651.локальные методы анализа динамических систем учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов
Локальные методы анализа
динамических систем
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов специальностей Математика и
Прикладная математика и информатика
Ярославль 2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

УДК 517.925+517.928
ББК В162я73
Г 52
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2006 года
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук, профессор Н.Х. Розов;
кафедра математики физического факультета Московского
государственного университета им. М.В. Ломоносова
Глызин, С.Д. Локальные методы анализа динамических си-
стем: учебное пособие / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов;
Г 52 Яросл. гос. ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2006. – 92 с.
ISBN 5-8397-0509-8 (978-5-8397-0509-8)
Изложена теория нормальных форм в приложении к динамиче-
ским системам с конечномерным и бесконечномерным фазовым
пространством. Приводится эффективный алгоритм вычисления
коэффициентов нормальной формы.
Учебное пособие по дисциплине
”
Численные методы анали-
за динамических систем“ (блок ДС) предназначено студентам
специальностей 010100 Математика и 010200 Прикладная мате-
матика и информатика очной формы обучения.
Рис. 21. Библиогр.: 32 назв. Табл. 4
УДК 517.925+517.928
ББК В161.61.я73
ISBN 5-8397-0509-8 c Ярославский
(978-5-8397-0509-8) государственный университет
им. П.Г. Демидова, 2006
c Глызин С.Д.,
Колесов А.Ю., 2006

Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Алгоритмы нормализации систем ОДУ 7
1.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Нормализация Пуанкаре-Дюлака . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Теорема о центральном многообразии . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Описание основного алгоритма . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Структура нормальной формы
в простейших случаях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Транскритическая и вилообразная бифуркации . . . . 15
1.5.2 Бифуркация Андронова-Хопфа . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3 Обзор бифуркаций коразмерности два . . . . . . . . . . 22
1.6 Резонанс 1:1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.1 Динамические свойства нормальной формы . . . . . . . 29
1.6.2 Обоснование некоторых результатов . . . . . . . . . . . 35
1.7 Резонанс 1:2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.7.1 Нормальная форма в случае малости
квадратичной нелинейности . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7.2 Нормальная форма в случае, если квадратичная нели-
нейность зависит от
√
ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.7.3 Нормальная форма в случае произвольной
квадратичной нелинейности . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Алгоритмы нормализации отображений 45
2.2 Нормализация отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Отображение, моделирующего динамику взаимодействия трех
автогенераторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.2 Нормальная форма отображения . . . . . . . . . . . . . 47
3

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
2.3.3 Динамические свойства нормальной формы
отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Нормализация дифференциально-разностных уравнений 59
3.2 Алгоритмы построения нормальной
формы дифференциальных уравнений
с запаздыванием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.1 Описание основного алгоритма . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Учет возрастных групп в уравнении
Хатчинсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.2 Локальный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 Резонанс 1:2 в уравнении второго порядка
с периодически возмущенным
запаздыванием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Введение
В конце 19 – начале 20 века А.Пуанкаре поставил задачу качественного
анализа дифференциальных уравнений. Успехи современных математиче-
ских теорий, касающихся исследования поведения нелинейных динамиче-
ских систем, так или иначе связаны с решением именно этой задачи.
В ряду инструментов, разработанных для качественного анализа систем
нелинейных дифференциальных уравнений, важное место занимает метод
нормальных форм. Идея метода была высказана Пуанкаре в его диссертации
и состояла в нахождении такого класса автономных динамических систем,
которые можно было бы с помощью специальных замен свести к линейным.
На этом пути было введено понятие резонансности собственных чисел мат-
рицы линейной части системы и доказано, что в случае отсутствия таких
резонансов сведение возможно. Позднее Дюлак выполнил обобщение этого
результата на резонансный случай и показал, что в этой ситуации простей-
шим видом преобразованной системы является выражение, содержащее в
правой части, наряду с линейными слагаемыми, еще и не уничтожаемые за-
менами резонансные члены. Такую систему называют нормальной формой,
и ее построение позволяет успешно проанализировать локальную динамику
изучаемой системы.
Однако по-настоящему действенным метод нормальных форм стал после
работ, принадлежащих Н.М. Крылову, Н.Н. Боголюбову и Ю.А. Митрополь-
скому [1–3], в которых разрабатывались асимптотические методы нелиней-
ных колебаний. Нормализация динамической системы на устойчивом ин-
тегральном многообразии позволяет выделить систему малой размерности,
отвечающую за локальные свойства исходной системы. В настоящее время
методу нормальных форм посвящено большое число различных исследова-
ний, сошлемся здесь лишь на самые, на наш взгляд, заметные, вышедшие в
последние годы [4–11].
Сказанное делает актуальным разработку по возможности более эко-
номного алгоритма построения нормальной формы. Заметим, что наиболее
интересные выводы о качественном поведении получаются при изменении
5

6 Введение
параметров динамической системы в окрестности критических значений, в
этом случае величина надкритичности служит естественным малым пара-
метром, по которому удобно строить асимптотические формулы устойчи-
вых решений изучаемой задачи. В то же время нормальная форма строится
именно при критических значениях параметров, поэтому впоследствии воз-
никает задача такого масштабирования возмущенной нормальной формы,
чтобы полученная системы могла быть удобно проанализирована, напри-
мер, численными методами.
В пособии предлагается алгоритм, в ходе выполнения которого укорочен-
ная нормальная форма возникает из условий разрешимости для одного из
очередных слагаемых нормирующей замены, при этом она уже оказывается
подходящим образом масштабированной по входящим переменным.

Глава 1
Алгоритмы нормализации
систем ОДУ
1.1 Постановка задачи
Рассмотрим модельную систему обыкновенных дифференциальных
уравнений
˙x = F(x) ≡ (A0 + εA1)x + F2(x, x) + F3(x, x, x) + . . . , (1.1)
в которой матрица A0 имеет m чисто мнимых собственных значений ±iωk,
k = 1, m, вектор x принадлежит пространству Rn
, ε — малый положитель-
ный параметр, а F2(x, x) и F3(x, x, x) — линейные по каждому своему аргу-
менту слагаемые. Отметим очевидное неравенство 2m ≤ n.
Наша задача состоит в описании качественного поведения системы (1.1)
в некоторой окрестности нулевого решения.
1.2 Нормализация Пуанкаре-Дюлака
Согласно [12], рассмотрим формальный векторный степенной ряд F(x) =
A0x+. . . от n переменных с комплексными коэффициентами. Предположим,
что собственные числа матрицы A0 различны. Введем понятие резонанса.
Определение 1. Набор собственных чисел λ = (λ1, . . . , λn) называется
резонансным, если между собственными значениями существует цело-
численное соотношение вида
λs = (m, λ), (1.2)
7

8 Глава 1. Алгоритмы нормализации систем ОДУ
где m = (m1, . . . , mn), mk ≥ 0,
n
k=1
mk ≥ 2. Соотношение (1.2) называется
резонансом. Число |m| =
n
k=1
mk называется порядком резонанса.
Замечание. В рассматриваемом нами случае для каждой пары собствен-
ных чисел наблюдается резонанс порядка 3:
iωj = 2iωj + (−iωj), j = 1, . . . , n. (1.3)
В [12] приведены утверждения, позволяющие с помощью линейной заме-
ны переменных привести исходную систему к линейному виду.
Пусть h — векторный многочлен от y порядка r ≥ 2 и h(0) = h (0) = 0.
Лемма 1. Дифференциальное уравнение
˙y = A0y (1.4)
при замене x = y + h(y) превращается в
˙x = A0x + v(x) + . . . , (1.5)
где v(x) = ∂h
∂xA0x − A0h(x), а многоточие означает члены порядка выше r.
На основе приведенной леммы может быть доказана следующая теорема,
принадлежащая Пуанкаре.
Теорема 1 (Пуанкаре). Если собственные числа матрицы A нерезонансны,
то уравнение
˙x = A0x + . . . , (1.6)
формальной заменой переменной x = y+. . . приводится к линейному урав-
нению (1.4) (многоточия означают ряды, начинающиеся с членов выше
первой степени).
Так как в исследуемом нами случае всегда имеется резонанс порядка 3,
то теорема Пуанкаре не применима и необходимы дополнительные утвер-
ждения, позволяющие работать с системами в резонансном случае.
Теорема Пуанкаре-Дюлака. Расширением теоремы Пуанкаре на слу-
чай резонанса является теорема Пуанкаре-Дюлака, утверждающая, что
формальной заменой переменных можно уничтожить все нерезонансные

1.2. Нормализация Пуанкаре-Дюлака 9
члены в уравнении (1.1). Для формулировки теоремы оказывается важным
понятие резонансных одночленов. Дадим их определение.
Пусть набор собственных чисел λ = (λ1, . . . , λn) линейного оператора A0
резонансный. Пусть es — вектор собственного базиса, xi — координаты в
базисе, xm
= xm1
1 · · · · · xmn
n — моном (одночлен) от координат xi.
Определение 2. Вектор-одночлен xm
es называется резонансным, если
λs = (m, λ), |m| ≥ 2. (1.7)
Рассмотрим дифференциальное уравнение (1.1), заданное формальным
рядом F(x) = A0x + . . . ,
Теорема 2 (Пуанкаре-Дюлак). При помощи формальной замены перемен-
ных уравнение (1.1) можно привести к канонической (нормальной) форме
˙y = A0y + w(y), (1.8)
где все мономы ряда w — резонансные.
Основой доказательства сформулированной теоремы служит алгоритм
поэтапного определения элементов замены таким образом, чтобы поочеред-
но уничтожать одночлены все более высоких степеней в правой части си-
стемы (1.1). Полное обоснование теоремы Пуанкаре-Дюлака можно найти,
например, в книге [12].
Применение теоремы Пуанкаре-Дюлака позволяет перейти от произволь-
ной нелинейной системы к системе, содержащей лишь резонансные слагае-
мые. Нетрудно видеть, что с точки зрения устойчивости нулевого состояния
равновесия системы (1.1), главное значение имеет матрица линейной части
A0. При этом понятно, что если часть спектра этой матрицы лежит в правой
комплексной полуплоскости, то нулевое решение неустойчиво.
Следует отметить, что наибольший интерес, например, с точки зрения
теории бифуркаций, вызывает иная ситуация, когда собственные числа мат-
рицы лежат в левой комплексной полуплоскости и часть спектра находит-
ся на мнимой оси. В этой ситуации большое значение приобретает теория
интегральных многообразий (центральных многообразий), в соответствии с
которой фазовое пространство динамической системы удается расщепить на
устойчивое и нейтральное многообразие, и затем изучать решения уже толь-
ко на многообразии. Перейдем к описанию утверждений, носящих название
теорем о центральном многообразии.

1.3 Теорема о центральном многообразии
Согласно [6], рассмотрим векторное поле
˙x = Ax + f(x, y),
˙y = By + g(x, y),
(x, y) ∈ Rc
× Rs
(1.9)
где f(0, 0) = 0, f (0, 0) = 0, g(0, 0) = 0, g (0, 0) = 0. Здесь A — матрица
размерности c × c, имеющая чисто мнимые собственные значения (в нашем
случае c = 2m); B — матрица размерности s × s, собственные значения ко-
торой имеют отрицательные действительные части; f и g — функции класса
Cr
(r ≥ 2).
Дадим определение центрального многообразия.
Определение 3. Инвариантное многообразие будем называть централь-
ным многообразием для системы (1.9), если оно может быть представ-
лено в виде
Wc
= {(x, y) ∈ Rc
× Rs
: y = h(x), |x| < δ, h(0) = 0, h (0) = 0} , (1.10)
где δ – достаточно мало.
Приведем основные теоремы, которые будут нами использоваться при
построении нормальных форм на интегральных многообразиях.
Теорема 3. Для системы (1.9) существует центральное многообразие
класса Cr
. Динамика системы (1.9) на центральном многообразии, при
достаточно малых u, описывается следующим векторным полем размер-
ности c:
˙u = Au + F(u, h(u)), u ∈ Rc
. (1.11)
Следующий результат означает, что динамика системы (1.11) вблизи ре-
шения определяет динамику системы (1.9) в окрестности точки (x, y) =
(0, 0).
Теорема 4.
1. Пусть нулевое решение системы (1.11) устойчиво (асимптотически
устойчиво, неустойчиво). Тогда нулевое решение системы (1.9) устойчиво
(асимптотически устойчиво, неустойчиво).
2. Пусть нулевое решение (1.11) устойчиво. Тогда если (x(t), y(t)) — ре-
шение (1.9) достаточно мало, то существует решение (1.11) такое, что
при t → ∞
x(t) = u(t) + O(exp(−γt)), (1.12)
где γ — положительная константа.

1.4. Описание основного алгоритма 11
1.4 Описание основного алгоритма
Перейдем к описанию основного алгоритма получения нормальной фор-
мы изучаемой системы (см., например, [13]). Уточним сначала постановку
задачи и условия. Пусть задана система (1.1) обыкновенных уравнений в Rn
с малым параметром ε > 0, удовлетворяющая стандартным бифуркацион-
ным ограничениям. А именно, считаем, что,
во-первых, матрица А0 имеет на мнимой оси m пар простых собствен-
ных значений ±ωs, ωs > 0, s = 1, . . . , m (остальные ее точки спектра пред-
полагаем лежащими в комплексной полуплоскости {λ : Reλ < 0});
во-вторых, для частот ωs выполняются условия нерезонансности
ωs = n1ω1 + n2ω2 + · · · + nmωm, s = 1, . . . , m, (1.13)
где (n1, . . . , nm) — произвольный целочисленный вектор, удовлетворяющий
неравенствам
2 ≤ |n1| + |n2| + · · · + |nm| ≤ 3; (1.14)
в-третьих, тейлоровское разложение в нуле вектор-функции F(x) ∈ C∞
имеет вид
F(x) = (A0 + εA1)x + F2(x, x) + F3(x, x, x) + . . . , (1.15)
где F2(x, x), F3(x, x, x), . . . — квадратичная, кубическая и т.д. формы.
При сделанных допущениях автоколебания системы (1.1), бифурцирую-
щие из ее нулевого состояния равновесия при ε > 0, будем искать в виде
формального ряда по целым степеням
√
ε:
x =
√
εx0(t, τ) + εx1(t, τ) + ε3/2
x2(t, τ) + . . . , τ = εt, (1.16)
где
x0 =
m
s=1
ξsas exp(iωst) + ¯ξs¯as exp(−iωst) . (1.17)
Здесь as, s = 1, . . . , m — собственные векторы матрицы A0, отвечающие
ее собственным значениям iωs и нормированные условиями (as, bs) = 1,
(¯as, bs) = 0, s = 1, . . . , m, где A∗
0bs = −iωsbs, а (∗, ∗) — евклидово ска-
лярное произведение в Cn
; ξs = ξs(τ) — пока произвольные (подлежащие
определению) комплексные амплитуды; все функции xk, k ≥ 1, — тригоно-
метрические полиномы переменных ω1t, . . . , ω1t.

Подставляя соотношения (1.16),(1.17) в уравнение (1.1), учитывая тей-
лоровское разложение (1.15) и приравнивая слева и справа коэффициенты
при ε, для отыскания x1 получаем линейную неоднородную систему
∂x1
∂t
− A0x1 = g1(t, τ), (1.18)
где
g1 =
s,k=1
m F2(as, ak)ξsξk exp(i(ωs + ωk)t)+
+ F2(as, ¯ak)ξs
¯ξk exp(i(ωs − ωk)t)+
+ F2( ¯as, ak)¯ξs
¯ξk exp(i(ωk − ωs)t)+
+ F2( ¯as, ¯ak)¯ξs
¯ξk exp(−i(ωs + ωk)t) ,
а переменная τ рассматривается как параметр. Из уравнения (1.18) функ-
ция x1 однозначно определяется в том же виде, что и неоднородность g1, т.
е. в виде суммы нулевых и вторых гармоник переменных ω1t, . . . , ω1t. Под-
черкнем, что возможность такого определения обеспечивает группа условий
нерезонансности (1.13), отвечающая случаю |n1| + · · · + |nm| = 2.
Приравняем затем коэффициенты при степени ε3/2
. В результате для x2
приходим к аналогичному (1.18) уравнению, но с неоднородностью g2, яв-
ляющейся суммой первых и третьих гармоник. В таком же виде ищем и
x2(t, τ). Однако здесь возникает новый момент: для амплитуд функции x2
при первых гармониках получаются вырожденные линейные неоднородные
алгебраические уравнения, а условия их разрешимости задаются равенства-
ми
g2,s(τ), bs ≡ 0, s = 1, . . . , m, (1.19)
где g2,s — коэффициенты неоднородности g2 при exp iωst. Эти условия при-
водят, в свою очередь, к системе вида
dξs
dτ
= (A1as, bs) +
m
k=1
dsk|ξk|2
ξs, s = 1, . . . , m, (1.20)
для нахождения неизвестных амплитуд ξs (при этом ¯ξs удовлетворяют ком-
плексно сопряженным уравнениям).

1.4. Описание основного алгоритма 13
И наконец, остается добавить, что если в качестве фигурирующих в
(1.17) функций ξs = ξs(τ), s = 1, . . . , m, выбрано произвольное решение си-
стемы (1.20), то полностью определятся все три выписанных в (1.16) слага-
емых. Действительно, однозначную разрешимость линейных неоднородных
алгебраических уравнений для коэффициентов функции x2 при третьих гар-
мониках обеспечивают оставшиеся условия нерезонансности из (1.13),(1.14),
отвечающие случаю
|n1| + · · · + |nm| = 3.
Несколько отступая от общепринятой терминологии, систему (1.20) на-
зовем нормальной формой исходного уравнения (1.1). Подобное название
оправдано тем, что именно она отвечает за бифуркации циклов и торов это-
го уравнения. Для того, чтобы сформулировать здесь строгий результат,
перейдем от (1.20) к вспомогательной системе для ηs = |ξs|2
:
dηs
dτ
= αs +
m
k=1
αskηk ηs, s = 1, . . . , m, (1.21)
где αs = 2Re (A1as, bs), αsk = 2Re dsk.
Предположим, что система (1.21) имеет некоторое состояние равновесия
ηsj
= ρj > 0, j = 1, . . . , p; ηs = 0 при s = sj, (1.22)
где p ≤ m, 1 ≤ s1 < s2 < · · · < sp ≤ m — произвольно фиксированные нату-
ральные числа. Тогда нормальная форма (1.20) имеет, очевидно, p-мерный
автомодельный тор вида
ξsj
(τ) =
√
ρj exp(iψjτ), j = 1, . . . , p;
ξs = 0 при s = sj,
(1.23)
где
ψj = Im (A1asj
, bsj
) +
p
k=1
ρkIm dsjsk
, j = 1, . . . , p.
Подставляя, далее, компоненты этого тора в первые три слагаемых ряда
(1.16), получим приближенный (с точностью до ε2
по невязке) инвариант-
ный тор исходной системы (1.1). Тем самым возникает естественный вопрос
о существовании и устойчивости соответствующего ему точного инвариант-
ного тора. Ответ на него дает следующее утверждение (см. [18, 19]).
Теорема 5. Пусть система (1.20) имеет p-мерный автомодельный тор
вида (1.23), экспоненциально орбитально устойчивый или дихотомичный.

Тогда по любому натуральному l можно указать такое достаточно ма-
лое εl > 0, что при 0 < ε ≤ εl исходная система (1.1) имеет p-мерный
инвариантный тор той же устойчивости, задающийся равенствами
x =
√
ε
p
j=1
√
ρj asj
exp(iϕj) + ¯asj
exp(−iϕj) + εu∗(ϕ, ε),
dϕ
dt
= ω + εψ + ε3/2
ψ∗(ϕ, ε).
(1.24)
Здесь ϕ = colon(ϕ1, . . . , ϕp), ψ = colon(ψ1, . . . , ψp), ω = colon(ωs1
, . . . , ωsp
), а
2π-периодические по ϕ функции u∗, ψ∗ и их всевозможные частные произ-
водные по ϕ до порядка l включительно ограничены равномерно по ε, ϕ в
метрике Rn
и Rp
соответственно.
В дополнение к сформулированной теореме заметим, что проверка устой-
чивости автомодельного тора (1.23) сводится, очевидно, к исследованию
устойчивости соответствующего ему состояния равновесия (1.22) в системе
(1.20). Поэтому количество и устойчивость инвариантных торов вида (1.24)
у исходного уравнения (1.1) определяется в конечном итоге по состояниям
равновесия вспомогательной системы (1.21) в конусе векторов с неотрица-
тельными координатами. Проделанные выше построения имеют прозрачный
геометрический смысл. В самом деле, при сформулированных ограничениях
у системы (1.1) в некоторой достаточно малой окрестности нуля существует
2m-мерное экспоненциально орбитально устойчивое центральное многооб-
разие, а система (1.20) в силу своего вывода является укороченной (с точно-
стью до слагаемых порядка ε) нормальной формой на данном многообразии.
Таким образом, теорема 5 — это стандартное утверждение о соответствии
между грубыми стационарными режимами исходной системы (1.1) и ее уко-
роченной нормальной формы.
1.5 Структура нормальной формы
в простейших случаях
Резонансные соотношения, упомянутые в теореме Пуанкаре-Дюлака,
приводят к классификации нормальных форм в соответствии с их коразмер-
ностью. Под коразмерностью, следуя [9], будем понимать разность между
размерностью пространства параметров задачи и топологической размер-
ностью множества значений параметров системы, при которых реализуется

Структура нормальной формы в простейших случаях 15
критический случай. Очевидно, что случаями коразмерности один являются
ситуации, когда на мнимой оси находится нулевое или одна пара собствен-
ных значений. Ситуация коразмерности два несколько сложнее, поскольку
она реализуется как в случае, когда на мнимую ось выходит не одна, а две
пары, или пара и нулевое собственное число, так и в случае, если наруше-
ны некоторые дополнительные условия устойчивости для построенной нор-
мальной формы (в случае, например, одной пары). Все нормальные формы
коразмерности два приведены, например, в [9,14–16]. Понятно, что ситуация
коразмерности три дает ещё большее разнообразие всевозможных случаев.
Далеко не все из них подробно изучены.
Рассмотрим сначала случай коразмерности один, в котором выделим два
подслучая:
1. Наличие у матрицы A0 одного нулевого собственного числа (дивер-
гентная потеря устойчивости).
2. Наличие у матрицы A0 пары чисто мнимых собственных чисел (коле-
бательная потеря устойчивости).
1.5.1 Транскритическая и вилообразная бифуркации
В ситуации когда матрица A0 имеет лишь нулевое собственное число,
а остальные собственные числа лежат в левой комплексной полуплоскости
в расщепленной системе (1.9) первое уравнение одномерно и может быть
сведено к одному из трех видов (см. [9]):
˙x = α0ε − α2x2
+ . . . , (1.25)
˙x = α1εx − α2x2
+ . . . , (1.26)
˙x = α1εx − α2x3
+ . . . , (1.27)
Фазовые перестройки происходящие с динамической системой в первом
из случаев носят название бифуркации типа седло-узел, во втором случае
— транскритическая бифуркация и в последнем случае — бифуркации типа
вилка.
Сразу заметим, что для системы (1.1) первая из бифуркаций невозмож-
на, поскольку при любых значениях ε эта система имеет нулевое состояние
равновесия.
Перейдем теперь ко второму и третьему случаям. Предположим, что ну-
левому собственному числу матрицы A0 соответствует собственный вектор
a так, что A0a = 0, кроме того выберем собственный вектор b сопряженной

