 
Universidad nacional de panamá
belkyssaba
 
Leveraging Social Media Marketing: Lincoln Property Company Annual Marketing ...
Erica Campbell Byrum
 
Guía de distancia y desplazamiento
Giuliana Tinoco
 
Ad

Similar to Метод дискретных особенностей и компьютерный инструментарий для моделирования дифракции акустических волн на трехмерных плоскопаралле (20)

PDF
Основы векторного и тензорного анализа.pdf
fuad163089
 
PDF
Автореферат "Методы и алгоритмы распознавания образов с использованием древов...
ph.d. Dmitry Stepanov
 
PDF
651.локальные методы анализа динамических систем учебное пособие
efwd2ws2qws2qsdw
 
PDF
651.локальные методы анализа динамических систем учебное пособие
ivanov1566353422
 
PDF
MNSK2013
Ilya Moshanov
 
PDF
расчет дифракционных решеток_в_рамках_строгой_электромагнитной_теории
Иван Иванов
 
PPT
Gonch niz nov3
Michael Karpov
 
PPT
Gonch niz nov3
Michael Karpov
 
PDF
ИССЛЕДОВАНИЕ СХЕМЫ ДИФРАКЦИОННОГО КОНТРОЛЯ ПОЛОЖЕНИЙ ОБЪЕКТОВ С ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ ...
ITMO University
 
PDF
744.введение в цифровую обработку сигналов и изображений математические модел...
ivanov15548
 
PDF
744.введение в цифровую обработку сигналов и изображений математические модел...
ivanov1566353422
 
PPT
лекция 25
student_kai
 
PDF
Тренинг "Введение в дополнительные главы высшей математики"
ph.d. Dmitry Stepanov
 
PDF
33379
qwasar1
 
PDF
Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. Москва. 2003
Yura Maturin
 
PDF
С.Ковалёв -- теория категорий как математическое основание MBSE
Anatoly Levenchuk
 
PDF
вестник южно уральского-государственного_университета._серия_математика._меха...
Иван Иванов
 
PDF
вестник южно уральского-государственного_университета._серия_компьютерные_тех...
Иван Иванов
 
PDF
дисертацIя костьян
Черкаський державний технологічний університет
 
PDF
885 высшая математика для экономистов клименко ю.и-2005 -736с
robinbad123100
 
Основы векторного и тензорного анализа.pdf
fuad163089
 
Автореферат "Методы и алгоритмы распознавания образов с использованием древов...
ph.d. Dmitry Stepanov
 
651.локальные методы анализа динамических систем учебное пособие
efwd2ws2qws2qsdw
 
651.локальные методы анализа динамических систем учебное пособие
ivanov1566353422
 
MNSK2013
Ilya Moshanov
 
расчет дифракционных решеток_в_рамках_строгой_электромагнитной_теории
Иван Иванов
 
Gonch niz nov3
Michael Karpov
 
Gonch niz nov3
Michael Karpov
 
ИССЛЕДОВАНИЕ СХЕМЫ ДИФРАКЦИОННОГО КОНТРОЛЯ ПОЛОЖЕНИЙ ОБЪЕКТОВ С ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ ...
ITMO University
 
744.введение в цифровую обработку сигналов и изображений математические модел...
ivanov15548
 
744.введение в цифровую обработку сигналов и изображений математические модел...
ivanov1566353422
 
лекция 25
student_kai
 
Тренинг "Введение в дополнительные главы высшей математики"
ph.d. Dmitry Stepanov
 
33379
qwasar1
 
Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. Москва. 2003
Yura Maturin
 
С.Ковалёв -- теория категорий как математическое основание MBSE
Anatoly Levenchuk
 
вестник южно уральского-государственного_университета._серия_математика._меха...
Иван Иванов
 
вестник южно уральского-государственного_университета._серия_компьютерные_тех...
Иван Иванов
 
дисертацIя костьян
Черкаський державний технологічний університет
 
885 высшая математика для экономистов клименко ю.и-2005 -736с
robinbad123100
 
Ad

More from Andrii Gakhov (20)

PDF
Let's start GraphQL: structure, behavior, and architecture
Andrii Gakhov
 
PDF
Exceeding Classical: Probabilistic Data Structures in Data Intensive Applicat...
Andrii Gakhov
 
PDF
Too Much Data? - Just Sample, Just Hash, ...
Andrii Gakhov
 
PDF
DNS Delegation
Andrii Gakhov
 
PPTX
Implementing a Fileserver with Nginx and Lua
Andrii Gakhov
 
PPTX
Pecha Kucha: Ukrainian Food Traditions
Andrii Gakhov
 
PDF
Probabilistic data structures. Part 4. Similarity
Andrii Gakhov
 
PDF
Probabilistic data structures. Part 3. Frequency
Andrii Gakhov
 
PDF
Probabilistic data structures. Part 2. Cardinality
Andrii Gakhov
 
PDF
Вероятностные структуры данных
Andrii Gakhov
 
PDF
Recurrent Neural Networks. Part 1: Theory
Andrii Gakhov
 
PDF
Apache Big Data Europe 2015: Selected Talks
Andrii Gakhov
 
PDF
Swagger / Quick Start Guide
Andrii Gakhov
 
PDF
API Days Berlin highlights
Andrii Gakhov
 
PDF
ELK - What's new and showcases
Andrii Gakhov
 
PDF
Apache Spark Overview @ ferret
Andrii Gakhov
 
PDF
Data Mining - lecture 8 - 2014
Andrii Gakhov
 
PDF
Data Mining - lecture 7 - 2014
Andrii Gakhov
 
PDF
Data Mining - lecture 6 - 2014
Andrii Gakhov
 
PDF
Data Mining - lecture 5 - 2014
Andrii Gakhov
 
Let's start GraphQL: structure, behavior, and architecture
Andrii Gakhov
 
Exceeding Classical: Probabilistic Data Structures in Data Intensive Applicat...
Andrii Gakhov
 
Too Much Data? - Just Sample, Just Hash, ...
Andrii Gakhov
 
DNS Delegation
Andrii Gakhov
 
Implementing a Fileserver with Nginx and Lua
Andrii Gakhov
 
Pecha Kucha: Ukrainian Food Traditions
Andrii Gakhov
 
Probabilistic data structures. Part 4. Similarity
Andrii Gakhov
 
Probabilistic data structures. Part 3. Frequency
Andrii Gakhov
 
Probabilistic data structures. Part 2. Cardinality
Andrii Gakhov
 
Вероятностные структуры данных
Andrii Gakhov
 
Recurrent Neural Networks. Part 1: Theory
Andrii Gakhov
 
Apache Big Data Europe 2015: Selected Talks
Andrii Gakhov
 
Swagger / Quick Start Guide
Andrii Gakhov
 
API Days Berlin highlights
Andrii Gakhov
 
ELK - What's new and showcases
Andrii Gakhov
 
Apache Spark Overview @ ferret
Andrii Gakhov
 
Data Mining - lecture 8 - 2014
Andrii Gakhov
 
Data Mining - lecture 7 - 2014
Andrii Gakhov
 
Data Mining - lecture 6 - 2014
Andrii Gakhov
 
Data Mining - lecture 5 - 2014
Andrii Gakhov
 

Метод дискретных особенностей и компьютерный инструментарий для моделирования дифракции акустических волн на трехмерных плоскопаралле

