SlideShare a Scribd company logo

Abra mathabra

Γ
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)

52 "Μαγικά" γεμάτο Μαθηματικά! 52 τρικ για να τα μοιραστείς με την παρέα σου με σκοπό να απαντήσουν πως γίνονται; Είναι μαγικά ή απλώς Μαθηματικά !

Science
1 of 137
Downloaded 12 times
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Most read
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
Most read
38
Most read
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
Γιώργος Λαγουδάκος, Μελίσσια 2019
Abra mathabra
Περιεχόμενα Εισαγωγή 1. Επιλέγοντας έναν αριθμό … Σελ. 1 2. Ρίχνοντας τρία ζάρια Σελ. 3 3. Ο αριθμός 1089 Σελ. 5 4. Παίζοντας με τα χαρτιά Σελ. 7 5. Το πιο απλό «μαθηματικό» τρικ Σελ. 9 6. Πιο γρήγορος και από κομπιουτεράκι Σελ. 11 7. Επιλέγοντας από 27 χαρτιά το σωστό Σελ. 13 8. Το μαγικό κατάλοιπο Σελ. 17 9. Βρίσκοντας το μήνα και το έτος γέννησης Σελ. 20 10. Εξαφανίζοντας ένα ολόκληρο τετράγωνο Σελ. 22 11. Fitch Cheney trick … κάτι σαν σήματα Μορς Σελ. 24 12. Η μαγική Άλγεβρα Σελ. 28 13. Τα μαγικά των πολλαπλασίων του 9 Σελ. 30 14. Luca’s Pacioli trick Σελ. 32 15. Μαγικά με το ημερολόγιο Σελ. 35 16. Μαγικά με ένα ζάρι και ένα ρολόι Σελ. 37 17. Μαγικό με τον αριθμό του τηλεφώνου Σελ. 39 18. Η δύναμη της συνδυαστικής Σελ. 41 19. Luca’s Pacioli trick Νο2 Σελ. 44 20. Όταν η μαγεία συναντά … το τρίγωνο του Pascal ! Σελ. 46 21. Ένα μαγικό με ολίγη κλεψιά … Σελ. 50 22. Απλό μαγικό με σπίρτα Σελ. 52 23. Το μυστηριώδες εννέα Σελ. 54 24. Τοπολογικό τρικ Σελ. 56 25. Μαγικό με σπίρτα Σελ. 57 26. Μαντεύοντας έναν αριθμό Σελ. 59 27. Βρίσκοντας τα ζευγάρια Σελ. 61 28. Ανακατεύοντας τρία αντικείμενα Σελ. 64 29. Βρίσκοντας την ηλικία κάποιου Σελ. 66 30. Τρικ με τη βοήθεια του Descartes Σελ. 68 31. Ένα μαγικό για μεγάλο ακροατήριο Σελ. 69 32. Ένα ακόμα μαγικό με το ημερολόγιο Σελ. 69 33. Ένα κόλπο με νομίσματα Σελ. 73 34. Μαγικό με τράπουλα … Σελ. 75 35. Ένα απλούστατο μαγικό με το χρόνο … Σελ. 77 36. Ένας και μοναδικός κυκλικός αριθμός Σελ. 77
37. Ένα μαγικό με αρκετές πιθανότητες επιτυχίας Σελ. 79 38. Όταν ο Jack συλλαμβάνει τον κακό Σελ. 81 39. Γρήγορες προσθέσεις στο ημερολόγιο Σελ. 83 40. Υπολογίζοντας αθροίσματα όρων της ακολουθίας Fibonacci Σελ. 85 41. Ένα μαγικό με διανύσματα Σελ. 87 42. Κάθε αριθμός είναι μαγικός Σελ. 91 43. Το μαγικό των γενεθλίων Σελ. 92 44. Φτιάχνοντας μαγικά τετράγωνα Σελ. 94 45. Ένα απλό κόλπο με χαρτιά Σελ. 95 46. Παιχνίδι με άρτιους και περιττούς Σελ. 97 47. Φτιάχνοντας ένα ρολόι με νομίσματα Σελ. 98 48. Ταιριάζοντας τα φύλλα της τράπουλας Σελ. 101 49. Καιρός για στοιχήματα Σελ. 102 50. Το μαγικό άθροισμα Σελ. 103 51. Chinese remainder trick (theorem) Σελ. 105 52. Τι μέρα γεννήθηκες ; Σελ. 108 Διδακτική αξιοποίηση Σελ. 113 Οι κάρτες του 1ου μαγικού Σελ. 117 Τα σχήματα του 10ου μαγικού Σελ. 119 Ο πίνακας του 31ου μαγικού Σελ. 121 Calendar 2020 Σελ. 123 Ο πίνακας του 39ου μαγικού Σελ. 125 Οι πίνακες του 50ου μαγικού Σελ. 127 Βιβλιογραφία Σελ. 129
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Άμπρα Mathάμπρα. Τι μας έρχεται στον νου; Σίγουρα κάτι που έχει να κάνει με μαγεία. Μοιάζει με το γνωστό ξόρκι κάθε Μάγου στον κινηματογράφο στα κόμικς στα βιβλία, αλλά αυτό το Math τι δουλειά έχει; Οτιδήποτε το μαγικό οφείλεται σε εξαπάτηση ή σε κάποιο επιστημονικό δεδομένο που απλώς ο θεατής αγνοεί. Έτσι ο λαγός μπορεί να εξαφανίζεται μέσα στο καπέλο του Μάγου αλλά αυτό οφείλεται απλώς σε παραπλάνηση μαζί με αρκετή δόση τεχνολογίας. Το ανακάτεμα διαφόρων υγρών και η πρόκληση ενός κρότου με παράλληλη παρουσία καπνού ή και φωτιάς οφείλεται σε χημική αντίδραση που πάλι ο θεατής αγνοεί. Αν το κοινό είναι απαίδευτο τότε τα μαγικά προκαλούν δέος και o Mάγος κάτι ανάμεικτο από φόβο ως θαυμασμό. Αν το κοινό είναι υποψιασμένο τότε τα μαγικά είναι μια ψυχαγωγική ενασχόληση για να περάσει ευχάριστα η ώρα και παράλληλα πρόκληση να κατανοήσουμε και τελικά να απαντήσουμε την ερώτηση «πως γίνεται αυτό το κόλπο;» Στο βιβλίο που κρατάτε έγινε μία επιλογή από «μαγικά» τρικ που το χαρακτηριστικό τους είναι ότι βασίζονται στα Μαθηματικά. Στα τρικ αυτά δεν κλέβουμε δεν στήνουμε τα χαρτιά δεν πειράζουμε τα ζάρια, αλλά το αποτέλεσμα μπορεί να φαίνεται περίεργο αλλά απλά είναι μαθηματικό. Για παράδειγμα υπάρχει το εξής κόλπο … Δίνεις στο κοινό σου τα χαρακτηριστικά κοκάλινα ντόμινο και ζητάς να φτιαχτεί μία ανοικτή αλυσίδα χρησιμοποιώντας όλα τα πλακάκια. Εσύ ο μέγας Μάγος δεν βλέπεις την αλυσίδα, καθώς φτιάχνεται έχεις γυρισμένη την πλάτη σου. Όταν τελειώσουν εσύ απλά ανακοινώνεις τον αριθμό που υπάρχει στην αρχή και στο τέλος της αλυσίδας. Μαγεία ! Κι’ όμως πρόκειται για εξαπάτηση. Στην αρχή έχεις κρατήσει ένα ντόμινο όχι διπλό. Οι δύο ενδείξεις του ντόμινο που κράτησες είναι και οι δύο ενδείξεις αρχής και τέλους που υπάρχουν στην αλυσίδα. Τέτοια παραδείγματα υπάρχουν αρκετά, στο βιβλίο αυτό όμως θα ασχοληθούμε μόνο με εκείνα τα κόλπα που έχουν λογική μαθηματική εξήγηση. Όπως το εξής :
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Έχεις στο τραπέζι δύο χαρτονομίσματα ένα των 5 ευρώ και ένα των 10 ευρώ. Τα χρήματα αυτά τα παίρνουν δύο φίλοι σου η Άννα και ο Βασίλης χωρίς να ξέρεις ποιος πήρε τι. Ζητάς στην Άννα να διπλασιάσει το ποσό που έχει και από τον Βασίλη να τα τριπλασιάσει. Μετά σου ανακοινώσουν το άθροισμα των χρημάτων που έχουν και εσύ ο μέγας Μάγος απλά λες ποιος έχει ποιο ποσό. Ουσιαστικά πρόκειται για μία απλή εφαρμογή των ιδιοτήτων των άρτιων και περιττών αριθμών, ιδιότητες που είναι γνωστές από τον καιρό του Ευκλείδη. Ο μέγας Μάγος γνωρίζει τα αποτελέσματα : 2Χ5+3Χ10=40 και 3Χ5+2Χ10=35 Οπότε άρτιο άθροισμα οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η Άννα έχει 5 ευρώ και ο Βασίλης 10 ευρώ, ενώ περιττό άθροισμα οδηγεί στο αντίστροφο συμπέρασμα. Τα μαγικά που υπάρχουν στο βιβλίο που κρατάτε είναι πιο δύσκολα από το παράδειγμα που σας έδωσα και θα πρωταγωνιστήσουν βασικοί κλάδοι των Μαθηματικών όπως η Θεωρία Αριθμών, η Γεωμετρία, η Άλγεβρα, η Συνδυαστική κ.α. Μη φοβάστε όμως τα μαθηματικά που χρειάζονται είναι Γυμνασίου άντε το πολύ Λυκείου και προπάντων Λογικής. Το σημαντικό είναι να μάθετε να τα παρουσιάζετε στους φίλους και να χαίρεστε, αλλά και να ασχοληθείτε με τα μαθηματικά που βρίσκονται πίσω από τα μαγικά αυτά ... Ο στόχος μας είναι να παρουσιάσουμε τα Μαθηματικά των Μαγικών αναδεικνύοντας έτσι την Μαγεία των Μαθηματικών. Γ. Λαγουδάκος Καλή ανάγνωση !
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 1 1.Επιλέγοντας έναν αριθμό … Δείτε πρ οσεκτικά τ ις παρακά τω κάρτ ες. Είναι χρ ωματ ισμένες κάρτες που στην μια μεριά έχει η κά θε μία ορισ μέν ους αριθμούς κα ι στην ά λλη τ ίποτε , μόν ο τ ο χρ ώμα τ ους. Το παιχν ίδι παίζετα ι ως εξής. Σου ζητώ να δια λέξεις έναν αρ ιθμό από αυτ ούς που είναι σημειω μέν ους στις κάρτ ες και να γνωρ ίζεις σ ε ποιες κάρ τ ες υπάρχει ο αρ ιθμός που διάλεξες. Μετά γυρίζω τις κά ρτες ανάποδα κα ι σ ου ζητώ να μου δείξεις σε ποιες κάρτ ες υ πάρχει ο αριθμός που διά λεξες . Μετά Ω!! τι θαύμ α σ ου λέω τον αρ ιθμό!!! Για παρά δειγ μα ας υ ποθέσ ουμε ότι διά λεξες τ ον α ριθμό 9 . Γυρνάμε τις κά ρτες και μου δείχνεις τις κάρ τες « πράσ ιν ο» και «γκρι» . Τότ ε εγώ είμα ι σε θέση να μαντέψω ότι ο αρ ιθμός είνα ι πράγματ ι το 9 . Πως εξηγείται αυτή η ικα νότητ α που έ χω ν α μαντεύω του ς αριθμούς; Μπορώ να σ ου πω ότι η λύση βασίζ εται στο δυα δικό σύστ ημα γραφής των αρ ιθμών . Ακόμη μπορ ώ να σ ου πω ότ ι υπάρ χει αντίστοιχο παιχνίδι με πέντ ε κάρτες , που η πέμπτη κάρτα ξεκιν ά από τ ον αριθ μό 16 κα ι οι κά ρτες περιέχουν α ριθμούς από τ ο 1 ως το 31. Αν καταλάβ εις τι πα ίζεται τ ότε φτιά ξε έξι κάρ τες που να περιέχουν αριθ μούς α πό τ ο 1 ως το 63 . Ένα είναι σίγ ουρ ο τ ότε ολόκληρη η παρ έα θα παρα δεχτεί τις μα ντικές ικαν ό τητές σου.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 2 Η αιτιολόγηση … Αν παρατηρήσ ου με προσ εκτικά θα δούμε ότι στις κάρτ ες γράφονται οι αριθ μοί από το 1 ως τ ο 15 με τη βοήθεια του δυα δικού συστήμα τος γραφής των αριθ μών . Η πρ ώτη κάρτα ξεκινά με τ ο 0 1 2= η δεύτ ερη με τ ο 1 2 2= , η τρίτη με το 2 4 2= και η τέτα ρτη με τ ο 3 8 2= . Οι υ πόλοιποι αριθμοί γράφονται κατάλλη λα στ ις τ έσσερεις κά ρτες. Για παρά δειγμα τ ο 3 επειδή γράφετα ι 1 +2 1 θα γραφεί στις δύ ο πρ ώτες κάρτ ες. Το 5 γράφεται 4+1=2 2 +1 άρ α θα γραφεί στη ν 1 η κα ι στην 3 η κά ρτα. Ένα ά λλο παρά δειγ μα για να το κατ αλάβ ου με ο αρ ιθμός 1 1 γράφεται 8+2+1 άρα θα γραφεί στην 1 η – 2η και 4η κάρτα . Αν υ ποθέσ ουμε ότ ι έχεις δια λέξει τ ον αριθμό 13 τ ότε θα δείξεις τις κάρτ ες «πράσινη » - «καφέ » - και «γκρ ι» . Εγώ γνωρίζω ότι ο αρ ιθμός θα προκύπτει ως άθροισ μα τ ων αριθμών 2 0 =1, 2 1 =2 , 2 2 =4 , 23 =8 ανά λογα σ ε πια α πό τ ις « πράσινη »- «μπλε» - «καφέ» - «γ κρι» αντ ίστοιχα κάρτα θα δείξεις . Άρα από τις συγκεκριμέν ες κάρτες πρ οκύ πτει ο αριθ μός : 1 +4 +8=13 . Στις «πίσω» πλευ ρές των καρτ ών μπορ εί να είναι σημειω μέν οι οι αριθ μοί 0,1 ,2,3 ώστ ε να είναι ακόμα ευκολότερ η η πρόβ λεψη . (Δες τις κάρτες που υ πάρ χουν σ το τελευταίο μέρ ος τ ου β ιβλίου ) Το παιχνίδι με 5 κάρτες
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 3 2. Ρίχνοντας τρία ζάρια … Λες στ ον φίλο σ ου να ρ ίξει τρία ζάρια και να κάνει τις εξής πρά ξεις. Την ένδειξη όποιου ζαριού θ έλει την πολλα πλασ ιάζει επί 2 και μετά στο γινόμεν ο πρ οσθέτ ει 5. Ότι έχει βρ ει τ ο πολλαπλασιάζει επί 5 και μετά στ ο αποτ έλεσμα προσθ έτει την έν δειξη τ ου δεύτερου ζαρ ιού . Το α ποτ έλεσμα που έχει κα ταλή ξει τ ο πολλα πλασιάζει επί 10 και μετά πρ οσθέτ ει και την ένδειξη τ ου τρίτου ζαριού . Το τελικό α ποτ έλεσμα τ ο α νακοιν ώνει στ ον Μάγ ο και αυτ ός λέει τις εν δείξεις των τριών ζ αριών! Για παρά δειγ μα ας υ ποθέσ ουμε ότι ρ ίξα με τρία ζάρια κάν αμε τις πράξεις που μας έχουν υποδείξει και ότι το α ποτέλεσμα που τελικά βρή καμε είνα ι τ ο 794 … Ο Μάγος α πλά θα πει ότ ι οι ενδείξεις των ζαριών ήταν 5 , 4 , 4. Μπορείς ν α τ ο επιβεβαιώσεις κάν οντ ας τις πράξεις ξεκιν ώντας με οποια δήποτε ένδειξη θ έλεις …
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 4 Η αιτιολόγηση Ας υ ποθέσουμε ότι οι εν δείξεις τ ων ζαριών είναι χ ,ψ , ζ Ακολουθ ούμε τις οδηγίες κα ι έχου με : 2χ / 2χ+5 / (2χ+5)5 / (2χ+5)5 +ψ / ((2χ+5)5 +ψ)10 / ((2χ+5)5 +ψ)10 +ζ / Ή μετά α πό πρά ξεις 100 χ + 10 ψ + ζ +250 Άρα 10 0χ+10 ψ+ζ +250 =794 Ή 1 00χ+10 ψ+ζ =544 (1) Επειδή οι εν δείξεις του ζαριού είναι {1,2 ,3,4 ,5,6 } Ουσιαστικά στ ο πρ ώτο μέλος της (1) έχου με την δεκα δική μορφή γραφής τ ου 544, άρα χ=5 , ψ=4 , ζ =4.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 5 3.Ο αριθμός 1089 Ζητάς από έναν φίλο σ ου να σκεφθεί έναν τριψήφιο αριθ μό που το πρ ώτο ψηφίο να είνα ι μεγα λύτ ερο α πό τ ο τελευτα ίο κα τά δύο του λάχιστ ον μονά δες … Μετά να γρά ψει τ ον τριψήφιο ανά στρ οφα … δη λαδή τ ο ψηφίο των μονάδων να γ ίνει ψηφίο εκατ οντά δω ν και τ ο ψηφίο τ ων εκατ οντάδων να γίνει ψηφίο μονά δων . Το ψηφίο των δεκάδων δεν αλλάζει θέση . Τους τριψήφιους αυτ ούς αριθ μούς τ ους αφαιρ ού με, α πό τ ον μεγα λύτερ ο τ ον μικρότ ερ ο. Από την αφαίρεση προκύπτει ένας νέος τριψήφιος αριθμός. Γράφου με πά λι τ ον ανάστρ οφό τ ου , όπως πριν κα ι πρ οσθ έτου με τους τριψήφιους αριθμούς . Το άθρ οισμα θα είναι ένας τετρα ψήφιος αριθ μός . Το θεα ματικό κα ι συγ χρ όνως μαθη ματικό είνα ι ότ ι ζητά με α πό τον φίλο μας να αν οίξει τ ο μεγάλο λεξικό τ ης Νέας Ελλη νικής Γλώσσας τ ου Μπα μπινιώτη (εκδόσεις : Κέντρ ο Λ εξικολογ ίας) στη σελίδα που αντιστ οιχεί στα τρία πρώτα ψηφία τ ου τετρα ψήφιου που βρή κε. Μετά να βρει τ ο λή μμα που αν τιστ οιχεί στο τελευταίο ψη φίο του τετραψήφιου α ριθμού που βρή κε. Τότ ε εσύ α πλά λες την λέξη – λή μμα στ ο οποίο ο φίλος σ ου έχει καταλή ξει ! Λες «α κράτεια» Αυτή είνα ι η λέξη , με όποιον τρ ιψήφιο αρ ιθμό και αν αρ χικά σκεφθεί.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 6 Η αιτιολόγηση Αν ο τριψήφιος αριθμός είν αι ο αβγ τ ότε αυτ ός γρ άφεται α 100 β 10 γ +  + . Όταν γρά ψου με τον α νάστροφ ό τ ου έχου με τον α ριθμό γ 100 β 10 α +  + . Αφα ιρώντας τ ους δύ ο αριθ μούς έχουμε (α γ) 100 (γ α)−  + − . Επειδή α >γ για να εκφράζ ει ο όρ ος (γ -α) ψηφίο μονάδων γράφου με (α γ 1) 100 90 (γ α 10)− −  + + − + . Ο ανάστρ οφ ος αρ ιθμός είνα ι ο (γ α 10) 100 90 (α γ 1)− +  + + − − . Προσθέτ οντας τους δύ ο α ριθμούς κατα λήγ ουμε στον αρ ιθμό 900+180 +9 =1089 . Δηλαδή πάντα ανεξάρτητα α πό ποιον τριψήφιο ξεκινήσ ου με καταλήγ ου με στον αρ ιθμό 1089. Οπότε το 9 ο λή μμα στη σελίδα 10 8 ενός λεξικού ( εν ός οποιου δή ποτ ε λεξικού που πρ οφαν ώς θα τ ο έχεις πρ οηγουμέν ως ανοίξει στην σελίδα 108) πά ντα θα είναι εκ τ ων πρ οτ έρων γνωστό!
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 7 4. Παίζοντας με τα χαρτιά … Ζητώ α πό τ ον φίλο μου να δια λέξει 3 φύλλα από τα 52 μιας τράπουλας . Χωρίζω την τρά πουλα σε τ έσσερες στοίβες Α , Β , Γ , Δ . Ζητώ να τ οποθετήσ ει το πρώτ ο φύλλο πάν ω στην Α στ οίβ α. Ζητώ να βάλει μερικά φύ λλα α πό τη ν Β στ οίβα πάνω στα προηγούμεν α. Μετά τ οποθετ ώ τ ο δεύτερο άγν ωστο φύ λλο πά νω στην Β σ τοίβ α . Ζητώ να τ οποθετήσ ει ο φίλος μου μερ ικά φύλλα από την στοίβα Γ πά νω στη δεύ τερη στοίβα . Τοποθ ετώ τ ο τ ρίτ ο ά γνωστ ο φύ λλο πάνω στα φύλλα που απομέν ουν στην Γ στοίβα. Τοποθ ετώ κα ι τα χαρτιά της Δ στ οίβας πά νω στα χαρτιά τ ης τρίτης στ οίβας . Παίρνω όλα τα φύλλα της τ ρίτης στοίβας όπως έχει τ ώρα φτιαχτεί και τα βάζω πάνω στη δεύτερ η στ οίβα . Παίρνω όλα τα φύλλα της δεύτερης στοίβας όπως έχει τώ ρα φτιαχτεί και τα βάζω πάνω στη πρ ώτη στοίβα. Παίρνω τα τέσσερα πρώτα φύ λλα της τράπου λας και τα β άζω α πό πίσω στις τελευτα ίες θέσεις . Τώρα αρχίζουν τα μαγικά . Όπως είναι η τ ράπου λα ένα φύλλο το αν οίγ ω και ένα τ ο κρατώ κλειστό. Τα αν οικτά φύλλα τα βγάζ ω έξω. Το ίδιο κάνω ά λλη μία φορ ά, ένα φύ λλο αν οικτ ό και ένα κλειστ ό. Τα αν οικτά φύλλα βγαίν ουν έξω . Άλλη μία φ ορά, αν οικτό κα ι κλειστ ό φ ύλλο και τα α νοικτά φύλλα βγαίνουν έξω. Μία τελευτα ία φορά κα ι ω! τ ι μαγ ικό τα τρ ία φ ύλλα που μέν ουν είναι τα φύλλα που διά λεξε αρχικά ο φίλος μου.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 8 Η αιτιολόγηση … Το μυστικό είνα ι οι στ οίβες να έχουν α ριθμό χαρτ ιών 10 , 15 , 15 και η τ ελευταία 9 . Με τ ον τ ρόπο που έχω βά λλει τα άγνωστα φύ λλα στην τρά πουλα τα χαρτ ιά θα είναι στην 1 0η , 26η κα ι 42 η θ έση. Βάζοντας τέσσερα φύ λλα στ ο τέλος τα άγνωστα φύ λλα θα βρίσκοντ αι στις θ έσεις 6η , 22η και 38η . Για τ έσσερεις φ ορές βγάζου με ένα παρά ένα κα ι κάποιο φ ύλλο εκτός της τρά πουλας φανερ ών οντάς τ ο. Την πρώτ η φ ορά ξεκινάμε α πό τ ο φύλλο που βρίσκεται στ ην 1η θέση κα ι διώχν ου με όλα τα φύλλα που βρίσκοντα ι σ ε περ ιττές θέσεις. Άρ α τα φύ λλα μας που βρίσκονται στις θέσεις 6η , 22η και 3 8η παρα μέν ουν μέσα στα «ά γνωστα» φύ λλα . Την δεύ τερη φορά φ εύγ ουν από τα φύλλα που βρίσκοντα ι αρχικά σε άρτ ιες θ έσεις ξεκινώντας από τ ο φ ύ λλο 52 μετά το 48 κ.ο.κ. δηλα δή τα φύλλα με αρ ιθμό θ έσης 4ν με ν [1,13] . Τώρα απομέν ουν ως άγνωστα φύ λλα αυ τά που στην α ρχική στοίβα είχαν αριθμό αρίθ μησης 2,6,10 ,14,18 ,22,26,30 ,34,38 ,42,46,50 . Πα ρατηρείστε ότ ι τ α «άγνωστα» φύλλα μας που βρ ίσκονται στις θέσεις 6,22,38 βρίσκοντ αι μέσα … Την επόμενη φορ ά φαν ερών ου με τα φύλλα 2,10 ,18,26 ,34 ,42,50 . Οπότε μένουν τ α φύ λλα 6 ,14,22,30 ,38,46 . Τέλος βγάζου με τα φύλλα 46,30 ,14 και ω! τ ου θαύ ματ ος παραμέν ουν τα φ ύλλα 6, 22 και 38 . Τα άγνωστα σε μας αρ χικά φύλλα .
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 9 5. Το πιο απλό «μαθηματικό» τρικ … Ζητάς από τον φίλο σου να γρά ψει έναν τετρα ψήφιο αριθ μό, π.χ. 1234 Εσύ σε ένα χαρτί γράφ εις τ ον αρ ιθμό 21 232 χωρ ίς να τ ον παρ ουσιάσεις ώστ ε να κάνεις την τ ελευταία στιγ μή τη μεγ άλη έκπλη ξη! Ζητάς από τον φίλο σου να γρά ψει και άλλον έναν τετ ραψήφιο αριθμό κάτω α πό τ ον πρ οηγ ού μεν ο, π.χ. 6389 . Από κάτω γράφεις τ ον αριθ μό 361 0. Ζητάς να γ ράψει και ά λλον έν αν τ ετρα ψήφιο αριθμό, π.χ. 2894 Από κάτω γράφεις 71 05. Μετά ζητάς α πό τον φίλο σ ου να πρ οσθέσ ει του πέντ ε τετραψήφιους αρ ιθμούς που έχουμε γρά ψει, δηλα δή για τ ο παράδειγ μά μας : 1234+6389 +3610 +2894 +7105 =… =21232! Ακριβώς ο αριθμός που εσύ ως μέγας μάγ ος τ ον είχ ες α πό τα πριν βρει!
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 10 Η αιτιολόγηση … Παρατηρείστε ότι ο πρώ τος τετρ αψήφ ιος ήταν ο 123 4. Ο αριθμός που έγρα ψα πρ οκύ πτει α πό αυτ όν με τ ον εξής α πλό τρ όπο γράφω μπρ οστά ένα 2 και μετά από τ ον πενταψήφιο που πρ οκύ πτει αφαιρώ 2. Δη λαδή 21234 -2=2132. Τώρα παρ ατηρείστ ε και κάτ ι α κόμα , όταν ο φ ίλος μου γρά φει έναν τ ετρα ψήφιο εγώ γράφω εκείνον ώστε με τ ον πρ οηγ ούμεν ο να έχει άθρ οισμα 999 9, δη λα δή μου είπε 6389 και εγώ έγ ραψα 3610, μου είπε 2894 και εγώ έγρα ψα 7105 . Με τ ον τρ όπο αυτό τ ο άθροισ μα τ ων πέντε τετρα ψήφιων θα είναι ο αριθμός που εγώ «μαγικά» έχω πρ οβλέψει. Ας δώσ ουμε μια πιο μαθηματ ική εξήγηση : Έστω ο αρχικό τετρα ψήφιος ότ ι είνα ι ο αβγδ ( τα α,β ,γ,δ είναι ψηφία) . Ο αριθμός που τελικά θα πρ οκύ ψει ως άθρ οισ μα είναι ο 2αβγδ 2 2 10000 αβγδ 2 2 9999 αβγδ− =  + − =  + Πράγματι, έχοντας πρ οβ λέψει ο δεύτερ ος και τρίτ ος τετραψήφιος , όπως ο τ έταρτ ος και πέμπτος να έχουν άθρ οισμα 9999, τ ο άθρ οισμα τ ων πέντε τετρα ψήφιων είνα ι αβγδ 9999 9999 2 9999 αβγδ+ + =  + . Ο αριθ μός δηλα δή που έχω μαντέψει!
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 11 6. Πιο γρήγορος και από κομπιουτεράκι ! Ζητάς από τον φίλος σ ου να σου πει έναν τετρα ψήφιο αριθμό π.χ. τ ον 3562 Μετά ά λλον έναν π.χ. τ ον 5728 Στη συ νέχεια λες και εσύ με τη σειρά σου έναν τετρα ψήφιο αριθμό π.χ. τ ον 4271 Στο χα ρτί σημειών εις τ ις πρά ξεις : Ζητάς από τον φίλο σου χρησιμοποιώντας τ ο κομπιουτερά κι ν α υπολογίσει τα γ ιν όμενα Α και Β κα ι μετά τ ο άθροισμα Γ τ ων δύ ο γινομέν ων. Το μαγ ικό είνα ι ότ ι εσύ θα υ πολογίσ εις τ ο α ποτ έλεσμα τω ν πράξεων αυτ ών πολύ πιο γρήγ ορα … κυριολεκτ ικά στη στ ιγμή. Απλώς γράφοντας τ ον αριθ μό 35 .616 .438, που είναι ο σω στός!
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 12 Η αιτιολόγηση … Το μυστικό είνα ι ο τετ ραψήφ ιος που επιλέγ εις εσύ . Πρέπει μαζί με τ ον δεύτερο τετραψήφιο να δίνει άθροισμα 9999 . Πράγματι πα ρατηρείστε. Ο δεύτ ερ ος τ ετρα ψήφιος ήταν ο 5728 και ο τετρ αψήφ ιος που επέλεξα ήταν ο 4271 . Οπότε έχου με να υ πολογίσ ουμε τ ην τ ιμή της παρ άστασης : ( ) ( )  +  =  + =  =  − = − = + − = + + + − = + = 3562 5728 3562 4271 3562 5728 4271 3562 9999 3562 10000 1 35620000 3562 35610000 10000 3562 35610000 3562 6437 1 3562 35610000 6438 35616438 Παρατηρείστε ότι ο τ ελικός οκτ αψήφ ιος αριθ μός αρ χίζει με τέσσερα ψηφία που είνα ι ίδια με τ ο α ρχικό τετραψήφιο ελαττ ωμέν ο κατά ένα (3562 -1 =3561 ) και ακολουθ ούν τέσσ ερα ψηφία που σχη ματίζ ουν τ ον αριθμό 6438 ο οποίος μαζί με τ ον 3561 έχει άθρ οισ μα 999 999. Άλλο ένα παρά δειγμα : αν έχου με να υπολ ογ ίσουμε την παράσταση : 2563 4372 2563 5627 ... +  = τ ο αποτέλεσ μα θα είναι 25.627.437.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 13 7. Επιλέγοντας από 27 χαρτιά το σωστό – τρεις εκδοχές … Εκδοχή πρώτ η … Δίνεις μία τρά που λα α πό 27 χαρτιά να την ανακατέψει ο φίλο ς σου και συγχρόν ως ν α δια λέξει ένα χαρτί α πό α υτά. Αφού τ ο τοποθετήσει ξανά μέσα στη ν τρ άπου λα το φύ λλο που επέλεξε , αν οίγ εις ένα -ένα τα χαρτ ιά φτ ιάχν οντας τρεις σ τοίβες . Ζητάς να σ ου πει σε ποια α πό τ ι ς στ οίβ ες είναι τ ο χαρτί που διά λεξε. Μαζεύεις – κατάλληλα – τα χαρτιά κα ι επανα λα μβάνεις τ ην δια δικασ ία δη λαδή , την υπόδειξη της στ οίβας κα ι τ ο κατά λληλο μάζεμα ά λλες δύ ο φ ορές . Μετά είσαι σ ε θ έση ν α βρ εις το χα ρτί απλώς μετρώντας φ ύλλα! Όπως κατα λάβατε το μυστ ικό βρ ίσκεται στ ο πω ς μαζ εύεις τα φύλλα α πό τ ις τρ εις στοίβες. Για παρά δειγ μα αν και στα τρία μαζ έματα η στοίβα στη ν οποία έχει υ ποδειχθ εί ότ ι βρ ίσκετα ι τ ο ζητ ούμενο φύ λλο μαζ εύεται δεύτ ερη τότ ε τ ο 14 ο φύλλο της τρά πουλας είναι τ ο ζητ ού μενο χαρτί. Αν τη ν 1η φ ορά μαζεύ εται πρώτη , τ ην 2η φ ορά δεύτερη και την 3η τρίτη τ ότε τ ο χαρτ ί θα είναι τ ο 6ο . Επειδή υ πάρχου ν 3! 1 2 3 6=   = τρ όποι να μαζευτ ούν τα φύλλα, υπάρχουν και 6 διαφ ορετ ικές περιπτώσ ε ις εξέλιξης τ ου παιχν ιδιού. Πως μπορεί κάποιος να τ ις θυ μάται όλες α υτές τις περιπτ ώσεις; Με την βοήθ εια του πίνα κα : 1η σ τοίβα 2η σ τοίβα 3η σ τοίβα Μαζεύετα ι 3 η 0 0 0 Μαζεύετα ι 2 η 1 3 9 Μαζεύετα ι 1 η 2 6 18
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 14 Δηλαδή αν τ ο κατά λλη λο μάζεμα γ ίνετα ι ώστε η στ οίβα που υποδεικνύ εται μαζεύετα ι … : • πάντα πρ ώτη τότ ε μετά α πό τη ν ολοκλήρ ωση της δια δικασ ίας τ ο φύλλο θα βρίσ κεται στην θέση (2+6 +18) +1 =27η θέση τ ης τρά πουλας. • Στην α ρχή δεύτερ η, μετά τ ρίτη και στ ο τέλος τρίτη , το φύλλο θα βρ ίσκετα ι στη θέση (1 +0 +0) +1 =2η θέση της τράπουλας . Παρατηρείστε ότι α πλώς πρ οσθέτ ουμε τ ους αντίστ οιχους αριθμούς και στ ο τ έλος μία μον άδα ακόμα. Αν μου πείτε ότι είνα ι δύσ κολο να α πομνη μονεύσω όλους αυτ ούς τους αριθμούς … σας κατα λαβαίνω , γι’ αυτ ό υ πάρχουν τα μαθηματικά. Συγκεκριμένα θα χρησιμοποιήσ ου με τ ο τρ ια δικό σύστημα γ ραφής τ ων α ριθμών. Κάτι αντίστ οιχο με το δυα δικό που ή δη έχου με συναντήσ ει. Στο τριαδικό σύστη μα κάθε αριθ μό τ ον γράφ ουμε με τη β οήθεια των ψηφίων 0,1 ,2 σ ε τρ εις θέσεις όπου η πρ ώτη δη λών ει πόσ ες μονά δες έχουμε, η δεύτερη πόσα 3άρια και η τ ελευταία πόσα 9άρια. Για παρά δειγ μα ο αριθ μός 19 γράφετ αι 2 1 0 319 18 1 2 9 0 3 1 1 2 3 0 3 1 3 [201]= + =  +  +  =  +  +  = Με τ ον τ ρόπο α υτό ο πίνακας μας πα ίρνει τη μορφή : 1η σ τοίβα (1=3 0 ) 2η σ τοίβα (3=3 1 ) 3η σ τοίβα (9=3 2 ) Μαζεύετα ι 3 η 0 0 0 Μαζεύετα ι 2 η 1 1 1 Μαζεύετα ι 1 η 2 2 2 Παρατηρείστε ότι εκεί που ήτα ν τ ο 18 τώρα έχουμε γρά ψει 2 εννοώντας 2 2 3 18 = , παρ όμοια εκεί που ήταν γραμμέν ο 6 τώρα έχουμε γρά ψει 2 ενν οώντας 2 3 6 = Οπότε αν το μάζεμα τω ν φύ λλων έχει γίν ει : 2η - 1 η - 2η , εμείς θα θυμόμαστε 121 που αντιστ οιχεί στην τρια δική μορφή γ ραφής του αριθ μού 1 +6 +9 =16 άρα το φύ λλο θα βρ ίσκετα ι στη ν 1 7 η θέση.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 15 Εκδοχή δεύτερη … Το θεα ματικό στην περίπτωση αυτή είναι ότι δεν αγ γίζεις εσύ την τρά πουλα , μόν ο ο φίλος σ ου. Δη λαδή … Διαλέγ ει ένα χα ρτί, ανα κατεύ ει την τρά πουλα κα ι σ χηματ ίζει την πρώτη στ οίβα. Κάνει τ ο πρ ώτο μάζεμα κα ι εσύ πρ οσέχεις σε ποια α πό τ ις τρεις περιπτώσ εις αντιστ οιχεί. Η στ οίβα που έχει υ ποδειχθεί μπήκε στην αρχή στη μέση ή στ ο τέλος όπως μαζευ όταν ; Το σκην ικό επαν αλα μβάνετα ι τρ εις φορ ές πρ οσέχοντας πά ντα πως μαζεύ οντα ι τ α φύ λλα. Στο τέλος είναι εύκολο για σένα αφ ού γνωρ ίζεις τον α λγ όριθμο να βρεις τ ο φύλλο. Ας υ ποθέσουμε ότι τα μαζ έματα ήταν 3η – 1η – 1η τ ότε αυ τό αντιστοιχεί στ ον τρια δικό αρ ιθμό 0 22 δη λαδή τ ο φύλλο θ α βρίσκεται στη θέση (0 +6 +18) +1 =25ο φύ λλο. Εκδοχή τρ ίτη … Η θεαματικότερ η ! Ζητάς πά λι να επιλεχθ εί ένα χαρτ ί, να ανακα τευθεί η τρά πουλα και να σ χηματ ισθούν οι τρεις στ οίβ ες για πρώτη φ ορά . Τότ ε ζητάς από τ ον φίλο σου ή α πό κάποιον άλλον να σ ου πει έναν α ριθμό από τ ο 1 έως τ ο 27 . Ας υ ποθέσουμε ότι σ ου λένε τον αρ ιθμό 15. Τότ ε αφα ιρείς ένα και τ ον αρ ιθμό 14 τ ον γράφεις σε τρ ιαδική μορφή . Γράφ εται 14=9 +3 +2 δη λαδή 212 ( αφ ού 0 2 314 2 3 9 2 3 1 3 2 3 [212]= + + =  +  +  = ) Οπότε τα μαζέματα - που τ ώρα γίν ονται α πό σένα - θα είνα ι 1η -2η - 1η . Τελικά ω! δια μαγ είας το ζητ ούμεν ο φύ λλο θα το αναζητή σουμε στην 15η θέση της τ ράπου λας, ακρ ιβώς στ ον αρ ιθμό που ειπώθηκε α πό τ ο κοιν ό ως επιθυμία.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 16 Η αιτιολόγηση … Ας αιτ ιολογήσ ουμε μία περίπτωση α πό τις 6 που υ πάρχου ν κα ι αφήνου με σε σας ως άσκηση τις υ πόλοιπες! Υποθέσ ουμε ότι τα μαζέματα ήταν 3η – 2η – 3η που αντισ τοιχεί στον τρια δικό 010 δη λα δή στ ον αριθ μό 3 κα ι ά ρα τ ο φύ λλο θα αναζητηθεί στ ην 4 η θέση . Γιατί να συ μβαίν ει αυτ ό; Την 1η φορά μαζεύ ου με την στοίβα που βρίσκεται το φύ λλο τελευταία , οπότ ε το φύ λλο μας θα είνα ι ένα από τα 9 φύ λλα που τώρα βρ ίσκονται στ ην αρχή της τρά πουλας ( αφού τ α φύ λλα μαζεύ ονται αν οικτά και η τράπου λα μοιράζ εται με κλειστ ά τα φύλλα – άρα η σειρά έχει αλλά ξει) Με την 2η δη μιουργία στ οιβώ ν τα 9 αυτά φύ λλα θα βρεθ ούν στις τρεις τ ελευταίες θ έσεις κάθε στ οίβας, δηλα δή θα έχουν μοιραστεί ανά τρ ία στ ις τρ εις στοίβες. Στο δεύτ ερο μάζεμα –( 2η ), τα 3 πλέον φύλλα ανάμεσα σ τα οποία είναι κα ι το ζητ ούμενο φύ λλο μαζ εύ ονται μαζί με τ α υπόλοιπα 6 χαρτιά της στοίβας τ ους στη μέση της τρά που λας. Θα βρίσ κοντ αι λοιπόν στ ις θέσ εις 10 η – 11η – 12η Με την δη μιουργ ία γ ια τρίτη φορά στ οιβ ών τ α χαρτιά μας, ένα σε κάθ ε στ οίβα , θ α βρεθ ούν στην 4 η θέση από τ ο τ έλος σε κάθε στοίβα ή στη 6η θέση α πό την αρ χή. Τέλος η στ οίβα θα μαζευτεί τελευταία (3η ) . Με τ ον τ ρόπο α υτό τ ο φύλλο μας θα βρεθ εί στην 4 η θ έση της τράπουλας αφ ού μετά τ ο μάζ εμα όλα τα φύλλα είναι κλειστά και τα αν οίγ ου με ένα - ένα. Είναι πρόκληση για τ ον καθένα ν α κάνει μία γεν ική απόδειξη τ ου αλγορίθμου κα ι ν α μην σπάσει τ ο πρόβ λημα σε 6 ειδικές περιπτώσ εις. Αλλά α υτ ό τ ο αφήνω σε εσάς μαθη ματικό -μαγ ικοί μου !
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 17 8. Τα μαγικό κατάλοιπο ... Όταν έχουμε έναν οποια δή ποτ ε α ριθμό τ ότε πρ οσθέτ οντα ς τα ψηφία τ ου και μετά πρ οσθέτ οντας τα ψηφ ία τ ου αθρ οίσ ματος και μετά πρ οσθέτοντας τα ψηφία τ ου νέου αριθ μού και α υτό τ ο κάνου με συν εχώς κα ι συ νεχώς έως ότ ου κατα λή ξουμε σ ε ένα και μονα δικό ψηφίο ο αρ ιθμός αυ τός λέγετα ι κατάλοιπο του αρχικού αριθμού. Για παρά δειγ μα ας πάρ ουμε το σειριακό αριθ μό 324631 0871 τ ου διπλαν ού 20εύρου τ ότ ε : 3+2 +4+6+3 +1 +0 +8 +7+1 = 35 και 3 +5 =8 Άρα τ ο κατάλο ιπο τ ου 324631 0871 είναι 8 Μία βασική μαθηματική ιδιότητα του αρ ιθμού αυτ ού είνα ι ότι ισούτα ι με τ ο υπόλοιπο της δια ίρεσης του αρ χικού αρ ιθμού με τ ο 9. Δηλαδή για τ ον αριθ μό 32463 10871 ισχύ ει και 3246310871 9 360701207 8=  + Ας δούμε τ ώρα το μαγικό ! Ζητάς από το φίλο σ ου να καταγ ράψει τ ο σειρια κό αρ ιθμό από ένα ν όμισμα που έχει στ ο πορτ οφ όλι τ ου . Μετά να γρά ψει έναν νέο α ριθμό με ψηφία τα ίδια με αυτ ά τ ου αρχικού αριθ μού, α πλά ανα κατεμένα . Έπειτα του ζητάς να αφαιρέσ ει τ ους δύ ο αυτ ούς αριθμούς (α πό το μεγα λύτ ερ ο τ ο μικρ ότερ ο) . Η διαφορά που πρ οκύ πτει είνα ι ένας τ ρίτ ος αρ ιθμός . Του ζητάς να δια γράψει ένα α πό τα μη μηδενικά ψηφία τ ης διαφ οράς και μετά να σ ου πει ανακατεμένα τα υπόλοιπα ψηφία , έστω και ανακα τεμένα . Ω! τ ου θαύμα τος εσύ είσαι σε θέση να μαντέψεις το ψηφίο που διέγρ αψε!
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 18 Για παρά δειγ μα , ας πούμε ότ ι έχουμε τον αρ ιθμό 324631 0871, εσύ δεν τ ον γνωρ ίζεις. Ανακατεύει τα ψηφία του και γράφει τ ον αριθ μό 8763 321 104. Αφαιρεί τ ους δύο αρ ιθμούς και βρίσκει 5517010233 . Υποθέτ ουμε ότ ι διαγ ράφει τ ο ψηφίο 7 και σ ου λέει έναν αριθ μό που πρ οκύ πτει α πό τα ψηφία που α πομένουν, για παράδειγμα μπορεί ν α σ ου πει : 150013523 . Τότ ε εσύ α πλά λες τ ον αριθμό 7! Πως τ ο βρ ίσκεις; Βρίσκεις τ ο κατά λοιπο τ ου αριθμού που σ ου δίνετα ι. Δηλαδή : 1 +5 +0+0 +1 +3 +5 +2+3=20 / 2 +0=2 Μετά α πλά αφαιρ είς από το 9 τ ο κατά λοιπο και έχεις 9 -2 =7!
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 19 Η αιτιολόγηση … Ας δούμε μερικές ιδιότητες του κατα λοίπου . 1. Το κατά λοιπο ενός αριθ μού δεν α λλάζ ει αν αναδιατά ξουμε τα ψηφία του. Νομίζω ότι αυτ ό είν αι εύκολο να α ποδειχθεί. Για παρά δειγμα τ ο κατάλοιπο τ ων αριθμών 3246310871 κα ι 8763 321104 είνα ι τ ο ίδιο. 2. Όταν κάνουμε μία αφαίρ εση τ ότε υ πάρ χει ένας α πλός τρόπος για να δού με αν είναι σωστή . Για παρά δειγ μα αν εκτ ελού με την αφαίρεση ανά μεσα σε δύ ο πολύ μεγά λους αρ ιθμούς Α,Β και γράφ ουμε : Α -Β =Δ τότε αν συμβ ολίσ ουμε με ΚΑ , ΚΒ , Κ Δ , τα κατά λοιπα τ ων αριθμών Α,Β ,Δ αντίστ οιχα ισχύει και Κ Α -ΚΒ =ΚΔ (1 ) ! . Την ιδιότητ α α υτή χρησιμοποιούσαν οι λογιστ έ ς πριν εφευρεθ ούν τα κομπιουτ εράκια . 3. Στην περ ίπτ ωση όπου αφαιρ ούμε δύ ο αριθ μούς με το ίδιο κατάλοιπο τ ότε η διαφ ορά έχει κατά λοιπο 9 (και όχι 0 ), αφού όπως είπα με τ ο κατάλοιπο ταυτίζετα ι με τ ο υπόλοιπο της διαίρεσης τ ου αριθ μού με τ ο 9 . Για τ ο παρά δειγμα μας αφ ού οι δύ ο αριθ μοί που αφαιρ ού με έχουν πρ οκύ ψει από ανα διάτα ξη των ψηφίων τ ου ίδιου α ριθμού θα έχουν τ ο ίδιο κατάλοιπο. Άρ α η διαφ ορά τ ους θα έχει κατάλοιπο 9 . Όταν ο φίλος μας διαγράφει ένα μη μη δεν ικό ψηφ ίο Χ τ ότ ε για το κατά λοιπο τ ου αριθμού Γ που τελικά μας φα νερώ νει (γ ια τ ο παράδειγ μά μας 150013523) ισ χύει ότι : Γ ΓΚ x 9 x 9 K+ =  = − !
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 20 9.Βρίσκοντας τον μήνα και το έτος γέννησης … Με τ ο συγ κεκρ ιμένο μαγικό θα είμαι σε θέση να βρ ω τον μήνα και τ ον έτ ος γέννησης οποιου δή ποτ ε. Ας υ ποθέσουμε ότι έχω απέναντι μου έναν μαθητή μου. Του ζητώ να πολλαπλασιάσει τ ον μή να γ έννησης του επί 2 . Στο γιν όμεν ο που βρήκε να πρ οσθέσει 5 . Μετά να πολλα πλασιάσει τ ο αποτέλεσ μα επί 50. Αν έχουν περάσει τα γενέθλιά του να πρ οσθέσει 1769 ειδάλλως να προσθέσ ει 1768 . Στο τέλος να αφα ιρέσει την η λικία του και να μου πει το αποτ έλεσμα που βρή κε. Ας υ ποθέσουμε ότι ο σ υγκεκριμέν ος μαθητής έκαν ε σ ωστ ά όλες τις πράξεις και βρήκε τελικό αποτέλεσ μα 2610. Τότ ε εσύ φυσικά του λες ότι γεννήθηκε Ιούνιο του 2010!
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 21 Η αιτιολόγηση … Ας υ ποθέσουμε ότι ο μήνας γέννησης είναι Χ κα ι τ ο έτ ος Ψ τ ότε ακολουθώντας την σειρά τ ων πρά ξεων που περιγρά ψα με καταλήγ ου με στο α ποτέλεσμα : (2Χ 5) 50 1769 Ψ+  + − ή (2Χ 5) 50 1768 Ψ+  + − αν δεν έχει γιορτάσ ει ακόμα τ α γ ενέθ λια του. Ας κά νου με μερικές πρά ξεις α κόμα … 100Χ 250 1769 Ψ ή 100Χ 250 1768 Ψ+ + − + + − Τελικά έχου με … 100Χ 2019 Ψ ή 100Χ 2018 Ψ+ − + − άρα Στο τελικό α ποτέλεσμα 2610 που μας λέει τα ψηφία τ ων δεκάδων και μονάδων δεν επη ρεάζονται από τ ον παράγ οντα 100 Χ. Είναι ψηφία της ημερ ομηνίας γένν ησης. Επειδή είν αι μαθητής και δεν μπορεί ν α έχει γ εννηθεί τ ο 1910 , τ ο έτ ος γ έννησης είνα ι τ ο 2 010 και α πό την διαφ ορά 26 -20=6 ΄έχουμε ότι γεν νήθηκε στ ον 6ο μήνα. Ιούλιο τ ου 2010 λοιπόν … Για να εξασκηθ ού με … ας υ ποθέσουμε ότι τ ο ίδιο έκανα και με τον πεθερ ό μου και ως τελικό αριθ μό ειπώθηκε ο 2340. Π οιον μήνα και ποιο έτ ος γεννήθη κε; Το μέρ ος 40 τ ου τελικού αριθ μού είνα ι η δεκα ετία τ ου χρ όν ου γέννησής τ ου . Άρα αφ ού είνα ι μεγά λος άνθρ ωπος θα γ ενν ήθηκε το 1940 και μά λιστα τ ον Μά ρτιο αφ ού 23-19=4! Προσοχή όμως τ ο τρ ικ αυτ ό για να το εφα ρμόσεις τ ο 20 20 θα πρέπει να αντικαταστήσεις τ ους αριθ μούς 1769 κα ι 1768 με τους 1770 κα ι 17 69 αν τίστ οιχα . Αν θέλει να τ ο παρ ουσιάσ εις τ ο 2 021 οι αριθ μοί τ ώρα θα γ ίν ουν 1771 και 1770 κ.ο.κ. Καλές πρ οβλέψεις …
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 22 10. Εξαφανίζοντας ένα ολόκληρο τετράγωνο ! Παρατηρείστε τα παρακάτ ω σ χήματα … Mε απλή ανα διάτα ξη των σχη μάτων κα τόρθ ωσα να εξαφα νίσω ένα ολόκληρ ο τετρ άγων ο; Στο τέλος τ ου βιβ λίου σας δίν ω τη ν παρακά τω σελίδα και σας προτρέπω να κόψετε τα σχήματα ώστε να επιβεβαιώσετε το μαγικό !
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 23 Η αιτιολόγηση Παρατηρείστε τ ις λεπτομέρ ειες α πό τα δύο «τετράγων α». Αν μετρήσ ου με τις γων ίες θα διαπιστώσ ουμε ότι οι ΑΒ και ΒΓ δεν είν αι στην ίδια ευθεία , όπως και οι ΔΕ με την ΕΖ. Επειδή ο ΑΒΓ 178.76= και ο ΔΕΖ 181.24= το πρ ώτο «τ ετράγω νο» έχει μεγα λύτερ ο εμβαδόν από τ ο δεύτερ ο. Πόσο; Κατά ένα μικρ ό τετραγωνά κι όσ ο αυτ ό που εξαφαν ίσαμε …
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 24 11. Fitch Cheney trick … κάτι σαν σήματα Μορς Το μαγικό που θα περιγράψουμε το δημιούργησε ο William Fitch Cheney Jnr (1904-1974) που το 1927 πήρε το πρώτο PhD στα Μαθηματικά στο MIT. Το μαγικό ξεκινά … Συμμετέχουν ο μάγος, ο συνεργάτης του και κάποιος θεατής. Στην αρχή ο μάγος δεν είναι παρών. Ο συνεργάτης δίνει μία τράπουλα 52 χαρτιών στον θεατή, όπου αυτός την ανακατεύει και μετά επιλέγει 5 χαρτιά. Τα χαρτιά αυτά τα βλέπει ο συνεργάτης του μάγου. Αυτός με τη σειρά του επιλέγει ένα από αυτά και το δίνει στον θεατή. Τα υπόλοιπα τέσσερα τα τοποθετεί στη σειρά, άλλα φανερά και άλλα κρυμμένα. Τότε κάνει την εμφάνισή του ο Μάγος. Μετά από μία σύντομη ματιά είναι σε θέση να πει ποιο χαρτί έχει στην κατοχή του ο θεατής ! Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι ο θεατής έχει επιλέξει : J, K, 2, 6 και 9. Ο συνεργάτης , δίνει στον θεατή το J και τα υπόλοιπα χαρτιά τα βάζει στη σειρά με τον εξής τρόπο : 9  / κλειστό χαρτί / K / κλειστό χαρτί. Τώρα κάνει την μεγάλη είσοδο ο Μάγος ! Ρίχνει μια βιαστική ματιά στα χαρτιά και λέει στον θεατή ότι κρατά το J ! Ένα άλλο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι μπαίνοντας ο μάγος βλέπει … Τότε λέει ότι το χαρτί που κρατά ο θεατής είναι 9 καρό !
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 25 Η αιτιολόγηση … Είναι προφανές ότι ανάμεσα στον Μάγο και στον συνεργάτη του έχει συμφωνηθεί μία μορφής επικοινωνία. Η γλώσσα με την οποία επικοινωνούν βασίζεται σε μερικές μαθηματικές αρχές. 1η αρχή : Όταν ο θεατής έχει διαλέξει τα 5 χαρτιά τότε αποδεικνύεται ότι 2 τουλάχιστον από αυτά θα είναι του ίδιου σχήματος και χρώματος. (αρχή περιστεροφωλιάς) 2η αρχή : Ας θεωρήσουμε τα 13 χαρτιά ενός χρώματος μίας τράπουλας τοποθετημένα σε έναν δεξιόστροφο κύκλο. Παρατηρείστε ότι ξεκινώντας από το 9 για να φθάσουμε στο J θέλουμε να μετακινηθούμε δύο θέσεις. Αλλά ξεκινώντας από το J για να φθάσουμε στο 9 ( κινούμενοι δεξιόστροφα) θέλουμε 11 θέσεις. Επιλέγουμε πάντα τη κίνηση με τη μικρότερη μετακίνηση. Δηλαδή στο παράδειγμά μας από το 9 (ΑΡΧΗ) προς το J (ΤΕΛΟΣ) 3η αρχή : Στον θεατή δίνουμε το ΤΕΛΟΣ και βάζουμε ως πρώτο φύλλο την ΑΡΧΗ ανοικτό (να φαίνεται χρώμα και σχήμα). 4η αρχή : ο αριθμός των χαρτιών που παρεμβάλλονται από τ ην ΑΡΧΗ (9) μέχρι το άγνωστο φύλλο, δηλαδή 2 χαρτιά θα παρουσιαστεί στον μάγο γράφοντας ο συνεργάτης του τον αριθμό 2 με τη βοήθεια του δυαδικού συστήματος δηλαδή ως [010]2 με την μορφή κλειστού φύλλου/ ανοικτού φύλλου – οποιουδήποτε – στο παράδειγμά μας το K / κλειστό χαρτί. Τα χαρτιά που παρουσιάζονται στον μάγο είναι τα : 9  / κλειστό χαρτί / K / κλειστό χαρτί (θεωρούμε ότι το κλειστό χαρτί αντιστοιχεί στο 0 και το ανοικτό στο 1). Άρα ο Μάγος καταλαβαίνει ότι το άγνωστο χαρτί είναι  και μάλιστα αυτό που βρίσκεται [010]2 θέσεις μετά δηλαδή ο 1 2 0 2 1 2 0 2 2 +  +  = . Άρα θα είναι το χαρτί 9+2=11 δηλαδή το J
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 26 Στο 2ο παράδειγμα ( με τις εικόνες) , ο Μάγος καταλαβαίνει ότι το χαρτί είναι καρό και είναι μετά το 5, [100]2 θέσεις, δηλαδή 2 1 ο 1 2 0 2 0 2 4 +  +  = θέσεις. Άρα είναι το 5+4=9 καρό. Το τρικ αυτό έχει και μία δεύτερη πιο θεαματική εκδοχή όπου στο τέλος υπάρχουν 4 ανοικτά φύλλα και ο Μάγος μελετώντας τα είναι σε θέση να καταλάβει ποιο χαρτί κρατά ο θεατής. Η γλώσσα επικοινωνίας ανάμεσα στον Μάγο και τον συνεργάτη του στηρίζεται στις ίδιες πάνω κάτω αρχές με μικρές διαφοροποιήσεις … Δηλαδή πάλι υπάρχουν δύο τουλάχιστον φύλλα του ίδιου χρώματος. Το πρώτο από τα αριστερά ανοικτό φύλλο έχει το ίδιο χρώμα και σχήμα με το φύλλο που κρατά ο θεατής. Η απόσταση μεταξύ των φύλλων ορίζεται όπως πριν. Αποδεικνύεται ότι ο αριθμός των μετακινήσεων που μπορούν να εμφανιστούν στο τρικ είναι από 1 έως το πολύ 6. Άρα πρέπει να βρεθεί τρόπος να επικοινωνίας ανάμεσα στο συνεργάτη και το Μάγο για τους αριθμούς 1,2,3,4,5 και 6. Το δυαδικό σύστημα δίνει τη λύση αφού προηγουμένως έχουμε συμφωνήσει στα εξής δύο θέματα : 1ο . Όλα τα φύλλα της τράπουλας ιεραρχούνται σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα : A♣ < 2♣ < . . . < K♣ <A♥ < . . . <K♥ <A♠ <. . . < K♠ < A♦ < . . . < K♦ Δηλαδή το χαρτί με τη μικρότερη αξία είναι το Α σπαθί και το χαρτί με την μεγαλύτερη αξία το Βασιλιάς καρό. 2ο . Οπότε τα τρία φύλλα που απομένουν για να επικοινωνήσει ο συνεργάτης με τον Μάγο ιεραρχούνται. Υπάρχει το χαμηλό φύλλο (Low) το μεσαίο φύλλο (Median) και το Υψηλό φύλλο (High). Τρία φύλλα L,M,H μπορούν να αναδιαταχτούν με 3!=6 τρόπους οπότε οι αναγκαίοι αριθμοί 1 έως 6 σχηματοποιούνται με τη βοήθεια της αντιστοίχισης LMH=1 / LHM=2 / MLH=3 / ΜHL=4 / HLM=5 / HML=6
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 27 Άρα για τα φύλλα J, K, 2, 6 και 9. • Ο συνεργάτης επιλέγει τα φύλλα ίδιου σχήματος και χρώματος J και 9 • Από το 9 στο J μετακινούμαστε 2 φύλλα ενώ από το J στο 9 μετακινούμαστε 11 φύλλα. Επιλέγουμε τη μικρότερη μετακίνηση και ως ΑΡΧΗ θεωρούμε το 9 και ως ΤΕΛΟΣ το J. • Το J δίνεται στον θεατή ως «κρυμμένο» φύλλο. • Το 9 είναι το πρώτο «ανοικτό» φύλλο • Τα επόμενα 3 φύλλα είναι τα K, 2, 6. Σύμφωνα με την ιεράρχηση των φύλλων μιας τράπουλας θα είναι L=6 < M= K<H=2 • Επειδή θέλουμε να δηλώσουμε ότι το άγνωστο φύλλο είναι αυτό που βρίσκεται μετά το 9 μετακινούμενοι 2 φύλλα , θα γράψουμε LHM. Δηλαδή τα χαρτιά 62 K Όταν έρθει ο Μάγος θα δει : 962 K Τι θα καταλάβει; 1ο . Το κρυμμένο φύλλο είναι κούπα (ότι είναι το 9 ) 2ο . Από το 9 θα μετακινηθώ 2 φύλλα διότι ο συνδυασμός : 62 K αντιστοιχεί στο LHM άρα στον αριθμό2. 3ο . Το κρυμμένο χαρτί είναι το J. Ένα δεύτερο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι ο Μάγος βλέπει : 3♠ / Α♥ / 4♦ / J♠ Τότε καταλαβαίνει ότι το κρυμμένο χαρτί είναι μπαστούνι ♠ Σύμφωνα με την ιεράρχηση των φύλλων μια ς τράπουλας ισχύει ότι L= Α♥ < M= J♠ < H= 4♦ Επειδή έχει γραφτεί LHM που αντιστοιχεί στο 2 γνωρίζουμε ότι θα μετακινηθούμε από το 3♠ 2 θέσεις άρα το κρυμμένο χαρτί είναι το 5♠ .
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 28 12. Η μαγική Άλγεβρα Σκέψου δύο άνισους αριθμούς από το 1 ως το 10. Πρόσθεσέ τους. Πολλαπλασίασε το άθροισμα επί 10. Πρόσθεσε τον μεγαλύτερο από τους δύο αρχικούς αριθμούς. Αφαίρεσε τον μικρότερο από τους δύο αρχικούς αριθμούς. Πες μου το αποτέλεσμα 122 … Οι αριθμοί που σκέφτηκες είναι οι 7 και 5. Το έχουμε ξαναδεί το τι πρέπει να κάνουμε ( Δες 2 ο μαγικό ) Ονομάζουμε χ και ψ τους δύο αριθμούς με χ<ψ τότε αν ακολουθήσουμε τα βήματα των οδηγιών θα καταλήξουμε στην σχέση : (χ ψ) (ψ χ)+ + −10 Στο παράδειγμα μας θα είναι (χ ψ) (ψ χ)+ + − =10 122 Αυτό που πρέπει τώρα να σκεφτούμε είναι ότι ο όρος ψ -χ αντιστοιχεί στο ψηφίο των μονάδων και ο συντελεστή χ+ψ θα αποδίδει τα υπόλοιπα ψηφία του τελικού αριθμού. Άρα ψ-χ=2 και χ+ψ=12. Από δω και πέρα τα πράγματα είναι εύκολα … Παρατήρησε ότι (χ ψ) (ψ χ) ψ + + − = 2 καθώς και ψ (ψ χ) χ− − = , οπότε πρακτικά ένα τέτοιο μαγικό μπορείς να το δουλέψεις χρησιμοποιώντας και τους τύπους δηλαδή για το παράδειγμά μας … που βρήκαμε αποτέλεσμα 122 Ο μεγαλύτερος αριθμός είναι το (12+2)/2=7 και ο μικρότερος 7-2=5. Προσπάθησε να κάνεις το δικό σου μαγικό αν οι διαφορετικοί αριθμοί που σκεφτόμαστε είναι από το 1 ως το 100 και στο 3 ο βήμα πολλαπλασιάζουμε επί 100 αντί για 10 Αν για παράδειγμα ακολούθησα τις οδηγίες και βρήκα αποτέλ εσμα 4824 πως μπορείς να μαντέψεις τους δύο αρχικούς αριθ μούς;