задачи A∗
0b = 0 и пронормируем их так, чтобы (a, b) = 1. Для получения
нормальной формы выполним в системе (1.1) для случая транскритической
бифуркации следующую замену:
x = εz(τ)a + ε2
x1(t, τ) + . . . , τ = εt, (1.28)
тогда из (1.1) имеем
ε2
z a + ε2
( ˙x1 + εx1) + · · · = (A0 + εA1)(εz(τ)a + ε2
x1(t, τ) + . . . )+
+ F2 εz(τ)a + . . . , εz(τ)a + . . . + . . . (1.29)
Здесь точкой обозначена производная по t, а штрихом — по τ. Приравнивая
коэффициенты при ε, получаем верное тождество, а при ε2
— систему вида
z a + ˙x1 = A0x1 + zA1a + z2
F2(a, a). (1.30)
Из условий разрешимости уравнения (1.30) в классе ограниченных функций
получаем нормальную форму
z = (A1a, b)z + (F2(a, a), b)z2
. (1.31)
Смысл транскритической бифуркации состоит в том, что нулевое и отличное
от нуля решения системы (1.1) меняются устойчивостью.
Вилообразная бифуркация реализуется при (F2(a, a), b) = 0. В этом слу-
чае замена приобретает вид
x =
√
εz(τ)a + εx1(t, τ) + ε3/2
x2(t, τ) + . . . , τ = εt, (1.32)
тогда имеем аналогичную (1.29) подстановку
ε3/2
z a + ε( ˙x1 + εx1) + ε3/2
( ˙x2 + εx1) + · · · =
= (A0 + εA1)(
√
εz(τ)a + εx1(t, τ) + ε3/2
x2(t, τ) + . . . )+
+ F2
√
εz(τ)a + εx1(t, τ) + . . . ,
√
εz(τ)a + εx1(t, τ) + . . . +
+ F3
√
εz(τ)a + . . . ,
√
εz(τ)a + . . . ,
√
εz(τ)a + . . . + . . . (1.33)
Приравнивая коэффициенты при
√
ε, получаем верное тождество. При ε
имеем
˙x1 = A0x1 + z2
F2(a, a). (1.34)
В силу равенства (F2(a, a), b) = 0 эта задача имеет не зависящее от t решение
x1 = z2
w1, где w1, в свою очередь, — решение линейной системы
A0w1 = −F2(a, a). (1.35)

Учитывая, что по формуле (1.35) величина w1 определяется неоднозначно,
дополним ее условием (w1, a) = 0.
На третьем шаге при ε3/2
получаем
z a + ˙x2 = A0x2 + zA1a + z3
F2(a, w1) + F2(w1, a) + F3(a, a, a) . (1.36)
Как и прежде из условий разрешимости имеем
z = (A1a, b)z + (F2(a, w1) + F2(w1, a) + F3(a, a, a), b)z3
. (1.37)
Бифуркация типа вилки реализуется, например, при условии нечетности
функции правой части системы (1.1) (в этом случае F2(a, a) = 0). Указан-
ные фазовые перестройки сопровождаются потерей устойчивости нулевого
решения исходной системы и мягким ответвлением от него двух устойчивых
состояний равновесия.
1.5.2 Бифуркация Андронова-Хопфа
Предположим теперь, что среди собственных чисел матрицы A0 исходной
системы (1.1) имеется единственная чисто мнимая пара ±iω. Кроме того,
будем считать, что матрица A0 + εA1 имеет при ε > 0 собственные числа в
правой комплексной полуплоскости.
Предположим, что чисто мнимому собственному значению iω матрицы
A0 и сопряженной к ней матрицы A∗
0 соответствуют комплексные собствен-
ные векторы a и b, т. е. A0a = iωa, A∗
0b = −iωb. Определенные с точ-
ностью до констант векторы a и b пронормируем так, чтобы (a, b) = 1
(скалярное произведение берется в смысле унитарного пространства, т.е.
(a, b) = a1
¯b1 + a2
¯b2).
Рассмотрим систему (1.1) сначала при ε = 0 и найдем ее нормальную
форму методом Пуанкаре-Дюлака. В нашем случае собственные числа на-
ходятся в резонансном соотношении
λj = (k + 1)λj + kλ3−j, j = 1, 2, k = 1, 2, . . . (1.38)
причем порядок резонанса равен трем.
В системе (1.1) перейдем к собственному базису a, ¯a. Для этого выполним
замену x = az +¯a¯z, которая переводит исходную систему в пару комплексно
сопряженных уравнений
˙z = iωz + R2(z, ¯z),
˙¯z = −iωz + R2(z, ¯z),
(1.39)

где в R2(z, ¯z) включены все нелинейные слагаемые системы (1.1) при ε = 0.
В силу сопряженности соотношений (1.39) достаточно рассмотреть первое
из них. Как уже отмечалось, имеются резонансы λ1 = 2λ1 + λ2, λ1 = 3λ1 +
2λ2, . . . , поэтому наше уравнение должно приводиться к виду
˙η = iωη + (d0 + ic0)η|η|2
+ (d1 + ic1)η|η|4
+ . . . , (1.40)
с помощью замены переменных
z = η + a1η¯η + a2η|η|2
+ a3¯η|η|2
+ . . . (1.41)
Неопределенные константы aj и dj + icj j = 1, 2, . . . фиксируются после
подстановки замены в первое из уравнений (1.39) и учета уравнения (1.40).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых одночленах в (1.39), для нере-
зонансных одночленов получаем уравнения, однозначно разрешимые отно-
сительно aj, а для резонансных – относительно dj + icj. Величины aj, стоя-
щие при резонансных слагаемых, могут быть взяты, вообще говоря, любыми
и выбираются из соображений простоты замены (1.41) (например, нули).
Числа dj + icj называются ляпуновскими величинами. Первая ляпунов-
ская величина с отличной от нуля вещественной частью определяет каче-
ственную картину окрестности состояния равновесия. Действительно, пред-
положим, что d0 = 0, и выполним в уравнении (1.41) полярную замену
η = ξ exp iωτ, тогда для вещественных переменных ξ и τ получим уравне-
ния
˙ξ = d0ξ3
+ O(ξ5
),
ω ˙τ = ω + c0ξ2
+ O(ξ4
),
(1.42)
из которых очевидно, что амплитудная переменная ξ растет при d0 > 0 и
убывает при d0 < 0. Фазовая переменная τ с высокой степенью точности
совпадает с независимой переменной t, сдвинутой на некоторую наперед
заданную константу. Возвращаясь теперь к переменным x и t, имеем
x(t) = ξ(t) aeiωτ(t)
+ ¯ae−iωτ(t)
+ . . . (1.43)
Из формулы (1.43) ясно, что изучаемое состояние равновесия – сложный
фокус, устойчивый при условии отрицательности вещественной части ляпу-
новской величины и неустойчивый в противном случае.
Для исследования системы (1.1) при отличных от нуля значениях ε вос-
пользуемся вариантом метода нормальных форм, который определяется за-
меной (1.43) и уравнениями нормальной формы (1.42). С целью учета малого

параметра ε в правой части уравнений и в замене добавим соответствующие
разложения по ε. Использование замены
x = ξ(aeiωτ
+ ¯ae−iωτ
) + εξu1(τ) + ξ2
u2(τ) + ξ3
u3(τ) + . . . , (1.44)
где uj(τ), j = 1, 2, . . . – гладкие 2π/ω -периодические функции, обусловлено
поисками колебательных решений, главное приближение которых доставля-
ет уже первое слагаемое в формуле (1.44).
При помощи замены (1.44) попытаемся преобразовать систему (1.1) к
нормальной форме
˙ξ = ϕ0εξ + d0ξ3
+ O(ε2
|ξ| + |ε|ξ2
+ ξ5
),
˙τ = 1 + ψ0ε + c0ξ2
+ O(ε2
+ |εξ| + ξ4
),
(1.45)
где ϕ0, ψ0, d0, c0 – постоянные. Подставим (1.44) в (1.1) и учтем (1.45), затем
в полученных соотношениях
(ϕ0εξ + d0ξ3
+ . . . ) ξ(aeiωτ
+ ¯ae−iωτ
) + . . . +
+ (1 + ψ0ε + c0ξ2
+ . . . ) iωξaeiωτ
− iωξ¯ae−iωτ
+
+ εξ ˙u1(τ) + ξ2
˙u2(τ) + ξ3
˙u3(τ) + . . . =
= (A0 + εA1) ξ(aeiωτ
+¯ae−iωτ
)+
+ εξu1(τ) + ξ2
u2(τ) + ξ3
u3(τ) + . . . +
+ F2(ξaeiωτ
+ . . . , ξaeiωτ
+ . . . )+
+ F3(ξaeiωτ
+ . . . , ξaeiωτ
+ . . . , ξaeiωτ
+ . . . ) + . . . (1.46)
приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ε и ξ. В результате
приходим к однотипным линейным системам обыкновенных дифференци-
альных уравнений для определения функций u1(τ), u2(τ), . . . :
˙u = A0u + f(τ), (1.47)
где f(τ) — 2π/ω-периодические функции. Система (1.47) разрешима в классе
2π/ω -периодических функций при условии выполнения следующих соотно-
шений:
2π/ω
0
f(τ), eiωτ
b dτ = 0,
2π/ω
0
f(τ), e−iωτ¯b dτ = 0. (1.48)
Предположим, что f(τ) = α0 + α1 exp iωτ + α2 exp 2iωτ + . . . , где aj – неко-
торые постоянные векторы, тогда решение u(τ) можно искать в виде суммы

β0 + β1 exp iωτ + β2 exp 2iωτ + . . . , векторы βj (j = 1) которой однозначно
определяются из линейных алгебраических систем
(iωjE, A0)βj = αj. (1.49)
Матрица системы (1.49) при j = 1 вырождена, однако из условия (1.48)
имеем (α1, b) = 0, что гарантирует существование решения β1, определя-
емого с точностью до слагаемых ca, где c – произвольная константа. Для
определенности будем выбирать вектор β1 ортогональным b, т.е. потребуем
выполнения равенства (β1, b) = 0. Итак, при условии (1.48), выполнения
которого можно добиться подходящим выбором постоянных ϕ0, d0, ψ0, c0,
функции uj(τ) легко вычисляются.
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, воз-
никающую после приравнивания коэффициентов при ε и ξ:
˙u1 = A0u1 + A1aeiωτ
(ϕ0 + iψ0)aeiωτ
. (1.50)
Из условий разрешимости полученной системы и условий, наложенных на
векторы a и b, получаем константы ϕ0, ψ0
ϕ0 + iψ0 = (A1a, b). (1.51)
Ляпуновские величины d0 и c0 зависят лишь от нелинейных слагаемых
системы (1.1) при ε = 0. Для их вычисления требуется два шага: сначала из
системы, полученной приравниванием коэффициентов при ξ2
, определяется
функция u2(τ) (система не содержит слагаемых c exp(iωτ) или exp(−iωτ) и
потому всегда разрешима), а затем из условий разрешимости системы при
ξ3
определяются ляпуновские величины.
Приравнивание коэффициентов при ξ2
приводит к системе
˙u2 = A0u2 + F2(a, a)e2iωτ
+ F2(¯a, ¯a)e−2iωτ
+ F2(¯a, a) + F2(a, ¯a), (1.52)
2π/ω -периодическое решение которой имеет вид:
u2(τ) = w0 + w1e2iωτ
+ ¯w1e−2iωτ
, (1.53)
где векторы w0, w1 определяются из соотношений
w0 = −A−1
0 (F2(¯a, a) + F2(a, ¯a)), w1 = (2iωE − A0)−1
F2(a, a). (1.54)
Если теперь приравнять коэффициенты при ξ3
, получим следующую систе-
му:
˙u3 = A0u3 + g1eiωτ
+ g3e3iωτ
+ ¯g1e−iωτ
+ ¯g3e−3iωτ
, (1.55)

где g1 = F2(a, w0)+F2(w0, a)+F2(¯a, w1)+F2(w1, ¯a)+F3(a, a, ¯a)+F3(a, ¯a, a)+
F3(¯a, a, a) −(d0+ic0)a , а вид g3 не имеет значения для вычисления величины
d0 +ic0. Условия разрешимости системы (1.55) в классе 2π/ω-периодических
решений принимают в соответствии с формулой (1.48) вид
d0 + ic0 = F2(a, w0) + F2(w0, a) + F2(¯a, w1) + F2(w1, ¯a)+
+F3(a, a, ¯a) + F3(a, ¯a, a) + F3(¯a, a, a), b .
(1.56)
Напомним, что векторы w0, w1 в формуле (1.56) определяются в соответ-
ствии с соотношениями (1.54).
Предположим теперь, что определенные выше числа ϕ0 и d0 отличны
от нуля, тогда в достаточно малой окрестности нуля можно полностью про-
анализировать систему (1.1). Действительно, укороченное первое уравнение
системы (1.45)
˙ξ = ϕ0εξ + d0ξ3
(1.57)
не зависит от второго, и при ϕ0d0 < 0 и ε > 0 имеет, наряду с нулевым,
состояния равновесия
ξ∗
1,2 = ± −εϕ0/d0, (1.58)
асимптотически устойчивые при ϕ0 > 0 и неустойчивые при ϕ0 < 0. Отсюда
следует, что для функции ξ(t) выполнено одно из предельных соотноше-
ний lim
t→∞
ξ(t) = ξ∗
1 или lim
t→∞
ξ(t) = ξ∗
2. При этом из замены (1.44) сразу по-
лучаем асимптотические формулы периодического режима системы (1.1),
устойчивость которого, очевидно, определяется устойчивостью состояния
равновесия (1.58). Заметим, что состояниям равновесия разных знаков со-
ответствует в данном случае одно и то же, с точностью до фазового сдвига,
периодическое решение (1.44). Таким образом, при φ0 > 0, φ1 < 0 и ε > 0
нулевое состояние равновесия системы (1.1) теряет устойчивость и от него
бифурцирует устойчивый близкий к гармоническому цикл, радиус которого
имеет порядок малости
√
ε. Такая фазовая перестройка называется бифур-
кацией Андронова-Хопфа. При этом любая траектория с нетривиальными
начальными условиями из некоторой окрестности нуля, содержащей цикл,
неограниченно приближается к этому циклу, что позволяет называть такую
бифуркацию мягким ветвлением предельного цикла. Бифуркация неустой-
чивого предельного цикла (ϕ0 < 0, d0 > 0) приводит при ε > 0 к жесткому
режиму возбуждения колебаний, поскольку траектории с начальными усло-
виями внутри цикла приближаются к асимптотически устойчивому нулево-
му состоянию равновесия, а вне цикла уходят на нелокальный устойчивый
режим.

Формулы (1.56) легко программируются с помощью пакета символьных
вычислений “Mathematica“. В приложении приведена программа, в сим-
вольном виде определяющая по заданным правым частям системы (1.1)
коэффициенты нормальной формы (1.45). С ее помощью для систем, при-
веденных ниже, не трудно построить нормальную форму и решить соответ-
ствующие им задачи.
Задача 1. На плоскости параметров α, β системы
˙x = x − 2y + αx(x2
+ y2
) ,
˙y = x − y + βxy − y(x2
+ y2
) ,
(1.59)
построить область, для которой реализуется бифуркация Андронова-
Хопфа.
Задача 2. Определить положительные значения параметров системы
Лоренца
˙x = σ(y − x) ,
˙y = rx − y − xz ,
˙z = −bz + xy,
(1.60)
при которых происходит бифуркация Андронова-Хопфа.
1.5.3 Обзор бифуркаций коразмерности два
Перейдем теперь к бифуркациям коразмерности два. Ниже рассмотрим
только те случаи, которые связаны с выходом на мнимую ось собственных
чисел матрицы A0. Бифуркации коразмерности два, обусловленные обраще-
нием в ноль коэффициентов при z2
в нормальной форме (1.31) или коэффи-
циентов при z3
в нормальных формах (1.37) и (1.57), подробно рассмотрены,
например, в [9] и [14].
Естественным образом выделяются три случая.
1. Матрица A0 имеет нулевое собственное число кратности два.
2. Матрица A0 имеет пару чисто мнимых и нулевое собственное число.
3. Матрица A0 имеет две пары чисто мнимых собственных чисел, не свя-
занных резонансными соотношениями.

Нулевое собственное число кратности два. Пусть матрица A0 име-
ет нулевое собственное число кратности два, которому соответствуют два
линейно независимых собственных вектора a1 и a2. Выберем их и собствен-
ные векторы сопряженной задачи A∗
bj = 0, j = 1, 2 так, что (aj, bk) = δjk,
где δjk — символ Кронекера. Выполним замену
x =
√
ε(z1(τ)a1 + z2(τ)a2) + εx1(t, τ) + ε3/2
x2(t, τ) + . . . , τ = εt, (1.61)
Подстановка (1.61) в (1.1) дает следующие соотношения
ε3/2
(z1(τ)a1 + z2(τ)a2) + ε( ˙x1 + εx1) + ε3/2
( ˙x2 + εx1) + · · · =
= (A0 + εA1)(
√
ε(z1(τ)a1 + z2(τ)a2) + εx1(t, τ) + ε3/2
x2(t, τ) + . . . )+
+ F2
√
ε(z1a1 + z1a2) + εx1 + . . . ,
√
ε(z1a1 + z1a2) + εx1 + . . . +
+F3
√
ε(z1a1+z1a2)+ . . . ,
√
ε(z1a1+z1a2)+ . . . ,
√
ε(z1a1+z1a2)+ . . . , (1.62)
из них при ε получаем уравнение
˙x1 = A0x1 + z2
1F2(a1, a1) + z1z2(F2(a1, a2) + F2(a2, a1)) + z2
2F2(a2, a2), (1.63)
которое разрешимо лишь при специальном выборе F2(x, x). Предполагая
для простоты F2(x, x) = 0, получаем на третьем шаге уравнение
z1a1 + z2a2 + ˙x2 = A0x2 + z1A1a1 + z2A1a2+
+ F3 z1a1 + z1a2, z1a1 + z1a2, z1a1 + z1a2 , (1.64)
из условий разрешимости которого может быть записана нормальная форма
z1 = γ1z1 + (d11z2
1 + d12z2
2)z1,
z2 = γ2z2 + (d21z2
1 + d22z2
2)z2,
(1.65)
где γj = (A1aj, bj), djk = F3(aj, ak, ak) + F3(ak, aj, ak) + F3(ak, ak, aj), bj ,
djj = F3(aj, aj, aj), bj , j, k = 1, 2, j = k. Отметим, что функции zj(τ) в
данном случае вещественные.
Задача 3. Выделите класс ненулевых квадратичных нелинейностей
F2(x, x), для которых нормальная форма задачи (1.1), с нулевым собствен-
ным числом кратности два, имеет вид (1.65)

Задача 4. В предположении, что F2(x, x) = 0, выполните в (1.1) замену
x = ε(z1(τ)a1 + z2(τ)a2) + ε2
x1(t, τ) + . . . , τ = εt. (1.66)
С помощью замены (1.66) решите следующие задачи:
1. Постройте нормальную форму задачи (1.1).
2. Найдите состояния равновесия полученной нормальной формы и ис-
следуйте их на устойчивость.
Отметим, что случай кратного нулевого собственного числа рассмотрен
в книге [9].
Нулевое и пара чисто мнимых собственных чисел. Пусть a1 —
собственный вектор, соответствующий нулевому собственному числу, а a2
— собственному числу iω. Пусть, как обычно, bj — решения соответству-
ющих сопряженных задач, причем (aj, bj) = 1, j = 1, 2. В этой ситуации
нормирующая замена имеет вид
x =
√
ε z1(τ)a1 + z2(τ)eiωt
a2 + ¯z2(τ)e−iωt
¯a2 +
+ εx1(t, τ) + ε3/2
x2(t, τ) + . . . , τ = εt, (1.67)
Как и в предыдущем случае квадратичная нелинейность имеет для этой
задачи принципиальное значение и на втором шаге получаем на нее следу-
ющие условия:
F2(a1, a1) + F(a2, ¯a2), b1 = 0, F2(a1, a2), b2 = 0. (1.68)
Если F2(x, x) = 0, то равенства (1.68) выполнены, и нормальная форма,
определяемая из условий разрешимости уравнения при ε3/2
, принимает вид
аналогичный (1.65)
z1 = γ1z1 + (d11z2
1 + d12|z2|2
)z1,
z2 = γ2z2 + (d21z2
1 + d22|z2|2
)z2,
(1.69)
где z1(τ) — вещественная, а z2(τ) — комплексная переменная,
γj = (A1aj, bj), j = 1, 2, d11 = F3(a1, a1, a1), b1 , d12 = 6 F3(a1, a2, ¯a2), b1 ,
d21 = 3 F3(a1, a1, a2), b2 , d22 = 3 F3(a2, ¯a2, a2), b2 .
Выполним в (1.69) замену z1 = ρ1, z2 = ρ2eiϕ
, тогда для переменных
ρ1, ρ2, ϕ имеем
ρ1 = γ1ρ1 + (d11ρ2
1 + d12ρ2
2)ρ1,
ρ2 = Re(γ2)ρ2 + Re(d21)ρ2
1 + Re(d22)ρ2
2 ρ2,
ϕ = Im(γ2) + Im(d21)ρ2
1 + Im(d22)ρ2
2,
(1.70)