  • 1. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В.Н. КАРАЗИНА На правах рукописи ГАХОВ Андрей Владимирович УДК 519.6 МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ И КОМПЬЮТЕРНЫЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИФРАКЦИИ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН НА ТРЕХМЕРНЫХ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СТРУКТУРАХ 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: Мищенко Виктор Олегович кандидат физико-математических наук, доцент Харьков – 2008
  • 2. 2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 РАЗДЕЛ 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1. Физические аспекты задачи и существующие постановки задачи . . . 13 1.2. Методы дискретных особенностей (МДО) в математическом моделировании дифракции на экранах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3. Компьютерное моделирование дифракции на экранах на основе методов дискретных особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4. Выводы по разделу 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 РАЗДЕЛ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ НА ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СТРУКТУРАХ НА ОСНОВЕ ГРАНИЧНЫХ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . . . 33 2.1. Постановки краевых задач дифракции на трехмерных плоскопараллельных структурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2. Единственность решения рассматриваемых краевых задач . . . . . . . . 46 2.3. Граничное псевдодифференциальное уравнение в случае экрана на разделе сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4. Граничное псевдодифференциальное уравнение в случае экрана над жесткой стенкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.5. Граничное псевдодифференциальное уравнение в случае экрана на разделе сред над жесткой стенкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.6. Выводы по разделу 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
  • 3. 3 РАЗДЕЛ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЯДЕР ГРАНИЧНЫХ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ГСИУ) . . 73 3.1. Представление для главной части ядра в случае экрана на разделе сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2. Представление для главной части ядра в случае экрана на разделе сред над жесткой стенки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3. Сравнение с подходом, основанным на методе потенциала . . . . . . 79 3.4. Выводы по разделу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 83 РАЗДЕЛ 4. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ПОЛУЧЕНЫХ ГСИУ . . . . . . . . . . . . . 4.1. Схема МДО для задач дифракции на плоскопараллельных структурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Алгоритм вычисления построенных гиперсингулярных интегральных операторов в классе кусочно-постоянных функций 4.3. Компьютерные аспекты 83 вычисления интегралов 85 от комплекснозначных функций специального вида . . . . . . . . . . . . . . 87 4.4. Вычисление интегральных характеристик для задач дифракции на плоскопараллельных структурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Выводы раздела 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . РАЗДЕЛ 5. ИНСТРУМЕНТАРИЙ ДЛЯ 96 103 КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.1. Программные системы компьютерного моделирования . . . . . . . . . 104 5.2. Форсирование используемых вычислительных алгоритмов. . . . . . . 121 5.3. Исследование практической сходимости и правильности вычислений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.4. Согласованность новых численных результатов с эталонными задачами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.5. Выводы по разделу 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
  • 4. 4 РАЗДЕЛ 6. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.1. Вычислительная устойчивости дискретной модели . . . . . . . . . . . . . 133 6.2. Поведение приближенного решения вблизи края экрана . . . . . . . . . 136 6.3. Исследование поля в дальней зоне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.4. Влияние различия сред на время вычислений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.5. Метод факторизации для понижения размерности дискретной модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.6. Выводы по разделу 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 ВЫВОДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 ПРИЛОЖЕНИЕ А . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 ПРИЛОЖЕНИЕ Б . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
  • 5. 5 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ СОКРАЩЕНИЙ a.f.p. интеграл в смысле конечной части по Адамару (перед знаком интеграла) ГСИУ гиперсингулярное интегральное уравнение МДО методы дискретных особенностей ПДО псевдодифференциальный оператор СЛАУ система линейных алгебраических уравнений
  • 6. 6 ВВЕДЕНИЕ Актуальность темы диссертационной работы. В исследованиях и при решении таких технических задач как зондирование с целью обнаружения отдельных неоднородных включений в сплошной среде важную роль играет изучение взаимодействия плоских монохроматических волн с твердыми структурами. При этом наряду с экспериментами широко применяется компьютерное моделирование таких процессов. Однако до последнего времени постановка соответствующих математических задач в трехмерном пространстве предполагала только приближение коротковолнового диапазона или другие упрощающие предположения. За последние двадцать лет, во многом благодаря методам дискретных особенностей (МДО), к решенным задачам математической теории дифракции добавились и такие, в которых учитывается существенно трехмерная картина процесса для диапазонов длин волн, соразмерных с характерными размерами структур рассеяния. В то же время, применение этих методов требует развития в направлении адекватности постановок задач действительным условиям протекания соответствующих физических процессов. Особенно важным является учет неоднородности пространства распространения волн, например, если тонкий рассеиватель (который моделируется как плоский экран) находится в плоскости раздела сред (находится на дне или плавает на поверхности жидкости). Более сложные дифракционные явления приводят к усложнению построения математических моделей (даже моделей МДО) и повышению вычислительной ресурсоемкости компьютерного моделирования, однако их можно частично упростить такими предположениями, как кусочное постоянство физических параметров неоднородной среды, плоский характер слоев неоднородностей и т.п. Таким образом, для продолжения фундаментальных исследований в этом направлении актуальным является математическое и компьютерное
  • 7. 7 моделирование на основе МДО процесса дифракции акустических волн на плоскопараллельных структурах, которые составлены из плоских жестких экранов, размещенных на границах слоев с постоянными физическими свойствами. Математические модели и вычислительные методы, построенные в диссертации, непосредственно основываются на результатах, которые получили лично и в сотрудничестве со своими учениками известные ученые в области математического моделирования дифракционных явлений на базе МДО Ю.В. Гандель, Е.В. Захаров, И.К. Лифанов. Связь работы Диссертационная с научными программами, работа выполнена в рамках планами, темами. индивидуального плана подготовки аспиранта и является частью научной работы, которая проводится в по теме «Математическое моделирование физических процессов и численный эксперимент» (ГР №0104U0002366) кафедрой математической физики и вычислительной математики механико-математического факультета Харьковского национального университета имени В.Н. Каразина. Целью диссертационной работы является построение математических моделей и вычислительных методов на основе методов дискретных особенностей и создание компьютерного инструментария для проведения вычислительных экспериментов по исследованию дифракции акустических волн в пространстве на плоскопараллельных структурах. В соответствии с этим основными задачами диссертационной работы являются: ─ построить математическую модель на основе гиперсингулярного интегрального уравнения первого рода, исходя из постановки задачи математической теории дифракции в форме краевой задачи; ─ исследовать свойства ядра граничного гиперсингулярного интегрального (псевдодифференциального) уравнения, существенные для компьютерной реализации его вычисления;
  • 8. 8 ─ построить особенностей в соответствии дискретную со модель схемой на методов основе дискретных дискретизации гиперсингулярного интегрального уравнения; ─ создать компьютерный инструментарий моделирования дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на плоскопаралельних структурах, составленных из жестких экранов и слоев с постоянными физическими свойствами; ─ разработать методы анализа результатов вычислительных экспериментов для обоснования выводов относительно устойчивости и сходимости решений дискретной модели в соответствии с критериями, имеющими физический смысл, а также приемов снижения размерности дискретной модели. Объектом исследования выступает процесс дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на плоскопараллельных структурах. Предметом исследования являются математические модели дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на плоскопараллельных структурах, составленных из жестких экранов и слоев с постоянными физическими свойствами, а также инструментарий компьютерного моделирования на основе методов дискретных особенностей. Методы исследования. В диссертационной работе метод параметрических представлений псевдодифференциальных и гиперсингулярных интегральных операторов используется в качестве основного метода построения моделей; метод теории потенциала – в качестве альтернативного метода построения моделей; метод дискретных замкнутых вихревых рамок – при построении дискретной модели; методы математической физики – для обоснования корректности рассмотренных моделей; методы линейной алгебры – для решения систем линейных алгебраических уравнений; метод наименьших квадратов –для минимизации функционалов; для вычисления ядер интегральных уравнений используются эффективные численные методы, реализованные в библиотеках «БЧА НИВЦ МГУ» и IMSL; при построении компьютерного
  • 9. 9 инструментария используются методы структурного и объектно- ориентированного программирования, методы стандартов качества ISO, IEEE. Научная новизна полученных результатов: 1. Впервые построены математические модели на основе псевдодифференциального (гиперсингулярного) уравнения процесса дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на таких плоскопараллельных структурах: - плоском жестком ограниченном экране, размещенном в плоскости раздела двух сред; - плоском жестком ограниченном экране, размещенном над жесткой стенкой в однородном пространстве; - плоском жестком ограниченном экране, размещенном на поверхности слоя над жесткой стенкой (обобщение предыдущего случая). 2. По методу параметрических представлений псевдодифференциальных и гиперсингулярных интегральных операторов введены новые псевдодифференциальные операторы, определяющие построенные модели, и исследованы их ядра. 3. Впервые на основе известной схемы методов дискретных особенностей построена дискретная модель для приближенного описания рассматриваемых процессов дифракции. 4. Усовершенствован метод компьютерной проверки практической сходимости решений дискретной модели путем добавления критериев, имеющих физический смысл. 5. Впервые создан метод компьютерной проверки адекватности подхода к снижению размерности СЛАУ дискретной модели за счет приближенного представления решения произведением двух функций разных аргументов. Практическое значение полученных результатов. Впервые создан компьютерный инструментарий для моделирования дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на плоскопараллельных структурах, составленных из жестких экранов и слоев с постоянными физическими
  • 10. 10 свойствами. Этот инструментарий может быть применен специалистами по акустике и методам неразрушающего контроля при проведении ими собственных исследований, а также как материал для дальнейшего развития компьютерного моделирования специалистами по математическому моделированию методами дискретных особенностей. Разработанные средства математического моделирования внедрены в учебный процесс на факультете компьютерных наук Харьковского национального университета имени В.Н. Каразина в курсе «Разработка больших программных систем», а также в работе спецкурсов и спецсеминаров механико-математического факультета и факультета компьютерных наук. Акт об использовании результатов исследований диссертационной работы находится в Приложении А. Личный вклад соискателя. Результаты, изложенные в диссертационной работе, получены автором самостоятельно и опубликованы в работах [1-15]. В работе [1] соискателем разработаны компьютерная система моделирования и метод проведения вычислительного эксперимента. В [6] соискателем построена новая математическая модель на базе ГСИУ, а также соответствующая модификация вычислительного метода. В [7] соискателем опробована модель качества на примерах и доработаны алгоритмы вычисления метрик внешнего качества. В [8] соискатель осуществил альтернативную экспертизу при разработке метода верификации метрик и показателей качества. В работе [13] соискателем построена компьютерная реализация решения задачи дифракции акустических волн на основе метода параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов. В [15] соискателю принадлежат результаты исследования скалярной задачи дифракции и проверки достоверности программного обеспечения по каскадной схеме тестирования. Апробация результатов исследования. Результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на научных семинарах: - Харьковский г. Харьков, национальный международный университет семинар имени В.Н. Каразина, «Численное моделирование
  • 11. 11 методами дискретных особенностей в математической физике», руководитель проф. Ю.В. Гандель, 2003-2008 гг.; - Физико-механический институт им. Г.В. Карпенко, г. Львов, заседание объединенных научных семинаров «Фізичні поля для неоднорідних середовищ та неруйнівний контроль матеріалів» и «Теоретичні та прикладні проблеми трибології», руководитель акад. НАН Украины З.Т. Назарчук, 2008г.; а также на международных конференциях и симпозиумах: - международный симпозиум «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики МДОЗМФ-2003» (г. Херсон, 2003 г.); - Х международная конференция им. академика М. Кравчука (г. Киев, 2004 г.); - конференция «Каразинские чтения» (г. Харьков, 2004 г.); - международная конференция «SCALNET’04» (г. Кременчуг, 2004 г.); - международная школа-семинар молодых ученых Украины и России «МДОЗМФ» (Россия, г. Орел, 2005 г.); - конференция «Математика и ее приложения» для студентов и аспирантов (г. Харьков, 2005 г.); - международный симпозиум «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики МДОЗМФ-2005» (г. Херсон, 2005 г.); - международная школа-семинар молодых ученых Украины и России «МДОЗМФ» (Россия, г. Орел, 2006 г.); - международная конференция «  Mathematical Methods in Electromagnetic Theory – MMET'06» (г. Харьков, 2006 г.); - международная конференция по математическому моделированию «МКММ-2006» (г. Херсон, 2006 г.); - международная научная техническая конференция «DESSERT-2007» (г. Кировоград, 2007 г.); - международный симпозиум «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики МДОЗМФ-2007» (г. Херсон, 2007 г.);
  • 12. 12 - международная школа-семинар молодых ученых Украины и России «МДОЗМФ» (Россия, г. Орел, 2008 г.); - международная научная техническая конференция «DESSERT-2008» (г. Кировоград, 2008 г.); - ХII международная конференция им. академика М. Кравчука (г. Киев, 2008 г.). Публикации. Результаты, включенные в диссертационную работу, опубликованы в 8 статьях [1-8] и в 7 материалах и тезисах конференций и симпозиумов [9-15].
  • 13. 13 РАЗДЕЛ 1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ Математические модели для описания распространения звуковых волн в однородных изотропных средах восходят к исследованиям Лапласа, а их рассеяние на препятствиях с идеальными (в том или ином смысле) граничными условиями относится к классической математической физике прошлого века. Поэтому в обзоре относящихся сюда результатов, используемых в настоящей диссертации, мы не прослеживаем исторические приоритеты и оригинальные публикации. Вместо этого мы даём ссылки на их изложение в той монографической и учебной литературе, которая в настоящее время традиционно и широко используется в связи с исследуемой тематикой, в частности, именно в качестве традиционных ссылок. Напротив, по вопросам построения математических моделей сложных дифракционных процессов на основе ГСИУ, вопросам построения соответствующих дискретных моделей и разработки программных систем, реализующих компьютерное моделирование, мы ссылаемся на оригинальные работы последних десятилетий. Но в тех случаях, когда это возможно, мы вместо ссылок на разнообразные журнальные публикации автора, делаем указание на изложение соответствующих результатов в монографиях. 1.1. Физические аспекты задачи и существующие постановки задачи Математическое моделирование процессов рассеяния акустических волн ограниченными препятствиями несимметричных форм в пространстве всегда
  • 14. 14 представляло научный интерес, но приближенное решение таких задач дифракции начали соответствующим строить лишь инструментам в последнее компьютерного время [16]. Доступ моделирования к является актуальной проблемой тех ученых, перед которыми стоят разнообразные задачи фундаментальных исследований, связанные с зондированием инородных включений в сплошных средах, в том числе твёрдых включений на границах раздела неоднородных сред. Такие исследования по акустике, в свою очередь, вызываются к жизни сложными современными проблемами в медицине [17], военном деле [18], в экологии [19] и ликвидации последствий катастроф (например, защита от звуковых воздействий, поиск фрагментов разрушенных конструкций [20]), в проблематике зондировании океана [21] и неразрушающего контроля материалов [22]. Для математического моделирования дифракции волн различной природы, в том числе акустических, разработаны различные методы, которые применяются в зависимости от отношения характерного размера препятствия l к длине волны λ . Наибольшие математические и вычислительные трудности возникают, если длина волны соизмерима с характерным размером препятствия. В таком случае принято говорить, что задача «относится к резонансному диапазону» (хотя при расположении препятствия в свободном пространстве резонансные явления могут быть слабо выраженными). В этом случае длинноволновые или коротковолновые приближения не применимы [23]. Классической постановкой акустической задачи рассеяния является задача дифракции акустической волны на препятствии в пространстве. Для определения волнового движения в однородной изотропной среде без поглощения в пространстве ℜ 3 достаточно найти потенциал скоростей U = U ( x, t ) , из которого поле скоростей v и давление p выражаются в виде [24]: v= 1 ρ grad U ,
  • 15. 15 p − p0 = − где ∂U , ∂t ρ - плотность среды, p0 - давление в невозмущенной среде. В линеаризованной теории, которая используется в диссертационной работе, потенциал скоростей U удовлетворяет волновому уравнению [24,25] вне препятствия Ω : ∂ 2U − a 2 ΔU = 0 , 2 ∂t (1.1) где a - скорость распространения акустической волны в рассматриваемой среде. Из уравнения (1.1) при U ( x , t ) = u ( x ) ⋅ e − iω t , где ω > 0 - частота звуковых колебаний, следует уравнение Гельмгольца относительно амплитуды u ( x )  установившегося волнового процесса: Δu + k 2u = 0 , x ∈ ℜ 3 Ω , где k = ω a (1.2) > 0 - волновое число. Идеализированным и в то же время практически важным вариантом граничных условий (см., например, [23,24]) является условие Неймана (условие 2 рода): ∂u = 0, ∂n Σ r где n - нормаль к поверхности Σ . (1.3)
  • 16. 16 В акустике [20] условие Неймана (1.2)-(1.3) описывает жесткую границу и характеризует условия на поверхности твердых тел. В некоторых случаях морское дно, которое традиционно описывается условиями третьего рода, может моделироваться также жесткой границей [20]. При постановках внешних краевых задач для уравнения Гельмгольца для выделения единственного имеющего физический смысл решения используется условие излучения Зоммерфельда, которое полностью характеризует поведение решений уравнения Гельмгольца на бесконечности [24]. Решение уравнения Гельмгольца (1.2), отвечающее сферической волне, расходящейся от источника в точке x = 0 , имеет вид u(x ) = e ik x x , и в соответствии с этим условия излучения в задаче (1.2)-(1.3) задаются требованиями [24,26]: ⎛1⎞ ⎞ ⎛1⎞ ⎛x ⎜ , grad u ( x) ⎟ − ik u ( x) = o⎜ ⎟, u ( x) = O⎜ ⎟, ⎜x⎟ ⎟ ⎜x⎟ ⎜x ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ x →∞. (1.4) Известно, что если поверхность рассеяния Ω имеет ребра (т.е. линии, вдоль которых направление нормали к поверхности терпит разрыв), условий (1.2)-(1.4) не достаточно для выделения единственного решения [23]. Для однозначной разрешимости краевых задач в таком случае необходимо сформулировать условия, определяющие поведение решения в окрестности особой точки границы. При этом в случае задач дифракции естественное требование ограниченности решения в окрестности особой точки может быть слишком жестким, поскольку может не существовать решения, ограниченного в окрестностях ребер граничных поверхностей [27]. Поэтому добавляется
  • 17. 17 специальное условие, описывающее поведение волнового поля в окрестности ребер – «условие на ребре», которое в скалярной задаче дифракции формулируется, например, в виде [23]: lim (ρ ⋅ Π n ) = 0 , ρ →0 где (1.5) ρ - радиус окружности – сечения вспомогательного кольцевого валика, окружающего ребро, Π n - нормальная к поверхности валика производная вектора Пойтинга. Традиционно на практике условие излучения (1.5) ставится в эквивалентной формулировке [23] - в форме условия Мейкснера: ∫ (u U ∂Ω (ε ) 2 + ∇u 2 )dx < ∞ , (1.6) где U ∂Ω (ε ) - окрестность края рассеивателя ∂Ω . Условие (1.6) отвечает требуемому физическому смыслу условия на ребре [23,27] – ограниченности энергии в окрестности ребра рассеивателя, т.е. отсутствию внешних излучающих источников на ребре. Острые ребра имеют, в частности, и дифрагирующие экраны, которые рассматриваются как бесконечно тонкие ограниченные поверхности [23]. Таким образом, условия (1.2)-(1.4), (1.6) в совокупности обеспечивают единственность решения внешней краевой задачи для рассеивателей, имеющих ребра. Вопросы доказательства этого факта для скалярных задач дифракции в однородном пространстве рассмотрены, например, в [23] и (в несколько более общей постановке) в [28]. Вопросы единственности для краевой задачи Неймана в близких к диссертации постановках рассмотрены также в [29,30]. Доказанные в упомянутых работах теоремы можно применить далеко не ко всем
  • 18. 18 постановкам задач дифракции на экранах, но в их доказательствах используется подход, который можно применять и в других постановках. Рассмотренная выше классическая задача теории дифракции является частным случаем хорошо исследованного с точки зрения корректности широкого класса краевых задач для эллиптических уравнений. Построенная теория таких операторов в пространствах Соболева-Слободецкого устанавливает [31], что в областях с достаточно гладкими границами имеет место существование и устойчивость решений в определенных метриках, если только нуль не является точкой спектра сопряженного оператора. Поэтому, учитывая ( самосопряженность операторов рассматриваемых задач дифракции Δ + k 2 I при вещественном k ) [32], доказательство единственности, исключающее наличие нетривиальных решений для однородного уравнения (1.2), становится практически основным необходимым шагом в обосновании корректности таких задач. В силу указанных выше классических результатов функционального анализа актуальной проблемой математического моделирования дифракции вне конечной системы тел в трехмерном пространстве является построение приближенных методов их решения и средств построения таких решений на компьютере за практически приемлемое время. Особенностью постановки задачи дифракции настоящей диссертационной работы по сравнению с постановкой (1.2)-(1.5) является постоянство физических свойств среды (вне рассеивателей) не всюду, а только в полупространствах или слоях. Такие физические задачи приводят к необходимости рассмотрения т.н. внутренних краевых условий, поскольку уже у первых частных производных рассматриваемых полей отсутствует гладкость при переходе через плоскости раздела сред. Это не позволяет непосредственно использовать методы для однородных сред и, в том числе, требует уточнения вида поля, которое могло бы существовать при отсутствии рассеивающего экрана. Следует отметить, что, формально ограничившись только построением решений задач дифракции в случае падения плоской волны (общий случай получается суперпозицией таких
  • 19. 19 решений [26]), мы смогли использовать конструктивную теорию распространения таких волн в слоистых средах, изложенную, например, в известной монографии Л.М. Бреховских [33]. Прямая (конечноразностная) дискретизация [34,35] задач вида (1.2)-(1.5), а также их обобщений для неоднородных сред в диссертации не рассматривается. В связи с этим, отметим, что, несмотря на существование методов и подходов по «переносу» условий с бесконечности на границу некоторой конечной области, построение полей на основе конечноразностной аппроксимации с контролируемой погрешностью в любой точке (тем более их асимптотики на бесконечности) представляется проблематичным. Данное направление в вычислительных методах, по-видимому, перспективно для постановок задач, отличных от рассматриваемых в диссертации. Несмотря на успешное применение методов теории аналитических функций для двумерных задач, их применимость к трехмерным задачам весьма ограничена, поэтому такие методы в диссертации не рассматриваются. Основной прогресс последних десятилетий [24,27,36,37,38,39,52] в проблеме численного решения задач дифракции был связан со сведением задач к интегральным уравнениям. Методы интегральных уравнений для внешних граничных задач обладают тем преимуществом, что они сводят задачи в неограниченной трехмерной области к задачам на двумерной поверхности, причем уже удовлетворяющих условиям излучения на бесконечности [24]. 1.2. Методы дискретных особенностей (МДО) в математическом моделировании дифракции на экранах Для построения математических моделей на основе интегральных для дифракции акустических волн на плоских экранах традиционно применяется
  • 20. 20 классическая теория потенциала [26], заключающаяся в представлении решения в виде потенциалов простого или двойного слоя или их комбинации [40,41]. В случае задачи Неймана использование потенциала двойного слоя было связано со сложностями [24], возникающими из-за того, что нормальная производная потенциала двойного слоя с непрерывной плотностью в общем случае не существует на границе, а даже если и существует, то интегральное уравнение имеет сильную особенность. Численные методы в таких задачах могут строиться как за счет регуляризации [24,42], так и непосредственной дискретизацией получаемых сингулярных интегральных уравнений [24,28,40]. Начиная с 80-х годов прошлого века, исследователи всё больше отдают предпочтение моделированию процессов дифракции при помощи операторов, обобщающих интегральные, но порождаемых ядрами высокой сингулярности [28,38,43,44,45,46,91]. Определение Суперсингулярным 1.1. интегральным уравнением называется псевдодифференциальное уравнение [31] (порождаемое ядром r − λ , λ > n ), которое в теории МДО принято записывать в виде [28]: ∫ G где n G ⊂ ℜ , x0 ∈ G, r = f ( x, x0 ) ⋅u ( x0 ) ⋅ dx0 = F ( x ) rλ (1.7) n ∑ (x − x0 )2 , λ > n , i =1 f ( x, x0 ) - известная функция, F ( x ) - заданная функция, u ( x0 ) - неизвестная функция. При n = 2, λ = 3 оператор в уравнении (1.7) является гиперсингулярным интегральным оператором и может пониматься в смысле конечной части по Адамару.
  • 21. 21 Определение 1.2. ([28, стр. 131]) Конечная часть по Адамару определяется соотношением a. f . p.∫ σ где ⎡ ⎤ 2π ϕ (M 0 ) dσ M 0 = lim ⎢ ∫ dσ M 0 − ϕ (M )⎥ , 3 3 ε →0 ε M 0M ⎢σ σ ε M 0 M ⎥ ⎣ ⎦ ϕ (M 0 ) σ - поверхность, M ∈ σ - внутренняя точка, ∞ ϕ ∈ C0 (U ) , U - некоторое достаточно малое открытое множество на σ . В данной формуле подразумевается, что часть поверхности σ ε вырезается из σ прямым цилиндром, проведенным через границу круга Kε радиуса ε с центром в M , который расположен в касательной плоскости, построенной к поверхности σ в точке M . В начале 50-х годов ХХ века С.М.Белоцерковским был создан метод дискретных вихрей [48] для решения задач аэродинамики, где сингулярные уравнения возникают при моделировании обтекаемой поверхности вихревым слоем. При этом С.М. Белоцерковский использовал эвристические соображения, которые полностью подтвердились в численных экспериментах на ЭВМ. Позже удалось перенести эти идеи на задачи дифракции [49,50,51]. Начальные этапы применений метода дискретных вихрей и его обобщений – методов дискретных особенностей, а также их математическое обоснование изложены в работе [53]. Подробное исследование метода дискретных вихрей как численного метода решения сингулярных уравнений, изложение методов дискретных особенностей в задачах электродинамики и теории упругости, и соответствующий математический аппарат содержатся в монографии И.К.Лифанова [45]. В работе [43] по математическому моделированию дифракции волн в трехмерном пространстве на разомкнутых экранах произвольной формы с использованием уравнений с гиперсингулярными ядрами уравнений І рода и последовавших за ней работах [46,54] дискретизация ГСИУ осуществлялась
  • 22. 22 методом, который можно относить к методам дискретных особенностей, но который также близок к методу граничных элементов [55]. В 90-х годах прошлого века был разработан (первоначально – для задач аэродинамики) и изучен близкий к методу работы [43] метод дискретных замкнутых вихревых рамок, предназначенный для решения ГСИУ трехмерных задач [45]. В этом методе поверхность обтекаемого тела разбивается на одинаковые ячейки (как правило, квадратные), и по контуру каждой ячейки размещается вихревая нить неизвестной интенсивности. При этом поле скоростей ищется в виде суперпозиции скорости набегающего потока и скоростей, полей индуцируемых вихревыми рамками в соответствии с законом Био-Савара. Для нахождения неизвестных циркуляций вихревых рамок, на каждой рамке определенным образом выбирается точка коллокации (традиционно – в центре квадрата) и записывается граничное условие равенства нулю нормальной составляющей скорости [45]. В применении этого метода для численного решения задачи Неймана для скалярного уравнения Гельмгольца важную роль сыграли вычислительные эксперименты по моделированию дифракции волн на телах сложной формы [28,56]. Для исследования разрешимости ГСИУ некоторых задач, возникающих в аэродинамики и теории дифракции, а также сходимости к их решению приближений, полученных методом дискретных замкнутых вихревых рамок, И.К. Лифанов и Л.Н. Полтавский применили теорию псевдодифференциальных операторов [28,57,58]. интегрального При уравнения и этом искомое вопросы решение сходимости гиперсингулярного рассматривались в пространствах Соболева-Слободецкого. Определение 1.3. ([28, стр. 58]) Пространство Соболева-Слободецкого ( ) H s ℜn состоит, по определению, из обобщенных функций, преобразование Фурье которых является локально интегрируемой в смысле Лебега функцией ˆ u (ξ ) , такой, что
  • 23. 23 2 us= 2 2s ˆ ∫ u(ξ ) (1 + ξ ) dξ < ∞ , ℜn где s - любое действительное число, ξ = n ∑ ξi2 . i =1 В случае, когда в задаче дифракции вида (1.2)-(1.4) поверхность препятствия σ существование уравнения, является и частью единственность полученного плоскости, решений методом доказаны [28, ο u ( x ) ∈ H 1 / 2 (σ ) потенциала. Показана стр. 277] интегрального сходимость приближенных решений задачи (1.2)-(1.4) u ( x, h ) к точному u ( x ) ∈ H1 / 2 (σ ) по ο норме H r (σ ) для 0 < r < 1 при h → 0 . Для полученного гиперсингулярного 2 интегрального уравнения задачи (1.2)-(1.4) доказаны [28] существование и единственность решения для любой правой части из H −1/ 2 (Θ ) , где Θ - проекция σ на плоскость X 1OX 2 . Для системы линейных алгебраических уравнений, полученной по схеме метода дискретных замкнутых вихревых рамок, также доказаны существование решения при некотором наборе параметров и его сходимость в пространствах дробных отношений [28] к точному решению в ο u ( x ) ∈ H r (Θ ) для любого 0 ≤ r < 1 . Для суперсингулярного интегрального 2 уравнения (1.7) при λ = 3 и прямоугольной области G в работе [28] доказана слабая сходимость решения полученной СЛАУ к точному решению уравнения (1.7). Для ограниченной области G с границей класса C ∞ и правой частью ( ) F ∈ C ∞ (G ) получена оценка для всех точек M x1k1 , x2 k2 , находящихся на расстоянии δ > 0 от границы: ( ) ( ) 1 Qh x1k1 , x2 k2 − Q x1k1 , x2 k2 ≤ C (ε ) ⋅ h 4 , где Q( x1 , x2 ) - решение уравнения (1.7), −ε