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 29 Η αιτιολόγηση … Χρησιμοποιώντας απλώς τους ίδιους τύπους αλλά με μία μικρή διαφορά… Αν συμβολίσουμε και πάλι χ,ψ με χ<ψ τους αριθμούς θα καταλήξουμε στην παράσταση : (χ ψ) (ψ χ)+ + −100 . Τώρα ο παράγοντας ψ-χ θα αντιστοιχεί με τα δύο τελευταία ψηφ ία του , τετραψήφιου αριθμού που βρήκαμε ως αποτέλεσμα και ο χ+ψ θα αντιστοιχεί στα ψηφία των χιλιάδων και εκατοντάδων. Άρα θα είναι ψ-χ=24 και χ+ψ=48 Ή εργαζόμενοι με τους τύπους όπως πριν θα έχουμε για το αποτέλεσμα 4824 … (48+24)/2=72/2=36 και 48-36=12 που πράγματι είναι οι αριθμοί με τους οποίους ξεκινήσαμε ( μπορείς να το επαληθεύσεις) Δουλεύει το τρικ με τριψήφιους αριθμούς και μετά με πολλαπλασιασμό επί 1000. Αν ναι τότε α υτό πράγματι είναι μαγικό! Για φαντάσου να ζητάς να σκεφθούν δύο διαφορετικούς αριθμούς από το 1 ως το 1000, μετά να τους προσθέσουν, ύστερα να πολλαπλασιάσουν το άθροισμα επί 1000 και μετά να προσθέσουν τον μεγαλύτερο και να αφαιρέσουν τον μικρότερο από τους αρχικούς αριθμούς και να σου πούνε το αποτέλεσμα … Ακούγοντας εσύ το αποτέλεσμα 485479 να λες απλά και φυσικά …3 και 482!
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 30 13. Τα μαγικά των πολλαπλασίων του 9 … Ας θεωρήσουμε τους αριθμούς : 3145 που είναι τα πρώτα τέσσερα ψηφία του αριθμού π 2178 που είναι τα πρώτα τέσσερα ψηφία του αριθμού e 2358 που τα ψηφία συμπίπτουν με διαδοχικού όρους της ακολουθίας Fibonacci 9999 που είναι ο μεγαλύτερος τετραψήφιος αριθμός. • Πάρε όποιον αριθμό από αυτούς θέλεις. • Σχημάτισε έναν άλλον τετραψήφιο αριθμό χρησιμοποιώντας τα ψηφία του αριθμού που διάλεξες. • Πολλαπλασίασε τον νέο αριθμό με έναν οποιοδήποτε τριψήφιο αριθμό θέλεις. Θα σχηματιστεί ένας αριθμός με 6 ή 7 ψηφία. • Κύκλωσε όποιο μη μηδενικό ψηφίο θέλεις από τον α ριθμό αυτό και κράτα τον κρυφό. • Πες μου έναν οποιοδήποτε αριθμό που σχηματίζεται από τα υπόλοιπα ψηφία. Ο αριθμός αυτός θα είναι ένας αριθμός με 5 ή 6 ψηφία. Εγώ επειδή είμαι και πολύ μεγάλος Μάγος θα σου πω το ψηφίο που κράτησες κρυφό ! Για παράδειγμα … Ας υποθέσουμε ότι διαλέγεις το 2178 … και σχηματίζεις τον αριθμό 7281 … τον αριθμό αυτόν το πολλαπλασιάζεις με ένα οποιοδήποτε τριψήφιο αριθμό, ας πούμε τον 125. Χρησιμοποιώντας κομπιουτεράκι βρίσκουμε 910125 … κρύβεις το μη μηδενικό ψηφίο 5 … και μου λες έναν αριθμό που μπορείς να σχηματίσεις από τα ψηφία 9/1/0/1/2 , για παράδειγμα μου λες τον αριθμό 10921 τότε … είμαι σε θέση να σου πω ότι μου έκρυψες το ψηφίο 5! Γιατί; Θα σου δώσω μία βοήθεια … Αποδεικνύεται ότι ένας αριθμός που το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 9 διαιρείται με το 9.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 31 Η αιτιολόγηση … Καταρχήν οι τρεις αριθμοί που δίνονται όλοι του διαιρούνται με το 9 (γιατί;) Άρα μία οποιαδήποτε αναδιάταξη των ψηφίων τους αφήνει αναλλοίωτη την ιδιότητα αυτή του αριθμού. Τον αριθμό αυτόν αν τον πολλαπλασιάσουμε με οποιαδήποτε αριθμό πάλι θα είναι πολλαπλάσιος του 9. Άρα ο τελικός αριθμός ανεξάρτητα αν ο τρόπος σχηματισμού του φαίνεται τυχαίος θα είναι πάντα πολλαπλάσιο του 9. Βγάζοντας έξω ένα μη μηδενικό ψηφίο του τότε προκύπτει ένας αριθμός που το άθροισμα των ψηφίων του θα υπολείπεται κατά κάτι ώστε να είναι και αυτό πολλαπλάσιο του 9. Οπότε στο παράδειγμά μας, λέγοντας τον αριθμό 10921, επειδή Σ=1+0+9+2+1=13 έχουμε ότι Σ+χ=πολ9 ή 13+χ=πολ9 άρα χ=5 Στην περίπτωση που το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού που μας δίνουν είναι πολλαπλάσιο του 9 τότε προφανώς το μη μηδενικό ψηφίο που έχει κρυφτεί θα είναι το 9. Για να αποδείξουμε όμως μαθηματικά και όχι μαγικά την βασική πρόταση στην οποία στηρίζεται το τρικ. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τον αριθμό χψζω με χ+ψ+ζ +ω=9. Ο αριθμός αυτός γράφεται : χψζω χ ψ ζ ω χ( ) ψ( ) ζ( ) ω χ ψ ζ χ ψ ζ ω ( χ χ ζ) (χ ψ ζ ω) πολ =  +  +  + = + + + + + + = + + + + + + = + + + + + + = 1000 100 10 999 1 99 1 9 1 999 99 9 9 111 11 9
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 32 14. Luca’s Pacioli trick Σκέψου έναν αριθμό Πρόσθεσε σε αυτόν το μισό του. Το άθροισμα αυτό είναι ακέραιος ή όχι; Αν δεν είναι στρογγυλοποίησέ το .., αν είναι ακέραιος άφησε το όπως είναι. Πρόσθεσε στον αριθμό αυτό ή στην στρογγυλοποίησή του το μισό του. Ο αριθμός αυτός είναι ακέραιος ή όχι; Αν δεν είναι στρογγυλοποίησέ τον …, αν είναι ακέραιος άφησέ τον όπως είναι. Τον αριθμό στον οποίο κατέληξες διαίρεσέ τον με το 9 και πες μου το πηλίκο. Τώρα είμαι σε θέση να σου πω τον αριθμό που σκέφτηκες. Ένα παράδειγμα … Ας υποθέσουμε ότι σκέφτηκες έναν αριθμό που όταν προσθέσεις αρχικά το μισό του καταλήγεις σε άθροισμα που δεν ακέραι ος, οπότε τον στρογγυλοποιείς. Μετά στον αριθμό αυτόν προσθέτεις το μισό του και πάλι καταλήγεις σε ένα αποτέλεσμα που δεν είναι ακέραιος οπότε και πάλι το στρογγυλοποιείς. Διαιρείς τον αριθμό στον οποίο κατέληξες με το 9 και το πηλίκο που βρίσκεις είναι ο αριθμός 7 τον οποίο και μου τον ανακοινώνεις. Τότε εγώ ο μεγάλος Μάγος απλά σου λέω ότι ο αρχικός αριθμός που σκέφτηκες είναι ο 31 ! Πως λειτουργεί το μαγικό αυτό που έχοντας τις πληροφορίες αν δύο αθροίσματα είναι ακέραιοι αριθμοί ή όχι και ένα πηλίκο μ ιας διαίρεσης είμαι σε θέση να βρω τον αρχικό κρυφό αρ ιθμό; Για την διευκόλυνση των σκέψεων σου θα σου πω ότι επειδή διαιρούμε δύο φορές με το 2 άρα τελικά με το 4 (προσθέτω δύο φορές το μισό ενός αριθμού) ο αρχικός αριθμός βολεύει να τον γράψω με βάση τη διαίρεσή του με το 4. Άρα μπορεί να γραφεί με την μορφή χ π υ= +4 με υ { , , , } 0 1 2 3
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 33 Η αιτιολόγηση… Ας δούμε την εξέλιξη του «μαγικού» ανάλογα τη μορφή του άγνωστου αριθμού χ. Αν χ=4π τότε : 1ο βήμα χ π π π χ + = + =  1 4 2 6 2ο βήμα π π π+ = 6 3 9 3ο βήμα ο αριθμός στον οποίο καταλήξαμε διαιρούμενο με το 9 αποδίδει πηλίκο π Αν χ=4π+1 τότε : 1ο βήμα χ π π , π , χ + = + + + = +  1 4 1 2 0 5 6 1 5 , άρα γράφεται 6π+2 2ο βήμα π π π+ + + = + 6 2 3 1 9 3 3ο βήμα ο αριθμός στον οποίο καταλήξαμε διαιρούμενο με το 9 αποδίδει πηλίκο π και υπόλοιπο 3 Αν χ=4π+2 τότε : 1ο βήμα χ π π π χ + = + + + = +  1 4 2 2 1 6 3 , 2ο βήμα π π , π ,+ + + = + 6 3 3 1 5 9 4 5 άρα γράφεται 9π+5 3ο βήμα ο αριθμός στον οποίο καταλήξαμε διαιρούμενο με το 9 αποδίδει πηλίκο π και υπόλοιπο 5 Αν χ=4π+3 τότε : 1ο βήμα χ π π , π , χ + = + + + = +  1 4 3 2 1 5 6 4 5 , άρα γράφεται 6π+5 2ο βήμα π π , π ,+ + + = + 6 5 3 2 5 9 7 5 άρα γράφεται 9π+8 3ο βήμα ο αριθμός στον οποίο καταλήξαμε διαιρούμενο με το 9 αποδίδει πηλίκο π και υπόλοιπο 8
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 34 Τα συμπεράσματα αυτά μπορούμε να σχηματοποιήσουμε με την βοήθεια του παρακάτω πίνακα : Κρυφός αριθμός 1ο άθροισμα 2ο άθροισμα Τελικός αριθμός 4π   9π 4π+1   9π+3 4π+2   9π+5 4π+3   9π+8 Οπότε όταν ανακοινωθεί το πηλίκο π.χ. π=7 και με τη βοήθεια των πληροφοριών ότι το πρώτο άθροισμα δεν είναι ακέραιος αλλά και το δεύτερο άθροισμα δεν είναι ακέραιος, τότε … Καταλαβαίνουμε ότι είμαστε στη τέταρτη περίπτωση, άρα ο κρυφός αριθμός είναι ο  + = + =4 7 3 28 3 31 !. Μαγικό ή απλώς ένα πολύ ωραίο μαθηματικό !
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 35 15. Μαγικά με το ημερολόγιο … Λες στον φίλο σου να διαλέξει έναν οποιαδήποτε μήνα του χρόνου από ένα ημερολόγιο σαν το διπλανό. Μετά σχηματίσει ένα τετράγωνο 4Χ4. Για παράδειγμα αν επιλέξουμε τον μήνα Φεβρουάριο υπάρχει τετράγωνο 4Χ4 με άκρα τις ημέρες 3-6-27-24. Τότε ο Μάγος κάνει μία πρόβλεψη και τη σημειώνει. Στη συνέχεια ζητάς από τον φίλο σου να κυκλώσει μία οποιαδήποτε μέρα του τετραγώνου σβήνοντας παράλληλα τις άλλες μέρες που βρίσκονται στην ίδια στήλη και σειρά με αυτήν που επίλεξε. Μετά κυκλώνει μια μέρα από αυτές που έχουν απομείνει και σβήνει πάλι όλες τις άλλες μέρες που βρίσκονται στην ίδια σειρά και στήλη με αυτήν που έχει επιλέξει. Την διαδικασία αυτή την επαναλαμβάνει έως ότου έχει τελικά κυκλώσει τέσσερεις ημερομηνίες. Του λες να προσθέσει τους τέσσερις αριθμούς - ημερομηνίες. Η πρόβλεψη που έχει γίνει αρχικά συμπίπτει με το άθροισμα που βρέθηκε! Για παράδειγμα αν έχουν κυκλωθεί, με τον τρόπο που περιγράψαμε, οι αριθμοί 5,11,20 και 24, το άθροισμα τους είναι 60, όση και η πρόβλεψη που έχει κάνει εξαρχής ο Μάγος.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 36 Η αιτιολόγηση … Σε ένα ημερολόγιο δύο γειτονικές ημερομηνίες που βρίσκονται στην ίδια σειρά προφανώς διαφέρουν κατά 1. Ενώ δύο ημερομηνίες που βρίσκονται στην ίδια στήλη η μία κάτω από την άλλη διαφέρουν κατά 7. Έχοντας υπόψιν μας αυτά ένα οποιοδήποτε τετράγωνο 4Χ4 όπως αυτό που επιλέγουμε στο τρικ μπορεί να προκύψει από την πρώτη ημερομηνία. 3 4 5 6 0 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 17 18 19 20 21 24 25 26 27 Δηλαδή όπως παρουσιάζεται στον παραπάνω πίνακα : αν έξω από τον πίνακα γράψουμε σε γραμμή τέσσερις αριθμούς ξεκινώντας από την 1η ημερομηνία δηλαδή 3/4/5/6 και μία επιπλέον στήλη με στοιχεία 0/7/14/21 τότε όλα τα στοιχεία του 4Χ4 πίνακα προκύπτουν ως άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων της γραμμής και στήλης που επιπλέον γράψαμε. Όταν κάποιος επιλέγει με τον ιδιαίτερο τρόπο που περιγράψαμε τέσσερις αριθμούς το άθροισμα τους είναι ουσιαστικά ΠΑΝΤΑ το άθροισμα των στοιχείων 3+4+5+6+0+7+14+21 ή (0+3)+(4+7)+(5+14)+(6+21)=3+11+19+27 Παρατηρώντας το τελευταίο άθροισμα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι είναι άθροισμα 4 όρων αριθμητικής προόδου με α 1=3 και ω=8 άρα θα ισούται με α α Σ α α + =  = + = + =1 4 4 1 44 3 27 30 2 Το σημαντικό είναι ότι επειδή πάντα το α1 είναι ο αριθμός που βρίσκεται στο ένα άκρο του τετραγώνου και ο α4 είναι ο αριθμός που βρίσκεται στην απέναντι κορυφή, ο Μάγος για να βρει το άθροισμα προσθέτει απλώς τους αριθμούς που βρίσκονται στις δύο κορυφές. Αυτή είναι η περίφημη πρόβλεψη του Μάγου. Αν παρατηρήσετε στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε και αν προσθέσουμε τις τιμές που βρίσκονται στις άλλες δύο απέναντι κορυφές, άρα δεν έχει σημασία ποιες τιμές θα πάρου με …
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 37 16. Μαγικά με ένα ζάρι και ένα ρολόι … Ο φίλος σου ρίχνει ένα ζάρι και σημειώνει την ένδειξη του χωρίς εσύ να τη δεις. Συγχρόνως σκέφτεται έναν αριθμό ας πούμε μικρότερο του 50 ( το τρικ λειτουργεί και αν ο αριθμός είναι μεγαλύτερος). Μετά ξεκινά από την ώρα που έχει δείξει ως ένδειξη το ζάρι και μετακινείται δεξιόστροφα στην αρχή και μετά αριστερόστροφα τόσες θέσεις όσες και ο αριθμός που σκέφτηκε. Όταν ολοκληρώσει τις δύο κινήσεις αθροίζει τις δύο «ώρες» στις οποίες έχει καταλήξει και το άθροισμα σου το ανακοινώνει. Εσύ απλά λες την ένδειξη του ζαριού. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι η ένδειξη του ζαριού είναι 2 και σκέφτεσαι τον αριθμό 19. Αν μετακινηθούμε στην αρχή δεξιόστροφα και μετά αριστερόστροφα 19 θέσεις θα φθάσεις στις «ώρες» 9 και 7. Το άθροισμα τους 16 είναι ο αριθμός που ανακοινώνεις στον Μάγο. Αυτό μετά από ελάχιστο χρόνο σου λέει ότι ο αριθμός του ζαριού είναι το 2!
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 38 Η αιτιολόγηση … Οι τελικές θέσεις στις οποίες καταλήγουμε μετά τις δύο κινήσεις ( δεξιόστροφη και αριστερόστροφη) είναι πάντα συμμετρικές ως προς την αρχική θέση, άρα ως προς την ένδειξη του ζαριού. Άρα η ένδειξη θα βρεθεί ως ο μέσος όρος τους ή ως το μισό του αθροίσματός τους. Αν όμως το άθροισμα είναι μεγαλύτερο του 12 ο τύπος που θα δίνει την αρχική ένδειξη θα είναι Σ χ − = 12 2 . Στο παράδειγμά μας επειδή το άθροισμα είναι μεγαλύτερο του 12 η ένδειξη θα είναι : χ − = = 16 12 2 2 . Τόσο απλά !
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 39 17. Μαγικό με τον αριθμό του τηλεφώνου ! Ή πως μπορείς να δώσεις τον αριθμό τηλεφώνου σου στον Μάγο χωρίς να το ξέρει κανένας άλλος ! Ας υποθέσουμε ότι το τηλέφωνό σου είναι το 6823555, δεν βάζουμε μπροστά το 210 γιατί είναι γνωστό. Τότε προσθέτεις το 1ο και 2ο νούμερο και λες το άθροισμα, προσθέτεις το 2ο και 3ο νούμερο και λες το άθροισμα, προσθέτεις το 3ο και 4ο νούμερο και λες το άθροισμα, προσθέτεις το 4ο και 5ο νούμερο και λες το άθροισμα, προσθέτεις το 5ο και 6ο νούμερο και λες το άθροισμα, προσθέτεις το 6ο και 7ο νούμερο και λες το άθροισμα και τέλος προσθέτεις το 7ο και 1ο νούμερο και λες το άθροισμα Δηλαδή για το παράδειγμά μας ανακοινώνεις τα επτά αθροίσματα : 14/10/5/8/10/10/11 Ακολούθως ο Μάγος χρησιμοποιώντας μία αλγοριθμική διαδικασία θα καταλήξει στον αριθμό του τηλεφώνου σου! Για το πως αυτό που μπορώ να πω είναι ότι η δια δικασία δεν είναι τίποτε άλλο από την επίλυση ενός συστήματος επτά εξισώσεων με επτά αγνώστους …
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 40 Η αιτιολόγηση … Ο Μάγος εφαρμόζει την παρακάτω διαδικασία … Προσθέτει 1ο – 3ο – 5ο – 7ο άθροισμα δηλαδή : 14+5+10+11=40 Προσθέτει 2ο – 4ο – 6ο άθροισμα δηλαδή : 10+8+10=28 Αφαιρεί τα δύο αθροίσματα μεταξύ τους δηλαδή : 40-28 =12 Διαιρεί τη διαφορά με το 2, δηλαδή 12:2=6 Τον αριθμό αυτόν το αφαιρεί από το 7ο άθροισμα και μετά ακολουθεί την διαδικασία που παρουσιάζεται στο παρακάτω πίνακα ( ξεκινώντας τις σημειωμένες αφαιρέσεις από το τέλος προς την αρχή) : 14 10 5 8 10 10 11 -8 -2 -3 -5 -5 -5 -6 6 8 2 3 5 5 5 Παρατηρείστε ότι ο αριθμός του τηλεφώνου παρουσιάστηκε στην τελευταία γραμμή του πίνακα. Όμως όσο μαγικό φαίνεται το τρικ, τόσος μαγικός φαίνεται και ο αλγόριθμός που περιγράψαμε που είναι το μαθηματικό κομμάτι της αιτιολόγησης; Ας γράψουμε το άγνωστο τηλέφωνο με τη βοήθεια μεταβλητών, δηλαδή αβγδεζη Από τα αθροίσματα που μας δίνουν καταλήγουμε στο σύστημα : α+β=14 (1), β+γ=10 (2), γ+δ=5 (3), δ+ε=8 (4), ε+ζ=10 (5), ζ+η=10 (6), η+α=11 (7). Από (1)+(3)+(5)+(7) έχουμε : 2α+β+γ+δ+ε+ζ+η=40 Από (2)+(4)+(6) έχουμε : β+γ+δ+ε+ζ+η=28 Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε : 2α=12 άρα α=12:2=6 (8) Από (7)-(8) έχουμε ότι η=5 (9) Από (6)-(9) έχουμε ότι ζ=5 (10) Από (5)-(10) έχουμε ότι ε=5 (11) κ.ο.κ. …… Οπότε καταλήγουμε στο ότι α=6, β=8, γ=2, δ=3, ε=5, ζ=5, η=5 άρα ο αριθμός του τηλεφώνου είναι ο 6823555!
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 41 18. Η δύναμη της συνδυαστικής … Στο τραπέζι υπάρχουν 24 κέρματα. Έρχονται τρεις φίλοι που θα τους λέμε από εδώ και πέρα Άννα , Βασίλης και Γιάννης. Η Άννα ως πρώτη παίρνει 1 κέρμα ο Βασίλης 2 και ο Γιάννης 3. Οπότε παραμένουν αδιάθετα 18 κέρματα. Υπάρχουν επίσης και τρία αντικείμενα ας τα ονομάσουμε 1 , 2 κ αι 3. Ο κάθε ένας από τους τρεις φίλους μπορεί να πάρει όποιο αντικείμενο θέλει αρκεί να ακολουθήσει κάποιους κανόνες. Για παράδειγμα όποιος πάρει το 1ο αντικείμενο πρέπει να πάρει από το σωρό των κερμάτων και όσο κέρματα ήδη έχει . Όποιος πάρει το 2ο αντικείμενο πρέπει να πάρει δύο φ ορές τα κέρματα που ήδη έχει και τέλος όποιος πάρει το 3ο αντικείμενο πρέπει να πάρει τέσσερις φορές τα κέρματα που ήδη έχει από το σωρό των κερμάτων που υπάρχουν στο τραπέζι. Ο Μάγος φεύγει από την αίθουσα και οι τρεις φί λοι παίρνουν από ένα αντικείμενο ακολουθώντας τις οδηγίες. Στο τέλος ανακοινώνουν στον Μάγο τον αριθμό των κερμάτων που παραμένουν αδιάθετα και αυτός τους λέει ποιος πήρε ποιο αντικείμενο. Έτσι απλά ! Ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι ο Βασίλης διαλέγει το 2ο αντικείμενο οπότε παίρνει και 2Χ2=4 κέρματα. Αν η Άννα παίρνει το 3ο αντικείμενο τότε παίρνει και 1Χ4=4 κέρματα. Τέλος ο Γιάννης παίρνει το 1ο αντικείμενο και 3 κέρματα. Συνολικά από το σωρό των 18 κερμάτων μένουν 18-4-4-3=7 κέρματα. Ο Μάγος ακούει απλώς τον αριθμό 7 και αμέσως λέει στον καθ’ ένα από τους τρεις φίλους του ποιο αντικείμενο αυτός έχει πάρει. Μα πως γίνεται αυτό !
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 42 Η αιτιολόγηση … Για να καταλάβουμε όλες τις δυνατές εξελίξεις του μαγικού θ α χρησιμοποιήσουμε ένα τρόπο παρουσίασης που χρησιμοποιείται στις πιθανότητες και λέγεται δενδρόγραμμα. Μελετήστε τον παρακάτω πίνακα … 1ο 2ο 3ο Κέρματα Α Β Γ Γ Β 18-1-4-12=1 18-1-6-8=3 Β Α Γ Γ Α 18-2-2-12=2 18-2-6-4=6 Γ Α Β Β Α 18-3-2-8=5 18-3-4-4=7 Ουσιαστικά έχουν καταγραφεί όλες οι δυνατ ές εξελίξεις του μαγικού. Οπότε γνωρίζοντας τον τελικό αριθμό που στο παράδειγμά μας είναι ο 7, βρισκόμαστε στην τελευταία περίπτωση εύκολα διαπιστώνουμε ότι το 1ο αντικείμενο το πήρε ο Γιάννης το 2ο ο Βασίλης και το 3ο η Άννα.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 43 Μία παρόμοια εκδοχή του προηγούμενου μαγικού είναι και η εξής : Δίνουμε σε τρεις φίλους μας τις παρακάτω κάρτες … Τους δίνουμε την επιλογή να επιλέξουν ένα χρώμα από τα Κόκκινο – Άσπρο και Μπλε και να ακολουθήσουν τις οδηγίες που τους δίνει η κάρτα τους. Η επιλογή ποιο χρώμα θέλουν, γίνεται χωρίς την παρουσία του Μάγου ο οποίος φεύγει από το δωμάτιο αφήνοντας και 17 νομίσματα για τις ανάγκες του μαγικού. Οι παίκτες ακολουθούν τους κανόνες και όταν τελειώσουν μπορεί να έχουν μείνει κάποια από τα χρήματα ή καθόλου. Το πόσα χρήματα έχουν απομείνει είναι η τελική και μοναδική πληροφορία που δίνουν στον Μάγο και αυτός, αφού σκεφθεί λίγο λέει ποιος έχει επιλέξει ποιο χρώμα ! Την δικαιολόγηση την αφήνω σε σας αγαπητοί μου, αλλά για να σας βοηθήσω θα σας πω ότι η λύση αποτυπώνεται στον διπλανό πίνακα. Χρήματα που απομένουν Χρώμα επιλογής (1ο υ-2ο υ-3ο υ) 0 ΚΟΚ-ΑΣΠ-ΜΠΛ 1 ΑΣΠ-ΚΟΚ-ΜΠΛ 2 ΚΟΚ-ΜΠΛ-ΑΣΠ 3 ΜΠΛ-ΚΟΚ-ΑΣΠ 4 ΑΣΠ-ΜΠΛ-ΚΟΚ 5 ΑΣΠ-ΜΠΛ-ΚΟΚ 6 ΜΠΛ-ΑΣΠ-ΚΟΚ Αν διαλέξεις το κόκκινο τότε πάρε 1 νόμισμα Αν διαλέξεις το άσπρο τότε πάρε 2 νομίσματα Αν διαλέξεις το μπλε τότε πάρε 3 νομίσματα Αν διαλέξεις το κόκκινο τότε πάρε 2 νομίσματα Αν διαλέξεις το άσπρο τότε πάρε 4 νομίσματα Αν διαλέξεις το μπλε τότε πάρε 6 νομίσματα Αν διαλέξεις το κόκκινο τότε πάρε 4 νομίσματα Αν διαλέξεις το άσπρο τότε πάρε 8 νομίσματα Αν διαλέξεις το μπλε τότε πάρε 12 νομίσματα Κάρτα 1ου παίκτη Κάρτα 2ου παίκτη Κάρτα 3ου παίκτη
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 44 19. Luca’s Pacioli trick Νο2 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε 8 χαρτιά τοποθετημένα σε δύο σειρές. Ο φίλος μας διαλέγει ένα από τα χαρτιά αυτά και μας λέει απλώς σε ποια σειρά είναι. Μαζεύουμε τα χαρτιά με τον εξής τρόπο. Από τα δεξιά προς τα αριστερά, στήλη-στήλη ξεκινώντας από το χαρτί που δεν βρίσκεται στην ίδια σειρά που μας υποδείχθηκε. Τοποθετούμε πάλι τα χαρτιά σε δύο σειρές, ξεκινώντας τώρα από το τελευταίο χαρτί που μαζέψαμε και ανοίγοντας ένα-ένα τα χαρτιά. Πάλι μας δηλώνεται η γραμμή στην οποία βρίσκεται το χαρτί που έχει επιλεγεί και μαζεύουμε τα χαρτιά με τον ίδιο τρόπο όπως πριν. Πάλι τοποθετούμε τα χαρτιά σε δύο σειρές, ξεκινώντας από το τελευταίο χαρτί που μαζέψαμε. Ζητάμε για τρίτη φορά να μας υποδειχθεί σε ποια σειρά βρίσκεται το «άγνωστο» χαρτί. Τότε απλώς δείχνουμε το πρώτο χαρτί (από τα αριστερά) τ ης σειράς που μας υπόδειξαν … Ας δούμε ένα παράδειγμα που αντί για χαρτιά έχουμε οκτώ αριθμούς από το 1 έως το 8. 1 2 3 4 5 6 7 8 και ας υποθέσουμε ότι ο φίλος μας επιλέγει ως άγνωστο χαρτί το 3. Σας μας απλώς λέει ότι το χαρτί βρίσκεται στην 1η σειρά. Μαζεύουμε τα χαρτιά με την εξής σειρά 8/4/7/3/6/2/5/1 και σχηματίζουμε δύο σειρές ανοίγοντας τα τελευταία πρώτα . Άρα θα έχουμε τις σειρές : 1 5 2 6 3 7 4 8 , ο φίλος θα μας πει ότι το άγνωστο χαρτί βρίσκεται στην 2η σειρά οπότε θα μαζέψουμε τα χαρτιά με την εξής σειρά : 6/8/2/4/5/7/1/3 και θα σχηματίζουμε δύο σειρές ανοίγοντας πρώτα τα φύλλα που πήραμε τ ελευταία, δηλαδή θα έχουμε : 3 1 7 5 4 2 8 6 Ο φίλος θα μας πει ότι το χαρτί βρίσκεται στην πρώτη γραμμή και εμείς θα υποδείξουμε το πρώτο φύλλο της γραμμής αυτής, άρα το 3!
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 45 Η αιτιολόγηση … Ας υποθέσουμε ότι έχουμε οκτώ αριθμούς τοποθετημένους σε δύο σειρές όπως στη διπλανή διάταξη : 1 2 3 4 5 6 7 8 Η πρώτη υπόδειξη περιορίζει τους άγνωστους αριθμούς σε ένα από την κάθε τετράδα που υπάρχει σε κάθε σειρά. Για παράδειγμα αν υποδειχθεί η 1η σειρά τότε οι υποψήφιοι άγνωστοι αριθμοί θα είναι οι {1,2,3,4}. Με τον συγκεκριμένο τρόπο που μαζεύουμε τα χαρτιά και με τον συγκεκριμένο τρόπο που σχηματίζονται οι σειρές για δεύ τερη φορά θα έχουμε την παρακάτω διάταξη : 8/4/7/3/6/2/5/1 , 1 5 2 6 3 7 4 8 Παρατηρείστε ότι όλοι οι αριθμοί βρίσκονται τώρα στη 1 η και 3η στήλη. Η υπόδειξη της σειράς για δεύτερη φορά περιορίζει τους υποψήφιους ως αγνώστους αριθμούς σε δύο. Ας υποθέσουμε ότι μας υποδεικνύεται η 1η σειρά τότε θα έχουμε τη διάταξη : 8/6/4/2/7/5/3/1 , 1 3 5 7 2 4 6 8 Παρατηρείστε ότι οι «υποψήφιοι» αριθμοί βρίσκονται τώρα στην 1η στήλη, οπότε η υπόδειξη της νέας σειράς αποκαλύπτει τον «άγνωστο» αριθμό ως τον 1ο της σειρά που υποδείχθηκε. Υπάρχει και μία δεύτερη εκδοχή του μαγικού με 16 χαρτιά που τοποθετούνται σε δύο σειρές. Πάλι ο φίλος μας διαλέγ ει έναν αριθμό και μας λέει σε ποια σειρά βρίσκεται. Το μάζεμα γίνεται από τα αριστερά προς τα δεξιά, στήλη-στήλη ξεκινώντας από το χαρτί που δεν βρίσκεται στην σειρά που μας έχει υποδειχθεί. Πάλι τοποθετούμε τα χαρτιά σε δύο σειρές, ξεκινώντας από το πρώτο χαρτί που μαζέψαμε. Πάλι μας υποδεικνύεται μία σειρά και μαζεύουμε τα χαρτιά από αριστερά προς τα δεξιά, στήλη-στήλη ξεκινώντας από το χαρτί που βρίσκεται στην σειρά που μας έχει υποδειχθεί. Τοποθετούμε τα χαρτιά σε δύο σειρές, ξεκινώντας από το πρώτο χαρτί που μαζέψαμε. Όταν μας υποδειχθεί η σειρά για 3η φορά το «άγνωστο» φύλλο βρίσκεται στη δεύτερη θέση από το τέλος! (γιατί;)
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 46 20. Όταν η μαγεία συναντά … το τρίγωνο του Pascal ! Ζητάς από τον φίλο σου να σου πει τέσσερις αριθμούς από το 1 ως το 9 και να τους γράψει σε μία σειρά. Π.χ. λέει τους αριθμούς 2 / 7 / 5 / 8 Ο στόχος είναι να φτιαχτεί μία πυραμίδα με βάση τους αριθμούς αυτούς που η επόμενη σειρά θα αποτελείται από τρεις αρ ιθμούς που θα προκύψουν από το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Στην περίπτωση όπου το άθροισμα είναι διψήφιος αριθμός στη θέση του θα βάζει το άθροισμα των ψηφίων του διψήφιου αθροίσματος. Για το παράδειγμά μας οι δύο πρώτες γραμμές της πυραμίδας θα είναι : 9 3 4 2 7 5 8 παρατηρείστε ότι πάνω από τους 2 / 7 βρίσκεται το άθροισμά τους 9 , πάνω από τους 7 / 5 βρίσκεται το 3 διότι το άθροισμά τους είναι 12 - διψήφιος οπότε αντικαθίσταται με το άθροισμα των ψηφίων του δηλαδή 1+2=3 Όμοια ο αριθμός πάνω από τους 5 / 8 θα γράψουμε τον αριθμό 4 (5+8=13 άρα 1+3=4) Το μαγικό είναι ότι πριν ακόμα αρχίσει ο φίλος σου να χτίζει με τον τρόπο που περιγράψαμε την πυραμίδα εσύ είσαι σε θέση να βρεις το ψηφίο που θα βρίσκεται στην κορυφή της πυραμίδας. Δηλαδή για το παράδειγμά μας η τελική μορφή της πυραμίδας θα είναι : 3 7 9 3 4 1 2 7 5 8 τον άσο στην κορυφή της πυραμίδας ο Μάγος το έχει ήδη τοποθετήσει πριν ακόμα σχηματιστεί η 2η σειρά της πυραμίδας. Το θεαματικό στο τρικ αυτό είναι ότι λειτουργεί και πέ ντε αριθμούς στην βάση ή με οποιοδήποτε πλήθος αριθμών, ακόμα και αν οι αριθμοί δεν περιορίζονται από το 1 ως το 9, αλλά μπορεί να είναι όποιοι αριθμοί θέλουμε. Α πλά ο υπολογισμός από το Μάγο του μαγικού αριθμού της κορυφής είναι υπόθεση περισσότερων υπολογισμών άρα και χρόνου.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 47 Μία ακόμα ποιο θεαματική εκδοχή του μαγικού είναι να γίνει με χαρτιά τράπουλας. Δίνουμε μία τράπουλα από την οποία έχουμε βγάλει έξω τα δεκάρια και τις φιγούρες ( το μαγικό γίνεται και όλα τα χαρτιά αλλά ο μάγος θα πρέπει να ασχοληθεί περισσότερο χρόνο για να βρει το χαρτί που πρέπει να μπει στην κορυφή και έτσι το μαγικό χάνει από πλευρά παρουσίασης και μόνο) Ζητάμε να την ανακατέψει καλά και όσες φορές θέλει! Στη συνέχεια τοποθετεί πέντε χαρτιά σε μία σειρά και χτίζει την πυραμίδα με τον τρόπο που είπαμε προηγουμένως. Ο Μάγος τοποθετεί στην κορυφή της πυραμίδας ένα χαρτί χωρίς να φαίνεται η αξία του. Το χαρτί αυτό είναι το χαρτί που συμπληρ ώνει την πυραμίδα! Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι τα πέντε χαρτιά είναι 6 / 4 / 6 / 8 / 3 (δεν μας ενδιαφέρει το σχήμα και το χρώμα που έχουν τα χαρτιά παρά μόνο η αξία τους). Ο μάγος τότε βάζει στην κορυφή ένα χαρτί κρυφό που όμως είναι 3 και είναι το ψηφίο που θα συμπληρώνει τελικά την πυραμίδα. Για να το επιβεβαιώσουμε … 3 8 4 2 6 7 1 1 5 2 6 4 6 8 3 Πως γίνεται αυτό !
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 48 Η αιτιολόγηση … Το τρίγωνο του Pascal ξεκινά ανάποδα και έχει τη μορφή του παρακάτω σχήματος : . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Η χρησιμότητά του βρίσκεται στο γεγονός ότι αποδίδει με τρόπο ευκολομνημόνευτο τους συντελεστές του αναπτύγματος ν (α β)+ όπου α,β και ν . Παρατηρείστε : Όταν ν=1 τότε (α β) α β+ = +1 Όταν ν=2 τότε (α β) α αβ β+ = + +2 2 2 2 Όταν ν=3 τότε (α β) α α β αβ β+ = + + +3 3 2 2 3 3 3 Όταν ν=4 τότε (α β) α α β α β αβ β+ = + + + +4 4 3 2 2 3 4 4 6 4 κ.ο.κ. Όμως τι δουλειά έχει το τρίγωνο αυτό με το μαγικό μας; Ας δούμε ένα ακόμα παράδειγμα με τέσσερεις αρ ιθμούς ή τραπουλόχαρτα … 8 4 4 6 7 6 6 9 7 8 ή με πλήρη αθροίσματα 62 31 31 15 16 15 6 9 7 8 ή αναλυτικά γραμμένα +  +  + +  + +  + + + + 6 9 7 8 6 9 7 9 7 8 6 9 9 7 7 8 3 3 2 2 6 9 7 8
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 49 Μήπως τώρα παρατηρείτε την ομοιότητα ανάμεσα στους συντελεστές του τελικού αθροίσματος με τους αντίστοιχους αριθμούς της τρίτης γραμμής του τριγώνου Pascal! Άρα ο τελικός αριθμός όταν ξεκινάμε με τέσσερις αριθμούς 6/9/7/8 θα είναι : ( ) ( )+  +  + = + +  + = + =6 3 9 3 7 8 6 8 3 9 7 14 48 62 , άρα η κορυφή θα είναι ο αριθμός 8. Άρα για 4 αριθμούς π.χ. χ/ψ/ζ/ω εφαρμόζουμε τον τύπο Σ (χ ω) (ψ ζ)= + +  +3 Για 5 αριθμούς π.χ. χ/ψ/ζ/ω/κ εφαρμόζουμε τον τύπο Σ (χ κ) (ψ ω) ζ= + +  + + 4 6 Καταλαβαίνετε λοιπόν τώρα γιατί το μαγικό δυσκολεύει αν έχουμε περισσότερους αρχικούς αριθμούς σ την 1η σειρά ή ακόμα περισσότερο αν οι αριθμοί δεν περιορίζονται στους {1,2,3…,9} αλλά να είναι οποιοιδήποτε. Το μαγικό δουλεύει αλλά ο χρόνος για τους υπολογισμούς από μέρους του μάγου κάνουν το τρικ λιγότερο μαγικό …
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 50 21. Ένα μαγικό με ολίγη κλεψιά …αλλά απλό ! Δίνου με στ ον φ ίλο μας να ανακατ έψει μία τράπου λα. Μετ ά τ ου δίν ουμε 12 φύ λλα γ ια να δια λέξει 4 . Τα υ πόλοιπα 8 τα τοποθετ ού με στ ο τ έλος της τ ράπου λας. Τα 4 φύ λλα τα αν οίγ ου με και τ ότ ε ο Μάγος κάν ει μία πρ όβλεψη την οποία ση μειών ει. Αν υ ποθέσ ουμε ότ ι τα 4 φύ λλα ήταν 3 / 8 / J / 5  τ ότ ε μετρά με πάν ω στο κάθ ε φύ λλο τ όσα ώστε αρχίζοντας με τ ην α ξία του φύλλου να φθάσου με στον αρ ιθμό 10. Δηλαδή πάνω στ ο 3 μετράμε ά λλα 7 φύ λλα , πάν ω στο 8  άλλα 2 φύλλα , πάν ω στ ο Jδεν μετράμε τ ίποτε γιατί οι φ ιγούρες λογα ριάζονται με 10 κα ι τέλος πά νω στ ο 5 μετρά με 5 φ ύ λλα . Αθροίζου με την αξία των 4 φύλλων 3 +8 +10 +5=2 6 και μετρ άμε 26 φύλλα α πό την τρά που λα. Αν οίγου με τ ο 26 ο φύ λλο κα ι ω! τι μαγικό είν αι η πρ όβλεψη που ο Μάγος έχει κάν ει από την αρχή του πα ιχν ιδιού . Το τρικ είνα ι θεαματ ικό, αλλά εμπεριέχε ι κα ι μια μικρή κλεψιά όπως λέει και ο τ ίτλος τ ου μαγικού. Καθ ώς ο φίλος σου ανακατεύ ει και σ ου δίνει την τρά πουλα εσύ β λέπει ς τ ο τελευτα ίο χαρτί της τ ράπου λας που είνα ι σ υγχρ όνως κα ι η μαγική πρόβ λεψη! Γιατ ί όμως σ υμβαίν ει αυτ ό αφού ενδιάμεσα πολλά τυχαία γεγ ον ότα συμβα ίνουν;
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 51 Η αιτιολόγηση … Επειδή τ ο κρυφ ό χαρτ ί βρ ίσκετα ι στ ο τέλος της τράπου λα ς θα βρίσκεται αρ χικά στην 52 η θέση . Μετά αφ ού βγουν τ α 12 φύλλα και γ ίνει η επιλογή τ ων τεσσάρω ν φίλω ν επειδή τα οκτ ώ φύλλα που περ ίσσεψαν μπαίν ουν στο τ έλος της τρά που λας τ ο φύ λο μας τώρα θα βρεθ εί στην 40 η θ έση. Ας υ ποθέσουμε ότι τα 4 φύλλα που έχουν επιλεγεί είναι τ α Q/4/8/5 ( ανεξαρτήτ ως χρώματος κα ι σ χεδίου αφού δεν παίζει κανένα ρ όλο) . Τότ ε τρ αβάμε α πό την τρά πουλα 0 +6 +2 =5 =13 φύ λλα γ ια ν α συμπληρωθ εί το 1ο μέρος της εξέλιξης τ ου μαγικού . Μετά τραβά με και ά λλα 10 +4 +8 +5=2 7 φύ λλα. Παρατηρ είσ τε 13+27 =40 φύλλα! Να γιατί πάντ α τ ο κόλπο πετ υχαίνει αρκεί ν α μη γ ίνετα ι αν τιλη πτ οί ότι κρυφά είδατ ε ποιο είνα ι το τελευταίο χαρτί της τ ράπου λας.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 52 22. Απλό μαγικό με σπίρτα … Ο Μάγος έχει γυρ ισμένη τ ην πλάτη του καθώς ο φίλος τ ου χρησιμοποιώντας έναν άγν ωστ ο αρ ιθμό από σπίρτα ( περισσ ότερα α πό 9 ) σ χηματ ίζει τρεις ισ οπληθ είς σ ωρ ούς . Μετά ο φίλος λέει έναν αρ ιθμό α πό το 1 ως το 12 . Ο Μάγος – πάντα χωρίς να βλέπει – δίνει οδηγίες μεταφ οράς σπίρτων α πό τη μία σωρ ό στην ά λλη και μετά από λίγο εμφανίζ ονται στη μεσαία σωρ ό τόσα σπίρτα όσα κα ι ο αριθμός που είπε ο φίλος μας! Συγκεκριμένα αν ο αρ ιθμός που επιλέγετα ι α πό τον φίλο μας είναι ο 8 τ ότε ο Μάγ ος δίν ει τις εξής οδηγίες : Βγάλε α πό τ ις δύ ο α κριαν ές σ ωρούς α πό 3 σ πίρτα κα ι πρ όσθεσέ τα στην μεσαία σωρ ό. Βγάλε α πό την μεσαία σωρ ό όσα σ πίρτα έχει η πρώτη και τοποθέτ ησέ τα στην τρ ίτη σ ωρ ό. Βγάλε α πό τη μεσαία σωρ ό ένα σπίρτ ο και τ οποθέτησ έ τ ο στην 1 η σωρό. Τώρα στη μεσαία σωρ ό έχεις 8 σ πίρτα ! Πράγματι έτσι συ μβαίνει … ας παρακολουθήσ ου με τις κιν ήσεις υποθέτ οντας ότ ι έχουν σχη ματιστεί τ ρεις σωρ οί α πό 10 σ πίρτα ο καθένας. Αρχική διάτα ξη Α Β Γ 10 10 10 μετά την 1η οδηγία Α Β Γ 7 16 7 Μετά τη 2η οδηγία Α Β Γ 7 9 14 μετά από την 3η οδηγία Α Β Γ 8 8 14 Πως γίν εται αυτ ό ;
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 53 Η αιτιολόγηση … Κι’ όμως είναι τ ο απλούστερ ο μαγ ικό από όσα έχου με πει μέχρι τώ ρα. Ας ον ομάσ ου με χ το πλήθ ος των σπίρτων που υπάρ χουν αρχικά σε κάθε σ ωρό και ας α κολουθήσουμε τ ις οδηγ ίες του Μάγ ου … Αρχική διάτα ξη Α Β Γ χ χ χ Μετά τη 1η οδηγία Α Β Γ χ χ χ− + −3 6 3 Μετά τη 2η οδηγία Α Β Γ χ χ (χ ) (χ ) (χ )− + − − − + −3 6 3 3 3 Δηλαδή Α Β Γ χ χ− −3 9 2 6 Παρατηρείστε ότι στη 2 η σωρ ό συσσ ωρεύ οντα ι πάντα 9 σπίρτα, οπότε τ ώρα είνα ι εύκολο για τ ο Μάγ ο να σχη ματίσει οποιοδήποτ ε αρ ιθμό σπίρ των στην 2 η σ ωρ ό.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 54 23. Το μυστηριώδες εννέα ή μαγικά με απλές γνώσεις γ εω μετρίας … Τοποθ ετ ούμε 17 κέρμα τα έτσι ώστε να σχηματίζ ουν ένα μεγά λο εννιάρι. Ζητάς από τον φίλο σου να σκεφτ εί ένα αριθμό μεγα λύτ ερο α πό τ ο πλήθ ος τ ων κερμάτ ων που σχη ματίζ ουν την ουρά του εννέα, δηλαδή στ ο παρά δειγμά μας ένα ν αριθμό μεγα λύτ ερο τ ου 6. Ας υ ποθέσουμε ότι σκέφτεται τ ο 9 – τ ον αριθμό α υτόν δεν στ ον ανακοιν ώνει παραμένει κρυφός . Του λες να ξεκινήσ ει από την αρχή της ουράς (το κέρμα 1 ) κα ι ν α μετρήσει τ όσα κέρματα όσα τον αρ ιθμό που σκέφτη κε. Μετά τ ο 6 θα μετρά μόν ο πάνω στ ον κύκλο κατά τη θετική φ ορά . Με τ ον τρόπο αυτ ό θα φθάσ ει πάν ω σ ε ένα νόμισ μα – στ ο παρά δειγμά μας θα φθάσει στ ο κέρ μα Νο 9. Μετά θα ξεκινήσ ει να μετ ρά α ρχίζ οντας από το ν όμισμα που έχει φθάσει μόν ο πάνω στον κύκλο κατά τ ην α ρνητική φ ορά τ όσα νομίσματα όσα τ ο ν ούμερ ο που σκέφτηκε. Με τ ον τ ρόπο α υτό θα φθάσει πάνω σε ένα α πό τα ν ομίσματα που βρ ίσκονται πά νω στον κύκλο. Ο Μάγος χωρίς να γνωρ ίζει τ ον α ριθμό που ο φ ίλος του σ κέφτηκε θα του α νακοιν ώσει ότι έχει κατα λή ξει στ ο ν όμισμα Νο. 1 3! Το μαγ ικό γίνετα ι και με όποιον α ριθμό κερμάτ ων θ έλετε μόν ο που τ ο σημείο στ ο οποίο τελικά θα φθάσει κά ποιος μετακινούμενος με βάση τις οδηγ ίες είν αι διαφορ ετικ ό. Μπορείτε να βρείτε ποιο σημείο θα είναι αν χρησιμοποιή σουμε 30 κέρματα ή 40 κέρ ματα ή έναν οποια δή ποτ ε αριθμό κερ μάτων;
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 55 Η αιτιολόγηση … Για να προσ έξου με τις δύο κινήσεις … Η μία είναι ση μειωμένη με μα ύρο – η κίνηση από το ν όμισμα 1 έως τ ο νόμισμα 9 και η άλλη είναι σημειω μέν η με κόκκιν ο α πό τ ο 9 νόμισμα κινούμαστε αντ ίθετα μέχρι το νόμισ μα με αριθ μό 13 . Προφανώς οι δύ ο κινήσεις έχου ν τ ο ίδιο «μή κος» ά ρα αν βγά λουμε τ ο κοιν ό κομμάτι τ ων δύ ο διαδρ ομών θα πρέπει η διαδρομή 1 -2-3 -4-5 -6 και η δια δρομή 6-17 -16-15 -14-13 να είναι ίδια . Άρα όσα ν ομίσμα τα έχει η ουρά τόσα νομίσ ματα θα πρέπει να μετακινηθώ από τ ο τ έλος της ουρ άς (6ο ν όμισμα) κινούμενοι α ντίθετα . Οπότε ότ ι αριθμό κα ι αν σκεφθεί ο φίλος μας εμείς πάντα θα βρεθ ούμε στ ο 13 ο ν όμισμα . Η ίδια αρχή θα εφαρ μόζετ αι και σε οποια δή ποτ ε αριθμό νομισμάτ ων και αν έχου με. Αυτ ό που παίζει ρ όλο στ ον προσ διορισ μό τ ου σταθερ ού σημείου είναι το πλήθ ος των νομισμάτ ων που έχου με στην ουρά!
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 56 24. Τοπολογικό τρικ … Ο Μάγος κα ι ο φίλος τ ου δένονται όπως στο σ χήμα με δύ ο κομμάτια σχοινιού. Όπως στο διπλαν ό σχή μα. Φαίνετα ι ότ ι με τίποτε δεν μπορ ούν να ξεχωρίσ ουν μετα ξύ τ ους και ότ ι α πό εδώ και μπρ ος θα είναι πά ντα μαζί. Ή μή πως όχι! Αν επιχειρήσετε να δοκιμάσετε κάτ ι τ έτ οιο καλή πρ οσπάθ εια αλλά προσ έξτ ε μην μπλεχτ είτε γ ια τα καλά … Η λύση … Με εικόνες …
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 57 25. Μαγικό με σπίρτα … Έχουμε τ έσσερα σπίρτα και τα τ οποθετ ού με σε μία σειρά τα τρία προς μία κατεύθυνση και τ ο τ έταρτ ο ανάποδα ( όπως στ ο σχήμα ) Ας υ ποθέσουμε ότι τις θέσεις τ ις αρ ιθμού με και ότι τ ο «ανάποδο» σ πίρτ ο είνα ι στη θέση 3 . Ο Μάγος έχει γυρ ισμένη τ ην πλάτη του και λέει στ ον φ ίλο τ ου να αντιμετ αθέσει τ ο «ανά ποδο» σπίρτο με οποιοδή ποτε γειτ ονικό του . Τέτ οιου είδους α ντιμεταθέσεις μπορ εί να τ ις επαν αλάβει όσες φορές θέλει αρκεί στο τ έλος να πει στ ον μάγ ο πόσες συν ολικά αντιμετ αθέσεις έχει κά νει.. Όταν έχουν ανακατ ευθεί αρ κετά τα σπίρτα, ο Μάγ ος δίνει συγκεκρ ιμένες οδηγίες με σκοπό να αποκα λύ ψει την θέση τ ου «ανάποδου » σ πίρτ ου! Για παρά δειγ μα ας υ ποθέσ ουμε ότι ο φίλος κάν ει 5 αντιμετ αθέσεις , ποιες; Ό π οιες θέλει.. Τότ ε ο Μάγ ος ζητά να διώξει τ ο σ πίρτ ο που βρίσκεται στη ν 4 η θέση κα ι να αντ ιμεταθέσει τ ο «ανά ποδο» σπίρτ ο με κά ποιο γειτ ονικό τ ου. Μετά λέει α πλά ότι τ ο «ανά ποδο» σπίρτο είναι τ ο μεσα ίο από τα τρία σ πίρτα που α πομένουν!
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 58 Η αιτιολόγηση … Ας υ ποθέσουμε ότι έχουμε μία διάτα ξη όπως την παρα κάτ ω : όπου τ ο «ανά ποδο» σπίρτο βρίσ κεται σε περιτ τή θ έση. Αν γ ίνουν περιττ ό πλήθος αντιμεταθ έσεων τ ου «ανά ποδου» σπίρτ ου με κάποιο από τα γειτ ον ικά του τ ότ ε τ ο «ανά ποδο» σπίρτ ο θα βρεθ εί και πάλι σ ε περ ιττή θέση. Άρα θα είναι στις θέσεις 1 ή 3. Αποκλείεται η θέση 4 . Γι’ αυτ ό ο Μά γος δίνει την οδηγία να βγει τ ο σ πίρτ ο που βρίσκεται στην 4 η θέση. Τώρα το « ανάποδο» σ πίρτ ο βρίσκεται σε ακρ ιανές θέσεις οπότε άλλη μία αντιμετάθεση θα τ ο φέρει στ ο μέσ ο από τα τρία σπίρτα που α πομένουν. Είναι η θέση που τελικά ο Μά γος επιλέγει με αυτ οπεποίθηση. Τι θα γίνει αν αφήσουμε τ ο ελεύθερο στ ον φίλο μας να κάνει όσες αντιμεταθέσ εις θ έλει; Τότ ε περ ιττ ό πλήθ ος αντιμεταθέσ εων φέρν ει τ ο « ανάποδο» σπίρτ ο στ ις θέσ εις 1 ή 3 , ενώ άρτιο πλήθ ος α ντιμεταθέσεων τ ο φέρνει στις θέσεις 2 ή 4. Ο πότ ε ο Μάγος δίνει τις κατά λληλες οδηγ ίες . Τι γ ίνετα ι α ν τ ο «ανά ποδο» σπίρτ ο είνα ι σε άρτ ια θέση;. Ποια είναι η στρατηγική που θα α κολουθήσει ο Μάγ ος ανά λογα με τ ο αν τ ο πλήθος των αντ ιμεταθέσεων είνα ι άρτ ιο ή περιτ τό;
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 59 26. Μαντεύοντας έναν αριθμό … Ο Μάγος με ελάχιστ ες πληρ οφ ορίες είναι σε θέση να μαν τ έψει έναν α ριθμό. Γ ι’ αυτ ό δίνει τις παρακάτ ω οδηγίες κα ι σ υγ χρόν ως κάνει κα ι κάποιους υ πολογισμούς ν οερά (ση μειών ονται με κόκκιν ο χρώ μα) 1. Σκέψο υ έναν αριθμό από το 1 έω ς και το 10. 2. Πολλαπλασ ίασέ τον με 3. 3. Δια ίρεσ ε το γινόμενο με το 2 . Εδώ ο Μάγ ος ρωτά αν η διαίρεση είναι τέλεια. Αν δεν είναι δίνει τη ν οδηγία να στρ ογγυλοποιηθεί ο αριθμός που πρ οκύ πτει από τη δια ίρεση προς τα πάν ω κα ι θυμάται τ ον αριθμό κλειδί 1 . 4. Πολλαπλασ ίασε το απο τέλεσμα με το 3 . 5. Δια ίρεσ ε το α ποτέλεσμα με το 2 . Εδώ ο μάγ ος ρωτά αν η δια ίρεση είναι τέλεια. Αν δεν είναι δίνει τη ν οδηγία να στρ ογγυλοποιηθεί ο αριθμός που πρ οκύ πτει από τη δια ίρεση προς τα πάν ω κα ι θυμάται τ ον αριθμό κλειδί 2 . 6. Αφαίρ εσε το 9 . Αν γ ίνετα ι θυ μάται τ ον αριθ μό κλειδί 4 . Στην περ ίπτ ωση που βγαίνει η διαφ ορά αρνητικός αριθ μός τότε ο α ριθμός που έχει σκεφ θ εί ο φίλος τ ου είναι 1 ή 2 ή 3, αν άλογα με τ ο αν μέχρι να φθάσει στ ο 6 ο βήμα έχουν γίνει μία ή δύ ο στ ρογγ υλοποιήσεις ( ο μάγ ος πρ οσθέτει τους αριθμούς κλειδιά) . 7. Αφαίρ εσε το 9 . Αν η αφαίρεση γίνετα ι πρ όσθεσε τ ους αριθμούς κλειδιά που συν άντησες μέχρι να φθάσει ς στο βή μα α υτό και επιπλέον τ ον αριθ μό κλειδί 4 . Με τον τρ όπο αυ τόν μπορεί να κατα λή ξεις στ ους αριθμούς 8,1 0,9 Αν η αφαίρεση δεν γ ίνετα ι πρ όσθεσε τα κλειδιά κα ι έχεις τον αριθ μό που σκέφτηκε ο φίλος σου . Οι αρ ιθμοί μπορεί να είναι οι 4,6 ,5,7 . Με ποια λογική με επτ ά α πλές εντ ολές ο Μάγ ος είν αι σε θέση να προσ διορίσ ει έναν αρ ιθμό α πό το 1 έως τ ο 10;
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 60 Η αιτιολόγηση … Ας παρακολουθήσ ου με τις οδηγ ίες τ ου Μάγ ου … Έστω χ ο αριθ μός χ { , , , , , , , , , } 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Τριπλασ ίασ ε τ ον αρ ιθμό : 3 χ Δια ίρεσ ε τον αρ ιθμό δια 2 . (γίνετα ι;) Ν Ο (1) 2/4/6/8/10 χ3 2 και χ +3 1 2 1/3/5 /7/9/ Πολλαπλασ ίασέ το υς επί 3 χ9 2 και χ +9 3 4 Δια ίρεσ ε τον αρ ιθμό δια 2 . (γίνετα ι;) Ν Ο (2) Ν Ο( 2) χ9 4 χ +9 2 4 χ +9 3 4 χ +9 5 4 {4 ,8 } (2,6 ,10 } {1,5 ,9 } {3 ,7} Αφαίρ εσε 9 (γ ίνετα ι;) χ − 9 9 4 χ + − 9 2 9 4 χ + − 9 3 9 4 χ + − 9 5 9 4 Ν( 4) Ο Ν(4) Ο Ν(4) Ο Ν(4) Ο {4,8 } - {6,10} 2 {5 ,9 } 1 7 3 Αφαίρ εσε 9 (γίνεται; ) χ − 9 18 4 χ + − 9 2 18 4 χ + − 9 3 18 4 χ + − 9 5 18 4 Ν(4) Ο Ν(4) Ο Ν(4) Ο Ν(4) Ο 8 4 10 6 9 5 - 7 Προσέξτε τι ωρ αία δου λεύ ει μνη μονικός τρ όπος πρ οσδιορ ισμού του αριθ μού. Ας υ ποθ έσου με ότι ο «άγνωστ ος» αριθ μός είναι το 6 για να φθάσου με στ ο 6 πρέπει να ακολουθήσουμε μία σ ειρά από Ν-Ο -Ν-Ο ή με βάση τα κλειδιά 0 +2+4 +0 =6 ! Εξασκηθ είτε και θα εντυ πωσιάσετε !