Нетрудно видеть, что первые два уравнения системы (1.70) не зависят от
третьего и могут рассматриваться отдельно. Отметим, что структура этой
пары уравнений та же, что и системы (1.65).
Как и в предыдущем случае можно сформулировать следующую задачу.
Задача 5. В предположении, что F2(x, x) = 0, выполните в (1.1) замену
x = ε z1(τ)a1 + z2(τ)eiωt
a2 + ¯z2(τ)e−iωt
¯a2 + ε2
x1(t, τ) + . . . , τ = εt. (1.71)
С помощью замены (1.71) решите следующие задачи:
1. Постройте нормальную форму задачи (1.1).
2. Найдите состояния равновесия полученной нормальной формы и ис-
следуйте их на устойчивость.
Две пары чисто мнимых собственных чисел без резонансов.
Пусть собственному числу iω1 матрицы A0 соответствует собственный
вектор a1, а собственному числу iω2 — a2, пусть b1, b2 — собственные век-
торы сопряженной матрицы A∗
0, отвечающие собственным числам −iω1 и
−iω2 соответственно. Как обычно, эти векторы пронормированы так, что
(aj, bj) = 1, j = 1, 2. Считаем, кроме того, что для iω1, iω2 выполнено усло-
вие (1.13) отсутствия старших резонансов. При этих условиях выполним в
(1.1) замену
x =
√
ε z1(τ)eiω1t
a1 + ¯z1(τ)e−iω1t
¯a1 + z2(τ)eiω2t
a2 + ¯z2(τ)e−iω2t
¯a2 +
+ εx1(t, τ) + ε3/2
x2(t, τ) + . . . , τ = εt, (1.72)
тогда, приравнивая коэффициенты при ε, получаем задачу для определения
x1, а при ε3/2
из условий разрешимости задачи для x2 находим нормальную
форму. Нетрудно видеть, что для x1 имеется следующее уравнение:
˙x1 = A0x1 + F2 z1(τ)eiω1t
a1+
+ z2(τ)eiω2t
a2 + к.с., z1(τ)eiω1t
a1 + z2(τ)eiω2t
a2 + к.с. , (1.73)
где к.с., как обычно, обозначено комплексно сопряженное выражение. Из
(1.73) решение x1 определяется по формуле
x1(t, τ) = e2iω1t
z2
1w1 + ei(ω1+ω2)t
z1z2w2 + e2iω2t
z2
2w3+
+ ei(ω1−ω2)t
z1¯z2w4 + к.с. + |z1|2
w5 + |z2|2
w6, (1.74)
где w1 = (2iω1E − A0)−1
F2(a1, a1), w2 = 2(i(ω1 + ω2)E − A0)−1
F2(a1, a2),
w3 = (2iω2E − A0)−1
F2(a2, a2), w4 = 2(i(ω1 − ω2)E − A0)−1
F2(a1, ¯a2),
w5 = −2A−1
0 F2(a1, ¯a1), w6 = −2A−1
0 F2(a2, ¯a2),

Полученное значение x1 позволяет определить коэффициенты нормаль-
ной формы
z1 = γ1z1 + (d11|z1|2
+ d12|z2|2
)z1,
z2 = γ2z2 + (d21|z1|2
+ d22|z2|2
)z2,
(1.75)
относительно комплексных переменных z1(τ), z2(τ). Коэффициенты систе-
мы (1.75) имеют вид
γj = (A1aj, bj), j = 1, 2, d11 = 2F2(a1, w5)+2F2(¯a1, w1)+3F3(a1, a1, ¯a1) , b1 ,
d12 = 2F2(a1, w6) + 2F2(a2, w4) + 2F2(¯a2, w2) + 6F3(a1, a2, ¯a2) , b1 ,
d21 = 2F2(a1, ¯w4) + 2F2(a2, w5) + 2F2(¯a1, w2) + 6F3(a2, a1, ¯a1) , b2 ,
d22 = 2F2(a2, w6) + 2F2(¯a2, w3) + 3F3(a2, a2, ¯a2) , b2 .
Выполняя в (1.75) полярную замену zj = ρjeiϕj
, переходим к уравнениям
относительно амплитуд и фаз
ρ1 = γ
(1)
1 ρ1 + d
(1)
11 ρ2
1 + d
(1)
12 ρ2
2 ρ1,
ρ2 = γ
(1)
2 ρ2 + d
(1)
21 ρ2
2 + d
(1)
22 ρ2
2 ρ2,
ϕ1 = γ
(2)
2 + d
(2)
21 ρ2
1 + d
(1)
22 ρ2
2,
ϕ1 = γ
(2)
2 + d
(2)
21 ρ2
1 + d
(1)
22 ρ2
2,
(1.76)
где γj = γ
(1)
j + iγ
(2)
j , djk = d
(1)
jk + id
(2)
jk . Учитывая, что первые два уравнения
системы (1.76) не зависят от остальных, их можно рассматривать отдельно.
Итак, при сделанных предположениях во всех трех случаях получается
по-существу одна и та же система
ξ1 = ϕ1ξ1 + (a11ξ2
1 + a12ξ2
2)ξ1,
ξ2 = ϕ2ξ2 + (a21ξ2
1 + a22ξ2
2)ξ2,
(1.77)
где ξ1 ≥ 0, ξ2 ≥ 0.
Кратко опишем ее общие свойства при различных значениях параметров.
Сразу отметим, что подробное описание свойств системы (1.77) можно найти
в книгах [9] и [18].
Начнем с состояний равновесия и их устойчивости. Система (1.77) при
любых значениях входящих параметров имеет тривиальное состояние рав-
новесия ξ1 = 0, ξ2 = 0. Учитывая предположение о том, что собственные
числа матрицы A0 + εA1 переходят при ε > 0 в правую комплексную полу-
плоскость, считаем, что ϕ1 > 0, ϕ2 > 0, т.е. нулевое состояние равновесия —

x1
x2
x1
x2
Рис. 1.1. Рис. 1.2.
неустойчивый узел. Кроме нулевого состояния равновесия у системы (1.77)
в первой четверти фазовой плоскости может быть еще три состояния рав-
новесия. Они имеют следующие условия существования и устойчивости:
1. При ϕ2/a22 < 0 существует состояние равновесия
ξ1 = 0, ξ2 = −ϕ2/a22, (1.78)
которое устойчиво, если ϕ1 < a12ϕ2/a22.
2. При ϕ1/a11 < 0 существует состояние равновесия
ξ1 = −ϕ1/a11, ξ2 = 0, (1.79)
устойчивое, если ϕ2 < a21ϕ1/a11.
3. При ∆1/∆ > 0, ∆2/∆ > 0 существует состояние равновесия
ξ1 = ∆1/∆, ξ2 = ∆2/∆, (1.80)
где ∆ = a11a22 − a12a21, ∆1 = −ϕ1a22 + ϕ2a12, ∆2 = −ϕ2a11 + ϕ1a21.
Состояние равновесия (1.80) устойчиво, если
ϕ1a22(a21 − a11) + ϕ2a11(a12 − a22) /∆ < 0,
(a12ϕ2 − a22ϕ1)(a21ϕ1 − a11ϕ2)/∆ > 0.
Ниже будем считать систему (1.77) диссипативной. Для этого необходимо
и достаточно, чтобы a11 < 0, a22 < 0 и при этом либо одно из чисел a12, a21,
было отрицательно, либо ∆ = a11a22 − a12a21 > 0 (условие Каменкова).

x1
x2
x2
x1
Рис. 1.3. Рис. 1.4.
На рисунках 1.1-1.4 показаны четыре возможных фазовых портрета си-
стемы (1.77) при выполнении условия диссипативности и положительных
ϕ1, ϕ2. На рис. 1.1 устойчиво состояние равновесия (1.80), которому в ис-
ходной задаче (1.1) соответствуют двухчастотные колебания. На остальных
рисунках это состояние либо неустойчиво рис. 1.2, либо не существует рис.
1.3-1.4. Устойчивыми в этих случаях являются состояния равновесия (1.78),
(1.79), которым в задаче (1.1) соответствует цикл.
Перейдем к случаю коразмерности три и рассмотрим две достаточно
трудные задачи.
1.6 Резонанс 1:1
Рассмотрим теперь случай резонанса 1:1. Эта ситуация может реализо-
вываться многими разными способами, выберем простейший из них. Вместо
одной системы (1.1) рассмотрим две связанные между собой
u1 = εD(u2 − u1) + (A0 + εA1)u1 + F(u1) ,
u2 = εD(u1 − u2) + (A0 + εA1)u2 + F(u2).
(1.81)
Эта система описывает взаимодействие двух слабо связанных осциллято-
ров. Нормализация системы (1.81) позволяет выделить амплитудные и фа-
зовые переменные и исследовать характер потери устойчивости однородного
(u1(t) ≡ u2(t)) периодического решения. В работе [19] выделены переменные,
определяющие динамику (1.81), и исследованы области бифуркаций циклов,
торов и странных аттракторов этой системы.

1.6. Резонанс 1:1 29
Уточним некоторые предположения. Пусть, как и ранее, чисто мнимому
собственному числу iω матрицы A0 соответствует собственный вектор a, а
собственному числу −iω матрицы A∗
0 соответствует собственный вектор b,
пронормируем их так, что (a, b) = 1. Предположим, что нелинейность F(u)
представляется в виде F(u) = F2(u, u) + F3(u, u, u) + O( u 4
), где вектор-
функции F2, F3 линейны по каждому аргументу. В соответствии с алгорит-
мами, изложенными выше, система (1.81) может быть сведена к трехмерной
системе амплитудных переменных ξ1, ξ2, α. Функции ξ1(t), ξ2(t) представля-
ют собой медленно меняющиеся амплитуды осцилляторов, а α(t) — разность
фаз между ними. В частности, замена
uj(t) = ξj(t) aeiωτj(t) + ¯ae−iωτj(t) + O(ε),
после приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях ε и ξ при-
водит на третьем шаге к нормальной форме:
ξ1 = εdξ2 cos(ω(τ2 − τ1) + δ) + ε(φ0 − d cos δ) + d0ξ2
1 ξ1 ,
ξ2 = εdξ1 cos(ω(τ2 − τ1) − δ) + ε(φ0 − d cos δ) + d0ξ2
2 ξ2 ,
ωτ1 = ω + ε(ψ0 − d sin δ) + dε
ξ2
ξ1
sin(ω(τ2 − τ1) + δ) + ωc0ξ2
1 ,
ωτ2 = ω + ε(ψ0 − d sin δ) − dε
ξ1
ξ2
sin(ω(τ2 − τ1) − δ) + ωc0ξ2
2 ,
(1.82)
в которой отброшены члены более высокого порядка малости. В системе
(1.82) числа φ0 = Re(A1a, b), ψ0 = Im(A1a, b) определяются скоростью пе-
рехода собственных чисел матрицы A0 + εA1 в правую комплексную по-
луплоскость, d0 < 0 и c0 — соответственно вещественная и мнимая части
первой ляпуновской величины (определяются нелинейностью F(u)), и, на-
конец, d = |(Da, b)|, cos δ = Re(Da, b)/d характеризуют связь осцилля-
торов между собой. Для нахождения ляпуновской величины будем поль-
зоваться формулой (1.56), полученной выше для стандартной бифуркации
Андронова-Хопфа.
Простые нормирующие замены ξj → −εφ0/d0ξj, (j = 1, 2), εφ0t → t
приводят систему (1.82) к виду:
ξ1 = dξ2 cos(α + δ) + (1 − d cos δ − ξ2
1)ξ1 ,
ξ2 = dξ1 cos(α − δ) + (1 − d cos δ − ξ2
2)ξ2 ,
α = −d
ξ2
ξ1
sin(α + δ) +
ξ1
ξ2
sin(α − δ) + b(ξ2
1 − ξ2
2) .
(1.83)

0 1
8
b
a
Рис. 1.5. Разбиение плоскости параметров
где b = c0ω/d0 и число d/φ0 обозначено снова d. Рассмотрим поведение си-
стемы (1.83) при изменении параметра связи d. На плоскости параметров
a = cos δ и b можно выделить две области с принципиально разными сце-
нариями качественных изменений динамической системы (1.83). На рис. 1.5
эти области разделяют верхние ветви кривых. Удалось получить бифурка-
ционные значения
dj ≡ dj(a, b), j = −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4;
dS
j ≡ dS
j (a, b), j = 1 . . . ∞;
dA
j ≡ dA
j (a, b), j = 1 . . . ∞;
dH
j ≡ dH
j (a, b), j = 1 . . . ∞,
(1.84)
при которых происходят перестройки фазового портрета исследуемой си-
стемы. Отметим свойство симметрии системы (1.83) состоящее в том, что
замена
ξ1 → ξ2, ξ2 → ξ1, α → −α (1.85)
переводит исследуемую систему в себя. Кроме того, фазовое пространство
системы (1.83) является цилиндрическим в силу 2π-периодичности ее пра-

вых частей по α. Рассмотрим сценарии фазовых перестроек на примере двух
типичных случаев:
1) a = (1 + π2
/4)−1/2
, b = (π + 6)/(3π − 2) и
2) a = 0.5, b = 10,
при которых реализуются соответственно первый и второй из них. Первый
из случаев соответствует паре диффузионно связанных уравнений Хатчин-
сона:
˙N1 = εd(N2(t) − N1(t)) + rN1(t)[1 − N1(t − h)],
˙N2 = εd(N1(t) − N2(t)) + rN2(t)[1 − N2(t − h)],
(1.86)
при значениях rh = π/2 + ε (см. [20]). Рассмотрим полученные для этой
задачи результаты подробнее.
1. При значениях параметра d > d−3 0.931 глобально устойчивым
является единственное состояние равновесия ξ1 = ξ2 = 1, α = 0 (со-
ответствует пространственно однородному периодическому режиму у
исходной системы).
2. При d < d−3 к глобально устойчивому состоянию равновесия (1, 1, 0)
добавляется неустойчивое (ξ∗
, ξ∗
, π), где ξ∗
=
√
1 − 2da (соответствует
колебаниям в противофазе у исходной системы).
3. При уменьшении d до значения d = d−2 0.544 из “воздуха” рождают-
ся еще два устойчивых состояния равновесия – точки A = (ξ∗
1, ξ∗
2, α∗
1)
и B = (ξ∗
2, ξ∗
1, −α∗
1), где ξ∗
1 > ξ∗
2, 0 < α∗
1 < π/2, и два неустойчивых
— C = (η∗
1, η∗
2, α∗
2) и D = (η∗
2, η∗
1, −α∗
2), где η∗
1 > η∗
2, 0 < α∗
2 < π/2,
кроме того, η∗
1 > ξ∗
1, ξ∗
2 > η∗
2 (соответствуют не синхронизированным
периодическим режимам у исходной системы). Состояния равновесия
A и B устойчивы при уменьшении параметра d вплоть до значения
d−1 0.524. Формулы для определения величин ξ∗
1, ξ∗
2, α∗
1, η∗
1, η∗
2, α∗
2 да-
ются ниже.
4. При d = d−1 состояния A и B теряют устойчивость с рождением устой-
чивых циклов CA и CB (бифуркация Андронова-Хопфа). Заметим, что
устойчивые периодические решения системы (1.83) соответствуют не
синхронизированным квазипериодическим колебаниям системы (1.81).
5. При d = dкр 0.5015 (критическое для пространственно однородных
режимов значение) неустойчивые неподвижные точки C и D сливают-
ся с однородным состоянием равновесия и отбирают его устойчивость.

6. При дальнейшем изменении параметра d устойчивые циклы CA и CB,
родившиеся из точек A и B, увеличиваются в размерах до тех пор, пока
при d = d1 0.481 не сомкнутся в точке ξ1 = ξ2 = 1, α = 0. (Обрат-
ная бифуркация расщепления сепаратрис.) В результате происходит
объединение пары циклов в один CU , который, не значительно меняя
размеры, остается устойчивым вплоть до значения d = d3 0.429.
7. При d = d2 0.466 от неустойчивого состояния равновесия в резуль-
тате бифуркации Андронова-Хопфа (ξ∗
, ξ∗
, π) ответвляется неустойчи-
вый цикл CΠ, который при d = d3 сливается с устойчивым циклом CU
и исчезает.
8. При d3 > d > 0 система имеет единственное, глобально устойчивое
состояние равновесия (ξ∗
, ξ∗
, π), соответствующее колебаниям в про-
тивофазе.
9. При других значениях a, b, расположенных в нижней части области
параметров (см. рис. 1.5), не происходит существенных изменений в
вышеизложенном сценарии. Лишь для точек плоскости, лежащих вы-
ше кривой, отмеченной кружками, последняя из описанных бифурка-
ций упрощается: устойчивый цикл не аннигилирует с неустойчивым,
а стягивается при d = d2 в состояние равновесия (ξ∗
, ξ∗
, π) – бифур-
кация Андронова-Хопфа. Кроме того, для точек области, расположен-
ных выше верхней ветви кривой, отмеченной квадратами, при потере
устойчивости однородного состояния равновесия (1, 1, 0) от него от-
ветвляются устойчивые неподвижные точки A и B, а докритических
устойчивых режимов не существует.
Увеличение параметра b приводит к существенно иным результатам. Рас-
смотрим систему (1.82) при a = 0.5, b = 10. Эти значения a и b лежат в об-
ласти параметров, соответствующих второму сценарию, и дают типичный
пример такого рода.
1. Система (1.83) в этом случае ни при каких значениях d не имеет устой-
чивых докритических режимов и при d > dкр 8.16 однородное со-
стояние равновесия (1, 1, 0) – глобально устойчиво.
2. Уменьшение d приводит к ответвлению при d = dкр пары состояний
равновесия A и B, наследующих устойчивость однородного режима.
3. При dкр < d < d4 2.058 эти состояния равновесия остаются един-
ственными устойчивыми режимами системы.

ξ
ξ
1
2
ξ
ξ
1
2
Рис. 1.6. Устойчивый цикл CT
2
при d = 1.5
Рис. 1.7. Странный аттрактор
AS
2 при d = 1.508
ξ
ξ
1
2
ξ
ξ
1
2
Рис. 1.8. Устойчивый цикл CS
3
при d = 1.51
Рис. 1.9. Странный аттрактор
AS
∞ при d = 1.7

4. При d = d1 2.898 сепаратрисы, выходящие из седлового однородного
состояния равновесия (1, 1, 0), возвращаются в него, образуя две сим-
метричные петли, из которых при дальнейшем уменьшении d рожда-
ется пара неустойчивых симметричных циклов CA и CB (расщепление
сепаратрис).
5. При d = d4 неустойчивое многообразие однородного состояния рав-
новесия совпадает с устойчивыми многообразиями неустойчивых пре-
дельных циклов CA и CB. Отметим, что состояния равновесия A и B
остаются по-прежнему устойчивыми.
6. При d < d4 фазовая картина резко меняется: колебания становятся
неупорядоченными, рождается странный аттрактор.
7. При d = d−1 1.94 неподвижные точки A и B теряют устойчивость в
результате обратной бифуркации Андронова-Хопфа: с ними сливаются
неустойчивые циклы CA и CB.
Бифуркации, происходящие с системой (1.83) при d−1 > d > 0, удобнее
описывать при возрастающем d.
8. При 0 < d < d3 = 0.5 глобально устойчиво состояние равновесия
(ξ∗
, ξ∗
, π).
9. При d = d3 от состояния равновесия (ξ∗
, ξ∗
, π) ответвляется самосим-
метричный устойчивый цикл CΠ (бифуркация Андронова-Хопфа). Под
самосимметричностью цикла CΠ будем понимать его инвариантность
относительно замены ξ1 → ξ2, ξ2 → ξ1, α → 2π − α.
10. При d = dS
1 1.4 указанная симметрия цикла CΠ теряется, он рас-
щепляется на два симметричных цикла CT
1 , ¯CT
1 (бифуркация потери
симметрии).
11. При d = d11 1.4589, d12 1.4594 . . . d1∞ 1.45955 с каждым из цик-
лов CT
1 , ¯CT
1 происходят бифуркации удвоения периода. В результате
при d > d1∞ имеем два симметричных странных аттрактора AT
1 , ¯AT
1 ,
возникших по фейгенбаумовскому сценарию.
12. При d = dH
1 1.4596 пара симметричных странных аттракторов
AT
1 , ¯AT
1 объединяется в один самосимметричный AS
1 , который при
d = dA
1 1.46 превращается в самосимметричный двухобходный цикл
CS
1 , условно “двойного” по сравнению с CΠ периода.

13. При увеличении d процесс повторяется: при d = dS
2 1.5 теряется
симметрия цикла CS
2 , затем с каждым из пары родившихся циклов
CT
2 , ¯CT
2 при d = d21 1.507, d22 1.5072 . . . d2∞ 1.5073 происхо-
дят бифуркации удвоения, завершающиеся рождением симметричных
странных аттракторов AT
2 , ¯AT
2 и т.д.
Таким образом, имеем каскад бифуркаций странных аттракторов
AT
j , ¯AT
j ; AS
j и циклов CT
j , ¯CT
j ; CS
j , j = 1, 2 . . . типа бифуркаций удвоения
периода. Вычислена оценка значения d∞ 1.53, к которому сходятся по-
следовательности dH
n , dA
n , dS
n, dn∞ при n → ∞.
При описании сценариев для обозначения одинаковых бифуркаций ис-
пользовались одинаковые номера dj. Во втором сценарии последователь-
ность общих бифуркаций изменилась, поэтому приведем цепочку нера-
венств, связывающих критические значения, в этом случае
dкр > d1 > d4 > d−1 > · · · > d∞ > · · · > d2∞ > · · · > d21 >
dS
2 > dA
1 > dH
1 > d1∞ > · · · > d11 > dS
1 > d3 > 0.
На рисунках 1.6, 1.8 изображены проекции предельных циклов CS
1 и CS
2 си-
стемы (1.83) на плоскость α = 0 при значениях d = 1.5 и d = 1.51 соответ-
ственно. Масштаб изменений переменных ξ1, ξ2 равен 1. Наблюдаемые при
d∞ < d < d3 неупорядоченные колебания имеют в качестве притягивающе-
го множества странный аттрактор (см. рис. 1.9), более сложной структуры,
чем AT
j , ¯AT
j ; AS
j j = 1, 2 . . . Вычисления показали, что одна из ляпунов-
ских экспонент этого аттрактора положительна, вторая близка к нулю и
положительна, а третья – отрицательна. В частности, при d = 1.7 имеем
λ1 0.41, λ2 0.00, λ3 −5.58 и ляпуновская размерность аттрактора
оказывается равной dl 2.07. Первая ляпуновская экспонента аттракторов
AT
j , ¯AT
j ; AS
j j = 1, 2 . . . , вычисленная в пробных точках, также положитель-
на, вторая – близка к нулю и отрицательна, а третья – отрицательна и не
претерпевает значительных изменений. Например, при d = 1.4597 для ат-
трактора AS
1 имеем λ1 0.17, λ2 −0.01, λ3 −5.6, dl = 2.03. Усложнение
аттракторов системы (1.83) при варьировании параметра d определяется,
тем самым, увеличением первой из ляпуновских экспонент.
1.6.2 Обоснование некоторых результатов
Перейдем к описанию способов получения бифуркационных значений па-
раметра d при различных a и b.