  • 24. 24 Qh ( x1 , x2 ) - решение СЛАУ, полученной по схеме метода дискретных замкнутых вихревых рамок, для уравнения (1.7), ε > 0. Результаты [28] имеют важное значение для теоретического доказательства корректности постановок, однако, к сожалению, не достаточны для целей компьютерного моделирования. Поэтому было введено понятие практической сходимости приближенных решений при увеличении параметра дискретизации, которое проверяется на основе численных экспериментов [45]. Другим подходом к построению математической модели дифракции на основе интегральных уравнений, отличным от метода потенциала, но позволяющим использовать все преимущества методов дискретных особенностей, является недавно предложенный Ю. В. Ганделем метод параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов [59]. Он нашел свое применение при решении трехмерных задач дифракции на плоских препятствиях. Краевая задача вида (1.2)-(1.4), (1.6) для плоского экрана Ω   с использованием метода параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов сведена в [59] к граничному гиперсингулярному интегральному уравнению: 1 u (η )dη k 2 u (η )dη k 4 + + ∫ ∫ ∫ K (η − ζ )u(η )dη = f (ξ ) , 2π Ω η − ξ 3 4π Ω η − ξ 2 Ω где (1.7) ξ ∈Ω, K (ζ ) = 2π ζ ∞ ∫⎛ J 0 (t )dt 0 t + t −k ζ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 , J 0 (t ) - функция Бесселя порядка 0. Численное решение уравнения (1.7) получено методом дискретных замкнутых вихревых рамок в [60].
  • 25. 25 Для трехмерных плоскопараллельных задач дифракции структурах метод электромагнитных параметрических волн на представлений псевдодифференциальных и гиперсингулярных интегральных операторов развит в [61], где для дискретизации полученной системы гиперсингулярных интегрального уравнения также применён подход метода дискретных замкнутых вихревых рамок. Отметим, что векторная задача дифракции в трехмерном пространстве не распадается на несколько скалярных задач, как это происходит в двумерном случае [25]. Поэтому результаты [61], относящиеся к выводу системы граничных уравнений, не могут быть применены или адаптированы для случая дифракции акустических волн (в трёхмерной постановке), как и наоборот. 1.3. Компьютерное моделирование дифракции на экранах на основе методов дискретных особенностей Под компьютерным инструментарием для моделирования физических процессов на основе математических моделей этих процессов, мы в соответствии с [62], понимаем набор взаимодействующих программ (согласованных по функциям и форматам, имеющих единообразные и точно определенные интерфейсы), составляющих полное средство для решения поставленной задачи моделирования. Другими словами, такой инструментарий является специальным случаем программных систем моделирования для обеспечения фундаментальных научных исследований. Он более гибок по сравнению с отдельными программами моделирования физических процессов, которые допускают только варьирование определённых числовых параметров и не предназначены для повторного использования своих компонент в других прикладных программах.
  • 26. 26 Численная эффективность и прозрачность алгоритмической схемы методов дискретных особенностей обеспечили их применение к компьютерному моделированию физических процессов с момента построения метода дискретных вихрей [49]. Разрабатывавшиеся к настоящему времени компьютерные программы, реализующие методы дискретных особенностей в дифракционных задачах с исследовательскими целями, упоминаются в большинстве работ данного направления (которые принято представлять статьями в трудах симпозиумов МДОЗМФ, например, в [63] из 11 статей данного направления 6 прямо ссылаются на вычислительные эксперименты). В большинстве случае они создаются с целью апробации новых вычислительных методов, но не дорабатываются авторами до систем компьютерного моделирования, которые могут быть переданы другим ученым для исследований в области акустики, радиофизики или радиоэлектроники (например, в [63] ни одной такой системы не упомянуто). Известно всего несколько сообщений в Интернете о публикации программных систем моделирования дифракции в трёхмерной постановке с использованием подхода МДО, из которых вполне апробирована и известна система ЭДЭМ 3D [64]. Инструментарий компьютерного моделирования методами дискретных особенностей не существует для двумерных задач дифракции, несмотря на то, что базовые алгоритмы опубликованы в учебном пособии [65], а приложения в фундаментальных и прикладных областях получили признание [66,67]. Поиск в Интернете доступа к компьютерному инструментарию решения задач дифракции акустических волн на плоскопараллельных структурах любыми методами в резонансном диапазоне (или в общих постановках) не позволил обнаружить ни таких систем, ни хотя бы описания проектов. Поэтому по вопросам создания такого компьютерного инструментария можно учитывать только опыт создания программного обеспечения для применений методов дискретных особенностей в моделировании физических процессов (явлений) другой природы. Имеются сообщения о таких системах,
  • 27. 27 например, САПР «Сударушка» [68], «Программа расчета обтекания летательных аппаратов на режимах сверхманевренности методом дискретных вихрей» [69], узкоспециализированная программа численного моделирования движения жидкости CATRAN [70], применяемая в кораблестроении. Эти системы, реализующие математические модели аэрогидродинамики, очевидно нельзя применить с целью компьютерного моделирования дифракции. Поэтому, их рассмотрение дает разработчикам систем компьютерного моделирования дифракции мало полезной информации помимо образцов интерфейса пользователя и подходов к декомпозиции сложных задач. В публикациях отсутствуют сведения, как о внешней экспертизе качества этих систем, так и о результатах самоанализа качества продукции и процесса её создания со стороны авторов. Возвращаясь к более подробному анализу публикаций по программной системе ЭДЭМ 3D («ЭлектроДинамика Элементов из Металла») [46,54,64,71], отметим, что эта система предназначена для идеально проводящих структур, допускающих аппроксимацию набором поверхностей базовых форм, и позволяет приближенно исследовать рассчитывать определённые электромагнитное электродинамические поле, а также характеристики таких структур. В качестве базовых форм определены плоские треугольники и четырехугольники, спирали, диски, кольца и их сектора, замкнутые и незамкнутые поверхности вращения и цилиндрические поверхности, образованные кривыми второго порядка и двумерными сплайн-линиями, а также поверхности, «натянутые» на трехмерные сплайн-линии. Метод решения системой ЭДЭМ 3D сложных задач охарактеризован авторами (без подробностей) как полуэвристический [72], отталкивающийся от математической модели на основе системы интегральных уравнений и метода дискретизации [43]. Указанный метод, как сказано выше, можно относить к классу МДО [54], а также к методам граничных элементов [55]. Как вытекает из авторского описания системы ЭДЭМ 3D [72], анализируемые объекты могут находиться в свободном пространстве или над
  • 28. 28 проводящей бесконечной плоскостью, но система неприменима к задачам в слоистых средах, включая и плоскопараллельные системы. Неотъемлемым аспектом современного использования программного обеспечения является вопрос его соответствия требованиям общих и специальных стандартов. При этом интерес представляет качество объектов (программных систем или их компонентов), под которым в литературе и документах понимается (см. стандарт ISO 9001:2000 [73]) степень соответствия характеристик стандартов объекта могут определённым трактоваться требованиям. довольно Требования широко, что общих предполагает конкретизацию модели качества для различных классов объектов (то есть, в нашем случае, программ) [74]. Общим требованием к программным системам является, конечно, их способность удовлетворять определенные потребности в соответствии с их назначением. В то же время модель качества определяет способ сопоставления программной системе числовых значений и способ их содержательной трактовки в соответствии с особенностями данного класса систем [74]. Структура модели и принципы сопоставления числовых характеристик (и, обычно, примеры) задаются стандартами верхнего уровня (международными и национальными). Особенности систем определённого класса учитываются в документах (фактических стандартах), которые принимают формальные или неформальные группы и организации, заинтересованные в обеспечении качества программного обеспечения данного класса. Стандартом верхнего уровня при рассмотрении качества систем компьютерного моделирования физических процессов следует рассматривать ISO/IEC 9126 1:2001 «Программная инженерия – Качество продукции – Часть 1: качество продукции» [75] и две его следующие части ISO/IEC TR 9126 2:2003 «Часть 2: Внешние метрики» и ISO/IEC TR 9126 3:2003 «Часть 3: Внутренние метрики». Они определяют шесть характеристик, допускающих интегральную (числовую) и комплексную (векторную) оценки: - функциональность (способность выполнять заданные функции);
  • 29. 29 - надежность (сохранение работоспособности – гарантия того, что вычислительный процесс не прервется в заданных условиях); - практичность (способность быть понятным, изучаемым и применимым для пользователей - гарантия того, что ошибки не будут сделаны от непонимания пользователем интерфейса программы); - эффективность (соответствие используемых ресурсов выполняемым функциям); - сопровождаемость (возможность модифицирования, которое включает в себя исправления, улучшения и адаптацию к изменениям требований); - переносимость (способность быть переносимым из одной среды выполнения в другую). Для полноты, каждая характеристика должна описываться так называемыми метриками (около десяти из них на выбор рекомендуются самим стандартом и можно добавлять еще), которые группируются и усредняются в соответствии с подхарактеристиками, определёнными в стандарте. Всякая метрика (или, иногда говорят, «мера» [76]) определяет требуемые измерения по исходным текстам программ или в процессе (или по результатам) специально организованного их выполнения, а также формулу подсчёта числового (иногда – рангового) значения и интерпретацию смысла этой величины. Отметим, что определяется также техника подсчётов и применения разных шкал, которая обеспечивает, чтобы средние оценки всех метрик каждой подхарактеристики лежали на отрезке [0,1] и могли считаться тем лучшими, чем ближе они к 1 (а для некачественной продукции были бы близки к 0). Конкретная модель качества для программных систем компьютерного моделирования дифракции (акустических или электромагнитных волн) сейчас только складывается. Начало ей положили работы В.О. Мищенко, который, прежде всего, заметил, что некоторые проблемы с качеством программ данного назначения из дипломных работ студентов-выпускников механико- математического факультета ХНУ имени В.Н.Каразина получают объяснение в терминах, так называемых, «научных метрик» Холстеда [77]. Эти метрики [78]
  • 30. 30 (точнее, их обобщения для современных программ [76]) с точки зрения качества программ трактуются документом IEEE 982.2-1988 «Руководство по использованию Стандартного Словаря IEEE по измерениям при производстве надёжного программного обеспечения» [79], который, таким образом, тоже необходимо присоединять к числу стандартов, формирующих модель качества для систем рассматриваемого класса. Обсуждаемые метрики для «простых программ» определяются следующим образом (термины и обозначения по версии [76, см. стр. 11-13, 20-21]): ( ) ( ) ∗ ∗ V ∗ = η 2 + 2 ⋅ log η 2 + 2 , (η ⋅ log(η ))2 , A= (1.8) (V ) E= (1.9) V∗ ∗ 3 λ2 где , ∗ η 2 – число различных входных и выходных параметров алгоритма, определенного рассматриваемой программой,   η – словарь программы (число различных программных символов, использованных в программе),   λ – уровень языка программирования (средние значения уровней многих универсальных языков программирования известны, например, для Фортрана непосредственно измеренное среднее λ = 1.14 [78], для Ады среднее λ   обычно принималось около 1.5, но по косвенной статистической оценке могло бы составлять 1.66-1.77 [76]). Применимость любых содержательных, включая корректность подсчёта их значений, требуют отдельных исследований. Например, такие исследования в отношении корректного обобщения научных метрик на современные программы
  • 31. 31 (использующие раздельную компиляцию модулей в сочетании с подходами структурного и объектно-ориентированного программирования) опубликованы в [76,80,81,82]. Эти метрики могут быть использованы в моделях оценки качества программных систем моделирования дифракции (см. [76]), согласованных со стандартами [75,79,83]. Компьютерное моделирование на основе МДО используется не только для изучения физических явлений, но и с целью определения свойств используемых вычислительных методов в приложениях. Например, была исследована практическая сходимость метода дискретных особенностей, основанного на применении потенциалов, в задаче дифракции волн на круглых экранах в однородном пространстве [84]. Традиционно об адекватности численного эксперимента судят по виду полученной диаграммы направленности [28,36,38]. Для преодоления вычислительных трудностей, которые возникаю в связи с дискретизацией моделей на основе гиперсингулярных (и некоторых других) интегральных уравнений модели иногда применяется метод наименьших квадратов [85,86,87]. Другой метод упрощения моделей, применяемый для сильно вытянутых рассеивателей, состоит в представлении искомой функции на поверхности этого рассеивателя в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной из координат параметризации поверхности [88,89]. 1.4. Выводы по разделу 1 Осуществлён обзор физических аспектов и существующих математических моделей задач дифракции акустических волн на плоских экранах и установлена их связь с задачами, рассмотренными в диссертации. Из проделанного обзора видно, что значительный вклад в разработку методов математического моделирования дифракции волн в пространстве, в том
  • 32. 32 числе и в неоднородном, внесли Л.М.Бреховских, К.Вестпфаль, Е.В.Захаров, Д.Колтон, Р.Кресс, А.Мауэ, З.Т.Назарчук, Ю.В.Пименов, Л.М.Полтавский, С.Л.Просвирнин, использованием дифракции С.И.Смагин, методов О.И.Сухаревский, дискретных рассматривали Х.Хёнл особенностей Ю.В.Гандель, и задачи Е.В.Захаров, др. С трехмерной И.К.Лифанов, В.О. Мищенко, Ю.В.Пименов, В.А.Щербина и др. На основе проведенного делаем вывод о фактическом отсутствии работ по решению задач дифракции акустических волн на плоскопараллельных структурах, составленных из жестких экранов и слоев с постоянными физическими свойствами, а также общедоступного для исследователей компьютерного инструментария, позволявшего бы моделировать такие дифракционные процессы в резонансном диапазоне. Следовательно, весьма актуальным и перспективным является проведение исследований с целью создания и численной реализации математических моделей дифракции акустических волн на плоскопараллельных структурах на основе граничных гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода. Cовременное состояние программного обеспечения компьютерного моделирования дифракционных процессов на основе МДО требует, чтобы эти исследования сопровождались воплощением вычислительных методов в форме компьютерного инструментария, который бы допускал развитие программной системы и был разработан с использованием системы контроля качества.
  • 33. 33 РАЗДЕЛ 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ НА ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СТРУКТУРАХ НА ОСНОВЕ ГРАНИЧНЫХ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ При постановке краевых задач дифракции в трехмерном пространстве на плоскопараллельных структурах, составленных из жестких экранов и слоев с постоянными физическими свойствами, используется известный подход, когда падающее поле моделируется с учетом неоднородности пространства. Для рассмотренных задач доказывается единственность решения и строятся граничные псевдодифференциальные уравнения. 2.1. Постановки краевых задач дифракции на трехмерных плоскопараллельных структурах Рассмотрим задачу (далее – основная задача) дифракции акустических волн в пространстве ℜ 3 на абсолютно жестком тонком ограниченном плоском экране ∑ , лежащем на плоской границе раздела двух сред (полупространств) с различными физическими характеристиками (рис. 2.1). Определение 2.1. Под экраном будем понимать подмножество ∑ { } плоскости x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ3 | x3 = 0 , ограниченное на этой плоскости границей, составленной из конечного количества кривых класса C 2 . В верхнем полупространстве { } D+ = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ3 | x3 > 0 (2.1)
  • 34. 34 плотность принимается постоянной и равной ρ+ > 0 , а в нижнем полупространстве { } D− = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ3 | x3 < 0 (2.2) плотность также принимается постоянной и равной ρ − > 0 . Рис. 2.1. Основная задача - абсолютно жесткий тонкий ограниченный плоский экран, находящийся на границе полупространств Падающая волна и, соответственно, рассеянное поле считаются имеющими постоянную частоту ω > 0 , так что волновые числа в верхнем и нижнем полупространствах соответственно равны [90]: k+ = k− = ω a+ ω a− > 0, x ∈ D+ , (2.3) > 0, x ∈ D− , (2.4) где a+ и a− - постоянные скорости распространения волны соответственно в верхнем и нижнем полупространствах.
  • 35. 35 Будем рассматривать в средах поле давлений, отражающих процесс распространения волн, в виде [26]: π ( x, t ) = ν ( x ) ⋅ e −iωt . (2.5) В дальнейшем мы будем интересоваться только амплитудами v( x ) , которые также имеют размерность давления. В плоскости раздела сред { } D0 = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ3 | x3 = 0 (2.6) рассматривается абсолютно жесткий тонкий ограниченный плоский экран Σ ⊂ D0 , жестко отражающий падающую волну в том смысле [24], что ∂v ∂v = ∂n ∑ ∂x3 = 0 , ~ = ( x1 , x2 ) ∈ ∑ , x (2.7) x3 =0 r где n = (0,0,1) - орт нормали к плоскости экрана. Поле p( x ), x ∈ ℜ 3 в верхнем полупространстве D+ (2.1) в отсутствии экрана ∑ может быть построено как суперпозиция падающей плоской волны p0 ( x ) и поля p+ ( x ), x ∈ D+ , отраженного от раздела сред (при этом, не ограничивая общности, можно считать плоскостью падения волны плоскость X 1 0X 3 ): ( ) p( x ) = p0 ( x ) + p+ ( x ) = e −ik+ x3⋅cosϕ + V ⋅ e ik+ x3⋅cosϕ ⋅ e −ik+ x1⋅cosϕ , x ∈ D+ , (2.8) где ϕ0 - угол падения падающей волны p0 ( x ) на D0 ;   r k + = k + (sin ϕ ,0,− cosϕ ) - волновой вектор в полупространстве D+ ;
  • 36. 36 V - коэффициент отражения границы раздела [33], зависящий от плотностей ρ + и ρ − . Поле p( x ), x ∈ ℜ3 в нижнем полупространстве D− (2.2) будем считать [33] образованным только волной p− ( x ), x ∈ D− , вызванной преломлением p0 ( x ) на границе раздела сред: p( x ) = p− ( x ) = W ⋅ e ik− ( x1⋅sin ϕ0 − x3 cosϕ0 ) , x ∈ D− , (2.9) где ϕ 0 - угол преломления падающей волны p0 ( x ) при переходе через D0 ;   r k − = k − (sin ϕ 0 ,0,− cosϕ 0 ) - волновой вектор в полупространстве D− ; W - коэффициент прозрачности границы раздела [33]. Таким образом, в нашей модели «падающее поле» p( x ), x ∈ ℜ3 во всем неоднородном пространстве будем рассматривать в следующей форме: ( ) ⎧ e −ik+ x3⋅cosϕ + V ⋅ e ik+ x3⋅cosϕ ⋅ e ik+ x1⋅sin ϕ , x ∈ D+ , p=⎨ ik − ( x1⋅sin ϕ0 − x3 cos ϕ0 ) , x ∈ D− . ⎩W ⋅ e (2.10) В частности, выбранное нами поле p( x ), x ∈ ℜ 3 удовлетворяет граничным условиям на разделе сред, которые приняты в акустике [33]: - непрерывность при переходе через D0 p x =+0 = p x =−0 , ~ ∈ ℜ 2 ; x 3 3 (2.11)
  • 37. 37 - «условие непрерывности импеданса» 1 ∂p ρ + ∂x3 = x3 = +0 1 ∂p ρ − ∂x3 , ~ ∈ ℜ2 . x (2.12) x3 = −0 Вследствие (2.11) для поля (2.10) выполняется закон преломления Снеллиуса, который имеет вид k + sin ϕ = k − sin ϕ 0 . Cледовательно, 2 ⎛k ⎞ cos ϕ 0 = 1 − ⎜ + ⎟ sin 2 ϕ . ⎜k ⎟ ⎝ −⎠ (2.13) В нашей постановке введем условия отсутствия комплексных волн в следующей форме: 2 ⎛ k+ ⎞ 1 ⎜ ⎟ ≤ . ⎜k ⎟ sin 2 ϕ ⎝ −⎠ (2.14) Замечание 2.1. Следствиями условия (2.14) будут условия на параметры процесса моделирования, а именно: 1. если среда в D+ более плотная, чем в D− (т.е. k + < k− ), тогда неравенство (2.14) верно всегда; 2. в случае нормального падения ( ϕ = 0 ) неравенство (2.14) верно всегда; 3. если же более плотная среда в D− , тогда в процессе моделирования ⎛ k ⎤ должны рассматриваться случаи, где угол падения ϕ ∈ ⎜ 0, arcsin − ⎥ . ⎜ k+ ⎦ ⎝ Полное, то есть фактически наблюдаемое в присутствии экрана поле v( x ), x ∈ ℜ 3 , будем искать в виде [24]:
  • 38. 38 v( x ) = p( x ) + w( x ) , x ∈ ℜ3 , (2.15) где w( x ), x ∈ ℜ3 - рассеянное экраном ∑ поле, которое необходимо определить. Для определения рассеянного поля w( x ), x ∈ ℜ3 рассматриваем следующие формальные условия [24], которые вытекают из имеющих физическую интерпретацию условий на наблюдаемые поля p( x ) и v( x ) : 1. Выполнение уравнений Гельмгольца вне экрана: 2 2 Δw + k + w = 0 , x ∈ D+ , Δw + k − w = 0 , x ∈ D− . (2.16) 2. Краевые условия в плоскости D0 : а) Жесткое рассеяние на экране ∑ в смысле (2.7). ∂v ∂x3 = x3 = −0 ∂w ∂x3 ∂w ∂x3 ∂v ∂x3 , ~ ∈ ∑ ⇒ (используя (2.15)) ⇒ x x3 = +0 x3 = −0 ∂p ∂x3 x3 = −0 x3 = +0 ∂p =− ∂x3 x3 = +0 =− , ~∈∑. x (2.17) Следовательно, с учетом (2.12): 1 ∂w ρ − ∂x3 = x3 = −0 1 ∂w ρ + ∂x3 ,~∈∑. x (2.18) x3 = +0 б) Непрерывность поля v( x ) и импеданса при переходе через плоскость D0 , в которой находится экран ∑ :
  • 39. 39 w x =−0 = w x =+0 , 3 3 1 ∂w ρ − ∂x3 = x3 = −0 1 ∂w ρ + ∂x3 , ~ ∈ ℜ2 Σ . x (2.19) x3 = +0 3. Условие на бесконечности (условие Зоммерфельда), состоящее в подобии уходящей сферической волне [26] и выполняющееся равномерно по всем направлениям x x : ⎛x ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ , grad w( x) ⎟ − ik ± w( x) = o⎜ ⎟, w( x) = O⎜ ⎟, ⎜x ⎟ ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x →∞. (2.20) 4. Условие конечности энергии поля [23,27] (условие Мейкснера) в окрестности U ∂ ∑ (ε ) края экрана ∂ ∑ , где ε - малое положительное: ∫ (w 2 + ∇w U ∂ ∑ (ε ) 2 )dx < ∞ . (2.21) Следующим вариантом рассматриваемых нами плоскопараллельных структур есть специальный вариант (рис. 2.2), когда в основной задаче полупространства D+ и D− имеют одинаковые физические характеристики ( ρ + = ρ − = ρ , k + = k − = k , a+ = a− = a ), а абсолютно жесткий тонкий ограниченный плоский экран ∑ находится в плоскости D0 (2.6) на расстоянии d >0 от стенки { } D∗ = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ 3 | x3 = − d , обладающей свойством абсолютной жесткости: ∂v ∂x3 = 0. x∈D∗ (2.22)
  • 40. 40 Рис. 2.2. Специальный вариант - абсолютно жесткий тонкий ограниченный плоский экран, находящийся над абсолютно жесткой стенкой в однородном пространстве { Обозначим через D = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ 3 | x3 > − d } полупространство над жесткой стенкой D∗ . Падающее поле p( x ), x ∈ D рассматриваем в виде плоской акустической волны [24], пришедшей от бесконечно далёкого источника, с учётом отражения от жесткой стенки D∗ , которое имело бы место при отсутствии там рассеивающего экрана Σ : ( ) p( x ) = p0 ( x ) + p+ ( x ) = e −ik ⋅x3⋅cosϕ + e ik ⋅x3⋅cosϕ ⋅ e −ik ⋅x1⋅cosϕ , x ∈ D , где ϕ0 - угол падения падающей волны p0 ( x ) на D∗ ;   (2.23) r k = k ⋅ (sin ϕ ,0,− cos ϕ ) - волновой вектор в полупространстве D . Краевое условие для поля p( x ), x ∈ D следует из условия (2.22) абсолютной жесткости стенки D∗ и имеет вид: ∂p ∂x3 = 0 , ~ ∈ ℜ2 . x x3 = − d + 0 (2.24)
  • 41. 41 Полное, то есть фактически наблюдаемое в процессе рассеяния (в присутствии рассеивающего экрана ∑ ) поле, будем искать в виде [24]: v( x ) = p( x ) + w( x ) , x ∈ D , (2.25) где w( x ), x ∈ D - рассеянное экраном ∑ поле, которое необходимо определить. Для нахождения рассеянного поля w( x ), x ∈ D рассматриваем следующие формальные условия [24], которые вытекают из имеющих физическую интерпретацию условий на наблюдаемые поля p( x ) и v( x ) : 1. Выполнение уравнения Гельмгольца вне экрана: Δw + k 2 w = 0 , x ∈ D ∑ . (2.26) 2. Краевые условия для w( x ) , определяемые необходимым поведением поля: а) Жесткое рассеяние на экране ∑ в смысле (2.7): ∂v ∂x3 x3 =0 ∂v = 0, ~∈∑ ⇒ x ∂x3 = x3 = −0 ∂v ∂x3 , ~∈∑. x x3 = +0 Используя (2.25) и факт непрерывности поля скоростей падающего поля при переходе через плоскость D0 , получаем: ∂w ∂x3 =− x3 =0 ∂p ∂x3 , ~∈∑. x (2.27) x3 =0 б) Непрерывность поля v( x ) при переходе через плоскость D0 , в которой находится экран ∑ : v x =−0 = v x =+0 , ~ ∈ ℜ 2 Σ . x 3 3
  • 42. 42 Используя соотношение (2.25) и факт непрерывности падающего поля при переходе через плоскость D0 , получаем: w x =−0 = w x =+0 , ~ ∈ ℜ 2 Σ . x 3 (2.28) 3 в) Условие жесткого рассеяния на стенке D∗ . Из условия (2.22) и соотношения (2.25) следует, что ∂w ∂x3 = 0 , ~ ∈ ℜ2 . x (2.29) x3 = − d + 0 3. Условие на бесконечности (условие Зоммерфельда), состоящее в подобии уходящей сферической волне [26] и выполняющееся равномерно по всем направлениям x x : ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎞ ⎛x ⎜ , grad w( x) ⎟ − ik ⋅ w( x) = o⎜ ⎟, w( x) = O⎜ ⎟, ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎟ ⎜x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ x →∞. (2.30) 4. Условие конечности энергии поля [23,27] (условие Мейкснера) в окрестности U ∂ ∑ (ε ) края экрана ∂ ∑ , где ε - малое положительное: ∫ (w U ∂ ∑ (ε ) 2 + ∇w 2 )dx < ∞ . (2.31) Обобщением (рис. 2.3) предыдущего специального варианта является случай (далее – модифицированная задача), когда в базовой задаче абсолютно жесткий тонкий ограниченный плоский экран ∑ лежит в плоскости D0 раздела двух сред с различными физическими характеристиками на расстоянии d > 0 от
  • 43. 43 { } стенки D∗ = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ 3 | x3 = −d , обладающей свойством абсолютной жесткости (2.22). Рис. 2.3. Модифицированная задача – абсолютно жесткий тонкий ограниченный плоский экран, находящийся в плоскости раздела сред над абсолютно жесткой стенкой Обозначим { } D− = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ3 | −d < x3 < 0 , { а верхнее } полупространство, как и ранее, D+ = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ 3 | x3 > 0 . Как и в основной задаче, падающее поле p( x ), x ∈ D рассматривается в виде, учитывающем неоднородность пространства (наличие стенки и раздела двух сред): ( ) ⎧ e −i⋅k+ cosϕ ⋅x3 + V ⋅ e i⋅k+ cosϕ ⋅x3 ⋅ e i⋅k+ sin ϕ ⋅x1 , x ∈ D+ , ⎪ −i⋅k+ ⋅cosϕ ⋅d p = ⎨e + Ve i⋅k+ ⋅cosϕ ⋅d −i⋅k− ⋅cosϕ0 ⋅x3 + e i⋅k− ⋅cosϕ0 ⋅x3 ⋅ e i⋅k− ⋅sin ϕ0 ⋅x1 , x ∈ D− . ⎪ e −i⋅k− ⋅cosϕ0 ⋅d + e i⋅k− ⋅cosϕ0 ⋅d e ⎩ ( ) (2.32) Краевые условия для p( x ), x ∈ D записываем в виде [33]:
  • 44. 44 - непрерывность при переходе через плоскость D0 : p x =+0 = p x =−0 , ~ ∈ ℜ2 ; x 3 (2.33) 3 – «условие непрерывности импеданса»: 1 ∂p ρ + ∂x3 = x3 = +0 1 ∂p ρ − ∂x3 , ~ ∈ ℜ2 ; x (2.34) x3 = −0 - свойство абсолютной жесткости стенки D∗ : ∂p ∂x3 = 0 , ~ ∈ ℜ2 . x (2.35) x3 = − d + 0 Аналогично базовой задаче, требуем выполнения условия (2.14). Полное, то есть фактически наблюдаемое в присутствии экрана поле v( x ), x ∈ D , будем искать в виде [24]: v( x ) = p( x ) + w( x ) , x ∈ D , (2.36) где w( x ), x ∈ D - рассеянное экраном ∑ поле, которое необходимо определить. Для определения рассеянного поля w( x ), x ∈ D рассматриваем следующие формальные условия [24], которые вытекают из имеющих физическую интерпретацию условий на наблюдаемые поля p( x ) и v( x ) : 1. Выполнение уравнений Гельмгольца вне экрана: 2 2 Δw + k + w = 0 , x ∈ D+ , Δw + k − w = 0 , x ∈ D− . (2.37)
  • 45. 45 2. Краевые условия, определяемые необходимым поведением поля: а) Жесткое рассеяние на экране ∑ , в смысле (2.7): ∂v ∂x3 x3 =0 ∂v = 0, ~∈∑ ⇒ x ∂x3 ∂w ∂x3 ∂w ∂x3 x3 = −0 ∂p ∂x3 x3 = −0 x3 = +0 ∂p =− ∂x3 = x3 = −0 ∂v ∂x3 , ~ ∈ ∑ ⇒ (используя (2.36)) x x3 = +0 x3 = +0 =− , ~∈∑. x (2.38) Заметим, что из формулы (2.38), с учетом (2.34), следует: 1 ∂w ρ − ∂x3 = x3 = −0 1 ∂w ρ + ∂x3 , ~∈∑. x (2.39) x3 = +0 б) Непрерывность поля v и импеданса при переходе через плоскость x экрана: v x =−0 = v x =+0 , ~ ∈ ℜ2 Σ ⇒ (используя (2.33) и (2.36)) ⇒ 3 3 w x =−0 = w x =+0 , 3 3 1 ∂w ρ − ∂x3 = x3 = −0 1 ∂w ρ + ∂x3 , ~ ∈ ℜ2 Σ . x (2.40) x3 = +0 в) Жесткое рассеивание на стенке D∗ : ∂v ∂x3 = 0 , ~ ∈ ℜ2   ⇒ (используя (2.35) и (2.36)) ⇒ x x3 = − d + 0 ∂w ∂x3 = 0 , ~ ∈ ℜ2 . x x3 = − d + 0 (2.41)
  • 46. 46 3. Условие на бесконечности (условие Зоммерфельда), состоящее в подобии уходящей сферической волне [26] и выполняющееся равномерно по всем направлениям x x : ⎛x ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ , grad w( x) ⎟ − ik ± w( x) = o⎜ ⎟, w( x) = O⎜ ⎟, ⎜x ⎟ ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x →∞. (2.42) 4. Условие конечности энергии поля [23,27] (условие Мейкснера) в окрестности U ∂ ∑ (ε ) края экрана ∂ ∑ , где ε - малое положительное: ∫ (w 2 + ∇w U ∂ ∑ (ε ) 2 )dx < ∞ . (2.43) 2.2. Единственность решения рассматриваемых краевых задач Как известно, одним из этапов обоснования корректности постановок является доказательство существования и единственности решения поставленных задач. Следуя [28], обозначим через H 1 (Ω ) , где Ω - область в ℜ 3 , класс функций, состоящий из интегрируемых с квадратом функций, чьи первые обобщенные производные тоже интегрируемые с квадратом.
  • 47. 47 Теорема 2.1 (о единственности решения основной задачи). Если функции w1 = w1 ( x ) и w2 = w2 ( x ) удовлетворяют условиям (2.16)(2.21) и принадлежат классу ( ) H 1 ℜ3 Σ , где Σ - экран в понимании Определения 2.1, тогда w1 = w2 . Доказательство. □ Обозначим сужение функции w1 на полупространство D+ через w1 , а её + сужение на полупространство D− через w1 . Тогда требование удовлетворения − { } условиям (2.16)-(2. 21) для функции w1 = w1 , w1 будет означать: + − 2 2 Δw1 + k + w1 = 0 , ( x ∈ D+ ) и Δw1 + k − w1 = 0 , ( x ∈ D− ) ; + + − − 1 ∂w1 − ρ − ∂x3 w1 − x3 = −0 1 ∂w1 − ρ − ∂x3 x 3 = −0 = w1 + x3 = −0 1 ∂w1 + = ρ + ∂x3 x3 = +0 (2.44) (~ ∈ ∑ ) ; x (2.45) x 3 = +0 , 1 ∂w1 + = ρ + ∂x3 ( ) , ( x1 , x2 ) ∈ ℜ 2 Σ ; (2.46) x 3 = +0 ⎛x ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ , grad w1 ( x) ⎟ − ik − w1 ( x) = o⎜ ⎟, w1 ( x) = O⎜ ⎟, − − − ⎜x ⎟ ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x →∞, ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎞ ⎛x ⎜ , grad w1 ( x) ⎟ − ik + w1 ( x) = o⎜ ⎟, w1 ( x) = O⎜ ⎟, + + + ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎟ ⎜x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ x →∞; ⎛ w1 2 + ∇w1 2 ⎞ dx < ∞ , + ⎟ ∫ ⎜ + ⎝ ⎠ + U (ε ) ∂∑ где U + ∂ ∑ (ε ) - окрестность края экрана ∂ ∑ в полупространстве D+ . (2.47) (2.48)
  • 48. 48 { } 1 1 Заметим, что для функции w1 = w+ , w− (где черта означает комплексное сопряжение) также выполняются в точности условия (2.44), (2.45), (2.46) и (2.48), а в условии (2.47) разность величин меняется на их сумму: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛x 1 1 1 ⎜ , grad w− ( x) ⎟ + ik − w− ( x) = o⎜ 1 ⎟, w− ( x) = O⎜ 1 ⎟, ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎟ ⎜x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ x →∞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎞ ⎛x 1 1 1 ⎜ , grad w+ ( x) ⎟ + ik + w+ ( x) = o⎜ ⎟, w+ ( x) = O⎜ ⎟, ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎟ ⎜x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ x →∞. Аналогичным условиям удовлетворяют и функции { , (2.49) { 2 2 w2 = w+ , w− } и } 2 2 w2 = w+ , w− . ( ) Введем в рассмотрение функцию u = w1 − w2 , u ∈ H 1 ℜ 3 Σ , тогда 2 2 u = {u+ , u− }, где u+ = w1 − w+ , u− = w1 − w− . Теорема будет доказана, если мы + − покажем, что u+ ≡ 0 на D+ и u− ≡ 0 на D− . Отметим, что функции u = {u+ , u− } и u = {u+ , u− } удовлетворяют условиям (2.44) - (2.49) по построению. Пусть R R S R = S+ ∪ S− сфера достаточно большого радиуса R, охватывающая наш плоский экран Σ , который лежит на диаметре, разделяющем R R сферу на две полусферы S + и S − . В связи с тем, что наш экран имеет ребра, окружим его поверхностью Σε = Σε ∪ Σε в виде кольцеобразного валика с малым радиусом ε .  + − Пусть T+R и T−R - области, ограниченные поверхностью Σε , разрезом P и сферой S R (рис. 2.4). В областях T+R и T−R , для функций u = {u+ , u− } и u = {u+ , u− } применима вторая формула Грина:
  • 49. 49 ⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ∂u + + + + ∫ (u+ Δu+ − u+ Δu+ )dτ = ∫ ⎜ u+ ∂n+ − u+ ∂n+ ⎟dσ + ∫ ⎜ u+ ∂n+ − u+ ∂n+ ⎟dσ + ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 0= R T+ R S+ R Σ+ ⎛ ∂u ∂u ⎞ + ∫ ⎜ u + + − u+ + ⎟dσ ,  ⎜ ∂n ∂n+ ⎟ ⎠ + P⎝ ⎞ ⎛ 0=   (2.50)   ⎞ ⎛ (u− Δu− − u− Δu− )dτ = ∫ ⎜ u− ∂u− − u− ∂u− ⎟dσ + ∫ ⎜ u− ∂u− − u− ∂u− ⎟dσ + ∫ ⎜ ∂n ⎜ ∂n ∂n ⎟ ∂n ⎟ R S− ⎝ ⎝ − ⎛ ∂u ∂u ⎞ + ∫ ⎜ u− − − u− − ⎟dσ .  ⎜ ∂n ∂n− ⎟ ⎠ − P⎝ R T−   − − ⎠ R Σ− − ⎠   (2.51) Рис 2.4. Вид областей для доказательства теоремы единственности Рассмотрим следующее выражение: Λ= ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂u ⎞ 1 ⎛ ∂u − − u − − ⎟dσ =   ⋅ ∫ ⎜ u− ⋅ ∫ ⎜ u + + − u + + ⎟dσ + ρ + P ⎜ ∂n+ ρ − P ⎜ ∂n− ∂n− ⎟ ∂n+ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1 ⎛ 1 ∂u ⎞ ∂u ∂u ∂u 1 1 1 ⋅ u − − ⎟dσ ⋅ u− − − ⋅ u+ + + = ∫⎜ ⋅ u+ + − ⎜ρ ∂n− ⎟ ∂n− ρ − ∂n+ ρ − ∂n+ ρ + ⎠ P⎝ +
  • 50. 50 Очевидно, что на поверхности P выполняется равенство ∂ ∂ =− , ∂n− ∂n+ следовательно, ⎛ 1 ∂u ∂u ⎞ ∂u ∂u 1 1 1 Λ = ∫⎜ ⋅ u+ + − ⋅ u+ + − ⋅ u− − + ⋅ u − − ⎟dσ ⎜ρ ∂n+ ρ + ∂n+ ρ − ∂n+ ρ − ∂n+ ⎟ ⎠ P⎝ + .  Пользуемся условием (2.46) и получаем, что ⎛ 1 ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞ 1 1 1 Λ = ∫⎜ ⋅ u+ + − ⋅ u+ − − ⋅ u− + + ⋅ u − − ⎟dσ = ⎜ρ ∂n+ ρ − ∂n+ ρ + ∂n+ ρ − ∂n+ ⎟ ⎠ P⎝ + ⎛ 1 ∂u 1 ∂u− ⎟ [u+ − u− ]⎞dσ = 0 .     ⋅ = ∫ ⎜ ⋅ + [u+ − u− ] − ⎜ ρ ∂n ⎟ ρ − ∂n+ ⎠ + P⎝ + Умножим обе части равенства (2.50) на 1 ρ+   , а равенства (2.51) на (2.52) 1 ρ− и сложим, пользуясь результатом (2.52): 0= 1 ρ+ ⋅ ⎛ ∂u+ ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂u ⎞ 1 ⎜ u+ − u+ + ⎟dσ + ⋅ ∫ ⎜ u+ + − u+ + ⎟dσ + ∫R ⎜ ∂n+ ∂n+ ⎟ ∂n+ ⎟ ρ + Σ R ⎜ ∂n+ ⎠ ⎝ ⎠ S+ ⎝ + + 1 ρ− ⋅ ⎛ ∂u ⎛ ∂u− ∂u ⎞ ∂u ⎞ 1 ⎜ u− ⋅ ∫ ⎜ u− − − u− − ⎟dσ . (2.53) − u− − ⎟dσ + ∫R ⎜ ∂n− ∂n− ⎟ ρ − Σ R ⎜ ∂n− ∂n− ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ S− ⎝ − R R Дифференцирование по внешней нормали для поверхностей S + и S − равносильно дифференцированию по радиусу сферы в соответствующей точке поверхности: ∂ ∂ ∂ = = . Воспользуемся условиями (2.47), (2.49) и выразим ∂n+ ∂n− ∂r производные по направлению:
  • 51. 51 ∂u + ∂u ⎛1⎞ ⎛1⎞ = −ik + u + + o⎜ ⎟ r → ∞ , + = ik + u + + o⎜ ⎟ r → ∞ , ∂r ∂r ⎝r⎠ ⎝r⎠ ∂u − ∂u ⎛1⎞ ⎛1⎞ = −ik − u − + o⎜ ⎟ r → ∞ , − = ik − u − + o⎜ ⎟ r → ∞ . ∂r ∂r ⎝r⎠ ⎝r⎠ Тогда ⎛ ∂u+ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ u+ − u+ + ⎟ = ⎜ u+ + − u+ + ⎟ = −2ik+ ⋅ u+ ⋅ u+ − u+ ⋅ o⎜ ⎟ + u+ ⋅ o⎜ ⎟ , ⎜ ∂n ∂n+ ⎟ ⎝ ∂r ∂r ⎠ ⎝r⎠ ⎝r⎠ ⎝ ⎠ + ⎛ ∂u− ∂u ⎞ ⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ u− − u− − ⎟ = ⎜ u− − − u− − ⎟ = −2ik− ⋅ u− ⋅ u− − u− ⋅ o⎜ ⎟ + u− ⋅ o⎜ ⎟ . (2.54) ⎜ ∂n ∂n− ⎟ ⎝ ∂r ∂r ⎠ ⎝r⎠ ⎝r⎠ ⎝ ⎠ − Подставляем выражение (2.54) в (2.53), получаем: 0= 1 ρ+ ⋅ ⎛ ∂u ⎞ ∂u ⎛ 1 ∂u ⎞ ∂u + + − − ∫ ⎜ u+ ∂n+ − u+ ∂n+ ⎟dσ + ρ − ⋅ ∫ ⎜ u− ∂n− − u− ∂n− ⎟dσ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ R Σ+ R Σ− − 2ik + ρ+ ⋅ ∫ u + ⋅ u + ⋅ dσ − R S+ 2ik − ρ− ⎛1⎞ ⋅ ∫ u − ⋅ u− ⋅dσ + F ⎜ ⎟ , ⎝R⎠ SR (2.55) − где 1 ⎡ ⎡ ⎛1⎞ 1 ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⋅ ∫ ⎢u + ⋅ o⎜ ⎟ − u + ⋅ o⎜ ⎟⎥ ⋅ dσ + ⋅ ∫ ⎢u − ⋅ o⎜ ⎟ − u − ⋅ o⎜ ⎟⎥ ⋅ dσ , F⎜ ⎟ = ρ− S R ⎣ ⎝ R ⎠ ρ + S+ ⎣ ⎝R⎠ ⎝ R ⎠⎦ ⎝R⎠ ⎝ R ⎠⎦ R − ⎛1⎞ причем F ⎜ ⎟ ⎯⎯ ∞ → 0 . ⎯ ⎝ R ⎠ R→ Рассмотрим более подробно интегралы по Σε и Σε . В силу выполнения + − условия Мейкснера (2.48) для функций u = {u+ , u− } и u = {u+ , u− } интегралы по таким вспомогательным поверхностям будут стремиться к нулю при ε → 0 .  В противном случае ребро бы излучало энергию [23, стр. 50]
  • 52. 52 Учитывая вышесказанное и переходя к пределу при ε → 0 в равенстве (2.55), получаем: 0=− 2ik + ρ+ ⋅ ∫ u + ⋅ u + ⋅ dσ − 2ik − R S+ ρ− ⎛1⎞ ⋅ ∫ u− ⋅ u− ⋅dσ + F ⎜ ⎟ . ⎝R⎠ SR (2.56) − ( R, θ , ϕ ) Введем сферические координаты в интегралах (2.56), полагая dΩ = sin θ ⋅ dθ ⋅ dϕ : 0=− 2ik + ρ+ ⋅ ∫ R ⋅ u+ 2 ⋅ dΩ − R S+ 2ik − ρ− ⋅ ∫ R ⋅ u− R S− 2 ⎛1⎞ ⋅dΩ + F ⎜ ⎟ . ⎝R⎠ (2.57) Переходя к пределу при R → ∞  в (2.57), получаем 2ik + ρ+ ⋅ ∫ R ⋅ u+ 2 R S+ ⋅ dΩ + 2ik − ρ− ⋅ ∫ R ⋅ u− R S− 2 ⋅dΩ ⎯R→∞ → 0 . ⎯ ⎯ (2.58) Каждое из слагаемых в (2.58) положительно и имеет одинаковую скорость стремления к 0, поэтому ∫ R ⋅ u+ R S+ 2 ⋅ dΩ ⎯⎯ ∞ → 0 и ⎯ R→ ∫ R ⋅ u− R S− 2 ⋅dΩ ⎯⎯ ∞ → 0 . ⎯ R→ (2.59) Если функция u = {u+ , u− } удовлетворяет условию (2.59), тогда она должна либо быть равна тождественно нулю либо иметь скорость убывания более чем 1 . Однако из теоремы Реллиха [23, стр. 45] следует, что всякое поле, R убывающее быстрее чем 1 , тождественно равно нулю во всем пространстве. R
  • 53. 53 Таким образом, u+ ≡ 0 на D+ и u − ≡ 0 на D− , что и доказывает единственность решения задачи. ■ Теорема 2.2 (о единственности решения модифицированной задачи). Если функции w1 = w1 ( x ) и w2 = w2 ( x ) , определенные в полупространстве { } Ψ = x ∈ ℜ 3 | x3 > −d , удовлетворяют условиям (2.37)-(2.43) и принадлежат классу H 1 (Ψ Σ ), где Σ - экран в понимании Определения 2.1, тогда w1 = w2 . Доказательство. □ Обозначим сужение функции w1 на полупространство D+ через w1 , а её + сужение на полупространство D− через w1 . Тогда требование удовлетворения − { } условиям (2.37)-(2.43) для функции w1 = w1 , w1 будет означать: + − 2 2 Δw1 + k + w1 = 0 , ( x ∈ D+ ) и Δw1 + k − w1 = 0 , ( x ∈ D− ) ; + + − − 1 ∂w1 − ρ − ∂x3 w1 − x3 = d − 0 1 ∂w1 − ρ − ∂x3 x3 = d − 0 = w1 + x3 = d − 0 1 ∂w1 + = ρ + ∂x3 x3 = d + 0 , (~ ∈ ∑ ) ; x (2.60) (2.61) x3 = d + 0 , 1 ∂w1 + = ρ + ∂x3 ( ) , ( x1 , x2 ) ∈ ℜ 2 Σ ; (2.62) x3 = d + 0 ⎛x ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ , grad w1 ( x) ⎟ − ik − w1 ( x) = o⎜ ⎟, w1 ( x) = O⎜ ⎟, − − ⎜x ⎟ ⎜x⎟ − ⎜x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛x ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ , grad w1 ( x) ⎟ − ik + w1 ( x) = o⎜ ⎟, w1 ( x) = O⎜ ⎟, + + + ⎜x ⎟ ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x →∞, x →∞; (2.63)
  • 54. 54 ⎛ 1 ∫ ⎜ w+ ⎝ U + (ε ) 2 2 + ∇w1 ⎞ dx < ∞ , + ⎟ ⎠ ⎛ 1 ∫ ⎜ w− ⎝ U − (ε ) 2 2 + ∇w1 ⎞ dx < ∞ ; − ⎟ ⎠ ∂∑ ∂∑ ∂w1 − ∂x3 (2.64) = 0 , ( x1 , x 2 ) ∈ ℜ 2 , (2.65) x3 = +0 где U ± ∂ ∑ (ε ) - окрестности края экрана ∂ ∑ в полупространствах D± . { } 1 1 Заметим, что для функции w1 = w+ , w− (где черта означает комплексное сопряжение) выполняются в точности условия (2.60)-(2.62), (2.64), а в условии (2.63) разность величин меняется на их сумму: ⎛x ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ , grad w1 ( x) ⎟ + ik − w1 ( x) = o⎜ ⎟, w1 ( x) = O⎜ ⎟, − − − ⎜x ⎟ ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x →∞, ⎛x ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ , grad w1 ( x) ⎟ + ik + w1 ( x) = o⎜ ⎟, w1 ( x) = O⎜ ⎟, + + ⎜x ⎟ ⎜x⎟ + ⎜x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x →∞. Аналогичным { условиям удовлетворяют функции { (2.66) 2 2 w 2 = w+ , w − } и } 2 2 w 2 = w+ , w− . Введем в рассмотрение функцию u = w1 − w2 , u ∈ H 1 (Ψ Σ ), тогда 2 2 u = {u + , u − }, где u + = w1 − w+ , u − = w1 − w− . Теорема будет доказана, если мы + − покажем, что u + ≡ 0 на D+ и u − ≡ 0 на D− . Отметим, что функции u = {u + , u − } и u = {u + , u − } удовлетворяет условиям (2.41) - (2.64) по построению.
  • 55. 55 Пусть R R S R = S+ ∪ S− - сфера достаточно большого радиуса R, охватывающая наш плоский тонкий ограниченный экран Σ , который лежит на R R диаметре, разделяющем сферу на две полусферы S + и S − . В связи с тем, что наш экран Σ имеет ребра, окружим его поверхностью Σ ε = Σ ε ∪ Σ ε в виде кольцеобразного валика с малым радиусом ε > 0 . Так как + − мы рассматриваем задачу в полупространстве, ограниченном плоскостью {x ∈ ℜ 3 : x3 = − d } , то 1⎫ ⎧ F R = ⎨ x ∈ D− : x3 = −d + ⎬ R⎭ ⎩ обозначим { и } 1⎫ ⎧ R R 2 2 Ω − = ⎨ x ∈ S − : x3 ≥ − d + ⎬ ∪ x ∈ F R : x12 + x2 + x3 ≤ R 2 . R⎭ ⎩ Тогда T+R и T−R - области, ограниченные поверхностью Σ ε , разрезом P , сферой S R и плоскостью F R (рис. 2.5). Рис 2.5. Вид областей для доказательства теоремы единственности В областях T+R и T−R для функций u = {u + , u − } и u = {u + , u − } применима вторая формула Грина: 0= ⎛ ∂u + ∫ (u + Δu + − u + Δu + )dτ = ∫ ⎜ u + ∂n+ ⎜ ⎝ T+R R S+ + ⎛ ∂u + ∂u + ∫R ⎜ u + ∂n+ − u + ∂n+ ⎜ Σ+ ⎝ − u+ ∂u + ∂n + ⎞ ⎟dσ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎛ ∂u ∂u ⎟dσ + ∫ ⎜ u + + − u + + ⎟ ⎜ ∂n ∂n + ⎠ + P⎝ ⎞ ⎟dσ , ⎟ ⎠ (2.67)
  • 56. 56 0= ⎛ ∂u − ∫ (u − Δu − − u − Δu − )dτ = ∫ ⎜ u − ∂n− ⎜ ⎝ T−R R Ω− − u− ∂u − ∂n − ⎞ ⎟dσ + ⎟ ⎠ ⎛ ∂u ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂u ⎞ + ∫ ⎜ u − − − u − − ⎟dσ + ∫ ⎜ u − − − u − − ⎟dσ , ⎜ ∂n ⎜ ∂n ∂n − ⎟ ∂n − ⎟ R ⎠ ⎠ − − P⎝ Σ− ⎝ где под (2.68) ∂ ∂ , понимается дифференцирование по нормали. ∂n+ ∂n− ∂ ∂ =− , ∂n − ∂n + Очевидно, что на поверхности P выполняется равенство следовательно, ⎛ ∂u ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂u ⎞ 1 ⋅ ∫ ⎜ u + + − u + + ⎟dσ + ⋅ ∫ ⎜ u − − − u − − ⎟dσ = ⎜ ∂n ⎟ ⎜ ∂n ρ+ P ⎝ ρ− P ⎝ ∂n + ⎠ ∂n − ⎟ ⎠ + − 1 ⎛ 1 ∂u ∂u ∂u ∂u 1 1 1 ⋅ u− − ⋅ u− − + ⋅ u+ + − = ∫⎜ ⋅ u+ + − ⎜ ∂n + ∂n + ρ − ∂n + ρ − ∂n + ρ + P ⎝ ρ+ ⎞ ⎟dσ . ⎟ ⎠ Пользуемся условием (2.62) и получаем ⎛ 1 ∂u + ⎞ ⎜ [u + − u − ] − 1 ⋅ ∂u − [u + − u − ]⎟dσ = 0 . ⋅ ∫ ⎜ ρ + ∂n+ ⎟ ρ − ∂n + ⎠ P⎝ Умножим обе части равенства (2.67) на 1 ρ+ , а (2.68) на (2.69) 1 ρ− и сложим, пользуясь результатом (2.69): 0= 1 ρ+ ⋅ ⎛ ∂u + ∫ ⎜ u + ∂n+ ⎜ ⎝ − u+ R S+ + 1 ρ− ⋅ ⎛ ∂u − ∫ ⎜ u − ∂n− ⎜ ⎝ R Ω− ∂u + ∂n + ⎞ ⎛ ∂u ∂u ⎞ 1 ⎟dσ + ⋅ ∫ ⎜ u + + − u + + ⎟dσ + ⎟ ρ + Σ R⎜ ∂n + ∂n + ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ + − u− ∂u − ∂n − ⎛ ∂u ⎞ ∂u ⎞ 1 ⎟dσ + ⋅ ∫ ⎜ u − − − u − − ⎟dσ . ⎜ ∂n ⎟ ρ − ΣR ⎝ ∂n − ⎟ ⎠ ⎠ − − (2.70)
  • 57. 57 R R Дифференцирование по внешней нормали для поверхностей S + и Ω − F R равносильно дифференцированию по радиусу сферы в соответствующей точке поверхности: ∂ ∂ ∂ = . Воспользуемся условиями (2.63) и выразим = ∂n + ∂n − ∂r производные по направлению: ∂u + ∂u + ⎛1⎞ ⎛1⎞ = −ik + u + + o⎜ ⎟, r → ∞ , = ik + u + + o⎜ ⎟, r → ∞ , ∂r ∂r ⎝r⎠ ⎝r⎠ ∂u − ∂u − ⎛1⎞ ⎛1⎞ = −ik − u − + o⎜ ⎟, r → ∞ , = ik − u − + o⎜ ⎟, r → ∞ . ∂r ∂r ⎝r⎠ ⎝r⎠ Тогда ⎛ ∂u + ∂u ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ u+ − u + + ⎟ = −2ik + ⋅ u + ⋅ u + − u + ⋅ o⎜ ⎟ + u + ⋅ o⎜ ⎟, ⎜ ∂n ⎟ ∂n+ ⎠ ⎝r⎠ ⎝r⎠ ⎝ + (2.71) ⎛ ∂u − ∂u − ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ u− ⎜ ∂n − u − ∂n ⎟ = −2ik − ⋅ u − ⋅ u − − u − ⋅ o⎜ r ⎟ + u − ⋅ o⎜ r ⎟. ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − − ⎠ Подставляя (2.71) в (2.70), получаем: 0= 1 ρ+ ⋅ ⎛ ∂u ⎛ ∂u + ∂u ⎞ ∂u ⎞ 1 ⎜ u+ ⋅ ∫ ⎜ u − − − u − − ⎟dσ + − u + + ⎟dσ + ∫R ⎜ ∂n+ ρ − Σ R ⎜ ∂n− ∂n− ⎟ ∂n+ ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ Σ+ ⎝ − 1 ρ− ⋅ ⎛ ∂u − ∂u − ⎞ ∫ ⎜ u − ∂n− − u− ∂n− ⎟dσ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ F R − 2ik − ρ− ⋅ 2ik + ρ+ ⋅ ∫ u + ⋅ u + ⋅ dσ −       R S+ ⎛1⎞ ∫ u − ⋅ u− ⋅dσ + Θ⎜ R ⎟ , ⎝ ⎠ (2.72) R Ω− F R где 1 ⎡ ⎡ ⎛1⎞ 1 ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ Θ⎜ ⎟ = ⋅ ∫ ⎢u + ⋅ o⎜ ⎟ − u + ⋅ o⎜ ⎟⎥dσ + ⋅ ∫ ⎢u − ⋅ o⎜ ⎟ − u − ⋅ o⎜ ⎟⎥dσ , ρ − ΩR F R ⎣ ⎝ R ⎠ ρ + S+ ⎣ ⎝R⎠ ⎝ R ⎠⎦ ⎝R⎠ ⎝ R ⎠⎦ R −
  • 58. 58 ⎛1⎞ причем Θ⎜ ⎟ ⎯R →∞ → 0 . ⎯ ⎯ R⎠ ⎝ Заметим, равенство что на поверхности FR (при R → ∞) выполняется ∂ ∂ =− , тогда вследствие условия (2.65) выполняется ∂x3 ∂n − ⎛ ∂u − ∫ ⎜ u − ∂n− ⎜ ⎝ F − u− R ∂u − ∂n − ⎞ ⎟dσ ⎯⎯ ∞ → 0 . ⎯ ⎟ R→ ⎠ (2.73) Рассмотрим более подробно интегралы по Σ ε и Σ ε . В силу выполнения + − условия Мейкснера (2.64) для функций u = {u + , u − } и u = {u + , u − } интегралы по таким вспомогательным поверхностям будут стремиться к нулю при ε → 0 . В противном случае ребро бы излучало энергию [23]. Учитывая вышесказанное и, переходя к пределу при ε → 0 в равенстве (2.72), получаем: 0=− 2ik + ρ+ ⋅ ∫ u + ⋅ u + ⋅ dσ − R S+ + 2ik − ⋅ ρ− 1 ρ− ∫ u− ⋅ u− ⋅dσ +   R Ω− F R ⋅ ⎛ ∂u − ∂u ⎞ ⎛1⎞ ⎜ u− − u − − ⎟dσ + Θ⎜ ⎟ . ∫R ⎜ ∂n− ⎟ ∂n− ⎠ ⎝R⎠ F ⎝ (2.74) R R Введем сферические координаты (R, θ , ϕ ) в интегралах по S + и Ω − F R и, полагая dΩ = sin θ ⋅ dθ ⋅ dϕ , перейдем к пределу в (2.74): 2ik + ρ+ ⋅ ∫ R ⋅ u+ R S+ 2 ⋅ dΩ + 2ik − ρ− ⋅ ∫ R ⋅ u− R S− 2 ⋅dΩ ⎯⎯ ∞ → 0 . ⎯ R→ (2.75)
  • 59. 59 Каждое из слагаемых в (2.75) положительно и имеет одинаковую скорость стремления к 0, поэтому ∫ R ⋅ u+ R S+ 2 ⋅ dΩ ⎯⎯ ∞ → 0 и ⎯ R→ ∫ R ⋅ u− R S− 2 ⋅dΩ ⎯⎯ ∞ → 0 . ⎯ R→ (2.76) Если функция u = {u + , u − } удовлетворяет условию (2.76), тогда она должна либо быть равна тождественно нулю, либо иметь скорость убывания более чем 1 . Однако из теоремы Реллиха [23] следует, что всякое поле, убывающее R быстрее, чем 1 тождественно равно нулю во всем пространстве. R Таким образом, u+ ≡ 0 на D+ и u − ≡ 0 на D− , что и доказывает единственность решения задачи. ■ Теорема 2.3 (о единственности решения специального варианта). Если функции w1 = w1 ( x ) и w2 = w2 ( x ) , определенные в полупространстве { } Ψ = x ∈ ℜ 3 | x3 > − d , удовлетворяют условиям (2.16)-(2.21) и принадлежат классу H 1 (Ψ Σ ), где Σ - экран в понимании Определения 2.1, тогда w1 = w2 . Доказательство. □ Теорема 2.3 является следствием Теоремы 2.4, т.к. при доказательстве нигде не использовалось различие в физических характеристиках сред над и под экраном. ■
  • 60. 60 2.3. Граничное псевдодифференциальное уравнение в случае экрана на разделе сред Для получения граничного псевдодифференциального уравнения для основной задачи представлений (2.16)-(2.21) воспользуемся интегральных и методом параметрических псевдодифференциальных операторов Ю.В. Ганделя [59]. Неизвестную представления: функцию { w( x ) будем искать в виде следующего } w( x ) = F −1 c ± ⋅e m x3⋅γ ± (~ ) , (~ = ( x1 , x2 ) ∉ ∑, x3 ∈ ℜ ) , x x где (2.77) c± (λ ) ∈℘ - неизвестные функции, 2 λ = (λ1 , λ2 )∈ ℜ 2 , λ = λ1 + λ2 , 2 2 γ ± (λ ) = λ − k ± , причем, учитывая (2.20), выбираем ту ветвь корня, для 2 которой Im γ ± ≤ 0 ( λ < k± ) или Re γ ± ≥ 0 ( λ ≥ k± ) . Действие оператора F −1 (обратного оператора Фурье) рассматриваем в пространстве обобщенных функций: (F где −1 ⎛ {g}(~ ),ψ (~ )) = ⎜ g (~ ), x x x ⎜ ⎝ 1 2π ⎞ ~ ψ (~ )e i (λ , x )d~ ⎟ , ( g (λ )∈℘′,ψ (~ )∈℘) , x x x ∫∫ ℜ2 ⎟ ⎠ ℘ - класс основных функций (быстро убывающих), ℘′ - класс обобщенных функций медленного роста [91]. Записывая выражение для ∂w из (2.77), получаем: ∂x3
  • 61. 61 { } ∂w = F −1 m γ ± ⋅ c± (λ ) ⋅ e m x3⋅γ ± ⎯⎯ ⎯→ F −1 {m γ ± ⋅ c± (λ )}, λ ∈ ℜ 2 . x3 →±0 ∂x3 Перепишем условие (2.18) в терминах преобразований (2.78) Фурье, используя (2.78): 1 ρ+ F −1 {− γ + ⋅ c+ (λ )} = 1 ρ− F −1 {γ − ⋅ c− (λ )}, λ ∈ ℜ 2 , тогда ⎧ 1 ⎫ ⎧1 ⎫ F −1 ⎨− γ + ⋅ c+ (λ )⎬ = F −1 ⎨ γ − ⋅ c− (λ )⎬ , λ ∈ ℜ 2 ⎩ ρ+ ⎭ ⎩ ρ− ⎭ и, так как равенство выполняется в каждой точке плоскости, получаем − 1 ρ+ γ + ⋅ c+ (λ ) = 1 ρ− γ − ⋅ c− (λ ) , λ ∈ ℜ 2 . Умножим равенство (2.79) на (2.79) ρ− ≠ 0 и выразим одну из неизвестных γ− функций через другую: c− (λ ) = − ρ− γ + ⋅ ⋅ c+ (λ ) , λ ∈ ℜ 2 . ρ+ γ − (2.80) Воспользуемся условием (2.19), представлением (2.77) и получим ( ) F −1 {c + (λ )} = F −1 {c − (λ )}, ~ ∈ ℜ 2 Σ , следовательно, x ( ) supp F −1 {c + (λ ) − c− (λ )} ⊆ Σ . (2.81)
  • 62. 62 Подставляя выражение (2.80) в (2.81), получаем ⎛ ⎧ ⎛ ρ γ ⎞⎫ ⎞ supp ⎜ F −1 ⎨c+ (λ ) ⋅ ⎜1 + − ⋅ + ⎟⎬ ⎟ ⊆ ∑ . ⎜ ⎜ ρ + γ − ⎟⎭ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎩ ⎝ (2.82) Для удобства введем в рассмотрение новую неизвестную функцию: def ⎧ ⎛ ρ γ ⎞⎫ u (~ ) = F −1 ⎨c+ (λ ) ⋅ ⎜1 + − ⋅ + ⎟⎬ ,   ~ ∈ ℜ 2 .  x x ⎜ ρ + γ − ⎟⎭ ⎝ ⎠ ⎩ ( )       (2.83) Сразу отметим, что вследствие (2.82) функция сосредоточена на экране: supp (u ) ⊆ ∑ . (2.84) Замечание 2.1. Если равенство (2.79) помножить на ρ+ ≠ 0 , тогда можно γ− получить эквивалентное (2.80) выражение c+ (λ ) = − ρ+ γ − ⋅ ⋅ c (λ ) .   ρ− γ + −                 Тогда финитную неизвестную функцию можно определить так: def ~ ) = F −1 ⎧c (λ ) ⋅ ⎛1 + ρ + ⋅ γ − ⎞⎫ ,  ~ ∈ ℜ 2 . ⎜ ⎟⎬ x u(x ⎨ − ⎜ ρ − γ + ⎟⎭ ⎝ ⎠ ⎩ ( Все последующие преобразования ) и вывод граничного псевдодифференциального уравнения производятся аналогично случаю выбора (2.83). При этом в силу соотношения (2.79) легко непосредственно увидеть, что решение задачи (2.16)-(2.21), использующее ПДО, в обоих подходах будет одно и то же.
  • 63. 63 Замечание 2.2. γ− ≡γ+, Случай λ ∈ ℜ2 (т.е. k+ = k− ) здесь не рассматривается, так как он не нов [59]. Однако как «предельный» случай рассматриваемой основной задачи он может быть использован для построения тестов. Для получения уравнения относительно неизвестной функции (2.83) воспользуемся граничным условием (2.17): ⎫ 1 ∂p F ⎨− γ + ⋅ c + (λ )⎬ = − ρ + ∂x3 ⎭ ⎩ ρ+ −1 ⎧ 1 def ( ) = f (~ ) , ~ ∈ ℜ 2 . x x (2.85) x3 = +0 Принимая во внимание следующее преобразование − 1 ρ+ ⎛ γ + ⋅ c+ (λ ) = c+ (λ ) ⋅ ⎜1 + ⎜ ⎝ ρ− γ + ⎞ ⋅ ⎟⋅ ρ+ γ − ⎟ ⎠ −γ+ ⎛ ρ γ ⎞ ρ + ⋅ ⎜1 + − ⋅ + ⎟ ⎜ ρ+ γ − ⎟ ⎝ ⎠ ,      получаем из (2.85) равенство: ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ρ− γ + ⎞ −γ+ ⎪ 2 −1 ⎪ ~ ~ F ⎨c+ (λ ) ⋅ ⎜1 + ⋅ ⎟⋅ ⎬ = f (x ), x ∈ ℜ , ⎟ ⎜ ρ+ γ − ⎠ ⎛ ρ γ ⎞ ⎝ ⎪ ρ + ⋅ ⎜1 + − ⋅ + ⎟ ⎪ ⎜ ⎪ ρ+ γ − ⎟ ⎪ ⎝ ⎠⎭ ⎩ ( ) x где можно заменить преобразование Фурье финитной функции u (~ ) (2.83) на обобщенную функцию (она заведомо принадлежит классу ℘′ обобщенных функций медленного роста [91]):
  • 64. 64 ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ −γ+ ⎪ ~ ) = F −1 ⎪ K (x ⎨ ⎬, ⎛ ρ− γ + ⎞ ⎪ ⎪ ρ ⋅ ⎜1 + ⋅ ⎟ ⎪ + ⎜ ρ+ γ − ⎟ ⎪ ⎠⎭ ⎝ ⎩ (2.86) которая будет служить ядром уравнения в форме свертки [91]: ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ρ− γ + ⎞ −γ+ −γ+ ⎪ ⎪ −1 ⎪ −1 ⎪ ⋅ ⎟⋅ F ⎨c+ (λ ) ⋅ ⎜1 + ⎬=u∗F ⎨ ⎬ , (2.87) ⎜ ρ γ ⎟ ⎛ ρ− γ + ⎞ ⎪ ⎛ ρ− γ + ⎞ ⎪ ⎝ + − ⎠ ⎪ ⎪ ρ ⋅ ⎜1 + ⋅ ⎟ ρ + ⋅ ⎜1 + ⋅ ⎟ ⎜ ρ γ ⎟⎪ ⎪ ⎪ + ⎜ ρ+ γ − ⎟ ⎪ ⎝ ⎝ ⎠⎭ + − ⎠⎭ ⎩ ⎩ где символ ∗ определяет оператор свертки [91]. Окончательно, граничное псевдодифференциальное уравнение относительно неизвестной функции u (~ ) (2.83) имеет вид: x ( ) u ∗ K ( ~ ) = f (~ ) , ~ ∈ ℜ 2 . x x x (2.88) x Если u (~ ) из уравнения (2.88) найдено, тогда значения w(x) определяются из (2.77) по формуле ~ w( x ) = (u ∗ Κ )( x ) , где (2.89) −1 ⎡ ρ − γ + ⎞ m x3γ ± ⎤ ~ ~ ~ ~ −1 ⎛ ⎟ e ⎥(x ) . Κ ( x ) = Κ ( x , x3 ) = F ⎢⎜1 + ⎜ ⎟ ⎢⎝ ρ + γ − ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ Замечание 2.3. Уравнение (2.89) в виду наличия оператора свертки можно считать «интегральным». Далее мы увидим, что такая трактовка требует идентификации построенного нами псевдодифференциального уравнения, что будет сделано в следующем разделе.
  • 65. 65 В работах [28,45] отмечено, что единственность решения рассматриваемой там близкой краевой задачи автоматически приводит к единственности решения соответствующего сильносингулярного интегрального уравнения. В нашем случае можно сделать аналогичные заключения. 2.4. Граничное псевдодифференциальное уравнение в случае экрана над жесткой стенкой Для получения граничного псевдодифференциального уравнения для специального варианта (2.26)-(2.31) воспользуемся, как и в предыдущем подразделе, методом параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов Ю.В. Ганделя [59]. функцию w( x ) { { Неизвестную } будем искать в виде следующего представления: ⎧ F −1 c+ (λ )e − x3γ (~ ), ~ = ( x1.x2 ) ∉ Σ, x3 > 0, x x w( x) = ⎨ −1 1 −( x3 + d )γ 2 x x + c− (λ )e ( x3 + d )γ (~ ), ~ ∉ Σ, − d < x3 < 0, ⎩ F c− (λ )e где (2.90) } 2 c + (λ ), c 1 (λ ), c − (λ ) ∈℘ - неизвестные функции; − 2 2 λ = (λ1 , λ 2 )∈ ℜ 2 , λ = λ1 + λ2 , γ ± (λ ) = λ − k ± , причем, учитывая (9), 2 2 выбираем ту ветвь корня, для которой Im γ ≤ 0 ( λ < k ) или Re γ ≥ 0 ( λ ≥ k ) . Из условия (2.29) получаем, def 2 c − (λ ) = c 1 (λ ) ≡ c − (λ ) , − что λ ∈ℜ2 . Следовательно, { { } ⎧ F −1 c (λ )e − x3γ (~ ), ~ ∉ Σ, x3 > 0, x x w( x) = ⎨ −1 + −( x3 + d )γ x x + e ( x3 + d )γ ) (~ ), ~ ∉ Σ, − d < x3 < 0. ⎩ F c− (λ )(e } (2.91)
  • 66. 66 Тогда { { } x x ∂w ⎧ F −1 − γ ⋅ c+ (λ )e − x3γ (~ ), ~ ∉ Σ, x3 > 0, = ⎨ −1 ∂x3 ⎩ F − γ ⋅ c− (λ )(e −( x3 + d )γ − e ( x3 + d )γ ) (~ ), ~ ∉ Σ, − d < x3 < 0. x x } (2.92) Из непрерывности нормальной производной при переходе через плоскость x3 = 0 следует, что { ( )} F −1 { − γ ⋅ c + (λ )} = F −1 − γ ⋅ c − (λ ) ⋅ e − dγ − e dγ , λ ∈ ℜ 2 , и, так как равенство выполняется в каждой точке плоскости, получаем γ ⋅ c + (λ ) = γ ⋅ c − (λ ) ⋅ (e − dγ − e dγ ), λ ∈ ℜ 2 . ( (2.93) ) В предположении, что γ ≠ 0 λ ∈ ℜ 2 : c − (λ ) = (e c + (λ ) − dγ −e dγ ) , λ ∈ℜ2 . (2.94) Из условия (2.28) следует, что ⎛ −1 ⎪ ⎧ ⎛ e dγ + e − dγ supp ⎜ F ⎨c + (λ ) ⋅ ⎜1 + dγ ⎜ e − e − dγ ⎜ ⎪ ⎝ ⎩ ⎝ ⎫ ⎞⎪ ⎞ ⎟⎬ ⎟ ⊆ ∑ . ⎟⎪ ⎟ ⎠⎭ ⎠ (2.95) Введем в рассмотрение новую неизвестную функцию def u (~ ) = F −1 {c+ (λ )(1 + cth (dγ ))}, ( x1 , x2 ) ∈ ℜ 2 . x (2.96)
  • 67. 67 x Сразу отметим, что вследствие (2.95) функция u (~ ) будет сосредоточена на экране, т.е. supp (u ) ⊆ ∑ . Для получения граничного уравнения относительно неизвестной функции u (~ ) в (2.96) воспользуемся условием (2.27): x F −1{− γ ⋅ c+ (λ )} = − Окончательно, ∂p ∂x3 граничное def = f ( x ) , ( x1 , x2 ) ∈ ℜ 2 . (2.97) x3 = +0 псевдодифференциальное уравнение x относительно неизвестной функции u (~ ) в (2.96) имеет вид: ( ) u ∗ K (~ ) = f (~ ) , ~ ∈ ℜ 2 . x x x (2.98) ⎧ ⎫ −γ x где K (~ ) = F −1 ⎨ ⎬. 1 + cth (dγ )⎭ ⎩ 2.5. Граничное псевдодифференциальное уравнение в случае экрана на разделе сред над жесткой стенкой Для получения граничного псевдодифференциального уравнения модифицированной задачи (2.37)-(2.43) основываемся, как и в предыдущих разделах, на методе параметрических псевдодифференциальных операторов представлений Ю.В. Ганделя интегральных [59]. и Неизвестную функцию w( x ) будем искать в виде представления: { { } ⎧ F −1 c+ (λ )e − x3γ + (~ ), ~ ∉ Σ, x3 > 0 , x x w( x) = ⎨ −1 1   −( x3 + d )γ − 2 F c− (λ )e x x + c− (λ )e ( x3 + d )γ − (~ ), ~ ∉ Σ, − d < x3 < 0, ⎩ }   (2.99)
  • 68. 68 где 2 c+ (λ ), c1 (λ ), c− (λ ) ∈℘ - неизвестные функции; − λ = (λ1 , λ2 )∈ ℜ 2 , 2 λ = λ1 + λ2 , 2 2 γ ± (λ ) = λ − k ± , причем, учитывая 2 (2.42), выбираем ту ветвь корня, для которой Im γ ± ≤ 0 ( λ < k± ) или Re γ ± ≥ 0 ( λ ≥ k ± ) . Записывая выражение для { { ∂w из (2.99), получаем ∂x3 } x x ∂w ⎧ F −1 − γ + c+ (λ )e − x3γ + (~ ), ~ ∉ Σ, x3 > 0, = ⎨ −1   −( x3 + d )γ − 1 2 ∂x3 ⎩ F − γ − c− (λ )e x x + γ − c− (λ )e ( x3 +d )γ − (~ ), ~ ∉ Σ, − d < x3 < 0. } (2.100)  Выполняя условие (2.41) в терминах преобразования Фурье, имеем { } 2 F −1 − γ − ⋅ c1 (λ ) + γ − ⋅ c− (λ ) = 0 , λ ∈ ℜ 2 , − и, так как равенство верно в каждой точке плоскости, получаем def 2 c− (λ ) = c1 (λ ) ≡ c− (λ ) , λ ∈ ℜ 2 . − (2.101) Возвращаясь к (2.99), получаем с учетом (2.101) представления: { { } ⎧ F −1 c+ (λ )e − x3γ + (~ ), ~ ∉ Σ, x3 > 0, x x w( x) = ⎨ −1 −( x3 + d )γ − x x + e ( x3 +d )γ − (~ ), ~ ∉ Σ, − d < x3 < 0, ⎩ F c− (λ ) ⋅ e { { ( )} } x x ∂w ⎧ F −1 − γ + c+ (λ )e − x3γ + (~ ), ~ ∉ Σ, x3 > 0, = ⎨ −1   ∂x3 ⎩ F − γ − c− (λ ) e −( x3 +d )γ − + e ( x3 +d )γ − (~ ), ~ ∉ Σ, − d < x3 < 0. x x ( )} (2.102) (2.103)
  • 69. 69 Перепишем условия (2.39) и (2.40) в терминах преобразований Фурье, используя (2.103): ρ+ F −1 { − γ + ⋅ c+ (λ )} = 1 ρ− ( { )} ( 1 ) F −1 − γ − ⋅ c− (λ ) ⋅ e −dγ − − e dγ − , λ ∈ ℜ 2 , тогда ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫ F −1 ⎨− γ + ⋅ c+ (λ )⎬ = F −1 ⎨− γ − ⋅ c− (λ ) ⋅ e −dγ − − e dγ − ⎬ , λ ∈ ℜ 2 , ⎩ ρ+ ⎭ ⎩ ρ− ⎭ и, так как равенство выполняется в каждой точке плоскости, получаем 1 ρ+ γ + ⋅ c+ (λ ) = 1 ρ− ( ) γ − ⋅ c− (λ ) ⋅ e −dγ − − e dγ − , λ ∈ ℜ 2 . ( (2.104) ) В предположении, что γ − ≠ 0 , λ ∈ ℜ 2 , умножим равенство (2.104) на ρ− ≠ 0 и выразим одну из неизвестных функций через другую: γ− c− (λ ) = ρ− γ + c (λ ) ⋅ ⋅ −dγ + dγ , λ ∈ ℜ 2 ρ+ γ − e − − e − ( (2.105) ) Воспользуемся условием (2.40), представлением (2.102) и получим: { ( )} ( ) x F −1{c + (λ )} = F −1 c − (λ ) ⋅ e −dγ − + e dγ − , ~ ∈ ℜ 2 Σ , тогда
  • 70. 70 ( { ( supp F −1 c + (λ ) − c− (λ ) ⋅ e −dγ − + e dγ − )}) ⊆ ∑ . (2.106) Подставляя выражение (2.105) в (2.106), получаем − dγ − dγ − ⎛ −1 ⎧ ⎜ F ⎪c+ (λ ) ⋅ ⎛1 + ρ − γ + e + e ⎜ supp ⎨ ⎜ ⎜ ρ + γ − e dγ − − e −dγ − ⎪ ⎝ ⎩ ⎝ ⎞⎫ ⎞ ⎟⎪ ⎟ ⊆ ∑ . ⎟⎬ ⎟ ⎠⎪ ⎠ ⎭ (2.107) Введем в рассмотрение новую неизвестную функцию def ⎧ ⎛ ⎞⎫ ρ γ u (~ ) = F −1 ⎨c+ (λ )⎜1 + − + cth (dγ − )⎟⎬ ,   ~ ∈ ℜ 2 .  x x ⎜ ⎟ ρ+ γ − ⎝ ⎠⎭ ⎩ ( )   (2.108) Сразу отметим, что вследствие условия (2.107) будем иметь supp (u ) ⊆ ∑ . (2.109) Замечание, аналогичное Замечанию 2.1, сделанному в подразделе 2.3, верно и для рассматриваемой задачи. Для получения уравнения относительно неизвестной функции (2.102) воспользуемся граничным условием (2.38): ⎧ 1 ⎫ 1 ∂p F −1 ⎨− γ + ⋅ c+ (λ )⎬ = − ρ + ∂x3 ⎩ ρ+ ⎭ def ( ) = f (~ ) , ~ ∈ ℜ 2 . x x (2.110) x3 = +0 Принимая во внимание преобразование − 1 ρ+ ⎛ γ + ⋅ c+ (λ ) = c+ (λ ) ⋅ ⎜1 + ⎜ ⎝ ⎞ ρ− γ + cth (dγ − )⎟ ⋅ ⎟ ρ+ γ − ⎠ −γ+ ⎞ ⎛ ρ γ ρ + ⋅ ⎜1 + − + cth (dγ − )⎟ ⎟ ⎜ ρ+ γ − ⎠ ⎝ ,
  • 71. 71 получаем из (2.110), что ⎧ ⎪ ⎛ ⎞ ρ γ −1 ⎪ F ⎨c+ (λ ) ⋅ ⎜1 + − + cth (dγ − )⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ρ+ γ − ⎝ ⎠ ρ ⎪ + ⎪ ⎩ ⎫ ⎪ −γ+ ⎪ 2 ~ ~ ⎬ = f (x ) , x ∈ ℜ . ⎛ ⎞ ρ γ ⋅ ⎜1 + − + cth (dγ − )⎟ ⎪ ⎜ ⎟⎪ ρ+ γ − ⎝ ⎠⎭ ( ) Функция u (~ ) (2.102) является вследствие (2.109) функцией с компактным x носителем, а ⎧ ⎪ −1 ⎪ F ⎨ ⎪ρ ⎪ + ⎩ ⎫ ⎪ −γ+ ⎪ ⎬ - обобщенная функция. Тогда ⎛ ⎞⎪ ρ− γ + ⋅ ⎜1 + cth (dγ − )⎟ ⎜ ⎟⎪ ρ+ γ − ⎝ ⎠⎭ справедливо равенство [91]: ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ −γ+ ρ− γ + ⎪ −1 ⎪ F ⎨c+ (λ ) ⋅ ⎜1 + cth (dγ − )⎟ ⋅ ⎬= ⎜ ⎟ ρ+ γ − ⎝ ⎠ ρ ⋅ ⎛1 + ρ − γ + cth (dγ )⎞ ⎪ ⎪ + ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ρ+ γ − ⎝ ⎠⎭ ⎩ ⎧ ⎪ −1 ⎪ =u∗F ⎨ ⎪ρ ⎪ + ⎩ ⎫ ⎪ −γ+ ⎪ ⎬. ⎛ ⎞⎪ ρ− γ + ⋅ ⎜1 + cth (dγ − )⎟ ⎜ ⎟⎪ ρ+ γ − ⎝ ⎠⎭ (2.111) Окончательно, граничное псевдодифференциальное уравнение (2.102) относительно неизвестной функции u (~ ) имеет вид: x ( ) u ∗ K (~ ) = f (~ ) , ~ ∈ ℜ 2 , x x x ⎧ ⎪ ~ ) = F −1 ⎪ где K ( x ⎨ ⎪ρ ⎪ + ⎩ ⎫ ⎪ −γ+ ⎪ ⎬. ⎛ ⎞⎪ ρ− γ + ⋅ ⎜1 + cth (dγ − )⎟ ⎜ ⎟⎪ ρ+ γ − ⎝ ⎠⎭ (2.112)
  • 72. 72 x Если u (~ ) из уравнения (2.112) найдено, то значения w( x) определяются формулой (2.102) как ~ w( x ) = u ∗ Κ ( x3 ) , где (2.113) ⎧ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ e − x3γ + ⎪~ ~ ⎪ u ∗ F −1 ⎪ ⎨ ⎬( x ), x ∉ Σ, x3 > 0, ⎪ ⎛ ⎞⎪ ρ− γ + ⎪ ⎜1 + cth (dγ − )⎟ ⎪ ⎟⎪ ⎪⎜ ρ+ γ − ⎪ ~ ~ ~ ⎝ ⎠⎭ ⎩ Κ ( x3 ) = Κ ( x , x3 ) = ⎨ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ −( x3 +d )γ − ⎪ ⎪ + e ( x3 +d )γ − ⎪ ~ ~ −1 ⎪ e ⎪u ∗ F ⎨ ⎬( x ), x ∉ Σ, − d < x3 < 0. ⎛ ⎞⎪ ρ− γ + ⎪ ⎪ ⎜1 + cth (dγ − )⎟ ⎟⎪ ⎪ ⎪⎜ ρ+ γ − ⎠⎭ ⎩⎝ ⎩ ( ) 2.6. Выводы по разделу 2 В разделе 2 поставлены краевые задачи дифракции в трехмерном пространстве на плоскопараллельных структурах, составленных из жестких экранов и слоев с постоянными физическими свойствами. Доказана единственность решения таких краевых задач. Впервые построены математические модели на основе псевдодифференциального (гиперсингулярного) уравнения процесса дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на таких плоскопараллельных структурах: - плоском жестком ограниченном экране, расположенном в плоскости раздела двух сред; - плоском жестком ограниченном экране, расположенном над жесткой стенкой в однородном пространстве; - плоском жестком ограниченном экране, расположенном на поверхности слоя над жесткой стенкой (обобщение предыдущего случая).
  • 73. 73 РАЗДЕЛ 3 ИССЛЕДОВАНИЕ ЯДЕР ГРАНИЧНЫХ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ГСИУ) Используя схему подхода метода параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов, для полученных нами псевдодифференциальных операторов проводится анализ структуры их ядер с целью выделения главной части, которая является гиперсингулярным интегральным оператором. 3.1. Представление для главной части ядра в случае экрана на разделе сред В работе [59] показано для задачи дифракции плоской волны на плоском жестком ограниченном экране в однородном пространстве, что, получаемое методом параметрических псевдодифференциальных представлений операторов интегральных гиперсингулярное и интегральное уравнение имеет ядро, в котором можно выделить гиперсингулярную, сингулярную и гладкую части. Для рассматриваемых в диссертации задач можно доказать аналогичные утверждения, позволяющие нам идентифицировать полученные граничные псевдодифференциальные уравнения как гиперсингулярные интегральные уравнения. Лемма 3.1. Ядро (2.86) граничного псевдодифференциального уравнения (2.88) основной задачи (2.16)-(2.21) можно представить в следующем виде: K =Η+Ο+Ρ, (3.1)
  • 74. 74 где 2 2 ~) = c ⋅ ⎛ ∂ + ∂ ⎞ 1 , ⎜ 2 ⎟ Η(x 1 ⎜ 2 ∂y1 ∂y 2 ⎟ ~ ⎝ ⎠x 1 x Ο( ~ ) = c 2 ⋅ ~ , x ( ) Ρ(~ ) ∈ C 1 ℜ 2 . x Доказательство. □ Для доказательства представления ядра (2.86) в виде (3.1) воспользуемся конструктивным подходом и построим требуемый вид ядра K . Рассмотрим следующую функцию: T (z ) = 2 2 1 − k+ ⋅ z ⋅ 1 − k− ⋅ z ρ− ⋅ 1 − 2 k+ ⋅ z + ρ+ ⋅ 1 − 2 k− ⋅z , (z ∈ ℜ). (3.2) Разложение в ряд Маклорена функции T ( z ) будет иметь вид: T ( z ) = t 0 + t1 ⋅ z + t 2 ⋅ z 2 + r ( z ) , где (3.3) ( ) r (ξ ) ∈C 3 ℜ 2 - остаток ряда, t 0 = T (0 ) = t2 2 2 2 ρ ⋅ k 2 + ρ − ⋅ k+ k+ + k− 1 + + − , , t1 = T ′(0 ) = − 2 ρ− + ρ+ 2 ⋅ (ρ + + ρ − ) 2 ⋅ (ρ + + ρ − ) (ρ = T ′′(0 ) = − 2 + ) ( )( ). 4 2 4 2 2 2 ⋅ k + + ρ − ⋅ k − + ρ − ρ + ⋅ k + + k − 3k − − 1 4 ⋅ (ρ + + ρ − ) 3 Тогда, в силу определения γ + (2.77) и вида (2.86) ядра, получаем:
  • 75. 75 2 2 2 2 − λ − k+ ⋅ λ − k− − γ + ⋅γ − γ+ = = = F [K ](λ ) = − ⎡ ρ− γ + ⎤ ρ− ⋅ γ + + ρ+ ⋅ γ − ρ ⋅ λ 2 − k 2 + ρ ⋅ λ 2 − k 2 − + + − ⋅ ρ + ⎢1 + ρ+ γ − ⎥ ⎣ ⎦ λ =− λ 2 2 1 − k+ ⋅ 1 2 ⋅ 1 − k− ⋅ 1 ⎛ 1 ⎞ = − λ ⋅T ⎜ 2 ⎟ = ⎜λ ⎟ 1 1 2 2 ⎠ ⎝ ρ − ⋅ 1 − k+ ⋅ 2 + ρ + ⋅ 1 − k− ⋅ 2 λ 2 λ 2 λ λ = −t0 ⋅ λ ⋅ −t1 ⋅ где R(ξ ) = 1 ξ 1 λ −t 2 ⋅ 1 λ 3 ( ), +R λ −5 (3.4) ( ) ⋅r ξ6 . На основе (3.4) и формулы Зоммерфельда [26], ядро K (2.86) принимает вид: K (~ ) = x где { ( )} 2 ⎛ ∂2 1 ∂ 2 ⎞ 1 k 2 ρ + k− ρ− 1 −2 ⎜ 2 + 2⎟~ + + + , + F −1 P λ ρ + + ρ − ⎜ ∂y1 ∂y 2 ⎟ x 2(ρ + + ρ − )2 ~ x ⎠ ⎝ (3.5) ⎛ 1 ⎞ y ∈ ℜ 2 , P(ξ ) = t 2 ⋅ ξ 2 + R⎜ 5 ⎟ . ⎜ξ ⎟ ⎝ ⎠ Что и требовалось доказать. ■ Замечание 3.1. В «предельном» случае однородного пространства (случай k + = k − = k , ρ + = ρ − = ρ ) представления (3.4) и (3.5) совпадают с аналогичными представлениями из работы [59]. Аналогично подходу Леммы 3.1, но более естественно в рассматриваемой нами задаче, можно выделить в качестве главной части символ того ядра ГСИУ,
  • 76. 76 которое позволяет решать внешнюю вторую краевую задачу для уравнения Гельмгольца [26], а не Пуассона. Лемма 3.2. Ядро (2.86) граничного псевдодифференциального уравнения (2.88) основной задачи (2.16)-(2.21) можно представить в следующем виде: K =Η+Ο+Ρ, (3.6) ~ где ik+ x 2 2 ~) = c ⋅ ⎛ ∂ + ∂ ⎞ ⋅ e ⎜ 2 ⎟ Η(x , 1 ⎜ 2 x ∂x1 ∂x2 ⎟ ~ ⎝ ⎠ ik + ~ x e x Ο( ~ ) = c 2 ⋅ ~ x , ( ) P(ξ ) ∈C 1 ℜ 2 . Доказательство. □ Рассмотрим ядро (2.86) уравнения (2.88) , тогда F {K }(λ ) = −γ+ ⎡ ρ + ⎢1 + ⎣ ρ− γ + ⎤ ⋅ ρ+ γ − ⎥ ⎦ = − γ + ⋅γ − ρ− ⋅ γ + + ρ+ ⋅ γ − и, применив преобразования, аналогичные преобразованиям Леммы 3.1, получаем ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 α ⋅ k+ − k− 1 α ⋅ k+ − k− F {K }(λ ) = − ⋅γ − ⋅ + + 2 ρ + + ρ − + 2(ρ + + ρ − ) γ + (ρ + + ρ − ) 2γ + ⋅ γ − + 2γ + (γ + + γ − ) ( 2 2 α ⋅ (1−α) ⋅ (k+ − k− ) + − (ρ+ + ρ− )((1−α) ⋅ γ − +α ⋅ γ + )(γ + + γ − )γ + 2 2 2 α ⋅ (1 − α ) ⋅ (k + − k − ) − = 2 (ρ + + ρ − )((1 − α ) ⋅ γ − + α ⋅ γ + )(2γ + ⋅ γ − + 2γ + )(γ + + γ − )2 3 )
  • 77. 77 ( ) 2 2 1 α ⋅ k+ − k− 1 =− ⋅γ − ⋅ + S( λ ) ρ + + ρ − + 2(ρ + + ρ − ) γ + где α= ρ− ρ+ + ρ− , ρ= (3.7) 1 (ρ + + ρ − ) , 2 ( ) S (τ ) ∈ O τ − 3 ,τ → ∞ . На основе (3.7) и интегральной формулы Зоммерфельда [26], ядро K (2.86) имеет вид: 1 K (~ ) = x ρ+ + ρ− где ~ ~ ik x ik x 2 2 ⎛ ∂2 2k + ρ+ + k − ( ρ+ + ρ− ) e + ∂2 ⎞ e + ⋅⎜ 2 + 2 ⎟⋅ ~ + ⋅ ~ + P( ~ ) , (3.8) x 2 ⎜ ∂x ⎟ x x ∂x2 ⎠ 4( ρ+ + ρ− ) ⎝ 1 ( ) P(ξ ) = F −1{S }(ξ )∈ C1 ℜ 2 . Что и требовалось доказать. ■ 3.2. Представление для главной части ядра в случае экрана на разделе сред над жесткой стенкой Аналогично Лемме 3.2, для уравнения (2.112) также можно представить ядро в виде гиперсингулярной, сингулярной и гладкой частей. Лемма 3.3. Ядро граничного псевдодифференциального уравнения (2.112) модифицированной задачи (2.37)-(2.43) можно представить в следующем виде: K =Η+Ο+Ρ, (3.9)
  • 78. 78 ~ где ik+ x 2 2 ~) = c ⋅ ⎛ ∂ + ∂ ⎞ ⋅ e ⎜ 2 ⎟ Η(x , 1 ⎜ 2 x ∂x1 ∂x2 ⎟ ~ ⎝ ⎠ ik + ~ x e x Ο( ~ ) = c 2 ⋅ ~ , x ( ) P(ξ ) ∈C 1 ℜ 2 . Доказательство. □ Для ядра граничного псевдодифференциального уравнения (2.112) получаем: F {K }(λ ) = = −γ+ ⎛ ⎞ ρ γ ρ + ⋅ ⎜1 + − + cth (dγ − )⎟ ⎜ ⎟ ρ+ γ − ⎝ ⎠ − γ+ ⋅γ− + (ρ + γ − + ρ −γ + ) = − γ+ ⋅γ− 2 ⎛ ⎞ ⎜ ρ + γ − + ρ − γ + + ρ − γ + ⋅ 2 dγ − ⎟ − 1⎠ e ⎝ 2 ρ− ⋅ γ + ⋅ γ − ⋅ = 2 e 2 dγ − −1 (ρ +γ − + ρ −γ + ) ⋅ ⎛ ρ +γ − + ρ −γ + + ρ −γ + ⋅ 2dγ2 ⎞ ⎜ ⎟ e − − 1⎠ ⎝ .  Первое слагаемое представляет собой преобразование Фурье ядра (2.86) задачи (2.16)-(2.21), и мы можем воспользоваться результатами Леммы 3.2. Рассмотрим поведение на бесконечности второго слагаемого: 2 ρ− ⋅ γ + ⋅ γ − ⋅ 2 e 2 dγ − − 1 (ρ +γ − + ρ −γ + ) ⋅ ⎛ ρ +γ − + ρ −γ + + ρ −γ + ⋅ 2dγ2 ⎞ ⎜ ⎟ e − −1⎠ ⎝ ( 2 ) = ⎛ρ λ 2 − k2 + ρ ⎜ + − − ⎝ 2 2 2 2 ρ − ⋅ λ − k+ ⋅ λ − k− ⋅ = e 2d 2 2 λ − k− −1 ⎛ 2 2 2 2 2 2 λ − k + ⎞⎜ ρ + λ − k − + ρ − λ − k + ⎟⎜ ⎠ ⎝ ⎛ ⋅ ⎜1 + ⎜ 2d ⎝ e 2 2 2 λ − k− ⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ −1⎠⎠ ~
  • 79. 79 ρ− ⋅ λ ⋅ 2 ⎛ e 2 λ d − 1⎞ ⎜ ⎟ n ⎝ ⎠ ~ = o λ , ∀n > 0 .  ⎛ ⎛ ⎞⎞ (ρ + + ρ − )⎜ ρ + + ρ − ⋅ ⎜1 + 2 λ 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ d − 1⎠⎠ ⎝ e ⎝ ( ) Характер стремления к нулю описанного выше слагаемого позволяет включить его в добавку L( λ ) к гладкой части S ( λ )  из Леммы 3.2: ( ) 2 2 ρ − ⋅ k+ − k− 1 1 F {K }(λ ) = − ⋅γ − ⋅ + S ( λ ) + L( λ ) , ρ + + ρ − + 2(ρ + + ρ − )2 γ + где (3.10) ( ) S (τ ) + L(τ ) = O τ − 3 , τ → ∞ . На основе (3.7) и интегральной формулы Зоммерфельда [26], ядро K уравнения (2.112) имеет вид: 1 K (~ ) = x ρ+ + ρ− где ~ ~ ik x ik x 2 2 ⎛ ∂2 2 k + ρ + + k − ( ρ+ + ρ − ) e + ∂2 ⎞ e + ⋅ ~ + P ( ~ ) , (3.11) x ⋅⎜ 2 + 2 ⎟⋅ ~ + 2 ⎟ x ⎜ ∂x x ∂x2 ⎠ 4( ρ+ + ρ− ) ⎝ 1 ( ) H (ξ ) = F −1 {S }(ξ ) + F −1 {L}(ξ ) ∈ C 1 ℜ 2 . Что и требовалось доказать. ■ 3.3. Сравнение с подходом, основанным на методе потенциала Рассмотрим задачу (2.26)-(2.31), и будем искать решение на основе метода потенциала. Будем искать решение в виде потенциала двойного слоя [24,28,92,93]:
  • 80. 80 ∂ G ( x, y ) ⋅ g ( y ) ds y , x ∈ D Σ , y ∈ Σ , g ( y ) ∈C (ℜ ) , ∂n y Σ w( x) = ∫ где (3.12) r r n y = e3 = (0,0,1) - орт нормали к экрану Σ в точке y , G ( x, y ) - фундаментальное решение уравнения Гельмгольца в пространстве с жесткой стенкой D ∗ . Применяя метод отражений [26], найдем функцию Грина полупространства D+ : ik x − y ik x∗ − y e e , + ∗ G ( x, y ) = x− y x −y где (3.13) y = ( y1 , y 2 , y3 ) ∈ D+ , x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ D+ , x ∗ = ( x1 , x2 ,− x3 − 2d ) , x− y = x∗ − y = (x1 − y1 )2 + (x 2 − y2 )2 + (x 3 − y3 )2 , (x1− y1 )2 + (x 2 − y2 )2 + (x 3 + y3 + 2d )2 . Исходя их краевых условий, выражение (3.12) с функцией Грина (3.13) будет представлять [24] искомое поле w(x) нашей задачи, если функция плотности u ( y ) является решением интегрального уравнения: ik x∗ − y ⎛ ik x − y ∂ ⎜e e + ∗ a.f.p.∫ 2 ⎜ x− y x −y Σ ∂x3 ⎜ ⎝ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⋅ u ( y ) ds y = f ( x ) , ⎟ ⎠ x, y ∈ Σ . (3.14) Рассмотрим подробнее ядро уравнения (3.14). Используя тот факт, что функция Грина (3.13) фактически является суперпозицией фундаментальных решений уравнения Гельмгольца в пространстве, получаем
  • 81. 81 ik x∗ − y ⎛ ik x− y ∂2 ⎜ e e + ∗ 2 ∂x3 ⎜ x − y ⎜ x −y ⎝ ⎞ ik x − y ik x − y ⎛ ∂2 ∂2 ⎞ e ⎟ 2 e ⎜ 2 + 2⎟ −k − ⎟ = −⎜ ∂x ⎟ x− y ⎟ ⎝ 1 ∂x2 ⎠ x − y ⎠ ik x∗ − y ik x∗ − y ⎛ ∂2 ∂2 ⎞ e e ⎜ 2 + 2⎟ − k2 ∗ . −⎜ ⎟ ∗ x −y ⎝ ∂x1 ∂x2 ⎠ x − y (3.15) Так как экран Σ расположен в плоскости D0 , то для всех точек экрана x3 = y3 = 0 , и выражение (3.15) принимает вид: ik x∗ − y ⎛ ik x − y ∂ ⎜e e + ∗ 2 ⎜ ∂x3 ⎜ x − y x −y ⎝ 2 − k2 e ik ⎞ ⎛ ∂2 ∂2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ = −⎜ ∂x 2 + ∂x 2 ⎟ ⎟ ⎝ 1 2 ⎠ ⎠ ( x1− y1 )2 +( x 2 − y2 )2 (x1 − y1 ) 2 + (x 2 − y2 ) 2 e ( x1− y1 )2 +( x 2 − y2 )2 ik (x1 − y1 ) + (x 2 − y2 ) 2 2 − − ⎛ ∂2 ∂2 ⎞ −⎜ 2 + 2 ⎟ ⎜ ∂x ⎟ ⎝ 1 ∂x2 ⎠ −k e ik ( x1− y1 )2 +( x 2 − y2 )2 + 4 d 2 (x1− y1 ) 2 2 e ik + ( x 2 − y 2 ) + 4d 2 2 − ( x1− y1 )2 +( x 2 − y2 )2 + 4 d 2 (x1 − y1 ) 2 + ( x 2 − y 2 ) + 4d 2 2 . (3.16) Для доказательства идентичности вычислительных формул рассмотрим граничное псевдодифференциальное уравнение (2.98). F [ K ](λ ) = ⎛ ⎞ sh (dγ ) −γ = −γ ⋅ ⎜ ⎟= 1 + cth (dγ ) ⎝ sh (dγ ) + ch (dγ ) ⎠ ch (2dγ ) − 1 ⎞ ⎛1 = −γ ⋅ sh (dγ ) ⋅ (ch (dγ ) − sh (dγ )) = −γ ⋅ ⎜ sh (2dγ ) − ⎟= 2 ⎝2 ⎠ −γ = 2 ⎛ e 2 dγ − e −2 dγ e 2 dγ + e −2 dγ ⎜1 + − ⎜ 2 2 ⎝ ⎞ 1 ⎟ = − γ + γ ⋅ e − 2 dγ . ⎟ 2 ⎠ ( ) (3.17)