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 61 27. Βρίσκοντας τα ζευγάρια … Ο Μάγος έχει ξεχωρίσ ει από μία τράπουλα όλους τ ους βασιλιάδες και τις βασίλισσες . Φτιάχν ει δύο σωρ ούς α πό τα φύ λλα αυτά που … στον ένα είναι τα φ ύλλα Κ / Κ / Κ / K και στ ον ά λλο τα φ ύλλα Q / Q / Q / Q . Παρατηρείστε ότι είναι τ οποθετη μένα τα φύ λλα στις δύο σωρούς με την ίδια σειρά ως προς τ ο χρώ μα και σχέδιο. Μετά τις δύο σωρ ούς τις κάν ει μία και δίνει τα οκτώ αυ τά φύλλα να τα κό ψει όσ ες φ ορές θέλει ο φ ίλος του . Δηλα δή να πά ρει μερικά και από τ ο τ έλος να τα βά λει στην αρ χή. Την δια δικασία αυτή ( κόψιμο όχι ανακάτ εμα) μπορεί να τ ην κάνει όσες φ ορές θέλει. Μετά ο Μάγ ος παίρ νει την τρά πουλα πίσω α πό την πλάτη του και με μία κίνηση βγάζει δύο -δύ ο τα φύλλα βασίλισσα – βασιλιάς με το ίδιο χρώ μα και σχέδιο! Πως μπορεί να γίνει κάτ ι τ έτ οιο αφ ού τα χαρτ ιά έχουν χω ριστεί και μά λιστα όχι από τ ον ίδιο τ ον Μάγο ;
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 62 Η αιτιολόγηση … Η δύ ναμη της συμμετρ ίας θα μας δώσει την εξήγηση… Όταν οι δύ ο σω ροί έχουν γίν ει ένας , μία πιθανή διάταξη τ ων χαρτιών μπορεί να είνα ι : Κ / Κ / Κ / K/ Q / Q / Q / Q. Ο φίλος μας ξεκινά να κόβει την τρά πουλα … 1ο κόψιμο : Q / Q /Κ / Κ / Κ / K/ Q / Q 2ο κόψιμο : K/ Q / Q / Q / Q /Κ / Κ / Κ 3ο κόψιμο : Κ / Κ / K/ Q / Q / Q / Q /Κ κ.ο.κ Τι παρατη ρείτ ε ; Το 1ο και τ ο 5ο φύ λλο εξακολουθ ούν να είναι ζευγάρ ι, τ ο ίδιο συμβαίνει με τα 2 ο και 6ο φύ λλο, με τ ο 3ο και 7ο φύ λλο, με τ ο 4ο και 8ο φύ λλο. Το κόψιμο της τράπου λας ( όχι ανα κάτεμα) δεν χαλάει τη συμμετρία της! Οπότε ο Μάγ ος πίσω α πό την πλάτ η τ ου χωρίζει τα χαρτιά στη μέση και παίρνει με τη σειρά ένα φύλλο α πό τ ο κάθ ε μέρ ος. Τα ζευγάρια που βγαίν ουν με τον τρ όπο α υτό ταιριάζουν ως προς τ ο χρώμα και το σχή μα .
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 63 Υπάρ χει κα ι ά λλο ένα ωραίο μαγ ικό που αναδεικνύει τη δύναμη της συμμετρ ίας. Ο Μάγος δίνει μία τρά πουλα α πό 18 φύ λλα στ ον φίλο τ ου κάτ ω από τ ο τραπέζι ώστε καν είς να μη είναι σε θέση να β λέπει. Ο Μάγος λέει στ ον φίλο τ ου ότι η τ ράπου λα είνα ι φτ ιαγμένη με έναν συ γκεκριμέν ο τ ρόπο ( ο Μάγ ος έχει βάλει ενα λλάξ κόκκιν ο και μαύρ ο φύλλο, πράγμα που αγ νοεί ο φίλος τ ου) . Για να ανα κατευτ εί η τράπου λα κα λείτα ι ο φίλος – κάτω α πό τ ο τραπέζι πάντα η τ ράπου λα – να παίρνει τα δύ ο πρ ώτα φύ λλα κα ι να τα τ οποθετ εί και πάλι στην αρ χή τ ης τρά που λας α λλά ανάποδα . Μετά κόβει την τρά πουλα ( δεν την ανακατ εύει). Με τ ον τ ρόπο α υτό η σειρά στην τρά που λα μπορ εί να χα λάσει. Για να είμαστ ε σίγ ου ροι ότι η τρά πουλα θα μπερ δευ τεί ο φίλος μας συν εχίζει το ανα κάτεμα όπως το περιγράψαμε προηγουμέν ως όσες φ ορές θέλει. Μετά ο Μάγ ος που έχει γυρισ μένη την πλάτη τ ου λέει στ ον φίλο του : Δες την τρά πουλα . Το πρώτ ο φ ύλλο αν είναι αν οικτό γύρ να τ ο ανά ποδα και όμοια αν είναι κλειστ ό άν οιξέ τ ο, βάζοντας τ ο πάντα πρώτ ο στη τράπουλα . Το χαρτ ί α υτό να τ ο θ υμάσαι. Κόψε ά λλη μία φορά την τρά που λα και δ όστην μου . Ο Μάγος μπρ ος τα έκπλη κτα μάτια τ ου φίλου τ ου κατ ορθ ώνει να βρει τ ο χαρ τί που πρ οηγ ου μέν ως ση μείωσε ο φίλος τ ου . Πως τ ο κατ ορθώνει αυτ ό; Απλά παρατη ρώντας ποιο χαρτ ί χα λάει την συμμετ ρία της εναλλαγής των χρ ωμάτ ων στη ν τρ άπου λα. Τ ο τρι κ αυτό μπ ο ρε ί ν α γ ί ν ε ι με ο π ο ι ο δ ήπ ο τε άρτι ο αρι θμό χαρτι ώ ν .
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 64 28. Ανακατεύοντας τρία αντικείμενα … Ας υ ποθέσουμε ότι έχουμε στη σειρά τ ρεις από τ ους άσου ς μιας τράπουλας . Δηλαδή έστ ω ότ ι έχουμε την εικόνα : Α/ Α/ Α Ο άσ ος μπαστ ούν ι στη ν 1 η θέση , ο άσ ος κού πα στην 2 η κα ι ο άσος σ παθί στην 3 η . Ο Μάγος έχει γυρ ισμένη τ ην πλάτη του και ζητά α πό τ ον φίλο του να αντιμεταθέτ ει δύο οποιουσ δή ποτ ε άσους λέγ οντας τις θέσεις στ ις οποίες βρ ίσκονται οι άσοι που αντιμεταθέτει. Δηλαδή για παρά δειγ μα αν θέλει να αντιμεταθέσ ει τ ον άσ ο μπαστ ούνι με τ ον άσ ο σπαθ ί θα πει 1 -3 . Αν μετά αντιμετα θέσει τους άσους που θα έ χουν βρ εθεί στις θέσεις 2 κα ι 3 , απλώς θα πει 2-3 .Τέτ οιες αντιμεταθ έσεις μπορεί να κάν ει όσες θ έλει. Κάποια στιγ μή θα κάνει κα ι μία αντ ιμετάθεση χωρ ίς όμως να πει τους αντίστ οιχους αρ ιθμούς. Σημειών οντας τ ον άσ ο που δεν έχει αλλά ξει θ έση. Τον άσ ο α υτόν τ ον λέμε «κρυφ ό» άσο. Στη συ νέχεια συνεχίζει κα ι πά λι αντιμεταθ έσεις λέγον τας τις αντίστοιχες θέσεις … Όταν έχουν ολοκληρωθεί οι αν τιμεταθέσεις, ο Μάγ ος γυ ρ νά κα ι ον οματ ίζει τον «κρυφ ό» άσο! Πως γίν εται αυτ ό;
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 65 Η αιτιολόγηση … Στα Μαθηματικά υ πάρχει ένας όρος «1 -1 αντιστ οιχία» με τον όρ ο αυτόν εν νοού με ότι κάθε στ οιχείο εν ός συν όλου α ντιστ οιχείτε σε ένα α κριβώς στ οιχείο εν ός ά λλου συν όλου. Την 1 -1 α ντιστ οιχία την χρ ησιμοποιούμε α πό μικρ ή η λικία ότα ν μετρά με αντ ικείμενα. Ουσιαστικά αντ ιστοιχούμ ε κάθε αριθ μό 1 -2-3-4-… με τα αντικείμενα τ ων οποίων τ ο πλήθ ος μετρά με. Κάτι τέτ οιο κάνει και ο Μάγ ος, χρησ ιμοποιώντας τα τρία δάκτυ λά του – τ ον δείκτ η τ ον μέσο κα ι τον παράμεσο. Πριν γυ ρίσει ο Μάγ ος επικεντρών ει την πρ οσ οχή τ ου σε έναν άσ ο π.χ. τ ον άσο μ παστ ούνι που βρ ίσκετα ι στην 1 η θέση . Τότε ο αντίχειρας αγ γίζει τ ον παρά μεσ ο που παίζει τ ον ρόλο της 1 η ς θέσης ( αντίστ οιχα ο μέσος αντ ιστοιχεί με την 2 η θέση και ο δείκτης με την 3 η ) . Όταν ο φίλος τ ου αρχίζει τις α ντιμεταθέσεις α λλάζει θέση ο αντίχειρας μόνο όταν ο άσ ος που βρίσκεται στην 1 η θέση – άρα ο παράμεσος – α ντιμετατεθ εί με κάποιο άλλο άσ ο σε κά ποια άλλη θέση. Γ ια παρά δειγμα αν ειπωθεί 1-3 τ ότε ο α ντίχειρας θ α δείχνει τ ον δείκτη . Αν μετά ειπωθ εί 2 -1 δεν αλλάζουμε θέση. Αν μετά ειπωθ εί 3-2 τ ότε ο αντ ίχειρας θα μετακινηθεί στ ον μέσο. Με τις κινήσ εις αυτές ο Μάγ ος γ νωρίζει σ ε ποια θέση βρίσκεται ο άσος μπαστ ούνι. Όταν γ ίνει η κρυφή αντ ιμετάθεση ο Μάγ ος δεν κάν ει τίποτε. Μετά συνεχίζει να α κολουθεί τις αντ ιμετ αθέσεις όπως πρ ιν. Ο Μάγος με το τέλος τ ων α ντιμεταθέσ εων γνω ρίζει τη θέσ η τ ου άσου μπαστούνι αν δεν είχε μεσ ολαβήσει η κρυφή αντ ιμετάθεση. Όταν γυ ρίσει τ ότε : 1η περίπτωση : αν διαπιστ ώσει ότι ο άσ ος μπαστούνι βρίσ κεται στην ίδια θέση με α υτή που έχει ο αντ ίχειρας με τα δάκτυ λά τ ου τότε αυτ ός είνα ι ο «κρυφός» άσ ος. 2η περίπτωση : αν διαπιστ ώσει ότι ο άσ ος μπαστούνι δεν βρίσκεται στην ίδια θέση με α υτή που πρ οσ διορίζει με τα δάκτυ λά του, α λλά στην θέση αυτή για παράδειγ μα είνα ι ο άσος κού πα τότε το κρυφό χα ρτί είν αι ο άσ ος σ παθί!
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 66 29. Βρίσκοντας την ηλικία κάποιου … Ζητάμε από τον φίλο μας να σκεφθεί έναν αριθμό όσο μεγάλος και α ν είναι. Μετά να τ ον πολλα πλασιάσει με τ ο 9 και στ ο γ ιν όμενο αυ τό να προσθ έσει την ηλικία τ ου . Τον τελικό αρ ιθμό ( ή τ ο κατά λοιπό τ ου) θα τον ανα κοινώ σει στον Μάγ ο και αυ τός θα πει τ ην η λικία τ ου φ ίλου τ ου . Για παρά δειγ μα ο φίλος σκέφτεται έναν αριθμό, τ ον πολλαπλασιάζει με τ ο 9 κα ι πρ οσθέτει την η λικία τ ου και ανακοινών ει τον αρ ιθμό 2866. Ο Μάγος βρίσ κει τ ο κατά λοιπο του 28 66 (δες 8 ο μαγ ικό) δηλαδή τον αριθ μό 2 +8 +6+6 =22 / 2 +2=4 και μετά ισχυρ ίζεται ότι η ηλικία του φίλου τ ου είναι αριθ μός της μορφής : 9 κ+4 με κ φυσικός, άρα μπορε ί να είναι 13 , 22 , 31, 40 , 49 , 58, 67, 76 , 8 5, 94,… Ποια είναι η σ ωστή; Εδώ ο Μάγ ος υποψιάζετ αι πάν ω κάτω την η λικία τ ου ανθ ρώπου που έχει α πέν αντί τ ου και εκτιμά την η λικία του. Για να βρεις τ ον τρ όπο που σκέφτεται ο Μάγ ος σου θυ μίζ ω την βασική ιδιότητα που έχει το κατ άλοι πο ενός αρ ιθμού, όπως τ ο διατυ πώσα με και στ ο 8 ο μαγικό. Το κατά λοιπο ενός αριθ μού είνα ι ίσο με τ ο υ πόλοιπο της διαίρ εσης τ ου αρ ιθμού με τ ο 9.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 67 Η αιτιολόγηση … Αν χ ο αρχικός μεγά λος αρ ιθμός που σκέφτετ αι ο φίλος μας και α η ηλικία τ ου , τ ότ ε ο αριθ μός που μας αν ακοινώ νει είναι ίσος με 9χ+α . Άρα γ ια το παράδειγ μά μας 2866 =9χ+α (1) Γνωρίζουμε ότι τ ο κατά λοιπο εν ός αριθμού είναι ίσ ο με τ ο υπόλοιπο της διαίρ εσης τ ου αριθ μού με τ ο 9 (γιατί; ) Άρα θα ισ χύει και 2866 =9κ+4 (2) . Από (1) και ( 2) έχου με : 9 χ+α =9κ+4 άρα α =9 (κ-χ) +4 ή αν θ έσου με β=κ-χ η η λικία του φίλου μας είναι αριθ μός της μορφής α =9β+4 οπότε μπορεί να είνα ι 4 , 13, 22, 31 , 4 0, 49, 58 , 67 , 76, 85 , 94… Τώρα ποια είναι η ηλικία αυτ ό μπορεί να τ ο βρει εικάζ οντ ας ποια α πό τις παρα πάνω τ ιμές ταιριά ζει με το πρ όσωπο που βλέπω απέναντί μου …
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 68 30. Τρικ με τη βοήθεια του Descartes … Ένα α πλό μαγικό μπορεί να γίν ει βασιζόμενοι στ ο καρτ εσιαν ό σύστημα συντεταγμένων… Θυμηθείτε κάθε σημείο στο επίπεδο μπορεί ν α πρ οσδιορ ιστεί με τη β οήθεια δύ ο αρ ιθμών τ ις συ ντεταγ μένες τ ου . Με 16 χαρτιά φτ ιάχν ου με ένα πλήρ ες τετράγων ο. Ζητάμε από τον φίλο μας να σκεφτεί ένα φύλλο και να μα ς πει σε ποια γραμμή είναι. Μαζεύ ουμε τα φύ λλα στή λη-στή λη από τα δ εξ ιά προς τα αριστερά. Σχημα τίζουμε πάλι ένα πλήρες τετρ άγων ο φροντ ίζοντ ας τ ώρα να σχηματίζ ουμε πρώτα τ ις γραμμές του . Ρωτάμε ξανά τ ον φίλο μας σε ποια γραμμή είναι τώρα τ ο φύλλο. Ο Μάγος είναι σε θέση τώρα να α ποκαλύψει το «ά γνωστ ο» φύλλο. Για παρά δειγ μα αν το «άγν ωστ ο» φ ύλλο πρώτα ήταν στην 2 η γραμμή κα ι μετά στη 3 η γραμμή τότε το φύ λλο που ψάχν ουμε είναι τ ο 2ο της 3η ς γ ραμμής, σύμφ ωνα με όσα μας έχει διδάξει από τ ον 16ο αιώνα ο Desc artes. Το γιατ ί σας τ ο αφή νω σε εσάς …
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 69 31. Ένα μαγικό για μεγάλο ακροατήριο Στο ακρ οατή ριο παρ ουσιάζεις τ ον παρακάτ ω πίνα κα … 23 40 70 61 53 14 08 20 52 88 77 59 13 87 33 34 82 17 7 43 79 12 89 62 21 8 71 10 41 69 44 47 626 66 9 81 72 63 54 36 45 3 11 3 64 74 84 38 31 60 24 46 86 35 37 19 25 15 2 42 50 51 32 78 55 56 42 85 57 30 8 16 5 75 5 29 67 7 286 49 27 18 8 68 39 Στον πίνακα α υτόν είναι ση μειωμένα αρ ιθμοί σε διάφορα χρώμα τα. Ζητάς να σ κεφτ ούν έναν διψήφιο αριθμό χωρίς να τ ον αποκαλύψουν σε κα νένα . Μετά ζητάς ν α πρ οσθέσουν τα ψηφία τ ου κα ι τ ο άθρ οισμα αυτ ό να τ ο αφα ιρέσ ουν α πό τ ον αρχικό διψήφιο πρ οσω πικό τ ου καθένα αριθμό. Πρέπει τ ώρα ο κάθε ένας από το κοινό σ ου να συγκεν τρω θεί στ ον αριθμό α ποτέλεσμα τ ων πρ οηγ ού μενων πρά ξεω ν όπως φα ίνεται στον παρα πάν ω πίνα κα. Ο Μάγος θα αποκα λύ ψει τ ο χρ ώμα που έχει ο αριθ μός τ ου καθενός ! Ποιο είνα ι τ ο χρ ώμα; Μα φ υσικά κόκκιν ο! Το γιατ ί σας τ ο αφή νω σε εσάς να τ ο βρείτε …
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 70 32. Ένα ακόμα μαγικό με το ημερολόγιο … Ο Μάγος δείχνει τ ο ημερ ολόγιο τ ου έτ ους και ζητά από τ ον φ ίλο του ν α δια λέξει έν αν μήνα . Μετά ο Μάγ ος έχοντας γυρισμένη τη ν πλάτη τ ου ζητά να κυκλώσ ει σε κάθε μία από τις πέντε πρώτες γραμμές τ ου μή να μία μέρα και να πρ οσθέσει τ ους αριθμούς που αντιστ οιχούν στις μέρες που διά λεξε. Ο Μάγος ρω τά πόσες Δ ευτέρες, πόσες Τρίτες , πόσες Τετά ρτες, πόσ ες Πέμπτες, πόσες Παρασκευές κα ι τ έλος πόσα Σάββα τα, έχει κυκλώσει ο φίλος του. Με τις πληρ οφορ ίες αυτές ο Μάγ ος είνα ι σε θέση να βρει τ ο άθροισμα των η μερ ομη νιών που ο φίλος τ ου έχει κυκ λώσει! Για παρά δειγ μα ας υ ποθέσ ουμε ότι ο φίλος μας διαλέγει τον μήνα Οκτώβρ ιο και κυκλώ νει πέντε η μερ ομη νίες και στις ερωτήσεις τ ου Μάγου α παντά ότι έχει κυ κλώσει μία Κυρ ιακή, δύ ο Δ ευτέρ ες, μία Π έμπτη και ένα Σάββατο. Αμέσ ως μετά ο Μάγ ος αν ακοινώ νει τ ο άθ ροισμα λέγοντας απλά …77! Για να γίν ου με σαφέστεροι … ας υποθέσ ουμε , με βάση τις απα ντήσεις του φίλου μας, ότι οι η μερ ομηνίες που κυκλώθηκαν είναι οι σημειω μένες με κόκκιν ο. Μία Κυριακή , δύ ο Δευ τέρες , μία Πέμπτη και ένα Σάββατ ο. Οι ημερομηνίες αυτές έχ ουν άθρ οισμα 5 +6 +14 +21+31=77 . Τον αριθ μό α υτό πρ όβλεψε και ο Μάγ ος, ποια είνα ι η σκέψη τ ου;
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 71 Η αιτιολόγηση … Το κόλπο βασίζεται στ ο γ εγ ονός ότι σε κάθε η μερ ολόγιο τ ο άθροισ μα τ ων ημερομηνιών που βρίσκοντα ι στην στή λη που ξεκινά ο μήνας είναι ίσο με 75 . Το αποτέλεσ μα αυτ ό μπορ εί ν α μην ισχύ ει στον μήνα Φεβρ ουάρ ιο, γι’ α υτό κα ι γ ια το συγκεκρ ιμένο κόλπο ο μήνας α υτ ός πρέπει να α ποφ εύγετ αι. Αυτ ό ισχύει διότι οι ημερομηνίες που βρίσκονται στην στή λη α υτή είναι πάντα οι 1 -8-15 -22-29 με άθροισμα 75. Όταν ξεκινά τ ο μαγικό ο Μάγ ος γνωρίζ ει , διότι τ ο έχει πρ οσέξει, ποια η μέρ α έχει ο συγκεκριμέν ος μήνας πρωτ ομην ιά. Αυτ ό σ ε συνδυασ μό με τις α παντήσ εις στα ερωτή ματά του δίν εται η δυνατ ότητα με α πλές πρά ξεις να υ πολογίσ ει σωστά το ζητ ούμεν ο άθροισ μα. Για τ ο παρά δειγμά μας … Η 1η του μήνα είνα ι Τρίτη , άρα όλες μαζ ί οι Τρ ίτες έχου ν άθροισ μα 75 . Έχου με την πληρ οφ ορία ότι έχου ν ση μ ειωθεί 1 Κυρια κή, 2 Δευτέρες, 1 Πέμπτη κα ι 1 Σάββατο, άρα στ ο 75 πρ έπει να αφαιρ έσω 2 ( λόγω της Κυρ ιακής) , 2 ( λόγω των δύ ο Δ ευτέρων ) και να πρ οσθέσω 2 (λόγ ω της Πέμπτ ης) και άλλα 4 (λόγ ω του Σαββάτου ). Ο πότε το ζητ ούμεν ο άθρ οισμα είν αι : 75 -2-2 +2+4 =77. Επειδή ένα μαγικό για να είναι επιτυ χημέν ο πρέπει ο Μάγ ος να κάνει εύ κολους και γρήγ ορ ους υπολογισμούς , υ πάρ χει ο εξής αλγόριθμος υπολογ ισμού τ ου ζητού μεν ου αθρ οίσ ματος . Δίνου με στην στήλη που α νήκει η 1η τ ου μήνα αρ ιθμό κλειδί 75 (όσ ο τ ο άθρ οισμα τ ων η με ρ ομηνιών) . Σε κάθε προηγούμενή της δίν ουμε αριθμό κλειδιού κατ ά 5 λιγ ότερ ο την φορά . Δηλα δή γ ια το παρά δειγμά μας η 2η στήλη έχει αρ ιθμό 70 και η 1η στ ήλη 6 5. (Οι αριθμοί αυ τοί δεν έχουν καμιά σχέση με τ ο άθρ οισμα των ημερ ομην ιών της αντίστ οιχης στή λης, εί ναι αριθ μοί που εξυ πηρετ ού ν μία ευ κολομνη μόνευτη δια δικασία απάντησ ης – λύσης τ ου μαγικού ).
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 72 Ο σκοπός είναι να βρεθεί με τη δια δικασία που περιγ ράψαμε ο αριθμός κλειδί τ ης 1ης στήλης τ ου μήνα . Μετά πρ οσθέτ εις 1 μονά δα για κάθ ε Δ ευτέρα , 2 μονάδες γ ια κάθε Τρ ίτη , 3 μονά δες για κάθε Τετάρ τη, 4 μονά δες για κάθε Πέμπτη , 5 μονάδες για κάθε Παρ ασκευή κα ι τέλος 6 μονά δες για κάθε Σάββατ ο που ακούς α πό τις α παντήσεις τ ου φίλου σ ου . Ας δούμε πως λειτ ουργεί ο συγκεκριμέν ος αλγ όρ ιθμος. Η 1η στή λη τ ου μήνα έχει αρ ιθμό κλειδί 65 (75 -5 -5=65). Με βάση τις α παντήσεις ο Μάγ ος κάνει τ ην πρά ξη : +  +  +  =65 2 1 1 4 1 6 77 . Ουσιαστικά ο αλγ όριθ μός βασίζετα ι σ ε απλές προσθαφα ιρέσεις όπως φα ίνετα ι στην διπλαν ή δικα ιολόγηση … Για να δούμε ένα παρα δείγματα ακόμα … Ας υ ποθέσουμε ότι ο φ ίλος μας έχει ση μειώσει τις ημερ ομην ίες που φαίν ον τα ι στο διπλανό πίνα κα με άθροισ μα : 25 +19 +13 +7 +2=66 Ο Μάγος βλέπει ότι η 1η τ ου μήνα είνα ι Παρ ασκευή , άρα υπολογίζει τ ο κλειδί για την στήλη Κυρ ιακή, σύ μφωνα με τον αλγ όρ ιθμο ότι είναι : 75 -5 -5-5 -5-5 =50 Συγχρ όνως ακού ει ότι έχουν επιλεγ εί 1 Δ ευτέρ α, 1 Τρί τη , 1 Τετάρτη , 1 Πέμπτη και 1 Σάββατ ο. Άρ α υ πολογίζ ει ότ ι τ ο άθροισ μα θα είναι ίσ ο με : 50 +1+2+3 +4 +6 =66! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − + + + = + − − + + + = − − + + + = + − − + + + = + + + + + = +  +  +  = 75 2 1 1 2 4 77 70 5 2 1 1 2 4 77 70 1 0 0 3 5 77 65 5 1 0 0 3 5 77 65 0 1 1 4 6 77 65 2 1 1 4 1 6 77
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 73 33. Ένα κόλπο με νομίσματα. Ας υ ποθέσουμε ότι έχεις 30 ν ομίσ ματα . Εσύ ο μέγας Μάγ ος λες στον φίλο σου. Γυρνά ω την πλάτη μου και ακολούθα τ ις οδηγίες μου . Πάρε έναν αριθμό ν ομισμάτω ν α πό 1 έως τ ο πολύ και 9 , σ την τσέπη σου. Μέτρα πόσα ν ομίσ ματα έχου ν μείν ει ακόμα. Σχημά τισε δύο στ οίβ ες η πρ ώτη να έχει τόσα ν ομίσματα όσ ες οι δεκά δες των ν ομισμάτ ων που έχου ν α πομείνει και η άλλη όσες οι μονά δες τω ν ν ομισμάτ ων που έχουν α πομείνει. Για παρά δειγμα αν έχεις πά ρει 2 ν ομίσ ματα θα έχουν περισσέψει 28 οπότ ε θα σχηματίσ εις δύ ο στοίβες, η μία με 2 νομίσ ματα και η άλλη με 8 . Πάρε τα ν ομίσματα α πό τις δύ ο στ οίβ ες που σ χημάτ ισες και βά λε τα κα ι α υτά στη ν τσ έπη σ ου. Πάρε α κόμα μερικά ν ομίσματα α πό αυτά που έχουν α πομείνει και κράτα τα στο χέρι σ ου. Τότ ε εγώ ο μέγας Μάγ ος θα γ υ ρίσω και θα σ ου πω πόσα ν ομίσματ α έχεις στην τσέπη σου και πόσα νομίσματα κρα τάς! Για να γίν ου με σαφείς … Ας πούμε ότι α πό τα 30 ν ομίσ ματα έχει ς πάρ ει αρχικά 4, άρα έχουν απομείν ει 26. Σχηματ ίζει ς τις δύ ο στ οίβες από 2 κα ι 6 νομίσματα . Τα 8 αυτά νομίσ ματα τα βάζεις και αυτά στην τ σέπη σου. Έχουν απομείν ει 18 νομίσ ματα. Τότ ε εσύ πα ίρνεις στ ο χέρ ι σου 8 ν ομίσματ α α πό α υτά και α πομέν ουν 10 ν ομίσματα ακόμα. Εγώ ο Μάγ ος θα είμαι σε θέση να σου πω ότι κρατάς 8 νομίσματα κα ι ότι έχει 12 ν ομίσματα στην τσέπη σου! Πως γίν εται αυτ ό;
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 74 Η αιτιολόγηση … Το κόλπο μπορ εί να γίν ει με όσα νομίσ ματα θ έλεις 20, 40 50 οποιοδήποτ ε πλήθ ος δεκά δων ν ομισμάτω ν. Για αυτ ό την εξήγηση θα την δώσου με γενικά . Έστω ότ ι έχουμε κ10 νομίσματα Ο φίλος παίρν ει χ { , , , , , , , , } 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Άρα έχουν α πομείνει κ χ (κ ) ( χ) − = −  + −10 1 10 10 νομίσ ματα Ο αριθ μός αυτ ός των ν ομισμάτ ων γ ραμμέν ος στη δεκα δική μορφή έχει κ -1 δεκάδες και (10 -χ) μονά δες . Άρα τα νομίσ ματα που υ πάρ χουν στ ις δύ ο στ οίβ ες που σχηματ ίζου με κατ ά τ η διάρκεια τ ου τρικ είναι κ -1 +(10-χ) νομίσ ματα. Οπότε ο φίλος μας έχει στη ν τσ έπη τ ου χ+κ -1+(10-χ)=9+κ νομίσματα κα ι έχουν α πομείνει κ χ κ χ κ − − + − + = −10 1 10 9 9 νομίσματα . Ας υ ποθέσουμε ότι ο φ ίλος μας πα ίρνει α κόμα ψ ν ομίσμα τα, τ ότ ε απομέν ουν 9 κ-9-ψ ν ομίσ ματα . Τώρα ο Μάγ ος είναι σε θέση να υ πολογίσει πόσα ν ομίσμα τα έχει στην τσέπη του ο φίλος τ ου αφού ο αριθμός 9 +κ εξαρτάτα ι μόν ο από τ ον αρχικό α ριθμό ν ομισ μάτων που είνα ι γν ωστός . Για τα νομίσματα που έχει στην τσέπη τ ου απλώς αφαιρ εί από τ ον αριθμό 9 κ-9 τ ο πλήθ ος των ν ομισ μάτων που έχουν α πομείνει, δηλα δή 9κ-9-(9 κ-9-ψ) =ψ. Για παρά δειγ μα, ας υποθέσ ου με ότι ξεκιν ήσαμε με 30 ν ομίσματα και ότ ι ο Μάγ ος μετρά ότ ι έχουν α πομείνει 15 ν ομίσ ματα . Τότ ε στην τσέπη τ ου ο φίλος τ ου έχει κ κ = + = 3 9 12 νομίσ ματα και στ ο χέρι τ ου κρατά κ ( κ ) = − − = − = 3 9 9 15 18 15 3 ν ομίσ ματα.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 75 34. Μαγικό με τράπουλα … Το μαγ ικό μας πα ίζεται με 2 1 χαρτιά . Στην αρ χή ο Μά γος τα δίνει στον φίλο τ ου και τ ου ζητά να δια λέξει ένα χαρτί, μετ ά ν α τ ο τοποθετ ήσει και πάλι στη ν τρ άπου λα και να την ανακατ έψει όσο το δυν ατόν καλύτ ερα . Ο Μάγος φτιά χνει τρ εις στήλες α πό 7 χα ρτιά η κάθε μία. Μόλις ολοκληρ ωθού ν ο φίλος κα λείτ αι να αποκα λύ ψει σε ποια σ τήλη είναι τ ο χαρτί τ ου . Ο Μάγ ος μαζεύ ει στήλη -στήλη παίρν ον τας την στή λη τ ου «άγ νωστ ου» χαρτ ιού δεύτερη . Ο Μάγος ξαναφτιά χνει τρ εις στήλες α πό επτά χα ρτιά η κά θε μία, φτιάχν οντας τ ις στή λες σειρά -σειρά και πά λι ζητά να του υποδειχθεί σ ε ποια στήλη είναι τ ο «άγνωστ ο» χα ρτί. Μαγ εύει τις στήλες με την στή λη που του έχει υποδειχθεί δεύτερη. Τη ν δια δικασ ία α υτή τ ην κάνει α κριβώς ίδια ά λλη μία φ ορά . Τώρα είν αι σε θ έση να βρ ει το «άγ νωστ ο» χαρτ ί. Βρ ίσκετα ι στην 11η θέση από την αρχή (γ ιατί; ), αλλά για να κάν ει ποιο θεαματικό τ ο μαγικό συν εχίζ ει … Φτιάχν ει τριά δες κα ι τ ις βάζει πάνω στ ο τραπέζι κλειστές . Γνωρίζοντας ότι τ ο φύλλο που ψά χν ουμε βρ ίσκετα ι στη ν 1 1η θέση ξέρει ότ ι τ ο φύλλο είνα ι τ ώρα στη μέση της 4ης τρ ιά δας. Με ερ ωτήσεις τ ου τύπου « διά λεξε τέσσ ερις τριά δες» ή «διάλεξε μία τριά δα» ή «διάλεξε ένα φύλο α πό μία συγκεκριμένη τ ριάδα» είναι σε θέση να κατευθύνει την εξέλιξη τ ου μαγ ικού ώστ ε στ ο τέλος ν α μείν ει μόν ο του τ ο «άγν ωστο» φύ λλο. Για να γίν ω πιο συγκεκριμέν ος . Στ ο ση μείο που έχει επτά τριάδες στο τ ραπέζι, ρωτά δείξε μου τ έσσερις τριά δ ες . Αν ο φίλος τ ου συμπεριλαμβάν ει στις επιλεγμένες τριά δες και αυτή που βρίσκεται τ ο φύλλο που ψά χν ουμε τ ότ ε διώχνει α πό το τρ απέζι τις ά λλες τρ εις και συνεχίζει … Αν όμως δεν συ μπεριλαμβ άνει τότε διώ χνει τις επιλεγ μέν ες και συνεχίζει με τ ις υπόλοιπες τρε ις μέσα στις οποίες είνα ι και η τριά δα που περιέχει τ ο «άγν ωστο» φύλλο. Λίγη φαν τασία θέλει και ανα δεικνύ εστε σίγ ουρα ως μέγας Μάγ ος, τουλά χιστ ον στα μάτια της παρ έας.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 76 Η αιτιολόγηση … Όταν μας υποδείξουν για πρ ώτη φορά , την στήλη που βρ ίσκεται το «άγνωστ ο» φύ λλο και μαζέψου με τα χαρ τιά με την στή λη που έχει υ ποδειχθ εί ως δεύτερη τ ότε τ ο «άγνωστ ο φύλλο βρ ίσ κεται στις θέσεις 8η έως και 14η . Τη δεύτ ερη φορά έτσι όπως σχη ματίζ ονται γρα μμή - γραμμή οι νέες τρ εις στήλες τα φύ λλα αυτά διασκορ πίζονται στην τράπου λα και βρίσ κονται στις θέσεις που παρ ουσ ιάζοντα ι στ ο διπλαν ό σχήμα : Αν υ ποδειχθ εί η 1 η στή λη τ ότε το άγν ωστο φύ λλο είναι αυ τό βρισκότα ν αρ χικά στις θέσεις 10 η ή 13η . Όμοια αν υποδειχθ εί η 2η στήλη τ ο φ ύλλο βρισ κότ αν α ρχικά στις θέσεις 8η ή 11η ή 14η και τέλος αν υ ποδειχθ εί η 3 η τ ότε τ ο φύλλο βρισκόταν αρ χικά σε μία από τις θ έσεις 9 η ή 1 2η . Μαζεύ οντας τα φ ύλλα με την στή λη που βρίσκεται το «ά γ νωστο» φύλλο δεύτερ η τ ότε τα φύ λλα αυτά θα βρεθ ούν σε συγκεκρ ιμένες θ έσεις στη τράπου λα . Ειδικότερα αν μαζέψουμε την 1η στήλη δεύτ ερη τ ότε τα δύ ο φύλλα θα βρ εθούν στη ν 11η και 1 2η θ έση. Αν μαζευτεί η 2 η στή λη δεύτερη τ ότε τα φύλλα ένα από τα οποία μπορεί να είναι τ ο άγνωστ ο θα βρ εθούν στ ις θέσεις 10 η ή 11η ή 12η . Τέλος αν μαζέψουμε τη ν 3 η στή λη δεύτ ερη τα ύποπτα φύ λα θα βρ εθούν στ ις θέσ εις 10 η και 11η . Επομένως το άγν ωστο φύ λλο μπορεί να είναι έν α α πό τα τρία φύ λλα της 4 η ς γρα μμής κατά τ ο τρίτ ο άν οιγμα της τρά πουλας . Όπως φαίν εται κα ι στ ο διπλαν ό σ χήμα η τρίτη υ πόδειξη στή λης αποκα λύ πτει και το άγν ωστο φύλλο. Αλλά μαζεύ οντας κα ι πά λι την τράπου λα με τ ον ιδια ίτερ ο τρ όπο που γνωρ ίζου με τ ο «άγνωστ ο» φύ λλο θα βρεθεί τελικά στη ν 11η θέση της τρά πουλας κα ι θα περιμέν ει μέχρι να ολοκληρ ωθεί η παρ ουσ ίαση γ ια ν α α ποκα λυφθεί. Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ 8 9 10 11 12 13 14 Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ 10 11 12
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 77 35. Ένα απλούστατο μαγικό με το χρόνο … Δίνεις ένα κομπιουτ εράκι στ ον φίλο σ ου και τ ον ρωτάς να γρά ψει το έτ ος γ έννησής του και σε αυτ ό ν α πρ οσθέσει τ ο έτ ος που συνέβη ένα ιδιαίτ ερο γεγ ον ός για τ ον ίδιο. Στη συ νέχεια να πρ οσθέσει τ ην η λικία τ ου και τα χρ όνια που έχουν περάσει α πό εκείν η την ιδια ίτερη χρον ιά που συνέβη το γεγον ός … Πόσο είναι τ ο άθρ οισμα; Πριν πρ ολάβ ει να διαβάσ ει το α ποτέλεσμα εσ ύ τ ο έχεις β ρει! Χωρίς να γνωρ ίζεις καν έναν από τους τ έσσερις αριθ μούς που συμπεριλαμβάν οντα ι … Πως είναι δυνατ όν; Το μόν ο που σας λέω είνα ι ότι αν τ ο μαγικό τ ο έκα να τ ο 2 000 τ ο άθροισ μα θα ήταν 4000 . Αν τ ο μαγικό τ ο έκανα τ ο 2020 τ ο άθροισ μα θα ήταν 4 .040. Επειδή τ ο μαγ ικό τ ο έκανα το 20 19 τ ο άθροισ μα ήτ αν 4 .038 … Η αιτιολόγηση … Καλά τ ο σ κεφτήκατ ε είνα ι πάντα δύ ο φ ορές τ ο τρέχον έτ ος! Αφού τ ο έτ ος γ έννησης και η ηλικία δίν ουν άθρ οισμα αυτ ό. Αλλά το ίδιο άθρ οισ μα δίνει κα ι τ ο έτ ος του γ εγονότ ος μαζί με τα χρόν ια που έχουν περάσ ει από τότε. Τόσ ο απλό και τόσ ο θεα ματικό !
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 78 36. Ένας και μοναδικό ς κυκλικός αριθμός … Ο Μάγος κρ ατά τ α χαρτιά Α / 4 / 2/ 8/ 5/ 7 Τα χαρτιά αυτά σχη ματίζ ουν τ ον εξαψήφ ιο 142857 . Ο φίλος μας κρατά ένα κομπιουτ εράκι για να κάνει πιο γρ ήγορα από τ ον Μά γο κά ποιες πράξεις. Ποιες ; τις εξής απλές : 2 142857 , 3 142857, 4 142857 , 5 142857, 6 142857 Όσο και αν προσ παθήσει τ ον Μάγ ο δεν τ ον πρ ολαβα ίνει … Για παρά δειγ μα … για να βρει τ ο γιν όμεν ο 2 142857 αναδια τάσσει τα χαρτ ιά στη μορφή : 2/ 8/ 5/ 7/ Α/ 4 / για να βρει τ ο γιν όμεν ο 3 142857 αναδια τάσσει τα χαρτ ιά στη μορφή : 4/ 2/ 8/ 5/ 7/ Α για να βρει τ ο γιν όμεν ο 4 142857 αναδια τάσσει τα χαρτ ιά στη μορφή : 5/ 7/Α/ 4 / 2 / 8/ για να βρει τ ο γιν όμεν ο 5 142857 αναδια τάσσει τα χαρτ ιά στη μορφή : 7/ Α/ 4/ 2/ 8/ 5 / για να βρει τ ο γιν όμεν ο 6 142857 αναδια τάσσει τα χαρτ ιά στη μορφή : 8/ 5/ 7/ Α/ 4/ 2 / Ο αριθ μός 142857 είναι ο μονα δικός αριθμός γραμμέν ος στο δεκα δικό σύστη μα που έχει την ιδιότητα αυτή . Αξίζει λοιπόν να του αφιερ ώσουμε μία σελίδα στ ο βιβλίο αυτ ό …
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 79 37. Ένα μαγικό με αρκετ ές πιθανότητ ες επιτ υχία ς … Ο μά γος δίνει την τρά που λα στ ον φίλο τ ου για να διαλέξει ένα τραπουλόχαρτ ο. Το φύλο αυτ ό το τ οποθετεί περίπου στη μέση … Η π ι θ α ν ό τ η τ α ν α β γ ε ι τ ο μ α γ ι κ ό έ χ ε ι ν α κ ά ν ε ι α π ό τ η ν ι κ α ν ό τ η τ α τ ο υ Μ ά γ ο υ ν α τ ο π ο θ ε τ ή σ ε ι τ ο χ α ρ τ ί σ ε μ ί α α π ό τ ι ς θ έ σ ε ι ς 2 5 η , 2 6 η , 2 7 η , 2 8 η , δ η λ α δ ή π ε ρ ί π ο υ σ τ η μ έ σ η τ η ς τ ρ ά π ο υ λ α ς τ ω ν 5 2 χ α ρ τ ι ώ ν . Φτιάχν ου με γρα μμή -γραμμή τέσσερ ις στή λες από δεκατρ ία χαρτιά η κάθε μία. Ζητάμε να δει τ α χαρτιά της κάθε στή λης ο φίλος μας κα ι να μας πει σε π οια στή λη βρίσκεται τ ο « κρυφ ό» χαρτ ί. Τα χαρτιά της στήλης τα χρησιμοποιού με να φτιά ξουμε σειρά - σειρά άλλες τέσσερ ις στή λες . Τα υπόλοιπα χα ρτιά πηγα ίν ουν στην άκρη . Θα παρατηρήσ ου με ότ ι φτ ιάχν οντα ι μία στήλη με τέσσερ α χαρτ ιά που δεν μας ενδιαφέρει και τρεις α πό τρ ία χαρτιά η κάθ ε μία. Στο τετ ράγων ο 3Χ3 που φτιά χνετα ι το κρ υφό χα ρτί βρίσκεται στ ο κέντρ ο τ ου τ ετραγών ου (γ ιατί;) . Εδώ αρ χίζει τ ο θεατρικό μέρ ος της παράστασης. Με ερ ωτήσεις τ ου τύπου διά λεξε μία γρ αμμή ή διά λεξε έν α φύλο καθοδηγούμε τ ον φίλο μας να επιλέξει τ ελικά τ ο φύ λο που βρίσκεται στ ο κέντρ ο τ ου τετραγ ών ου. Το μέρ ος αυτ ό τ ου μαγικού σκοπό έχει να φανεί ότι οι κινήσεις που κά νει ο φίλος μας είναι α ποτ έλεσμα τυ χαίων γ εγον ότ ων που οδ ηγ ούν όμως μαγικά! στην α ποκάλυ ψη τ ου κρυφ ού χαρ τιού.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 80 Η αιτιολόγηση … Αν ο Μάγ ος κατ ορθώσ ει να τοποθετήσει τ ο χαρτ ί περίπου στη μέση της τρά που λας, δη λα δή σ ε μία α πό τις θέσεις 25 η , 2 6η , 27 η , 28η , τ ότ ε όπως φτιάχν οντα ι οι πρώτ ες τ έσσερις στήλε ς τ ο «άγνωστ ο» χαρτί θα είναι κά ποιο α πό τα τ έσσερα χαρτ ιά της 7 η ς γραμμής . Την δεύ τερη φορά ο φίλος μας έχει υ ποδείξει σε ποια στή λη βρίσκεται τ ο φύλο του. Ουσ ιαστικά γν ωρίζ ουμε ποιο είνα ι τ ο φύλο. Το 7ο χαρτί! Αλλά γ ια να γ ίνει θεα ματικότερ ο στ ο όλο σκηνικό σ υνεχίζου με… Σχημα τίζουμε τ έσσερις πά λι στή λες. Το χαρτ ί δεν μπορ εί να βρίσκεται στην 1 η στήλη . Θα βρίσκεται στο κέντρ ο του σχηματιζ όμενου τ ετραγώ νου! Παρατηρείστε τ ο διπλαν ό πίνα κα και οι όποιες απορίες θα λυθ ούν … Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ 7
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 81 38. Όταν ο Jack συλλαμβάνει τον κακό … Ο Μάγος δίνει στ ον φίλο τ ου την τρά πουλα για να την ανακατέψει όσες φορ ές θ έλει… Από την τράπου λα βγάζει ένα J και ένα ά λλο χαρτ ί που θα τ ο ον ομάζ ουμε «ο κα κός». Μετά σχη ματίζει δύ ο στοίβες τ ων 15 χαρτιών δίνον τας εν αλλά ξ ένα χαρτί για την μία και έν α χαρτί για την ά λλη στ οίβα . Η μία είναι τ ου μάγ ου κα ι η ά λλη τ ου φίλου μας. Κόβ ου με στην τύχη τις δύο στ οίβες ώστ ε να σχη ματιστ ούν δύο στοίβες τ ου φίλου κα ι δύ ο στοίβες τ ου Μάγ ου. Το «κα κό» τον τ οποθετούμε σε μία από τις δύ ο στ οίβες του φίλου μας και α πό πάνω τ ου βάζου με μία α πό τις δύ ο στοίβες του Μά γου . Τώρα ο φίλος μας έχει δύ ο στ οίβ ες κ αι ο Μάγ ος μία . Πάνω στην μονα δική στ οίβα τ ου Μάγου τ οποθ ετούμε τ ο J ανοικτό, έτσι θα είνα ι τ ο μονα δικό φύ λλο που θα φαίνετ α ι … Την στοίβα αυτή την σκεπάζουμε με την στοίβα τ ου φίλου μας που δεν έχει τ ον «κακό» . Τώ ρα και ο φίλος και ο Μάγ ος έχουν από μία στοίβα. Ο Μά γος πα ίρνει τ ην στ οίβα τ ου και την τ οποθετεί πάνω στην στοίβα τ ου φίλου του. Στο σημείο αυτ ό έχουμε μία στ οίβα από 32 τρα που λόχαρτ α όπου ένα είναι αν οικτό ( ο Jack) κα ι υπάρ χει κάπου χωμένος ο «κακός». Το μεγάλο ερ ώτημα είναι, θα βρ ει τον κακό ο Ja ck; Ο Μάγος αρ χίζει κα ι σ χηματ ίζει δύο στ οίβες α πό τρα πουλόχαρτα δίν οντας ένα φύ λο στην μία και ένα φύ λο στην ά λλη . Σε κάποια από τις δύ ο στ οίβ ες βρίσ κεται ο Jack που θα φαίνετ αι αφ ού είναι τ ο μόνο χαρτί που είναι αν οικτό. Την στ οίβα που βρ ίσκεται ο Ja ck την κρατά με κα ι με αυτήν σχη ματίζ ουμε δύ ο στοίβ ες όπως πριν . Πά λι σε μία από τις δύ ο στ οίβες θα είναι ο Jack , τη ν στοίβα αυτήν τη ν κρατάμε και σχη ματίζ ουμε πά λι δύ ο στ οίβες όπως πριν . Την δια δικασία αυτήν την συνεχίζ ουμε μέχρις ότ ου σχη μα τιστούν δύ ο στ οίβες με δύ ο χαρ τιά η κάθε μία. Στη ν μία θα είνα ι ο Ja ck με ένα άλλο φ ύλο. Ποιο; Μα ποιο άλλο με τ ον «κακό» φυσικά!
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 82 Η αιτιολόγηση … Στην α ρχή έχου με δύ ο στ οίβες Φ1 και Φ2 τ ου φίλου μας με συν ολικό αρ ιθμό χαρτ ιών 15 και δύ ο στ οίβες Μ1 και Μ2 γ ια τ ον Μάγ ο με 15 χαρτ ιά και αυτ ές . Ας υ ποθέσουμε ότι βάζουμε τ ον «κα κό» στη ν στ οίβα Φ1 και πάν ω της βάζ ουμε τ ην στ οίβα Μ1. Η διάταξη θα είν αι περίπου έτσι : Φ1ΚΜ1 , Φ2 οι δύο στ οίβες του φίλου μας και Μ2 η μία στ οίβα τ ου Μάγου. Μετά τ οποθετ ού με στην Μ2 τ ον Jack κα ι πάνω τ ους την στ οίβα Φ2 . Οπότε θα έχου με : Φ1 ΚΜ1 μία στοίβα για τ ον φίλο μας κα ι Μ2 JΦ2 η στ οίβα του Μάγ ου . Στο τέλος παίρν ου με την στ οίβα του Μάγ ου και την βάζ ου με πάνω α πό την στ οίβα του φίλου μας . Οπότε θα έχου με τη ν εξής διάτα ξη χαρτ ιών . Φ1ΚΜ1 Μ2 JΦ2 Παρατηρείστε ότι μετα ξύ των δύο φύ λλων K και J παρεμβάλλονται Μ1+Μ2 =15 φύλλα! Οπότε ότ αν ο Μάγος αρχίζει να σχη ματίζει τ ις δύ ο πρώ τες στήλες τα χαρτιά Κ και J θα βρεθ ούν στην ίδια στοίβα με 7 χαρτιά εν διά μεσά τ ους. Την δεύ τερη φορά τα χαρτιά K κα ι J πάλι θα βρεθ ούν στη ν ίδια στοίβα με 3 φύ λλα ανά μεσά τ ους. Την τρ ίτη φορά θα βρεθ ούν τελικά μαζί σε μία στ οίβα που περιέχει μόν ο δύ ο φύλλα. Έτσι ο Jack πιάν ει πάν τα τ ον «κακό» J Χ Χ ... ... Χ ... ... Κ Χ Χ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 83 39. Γρήγορες προσθέσεις στο ημερολόγιο και όχ ι μόνο … Πάρτε έναν οποιοδή ποτε μή να θ έλετε και σημειώστ ε … Ένα τ ετράγω νο 4 Χ4 μέσα σε αυτ ό για παρ άδειγμα ας υποθέσουμε ότι έχετε ση μειώσει τις ημερ ομην ίες που παρ ουσιάζ ονται στο διπλαν ό πίνακα . Ποιο είναι τ ο άθροισ μα όλων των η μερ ομη νιών; Ο Μάγος εύκολα θα πει … +  =  =23 27 4 15 16 240 2 ! Ενώ αν σημειώνατ ε έναν τετράγ ων ο 3 Χ3, για παράδειγ μα όπως τ ο διπλα νό, τότ ε θα έλεγ ε …  =  =2 14 3 14 9 126 ! Η εξήγηση είνα ι α πλή ας την παρακολουθήσ ου με … Σε έναν πίνακα 3 Χ3 ας ον ομάσ ουμε Η την ημερ ομην ία που αντιστ οιχεί στ ο κέντρ ο τ ου τετραγών ου οπότε ένα τ υπικό 3 Χ3 τετράγ ων ο θα έχει τη μορφή : Οπότε το άθρ οισ μα όλων τω ν η μερ ομηνιώ ν είναι ίσ ο με : Σ Η= 2 3 (1) . Σε έναν πίνακα 4 Χ4 ας ον ομάσ ουμε Χ -16 και Χ+16 τις η μερ ομην ίες των άκρ ων μιας διαγώ νιου του πίνα κα οπότε ένα τυ πικό 4Χ4 τετράγων ο θα έχει τ η μορφή : Οπότε το άθρ οισ μα όλων τω ν η μερ ομηνιώ ν είναι ίσ ο με Χ2 4 , όπου Χ τ ο ημιάθροισμα των η μερ ομην ιών που βρίσκοντ αι στα ά κρα μιας διαγώ νιου. Άρα ο τύ πος θα είνα ι Η Η Σ + = 2 11 44 4 2 (2) Παρατηρείστε πόσ ο μοιάζ ουν οι δύο τύ ποι … Για σας έχω κάτι κα λύτερ ο δείτε τ ον πα ρακάτω πίνα κα … 3 4 5 6 10 11 12 13 17 18 19 20 24 25 26 27 6 7 8 13 14 15 20 21 22 Η Η Η Η Η Η Η Η Η − − − − + + + + 8 7 6 1 1 6 7 8 Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ − − − − − − − − + + + + + + + + 16 15 14 13 9 8 7 6 6 7 8 9 13 14 15 16
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 84 Αν σ χηματ ίσου με οποιον δήποτ ε πίνα κα νΧν α ποδείξτ ε ότ ι ισχύ ουν παρ όμοιοι τ ύποι όπως πριν … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 85 40. Υπολογίζοντας αθροίσματα όρων της ακολουθίας Fibonacci Ζητάς από τον φίλο σου να γρά ψει έναν οποιοδή ποτε αριθμό από το 1 ως τ ο 10 και μετά από κάτ ω τ ου έν αν ά λλο αρ ιθμό α πό τ ο 1 ως τ ο 1 0. Από κάτω α πό τ ον δεύτερ ο αριθ μό τ ου ζητάς να γ ράψει τ ο άθροισ μα τ ου 2ο υ κα ι 3ο υ αρ ιθμού . Από κάτ ω τ ου να γρά ψει τ ο άθροισ μα τ ου 3ο υ κα ι τ ου 4ο υ αριθ μού που μόλις πριν υ πολόγ ισε. Την δια δικασία αυτή να την συνεχίσει μέχρ ι να γρ άψει συ νολικά δέκα αρ ιθμούς. Μετά τ ου ζητάς χρησιμοποιώντας κομπιουτ εράκι να υ πολογίσει το άθροισμα των αρ ιθμών αυ τών πιο γρήγ ορα α πό εσ ένα, αλλά μάταια … Ας δούμε ένα παρά δειγμα ας υποθέσ ου με ότ ι ξεκινά με με τ ους αριθμούς 2 και 3 τ ότ ε θα έχουμε την ακολουθία των αρ ιθμών που παρ ουσιάζ ονται στ ον διπλαν ό πίνα κα … Ο Μάγ ος απλώς θα υπολογ ίσει τ ο γιν όμενο  =11 34 374 ! Τους αριθ μούς 2 ,3,5 ,8,13,21 ,34,55 ,… που χρ ησιμοποιήσα με προηγουμέν ως τ ην ον ομάζου με ακολουθ ία Fibonacci . Ο Fi bona cci ήταν ο πρώτ ος που ασχολήθη κε με α κολουθία αριθμών που ξεκινά με με δύ ο αριθμούς κα ι μετά για τ ον κάθε επόμενο όρ ο τ ης ακολουθίας χρησιμοποιού με τ ο άθρ οισ μα των δύ ο πρ οηγ ούμενων όρων της . Το μαγ ικό που είπα με πρ οηγ ού μενα μπορεί να γίνει με οποια δή ποτε ακολουθία που παράγ εται με τον τρ όπο αυτ όν. Για παράδειγ μα γ ια το άθρ οισ μα : 4+7 +11 +18+2 9+47 +76 +123 +199 +322 =  =11 76 836 Δηλαδή με 11 φ ορ ές τ ον 4 ο όρ ο από τ ο τ έλος ! Αν ο πολλα πλασιασμός με τ ο 11 σας δυσκολεύει δεν έχετε παρά να τον σκεφθείτ ε σαν πρ όσθεση δη λαδή … Γιατί όμως συ μβαίν ει αυτ ό; 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 7 6 7 6 8 3 6
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 86 Η αιτιολόγηση … Ας γρά ψουμε με γενικούς αριθ μούς μια τέτ οια ακολουθία … Το άθρ οισμα τ ων δέκα πρ ώτων όρων είναι σημειω μέν ο με κόκκινο κα ι είνα ι ίσο με 55χ+88 ψ Παρατηρείστε ότι τ όσο κά νει κα ι τ ο γιν όμεν ο του 4 ο υ όρ ου από το τ έλος (5χ+8 ψ) με τ ο 11. Για την ακολουθία Fi bonac ci υ πάρ χουν ωραίοι τύ ποι που μπορ εί να ανακα λύ ψει κα νείς αν ασχοληθ εί. Σας προτρέπω να αποδείξετ ε τ ον τύ πο : n nF F F ... F F F++ + + + = −1 2 3 2 2 που μπορ ού με επίσης να χρησιμοποιήσ ουμε γ ια να βρ ίσκουμε το άθροισ μα τ ων n όρων της ακολουθ ίας. χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ χ χ ψ ψ + + + + + + + + + 2 2 3 3 5 5 8 8 13 13 21 21 34 55 88
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 87 41. Ένα μαγικό με διανύσματα Με τη βοήθεια εν ός διαν ύσματ ος μπορ ού με να δηλώσου με τη θέση μας στο επίπεδο. Ας υ ποθέσουμε ότι θέλουμε ν α μετακινηθούμε α πό τ ο σημείο Ο πρ ος τ ο σημείο Α, τ ότε μπορ ούμε να πά με 3 μονάδες δεξιά και μετά 2 μονά δες πάν ω. Τι κινήσεις αυτές τ ις εκφράζουμε με τη βοήθεια του ζεύγους (3 ,2) . Όμοια αν θ έλου με να πά με α πό τ ο Ο πρ ος το Β τ ο διάνυσμα θέσης τ ου ση μείου Β είναι τ ο ( -3 ,4) . Όμοια για τ ο σημείο Γ τ ο διάνυσμα που δη λών ει τη θ έση τ ου Γ σε σχέσ η με τ ο Ο είναι τ ο (5,- 2). Και τώρα στ ο μαγικό μας … Σου ζητάω να σκεφτείς ένα χα ρτί από τα παρα κάτω : (Ας υ ποθέσ ουμε ότ ι σκέφτηκες τ ο 6 κούπα )
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 88 Για να σε μπερ δέψω βάζω κα ι μερ ικά ακόμα χαρτιά εν διά μεσά τους … Σου ζητώ να ξεκινήσεις α πό τ ο χαρτί που σ κέφτηκες και ν α κινηθείς πάνω ή κάτω , αριστερά ή δεξιά με τη β οήθεια εν ός διανύσ ματ ος που τ ο άθρ οισμα τ ων σ υντεταγ μέν ων να είν αι άρτιος αριθ μός ( όταν κιν ούμαστ ε πάνω ή δεξιά τ ότε ο αντίστοιχος αρ ιθμός είνα ι θ ετικός, εν ώ αν κιν ού μαστε πά νω ή αριστερά θα είνα ι αρ νητικός) (Ας υ ποθέσ ουμε ότ ι κινήθηκες με τ ο διάν υσμα (1 ,1) και βρίσκεσαι τώρα στ ο χαρτ ί 5 μπαστ ούνι) Τότ ε εγώ ο μέγας μάγ ος θα γυ ρίσω μερικά χαρτιά κα ι ας υποθέσουμε ότι βρισκόμαστε τώρα όπως τ η επόμενη διάτ αξη …
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 89 Μετά σου ζητ ώ ν α μετα κινηθείς α πό τ ο χαρτ ί που είσα ι (5 μπαστ ούνι) κατά διάνυσμα με άθρ οισμα συντ εταγμένων ά ρτιο. (Ας υ ποθέσ ουμε ότ ι μετα κινείσαι κατά διάνυσ μα ( -1 ,1) κα ι βρίσκεσαι στ ο Κ κούπα ) Εγώ ως μέγας μάγος βγάζω μερικά χαρτιά ακόμα …
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 90 Τέλος σου ζητώ να μετακινηθείς με τη β οήθεια εν ός διαν ύσματος με περιττ ό άθροισμα συνταγ μέν ων. Εσύ κάνεις την αναγκαία κίνηση και εγ ώ μπορ ώ ν α μαντέψω την θέση σ ου… Είναι τ ο 7 μπαστ ούνι! Η αιτιολόγηση … Στην α ρχή υ πάρχουν 10 φύλλα στις θέσεις Α κα ι μετά συμπληρών ονται με άλλα 10 φύλλα στις θέσεις Π . Όταν ο φίλος μας μετα κινηθεί κατά ένα διάν υσμα από οποιοδήποτε φύ λλο της ομά δας Α αν το άθρ οισ μα τ ων συντεταγ μέν ων του διανύσματος είναι άρτιο θα βρ εθεί κα ι πά λι σε χαρτ ί της ομά δας Α, ενώ αν το άθρ οισ μα τ ων συντετα γμέν ων είν αι περιτ τό θα βρεθεί σε φύ λλο της ομά δας Π . Στην α ρχή ο Μάγ ος ζητά α πό τ ον φίλο τ ου να μετα κινηθ εί κατά διάνυσ μα με άθρ οισ μα συ ντεταγ μένω ν ά ρτιο, οπότε ο φ ίλος θα βρεθεί σε φύλλο της ομά δας Α και ο μάγ ος διώχν ει 5 φύ λλα τ ης ομά δας Π. Μετά ο Μάγ ος ζητά από τ ον φίλο τ ου να μετα κινηθεί κατά διάν υσμα με άθρ οισ μα και πάλι άρ τιο. Ο πότ ε ο φίλος μας και πά λι θα είνα ι σε χαρτί της Α ομά δας και ο Μάγ ος βγά ζει 4 φύλλα α πό την ομά δα Π. Με την διαδικασία αυτή μένει ένα φύλλο τ ης ομά δας Π. Ο πότ ε όταν τελικά ο Μάγ ος ζητά ν α μετα κινηθεί ο φίλος τ ου κατ ά διάνυσ μα με περιτ τό άθρ οισ μα αν αγκαστικά ο φίλος τ ου θα πά ει στο μοναδικό φύλλο της ομά δας Π που υπάρ χει ακόμα μέσα στο παιχν ίδι. Είναι τ ο φ ύλλο που θα πει με σιγ ουριά ο Μάγ ος ! Π Α Π Α Π Α Π Α Π Α Π Α Π Α Π Α Π Α Π Α
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 91 42. Κάθε αριθμός είναι μαγικός Πες στον φίλος σ ου να διαλέξει έναν οποιον δήποτ ε τ ετρα ψήφιο αριθμό. Π.χ. τ ον 5637 Μετά να γρά ψει τρ εις αριθμούς τ ον έναν κάτ ω από τον άλλον κα ι να τ ους πρ οσθέσ ει. Ο ι α ριθμοί αυτ οί θα είναι : ο αρ ιθμός - ψηφ ίο τ ων χιλιά δων τ ου αριθμού που διά λεξε, ο διψήφιος αρ ιθμός που σ χηματ ίζεται από τα ψηφία των χιλιάδων και εκατοντάδων του αριθμού που διάλεξε και ο τ ριψήφιος αρ ιθμός που σχηματίζετ αι από τα ψηφία τ ων χιλιά δων , εκατ οντά δων και δεκάδων του αρ ιθμού που διά λεξε. Έπειτα του ζητά να πολλα πλασιάσει τ ο άθρ οισμα αυτ ό με το 9. Τέλος στ ο γιν όμεν ο α υτό να πρ οσθέσει τ ο άθρ οισμα των ψηφίων του αρ χικού αρ ιθμού. Τότ ε ω! τ ι θα ύμα θα πρ οκύψει και πάλι ο αρχικός τετραψήφιος αριθ μός. Αυτό συ μβαίνει μαγικά μόν ο σ ε α υτόν τ ον αριθ μό που διά λεξε ο φίλος μας ή όχι κα ι ΓΙΑΤΙ; Η αιτιολόγηση … Έστω ο αριθ μός χψζω τ ότε σύ μφωνα με τ ις οδηγίες έχουμε : (χ χψ χψζ) (χ ψ ζ ω) (χ χ ψ χ ψ ζ) (χ ψ ζ ω) χ χ ψ χ ψ ζ χ ψ ζ ω χ ψ ζ ω χψζω + +  + + + + = + + + + +  + + + + = + + + + + + + + + = + + + = 9 10 100 10 9 9 90 9 900 90 9 1000 100 10 5 5 6 5 6 3 6 2 4  =624 9 5616 + + + =5 6 3 7 21 + =5616 21 5637