Относительно простым оказалось определение величин d−3, d−2, d−1,
dкр, d2, связанных с появлением и устойчивостью состояний равновесия си-
стемы (1.83). Введем три многочлена:
G(u) ≡ 4(2(1 − da) − u)2
+ 16a2
(1 − da)u+
2d2
(8a4
− 8a2
+ 1) − 16a2
(1 − da)2
,
H(u) ≡ (2(1 − da) − u)2
+ b2
u2
− 2d2
(2a2
− 1),
R(u) ≡ (b2
G(u) − 4a2
H(u))(b2
(2d − H(u) + G(u)) − 8da2
)+
2d2
(b2
− 4a2
)2
(2b2
u2
− H(u)).
(1.87)
Имеет место следующее утверждение технического характера.
Лемма 2. Множество неподвижных точек системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений (1.82) принадлежит множеству решений ал-
гебраической системы
ξ2
1ξ2
2G(ξ2
1 + ξ2
2) = d2
(ξ4
1 + ξ4
2) + 16a2
ξ4
1ξ4
2,
R(ξ2
1 + ξ2
2) = 0,
α = arctg
bξ2
2a2
− (1 − da − ξ2
1)(1 − a2
) (ξ2
1 − ξ2
2)
bξ2(ξ2
1 − ξ2
2)(1 − a2
) − a2
(1 − da − ξ2
1)(ξ2
1 + ξ2
2)
,
(1.88)
где многочлены G и R определяются по формулам (1.87).
Справедливость леммы может быть проверена непосредственной подста-
новкой.
Фигурирующий в приведенном утверждении многочлен четвертого по-
рядка по u R(u) имеет корни u = 2 и u = 2 − 4da, которые соответствуют
состояниям равновесия ξ1 = ξ2 = 1, α = 0 и ξ1 = ξ2 =
√
1 − 2da, α = π. Из
условия действительности второго из них имеем d−3 = 1/(2a). После деле-
ния многочлена R(u) на u2
+4(da−1)u+4(1−2da) получается квадратный
трехчлен, корни которого определяют состояния равновесия A, B, C, D
α1(a, b, d)u2
+ α2(a, b, d)u + α3(a, b, d), (1.89)
где
α1(a, b, d) = (b2
− 3)(b2
− a2
− a2
b2
),
α2(a, b, d) = 4 (−4a4
(b2
+ 1) + 7a2
b2
− 3(b2
− a2
))(1 − ad) ,
α3(a, b, d) = d2
(16a4
− 4a2
b2
+ 3b2
− 12a2
)+
(4a4
(b2
+ 1) − 7a2
b2
+ 3(b2
− a2
))(1 − 2ad).

Из положительности дискриминанта многочлена (1.89) получаем значение
d−2 как больший корень квадратичного по d уравнения
α2
2 − 4α1α3 = 0.
Компоненты состояний равновесия A, B, C, D определяются корнями (1.89)
с учетом первого и третьего уравнений системы (1.88) и имеют весьма гро-
моздкий вид, в связи с этим мы их здесь не приводим.
Следующее утверждение позволяет выяснить вопрос о том, в каком слу-
чае от состояния равновесия ξ1 = ξ2 = 1, α = 0 ответвляется пара состояний
равновесия при d > dкр, а при каких – при d < dкр.
Лемма 3. Пусть (d − dкр)c > 0,
где c = c(a, b) ≡ 2b 1 − a2(ab2
− 5a + 2) + 2(3a2
− 1)(b2
+ 1) /dкр,
тогда в достаточно малой окрестности неподвижной точки (1, 1, 0) име-
ются два состояния равновесия (ξ∗
1, ξ∗
2, α∗
) и (ξ∗
2, ξ∗
1, −α∗
), которые устой-
чивы при d − dкр < 0 и c < 0 и неустойчивы при d − dкр > 0 и c > 0.
Величины ξ∗
1, ξ∗
2, α∗
допускают при |d − dкр| << 1 асимптотическое пред-
ставление
ξ∗
1 = 1 + (d − dкр)/c + O(d − dкр),
ξ∗
2 = 1 − (d − dкр)/c + O(d − dкр),
α∗
= −2(1 + da)
d − dкр
c(1 − a2
)
+ O(d − dкр).
(1.90)
Утверждение леммы получается путем разложения правых частей си-
стемы (1.83) в ряд по степеням |d − dкр|. При этом первый коэффициент
разложения 1/c определяется из условий разрешимости алгебраической си-
стемы на третьем шаге при |d − dкр|3/2
.
В соответствии с леммой 3 уравнение
c(a, b) = 0, (1.91)
определяет на плоскости параметров a, b кривую, разделяющую ее на две
области. В верхней расположены такие значения a, b, что система (1.83) не
имеет при d − dкр > 0 устойчивых состояний равновесия кроме (1, 1, 0), а
для значений a, b из нижней области такие состояния равновесия имеются.
На рисунке 1.5 кривая, удовлетворяющая уравнению (1.91), отмечена квад-
ратами.

Перейдем к условиям устойчивости состояний равновесия, с помощью
которых определяются величины d−1, dкр, d2. Условия устойчивости непо-
движной точки (1, 1, 0) дают
dкр = −a + b 1 − a2.
По смыслу рассматриваемой задачи dкр > 0, кроме того, при d > dкр состо-
яние равновесие (1, 1, 0) не должно терять устойчивость. Эти условия дают
кривую, отмеченную на рис. 1.5 треугольниками, и неравенства b > 0 и
a > 0.
Условия устойчивости точки ξ1 = ξ2 =
√
1 − 2da, α = π позволят опре-
делить d2 = 1/(4a) так, что при d > d2 данная неподвижная точка неустой-
чива, а при d < d2 – устойчива.
Наконец, из условий устойчивости состояний равновесия A и B получаем
d−1.
Потеря устойчивости состояниями равновесия A , B и (ξ∗
, ξ∗
, π) происхо-
дит колебательным образом, и для того чтобы определить, какие при этом
появляются режимы, следует найти ляпуновскую величину в этой точке.
Применяя формулы (1.56), для системы (1.83) в случае различных состоя-
ний равновесия, получаем значения комплексной ляпуновской величины. На
рис. 1.5 кривая, отмеченная кружками, соответствует значениям парамет-
ров, при которых вещественная часть ляпуновской величины, вычисленной
в точке (ξ∗
, ξ∗
, π), обращается в нуль, тем самым, при значениях a, b вы-
ше этой кривой происходит рождение устойчивого цикла (d > d2), а ниже
кривой – неустойчивого (d < d2). В свою очередь, непомеченная кривая
определяет аналогичные условия для состояний равновесия A, B.
Основной результат данного пункта состоит в том, что верхние ветви
приведенных на рис. 1.5 кривых разделяют хаотический и нехаотический
сценарии фазовых перестроек. Обоснование данного результата возможно
лишь с применением численных методов.
В заключение заметим, что хаотические режимы возникают в изучае-
мой динамической системе при достаточно больших значениях параметра
b, который пропорционален мнимой части ляпуновской величины и обратно
пропорционален вещественной части. Комплексная ляпуновская величина
d0 + iωc0, как известно, определяет амплитуду и поправку к частоте одно-
родного периодического режима. Это показывает, что неупорядоченность
колебаний носит здесь фазовый характер.

1.7 Резонанс 1:2
Уточним постановку задачи. Пусть матрица A0 имеет две пары чисто
мнимых собственных значений ±ω0, ±2ω0, где ω0 > 0. Пусть матрица A1
выбрана так, что собственные числа матрицы A0 + εA1 переходят при ε > 0
в правую комплексную полуплоскость. Считаем нелинейность, стоящую в
правой части системы (1.1), зависящей от ε так, что
F(x) = F(x, ε) = F2(x, x, ε) + F3(x, x, x), (1.92)
где, как и ранее, F2(x, x, ε) — билинейная форма, F3(x, x, x) — трилинейная
форма.
Задача естественным образом разбивается на три различных по свой-
ствам подслучая:
1. F2(x, x, ε) =
√
εF21(x, x),
2. F2(x, x, ε) = F20(x, x) +
√
εF21(x, x)
2. F2(x, x, ε) = F20(x, x) + εF21(x, x).
На четырехмерном устойчивом интегральном многообразии системы
(1.1) требуется построить нормальную форму и изучить поведение её ре-
шений. Это позволит изучить бифуркации, происходящие в системе (1.1)
при ε > 0 в некоторой окрестности точки 0 её фазового пространства. Как
обычно, в силу устойчивости интегрального многообразия грубым режимам
нормальной формы будут соответствовать аналогичные режимы изучаемой
системы.
Введем в рассмотрение собственные векторы aj, bj, j = 1, 2, матрицы A0,
соответствующие критическим собственным значениям:
A0a1 = iω0a1, A0a2 = 2iω0a2, A∗
0a1 = −iω0a1, A∗
0a2 = −2iω0a2,
нормированные условиями (ak, bj) = δkj, где δkj — символ Кронекера, а (∗, ∗)
— евклидово скалярное произведение в Cn
.
Для приведения системы (1.1) к нормальной форме ниже нам потребу-
ются условия разрешимости линейной задачи
˙u = A0u + v exp(iω0t) + w exp(2iω0t) (1.93)
в классе 2π/ω0-периодических функций. Имеет место следующее утвержде-
ние.
Лемма 4. Для разрешимости задачи (1.93) в классе 2π/ω0-периодических
функций необходимо и достаточно, чтобы
(v, b1) = 0, (w, b2) = 0. (1.94)

Доказательство леммы осуществляется непосредственной проверкой.
1.7.1 Нормальная форма в случае малости
квадратичной нелинейности
Рассмотрим случай F2(x, x, ε) =
√
εF21(x, x). В соответствии с основным
алгоритмом будем искать решение системы (1.1) в виде
x(t, s) =
√
ε z1(s) exp(iω0t)a1 + ¯z1(s) exp(−iω0t)¯a1 +
+ z2(s) exp(2iω0t)a2 + ¯z2(s) exp(−2iω0t)¯a2 +
+ εu1(t, s) + ε3/2
u2(t, s) + . . . , (1.95)
где s = εt — медленное время, а z1(s), z2(s), u1(t, s), u2(t, s) — подлежащие
определению 2π/ω0-периодические по t функции.
Подставим замену (1.95) в уравнение (1.1) и в полученной подстановке
√
ε iω0 z1(s)eiω0t
a1 − ¯z1(s)e−iω0t
¯a1 + 2iω z2(s)e2iω0t
a2 − ¯z2(s)e−2iω0t
¯a2 +
+ ε3/2
z1(s)eiω0t
a1 + ¯z1(s)e−iω0t
¯a1 + z2(s)e2iω0t
a2 + ¯z2(s)e−2iω0t
¯a2 +
+ ε( ˙u1(t, s) + εu1(t, s)) + ε3/2
( ˙u2(t, s) + εu2(t, s)) + · · · =
= (A0 + εA1)x(t, s) +
√
εF21(x(t, s), x(t, s)) + F3(x(t, s), x(t, s), x(t, s))
приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ε (штрихом обозначе-
на производная по s, точкой — производная по t).
При
√
ε, очевидно, получаем верное тождество.
При ε имеем систему
˙u1 = A0u1, (1.96)
и функцию u1(t, s) можно выбрать тождественно равной нулю.
Наконец, при ε3/2
получаем уравнение
z1(s)eiω0t
¯a1 + z2(s)e2iω0t
a2 + ¯z2(s)e−2iω0t
¯a2 + ˙u2 =
= A0u2 + A1 z1(s)eiω0t
¯a1 + z2(s)e2iω0t
a2 + ¯z2(s)e−2iω0t
¯a2 +
+ F21 z1(s)eiω0t
a1 + z2(s)e2iω0t
a2 + к.с., z1(s)eiω0t
a1 + z2(s)e2iω0t
a2 + к.с. +
+ F3 z1(s)eiω0t
a1 + z2(s)e2iω0t
a1+
+ z2(s)e2iω0t
a1 + z2(s)e2iω0t
a2 + к.с. .

Приравнивая коэффициенты при резонансных гармониках exp(iω0t) и
exp(2iω0t), из условий разрешимости в классе 2π/ω0-периодических функ-
ций (см. лемма 4) получаем систему дифференциальных уравнений в ком-
плексном виде относительно неизвестных z1(s) и z2(s)
˙z1 = (iσ1 + γ1)z1 + χ1¯z1z2 + (d11|z1|2
+ d12|z2|2
)z1,
˙z2 = (iσ2 + γ2)z2 + χ2z2
1 + (d21|z1|2
+ d22|z2|2
)z2,
(1.97)
где γj = (A1aj, bj), j = 1, 2,
χ1 = (F21(¯a1, a2) + F21(a2, ¯a1), b1), χ2 = (F21(a1, a1), b2),
d11 = F3(a1, a1, ¯a1) + F3(a1, ¯a1, a1) + F3(¯a1, a1, a1), b1 ,
d12 = F3(a1, a2, ¯a2) + F3(a2, a1, ¯a2) + F3(a1, ¯a2, a2)+
+ F3(a2, ¯a2, a1) + F3(¯a2, a1, a2) + F3(¯a2, a2, a1), b1
d21 = F3(a2, a1, ¯a1) + F3(a1, a2, ¯a1) + F3(a2, ¯a1, a1)+
+ F3(a1, ¯a1, a2) + F3(¯a1, a2, a1) + F3(¯a1, a1, a2), b2
d22 = F3(a2, a2, ¯a2) + F3(a2, ¯a2, a2) + F3(¯a2, a2, a2), b2 .
Для дальнейшего анализа системы (1.97) перейдем к полярным коорди-
натам zj = ξj exp(iϕj), j = 1, 2, где ξj — амплитуды колебаний, а ϕj — фазы
колебаний. Выделяя действительную и мнимую части уравнений, в итоге за-
мены получаем четырехмерную систему с действительными переменными
˙ξ1 = Re γ1ξ1 + |χ1|ξ1ξ2 cos(2ϕ1 − ϕ1 + δ1) + (Re d11ξ2
1 + Re d12ξ2
2)ξ1,
˙ξ2 = Re γ2ξ2 + |χ2|ξ2ξ1 cos(2ϕ1 − ϕ1 − δ2) + (Re d21ξ2
1 + Re d22ξ2
2)ξ2,
˙ϕ1 = Im γ1 − |χ1|ξ2 sin(2ϕ1 − ϕ1 + δ1) + Im d11ξ2
1 + Im d12ξ2
2,
˙ϕ2 = Im γ2 − |χ2|
ξ2
1
ξ2
sin(2ϕ1 − ϕ1 − δ2) + Im d21ξ2
1 + Im d22ξ2
2.
(1.98)
Здесь δj — аргументы комплексных чисел χj — соответственно.
Введем в рассмотрение разность фаз ψ = 2ϕ1 − ϕ1. Тогда от четырех-
мерной системы отщепляется трехмерная система, в которой выделены ам-
плитудные и фазовые переменные
˙ξ1 = γ11ξ1 + k1ξ1ξ2 cos(ψ + δ1) + (b11ξ2
1 + b12ξ2
2)ξ1,
˙ξ2 = γ21ξ2 + k2ξ2ξ1 cos(ψ − δ2) + (b21ξ2
1 + b22ξ2
2)ξ2,
˙ψ1 = δ − 2k1ξ2 sin(ψ + δ1) − k2ξ2 sin(ψ − δ2) + c1ξ2
1 + c2ξ2
2,
(1.99)

где γj1 = Re γj, bjm = Re djm, cj = 2 Im d1j − Im d2j, kj = |χj|, j = 1, 2,
m = 1, 2, δ = 2 Im γ1 − Im γ2.
Задача 6. Найти состояния равновесия системы (1.99) и исследовать их
на устойчивость.
Задача 7. При фиксированных значениях параметров численно постро-
ить устойчивые траектории системы (1.99).
Задача 8. Изучить численными методами изменения фазового портрета
системы (1.99) при изменении одного из ее параметров и фиксированных
остальных.
1.7.2 Нормальная форма в случае, если квадратичная
нелинейность зависит от
√
ε
В случае выбора нелинейности F2(x, x, ε) в виде F2(x, x, ε) = F20(x, x) +√
εF21(x, x) необходимо потребовать выполнения дополнительных условий,
накладываемых на F20(x, x):
(F20(¯a1, a2) + F20(a2, ¯a1), b1) = 0, (F20(a1, a1), b2) = 0. (1.100)
При этом для построения нормальной формы, как и в предыдущем случае
в системе (1.1) следует выполнить замену (1.95) и приравнять коэффициен-
ты при одинаковых степенях
√
ε. На первом шаге выполнения алгоритма,
очевидным образом, получаем при
√
ε верное тождество.
Далее при ε имеем систему
˙u1 = A0u1 + F20 z1 exp(iω0t)a1 + z2 exp(2iω0t)a2+
+ к.с., z1 exp(iω0t)a1 + z2 exp(2iω0t)a2 + к.с. . (1.101)
Отметим, что условия (1.100) обеспечивают разрешимость данной систе-
мы в классе периодических функций. Из (1.101) функция u1 определяется
в следующем виде:
u1 = w01|z1|2
+ w02|z2|2
+ w1¯z1z2 exp(iω0t) + w2z2
1 exp(2iω0t)+
+ w3z1z2 exp(3iω0t) + w4z2
2 exp(4iω0t) + к.с. , (1.102)
где w01, w02, w3, w4 определяются однозначно:
w0j = −A−1
0 F20(¯a1, a1) + F20(a1, ¯a1) , j = 1, 2,

w3 = (3iω0E−A0)−1
F20(a1, a2)+F20(a2, a1) , w4 = (4iω0E−A0)−1
F20(a2, a2),
а для w1 и w2 имеем следующие вырожденные задачи:
(iω0E − A0)w1 = F20(¯a1, a2) + F20(a2, ¯a1),
(2iω0E − A0)w2 = F20(a1, a1),
(1.103)
Выполнение условий (1.100) позволяет получить решение данных задач с
точностью до произвольных постоянных:
w1 = w∗
1 + c1a1, w2 = w∗
2 + c2a2. (1.104)
Постоянные c1 и c2 выбираются из условий ортогональности (wj, bj) = 0,
j = 1, 2.
Из условий разрешимости задачи, получающейся при ε3/2
, имеем ту же
систему (1.97), что была и в предыдущем случае, при этом коэффициенты
γj, χj, j = 1, 2 остаются прежними, а остальные коэффициенты принимают
вид
d11 = F20(a1, w01) + F20(w01, a1) + F20(¯a1, w2) + F20(w2, ¯a1)+
+ F3(a1, a1, ¯a1) + F3(a1, ¯a1, a1) + F3(¯a1, a1, a1), b1 ,
d12 = F20(a1, w02) + F20(w02, a1) + F20(a2, ¯w1) + F20( ¯w1, a2)+
+ F20(¯a2, w3) + F20(w3, ¯a2) + F3(a1, a2, ¯a2) + F3(a2, a1, ¯a2) + F3(a1, ¯a2, a2)+
+ F3(a2, ¯a2, a1) + F3(¯a2, a1, a2) + F3(¯a2, a2, a1), b1 ,
d21 = F20(a1, w1) + F20(w1, a1) + F20(¯a1, w3) + F20(w3, ¯a1)+
+ F20(a2, w01) + F20(w01, a2) + F3(a1, a2, ¯a2) + F3(a2, a1, ¯a2)+
+ F3(a1, ¯a2, a2) + F3(a2, a1, ¯a1) + F3(a1, a2, ¯a1) + F3(a2, ¯a1, a1)+
+ F3(a1, ¯a1, a2) + F3(¯a1, a2, a1) + F3(¯a1, a1, a2), b2 ,
d22 = F20(a2, w02) + F20(w02, a2) + F20(¯a2, w4)+
+ F3(a2, a2, ¯a2) + F3(a2, ¯a2, a2) + F3(¯a2, a2, a2), b2 ,
1.7.3 Нормальная форма в случае произвольной
квадратичной нелинейности
Пусть теперь F2(x, x, ε) = F20(x, x) + εF21(x, x).

В этом случае решение системы (1.1) будем искать в виде
x(t, s) = ε z1(s) exp(iω0t)a1 + ¯z1(s) exp(−iω0t)¯a1 +
+ z2(s) exp(2iω0t)a2 + ¯z2(s) exp(−2iω0t)¯a2 +
+ ε2
u1(t, s) + ε3
u2(t, s) + . . . , (1.105)
где, как и ранее, s = εt — медленное время, а z1(s), z2(s), u1(t, s), u2(t, s) —
подлежащие определению 2π/ω0-периодические по функции.
Подставим замену (1.105) в уравнение (1.1), получим следующее выра-
жение:
ε iω0 z1(s)eiω0t
a1 − ¯z1(s)e−iω0t
¯a1 + 2iω z2(s)e2iω0t
a2 − ¯z2(s)e−2iω0t
¯a2 +
+ ε2
z1(s)eiω0t
¯a1 + z2(s)e2iω0t
a2 + ¯z2(s)e−2iω0t
¯a2 +
+ ε2
( ˙u2(t, s) + εu2(t, s)) + ε3
( ˙u2(t, s) + εu2(t, s)) + · · · =
= (A0 + εA1)x(t, s) + F20(x(t, s), x(t, s))+
+ εF21(x(t, s), x(t, s)) + F3(x(t, s), x(t, s), x(t, s)).
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ε.
При ε имеем, очевидно, верное тождество, а при ε2
z1(s)eiω0t
¯a1 + z2(s)e2iω0t
a2 + ¯z2(s)e−2iω0t
¯a2 + ˙u2 =
= A0u2 + A1 z1(s)eiω0t
¯a1 + z2(s)e2iω0t
a2 + ¯z2(s)e−2iω0t
¯a2 +
+ F20 z1(s)eiω0t
a1 + z2(s)e2iω0t
a1 + z2(s)e2iω0t
a2 + к.с. .
Из условий разрешимости полученной системы в классе 2π/ω0-периодичес-
ких функций получаем следующую систему дифференциальных уравнений
относительно комплексных переменных z1(s) и z2(s):
z1 = α1z1 + β1¯z1z2,
z2 = α2z2 + β2¯z2
1,
(1.106)
Здесь α1 = (A1a1, b1), α2 = (A1a2, b2), β1 = F20(¯a1, a2) + F20(a2, ¯a1), b1 ,
β2 = F20(a1, a1), b2 .
Задача 9. Изучить качественное поведение системы (1.106) при различ-
ных значениях входящих параметров.
Задача 10. Построить следующее по порядку малости приближение нор-
мальной формы (1.106).