  • 82. 82 Используя представление (3.17) и формулу Зоммерфельда [24], получаем такое выражение для ядра K : 2 2 2 2 ik x1 + x2 ik x1 + x2 2 2 2 e ~) = ⎛ ∂ + ∂ ⎞ e ⎟ +k ⋅ + K (x ⎜ 2 2 ⎜ ∂x 2 2 2 ∂x2 ⎟ x12 + x2 x1 + x2 ⎝ 1 ⎠ 2 2 2 2 2 2 ik x + x + 4 d ik x + x + 4 d ⎛ ∂2 ∂2 ⎞ e 1 2 e 1 2 2 ⎜ 2 + 2⎟ +⎜ +k ⋅ ⎟ 2 2 2 2 x12 + x2 + 4d 2 ⎝ ∂x1 ∂x2 ⎠ x1 + x2 + 4d . (3.18) Подставляя вид (3.18) ядра K в сверточное уравнение (2.98), мы получим с уравнение (3.14) с ядром (3.16) с точностью до константы. Таким образом, для специального варианта (2.26)-(2.31) вычислительные формулы, полученные по методу параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов, эквивалентны формулам широко известного метода потенциала. Нетрудно заметить, что в рассмотренном случае граничное псевдодифференциальное уравнение (2.98) является гиперсингулярным интегральным уравнением. 3.4. Выводы по разделу 3 Проведен анализ ядер псевдодифференциальных операторов рассматриваемых задач дифракции акустических волн на плоскопараллельных структурах и получены представления для главной части ядер. Это позволило идентифицировать полученные граничные псевдодифференциальные уравнения как гиперсингулярные интегральные уравнения и обосновать выбор подхода на основе методов дискретных особенностей как адекватного метода их численного решения.
  • 83. 83 РАЗДЕЛ 4 ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ПОЛУЧЕНЫХ ГСИУ Используя схему обобщенного метода замкнутых вихревых рамок, в разделе строится дискретная модель рассматриваемых процессов дифракции, в рамках которой граничное интегральное уравнение сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Исследуются вопросы вычисления элементов матрицы, а также интегральных характеристик для рассматриваемых задач дифракции на плоскопараллельных структурах. 4.1. Схема МДО для задач дифракции на плоскопараллельных структурах Для построения дискретной модели рассмотрим ступенчатую область Σ′ , которая будет приближать исходный плоский ограниченный экран Σ (Рис 4.1). Рис. 4.1. Пример построения области Σ′ и ее покрытия {Σ μ }μ∈Μ
  • 84. 84 Пусть для области Σ′ путем разбиения на квадраты построена сеть покрытия {Σ μ }μ∈Μ , такая, что Σ′ = U Σ μ , Σ μ ∩ Ση = ∅ (μ ≠ η ) , (4.1) μ∈Μ где Μ < ∞ . Следуя подходу метода дискретных замкнутых вихревых рамок И.К. Лифанова [28,45], приближение к решению полученных в предыдущих разделах граничных ГСИУ в классе кусочно-постоянных функций на ступенчатой области Σ′ будем искать в таком виде: u (~ ) = x x ∑ u μ ⋅ I μ (~ ) , ~ ∈ Σ′ , x (4.2) μ ∈Μ где u μ = u (~μ ) , где ~μ - центр квадрата Σ μ (точка коллокации), x x ~ ~ ) = ⎧1, x ∈ Σ μ - индикаторная функция квадрата Σ . I μ (x ⎨ ~ μ ⎩0, x ∉ Σ μ Подстановка функции вида (4.2) в граничные псевдодифференциальные уравнения (2.88), (2.98) или (2.112) и использование результатов третьего раздела о структуре их ядер позволяют построить дискретную модель в форме системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): u (~ ) ∗ K (~ ) = x x x x x ∑ u μ ⋅ a.f.p.∫∫ K ( ~ − ~ν )d~ μ∈Μ x = f (~ν ) , ∀ν ∈ Μ : ~ν ∈ Σν . x (4.3) Σμ Разрешимость СЛАУ в общем случае доказать не удается, однако уверенность в ее наличии связана как с большим накопленным опытом применения МДО другими исследователями, так и благодаря проведенному в следующем разделе численному анализу устойчивости.
  • 85. 85 Схема (4.1)-(4.3) восходит к методам типа Галеркина, однако специфика методов дискретных особенностей заключается в следующем: 1. Практическое решение последней задачи всегда основано на знании специальной структуры ядер ГСИУ, которая может быть достаточно специфической для каждой новой задачи. Такое исследование для рассматриваемых задач было проведено в предыдущем разделе. 2. Каждая конкретная версия МДО должна обеспечивать эффективное вычисление элементов вида a.f.p.∫∫ K ( ~ − ~ν )d~ , которые являются x x x Σμ суммой гиперсингулярного, сингулярного и сильно осциллирующего интегралов, и каждый раз требуют специального подбора адекватных «квадратур» и контроля вычисления. 4.2. Алгоритм вычисления построенных гиперсингулярных интегральных операторов в классе кусочно-постоянных функций Для вычисления коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений (4.3), построенной для основной задачи, воспользуемся представлением (3.6) ядра K , адитивностью интеграла и приемом [28,45,92] для перехода к интегрированию по границе в интеграле от гиперсингулярной части ядра: ~ ~ ik + x − xν ⎛r 1 ⎜ dl × ∇ ~ e ⋅ ∫ x ~ ρ+ + ρ− ∂Σ μ ⎜ x − ~ν x ⎝ x x x a.f.p. ∫∫ K ( ~ − ~ν )d~ = − Σμ + где 2 2 2 k + ρ+ + k − ( ρ + + ρ− ) 4( ρ+ + ρ− ) 2 ⎞ r ⎟⋅n + ⎟ ⎠ ik ~ − ~ x x e + ν ~ ⋅ ∫∫ ~ ~ dx + ∫∫ P ( ~ − ~ν )d~ , x x x x − xν Σμ Σμ r n = (0,0,1) - вектор нормали к экрану Σ . (4.4)
  • 86. 86 x x Выражение для функции P( ~ − ~ν ) громоздко и будет представлено в преобразованном виде в следующем подразделе. Интеграл от P( ~ − ~ν ) не имеет x x особенности, однако подынтегральная функция является осциллирующей. Второй интеграл в (4.4) при k + ≠ 0  понимается в смысле главного значения по Коши и вычисляется путем перехода в полярные координаты с центром в x точке ~ : ν ik x − x ik x − x x1 = ( xν )1 + r ⋅ cos ϕ e + ν e + ν dx = lim ∫∫ dx = =  ∫∫ x − ~ν ε →+0 x2 = ( xν )2 + r ⋅ sin ϕ x x − ~ν x Σμ Σ μ U Σ μ (ε ) ~ ~ = lim ∫ dϕ ∫ e ε 0 i = lim ε → +0 k + где         Φ (ϕ ) ik+ r 2π ε → +0   2π ⎞ ⎛ 2π ik+Φ (ϕ ) i ⎜ ∫e lim ⎜ dϕ − ∫ e ik+ε dϕ ⎟ =   ⋅ r ⋅ dr = ⎟ r k + ε → +0⎝ 0 0 ⎠ 2π ∫e 2π ik +ε i = dϕ − lim e ε → +0 k k+ + ik + Φ (ϕ ) 0 2π ik Φ (ϕ ) ∫ e + dϕ − 0 2π , k+ (4.5) Φ(ϕ ) - функция, описывающая контур ∂Σν в полярных координатах. Для модифицированной задачи (2.37)-(2.43) коэффициенты СЛАУ (4.3), с учетом полученного представления (3.11) ядра K , имеют вид: x x x a.f.p. ∫∫ K ( ~ − ~ν )d~ = − Σμ + 2 2 2 k + ρ+ + k − ( ρ + + ρ− ) 4( ρ+ + ρ− ) 2 ~ ~ ik + x − xν ⎛r 1 ⎜ dl × ∇ ~ e ⋅ ∫ x ~ ρ+ + ρ− ∂Σ μ ⎜ x − ~ν x ⎝ ⎞ r ⎟⋅n + ⎟ ⎠   ik ~ − ~ x x e + ν ~ ⋅ ∫∫ ~ ~ dx + ∫∫ P ( ~ − ~ν )d~ + ∫∫ F −1 {L}( ~ − ~ν )d~ . (4.6) x x x x x x x − xν Σμ Σμ Σμ Как указывалось ранее, слагаемое с гладким ядром P( ~ − ~ν x x ) будет рассмотрено в следующем подразделе, а явное выражение последнего слагаемого имеет вид:
  • 87. 87 F −1 ∞ {L}(r ) = ∫ D(r , λ )d ( λ ) , (4.7) 0 где 2 2ρ − ⋅ γ + ⋅ γ − D(r , λ ) = λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ ( ρ + γ − + ρ − γ + ) ( ρ + γ − + ρ − γ + ) ⋅ e 2 dγ − − 1 + 2 ρ − γ + def ( ( ) ) .  При вычислении коэффициентов СЛАУ для модифицированной задачи (2.37)-(2.43) необходимо дополнительно исследовать вопросы эффективного вычисления интеграла (4.7), что будет сделано далее. 4.3. Компьютерные аспекты вычисления интегралов от комплекснозначных функций специального вида Для получения формул вычисления контурного интеграла в (4.4) воспользуемся свойством векторного произведения: ~ ~ ik + x − x ν ⎛r ⎜ dl × ∇ ~ e x ~ ∫⎜ x − ~ν x ∂Σ μ ⎝ r r ⎞ r ⎟ ⋅ n = ik + ⋅ dl × n ∫ ⎟ ∂Σ μ ⎠ ( ) ~−~ x xν ik ~ − ~ x x ⋅ e + ν ⋅ (ik + ~ − ~ν − 1) .  x x 3 ~−~ x x ν Тогда получаем такое разложение: ~ ~ ik + x − x ν ⎛r ⎜ dl × ∇ ~ e x ~ ∫⎜ x − ~ν x ∂Σ μ ⎝ a2 e ν = ∫ ν a1 ik+ ⎞ r ⎟⋅n =  ⎟ ⎠ ν ( x1 −( xν )1 )2 +(b1 −( xν )2 )2 ⎛ ⋅ ⎜ ik + ⎝ ⎛ ⎜ ⎝               (x1 − (xν )1 )2 + (b1ν − (xν )2 )2 − 1⎞ ⎟ (x1 − (xν )1 )2 + (b1ν − (xν )2 ) 2 ⎞ ⎟ ⎠ 3 (   )   ⎠ bν − ( x ) dx −   1 ν 2 1
  • 88. 88 b2 e ν − ik + (aν2 −( xν )1 )2 +(x2 −( xν )2 )2 ⋅ ⎛ ik (aν − (x ) )2 + (x − (x ) )2 − 1⎞ ⎜ + ⎟ 2 2 ν 1 ν 2 ⎝ ∫ (aν − (xν ) ) + (x ⎛ ⎜ ⎝ ν b1 2 − ( xν )2 ) ⎞ ⎟ ⎠ 2 2 1 2 ( ) ⎠ aν − ( x ) dx +   2 ν 1 2 3   a2 e ν − ik + ∫ (x1 −( xν )1 )2 +(bν −( xν )2 )2 ⎛ 2 ⋅ ⎜ ik + ⎝ (x1 − (xν )1 ) + (b2 − (xν )2 ) ⎛ ⎜ ⎝ ν a1 (x1 − (xν )1 )2 + (bν − (xν )2 )2 − 1⎞ ⎟ 2 2 ν 2 ⎞ ⎟ ⎠ ( ) ⎠ bν − ( x ) dx +   2 ν 2 1 3   b2 e ν + ∫ ν b1 ik+ (a1ν −( xν )1 )2 +(x2 −( xν )2 )2 ⋅ ⎛ ik (aν − (x ) )2 + (x − (x ) )2 − 1⎞ ⎜ + ⎟ 1 2 ν 1 ν 2 ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ (a ν 1 − ( xν )1 ) + (x 2 − ( xν )2 ) 2 2 ⎞ ⎟ ⎠ (   ) ⎠ aν − ( x ) dx ,  1 ν 1 2 3 (4.8) где [ ] [ ] ~ = ( x , x ) , ~ = (( x ) , ( x ) ), Σ = aν , aν × bν , bν . x xν ν 1 2 1 2 1 2 ν 1 ν 2 Важнейшей характеристикой эффективности алгоритма в условиях расчетов на персональных компьютерах является возможность такой его программной реализации, при которой исследователь может получить решение за приемлемое время с достаточной точностью. Поэтому была поставлена задача повышения эффективности (по критерию – точность за меньшее время) путем отбора наиболее производительных методов вычисления интегралов при формировании коэффициентов матрицы, расчета диаграмм направленности, полей и других интегральных характеристик. Программные системы Diffraction_On_Screens и Diffraction_On_Flatness разработаны на языке FORTRAN с тем, чтобы максимально использовать отлаженные и многократно опробованные стандартные процедуры как самой поставки компилятора Фортрана – библиотеки IMSL [94], так и набора
  • 89. 89 подпрограмм «Библиотеки численного анализа НИВЦ МГУ», разработанного в МГУ им. М.В. Ломоносова [73]. Для эффективного вычисления однократных интегралов по отрезкам среди рассматриваемых (табл. 4.1) была выбрана процедура DQDAG. На этот выбор однозначно указывают результаты тестовых расчетов (соответствующих версий программных систем Diffraction_On_Screens). Ее использование не только позволило оценить и проконтролировать погрешности, но и адаптировать счет к осциллирующим интегралам за счет выбора соответствующих параметров процедуры. Вычисления проводились с абсолютной погрешностью 10−4 и относительной погрешностью 10 −5 , значение параметра для квадратур ГауссаКронрода выбиралось равным 6 (30-61 узел) для интегралов с осцилляциями. Для вычислений однократных интегралов по полубесконечным отрезкам интегрирования была выбрана процедура QSL4D, т.к. она оптимизирована для счета интегралов по большому отрезку интегрирования (табл. 4.1). Вычисления проводились с относительной погрешностью 10 −5 . Из проанализированных библиотечных подпрограмм вычисления интегралов по прямоугольнику (табл. 4.1), в качестве достаточно эффективных зарекомендовали себя QS81D, DQAND и DTWODQ. Причем в случае наличия осцилляций предпочтение отдавалось DTWODQ (вычисления проводили с абсолютной погрешностью 10−4 и относительной погрешностью 10 −5 , значение параметра для квадратур Гаусса-Кронрода выбиралось равным 6 (30-61 узел)) для интегралов с осцилляциями, а в остальных случаях - QS81D, DQAND, разделяя применение только временем счета конкретных интегралов.
  • 90. 90 Таблица 4.1. Проанализированные подпрограммы стандартных библиотек FORTRAN IMSL БЧА НИВЦ МГУ вычисление однократного интеграла по отрезку DQDAGS – предназначена для вычисления однократного интеграла от функции по отрезку с заданной абсолютной и относительной погрешностями. DQDAG – предназначена для вычисления однократного интеграла функции с использованием квадратур Гаусса-Кронрода с заданной абсолютной и относительной погрешностями. QSS1D – предназначена для вычисления однократного интеграла по обобщенной квадратурной формуле Симпсона с заданной абсолютной погрешностью. QSL1D – предназначена для вычисления однократного интеграла по формулам Лобатто 11-й степени точности. QSK2D – предназначена для вычисления однократного интеграла по обобщенной квадратурной формуле Ньютона-Котеса, точной для многочленов 9-й степени. вычисление однократного интеграла по большому отрезку Специализированные процедуры QSL4D – предназначена для отсутствуют, предлагается вычислять вычисления определенного интеграла процедурами DQDAG, DQDAGS. для больших отрезков интегрирования по формулам Лобатто 11-ой степени с гарантированной точностью. вычисление двукратных интегралов по прямоугольной области DQAND – предназначена для QS81D – предназначена для вычисления двукратного интеграла вычисления определенного функции по гиперчетырехугольнику. N - кратного (N=2..15) интеграла по DTWODQ – предназначена для прямоугольному параллелепипеду вычисления двукратного интеграла от методом Гаусса с заданной абсолютной функции с использованием квадратур погрешностью. – предназначена для Гаусса-Кронрода с заданной QS82D определенного Nабсолютной и относительной вычисления кратного (N=2..15) интеграла по погрешностями. прямоугольному параллелепипеду методом Гаусса. В последнем интеграле формулы (4.4) регулярное ядро является двумерным преобразованием Фурье центрально симметричной функции громоздкого, но явного вида. Поэтому, пользуясь свойствами подынтегральной
  • 91. 91 функции, для вычисления интеграла x x x ∫∫ P( ~ − ~ν )d~ запишем ядро в форме Σμ интеграла Фурье-Бесселя (Ганкеля): ( ) 2 2 3 ⎡ ρ + ρ − k+ − k− P(r ) = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ ⎢ − 2 3 ⎢ 2(ρ + + ρ − ) γ + (γ + + γ − ) (ρ −γ + + ρ + γ − ) 0 ⎣ ∞ 2 2 ⎤ ρ − (ρ + − ρ − )(k + − k − ) − ⎥, 2 2 2(ρ + + ρ − ) (γ + + γ − ) (ρ −γ + + ρ + γ − )⎥ ⎦ 2 (4.9) где j0 (t ) - функция Бесселя 0-го порядка. Для численного определения такого интеграла рассматривался вопрос вычисления интегралов в виде: ∞ ∫ ξ ⋅ f (ξ ) ⋅ j0 ( x ⋅ ξ ) ⋅ dξ . (4.10) 0 В ходе проведенных нами исследований целесообразности использования при численном вычислении интегралов вида (4.10) полиномиального представления для функции Бесселя и построение с его помощью квадратурной формулы для всего интеграла был отмечен другой возможный путь вычисления необходимого интеграла. Это связано с неисследованной точностью представления такой квадратурой исходного интеграла и необходимостью сократить вероятность ошибок кодирования и представления при непосредственных вычислениях. Поэтому при построении программного обеспечения была использована зарекомендовавшая себя библиотека IMSL [94], которая располагает хорошо оптимизированной для счета процедурой вычисления функции Бесселя. Таким образом, при вычислении интегралов вида (4.10) использовалась стандартная
  • 92. 92 процедура вычисления функции Бесселя и построенная на ее основе квадратурная формула для интегралов (4.10). Интегралы вида (4.10) с ядром (4.9), встречающиеся при вычислении коэффициентов матрицы для основной задачи, являются интегралами с осцилляциями, однако амплитуда осцилляций затухает при ξ → ∞ . При проведении серии вычислительных экспериментов по определению практического конечного верхнего предела интегрирования для (4.10) для коэффициентов основной и модифицированной задач принималась во внимание точность такого представления. Была рассмотрена точечная погрешность и численная сходимость к точному значению. В качестве точного решения принималось численное значение интеграла (4.10) с ядром (4.9), вычисленного для интервала (0, 10 ) 5 с использованием стандартной подпрограммы «БЧА НИВЦ МГУ» QSL4D, реализующей интегрирование по формулам Лобатто 11-й степени с гарантированной точностью [95]. Принимая во внимание результаты экспериментов и поведение подынтегральной функции, на практике (для рассматриваемого нами класса задач) бесконечный интервал интегрирования в (4.10) с ядром (4.9) заменялся конечным интервалом. В модифицированной задаче интегралы, соответствующие сингулярной и гиперсингулярной части, полностью идентичны рассмотренным выше. А интеграл (4.7) хотя и имеет вид (4.10), однако из-за своей специфики требует дополнительного исследования. Вычисление интеграла (4.7) удобно разбить и проводить по отдельности на интервалах, для которых подынтегральное выражение имеет характерное поведение (рис. 4.2): ∞ min ( k− ,k+ ) max ( k− ,k+ ) 0 0 min ( k− ,k+ ) Ι = ∫ D( ~ − ~ν , λ )d ( λ ) = x x x x ∫ D( ~ − ~ν , λ )d ( λ ) + x x ∫ D( ~ − ~ν , λ )d ( λ ) +
  • 93. 93 + ∞ def x x ∫ D( ~ − ~ν , λ )d ( λ ) = Ι1 + Ι 2 + Ι 3 . (4.11) max ( k− ,k+ ) Рис.4.2. Пример графика модуля подинтегральной функции в (4.7) при k − = 2π , k + = 3π (значение в λ = 3π конечно и составляет 642.3) Вспомогательные вычислительные эксперименты показали, что для вычисления осциллирующего интеграла Ι1 целесообразно применить стандартную процедуру IMSL [94] DQDAG с IRULE=6 (30-61 узел). Обращение к данной процедуре вычисления интегралов с осцилляциями было подсказано документацией процедуры, а также опытом исследования интеграла (4.10). Для вычисления интеграла Ι 3 можно воспользоваться той же процедурой DQDAG, если использовать режим IRULE=2 (10-21 узел). При этом функция D(r , λ ) затухает, и экспериментально подобрано такое соотношение между max(k − , k + ) и верхней границей усеченного интервала, при котором ошибка усечения не превосходит по порядку погрешности вычисления интеграла по усеченному интервалу. Представляется естественным, что в реальных условиях плоская волна падает в пространстве из бесконечности на экран, лежащий на слое из более плотного материала (чем пространство над ним). Обычно это случай k − < k + , при котором выполняется условие (2.14), согласно Замечанию 2.1.
  • 94. 94 Несложно проверить, что особенность у функции D(r , λ ) если и есть, то [min(k − , k + ), max(k − , k + )] , она лежит на но при k − < k + подынтегральная функция не имеет особенностей, и интеграл Ι 2 может быть вычислен с использованием более простых квадратур. Поэтому программная реализация решения задачи дифракции осуществлена для этого практически важного случая k − < k + . Отдельные эксперименты для альтернативного случая ( k − > k + ) демонстрируют затягивание и неустойчивость вычислений (несмотря на Ι2 попытки использования при вычислении специальных подпрограмм стандартных библиотек). В модифицированной задаче (2.37)-(2.43), после получения численного решения СЛАУ, для вычисления рассеянного поля (например, в области x3 > 0 над экраном) необходимо воспользоваться формулой (2.113) восстановления рассеянного поля в заданной точке. Для численного расчета воспользуемся вычисленным при решении СЛАУ (4.3) кусочно-постоянным приближением (4.2) решения уравнения (2.112): w( x ) = 1 2π ∑ uμ ⋅ μ∈Μ e −γ + ⋅x3 ∫⎛ ℜ2 dγ − − dγ − ρ γ e +e ⎜ 1 + − + dγ ⎜ ρ + γ − e − − e − dγ − ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ e ( −i⋅ ~ − ~μ ,λ x x ) dλ . (4.12) Двумерное преобразование Фурье в интеграле (4.12) имеет ядро, 2 зависящее только от λ = λ1 + λ2 , что позволяет представить его в виде 2 интеграла Фурье-Бесселя (Ганкеля): ∞ x x ∫ G ( ~ − ~μ , λ )d ( λ ), (4.13) 0 где def G (r , λ ) = λ ⋅ j0 (r λ ) e −γ + ⋅x3 ⎛ ⎞ ρ γ ⎜1 + − + cth (dγ − )⎟ ⎜ ⎟ ρ+ γ − ⎝ ⎠ .
  • 95. 95 Как видно, интеграл (4.13) имеет подобную структуру с интегралами (4.10) и (4.7). Поэтому необходимо учесть опыт исследования структуры ядра D(r , λ ) и интеграла (4.10). При этом функция G (r , λ ) (рис. 4.3) затухает быстрее, чем D(r , λ ) (рис. 4.2), и нами экспериментально подобрано такое соотношение между max(k − , k + ) и верхней границей усеченного интервала, при котором ошибка усечения не превосходит по порядку погрешности вычисления интеграла по усеченному интервалу. Рис. 4.3. Пример графика модуля подинтегральной функции (4.13) при k − = 2π , k + = 3π
  • 96. 96 4.4. Вычисление интегральных характеристик для задач дифракции на плоскопараллельных структурах Одной из важных интегральных характеристик, которые интересны с практической точки зрения, выступают диаграммы направленности и радиолокационные сечения рассеяния (Sonar Cross Section, SCS). Рассмотрим вопрос численного нахождения указанных характеристик на примере более простого случая – задачи (2.26)-(2.31) рассеяния плоской акустической волны на плоском абсолютно жестком ограниченном экране над плоскостью в однородном пространстве. Для этого случая в подразделе 3.3 была показана эквивалентность формул подхода на основе метода параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов и метода потенциала. r Пусть x = ( x1 , x2 , x3 ) - точка наблюдения, r = ρ ⋅ e , где ρ - расстояние от r точки x до начала координат, e = (cos ϕ , sin ϕ ) - единичный вектор, указывающий направление на точку x из начала координат, ϕ - угол между r вектором e и осью x1 . Решение имеет вид: 1 u (x ) = 4π ik x − y ∂ ⎛e ⎜ ∫∫ ∂n y ⎜ x − y Σ ⎝ ⎞ ⎟ ⋅ g ( y ) ⋅ ds = 1 ⎟ 4π ⎠ 1 ⎛ ⎧ ik ⋅ e ⎜⎪ = ∫∫ ⎜ ⎨− x − y 4π Σ ⎪ ⎝⎩ ik x − y ik x − y ⎛ r ⎞ ⎜∇y e , n y ⎟ ⋅ g ( y ) ⋅ ds = ∫∫ ⎜ x − y ⎟ Σ ⎝ ⎠ ik x − y ⎫ ⎞ ⎪ x− y r ⎟ + , n y ⋅ g ( y ) ⋅ ds = ⎟ 2 ⎬ x− y e x− y ⎪ ⎭ ⎠ ik x − y ⎞ 1 ⎛e ⎜ {1 − ik ⋅ x − y }(x3 − y3 )⎟ ⋅ g ( y ) ⋅ ds . = ∫∫ ⎜ 3 ⎟ 4π Σ x − y ⎝ ⎠ Воспользуемся следующим известным выражением: (4.14)
  • 97. 97 2 2 2 ⎡⎛ ⎞ ⎛ ( x, y ) ⎞ ⎤ y ( x, y ) 2 2 x − y = ( x − y, x − y ) = x ⎢⎜1 − 2 ⎟ + 2 − ⎜ 2 ⎟ ⎥ , ⎜ x ⎟ ⎥ ⎢⎜ x ⎟ x ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣⎝ ⎞ ⎛ y тогда для дальней зоны ⎜ << 1⎟ , в которой и рассчитывается диаграмма ⎟ ⎜x ⎠ ⎝ направленности, получаем ⎛ ( x, y ) ⎞ x − y ~ x ⋅ ⎜1 − 2 ⎟ , ⎜ x ⎟ ⎠ ⎝ (4.15) где « ~ » означает асимптотическое равенство. Учитывая (4.15), формула (4.14) принимает следующий вид: u (x ) ~ 1 4π ∫∫ e ik x ⋅e ⎛ x ⎞ − ik ⎜ , y ⎟ ⎜ x ⎟ ⎠ ⎝ x Σ = 3 ik x (− ik ⋅ x )⋅ x3 ⋅ g ( y1, y 2 )dy1dy2 = 1 e ⋅ e 4π x ∫∫ Σ ik x 1 e e = ⋅ ∫∫ 4π x Σ ⎛ x ⎞ − ik ⎜ , y ⎟ ⎛ ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠⎜ x ⎞ − ik ⋅ 3 ⎟ ⋅ g ( y1 , y 2 )dy1 ⋅ dy2 = ⎜ x⎟ ⎝ ⎠ ⎛ x ⎞ − ik ⎜ , y ⎟ ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ x ik x (− ik ) ⋅ x3 ⋅ g ( y1 , y 2 )dy1dy2 = 1 e ⋅ F (x ) . 4π x (4.16) Функция F ( x )  по определению называется диаграммой направленности [24]: 1 F (x ) = 4π ∫∫ e Σ ⎛ x ⎞ −ik ⎜ , y ⎟ ⎛ ⎜ x ⎟ ⎠⎜ ⎝ x ⎞ − ik ⋅ 3 ⎟ ⋅ g ( y1 , y 2 ) ⋅ dy1 ⋅ dy 2 , ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ (4.17)
  • 98. 98 Переходя в (4.17) на сферу, т.е. рассматривая x ⎛ x1 x2 x3 ⎞ = ⎜ , , ⎟ как точку x ⎜ x x x ⎟ ⎝ ⎠ единичной сферы ⎧ x1 = x sin θ cos ϕ ⎪ ⎨ x2 = x sin θ sin ϕ ⎪ x = x cosθ , ⎩ 3 придадим диаграмме направленности вид, удобный для расчетов: F (θ , ϕ ) = − Вычисление 1 ik cos θ ⋅ ∫∫ e − ik sin θ ⋅( y1 cos ϕ + y 2 sin ϕ ) ⋅ g ( y1 , y2 ) dy1dy2 . 4π Σ SCS можно провести по известной (4.18) диаграмме направленности: SCS (θ , ϕ ) = 10 ⋅ lg 4π ⋅ F (θ , ϕ ) λ2 2 = 10 ⋅ lg k 2 ⋅ F (θ , ϕ ) π 2 . (4.19) Вычисление поперечника рассеяния σ (k )  проводится по формуле 4 k σ (k ) = Im F (0,0) . (4.20) Для повышения скорости расчетов нам пришлось разработать на основе стандартных процедур вычисления интегралов из библиотек «БЧА НИВЦ МГУ» и IMSL собственные процедуры вычислений, которые учитывают современные возможности работы с комплексными переменными на компьютере. Проблема состоит в том, что для диаграмм направленности (аналогично тому, как и для полей) нам необходимо вычислять интегралы следующего вида:
  • 99. 99 I= ∫ f ( x) K ( x )dx , (4.21) Σμ где K (ξ ) = ∫ g (ξ , y )dy = Ι p , ℜ p = 1,2 ; p f ( x), g (ξ , y ) - заданные комплекснозначные функции. При изучении возможности применения стандартных процедур (БЧА НИВЦ, IMSL) оказалось, что все подпрограммы настроены на работу с действительными подынтегральными функциями. Стандартным приемом является вычисление по очереди Re и Im частей подынтегральной функции. Но в данном случае он не эффективен по времени и затрачиваемым ресурсам потому, что функция K (ξ ) в (4.21) также комплекснозначная, а вычисление интеграла от нее весьма трудоемко. Вычисляя Re и Im частей интеграла (4.21) по очереди, приходится четырежды возвращаться к вычислению двойных интегралов вида (4.21). Оказалось, что в таком случае, несмотря на более быстрое вычисление вещественных интегралов по сравнению с комплексными [96], вычисление одного комплексного интеграла вида (4.21) дает ускорение счета примерно в 3 раза на компьютере с 512Mб оперативной памяти и частотой процессора 1.6ГГц. В связи с изложенными выше обстоятельствами, была разработана подпрограмма, вычисляющая двумерный интеграл от комплекснозначной функции по методу Симпсона с использованием стандартных процедур библиотеки IMSL. Нами был применен данный метод ввиду его простоты для двумерных интегралов, и в тоже время он обеспечивает приемлемую точность вычислений. Контроль погрешности проводился по принципу Рунге [97]. Также возможен другой подход – создание при первом счете K (ξ ) кеша вычисленных значений, и при остальных – использование этих значений. Данный подход не был применен в виду экономии памяти, так как он подразумевает размещение кеша значений в оперативной памяти.
  • 100. 100 Перейдем к определению диаграммы направленности в задаче (2.16)-(2.21) рассеяния на плоском экране, находящемся на разделе двух полупространств с различными характеристиками. Рассеянное поле w(x) в области x3 > 0 (для случая x3 < 0 все вычисления полностью аналогичные) может быть найдено с использованием (2.89): ~ ~ 1 e − γ + x3 w( x ) = u( y ) ∫ e − i ( x − y , λ )dλ dy . ∫ 2π Σ ⎛ ρ γ ⎞ ℜ 2 ⎜1 + − + ⎟ ⎜ ρ γ ⎟ ⎝ + − ⎠ (4.22) Рассмотрим ядро интеграла (4.22) Q(r , z ) = 1 2π ∫⎛ ℜ 2 e −γ + z e − i ( x − y , λ )dλ . ~ ~ ρ γ ⎞ ⎜1 + − + ⎟ ⎜ ρ γ ⎟ ⎝ + − ⎠ (4.23) 2 Отметим, что ядро интеграла (4.23) зависит только от λ = λ1 + λ2 , 2 поэтому можно представить интеграл Фурье (4.22) как интеграл Фурье-Бесселя: ∞ Q(r , z ) = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ 0 e −γ + z ⎛ ρ− γ + ⎞ ⎜1 + ⎜ ρ γ ⎟ ⎟ ⎝ + − ⎠ d (λ ). (4.24) Для того, чтобы воспользоваться преобразованиями, известными для интегралов такого вида, в (4.25) нам необходимо преобразовать ядро интеграла, используя промежуточные результаты при доказательстве Леммы 3.2: 1 ⎛ ρ γ ⎞ ⎜1 + − + ⎟ ⎜ ρ+ γ − ⎟ ⎝ ⎠ = γ+ ⋅ γ+ ⎛ 1 ρ γ ⎞ ⎜1 + − + ⎟ ⎜ ρ+ γ − ⎟ ⎝ ⎠ = − ρ+ γ+ ⋅ −γ+ ⎛ ρ γ ⎞ ρ + ⋅ ⎜1 + − + ⎟ ⎜ ρ+ γ − ⎟ ⎝ ⎠ =
  • 101. 101 2 2 ⎞ 1 ρ− k+ − k− 1 − ρ+ ⎛ γ+ − = ⋅⎜− ⋅ ⋅ + S ( λ )⎟ , ⎟ γ + ⎜ ρ+ + ρ− ρ + + ρ − 2(ρ + + ρ − ) γ + ⎝ ⎠ (4.25) ( ) где S (τ ) = O τ −3 ,τ → ∞ . Таким образом, интеграл (4.24) с использованием (4.25) и свойства аддитивности интеграла имеет вид: Q(r , z ) = ρ+ ρ+ + ρ− ∞ ∫ λ ⋅ j0 (r λ )⋅ e −γ + z 0 ∞ − ρ + ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ S ( λ ) ⋅ 0 e −γ + z γ+ 2 2 1 e −γ + z ρ + ρ − (k + − k − ) ∞ d (λ )+ λ ⋅ j0 (r λ )⋅ ⋅ d (λ )− 2 ∫ γ+ γ+ 2(ρ + + ρ − ) 0 2 2 ρ + ρ − (k + − k − ) d (λ ) = Q + Q − ρ Q (4.26) ρ + + ρ − 1 2(ρ + + ρ − )2 2 + 3 ρ+ def Интеграл Q1 в (4.26) вычисляется аналитически [26] и имеет вид: ∞ Q1 = ∫ λ ⋅ j0 (r λ )⋅ e −γ + z 0 ∞ d ( λ ) = ∫ λ ⋅ j0 (r λ )⋅ e 2 2 − z λ −k+ d (λ ) = 0 = eik + (r 2 r2 +z2 +z 2 ) 3 2 (1 − ik ) r2 + z2 . + Оставшиеся интегралы в (4.26) имеют вид: 2 ∞ 2 − z λ −k+ 0 ∞ 2 λ − k+ e 1 e −γ + z Q2 = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ ⋅ d ( λ ) = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ γ+ 0 ∞ γ+ Q3 = ∫ λ ⋅ j0 (r λ )⋅ S ( λ )⋅ 0 e −γ + z γ+ ∞ d ( λ ) = ∫ λ ⋅ j0 (r λ )⋅ 0 2 e −z λ ⋅ 2 2 λ −k+ 2 2 − k+ 1 2 2 λ − k+ d ( λ ), ⋅ S ( λ )⋅ d ( λ ) .
  • 102. 102 В случае модифицированной задачи (2.37)-(2.43) рассеянное поле может быть найдено через интеграл (4.12), ядро которого имеет вид: Q(r , z ) = ∫⎛ ℜ = e −γ + ⋅x3 ρ γ e dγ − + e − dγ − ⎜ 1 + − + dγ ⎜ ρ + γ − e − − e − dγ − ⎝ 2 ρ+ ρ+ + ρ− ∞ ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ e −γ + z 0 e ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( −i⋅ ~ − ~μ ,λ x x ) dλ =           2 2 ρ + ρ − (k + − k − ) ∞ 1 e −γ + z d (λ ) + λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ ⋅ d (λ ) − 2 ∫ γ+ γ+ 2(ρ + + ρ − ) 0 ∞ − ρ + ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ S ( λ ) ⋅ e −γ + z γ+ 0 ∞ d ( λ ) − ρ + ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ L( λ ) ⋅ e −γ + z 0 γ+ def d (λ ) = 2 2 ρ + ρ − (k + − k − ) = Q + Q − ρ Q − ρ Q ,  (4.27) ρ + + ρ − 1 2(ρ + + ρ − )2 2 + 3 + 4 ρ+ def ∞ где Q1 = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ e −γ + z 0 ∞ d ( λ ) = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ e Q2 = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ 0 1 e ⋅ γ+ −γ + z γ+ ∞ Q3 = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ S ( λ ) ⋅ 0 ∞ Q4 = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ L( λ ) ⋅ 0 ∞ =∫ 0 d (λ ) = 0 = ∞ 2 2 λ −k+ −z λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ ρ − ⋅ e −z e ik+ (r 2 ∞ d ( λ ) = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ +z e 0 e −γ + z γ+ e −γ + z γ+ 2 2 λ −k+ ∞ d ( λ ) = ∫ λ ⋅ j0 (r λ ) ⋅ 0 (1 − ik r2 + z2 2 −z ) 3 2 2 2 λ −k+ 2 λ − e −z 2 k+ 2 2 λ − 2 k+ ) r2 + z2 ; 1 ⋅ 2 λ − k+ 2 λ − 2 k+ d ( λ ); ⋅ S ( λ ) ⋅ d ( λ ); d (λ ) = 2 2 2 2 2 ⋅ λ − k+ ⋅ λ − k− ⋅ e ⎛ρ λ 2 − k2 + ρ ⎜ + − − ⎝ + 2d ⎛ 2 2 2 2 2 2 λ − k + ⎞⎜ ρ + λ − k − + ρ − λ − k + ⎟⎜ ⎠ ⎝ 2 2 λ − k− −1 ⎛ ⋅ ⎜1 + ⎜ 2d ⎝ e ⋅ d (λ ) 2 2 2 λ − k− ⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ − 1⎠⎠ .
  • 103. 103 4.5. Выводы по разделу 4 Впервые на основе известной схемы методов дискретных особенностей построена дискретная модель для приближенного описания рассматриваемых процессов дифракции в трехмерном пространстве на плоскопараллельных структурах. Для построенных гиперсингулярных интегральных операторов в классе кусочно-постоянных функций предложен алгоритм вычисления и осуществлен выбор методов вычислений из библиотек IMSL и «БЧА НИВЦ МГУ». Выведены формулы и освещены вопросы практического вычисления интегральных характеристик для рассматриваемых задач дифракции на плоскопараллельных структурах.
  • 104. 104 РАЗДЕЛ 5 ИНСТРУМЕНТАРИЙ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Описываются разработанные автором программные системы компьютерного моделирования рассматриваемых процессов дифракции на плоскопараллельных вычислений, структурах. практической Исследуются сходимости и вопросы правильности согласованности результатов вычислений с известными ранее результатами. Отдельное внимание уделяется вопросам качественной оценки разработанного программного обеспечения в соответствии с требованиями международных стандартов. 5.1. Программные системы компьютерного моделирования При разработке программного обеспечения мы ориентировались на возможность его выполнения на персональных компьютерах со следующими характеристиками: 1) процессор с общей частотой от 1.7ГГц и математическим сопроцессором; 2) оперативная память от 256Мб при холостой загрузке не более, чем на 50%; 3) свободное пространство на жестком диске от 200Мб; 4) операционная система Windows XP, Vista. Для реализаций на языке Ада 95 использовались компиляторы GNAT Ada 3.15p и GNAT GAP 2006, GNAT GAP 2007, лицензированные и предоставленные нам в рамках программы The GNAT Academic Program (GAP)
  • 105. 105 компании-разработчика AdaCore (Париж, Франция). Для разработки программ на языке Фортран 95 использовался распространяемый бесплатно Salford FTN95 Fortran 95 Compiler Personal Edition v. 5.21, а при использовании библиотеки IMSL – компилятор Compaq Visual Fortran Professional Edition v.6.5. Первая программная система Diffraction_On_Rectangle включает в себя две версии программы решения задачи (1.2)-(1.4), (1.6) дифракции плоской акустической волны на плоском жестком ограниченном экране в однородном пространстве. Программная система Diffraction_On_Rectangle разработана ввиду того, что задача дифракции плоской акустической волны в однородном пространстве на плоском жестком тонком ограниченном экране была рассмотрена ранее при помощи метода потенциала в работе [28] с доказательством сходимости в функциональных пространствах. С другой стороны, такая же задача рассматривалась в работе [59], где применялся используемый в диссертации метод параметрических представлений псевдодифференциальных и гиперсингулярных интегральных операторов. При разработке программной системы Diffraction_On_Rectangle (рис. 5.1) уделялось особое внимание отработке приемов и технике разработки визуального интерфейса и функциональной части. Версия Diffraction Studio реализована на языке Ада 95, и в ней создан визуальный интерфейс пользователя при помощи бесплатной кроссплатформенной графической библиотеки GTKAda. Версия Potencial_Method реализована на языке Фортран 95, и в ней особое внимание было уделено вычислительной эффективности, для чего проводился подбор стандартных функций различных библиотек численных методов. Как было показано в подразделе 3.3 на примере задачи (2.26)-(2.31), для задач дифракции на плоских экранах в однородном пространстве подходы метода потенциала и метода параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов являются по сути эквивалентными, разнясь только вычислительными алгоритмами. Поэтому программная система
  • 106. 106 Diffraction_On_Rectangle в диссертации исполняет роль тестового эталонного примера для основной задачи (2.16)-(2.21). Замечание 5.1 Слово Rectangle в названии сохранилось по исторической причине, поскольку программа изначально создавалась методом поэтапного развития из прототипа, в котором экран был прямоугольником. В существующей на данный момент версии в качестве экрана может выступать любая плоская ограниченная область (в том числе и несвязная), которую можно разместить в некотором прямоугольнике. Рис. 5.1. Пример организации структуры программной системы Diffraction_On_Rectangle Программная система Diffraction_On_Screens (Приложение Б) позволяет запустить любое из четырёх приложений из своего меню, что дает возможность в соответствии с разработанными выше методами и алгоритмами моделировать на компьютере следующие процессы: - дифракцию плоской акустической волны на плоском жестком ограниченном экране прямоугольной формы (Rect_Toeplitz) (исследование
  • 107. 107 структуры матрицы, лежащее в основе приложения, будет проведено в подразделе 5.2); - дифракцию плоской акустической волны на плоском жестком ограниченном экране, расположенном над жесткой плоскостью (Potencial_Method_Plane, Method_Plane) для (2.26)-(2.31) в соответствии с результатами подразделов 2.4 и 3.3; - дифракцию плоской акустической волны на системе из двух плоских жестких ограниченных экранов, расположенных в параллельных плоскостях (Potecial_Method_2Screens) в соответствии с подходом подраздела 3.3. Не считая пункта меню Rect_Toeplitz, предназначенного для целей контроля точности обеспечивает других программ, система Diffraction_On_Screens компьютерное моделирование дифракции на двух экранах в однородном пространстве, причем один из них может быть столь большим, что моделируется плоскостью. При этом новый, не рассматривавшийся другими исследователями случай рассеяния на плоском ограниченном экране над жесткой стенкой, представлен двумя реализациями, основанными на разных подходах (метод потенциалов и метод параметрических представлений псевдодифференциальных и гиперсингулярных интегральных операторов). Это обеспечивает возможность проверки достоверности и, отчасти, точности расчётов путём сравнения численных результатов моделирования. Результаты моделирования при помощи Diffraction_On_Screens могут использоваться сами по себе для целей исследования процессов дифракции, а также как эталон для сравнения с ними результатов других программ, которые предназначены для моделирования более сложных процессов. При построении этой системы были учтены недостатки метода использования ресурсов памяти Diffraction_On_Rectangle. Были приняты меры к сокращению времени вычислений (при тех же параметрах дискретизации) путем добавления в программные реализации новых модификаций алгоритмов и настройки стандартных процедур с учетом особенностей задачи. В частности,