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 92 43. Το μαγικό των γενεθλίων Το παρακάτ ω μαγικό είναι ένα κλασικό πρόβ λημα σε έναν τ ομέα των Μαθηματικών που λέγεται Θεωρ ία Πιθανοτήτων . Με τη βοήθεια του μπορ είτε να κάν ετε μαγ ικά αρκεί ο αρ ιθμός των θ εατών να είναι μεγ άλος. Πόσος μεγάλος ; Ας πούμε 50 άτ ομα πάνω κάτ ω. Το μαγ ικό ξεκινά κα ι τελειώνει ! … με την πρόβ λεψη από μέρ ους σας ότ ι στ ο κοιν ό υπάρχουν τ ουλάχιστ ον δύο άτ ομα που γιορτάζ ουν την ίδια μέρα του χρ όνο υ. Πράγματι θα υπάρ ξουν δύ ο τ ου λάχιστον άτ ομα με την ίδια ημερ ομην ία γέννησης , μην εκπλαγείτ ε ν α υ πάρ ξουν και τρ ία ή περισσ ότερ α α λλά …τ ι συμβαίν ει εδώ … , κάτι μαγικό, ή α πλώς μαθη ματικό.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 93 Η αιτιολόγηση … Ας ξεκινήσουμε με κάτ ι πιο απλό. Ας υ ποθ έσουμε ότι έχουμε 5 φίλους. Π οια η πιθαν ότητα να υ πάρχουν τ ου λάχιστον δύ ο από αυτούς , που να έχουν γεν έθλια τ ην ίδια μέρα ; Αν τη ν πιθαν ότητα αυτή δυσκολευ όμαστ ε ν α τη βρ ούμε, μήπως μπορ ούμε να βρ ού με τη πιθανότ ητα κανείς να μην έχει γενέθλια με κά ποιον ά λλο την ίδια μέρα; Δηλα δή όλοι να γιορτάζ ουν σε διαφ ορετικές ημερομηνίες; Πόσες είνα ι οι ιδαν ικές περιπτώσεις, ώστε να συ μβαίνει κάτ ι τέτοιο; Ο 1 ος μπορ εί να έχει γεννηθ εί σε μία α πό τ ις 365 μέρες τ ου χρόν ου . Ο 2 ος σ ε μία από τις 364 υ πόλοιπες μέρ ες. Ο 3 ος σ ε μία από τις 363 υ πόλοιπες μέρ ες τ ου χρ όν ου . Ο 4 ος σ ε μία από τις 362 και ο 5ος σε μία από τις 361 μέρ ες Άρα, συν ολικά έχου με :     =365 364 363 362 361 6302555018760 ευν οϊκές περιπτώσεις σε σύν ολο =5 365 6478348728125 περιπτώσεων. Άρα , η πιθαν ότητα είναι .= 6302555018760 0 972 6478348728125 Οπότε η πιθαν ότητα σε πέντ ε άτ ομα δύ ο να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα είναι . .− =1 0 972 0 028 , δη λα δή κάτι τέτ οιο είναι α πίθαν ο. Τι σ υμβαίν ει όμως , όταν τα άτ ομα που εξετάζουμε είναι πολλά . Πόσα; , 30 ας πούμε, ή 40 ή 50 ή 60 ή … Υπάρ χει μή πως έν ας αρ ιθμός ατ όμων κα ι μετά , που η πιθ ανότητα του εν δεχομέν ου « δύο τ ου λάχιστ ον άτ ομα να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα » να είνα ι μεγά λη; Πόση μεγά λη; Πολύ μεγά λη … , ας πούμε 90 % . Μάλλον αυτ ό δεν μπορεί ν α γ ίνει, θα σκεφτείτ ε. Κι’ όμως, ρίξτε μια ματιά στ ον διπλαν ό πίν ακα, που έχει υπολογ ισθεί η πιθαν ότητα τ ου ενδεχομένου αυ τού με διάφορ ες τ ιμές τ ου πλήθ ους ν των ατ όμω ν που εξετάζ ουμε. ν Ρ(ν) 10 11,7% 20 41,1% 23 50,7% 30 70,6% 50 97% 57 99% 100 99,9999%
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 94 44. Φτιάχνοντας μαγικά τετράγωνα Ζητάς από τον φίλο σου να σ ου πει έναν αριθ μό α πό τ ο 2 5 έως το 100. Μετά εσύ φτιά χνεις ένα μαγικό τετ ράγων ο 4Χ4 όπου … … τ ο άθρ οισμα της κάθε στήλης ή γραμμ ής ή διαγ ώνιου είναι ίσο με τον αρ ιθμό που διάλεξε ο φίλος σ ου. … κάθ ε 3 Χ3 τετράγ ωνο έχει άθρ οισ μα των τεσσάρ ων κορυ φών του τ ον α ριθμό αυτ όν … κάθ ε τ ετράγων ο 2Χ2 α ποτελείτα ι α πό αριθμούς με άθροισμα τον αριθ μό αυτ όν … οι τέσσερ ις αρ ιθμοί που βρίσ κοντ αι στις κορυφές του μεγάλου τετραγών ου έχουν άθρ οισμα τον α ριθμό αυτ ό. Έχεις κατ ά τρ όπο μαγικό φτιά ξει ένα τετράγ ων ο αφιερω μένο στον αριθμό που επέλεξε ο φίλος σου . Η κατασκευή … Η κατασκευή στηρίζετα ι στη ν κατάλλη λη συμπλήρωση τ ου τετραγ ών ου … Ας υ ποθέσουμε ότι ο φ ίλος μας διαλέγει τ ον αριθμό 37 Κάν ου με την αφαίρ εση 37 -21 =16 Στη θ έση τ ου Α βάζουμε τ ο 16, στη θέση του Β το 16+1 =17 , στη θέση τ ου Γ το 1 6 +2 =18 και τέλος στη θέση τ ου Δ τ ο 1 6 +3 =19. Το μαγ ικό τετράγ ωνο τ ου αριθ μού 37 είναι τ ο διπλαν ό Παρατηρείστε … το άθροισμα κάθε στή λης ή γρα μμής ή διαγών ιου… το άθροισμα των τεσσάρ ων αριθ μών στις κορυφές τ ου … το άθροισμα των κορυφ ών κάθε τετρ αγών ου 3Χ3 … το άθροισμα όλων τ ων αριθμών κάθε τετραγών ου 2Χ2 που μπορ ούμε να φτ ιάξου με … Β Α Δ Γ 8 11 1 2 7 12 3 9 6 10 5 4 8 11 1 2 7 12 3 9 6 1 1 0 7 16 19 5 4 18
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 95 45. Ένα απλό κόλπο με χαρτιά Κάθε φ ύλλο σε μία τρά πουλα έχει κα ι μία α ξία που α ποτιμάται σε ένα αρ ιθμό. Η αξία του έχει να κάνει με τ ον α ριθμό που υπάρχει πά νω στην κάρτα κα ι αν η κάρτ α είναι φιγ ούρα τ ότε ο Βαλές α ποτ ιμάτα ι στ ον αριθ μό 11 , η Ντά μα στ ο 12 και ο Ρήγας στο 1 3. Ζητάς από τον φίλο σου να δια λέξει στην τύχη ένα χαρτί. Για παράδ ειγμα δ ιαλέγει τ ο J. Μετά τ ου ζητάς να προσθ έσει την α ξία του χαρτιού που έχει επιλέξει με την α ξία του επόμεν ού του. Δηλαδή για τ ο π αράδειγμά μας ο φίλος μας κάνει την πρ όσθ εση 11+12 =23. Μετά τ ου ζητάς να πολλαπλασιάσει τ ο άθρ οισμα με τ ο 5 . Άρα υπολογίζει  =23 5 115 Τέλος του ζητάς να πρ οσθέσ ει 1 α ν τ ο φύλο είναι σπαθ ί, 2 αν είναι κού πα, 3 αν είν αι μπαστούνι και 4 αν είναι καρ ό. Το τελικό αποτ έλεσμα στ ο α νακοινώ νει. Άρα για το παρ άδειγμά μας ο φίλος μας κ άνει την πρόσθ εση 115+3 =118 και τ ον αρ ιθμό αυτ όν σ ου τ ο λέει. Εσύ ως μέγας Μάγ ος λες α πλά ότι τ ο χαρτ ί που διάλεξε είναι τ ο Βαλές κού πα. Η αιτιολόγηση … Και αυτ ό τ ο κόλπο βασίζεται στ ο δεκαδικό τ ρόπο γ ραφής των αριθμών που χρησιμοποιούμε. Δη λαδή αν ο φ ίλος μας δια λέξει στην αρχή ένα φ ύλο χ { , , , , , , , , , , , , } 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 τότε μετά κάν ει την πρόσθ εση χ (χ ) χ+ + = +1 2 1, μετά τ ον πολλα πλασιασμό ( χ ) χ+  = +2 1 5 10 5 και στ ο τέλος προσθέτ ει έναν αρ ιθμό ψ { , , , } 1 2 3 4 , άρα κατ αλήγ ει στο α ποτ έλεσμα χ ψ+ +10 5. Οπότε έχου με ότι χ ψ χ ψ+ + =  + =10 5 118 10 113 άρα επειδή τ ο ψ είναι ένας αριθ μός α πό τ ο 1 έως τ ο 4 θα πρ έπει να ισχύ ει ότι ψ=3 και το 10 χ=1 1 0 ά ρα χ=1 1. Οπότε το φύ λλο που διά λεξε έχει α ξία 11 και τ ο σχέδιο του αντιστοιχεί στ ον αριθ μό 3 , ά ρα είνα ι Βαλές κού πα .
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 96 Παρόμοιο τρικ είνα ι και το παρακάτ ω … Λες στ ον φίλο σ ου να πάρει ένα τρα πουλόχαρ το. Κάποιος από το κοινό , λέει έναν αρ ιθμό από το 1 έως τ ο 25, τ ον οποίο ο φίλος σ ου τ ο πρ οσθέτει με την α ξία τ ου χαρτιού που έχει επιλέξει. Στην σ υνέχεια τ ο άθρ οισ μα αυτ ό πολλα πλασιάζε ται με τ ο 10. Μετά προσθέτει 1 μονά δα αν τ ο φύ λλο είνα ι μπαστούνι, 2 αν είναι κού πα, 3 αν είν αι σπαθί κα ι 4 αν είναι καρ ό. Τέλος κά ποιος α πό τ ο κοιν ό λέει κα ι έναν αριθμό α πό τ ο 25 έως το 85 που τον αρ ιθμό αυτ όν τον πρ οσθέτει στ ο πρ οηγ ού μενο άθροισ μα. Ο τελικός αριθ μός ανα κοινών εται κα ι … εσύ ως μέγας Μάγ ος λες α πλά τ ο σχή μα και την αξία του χαρτιού που επιλέχθηκε. Ανακα λύ ψτε τα Μαθη ματικά πίσω α πό τα Μαγικά αγα πητ οί αναγνώστες μου …
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 97 46. Παιχνίδι με άρτιους και περιττούς … Κόβ ου με 8 τ ετράγω να χαρτάκι α. Στο κάθ ε τ ετράγω νο γράφ ου με από ένα αριθ μό στη κάθ ε πλευρά του έναν με κόκκιν ο στυ λό και τ ον άλλο με μαύ ρο. Έτσι υπάρ χουν σημειω μέν οι στο 1ο τετρά γων ο οι αρ ιθμοί 1 και 2 . Στο 2ο τετράγ ων ο οι αρ ιθμοί 3 και 4. Στο 3ο οι αριθμοί 5 και 6 , στο 4ο οι αριθ μοί 7 και 8, στ ο 5ο οι αριθ μοί 9 κα ι 10,στ ο 6ο οι αριθμοί 11 και 12,στ ο 7ο οι αριθ μοί 13 και 14 και τέλος στο 8ο τετράγων ο οι α ριθμοί 15 κα ι 16 . Τα οκτ ώ α υτά τετράγ ωνα τα δίν ου με στ ον φ ίλο μας να τα ανακατέψει και μετά να τα βά λει πάνω στο τρα πέζι όπως να είναι στην τύχη … Θα κά νου με μία πρ όβ λεψη γ ια το άθρ οισ μα τ ων εν δείξεω ν που φαίνοντα ι στα τ ετράγωνα όπως τ υχαία έχουν τ οποθετηθεί από τον φίλο μου . Το μόν ο που θ έλω ν α γν ωρίζω είναι πόσα κόκκινα νού μερα φαίν οντα ι … Αν γ ια παρά δειγμα έχουμε 4 «κόκκιν ους» αριθ μούς τ ότ ε εγώ ο μέγας Μάγ ος θα κάνω την πρ όβ λεψη ότ ι τ ο άθρ οισμα τ ων ενδείξεων που φαίνον ται στα οκτ ώ τετράγ ωνα είνα ι … 68! Η αιτιολόγηση … Παρατηρείστε ότι όλοι οι κόκκιν οι – περ ιττοί α ριθμοί έχουν άθροισ μα 64 και όλοι οι μαύρ οι – άρτιοι αριθ μοί έχουν άθροισ μα 72 . Αν λοιπόν υ πάρχουν 4 κόκκιν οι αριθμοί τ ότ ε τ ο άθροισ μα τ ων αριθμών που φαίν οντα ι θα είναι 72 -4 =68 . Τόσ ο απλά !
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 98 47. Φτιάχνοντας ένα ρολόι με νομίσματα Τοποθ ετείς 12 ν ομίσ ματα κυ κλικά σαν να είν αι ένα ρ ολόι … έτσ ι ώστε όλα τα ν ομίσμα τα ν α δείχν ουν για παρ άδειγμα την ήπειρ ο της Ευρ ώπης ( κεφαλή ) Εσύ ο μέγας Μάγ ος γ υρνάς και δίνεις τη ν εντ ολή ο φίλος σ ου να γυρίσει έξι ν ομίσματα όποια αυτ ός θέλει … Ας υ ποθέσουμε ότι ο φίλος μας έχει φτιά ξει το «ρολόι» μας κάπως έτσ ι : Στη συ νέχει εσύ ο μέγας Μάγ ος με γ υρισμένη την πλάτη σ ου, λες να γυρίσει ο φίλος σ ου όσα νομίσματα βρίσκοντα ι στ ις θ έσεις 1,4 ,5,8 ,9,1 0 (αν είναι γρά μματα θα γίν ουν κεφαλή κα ι αν είναι κεφαλή θα γίν ουν γράμματα) . Ο πότ ε έχουμε μία εικόνα σαν τη διπλανή … Τότ ε ρ ωτάς πόσα γ ράμματα υπά ρχουν … και σ ου απαν τάει ο φίλος σ ου ότ ι υπάρ χουν 8. Τότ ε εσύ λες θα φτιά ξω δύο ομά δες ν ομισ μάτων που θα περιέχει η κάθε μία 4 νομίσματα με γρά μματα κα ι 2 με κεφα λή ! Γι’ αυτ ό θ έλω να πάρεις μαζί, σαν μία ομάδα τα ν ομίσ ματ α που βρίσκοντ αι στις θ έσεις που σχη ματίζ ουν τις εξής ώρες : 1 2.10 , 6 πα ρά 5 κα ι 7.15 . Τα ν ομίσματα αυ τά είναι {Κ,Γ,Γ ,Γ,Κ,Γ }! Μία ομά δα νομισμάτων που α ποτελείτα ι α πό 4 γρά μμα τα και 2 κεφαλές. Πως γίν εται αυτ ό;
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 99 Η αιτιολόγηση … Η πρ ώτη εντ ολή που δίν ει ο Μάγ ο ς είνα ι να γυρίσουν τα ν ομίσματα στις θέσεις 1,4,5 ,8,9 ,10 και η δεύτερη εντολή είναι να πάρει ο φίλος του τ α ν ομίσματ α που βρίσκοντ αι στις θ έσεις ώρ ες : 12.10, 6 πα ρά 5 και 7 .15 δη λα δή τ α νομίσματα που βρ ίσκονται στις θέσεις : 12,2,6 ,11,7 ,3. Παρατηρ εί στε … είναι οι θέσεις που δεν έχει γ ίνει καμιά α λλαγή α πό τον μάγ ο κατά τη πρ ώτη εντ ολή τ ου! Ας παρακολουθήσ ου με τις δυνατές εξελίξεις τ ου πα ιχνιδιού … Αρχικά είχα {Κ,Κ,Κ,Κ ,Κ,Κ,Κ,Κ,Κ,Κ,Κ,Κ} Μετά έχω {Κ,Κ,Κ,Κ,Κ,Κ,Γ ,Γ,Γ ,Γ,Γ ,Γ} χωρίς να γνωρ ίζου με που βρίσκοντ αι τα νομίσμα τα με έν δειξη Γ ή Κ. Όταν δίν εται η εντ ολή να γυρ ίσουν τ α ν ομίσματ α που βρ ίσκοντα ι στις θέσεις 1 ,4,5 ,8,9 ,10 μπορεί να υ πάρχουν {12Κ κα ι 0Γ } ή (10 Κ και 2Γ } ή {8 Κ και 4Γ } ή {6Κ κα ι 6Γ } ή {4 Κ και 8Γ } ή {2Κ κα ι 10Γ}. Για να δούμε τι γ ίνεται σε μία περίπτωση και όμοια μπορ ούμε να δουλέψου με και στις υ πόλοιπες ( δεν επιλέγω τις περιπτ ώσεις {12Κ,0Γ} και {0 Κ,12Γ } ως τετρ ιμμένες περιπτώσ εις …) Ας υ ποθέσουμε λοιπόν ότι υ πάρχουν 10 Κ και 2Γ θα α ποδείξω ότι η επιλογή τ ων νομισμάτων στις θέσεις 2 ,3,6 ,7,11 ,12 περιέχει ακριβώς 1Γ. Θα τρ έξου με τ ο παιχνίδι ανά ποδα με τη β οήθεια σχη μάτω ν … Έστω ότ ι δεν έχει κανένα … πριν άτοπο διότι υπάρχουν μόνο 4 Γ και όχι 6 όπως θα έπρεπε.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 100 Έστω ότ ι έχει δύ ο … πριν άτοπο διότι υπάρχουν μόνο 4 αντί γ ια 6 Ενώ η περ ίπτ ωση να υπάρ χει ακριβώς ένα … πριν καταλήγ ει σε πιθανή περίπτωση Με τ ον ίδιο τρ όπο εποπτ ικής απόδειξ ης είμαστε σε θέση να αποδείξου με την καθ ολικότητα τ ου μαγικού , που όπως β λέπετ ε στηρίζεται για ά λλη μία φ ορά σε μαθη ματικά !
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 101 48. Ταιριάζοντας τα φύλλα της τράπουλας Δίνεις τα 52 τρ απου λόχαρτα στ ον φ ίλο σου και του λες τα 26 από αυτά να τα γυρ ίσει ώστε να φαίν οντα ι οι τ ιμές κα ι τα σ χέδιά τους και να τα βάλει όπως είναι πά νω στα υπόλοιπα 26 κλειστά φύλλα . Μετά να ανακατ έψει κα λά τα φύλλα όσ ες φ ορές θέλει. Στη συ νέχεια να πάρ ει τα 26 πρώ τα φύ λλα και τα άλλα 26 να σου τα δώσει. Πια είναι η πιθανότ ητα ν α έχεις εσύ και ο φίλος σ ου ίδιο αριθμό ανοικτών κα ι κλειστών φύ λλων ; Ελάχιστη, είναι περίπου 0,0000000 1 … Κι’ όμως εσ ύ ο μέγας Μάγ ος κατ ορθώνεις να κάνεις τα μα γικά σου πίσ ω α πό την πλάτη σου στα 26 φύλλα που σ ου έδ ωσ ε ο φίλος σ ου και μετά … Ω! τ ου θαύμα τος εσύ κα ι ο φίλος σ ου έχετε τον ίδιο αριθ μό ανοικτών κα ι κλειστών φύ λλων. Η αιτιολόγηση … Όταν θα πάρεις την τρά πουλα ο αριθμός των αν οικτών φύ λλων του φίλου σ ου είν αι ίδιος με τον αρ ιθμό των κλειστ ών φύ λλων που έχεις εσύ. Οπότε πίσω από την πλάτη σου κάνεις μία μικρή κλεψιά ! . Γυρίζεις την τράπου λα ανά ποδα , και τότε ο αρ ιθμός αν οικτών και κλειστών φύλλων τ ων δικών σ ου και τ ου φίλου σ ου είνα ι ίδιος ! Αν βέβα ια ο φίλος σ ου ξέρει μαθηματ ικά θα καταλάβει ότ ι τ ον έκλεψες, αφού η μον αδική περίπτωση να υπά ρχουν ίδιος αριθμός αν οικτών ή κλειστ ών φύλλων στα δύο μέρη των 2 6 φύλλων είνα ι ν α έχει στην κατοχή του 13 αν οικτά φ ύλλ α.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 102 49. Καιρός για στοιχήματα … Χωρίζω την τρά πουλα σε τ έσσερις στοίβες. Βάζω στ οίχημα ότι σε μία τ ου λάχιστον α πό α υτές το πρώτ ο χαρτί τους θα είναι Άσος ή 2 ή 3 ή 4. Ποιος είναι μέσα; Έχω κα ι ά λλη πρ οσφορά . Χωρίζω την τρά πουλα σε πέντε σ τοίβες . Βάζω στ οίχημα ότι σε μία τ ου λάχιστον α πό α υτές το πρώτ ο χαρτί τους θα είναι Άσος ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 . Λοιπόν στ οιχημα τίζει καν είς; Μη στ οιχημα τίζετε με μαθη ματικό γιατ ί πάντα με τις πιθαν ότητες δου λεύει … Η αιτιολόγηση … Για να δούμε πόσ ο πιθανό είναι να κερδίσει κά ποιος στ ο πρώτ ο στοίχη μα . Υπάρ χει πιθαν ότητα ,= 16 0 307 52 να κερ δίσ ουμε α νοίγον τας τ ο φύλλο της 1 η ς στοίβας. Η πιθαν ότητα να κερδίσου με αν οίγοντας το φύλλο της 2η ς στ οίβας είνα ι . = 36 16 0 217 52 51 . Όμοια η πιθανότητα να κερδίσου με αν οίγ οντας τ ο φύ λλο της 3 η ς στ οίβας είνα ι .  = 36 35 16 0 152 52 51 50 . Τέλος η πιθαν ότητα να κερδίσουμε αν οίγ οντας το φύλλο της 4η ς στ οίβας είνα ι .   = 36 35 34 16 0 105 52 51 50 49 . Άρα η πιθαν ότητα ώστε να υ πάρχει ένα τ ου λάχιστ ον α πό τα χαρ τιά αυτά σε μία από τις στοίβες είνα ι . . . . .+ + + =0 307 0 217 0 152 0 105 0 782 ! Αρκετά κα λά , δεν ν ομίζετε; Όσο για τ ο δεύτ ερ ο στ οίχημα αυτ ό πλέον δεν είναι πιθαν ότητα , είναι βεβαιότητα αφ ού η πιθαν ότητα να κερδίσουμε είναι 0.92 7!
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 103 50. Το μαγικό άθροισμα Δίνεις σε τρεις φίλους σ ου να διαλέξουν μία από τις κάρτ ες : 1η κάρτ α : 4286 / 5771 / 90 83 / 6518 / 2396 / 68 60 / 2909 / 5546 / 8 174 . 2η κάρτ α : 5792 / 6881 / 75 47 / 3299 / 7187 / 65 57 / 7097 / 5288 / 6 548. 3η κάρτ α : 2708 / 5435 / 68 12 / 7343 / 1286 / 52 37 / 6470 / 8234 / 5 129 . Μετά να διαλέξει ο κάθε ένας έναν αρ ιθμό. Ας υ ποθ έσου με ότ ι ο πρώτ ος διά λεξε τ ον αριθ μό 4286 , ο δεύτ ερος τ ον αριθμό 5792 και ο τρίτ ος τ ον α ριθμό 5435. Τότ ε εσύ ο μέγας Μάγ ος κάνει μία πρόβ λεψη που τη γράφ ει σ ε ένα χαρτί που τ ο δίνει σε έν αν ά λλο φίλο της παρέας . Στη συ νέχεια ζητάς α πό τ ον πρώτ ο να σ ου πει ένα οποιοδήποτ ε ψηφίο από τον αρ ιθμό που διάλεξε, όμοια κα ι α πό τους ά λλους δύ ο. Ας υ ποθ έσου με ότι σου λέν ε τα ψηφία 8 ,5,3 . Εσύ σχηματίζεις τ ον αριθ μό 853 κα ι τον γράφ εις στ ον πίνακα . Μετά ζητάς α πό τον κάθε ένα να σου πουν και α πό έν α ά λλο ψηφίο του αρ ιθμού που διά λεξαν. Ας υ ποθέσουμε ότι λέν ε 4 ,9,4 και γ ράφεις κάτ ω α πό τ ον πρώτ ο αριθμό τ ον 494. Ζητάς πά λι τα ίδια και ας υ ποθέσ ου με ότι σου λέν ε τα ψη φία 6,7,5 . Τότε γράφεις κάτ ω από τους ά λλους δύ ο τ ον αριθ μό 6 75. Τέλος του ζητάς κα ι τα τ ελευταία ψηφία που έχουν απομείνει και σου λένε 2,2 ,5 και εσ ύ γράφ εις κάτω α πό τ ους τρεις προηγούμεν ους αριθ μούς και τ ον 2 25. Προσθέτεις τ ους αριθ μούς 853 +494 +675 +225 =2247 , α κριβ ώς τ ον αριθμό που έχεις πρ οβλέψει κα ι γρ άφεται στ ο χαρτί που έχεις δώσει σε έναν άλλο φίλο σ ου . Πως γίν εται αυτ ό; Μαγικό ή απλώς μαθη ματικ ό!
Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 104 Η αιτιολόγηση … Αν πρ οσέξετε καλά τ ους αριθμούς που βρίσ κον ται στην κάθε κάρτα θα δια πιστώσετε ότ ι στη ν 1 η κάρτα όλα ψηφ ία όλω ν των αριθμών έχουν άθροισμα 20, στην 2 η κάρτ α 23 κα ι στη ν 3 η 17. Όταν γράφ ου με τ ους τ υχαίους αριθ μούς τ ον έν αν κάτω από τον ά λλο θα έχου με μία εικόνα σας την διπλανή … Παρατηρείστε η 3 η στήλη δίν ει άθροισμα 17 όσ ο και το άθροισμα των ψηφίω ν όλων των αρ ιθμών της 3 η ς κάρ τα ς, όμοια η 2η στήλη δίνει άθροισμα 23 και η 1 η 20. Άρα όταν πρ οσθέτουμε τ ους τριψήφιους θα έχου με 3+4+5 +5 =17 γράφου με το 7 κα ι έχουμε 1 κρατ ούμεν ο οπότ ε 5 +9 +7 +2 +1=24, γράφου με 4 και έχου με κρ ατούμεν ο 2, τ έλος 8+4 +6 +2 +2 =22. Άρα τ ο άθρ οισμα θα είναι ΠΑΝΤΑ 224 7! 8 5 3 4 9 4 6 7 5 2 2 5
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 105 51. Chinese remainder trick (theorem ) Ζητάς από τον φίλο σου να σκεφθ εί έναν αριθ μό μικρότ ερ ο του 105. Μετά να σου πει ποιο είνα ι τ ο υ πόλοιπο της διαίρεσης τ ου αριθμού αυτ ού με τ ο 3 τ ο 5 και τ ο 7. Γνωρίζοντας τα υ πόλοιπα αυτά εσύ ο μέγας Μάγος είσαι σε θέση μετά από σύντ ομους υ πολογισμούς να πεις ποιος είνα ι ο αριθμός που σκέφτηκε. Το συγκεκριμέν ο τρικ είνα ι ένα καθαρά μαθη ματικό πρόβ λημα και μά λιστα από τα ποιο δύσ κολα . Βασίζεται στην ενότητ α της θεωρίας των αριθ μών που λέγ εται modular αρ ιθμητική. Η ένν οια τ ου modular, είνα ι η γν ωστή σ ε όλους μας ένν οια τ ου υπολοίπου μιας διαίρ εσης. Δηλαδή γν ωρίζ ουμε ότι η διαίρ εση π.χ. τ ου αριθ μού 4 5 με τ ο 4 αποδίδει πη λίκο 11 και υ πόλοιπο 1 , γ ι’ αυτ ό και γράφ ου με : =  +45 4 11 1 . Αν επικεντρ ώσουμε την πρ οσοχή μας μόν ο στ ο υπόλοιπο της διαίρ εσης αυ τής γράφ ου με : mod( )=44 1 4 ενν οώντας ότι η διαίρεση τ ου 44 με τ ο 4 α ποδίδει υπόλοιπο 1 . Το πρόβ λημα που α ρχικά δόθηκε ως τρικ δια τυπώνετα ι με τη βοήθεια της modular αρ ιθμητικής στ ο να βρεθεί ένας αρ ιθμός χ για τ ον οποίο ισχύ ουν : χ υ mod , χ υ mod , χ υ mod= = =1 2 33 5 7 όπου υ1 ,υ 2 ,υ 3 γνωστ οί αριθ μοί. Το πρόβ λημα αυτ ό είναι γνωστ ό και ως C hines e remainder theor em και η λύση τ ου παρουσιάζει αρ κετές τεχνικές δυ σκολίες . Υπάρ χει όμως ένας α λγ όριθμος επίλυσης τ ου προβ λή ματος που μπορεί ν α τ ο μάθ ει κά ποιος με εξάσκηση. Ας παρ ουσιάσ ουμε την τεχνική α υτή. Υποθέτ ουμε ότ ι ο φίλος σ ου έχει σκεφθεί κάποιον αριθ μό και σου λέει ότι το υ πόλοιπο τ ου αρ ιθμού με τ ο 3 είνα ι 0 , με το 5 είναι 2 και με το 7 είναι 3. Πως μπορ ούμε ν α βρ ού με τ ον αριθμό. Όπως είπα με το ερώτη μα α υτό σε καθαρά μαθημα τική διατύ πωση γράφετ αι. Να βρεθεί ο αριθμός x για τ ον οποίο ισχύ ουν οι ισότητ ες : x mod , x mod , x mod= = =0 3 2 5 3 7 Ας παρακολουθήσ ου με τα βήματα τ ου αλγ ορ ίθμου επίλυσ ης …
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 106 Υποθέτ ουμε ότ ι ο άγνωστ ος αριθ μός x είναι ο : x =  +  + 5 7 3 7 3 5 =35+21 +15 Για να δούμε ικαν οποιούντ αι οι τρ εις ιδιότητες τ ου αριθμού που αναζητού με; Κατ’ αρχή ισ χύει ότι x mod= 0 3 ; Επειδή οι πα ράγοντες 21 και 15 είνα ι πολλα πλάσ ιοι τ ου 3 εξετ άζου με τι υ πόλοιπο αφήν ει ο 35 αν διαιρ εθεί με τ ο 3. Το υ πόλοιπο είναι 2 εν ώ θέλου με να εί να ι 0 , άρα για να πετύ χουμε τ ο ζητού μεν ο ο πολλαπλασιάζ ου με το 35 επί 3, άρα ο ζητούμεν ος αρ ιθμός x μπορεί να είναι ο : x =   +  + 5 7 3 3 7 3 5 Ο αριθ μός αυτ ός ικα νοποιεί τη ν δεύ τερη σχέση; Δηλαδή ισ χύει ότι x mod= 2 5 ; Οι όρ οι   =5 7 3 105 και  =3 5 15 είν αι πολλα πλάσ ιοι τ ου 5 , εξετ άζου με τι υ πόλοιπο αφήν ει ο 21 αν διαιρ εθεί με τ ο 5. Το υ πόλοιπο είναι 1 εν ώ θέλου με να είνα ι 2 , άρα για να πετύ χουμε τ ο ζητού μεν ο πολλα πλασιάζουμε τ ο 21 επί 2, άρα ο ζητούμεν ος αρ ιθμός x μπορεί να είναι ο : x =   +   + 5 7 3 3 7 2 3 5 Ο αριθ μός αυτ ός ικα νοποιεί τη ν τρ ίτη σχέση; Δηλαδή ισ χύει ότι x mod= 3 7; Οι όρ οι   =5 7 3 105 και   =3 7 2 42 είν αι πολλα πλάσ ιοι τ ου 7 , εξετ άζου με τι υ πόλοιπο αφήν ει ο 15 αν διαιρ εθεί με τ ο 7. Το υ πόλοιπο είναι 1 εν ώ θέλου με να είνα ι 3 , άρα για να πετύ χουμε τ ο ζητού μεν ο υ πόλοιπο πολλαπλασιάζ ουμε το 15 επί 3, άρ α ο ζητούμεν ος αριθ μός μπορεί να είναι ο : x =   +   +  5 7 3 3 7 2 3 5 3 Ο αριθ μός αυτ ός ικα νοποιεί και τις τρεις ισ ότητ ες, άρα ο αριθμός x = + + = +105 42 45 105 87 ικανοποιεί τις υποθέσεις. Επειδή όμως ζητήσα με στην αρχή να σκεφτ εί ο φίλος μας έναν αρ ιθμό μικρ ότερο τ ου 105 τελικά ο κρυφ ός αρ ιθμός είνα ι ο x=87 . Είναι εύκολο να επιβεβαιώσου με ότι ο αρ ιθμός αυτ ός ικα νοποιεί και τ ις τ ρεις υ ποθ έσεις .
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 107 Ας δούμε και ένα άλλο παρά δειγμα : Στην ιστοσ ελίδα της Wi kipedia δίν εται τ ο διπλαν ό σχή μα. Δη λαδή γν ωρίζουμε ότι ισχύ ουν οι ισότητ ες : mod , mod , mod= = =23 2 3 23 3 5 23 2 7 . Πως μπορ ούμε να βρ ού με τον α ριθμό 23 αν γνωρίζουμε τα υ πόλοιπα 2,3 ,2 των διαιρ έσεω ν τ ου με τους 3 ,5,7 αντίστ οι χα; Δηλαδή ας εφαρ μόσ ου με τ ον α λγ όριθ μο που μάθαμε γ ια να λύσ ουμε την εξίσωση : x mod mod mod= = =2 3 3 5 2 7 Έστω x =  +  + 3 5 3 7 5 7 Για τ ον αριθ μό αυτ όν ισ χύει ότι x mod= 2 3 όπως α κριβώς θέλουμε. Επίσης ισχύει ότι : x mod mod= 1 5 3 5 άρα πολλαπλασιάζ ου με τον όρ ο 3 7 επί 3, άρα θα έχουμε τώ ρα τ ον αρ ιθμό : x =  +   + 3 5 3 7 3 5 7 Για τ ον αριθ μό ισ χύει ότι x mod mod= 1 7 2 7 άρα πολλαπλασιάζ ουμε τ ον όρ ο 3 5 επί 2 και καταλήγ ου με στ ον αριθμό : x =   +   +  = + + =3 5 2 3 7 3 5 7 30 63 35 128 . Αφαιρώντας τ ον 105 κατα λήγ ουμε στ ον κρυφ ό αριθ μό 23 .
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 108 52. Τι μέρα γεννήθηκες ; Αποτελεί μεγά λη πρ όκληση σε ένα Μά γο να είναι σε θέση να βρίσκει τη μέρα γ έννησης οποιου δήποτε όταν τ ου δίνον τα ι τ ο έτος και η ημερ ομην ία γ έννησης . Γ ια παρά δειγ μα να σου λένε «γεννήθηκα στις 2 Μα ΐου τ ου 2002» και εσύ να λες «γ ενν ήθηκες ημέρα Πέμπτη »! Στις επόμενες σελίδες θα μάθουμε έναν αλγ όριθ μό που κάνει τους κατά λλη λους υπο λογ ισμούς, α λλά κα ταρχήν ας αναφ έρου με ορισ μένα βασικά στ οιχεία για την έν νοια τ ου έτους κα ι του ημερ ολογίου … Η Γη κάνει περ ίπου 365 ,25 η μέρ ες γ ια μία πλήρη περ ιστρ οφή τ ης γύρω από τον ή λιο. Επειδή κάθε συμβατ ικό έτος έχει 365 μέρες κάθε τ έσσερα χρ όνια πρ οσθέτ ουμε μία μέρα οπότε κατορθ ώνουμε να έχουμε  + =4 365 1 1461 μέρες . Πάνω σε αυτ ήν τ ην βασική ιδέα στηρίχτηκε τ ο λεγ όμεν ο Ιου λιαν ό ημερ ολόγιο που εφα ρμόστηκε γ ια περ ίπου 2000 χρ όν ια α πό τα χρόν ια του Ιούλιου Καίσαρα έως τ ο έτ ος 1582.Έτσι κά ποια χρ όνια έχουν 366 μέρ ες και χαρα κτηρίζ ονται ως δίσεκτ α, όπως τ α έτη 2000, 2 004, 2008 , … αλλά τ ο έτ ος 2100 δεν θα είνα ι δίσεκτο γιατί; Το πρόβ λημα είναι ότι ένας χρ όν ος είνα ι στη ν πραγ ματικότητα 365.243 μέρες περίπου , οπότε είναι περίπου έν τεκα λεπτ ά λιγ ότερ ο από τις 365.25 η μέρ ες που υπολογ ίστηκε στ ο Ιουλιαν ό ημερ ολόγιο. Οπότε κάθε 400 χρ όνια εν ώ στη ν πραγ ματικότητα περνάν ε 1 46.097 μέρες με το Ιου λια νό η μερ ολόγιο φαίν ετ αι ότι έχουν περάσει 146 .100 μέρ ες! Το 1582 υ πό τ ον Πάπα Γρηγ όριο τ ον 13 ο δημιουργήθηκε τ ο νέο ημερ ολόγιο – Γ ρηγορ ιαν ό η μερ ολόγιο – αφαιρ ώντας δέκα μέρες από τ ο πα λιό Ιου λιαν ό ημερολόγιο. Έτσι μετ ά τη ν 4 Ο κτω βρίου του 1582 έχου με την 15 Οκτ ωβρίου του 15 82! Συγχρ όν ως συμφωνήθηκε ότι τα έτ η που δια ιρ ούνται με το 100 δεν θ α είναι πλέον δίσεκτα εκτ ός και αν διαιρ ούντα ι και με τ ο 400 . Άρ α τα έτη 1700 ,1800 ,1900 δεν θα ήταν δίσεκτα α λλά τ ο 2000 κα ι τ ο 2400 θα είνα ι. Ο πότε μέσα σε 400 χρόν ια ο αριθ μός τ ων δίσεκτων ετ ών θα είναι 100 -3 =97 κα ι ο αριθ μός τ ων η μερ ών θα είναι ( ) . + =400 365 97 146 097 όπως ακρ ιβώς θ έλου με.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 109 Το Γρηγ οριαν ό ημερ ολόγιο δεν το υ ιοθ έτησαν αμέσ ως όλες οι χώρες . Γ ια παρά δειγμα η Αγγ λία κα ι οι α ποικίες της τ ο εφάρμοσαν την Τετάρτ η 2 Σεπτ εμβρ ίου τ ου 1752 , η μερ ομηνία που τη ν α κολούθησε η Πέμπτη 14 Σεπτεμβρίου τ ου 1752. Η Ελλάδα ακολούθησε τελικά τ ο Γρηγ οριαν ό ημερολόγιο το 1924 όπου η 10 Μαρτ ίου έγιν ε 23 Μαρτίου σβήν οντας με τ ον τ ρόπο αυτόν 13 μέρες. Ο τύ πος με βάση τ ον οποίο υ πολογίζουμε οποιαδή ποτε η μέρα με βάση το Γρηγ ορ ιανό η μερ ολόγ ιο είναι ο εξής : Μέρα της εβδομάδας = [Κωδικός Μήνα + Ημερομηνία + Κωδικός Έτους] ( mod7) To mod7 που β λέπετε στ ο τ έλος σημαίνει ότι για τ ους υπολογισ μούς μας ενδιαφέρει τ ο υ πόλοιπο της διαίρ εσης με το 7 παρά οτ ιδή ποτε άλλο. Για παρά δειγ μα αν σήμερ α είναι 30 -7- 2019 κα ι μέρα Τρίτη μετά από 67 μέρ ες έχουμε ότ ι 67 =4 mod7 άρα θα είνα ι Σάββατ ο – τέσσερ ις «μέρες» μετά. Ας ξεκινήσουμε με την εκμάθηση του α λγ ορίθ μου αν αφέρ οντας τους «κωδικούς». Όταν λέμε κω δικός ενν οού με αριθ μό που θα αντ ιστοιχεί με της μέρες της εβδομάδας , τ ους μή νες, τα χρ όν ια α κόμα και τ ον αιώνα που ασχολούμαστε… Οι κω δικοί … Α) τ ων ημερών … Παρατηρείστε ότι οι αριθ μοί έρχοντα ι σε πλή ρη αν τιστ οίχιση με την ον ομασία τ ων η μερ ών της εβδομά δας . Β) των μηνών … Μήνας ΙΑΝ ΦΕΒ ΜΑΡ ΑΠΡ ΜΑΙ ΙΟΥΝ ΙΟΥΛ ΑΥΓ ΣΕΠ ΟΚΤ ΝΟΕ ΔΕΚ Κωδικό ς 1 4 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6 Εκτό ς α πό τα δ ίσ εκτα χρόνια πο υ είναι ΙΑΝ : 0 και ΦΕΒ:3 Οι κω δικοί αυτ οί έχουν φτιαχτ εί με την εξής λογ ική … Ημέρα Κυριακή Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη Παρασκευή Σάββατο Κωδικός 1 2 3 4 5 6 0
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 110 Αν υ ποθέσ ουμε ότ ι η 1 η Ιανουαρίου είναι Κυρ ιακή τ ότε η 1 η Φεβρ ουαρίου θα είνα ι 31 μέρ ες μετά κα ι θα πέφτει μέρα Τετάρτη ( ο Ιαν ουάρ ιος έχει 31 μέρες άρα 29 του μήνα θα είναι και πά λι Κυρ ιακή κα ι 31 τ ου μή να θα είναι Τρ ίτη) , οπότ ε αντιστοιχούμε τον Φεβρ ουάριο με τ ον κωδικό 4 . Επειδή ο Φεβρ ουάριος έχει 28 μέρ ες η 1 η Μαρτίου θα πέφτ ει και πάλι Τετάρτη , ά ρα τ ον Μάρτιο τον αν τιστ οιχού με με τ ον κωδικό 4 . Η λογ ική αυτή διατρέχει όλους τ ους μήν ες και μ ε τ ον τρ όπο αυτ όν συντάσσεται όλος ο πίνακας των κωδικών τ ων μηνώ ν. Γ) τω ν ετών … Έτος Κωδ. Έτος Κωδ. Έτος Κωδ. Έτος Κωδ. 2000* 6 2008* 2 2016* 5 2024* 1 2001 0 2009 3 2017 6 2025 2 2002 1 2010 4 2018 0 2026 3 2003 2 2011 5 2019 1 2027 4 2004* 4 2012* 0 2020* 3 2028* 6 2005 5 2013 1 2021 4 2029 0 2006 6 2014 2 2022 5 2030 1 2007 0 2015 3 2023 6 2031 2 Ας δούμε μερικά παρα δείγματα … Το 2030 θα είμαι 70 ετών και στις 8 Μαρτίου θα έχω τα γ ενέθλιά μου , τι μέρα θα είναι ; Εφαρμόζου με τ ον τύπο κα ι έχου με : ( )mod mod+ + = = →4 8 1 7 13 7 6 Παρασκευή Η 25η Μαρτ ίου του 2021 που θα γιορτάζ ου με τα 200 χρ όνια από την Ελληνική επανάσταση , τι μέρα θα είναι ; ( )mod mod+ + = = →4 25 4 7 33 7 5 Πέμπτη Θα μου πείτ ε τι γίνεται για τα χρ όνια μετά τ ο 2031 που υ πάρχει στον πίνακα . Γ ια τ ο θέμα α υτ ό υ πάρ χει λύση. Μετα ξύ των ετώ ν 1901 κα ι 20 99 τ ο ημερ ολόγιο επαναλαμβάνεται κάθε 28 χρόνια . Γιατί σ ε 2 8 χρόνια έχου με 7 δίσεκτα χρ όν ια οπότε το η μερολόγ ιο θα μετατοπιστ εί κατά 28 +7 =35 μέρ ες , αριθμός που αφήν ει τη ν ημέρα της εβδομάδας αμετάβλη τη διότι τ ο 35 είνα ι πολλα πλάσιο του 7.
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 111 Επιβ εβαιώστε τ ο πρ οηγ ού μεν ο συμπέρασ μα και δείτ ε ότι οι κωδικοί των ετ ών 2000 και 2028 είναι ίδιοι. Το ίδιο συμβ αίνει με τα ζευγάρ ια (2001,2029),(2002,2030),(2003,2 031) κ.ο.κ Άρα ο κω δικός τ ου έτ ους 2086 θα είναι ο ίδιος με τον κω δικό του έτους 2030 αφ ού = + 2086 2030 2 28 . Τι σ υμβαίν ει όμως με τα χρ όνια πρ ιν το 2000; Ακριβώς τα ίδια . Γ ια παρά δειγμα τι κωδικό έχει το 1900; Αυτό που ψάχνουμε είναι πόσες 28ά δες χρ όνια θα πάμε πίσω . Επειδή  =4 28 112 και − =2000 112 1888 τ ο έτος 1888 έχει κωδικό 6 άρα τ ο 1900 που είναι 12 χρ όν ια μετά θα έχει τ ο ίδιο κωδικ ό με το 2012 δηλα δή 0. Υπάρ χει κα ι μία ά λλη μέθοδος υπολογ ισμού των κωδικών των ετών αλλά χρειαζόμαστε κωδικούς γ ια τους αιώνες … Δ) Κωδικοί των αιώνων … Αιώνα ς 16ο ς 17ο ς 18ο ς 19ο ς 20ο ς 21ο ς 22ο ς 23ο ς Κωδικό ς 6 4 2 0 6 4 2 0 Παρατηρείστε την περιοδικότητα τ ων τιμών… Ο τύ πος που δίν ει τ ον κω δικό τ ου έτ ους είνα ι ο εξής : Κωδικός Έτους = [Κωδικός αιώνα+2 τελευταία ψηφία έτους+(2 τελευταία ψηφία έτους)div4]mod7 Όπου (2 τελευταία ψηφία έτους)div4 εν νοού με τ ο πη λίκο της διαίρεσης των δύ ο τελευτα ίων ψηφίων με το 4 Για παρά δειγ μα ο κωδικός τ ου έτ ους 18 21 είναι : (2 +21 +5) mod7 =27 mod7 =6 Οπότε τώρα είμαστ ε σε θέση να πούμε «τ ι μέρα έπεσ ε η 2 5 Μαρτίου τ ου 1821;» Σύμφω να με τ ον αλγ όριθ μο θα είναι (4 +25 +6) mod7 =35 mod7=0, άρα Σάββατ ο. Αυτό βέβα ια θα ήταν σωστ ό αν η Ελλά δα είχε υιοθετήσ ει από τ ον 18ο αιώ να τ ο Γρηγ οριαν ό ημερ ολόγιο. Οπότε η πραγματ ική μέρα είναι 13 μέρες νωρίτερα άρα Κυ ριακή .
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 112 Υπάρ χει κα ι ένας άλλος α λγόριθμος υπολογ ισμού της μέρ ας εν ός γεγον ότ ος, π.χ. της γ έννησής μας . Ας ον ομάσ ου με Ε το έτος γέν νησης. Ονομάζου με Η τη μέρα τ ου έτους την οποία γ εννηθήκατ ε μετρώ ντας α πό τη ν 1 η Ιαν ουαρίου . Υπολογίστ ε τον όρ ο Ε Χ − = 1 4 κα ι αγνοήστε το υ πόλοιπο αν υπάρχει. Υπολογίστ ε το άθρ οισμα Μ Ε Η Χ= + + Διαιρέστε τ ο Μ με το 7 κα ι ση μειώστε τ ο υ πόλοιπο. Ο αριθ μός τ ου υ πολοίπου τα υτίζετα ι με βάση τ ον παρακά τω πίνακα με κά ποια μέρα της εβ δομά δας. Υπόλοιπο 0 1 2 3 4 5 6 Ημέρα Παρ. Σαβ. Κυρ. Δευτ. Τριτ. Τετ. Πεμ. Ας δούμε ένα παρά δειγμα … Η κόρη μου η Κωνστ αντίνα γεν νήθηκε στις 19 -3 -1991 τι μέρα έπεφτ ε; Υπολογίζ ου με : Η=31 +28+19=78 / Χ=(1991 -1)/4 =… =497 / Μ=1991 +78 +497 =2566 Το υ πόλοιπο της διαίρ εση τ ου 2566 με τ ο 7 είν αι 4, άρα η μέρα γέννησής της ήταν Τρ ίτη!
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 113 Διδακτική αξιοποίηση του βιβλίου … Πολλά από τα μαγ ικά που παρουσιάστηκαν μπορ ούν να αξιοποιηθούν γ ια τη διδασκα λία των μαθηματικών στην τ άξη. Διότι ανα λύ οντα ι κομμάτ ια της ύ λης των μαθη ματικών με τρόπο παιγνιώδη α λλά συγ χρ όνως ανα πτύσσον ται και χρήσιμες μαθηματικές δεξιότ ητες, όπως : χειρισ μού αριθμη τικών δεδομένων , εντ οπισ μού και α ξιοποίησης μοτ ίβων, ανα λογικού συ λλογισ μού, επεξεργ ασίας δεδομένων, συνδυαστικής ικαν ότητας , α λγεβρ ικών συ λλογισ μών , γεωμετρικών συλλογισμών, επίλυσης πρ οβ λήματ ος, ανά πτ υξης αλγοριθμικής διαδικασίας κ.α. Για να είμαστ ε πιο συγκεκριμέν οι … Αριθμός μαγικού Ύλη Δεξιότητες 1/ 11 Δυαδικό σύστη μα γραφής φυσικών αριθμών Αναλογικού συ λλογ ισμού Αλγεβρ ικώ ν συ λλογ ισμώ ν Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας 2/42/45 Δεκαδικό σ ύστημα γραφής φυσικών αριθμών Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Αλγεβρ ικώ ν συ λλογ ισμώ ν Επίλυσης πρ οβ λήματ ος 3/ 5/6/9/31 Πράξεις στ ο δεκα δικό σύστη μα Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Επεξεργασίας δεδομένων Επίλυσης πρ οβ λήματ ος Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας 4/15/16/17/18/19/22/ 25/32/33/34/37/38/41/ 47 Επίλυση προβ λήματος Επίλυσης πρ οβ λήματ ος Εντοπισ μού και αξιοποίησης μοτ ίβων Επεξεργασίας δεδομένων Αναλογικού συ λλογ ισμού 7/ Διάταξη αριθ μών Εντοπισ μού και αξιοποίησης μοτ ίβων Επεξεργασίας δεδομένων Αναλογικού συ λλογ ισμού Συνδυαστικής ικανότητας Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 114 8/ 13/29/ Κριτήρια διαιρ ετ ότητας. Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Αλγεβρ ικώ ν συ λλογ ισμώ ν Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας Αναλογικού συ λλογ ισμού Συνδυαστικής ικανότητας 10/ Εμβαδόν γεωμετρικού σχήματ ος - Γ ωνίες Γεωμετρικών συλλογισ μών Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων 12/ Επίλυση εξισώσ εων - συστη μάτων Αλγεβρ ικώ ν συ λλογ ισμώ ν Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων 14/ Ευκλείδεια διαίρ εση Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Εντοπισ μού και αξιοποίησης μοτ ίβων Αναλογικού συ λλογ ισμού Αλγεβρ ικώ ν συ λλογ ισμώ ν Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας 20/ Πράξεις στ ο R – Το τρίγων ο του Pascal Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Εντοπισ μού και αξιοποίησης μοτ ίβων Αλγεβρ ικώ ν συ λλογ ισμώ ν Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας 21/26/35/36/46/50/ Πράξεις – Επίλυση προβ λήματος Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Επεξεργασίας δεδομένων Συνδυαστικής ικανότητας Επίλυσης πρ οβ λήματ ος 23/ Γεωμετρία Γεωμετρικών συλλογισ μών Αναλογικού συ λλογ ισμού 27/ Επίλυση προβ λήματος Η ένν οια της συμμετρίας Εντοπισ μού και αξιοποίησης μοτ ίβων Αναλογικού συ λλογ ισμού Επεξεργασίας δεδομένων Συνδυαστικής ικανότητας Γεωμετρικών συλλογισ μών Επίλυσης πρ οβ λήματ ος Σχημα τικής απεικόν ισης δεδομέν ων
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 115 28/ Η ένν οια της αντιστοίχισης Επεξεργασίας δεδομένων Σχημα τικής απεικόν ισης δεδομέν ων 30/ Ορθοκαν ον ικό σύστημα συντεταγμένων Επεξεργασίας δεδομένων Γεωμετρικών συλλογισ μών Σχημα τικής απεικόν ισης δεδομέν ων 39/40 Ακολουθίες – Πρόοδοι Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Εντοπισ μού και αξιοποίησης μοτ ίβων Αναλογικού συ λλογ ισμού Επεξεργασίας δεδομένων Αλγεβρ ικώ ν συ λλογ ισμώ ν Γεωμετρικών συλλογισ μών Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας Σχημα τικής απεικόν ισης δεδομέν ων 43/49/ Θεωρία πιθαν οτήτων Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Αναλογικού συ λλογ ισμού Επεξεργασίας δεδομένων Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας 44/ Αλγ οριθ μική δια δικασ ία Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας 51/ Modular αρ ιθμητ ική Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Αναλογικού συ λλογ ισμού Επεξεργασίας δεδομένων Συνδυαστικής ικανότητας Αλγεβρ ικώ ν συ λλογ ισμώ ν Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας Σχημα τικής απεικόν ισης δεδομέν ων 52/ Αναφορά στ ο Γρηγορια νό ημερ ολόγιο Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Αλγεβρ ικώ ν συ λλογ ισμώ ν Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας
Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 116
1 9 3 11 5 13 7 15 0 2 10 3 11 6 14 7 15 1 4 12 5 13 6 14 7 15 2 8 12 9 13 10 14 11 15 3
Abra mathabra
Abra mathabra
Abra mathabra
Abra mathabra
Abra mathabra
Abra mathabra
Abra mathabra
Abra mathabra
Abra mathabra
1η κάρτα : 4286 / 5771 / 9083 / 6518 / 2396 / 6860 / 2909 / 5546 / 8174 . 2η κάρτα : 5792 / 6881 / 7547 / 3299 / 7187 / 6557 / 7097 / 5288 / 6548. 3η κάρτα : 2708 / 5435 / 6812 / 7343 / 1286 / 5237 / 6470 / 8234 / 5129 .
Abra mathabra
Βιβλιογραφία 1. Τίτλος : “The manual of mathematical Magic”. Συγγραφέας : Peter McCowan and Matt Parker. Εκδόσεις : Queen Mary University. 2. Τίτλος : “The magic of Math”. Συγγραφέας : Arthur Benjamin. Εκδόσεις : Basic Books. 3. Τίτλος : “Mathematics Magic and Mystery”. Συγγραφέας : Martin Gardner . Εκδόσεις : Dover Publications. 4. Τίτλος : “Mathematical Explorations of card tricks”. Συγγραφέας : Timothy R. Weeks. Εκδόσεις : John Carroll University 5. Τίτλος : “When and how to use Math based card tricks in the classroom”. Συγγραφέας : Morgan L. Mitchell. Εκδόσεις : California State University. Sacramento. 6. Τίτλος : “Luca Pacioli and his 1500 book. De viribus quantitates” . Εκδόσεις : Universidad de Lisboan 7. Τίτλος : “Μαθηματικές σπαζοκεφαλιές” Συγγραφέας : Brian Bolt . Εκδόσεις : Κάτοπτρο 8. Τίτλος : “Η Μαγεία των παραδόξων” Συγγραφέας : Martin Gardner . Εκδόσεις : Τροχαλία 9. Τίτλος : “Το πανηγύρι των Μαθηματικών” Συγγραφέας : Martin Gardner . Εκδόσεις : Τροχαλία.
10. Ημερίδα Ε.Μ.Ε παράρτημα Ημαθίας (12/3/2017) «Μαθηματικά μαγικά τρικ» . Ομιλητής : Μιχάλης Λάμπρου 11. Τίτλος : Mathematical Card Magic Συγγραφέας : Colm Mulcahy Εκδόσεις : CRC Press 12. Τίτλος : Math made magic Συγγραφέας : Tason Davison and Peter McQwan Εκδόσεις : Queen Mary University of London 13. Τίτλος : Is it Magic? No it’s Mathematics Συγγραφέας : Terry Krieger Εκδόσεις : Rochester Community and Technical College 14. Τίτλος : Mathematical Magic Συγγραφέας : William Simon Εκδόσεις : Charles Scribner’s sons N.Y. 15. Τίτλος : Secrets of Mental Math Συγγραφέας : Arthur Benjamin and Michael Shermer Εκδόσεις : three rivers press N.Y.
Γεννήθηκα στις 8 Μαρτίου το 1960 στη Χίο όπου ήταν διορισμένοι καθηγητές οι γονείς μου, Κωνσταντίνος Λαγουδάκος και Ιουλία Παπαϊωάννου αμφότεροι Χημικοί. Το 1965 ήρθαμε στην Αθήνα όπου το 1970 τελείωσα το Δημοτικό στο 108ο Δημοτικό σχολείο στην οδό Θήρας. Την 1η Γυμνασίου την τελείωσα στο Εμπορικό Γυμνάσιο στη Πλατεία Αμερικής και την 2α και 3η Γυμνασίου στο Γυμνάσιο της Κάτω Κλειτορίας στην Αχαΐα . Το 1974 ήρθαμε οικογενειακώς και πάλι στην Αθήνα, όπου και τελείωσα το κβ’ Λύκειο στα Κάτω Πατήσια το 1977. Πέρασα στο Μαθηματικό Θεσσαλονίκης το 1978 και αποφοίτησα το 1983. Το 1984 με βρίσκει και πάλι στην Αθήνα όπου ξεκινώ και εργάζομαι σε διάφορα φροντιστήρια. Το 1985 μέχρι το 1987 παρακολουθώ το μεταπτυχιακό τμήμα περιφερειακής ανάπτυξης της Παντείου. Μετά, στρατιωτικό – Χαϊδάρι και Χίο. Απολύομαι το 1989. Ο γάμος μου με την Αθανασία γίνεται το 1989 και το 1991 γεννιέται η κόρη μου Κωνσταντίνα. Το 1991 προσλαμβάνομαι στα Εκπαιδευτήρια Δούκα πρώτα στο Γυμνάσιο και μετά στο Λύκειο, όπου βρίσκομαι μέχρι τώρα. Σε όλη τη διάρκεια της επαγγελματικής μου πορείας ασχολήθηκα σε διάφορα εκπαιδευτικά project και τη συγγραφή βοηθημάτων καθώς επίσης συμμετείχα σε πλήθος εκπαιδευτικών ημερίδων – συνεδρίων. Ενδεικτικά αναφέρω τη συμμετοχή μου : «Ε-Land : Ένα ολοκληρωμένο εικονικό περιβάλλον υποστήριξης μαθησιακών κοινοτήτων στο διαδίκτυο » (Ι.Π.Ε.Τ , Ι.Π.ΤΗΛ. . Εκπαιδευτήρια Δούκα, Εκδόσεις Πατάκη). «Η τέχνη των Μαθηματικών και τα Μαθηματικά της Τέχνης » Παραγωγή λογισμικού και πρότυπων φύλλων δραστηριοτήτων με διαθεματικό χαρακτήρα (Ι.Τ.Υ.Ε., Εκπαιδευτήρια Δούκα, Compupress Exces , Open University). Είμαι ιδρυτικό μέλος και μέλος της επιστημονικής επιτροπής του «Μαθηματικού εργαστηρίου Β’ Αθήνας». Στα ενδιαφέροντά μου εντάσσεται η μελέτη της ιστορίας της εξέλιξης των μαθηματικών. Έχω συγγράψει σχετικά πονήματα που μπορείτε να τα αναζητήσετε στην διεύθυνση : https://www.slideshare.net/ssuser9b2765?utm_campaign=profiletracking&utm_ medium=sssite&utm_source=ssslideview . Είμαι ενεργό μέλος της παγκόσμιας κοινότητας του GeoGebra όπου έχω δημιουργήσει πλήθος εφαρμογών που παρουσιάζονται στην διεύθυνση https://www.geogebra.org/u/lagoudakos4. Συμμετείχα ως εισηγητής στο GeoGebra Global Gathering (Linz 2015) με θέμα «MΑΤΗistory using Geogebra » και στο GeoGebra Global Gathering (Linz 2017) με θέμα «Math and Art in Athens». Για το έργο αυτό διακρίθηκα με το χρυσό βραβείο ως βέλτιστη εκπαιδευτική πρακτική στα Education Leader Awards 2018. e-mail επικοινωνίας: lagoudakos4@gmail.com