Глава 2
Алгоритмы нормализации
отображений
Рассмотрим распространение алгоритма нормализации, изложенного в
первой главе, на отображения.
Как и в [24], рассмотрим в Rn
отображение
u → A0u + εA1u + F2(u, u) + F3(u, u, u), (2.1)
определяющее вектор u(t + 1), через u(t). Здесь u(t) при каждом t лежит
в Rn
, 0 < ε 1 — малый параметр, A0 — n × n вещественная матрица,
имеющая m пар собственных чисел на единичной окружности комплексной
плоскости так, что A0ak = eiωk
ak, k = 1, . . . , m. Остальные собственные числа
A0 лежат внутри единичного круга. Будем считать, что F2(u, u) и F3(u, u, u)
— линейные по каждому своему аргументу функции, определяющие квад-
ратичную и кубическую нелинейности правой части.
2.2 Нормализация отображений
При сделанных допущениях в окрестности нулевой неподвижной точ-
ки отображение (2.1) имеет 2m-мерное экспоненциально устойчивое локаль-
ное инвариантное многообразие [21,22], что позволяет свести задачу к 2m-
мерной. Напомним, что в [23] известный метод Пуанкаре-Ляпунова приме-
нен к построению интегрального многообразия в окрестности цикла и систе-
мы обыкновенных дифференциальных уравнений на нем, причем последняя
45

46 Глава 2. Алгоритмы нормализации отображений
строится сразу в нормальной форме Пуанкаре-Дюлака. Ниже этот прием
распространяется на случай, когда мы интересуемся структурой окрестно-
сти неподвижной точки отображения.
В ряде случаев локальный анализ отображений в окрестности неподвиж-
ной точки удобнее производить путем сведения исследуемого объекта к си-
стеме обыкновенных дифференциальных уравнений (некоторые из этих слу-
чаев представлены в работе [16]). Опишем основную конструкцию общего
вида, позволяющую получить нормальную форму отображения в виде си-
стемы дифференциальных уравнений, и приведем содержательный пример
ее использования.
Выполним в (2.1) замену
u(t) =
√
εu0(t, s)+εu1(t, s)+ε3/2
u2(t, s)+ε2
u3(t, s)+ε5/2
u4(t, s)+. . . , (2.2)
где u0(t, s) =
m
k=1
ξk(s) exp(iωkt)ak + ξk(s) exp(−iωkt)ak , s = εt. Прирав-
нивание коэффициентов при одинаковых степенях
√
ε приводит на третьем
шаге к уравнению
u2(t + 1, s) − A0u2(t, s) = −
m
k=1
˙ξk(s) exp(iωk(t + 1))ak+
+˙ξ(s) exp(−iωk(t + 1))ak + 2F2(u0, u1) + F3(u0, u0, u0) + A1u0.
(2.3)
В зависимости от того, какие резонансные соотношения связывают ωk,
могут быть получены различные условия разрешимости задачи (2.3), ясно,
однако, что эти соотношения будут включать следующие слагаемые:
˙ξk = γkξk + ξk
m
j=1
dkj | ξj |2
+ . . . , (2.4)
где γk, dkj – числа, определяемые правыми частями (2.1). Грубым режимам
системы (2.4) будут соответствовать решения (2.1) той же устойчивости с
асимптотикой (2.2).

Взаимодействие трех автогенераторов 47
2.3 Отображение, моделирующего динамику
взаимодействия трех автогенераторов
2.3.1 Постановка задачи
Рассмотрим применение приведенного алгоритма на примере следу-
ющего отображения, порождаемого системой трех связанных RCLG-
генераторов:
vj(t+1) = wj(t)
wj(t+1) = −(1−ε)vj(t)−ϕ(Kwj(t)) + νϕ (Kwj(t))ϕ(Kwj−1(t)),
(2.5)
где v0 = v3, w0 = w3, ε и ν — малые параметры, K — некоторое число. От-
носительно функции ϕ(z) предполагается, что ϕ (z) > 0 при всех z ∈ R,
ϕ(0) = 0, ϕ (0) = 1 и, кроме того, выполнены следующие предельные соот-
ношения:
ϕ(z) → q1 при z → +∞ , ϕ(z) → −q2 при z → −∞ ,
z ϕ (z) → 0 при z → ±∞ ,
где q1, q2 > 0. Учитывая, что ниже будут изучаться локальные свойства
системы (2.5), считаем, что в окрестности точки ноль ϕ(z) допускает следу-
ющее разложение:
ϕ(z) = z − az3
+ bz5
+ . . . (2.6)
Простейший пример удовлетворяющей указанным условиям функции дает
выражение ϕ(z) = z(1 + z2
)−1/2
, для которого a = 1/2, b = 3/8.
Матрица линейной части системы (2.5) имеет при 0 < K < 2 и ε = 0 па-
ру собственных чисел λ1,2 = exp(±iω0), где ω0 = arccos (−K/2) , кратности
три, которая лежит на единичной окружности комплексной плоскости. Учи-
тывая, что этим собственным числам соответствует столько линейно незави-
симых собственных векторов какова их кратность, можно утверждать, что
при достаточно малых ε в окрестности нулевой неподвижной точки системы
(2.5) имеется 6-мерное экспоненциально устойчивое локальное инвариантное
многообразие (см. [24], [29]). Используя изложенный алгоритм, построим
нормальную форму отображения (2.5) и изучим ее динамические свойства.
2.3.2 Нормальная форма отображения
Обозначим u(t) шестимерный вектор вида (v1, w1, v2, w2, v3, w3)T
и будем
считать, что ν = εν0, тогда для нормализации системы разностных урав-
нений (2.5) можно выполнить замену (2.2). На третьем шаге применения

алгоритма из условий разрешимости соответствующей алгебраической за-
дачи на u2(t, s) получаем
˙ξj = −id e−iω0
ξj + 3aK3
ξj|ξj|2
+ Kν0ξj−1 , ξ0 = ξ3, j = 1, 2, 3, (2.7)
где d =
1
2 sin ω0
. Нормальная форма (2.7) может быть уточнена на пятом
шаге слагаемыми порядка ε, на седьмом — порядка ε2
и т.д. Предполагая,
что
˙ξj = −id e−iω0
ξj − 3aK3
ξj|ξj|2
+ Kν0ξj−1 + εΨj(ξj, ξj−1, ξj−2),
ξ0 = ξ3, ξ−1 = ξ2, j = 1, 2, 3,
(2.8)
из условий разрешимости системы, возникающей при ε5/2
для u3(t, s) полу-
чаем функцию добавки
εΨj(ξj, ξj−1, ξj−2) =
ε
2
d2
e−2iω0
ξj + 3aK3
(3e−iω0
− eiω0
)ξj|ξj|2
+
+ν0Kξj−1 2e−iω0
+ 3aK2
(K + 4i sin ω0)(2|ξj|2
+ |ξj−1|2
) −
−3ν0aK3
(K − 4i sin ω0)ξ2
j
¯ξj−1 + Kν2
0ξj−2(K + 4i sin ω0)+
+K5
9a2
K + 4i
(3a2
K + 5b(K + 2 cos 3ω0)) sin ω0
K + 2 cos 3ω0
ξj|ξj|4
.
(2.9)
Принимая во внимание развитую в [24] общую теорию, можно показать,
что грубым режимам систем (2.7) или (2.8) соответствуют решения системы
(2.5) с асимптотикой (2.2) той же устойчивости. Тем самым возникает задача
качественного анализа этих систем. Рассмотрим сначала систему (2.7) и в
целях ее упрощения выполним замену ξj =
4 sin ω0
3K3
exp − t
i
2
ctg ω0 ηj.
Преобразованная система приводится к виду
˙η1 = −η1/2 − i(γη3+ | η1 |2
η1),
˙η2 = −η2/2 − i(γη1+ | η2 |2
η2),
˙η3 = −η3/2 − i(γη2+ | η3 |2
η3),
(2.10)
где γ =
Kν0
2 sin ω0
.
Сразу отметим, что при |γ| < 1/
√
3 нулевое решение (2.10) асимптоти-
чески устойчиво, а при |γ| > 1/
√
3 — неустойчиво. Если же |γ| = 1/
√
3, то
система (2.10) имеет в фазовом пространстве прямую, заполненную непо-
движными точками.

Пример. Взаимодействие трех автогенераторов 49
отображения
Качественный анализ системы (2.10) удобнее производить после перехода
в ней к полярным координатам ηj = pieiϕj
. Обозначая α1 = ϕ3 − ϕ1 и α2 =
ϕ1 − ϕ2, приходим к системе
˙p1 = −p1/2 + γp3 sin α1,
˙p2 = −p2/2 + γp1 sin α2,
˙p3 = −p3/2 − γp2 sin(α1 + α2),
˙α1 = γ
p3
p1
cos α1 −
p2
p3
cos(α1 + α2) + p2
1 − p2
3,
˙α2 = γ
p1
p2
cos α2 −
p3
p1
cos α1 + p2
2 − p2
1.
(2.11)
Остановимся сначала на простейших свойствах системы (2.11) аналити-
ческого характера. Прежде всего отметим свойство циклической симметрии,
которое следует из того, что осцилляторы исходной системы разностных
уравнений (2.5) идентичны друг другу. Как легко видеть, система (2.11)
инвариантна относительно замен
p1 → p2, p2 → p3, p3 → p1, α1 → α2, α2 → −α1 − α2 (2.12)
и периодична по α1, α2 с периодом 2π. Тем самым любая траектория системы
(2.11) либо является самосимметричной, либо одновременно с ней в фазовом
пространстве (2.11) сосуществуют еще две траектории, получающиеся из
данной однократной или двукратной заменой (2.12).
Второе свойство системы (2.11) состоит в существовании в ее фазовом
пространстве двух инвариантных прямых
p1 = p2 = p3 = p, α1 = α2 = 2π/3,
p1 = p2 = p3 = p, α1 = α2 = −2π/3.
(2.13)
Система (2.11) сводится к уравнению ˙p = (γ
√
3 − 1)p/2, на первой из пря-
мых (2.13) и ˙p = −(γ
√
3 + 1)p/2 — на второй. Как уже отмечалось выше,
при |γ| < 1/
√
3 нулевое решение (2.10) асимптотически устойчиво. Система
(2.11) в силу выполненных замен уже не имеет нулевого решения, однако
при указанных ограничениях ее траектории стремятся к нулю вдоль одного
из инвариантных направлений. При γ = 1/
√
3 первая из инвариантных пря-
мых (2.13) заполнена состояниями равновесия, а при γ = −1/
√
3 — вторая.

Увеличение |γ| приводит в обоих случаях к мягкому ответвлению периоди-
ческих колебаний. Учитывая, что данные фазовые перестройки происходят
в критическом случае одного нулевого и пары чисто мнимых собственных
чисел, при γ = ±(1/
√
3+µ), где 0 < µ << 1, можно построить асимптотику
устойчивого периодического режима системы (2.11). Данный критический
случай подробно изучен, например, в книге [9]. При γ = 1/
√
3 + µ имеем
(p1, p2, p3, α1, α2)T
= (p+
, p+
, p+
, α+
, α+
)T
+
+ r+√
µ Re w+
exp(ω+
t) + O(µ). (2.14)
Здесь p+
= 3
√
2 + 2
√
3, α+
= 2π/3, ω+
=
√
2+
√
3, r+
2.745, а вектор w+
имеет вид w+
−0.1997−0.2029i, −0.0758+0.2744i, 0.2756−0.0715i, −0.5+
0.866i, 1
T
. Если же γ = −1/
√
3 − µ, то асимптотика устойчивого цикла
становится следующей:
(p1, p2, p3, α1, α2)T
= (p−
, p−
, p−
, α−
, α−
)T
+
+ r−√
µ Re w−
exp(ω−
t) + O(µ), (2.15)
где p−
= 3
√
2 − 2
√
3, α−
= −2π/3, ω−
=
√
3 −
√
2, r−
2.33, а w−
− 0.21 + 0.2619i, 0.3318 + 0.051i, −0.1218 − 0.3129i, −0.5 + 0.866i, 1
T
.
Численный анализ, выполненный с помощью программы Tracer 3 (см.
[31]), показал, что при увеличении параметра γ > 1/
√
3 в системе (2.8) на-
блюдается следующая динамика (точнее говоря, речь пойдет о фрагментах
динамики, которые удалось выявить с той или иной степенью достоверно-
сти).
1. При γ+
1 < γ < γ+
2 (γ+
1 = 1/
√
3 0.57735, γ+
2 0.716) устойчив цикл
C1, ответвившийся при γ = γ+
1 от состояния равновесия на инвариантной
прямой (2.13) и допускающий при 0 < γ − γ+
1 << 1 асимптотику (2.14).
2. При γ = γ+
2 с циклом C1 происходит бифуркация удвоения и при
γ+
2 < γ < γ+
3 (γ+
3 0.7173) устойчив условно двухобходный цикл C2.
3. При γ = γ+
3 от периодического решения двойного периода бифурци-
руют двухчастотные колебания (двумерный тор ), которые устойчивы на
промежутке γ+
3 < γ < γ+
4 .
4. При γ > γ+
4 в системе наблюдаются неупорядоченные колебания, стар-
ший ляпуновский показатель которых растет (см рис. 2.1).

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
1
2
3
γ
λ1
Рис. 2.1.
Величину γ+
4 можно оценить лишь весьма приближенно, как точку в ко-
торой старший ляпуновский показатель становится положительным, в со-
ответствии с этим 0.75 γ+
4 0.758. Способ перехода от двухчастотных
колебаний к хаотическим, также остается в данном случае неизвестным.
Рассмотрим теперь фазовые перестройки системы (2.8) при отрицатель-
ных γ. В этом случае реализуется сложная схема всевозможных бифуркаций
циклов и хаотических режимов. Выделим область значений γ, примыкаю-
щую к γ = γ−
1 , где γ−
1 = −1/
√
3 0.57735. При этих значениях параметра
возникают и претерпевают фазовые перестройки большое число различных
режимов, которые удается классифицировать по амплитуде колебаний. Вы-
делим режимы условно малой, средней и большой амплитуды и будем обо-
значать буквами C и A соответственно циклы и хаотические аттракторы
системы (2.11), добавляя индексы s, m и l (малый, средний, большой) для
обозначения их амплитуды. Рассмотрим сначала бифуркации, происходя-
щие в этой ситуации с циклом малой амплитуды.
1. Цикл малой амплитуды Cs мягко ответвляется при γ = γ−
1 от со-
стояния равновесия на второй инвариантной прямой (2.13) и имеет вблизи
критического значения параметра γ асимптотику (2.15) (на рис. 2.2-2.5 этот
цикл изображен жирной кривой).
2. При γ−
2 < γ < γ−
1 (γ−
2 −0.716) цикл Cs устойчив, а при γ = γ−
2 он
претерпевает бифуркацию удвоения периода.
3. Цикл условно двойного периода C2
s остается устойчивым при γ−
3 <
γ < γ−
2 (γ−
3 −1.272).
4. При γ < γ−
3 цикл C2
s теряет устойчивость и наблюдаются хаотические
колебания с многочисленными окнами периодичности.
Отметим, что циклы Cs и C2
s самосимметричны, т.е. инвариантны отно-
сительно замены (2.12).
Ниже на рис. 2.2 – 2.5 приведены проекции траекторий системы (2.11)
на плоскость p3 = α1 = α2 = 0 для некоторых характерных значений пара-
метра γ. Для того чтобы получить устойчивые режимы изучаемой системы
с относительно узкими областями притяжения, из 40000 случайно выбран-

ных точек области (0, 2] × (0, 2] × (0, 2] × [0, 2π] × [0, 2π] фазового простран-
ства выпускались траектории, по местам сгущения которых можно судить
о наличии в данной части фазового пространства какого-либо устойчивого
режима.
p
p a)
1
2
p
p b)
1
2
Рис. 2.2. a) γ = −0.595; b) γ = −0.6022.
p
p a)
1
2
p
p b)
1
2
Рис. 2.3. a) γ = −0.62; b) γ = −0.63.

p
p a)
1
2
p
p b)
1
2
Рис. 2.4. a) γ = −0.633; b) γ = −0.6395.
p
p a)
1
2
p
p b)
1
2
Рис. 2.5. a) γ = −0.65; b) γ = −0.67.
Перейдем теперь к описанию фазовых перестроек, происходящих с цик-
лами средней амплитуды. Такие циклы наблюдаются на промежутке от
γ = γ−
m до γ = γ−
1 , где γ−
m −0.765. При этом на начальном промежут-
ке γ−
m < γ < γ−
m1, где γ−
m1 −0.6483 каскада бифуркаций нет. При γ = γ−
m у
системы (2.11) появляются три симметричных устойчивых цикла C0
m, C0∗
m ,
C0∗∗
m , переходящих друг в друга в результате замены (2.12), а при γ = γ−
m1
они теряют устойчивость. На рис. 2.5a, 2.5b эти циклы изображены пункти-
ром различной длины.
Будем следить за каскадами бифуркаций, происходящими с режимами
средней амплитуды, увеличивая параметр γ−
m < γ < γ−
1 . Важно отметить,
что области, в которых происходят каскады бифуркаций, мы будет рассмат-
ривать при увеличении γ, а за бифуркациями внутри этих областей — при

уменьшении этого параметра. Ниже приведены четыре промежутка, на ко-
торых происходят стандартные каскады бифуркаций удвоения и возникно-
вения хаотических колебаний.
1. Первый каскад происходит на промежутке γ−
m2 < γ < γ−
m3, где γ−
m2
−0.6335, γ−
m3 −0.61913 при уменьшении γ:
— при γ = γ−
m3 возникает самосимметричный цикл C1
m (на рис. 2.3a этот
цикл изображен пунктиром);
— при γ −0.6268 происходит первая бифуркация удвоения периода,
возникает цикл C12
m удвоенного периода;
— при γ −0.6296 происходит вторая бифуркация удвоения периода и
m условно периода четыре (на рис. 2.3b пунктиром изоб-
ражен цикл C13
m при γ = −0.63);
— при γ−
m2 < γ −0.631 система (2.11) имеет хаотические колебания
средней амплитуды. (На рис. 2.4a изображен хаотический аттрактор A1
m
при γ = −0.633).
2. Второй каскад происходит на промежутке γ−
m4 < γ < γ−
m5, где γ−
m4
−0.61172, γ−
m5 −0.60605 также при уменьшении γ. Отметим значения
параметра γ, при которых происходят бифуркации в этом случае:
m5 возникает самосимметричный цикл C2
m;
— при γ −0.61 происходит первая бифуркация удвоения периода, а
при γ −0.611 — вторая.
— при γ−
m4 < γ −0.6112 система (2.11) имеет хаотические колебания
средней амплитуды.
3. Третий каскад происходит на промежутке γ−
m6 < γ < γ−
m7, где γ−
m6
−0.60226, γ−
m7 −0.59902. Отметим бифуркационные значения γ
m7 возникает 3 симметричных цикла C3
m, C3∗
m , C3∗∗
m ;
— при γ −0.60143 с каждым из них происходит первая бифуркация
удвоения периода, а при γ −0.60196 — вторая.
— при γ−
m6 < γ −0.602 система (2.11) имеет три симметричных хаоса
средней амплитуды. (На рис. 2.2b изображены симметричные хаотические
аттракторы A3
m, A3∗
m и A3∗∗
m при γ = −0.6022).
4. Последний замеченный каскад бифуркаций самосимметричных ат-
тракторов средних размеров происходит на промежутке γ−
m8 < γ < γ−
m9,
где γ−
m8 −0.59677, γ−
m9 −0.59475. В этом случае самосимметричный
цикл C4
m возникает при γ = γ−
m9, при γ −0.59627 происходит первая би-
фуркация удвоения, а при γ −0.5966 – вторая.
В каждом из четырех описанных случаев вычислялись ляпуновские по-
казатели соответствующего хаотического аттрактора. В таблице 2.1 приве-
дены величины ляпуновских показателей и ляпуновской размерности для

последних значений γ в каждом каскаде, при которых наблюдаются хаоти-
ческие колебания (γ = γ−
m2, γ−
m4, γ−
m6, γ−
m8 ).
Таблица 2.1.
γ λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 dL
-0.6335 0.0224 8 · 10−5
-0.1635 -1.420 -1.439 2.137
-0.61172 0.0145 0.0005 -0.072 -1.460 -1.483 2.209
-0.60226 0.0108 6 · 10−6
-0.045 -1.483 -1.483 2.241
-0.59677 0.009 -5 · 10−5
-0.0335 -1.4818 -1.4935 2.267
Опишем теперь каскады бифуркаций, полученные для режимов большой
амплитуды. Такие циклы наблюдаются на промежутке от γ = γ−
l до γ = γ−
1 ,
где γ−
l −0.67812. Как и ранее, будем следить за фазовыми перестройками
при увеличении параметра γ. Отметим однако, что в отличие от предыду-
щего случая перестройки внутри каскадов происходят при увеличении γ.
1. Первый каскад бифуркаций режимов большой амплитуды наблюда-
ется на промежутке γ−
l1 < γ < γ−
l2, где γ−
l1 −0.67812, γ−
l2 −0.64795 при
увеличении γ:
l1 возникает самосимметричный цикл C1
l (на рис. 2.5b этот
цикл изображен тонкой сплошной линией при γ = −0.67);
l удвоенного периода;
— при γ −0.6531 происходит вторая бифуркация удвоения периода и
l условно периода четыре;
— при −0.652 γ < γ−
l2 система (2.11) имеет хаотические колебания
большой амплитуды (на рис. 2.5a изображен хаотический аттрактор A1
l при
γ = −0.65).
2. Второй каскад происходит на промежутке γ−
l3 < γ < γ−
l4, где γ−
l3
−0.64875, γ−
l4 −0.6367. Отметим бифуркационные значения γ:
l3 возникает самосимметричный цикл C2
l ;
— при γ −0.64016 происходит первая бифуркация удвоения периода, а
при γ −0.6382 — вторая (на рис. 2.4b изображен цикл большой амплитуды
C21
l после первой бифуркации удвоения при γ = −0.6395);
— при −0.6379 γ < γ−
большой амплитуды.
3. Третий каскад происходит при γ−
l5 < γ < γ−
l6, где γ−
l5 −0.63306,
γ−
l6 −0.62664, с тремя сосуществующими режимами большой амплиту-

ды, которые переходят друг в друга в результате замены (2.12). Отметим
бифуркационные значения γ:
l5 возникает три симметричных друг другу цикла C3
l , C3∗
l ,
C3∗∗
l (на рис. 2.3b и 2.4a эти циклы изображены тонким пунктиром различ-
ной длины);
а при γ −0.62752 — вторая;
— при −0.6272 γ < γ−
большой амплитуды.
4. Четвертый каскад бифуркаций самосимметричных аттракторов боль-
шой амплитуды происходит на промежутке γ−
l7 < γ < γ−
l8, где γ−
l7 −0.62315,
γ−
l8 −0.6193. В этом случае самосимметричный цикл C4
l возникает при
γ = γ−
l7, при γ −0.62066 происходит первая бифуркация удвоения, а при
γ −0.6199 — вторая (на рис. 2.3a изображен цикл большой амплитуды C41
l
после первой бифуркации удвоения при γ = −0.62). Хаотические колебания
наблюдаются на промежутке −0.6197 γ < γ−
l8.
При дальнейшем увеличении параметра γ встречаются и другие каскады
бифуркаций, разворачивающиеся на все более узких промежутках, с точкой
сгущения, по-видимому, в γ = γ−
1 . Например, на рис. 2.2a представлен хао-
тический режим большой амплитуды, возникший в результате аналогичного
описанным выше каскада бифуркаций.
Для хаотических режимов внутри полученных промежутков также вы-
числялись ляпуновские показатели и ляпуновская размерность соответству-
ющего хаотического аттрактора большой амплитуды. В таблице 2.2 приве-
дены эти величины для γ = γ−
l2, γ−
l4, γ−
l6, γ−
l8 и для γ = −0.595 (см. колебания
большой амплитуды на рис. 2.2a).
Таблица 2.2.
γ λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 dL
-0.64795 0.0268 -0.0001 -0.1686 -1.381 -1.478 2.158
-0.6367 0.0186 0.0001 -0.1176 -1.3993 -1.5016 2.158
-0.62664 0.0153 −2 · 10−5
-0.094 -1.436 -1.485 2.163
-0.6193 0.0129 9 · 10−5
-0.077 -1.45 -1.486 2.168
-0.595 0.0059 -0.0005 -0.031 -1.473 -1.502 2.158
Отметим, что области устойчивости хаотического режима первого кас-
када A1
l и цикла C2
l второго каскада пересекаются, что позволяет предпо-

ложить, что режимы большой амплитуды могут быть классифицированы
более тонко. В целом система (2.11) демонстрирует при данных значени-
ях параметров большое число сосуществующих устойчивых режимов. На
рисунках 2.2-2.5 можно наблюдать до пяти сосуществующих устойчивых
циклов и хаотических режимов.
Фазовые перестройки, происходящие с аттракторами системы (2.11) при
γ < γ−
3 , идентифицировать достаточно сложно, впрочем характер хаотиче-
ских колебаний, которые возникают в этом случае у системы (2.11), может
быть оценен по старшему ляпуновскому показателю, графики которого при-
ведены на рис. 2.2-2.5. Нетрудно видеть, что области хаотических колебаний
перемежаются в этом случае многочисленными окнами периодичности или
квазипериодичности (старший показатель нулевой). На рис. 2.6 дана общая
картина зависимости λ1(γ) на промежутке изменения γ от −10 до −1. На
рис. 2.7-2.9 более подробно рассмотрены сложные участки графика λ1(γ).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0
2
4
γ
λ1
Рис. 2.6
-4.3 -4.2 -4.1 -4
0
0.6
γ
λ1
Рис. 2.7
-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8
0
0.2
0.4
γ
λ1
Рис. 2.8

-7.2 -7.1 -7.0 -6.9
0
1
2
γ
λ1
Рис. 2.9
Таким образом, изучение динамических свойств решений системы (2.11)
показало, что у нее может сосуществовать большое число устойчивых цик-
лов или торов, которым соответствуют устойчивые торы исходной разност-
ной системы (2.5) с асимптотикой (2.2). Следует однако заметить, что вдоль
одного из инвариантных направлений (2.13) решения системы (2.11) стре-
мятся при |γ| > 1/
√
3 к бесконечности. И, хотя при изучаемых значениях
параметров инвариантные лучи (2.13) являются отталкивающими, наличие
направления, по которому решение может уходить из области применимо-
сти асимптотических методов, требует вычисления следующего по порядку
малости коэффициента в разложении (2.4) и дополнительного анализа соот-
ветствующей нормальной формы. При достаточно больших |ξ1|2
+|ξ2|2
+|ξ3|2
слагаемым, определяющим поведение решений системы (2.8) с добавкой
(2.9), является вещественная часть слагаемого при |ξj|4
ξj. Эта величина со-
гласно представлению (2.9) равна
9a2
K6
8 sin2
ω0
и положительна, исходя из этого,
масштаб применимости полученных в работе результатов имеет порядок
√
ε.
Для начальных условий внутри шара радиуса порядка
√
ε траектории систе-
мы (2.5) будут притягиваться к одному из режимов, определяемых нормаль-
ной формой (2.11), а вне некоторого шара радиуса порядка 4
√
ε траектории
будут удаляться от нуля и, учитывая диссипативность исходной системы,
попадут в область притяжения какого-либо нелокального режима. Это, в
частности, означает, что у динамической системы (2.5) может сосущество-
вать большое число сложных колебательных режимов различных масшта-
бов.