  • 108. 108 использована информация о блочной-теплицевости матрицы СЛАУ для случая одного экрана прямоугольной формы (исследование будет проведено в подразделе 5.2), что позволило не только сократить затраты на хранение и формирования матрицы, но и осуществить вычисления для существенно более густых разбиений экрана. Программная система Diffraction_On_Flatness дает возможность запускать одно из двух приложений, позволяя моделировать на компьютере следующие процессы: - дифракцию плоской акустической волны на плоском жестком ограниченном экране, расположенном в плоскости раздела сред (Flatness_SLScreen) в соответствии с (2.16)-(2.21) и алгоритмами, описанными с подразделах 4.2,4.3,4.4; - дифракцию плоской акустической волны на плоском жестком ограниченном экране, расположенном на слое над жесткой плоскостью (Flatness_SLHScreen) в соответствии с (2.37)-(2.43) и алгоритмами, описанными с подразделах 4.2,4.3,4.4. Новизна постановки задачи математического моделирования, которое поддерживает на компьютере система Diffraction_On_Flatness, потребовала модифицировать, по сравнению с предыдущими системами, файлы входных данных, (оставив совместимость – файл входных данных следующей системы может использоваться в предыдущей), реализовать новые алгоритмы вычислений коэффициентов матрицы СЛАУ (4.3) и подобрать новые процедуры вычисления интегралов. При использовании разработанного компьютерного инструментария в исследованиях важную роль играет качество интерфейса пользователя. Удобный графический интерфейс пользователя разработан в диссертационной работе на примере программы Diffraction Studio (рис. 5.2). Он может служить образцом для построения интерфейсов других компьютерных систем математического моделирования дифракции акустических волн на плоскопараллельных структурах. Перенос разработанного для Diffraction Studio интерфейса в другие
  • 109. 109 приложения возможен (с очевидной конверсией), если их разработка осуществояется на языке Ада (или на другом языке, для которого существует версия кросс-платформенной библиотеки GTK 2.2, то есть, С++, C#, Java, Perl, PHP и др.). a) б) Рис. 5.2. Примеры этапов решения задачи в окне программы Diffraction Studio: а) – ввод данных о характере падающего поля; б) – построение графика диаграммы направленности.
  • 110. 110 Были приняты следующие решения по содержанию ввода-вывода, который должен обеспечиваться компьютерным инструментарием моделирования: - обеспечить расчет и визуализацию диаграмм направленности, их сохранение и экспорт; - обеспечить ввод данных, обеспечивающих варьирование всех параметров падающей волны; - обеспечить ввод данных, определяющих произвольную (в рамках определения 2.1) форму плоского экрана (не обязательно односвязного и, вообще, связного); - обеспечить соответствие файлов входных данных всех разрабатываемых программ по принципу: если постановка задачи моделирования одной из них обобщает другую, то наименования файлов входных данных сохраняются, а сам такой файл более сложной программы получается из файла более простой добавлением необходимых параметров; - обеспечить возможность сохранения вычисляемых матриц СЛАУ дискретных моделей для повторного использования и последующего исследования; - обеспечить возможность прерывания вычисления по алгоритму и сохранения данных его последнего завершенного этапа для восстановления в следующем сеансе работы; - обеспечить сохранение численного решения рассматриваемой задачи в форме, позволяющей дальнейшее использование в сторонних пакетах и системах (например, Waterloo Maple); - обеспечить интегральных графическое характеристик отображение найденного одной или нескольких рассеянного поля (диаграммы направленности, сечения рассеяния и т.п.). Этих требования, в частности, были основными при принятии решений по форматам файлов входных, выходных и промежуточных данных.
  • 111. 111 Были разработаны автоматизацию управляющие управления вычислительного этапа на памятью, программы, которые обеспечили передачи данных с другой, выдачу понятных одного информационных сообщений о ходе вычислительного процесса, как в прогнозируемых ситуациях успешного его окончания, так и в нештатных ситуациях. В связи со сказанным подчеркнем, что сохранение всех параметров счета и предоставление результатов вычисления, причём в известной и удобной для их анализа форме, является важным требованием к программному обеспечению исследовательского назначения в области моделирования акустических явлений. Это связано с тем, что достоверность моделирования картины распределения давлений в трёхмерной среде сложно оценить эмпирически, ограничившись просмотром иллюстративных примеров, которые характерны для журнальных статей. Для осуществления контроля разработанного компьютерного инструментария в диссертации используется система оценок (как принято говорить, модель) качества программного обеспечения, основанная на требованиях международных стандартов качества ISO/IEC 9126:2001 [75] и IEEE 928-1988[79], а также стандарта ДСТУ 2850-94 [83] (см. подраздел 1.3). Конкретная модель качества, применимая к компьютерным системам, разработанным в диссертации, описана в [81]. Её часть, определяющая внутреннее качество это список метрических (то есть, числовых) оценок, которые разработчик должен выполнить по отношению к исходным текстам своих программ и сопровождающей их документации. Далее эти оценки метрик последовательно усредняются по группам (подхарактристикам), а затем – по характеристикам, перечисленным в подразделе 1.3. В процессе разработки приложения Potencial_Method и систем Diffraction_On_Screens и Diffraction_On_Flatness дважды производилось комплексное оценивание их внутреннего качества с тем, чтобы сравнивать результаты с теми, которые имели место для Diffraction_On_Rectangle, служившей ориентиром «достаточного уровня» (рис. 5.3). После выяснения
  • 112. 112 причин обнаруженного отставания показателей и его устранения, соответствующие показатели приняли значения, не ниже «достаточного уровня». В связи с тем, что функциональность программы – образца «достаточного качества» находилась «всего лишь» на уровне 0.7 (рис. 5.3), поясним главную причину. Она типична и состоит в том, что некоторые функции, требуемые от систем данного класса по решениям 2007 г., не были предусмотрены проектом Diffraction_On_Rectangle в 2003-2005 гг. Рис. 5.3. Радиально-метрическая диаграмма комплексной оценки внутреннего качества для программы Diffraction_On_Rectangle (2004 г.) согласно [7] На самом деле, поскольку не для всех наших систем предполагалось реализовывать графический интерфейс пользователя и полиплатформенность, указанный контроль внутреннего качества имело смысл проводить только на основе следующих практичность и подхарактеристик [7], характеристик: эффективность. мы, не теряя функциональность, Больше в того, надёжность, учитывая достоверности, как веса правило, ограничивались рассмотрением следующих подхарактеристик: пригодность, точность, завершенность, восстанавливаемость, временные характеристики, использование ресурсов, анализируемость, устойчивость. Для этих
  • 113. 113 подхарактеристик делались оценки в соответствии с методами, которые принято называть «метриками». Для оценивания внутреннего качества программ компьютерного моделирования дифракции можно выделить следующие важные метрики. I. Пригодность (Suitability). Метрики: функциональная адекватность (functional adequacy); завершенность функциональной реализации (functional implementation completeness); функциональное покрытие (functional implementation coverage). II. Точность (Accuracy). Метрики: вычислительная точность (computational accuracy). III. Восстанавливаемость (Recoverability). Метрики: восстанавливаемость данных в худшем случае (Worst data restoration). IV. Временные характеристики (Time Behavior). Метрики: асимптотическая степень для времени обработки (asymptotic power for turnaround time). V. Использование ресурсов (Resource Utilization). Метрики: асимптотическая степень для использованной памяти (asymptotic power for utilized memory). VI. Анализируемость (Analyzability). Метрики: готовность функций диагностики (readiness of diagnostic function); запись активности программы (activity recording). VII. Устойчивость (Stability). Метрики: изменение влияния локализации (modification impact localization). Для пояснения смысла метрических оценок внутреннего качества приведём примеры оценивания метрик характеристики «Функциональность».
  • 114. 114 1) Метрики пригодности а) Функциональная адекватность Метрика вычисляется по формуле (см. [74,75]) X =1− A , B где A - количество функций, в которых найдены проблемы, B - число проверенных функций. Поскольку для некоторых подпрограмм и выражений на момент оценивания не была проведена исчерпывающая верификации, то для Diffraction_On_Rectanlge данной метрики получилась оценка 0.857. б) Завершенность функциональной реализации Метрика вычисляется по формуле (см. [74,75]) X =1− A , B где A - количество отсутствующих функций B - число проверенных функций из числа необходимых для реализаций данного типа. Для данного типа – систем реализации математического моделирования на основе методов дискретных особенностей – список необходимых функций был разработан в [7]. В частности, поэтому некоторые из них в проекте Diffraction_On_Rectanlge (2003-2005 гг.) не предусматривались. Оценка метрики составила 0.66. в) Функциональное покрытие Метрика вычисляется по формуле X =1− A , B
  • 115. 115 где A - количество некорректно реализованных или отсутствующих функций, B - число проверенных функций из числа необходимых для реализаций данного типа. Некорректно реализованных функций в чисто вычислительной части программы Diffraction_On_Rectanlge не обнаружено, отсутствующие функции (см. выше). Вцелом зато есть значение данной метрики 0.76. 2) Метрики точности а) Вычислительная точность Метрика вычисляется по формуле X= A , B где A - количество функций, в которых реализованы необходимые требования по точности (подтвержденные при проверке), B - количество функций, в которых необходимо реализовать необходимые требования по точности (исходя из спецификации программы или других соображений). В программе Diffraction_On_Rectanlge предпочтение отдано экономии по памяти и времени вычислений перед резервированием, повышеннием точности представления данных вместе с повышением размерности дискретной модели. Поэтому оценка метрики всего 0.6. 3) Метрики совместимости а) Возможность обмена данными Метрика вычисляется по формуле
  • 116. 116 X= A , B где A - количество форматов данных для обмена, которые корректно реализованы, B - количество форматов данных для обмена, которые необходимо реализовать (исходя из спецификации программы или других соображений). Для Diffraction_On_Rectanlge оценка метрики составила 1.0. 4) Метрики функционального соответствия а) Функциональное соответствие Метрика вычисляется по формуле X= A , B где A - количество корректно реализованных элементов, связанных с функциональным соответствием, B - количество элементов соответствия. Низкое абсолютное значение оценки для Diffraction_On_Rectanlge 0.46 объясняется тем, что при разработке этой программы требование функционального соответствия не рассматривалось (см. выше). Внешнее качество [75] может оцениваться, только начиная с того момента, когда программная система разработана настолько полно, что может быть запущена на выполнение (на реальных либо тестовых данных). На практике эта оценка, ввиду её трудоёмкости, если проводится для небольших систем, то как часть процесса их подготовки к передаче для использования потребителями.
  • 117. 117 Важность этой оценки состоит в том, что она объективно характеризует программную продукцию по её свойствам. Замечание 5.2. Если внутреннее качество является средством авторского контроля программ, то внешнее непременно проводится без активного участия разработчика. Более того, согласно [75], для оценки внешнего качества рекомендуется независимая оценка минимум 8 экспертов. Но этому не противоречит практика, при которой независимая экспертиза часто основывается на тестах и других необходимых материалах, предоставляемых разработчиком (в противном случае разработчик бывает заранее ознакомлен с методикой и примерами тестов внешней экспертизы). В связи с тем, что пока не нашлось достаточного числа экспертов специалистов, готовых провести независимую оценку разработанных в диссертации программных систем, в направлении внешнего тестирования, в настоящей работе проведена подготовка к оценке внешнего качества. Для этого созданы необходимые тесты, подобраны необходимые метрики и оценена возможная трудоёмкость такой работы [7]. В число подготовленных для внешнего оценивания входят следующие тесты: 1) Тесты функциональности. Содержание теста: Исследование реализованных в программе функций путем изменения входных данных. Количество: по 2 теста на каждую тестируемую функцию. 2) Тесты точности. Содержание теста: Исследование погрешности решения при сближении параметров моделирования, вытягивания формы экрана. Количество: по 5 тестов на каждую модификацию параметров. 3) Тесты ввода-вывода. Содержание теста: Изменение формы экрана, направления падения волны, параметров моделирования должны оказывать влияние на результаты вычислений.
  • 118. 118 Количество: по 3 теста на каждый исследуемый входной параметр. 4) Тест надежности. Содержание теста: При остановке работы программы проверяется возможность сохранения результатов расчетов и восстановление вычислений. Количество: 10 тестов, включающих срыв работы программы с шагом 10% от времени начала вычислений. В процессе подготовки к оцениванию созданных в диссертационной работе программ, была полностью конкретизирована [7] система оценки внешнего качества программных систем данного класса, основанная на [75]. В частности, были доработаны алгоритмы вычисления некоторых метрик. Предложена новая метрика внешнего качества – «Худший показатель времени» (Worst case of time power ration). Смысл этой метрики заключается в сравнении теоретической (асимптотической) и наблюдаемой оценок роста времени вычислений в зависимости от параметра дискретизации. Полагая, что зависимость времени T от параметра дискретизации N задается законом T ≈ cN b , экспериментально (на тестах) оценивается параметр b . Тогда числовое значение метрики X ∈ (0,1) определяется формулой X = max i где min (a, b ) , max (a, b ) i - номер эксперта, проводящего оценку (обычно не менее 8 экспертов); a - теоретическая оценка показателя при оценке времени выполнения указанной группы задач по закону T ≈ qN a . Принципиальная возможность использования данной системы оценивания и примерная трудоёмкость такого процесса были оценены путём проведенного в диссертационной работе эксперимента по применению к демо-версии программы ЭДЭМ 3D [64]. Была подтверждена практическая вычислимость выбранных метрик и соответствующие ориентировочные величины
  • 119. 119 продолжительности во времени. Итоговая оценка составила от 31 до 63 человеко-часов на весь цикл непрерывного оценивания внешнего качества согласно разработанной модели [7]. Таким образом, рассчитывать на проведение полноценной экспертизы внешнего качества разработанных программ можно, если, наряду с исследовательскими применениями, эти программы будут интересны и с коммерческой точки зрения. В дальнейшем в подобных ситуациях возможно будет заменять внешнюю экспертизу прогнозом на основе соответствующей математической модели и оценённого внутреннего качества [75]. Процесс создания такой модели начат, но еще не завершен [8]. Учитывая эти обстоятельства, мы обратились к другому пути исследования надёжности разработанных систем - на основе нормативного документа IEEE 982.2 [79]. В нём рекомендовано совмещение метрических оценок качества программной продукции с оцениванием процесса её разработки. Среди рекомендованных для этого средств выделяются научные метрики Холстеда. Этой группой мер, относящихся и к продукции, и к процессу разработки, охватывается несколько различных аспектов качества (см. подраздел 1.3). Используя обобщения научных метрик – энергетические метрики [76] (см. также подраздел 1.3), нами на каждом этапе разработки программных систем, который завершался очередной версией, вычислялись: A - работа программирования ([76], С. 51), E - спецификационная энергия ([76], С. 45), Q = E − A - информационное тепло, переданное программе. Интерпретация метрики «Энергетическая согласованность» [7] основана на том наблюдении [81], что цели, которые ставятся при разработке очередной версии, как бы чередуются: вначале создаётся версия для апробации костяка будущей программы, затем наращивается её функциональность, потом требуется улучшение структуры при сохранении функциональности и т.д. Это
  • 120. 120 должно приводить к значительным колебаниям величины информационного тепла, причём, если принять одну гипотезу Холстеда [82], колебания должны происходить вокруг нуля, то есть, со сменой знака величины Q . Рис. 5.4. Характерный пример изменения величины информационного тепла Q в зависимости от версии программного обеспечения, на чём основана интерпретация метрики «Энергетическая согласованность» Впервые такая закономерность была проверена в процессе разработки программной системы на примере Diffraction_On_Rectanlge. Это послужило основанием к построению алгоритма вычисления метрики «Энергетическая согласованность». Вариант 1. М++ (= 1.0) – все описания версий согласуются со знаком и величиной тепла Q , отвечающего подобным версиям. Вариант 2. М+- (= 0.6) – согласованность незаконченная, но это имеет простое объяснение. Вариант 3. М-+ (= 0.3) – согласованность не полная и нет этому простого объяснения. Вариант 4. М—(= 0.0) – согласованность отсутствует.
  • 121. 121 Учитывая информацию об этапах разработки Diffraction_On_Rectanlge (рис. 5.4), немедленно получаем максимальную оценку метрики как М++. Эта оценка проведена постфактум. Но уже при создании систем Diffraction_On_Screens, Diffraction_On_Flatness метрика «Энергетическая согласованность» использовалась в качестве средства самоконтроля при разработке. В этих разработках значение данной метрики также оказалось в среднем близкой к 1.0 (обычно получалось М++, иногда М+-). Но смысл применения данной метрики не в её численном значении. Для того, чтобы получать такие значения этой меры процесса разработки, пришлось явно и довольно тщательно планировать каждый очередной этап улучшения существующей версии, задумываясь над стратегическими целями очередной доработки (переработки) программы. Это полностью соответствует идее [79] по применению оценки качества разработчиком, не столько ради числового результата оценивания, сколько для гарантии того, что программная продукция получится действительно качественной. 5.2. Форсирование используемых вычислительных алгоритмов Специфика вычислительных экспериментов по трехмерному моделированию состоит в том, что, несмотря на значительно возросшие вычислительные мощности современных компьютеров, приходится констатировать недостаток ресурсов при их проведении [71]. Даже если имеющаяся в наличии вычислительная техника позволяет провести единичный счет, то этого недостаточно для проведения содержательных вычислительных экспериментов или их серий. В связи с этим, в задаче планирования вычислительных экспериментов возникают трудности, связанные с ограниченностью ресурсов.
  • 122. 122 Основным узким местом обобщенного метода дискретных замкнутых вихревых рамок является выбор достаточной степени дискретизации, необходимой для достижения точности получаемого численного решения. Конечно, для единичного счета можно увеличивать степень дискретизации, работая на пределе возможностей техники, однако в условиях необходимости многократного повторения счета за конечное время такой подход не применим. В работах исследователей [98,99,84] адекватность и близость численного решения проверялась путем наблюдения стабилизации счета при изменении густоты сетки (увеличения степени дискретизации). Однако ввиду ограниченности ресурсов приходится работать на небольших изменениях, что может приводить к некорректным выводам. В связи с этим в настоящей работе была изучена возможность, разработаны и применены алгоритмы по форсированному увеличению густоты сетки. К сожалению, такого рода форсирование невозможно на произвольной структуре, поэтому для отработки методик исследования адекватности и близости численного решения рассматриваемых задач дифракции проводились на прямоугольных структурах без отверстий. При большом параметре дискретизации N основным этапом, занимающим вычислительные ресурсы в рассматриваемых в работе задачах, является этап вычисления матричных элементов (более подробно это будет исследовано в подразделе 6.4). Как видно из выражения (4.3), коэффициенты представляют собой функции, зависящие от расстояния. Поэтому, при соответствующе выбранной нумерации [100], матрица СЛАУ должна иметь блочно-теплицеву структуру. Выбранная нами при вычислениях естественная нумерация ячеек Σ μ , μ ∈ Μ , которую можно считать общепринятой [43,38,45], заключается в последовательной нумерации, начиная с левого нижнего угла области Σ′ . При такой нумерации для прямоугольного экрана (без отверстий) Σ структура матрицы СЛАУ имеет блочно-теплицеву структуру. Для тех же прямоугольных экранов и той же нумерации ячеек дискретизации матрица
  • 123. 123 СЛАУ имеет блочно-диагональное преобладание, что в рассмотренных нами случаях устанавливалось экспериментально. Похожие исследования проводилось в [99]. Такой вид представления матрицы значительно сокращает необходимые ресурсы памяти для хранения (известны [101] компактные схемы хранения теплицевых матриц), а также сокращает затраты времени и счета [101], благодаря существующим алгоритмам решения систем с теплицевыми матрицами (например, в стандартной библиотеке «БЧА НИВЦ МГУ» [95] подпрограмма UASKBC). К сожалению, в случае произвольного допустимого экрана матрица имеет общую структуру. коэффициенты Однако СЛАУ, в матрица силу свойств содержит интегралов, большое входящих количество в групп повторяющихся элементов. а) б) Рис. 5.5. Идея (а) и реализация (б) схемы «фильтрации» элементов матрицы Для целей оптимизации счета по критерию времени и вычислительных ресурсов разработан и применен алгоритм «фильтрации» (рис. 5.5), который заключается в сохранении вычисляемых элементов СЛАУ, фильтровании и недопущении повторного счета ранее вычисленных элементов. Похожее исследование проводилось в [102]. Применение схемы фильтрации позволило ускорить вычисления (табл. 5.1) и стало возможным благодаря свойству вычисляемых интегралов,
  • 124. 124 зависящих от расстояния, что позволяет естественным образом ввести их параметризацию и организовать хранение вычисленных значений. Таблица 5.1. Характеристики затрат вычислений элементов матрицы СЛАУ в тестовых задачах. Сплошной прямоугольный экран БлочноМатрица общего теплицевая вида матрица Произвольный экран Вид матрицы Размерность матрицы Количество разных гиперсингуля рных интегралов Количество разных регулярных интегралов для вычислений Чем достигнута экономия Заполнение СЛАУ N = N1 N 2 × N1 N 2 N = N1 N 2 × N1 N 2 N1 ⋅ N 2 1 N1 N 2 ⋅ ( N1 N 2 − 1) ≥ ( N1 N 2 ) ⋅ nintegral 2 N1 ⋅ N 2 − 1 Использованием структуры матрицы и способом нумерации ячеек ≥ ( N1 N 2 ) ⋅ nintegral Прямоугольный экран с отверстием Матрица общего вида, много повторяющихся элементов ′ ′ N = ( N1 − M 1 )( N 2 − M 2 ) × ′ ′ × ( N1 − M 1 )( N 2 − M 2 ) 1 ′ ′ порядка N1 ⋅ N 2 , зависит от конкретного вида экрана Применением «фильтрации» при вычислении элементов матрицы ≥ ( N1 N 2 )2 ⋅ nintegral 3 В таблице 5.1 прямоугольный экран Σ покрывается N1 × N 2 ячейками Σ μ и может содержать отверстие, которое можно покрыть M 1 × M 2 ячейками той же сетки. Использование информации о блочно-теплицевой структуре матрицы реализовано в программе Rect_Toeplitz, а схема фильтрации – во всех остальных
  • 125. 125 программных реализациях программных систем Diffraction_On_Screens и Diffraction_On_Flatness. 5.3. Исследование практической сходимости и правильности вычислений Проверка численной сходимости часто трактуется в смысле обнаружения признаков внутренней сходимости (в смысле Коши) [45], однако установление такого факта еще не гарантируют того, что предельные значения составляют истинное решение задачи. Более естественным является проверка численного сближения приближений исследуемого метода с приближениями другого метода. Исследования предыдущего раздела позволило нам существенно форсировать вычисления для прямоугольных экранов, получив тем самым решение при существенно больших параметрах дискретизации. Рис. 5.6. Пример исследования численной сходимости сеточной m × m функции g m к hn для k = 8π (верхняя кривая) и для k = 4π (нижняя кривая)
  • 126. 126 При проверке практической сходимости в качестве известного «точного» решения использовалось решение, полученное программой Rect_Toeplitz при разбиении N = 99 для квадратного экрана. На рис.5.6 приведен график нормы разности дискретных приближений Π nm = hn − g m , где m = 3,9,15,21,27,33,60 ; n = 99 , g m - решение, полученное программой Diffraction Studio; hn - решение, полученное программой Rect_Toeplitz; gm = 1 ∑ u (i, j ) , Q i, j i, j - индекс произвольного узла дискретизации, попадающего во внутренний прямоугольник [ ][ ] Ω 1 = − 1 , 1 × − 1 , 1 , Q - число всех таких узлов. 3 3 3 3 3 Для проверки практической сходимости контролировалась сходимость полученных значений максимумов диаграмм направленности при различных порядках дискретизации. Так, например, для экрана в форме ковра Серпинского первого рода (квадратный экран с отверстием) пример такого исследования представлен на рис. 5.7. Рис. 5.7. Пример исследования численной сходимости максимума модуля диаграммы направленности для экрана в форме ковра Серпинского 1 порядка Осуществленное практической исследование сходимости численных позволяет решений говорить о рассматриваемых наличии задач,
  • 127. 127 полученных с использованием разработанного нами компьютерного инструментария. 5.4. Согласованность новых численных результатов с эталонными задачами Для проверки согласованности новых численных результатов и построения системы тестирования мы параметризовали (табл. 5.2, рис. 5.8) интересующие нас плоскопараллельные структуры при помощи следующего набора параметров: (l1 , l2 , d , k + , k − ) , где l1 - характерный размер основного (верхнего) рассеивающего экрана, l2 - характерный размер дополнительного рассеивающего экрана (при l 2 = 0 такой экран отсутствует, при l 2 = ∞ - экран представляет собой плоскость), d - расстояние по оси Ox3 между основным и дополнительным экраном (в случае отсутствия второго экрана считается d = 0 ), k + , k − - волновые числа над и под плоскостью основного экрана (случай однородного пространства соответствует k + = k − = k ). 
  • 128. 128 Таблица 5.2. Параметризация рассмотренных нами задач Набор Задача параметров Задача рассеяния на плоском жестком ограниченном (l1 ,0,0, k + , k + ) экране в однородном пространстве Задача рассеяния на системе из двух плоских жестких (l1 , l2 , d , k + , k + ) экранов в однородном пространстве Задача рассеяния на плоском жестком ограниченном (l1 , ∞, d , k + , k + ) экране в однородном пространстве над жесткой стенкой Задача рассеяния на плоском жестком ограниченном (l1 ,0,0, k + , k − ) экране, лежащем в плоскости раздела двух сред с разными характеристиками Задача рассеяния на плоском жестком ограниченном (l1 , ∞, d , k + , k + ) экране, лежащем в плоскости раздела двух сред с разными характеристиками над жесткой стенкой (l1 ,0,0, k + , k + ) ⇐ ⇓ ⇓ ⇒ ⇓ (l1 , l2 , d , k + , k + ) ⇓ ⇒ ⇓ (l1 , l2 , ∞, k + , k + ) ⇒ (l1 ,0,0, k + , k − ) ⇓ ⇓ ⇓ (l1 , l2 , ∞, k + , k − ) Рис. 5.8. Пример связи между задачами Для проверки реализации случая (l1 ,0,0, k + , k + ) нами было проведено сравнение (табл. 5.3) полученного коэффициента рассеяния с имеющимися данными численного счета по точным формулам [103] задачи дифракции плоской акустической волны единичной амплитуды для кругового диска.
  • 129. 129 В работе [103] были получены и приведены значения для поперечника рассеяния (4.20) в зависимости от величины волнового вектора k . Для целей сравнения (рис. 5.9) были проведены вычисления при тех же параметрах с использованием программы Rect_Toeplitz. Стоит заметить, что при сравнении результатов к погрешности вычислений добавляется погрешность приближения исходного кругового экрана Σ ступенчатой областью Σ′ . Таблица 5.3. Сравнение полученных значений σ (k ) . Данные k работы [103] σ0 Счет при 40х40 Счет при 60х60 σ 40 σ 60 Погрешность Δ 60 = σ 60 − σ 0 σ0 1 0.0821 0.0775128048 0.0759643447 0,0747 2 1.843 1.5831274578 1.6144863425 0,124 3 2.284 2.1585311194 2.1883975531 0,0419 4 1.787 1.7504799148 1.7553899192 0,0177 5 1.915 1.7367017118 1.7627354893 0,0795 6 2.129 1.9192124576 1.9775846608 0,0711 В рамках тестирования подхода на основе метода параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов было проведено сравнение результатов вычислений при различных параметрах k = π ...4π для задачи дифракции акустической волны на плоском экране в однородном пространстве с результатами вычислений по методу потенциала. При сравнении использовались две разработанные реализации - Potecial_Method, Rect_Toeplitz. нами программные
  • 130. 130 Рис. 5.9. График результатов вычисления σ (k ) (случай нормального падения) результаты Ю.В. Ганделя [103] вычисления при 60х60 вычисления при 40х40 Для тестирования программных реализаций новых задач применялась схема тестирования согласно рис. 5.8, по которой сравнивались результаты вычислений для «предельных» случаев новых задач для неоднородного пространства с соответствующими результатами в однородном пространстве. Еще одним методом подтверждающим правильность решений эталонных задач, является сравнение с двумерным случаем близкой задачи, для которого известны результаты других авторов. При сравнении трехмерной задачи дифракции плоской волны на вытянутом прямоугольном экране с двумерной задачей для полосы, из физических соображений следует ожидать совпадения амплитуды поля в центральном сечении. Перед построением теста следует заметить, что при такой замене концы прямоугольного экрана неминуемо будут оказывать влияние, что позволит получить лишь качественно верную картину с некоторой количественной
  • 131. 131 погрешностью. В связи с этим, необходимо как можно сильнее вытянуть экран и исследовать сечение функции амплитуды поля в его центре (равноудалено от концов). Увеличение длины экрана требует существенного увеличения количества точек дискретизации, однако, используя информацию о теплицевости матрицы СЛАУ в случае прямоугольного экрана, мы смогли рассмотреть экран [− 1,1] × [−35,35] . При сравнении использовались данные, приведенные в [104] для случая бесконечной ленты ширины L = 2 и волнового числа k = 5 (рис. 5.10). Рис. 5.10. Пример сравнения модуля амплитуды поля для задачи в пространстве с двумерной задачей для полосы (данные работы [104] отмечены пунктиром) Как видно, полученные при помощи программной реализацией Rect_Toeplitz, численные значения близки к результатам приближенного решения двумерной задачи. Наблюдается незначительное колебание данных в пределах 5%, что объясняется как влиянием концов конечного экрана, так и погрешностью вычислений.
  • 132. 132 5.5. Выводы по разделу 5 Для численного решения рассматриваемых задач дифракции на плоскопараллельных структурах разработан набор программ с использованием языков программирования Ада 95 и Фортран 95, исходные коды которых доступны через сеть Интернет. Проведена проверка правильности вычислений и согласованности с ранее известными результатами по разработанной каскадной схеме тестирования. Усовершенствован метод компьютерной проверки практической сходимости решений дискретной модели путем добавления критериев, имеющих физический смысл. Проведен контроль процесса разработки программного обеспечения, согласованный с требованиями стандарта IEEE 982, и внутреннего (т.е. авторского) контроля этих программ, согласно требованиям стандарта ISO/IEC TR 9126-3:2003. Отработан также (согласно требованиям стандарта ISO/IEC TR 9126-2:2003) метод оценки качества по результатам внешней экспертизы подобных систем.
  • 133. 133 РАЗДЕЛ 6 АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Принимая во внимание качество построенного компьютерного инструментария, в разделе рассмотрены вопросы устойчивости вычислений, исследовано соответствие результатов компьютерных экспериментов физическому смыслу явления дифракции, разработан метод понижения размерности СЛАУ дискретной модели. Для прямоугольных экранов устанавливается блочно-теплицевая структура и численно подтверждается блочно-диагональное преобладание матриц полученных системы линейных алгебраических уравнений. Исследуется поведение решения вблизи края экрана и другие признаки правильности вычислений с использованием известных физических представлений о процессе дифракции. Путем численного анализа факторизуемости плотности граничного гиперсингулярного уравнения рассматривается вопрос понижения размерности дискретной модели. 6.1. Вычислительная устойчивость дискретной модели Как известно [45], в системах линейных алгебраических уравнений, получаемых методами дискретных особенностей в двумерных областях, матрицы должны иметь диагональное преобладание, благодаря наличию сингулярных или гиперсингулярных интегралов. Известны примеры, когда это доказано [45,105]. Для трёхмерных постановок задач дифракции на экранах следует ожидать, что матрица дискретной модели гиперсингулярного уравнения имеет блочно-диагональное преобладание.