More Related Content

PDF
Μαθηματικά Ε΄ 6.38. ΄΄ Κοινά πολλαπλάσια, Ε.Κ.Π. ΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
PDF
Νοεροι υπολογισμοί στα γρήγορα
Θανάσης Δρούγας
 
PDF
Μαθηματικά Ε΄ 3.14. ΄΄Γρήγοροι πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις με 10, 100, 1.0...
Χρήστος Χαρμπής
 
PDF
Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά Κεφ.1
schoolarxeio
 
PDF
Μαθη..μαγικα για Διαγωνισμούς (Διαγωνιστικά Μαθηματικά ,Γ γυμνασίου,Α λυκείου)
Θανάσης Δρούγας
 
PDF
Μαθηματικά ΣΤ΄- Επαναληπτικό 2ης Ενότητας, Κεφ. 25 - 29, ΄΄Εξισώσεις΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
PDF
Παραγωγή γραπτού λόγου (αφήγηση- περιγραφή γεγονότος)
EVANTHIA POMAKI
 
PPT
Στρογγυλοποίηση φυσικών και δεκαδικών αριθμών
Γιάννης Φερεντίνος
 
Μαθηματικά Ε΄ 6.38. ΄΄ Κοινά πολλαπλάσια, Ε.Κ.Π. ΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
Νοεροι υπολογισμοί στα γρήγορα
Θανάσης Δρούγας
 
Μαθηματικά Ε΄ 3.14. ΄΄Γρήγοροι πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις με 10, 100, 1.0...
Χρήστος Χαρμπής
 
Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά Κεφ.1
schoolarxeio
 
Μαθη..μαγικα για Διαγωνισμούς (Διαγωνιστικά Μαθηματικά ,Γ γυμνασίου,Α λυκείου)
Θανάσης Δρούγας
 
Μαθηματικά ΣΤ΄- Επαναληπτικό 2ης Ενότητας, Κεφ. 25 - 29, ΄΄Εξισώσεις΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
Παραγωγή γραπτού λόγου (αφήγηση- περιγραφή γεγονότος)
EVANTHIA POMAKI
 
Στρογγυλοποίηση φυσικών και δεκαδικών αριθμών
Γιάννης Φερεντίνος
 

What's hot (20)

PDF
Παράδοξα και ψευδοαποδείξεις
Θανάσης Δρούγας
 
PPT
αριθμητικές παραστάσεις εξισώσεις
sterkalf
 
PDF
Γλώσσα ΣΤ΄- Επαναληπτικό 9ης Ενότητας: ΄΄ Συσκευές ΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
PDF
γλώσσα δ΄ δημοτικού α΄τεύχος
Εκπαιδευτήρια Γεωργίου Ζώη
 
DOC
Πώς λύνουμε προβλήματα με ποσά αντιστρόφως ανάλογα
zarkosdim
 
DOC
Πώς βρίσκω ολόκληρη την ποσότητα
zarkosdim
 
PPT
Αντιστρόφως ανάλογα ποσά
Γιάννης Φερεντίνος
 
PDF
Επίθετο πολύς - Επίρρημα πολύ Γλώσσα στ δημοτικού 15η ενότητα
Christina Politaki
 
PDF
Μαθηματικά Ε΄ - Επανάληψη 1ης Ενότητας, κεφ. 1 - 6
Χρήστος Χαρμπής
 
PPT
ισοδύναμα κλάσματα
Γιάννης Φερεντίνος
 
PDF
Μαθηματικά Ε΄ 3.17. ΄΄Ισοδύναμα κλάσματα΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
PPT
Σύγκριση και διάταξη κλασμάτων
Γιάννης Φερεντίνος
 
PDF
Γλώσσα Δ΄ 9. 3. ΄΄ Όρνιθες΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
PDF
συνθετα προβληματα
masotiri
 
PDF
Μαθηματικά Δ΄ 6. 38. ΄΄Διαχειρίζομαι προβλήματα΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
PDF
2ο Επαναληπτικό στα Μαθηματικά, Δ΄ τάξη: Κεφ. 8 - 14
Ηλιάδης Ηλίας
 
DOC
στ τάξη μαθηματικά - 3η ενότητα - πως λύνω προβλήματα με ποσοστά
ΒΑΣΙΛΗΣ ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ
 
PDF
10.Ο μάγκας.pdf
Dimitra Mylonaki
 
PDF
Μαθηματικά Ε΄ 7.42. ΄΄ Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες ΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
PDF
Επιτραπέζιο παιχνίδι με ρήματα
Fotini Dim
 
Παράδοξα και ψευδοαποδείξεις
Θανάσης Δρούγας
 
αριθμητικές παραστάσεις εξισώσεις
sterkalf
 
Γλώσσα ΣΤ΄- Επαναληπτικό 9ης Ενότητας: ΄΄ Συσκευές ΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
γλώσσα δ΄ δημοτικού α΄τεύχος
Εκπαιδευτήρια Γεωργίου Ζώη
 
Πώς λύνουμε προβλήματα με ποσά αντιστρόφως ανάλογα
zarkosdim
 
Πώς βρίσκω ολόκληρη την ποσότητα
zarkosdim
 
Αντιστρόφως ανάλογα ποσά
Γιάννης Φερεντίνος
 
Επίθετο πολύς - Επίρρημα πολύ Γλώσσα στ δημοτικού 15η ενότητα
Christina Politaki
 
Μαθηματικά Ε΄ - Επανάληψη 1ης Ενότητας, κεφ. 1 - 6
Χρήστος Χαρμπής
 
ισοδύναμα κλάσματα
Γιάννης Φερεντίνος
 
Μαθηματικά Ε΄ 3.17. ΄΄Ισοδύναμα κλάσματα΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
Σύγκριση και διάταξη κλασμάτων
Γιάννης Φερεντίνος
 
Γλώσσα Δ΄ 9. 3. ΄΄ Όρνιθες΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
συνθετα προβληματα
masotiri
 
Μαθηματικά Δ΄ 6. 38. ΄΄Διαχειρίζομαι προβλήματα΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
2ο Επαναληπτικό στα Μαθηματικά, Δ΄ τάξη: Κεφ. 8 - 14
Ηλιάδης Ηλίας
 
στ τάξη μαθηματικά - 3η ενότητα - πως λύνω προβλήματα με ποσοστά
ΒΑΣΙΛΗΣ ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ
 
10.Ο μάγκας.pdf
Dimitra Mylonaki
 
Μαθηματικά Ε΄ 7.42. ΄΄ Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες ΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
Επιτραπέζιο παιχνίδι με ρήματα
Fotini Dim
 
Ad

Similar to Abra mathabra (20)

PPTX
ΒΙΩΜΑΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ " μαγικοι αριθμοι" Α2 γυμνασίου Νικαιας ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2015-16
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΙΚΑΙΑΣ ΛΑΡΙΣΑΣ
 
PDF
γ΄ δημοτικού μαθηματικά β΄ τεύχος
Εκπαιδευτήρια Γεωργίου Ζώη
 
PDF
Mαθηματικά γ΄δημοτικού β΄τεύχος
Εκπαιδευτήρια Γεωργίου Ζώη
 
PDF
Περί απείρου ....pdf
ssuser96a7452
 
PDF
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ.pdf
ssuser96a7452
 
PDF
στ δημοτικου A gymnasioy teliko
Σωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
Lyseis st 2016
Polina Malou
 
PDF
Lyseis st 2016
D K
 
PDF
Lyseis st 2016
D K
 
PDF
Λύσεις διαγωνισμού μαθηματικών 2016
Серафим Димарас
 
PDF
μαθηματικά α΄ δημοτικού α΄τεύχος
Εκπαιδευτήρια Γεωργίου Ζώη
 
PDF
β΄ δημοτικού μαθηματικά β΄ τεύχος
Εκπαιδευτήρια Γεωργίου Ζώη
 
PDF
Α΄ Δημοτικού Μαθηματικά Α΄ τεύχος .pdf
zohsschool
 
PDF
Μαθηματικά Ε΄ 4.27. ΄΄Πολλαπλασιασμός κλασμάτων - Αντίστροφοι αριθμοί΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
PDF
Μαθηματικά Ε΄ 6.37. ΄΄ Κριτήρια διαιρετότητας του 2, του 5 και του 10 ΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
PDF
Μαθηματικά Ε΄. Επανάληψη 2ης Ενότητας: ΄΄ Δεκαδικοί Αριθμοί΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
PDF
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ 4
Gnostis Pantognostis
 
DOC
πρόσθεση και ανάλυση των αριθμών μέχρι το 5 (1)
Nansy Tzg
 
PDF
Μαθηματικά Δ΄ τάξη - Συμπεράσματα ενοτήτων
Ηλιάδης Ηλίας
 
PDF
Xt a gym-a_1_5
xr3dis
 
ΒΙΩΜΑΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ " μαγικοι αριθμοι" Α2 γυμνασίου Νικαιας ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2015-16
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΙΚΑΙΑΣ ΛΑΡΙΣΑΣ
 
γ΄ δημοτικού μαθηματικά β΄ τεύχος
Εκπαιδευτήρια Γεωργίου Ζώη
 
Mαθηματικά γ΄δημοτικού β΄τεύχος
Εκπαιδευτήρια Γεωργίου Ζώη
 
Περί απείρου ....pdf
ssuser96a7452
 
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ.pdf
ssuser96a7452
 
στ δημοτικου A gymnasioy teliko
Σωκράτης Ρωμανίδης
 
Lyseis st 2016
Polina Malou
 
Lyseis st 2016
D K
 
Lyseis st 2016
D K
 
Λύσεις διαγωνισμού μαθηματικών 2016
Серафим Димарас
 
μαθηματικά α΄ δημοτικού α΄τεύχος
Εκπαιδευτήρια Γεωργίου Ζώη
 
β΄ δημοτικού μαθηματικά β΄ τεύχος
Εκπαιδευτήρια Γεωργίου Ζώη
 
Α΄ Δημοτικού Μαθηματικά Α΄ τεύχος .pdf
zohsschool
 
Μαθηματικά Ε΄ 4.27. ΄΄Πολλαπλασιασμός κλασμάτων - Αντίστροφοι αριθμοί΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
Μαθηματικά Ε΄ 6.37. ΄΄ Κριτήρια διαιρετότητας του 2, του 5 και του 10 ΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
Μαθηματικά Ε΄. Επανάληψη 2ης Ενότητας: ΄΄ Δεκαδικοί Αριθμοί΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ 4
Gnostis Pantognostis
 
πρόσθεση και ανάλυση των αριθμών μέχρι το 5 (1)
Nansy Tzg
 
Μαθηματικά Δ΄ τάξη - Συμπεράσματα ενοτήτων
Ηλιάδης Ηλίας
 
Xt a gym-a_1_5
xr3dis
 
Ad

More from Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos) (11)

PDF
Abra Μathabra
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
Sangaku net
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
GeoGebra Global Gathering 2017 τετράδιο
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
MatHistory
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
Φράκταλς
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
Συν - μετρία
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
Μη Ευκλείδιες Γεωμετρίες
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
Μαθηματικές ιστορίες
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
Θεωρία αριθμών
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
Η ιστορία των λογαρίθμων
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
Επίλυση εξισώσεων
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Abra Μathabra
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Sangaku net
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
GeoGebra Global Gathering 2017 τετράδιο
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
MatHistory
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Φράκταλς
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Συν - μετρία
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Μη Ευκλείδιες Γεωμετρίες
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Μαθηματικές ιστορίες
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Θεωρία αριθμών
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Η ιστορία των λογαρίθμων
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Επίλυση εξισώσεων
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 