Глава 3
Нормализация
дифференциально-
разностных
уравнений
Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение
˙x = l(x(t + s), ε), (3.1)
где x(t) ∈ Rn
, ε — скалярный малый параметр. Нелинейный оператор
l(x(s), ε) при каждом ε действует из C(−h, 0) в Rn
. Ниже предполагается,
что l(0, ε) = 0 и что l(x(s), ε) достаточно гладко зависит от x(s), принадле-
жащих малой окрестности нуля C(−h, 0) и от ε. Напомним, что начальным
условием задачи (3.1) служит непрерывная функция x(s) при −h ≤ s ≤ 0.
Нелинейный оператор l(x(s), ε), действующий из C(−h, 0) в Rn
, имеет
вид
l(x(s), ε) = l1(x(s), ε) + l2(x(s), ε) + l3(x(s), ε) + . . . (3.2)
В правой части (3.2) выделены соответственно линейная, квадратичная и ку-
бическая составляющие. Точками обозначены слагаемые, имеющие по x(s)
более высокий порядок малости.
Будем считать, что характеристический квазимногочлен линейного урав-
нения
˙x = l1(x(t + s), 0) (3.3)
59

60 Глава 3. Нормализация дифференциально-разностных уравнений
имеет (как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений в пер-
вой главе) m пар чисто мнимых корней ±iωk, k = 1, . . . , m, а у всех осталь-
ных корней действительные части отрицательны и отделены от нуля. При
совпадении некоторых из лежащих на мнимой оси корней считаем, что им
соответствует столько линейно независимых решений, какова их кратность.
Так же как и в предыдущих главах, наша задача состоит в изучении
окрестности нулевого решения задачи (3.1) и в построении на его устойчи-
вом интегральном многообразии уравнения нормальной формы. Как оказы-
вается, алгоритм нормализации имеет в данном случае ряд особенностей.
3.2 Алгоритмы построения нормальной
формы дифференциальных уравнений
с запаздыванием
3.2.1 Описание основного алгоритма
Приведем сначала рассуждение, принадлежащее Н.Н. Боголюбову и
Ю.А. Митропольскому, и носящее название принципа сведения. В приме-
нении к уравнениям с запаздыванием он сформулирован, например, в кни-
ге [27].
В соответствии с этим принципом, разобьем фазовое пространство изу-
чаемой системы на два корневых подпространства C1(ε) и C2(ε) так, что
C1(ε) ⊕ C2(ε) = C(−h, 0). Первое из этих подпространств соответствует 2m
корням характеристического квазимногочлена, выходящим при ε = 0 на
мнимую ось, а второе дополняет первое до C(−h, 0).
Сделаем одно дополнительное предположение относительно гладкости
нелинейной части оператора l(x(s), ε). Считаем, что существует определен-
ный на всем C(−h, 0) оператор
l(x(s), ε, δ) = l1(x(s), ε) + l2(x(s), ε, δ), (3.4)
зависящий от дополнительного малого параметра δ, достаточно гладкий
по всем своим аргументам. Предполагаем, что l(x(s), ε, δ) = l1(x(s), ε) при
x(s) C(−h,0) ≤ δ. Относительно нелинейного слагаемого l2(x(s), ε, δ) будем
считать, что для произвольных x(s), y(s) ∈ C(−h, 0) выполнено неравенство
l2(x(s), ε, δ) − l2(y(s), ε, δ) Rn ≤ q(δ) x(s) − y(s) C(−h,0) (3.5)
где q(δ) → 0 при δ → 0.

Алгоритмы построения нормальной формы 61
В случае выполнения приведенного условия можно утверждать, что си-
стема (3.1) имеет 2m-мерное экспоненциально устойчивое интегральное мно-
гообразие. Обозначим через P1(ε), P2(ε) проекторы, соответствующие под-
пространствам C1(ε) и C2(ε), тогда названное интегральное многообразие
задается равенствами
v2 = g(v1, ε), vj = Pj(ε)x(s), j = 1, 2. (3.6)
Здесь g : C1(ε) → C2(ε) — достаточно гладкий по своим аргументам опера-
тор. Корневое подпространство C1(ε) натянуто на собственные функции опе-
ратора l1(x(s), 0), соответствующие собственным числам ±iωk, k = 1, . . . , m,
и имеет размерность 2m. Считая v1 2m-мерным вектором отщепим от (3.1)
2m-мерную систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
˙v1 = A(ε)v1 + V (v1, v2, ε). (3.7)
Если теперь подставить выражение (3.6) в (3.7) получаем систему
˙v1 = A(ε)v1 + F2(v1, ε), (3.8)
которая представляет собой сужение уравнения (3.1) на интегральное мно-
гообразие (3.6).
Таким образом, при условии выработки эффективного алгоритма опре-
деления интегрального многообразия (3.6) и уравнений (3.8) на нем, можно
свести локальный анализ исходной задачи (3.1) с запаздыванием к изучению
конечномерной нормальной формы (3.8).
Рассмотрим метод построения нормальной формы, изложенный в пер-
вой главе, в применении к дифференциальным уравнениям с запаздыванием
(3.1).
Предположим, что для частот ωj выполняются условия нерезонансности
ωj = n1ω1 + n2ω2 + · · · + nmωm, j = 1, . . . , m, (3.9)
где (n1, . . . , nm) — произвольный целочисленный вектор, удовлетворяющий
неравенствам
2 ≤ |n1| + |n2| + · · · + |nm| ≤ 3. (3.10)
Выполним в (3.1) замену
x =
√
εu0(t, τ) + εu1(t, τ) + ε3/2
u2(t, τ) + . . . , τ = εt, (3.11)

где
u0 =
m
j=1
zj(τ) exp(iωjt)aj + ¯zj(τ) exp(−iωjt)¯aj . (3.12)
Здесь aj exp(iωjs), j = 1, . . . , m — собственные функции линейного опера-
тора l1(x(s), 0), отвечающие его собственным значениям iωj, zj(τ) — ком-
плекснозначные скалярные функции медленного аргумента. В полученном
соотношении
m
j=1
√
εiωjzj(τ) + ε3/2
zj(τ) eiωjt
aj + к.с. + ε( ˙u1 + εu1)+
+ ε3/2
( ˙u2 + εu2) · · · =
√
ε
m
j=1
l1 zj(τ + εs)eiωj(t+s)
aj, ε + к.с. +
+ εl1(u1(t + s), ε) + ε3/2
l1(u2(t + s), ε)+
+ εl2(
√
εu0(t + s, τ + εs) + εu1(t + s, τ + εs) . . . , ε)+
+ ε3/2
l3(
√
εu0(t + s, τ + εs) + . . . , ε) + . . . , (3.13)
где точкой обозначена производная по t, а штрихом – по τ, приравняем коэф-
фициенты при одинаковых степенях
√
ε. Отметим важное для разложений
выражений (3.13) в ряды соотношение zj(τ + εs) = zj(τ) + εszj(τ) + . . . .
В силу выбора функции u0 первое приближение разложения даст вер-
ное тождество. На каждом следующем шаге применения алгоритма имеем
линейную задачу
˙u1 = l1(u1(t + s), 0) + g1(t, z1, . . . zm), (3.14)
˙u2 = l1(u2(t + s), 0) + g2(t, z1, . . . zm, z1, . . . zm) (3.15)
Из условий разрешимости задачи (3.15) и получается нормальная форма
уравнения (3.1).
Проиллюстрируем применение алгоритма на примере уравнения Хатчин-
сона [25]
˙N = r 1 −
N(t − h)
k
N, (3.16)
которое является базовым для ряда задач популяционной динамики. Здесь
функция N(t) — численность популяции, а положительные параметры r, h
и k — ее характеристики.
Уравнение (3.16) имеет два состояния равновесия N = 0 и N = k, первое
из которых при r > 0 неустойчиво, а второе — устойчиво при 0 < rh < π/2

Алгоритмы построения нормальной формы 63
и неустойчиво при rh > π/2 . При rh = π/2 происходит бифуркация
Андронова-Хопфа, в результате которой от состояния равновесия N = k
ответвляется орбитально асимптотически устойчивый цикл. Построим нор-
мальную форму задачи (3.16) и найдем асимптотику цикла.
Выполним в (3.16) упрощающие замены N = k(1 + n) и t → th и обозна-
чим rh снова r. В полученной задаче
˙n = −rn(t − 1)(1 + n) (3.17)
будем считать, что r = π/2 + ε, где ε — малый положительный параметр.
Линеаризованная в нуле задача (3.17)
˙n = −rn(t − 1) (3.18)
имеет характеристический квазимногочлен вида
P(λ) ≡ λ + re−λ
, (3.19)
который при r = π/2 имеет пару корней ±iπ/2 на мнимой оси, а остальные
лежат в левой комплексной полуплоскости.
Задача 11. Докажите, что корни квазимногочлена λ +
π
2
e−λ
лежат в
левой комплексной полуплоскости за исключением одной пары ±i
π
2
.
Применим к уравнению (3.17) изложенный метод построения нормаль-
ной формы.
Выполняя в (3.17) нормирующую замену
n(t, τ) =
√
ε z(τ) exp(iπt/2) + ¯z(τ) exp(−iπt/2) +
+ εx1(t, τ) + ε3/2
x2(t, τ) + . . . , (3.20)
получаем следующее выражение:
√
εi
π
2
z(τ)eiπt/2
+ ¯z(τ)e−iπt/2
+ ε( ˙x1 + εx1)+
+ ε3/2
z eiπt/2
+ ¯z e−iπt/2
+ ε3/2
( ˙x2 + εx2) =
= −
π
2
+ ε
√
ε z(τ − ε)eiπ(t−1)/2
+ ¯z(τ − ε)e−iπ(t−1)/2
+
+ εx1(t − 1, τ − ε) + ε3/2
x2(t − 1, τ − ε) ×
× 1 +
√
ε z(τ)eiπt/2
+ ¯z(τ)e−iπt/2
+ εx1(t, τ) + ε3/2
x2(t, τ) . (3.21)

Приравнивая в (3.21) коэффициенты при одинаковых степенях ε, найдем
нормальную форму уравнения (3.17). Отметим, что
z(τ − ε) = z(τ − ε) − εz(τ) + . . . .
При ε имеем уравнение
˙x1 = −
π
2
x1(t − 1) + i
π
2
z2
eiπt
− ¯z2
e−iπt
, (3.22)
решение которого имеет вид
x1(t) =
2 − i
5
z2
eiπt
+
2 + i
5
¯z2
e−iπt
. (3.23)
При ε3/2
z eiπt/2
+ ¯z e−iπt/2
+ ˙x2 = −
π
2
x2(t − 1) −
π
2
zeiπ(t−1)/2
+ ¯ze−iπ(t−1)/2
x1+
+ zeiπt/2
+ ¯ze−iπt/2
x1(t − 1) − z eiπt/2
+ ¯z e−iπt/2
−
− zeiπt/2
+ ¯ze−iπt/2
, (3.24)
из условий разрешимости которого и выходит нормальная форма
1 + i
π
2
z = iz +
(1 − 3i)π
10
|z|2
z. (3.25)
Переходя к полярным координатам z = ρeiϕ
, для амплитудной и фазовой
переменных получаем
ρ =
2π
4 + π2
ρ −
3π − 2
20
ρ3
, (3.26)
ϕ =
4
4 + π2
−
π + 6
20
ρ2
. (3.27)
Асимптотически устойчивое состояние равновесия уравнения (3.26)
ρ∗
=
40π
(3π − 2)(π2 + 4)
(3.28)
позволяет, после подстановки в формулу (3.20) получить асимптотику ор-
битально асимптотически устойчивого цикла уравнения (3.17).
Рассмотрим два более сложных примера применения, изложенных выше
алгоритмов.

Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона 65
3.3 Учет возрастных групп в уравнении
Хатчинсона
3.3.1 Постановка задачи
Уравнение Хатчинсона [25] является, как известно, простейшим способом
учета возрастной структуры в задаче о динамике популяции особей, борю-
щихся за общую пищу. В уравнении (3.16) функция N(t) — численность
популяции, а положительные параметры r, h и k — соответственно мальту-
зианский коэффициент линейного роста, возраст половозрелости и средняя
численность популяции, обусловленная емкостью среды. С помощью модели
(3.16) были предприняты удачные попытки объяснения различных случаев
циклического изменения численности популяции (см., например, [26] и мно-
гие другие).
В уравнении (3.16) учитывается лишь возраст половозрелости h, понят-
но, однако, что вклад в изменение численности для возрастных групп, пе-
решедших этот возраст, различен. Модель динамики популяции, учитываю-
щая ее возрастную структуру, имеет вид
˙N = r 1 −
1
k
m
j=1
ajN(t − hj) N, (3.29)
где весовые коэффициенты aj ≥ 0 определяют вклад возрастной группы,
соответствующей запаздыванию hj > 0. Отметим, что
m
j=1
aj = 1.
Изучение уравнения (3.29) с большим числом запаздываний представ-
ляет с аналитической точки зрения достаточно сложную задачу, поэтому
представляется важным изучить ее сначала для n = 2. Рассмотрим уравне-
ние
˙N = r 1 −
aN(t − h1) + bN(t − h2)
k
N. (3.30)
Здесь a, b > 0 — весовые коэффициенты, определяющие вклад каждой из
возрастных групп в воспроизводство популяции. Считаем, что
a + b = 1, (3.31)
кроме того, для определенности полагаем h1 > h2.
Представляет интерес сравнение динамических свойств уравнений (3.16)
и (3.30).

3.3.2 Локальный анализ
Нормируя N на k и делая замену времени th1 → t, переходим к соотно-
шению
˙N = r[1 − aN(t − 1) − bN(t − h)]N, (3.32)
где rh1 снова обозначено r, h = h2/h1 < 1.
Состояниями равновесия уравнения (3.32) являются так же, как и у урав-
нения Хатчинсона, N = 0 и N = 1
a+b.
Легко видеть, что первое состояние равновесия неустойчиво. А для ис-
следования устойчивости второго следует изучить расположение корней ха-
рактеристического квазимногочлена уравнения (3.32), линеаризованного на
N = 1
a+b
˙N = −
r
a + b
[aN(t − 1) + bN(t − h)]. (3.33)
Выражение
P(λ) ≡ λ + r[ae−λ
+ be−λh
] (3.34)
дает искомый квазимногочлен.
Полагая λ = iω и приравняв к нулю вещественные и мнимые части,
получаем систему
ϕ(ω) ≡ b cos ωh + a cos ω = 0, (3.35)
r(ω) ≡
ω
b sin ωh + a sin ω
. (3.36)
Найдем значения параметров a, r, h, при которых корни квазимногочлена
(3.34) переходят мнимую ось.
Следует отметить, что уравнение (3.30) описывает не только динами-
ку численности популяции. Оно встречается в других задачах, требующих
учета запаздывающего аргумента, при этом соотношение (3.31) может не
выполняться. Нетрудно, однако, видеть, что заменами переменных эти два
случая сводятся друг к другу.
Исследование характеристического квазимногочлена
Пусть в системе (3.35)-(3.36)
ϕ(ω0) = 0, r = r(ω0) + ε, λ = τ(ε) + iω(ε),
где τ(0) = 0, ω(0) = ω0. Положим
sign τ0 = −sign ϕ (ω0) τ0 =
d
dε
τ(ε)
ε=0
. (3.37)

Далее, пусть ωj, j = 1, 2, . . . — положительные корни уравнения (3.35),
занумерованные в порядке возрастания с учетом их кратности. Из (3.37)
следует, что числа ±iωj в случае нечетных j при увеличении r приходят
из левой полуплоскости, а в случае четных — из правой. Кроме того, при
любых фиксированных a, h и при достаточно малом r все корни характери-
стического квазимногочлена (3.34) лежат слева от мнимой оси.
Следующее утверждение позволяет узнать, сколько пар корней может
одновременно находиться на мнимой оси.
Лемма 5. Пусть параметр h > 0 достаточно мал, тогда существует
счетное число таких значений ak(h), rk(h), k = 1, 2, . . . , что при a = ak(h)
и r < rk(h) корни характеристического квазимногочлена (3.34) лежат в
левой комплексной полуплоскости, а при r = rk(h) две пары корней ±iω1(h)
и ±iω2(h) выходят на мнимую ось.
Кроме того, имеют место асимптотические формулы
ak(h) = b 1 −
π4
3
(2k + 1)2
(2k + 3)2
h4
+ O(h5
) , (3.38)
rk(h) =
1
2bh
1 +
π2
3
(4k2
+ 8k + 5)h2
+ O(h3
) , (3.39)
ωk1(h) = π(2k + 1) 1 − h + h2
+
π2
(2k + 3)2
− 3
3
h3
+ O(h4
) , (3.40)
ωk2(h) = π(2k + 3) 1 − h + h2
+
π2
(2k + 1)2
− 3
3
h3
+ O(h4
) , (3.41)
где k = 1, 2, . . .
Доказательство. Для того, чтобы две пары корней ±iω1 и ±iω2 ква-
зимногочлена (3.34) оказались на мнимой оси, в соответствии с формулами
(3.35) (3.36) имеем
cos ω1h + t cos ω1 = 0,
br(ω1) =
ω1
t sin ω1 + sin ω1h
= br(ω2) =
ω2
t sin ω2 + sin ω2h
,
(3.42)
где t = a/b.
Подставляя в (3.42) асимптотические разложения по h для t, ω1 и ω2 и
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях h, получаем (3.38),

(3.40), (3.41). Кроме того, из третьего равенства (3.42) можно получить раз-
ложение (3.39) для r(h). Отметим, что ω1(h) и ω2(h) — два соседних нечет-
ных решения уравнения (3.35) (каждому номеру k соответствуют два реше-
ния (3.35)). Такой выбор корней (3.35) обусловлен тем, что значение rk(h)
для них минимально. Таким образом, найденные корни квазимногочлена
(3.34) ±iω1(h) и ±iω2(h) первыми пересекают мнимую ось, что и доказыва-
ет лемму.
Следует отметить, что при b = 1−a формулы (3.38), (3.39) приобретают
следующий вид:
ak(h) =
1
2
−
π2
12
(2k + 1)2
(2k + 3)2
h4
+ O(h5
), (3.43)
rk(h) =
1
h
1 +
π2
3
(4k2
+ 8k + 5)h2
+ O(h3
) . (3.44)
Рассмотрим теперь условия, при которых вырожденные кривые a =
ak(h) могут прерваться. Выше уже отмечалось, что ωk1(h) и ωk2(h) — два
соседних нечетных решения уравнения (3.35). Понятно, что при некоторых
значениях h нечетное и четное решения (3.35) могут совпадать, и ωk1(h)
становится в этом случае кратным корнем. При увеличении h соответству-
ющий корень ωk1(h) перестает существовать. Таким образом, для опреде-
ления крайних точек описанных кривых можно воспользоваться системой
(3.42), дополненной уравнением
ϕ (ω1) = −b(h sin ω1h + t sin ω1) = 0. (3.45)
После несложных преобразований системы (3.42) и уравнения (3.45) для
отыскания k-ой крайней точки получаем систему
ω2(t sin ω1 + sin ω1h) = ω1(t sin ω2 + sin ω2h),
ω1 = 2πk − arccos −
t2 − h2
t2(1 − h2)
,
hω1 = arccos
t2 − h2
1 − h2
,
(3.46)
которая может быть решена численно. В таблице 3.1 приведены коорди-
наты конечных точек первых четырех нейтральных кривых, вычисленные
в соответствии с (3.46). При достаточно большом k выполнено следующее
утверждение.