  • 134. 134 Рассмотрим матрицу СЛАУ (4.3). Она имеет вид ⎛ a11 a12 ⎜ a22 ⎜a A = ⎜ 12 M ⎜ ⎜a ⎝ n1 an 2 K a1n ⎞ ⎟ K a2 n ⎟ ⎟, O ⎟ K ann ⎟ ⎠ (6.1) где aij - элемент, получающийся вычислением интеграла (4.3) по квадрату Σ j при расположении точки коллокации в центре Σ i . Под строгим диагональным преобладанием в матрице (6.1) мы понимаем выполнение неравенства aii > ∑ aij , i, j = 1, n . (6.2) i≠ j Как было отмечено, в отличие от двумерного случая, в рассматриваемых нами пространственных задачах дифракции в общем случае следует ожидать блочное диагональное преобладание: Aii > ∑ Aij i, j = 1, k , (6.3) i≠ j где Aij - блок матрицы A , стоящий на пересечении i -го и j -го блочных столбцов. В алгоритмы, реализуемые разработанными нами программами (см. подраздел 5.1), заложена численная проверка условия (6.2) для матриц дискретных моделей решаемых задач (рис. 6.1).
  • 135. 135 а) б) Рис. 6.1. Пример матриц модулей элементов в случае квадратного экрана для дискретизации 3х3 для задачи в однородном пространстве (а) и задачи на разделе сред (б) Наличие строго диагонального преобладания в матрицах СЛАУ позволяет, вследствие теоремы Леви-Деспланка [83], говорить о невырожденности матрицы системы (4.3). Вместе с этим, строгое диагональное преобладание позволяет при выборе диагонального элемента в качестве главного по строке (столбцу) в методе Гаусса избежать накопления ошибок округления результатов арифметических операций [107]. Данный факт позволяет говорить об устойчивости вычислений. В случае непрямоугольной области строгое диагональное преобладание, вообще говоря, не гарантировано, однако, рассматривая области односвязные выпуклые - типа рамки, несвязные - состоящие из 4-5 полос и т.п., мы не наблюдали развития численной неустойчивости вплоть до n = 121 , где n – среднее геометрическое числа узлов вдоль каждой их двух декартовых осей в плоскости экрана.
  • 136. 136 6.2. Поведение приближенного решения вблизи края экрана В математической постановке рассматриваемых задач дифракции (2.16)(2.21), (2.26)-(2.31) и (2.37)-(2.43) присутствует условие на ребре в форме Мейкснера (условия (2.21), (2.31) и (2.43), соответственно) заключающееся в том, чтобы плотность энергии была интегрируема в окрестности ребра экрана (конечная энергия в конечной области). Как показано в [23], такое условие можно записать в различных эквивалентных постановках, например, задав вид особенности компонент поля на ребре. Как известно из теоретических соображений [23,26], особенность на ребре имеет вид r α , где α = 1 , r 2 расстояние до края экрана. В используемом в настоящей работе методе такое поведение поля не закладывается в вид решения. Однако решение дискретной модели, как предполагается по аналогии с задачами, где это строго доказано [26], при достаточно большом значении параметра дискретизации N должно приближенно иметь указанное поведение вблизи края. Для проверки выполнения условия Мейкснера мы дополнительно исследовали полученные численные решения. Пусть приближенное численное решение граничного гиперсингулярного уравнения одной из задач при m > m0 становится близким (в некотором практическом смысле) к точному решению в равномерной метрике. Однако, отступая на фиксированное расстояние от края экрана, нельзя ожидать признаков обнуления решения, если судить только по ближайшим к краю узлам дискретизации, до тех пор, пока m не станет намного большим m0 . Поэтому при проверке целесообразно рассмотреть прямоугольный экран, т.к. для него можно рассмотреть большие значения за счет использования структуры матрицы СЛАУ (4.3). Для численной проверки (рис. 6.2) условия Мейкснера был разработан метод в предположении, что поведение численного решения в окрестности
  • 137. 137 ребра экрана задается законом C ⋅ r α , где C ,α - константы, которые необходимо определить. α N Рис. 6.2. Пример оценки степени α убывания решений в окрестности края экрана (пунктиром отмечен случай k = 8π , а штрихпунктирном – случай k = 4π ) Описанные выше эксперименты проводились при фиксированных значениях m и диапазонов k = π ..16π , а также для фиксированных длин волн и диапазонов значений m = 5k 25k .. . π π Проверка того, что экстраполированное в окрестность края экрана решение дискретной задачи ведёт себя (в смысле оценки наименьших квадратов) по закону C ⋅ r α при α приближенно равном 0.5, проводилась и для экранов различных форм. Например, для экрана «рамка», усреднение по экспериментам для фиксированной длины волны и дальнейшее усреднение по различным длинам волн показало (рис. 6.3), что показатель α в среднем составил 0.42 со среднеквадратичным отклонением 0.018.
  • 138. 138 Рис. 6.3. Пример поведения решения в окрестности края экрана «рамка» Таким образом, удается экспериментально подтвердить близость получаемого нами численного решения к точному и предложить критерий проверки такой близости для приближенных решений задач в близких постановках: α − 0.5 < ε , где ε > 0 малое положительное число. 6.3. Исследование поля в дальней зоне В следующем примере использовались данные реальных сред – воды и стекла: ρ + = 999.03 кг a− = 2350 м с м3 (стекло). , a+ = 1460 м с (пресная вода) и k + = 12.56637, k − = 7.807192 . При ρ − = 2500 кг этом м3 , экраны выбирались трех видов (рис. 6.4): «рамка» (вариант (а)), «решетка» (вариант (б)) и «уголок» (вариант (в)).
  • 139. 139 Нами проведено исследование зависимости диаграммы направленности от угла падения для различных типов рассеивающих структур. (в) (a) (б) «рамка» (двусвязная область) «решетка» (несвязная область) пластина «уголок» (односвязная область) Рис. 6.4. Набор модельных рассеивающих экранов На рис. 6.5. представлены результаты моделирования при наклонном падении под углом 450 к плоскости экрана.   Рис. 6.5. График модуля диаграммы направленности для экранов «рамка» (а), «решетка» (б) и «уголок» (в) при падении волны под углом θ = π 4 Анализ полученных в ходе вычислительных экспериментов данных показывает зависимость модуля диаграммы направленности (следовательно и всей диаграммы направленности) от азимутального угла ϕ и практически не чувствительность к изменению зенитного угла θ направления падающего поля. Как показало исследование влияния на диаграммы направленности длины волны падающей волны, в зависимости от отношения длины волны и
  • 140. 140 характерного (большего) размера рассеивателя наблюдается сужение раствора угла, в котором сосредоточен максимум диаграммы (рис. 6.6). k = π , λ = 2, l = 2 k = 2π , λ = 1 , l = 2 k = 3π , λ = 0.66 , l = 2 k = 4π , λ = 0.5 , l = 2 Рис. 6.6.Зависимость графика abs (Im F (θ ,0 )) от длины волны Следующий рисунок 6.7 иллюстрирует пример сравнения модулей рассеянного поля над и под экраном типа «рамка» в зависимости от наличия жесткой стенки в задаче дифракции на экране, лежащем в неоднородном пространстве.
  • 141. 141 а) б) в) г) Рис. 6.7. График модуля рассеянного поля для основной (а – над экраном, в – под экраном) и модифицированной задачи (б – над экраном, г – под экраном). 6.4. Влияние различия сред на время вычислений На рис. 6.8 изображены графики зависимости времени формирования матрицы и общего времени вычислений в случае модифицированной 3 ( k + = π , k − = 2π ) и основной ( k + = k − = 2π ) задач. 2 Как видно (рис. 6.8), в нашем случае наблюдается нелинейная зависимость времени вычислений от параметра дискретизации. В приведенных на рис. 6.8 (а) примерах наблюдалась (при уровне надежности R 2 = 0.9999 ) следующая зависимость:
  • 142. 142 t = 0.2305 N 5 − 4.4459 N 4 + 31.461N 3 − 81.3 N 2 + 148.89 N − 70.242 ( k + ≠ k − ); t = 0.6525 N 3 + 0.1322 N 2 + 16.896 N − 12.792 ( k + = k − ), где t - время формирования матрицы СЛАУ, N - количество расчетных точек по одной из сторон квадратного экрана. а) б) Рис. 6.8. Пример графика зависимости времени вычислений от разбиения для случаев k + ≠ k − (верхняя кривая) и k + = k − (нижняя кривая): а) – этап формирования матрицы СЛАУ, б) – общее время решения задачи. Продолжительность вычислений тем выше, чем больше значение максимального из двух волновых чисел (табл. 6.1). Такая зависимость вполне прогнозируема из-за наличия осциллирующих множителей в ядрах полученных гиперсингулярных интегральных уравнений, для которых при большем параметре осцилляции необходимо увеличивать, например, густоту сетки для достижения приемлемой точности.
  • 143. 143 Таблица 6.1. Исходные данные и продолжительность вычислительных экспериментов («рамка», 30х30) Вычисления проводились на персональном компьютере со следующими характеристиками: процессор Intel Core 2 Duo 1.7ГГц, оперативная память - 1Гб (холостая загрузка 49%), операционная система Windows Vista HE. 6.5. Метод факторизации для понижения размерности дискретной модели При использовании методов дискретных особенностей дискретизация сингулярных или гиперсингулярных уравнений, непременно появляющихся в этих методах, требует ограничений на форму клеток сетки, которой покрывается экран. В соответствии с имеющейся теоретической базой [28], она должна быть приблизительно квадратной, что не позволяет для вытянутых экранов очевидным приемом сократить размерность дискретной модели (при условии сохранения точности вычислений), в отличие от применения, например, метода конечных элементов. Однако такой особенностью экрана можно
  • 144. 144 воспользоваться другим способом, если считать искомое решение приближением к результату произведения двух функций разных аргументов (факторизация). Рассмотрим задачу (1.2)-(1.4), (1.6) рассеяния плоской акустической волны на плоском жестком ограниченном экране Σ = [ A1 , B1 ] × [ A2 , B2 ] в однородном пространстве, которая формально является частным случаем основной задачи (2.16)-(2.21) при k = k + = k − , ρ + = ρ − . Для такой задачи на основе представления решения в виде потенциала двойного слоя рядом авторов было получено [24,41] следующее ГСИУ: ik x − y ∂ ∂ e a.f.p. ∫ ⋅ g ( y ) ds y = f ( x ) , x, y ∈ Σ , ∂n x ∂n y x − y Σ (6.4) r r где n x , n y - орты нормали в точках x и y , соответственно. Будем рассматривать задачу о возможности приближенного представления g h ( y ) ≈ h( y1 ) ⋅ p ( y 2 ) , где (6.5) g h ( y ) - сеточный аналог функции g ( y ) , h( y1 ), p( y 2 ) - сеточные функции, определенные на h Ω1 , Ω h , 2 соответственно, { } m k h Ω h = ( y1k , y2 ) : y1k = A1 + kh, y2 = A2 + mh, 0 ≤ k ≤ N1 , 0 ≤ m ≤ N 2 = Ω1 × Ω h . 2 Такой подход к факторизации применялся в [88] для проволочных антенн, а также при фиксированной длине волны в [89] для полосковых антенн. Однако проволочная антенна - тонкий идеально проводящий цилиндр и для него очевидно представление вида (6.5), где один из множителей является константой. В рассматриваемой нами модельной задаче представление вида (6.5) не является очевидным.
  • 145. 145 Для численного изучения возможности факторизации функции плотности ГСИУ (6.4) была разработаны программы Rect_Toeplitz, Potencial_Method и Diffraction_on_Rectangle, описанные в подразделе 5.1. Для проведения численного эксперимента разработан метод проверки на основе применения модификации метода наименьших квадратов. Приведенное в (6.5) равенство будем понимать в смысле минимизации функционала: F = Τ⋅ ∑ y∈Ω где h g h ( y ) − h( y1 ) ⋅ p ( y 2 ) , ⎡⎛ ⎞ ⎛ 2 ⎞⎤ 2 Τ = ⎢⎜ ∑ h( y1 ) ⎟ ⋅ ⎜ ∑ g h ( y ) ⎟⎥ ⎟⎥ ⎟ ⎜ y∈Ω h ⎢⎜ y1 ∈Ω1h ⎠⎦ ⎠ ⎝ ⎣⎝ (6.6) −1 - нормировочная константа. Для построения итерационного процесса и для ликвидации произвола в выборе сомножителей выберем два условия: 1. «условие на модуль» ∑ p ( y2 ) 2 = 1, (6.7) y 2 ∈Ω h 2 2. «условие на аргумент» ( ( ) ) l l Im h( y1 ) = 0 , где y1 = A1 + 1 + 1 N1 ⋅ h, 2 l h y1 ∈ Ω1 . (6.8) Для численной минимизации функционала (6.6) рассмотрим систему уравнений для его стационарных точек. В качестве переменных целесообразно ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) выбрать Re h y1 , Im h y1 , Re p y2 , Im p y2 . Тогда, используя «условие на модуль» (6.7), получим уравнения: Re(h( y1 )) = Im(h( y1 )) = ∑ (Re(g h ( y) ) ⋅ Re( p( y2 )) + Im(g h ( y)) ⋅ Im( p( y2 ))), y1 ∈ Ω1h , y2∈Ω h 2 ∑ (Im(g y2∈Ω h 2 h ) ( ) ) h ( y ) ⋅ Re( p( y 2 )) − Re g h ( y ) ⋅ Im( p( y 2 )) , y1 ∈ Ω1 . (6.9)
  • 146. 146 Придадим оставшимся уравнениям вид, подходящий для построения итерационного процесса: Re( p( y2 )) = ∑ (Re(g h ( y) )⋅ Re(h( y1 )) + Im(g h ( y))⋅ Im(h( y1 ))) h y1 ∈Ω1 ∑ ([Re(h( y ))] 2 h y1 ∈Ω1 Im( p( y2 )) = 1 + [Im(h( y1 ))] 2 ) , y2 ∈ Ω h , 2 (6.10) , y2 ∈ Ω h . 2 (6.11) ∑ (Im(g h ( y))⋅ Re(h( y1 )) − Re(g h ( y))⋅ Im(h( y1 ))) h y1 ∈Ω1 ∑ ([Re(h( y ))] 2 h y1 ∈Ω1 1 + [Im(h( y1 ))] 2 ) При планировании вычислительных экспериментов по формулам (6.7)(6.11) нас интересовали следующие вопросы: 1. Возможность факторизации, т.е. представления (6.5). 2. Качество представления (6.5), т.е. оценка погрешности. 3. Определение зависимости факторизационных множителей h и g от длины пластины, величины волнового вектора k и угла падения плоской акустической волны. Как показало исследование модуля погрешности представления (6.5), например, на квадрате, что погрешность имеет некоторое среднее значение (составляющее около 10%), большее нуля. Отметим также, что значения погрешности, превышающие среднее, составляют не более 3%-7% общей площади и процент уменьшается с ростом k . Концентрация погрешности наблюдается в окрестности углов прямоугольного экрана. В качестве основной характеристики для исследования была выбрана диаграмма направленности, определяемая асимптотической формулой (4.18). Такой выбор можно объяснить основным назначением решения - применением
  • 147. 147 при расчете характеристик (как правило, интегральных), интересующих исследователей дифракции. При проведении экспериментов был использован предел по степени дискретизации, равный использованию 128Mb ОЗУ, т.е. доступный для выполнения на любом современном ПК (расчеты проводились в 2003 году). С другой стороны, затраты времени составляют от нескольких минут и часов до нескольких суток (в зависимости от ПК и выполняемой задачи). Например, для компьютера на базе процессора AMD с частотой 1.5ГГц и 256Mb ОЗУ длительность решения задачи без учета структуры матрицы и с количеством ячеек разбиения M = 1024 составляет порядка 6 часов. Однако используя результаты, полученные в подразделе 5.2, для прямоугольных экранов удается форсировать вычисления до M = 16900 , используя блочно-теплицеву структуру матрицы СЛАУ, что и было сделано в программе Rect_Toeplitz. На этой основе удалось подтвердить возможность факторизации вида (6.5) по следующему плану: - при выбранном волновом числе k решается одна и та же задача по нахождению рассеянной волны на различных прямоугольных экранах. Работа производится в пределах приведенных масштабов. Ширина экрана во всех экспериментах равна 1, а длина равна l , т.е. подбирается k так, чтобы работать в интересующей нас зоне. В наших экспериментах длина экрана выбирается в диапазоне от 0.5 до 2 длин волн; - при проведении экспериментов длины экранов l выбираются так, чтобы они составляли некоторую последовательность: 1, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40; - результаты признаются достоверными, если точность представления (6.5) увеличивается по мере увеличения l в смысле (6.6); В результате серии численных экспериментов удается подтвердить практическую сходимость при k = 2π , 3π , 4π с максимальным удлинением экрана 30, 15, 10, соответственно.
  • 148. 148 Точность факторизации возрастает, но из этого ещё не следует, что функции h и p стремятся к пределам. На рис. 6.9 изображены графики модулей компонент факторизации для задачи дифракции акустической волны при k =π на плоском экране [− 0.5,0.5] × [− 0.5,0.5] в однородном пространстве. а) б) в) г) Рис. 6.9. Пример графиков модулей полученных множителей факторизации. Случай нормального падения (а- модуль h , б – модуль p ) и случай падения под углом 450 (в – модуль h , г – модуль p ). Удалось численно проверить, что функция p (в поперечнике) стремится к некоторому пределу. По результатам серии экспериментов есть все основания считать, что существует предел и для функции h . Это можно увидеть при визуализации решения g (6.4), а также при сравнении произведения полученных в соответствии с предложенным подходом функций h и p с найденным численным решением ГСИУ (6.4) g (в том числе и визуально).
  • 149. 149 6.6. Выводы раздела 6 При компьютерном компьютерах при моделировании ограниченных дифракции вычислительных на персональных ресурсах необходимо прибегать к различным приемам для определения минимально допустимым параметров, позволяющих гарантировать правильность вычислений. Другой возможностью является исследование структуры матриц. Численно установлено, что для прямоугольных экранов в рассматриваемых задачах матрицы имеют блочно-диагональное преобладание, что гарантирует невырожденность и вычислительную устойчивость полученных СЛАУ. Для экранов других форм такой вывод, характерный для наличия гиперсингулярной составляющей в ядрах псевдодифференциальных операторов, подтверждается во многих сериях вычислительных экспериментов. Разработан метод численного исследования поведения решений вблизи края экрана с целью проверки точности выполнения условия конечности энергии (условие Мейкснера). Показано, что форма диаграмм направленности, в зависимости от волнового вектора и угла падения волны, соответствуют физическим представлениям, а практическая сходимость максимумов таких диаграмм может служить признаком практической сходимости решений. Исследовано влияние изменения материала среды в полупространстве под экраном на форму диаграмм направленности и длительность вычислений. Впервые создан метод компьютерной проверки адекватности подхода к снижению размерности СЛАУ дискретной модели за счет приближенного представления решения произведением двух функций разных аргументов.
  • 150. 150 ВЫВОДЫ Тема данной диссертационной работы логически продолжает то современное направление в математическом моделировании дифракции, которое развивает подход к построению моделей с помощью параметрических представлений псевдодифференциальных операторов и подход к дискретизации этих моделей методами дискретных особенностей. Новизна и сложность этой темы связаны с трёхмерной постановкой задачи, в которой учитываются различия материальных сред в плоскопараллельных структурах, на которых происходит рассеяние акустических волн. Постановка задачи диссертационного исследования учитывает также актуальность разработки компьютерного инструментария моделирования, который бы базировался на построенных математических моделях для резонансного диапазона. При этом он должен обладать определенным уровнем качества с точки зрения стандартных требований к программным системам, и быть полностью готовым для передачи ученым, которые проводят фундаментальные исследования в области дифракции акустических волн. В диссертационной работе построены математические модели процесса дифракции акустических соответствующие волн дискретные на модели плоскопараллельных и разработан структурах, компьютерный инструментарий для проведения численного анализа дифракции по этим моделям. Впервые построены математические модели на основе псевдодифференциального (гиперсингулярного) уравнения процесса дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на следующих плоскопараллельных структурах: - плоском жестком ограниченном экране, расположенном в плоскости раздела сред с разными физическими свойствами;
  • 151. 151 - плоском жестком ограниченном экране, расположенном над жесткой стенкой в однородном пространстве; - плоском жестком ограниченном экране, расположенном на поверхности слоя над жесткой стенкой (обобщение предыдущего случая). Это позволяет строить новые методы решения и исследования дифракции акустических волн на плоскопараллельных задач структурах, составленных с жестких экранов и слоев с постоянными физическими свойствами. По методу параметрических представлений псевдодифференциальных и гиперсингулярных интегральных операторов введены новые псевдодифференциальные операторы, определяющие построенные модели, а также исследованы их ядра. Это позволяет использовать структуру и вид главной части таких операторов (которые определены как гиперсингулярные) для построения адекватных дискретных моделей рассматриваемых дифракционных процессов. На основе известной схемы методов дискретных особенностей впервые построена дискретная модель для приближенного описания рассматриваемых процессов дифракции. Эта модель позволяет непосредственно разрабатывать алгоритмы и программные средства компьютерного моделирования. Впервые создан компьютерный инструментарий для моделирования дифракции акустических волн в пространстве на плоскопараллельных структурах, что позволяет исследовать свойства построенных моделей и сократить количество необходимых физических экспериментов в акустических исследованиях. Усовершенствовано за счет добавления критериев, имеющих физический смысл, методы анализа результатов вычислительных экспериментов, которые позволяют обосновать корректность применения дискретных моделей, в том числе и в варианте понижения размерности СЛАУ этой модели за счет приближенного представления решения произведением двух функций разных аргументов.
  • 152. 152 Для обоснования достоверности полученных в работе численных результатов, подтверждения формул и теоретических выводов использовалось тестирование по каскадной схеме. То есть, результаты, полученные для более сложных задач, сравнивались с решениями, полученными тем же методом для более простых задач или для близких задач, но другим методом. Материалы диссертационной работы нашли свое применение в учебном процессе на факультете компьютерных наук и механико-математическом факультете Харьковского национального университета имени В.Н. Каразина, при выполнении темы «Математическое моделирование физических процессов и вычислительный эксперимент» кафедры математической физики и вычислительной математики, а также в исследованиях, которые ведутся лабораторией математического моделирования физических процессов под руководством проф. Ю.В. Ганделя. Автор благодарит научного руководителя доц. Мищенко В.О. за поставку задачи, постоянный интерес к работе и неоценимую поддержку при подготовке диссертации. Так же хотелось выразить благодарность проф. Ю.В. Ганделю за внимание к работе и ценные советы.  
  • 154. 154 ПРИЛОЖЕНИЕ Б program Rect_Toeplitz use use use use use use use Types IO Slau Integral exIntegral msimsl Factor ! файл исходных данных character(len=11) :: Fin_Name='domain.conf' ! дескриптор файла выходных данных integer :: Fout=19 ! дескриптор файла выходных матричных данных integer :: Fout_M=21 integer integer integer :: Fout_V=23 :: FoutField=33 :: FoutTime=37 ! файл выходных данных character (len=10) :: Fout_Name='output.dat' ! файл выходных матричных данных character (len=14) :: Fout_Matrix_Name='mtr_output.dat' ! файл выходных векторных данных character (len=14) :: Fout_Vector_Name='vec_output.dat' ! файл данных о времени character (len=8) :: Fout_Time_Name='time.txt' ! 0 - standart in/output integer :: System_Output=0 ! реальные декартовы координаты вектора K double precision :: Alpha_0_real, Beta_0_real, Gamma_0_real ! число строк и столбцов в матрице области integer :: N1,N2 ! длина и ширина рассеивателя double precision :: L1,L2 ! углы падения волны double precision :: Theta_0,Phi_0 ! количество точек разбиения по осям integer :: Nx,Ny ! количество ненулевых элементов матрицы области integer :: Size ! 1 - output matrix into mtr_output integer :: Flag_Output=0
  • 155. 155 complex(8), allocatable :: D(:,:) ! матрица области после разбиения на квадраты integer, allocatable :: Dom(:,:) ! матрица СЛАУ (1я строка и столбец по блокам) complex(8), allocatable :: A(:,:,:) ! вектор правой части СЛАУ complex(8), allocatable :: V(:) ! вектор решения СЛАУ complex(8), allocatable :: X(:,:) ! матрица СЛАУ (non rectangle domain) complex(8), allocatable :: nA(:,:) ! вектор правой части СЛАУ (non rectangle domain) complex(8), allocatable :: nV(:) ! вектор решения СЛАУ (non rectangle domain) complex(8), allocatable :: Xn(:) ! вектор решения СЛАУ (rectangle domain) complex(8), allocatable :: Xr(:) integer :: NOX,NOZ,NON ! координаты точечного источника double precision :: Z(3) ! отрезок изображения поля по оси Z double precision :: Az,Bz ! x3=X3 - плоскость, где смотрим поле double precision :: X3 complex(8), allocatable:: mFIELD(:,:) ! полное поле complex (8), allocatable:: FULL_FIELD(:,:) ! диаграмма направленности complex (8), allocatable:: DIAGRAMM(:) complex (8), allocatable:: FDIAGRAMM(:) ! поперечник рассеяния complex (8), allocatable:: SONAR_CROSS_SECTION(:) ! рассеянное поле complex (8), allocatable :: SC_FIELD(:,:) ! факторизационные множители complex (8), allocatable:: G(:,:) complex (8), allocatable:: H(:,:) ! factor error double precision, allocatable:: FERROR(:,:) complex (8), allocatable :: FACTOR_FIELD(:,:) complex (8), allocatable :: FACTOR_TEST(:,:) integer, allocatable :: SquareError(:)
  • 156. 156 double precision complex (8) complex (8) double precision integer :: :: :: :: :: Temp,Temp2 CTemp II Medium ErN ! границы прямоугольника, ограничивающего область double precision :: Ax,Bx,Ay,By logical :: Tmp ! переменные времени real(4) :: start_time, curr1_time,curr2_time, finish_time !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!! ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ УПРАВЛЯЮЩЕЙ ПРОГРАММЫ !!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! PI = CONST('PI') II=CMPLX(0d+0,1d+0) call cpu_time(start_time) ! инициализация данных N1=IntInit(Fin_Name, 'Nr') N2=IntInit(Fin_Name, 'Nc') L1=DbInit(Fin_Name, 'Lx') L2=DbInit(Fin_Name, 'Ly') Theta_0=DbInit(Fin_Name, 'th') Phi_0=DbInit(Fin_Name, 'ph') Nx=IntInit(Fin_Name, 'Nx') Ny=IntInit(Fin_Name, 'Ny') NOX=IntInit(Fin_Name, 'OX') write(*,'(a,i)') 'NOX=',NOX X3=DbInit(Fin_Name, 'Zz') write(*,'(a,e)') 'Z=',X3 ! интервал и количество расчетных точек рассеянного поля по OХ Ah=DbInit(Fin_Name, 'Ah') Bh=DbInit(Fin_Name, 'Bh') Ch=IntInit(Fin_Name,'Ch') ! интервал и количество расчетных точек рассеянного поля по OY Ag=DbInit(Fin_Name, 'Ag') Bg=DbInit(Fin_Name, 'Bg') Cg=IntInit(Fin_Name,'Cg') flag_point_source=IntInit(Fin_Name, 'fs')
  • 157. 157 if(flag_point_source == 1) Z(1)=DbInit(Fin_Name, Z(2)=DbInit(Fin_Name, Z(3)=DbInit(Fin_Name, else Z(1)=0.0 Z(2)=0.0 Z(3)=0.0 end if then 'Z1') 'Z2') 'Z3') ! число точек разбиения для вычисления ДН NON=180 sf_time=0.0 hs_time=0.0 hs_count=0 sf_count=0 ! инициализация размеров системы уравнений Size=InitSizeOfSystem(Fin_Name, N1, N2) * Nx * Ny / (N1 * N2) ! файл вывода Flag_Output=IntInit(Fin_Name, 'Fl') write(System_Output,'(a,i8)') write(System_Output,'(a,i4)') write(System_Output,'(a,i4)') write(System_Output,'(a,i4)') 'Size 'Nx = 'Ny = 'Flag = ', Size ', Nx ', Ny = ', Flag_Output Flag_Output=IntInit(Fin_Name, 'Fl') write(System_Output,'(a,i8)') write(System_Output,'(a,i4)') write(System_Output,'(a,i4)') write(System_Output,'(a,i4)') 'Size 'Nx = 'Ny = 'Flag = ', Size ', Nx ', Ny = ', Flag_Output if(Size/=Nx*Ny) then write(System_Output,'(a)') 'The domain is not a rectangle. General function will be used' else write(System_Output,'(a)') 'Rectangle Domain. Toeplitz Solver will be used' end if allocate( Dom(Ny,Nx) ) ! инициализация волнового числа Kk = DbInit (Fin_Name, 'Kk') ! реальные координаты волнового вектора Alpha_0_real=Kk*Sin(Theta_0)*Cos(Phi_0) Beta_0_real=Kk*Sin(Theta_0)*Sin(Phi_0) Gamma_0_real=Kk*Cos(Theta_0)
  • 158. 158 ! приведенные координаты (для совместимости версий) Alpha_0=Alpha_0_real Beta_0=Beta_0_real Gamma_0=Gamma_0_real ! инициализация границ экрана Ax = - (L1 / 2d+0) Bx = (L1 / 2d+0) Ay = - (L2 / 2d+0) By = (L2 / 2d+0) ! исследование ГСИУ ! call GetSingularLine(Ax,Bx,Ay,By,Nx,Ny,10) ! формирование матрицы-образа области Dom call GetDomain(N1,N2,Nx,Ny,Fin_Name,Dom) ! вывод матрицы образа на экран (при небольших размерах) write (System_Output,'(a)') 'Matrix of Domain' if (ubound(Dom,2)<=30) then do I=lbound(Dom,1),ubound(Dom,1) do J=lbound(Dom,2),ubound(Dom,2) write(System_Output,'(i1,a)',advance='NO') Dom(I,J), ' ' end do write(System_Output,*) ' ' end do end if write (System_Output,'(a,i5)') 'Size is',Size if (Size .eq. Nx*Ny) then !rectangle domain allocate( A(2*Size-1,Ny,Ny) ) if (allocated(A)) then write (System_Output,'(a)') 'Allocated OKn'c else write (System_Output,'(a)') 'Allocated errorn'c end if allocate ( V(Size) ) open(Fout,file=Fout_Name)! открытие файла вывода ! сохранение параметров счета call PutParametr2File(Fout,Kk,Ax,Bx,Ay,By,Az,Bz,Nx,Ny,Size,Z) open(FoutTime,file=Fout_Time_Name) write (System_Output,'(a)') '>> Forming the main matrix of the system' write(System_Output,*) "Please, wait..." write(Fout,'(a)') ' '
  • 159. 159 call cpu_time(curr1_time) ! формирование матрицы СЛАУ (Теплиц) call Toeplitz_Form_Main_Matrix(Ax,Bx,Ay,By,Nx,Ny,Size,Dom,A) call cpu_time(curr2_time) write(FoutTime,'(a,f,a)') 'Form main matrix time = ',curr2_time-curr1_time,' ' write(FoutTime,'(a,e,a,i)') 'HSI time =',hs_time,' /',hs_count write(FoutTime,'(a,e,a,i)') 'nHSI time=',sf_time,' /',sf_count write (System_Output,'(a,f15.10,a)') 'OK! (curr2_time-curr1_time)/60d+0,'min' time =', ! проверка разрешения вывода информации if(Flag_Output/=0) then ! вывод в файл write (System_Output,'(a)') '>> Writing the matrix to file' write(System_Output,*) "Please, wait..." open(Fout_M,file=Fout_Matrix_Name) write(Fout_M,'(i10)') Size call PutMatrix2File('// Matrix of the system',Fout_M,A, ubound(A,1),ubound(A,2),ubound(A,3)) close(Fout_M) write (System_Output,'(a)') ' end if [OK]' write (System_Output,'(a)') ' OK!' write (System_Output,'(a)') '>> Forming the right vector ' write(System_Output,*) "Please, wait..." call cpu_time(curr1_time) ! формирование вектора правой части СЛАУ call FormRightComplexVector(Ax,Bx,Ay,By,Nx,Ny,Z(1),Z(2),Z(3), Size,Dom,V) call cpu_time(curr2_time) write(FoutTime,'(a,f)') 'Form right vector time = ',curr2_time-curr1_time write(FoutTime,'(a)') ' ' ! проверка разрешения вывода информации if (Flag_Output/=0) then write (System_Output,'(a)') '>> Writing the right vector to file' write(System_Output,*) "Please, wait..."
  • 160. 160 open(Fout_V,file=Fout_Vector_Name) write(Fout_V,'(i10)') Size call PutVector2File('Vector',Fout_V,V,ubound(V,1)) close(Fout_V) write (System_Output,'(a)') ' end if write(Fout,'(a)') ' ' write (System_Output,'(a)') ' [OK]' OK!' ! выделяем память для массива-решения allocate ( Xr(Size) ) ! инициализируем нулями do I=lbound(Xr,1),ubound(Xr,1) Xr(I) = (0d+0,0d+0) end do write (System_Output,'(a)') '>> Solving the system' write(System_Output,'(a)') "Please, wait..." call cpu_time(curr1_time) ! решение СЛАУ call ToeplitzSolve(A,V,Size,Nx,Ny,Xr) call cpu_time(curr2_time) write(FoutTime,'(a,e)') 'Solve time = ',curr2_time-curr1_time write(FoutTime,'(a)') ' ' write (System_Output,'(a,f15.10,a)') ' [OK] (curr2_time-curr1_time)/60d+0,'min' time =', deallocate(A,V) if (.not. allocated(X)) then allocate ( X(Nx,Ny) ) end if do I=lbound(X,1),ubound(X,1) do J=lbound(X,2),ubound(X,2) X(I,J) = (0d+0,0d+0) end do end do ! транформация вектора в матрицу по форме экрана call DomainTransform(Xr,X,Dom,Nx,Ny,Size)
  • 161. 161 deallocate(Xr) else ! non rectangle domain allocate( nA(Size,Size) ) allocate ( nV(Size) ) if(allocated(nA)) then write (System_Output,'(a)') 'Allocated OKn'c else write (System_Output,'(a)') 'Allocated errorn'c end if open(Fout,file=Fout_Name) ! передача параметров в файл call PutParametr2File(Fout,Kk,Ax,Bx,Ay,By,Az,Bz,Nx,Ny,Size,Z) ! открытие файла вывода времени open(FoutTime,file=Fout_Time_Name) write (System_Output,'(a)') '>> Forming of the main matrix' write(System_Output,*) "Please, wait..." write(Fout,'(a)') ' ' call cpu_time(curr1_time) ! формирование матрицы СЛАУ call Complex_Form_Main_Matrix(Ax,Bx,Ay,By,Nx,Ny,Size,Dom,nA) call cpu_time(curr2_time) ! передача данных о времени формирования в файл write(FoutTime,'(a,f,a)') 'Form main matrix time = ',curr2_time-curr1_time,' ' write(FoutTime,'(a,e,a,i)') 'HSI time =',hs_time,' /',hs_count write(FoutTime,'(a,e,a,i)') 'nHSI time=',sf_time,' /',sf_count write (System_Output,'(a,f15.10,a)') ' (curr2_time-curr1_time)/60d+0,'min' [OK] time =', ! проверка разрешения вывода информации if (Flag_Output/=0) then ! передача матрицы модулей в файл write (System_Output,'(a)') '>> Writing (abs) matrix of the system to file' write(System_Output,*) "Please, wait..." open(FoutField,file="mat_abs_matrix.txt") call Put2dAbsMatrix2File('Matrix of system (abs)', FoutField,nA,ubound(nA,1),ubound(nA,2))
  • 162. 162 close(FoutField) write (System_Output,'(a)') ' [OK]' ! передача матрицы в файл write (System_Output,'(a)') '>> Writing matrix of the system to file' write(System_Output,*) "Please, wait..." open(Fout_M,file=Fout_Matrix_Name) write(Fout_M,'(i10)') Size write(Fout_M,'(i10)') Size call Put2dMatrix2File('// Matrix of system',Fout_M, nA,ubound(nA,1),ubound(nA,2)) close(Fout_M) write (System_Output,'(a)') ' end if [OK]' write (System_Output,'(a)') '>> Forming the right vector ' write(System_Output,*) "Please, wait..." call cpu_time(curr1_time) ! формирование вектора правой части СЛАУ call FormRightComplexVector(Ax,Bx,Ay,By,Nx,Ny,Z(1),Z(2),Z(3) ,Size,Dom,nV) call cpu_time(curr2_time) write (System_Output,'(a)') ' [OK]' write(FoutTime,'(a,f)') 'Form right vector time = ', curr2_time-curr1_time write(FoutTime,'(a)') ' ' ! проверка разрешения вывода информации на экран if (Flag_Output/=0) then write(System_Output,'(a)') '>> Writing right part of the system to file' write(System_Output,*) "Please, wait..." open(Fout_V,file=Fout_Vector_Name) write(Fout_V,'(i10)') Size call PutVector2File('Vector',Fout_V,nV,ubound(nV,1)) close(Fout_V) write (System_Output,'(a)') ' [OK]' end if ! выделяем память для массива-решения