Abra mathabra

  • 3. Περιεχόμενα Εισαγωγή 1. Επιλέγοντας έναν αριθμό … Σελ. 1 2. Ρίχνοντας τρία ζάρια Σελ. 3 3. Ο αριθμός 1089 Σελ. 5 4. Παίζοντας με τα χαρτιά Σελ. 7 5. Το πιο απλό «μαθηματικό» τρικ Σελ. 9 6. Πιο γρήγορος και από κομπιουτεράκι Σελ. 11 7. Επιλέγοντας από 27 χαρτιά το σωστό Σελ. 13 8. Το μαγικό κατάλοιπο Σελ. 17 9. Βρίσκοντας το μήνα και το έτος γέννησης Σελ. 20 10. Εξαφανίζοντας ένα ολόκληρο τετράγωνο Σελ. 22 11. Fitch Cheney trick … κάτι σαν σήματα Μορς Σελ. 24 12. Η μαγική Άλγεβρα Σελ. 28 13. Τα μαγικά των πολλαπλασίων του 9 Σελ. 30 14. Luca’s Pacioli trick Σελ. 32 15. Μαγικά με το ημερολόγιο Σελ. 35 16. Μαγικά με ένα ζάρι και ένα ρολόι Σελ. 37 17. Μαγικό με τον αριθμό του τηλεφώνου Σελ. 39 18. Η δύναμη της συνδυαστικής Σελ. 41 19. Luca’s Pacioli trick Νο2 Σελ. 44 20. Όταν η μαγεία συναντά … το τρίγωνο του Pascal ! Σελ. 46 21. Ένα μαγικό με ολίγη κλεψιά … Σελ. 50 22. Απλό μαγικό με σπίρτα Σελ. 52 23. Το μυστηριώδες εννέα Σελ. 54 24. Τοπολογικό τρικ Σελ. 56 25. Μαγικό με σπίρτα Σελ. 57 26. Μαντεύοντας έναν αριθμό Σελ. 59 27. Βρίσκοντας τα ζευγάρια Σελ. 61 28. Ανακατεύοντας τρία αντικείμενα Σελ. 64 29. Βρίσκοντας την ηλικία κάποιου Σελ. 66 30. Τρικ με τη βοήθεια του Descartes Σελ. 68 31. Ένα μαγικό για μεγάλο ακροατήριο Σελ. 69 32. Ένα ακόμα μαγικό με το ημερολόγιο Σελ. 69 33. Ένα κόλπο με νομίσματα Σελ. 73 34. Μαγικό με τράπουλα … Σελ. 75 35. Ένα απλούστατο μαγικό με το χρόνο … Σελ. 77 36. Ένας και μοναδικός κυκλικός αριθμός Σελ. 77
  • 4. 37. Ένα μαγικό με αρκετές πιθανότητες επιτυχίας Σελ. 79 38. Όταν ο Jack συλλαμβάνει τον κακό Σελ. 81 39. Γρήγορες προσθέσεις στο ημερολόγιο Σελ. 83 40. Υπολογίζοντας αθροίσματα όρων της ακολουθίας Fibonacci Σελ. 85 41. Ένα μαγικό με διανύσματα Σελ. 87 42. Κάθε αριθμός είναι μαγικός Σελ. 91 43. Το μαγικό των γενεθλίων Σελ. 92 44. Φτιάχνοντας μαγικά τετράγωνα Σελ. 94 45. Ένα απλό κόλπο με χαρτιά Σελ. 95 46. Παιχνίδι με άρτιους και περιττούς Σελ. 97 47. Φτιάχνοντας ένα ρολόι με νομίσματα Σελ. 98 48. Ταιριάζοντας τα φύλλα της τράπουλας Σελ. 101 49. Καιρός για στοιχήματα Σελ. 102 50. Το μαγικό άθροισμα Σελ. 103 51. Chinese remainder trick (theorem) Σελ. 105 52. Τι μέρα γεννήθηκες ; Σελ. 108 Διδακτική αξιοποίηση Σελ. 113 Οι κάρτες του 1ου μαγικού Σελ. 117 Τα σχήματα του 10ου μαγικού Σελ. 119 Ο πίνακας του 31ου μαγικού Σελ. 121 Calendar 2020 Σελ. 123 Ο πίνακας του 39ου μαγικού Σελ. 125 Οι πίνακες του 50ου μαγικού Σελ. 127 Βιβλιογραφία Σελ. 129
  • 5. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Άμπρα Mathάμπρα. Τι μας έρχεται στον νου; Σίγουρα κάτι που έχει να κάνει με μαγεία. Μοιάζει με το γνωστό ξόρκι κάθε Μάγου στον κινηματογράφο στα κόμικς στα βιβλία, αλλά αυτό το Math τι δουλειά έχει; Οτιδήποτε το μαγικό οφείλεται σε εξαπάτηση ή σε κάποιο επιστημονικό δεδομένο που απλώς ο θεατής αγνοεί. Έτσι ο λαγός μπορεί να εξαφανίζεται μέσα στο καπέλο του Μάγου αλλά αυτό οφείλεται απλώς σε παραπλάνηση μαζί με αρκετή δόση τεχνολογίας. Το ανακάτεμα διαφόρων υγρών και η πρόκληση ενός κρότου με παράλληλη παρουσία καπνού ή και φωτιάς οφείλεται σε χημική αντίδραση που πάλι ο θεατής αγνοεί. Αν το κοινό είναι απαίδευτο τότε τα μαγικά προκαλούν δέος και o Mάγος κάτι ανάμεικτο από φόβο ως θαυμασμό. Αν το κοινό είναι υποψιασμένο τότε τα μαγικά είναι μια ψυχαγωγική ενασχόληση για να περάσει ευχάριστα η ώρα και παράλληλα πρόκληση να κατανοήσουμε και τελικά να απαντήσουμε την ερώτηση «πως γίνεται αυτό το κόλπο;» Στο βιβλίο που κρατάτε έγινε μία επιλογή από «μαγικά» τρικ που το χαρακτηριστικό τους είναι ότι βασίζονται στα Μαθηματικά. Στα τρικ αυτά δεν κλέβουμε δεν στήνουμε τα χαρτιά δεν πειράζουμε τα ζάρια, αλλά το αποτέλεσμα μπορεί να φαίνεται περίεργο αλλά απλά είναι μαθηματικό. Για παράδειγμα υπάρχει το εξής κόλπο … Δίνεις στο κοινό σου τα χαρακτηριστικά κοκάλινα ντόμινο και ζητάς να φτιαχτεί μία ανοικτή αλυσίδα χρησιμοποιώντας όλα τα πλακάκια. Εσύ ο μέγας Μάγος δεν βλέπεις την αλυσίδα, καθώς φτιάχνεται έχεις γυρισμένη την πλάτη σου. Όταν τελειώσουν εσύ απλά ανακοινώνεις τον αριθμό που υπάρχει στην αρχή και στο τέλος της αλυσίδας. Μαγεία ! Κι’ όμως πρόκειται για εξαπάτηση. Στην αρχή έχεις κρατήσει ένα ντόμινο όχι διπλό. Οι δύο ενδείξεις του ντόμινο που κράτησες είναι και οι δύο ενδείξεις αρχής και τέλους που υπάρχουν στην αλυσίδα. Τέτοια παραδείγματα υπάρχουν αρκετά, στο βιβλίο αυτό όμως θα ασχοληθούμε μόνο με εκείνα τα κόλπα που έχουν λογική μαθηματική εξήγηση. Όπως το εξής :
  • 6. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Έχεις στο τραπέζι δύο χαρτονομίσματα ένα των 5 ευρώ και ένα των 10 ευρώ. Τα χρήματα αυτά τα παίρνουν δύο φίλοι σου η Άννα και ο Βασίλης χωρίς να ξέρεις ποιος πήρε τι. Ζητάς στην Άννα να διπλασιάσει το ποσό που έχει και από τον Βασίλη να τα τριπλασιάσει. Μετά σου ανακοινώσουν το άθροισμα των χρημάτων που έχουν και εσύ ο μέγας Μάγος απλά λες ποιος έχει ποιο ποσό. Ουσιαστικά πρόκειται για μία απλή εφαρμογή των ιδιοτήτων των άρτιων και περιττών αριθμών, ιδιότητες που είναι γνωστές από τον καιρό του Ευκλείδη. Ο μέγας Μάγος γνωρίζει τα αποτελέσματα : 2Χ5+3Χ10=40 και 3Χ5+2Χ10=35 Οπότε άρτιο άθροισμα οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η Άννα έχει 5 ευρώ και ο Βασίλης 10 ευρώ, ενώ περιττό άθροισμα οδηγεί στο αντίστροφο συμπέρασμα. Τα μαγικά που υπάρχουν στο βιβλίο που κρατάτε είναι πιο δύσκολα από το παράδειγμα που σας έδωσα και θα πρωταγωνιστήσουν βασικοί κλάδοι των Μαθηματικών όπως η Θεωρία Αριθμών, η Γεωμετρία, η Άλγεβρα, η Συνδυαστική κ.α. Μη φοβάστε όμως τα μαθηματικά που χρειάζονται είναι Γυμνασίου άντε το πολύ Λυκείου και προπάντων Λογικής. Το σημαντικό είναι να μάθετε να τα παρουσιάζετε στους φίλους και να χαίρεστε, αλλά και να ασχοληθείτε με τα μαθηματικά που βρίσκονται πίσω από τα μαγικά αυτά ... Ο στόχος μας είναι να παρουσιάσουμε τα Μαθηματικά των Μαγικών αναδεικνύοντας έτσι την Μαγεία των Μαθηματικών. Γ. Λαγουδάκος Καλή ανάγνωση !
  • 7. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 1 1.Επιλέγοντας έναν αριθμό … Δείτε πρ οσεκτικά τ ις παρακά τω κάρτ ες. Είναι χρ ωματ ισμένες κάρτες που στην μια μεριά έχει η κά θε μία ορισ μέν ους αριθμούς κα ι στην ά λλη τ ίποτε , μόν ο τ ο χρ ώμα τ ους. Το παιχν ίδι παίζετα ι ως εξής. Σου ζητώ να δια λέξεις έναν αρ ιθμό από αυτ ούς που είναι σημειω μέν ους στις κάρτ ες και να γνωρ ίζεις σ ε ποιες κάρ τ ες υπάρχει ο αρ ιθμός που διάλεξες. Μετά γυρίζω τις κά ρτες ανάποδα κα ι σ ου ζητώ να μου δείξεις σε ποιες κάρτ ες υ πάρχει ο αριθμός που διά λεξες . Μετά Ω!! τι θαύμ α σ ου λέω τον αρ ιθμό!!! Για παρά δειγ μα ας υ ποθέσ ουμε ότι διά λεξες τ ον α ριθμό 9 . Γυρνάμε τις κά ρτες και μου δείχνεις τις κάρ τες « πράσ ιν ο» και «γκρι» . Τότ ε εγώ είμα ι σε θέση να μαντέψω ότι ο αρ ιθμός είνα ι πράγματ ι το 9 . Πως εξηγείται αυτή η ικα νότητ α που έ χω ν α μαντεύω του ς αριθμούς; Μπορώ να σ ου πω ότι η λύση βασίζ εται στο δυα δικό σύστ ημα γραφής των αρ ιθμών . Ακόμη μπορ ώ να σ ου πω ότ ι υπάρ χει αντίστοιχο παιχνίδι με πέντ ε κάρτες , που η πέμπτη κάρτα ξεκιν ά από τ ον αριθ μό 16 κα ι οι κά ρτες περιέχουν α ριθμούς από τ ο 1 ως το 31. Αν καταλάβ εις τι πα ίζεται τ ότε φτιά ξε έξι κάρ τες που να περιέχουν αριθ μούς α πό τ ο 1 ως το 63 . Ένα είναι σίγ ουρ ο τ ότε ολόκληρη η παρ έα θα παρα δεχτεί τις μα ντικές ικαν ό τητές σου.
  • 8. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 2 Η αιτιολόγηση … Αν παρατηρήσ ου με προσ εκτικά θα δούμε ότι στις κάρτ ες γράφονται οι αριθ μοί από το 1 ως τ ο 15 με τη βοήθεια του δυα δικού συστήμα τος γραφής των αριθ μών . Η πρ ώτη κάρτα ξεκινά με τ ο 0 1 2= η δεύτ ερη με τ ο 1 2 2= , η τρίτη με το 2 4 2= και η τέτα ρτη με τ ο 3 8 2= . Οι υ πόλοιποι αριθμοί γράφονται κατάλλη λα στ ις τ έσσερεις κά ρτες. Για παρά δειγμα τ ο 3 επειδή γράφετα ι 1 +2 1 θα γραφεί στις δύ ο πρ ώτες κάρτ ες. Το 5 γράφεται 4+1=2 2 +1 άρ α θα γραφεί στη ν 1 η κα ι στην 3 η κά ρτα. Ένα ά λλο παρά δειγ μα για να το κατ αλάβ ου με ο αρ ιθμός 1 1 γράφεται 8+2+1 άρα θα γραφεί στην 1 η – 2η και 4η κάρτα . Αν υ ποθέσ ουμε ότ ι έχεις δια λέξει τ ον αριθμό 13 τ ότε θα δείξεις τις κάρτ ες «πράσινη » - «καφέ » - και «γκρ ι» . Εγώ γνωρίζω ότι ο αρ ιθμός θα προκύπτει ως άθροισ μα τ ων αριθμών 2 0 =1, 2 1 =2 , 2 2 =4 , 23 =8 ανά λογα σ ε πια α πό τ ις « πράσινη »- «μπλε» - «καφέ» - «γ κρι» αντ ίστοιχα κάρτα θα δείξεις . Άρα από τις συγκεκριμέν ες κάρτες πρ οκύ πτει ο αριθ μός : 1 +4 +8=13 . Στις «πίσω» πλευ ρές των καρτ ών μπορ εί να είναι σημειω μέν οι οι αριθ μοί 0,1 ,2,3 ώστ ε να είναι ακόμα ευκολότερ η η πρόβ λεψη . (Δες τις κάρτες που υ πάρ χουν σ το τελευταίο μέρ ος τ ου β ιβλίου ) Το παιχνίδι με 5 κάρτες
  • 9. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 3 2. Ρίχνοντας τρία ζάρια … Λες στ ον φίλο σ ου να ρ ίξει τρία ζάρια και να κάνει τις εξής πρά ξεις. Την ένδειξη όποιου ζαριού θ έλει την πολλα πλασ ιάζει επί 2 και μετά στο γινόμεν ο πρ οσθέτ ει 5. Ότι έχει βρ ει τ ο πολλαπλασιάζει επί 5 και μετά στ ο αποτ έλεσμα προσθ έτει την έν δειξη τ ου δεύτερου ζαρ ιού . Το α ποτ έλεσμα που έχει κα ταλή ξει τ ο πολλα πλασιάζει επί 10 και μετά πρ οσθέτ ει και την ένδειξη τ ου τρίτου ζαριού . Το τελικό α ποτ έλεσμα τ ο α νακοιν ώνει στ ον Μάγ ο και αυτ ός λέει τις εν δείξεις των τριών ζ αριών! Για παρά δειγ μα ας υ ποθέσ ουμε ότι ρ ίξα με τρία ζάρια κάν αμε τις πράξεις που μας έχουν υποδείξει και ότι το α ποτέλεσμα που τελικά βρή καμε είνα ι τ ο 794 … Ο Μάγος α πλά θα πει ότ ι οι ενδείξεις των ζαριών ήταν 5 , 4 , 4. Μπορείς ν α τ ο επιβεβαιώσεις κάν οντ ας τις πράξεις ξεκιν ώντας με οποια δήποτε ένδειξη θ έλεις …
  • 10. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 4 Η αιτιολόγηση Ας υ ποθέσουμε ότι οι εν δείξεις τ ων ζαριών είναι χ ,ψ , ζ Ακολουθ ούμε τις οδηγίες κα ι έχου με : 2χ / 2χ+5 / (2χ+5)5 / (2χ+5)5 +ψ / ((2χ+5)5 +ψ)10 / ((2χ+5)5 +ψ)10 +ζ / Ή μετά α πό πρά ξεις 100 χ + 10 ψ + ζ +250 Άρα 10 0χ+10 ψ+ζ +250 =794 Ή 1 00χ+10 ψ+ζ =544 (1) Επειδή οι εν δείξεις του ζαριού είναι {1,2 ,3,4 ,5,6 } Ουσιαστικά στ ο πρ ώτο μέλος της (1) έχου με την δεκα δική μορφή γραφής τ ου 544, άρα χ=5 , ψ=4 , ζ =4.
  • 11. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 5 3.Ο αριθμός 1089 Ζητάς από έναν φίλο σ ου να σκεφθεί έναν τριψήφιο αριθ μό που το πρ ώτο ψηφίο να είνα ι μεγα λύτ ερο α πό τ ο τελευτα ίο κα τά δύο του λάχιστ ον μονά δες … Μετά να γρά ψει τ ον τριψήφιο ανά στρ οφα … δη λαδή τ ο ψηφίο των μονάδων να γ ίνει ψηφίο εκατ οντά δω ν και τ ο ψηφίο τ ων εκατ οντάδων να γίνει ψηφίο μονά δων . Το ψηφίο των δεκάδων δεν αλλάζει θέση . Τους τριψήφιους αυτ ούς αριθ μούς τ ους αφαιρ ού με, α πό τ ον μεγα λύτερ ο τ ον μικρότ ερ ο. Από την αφαίρεση προκύπτει ένας νέος τριψήφιος αριθμός. Γράφου με πά λι τ ον ανάστρ οφό τ ου , όπως πριν κα ι πρ οσθ έτου με τους τριψήφιους αριθμούς . Το άθρ οισμα θα είναι ένας τετρα ψήφιος αριθ μός . Το θεα ματικό κα ι συγ χρ όνως μαθη ματικό είνα ι ότ ι ζητά με α πό τον φίλο μας να αν οίξει τ ο μεγάλο λεξικό τ ης Νέας Ελλη νικής Γλώσσας τ ου Μπα μπινιώτη (εκδόσεις : Κέντρ ο Λ εξικολογ ίας) στη σελίδα που αντιστ οιχεί στα τρία πρώτα ψηφία τ ου τετρα ψήφιου που βρή κε. Μετά να βρει τ ο λή μμα που αν τιστ οιχεί στο τελευταίο ψη φίο του τετραψήφιου α ριθμού που βρή κε. Τότ ε εσύ α πλά λες την λέξη – λή μμα στ ο οποίο ο φίλος σ ου έχει καταλή ξει ! Λες «α κράτεια» Αυτή είνα ι η λέξη , με όποιον τρ ιψήφιο αρ ιθμό και αν αρ χικά σκεφθεί.
  • 12. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 6 Η αιτιολόγηση Αν ο τριψήφιος αριθμός είν αι ο αβγ τ ότε αυτ ός γρ άφεται α 100 β 10 γ +  + . Όταν γρά ψου με τον α νάστροφ ό τ ου έχου με τον α ριθμό γ 100 β 10 α +  + . Αφα ιρώντας τ ους δύ ο αριθ μούς έχουμε (α γ) 100 (γ α)−  + − . Επειδή α >γ για να εκφράζ ει ο όρ ος (γ -α) ψηφίο μονάδων γράφου με (α γ 1) 100 90 (γ α 10)− −  + + − + . Ο ανάστρ οφ ος αρ ιθμός είνα ι ο (γ α 10) 100 90 (α γ 1)− +  + + − − . Προσθέτ οντας τους δύ ο α ριθμούς κατα λήγ ουμε στον αρ ιθμό 900+180 +9 =1089 . Δηλαδή πάντα ανεξάρτητα α πό ποιον τριψήφιο ξεκινήσ ου με καταλήγ ου με στον αρ ιθμό 1089. Οπότε το 9 ο λή μμα στη σελίδα 10 8 ενός λεξικού ( εν ός οποιου δή ποτ ε λεξικού που πρ οφαν ώς θα τ ο έχεις πρ οηγουμέν ως ανοίξει στην σελίδα 108) πά ντα θα είναι εκ τ ων πρ οτ έρων γνωστό!
  • 13. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 7 4. Παίζοντας με τα χαρτιά … Ζητώ α πό τ ον φίλο μου να δια λέξει 3 φύλλα από τα 52 μιας τράπουλας . Χωρίζω την τρά πουλα σε τ έσσερες στοίβες Α , Β , Γ , Δ . Ζητώ να τ οποθετήσ ει το πρώτ ο φύλλο πάν ω στην Α στ οίβ α. Ζητώ να βάλει μερικά φύ λλα α πό τη ν Β στ οίβα πάνω στα προηγούμεν α. Μετά τ οποθετ ώ τ ο δεύτερο άγν ωστο φύ λλο πά νω στην Β σ τοίβ α . Ζητώ να τ οποθετήσ ει ο φίλος μου μερ ικά φύλλα από την στοίβα Γ πά νω στη δεύ τερη στοίβα . Τοποθ ετώ τ ο τ ρίτ ο ά γνωστ ο φύ λλο πάνω στα φύλλα που απομέν ουν στην Γ στοίβα. Τοποθ ετώ κα ι τα χαρτιά της Δ στ οίβας πά νω στα χαρτιά τ ης τρίτης στ οίβας . Παίρνω όλα τα φύλλα της τ ρίτης στοίβας όπως έχει τ ώρα φτιαχτεί και τα βάζω πάνω στη δεύτερ η στ οίβα . Παίρνω όλα τα φύλλα της δεύτερης στοίβας όπως έχει τώ ρα φτιαχτεί και τα βάζω πάνω στη πρ ώτη στοίβα. Παίρνω τα τέσσερα πρώτα φύ λλα της τράπου λας και τα β άζω α πό πίσω στις τελευτα ίες θέσεις . Τώρα αρχίζουν τα μαγικά . Όπως είναι η τ ράπου λα ένα φύλλο το αν οίγ ω και ένα τ ο κρατώ κλειστό. Τα αν οικτά φύλλα τα βγάζ ω έξω. Το ίδιο κάνω ά λλη μία φορ ά, ένα φύ λλο αν οικτ ό και ένα κλειστ ό. Τα αν οικτά φύλλα βγαίν ουν έξω . Άλλη μία φ ορά, αν οικτό κα ι κλειστ ό φ ύλλο και τα α νοικτά φύλλα βγαίνουν έξω. Μία τελευτα ία φορά κα ι ω! τ ι μαγ ικό τα τρ ία φ ύλλα που μέν ουν είναι τα φύλλα που διά λεξε αρχικά ο φίλος μου.
  • 14. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 8 Η αιτιολόγηση … Το μυστικό είνα ι οι στ οίβες να έχουν α ριθμό χαρτ ιών 10 , 15 , 15 και η τ ελευταία 9 . Με τ ον τ ρόπο που έχω βά λλει τα άγνωστα φύ λλα στην τρά πουλα τα χαρτ ιά θα είναι στην 1 0η , 26η κα ι 42 η θ έση. Βάζοντας τέσσερα φύ λλα στ ο τέλος τα άγνωστα φύ λλα θα βρίσκοντ αι στις θ έσεις 6η , 22η και 38η . Για τ έσσερεις φ ορές βγάζου με ένα παρά ένα κα ι κάποιο φ ύλλο εκτός της τρά πουλας φανερ ών οντάς τ ο. Την πρώτ η φ ορά ξεκινάμε α πό τ ο φύλλο που βρίσκεται στ ην 1η θέση κα ι διώχν ου με όλα τα φύλλα που βρίσκοντα ι σ ε περ ιττές θέσεις. Άρ α τα φύ λλα μας που βρίσκονται στις θέσεις 6η , 22η και 3 8η παρα μέν ουν μέσα στα «ά γνωστα» φύ λλα . Την δεύ τερη φορά φ εύγ ουν από τα φύλλα που βρίσκοντα ι αρχικά σε άρτ ιες θ έσεις ξεκινώντας από τ ο φ ύ λλο 52 μετά το 48 κ.ο.κ. δηλα δή τα φύλλα με αρ ιθμό θ έσης 4ν με ν [1,13] . Τώρα απομέν ουν ως άγνωστα φύ λλα αυ τά που στην α ρχική στοίβα είχαν αριθμό αρίθ μησης 2,6,10 ,14,18 ,22,26,30 ,34,38 ,42,46,50 . Πα ρατηρείστε ότ ι τ α «άγνωστα» φύλλα μας που βρ ίσκονται στις θέσεις 6,22,38 βρίσκοντ αι μέσα … Την επόμενη φορ ά φαν ερών ου με τα φύλλα 2,10 ,18,26 ,34 ,42,50 . Οπότε μένουν τ α φύ λλα 6 ,14,22,30 ,38,46 . Τέλος βγάζου με τα φύλλα 46,30 ,14 και ω! τ ου θαύ ματ ος παραμέν ουν τα φ ύλλα 6, 22 και 38 . Τα άγνωστα σε μας αρ χικά φύλλα .
  • 15. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 9 5. Το πιο απλό «μαθηματικό» τρικ … Ζητάς από τον φίλο σου να γρά ψει έναν τετρα ψήφιο αριθ μό, π.χ. 1234 Εσύ σε ένα χαρτί γράφ εις τ ον αρ ιθμό 21 232 χωρ ίς να τ ον παρ ουσιάσεις ώστ ε να κάνεις την τ ελευταία στιγ μή τη μεγ άλη έκπλη ξη! Ζητάς από τον φίλο σου να γρά ψει και άλλον έναν τετ ραψήφιο αριθμό κάτω α πό τ ον πρ οηγ ού μεν ο, π.χ. 6389 . Από κάτω γράφεις τ ον αριθ μό 361 0. Ζητάς να γ ράψει και ά λλον έν αν τ ετρα ψήφιο αριθμό, π.χ. 2894 Από κάτω γράφεις 71 05. Μετά ζητάς α πό τον φίλο σ ου να πρ οσθέσ ει του πέντ ε τετραψήφιους αρ ιθμούς που έχουμε γρά ψει, δηλα δή για τ ο παράδειγ μά μας : 1234+6389 +3610 +2894 +7105 =… =21232! Ακριβώς ο αριθμός που εσύ ως μέγας μάγ ος τ ον είχ ες α πό τα πριν βρει!
  • 16. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 10 Η αιτιολόγηση … Παρατηρείστε ότι ο πρώ τος τετρ αψήφ ιος ήταν ο 123 4. Ο αριθμός που έγρα ψα πρ οκύ πτει α πό αυτ όν με τ ον εξής α πλό τρ όπο γράφω μπρ οστά ένα 2 και μετά από τ ον πενταψήφιο που πρ οκύ πτει αφαιρώ 2. Δη λαδή 21234 -2=2132. Τώρα παρ ατηρείστ ε και κάτ ι α κόμα , όταν ο φ ίλος μου γρά φει έναν τ ετρα ψήφιο εγώ γράφω εκείνον ώστε με τ ον πρ οηγ ούμεν ο να έχει άθρ οισμα 999 9, δη λα δή μου είπε 6389 και εγώ έγ ραψα 3610, μου είπε 2894 και εγώ έγρα ψα 7105 . Με τ ον τρ όπο αυτό τ ο άθροισ μα τ ων πέντε τετρα ψήφιων θα είναι ο αριθμός που εγώ «μαγικά» έχω πρ οβλέψει. Ας δώσ ουμε μια πιο μαθηματ ική εξήγηση : Έστω ο αρχικό τετρα ψήφιος ότ ι είνα ι ο αβγδ ( τα α,β ,γ,δ είναι ψηφία) . Ο αριθμός που τελικά θα πρ οκύ ψει ως άθρ οισ μα είναι ο 2αβγδ 2 2 10000 αβγδ 2 2 9999 αβγδ− =  + − =  + Πράγματι, έχοντας πρ οβ λέψει ο δεύτερ ος και τρίτ ος τετραψήφιος , όπως ο τ έταρτ ος και πέμπτος να έχουν άθρ οισμα 9999, τ ο άθρ οισμα τ ων πέντε τετρα ψήφιων είνα ι αβγδ 9999 9999 2 9999 αβγδ+ + =  + . Ο αριθ μός δηλα δή που έχω μαντέψει!
  • 17. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 11 6. Πιο γρήγορος και από κομπιουτεράκι ! Ζητάς από τον φίλος σ ου να σου πει έναν τετρα ψήφιο αριθμό π.χ. τ ον 3562 Μετά ά λλον έναν π.χ. τ ον 5728 Στη συ νέχεια λες και εσύ με τη σειρά σου έναν τετρα ψήφιο αριθμό π.χ. τ ον 4271 Στο χα ρτί σημειών εις τ ις πρά ξεις : Ζητάς από τον φίλο σου χρησιμοποιώντας τ ο κομπιουτερά κι ν α υπολογίσει τα γ ιν όμενα Α και Β κα ι μετά τ ο άθροισμα Γ τ ων δύ ο γινομέν ων. Το μαγ ικό είνα ι ότ ι εσύ θα υ πολογίσ εις τ ο α ποτ έλεσμα τω ν πράξεων αυτ ών πολύ πιο γρήγ ορα … κυριολεκτ ικά στη στ ιγμή. Απλώς γράφοντας τ ον αριθ μό 35 .616 .438, που είναι ο σω στός!
  • 18. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 12 Η αιτιολόγηση … Το μυστικό είνα ι ο τετ ραψήφ ιος που επιλέγ εις εσύ . Πρέπει μαζί με τ ον δεύτερο τετραψήφιο να δίνει άθροισμα 9999 . Πράγματι πα ρατηρείστε. Ο δεύτ ερ ος τ ετρα ψήφιος ήταν ο 5728 και ο τετρ αψήφ ιος που επέλεξα ήταν ο 4271 . Οπότε έχου με να υ πολογίσ ουμε τ ην τ ιμή της παρ άστασης : ( ) ( )  +  =  + =  =  − = − = + − = + + + − = + = 3562 5728 3562 4271 3562 5728 4271 3562 9999 3562 10000 1 35620000 3562 35610000 10000 3562 35610000 3562 6437 1 3562 35610000 6438 35616438 Παρατηρείστε ότι ο τ ελικός οκτ αψήφ ιος αριθ μός αρ χίζει με τέσσερα ψηφία που είνα ι ίδια με τ ο α ρχικό τετραψήφιο ελαττ ωμέν ο κατά ένα (3562 -1 =3561 ) και ακολουθ ούν τέσσ ερα ψηφία που σχη ματίζ ουν τ ον αριθμό 6438 ο οποίος μαζί με τ ον 3561 έχει άθρ οισ μα 999 999. Άλλο ένα παρά δειγμα : αν έχου με να υπολ ογ ίσουμε την παράσταση : 2563 4372 2563 5627 ... +  = τ ο αποτέλεσ μα θα είναι 25.627.437.
  • 19. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 13 7. Επιλέγοντας από 27 χαρτιά το σωστό – τρεις εκδοχές … Εκδοχή πρώτ η … Δίνεις μία τρά που λα α πό 27 χαρτιά να την ανακατέψει ο φίλο ς σου και συγχρόν ως ν α δια λέξει ένα χαρτί α πό α υτά. Αφού τ ο τοποθετήσει ξανά μέσα στη ν τρ άπου λα το φύ λλο που επέλεξε , αν οίγ εις ένα -ένα τα χαρτ ιά φτ ιάχν οντας τρεις σ τοίβες . Ζητάς να σ ου πει σε ποια α πό τ ι ς στ οίβ ες είναι τ ο χαρτί που διά λεξε. Μαζεύεις – κατάλληλα – τα χαρτιά κα ι επανα λα μβάνεις τ ην δια δικασ ία δη λαδή , την υπόδειξη της στ οίβας κα ι τ ο κατά λληλο μάζεμα ά λλες δύ ο φ ορές . Μετά είσαι σ ε θ έση ν α βρ εις το χα ρτί απλώς μετρώντας φ ύλλα! Όπως κατα λάβατε το μυστ ικό βρ ίσκεται στ ο πω ς μαζ εύεις τα φύλλα α πό τ ις τρ εις στοίβες. Για παρά δειγ μα αν και στα τρία μαζ έματα η στοίβα στη ν οποία έχει υ ποδειχθ εί ότ ι βρ ίσκετα ι τ ο ζητ ούμενο φύ λλο μαζ εύεται δεύτ ερη τότ ε τ ο 14 ο φύλλο της τρά πουλας είναι τ ο ζητ ού μενο χαρτί. Αν τη ν 1η φ ορά μαζεύ εται πρώτη , τ ην 2η φ ορά δεύτερη και την 3η τρίτη τ ότε τ ο χαρτ ί θα είναι τ ο 6ο . Επειδή υ πάρχου ν 3! 1 2 3 6=   = τρ όποι να μαζευτ ούν τα φύλλα, υπάρχουν και 6 διαφ ορετ ικές περιπτώσ ε ις εξέλιξης τ ου παιχν ιδιού. Πως μπορεί κάποιος να τ ις θυ μάται όλες α υτές τις περιπτ ώσεις; Με την βοήθ εια του πίνα κα : 1η σ τοίβα 2η σ τοίβα 3η σ τοίβα Μαζεύετα ι 3 η 0 0 0 Μαζεύετα ι 2 η 1 3 9 Μαζεύετα ι 1 η 2 6 18
  • 20. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 14 Δηλαδή αν τ ο κατά λλη λο μάζεμα γ ίνετα ι ώστε η στ οίβα που υποδεικνύ εται μαζεύετα ι … : • πάντα πρ ώτη τότ ε μετά α πό τη ν ολοκλήρ ωση της δια δικασ ίας τ ο φύλλο θα βρίσ κεται στην θέση (2+6 +18) +1 =27η θέση τ ης τρά πουλας. • Στην α ρχή δεύτερ η, μετά τ ρίτη και στ ο τέλος τρίτη , το φύλλο θα βρ ίσκετα ι στη θέση (1 +0 +0) +1 =2η θέση της τράπουλας . Παρατηρείστε ότι α πλώς πρ οσθέτ ουμε τ ους αντίστ οιχους αριθμούς και στ ο τ έλος μία μον άδα ακόμα. Αν μου πείτε ότι είνα ι δύσ κολο να α πομνη μονεύσω όλους αυτ ούς τους αριθμούς … σας κατα λαβαίνω , γι’ αυτ ό υ πάρχουν τα μαθηματικά. Συγκεκριμένα θα χρησιμοποιήσ ου με τ ο τρ ια δικό σύστημα γ ραφής τ ων α ριθμών. Κάτι αντίστ οιχο με το δυα δικό που ή δη έχου με συναντήσ ει. Στο τριαδικό σύστη μα κάθε αριθ μό τ ον γράφ ουμε με τη β οήθεια των ψηφίων 0,1 ,2 σ ε τρ εις θέσεις όπου η πρ ώτη δη λών ει πόσ ες μονά δες έχουμε, η δεύτερη πόσα 3άρια και η τ ελευταία πόσα 9άρια. Για παρά δειγ μα ο αριθ μός 19 γράφετ αι 2 1 0 319 18 1 2 9 0 3 1 1 2 3 0 3 1 3 [201]= + =  +  +  =  +  +  = Με τ ον τ ρόπο α υτό ο πίνακας μας πα ίρνει τη μορφή : 1η σ τοίβα (1=3 0 ) 2η σ τοίβα (3=3 1 ) 3η σ τοίβα (9=3 2 ) Μαζεύετα ι 3 η 0 0 0 Μαζεύετα ι 2 η 1 1 1 Μαζεύετα ι 1 η 2 2 2 Παρατηρείστε ότι εκεί που ήτα ν τ ο 18 τώρα έχουμε γρά ψει 2 εννοώντας 2 2 3 18 = , παρ όμοια εκεί που ήταν γραμμέν ο 6 τώρα έχουμε γρά ψει 2 ενν οώντας 2 3 6 = Οπότε αν το μάζεμα τω ν φύ λλων έχει γίν ει : 2η - 1 η - 2η , εμείς θα θυμόμαστε 121 που αντιστ οιχεί στην τρια δική μορφή γ ραφής του αριθ μού 1 +6 +9 =16 άρα το φύ λλο θα βρ ίσκετα ι στη ν 1 7 η θέση.
  • 21. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 15 Εκδοχή δεύτερη … Το θεα ματικό στην περίπτωση αυτή είναι ότι δεν αγ γίζεις εσύ την τρά πουλα , μόν ο ο φίλος σ ου. Δη λαδή … Διαλέγ ει ένα χα ρτί, ανα κατεύ ει την τρά πουλα κα ι σ χηματ ίζει την πρώτη στ οίβα. Κάνει τ ο πρ ώτο μάζεμα κα ι εσύ πρ οσέχεις σε ποια α πό τ ις τρεις περιπτώσ εις αντιστ οιχεί. Η στ οίβα που έχει υ ποδειχθεί μπήκε στην αρχή στη μέση ή στ ο τέλος όπως μαζευ όταν ; Το σκην ικό επαν αλα μβάνετα ι τρ εις φορ ές πρ οσέχοντας πά ντα πως μαζεύ οντα ι τ α φύ λλα. Στο τέλος είναι εύκολο για σένα αφ ού γνωρ ίζεις τον α λγ όριθμο να βρεις τ ο φύλλο. Ας υ ποθέσουμε ότι τα μαζ έματα ήταν 3η – 1η – 1η τ ότε αυ τό αντιστοιχεί στ ον τρια δικό αρ ιθμό 0 22 δη λαδή τ ο φύλλο θ α βρίσκεται στη θέση (0 +6 +18) +1 =25ο φύ λλο. Εκδοχή τρ ίτη … Η θεαματικότερ η ! Ζητάς πά λι να επιλεχθ εί ένα χαρτ ί, να ανακα τευθεί η τρά πουλα και να σ χηματ ισθούν οι τρεις στ οίβ ες για πρώτη φ ορά . Τότ ε ζητάς από τ ον φίλο σου ή α πό κάποιον άλλον να σ ου πει έναν α ριθμό από τ ο 1 έως τ ο 27 . Ας υ ποθέσουμε ότι σ ου λένε τον αρ ιθμό 15. Τότ ε αφα ιρείς ένα και τ ον αρ ιθμό 14 τ ον γράφεις σε τρ ιαδική μορφή . Γράφ εται 14=9 +3 +2 δη λαδή 212 ( αφ ού 0 2 314 2 3 9 2 3 1 3 2 3 [212]= + + =  +  +  = ) Οπότε τα μαζέματα - που τ ώρα γίν ονται α πό σένα - θα είνα ι 1η -2η - 1η . Τελικά ω! δια μαγ είας το ζητ ούμεν ο φύ λλο θα το αναζητή σουμε στην 15η θέση της τ ράπου λας, ακρ ιβώς στ ον αρ ιθμό που ειπώθηκε α πό τ ο κοιν ό ως επιθυμία.
  • 22. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 16 Η αιτιολόγηση … Ας αιτ ιολογήσ ουμε μία περίπτωση α πό τις 6 που υ πάρχου ν κα ι αφήνου με σε σας ως άσκηση τις υ πόλοιπες! Υποθέσ ουμε ότι τα μαζέματα ήταν 3η – 2η – 3η που αντισ τοιχεί στον τρια δικό 010 δη λα δή στ ον αριθ μό 3 κα ι ά ρα τ ο φύ λλο θα αναζητηθεί στ ην 4 η θέση . Γιατί να συ μβαίν ει αυτ ό; Την 1η φορά μαζεύ ου με την στοίβα που βρίσκεται το φύ λλο τελευταία , οπότ ε το φύ λλο μας θα είνα ι ένα από τα 9 φύ λλα που τώρα βρ ίσκονται στ ην αρχή της τρά πουλας ( αφού τ α φύ λλα μαζεύ ονται αν οικτά και η τράπου λα μοιράζ εται με κλειστ ά τα φύλλα – άρα η σειρά έχει αλλά ξει) Με την 2η δη μιουργία στ οιβώ ν τα 9 αυτά φύ λλα θα βρεθ ούν στις τρεις τ ελευταίες θ έσεις κάθε στ οίβας, δηλα δή θα έχουν μοιραστεί ανά τρ ία στ ις τρ εις στοίβες. Στο δεύτ ερο μάζεμα –( 2η ), τα 3 πλέον φύλλα ανάμεσα σ τα οποία είναι κα ι το ζητ ούμενο φύ λλο μαζ εύ ονται μαζί με τ α υπόλοιπα 6 χαρτιά της στοίβας τ ους στη μέση της τρά που λας. Θα βρίσ κοντ αι λοιπόν στ ις θέσ εις 10 η – 11η – 12η Με την δη μιουργ ία γ ια τρίτη φορά στ οιβ ών τ α χαρτιά μας, ένα σε κάθ ε στ οίβα , θ α βρεθ ούν στην 4 η θέση από τ ο τ έλος σε κάθε στοίβα ή στη 6η θέση α πό την αρ χή. Τέλος η στ οίβα θα μαζευτεί τελευταία (3η ) . Με τ ον τ ρόπο α υτό τ ο φύλλο μας θα βρεθ εί στην 4 η θ έση της τράπουλας αφ ού μετά τ ο μάζ εμα όλα τα φύλλα είναι κλειστά και τα αν οίγ ου με ένα - ένα. Είναι πρόκληση για τ ον καθένα ν α κάνει μία γεν ική απόδειξη τ ου αλγορίθμου κα ι ν α μην σπάσει τ ο πρόβ λημα σε 6 ειδικές περιπτώσ εις. Αλλά α υτ ό τ ο αφήνω σε εσάς μαθη ματικό -μαγ ικοί μου !
  • 23. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 17 8. Τα μαγικό κατάλοιπο ... Όταν έχουμε έναν οποια δή ποτ ε α ριθμό τ ότε πρ οσθέτ οντα ς τα ψηφία τ ου και μετά πρ οσθέτ οντας τα ψηφ ία τ ου αθρ οίσ ματος και μετά πρ οσθέτοντας τα ψηφία τ ου νέου αριθ μού και α υτό τ ο κάνου με συν εχώς κα ι συ νεχώς έως ότ ου κατα λή ξουμε σ ε ένα και μονα δικό ψηφίο ο αρ ιθμός αυ τός λέγετα ι κατάλοιπο του αρχικού αριθμού. Για παρά δειγ μα ας πάρ ουμε το σειριακό αριθ μό 324631 0871 τ ου διπλαν ού 20εύρου τ ότ ε : 3+2 +4+6+3 +1 +0 +8 +7+1 = 35 και 3 +5 =8 Άρα τ ο κατάλο ιπο τ ου 324631 0871 είναι 8 Μία βασική μαθηματική ιδιότητα του αρ ιθμού αυτ ού είνα ι ότι ισούτα ι με τ ο υπόλοιπο της δια ίρεσης του αρ χικού αρ ιθμού με τ ο 9. Δηλαδή για τ ον αριθ μό 32463 10871 ισχύ ει και 3246310871 9 360701207 8=  + Ας δούμε τ ώρα το μαγικό ! Ζητάς από το φίλο σ ου να καταγ ράψει τ ο σειρια κό αρ ιθμό από ένα ν όμισμα που έχει στ ο πορτ οφ όλι τ ου . Μετά να γρά ψει έναν νέο α ριθμό με ψηφία τα ίδια με αυτ ά τ ου αρχικού αριθ μού, α πλά ανα κατεμένα . Έπειτα του ζητάς να αφαιρέσ ει τ ους δύ ο αυτ ούς αριθμούς (α πό το μεγα λύτ ερ ο τ ο μικρ ότερ ο) . Η διαφορά που πρ οκύ πτει είνα ι ένας τ ρίτ ος αρ ιθμός . Του ζητάς να δια γράψει ένα α πό τα μη μηδενικά ψηφία τ ης διαφ οράς και μετά να σ ου πει ανακατεμένα τα υπόλοιπα ψηφία , έστω και ανακα τεμένα . Ω! τ ου θαύμα τος εσύ είσαι σε θέση να μαντέψεις το ψηφίο που διέγρ αψε!
  • 24. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 18 Για παρά δειγ μα , ας πούμε ότ ι έχουμε τον αρ ιθμό 324631 0871, εσύ δεν τ ον γνωρ ίζεις. Ανακατεύει τα ψηφία του και γράφει τ ον αριθ μό 8763 321 104. Αφαιρεί τ ους δύο αρ ιθμούς και βρίσκει 5517010233 . Υποθέτ ουμε ότ ι διαγ ράφει τ ο ψηφίο 7 και σ ου λέει έναν αριθ μό που πρ οκύ πτει α πό τα ψηφία που α πομένουν, για παράδειγμα μπορεί ν α σ ου πει : 150013523 . Τότ ε εσύ α πλά λες τ ον αριθμό 7! Πως τ ο βρ ίσκεις; Βρίσκεις τ ο κατά λοιπο τ ου αριθμού που σ ου δίνετα ι. Δηλαδή : 1 +5 +0+0 +1 +3 +5 +2+3=20 / 2 +0=2 Μετά α πλά αφαιρ είς από το 9 τ ο κατά λοιπο και έχεις 9 -2 =7!
  • 25. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 19 Η αιτιολόγηση … Ας δούμε μερικές ιδιότητες του κατα λοίπου . 1. Το κατά λοιπο ενός αριθ μού δεν α λλάζ ει αν αναδιατά ξουμε τα ψηφία του. Νομίζω ότι αυτ ό είν αι εύκολο να α ποδειχθεί. Για παρά δειγμα τ ο κατάλοιπο τ ων αριθμών 3246310871 κα ι 8763 321104 είνα ι τ ο ίδιο. 2. Όταν κάνουμε μία αφαίρ εση τ ότε υ πάρ χει ένας α πλός τρόπος για να δού με αν είναι σωστή . Για παρά δειγ μα αν εκτ ελού με την αφαίρεση ανά μεσα σε δύ ο πολύ μεγά λους αρ ιθμούς Α,Β και γράφ ουμε : Α -Β =Δ τότε αν συμβ ολίσ ουμε με ΚΑ , ΚΒ , Κ Δ , τα κατά λοιπα τ ων αριθμών Α,Β ,Δ αντίστ οιχα ισχύει και Κ Α -ΚΒ =ΚΔ (1 ) ! . Την ιδιότητ α α υτή χρησιμοποιούσαν οι λογιστ έ ς πριν εφευρεθ ούν τα κομπιουτ εράκια . 3. Στην περ ίπτ ωση όπου αφαιρ ούμε δύ ο αριθ μούς με το ίδιο κατάλοιπο τ ότε η διαφ ορά έχει κατά λοιπο 9 (και όχι 0 ), αφού όπως είπα με τ ο κατάλοιπο ταυτίζετα ι με τ ο υπόλοιπο της διαίρεσης τ ου αριθ μού με τ ο 9 . Για τ ο παρά δειγμα μας αφ ού οι δύ ο αριθ μοί που αφαιρ ού με έχουν πρ οκύ ψει από ανα διάτα ξη των ψηφίων τ ου ίδιου α ριθμού θα έχουν τ ο ίδιο κατάλοιπο. Άρ α η διαφ ορά τ ους θα έχει κατάλοιπο 9 . Όταν ο φίλος μας διαγράφει ένα μη μη δεν ικό ψηφ ίο Χ τ ότ ε για το κατά λοιπο τ ου αριθμού Γ που τελικά μας φα νερώ νει (γ ια τ ο παράδειγ μά μας 150013523) ισ χύει ότι : Γ ΓΚ x 9 x 9 K+ =  = − !
  • 26. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 20 9.Βρίσκοντας τον μήνα και το έτος γέννησης … Με τ ο συγ κεκρ ιμένο μαγικό θα είμαι σε θέση να βρ ω τον μήνα και τ ον έτ ος γέννησης οποιου δή ποτ ε. Ας υ ποθέσουμε ότι έχω απέναντι μου έναν μαθητή μου. Του ζητώ να πολλαπλασιάσει τ ον μή να γ έννησης του επί 2 . Στο γιν όμεν ο που βρήκε να πρ οσθέσει 5 . Μετά να πολλα πλασιάσει τ ο αποτέλεσ μα επί 50. Αν έχουν περάσει τα γενέθλιά του να πρ οσθέσει 1769 ειδάλλως να προσθέσ ει 1768 . Στο τέλος να αφα ιρέσει την η λικία του και να μου πει το αποτ έλεσμα που βρή κε. Ας υ ποθέσουμε ότι ο σ υγκεκριμέν ος μαθητής έκαν ε σ ωστ ά όλες τις πράξεις και βρήκε τελικό αποτέλεσ μα 2610. Τότ ε εσύ φυσικά του λες ότι γεννήθηκε Ιούνιο του 2010!
  • 27. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 21 Η αιτιολόγηση … Ας υ ποθέσουμε ότι ο μήνας γέννησης είναι Χ κα ι τ ο έτ ος Ψ τ ότε ακολουθώντας την σειρά τ ων πρά ξεων που περιγρά ψα με καταλήγ ου με στο α ποτέλεσμα : (2Χ 5) 50 1769 Ψ+  + − ή (2Χ 5) 50 1768 Ψ+  + − αν δεν έχει γιορτάσ ει ακόμα τ α γ ενέθ λια του. Ας κά νου με μερικές πρά ξεις α κόμα … 100Χ 250 1769 Ψ ή 100Χ 250 1768 Ψ+ + − + + − Τελικά έχου με … 100Χ 2019 Ψ ή 100Χ 2018 Ψ+ − + − άρα Στο τελικό α ποτέλεσμα 2610 που μας λέει τα ψηφία τ ων δεκάδων και μονάδων δεν επη ρεάζονται από τ ον παράγ οντα 100 Χ. Είναι ψηφία της ημερ ομηνίας γένν ησης. Επειδή είν αι μαθητής και δεν μπορεί ν α έχει γ εννηθεί τ ο 1910 , τ ο έτ ος γ έννησης είνα ι τ ο 2 010 και α πό την διαφ ορά 26 -20=6 ΄έχουμε ότι γεν νήθηκε στ ον 6ο μήνα. Ιούλιο τ ου 2010 λοιπόν … Για να εξασκηθ ού με … ας υ ποθέσουμε ότι τ ο ίδιο έκανα και με τον πεθερ ό μου και ως τελικό αριθ μό ειπώθηκε ο 2340. Π οιον μήνα και ποιο έτ ος γεννήθη κε; Το μέρ ος 40 τ ου τελικού αριθ μού είνα ι η δεκα ετία τ ου χρ όν ου γέννησής τ ου . Άρα αφ ού είνα ι μεγά λος άνθρ ωπος θα γ ενν ήθηκε το 1940 και μά λιστα τ ον Μά ρτιο αφ ού 23-19=4! Προσοχή όμως τ ο τρ ικ αυτ ό για να το εφα ρμόσεις τ ο 20 20 θα πρέπει να αντικαταστήσεις τ ους αριθ μούς 1769 κα ι 1768 με τους 1770 κα ι 17 69 αν τίστ οιχα . Αν θέλει να τ ο παρ ουσιάσ εις τ ο 2 021 οι αριθ μοί τ ώρα θα γ ίν ουν 1771 και 1770 κ.ο.κ. Καλές πρ οβλέψεις …
  • 28. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 22 10. Εξαφανίζοντας ένα ολόκληρο τετράγωνο ! Παρατηρείστε τα παρακάτ ω σ χήματα … Mε απλή ανα διάτα ξη των σχη μάτων κα τόρθ ωσα να εξαφα νίσω ένα ολόκληρ ο τετρ άγων ο; Στο τέλος τ ου βιβ λίου σας δίν ω τη ν παρακά τω σελίδα και σας προτρέπω να κόψετε τα σχήματα ώστε να επιβεβαιώσετε το μαγικό !
  • 29. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 23 Η αιτιολόγηση Παρατηρείστε τ ις λεπτομέρ ειες α πό τα δύο «τετράγων α». Αν μετρήσ ου με τις γων ίες θα διαπιστώσ ουμε ότι οι ΑΒ και ΒΓ δεν είν αι στην ίδια ευθεία , όπως και οι ΔΕ με την ΕΖ. Επειδή ο ΑΒΓ 178.76= και ο ΔΕΖ 181.24= το πρ ώτο «τ ετράγω νο» έχει μεγα λύτερ ο εμβαδόν από τ ο δεύτερ ο. Πόσο; Κατά ένα μικρ ό τετραγωνά κι όσ ο αυτ ό που εξαφαν ίσαμε …
  • 30. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 24 11. Fitch Cheney trick … κάτι σαν σήματα Μορς Το μαγικό που θα περιγράψουμε το δημιούργησε ο William Fitch Cheney Jnr (1904-1974) που το 1927 πήρε το πρώτο PhD στα Μαθηματικά στο MIT. Το μαγικό ξεκινά … Συμμετέχουν ο μάγος, ο συνεργάτης του και κάποιος θεατής. Στην αρχή ο μάγος δεν είναι παρών. Ο συνεργάτης δίνει μία τράπουλα 52 χαρτιών στον θεατή, όπου αυτός την ανακατεύει και μετά επιλέγει 5 χαρτιά. Τα χαρτιά αυτά τα βλέπει ο συνεργάτης του μάγου. Αυτός με τη σειρά του επιλέγει ένα από αυτά και το δίνει στον θεατή. Τα υπόλοιπα τέσσερα τα τοποθετεί στη σειρά, άλλα φανερά και άλλα κρυμμένα. Τότε κάνει την εμφάνισή του ο Μάγος. Μετά από μία σύντομη ματιά είναι σε θέση να πει ποιο χαρτί έχει στην κατοχή του ο θεατής ! Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι ο θεατής έχει επιλέξει : J, K, 2, 6 και 9. Ο συνεργάτης , δίνει στον θεατή το J και τα υπόλοιπα χαρτιά τα βάζει στη σειρά με τον εξής τρόπο : 9  / κλειστό χαρτί / K / κλειστό χαρτί. Τώρα κάνει την μεγάλη είσοδο ο Μάγος ! Ρίχνει μια βιαστική ματιά στα χαρτιά και λέει στον θεατή ότι κρατά το J ! Ένα άλλο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι μπαίνοντας ο μάγος βλέπει … Τότε λέει ότι το χαρτί που κρατά ο θεατής είναι 9 καρό !
  • 31. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 25 Η αιτιολόγηση … Είναι προφανές ότι ανάμεσα στον Μάγο και στον συνεργάτη του έχει συμφωνηθεί μία μορφής επικοινωνία. Η γλώσσα με την οποία επικοινωνούν βασίζεται σε μερικές μαθηματικές αρχές. 1η αρχή : Όταν ο θεατής έχει διαλέξει τα 5 χαρτιά τότε αποδεικνύεται ότι 2 τουλάχιστον από αυτά θα είναι του ίδιου σχήματος και χρώματος. (αρχή περιστεροφωλιάς) 2η αρχή : Ας θεωρήσουμε τα 13 χαρτιά ενός χρώματος μίας τράπουλας τοποθετημένα σε έναν δεξιόστροφο κύκλο. Παρατηρείστε ότι ξεκινώντας από το 9 για να φθάσουμε στο J θέλουμε να μετακινηθούμε δύο θέσεις. Αλλά ξεκινώντας από το J για να φθάσουμε στο 9 ( κινούμενοι δεξιόστροφα) θέλουμε 11 θέσεις. Επιλέγουμε πάντα τη κίνηση με τη μικρότερη μετακίνηση. Δηλαδή στο παράδειγμά μας από το 9 (ΑΡΧΗ) προς το J (ΤΕΛΟΣ) 3η αρχή : Στον θεατή δίνουμε το ΤΕΛΟΣ και βάζουμε ως πρώτο φύλλο την ΑΡΧΗ ανοικτό (να φαίνεται χρώμα και σχήμα). 4η αρχή : ο αριθμός των χαρτιών που παρεμβάλλονται από τ ην ΑΡΧΗ (9) μέχρι το άγνωστο φύλλο, δηλαδή 2 χαρτιά θα παρουσιαστεί στον μάγο γράφοντας ο συνεργάτης του τον αριθμό 2 με τη βοήθεια του δυαδικού συστήματος δηλαδή ως [010]2 με την μορφή κλειστού φύλλου/ ανοικτού φύλλου – οποιουδήποτε – στο παράδειγμά μας το K / κλειστό χαρτί. Τα χαρτιά που παρουσιάζονται στον μάγο είναι τα : 9  / κλειστό χαρτί / K / κλειστό χαρτί (θεωρούμε ότι το κλειστό χαρτί αντιστοιχεί στο 0 και το ανοικτό στο 1). Άρα ο Μάγος καταλαβαίνει ότι το άγνωστο χαρτί είναι  και μάλιστα αυτό που βρίσκεται [010]2 θέσεις μετά δηλαδή ο 1 2 0 2 1 2 0 2 2 +  +  = . Άρα θα είναι το χαρτί 9+2=11 δηλαδή το J
  • 32. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 26 Στο 2ο παράδειγμα ( με τις εικόνες) , ο Μάγος καταλαβαίνει ότι το χαρτί είναι καρό και είναι μετά το 5, [100]2 θέσεις, δηλαδή 2 1 ο 1 2 0 2 0 2 4 +  +  = θέσεις. Άρα είναι το 5+4=9 καρό. Το τρικ αυτό έχει και μία δεύτερη πιο θεαματική εκδοχή όπου στο τέλος υπάρχουν 4 ανοικτά φύλλα και ο Μάγος μελετώντας τα είναι σε θέση να καταλάβει ποιο χαρτί κρατά ο θεατής. Η γλώσσα επικοινωνίας ανάμεσα στον Μάγο και τον συνεργάτη του στηρίζεται στις ίδιες πάνω κάτω αρχές με μικρές διαφοροποιήσεις … Δηλαδή πάλι υπάρχουν δύο τουλάχιστον φύλλα του ίδιου χρώματος. Το πρώτο από τα αριστερά ανοικτό φύλλο έχει το ίδιο χρώμα και σχήμα με το φύλλο που κρατά ο θεατής. Η απόσταση μεταξύ των φύλλων ορίζεται όπως πριν. Αποδεικνύεται ότι ο αριθμός των μετακινήσεων που μπορούν να εμφανιστούν στο τρικ είναι από 1 έως το πολύ 6. Άρα πρέπει να βρεθεί τρόπος να επικοινωνίας ανάμεσα στο συνεργάτη και το Μάγο για τους αριθμούς 1,2,3,4,5 και 6. Το δυαδικό σύστημα δίνει τη λύση αφού προηγουμένως έχουμε συμφωνήσει στα εξής δύο θέματα : 1ο . Όλα τα φύλλα της τράπουλας ιεραρχούνται σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα : A♣ < 2♣ < . . . < K♣ <A♥ < . . . <K♥ <A♠ <. . . < K♠ < A♦ < . . . < K♦ Δηλαδή το χαρτί με τη μικρότερη αξία είναι το Α σπαθί και το χαρτί με την μεγαλύτερη αξία το Βασιλιάς καρό. 2ο . Οπότε τα τρία φύλλα που απομένουν για να επικοινωνήσει ο συνεργάτης με τον Μάγο ιεραρχούνται. Υπάρχει το χαμηλό φύλλο (Low) το μεσαίο φύλλο (Median) και το Υψηλό φύλλο (High). Τρία φύλλα L,M,H μπορούν να αναδιαταχτούν με 3!=6 τρόπους οπότε οι αναγκαίοι αριθμοί 1 έως 6 σχηματοποιούνται με τη βοήθεια της αντιστοίχισης LMH=1 / LHM=2 / MLH=3 / ΜHL=4 / HLM=5 / HML=6
  • 33. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 27 Άρα για τα φύλλα J, K, 2, 6 και 9. • Ο συνεργάτης επιλέγει τα φύλλα ίδιου σχήματος και χρώματος J και 9 • Από το 9 στο J μετακινούμαστε 2 φύλλα ενώ από το J στο 9 μετακινούμαστε 11 φύλλα. Επιλέγουμε τη μικρότερη μετακίνηση και ως ΑΡΧΗ θεωρούμε το 9 και ως ΤΕΛΟΣ το J. • Το J δίνεται στον θεατή ως «κρυμμένο» φύλλο. • Το 9 είναι το πρώτο «ανοικτό» φύλλο • Τα επόμενα 3 φύλλα είναι τα K, 2, 6. Σύμφωνα με την ιεράρχηση των φύλλων μιας τράπουλας θα είναι L=6 < M= K<H=2 • Επειδή θέλουμε να δηλώσουμε ότι το άγνωστο φύλλο είναι αυτό που βρίσκεται μετά το 9 μετακινούμενοι 2 φύλλα , θα γράψουμε LHM. Δηλαδή τα χαρτιά 62 K Όταν έρθει ο Μάγος θα δει : 962 K Τι θα καταλάβει; 1ο . Το κρυμμένο φύλλο είναι κούπα (ότι είναι το 9 ) 2ο . Από το 9 θα μετακινηθώ 2 φύλλα διότι ο συνδυασμός : 62 K αντιστοιχεί στο LHM άρα στον αριθμό2. 3ο . Το κρυμμένο χαρτί είναι το J. Ένα δεύτερο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι ο Μάγος βλέπει : 3♠ / Α♥ / 4♦ / J♠ Τότε καταλαβαίνει ότι το κρυμμένο χαρτί είναι μπαστούνι ♠ Σύμφωνα με την ιεράρχηση των φύλλων μια ς τράπουλας ισχύει ότι L= Α♥ < M= J♠ < H= 4♦ Επειδή έχει γραφτεί LHM που αντιστοιχεί στο 2 γνωρίζουμε ότι θα μετακινηθούμε από το 3♠ 2 θέσεις άρα το κρυμμένο χαρτί είναι το 5♠ .