Таблица 3.1.
№ h a r ω1 ω2
кривой
1 0.2995 0.3447 8.9792 3.6738 6.8154
2 0.1359 0.2001 14.7813 9.9848 13.1263
3 0.0880 0.1402 20.9531 16.2720 19.4136
4 0.0651 0.1079 27.1863 22.5565 25.6981
Лемма 6. Пусть k — номер нейтральной кривой на плоскости парамет-
ров t, h, тогда для конечных точек этих кривых при достаточно большом
k выполнены следующие асимптотические формулы:
tk =
√
π2 + 4
8k
1 −
π + 2ω0
4πk
+ O(k−2
) , (3.47)
hk =
1
4k
−
π + 2ω0
16πk2
+
(π + 2ω0)2
64π2k3
+ O(k−4
), (3.48)
где ω0 = − arccos − π√
π2+4
, k = 1, 2, . . . При этом для ω1, ω2, r выполнено
ωk1 = 2πk + ω0 + O(k−2
), (3.49)
ωk2 = (2k + 1)π + ω0 + O(k−2
), (3.50)
brk =
1
π2
π2
+ 4 + 2 π2 + 4 2πk − ω0 + O(k−1
) . (3.51)
Доказательство. Для доказательства в формулы (3.46) подставляются
разложения величин t, h, ω1, ω2 в ряды по k и приравниваются коэффици-
енты при одинаковых степенях. Разложение для r получается после подста-
новки полученных асимптотик в формулу (3.36).
С помощью утверждений лемм 5, 6 удается ответить на вопрос о ха-
рактере потери устойчивости ненулевого состояния равновесия уравнения
(3.32).
Теорема 6. Потеря устойчивости состояния равновесия N =
1
a + b
урав-
нения (3.32) не может происходить так, чтобы на мнимой оси находи-
лись три пары, а при наличии двух пар не может быть резонансов 1:1 и

0
0.1
0.1
0.2 0.3 0.4 0.5
0.2
0.3
h
a
Рис. 3.1. Графики нейтральных кривых
1:3. Резонанс 1:2 реализуется при
a
b
=
29 − 6
√
6
25
, h =
1
ω0
arccos
−2 + 3
√
6
10
,
rb
a + b
=
2 + 3
√
6
6
ω0, (3.52)
где ω0 = 2π − arccos −2−3
√
6
10 .
На рис. 3.1 показаны графики нейтральных кривых, для значений па-
раметров a и h на которых квазимногочлен (3.34) имеет две пары чисто
мнимых корней. Жирные точки на концах кривых соответствуют значени-
ям из таблицы 3.1. Звездочкой на первой кривой обозначена точка, в которой
реализуется резонанс 1:2 (см. соотношения (3.52)). В силу лемм 5, 6 таких
кривых счетное число, причем на каждой из них a → 0.5 при h → 0. При
малых h эти кривые ak = ak(h) не пересекаются в силу соотношений (3.38)
и (3.43) леммы 5.
При значениях h не близких к нулю и к крайним точкам (3.47),(3.48) для
построения нейтральных кривых использовались численные методы. Ока-
залось, что кривые не пересекаются при всех h, для которых определена
каждая из них.
Перейдем к доказательству второй части теоремы. Пусть a, h принад-
лежат одной из построенных выше кривых. Обозначим через ±iω1 и ±iω2
корни квазимногочлена (3.34) и проверим отсутствие резонансов 1:1 и 1:3.

Предположим, что имеет место резонанс 1:1, т.е. iω = iω1 = iω2 — корень
кратности два квазимногочлена (3.34). В этом случае в дополнение к (3.35),
(3.36) должны выполняться равенства
ϕ (ω) = 0, r(h cos ωh − a cos ω) = 1. (3.53)
Имеем
ϕ (ω) = (1 − h2
) cos ωh. (3.54)
Далее, так как r > 0, а 0 < h < 1, то из (3.35) и второго равенства (3.53)
следует, что cos ωh < 0. Тем самым, в силу (3.54), имеем ϕ (ω) < 0. Это
означает, что ω — корень (3.35) с четным номером. Согласно (3.37) отсюда
следует, что при прохождении r через r(ω) корни из правой полуплоскости
подходят к мнимой оси, касаются ее и при дальнейшем увеличении r снова
уходят вправо. Поэтому существует такое r < r(ω), что пара корней (3.34)
находится на мнимой оси. Получили противоречие.
Невозможность резонанса 1:3 доказывается также от противного. Пред-
положим, что 3ω1 = ω2. Из (3.35) легко выходит, что
4b2
(b2
− a2
) cos3
ω1h = 0, 4a2
(b2
− a2
) cos3
ω1 = 0,
т.е. либо ω1 = π/2 + πn и ω1h = π/2 + πm, либо a = b. В первом случае
подстановки ω1, ω1h и ω2, ω2h в выражения (3.36) дают величины
r(ω1) =
π + 2πn
2(a(−1)n + b(−1)m)
, r(3ω1) =
3π + 6πn
2(a(−1)n+1 + b(−1)m+1)
,
имеющие разные знаки. Учитывая, что r > 0 искомое равенство r(ω1) =
r(3ω1) невозможно.
В случае a = b из уравнения (3.35) для ω1 имеем
ω1
1 + h
2
=
π
2
+ πn, либо ω1
1 − h
2
=
π
2
+ πn. (3.55)
Нетрудно проверить, что как первое, так и второе соотношение (3.55) вле-
чет равенство нулю r(ω1), а это, как и в предыдущем случае, противоречит
условию положительности r.
Утверждение теоремы о значениях параметров, при которых реализуется
резонанс 1:2, проверяется непосредственно.

Построение нормальной формы
Для исследования окрестности нетривиального состояния равновесия
уравнения (3.30) при условии (3.31) выполним замену N = 1 + n, откуда
˙n = −r an(t − 1) + (1 − a)n(t − h) (1 + n). (3.56)
Предположим, что параметры a0 и h0 выбраны принадлежащими одной
из критических кривых, описанных выше, тогда по формуле (3.36) можно
найти такое r0, при котором характеристический квазимногочлен (3.34) име-
ет две пары чисто мнимых корней ±iω1, ±iω2. Предположим, кроме того,
что условия (3.52) существования резонанса 1:2 не выполнены.
Рассмотрим возмущенную задачу (3.56) в близком к критическому слу-
чае r = r0 + ε1, a = a0 + ε2, h = h0 + ε3. Порядки малости параметров
надкритичности естественно принять одинаковыми, следовательно, будем
считать выполненными соотношения ε1 = ε, ε2 = αε, ε3 = βε.
Для построения нормальной формы задачи (3.56) в окрестности триви-
ального состояния равновесия выполним замену
n(t) =
√
ε z1(s) exp(iω1t) + ¯z1(s) exp(−iω1t)+
+ z2(s) exp(iω2t) + ¯z2(s) exp(−iω2t) + εu1(t, s) + ε3/2
u2(t, s) + . . . , (3.57)
где s = εt. Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях
√
ε
приводит на первом шаге к верному тождеству. На втором шаге для опре-
деления u1(t, s) имеем линейное уравнение с запаздыванием вида
Lu1 ≡ ˙u1 + r0 a0u1(t − 1, s) + (1 − a0)u1(t − h0, s) =
= −r0 z1 exp(iω1t) + z2 exp(iω2t) + к.с. ×
× a0 z1 exp(iω1(t − 1)) + z2 exp(iω2(t − 1)) +
+ (1 − a0) z1 exp(iω1(t − h0)) + z2 exp(iω2(t − h0)) + к.с. , (3.58)
где к.с. обозначено выражение комплексно сопряженное к выражению, на-
ходящемуся в тех же скобках.
Определяя решение уравнения (3.58), в виде суммы гармоник, на ко-
торые распадается его правая часть, получаем следующее выражение для

функции u1:
u1 =
iω1
P(2iω1)
z2
1 exp(2iω1t) +
iω2
P(2iω2)
z2
2 exp(2iω2t)+
+
i(ω1 + ω2)
P(i(ω1 + ω2))
z1z2 exp(i(ω1 + ω2)t)+
+
i(ω1 − ω2)
P(i(ω1 − ω2))
z1¯z2 exp(i(ω1 − ω2)t) + к.с. (3.59)
Наконец, на третьем шаге в результате приравнивания коэффициентов
при ε3/2
Lu2 + z1P (iω1) exp(iω1t) + z2P (iω2) exp(iω2t) + к.с. =
= −r0 z1 exp(iω1t) + z2 exp(iω2t) + к.с. · [a0u1(t − 1) + (1 − a0)u1(t − h0)]+
+ u1 +
1
r0
iω1z1 exp(iω1t) + iω2z2 exp(iω2t) + к.с. +
+ r0(1 − a0)β iω1z1 exp(iω1(t − h0)) + iω2z2 exp(iω2(t − h0)) + к.с. −
− r0α z1 exp(iω1t)(exp(iω1) − exp(iω1h0))+
+ z2 exp(iω2t)(exp(iω2) − exp(iω2h0)) + к.с. . (3.60)
Здесь штрихом обозначены производные функций z1(s), z2(s) по s, а
P (iω) = 1 − r0 a0 exp(−iω) + (1 − a0)h0 exp(−iωh0) — производная ква-
зимногочлена (3.34). Из условий разрешимости уравнения (3.60) в классе
ограниченных по t функций получается система обыкновенных дифферен-
циальных уравнений
z1 = Φ1z1 + (A11z2
1 + A12z2
2)z1,
z2 = Φ2z2 + (A21z2
1 + A22z2
2)z2,
(3.61)
представляющая собой укороченную нормальную форму задачи (3.56). Па-
раметры системы (3.61) вычисляются по формулам
Φj =
1
P (iωj)
iωj
r0
+ r0 α(exp(iωjh0) − exp(iωj)) + βiωj(1 − a0) exp(iωjh0) ,
Ajk = −
1
P (iωj)
2iωj +
(ω1 + ω2)ωj
P(i(ω1 + ω2))
+
(ωj − ωk)ωj
P(i(ωj − ωk))
,
Ajj = −
1
P (iωj)
iωj +
ω2
j
P(2iωj)
, j, k = 1, 2, j = k.

Для упрощения системы (3.61) выполним в ней полярную замену
zj = ξj exp(iτj), j = 1, 2. В полученной системе
˙ξ1 = ϕ1ξ1 + (a11ξ2
1 + a12ξ2
2)ξ1, (3.62)
˙ξ2 = ϕ2ξ2 + (a21ξ2
1 + a22ξ2
2)ξ2, (3.63)
˙τ1 = ψ1 + b11ξ2
1 + b12ξ2
2, (3.64)
˙τ2 = ψ2 + b21ξ2
1 + b22ξ2
2, (3.65)
где ϕj + iψj = Φj, ajk + ibjk = Ajk, j, k = 1, 2, первые два уравнения не
зависят от третьего и четвертого, поэтому их можно изучать отдельно.
Рассмотрим задачу качественного анализа системы (3.62)-(3.63) в зави-
симости от параметров h0, α и β. Напомним, что для выбранной кривой вы-
рождения и фиксированного h0 могут быть найдены величины a0, r0, ω1, ω2
(см. результаты предыдущего пункта), а по ним — коэффициенты систе-
мы (3.62)-(3.65) aij(h0), i, j = 1, 2. Коэффициенты линейной части си-
стемы будем рассматривать как функции не только h0, но также α и β,
ϕj = ϕj(h0, α, β).
Двумерная система (3.62)-(3.63) подробно изучена, например, в [9]. Для
ее качественного анализа решающее значение имеет, с одной стороны, дис-
сипативность, а с другой — существование и устойчивость состояний равно-
весия с неотрицательными координатами.
Необходимым условием диссипативности (3.62)-(3.63) является отрица-
тельность коэффициентов a11(h0), a22(h0). Это условие выполнено для всех
значений параметров, лежащих на первой кривой, h0 ∈ (0, h11), где h11 ≈
0.2995 — граничная точка (см. таблицу 3.1), кроме того, на этой кривой со-
храняют знак величины ϕj(h0, 0, 0) > 0, j = 1, 2. Коэффициенты aij, i = j
в свою очередь меняют знак на промежутке h0 ∈ (0, h11), причем
a12(h0) > 0 при h0 ∈ (h13, h11), a12(h0) < 0 при h0 ∈ (0, h13), (3.66)
a21(h0) > 0 при h0 ∈ (h14, h11), a21(h0) < 0 при h0 ∈ (0, h14), (3.67)
где h13 ≈ 0.247, h14 ≈ 0.116. Таким образом, на промежутке (0, h13) хо-
тя бы одно из чисел a12 или a21 отрицательно, поэтому система (3.62)-(3.63)
диссипативна. На промежутке же (h13, h11) эти числа положительны, и, сле-
довательно, необходимо дополнительно проверить условие Каменкова
∆(h0) ≡ a11(h0)a22(h0) − a12(h0)a21(h0) > 0.

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
- 0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
h0
h12
h14
h15
h16
h17
D( )h0
a12( )h0
h13
a21( )h0
Рис. 3.2. Графики зависимостей величин ∆, a12, a21, ∆1
∆ , ∆2
∆ от параметра h0
для первой кривой вырождения
Непосредственные вычисления показали, что
∆(h0) > 0 при h0 ∈ (h15, h12) и
∆(h0) < 0 при h0 ∈ (0, h15) ∪ (h12, h11), (3.68)
где h12 ≈ 0.277. Следовательно, для значений параметров на первой кривой
вырождения нормальная форма (3.62)-(3.63) диссипативна при h0 ∈ (0, h12)
и не диссипативна при h0 ∈ (h12, h∗) ∪ (h∗, h11). Точка h∗ ≈ 0.287189 соот-
ветствует резонансу 1:2 (см. формулы (3.52)), и для нее нормальная форма
выглядит иначе.
Перейдем к вопросу существования и устойчивости состояний равнове-
сия (3.62)-(3.63). Наряду с тривиальным состоянием равновесия (0, 0) дан-
ная система может иметь еще три неподвижные точки:
0, −
ϕ2
a22
, −
ϕ1
a11
, 0 , −
∆1
∆
, −
∆2
∆
, (3.69)
где ∆1 = −ϕ1a22 + ϕ2a12, ∆2 = −ϕ2a11 + ϕ1a21
Фазовый портрет нормальной формы (3.62), (3.63) полностью определя-
ется значениями параметров r0, a0, h0. При значениях h15 < h0 < h12 и

a0(h0), принадлежащих первой кривой вырождения, оказывается, что си-
стема (3.62), (3.63) имеет фазовый портрет, изображенный на рис. 1.1. Это
означает, что исходное уравнение с запаздыванием (3.56) должно иметь при
значениях параметров близких к критическим устойчивые двухчастотные
колебания. Обозначим ξ10 = −∆1
∆ , ξ20 = −∆2
∆ координаты устойчивого
состояния равновесия системы (3.62), (3.63), тогда исходная задача (3.56)
также будет иметь устойчивое двухчастотное решение с асимптотикой
n(t) =
√
εξ10 cos(τ1ω1) +
√
εξ20 cos(τ2ω2)+
+ εξ10ξ20 Dei(ω1τ1+ω2τ2)
+ Eei(ω1τ1−ω2τ2)
+ к.с. +
+ ξ2
10(Ae2iω1τ1
+ ¯Ae−2iω1τ1
) + ξ2
20(Ae2iω2τ2
+ ¯Ae−2iω2τ2
) + O(ε3/2
),
где
τ1 = t(1 + (b11 + αb12 + c11ξ2
1 + c12ξ2
2)ε) + ϕ1,
τ2 = t(1 + (b21 + αb22 + c21ξ2
1 + c22ξ2
2)ε) + ϕ2,
а ϕ1 и ϕ2 — начальные фазы.
3.4 Резонанс 1:2 в уравнении второго порядка
с периодически возмущенным
запаздыванием
1. Постановка задачи. Рассмотрим дифференциальное уравнение с
запаздывающим аргументом
¨x + A ˙x + x + B + G x(t − h(t)), ˙x(t − h(t)) ˙x(t − h(t)) = 0, (3.70)
где запаздывание может быть представлено в виде h(t) = h + a sin(ωt), a
A, B, h, a, ω – положительные параметры (h > a),
G(x1, x2) = g10x1 + g01x2 + g20x2
1 + g11x1x2 + g02x2
2 + o(x2
1 + x2
2)
– достаточно гладкая нелинейная функция. Уравнения вида (3.70) возника-
ют при моделировании электронных устройств с активными нелинейными
элементами и запаздыванием в цепи обратной связи [32,33].

Резонанс 1:2 . . . 77
Будем интересоваться возможностью существования в уравнении (3.70)
сложных, в том числе хаотических, колебаний. В качестве метода исследова-
ний используется метод интегральных многообразий и теория бифуркаций
применительно к системам с распределенными параметрами.
2. Линейный анализ. Рассмотрим линейную часть уравнения (3.70),
причем будем считать, что запаздывание постоянно, т.е. a = 0. В результате
имеем уравнение
¨x + A ˙x + x + B ˙x(t − h) = 0, (3.71)
характеристический квазимногочлен которого имеет вид
P(λ) ≡ λ2
+ Aλ + 1 + Bλ exp(−λh). (3.72)
Устойчивость нулевого решения уравнения (3.71) определяется, как из-
вестно, расположением корней квазимногочлена (3.72). В [33] методом D-
разбиений проведен подробный анализ расположения корней функции P(λ)
в зависимости от значений входящих параметров. В частности, показано,
что при
h = (3π − α0)(π + α0), B = A 1 + tg2(α0), (3.73)
где 0 < α0 < π/2 – решение уравнения Ah(π − α0) tg(α0) = 2, характери-
стический квазимногочлен (3.72) имеет две пары комплексно сопряженных
корней вида:
±iσ1 = ±i(π + α0)/h, ±iσ2 = ±i(3π − α0)/h. (3.74)
При этом остальные его корни лежат в левой открытой комплексной полу-
плоскости. Отметим, что корни квазимногочлена могут находиться в резо-
нансном соотношении, например, при h = 4
√
2π/3, A =
√
6/6, B =
√
6/3
имеем σ1 =
√
2/2, σ2 =
√
2. Это означает, что имеет место внутренний резо-
нанс 1:2. Важно подчеркнуть, что внутреннего резонанса 1:3 в (3.72) реали-
зовано быть не может.
Итак, потеря устойчивости нулевого решения уравнения (3.70) может
приводить к возникновению сложных автоколебательных решений. Перей-
дем к изучению локальной динамики (3.70) в этом случае.
Выберем коэффициенты уравнения (3.71) согласно (3.73), обозначив при
этом A = A0, B = B0, h = h0 и исключив из рассмотрения случай внутрен-
него резонанса 1:2. Тем самым характеристическое уравнение (3.72) имеет
две пары чисто мнимых корней (3.74), для которых σ1/σ2 = 1, 2, 3, т.е. от-
сутствуют
”
главные“ внутренние резонансы. Остальные корни уравнения

(3.72) лежат в этом случае в левой комплексной полуплоскости и отделены
от мнимой оси.
Введем малый параметр 0 < ε << 1 и положим в (3.72)
A = A0+εA1, B = B0+εB1, h = h0+εh1. (3.75)
При этом левую часть (3.72) обозначим P(λ, ε). Считая λj(ε) = iσj + ελ1
j +
. . . (j = 1, 2), вычислим величины λ1
j. Из равенства P(λ(ε), ε) = 0 имеем
λ1
j = −
Pε(iσj, 0)
Pλ(iσj, 0)
= −
A1iσj + (B1iσj + B0h1σ2
j ) exp(−iσjh0)
Pλ(iσj, 0)
, (3.76)
где
Pλ(iσj, 0) = 2iσj + A0 + B0(1 − iσjh0) exp(−iσjh0), (j = 1, 2).
Выделив теперь в (3.76) Re(λ1
j), можно заметить, что в зависимости от
выбора A1, B1, h1 она может быть величиной любого знака.
3. Построение нормальной формы. Положим в (3.70) A, B, h со-
гласно (3.75) и a = εa1. Перейдем теперь от (3.70) к эквивалентной краевой
задаче
∂u
∂t
=
∂u
∂s
, (3.77)
∂u
∂s s=0
= l(t, u(t, s); ε). (3.78)
Здесь u(t, s) = col u1(t, s), u2(t, s) = col x(t + s), ˙x(t + s) , h(t, ε) =
h + εa1 sin(ωt), −h(t, ε) ≤ s ≤ 0, t ≥ 0. Гладкий нелинейный функционал
l(t, u(s); ε) действующий из C(−h(t; ε), 0) в R2
, имеет вид
l(t, u(s); ε) = l1(t, u(s); ε) + l2(t, u(s); ε) + l3(t, u(s); ε) + . . . . (3.79)
В правой части (3.79) выделены соответственно линейная, квадратичная
и кубическая составляющие. Точками обозначены слагаемые, имеющие по
u(s) более высокий порядок малости. При этом из (3.70) и (3.75) имеем
l1(u(s)) = l1(t, u(s); ε) =
= col u2(0), −(A0 + εA1)u2(0) − u1(0) − (B0 + εB1)u2(t, −h(t, ε)) ,
l2(u(s)) = l2(t, u(s); 0) = col 0, −(g10u1(−h0) + g01u2(−h0))u2(−h0) ,
l3(u(s)) = l3(t, u(s); 0) =

Резонанс 1:2 . . . 79
= col 0, −(g20u2
1(−h0) + g11u1(−h0)u2(−h0) + g02u2
2(−h0))u2(−h0) .
Краевая задача (3.77)-(3.78) (соответственно и уравнение (3.70)) име-
ет [34] в окрестности нуля фазового пространства C(−h(t; ε), 0) четырехмер-
ное 2π/ω-периодическое локальное устойчивое гладкое интегральное много-
образие Φ(τ, z1, z2, ¯z1, ¯z2, s; ε) (τ = ωt, zj ∈ C), поведение решений на кото-
ром определяет поведение решений краевой задачи (3.77)-(3.78). Здесь Φ(·)
– гладкий по совокупности переменных оператор, 2π-периодический по τ.
Рассмотрим случай, когда ω близко к 2σ1 +σ2. В этой ситуации положим
ω = 2σ1 + σ2 + εδ, считая δ расстройкой. С учетом этого построим уравне-
ния траекторий краевой задачи (3.77)-(3.78) на интегральном многообразии.
Введем в рассмотрение следующее разложение:
Φ(τ, z1, z2, ¯z1, ¯z2, s; ε) = (u10(s) + εu1
10(τ, s) + . . . )z1+
+(u01(s) + εu1
01(τ, s) + . . . )z2 + (¯u10(s) + ε¯u1
10(τ, s) + . . . )¯z1+
+(¯u01(s)+ε¯u1
01(τ, s)+ . . . )¯z2 + (u20(s)+ . . . )z2
1 + (u11(s)+ . . . )z1z2 + . . .
u∗(τ, s) ≡ u∗(τ + 2π, s)
(3.80)
и систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида
˙z1 = iσ1 + ελ1
1 + d11|z1|2
+ d12|z2|2
z1 + A1¯z1¯z2 exp (iωt) + . . . (3.81)
˙z2 = iσ2 + ελ1
2 + d21|z1|2
+ d22|z2|2
z2 + A2¯z2
1 exp (iωt) + . . . (3.82)
В (3.81)-(3.82) точками обозначены слагаемые, имеющие по соответству-
ющим переменным более высокий порядок малости. В явном виде приведе-
ны лишь
”
главные“ слагаемые разложений. При этом
u10(s) = col 1, iσ1 exp (iσ1s), iσ1u10(0) = l1(u10(s)),
u01(s) = col 1, iσ2 exp (iσ2s), iσ2u01(0) = l1(u01(s)).
Подставим функцию Φ(·), определяющую интегральное многообразие, в
виде (3.80) в краевую задачу (3.77)-(3.78). Имеем тождество
∂Φ
∂τ
ω +
∂Φ
∂z1
˙z1 +
∂Φ
∂z2
˙z2 +
∂Φ
∂¯z1
˙¯z1 +
∂Φ
∂¯z2
˙¯z2 =
∂Φ
∂s
, (3.83)
∂u
∂s s=0
= l(t, Φ(ωt, z1, z2, ¯z1, ¯z2, s; ε); ε). (3.84)