  • 163. 163 allocate ( Xn(Size) ) ! инициализируем нулями do I=lbound(Xn,1),ubound(Xn,1) Xn(I) = (0d+0,0d+0) end do write (System_Output,'(a)') '>> Solving the system' write(System_Output,'(a)') "Please, wait..." call cpu_time(curr1_time) ! решение СЛАУ call ComplexSolve(nA,nV,Size,Xn) call cpu_time(curr2_time) write(FoutTime,'(a,e)') 'Solve time = ',curr2_time-curr1_time write(FoutTime,'(a)') ' ' write (System_Output,'(a,f15.10,a)') ' (curr2_time-curr1_time)/60d+0,'min' [OK] if(IsSolve (nA,nV,Xn,Size)) then write(*,'(a)') '==OK==' end if deallocate(nA,nV) if(.not. allocated(X)) then allocate ( X(Nx,Ny) ) end if do I=lbound(X,1),ubound(X,1) do J=lbound(X,2),ubound(X,2) X(I,J) = (0d+0,0d+0) end do end do ! транформация вектора в матрицу по форме экрана call DomainTransform(Xn,X,Dom,Nx,Ny,Size) deallocate(Xn) end if time =',
  • 164. 164 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!! ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК !!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !-------------------------------------------------------!-------- ПОЛЕ -----------------------------------------!-------------------------------------------------------allocate ( mFIELD(NOX,NOX) ) allocate ( FULL_FIELD(NOX,NOX) ) call cpu_time(curr1_time) ! поле плоской волны call FieldKernelCalcPlane(mFIELD,FULL_FIELD,X,X3,Ax,Bx,Ay,By, Nx,Ny,NOX) call cpu_time(curr2_time) write(FoutTime,'(a,f)') 'FIELD time = ',curr2_time-curr1_time write(FoutTime,'(a)') ' ' open(FoutField,file="abs_pole.txt") ! сохранение модуля рассеянного поля call Put2dAbsMatrix2File("// scattered pole abs",FoutField,mFIELD, ubound(mFIELD,1),ubound(mFIELD,2)) close(FoutField) deallocate (FULL_FIELD) deallocate (mFIELD) !-------------------------------------------------------!-------- ДИАГРАММА ------------------------------------!-------------------------------------------------------allocate ( DIAGRAMM(2*NON) ) write (System_Output,'(a)') '>> call cpu_time(curr1_time) Diagramm Calc' call DiagrammCalc(DIAGRAMM,X,Ax,Bx,Ay,By,Nx,Ny,Phi_0,NON) call cpu_time(curr2_time) write(FoutTime,'(a,f)') 'Diagramm calculation time = ',curr2_timecurr1_time write(FoutTime,'(a)') ' '
  • 165. 165 ! сохранение данных для сравнения диаграмм write (System_Output,'(a)') '>> Output compare data' open(FoutField,file="diagramm-compare.csv") do I=lbound(DIAGRAMM,1),ubound(DIAGRAMM,1) write(FoutField,'(f15.10,a,f15.10)') (2d+0*PI*(Ilbound(DIAGRAMM,1))/(ubound(DIAGRAMM,1)lbound(DIAGRAMM,1))),',' ,4d+0*Abs(Imag(DIAGRAMM(I)))/Kk end do close(FoutField) ! вывод мнимой части диаграммы ДН в полярных координатах write (System_Output,'(a)') '>> Output Imag part of Diagramm' open(FoutField,file="diagramm-abs-polar-im.csv") do I=lbound(DIAGRAMM,1),ubound(DIAGRAMM,1) write(FoutField,'(f15.10,a,f15.10)') (2d+0*PI*(Ilbound(DIAGRAMM,1))/(ubound(DIAGRAMM,1)lbound(DIAGRAMM,1))),',',Imag(DIAGRAMM(I)) end do close(FoutField) ! вывод действительной части ДН в полярных координатах write (System_Output,'(a)') '>> Output Real part of Diagramm' open(FoutField,file="diagramm-abs-polar-re.csv") do I=lbound(DIAGRAMM,1),ubound(DIAGRAMM,1) write(FoutField,'(f15.10,a,f15.10)') (2d+0*PI*(Ilbound(DIAGRAMM,1))/(ubound(DIAGRAMM,1)lbound(DIAGRAMM,1))),',',Real(DIAGRAMM(I)) end do close(FoutField) ! вывод модуля ДН в полярных координатах write (System_Output,'(a)') '>> Output Abs Polar diag' open(FoutField,file="diagramm-abs-polar.csv") do I=lbound(DIAGRAMM,1),ubound(DIAGRAMM,1) write(FoutField,'(f15.10,a,f15.10)') (2d+0*PI*(Ilbound(DIAGRAMM,1))/(ubound(DIAGRAMM,1)lbound(DIAGRAMM,1))),',',Abs(DIAGRAMM(I)) end do close(FoutField) ! Нормализация и вычисление максимума call Normalization(DIAGRAMM,NON) write(Fout,'(a,f15.10)',advance='NO') 'nMAX DIAG = 'c,MaxValue write (System_Output,'(a)') '>> Output ABS of Normalized diag' open(FoutField,file="diagramm.txt") ! открытие файла вывода do I=lbound(DIAGRAMM,1),ubound(DIAGRAMM,1) write(FoutField,'(f15.10,a)',advance='NO') Abs(DIAGRAMM(I)),' ' end do close(FoutField) deallocate (DIAGRAMM)
  • 166. 166 !-------------------------------------------------------!-------- SONAR CROSS SECTION --------------------------!-------------------------------------------------------write (System_Output,'(a)') '>> Output Factor SCS' write(Fout,'(a,e)',advance='NO') 'nMAX SCS = 'c, (Kk*Kk*MaxValue*MaxValue/PI) open(FoutField,file="scs.txt") do I=lbound(DIAGRAMM,1),ubound(DIAGRAMM,1) Temp = Kk*Kk*Abs(DIAGRAMM(I))*Abs(DIAGRAMM(I))/PI write(FoutField,'(f15.10,a)',advance='NO') Temp,' ' end do close(FoutField) !-------------------------------------------------------!-------- ФАКТОРИЗАЦИЯ ---------------------------------!-------------------------------------------------------allocate (G(1:2,0:Nx-1)) allocate (H(1:2,0:Ny-1)) call cpu_time(curr1_time) call Factor_MNK(X,Nx,Ny,G,H) call cpu_time(curr2_time) write(FoutTime,'(a,e)') 'Factor time = ',curr2_time-curr1_time write(FoutTime,'(a)') ' ' ErN=20 allocate(FACTOR_FIELD(0:ubound(X,1),0:ubound(X,2))) allocate (FERROR(ubound(X,1)+1,ubound(X,2)+1)) allocate (SquareError(ErN)) write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR error' open(FoutField,file="factor-error.txt") ! открытие файла вывода do I=lbound(X,1),ubound(X,1) do J=lbound(X,2),ubound(X,2) FACTOR_FIELD(I,J)=((G(1,I)*H(1,J)G(2,I)*H(2,J))+CMPLX(0d+0,1d+0)*(G(2,I)*H(1,J)+H(2,J)*G(1,I))) Temp=ABS(X(I,J)-FACTOR_FIELD(I,J)) FERROR(I+1,J+1)=Temp write(FoutField,'(f15.10,a)',advance='NO') Temp,' ' end do write(FoutField,'(a)') ' ' end do close(FoutField) ! G write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR G' open(FoutField,file="factor-G.txt") do I=lbound(X,1),ubound(X,1)
  • 167. 167 CTemp=G(1,I)+CMPLX(0d+0,1d+0)*G(2,I) write(FoutField,'(a,e,a,e,a)',advance='NO') '(', REAL(CTemp),',',AIMAG(CTemp),') ' end do close(FoutField) write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR G-Re' open(FoutField,file="factor-G-re.txt") ! открытие файла вывода do I=lbound(X,1),ubound(X,1) CTemp=G(1,I)+CMPLX(0d+0,1d+0)*G(2,I) write(FoutField,'(e,a)',advance='NO') REAL(CTemp),' ' end do close(FoutField) write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR G-Im' open(FoutField,file="factor-G-im.txt") ! открытие файла вывода do I=lbound(X,1),ubound(X,1) CTemp=G(1,I)+CMPLX(0d+0,1d+0)*G(2,I) write(FoutField,'(e,a)',advance='NO') AIMAG(CTemp),' ' end do close(FoutField) write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR G-abs' open(FoutField,file="factor-G-abs.txt") ! открытие файла вывода do I=lbound(X,1),ubound(X,1) CTemp=G(1,I)+CMPLX(0d+0,1d+0)*G(2,I) write(FoutField,'(e,a)',advance='NO') Abs(CTemp),' ' end do close(FoutField) ! H write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR H' open(FoutField,file="factor-H.txt") do J=lbound(X,2),ubound(X,2) CTemp=H(1,J)+CMPLX(0d+0,1d+0)*H(2,J) write(FoutField,'(a,e,a,e,a)',advance='NO') '(',REAL(CTemp),',',AIMAG(CTemp),') ' end do close(FoutField) write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR H-Re' open(FoutField,file="factor-H-re.txt") do J=lbound(X,2),ubound(X,2) CTemp=H(1,J)+CMPLX(0d+0,1d+0)*H(2,J) write(FoutField,'(e,a)',advance='NO') REAL(CTemp),' ' end do close(FoutField) write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR H-Im' open(FoutField,file="factor-H-im.txt") do J=lbound(X,2),ubound(X,2) CTemp=H(1,J)+CMPLX(0d+0,1d+0)*H(2,J) write(FoutField,'(e,a)',advance='NO') AIMAG(CTemp),' '
  • 168. 168 end do close(FoutField) write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR H-abs' open(FoutField,file="factor-H-abs.txt") do J=lbound(X,2),ubound(X,2) CTemp=H(1,J)+CMPLX(0d+0,1d+0)*H(2,J) write(FoutField,'(e,a)',advance='NO') Abs(CTemp),' ' end do close(FoutField) write (System_Output,'(a)') '>> Output FACTOR mult' open(FoutField,file="factor-mult.txt") call PutMVector2File ('// Solution: Factor Density',FoutField,FACTOR_FIELD,ubound(FACTOR_FIELD,1),ubound( FACTOR_FIELD,2)) close(FoutField) ! вычисление погрешности call GetSquare(FERROR,lbound(FERROR,1),ubound(FERROR,1), SquareError,ErN) write (System_Output,'(a)') '>> Output Factor Square of ERROR' open(FoutField,file="factor-error-square.txt") do I=lbound(SquareError,1),ubound(SquareError,1) write(FoutField,'(f4.2,a)',advance='NO') (100d+0*SquareError(I)/(Nx*Ny)),' ' end do close(FoutField) deallocate(FERROR,SquareError) write (System_Output,'(a)') '>> FACTOR FIELD' open(FoutField,file="factor-mult-abs.txt") do I=lbound(FACTOR_FIELD,1),ubound(FACTOR_FIELD,1) do J=lbound(FACTOR_FIELD,2),ubound(FACTOR_FIELD,2) Temp=ABS(FACTOR_FIELD(I,J)) write(FoutField,'(f15.10,a)',advance='NO') Temp,' ' end do write(FoutField,'(a)') ' ' end do close(FoutField) allocate ( FDIAGRAMM(2*NON) ) write (System_Output,'(a)') '>> Factor Diagramm Calc' call cpu_time(curr1_time) call DiagrammCalc(FDIAGRAMM,FACTOR_FIELD,Ax,Bx,Ay,By,Nx,Ny,NON) call cpu_time(curr2_time) write(FoutTime,'(a,f)') 'Factor Diagramm calculation time = ',curr2_time-curr1_time write(FoutTime,'(a)') ' '
  • 169. 169 Medium = Middle(FDIAGRAMM,NON) write (System_Output,'(a)') '>> Output factor direct coeff' open(FoutField,file="coef-direct.txt") do I=lbound(FDIAGRAMM,1),ubound(FDIAGRAMM,1) write(FoutField,'(f15.10,a)',advance='NO') Abs(FDIAGRAMM(I))/Medium,' ' end do close(FoutField) call Normalization(FDIAGRAMM,NON) write (System_Output,'(a)') '>> Output Factor DIAG' write(Fout,'(a,f15.10)',advance='NO') 'nMAX FACTOR DIAG = 'c,MaxValue open(FoutField,file="factor-diagramm.txt") do I=lbound(FDIAGRAMM,1),ubound(FDIAGRAMM,1) write(FoutField,'(f15.10,a)',advance='NO')Abs(FDIAGRAMM(I)),'' end do close(FoutField) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!! ЗАВЕРШЕНИЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ !!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! write(System_Output,'(a)') '>> Output data' write(System_Output,*) "Please, wait..." write(Fout,'(a)') 'n=='c allocate( D(Ny,Nx) ) ! переформатирование вектора решения учитывая форму области call Transform(X,D,Nx,Ny) ! вывод плотности уравнения call PutMVector2File ('// Solution: Density',Fout,D, ubound(D,1),ubound(D,2)) write (System_Output,'(a)') ' [OK]' open(FoutField,file="abs_dens.txt") call Put2dAbsMatrix2File("// density abs",FoutField,D, ubound(D,1),ubound(D,2)) close(FoutField) deallocate(D,Dom,X) call cpu_time(finish_time) write(FoutTime,'(a,f)') 'Total time = ',finish_time-start_time write(FoutTime,'(a)') 'n Time in seconds'c write(System_Output,'(a,f15.10,a)') 'n>> Total time = 'c, (finish_time-start_time)/60d+0,'minn'c close(FoutTime) close(Fout) end program Rect_Toeplitz
  • 170. 170 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Гахов А. В. Вычислительный эксперимент на базе численного решения гиперсингулярного интегрального уравнения для прямоугольной области / А. В. Гахов, В. О. Мищенко // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Х., 2003. - № 590. — С. 84–91 – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 1). 2. Гахов А. В. Эффективность вычислений МДО в скалярной задаче 3-мерной дифракции на экране, лежащем в плоскости раздела сред / А. В. Гахов // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Х., 2006. — № 733. — С. 76–91. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 6). 3. Гахов А. В. Математическое моделирование рассеяния акустических волн на жестком экране в слоисто-неоднородном полупространстве / А. В. Гахов // Вісник Харківського національного університету : Зб. наук. праць. – Х., 2007. — № 775. — С. 92–98. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 7). 4. Гахов А. В. Численное исследование рассеяния скалярных волн плоским экраном на границе слоя в полупространстве над жесткой плоскостью / А. В. Гахов // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Х., 2007. — № 780. — С. 79–93. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 8). 5. Гахов А. В. Математические модели и численный эксперимент в 3D задачах акустической дифракции на плоскопараллельных структурах / А. В. Гахов // Вісник Запорізького національного університету: Зб. наук. статей. – Запоріжжя, 2008. – №1. – С. 26-35. – (Серія: Фізико-математичні науки).
  • 171. 171 6. Гахов А. В. Трехмерная модель метода дискретных особенностей рассеяния скалярных волн экраном на границе раздела сред / А. В. Гахов, В. О. Мищенко // Вестник Херсонского Национального Технического Университета: Зб. науч. трудов. – Херсон, 2006. — № 2 (25). — С. 135–140. 7. Gahov A. V. The validation of the software that was developed for calculations related to the design of antennas / A. V. Gahov, V. O. Mishchenko // Радіоелектронні і комп’ютерні системи. — 2007. — № 6 (25). — С. 180–185. 8. Гахов А. В. Поиск математической модели при анализе связи между видами качества расчетных программ / А. В. Гахов, В. О. Мищенко // Радіоелектронні і комп’ютерні системи. — 2008. — № 6 (33). — С. 214–218. 9. Gahov A. Testing a new approach to the analysis of projects development using generalization parameters offered by software science / A. Gahov // International Conference of Science and Technology Scalable Systems and Computer Networks Design and Applications. Kremenchuk, 28-30 September 2004. — Kremenchuk, 2004. – P. 118–119. 10. Гахов А. В. Вычислительный эксперимент на базе решения задачи дифракции на ковре Серпинского методом дискретных особенностей / А. В. Гахов // Десятая международная научная конференция им. акад. М. Кравчука. Киев, 13-15 мая 2004 г. – К., 2004. — С. 73. 11. Гахов А. В. Экспериментальное определение параметров достоверного моделирования дифракции на предфракталах методом дискретных особенностей / А. В. Гахов // Труды международных школ-семинаров «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Орел, 22-24 февраля 2005 г. — Орел, 2005. — вып. 4. – С. 23–29.
  • 172. 172 12. Гахов А. В. Численные эксперименты на базе программной реализации 3- мерной акустической дифракции на плоском экране / А. В. Гахов // XII Международный симпозиум «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Херсон, 13-18 июня 2005 г. — Харьков; Херсон, 2005. – С. 93–96. 13. Gahov A. The Hypersingular Equation Technique for the 3-d Problem of Diffraction on a Metal Screen in a Stratified Medium / A. Gahov, V. Mishchenko // 11th International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Kharkiv, 26-29 June 2006. — Kharkiv, 2006. — P. 602–604. 14. Гахов А. В. Математическая модель рассеяния акустических волн экраном, расположенном на слое конечной ширины / А. В. Гахов // XIII Международный симпозиум «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Херсон, 10-17 июня 2007 г. — Харьков; Херсон, 2007. — С. 100–104. 15. Гахов А. В. Компьютерное моделирование дифракции на планарных структурах на основе метода параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов / А. В. Гахов, В. О. Мищенко // Двенадцатая международная научная конференция им. акад. М.Кравчука. Киев, 15-17 мая 2008 г. – К., 2008. — С. 564. 16. Doicu A. Acoustic and Electromagnetic Scattering Analysis Using Discrete Sources / A. Doicu, Yuri A. Eremin, T. Wriedt. – Academic Press, 2000. – 317 p. 17. Применение ультразвука в медицине: Физические основы / [Э. Миллер, К. Хилл, Дж. Бембер и др.]; пер. с англ. В. Н. Дмитриев, В. П. Юшин, А. М. Рейман, Л. В. Бабин; под ред. К. Хилла. – М.: Мир, 1989. – 568 с. 18. Fillinger Laurent Time Reversed Sound detects land mines [Электронный ресурс] / L. Fillinger, B. Libbey, A. Sutin, A. Sarvazyan // ASA
  • 173. 173 MEETING ARCHIVES (145th Meeting, Nashville, Tennessee, April 28 – May 2, 2003). – Режим доступа - http://www.acoustics.org/press/154th/fillinger.html. 19. Гутников В. А. Математическое моделирование аэродинамики городской застройки / В. А. Гутников, И. К. Лифанов, А. В. Сетуха. – М.: Пасьва, 2002. – 244 с. 20. Hunter Alan Underwater Acoustic Modelling for Synthetic Aperture Sonar: Ph.D. thesis in Electrical and Computer Engineering / Alan J. Hunter. – Christchurch, 2006 – 120 p. 21. Акустика океана [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.akin.ru/spravka/s_ocean.htm. — Заголовок с титул. экрана. 22. Ермолов И. Н. Неразрушающий контроль: в 5 кн. / И. Н. Ермолов, Н. П. Алешин, А. И. Потапов; под ред. В. В. Сухорукова. – М.: Высшая школа, 1991. – 283 с. – (Акустические методы контроля: Практ. пособие; кн. 2). 23. Хенл Х. Теория дифракции / Х. Хенл, А. Мауэ, К. Вестпфаль; пер. с нем. Н. Г. Вахитов, В. И. Иванов, М. П. Сахарова; под. ред. Г. Д. Малюжинца. – М.: Мир, 1964 – 428 с. 24. Колтон Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс; пер. с англ. Ю. А. Еремин, Е. В. Захаров; под ред. А. Г. Свешникова - М.: Мир, 1987. - 311 с. 25. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики / Евгений Львович Шендеров. – Л.: Судостроение, 1972. – 362 с. 26. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – [5-е изд.]. – М.: Наука, 1977. – 735 с.
  • 174. 174 27. Ильинский А. С. Математические модели электродинамики: Учеб. пособ. для вузов / А. С. Ильинский, В. В. Кравцов, А. Г. Свешников. – М.: Высш. школа, 1991 – 224 с. 28. Вайникко Г. М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский. – М.: Янус-К, 2001. – 508 с. 29. Сетуха А. В. О краевой задаче Неймана с обобщенными граничными условиями / А. В. Сетуха // Труды X Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Херсон, 29 мая – 5 июня 2001 г. – Херсон, 2001. — С. 317–323. 30. Сетуха А. В. О краевой задаче Неймана в полупространстве / А. В. Сетуха // Труды IX Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики (МДОЗМФ-2000)». Орел, 29 мая-2 июня 2000г. – Орел, 2000. – С. 421–424. 31. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений / Георгий Иосифович Эскин. – М.: Наука.– 1973.– 232 с. 32. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве: Учеб. пособие / М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк. – Л.:ЛГУ, 1980. – 264 с. 33. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах / Леонид Максимович Бреховских. – [2-е изд.]. – М.: Наука, 1973. – 343 с. 34. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер; пер. с англ. В. М. Картвелишвили; под. ред. Н. В. Баничука. – М.: Мир, 1984. - 428 с.
  • 175. 175 35. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган; пер. с англ. Б. И. Квасов; под. ред. Н. С. Бахвалова. – М.: Мир, 1986. – 318 с. 36. Захаров Е. В. Численный анализ дифракции радиоволн / Е. В. Захаров, Ю. В. Пименов. – М.: Радио и связь, 1982. – 184 с. 37. Иванов Е. А. Общая задача о дифракции плоской электромагнитной волны, наклонно падающей на круговой диск, лежащий на границе раздела двух сред / Е.А. Иванов // Дифференциальные уравнения. – 1985. – Т. XXI, № 12 - С. 21142124. 38. Назарчук З. Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах / Зиновий Теодорович Назарчук. – К.: Наукова думка, 1989. – 256 c. 39. Щербина В. А. Граничные уравнения для квазистационарной задачи дифракции электромагнитного поля в R 3 на идеально проводящем разрезе / В. А. Щербина // Труды VII Международного «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Феодосия, 26-29 июня 1997 г. – Феодосия, 1997. – С. 234-235. 40. Довгий С. А. Методы решения интегральных уравнений. Теория и приложения / С. А. Довгий, И. К. Лифанов. – К.: Наукова Думка, 2002. – 343с. 41. Смагин С. И. Метод потенциалов в трехмерной задаче дифракции электромагнитных волн / С. И. Смагин // Журнал вычислительной математики и математической физики.– 1989. – Т.29, № 1. – С. 82-92. 42. Манжиров А. В. Методы решения интегральных уравнений: Справочник / А. В. Манжиров, А. Д. Полянин. – М.: Факториал, 1999. – 272 с.
  • 176. 176 43. Давыдов А. Г. Метод численного решения задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях произвольной формы / А. Г. Давыдов, Е. В. Захаров, Ю. В. Пименов // ДАН СССР. – 1984. – Т. 286, № 1. – С. 96-100. 44. Ставцев С. Л. Некоторые численные решения гиперсингулярных интегральных уравнений в задачах акустики / С. Л. Ставцев // Труды международных школ-семинаров «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Орел, 22-24 февраля 2005 г. — Орел, 2005. — вып. 4. – С. 120–125. 45. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / Иван Кузьмич Лифанов. – М.: ТОО "Янус", 1995. – 520 с. 46. Давыдов А. Г. О гиперсингулярных интегральных уравнениях в задачах дифракции электромагнитных волн / А. Г. Давыдов, Е. В. Захаров, Ю. В. Пименов // Труды IX Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики (МДОЗМФ-2000)». Орел, 29 мая-2 июня 2000г. – Орел, 2000. – С. 173–177. 47. Сетуха А. В. Некоторые особенности численного решения задач распространения звука в мелкой воде на основе интегральных уравнений / С. Л. Ставцев, А. В. Сетуха // Труды XII Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Херсон, 13-18 июня 2005 г. — Харьков; Херсон, 2005. – С.327-330. 48. Белоцерковский С.М. Исследования по аэродинамике современных несущих поверхностей: Дис. … доктора тех. наук / Белоцерковский Сергей Михайлович. – М., 1955 – 214с. 49. Гандель Ю. В. О приложении идей метода дискретных вихрей к задачам электродинамики / Ю. В. Гандель, И. К. Лифанов // Научно-методические
  • 177. 177 материалы по численным методам Военно-Воздушной Инженерной Академии им. проф. Н. Е. Жуковского. – М., 1985 – С. 3-13. 50. Гандель Ю. В. Метод дискретных особенностей в задачах электродинамики / Ю. В. Гандель // Вопросы кибернетики. – 1986. – № 124. – С. 166-183. 51. Гандель Ю. В. К обоснованию метода дискретных особенностей в двумерных задачах дифракции / Ю. В. Гандель, И. К. Лифанов, Т. С. Полянская // Дифференциальные уравнения. – 1995. – Т. 31, № 9. - С. 1536-1541. 52. Фундаментальные электромагнитных волн и / прикладные [Ю. К. задачи Сиренко, теории И. В. рассеяния Сухаревский, О. И. Сухаревский, Н. П. Яшина]; под ред. Ю. К. Сиренко. – Х.: Крок, 2000. – 344 с. 53. Белоцерковский С. М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях / С. М. Белоцерковский, И. К. Лифанов. – М.: Наука, 1985. – 256 с. 54. Давыдов А. Г. Об использовании гиперсингулярных интегральных уравнений для численного анализа задач дифракции электромагнитных волн на магнитодиэлектрических телах / А. Г. Давыдов, Е. В. Захаров, Ю. В. Пименов // Труды XII Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Херсон, 13-18 июня 2005 г. – Харьков; Херсон, 2005. – С.114-117. 55. Бенерджи П. Методы граничных элементов в прикладных науках / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд; пер. с англ. А. Ф. Зазовский, А. В. Клапцов, М. Л. Холмянский; под ред. Р. В. Гольдштейна. - М.: Мир, 1984. – 494 с. 56. Лифанов И. К. Модификация метода дискретных рамок к расчету некоторых пространственных задач дифракции электромагнитных волн /
  • 178. 178 И. К. Лифанов, Д. Ю. Петров // Электромагнитные волны и электронные системы. – 2002. – Т. 7, № 7. – С. 4-9. 57. Лифанов И.К. Обобщенный оператор Фурье и его применение в обосновании метода дискретных вихрей / И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский // Математический сборник. – 1992. – Т. 183, № 5. – С. 79-114. 58. Лифанов И.К. Пространства дробных отношений, дискретне операторы и их приложения. I. / И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский // Математический сборник. – 1999. – Т. 190, № 9. – С. 41-98. 59. Гандель Ю. В. Парные и гиперсингуляные интегральные уравнения задач дифракции электромагнитных волн на плоских решетках и экранах / Ю. В. Гандель // Труды XI Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Херсон, 11-18 июня 2003 г. – Харьков; Херсон, 2003. – С.53-58. 60. Антонец А. В. Численный анализ гиперсингулярного интегрального уравнения задач дифракции на плоском экране / А. В. Антонец, Ю. В. Гандель // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Х., 2003. — № 590. — С. 9-14. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 1). 61. Гандель Ю. В. Псевдодифференциальные уравнения электромагнитной дифракции на плоскопараллельной структуре и их дискретная модель / Ю. В. Гандель, В. О. Мищенко // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Х., 2006. — № 733. — С. 58-75. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 6).
  • 179. 179 62. Словарь -  Программный комплекс [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://dictionary.finam.ru/dictionary/wordf024D600012/default.asp?n=2. — Заголовок с титул. экрана. 63. Труды XI Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики»: сб. науч. трудов по материалам межд. симпозиума, 11-18 июня 2003 г. / Харьк. нац. ун-т им. В. Н. Каразина [и др.]. – Х., Херсон: ХНУ имени В.Н. Каразина, 2003 – 308 с. 64. Давыдов А. Г. Программный комплекс EDEM3D для исследования электродинамических характеристик идеально проводящих трехмерных объектов / А. Г. Давыдов, Ю. В. Пименов // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. – 1999. – Т. 7. - № 2 (23). – C. 24-26. 65. Гандель Ю. В. Математические вопросы метода дискретных зарядов: Учеб. пособие / Ю. В. Гандель, Т. С. Полянская. – Х.: Ротапринт ХГУ, 1991. – 67 с. 66. Гандель Ю. В. Новый численно-аналитический метод волнового анализа коаксиального гиротрона / Ю. В. Гандель, Г. И. Загинайлов, С. А. Стешенко // Радиофизика и электроника. – 2002. – Т. 7. – C. 196-203. – (Специальный выпуск). 67. Гандель Ю. В. Гиперсингулярное интегральное уравнение математической модели гиротрона для случая ТМ-волн / Ю. В. Гандель, А. С. Кононенко // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Х., 2005. — № 661. — С. 83–88. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 4). 68. САПР «Сударушка». МДВ. Аэродинамические расчёты. Прикладные программы [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.sdr.ru/caa.htm. — Заголовок с экрана.
  • 180. 180 69. ГОДОВОЙ ОТЧЕТ открытого акционерного общества «ОКБ Сухого» за 2007 год [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.sukhoi.org/files/report2007.pdf. — Заголовок с титул. экрана. 70. CATRAN [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.catran- cae.com. – Заголовок с экрана. 71. Давыдов А. Г. О возможностях новой версии программного комплекса EDEM / А. Г. Давыдов, Ю. В. Пименов // Тезисы докладов и сообщений I Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». Самара, 10 – 16 сентября 2001 г. – Самара, 2001. – Т.1. - С. 21-26. 72. Программа для расчета электромагнитных полей [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.edem3d.ru. – Заголовок с экрана. 73. ISO 9001:2000 - Quality management systems – Requirements [Электронный ресурс]. Режим доступа - http://www.iso.org/iso/catalogue_detail?csnumber=21823. – Заголовок с экрана. 74. Харченко В. С. Методы моделирования и оценки качества и надёжности программного обеспечения: Учеб. пособие / В. С. Харченко, В. В. Скляр, О. М. Тарасюк. – Х.: НАУ «ХАИ», 2004. – 159 с. 75. ISO/IEC 9126-1:2001 - Software engineering -- Product quality [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.iso.org/iso/iso_catalogue/catalogue_tc/ catalogue_detail.htm?csnumber=22749. – Заголовок с экрана. 76. Мищенко В. О. Энергетический анализ программного обеспечения с примерами реализации для Ада-программ / Виктор Олегович Мищенко. – Х.: ХНУ имени В.Н. Каразина, 2007. – 129 с.
  • 181. 181 77. Мищенко В. О. Применение математического моделирования в системном анализе проекта программного обеспечения методов дискретных особенностей / В. О. Мищенко // Труды VII Международного «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Феодосия, 26-29 июня 1997 г. – Феодосия, 1997. – С. 117-120. 78. Холстед М. Х. Начала науки о программах / М. Х. Холстед; пер. с англ. В. М. Юфа. – М.: Финансы и статистика, 1981. – 128 с. 79. IEEE Std 982.2-1988, IEEE Guide for the Use of IEEE Standard [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://ieeexplore.ieee.org/iel1/2596/983/00026479.pdf?arnumber=26479. — Заголовок с экрана. 80. Мищенко В. О. Математическая модель стиля Software Science для метрического анализа сложных наукоёмких программ / В. О. Мищенко // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Х., 2004. — № 629. — С. 70–85. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 3). 81. Mishchenko V. O. One Experiment in Using Energy Metrics Proposed for Software Process Assessment / V. O. Mishchenko // Радіоелектронні і комп’ютерні системи. — 2007. — №8 (27). — С. 121–124. 82. Мищенко В. О. Согласование требований при формализации одного метода энергетического анализа программ / В. О. Мищенко // Радіоелектронні і комп’ютерні системи. — 2008. — №5 (32). — С. 177–182. 83. ДСТУ 2850-94. Програмні засоби ЕОМ. Показники і методи оцінювання якості. – Держстандарт України. – 1994. – 20 с.
  • 182. 182 84. Петров Д. Ю. Исследование сходимости МДО на окружности / Д. Ю. Петров // Труды X Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Херсон, 29 мая – 5 июня 2001 г. – Херсон, 2001. — С. 261–265. 85. Еремин Ю. А. Дифракция плоской электромагнитной волны на ленте Мебиуса / Ю. А. Еремин, М. Х. Зимнов, Б. З. Каценеленбаум // Радиотехн. и электрон. – 1995. – Т. 40, № 7. – С. 1017-1029. 86. Wolberg J. Data Analysis Using the Method of Least Squares: Extracting the Most Information from Experiments / John Wolberg. – Springer, 2005. – 250 p. 87. Лоусон Ч. Численное решение задач метода наименьших квадратов / Ч. Лоусон, Р. Хенсон; пер. с англ. Х. Д. Икрамов – М.: Наука, 1986. – 232 с. 88. Анфиногенов А. Ю. Расчёт тонкой проволочной антенны методом дискретных особенностей / А. Ю. Анфиногенов, И. К. Лифанов // Труды X Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Херсон, 29 мая – 5 июня 2001 г. – Херсон, 2001. — С. 23–25. 89. Воробьев С. Н. Дифракция электромагнитных волн на ограниченной полосковой структуре: спектральный метод и приближение заданного тока / С. Н. Воробьев, С. Л. Просвирнин // Радиотехника и электроника. – 1994. – Т. 39, вып. 12. – С. 1951–1960. 90. Рабинович М. И. Введение в теорию колебаний и волн / М. И. Рабинович, Д. И. Трубецков. – М.: Наука, 1984. - 432 с. 91. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике / Василий Сергеевич Владимиров. – М.: Наука, 1979. - 318 с.
  • 183. 183 92. Anfinogenov A. Yu. On numerical solution of integral equations of planar and spatial diffraction problems / A. Yu. Anfinogenov, I. I. Lifanov // Russ. J. Numer. Annal. Math. Modeling. – 1992. – Vol. 7, № 5. – P. 387-404. 93. Анфиногенов А. Ю. Численное решение задачи дифракции электромагнитной волны на незамкнутой идеально проводящей поверхности / А. Ю. Анфиногенов // Труды IX Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики (МДОЗМФ-2000)». Орел, 29 мая-2 июня 2000г. – Орел, 2000. – С. 32–35. 94. Visual Numerics [Электронный ресурс]. - Developers of IMSL and PV-WAVE Режим доступа: http://www.vni.com/products/imsl/. — Заголовок с экрана. 95. Общее Руководство по Библиотеке Численного Анализа НИВЦ МГУ [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.srcc.msu.su/num_anal/lib_na/libnal.htm. — Заголовок с экрана. 96. задач Анфиногенов А. Ю. Повышение вычислительной эффективности решения теории дифракции методом дискретних особенностей / А. Ю. Анфиногенов // Труды XII Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Херсон, 13-18 июня 2005 г. — Харьков; Херсон, 2005. – С.13-16. 97. Калиткин Н. Н. Численные методы / Николай Николаевич Калиткин. – М.: Наука, 1978. – 512с. 98. Петров Д. Ю. математической Исследование модели сходимости трехмерной векторной квадратурных задачи формул дифракции / Д. Ю. Петров // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Х., 2003. — № 590. — С. 193-196. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 1).
  • 184. 184 99. Анфиногенов А. Ю. Практическое ускорение численного решения трехмерной скалярной задачи дифракции методом дискретных особенностей. / А. Ю. Анфиногенов // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Х., 2007. — № 775. — С. 3-10. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 7). 100. Воеводина С. Н. Клеточно-теплицевы матрицы и интегральные уравнения Фредгольма / С. Н. Воеводина // Вычислительные методы и программирование. – М.: МГУ, 1975. – вып. 24. – С.91-94. 101. Воеводина С. Н. Решение системы уравнений с клеточно-теплицевыми матрицами / С. Н. Воеводина // Вычислительные методы и программирование. – М.: МГУ, 1975. – вып. 24. – С. 94-100. 102. Анфиногенов А. Ю. Численное исследование взаимного влияния элементов антенной решетки / А. Ю. Анфиногенов, Д. Ю. Петров // Труды IX Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики (МДОЗМФ-2000)». Орел, 29 мая-2 июня 2000г. – Орел, 2000. – С. 48–51. 103. Гандель Ю. В. Интегральные уравнения некоторых аксиально симметричных задач математической теории дифракции волн: дис. … кандидата физ.-мат. наук: 01.003 / Гандель Юрий Владимирович. – Харьков, 1971. – 133с. 104. Булыгин В. С. Скалярная третья краевая задача математической теории дифракции на плоском экране и ее дискретная математическая модель / В. С. Булыгин // Вісник Харківського національного університету: Зб. наук. праць. – Харків, 2003. — № 775. — С. 62-72. – (Серія: Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 7).
  • 185. 185 105. Батченко В. А. Диагональное преобладание матрицы дискретного аналога гиперсингулярного интегрального оператора / В. А. Батченко // Труды IX Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики (МДОЗМФ-2000)». Орел, 29 мая-2 июня 2000г. – Орел, 2000. — С. 69–72. 106. Тыртышников Е. Е. Методы численного анализа: Курс лекций / Евгений Евгеньевич Тыртышников. – М.: ИВМ РАН, 2006. – 291 с. 107. Форсайт Дж. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений / Дж. Форсайт, К. Молер; пер. с англ. В. П. Ильин, Ю. И. Кузнецов; под ред. Г. И. Марчука. – М.: Мир, 1969. – 167 с.