  • 34. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 28 12. Η μαγική Άλγεβρα Σκέψου δύο άνισους αριθμούς από το 1 ως το 10. Πρόσθεσέ τους. Πολλαπλασίασε το άθροισμα επί 10. Πρόσθεσε τον μεγαλύτερο από τους δύο αρχικούς αριθμούς. Αφαίρεσε τον μικρότερο από τους δύο αρχικούς αριθμούς. Πες μου το αποτέλεσμα 122 … Οι αριθμοί που σκέφτηκες είναι οι 7 και 5. Το έχουμε ξαναδεί το τι πρέπει να κάνουμε ( Δες 2 ο μαγικό ) Ονομάζουμε χ και ψ τους δύο αριθμούς με χ<ψ τότε αν ακολουθήσουμε τα βήματα των οδηγιών θα καταλήξουμε στην σχέση : (χ ψ) (ψ χ)+ + −10 Στο παράδειγμα μας θα είναι (χ ψ) (ψ χ)+ + − =10 122 Αυτό που πρέπει τώρα να σκεφτούμε είναι ότι ο όρος ψ -χ αντιστοιχεί στο ψηφίο των μονάδων και ο συντελεστή χ+ψ θα αποδίδει τα υπόλοιπα ψηφία του τελικού αριθμού. Άρα ψ-χ=2 και χ+ψ=12. Από δω και πέρα τα πράγματα είναι εύκολα … Παρατήρησε ότι (χ ψ) (ψ χ) ψ + + − = 2 καθώς και ψ (ψ χ) χ− − = , οπότε πρακτικά ένα τέτοιο μαγικό μπορείς να το δουλέψεις χρησιμοποιώντας και τους τύπους δηλαδή για το παράδειγμά μας … που βρήκαμε αποτέλεσμα 122 Ο μεγαλύτερος αριθμός είναι το (12+2)/2=7 και ο μικρότερος 7-2=5. Προσπάθησε να κάνεις το δικό σου μαγικό αν οι διαφορετικοί αριθμοί που σκεφτόμαστε είναι από το 1 ως το 100 και στο 3 ο βήμα πολλαπλασιάζουμε επί 100 αντί για 10 Αν για παράδειγμα ακολούθησα τις οδηγίες και βρήκα αποτέλ εσμα 4824 πως μπορείς να μαντέψεις τους δύο αρχικούς αριθ μούς;
  • 35. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 29 Η αιτιολόγηση … Χρησιμοποιώντας απλώς τους ίδιους τύπους αλλά με μία μικρή διαφορά… Αν συμβολίσουμε και πάλι χ,ψ με χ<ψ τους αριθμούς θα καταλήξουμε στην παράσταση : (χ ψ) (ψ χ)+ + −100 . Τώρα ο παράγοντας ψ-χ θα αντιστοιχεί με τα δύο τελευταία ψηφ ία του , τετραψήφιου αριθμού που βρήκαμε ως αποτέλεσμα και ο χ+ψ θα αντιστοιχεί στα ψηφία των χιλιάδων και εκατοντάδων. Άρα θα είναι ψ-χ=24 και χ+ψ=48 Ή εργαζόμενοι με τους τύπους όπως πριν θα έχουμε για το αποτέλεσμα 4824 … (48+24)/2=72/2=36 και 48-36=12 που πράγματι είναι οι αριθμοί με τους οποίους ξεκινήσαμε ( μπορείς να το επαληθεύσεις) Δουλεύει το τρικ με τριψήφιους αριθμούς και μετά με πολλαπλασιασμό επί 1000. Αν ναι τότε α υτό πράγματι είναι μαγικό! Για φαντάσου να ζητάς να σκεφθούν δύο διαφορετικούς αριθμούς από το 1 ως το 1000, μετά να τους προσθέσουν, ύστερα να πολλαπλασιάσουν το άθροισμα επί 1000 και μετά να προσθέσουν τον μεγαλύτερο και να αφαιρέσουν τον μικρότερο από τους αρχικούς αριθμούς και να σου πούνε το αποτέλεσμα … Ακούγοντας εσύ το αποτέλεσμα 485479 να λες απλά και φυσικά …3 και 482!
  • 36. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 30 13. Τα μαγικά των πολλαπλασίων του 9 … Ας θεωρήσουμε τους αριθμούς : 3145 που είναι τα πρώτα τέσσερα ψηφία του αριθμού π 2178 που είναι τα πρώτα τέσσερα ψηφία του αριθμού e 2358 που τα ψηφία συμπίπτουν με διαδοχικού όρους της ακολουθίας Fibonacci 9999 που είναι ο μεγαλύτερος τετραψήφιος αριθμός. • Πάρε όποιον αριθμό από αυτούς θέλεις. • Σχημάτισε έναν άλλον τετραψήφιο αριθμό χρησιμοποιώντας τα ψηφία του αριθμού που διάλεξες. • Πολλαπλασίασε τον νέο αριθμό με έναν οποιοδήποτε τριψήφιο αριθμό θέλεις. Θα σχηματιστεί ένας αριθμός με 6 ή 7 ψηφία. • Κύκλωσε όποιο μη μηδενικό ψηφίο θέλεις από τον α ριθμό αυτό και κράτα τον κρυφό. • Πες μου έναν οποιοδήποτε αριθμό που σχηματίζεται από τα υπόλοιπα ψηφία. Ο αριθμός αυτός θα είναι ένας αριθμός με 5 ή 6 ψηφία. Εγώ επειδή είμαι και πολύ μεγάλος Μάγος θα σου πω το ψηφίο που κράτησες κρυφό ! Για παράδειγμα … Ας υποθέσουμε ότι διαλέγεις το 2178 … και σχηματίζεις τον αριθμό 7281 … τον αριθμό αυτόν το πολλαπλασιάζεις με ένα οποιοδήποτε τριψήφιο αριθμό, ας πούμε τον 125. Χρησιμοποιώντας κομπιουτεράκι βρίσκουμε 910125 … κρύβεις το μη μηδενικό ψηφίο 5 … και μου λες έναν αριθμό που μπορείς να σχηματίσεις από τα ψηφία 9/1/0/1/2 , για παράδειγμα μου λες τον αριθμό 10921 τότε … είμαι σε θέση να σου πω ότι μου έκρυψες το ψηφίο 5! Γιατί; Θα σου δώσω μία βοήθεια … Αποδεικνύεται ότι ένας αριθμός που το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 9 διαιρείται με το 9.
  • 37. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 31 Η αιτιολόγηση … Καταρχήν οι τρεις αριθμοί που δίνονται όλοι του διαιρούνται με το 9 (γιατί;) Άρα μία οποιαδήποτε αναδιάταξη των ψηφίων τους αφήνει αναλλοίωτη την ιδιότητα αυτή του αριθμού. Τον αριθμό αυτόν αν τον πολλαπλασιάσουμε με οποιαδήποτε αριθμό πάλι θα είναι πολλαπλάσιος του 9. Άρα ο τελικός αριθμός ανεξάρτητα αν ο τρόπος σχηματισμού του φαίνεται τυχαίος θα είναι πάντα πολλαπλάσιο του 9. Βγάζοντας έξω ένα μη μηδενικό ψηφίο του τότε προκύπτει ένας αριθμός που το άθροισμα των ψηφίων του θα υπολείπεται κατά κάτι ώστε να είναι και αυτό πολλαπλάσιο του 9. Οπότε στο παράδειγμά μας, λέγοντας τον αριθμό 10921, επειδή Σ=1+0+9+2+1=13 έχουμε ότι Σ+χ=πολ9 ή 13+χ=πολ9 άρα χ=5 Στην περίπτωση που το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού που μας δίνουν είναι πολλαπλάσιο του 9 τότε προφανώς το μη μηδενικό ψηφίο που έχει κρυφτεί θα είναι το 9. Για να αποδείξουμε όμως μαθηματικά και όχι μαγικά την βασική πρόταση στην οποία στηρίζεται το τρικ. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τον αριθμό χψζω με χ+ψ+ζ +ω=9. Ο αριθμός αυτός γράφεται : χψζω χ ψ ζ ω χ( ) ψ( ) ζ( ) ω χ ψ ζ χ ψ ζ ω ( χ χ ζ) (χ ψ ζ ω) πολ =  +  +  + = + + + + + + = + + + + + + = + + + + + + = 1000 100 10 999 1 99 1 9 1 999 99 9 9 111 11 9
  • 38. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 32 14. Luca’s Pacioli trick Σκέψου έναν αριθμό Πρόσθεσε σε αυτόν το μισό του. Το άθροισμα αυτό είναι ακέραιος ή όχι; Αν δεν είναι στρογγυλοποίησέ το .., αν είναι ακέραιος άφησε το όπως είναι. Πρόσθεσε στον αριθμό αυτό ή στην στρογγυλοποίησή του το μισό του. Ο αριθμός αυτός είναι ακέραιος ή όχι; Αν δεν είναι στρογγυλοποίησέ τον …, αν είναι ακέραιος άφησέ τον όπως είναι. Τον αριθμό στον οποίο κατέληξες διαίρεσέ τον με το 9 και πες μου το πηλίκο. Τώρα είμαι σε θέση να σου πω τον αριθμό που σκέφτηκες. Ένα παράδειγμα … Ας υποθέσουμε ότι σκέφτηκες έναν αριθμό που όταν προσθέσεις αρχικά το μισό του καταλήγεις σε άθροισμα που δεν ακέραι ος, οπότε τον στρογγυλοποιείς. Μετά στον αριθμό αυτόν προσθέτεις το μισό του και πάλι καταλήγεις σε ένα αποτέλεσμα που δεν είναι ακέραιος οπότε και πάλι το στρογγυλοποιείς. Διαιρείς τον αριθμό στον οποίο κατέληξες με το 9 και το πηλίκο που βρίσκεις είναι ο αριθμός 7 τον οποίο και μου τον ανακοινώνεις. Τότε εγώ ο μεγάλος Μάγος απλά σου λέω ότι ο αρχικός αριθμός που σκέφτηκες είναι ο 31 ! Πως λειτουργεί το μαγικό αυτό που έχοντας τις πληροφορίες αν δύο αθροίσματα είναι ακέραιοι αριθμοί ή όχι και ένα πηλίκο μ ιας διαίρεσης είμαι σε θέση να βρω τον αρχικό κρυφό αρ ιθμό; Για την διευκόλυνση των σκέψεων σου θα σου πω ότι επειδή διαιρούμε δύο φορές με το 2 άρα τελικά με το 4 (προσθέτω δύο φορές το μισό ενός αριθμού) ο αρχικός αριθμός βολεύει να τον γράψω με βάση τη διαίρεσή του με το 4. Άρα μπορεί να γραφεί με την μορφή χ π υ= +4 με υ { , , , } 0 1 2 3
  • 39. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 33 Η αιτιολόγηση… Ας δούμε την εξέλιξη του «μαγικού» ανάλογα τη μορφή του άγνωστου αριθμού χ. Αν χ=4π τότε : 1ο βήμα χ π π π χ + = + =  1 4 2 6 2ο βήμα π π π+ = 6 3 9 3ο βήμα ο αριθμός στον οποίο καταλήξαμε διαιρούμενο με το 9 αποδίδει πηλίκο π Αν χ=4π+1 τότε : 1ο βήμα χ π π , π , χ + = + + + = +  1 4 1 2 0 5 6 1 5 , άρα γράφεται 6π+2 2ο βήμα π π π+ + + = + 6 2 3 1 9 3 3ο βήμα ο αριθμός στον οποίο καταλήξαμε διαιρούμενο με το 9 αποδίδει πηλίκο π και υπόλοιπο 3 Αν χ=4π+2 τότε : 1ο βήμα χ π π π χ + = + + + = +  1 4 2 2 1 6 3 , 2ο βήμα π π , π ,+ + + = + 6 3 3 1 5 9 4 5 άρα γράφεται 9π+5 3ο βήμα ο αριθμός στον οποίο καταλήξαμε διαιρούμενο με το 9 αποδίδει πηλίκο π και υπόλοιπο 5 Αν χ=4π+3 τότε : 1ο βήμα χ π π , π , χ + = + + + = +  1 4 3 2 1 5 6 4 5 , άρα γράφεται 6π+5 2ο βήμα π π , π ,+ + + = + 6 5 3 2 5 9 7 5 άρα γράφεται 9π+8 3ο βήμα ο αριθμός στον οποίο καταλήξαμε διαιρούμενο με το 9 αποδίδει πηλίκο π και υπόλοιπο 8
  • 40. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 34 Τα συμπεράσματα αυτά μπορούμε να σχηματοποιήσουμε με την βοήθεια του παρακάτω πίνακα : Κρυφός αριθμός 1ο άθροισμα 2ο άθροισμα Τελικός αριθμός 4π   9π 4π+1   9π+3 4π+2   9π+5 4π+3   9π+8 Οπότε όταν ανακοινωθεί το πηλίκο π.χ. π=7 και με τη βοήθεια των πληροφοριών ότι το πρώτο άθροισμα δεν είναι ακέραιος αλλά και το δεύτερο άθροισμα δεν είναι ακέραιος, τότε … Καταλαβαίνουμε ότι είμαστε στη τέταρτη περίπτωση, άρα ο κρυφός αριθμός είναι ο  + = + =4 7 3 28 3 31 !. Μαγικό ή απλώς ένα πολύ ωραίο μαθηματικό !
  • 41. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 35 15. Μαγικά με το ημερολόγιο … Λες στον φίλο σου να διαλέξει έναν οποιαδήποτε μήνα του χρόνου από ένα ημερολόγιο σαν το διπλανό. Μετά σχηματίσει ένα τετράγωνο 4Χ4. Για παράδειγμα αν επιλέξουμε τον μήνα Φεβρουάριο υπάρχει τετράγωνο 4Χ4 με άκρα τις ημέρες 3-6-27-24. Τότε ο Μάγος κάνει μία πρόβλεψη και τη σημειώνει. Στη συνέχεια ζητάς από τον φίλο σου να κυκλώσει μία οποιαδήποτε μέρα του τετραγώνου σβήνοντας παράλληλα τις άλλες μέρες που βρίσκονται στην ίδια στήλη και σειρά με αυτήν που επίλεξε. Μετά κυκλώνει μια μέρα από αυτές που έχουν απομείνει και σβήνει πάλι όλες τις άλλες μέρες που βρίσκονται στην ίδια σειρά και στήλη με αυτήν που έχει επιλέξει. Την διαδικασία αυτή την επαναλαμβάνει έως ότου έχει τελικά κυκλώσει τέσσερεις ημερομηνίες. Του λες να προσθέσει τους τέσσερις αριθμούς - ημερομηνίες. Η πρόβλεψη που έχει γίνει αρχικά συμπίπτει με το άθροισμα που βρέθηκε! Για παράδειγμα αν έχουν κυκλωθεί, με τον τρόπο που περιγράψαμε, οι αριθμοί 5,11,20 και 24, το άθροισμα τους είναι 60, όση και η πρόβλεψη που έχει κάνει εξαρχής ο Μάγος.
  • 42. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 36 Η αιτιολόγηση … Σε ένα ημερολόγιο δύο γειτονικές ημερομηνίες που βρίσκονται στην ίδια σειρά προφανώς διαφέρουν κατά 1. Ενώ δύο ημερομηνίες που βρίσκονται στην ίδια στήλη η μία κάτω από την άλλη διαφέρουν κατά 7. Έχοντας υπόψιν μας αυτά ένα οποιοδήποτε τετράγωνο 4Χ4 όπως αυτό που επιλέγουμε στο τρικ μπορεί να προκύψει από την πρώτη ημερομηνία. 3 4 5 6 0 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 17 18 19 20 21 24 25 26 27 Δηλαδή όπως παρουσιάζεται στον παραπάνω πίνακα : αν έξω από τον πίνακα γράψουμε σε γραμμή τέσσερις αριθμούς ξεκινώντας από την 1η ημερομηνία δηλαδή 3/4/5/6 και μία επιπλέον στήλη με στοιχεία 0/7/14/21 τότε όλα τα στοιχεία του 4Χ4 πίνακα προκύπτουν ως άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων της γραμμής και στήλης που επιπλέον γράψαμε. Όταν κάποιος επιλέγει με τον ιδιαίτερο τρόπο που περιγράψαμε τέσσερις αριθμούς το άθροισμα τους είναι ουσιαστικά ΠΑΝΤΑ το άθροισμα των στοιχείων 3+4+5+6+0+7+14+21 ή (0+3)+(4+7)+(5+14)+(6+21)=3+11+19+27 Παρατηρώντας το τελευταίο άθροισμα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι είναι άθροισμα 4 όρων αριθμητικής προόδου με α 1=3 και ω=8 άρα θα ισούται με α α Σ α α + =  = + = + =1 4 4 1 44 3 27 30 2 Το σημαντικό είναι ότι επειδή πάντα το α1 είναι ο αριθμός που βρίσκεται στο ένα άκρο του τετραγώνου και ο α4 είναι ο αριθμός που βρίσκεται στην απέναντι κορυφή, ο Μάγος για να βρει το άθροισμα προσθέτει απλώς τους αριθμούς που βρίσκονται στις δύο κορυφές. Αυτή είναι η περίφημη πρόβλεψη του Μάγου. Αν παρατηρήσετε στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε και αν προσθέσουμε τις τιμές που βρίσκονται στις άλλες δύο απέναντι κορυφές, άρα δεν έχει σημασία ποιες τιμές θα πάρου με …
  • 43. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 37 16. Μαγικά με ένα ζάρι και ένα ρολόι … Ο φίλος σου ρίχνει ένα ζάρι και σημειώνει την ένδειξη του χωρίς εσύ να τη δεις. Συγχρόνως σκέφτεται έναν αριθμό ας πούμε μικρότερο του 50 ( το τρικ λειτουργεί και αν ο αριθμός είναι μεγαλύτερος). Μετά ξεκινά από την ώρα που έχει δείξει ως ένδειξη το ζάρι και μετακινείται δεξιόστροφα στην αρχή και μετά αριστερόστροφα τόσες θέσεις όσες και ο αριθμός που σκέφτηκε. Όταν ολοκληρώσει τις δύο κινήσεις αθροίζει τις δύο «ώρες» στις οποίες έχει καταλήξει και το άθροισμα σου το ανακοινώνει. Εσύ απλά λες την ένδειξη του ζαριού. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι η ένδειξη του ζαριού είναι 2 και σκέφτεσαι τον αριθμό 19. Αν μετακινηθούμε στην αρχή δεξιόστροφα και μετά αριστερόστροφα 19 θέσεις θα φθάσεις στις «ώρες» 9 και 7. Το άθροισμα τους 16 είναι ο αριθμός που ανακοινώνεις στον Μάγο. Αυτό μετά από ελάχιστο χρόνο σου λέει ότι ο αριθμός του ζαριού είναι το 2!
  • 44. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 38 Η αιτιολόγηση … Οι τελικές θέσεις στις οποίες καταλήγουμε μετά τις δύο κινήσεις ( δεξιόστροφη και αριστερόστροφη) είναι πάντα συμμετρικές ως προς την αρχική θέση, άρα ως προς την ένδειξη του ζαριού. Άρα η ένδειξη θα βρεθεί ως ο μέσος όρος τους ή ως το μισό του αθροίσματός τους. Αν όμως το άθροισμα είναι μεγαλύτερο του 12 ο τύπος που θα δίνει την αρχική ένδειξη θα είναι Σ χ − = 12 2 . Στο παράδειγμά μας επειδή το άθροισμα είναι μεγαλύτερο του 12 η ένδειξη θα είναι : χ − = = 16 12 2 2 . Τόσο απλά !
  • 45. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 39 17. Μαγικό με τον αριθμό του τηλεφώνου ! Ή πως μπορείς να δώσεις τον αριθμό τηλεφώνου σου στον Μάγο χωρίς να το ξέρει κανένας άλλος ! Ας υποθέσουμε ότι το τηλέφωνό σου είναι το 6823555, δεν βάζουμε μπροστά το 210 γιατί είναι γνωστό. Τότε προσθέτεις το 1ο και 2ο νούμερο και λες το άθροισμα, προσθέτεις το 2ο και 3ο νούμερο και λες το άθροισμα, προσθέτεις το 3ο και 4ο νούμερο και λες το άθροισμα, προσθέτεις το 4ο και 5ο νούμερο και λες το άθροισμα, προσθέτεις το 5ο και 6ο νούμερο και λες το άθροισμα, προσθέτεις το 6ο και 7ο νούμερο και λες το άθροισμα και τέλος προσθέτεις το 7ο και 1ο νούμερο και λες το άθροισμα Δηλαδή για το παράδειγμά μας ανακοινώνεις τα επτά αθροίσματα : 14/10/5/8/10/10/11 Ακολούθως ο Μάγος χρησιμοποιώντας μία αλγοριθμική διαδικασία θα καταλήξει στον αριθμό του τηλεφώνου σου! Για το πως αυτό που μπορώ να πω είναι ότι η δια δικασία δεν είναι τίποτε άλλο από την επίλυση ενός συστήματος επτά εξισώσεων με επτά αγνώστους …
  • 46. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 40 Η αιτιολόγηση … Ο Μάγος εφαρμόζει την παρακάτω διαδικασία … Προσθέτει 1ο – 3ο – 5ο – 7ο άθροισμα δηλαδή : 14+5+10+11=40 Προσθέτει 2ο – 4ο – 6ο άθροισμα δηλαδή : 10+8+10=28 Αφαιρεί τα δύο αθροίσματα μεταξύ τους δηλαδή : 40-28 =12 Διαιρεί τη διαφορά με το 2, δηλαδή 12:2=6 Τον αριθμό αυτόν το αφαιρεί από το 7ο άθροισμα και μετά ακολουθεί την διαδικασία που παρουσιάζεται στο παρακάτω πίνακα ( ξεκινώντας τις σημειωμένες αφαιρέσεις από το τέλος προς την αρχή) : 14 10 5 8 10 10 11 -8 -2 -3 -5 -5 -5 -6 6 8 2 3 5 5 5 Παρατηρείστε ότι ο αριθμός του τηλεφώνου παρουσιάστηκε στην τελευταία γραμμή του πίνακα. Όμως όσο μαγικό φαίνεται το τρικ, τόσος μαγικός φαίνεται και ο αλγόριθμός που περιγράψαμε που είναι το μαθηματικό κομμάτι της αιτιολόγησης; Ας γράψουμε το άγνωστο τηλέφωνο με τη βοήθεια μεταβλητών, δηλαδή αβγδεζη Από τα αθροίσματα που μας δίνουν καταλήγουμε στο σύστημα : α+β=14 (1), β+γ=10 (2), γ+δ=5 (3), δ+ε=8 (4), ε+ζ=10 (5), ζ+η=10 (6), η+α=11 (7). Από (1)+(3)+(5)+(7) έχουμε : 2α+β+γ+δ+ε+ζ+η=40 Από (2)+(4)+(6) έχουμε : β+γ+δ+ε+ζ+η=28 Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε : 2α=12 άρα α=12:2=6 (8) Από (7)-(8) έχουμε ότι η=5 (9) Από (6)-(9) έχουμε ότι ζ=5 (10) Από (5)-(10) έχουμε ότι ε=5 (11) κ.ο.κ. …… Οπότε καταλήγουμε στο ότι α=6, β=8, γ=2, δ=3, ε=5, ζ=5, η=5 άρα ο αριθμός του τηλεφώνου είναι ο 6823555!
  • 47. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 41 18. Η δύναμη της συνδυαστικής … Στο τραπέζι υπάρχουν 24 κέρματα. Έρχονται τρεις φίλοι που θα τους λέμε από εδώ και πέρα Άννα , Βασίλης και Γιάννης. Η Άννα ως πρώτη παίρνει 1 κέρμα ο Βασίλης 2 και ο Γιάννης 3. Οπότε παραμένουν αδιάθετα 18 κέρματα. Υπάρχουν επίσης και τρία αντικείμενα ας τα ονομάσουμε 1 , 2 κ αι 3. Ο κάθε ένας από τους τρεις φίλους μπορεί να πάρει όποιο αντικείμενο θέλει αρκεί να ακολουθήσει κάποιους κανόνες. Για παράδειγμα όποιος πάρει το 1ο αντικείμενο πρέπει να πάρει από το σωρό των κερμάτων και όσο κέρματα ήδη έχει . Όποιος πάρει το 2ο αντικείμενο πρέπει να πάρει δύο φ ορές τα κέρματα που ήδη έχει και τέλος όποιος πάρει το 3ο αντικείμενο πρέπει να πάρει τέσσερις φορές τα κέρματα που ήδη έχει από το σωρό των κερμάτων που υπάρχουν στο τραπέζι. Ο Μάγος φεύγει από την αίθουσα και οι τρεις φί λοι παίρνουν από ένα αντικείμενο ακολουθώντας τις οδηγίες. Στο τέλος ανακοινώνουν στον Μάγο τον αριθμό των κερμάτων που παραμένουν αδιάθετα και αυτός τους λέει ποιος πήρε ποιο αντικείμενο. Έτσι απλά ! Ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι ο Βασίλης διαλέγει το 2ο αντικείμενο οπότε παίρνει και 2Χ2=4 κέρματα. Αν η Άννα παίρνει το 3ο αντικείμενο τότε παίρνει και 1Χ4=4 κέρματα. Τέλος ο Γιάννης παίρνει το 1ο αντικείμενο και 3 κέρματα. Συνολικά από το σωρό των 18 κερμάτων μένουν 18-4-4-3=7 κέρματα. Ο Μάγος ακούει απλώς τον αριθμό 7 και αμέσως λέει στον καθ’ ένα από τους τρεις φίλους του ποιο αντικείμενο αυτός έχει πάρει. Μα πως γίνεται αυτό !
  • 48. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 42 Η αιτιολόγηση … Για να καταλάβουμε όλες τις δυνατές εξελίξεις του μαγικού θ α χρησιμοποιήσουμε ένα τρόπο παρουσίασης που χρησιμοποιείται στις πιθανότητες και λέγεται δενδρόγραμμα. Μελετήστε τον παρακάτω πίνακα … 1ο 2ο 3ο Κέρματα Α Β Γ Γ Β 18-1-4-12=1 18-1-6-8=3 Β Α Γ Γ Α 18-2-2-12=2 18-2-6-4=6 Γ Α Β Β Α 18-3-2-8=5 18-3-4-4=7 Ουσιαστικά έχουν καταγραφεί όλες οι δυνατ ές εξελίξεις του μαγικού. Οπότε γνωρίζοντας τον τελικό αριθμό που στο παράδειγμά μας είναι ο 7, βρισκόμαστε στην τελευταία περίπτωση εύκολα διαπιστώνουμε ότι το 1ο αντικείμενο το πήρε ο Γιάννης το 2ο ο Βασίλης και το 3ο η Άννα.
  • 49. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 43 Μία παρόμοια εκδοχή του προηγούμενου μαγικού είναι και η εξής : Δίνουμε σε τρεις φίλους μας τις παρακάτω κάρτες … Τους δίνουμε την επιλογή να επιλέξουν ένα χρώμα από τα Κόκκινο – Άσπρο και Μπλε και να ακολουθήσουν τις οδηγίες που τους δίνει η κάρτα τους. Η επιλογή ποιο χρώμα θέλουν, γίνεται χωρίς την παρουσία του Μάγου ο οποίος φεύγει από το δωμάτιο αφήνοντας και 17 νομίσματα για τις ανάγκες του μαγικού. Οι παίκτες ακολουθούν τους κανόνες και όταν τελειώσουν μπορεί να έχουν μείνει κάποια από τα χρήματα ή καθόλου. Το πόσα χρήματα έχουν απομείνει είναι η τελική και μοναδική πληροφορία που δίνουν στον Μάγο και αυτός, αφού σκεφθεί λίγο λέει ποιος έχει επιλέξει ποιο χρώμα ! Την δικαιολόγηση την αφήνω σε σας αγαπητοί μου, αλλά για να σας βοηθήσω θα σας πω ότι η λύση αποτυπώνεται στον διπλανό πίνακα. Χρήματα που απομένουν Χρώμα επιλογής (1ο υ-2ο υ-3ο υ) 0 ΚΟΚ-ΑΣΠ-ΜΠΛ 1 ΑΣΠ-ΚΟΚ-ΜΠΛ 2 ΚΟΚ-ΜΠΛ-ΑΣΠ 3 ΜΠΛ-ΚΟΚ-ΑΣΠ 4 ΑΣΠ-ΜΠΛ-ΚΟΚ 5 ΑΣΠ-ΜΠΛ-ΚΟΚ 6 ΜΠΛ-ΑΣΠ-ΚΟΚ Αν διαλέξεις το κόκκινο τότε πάρε 1 νόμισμα Αν διαλέξεις το άσπρο τότε πάρε 2 νομίσματα Αν διαλέξεις το μπλε τότε πάρε 3 νομίσματα Αν διαλέξεις το κόκκινο τότε πάρε 2 νομίσματα Αν διαλέξεις το άσπρο τότε πάρε 4 νομίσματα Αν διαλέξεις το μπλε τότε πάρε 6 νομίσματα Αν διαλέξεις το κόκκινο τότε πάρε 4 νομίσματα Αν διαλέξεις το άσπρο τότε πάρε 8 νομίσματα Αν διαλέξεις το μπλε τότε πάρε 12 νομίσματα Κάρτα 1ου παίκτη Κάρτα 2ου παίκτη Κάρτα 3ου παίκτη
  • 50. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 44 19. Luca’s Pacioli trick Νο2 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε 8 χαρτιά τοποθετημένα σε δύο σειρές. Ο φίλος μας διαλέγει ένα από τα χαρτιά αυτά και μας λέει απλώς σε ποια σειρά είναι. Μαζεύουμε τα χαρτιά με τον εξής τρόπο. Από τα δεξιά προς τα αριστερά, στήλη-στήλη ξεκινώντας από το χαρτί που δεν βρίσκεται στην ίδια σειρά που μας υποδείχθηκε. Τοποθετούμε πάλι τα χαρτιά σε δύο σειρές, ξεκινώντας τώρα από το τελευταίο χαρτί που μαζέψαμε και ανοίγοντας ένα-ένα τα χαρτιά. Πάλι μας δηλώνεται η γραμμή στην οποία βρίσκεται το χαρτί που έχει επιλεγεί και μαζεύουμε τα χαρτιά με τον ίδιο τρόπο όπως πριν. Πάλι τοποθετούμε τα χαρτιά σε δύο σειρές, ξεκινώντας από το τελευταίο χαρτί που μαζέψαμε. Ζητάμε για τρίτη φορά να μας υποδειχθεί σε ποια σειρά βρίσκεται το «άγνωστο» χαρτί. Τότε απλώς δείχνουμε το πρώτο χαρτί (από τα αριστερά) τ ης σειράς που μας υπόδειξαν … Ας δούμε ένα παράδειγμα που αντί για χαρτιά έχουμε οκτώ αριθμούς από το 1 έως το 8. 1 2 3 4 5 6 7 8 και ας υποθέσουμε ότι ο φίλος μας επιλέγει ως άγνωστο χαρτί το 3. Σας μας απλώς λέει ότι το χαρτί βρίσκεται στην 1η σειρά. Μαζεύουμε τα χαρτιά με την εξής σειρά 8/4/7/3/6/2/5/1 και σχηματίζουμε δύο σειρές ανοίγοντας τα τελευταία πρώτα . Άρα θα έχουμε τις σειρές : 1 5 2 6 3 7 4 8 , ο φίλος θα μας πει ότι το άγνωστο χαρτί βρίσκεται στην 2η σειρά οπότε θα μαζέψουμε τα χαρτιά με την εξής σειρά : 6/8/2/4/5/7/1/3 και θα σχηματίζουμε δύο σειρές ανοίγοντας πρώτα τα φύλλα που πήραμε τ ελευταία, δηλαδή θα έχουμε : 3 1 7 5 4 2 8 6 Ο φίλος θα μας πει ότι το χαρτί βρίσκεται στην πρώτη γραμμή και εμείς θα υποδείξουμε το πρώτο φύλλο της γραμμής αυτής, άρα το 3!
  • 51. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 45 Η αιτιολόγηση … Ας υποθέσουμε ότι έχουμε οκτώ αριθμούς τοποθετημένους σε δύο σειρές όπως στη διπλανή διάταξη : 1 2 3 4 5 6 7 8 Η πρώτη υπόδειξη περιορίζει τους άγνωστους αριθμούς σε ένα από την κάθε τετράδα που υπάρχει σε κάθε σειρά. Για παράδειγμα αν υποδειχθεί η 1η σειρά τότε οι υποψήφιοι άγνωστοι αριθμοί θα είναι οι {1,2,3,4}. Με τον συγκεκριμένο τρόπο που μαζεύουμε τα χαρτιά και με τον συγκεκριμένο τρόπο που σχηματίζονται οι σειρές για δεύ τερη φορά θα έχουμε την παρακάτω διάταξη : 8/4/7/3/6/2/5/1 , 1 5 2 6 3 7 4 8 Παρατηρείστε ότι όλοι οι αριθμοί βρίσκονται τώρα στη 1 η και 3η στήλη. Η υπόδειξη της σειράς για δεύτερη φορά περιορίζει τους υποψήφιους ως αγνώστους αριθμούς σε δύο. Ας υποθέσουμε ότι μας υποδεικνύεται η 1η σειρά τότε θα έχουμε τη διάταξη : 8/6/4/2/7/5/3/1 , 1 3 5 7 2 4 6 8 Παρατηρείστε ότι οι «υποψήφιοι» αριθμοί βρίσκονται τώρα στην 1η στήλη, οπότε η υπόδειξη της νέας σειράς αποκαλύπτει τον «άγνωστο» αριθμό ως τον 1ο της σειρά που υποδείχθηκε. Υπάρχει και μία δεύτερη εκδοχή του μαγικού με 16 χαρτιά που τοποθετούνται σε δύο σειρές. Πάλι ο φίλος μας διαλέγ ει έναν αριθμό και μας λέει σε ποια σειρά βρίσκεται. Το μάζεμα γίνεται από τα αριστερά προς τα δεξιά, στήλη-στήλη ξεκινώντας από το χαρτί που δεν βρίσκεται στην σειρά που μας έχει υποδειχθεί. Πάλι τοποθετούμε τα χαρτιά σε δύο σειρές, ξεκινώντας από το πρώτο χαρτί που μαζέψαμε. Πάλι μας υποδεικνύεται μία σειρά και μαζεύουμε τα χαρτιά από αριστερά προς τα δεξιά, στήλη-στήλη ξεκινώντας από το χαρτί που βρίσκεται στην σειρά που μας έχει υποδειχθεί. Τοποθετούμε τα χαρτιά σε δύο σειρές, ξεκινώντας από το πρώτο χαρτί που μαζέψαμε. Όταν μας υποδειχθεί η σειρά για 3η φορά το «άγνωστο» φύλλο βρίσκεται στη δεύτερη θέση από το τέλος! (γιατί;)
  • 52. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 46 20. Όταν η μαγεία συναντά … το τρίγωνο του Pascal ! Ζητάς από τον φίλο σου να σου πει τέσσερις αριθμούς από το 1 ως το 9 και να τους γράψει σε μία σειρά. Π.χ. λέει τους αριθμούς 2 / 7 / 5 / 8 Ο στόχος είναι να φτιαχτεί μία πυραμίδα με βάση τους αριθμούς αυτούς που η επόμενη σειρά θα αποτελείται από τρεις αρ ιθμούς που θα προκύψουν από το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Στην περίπτωση όπου το άθροισμα είναι διψήφιος αριθμός στη θέση του θα βάζει το άθροισμα των ψηφίων του διψήφιου αθροίσματος. Για το παράδειγμά μας οι δύο πρώτες γραμμές της πυραμίδας θα είναι : 9 3 4 2 7 5 8 παρατηρείστε ότι πάνω από τους 2 / 7 βρίσκεται το άθροισμά τους 9 , πάνω από τους 7 / 5 βρίσκεται το 3 διότι το άθροισμά τους είναι 12 - διψήφιος οπότε αντικαθίσταται με το άθροισμα των ψηφίων του δηλαδή 1+2=3 Όμοια ο αριθμός πάνω από τους 5 / 8 θα γράψουμε τον αριθμό 4 (5+8=13 άρα 1+3=4) Το μαγικό είναι ότι πριν ακόμα αρχίσει ο φίλος σου να χτίζει με τον τρόπο που περιγράψαμε την πυραμίδα εσύ είσαι σε θέση να βρεις το ψηφίο που θα βρίσκεται στην κορυφή της πυραμίδας. Δηλαδή για το παράδειγμά μας η τελική μορφή της πυραμίδας θα είναι : 3 7 9 3 4 1 2 7 5 8 τον άσο στην κορυφή της πυραμίδας ο Μάγος το έχει ήδη τοποθετήσει πριν ακόμα σχηματιστεί η 2η σειρά της πυραμίδας. Το θεαματικό στο τρικ αυτό είναι ότι λειτουργεί και πέ ντε αριθμούς στην βάση ή με οποιοδήποτε πλήθος αριθμών, ακόμα και αν οι αριθμοί δεν περιορίζονται από το 1 ως το 9, αλλά μπορεί να είναι όποιοι αριθμοί θέλουμε. Α πλά ο υπολογισμός από το Μάγο του μαγικού αριθμού της κορυφής είναι υπόθεση περισσότερων υπολογισμών άρα και χρόνου.
  • 53. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 47 Μία ακόμα ποιο θεαματική εκδοχή του μαγικού είναι να γίνει με χαρτιά τράπουλας. Δίνουμε μία τράπουλα από την οποία έχουμε βγάλει έξω τα δεκάρια και τις φιγούρες ( το μαγικό γίνεται και όλα τα χαρτιά αλλά ο μάγος θα πρέπει να ασχοληθεί περισσότερο χρόνο για να βρει το χαρτί που πρέπει να μπει στην κορυφή και έτσι το μαγικό χάνει από πλευρά παρουσίασης και μόνο) Ζητάμε να την ανακατέψει καλά και όσες φορές θέλει! Στη συνέχεια τοποθετεί πέντε χαρτιά σε μία σειρά και χτίζει την πυραμίδα με τον τρόπο που είπαμε προηγουμένως. Ο Μάγος τοποθετεί στην κορυφή της πυραμίδας ένα χαρτί χωρίς να φαίνεται η αξία του. Το χαρτί αυτό είναι το χαρτί που συμπληρ ώνει την πυραμίδα! Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι τα πέντε χαρτιά είναι 6 / 4 / 6 / 8 / 3 (δεν μας ενδιαφέρει το σχήμα και το χρώμα που έχουν τα χαρτιά παρά μόνο η αξία τους). Ο μάγος τότε βάζει στην κορυφή ένα χαρτί κρυφό που όμως είναι 3 και είναι το ψηφίο που θα συμπληρώνει τελικά την πυραμίδα. Για να το επιβεβαιώσουμε … 3 8 4 2 6 7 1 1 5 2 6 4 6 8 3 Πως γίνεται αυτό !
  • 54. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 48 Η αιτιολόγηση … Το τρίγωνο του Pascal ξεκινά ανάποδα και έχει τη μορφή του παρακάτω σχήματος : . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Η χρησιμότητά του βρίσκεται στο γεγονός ότι αποδίδει με τρόπο ευκολομνημόνευτο τους συντελεστές του αναπτύγματος ν (α β)+ όπου α,β και ν . Παρατηρείστε : Όταν ν=1 τότε (α β) α β+ = +1 Όταν ν=2 τότε (α β) α αβ β+ = + +2 2 2 2 Όταν ν=3 τότε (α β) α α β αβ β+ = + + +3 3 2 2 3 3 3 Όταν ν=4 τότε (α β) α α β α β αβ β+ = + + + +4 4 3 2 2 3 4 4 6 4 κ.ο.κ. Όμως τι δουλειά έχει το τρίγωνο αυτό με το μαγικό μας; Ας δούμε ένα ακόμα παράδειγμα με τέσσερεις αρ ιθμούς ή τραπουλόχαρτα … 8 4 4 6 7 6 6 9 7 8 ή με πλήρη αθροίσματα 62 31 31 15 16 15 6 9 7 8 ή αναλυτικά γραμμένα +  +  + +  + +  + + + + 6 9 7 8 6 9 7 9 7 8 6 9 9 7 7 8 3 3 2 2 6 9 7 8
  • 55. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 49 Μήπως τώρα παρατηρείτε την ομοιότητα ανάμεσα στους συντελεστές του τελικού αθροίσματος με τους αντίστοιχους αριθμούς της τρίτης γραμμής του τριγώνου Pascal! Άρα ο τελικός αριθμός όταν ξεκινάμε με τέσσερις αριθμούς 6/9/7/8 θα είναι : ( ) ( )+  +  + = + +  + = + =6 3 9 3 7 8 6 8 3 9 7 14 48 62 , άρα η κορυφή θα είναι ο αριθμός 8. Άρα για 4 αριθμούς π.χ. χ/ψ/ζ/ω εφαρμόζουμε τον τύπο Σ (χ ω) (ψ ζ)= + +  +3 Για 5 αριθμούς π.χ. χ/ψ/ζ/ω/κ εφαρμόζουμε τον τύπο Σ (χ κ) (ψ ω) ζ= + +  + + 4 6 Καταλαβαίνετε λοιπόν τώρα γιατί το μαγικό δυσκολεύει αν έχουμε περισσότερους αρχικούς αριθμούς σ την 1η σειρά ή ακόμα περισσότερο αν οι αριθμοί δεν περιορίζονται στους {1,2,3…,9} αλλά να είναι οποιοιδήποτε. Το μαγικό δουλεύει αλλά ο χρόνος για τους υπολογισμούς από μέρους του μάγου κάνουν το τρικ λιγότερο μαγικό …
  • 56. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 50 21. Ένα μαγικό με ολίγη κλεψιά …αλλά απλό ! Δίνου με στ ον φ ίλο μας να ανακατ έψει μία τράπου λα. Μετ ά τ ου δίν ουμε 12 φύ λλα γ ια να δια λέξει 4 . Τα υ πόλοιπα 8 τα τοποθετ ού με στ ο τ έλος της τ ράπου λας. Τα 4 φύ λλα τα αν οίγ ου με και τ ότ ε ο Μάγος κάν ει μία πρ όβλεψη την οποία ση μειών ει. Αν υ ποθέσ ουμε ότ ι τα 4 φύ λλα ήταν 3 / 8 / J / 5  τ ότ ε μετρά με πάν ω στο κάθ ε φύ λλο τ όσα ώστε αρχίζοντας με τ ην α ξία του φύλλου να φθάσου με στον αρ ιθμό 10. Δηλαδή πάνω στ ο 3 μετράμε ά λλα 7 φύ λλα , πάν ω στο 8  άλλα 2 φύλλα , πάν ω στ ο Jδεν μετράμε τ ίποτε γιατί οι φ ιγούρες λογα ριάζονται με 10 κα ι τέλος πά νω στ ο 5 μετρά με 5 φ ύ λλα . Αθροίζου με την αξία των 4 φύλλων 3 +8 +10 +5=2 6 και μετρ άμε 26 φύλλα α πό την τρά που λα. Αν οίγου με τ ο 26 ο φύ λλο κα ι ω! τι μαγικό είν αι η πρ όβλεψη που ο Μάγος έχει κάν ει από την αρχή του πα ιχν ιδιού . Το τρικ είνα ι θεαματ ικό, αλλά εμπεριέχε ι κα ι μια μικρή κλεψιά όπως λέει και ο τ ίτλος τ ου μαγικού. Καθ ώς ο φίλος σου ανακατεύ ει και σ ου δίνει την τρά πουλα εσύ β λέπει ς τ ο τελευτα ίο χαρτί της τ ράπου λας που είνα ι σ υγχρ όνως κα ι η μαγική πρόβ λεψη! Γιατ ί όμως σ υμβαίν ει αυτ ό αφού ενδιάμεσα πολλά τυχαία γεγ ον ότα συμβα ίνουν;
  • 57. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 51 Η αιτιολόγηση … Επειδή τ ο κρυφ ό χαρτ ί βρ ίσκετα ι στ ο τέλος της τράπου λα ς θα βρίσκεται αρ χικά στην 52 η θέση . Μετά αφ ού βγουν τ α 12 φύλλα και γ ίνει η επιλογή τ ων τεσσάρω ν φίλω ν επειδή τα οκτ ώ φύλλα που περ ίσσεψαν μπαίν ουν στο τ έλος της τρά που λας τ ο φύ λο μας τώρα θα βρεθ εί στην 40 η θ έση. Ας υ ποθέσουμε ότι τα 4 φύλλα που έχουν επιλεγεί είναι τ α Q/4/8/5 ( ανεξαρτήτ ως χρώματος κα ι σ χεδίου αφού δεν παίζει κανένα ρ όλο) . Τότ ε τρ αβάμε α πό την τρά πουλα 0 +6 +2 =5 =13 φύ λλα γ ια ν α συμπληρωθ εί το 1ο μέρος της εξέλιξης τ ου μαγικού . Μετά τραβά με και ά λλα 10 +4 +8 +5=2 7 φύ λλα. Παρατηρ είσ τε 13+27 =40 φύλλα! Να γιατί πάντ α τ ο κόλπο πετ υχαίνει αρκεί ν α μη γ ίνετα ι αν τιλη πτ οί ότι κρυφά είδατ ε ποιο είνα ι το τελευταίο χαρτί της τ ράπου λας.
  • 58. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 52 22. Απλό μαγικό με σπίρτα … Ο Μάγος έχει γυρ ισμένη τ ην πλάτη του καθώς ο φίλος τ ου χρησιμοποιώντας έναν άγν ωστ ο αρ ιθμό από σπίρτα ( περισσ ότερα α πό 9 ) σ χηματ ίζει τρεις ισ οπληθ είς σ ωρ ούς . Μετά ο φίλος λέει έναν αρ ιθμό α πό το 1 ως το 12 . Ο Μάγος – πάντα χωρίς να βλέπει – δίνει οδηγίες μεταφ οράς σπίρτων α πό τη μία σωρ ό στην ά λλη και μετά από λίγο εμφανίζ ονται στη μεσαία σωρ ό τόσα σπίρτα όσα κα ι ο αριθμός που είπε ο φίλος μας! Συγκεκριμένα αν ο αρ ιθμός που επιλέγετα ι α πό τον φίλο μας είναι ο 8 τ ότε ο Μάγ ος δίν ει τις εξής οδηγίες : Βγάλε α πό τ ις δύ ο α κριαν ές σ ωρούς α πό 3 σ πίρτα κα ι πρ όσθεσέ τα στην μεσαία σωρ ό. Βγάλε α πό την μεσαία σωρ ό όσα σ πίρτα έχει η πρώτη και τοποθέτ ησέ τα στην τρ ίτη σ ωρ ό. Βγάλε α πό τη μεσαία σωρ ό ένα σπίρτ ο και τ οποθέτησ έ τ ο στην 1 η σωρό. Τώρα στη μεσαία σωρ ό έχεις 8 σ πίρτα ! Πράγματι έτσι συ μβαίνει … ας παρακολουθήσ ου με τις κιν ήσεις υποθέτ οντας ότ ι έχουν σχη ματιστεί τ ρεις σωρ οί α πό 10 σ πίρτα ο καθένας. Αρχική διάτα ξη Α Β Γ 10 10 10 μετά την 1η οδηγία Α Β Γ 7 16 7 Μετά τη 2η οδηγία Α Β Γ 7 9 14 μετά από την 3η οδηγία Α Β Γ 8 8 14 Πως γίν εται αυτ ό ;
  • 59. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 53 Η αιτιολόγηση … Κι’ όμως είναι τ ο απλούστερ ο μαγ ικό από όσα έχου με πει μέχρι τώ ρα. Ας ον ομάσ ου με χ το πλήθ ος των σπίρτων που υπάρ χουν αρχικά σε κάθε σ ωρό και ας α κολουθήσουμε τ ις οδηγ ίες του Μάγ ου … Αρχική διάτα ξη Α Β Γ χ χ χ Μετά τη 1η οδηγία Α Β Γ χ χ χ− + −3 6 3 Μετά τη 2η οδηγία Α Β Γ χ χ (χ ) (χ ) (χ )− + − − − + −3 6 3 3 3 Δηλαδή Α Β Γ χ χ− −3 9 2 6 Παρατηρείστε ότι στη 2 η σωρ ό συσσ ωρεύ οντα ι πάντα 9 σπίρτα, οπότε τ ώρα είνα ι εύκολο για τ ο Μάγ ο να σχη ματίσει οποιοδήποτ ε αρ ιθμό σπίρ των στην 2 η σ ωρ ό.
  • 60. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 54 23. Το μυστηριώδες εννέα ή μαγικά με απλές γνώσεις γ εω μετρίας … Τοποθ ετ ούμε 17 κέρμα τα έτσι ώστε να σχηματίζ ουν ένα μεγά λο εννιάρι. Ζητάς από τον φίλο σου να σκεφτ εί ένα αριθμό μεγα λύτ ερο α πό τ ο πλήθ ος τ ων κερμάτ ων που σχη ματίζ ουν την ουρά του εννέα, δηλαδή στ ο παρά δειγμά μας ένα ν αριθμό μεγα λύτ ερο τ ου 6. Ας υ ποθέσουμε ότι σκέφτεται τ ο 9 – τ ον αριθμό α υτόν δεν στ ον ανακοιν ώνει παραμένει κρυφός . Του λες να ξεκινήσ ει από την αρχή της ουράς (το κέρμα 1 ) κα ι ν α μετρήσει τ όσα κέρματα όσα τον αρ ιθμό που σκέφτη κε. Μετά τ ο 6 θα μετρά μόν ο πάνω στ ον κύκλο κατά τη θετική φ ορά . Με τ ον τρόπο αυτ ό θα φθάσ ει πάν ω σ ε ένα νόμισ μα – στ ο παρά δειγμά μας θα φθάσει στ ο κέρ μα Νο 9. Μετά θα ξεκινήσ ει να μετ ρά α ρχίζ οντας από το ν όμισμα που έχει φθάσει μόν ο πάνω στον κύκλο κατά τ ην α ρνητική φ ορά τ όσα νομίσματα όσα τ ο ν ούμερ ο που σκέφτηκε. Με τ ον τ ρόπο α υτό θα φθάσει πάνω σε ένα α πό τα ν ομίσματα που βρ ίσκονται πά νω στον κύκλο. Ο Μάγος χωρίς να γνωρ ίζει τ ον α ριθμό που ο φ ίλος του σ κέφτηκε θα του α νακοιν ώσει ότι έχει κατα λή ξει στ ο ν όμισμα Νο. 1 3! Το μαγ ικό γίνετα ι και με όποιον α ριθμό κερμάτ ων θ έλετε μόν ο που τ ο σημείο στ ο οποίο τελικά θα φθάσει κά ποιος μετακινούμενος με βάση τις οδηγ ίες είν αι διαφορ ετικ ό. Μπορείτε να βρείτε ποιο σημείο θα είναι αν χρησιμοποιή σουμε 30 κέρματα ή 40 κέρ ματα ή έναν οποια δή ποτ ε αριθμό κερ μάτων;
  • 61. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 55 Η αιτιολόγηση … Για να προσ έξου με τις δύο κινήσεις … Η μία είναι ση μειωμένη με μα ύρο – η κίνηση από το ν όμισμα 1 έως τ ο νόμισμα 9 και η άλλη είναι σημειω μέν η με κόκκιν ο α πό τ ο 9 νόμισμα κινούμαστε αντ ίθετα μέχρι το νόμισ μα με αριθ μό 13 . Προφανώς οι δύ ο κινήσεις έχου ν τ ο ίδιο «μή κος» ά ρα αν βγά λουμε τ ο κοιν ό κομμάτι τ ων δύ ο διαδρ ομών θα πρέπει η διαδρομή 1 -2-3 -4-5 -6 και η δια δρομή 6-17 -16-15 -14-13 να είναι ίδια . Άρα όσα ν ομίσμα τα έχει η ουρά τόσα νομίσ ματα θα πρέπει να μετακινηθώ από τ ο τ έλος της ουρ άς (6ο ν όμισμα) κινούμενοι α ντίθετα . Οπότε ότ ι αριθμό κα ι αν σκεφθεί ο φίλος μας εμείς πάντα θα βρεθ ούμε στ ο 13 ο ν όμισμα . Η ίδια αρχή θα εφαρ μόζετ αι και σε οποια δή ποτ ε αριθμό νομισμάτ ων και αν έχου με. Αυτ ό που παίζει ρ όλο στ ον προσ διορισ μό τ ου σταθερ ού σημείου είναι το πλήθ ος των νομισμάτ ων που έχου με στην ουρά!
  • 62. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 56 24. Τοπολογικό τρικ … Ο Μάγος κα ι ο φίλος τ ου δένονται όπως στο σ χήμα με δύ ο κομμάτια σχοινιού. Όπως στο διπλαν ό σχή μα. Φαίνετα ι ότ ι με τίποτε δεν μπορ ούν να ξεχωρίσ ουν μετα ξύ τ ους και ότ ι α πό εδώ και μπρ ος θα είναι πά ντα μαζί. Ή μή πως όχι! Αν επιχειρήσετε να δοκιμάσετε κάτ ι τ έτ οιο καλή πρ οσπάθ εια αλλά προσ έξτ ε μην μπλεχτ είτε γ ια τα καλά … Η λύση … Με εικόνες …
  • 63. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 57 25. Μαγικό με σπίρτα … Έχουμε τ έσσερα σπίρτα και τα τ οποθετ ού με σε μία σειρά τα τρία προς μία κατεύθυνση και τ ο τ έταρτ ο ανάποδα ( όπως στ ο σχήμα ) Ας υ ποθέσουμε ότι τις θέσεις τ ις αρ ιθμού με και ότι τ ο «ανάποδο» σ πίρτ ο είνα ι στη θέση 3 . Ο Μάγος έχει γυρ ισμένη τ ην πλάτη του και λέει στ ον φ ίλο τ ου να αντιμετ αθέσει τ ο «ανά ποδο» σπίρτο με οποιοδή ποτε γειτ ονικό του . Τέτ οιου είδους α ντιμεταθέσεις μπορ εί να τ ις επαν αλάβει όσες φορές θέλει αρκεί στο τ έλος να πει στ ον μάγ ο πόσες συν ολικά αντιμετ αθέσεις έχει κά νει.. Όταν έχουν ανακατ ευθεί αρ κετά τα σπίρτα, ο Μάγ ος δίνει συγκεκρ ιμένες οδηγίες με σκοπό να αποκα λύ ψει την θέση τ ου «ανάποδου » σ πίρτ ου! Για παρά δειγ μα ας υ ποθέσ ουμε ότι ο φίλος κάν ει 5 αντιμετ αθέσεις , ποιες; Ό π οιες θέλει.. Τότ ε ο Μάγ ος ζητά να διώξει τ ο σ πίρτ ο που βρίσκεται στη ν 4 η θέση κα ι να αντ ιμεταθέσει τ ο «ανά ποδο» σπίρτ ο με κά ποιο γειτ ονικό τ ου. Μετά λέει α πλά ότι τ ο «ανά ποδο» σπίρτο είναι τ ο μεσα ίο από τα τρία σ πίρτα που α πομένουν!
  • 64. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 58 Η αιτιολόγηση … Ας υ ποθέσουμε ότι έχουμε μία διάτα ξη όπως την παρα κάτ ω : όπου τ ο «ανά ποδο» σπίρτο βρίσ κεται σε περιτ τή θ έση. Αν γ ίνουν περιττ ό πλήθος αντιμεταθ έσεων τ ου «ανά ποδου» σπίρτ ου με κάποιο από τα γειτ ον ικά του τ ότ ε τ ο «ανά ποδο» σπίρτ ο θα βρεθ εί και πάλι σ ε περ ιττή θέση. Άρα θα είναι στις θέσεις 1 ή 3. Αποκλείεται η θέση 4 . Γι’ αυτ ό ο Μά γος δίνει την οδηγία να βγει τ ο σ πίρτ ο που βρίσκεται στην 4 η θέση. Τώρα το « ανάποδο» σ πίρτ ο βρίσκεται σε ακρ ιανές θέσεις οπότε άλλη μία αντιμετάθεση θα τ ο φέρει στ ο μέσ ο από τα τρία σπίρτα που α πομένουν. Είναι η θέση που τελικά ο Μά γος επιλέγει με αυτ οπεποίθηση. Τι θα γίνει αν αφήσουμε τ ο ελεύθερο στ ον φίλο μας να κάνει όσες αντιμεταθέσ εις θ έλει; Τότ ε περ ιττ ό πλήθ ος αντιμεταθέσ εων φέρν ει τ ο « ανάποδο» σπίρτ ο στ ις θέσ εις 1 ή 3 , ενώ άρτιο πλήθ ος α ντιμεταθέσεων τ ο φέρνει στις θέσεις 2 ή 4. Ο πότ ε ο Μάγος δίνει τις κατά λληλες οδηγ ίες . Τι γ ίνετα ι α ν τ ο «ανά ποδο» σπίρτ ο είνα ι σε άρτ ια θέση;. Ποια είναι η στρατηγική που θα α κολουθήσει ο Μάγ ος ανά λογα με τ ο αν τ ο πλήθος των αντ ιμεταθέσεων είνα ι άρτ ιο ή περιτ τό;