Здесь ˙z1, ˙z2, ˙¯z1, ˙¯z2 определяются согласно (3.81)-(3.82). Приравнивая теперь в
(3.83)-(3.84) слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях εz1, εz2,
ε¯z1, ε¯z2, z2
1, z1z2, . . . , будем получать на каждом шаге краевую задачу вида
(p1iσ1 + p2iσ2)u∗(s) =
∂u∗
∂s
, (3.85)
∂u∗
∂s s=0
= l1(u∗(s)) + f∗ , (3.86)
где p1, p2 – целые числа, f∗ – фиксированный вектор, зависящий от коэффи-
циентов правых частей (3.81)-(3.82) как от параметров. Условия разреши-
мости (3.85)-(3.86) обеспечивают однозначное определение коэффициентов
системы уравнений (3.81)-(3.82). Опуская громоздкие выкладки, приведем
их окончательный вид:
d11 = Θ(σ1)/Pλ(iσ1; 0), d12 = Ψ(σ1, σ2)/Pλ(iσ1; 0),
d21 = Ψ(σ2, σ1)/Pλ(iσ2; 0), d22 = Θ(σ2)/Pλ(iσ2; 0),
A1 =
−ia1F1
2Pλ(iσ1; 0)
, A2 =
−ia1F2
2Pλ(iσ2; 0)
,
где
Θ(σ) =
−1 − 4g10σ2
+ i3g01σ
P(2iσ)
g10σ2
exp (iσh)+
+ g11σ + i(g20 + (2g10g01 + 3g02)σ2
) σ exp (−iσh) ,
Ψ(σ1, σ2) =
(ig10σ1 + 2g11σ2(σ1 + σ2))(−ig10(σ1 + σ2) + 2g01σ1σ2)
Pλ(i(σ1 + σ2); 0)
exp(iσ2h)−
−
(g10(2σ1 − σ2) + 2g11σ2)(g10(σ1 − σ2) − 2ig01σ1σ2)
Pλ(i(σ1 − σ2); 0)
exp(−i(2σ1 − σ2)h)+
+ (2g10σ1g01σ2
2 + 2ig20σ1 + g11σ2
2 + 3ig02σ3
1) exp(−iσ1h) ,
F1 = − g10(σ1 + σ2)2
+ 2ig01(σ1σ2
2 + σ2
1σ2) exp (i(σ1 + σ2)h),
F2 = − 2g10σ2
1 + ig01σ3
1 exp (2iσ1h) .
В заключение пункта отметим, что
”
грубым“ (т.е. экспоненциально устой-
чивым или неустойчивым) состояниям равновесия, циклам и инвариантным

Резонанс 1:2 . . . 81
торам системы уравнений (3.81)-(3.82) в уравнении (3.70) при малых ε со-
ответствуют такие же установившиеся режимы, той же устойчивости. Для
хаотических установившихся режимов это, вообще говоря, не верно и тре-
бует отдельной проверки.
4. Бифуркационный анализ нормальной формы. В дальнейшем
считаем, что gjk = g∗
jkε1/2
(j, k = 0, 1). В этих условиях положим zj =
ε1/2
ρj exp(iτj) (j = 1, 2), t → ε−1
t и выделим в (3.81)-(3.82) главную часть
уравнений для
”
медленных переменных“ ρ1, ρ2, θ = ω − 2τ1 − τ2.
В результате имеем
˙ρ1 = τ1 + a11ρ2
1 + a12ρ2
2 ρ1 + |b1|ρ1ρ2 cos(θ + γ1), (3.87)
˙ρ2 = τ2 + a21ρ2
1 + a22ρ2
2 ρ2 + |b2|ρ2
1 cos(θ + γ2), (3.88)
˙θ = δ + (2c11 + c21)ρ2
1 + (2c12 + c22)ρ2
2 −
− 2|b1|ρ2 sin(θ + γ1) − |b2|(ρ2
1/ρ2) sin(θ + γ2). (3.89)
Здесь δ = −2Im λ1
1 − Im λ1
2, τj = Re λ1
j, ajk = Re d0
jk, cjk = −Im d0
jk b0
j =
|bj| exp(−iσj) (j, k = 1, 2).
Параметры системы (3.87)-(3.89) могут меняться в широких пределах,
имеются лишь ограничения на τ1, τ2 и вещественные части ляпуновских ве-
личин a11, a22. Первые два параметра определяют скорость изменения веще-
ственной части корней квазимногочлена (3.71) и для их перехода из левой
комплексной полуплоскости в правую должны быть положительными. В
свою очередь величины a11, a22 в случае наличия только одной пары чисто
мнимых корней характеристического уравнения определяли бы, возникает
или нет при потере устойчивости нулевого решения уравнения (3.70) устой-
чивый цикл. Будем считать, что это так и, следовательно, a11 < 0 и a22 < 0.
Рассмотрим фазовые перестройки системы (3.87)-(3.89) при некоторых
дополнительных ограничениях на параметры. Предположим, что квазим-
ногочлен (3.72) и нелинейность G(x1, x2) таковы, что вычисленные по ним
параметры нормальной формы удовлетворяют следующим соотношениям:
τ1 = τ2 = τ∗
, a11 = a22, a21 = a12 = 0, |b2| = 2|b1| = b, (3.90)
γ1 = −γ2 = γ, 2c11 + c21 = −2c12 − c22 = c. (3.91)
Нормирующие замены переменных ρj = ξj
τj
ajj
, j = 1, 2 и t → τ∗
t, поз-
воляют избавиться в (3.87)-(3.89) от параметров τ1, τ2, a11, a22 и перейти к

системе
˙ξ1 = 1 − ξ2
1 ξ1 + 0.5 bξ1ξ2 cos(θ + γ), (3.92)
˙ξ2 = 1 − ξ2
2 ξ2 + bξ2
1 cos(θ − γ), (3.93)
˙θ = δ + c(ξ2
1 − ξ2
2) − b ξ2 sin(θ + γ) +
ξ2
1
ξ2
sin(θ − γ) . (3.94)
Рассмотрим перестройки фазового портрета системы (3.92) - (3.94) при
фиксированных значениях параметров c, γ, δ и изменении величины b.
Найдем сначала состояния равновесия системы (3.92) - (3.94) и условия их
устойчивости.
Все решения алгебраической системы уравнений
1 − ξ2
1 ξ1 + 0.5bξ1ξ2 cos(θ + γ) = 0, (3.95)
1 − ξ2
2 ξ2 + bξ2
1 cos(θ − γ) = 0, (3.96)
δξ2 + cξ2(ξ2
1 − ξ2
2) − b ξ2
2 sin(θ + γ) + ξ2
1 sin(θ − γ) = 0 (3.97)
удается найти только численно, однако имеется одно решение, допускающее
аналитическое представление. Оно получается, если приравнять нулю ξ1,
тогда ξ2 = 1, а θ = θ∗
, где θ∗
удовлетворяет уравнению sin(θ∗
+γ) = (δ−c)/b.
Состояние равновесия
col(0, 1, θ∗
) (3.98)
существует при |(δ − c)/b| ≤ 1, и для любых значений параметров, удовле-
творяющих этому условию, представляет собой седло-узел.
Численный анализ алгебраической системы (3.95) - (3.97) позволяет най-
ти состояния равновесия системы (3.92) - (3.94) и показать, что наряду с
точкой (3.98) имеются еще по меньшей мере два состояния равновесия, одно
из которых устойчиво при достаточно больших, а другое – при достаточно
малых значениях b.
Рассмотрим теперь характер фазовых перестроек системы (3.92)-(3.94)
при изменении b. Удалось выделить два бифуркационных сценария, которые
реализуются при различных значениях c, γ, δ.

Резонанс 1:2 . . . 83
ξ
ξ
0
1
2
Рис. 3.3. Аттрактор динамической системы (3.92) - (3.94) при
b = 2.66, c = 10, γ = 2.2, δ = 0
Для первого сценария характерны следующие бифуркации:
1) при 0 < b < b1 устойчиво, причем в пределах точности численного
счета глобально, состояние равновесия;
2) при b = b1 происходит колебательная потеря устойчивости этого со-
стояния равновесия и в результате бифуркации Андронова - Хопфа ветвится
орбитно асимптотически устойчивый цикл;
3) полученный цикл меняется в размерах и исчезает в результате обрат-
ной бифуркации Андронова – Хопфа, после чего при b > b2 устойчивым
становится некоторое состояние равновесия.
Второй сценарий связан с возникновением хаотических колебаний. При
0 < b < b1, как и в предыдущем случае, глобально устойчиво состояние
равновесия, а при b = b1 также возникает устойчивый цикл, однако даль-
нейшее увеличение b приводит к усложнению колебаний и возникновению в
результате бифуркации расщепления сепаратрис хаотического аттрактора.
Проследим за изменениями числовых характеристик хаотического ре-
жима при c = 10, γ = 2.2, δ = 0. Вычисления дали следующие значения
b1 0.905 и b2 3.778, при которых происходит прямая и обратная би-
фуркации Андронова - Хопфа. При 2.66 < b < 3.1 решения системы (3.92)
- (3.94) совершают неупорядоченные колебания, для выяснения их приро-
ды были предприняты вычисления ляпуновских показателей и ляпуновской
размерности аттрактора системы. Приведем три наиболее характерные си-
туации:

1) при b = 2.66 λ1 = 0.069±0.001, λ2 = 0, λ3 = −6.589±0.001, dL ≈ 2.01;
2) при b = 3 λ1 = 0.608 ± 0.002, λ2 = 0, λ3 = −9.208 ± 0.002, dL ≈ 2.066;
3) при b = 3.09 λ1 = 0.34±0.002, λ2 = 0, λ3 = −8.596±0.002, dL ≈ 2.039.
ξ
ξ
0
1
2
Рис. 3.4. Аттрактор динамической системы (3.92) - (3.94) при
b = 3, c = 10, γ = 2.2, δ = 0
На рисунках 3.3 и 3.4 приведены проекции аттрактора динамической си-
стемы (3.92) - (3.94) на плоскость ξ1, ξ2 в ситуациях 1) и 2). В первом случае
(см. рис. 3.3) значение b выбрано вблизи момента рождения хаотических ко-
лебаний, поэтому траектории системы долгое время остаются в некоторой
окрестности потерявшего устойчивость цикла и лишь изредка наблюдаются
всплески. Именно поэтому старший ляпуновский показатель в этой ситуации
относительно мал. Во втором случае (рис. 3.4) наблюдается развитый хаос
и старший ляпуновский показатель на порядок больше. Наконец, в третьем
случае происходит относительное уменьшение этого показателя.
Дальнейшее увеличение бифуркационного параметра b приводит к тому,
что при b > 3.1 устойчивым остается лишь цикл, который затем стягивается
при b = b2 3.778 в состояние равновесия.
На рисунке 3.5 приведен график зависимости старшего ляпуновского по-
казателя аттрактора системы (3.92)-(3.94) от параметра b. Многократные
вычисления с увеличенным разрешением по b показали, что существует об-
ласть значений параметров, в которой изменения параметров не приводят
к потере хаотического аттрактора, т.е. отсутствуют окна периодичности. В
этой ситуации можно предположить, что аттрактору нормальной формы

Резонанс 1:2 . . . 85
(3.92)-(3.94) будет соответствовать аттрактор исходной задачи (3.70) с близ-
кими свойствами.
2.62 2.68 2.74 2.8 2.86 2.92 2.98 3.04 3.1
0
0.2
0.4
0.6
b
λ
Рис. 3.5. Зависимость старшего ляпуновского показателя аттрактора
системы (3.92) - (3.94) от параметра 2.6 < b < 3.1 при
c = 10, γ = 2.2, δ = 0
Изменения параметров c, γ, δ показали, что при достаточно больших
c, значениях γ из (π/2, π), но не близких к границам этого промежутка и
|δ| < 0.5 хаотический сценарий фазовых перестроек сохраняется.

Литература
[1] Боголюбов, Н.Н Асимптотические методы в теории нелинейных колеба-
ний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. — М.: Физматгиз, 1974.
[2] Митропольский, Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной меха-
нике / Ю.А. Митропольский, О.Б. Лыкова. — М.: Наука, 1973.
[3] Крылов, Н.М. Новые методы нелинейной механики / Н.М. Крылов,
Н.Н. Боголюбов. — М.,Л.: ОНТИ, 1934.
[4] Брюно, А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных
уравнений /А.Д. Брюно. — М.: Наука, 1979.
[5] Арнольд, В.И. Итоги науки и техники: современные проблемы ма-
тематики, фундаментальные направления. Т. 5. Теория бифуркаций /
В.И. Арнольд, В.С. Афраймович, Ю.С. Ильяшенко, Л.П. Шильников.
— М.: ВИНИТИ, 1986.
[6] Wiggins, Stephen Introduction to applied nonlinear dynamical systems and
chaos / Stephen Wiggins. — Springer-Verlag New York, Inc. 1990.
[7] Шильников, Л. П. Методы качественной теории в нелинейной динамике.
Ч. 1. / Л. П. Шильников, А. Л. Шильников, Д. В. Тураев, Л. Чуа. —
Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.
[8] Shilnikov, L. P. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. Part
II. World Scientiﬁc Series on Nonlinear Science. Series A: Monographs and
Treatises, 5. / L. P. Shilnikov, A. L. Shilnikov, D. V. Turaev and L.O.
Chua. — World Scientiﬁc Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2001.
[9] Гукенхеймер, Д. Нелинейные колебания, динамические системы и би-
фуркации векторных полей / Д. Гукенхеймер, Ф. Холмс. — Москва-
Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002.
86

ЛИТЕРАТУРА 87
[10] Малинецкий, Г.Г. Современные проблемы нелинейной динамики /
Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов. — М.: Едиториал УРСС, 2002.
[11] Йосс, Ж. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций / Ж. Йосс,
Д. Джозеф. — М.: Мир, 1983.
[12] Арнольд, В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений / В.И. Арнольд. М.: Наука, 1978.
[13] Колесов, А. Ю. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений /
А. Ю. Колесов, Н. Х. Розов. — М., 2004.
[14] Хазин, Л. Г. Устойчивость критических положений равновесия /
Л.Г. Хазин, Э.Э. Шноль. — Пущино: НЦБИ АН СССР, 1985.
[15] Хазина, Г. Г. Существенно неоднородные системы в задачах устойчи-
вости / Г. Г. Хазина, Л. Г. Хазин. — М.: ИПМ им. М. В. Келдыша, 1982.
Препринт №145.
[16] Шноль, Э.Э. Об устойчивости неподвижных точек двумерных отобра-
жений / Э.Э. Шноль // Дифференциальные уравнения. — 1994. — Т. 30,
№ 7. — С. 1156 – 1167.
[17] Марсден, Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж.
Марсден, М. Мак-Кракен. — М.: Мир, 1980.
[18] Баутин, Н.Н. Методы и приемы качественного исследования динами-
ческих систем на плоскости / Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович. — М.:
Наука, 1990.
[19] Глызин, С. Д. Динамические свойства простейших конечноразностных
аппроксимаций краевой задачи реакция-диффузия / С. Д. Глызин //
Дифференциальные уравнения. — 1997. — Т.33, № 6. — С. 805 – 811.
[20] Глызин, С. Д. Стационарные режимы одной конечноразностной аппрок-
симации уравнения Хатчинсона с диффузией / С. Д. Глызин // Каче-
ственные и приближенные методы исследования операторных уравне-
ний: Межвуз. сб. Ярославль, 1986. — C. 112-127.
[21] Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения /
Ф. Хартман. — М.: Мир, 1970.

88 ЛИТЕРАТУРА
[22] Куликов, А.Н. О гладких инвариантных многообразиях полугруппы
нелинейных операторов в банаховом пространстве / А.Н. Куликов //
Исследования по устойчивости и теории колебаний: Межвуз. сб. Яро-
славль, 1976. С. 67 – 85.
[23] Колесов, А.Ю. Структура окрестности однородного цикла в среде с
диффузией / А.Ю. Колесов Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1989. — Т. 53,
№ 2. — С.345 – 362.
[24] Мищенко, Е.Ф. Асимптотическая теория релаксационных колебаний /
Е.Ф. Мищенко, А.Ю. Колесов // Труды математического ин-та АН
СССР. — 1991. — Т. 197. — С. 3 – 89.
[25] Hutchinson, G.E. Circular causal systems in ecology G.E. Hutchinson //
Ann. N.Y. Acad. Sci. 1948. — V. 50. — P. 221 - 246.
[26] May, R.M. Stability and complexity in model ecosystem / R.M. May. —
Princeton: Princeton Univ. Press., 1973.
[27] Колесов, Ю. С. Проблема адекватности экологических уравнений /
Ю. С. Колесов. — Ярославль, 1985. Деп. в ВИНИТИ 1985, №1901-85.
[28] Красовский, Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения /
Н.Н. Красовский. — М.: Физматгиз, 1959.
[29] Колесов, А.Ю Явление буферности в RCLG-автогенераторе: теоретиче-
ский анализ и результаты эксперимента / А. Ю. Колесов, Н. Х. Розов
// Тр. МИАН. — 2001. — Т. 233. — С. 153 – 207.
[30] Берже, П. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулент-
ности / П. Берже, И. Помо, К. Видаль. — Череповец: Меркурий-Пресс,
2000.
[31] http://tracer.narod.ru
[32] Рубаник, В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием /
В.П. Рубаник. — М.: Наука, 1969.
[33] Колесов, Ю.С. Автоколебания в системах с запаздыванием / Ю.С. Ко-
лесов, Д.И. Швитра. Вильнюс: Мокслас, 1979.
[34] Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических урав-
нений / Д. Хенри. — М.: Мир, 1985.

Приложение. Программа, написанная для пакета
символьных вычислений “Mathematica”
Определение правых частей
n= 2;
h x1_, x2_ := x2+cx1+ x1x2 + α x1x22
+ β x23
, −x1+ cx2+α x12
x2+β x13
;@ D 9 =
Определение состояния равновесия
u1=0;u2=0;
Вычисление линейной составляющей
Clear@cD
A00@x1_, x2_D := Transpose@8Derivative@1, 0D@hD@x1, x2D,
Derivative@0, 1D@hD@x1, x2D<D
A0= A00@u1, u2D
A1= ∂c A00@ D
{{c,1},{-1,c}}
u1, u2
{{1,0},{0,1}}
Вычисление A0 и A1.
c=0;
A0// MatrixForm
A1// MatrixForm
J
0 1
−1 0
N
J
1 0
0 1
N
ОпределениеF2 H Lx, x
F22@x1_, x2_D := Transpose@8Derivative@1, 0D@A00D@x1, x2D,
Derivative@0, 1D@A00D@x1, x2D<D
F2@x_, y_D :=
1
2
F22@u1, u2D.x.y
FullSimplify@F2@8a1, a2<, 8a1, a2<DD êê MatrixForm
J
a1a2
0
N
89

Определение F3 H Lx, x
F33@x1_, x2_D := Transpose@8Derivative@1, 0D@F22D@x1, x2D,
Derivative@0, 1D@F22D@x1, x2D<D
F3@x_, y_, z_D :=
1
6
F33@u1, u2D.x.y.z
FullSimplify@F3@8a1, a2<, 8a1, a2<, 8a1, a2<DD êê MatrixForm
ijj
a22Ha1α + a2βL
a12 a2α + a1β
yzz
k H L {
Вычисление собственных значений и векторов
t=-CharacteristicPolynomial[A0, x]
ω=Im[x/.FullSimplify[Solve[t 0,x]][[2]]]
Null
−1− x2
1
a=Simplify[NullSpace[A0- ω IdentityMatrix[2]]][[1]]
ab=Simplify[NullSpace[Transpose[A0]+ ω
IdentityMatrix[2]]][[1]]
abb=Simplify[a.Conjugate[ab]]
{- ,1}
{- ,1}
2
Вычисление j0 + ‰y0 = H L
Fp=Simplify[A1.a . Conjugate[ab]/abb]
A1 a, b
1
FullSimplify[ComplexExpand[Re[Fp]]]
FullSimplify[ComplexExpand[Im[Fp]]]
1
0
90

Вычисление d0 + ‰c0
ВычислениеHF3Ha, a, aL F3Ha, a, aL F3Ha, a, aL, bLêHa, bL F333
w1=Simplify[Inverse[(2 ω IdentityMatrix[2]-
A0)].F2[a,a]];
¯ + ¯ + ¯ =
w0=Simplify[Inverse[-
A0].(F2[a,Conjugate[a]]+F2[Conjugate[a],a])];
N[w1]
N[w0]
F330=Simplify[F3[a,a,Conjugate[a]]+
F3[a,Conjugate[a],a]+F3[Conjugate[a],a,a]+
F2[w1,Conjugate[a]]+F2[Conjugate[a],w1]+F2[w0,a]+F2[a,w0]
];
N[F330]
F331=Simplify[F330.Conjugate[ab]/abb];
N[F331]
d0c0=Simplify[F331];
N[d0c0]
d0=FullSimplify[ComplexExpand[Re[d0c0]]]
c0=FullSimplify[ComplexExpand[Im[d0c0]]]
{-0.666667,0. -0.333333 }
{0.,0.}
{-0.333333-(0. +1. ) α+3. β,α-(0. +3. ) β}
(0. -0.166667 )+α
(0. -0.166667 )+α
α
−
1
6
91

Учебное издание
Глызин Сергей Дмитриевич,
Колесов Андрей Юрьевич
Локальные методы анализа
динамических систем
Учебное пособие
Редактор, корректор А. А. Аладьева
Компьютерный набор, верстка С. Д. Глызин
Подписано в печать 10.12.06. Формат 60×84/16. Бумага Data Copy.
Усл. печ. л. 5,4. Уч.-изд. л. 5,4. Тираж 100 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе
Ярославского государственного университета.
Отпечатано в типографии ООО
”
Ремдер“.
г. Ярославль, пр. Октября, 94, оф. 37.
Тел. (0852) 73-35-03

651.локальные методы анализа динамических систем учебное пособие

More Related Content

Viewers also liked (10)

Similar to 651.локальные методы анализа динамических систем учебное пособие (20)

More from ivanov1566353422 (20)

651.локальные методы анализа динамических систем учебное пособие