  • 65. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 59 26. Μαντεύοντας έναν αριθμό … Ο Μάγος με ελάχιστ ες πληρ οφ ορίες είναι σε θέση να μαν τ έψει έναν α ριθμό. Γ ι’ αυτ ό δίνει τις παρακάτ ω οδηγίες κα ι σ υγ χρόν ως κάνει κα ι κάποιους υ πολογισμούς ν οερά (ση μειών ονται με κόκκιν ο χρώ μα) 1. Σκέψο υ έναν αριθμό από το 1 έω ς και το 10. 2. Πολλαπλασ ίασέ τον με 3. 3. Δια ίρεσ ε το γινόμενο με το 2 . Εδώ ο Μάγ ος ρωτά αν η διαίρεση είναι τέλεια. Αν δεν είναι δίνει τη ν οδηγία να στρ ογγυλοποιηθεί ο αριθμός που πρ οκύ πτει από τη δια ίρεση προς τα πάν ω κα ι θυμάται τ ον αριθμό κλειδί 1 . 4. Πολλαπλασ ίασε το απο τέλεσμα με το 3 . 5. Δια ίρεσ ε το α ποτέλεσμα με το 2 . Εδώ ο μάγ ος ρωτά αν η δια ίρεση είναι τέλεια. Αν δεν είναι δίνει τη ν οδηγία να στρ ογγυλοποιηθεί ο αριθμός που πρ οκύ πτει από τη δια ίρεση προς τα πάν ω κα ι θυμάται τ ον αριθμό κλειδί 2 . 6. Αφαίρ εσε το 9 . Αν γ ίνετα ι θυ μάται τ ον αριθ μό κλειδί 4 . Στην περ ίπτ ωση που βγαίνει η διαφ ορά αρνητικός αριθ μός τότε ο α ριθμός που έχει σκεφ θ εί ο φίλος τ ου είναι 1 ή 2 ή 3, αν άλογα με τ ο αν μέχρι να φθάσει στ ο 6 ο βήμα έχουν γίνει μία ή δύ ο στ ρογγ υλοποιήσεις ( ο μάγ ος πρ οσθέτει τους αριθμούς κλειδιά) . 7. Αφαίρ εσε το 9 . Αν η αφαίρεση γίνετα ι πρ όσθεσε τ ους αριθμούς κλειδιά που συν άντησες μέχρι να φθάσει ς στο βή μα α υτό και επιπλέον τ ον αριθ μό κλειδί 4 . Με τον τρ όπο αυ τόν μπορεί να κατα λή ξεις στ ους αριθμούς 8,1 0,9 Αν η αφαίρεση δεν γ ίνετα ι πρ όσθεσε τα κλειδιά κα ι έχεις τον αριθ μό που σκέφτηκε ο φίλος σου . Οι αρ ιθμοί μπορεί να είναι οι 4,6 ,5,7 . Με ποια λογική με επτ ά α πλές εντ ολές ο Μάγ ος είν αι σε θέση να προσ διορίσ ει έναν αρ ιθμό α πό το 1 έως τ ο 10;
  • 66. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 60 Η αιτιολόγηση … Ας παρακολουθήσ ου με τις οδηγ ίες τ ου Μάγ ου … Έστω χ ο αριθ μός χ { , , , , , , , , , } 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Τριπλασ ίασ ε τ ον αρ ιθμό : 3 χ Δια ίρεσ ε τον αρ ιθμό δια 2 . (γίνετα ι;) Ν Ο (1) 2/4/6/8/10 χ3 2 και χ +3 1 2 1/3/5 /7/9/ Πολλαπλασ ίασέ το υς επί 3 χ9 2 και χ +9 3 4 Δια ίρεσ ε τον αρ ιθμό δια 2 . (γίνετα ι;) Ν Ο (2) Ν Ο( 2) χ9 4 χ +9 2 4 χ +9 3 4 χ +9 5 4 {4 ,8 } (2,6 ,10 } {1,5 ,9 } {3 ,7} Αφαίρ εσε 9 (γ ίνετα ι;) χ − 9 9 4 χ + − 9 2 9 4 χ + − 9 3 9 4 χ + − 9 5 9 4 Ν( 4) Ο Ν(4) Ο Ν(4) Ο Ν(4) Ο {4,8 } - {6,10} 2 {5 ,9 } 1 7 3 Αφαίρ εσε 9 (γίνεται; ) χ − 9 18 4 χ + − 9 2 18 4 χ + − 9 3 18 4 χ + − 9 5 18 4 Ν(4) Ο Ν(4) Ο Ν(4) Ο Ν(4) Ο 8 4 10 6 9 5 - 7 Προσέξτε τι ωρ αία δου λεύ ει μνη μονικός τρ όπος πρ οσδιορ ισμού του αριθ μού. Ας υ ποθ έσου με ότι ο «άγνωστ ος» αριθ μός είναι το 6 για να φθάσου με στ ο 6 πρέπει να ακολουθήσουμε μία σ ειρά από Ν-Ο -Ν-Ο ή με βάση τα κλειδιά 0 +2+4 +0 =6 ! Εξασκηθ είτε και θα εντυ πωσιάσετε !
  • 67. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 61 27. Βρίσκοντας τα ζευγάρια … Ο Μάγος έχει ξεχωρίσ ει από μία τράπουλα όλους τ ους βασιλιάδες και τις βασίλισσες . Φτιάχν ει δύο σωρ ούς α πό τα φύ λλα αυτά που … στον ένα είναι τα φ ύλλα Κ / Κ / Κ / K και στ ον ά λλο τα φ ύλλα Q / Q / Q / Q . Παρατηρείστε ότι είναι τ οποθετη μένα τα φύ λλα στις δύο σωρούς με την ίδια σειρά ως προς τ ο χρώ μα και σχέδιο. Μετά τις δύο σωρ ούς τις κάν ει μία και δίνει τα οκτώ αυ τά φύλλα να τα κό ψει όσ ες φ ορές θέλει ο φ ίλος του . Δηλα δή να πά ρει μερικά και από τ ο τ έλος να τα βά λει στην αρ χή. Την δια δικασία αυτή ( κόψιμο όχι ανακάτ εμα) μπορεί να τ ην κάνει όσες φ ορές θέλει. Μετά ο Μάγ ος παίρ νει την τρά πουλα πίσω α πό την πλάτη του και με μία κίνηση βγάζει δύο -δύ ο τα φύλλα βασίλισσα – βασιλιάς με το ίδιο χρώ μα και σχέδιο! Πως μπορεί να γίνει κάτ ι τ έτ οιο αφ ού τα χαρτ ιά έχουν χω ριστεί και μά λιστα όχι από τ ον ίδιο τ ον Μάγο ;
  • 68. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 62 Η αιτιολόγηση … Η δύ ναμη της συμμετρ ίας θα μας δώσει την εξήγηση… Όταν οι δύ ο σω ροί έχουν γίν ει ένας , μία πιθανή διάταξη τ ων χαρτιών μπορεί να είνα ι : Κ / Κ / Κ / K/ Q / Q / Q / Q. Ο φίλος μας ξεκινά να κόβει την τρά πουλα … 1ο κόψιμο : Q / Q /Κ / Κ / Κ / K/ Q / Q 2ο κόψιμο : K/ Q / Q / Q / Q /Κ / Κ / Κ 3ο κόψιμο : Κ / Κ / K/ Q / Q / Q / Q /Κ κ.ο.κ Τι παρατη ρείτ ε ; Το 1ο και τ ο 5ο φύ λλο εξακολουθ ούν να είναι ζευγάρ ι, τ ο ίδιο συμβαίνει με τα 2 ο και 6ο φύ λλο, με τ ο 3ο και 7ο φύ λλο, με τ ο 4ο και 8ο φύ λλο. Το κόψιμο της τράπου λας ( όχι ανα κάτεμα) δεν χαλάει τη συμμετρία της! Οπότε ο Μάγ ος πίσω α πό την πλάτ η τ ου χωρίζει τα χαρτιά στη μέση και παίρνει με τη σειρά ένα φύλλο α πό τ ο κάθ ε μέρ ος. Τα ζευγάρια που βγαίν ουν με τον τρ όπο α υτό ταιριάζουν ως προς τ ο χρώμα και το σχή μα .
  • 69. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 63 Υπάρ χει κα ι ά λλο ένα ωραίο μαγ ικό που αναδεικνύει τη δύναμη της συμμετρ ίας. Ο Μάγος δίνει μία τρά πουλα α πό 18 φύ λλα στ ον φίλο τ ου κάτ ω από τ ο τραπέζι ώστε καν είς να μη είναι σε θέση να β λέπει. Ο Μάγος λέει στ ον φίλο τ ου ότι η τ ράπου λα είνα ι φτ ιαγμένη με έναν συ γκεκριμέν ο τ ρόπο ( ο Μάγ ος έχει βάλει ενα λλάξ κόκκιν ο και μαύρ ο φύλλο, πράγμα που αγ νοεί ο φίλος τ ου) . Για να ανα κατευτ εί η τράπου λα κα λείτα ι ο φίλος – κάτω α πό τ ο τραπέζι πάντα η τ ράπου λα – να παίρνει τα δύ ο πρ ώτα φύ λλα κα ι να τα τ οποθετ εί και πάλι στην αρ χή τ ης τρά που λας α λλά ανάποδα . Μετά κόβει την τρά πουλα ( δεν την ανακατ εύει). Με τ ον τ ρόπο α υτό η σειρά στην τρά που λα μπορ εί να χα λάσει. Για να είμαστ ε σίγ ου ροι ότι η τρά πουλα θα μπερ δευ τεί ο φίλος μας συν εχίζει το ανα κάτεμα όπως το περιγράψαμε προηγουμέν ως όσες φ ορές θέλει. Μετά ο Μάγ ος που έχει γυρισ μένη την πλάτη τ ου λέει στ ον φίλο του : Δες την τρά πουλα . Το πρώτ ο φ ύλλο αν είναι αν οικτό γύρ να τ ο ανά ποδα και όμοια αν είναι κλειστ ό άν οιξέ τ ο, βάζοντας τ ο πάντα πρώτ ο στη τράπουλα . Το χαρτ ί α υτό να τ ο θ υμάσαι. Κόψε ά λλη μία φορά την τρά που λα και δ όστην μου . Ο Μάγος μπρ ος τα έκπλη κτα μάτια τ ου φίλου τ ου κατ ορθ ώνει να βρει τ ο χαρ τί που πρ οηγ ου μέν ως ση μείωσε ο φίλος τ ου . Πως τ ο κατ ορθώνει αυτ ό; Απλά παρατη ρώντας ποιο χαρτ ί χα λάει την συμμετ ρία της εναλλαγής των χρ ωμάτ ων στη ν τρ άπου λα. Τ ο τρι κ αυτό μπ ο ρε ί ν α γ ί ν ε ι με ο π ο ι ο δ ήπ ο τε άρτι ο αρι θμό χαρτι ώ ν .
  • 70. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 64 28. Ανακατεύοντας τρία αντικείμενα … Ας υ ποθέσουμε ότι έχουμε στη σειρά τ ρεις από τ ους άσου ς μιας τράπουλας . Δηλαδή έστ ω ότ ι έχουμε την εικόνα : Α/ Α/ Α Ο άσ ος μπαστ ούν ι στη ν 1 η θέση , ο άσ ος κού πα στην 2 η κα ι ο άσος σ παθί στην 3 η . Ο Μάγος έχει γυρ ισμένη τ ην πλάτη του και ζητά α πό τ ον φίλο του να αντιμεταθέτ ει δύο οποιουσ δή ποτ ε άσους λέγ οντας τις θέσεις στ ις οποίες βρ ίσκονται οι άσοι που αντιμεταθέτει. Δηλαδή για παρά δειγ μα αν θέλει να αντιμεταθέσ ει τ ον άσ ο μπαστ ούνι με τ ον άσ ο σπαθ ί θα πει 1 -3 . Αν μετά αντιμετα θέσει τους άσους που θα έ χουν βρ εθεί στις θέσεις 2 κα ι 3 , απλώς θα πει 2-3 .Τέτ οιες αντιμεταθ έσεις μπορεί να κάν ει όσες θ έλει. Κάποια στιγ μή θα κάνει κα ι μία αντ ιμετάθεση χωρ ίς όμως να πει τους αντίστ οιχους αρ ιθμούς. Σημειών οντας τ ον άσ ο που δεν έχει αλλά ξει θ έση. Τον άσ ο α υτόν τ ον λέμε «κρυφ ό» άσο. Στη συ νέχεια συνεχίζει κα ι πά λι αντιμεταθ έσεις λέγον τας τις αντίστοιχες θέσεις … Όταν έχουν ολοκληρωθεί οι αν τιμεταθέσεις, ο Μάγ ος γυ ρ νά κα ι ον οματ ίζει τον «κρυφ ό» άσο! Πως γίν εται αυτ ό;
  • 71. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 65 Η αιτιολόγηση … Στα Μαθηματικά υ πάρχει ένας όρος «1 -1 αντιστ οιχία» με τον όρ ο αυτόν εν νοού με ότι κάθε στ οιχείο εν ός συν όλου α ντιστ οιχείτε σε ένα α κριβώς στ οιχείο εν ός ά λλου συν όλου. Την 1 -1 α ντιστ οιχία την χρ ησιμοποιούμε α πό μικρ ή η λικία ότα ν μετρά με αντ ικείμενα. Ουσιαστικά αντ ιστοιχούμ ε κάθε αριθ μό 1 -2-3-4-… με τα αντικείμενα τ ων οποίων τ ο πλήθ ος μετρά με. Κάτι τέτ οιο κάνει και ο Μάγ ος, χρησ ιμοποιώντας τα τρία δάκτυ λά του – τ ον δείκτ η τ ον μέσο κα ι τον παράμεσο. Πριν γυ ρίσει ο Μάγ ος επικεντρών ει την πρ οσ οχή τ ου σε έναν άσ ο π.χ. τ ον άσο μ παστ ούνι που βρ ίσκετα ι στην 1 η θέση . Τότε ο αντίχειρας αγ γίζει τ ον παρά μεσ ο που παίζει τ ον ρόλο της 1 η ς θέσης ( αντίστ οιχα ο μέσος αντ ιστοιχεί με την 2 η θέση και ο δείκτης με την 3 η ) . Όταν ο φίλος τ ου αρχίζει τις α ντιμεταθέσεις α λλάζει θέση ο αντίχειρας μόνο όταν ο άσ ος που βρίσκεται στην 1 η θέση – άρα ο παράμεσος – α ντιμετατεθ εί με κάποιο άλλο άσ ο σε κά ποια άλλη θέση. Γ ια παρά δειγμα αν ειπωθεί 1-3 τ ότε ο α ντίχειρας θ α δείχνει τ ον δείκτη . Αν μετά ειπωθ εί 2 -1 δεν αλλάζουμε θέση. Αν μετά ειπωθ εί 3-2 τ ότε ο αντ ίχειρας θα μετακινηθεί στ ον μέσο. Με τις κινήσ εις αυτές ο Μάγ ος γ νωρίζει σ ε ποια θέση βρίσκεται ο άσος μπαστ ούνι. Όταν γ ίνει η κρυφή αντ ιμετάθεση ο Μάγ ος δεν κάν ει τίποτε. Μετά συνεχίζει να α κολουθεί τις αντ ιμετ αθέσεις όπως πρ ιν. Ο Μάγος με το τέλος τ ων α ντιμεταθέσ εων γνω ρίζει τη θέσ η τ ου άσου μπαστούνι αν δεν είχε μεσ ολαβήσει η κρυφή αντ ιμετάθεση. Όταν γυ ρίσει τ ότε : 1η περίπτωση : αν διαπιστ ώσει ότι ο άσ ος μπαστούνι βρίσ κεται στην ίδια θέση με α υτή που έχει ο αντ ίχειρας με τα δάκτυ λά τ ου τότε αυτ ός είνα ι ο «κρυφός» άσ ος. 2η περίπτωση : αν διαπιστ ώσει ότι ο άσ ος μπαστούνι δεν βρίσκεται στην ίδια θέση με α υτή που πρ οσ διορίζει με τα δάκτυ λά του, α λλά στην θέση αυτή για παράδειγ μα είνα ι ο άσος κού πα τότε το κρυφό χα ρτί είν αι ο άσ ος σ παθί!
  • 72. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 66 29. Βρίσκοντας την ηλικία κάποιου … Ζητάμε από τον φίλο μας να σκεφθεί έναν αριθμό όσο μεγάλος και α ν είναι. Μετά να τ ον πολλα πλασιάσει με τ ο 9 και στ ο γ ιν όμενο αυ τό να προσθ έσει την ηλικία τ ου . Τον τελικό αρ ιθμό ( ή τ ο κατά λοιπό τ ου) θα τον ανα κοινώ σει στον Μάγ ο και αυ τός θα πει τ ην η λικία τ ου φ ίλου τ ου . Για παρά δειγ μα ο φίλος σκέφτεται έναν αριθμό, τ ον πολλαπλασιάζει με τ ο 9 κα ι πρ οσθέτει την η λικία τ ου και ανακοινών ει τον αρ ιθμό 2866. Ο Μάγος βρίσ κει τ ο κατά λοιπο του 28 66 (δες 8 ο μαγ ικό) δηλαδή τον αριθ μό 2 +8 +6+6 =22 / 2 +2=4 και μετά ισχυρ ίζεται ότι η ηλικία του φίλου τ ου είναι αριθ μός της μορφής : 9 κ+4 με κ φυσικός, άρα μπορε ί να είναι 13 , 22 , 31, 40 , 49 , 58, 67, 76 , 8 5, 94,… Ποια είναι η σ ωστή; Εδώ ο Μάγ ος υποψιάζετ αι πάν ω κάτω την η λικία τ ου ανθ ρώπου που έχει α πέν αντί τ ου και εκτιμά την η λικία του. Για να βρεις τ ον τρ όπο που σκέφτεται ο Μάγ ος σου θυ μίζ ω την βασική ιδιότητα που έχει το κατ άλοι πο ενός αρ ιθμού, όπως τ ο διατυ πώσα με και στ ο 8 ο μαγικό. Το κατά λοιπο ενός αριθ μού είνα ι ίσο με τ ο υ πόλοιπο της διαίρ εσης τ ου αρ ιθμού με τ ο 9.
  • 73. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 67 Η αιτιολόγηση … Αν χ ο αρχικός μεγά λος αρ ιθμός που σκέφτετ αι ο φίλος μας και α η ηλικία τ ου , τ ότ ε ο αριθ μός που μας αν ακοινώ νει είναι ίσος με 9χ+α . Άρα γ ια το παράδειγ μά μας 2866 =9χ+α (1) Γνωρίζουμε ότι τ ο κατά λοιπο εν ός αριθμού είναι ίσ ο με τ ο υπόλοιπο της διαίρ εσης τ ου αριθ μού με τ ο 9 (γιατί; ) Άρα θα ισ χύει και 2866 =9κ+4 (2) . Από (1) και ( 2) έχου με : 9 χ+α =9κ+4 άρα α =9 (κ-χ) +4 ή αν θ έσου με β=κ-χ η η λικία του φίλου μας είναι αριθ μός της μορφής α =9β+4 οπότε μπορεί να είνα ι 4 , 13, 22, 31 , 4 0, 49, 58 , 67 , 76, 85 , 94… Τώρα ποια είναι η ηλικία αυτ ό μπορεί να τ ο βρει εικάζ οντ ας ποια α πό τις παρα πάνω τ ιμές ταιριά ζει με το πρ όσωπο που βλέπω απέναντί μου …
  • 74. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 68 30. Τρικ με τη βοήθεια του Descartes … Ένα α πλό μαγικό μπορεί να γίν ει βασιζόμενοι στ ο καρτ εσιαν ό σύστημα συντεταγμένων… Θυμηθείτε κάθε σημείο στο επίπεδο μπορεί ν α πρ οσδιορ ιστεί με τη β οήθεια δύ ο αρ ιθμών τ ις συ ντεταγ μένες τ ου . Με 16 χαρτιά φτ ιάχν ου με ένα πλήρ ες τετράγων ο. Ζητάμε από τον φίλο μας να σκεφτεί ένα φύλλο και να μα ς πει σε ποια γραμμή είναι. Μαζεύ ουμε τα φύ λλα στή λη-στή λη από τα δ εξ ιά προς τα αριστερά. Σχημα τίζουμε πάλι ένα πλήρες τετρ άγων ο φροντ ίζοντ ας τ ώρα να σχηματίζ ουμε πρώτα τ ις γραμμές του . Ρωτάμε ξανά τ ον φίλο μας σε ποια γραμμή είναι τώρα τ ο φύλλο. Ο Μάγος είναι σε θέση τώρα να α ποκαλύψει το «ά γνωστ ο» φύλλο. Για παρά δειγ μα αν το «άγν ωστ ο» φ ύλλο πρώτα ήταν στην 2 η γραμμή κα ι μετά στη 3 η γραμμή τότε το φύ λλο που ψάχν ουμε είναι τ ο 2ο της 3η ς γ ραμμής, σύμφ ωνα με όσα μας έχει διδάξει από τ ον 16ο αιώνα ο Desc artes. Το γιατ ί σας τ ο αφή νω σε εσάς …
  • 75. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 69 31. Ένα μαγικό για μεγάλο ακροατήριο Στο ακρ οατή ριο παρ ουσιάζεις τ ον παρακάτ ω πίνα κα … 23 40 70 61 53 14 08 20 52 88 77 59 13 87 33 34 82 17 7 43 79 12 89 62 21 8 71 10 41 69 44 47 626 66 9 81 72 63 54 36 45 3 11 3 64 74 84 38 31 60 24 46 86 35 37 19 25 15 2 42 50 51 32 78 55 56 42 85 57 30 8 16 5 75 5 29 67 7 286 49 27 18 8 68 39 Στον πίνακα α υτόν είναι ση μειωμένα αρ ιθμοί σε διάφορα χρώμα τα. Ζητάς να σ κεφτ ούν έναν διψήφιο αριθμό χωρίς να τ ον αποκαλύψουν σε κα νένα . Μετά ζητάς ν α πρ οσθέσουν τα ψηφία τ ου κα ι τ ο άθρ οισμα αυτ ό να τ ο αφα ιρέσ ουν α πό τ ον αρχικό διψήφιο πρ οσω πικό τ ου καθένα αριθμό. Πρέπει τ ώρα ο κάθε ένας από το κοινό σ ου να συγκεν τρω θεί στ ον αριθμό α ποτέλεσμα τ ων πρ οηγ ού μενων πρά ξεω ν όπως φα ίνεται στον παρα πάν ω πίνα κα. Ο Μάγος θα αποκα λύ ψει τ ο χρ ώμα που έχει ο αριθ μός τ ου καθενός ! Ποιο είνα ι τ ο χρ ώμα; Μα φ υσικά κόκκιν ο! Το γιατ ί σας τ ο αφή νω σε εσάς να τ ο βρείτε …
  • 76. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 70 32. Ένα ακόμα μαγικό με το ημερολόγιο … Ο Μάγος δείχνει τ ο ημερ ολόγιο τ ου έτ ους και ζητά από τ ον φ ίλο του ν α δια λέξει έν αν μήνα . Μετά ο Μάγ ος έχοντας γυρισμένη τη ν πλάτη τ ου ζητά να κυκλώσ ει σε κάθε μία από τις πέντε πρώτες γραμμές τ ου μή να μία μέρα και να πρ οσθέσει τ ους αριθμούς που αντιστ οιχούν στις μέρες που διά λεξε. Ο Μάγος ρω τά πόσες Δ ευτέρες, πόσες Τρίτες , πόσες Τετά ρτες, πόσ ες Πέμπτες, πόσες Παρασκευές κα ι τ έλος πόσα Σάββα τα, έχει κυκλώσει ο φίλος του. Με τις πληρ οφορ ίες αυτές ο Μάγ ος είνα ι σε θέση να βρει τ ο άθροισμα των η μερ ομη νιών που ο φίλος τ ου έχει κυκ λώσει! Για παρά δειγ μα ας υ ποθέσ ουμε ότι ο φίλος μας διαλέγει τον μήνα Οκτώβρ ιο και κυκλώ νει πέντε η μερ ομη νίες και στις ερωτήσεις τ ου Μάγου α παντά ότι έχει κυ κλώσει μία Κυρ ιακή, δύ ο Δ ευτέρ ες, μία Π έμπτη και ένα Σάββατο. Αμέσ ως μετά ο Μάγ ος αν ακοινώ νει τ ο άθ ροισμα λέγοντας απλά …77! Για να γίν ου με σαφέστεροι … ας υποθέσ ουμε , με βάση τις απα ντήσεις του φίλου μας, ότι οι η μερ ομηνίες που κυκλώθηκαν είναι οι σημειω μένες με κόκκιν ο. Μία Κυριακή , δύ ο Δευ τέρες , μία Πέμπτη και ένα Σάββατ ο. Οι ημερομηνίες αυτές έχ ουν άθρ οισμα 5 +6 +14 +21+31=77 . Τον αριθ μό α υτό πρ όβλεψε και ο Μάγ ος, ποια είνα ι η σκέψη τ ου;
  • 77. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 71 Η αιτιολόγηση … Το κόλπο βασίζεται στ ο γ εγ ονός ότι σε κάθε η μερ ολόγιο τ ο άθροισ μα τ ων ημερομηνιών που βρίσκοντα ι στην στή λη που ξεκινά ο μήνας είναι ίσο με 75 . Το αποτέλεσ μα αυτ ό μπορ εί ν α μην ισχύ ει στον μήνα Φεβρ ουάρ ιο, γι’ α υτό κα ι γ ια το συγκεκρ ιμένο κόλπο ο μήνας α υτ ός πρέπει να α ποφ εύγετ αι. Αυτ ό ισχύει διότι οι ημερομηνίες που βρίσκονται στην στή λη α υτή είναι πάντα οι 1 -8-15 -22-29 με άθροισμα 75. Όταν ξεκινά τ ο μαγικό ο Μάγ ος γνωρίζ ει , διότι τ ο έχει πρ οσέξει, ποια η μέρ α έχει ο συγκεκριμέν ος μήνας πρωτ ομην ιά. Αυτ ό σ ε συνδυασ μό με τις α παντήσ εις στα ερωτή ματά του δίν εται η δυνατ ότητα με α πλές πρά ξεις να υ πολογίσ ει σωστά το ζητ ούμεν ο άθροισ μα. Για τ ο παρά δειγμά μας … Η 1η του μήνα είνα ι Τρίτη , άρα όλες μαζ ί οι Τρ ίτες έχου ν άθροισ μα 75 . Έχου με την πληρ οφ ορία ότι έχου ν ση μ ειωθεί 1 Κυρια κή, 2 Δευτέρες, 1 Πέμπτη κα ι 1 Σάββατο, άρα στ ο 75 πρ έπει να αφαιρ έσω 2 ( λόγω της Κυρ ιακής) , 2 ( λόγω των δύ ο Δ ευτέρων ) και να πρ οσθέσω 2 (λόγ ω της Πέμπτ ης) και άλλα 4 (λόγ ω του Σαββάτου ). Ο πότε το ζητ ούμεν ο άθρ οισμα είν αι : 75 -2-2 +2+4 =77. Επειδή ένα μαγικό για να είναι επιτυ χημέν ο πρέπει ο Μάγ ος να κάνει εύ κολους και γρήγ ορ ους υπολογισμούς , υ πάρ χει ο εξής αλγόριθμος υπολογ ισμού τ ου ζητού μεν ου αθρ οίσ ματος . Δίνου με στην στήλη που α νήκει η 1η τ ου μήνα αρ ιθμό κλειδί 75 (όσ ο τ ο άθρ οισμα τ ων η με ρ ομηνιών) . Σε κάθε προηγούμενή της δίν ουμε αριθμό κλειδιού κατ ά 5 λιγ ότερ ο την φορά . Δηλα δή γ ια το παρά δειγμά μας η 2η στήλη έχει αρ ιθμό 70 και η 1η στ ήλη 6 5. (Οι αριθμοί αυ τοί δεν έχουν καμιά σχέση με τ ο άθρ οισμα των ημερ ομην ιών της αντίστ οιχης στή λης, εί ναι αριθ μοί που εξυ πηρετ ού ν μία ευ κολομνη μόνευτη δια δικασία απάντησ ης – λύσης τ ου μαγικού ).
  • 78. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 72 Ο σκοπός είναι να βρεθεί με τη δια δικασία που περιγ ράψαμε ο αριθμός κλειδί τ ης 1ης στήλης τ ου μήνα . Μετά πρ οσθέτ εις 1 μονά δα για κάθ ε Δ ευτέρα , 2 μονάδες γ ια κάθε Τρ ίτη , 3 μονά δες για κάθε Τετάρ τη, 4 μονά δες για κάθε Πέμπτη , 5 μονάδες για κάθε Παρ ασκευή κα ι τέλος 6 μονά δες για κάθε Σάββατ ο που ακούς α πό τις α παντήσεις τ ου φίλου σ ου . Ας δούμε πως λειτ ουργεί ο συγκεκριμέν ος αλγ όρ ιθμος. Η 1η στή λη τ ου μήνα έχει αρ ιθμό κλειδί 65 (75 -5 -5=65). Με βάση τις α παντήσεις ο Μάγ ος κάνει τ ην πρά ξη : +  +  +  =65 2 1 1 4 1 6 77 . Ουσιαστικά ο αλγ όριθ μός βασίζετα ι σ ε απλές προσθαφα ιρέσεις όπως φα ίνετα ι στην διπλαν ή δικα ιολόγηση … Για να δούμε ένα παρα δείγματα ακόμα … Ας υ ποθέσουμε ότι ο φ ίλος μας έχει ση μειώσει τις ημερ ομην ίες που φαίν ον τα ι στο διπλανό πίνα κα με άθροισ μα : 25 +19 +13 +7 +2=66 Ο Μάγος βλέπει ότι η 1η τ ου μήνα είνα ι Παρ ασκευή , άρα υπολογίζει τ ο κλειδί για την στήλη Κυρ ιακή, σύ μφωνα με τον αλγ όρ ιθμο ότι είναι : 75 -5 -5-5 -5-5 =50 Συγχρ όνως ακού ει ότι έχουν επιλεγ εί 1 Δ ευτέρ α, 1 Τρί τη , 1 Τετάρτη , 1 Πέμπτη και 1 Σάββατ ο. Άρ α υ πολογίζ ει ότ ι τ ο άθροισ μα θα είναι ίσ ο με : 50 +1+2+3 +4 +6 =66! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − + + + = + − − + + + = − − + + + = + − − + + + = + + + + + = +  +  +  = 75 2 1 1 2 4 77 70 5 2 1 1 2 4 77 70 1 0 0 3 5 77 65 5 1 0 0 3 5 77 65 0 1 1 4 6 77 65 2 1 1 4 1 6 77
  • 79. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 73 33. Ένα κόλπο με νομίσματα. Ας υ ποθέσουμε ότι έχεις 30 ν ομίσ ματα . Εσύ ο μέγας Μάγ ος λες στον φίλο σου. Γυρνά ω την πλάτη μου και ακολούθα τ ις οδηγίες μου . Πάρε έναν αριθμό ν ομισμάτω ν α πό 1 έως τ ο πολύ και 9 , σ την τσέπη σου. Μέτρα πόσα ν ομίσ ματα έχου ν μείν ει ακόμα. Σχημά τισε δύο στ οίβ ες η πρ ώτη να έχει τόσα ν ομίσματα όσ ες οι δεκά δες των ν ομισμάτ ων που έχου ν α πομείνει και η άλλη όσες οι μονά δες τω ν ν ομισμάτ ων που έχουν α πομείνει. Για παρά δειγμα αν έχεις πά ρει 2 ν ομίσ ματα θα έχουν περισσέψει 28 οπότ ε θα σχηματίσ εις δύ ο στοίβες, η μία με 2 νομίσ ματα και η άλλη με 8 . Πάρε τα ν ομίσματα α πό τις δύ ο στ οίβ ες που σ χημάτ ισες και βά λε τα κα ι α υτά στη ν τσ έπη σ ου. Πάρε α κόμα μερικά ν ομίσματα α πό αυτά που έχουν α πομείνει και κράτα τα στο χέρι σ ου. Τότ ε εγώ ο μέγας Μάγ ος θα γ υ ρίσω και θα σ ου πω πόσα ν ομίσματ α έχεις στην τσέπη σου και πόσα νομίσματα κρα τάς! Για να γίν ου με σαφείς … Ας πούμε ότι α πό τα 30 ν ομίσ ματα έχει ς πάρ ει αρχικά 4, άρα έχουν απομείν ει 26. Σχηματ ίζει ς τις δύ ο στ οίβες από 2 κα ι 6 νομίσματα . Τα 8 αυτά νομίσ ματα τα βάζεις και αυτά στην τ σέπη σου. Έχουν απομείν ει 18 νομίσ ματα. Τότ ε εσύ πα ίρνεις στ ο χέρ ι σου 8 ν ομίσματ α α πό α υτά και α πομέν ουν 10 ν ομίσματα ακόμα. Εγώ ο Μάγ ος θα είμαι σε θέση να σου πω ότι κρατάς 8 νομίσματα κα ι ότι έχει 12 ν ομίσματα στην τσέπη σου! Πως γίν εται αυτ ό;
  • 80. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 74 Η αιτιολόγηση … Το κόλπο μπορ εί να γίν ει με όσα νομίσ ματα θ έλεις 20, 40 50 οποιοδήποτ ε πλήθ ος δεκά δων ν ομισμάτω ν. Για αυτ ό την εξήγηση θα την δώσου με γενικά . Έστω ότ ι έχουμε κ10 νομίσματα Ο φίλος παίρν ει χ { , , , , , , , , } 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Άρα έχουν α πομείνει κ χ (κ ) ( χ) − = −  + −10 1 10 10 νομίσ ματα Ο αριθ μός αυτ ός των ν ομισμάτ ων γ ραμμέν ος στη δεκα δική μορφή έχει κ -1 δεκάδες και (10 -χ) μονά δες . Άρα τα νομίσ ματα που υ πάρ χουν στ ις δύ ο στ οίβ ες που σχηματ ίζου με κατ ά τ η διάρκεια τ ου τρικ είναι κ -1 +(10-χ) νομίσ ματα. Οπότε ο φίλος μας έχει στη ν τσ έπη τ ου χ+κ -1+(10-χ)=9+κ νομίσματα κα ι έχουν α πομείνει κ χ κ χ κ − − + − + = −10 1 10 9 9 νομίσματα . Ας υ ποθέσουμε ότι ο φ ίλος μας πα ίρνει α κόμα ψ ν ομίσμα τα, τ ότ ε απομέν ουν 9 κ-9-ψ ν ομίσ ματα . Τώρα ο Μάγ ος είναι σε θέση να υ πολογίσει πόσα ν ομίσμα τα έχει στην τσέπη του ο φίλος τ ου αφού ο αριθμός 9 +κ εξαρτάτα ι μόν ο από τ ον αρχικό α ριθμό ν ομισ μάτων που είνα ι γν ωστός . Για τα νομίσματα που έχει στην τσέπη τ ου απλώς αφαιρ εί από τ ον αριθμό 9 κ-9 τ ο πλήθ ος των ν ομισ μάτων που έχουν α πομείνει, δηλα δή 9κ-9-(9 κ-9-ψ) =ψ. Για παρά δειγ μα, ας υποθέσ ου με ότι ξεκιν ήσαμε με 30 ν ομίσματα και ότ ι ο Μάγ ος μετρά ότ ι έχουν α πομείνει 15 ν ομίσ ματα . Τότ ε στην τσέπη τ ου ο φίλος τ ου έχει κ κ = + = 3 9 12 νομίσ ματα και στ ο χέρι τ ου κρατά κ ( κ ) = − − = − = 3 9 9 15 18 15 3 ν ομίσ ματα.
  • 81. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 75 34. Μαγικό με τράπουλα … Το μαγ ικό μας πα ίζεται με 2 1 χαρτιά . Στην αρ χή ο Μά γος τα δίνει στον φίλο τ ου και τ ου ζητά να δια λέξει ένα χαρτί, μετ ά ν α τ ο τοποθετ ήσει και πάλι στη ν τρ άπου λα και να την ανακατ έψει όσο το δυν ατόν καλύτ ερα . Ο Μάγος φτιά χνει τρ εις στήλες α πό 7 χα ρτιά η κάθε μία. Μόλις ολοκληρ ωθού ν ο φίλος κα λείτ αι να αποκα λύ ψει σε ποια σ τήλη είναι τ ο χαρτί τ ου . Ο Μάγ ος μαζεύ ει στήλη -στήλη παίρν ον τας την στή λη τ ου «άγ νωστ ου» χαρτ ιού δεύτερη . Ο Μάγος ξαναφτιά χνει τρ εις στήλες α πό επτά χα ρτιά η κά θε μία, φτιάχν οντας τ ις στή λες σειρά -σειρά και πά λι ζητά να του υποδειχθεί σ ε ποια στήλη είναι τ ο «άγνωστ ο» χα ρτί. Μαγ εύει τις στήλες με την στή λη που του έχει υποδειχθεί δεύτερη. Τη ν δια δικασ ία α υτή τ ην κάνει α κριβώς ίδια ά λλη μία φ ορά . Τώρα είν αι σε θ έση να βρ ει το «άγ νωστ ο» χαρτ ί. Βρ ίσκετα ι στην 11η θέση από την αρχή (γ ιατί; ), αλλά για να κάν ει ποιο θεαματικό τ ο μαγικό συν εχίζ ει … Φτιάχν ει τριά δες κα ι τ ις βάζει πάνω στ ο τραπέζι κλειστές . Γνωρίζοντας ότι τ ο φύλλο που ψά χν ουμε βρ ίσκετα ι στη ν 1 1η θέση ξέρει ότ ι τ ο φύλλο είνα ι τ ώρα στη μέση της 4ης τρ ιά δας. Με ερ ωτήσεις τ ου τύπου « διά λεξε τέσσ ερις τριά δες» ή «διάλεξε μία τριά δα» ή «διάλεξε ένα φύλο α πό μία συγκεκριμένη τ ριάδα» είναι σε θέση να κατευθύνει την εξέλιξη τ ου μαγ ικού ώστ ε στ ο τέλος ν α μείν ει μόν ο του τ ο «άγν ωστο» φύ λλο. Για να γίν ω πιο συγκεκριμέν ος . Στ ο ση μείο που έχει επτά τριάδες στο τ ραπέζι, ρωτά δείξε μου τ έσσερις τριά δ ες . Αν ο φίλος τ ου συμπεριλαμβάν ει στις επιλεγμένες τριά δες και αυτή που βρίσκεται τ ο φύλλο που ψά χν ουμε τ ότ ε διώχνει α πό το τρ απέζι τις ά λλες τρ εις και συνεχίζει … Αν όμως δεν συ μπεριλαμβ άνει τότε διώ χνει τις επιλεγ μέν ες και συνεχίζει με τ ις υπόλοιπες τρε ις μέσα στις οποίες είνα ι και η τριά δα που περιέχει τ ο «άγν ωστο» φύλλο. Λίγη φαν τασία θέλει και ανα δεικνύ εστε σίγ ουρα ως μέγας Μάγ ος, τουλά χιστ ον στα μάτια της παρ έας.
  • 82. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 76 Η αιτιολόγηση … Όταν μας υποδείξουν για πρ ώτη φορά , την στήλη που βρ ίσκεται το «άγνωστ ο» φύ λλο και μαζέψου με τα χαρ τιά με την στή λη που έχει υ ποδειχθ εί ως δεύτερη τ ότε τ ο «άγνωστ ο φύλλο βρ ίσ κεται στις θέσεις 8η έως και 14η . Τη δεύτ ερη φορά έτσι όπως σχη ματίζ ονται γρα μμή - γραμμή οι νέες τρ εις στήλες τα φύ λλα αυτά διασκορ πίζονται στην τράπου λα και βρίσ κονται στις θέσεις που παρ ουσ ιάζοντα ι στ ο διπλαν ό σχήμα : Αν υ ποδειχθ εί η 1 η στή λη τ ότε το άγν ωστο φύ λλο είναι αυ τό βρισκότα ν αρ χικά στις θέσεις 10 η ή 13η . Όμοια αν υποδειχθ εί η 2η στήλη τ ο φ ύλλο βρισ κότ αν α ρχικά στις θέσεις 8η ή 11η ή 14η και τέλος αν υ ποδειχθ εί η 3 η τ ότε τ ο φύλλο βρισκόταν αρ χικά σε μία από τις θ έσεις 9 η ή 1 2η . Μαζεύ οντας τα φ ύλλα με την στή λη που βρίσκεται το «ά γ νωστο» φύλλο δεύτερ η τ ότε τα φύ λλα αυτά θα βρεθ ούν σε συγκεκρ ιμένες θ έσεις στη τράπου λα . Ειδικότερα αν μαζέψουμε την 1η στήλη δεύτ ερη τ ότε τα δύ ο φύλλα θα βρ εθούν στη ν 11η και 1 2η θ έση. Αν μαζευτεί η 2 η στή λη δεύτερη τ ότε τα φύλλα ένα από τα οποία μπορεί να είναι τ ο άγνωστ ο θα βρ εθούν στ ις θέσεις 10 η ή 11η ή 12η . Τέλος αν μαζέψουμε τη ν 3 η στή λη δεύτ ερη τα ύποπτα φύ λα θα βρ εθούν στ ις θέσ εις 10 η και 11η . Επομένως το άγν ωστο φύ λλο μπορεί να είναι έν α α πό τα τρία φύ λλα της 4 η ς γρα μμής κατά τ ο τρίτ ο άν οιγμα της τρά πουλας . Όπως φαίν εται κα ι στ ο διπλαν ό σ χήμα η τρίτη υ πόδειξη στή λης αποκα λύ πτει και το άγν ωστο φύλλο. Αλλά μαζεύ οντας κα ι πά λι την τράπου λα με τ ον ιδια ίτερ ο τρ όπο που γνωρ ίζου με τ ο «άγνωστ ο» φύ λλο θα βρεθεί τελικά στη ν 11η θέση της τρά πουλας κα ι θα περιμέν ει μέχρι να ολοκληρ ωθεί η παρ ουσ ίαση γ ια ν α α ποκα λυφθεί. Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ 8 9 10 11 12 13 14 Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ 10 11 12
  • 83. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 77 35. Ένα απλούστατο μαγικό με το χρόνο … Δίνεις ένα κομπιουτ εράκι στ ον φίλο σ ου και τ ον ρωτάς να γρά ψει το έτ ος γ έννησής του και σε αυτ ό ν α πρ οσθέσει τ ο έτ ος που συνέβη ένα ιδιαίτ ερο γεγ ον ός για τ ον ίδιο. Στη συ νέχεια να πρ οσθέσει τ ην η λικία τ ου και τα χρ όνια που έχουν περάσει α πό εκείν η την ιδια ίτερη χρον ιά που συνέβη το γεγον ός … Πόσο είναι τ ο άθρ οισμα; Πριν πρ ολάβ ει να διαβάσ ει το α ποτέλεσμα εσ ύ τ ο έχεις β ρει! Χωρίς να γνωρ ίζεις καν έναν από τους τ έσσερις αριθ μούς που συμπεριλαμβάν οντα ι … Πως είναι δυνατ όν; Το μόν ο που σας λέω είνα ι ότι αν τ ο μαγικό τ ο έκα να τ ο 2 000 τ ο άθροισ μα θα ήταν 4000 . Αν τ ο μαγικό τ ο έκανα τ ο 2020 τ ο άθροισ μα θα ήταν 4 .040. Επειδή τ ο μαγ ικό τ ο έκανα το 20 19 τ ο άθροισ μα ήτ αν 4 .038 … Η αιτιολόγηση … Καλά τ ο σ κεφτήκατ ε είνα ι πάντα δύ ο φ ορές τ ο τρέχον έτ ος! Αφού τ ο έτ ος γ έννησης και η ηλικία δίν ουν άθρ οισμα αυτ ό. Αλλά το ίδιο άθρ οισ μα δίνει κα ι τ ο έτ ος του γ εγονότ ος μαζί με τα χρόν ια που έχουν περάσ ει από τότε. Τόσ ο απλό και τόσ ο θεα ματικό !
  • 84. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 78 36. Ένας και μοναδικό ς κυκλικός αριθμός … Ο Μάγος κρ ατά τ α χαρτιά Α / 4 / 2/ 8/ 5/ 7 Τα χαρτιά αυτά σχη ματίζ ουν τ ον εξαψήφ ιο 142857 . Ο φίλος μας κρατά ένα κομπιουτ εράκι για να κάνει πιο γρ ήγορα από τ ον Μά γο κά ποιες πράξεις. Ποιες ; τις εξής απλές : 2 142857 , 3 142857, 4 142857 , 5 142857, 6 142857 Όσο και αν προσ παθήσει τ ον Μάγ ο δεν τ ον πρ ολαβα ίνει … Για παρά δειγ μα … για να βρει τ ο γιν όμεν ο 2 142857 αναδια τάσσει τα χαρτ ιά στη μορφή : 2/ 8/ 5/ 7/ Α/ 4 / για να βρει τ ο γιν όμεν ο 3 142857 αναδια τάσσει τα χαρτ ιά στη μορφή : 4/ 2/ 8/ 5/ 7/ Α για να βρει τ ο γιν όμεν ο 4 142857 αναδια τάσσει τα χαρτ ιά στη μορφή : 5/ 7/Α/ 4 / 2 / 8/ για να βρει τ ο γιν όμεν ο 5 142857 αναδια τάσσει τα χαρτ ιά στη μορφή : 7/ Α/ 4/ 2/ 8/ 5 / για να βρει τ ο γιν όμεν ο 6 142857 αναδια τάσσει τα χαρτ ιά στη μορφή : 8/ 5/ 7/ Α/ 4/ 2 / Ο αριθ μός 142857 είναι ο μονα δικός αριθμός γραμμέν ος στο δεκα δικό σύστη μα που έχει την ιδιότητα αυτή . Αξίζει λοιπόν να του αφιερ ώσουμε μία σελίδα στ ο βιβλίο αυτ ό …
  • 85. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 79 37. Ένα μαγικό με αρκετ ές πιθανότητ ες επιτ υχία ς … Ο μά γος δίνει την τρά που λα στ ον φίλο τ ου για να διαλέξει ένα τραπουλόχαρτ ο. Το φύλο αυτ ό το τ οποθετεί περίπου στη μέση … Η π ι θ α ν ό τ η τ α ν α β γ ε ι τ ο μ α γ ι κ ό έ χ ε ι ν α κ ά ν ε ι α π ό τ η ν ι κ α ν ό τ η τ α τ ο υ Μ ά γ ο υ ν α τ ο π ο θ ε τ ή σ ε ι τ ο χ α ρ τ ί σ ε μ ί α α π ό τ ι ς θ έ σ ε ι ς 2 5 η , 2 6 η , 2 7 η , 2 8 η , δ η λ α δ ή π ε ρ ί π ο υ σ τ η μ έ σ η τ η ς τ ρ ά π ο υ λ α ς τ ω ν 5 2 χ α ρ τ ι ώ ν . Φτιάχν ου με γρα μμή -γραμμή τέσσερ ις στή λες από δεκατρ ία χαρτιά η κάθε μία. Ζητάμε να δει τ α χαρτιά της κάθε στή λης ο φίλος μας κα ι να μας πει σε π οια στή λη βρίσκεται τ ο « κρυφ ό» χαρτ ί. Τα χαρτιά της στήλης τα χρησιμοποιού με να φτιά ξουμε σειρά - σειρά άλλες τέσσερ ις στή λες . Τα υπόλοιπα χα ρτιά πηγα ίν ουν στην άκρη . Θα παρατηρήσ ου με ότ ι φτ ιάχν οντα ι μία στήλη με τέσσερ α χαρτ ιά που δεν μας ενδιαφέρει και τρεις α πό τρ ία χαρτιά η κάθ ε μία. Στο τετ ράγων ο 3Χ3 που φτιά χνετα ι το κρ υφό χα ρτί βρίσκεται στ ο κέντρ ο τ ου τ ετραγών ου (γ ιατί;) . Εδώ αρ χίζει τ ο θεατρικό μέρ ος της παράστασης. Με ερ ωτήσεις τ ου τύπου διά λεξε μία γρ αμμή ή διά λεξε έν α φύλο καθοδηγούμε τ ον φίλο μας να επιλέξει τ ελικά τ ο φύ λο που βρίσκεται στ ο κέντρ ο τ ου τετραγ ών ου. Το μέρ ος αυτ ό τ ου μαγικού σκοπό έχει να φανεί ότι οι κινήσεις που κά νει ο φίλος μας είναι α ποτ έλεσμα τυ χαίων γ εγον ότ ων που οδ ηγ ούν όμως μαγικά! στην α ποκάλυ ψη τ ου κρυφ ού χαρ τιού.
  • 86. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 80 Η αιτιολόγηση … Αν ο Μάγ ος κατ ορθώσ ει να τοποθετήσει τ ο χαρτ ί περίπου στη μέση της τρά που λας, δη λα δή σ ε μία α πό τις θέσεις 25 η , 2 6η , 27 η , 28η , τ ότ ε όπως φτιάχν οντα ι οι πρώτ ες τ έσσερις στήλε ς τ ο «άγνωστ ο» χαρτί θα είναι κά ποιο α πό τα τ έσσερα χαρτ ιά της 7 η ς γραμμής . Την δεύ τερη φορά ο φίλος μας έχει υ ποδείξει σε ποια στή λη βρίσκεται τ ο φύλο του. Ουσ ιαστικά γν ωρίζ ουμε ποιο είνα ι τ ο φύλο. Το 7ο χαρτί! Αλλά γ ια να γ ίνει θεα ματικότερ ο στ ο όλο σκηνικό σ υνεχίζου με… Σχημα τίζουμε τ έσσερις πά λι στή λες. Το χαρτ ί δεν μπορ εί να βρίσκεται στην 1 η στήλη . Θα βρίσκεται στο κέντρ ο του σχηματιζ όμενου τ ετραγώ νου! Παρατηρείστε τ ο διπλαν ό πίνα κα και οι όποιες απορίες θα λυθ ούν … Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ 7
  • 87. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 81 38. Όταν ο Jack συλλαμβάνει τον κακό … Ο Μάγος δίνει στ ον φίλο τ ου την τρά πουλα για να την ανακατέψει όσες φορ ές θ έλει… Από την τράπου λα βγάζει ένα J και ένα ά λλο χαρτ ί που θα τ ο ον ομάζ ουμε «ο κα κός». Μετά σχη ματίζει δύ ο στοίβες τ ων 15 χαρτιών δίνον τας εν αλλά ξ ένα χαρτί για την μία και έν α χαρτί για την ά λλη στ οίβα . Η μία είναι τ ου μάγ ου κα ι η ά λλη τ ου φίλου μας. Κόβ ου με στην τύχη τις δύο στ οίβες ώστ ε να σχη ματιστ ούν δύο στοίβες τ ου φίλου κα ι δύ ο στοίβες τ ου Μάγ ου. Το «κα κό» τον τ οποθετούμε σε μία από τις δύ ο στ οίβες του φίλου μας και α πό πάνω τ ου βάζου με μία α πό τις δύ ο στοίβες του Μά γου . Τώρα ο φίλος μας έχει δύ ο στ οίβ ες κ αι ο Μάγ ος μία . Πάνω στην μονα δική στ οίβα τ ου Μάγου τ οποθ ετούμε τ ο J ανοικτό, έτσι θα είνα ι τ ο μονα δικό φύ λλο που θα φαίνετ α ι … Την στοίβα αυτή την σκεπάζουμε με την στοίβα τ ου φίλου μας που δεν έχει τ ον «κακό» . Τώ ρα και ο φίλος και ο Μάγ ος έχουν από μία στοίβα. Ο Μά γος πα ίρνει τ ην στ οίβα τ ου και την τ οποθετεί πάνω στην στοίβα τ ου φίλου του. Στο σημείο αυτ ό έχουμε μία στ οίβα από 32 τρα που λόχαρτ α όπου ένα είναι αν οικτό ( ο Jack) κα ι υπάρ χει κάπου χωμένος ο «κακός». Το μεγάλο ερ ώτημα είναι, θα βρ ει τον κακό ο Ja ck; Ο Μάγος αρ χίζει κα ι σ χηματ ίζει δύο στ οίβες α πό τρα πουλόχαρτα δίν οντας ένα φύ λο στην μία και ένα φύ λο στην ά λλη . Σε κάποια από τις δύ ο στ οίβ ες βρίσ κεται ο Jack που θα φαίνετ αι αφ ού είναι τ ο μόνο χαρτί που είναι αν οικτό. Την στ οίβα που βρ ίσκεται ο Ja ck την κρατά με κα ι με αυτήν σχη ματίζ ουμε δύ ο στοίβ ες όπως πριν . Πά λι σε μία από τις δύ ο στ οίβες θα είναι ο Jack , τη ν στοίβα αυτήν τη ν κρατάμε και σχη ματίζ ουμε πά λι δύ ο στ οίβες όπως πριν . Την δια δικασία αυτήν την συνεχίζ ουμε μέχρις ότ ου σχη μα τιστούν δύ ο στ οίβες με δύ ο χαρ τιά η κάθε μία. Στη ν μία θα είνα ι ο Ja ck με ένα άλλο φ ύλο. Ποιο; Μα ποιο άλλο με τ ον «κακό» φυσικά!
  • 88. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 82 Η αιτιολόγηση … Στην α ρχή έχου με δύ ο στ οίβες Φ1 και Φ2 τ ου φίλου μας με συν ολικό αρ ιθμό χαρτ ιών 15 και δύ ο στ οίβες Μ1 και Μ2 γ ια τ ον Μάγ ο με 15 χαρτ ιά και αυτ ές . Ας υ ποθέσουμε ότι βάζουμε τ ον «κα κό» στη ν στ οίβα Φ1 και πάν ω της βάζ ουμε τ ην στ οίβα Μ1. Η διάταξη θα είν αι περίπου έτσι : Φ1ΚΜ1 , Φ2 οι δύο στ οίβες του φίλου μας και Μ2 η μία στ οίβα τ ου Μάγου. Μετά τ οποθετ ού με στην Μ2 τ ον Jack κα ι πάνω τ ους την στ οίβα Φ2 . Οπότε θα έχου με : Φ1 ΚΜ1 μία στοίβα για τ ον φίλο μας κα ι Μ2 JΦ2 η στ οίβα του Μάγ ου . Στο τέλος παίρν ου με την στ οίβα του Μάγ ου και την βάζ ου με πάνω α πό την στ οίβα του φίλου μας . Οπότε θα έχου με τη ν εξής διάτα ξη χαρτ ιών . Φ1ΚΜ1 Μ2 JΦ2 Παρατηρείστε ότι μετα ξύ των δύο φύ λλων K και J παρεμβάλλονται Μ1+Μ2 =15 φύλλα! Οπότε ότ αν ο Μάγος αρχίζει να σχη ματίζει τ ις δύ ο πρώ τες στήλες τα χαρτιά Κ και J θα βρεθ ούν στην ίδια στοίβα με 7 χαρτιά εν διά μεσά τ ους. Την δεύ τερη φορά τα χαρτιά K κα ι J πάλι θα βρεθ ούν στη ν ίδια στοίβα με 3 φύ λλα ανά μεσά τ ους. Την τρ ίτη φορά θα βρεθ ούν τελικά μαζί σε μία στ οίβα που περιέχει μόν ο δύ ο φύλλα. Έτσι ο Jack πιάν ει πάν τα τ ον «κακό» J Χ Χ ... ... Χ ... ... Κ Χ Χ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
  • 89. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 83 39. Γρήγορες προσθέσεις στο ημερολόγιο και όχ ι μόνο … Πάρτε έναν οποιοδή ποτε μή να θ έλετε και σημειώστ ε … Ένα τ ετράγω νο 4 Χ4 μέσα σε αυτ ό για παρ άδειγμα ας υποθέσουμε ότι έχετε ση μειώσει τις ημερ ομην ίες που παρ ουσιάζ ονται στο διπλαν ό πίνακα . Ποιο είναι τ ο άθροισ μα όλων των η μερ ομη νιών; Ο Μάγος εύκολα θα πει … +  =  =23 27 4 15 16 240 2 ! Ενώ αν σημειώνατ ε έναν τετράγ ων ο 3 Χ3, για παράδειγ μα όπως τ ο διπλα νό, τότ ε θα έλεγ ε …  =  =2 14 3 14 9 126 ! Η εξήγηση είνα ι α πλή ας την παρακολουθήσ ου με … Σε έναν πίνακα 3 Χ3 ας ον ομάσ ουμε Η την ημερ ομην ία που αντιστ οιχεί στ ο κέντρ ο τ ου τετραγών ου οπότε ένα τ υπικό 3 Χ3 τετράγ ων ο θα έχει τη μορφή : Οπότε το άθρ οισ μα όλων τω ν η μερ ομηνιώ ν είναι ίσ ο με : Σ Η= 2 3 (1) . Σε έναν πίνακα 4 Χ4 ας ον ομάσ ουμε Χ -16 και Χ+16 τις η μερ ομην ίες των άκρ ων μιας διαγώ νιου του πίνα κα οπότε ένα τυ πικό 4Χ4 τετράγων ο θα έχει τ η μορφή : Οπότε το άθρ οισ μα όλων τω ν η μερ ομηνιώ ν είναι ίσ ο με Χ2 4 , όπου Χ τ ο ημιάθροισμα των η μερ ομην ιών που βρίσκοντ αι στα ά κρα μιας διαγώ νιου. Άρα ο τύ πος θα είνα ι Η Η Σ + = 2 11 44 4 2 (2) Παρατηρείστε πόσ ο μοιάζ ουν οι δύο τύ ποι … Για σας έχω κάτι κα λύτερ ο δείτε τ ον πα ρακάτω πίνα κα … 3 4 5 6 10 11 12 13 17 18 19 20 24 25 26 27 6 7 8 13 14 15 20 21 22 Η Η Η Η Η Η Η Η Η − − − − + + + + 8 7 6 1 1 6 7 8 Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ − − − − − − − − + + + + + + + + 16 15 14 13 9 8 7 6 6 7 8 9 13 14 15 16
  • 90. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 84 Αν σ χηματ ίσου με οποιον δήποτ ε πίνα κα νΧν α ποδείξτ ε ότ ι ισχύ ουν παρ όμοιοι τ ύποι όπως πριν … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
  • 91. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 85 40. Υπολογίζοντας αθροίσματα όρων της ακολουθίας Fibonacci Ζητάς από τον φίλο σου να γρά ψει έναν οποιοδή ποτε αριθμό από το 1 ως τ ο 10 και μετά από κάτ ω τ ου έν αν ά λλο αρ ιθμό α πό τ ο 1 ως τ ο 1 0. Από κάτω α πό τ ον δεύτερ ο αριθ μό τ ου ζητάς να γ ράψει τ ο άθροισ μα τ ου 2ο υ κα ι 3ο υ αρ ιθμού . Από κάτ ω τ ου να γρά ψει τ ο άθροισ μα τ ου 3ο υ κα ι τ ου 4ο υ αριθ μού που μόλις πριν υ πολόγ ισε. Την δια δικασία αυτή να την συνεχίσει μέχρ ι να γρ άψει συ νολικά δέκα αρ ιθμούς. Μετά τ ου ζητάς χρησιμοποιώντας κομπιουτ εράκι να υ πολογίσει το άθροισμα των αρ ιθμών αυ τών πιο γρήγ ορα α πό εσ ένα, αλλά μάταια … Ας δούμε ένα παρά δειγμα ας υποθέσ ου με ότ ι ξεκινά με με τ ους αριθμούς 2 και 3 τ ότ ε θα έχουμε την ακολουθία των αρ ιθμών που παρ ουσιάζ ονται στ ον διπλαν ό πίνα κα … Ο Μάγ ος απλώς θα υπολογ ίσει τ ο γιν όμενο  =11 34 374 ! Τους αριθ μούς 2 ,3,5 ,8,13,21 ,34,55 ,… που χρ ησιμοποιήσα με προηγουμέν ως τ ην ον ομάζου με ακολουθ ία Fibonacci . Ο Fi bona cci ήταν ο πρώτ ος που ασχολήθη κε με α κολουθία αριθμών που ξεκινά με με δύ ο αριθμούς κα ι μετά για τ ον κάθε επόμενο όρ ο τ ης ακολουθίας χρησιμοποιού με τ ο άθρ οισ μα των δύ ο πρ οηγ ούμενων όρων της . Το μαγ ικό που είπα με πρ οηγ ού μενα μπορεί να γίνει με οποια δή ποτε ακολουθία που παράγ εται με τον τρ όπο αυτ όν. Για παράδειγ μα γ ια το άθρ οισ μα : 4+7 +11 +18+2 9+47 +76 +123 +199 +322 =  =11 76 836 Δηλαδή με 11 φ ορ ές τ ον 4 ο όρ ο από τ ο τ έλος ! Αν ο πολλα πλασιασμός με τ ο 11 σας δυσκολεύει δεν έχετε παρά να τον σκεφθείτ ε σαν πρ όσθεση δη λαδή … Γιατί όμως συ μβαίν ει αυτ ό; 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 7 6 7 6 8 3 6
  • 92. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 86 Η αιτιολόγηση … Ας γρά ψουμε με γενικούς αριθ μούς μια τέτ οια ακολουθία … Το άθρ οισμα τ ων δέκα πρ ώτων όρων είναι σημειω μέν ο με κόκκινο κα ι είνα ι ίσο με 55χ+88 ψ Παρατηρείστε ότι τ όσο κά νει κα ι τ ο γιν όμεν ο του 4 ο υ όρ ου από το τ έλος (5χ+8 ψ) με τ ο 11. Για την ακολουθία Fi bonac ci υ πάρ χουν ωραίοι τύ ποι που μπορ εί να ανακα λύ ψει κα νείς αν ασχοληθ εί. Σας προτρέπω να αποδείξετ ε τ ον τύ πο : n nF F F ... F F F++ + + + = −1 2 3 2 2 που μπορ ού με επίσης να χρησιμοποιήσ ουμε γ ια να βρ ίσκουμε το άθροισ μα τ ων n όρων της ακολουθ ίας. χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ χ χ ψ ψ + + + + + + + + + 2 2 3 3 5 5 8 8 13 13 21 21 34 55 88
  • 93. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 87 41. Ένα μαγικό με διανύσματα Με τη βοήθεια εν ός διαν ύσματ ος μπορ ού με να δηλώσου με τη θέση μας στο επίπεδο. Ας υ ποθέσουμε ότι θέλουμε ν α μετακινηθούμε α πό τ ο σημείο Ο πρ ος τ ο σημείο Α, τ ότε μπορ ούμε να πά με 3 μονάδες δεξιά και μετά 2 μονά δες πάν ω. Τι κινήσεις αυτές τ ις εκφράζουμε με τη βοήθεια του ζεύγους (3 ,2) . Όμοια αν θ έλου με να πά με α πό τ ο Ο πρ ος το Β τ ο διάνυσμα θέσης τ ου ση μείου Β είναι τ ο ( -3 ,4) . Όμοια για τ ο σημείο Γ τ ο διάνυσμα που δη λών ει τη θ έση τ ου Γ σε σχέσ η με τ ο Ο είναι τ ο (5,- 2). Και τώρα στ ο μαγικό μας … Σου ζητάω να σκεφτείς ένα χα ρτί από τα παρα κάτω : (Ας υ ποθέσ ουμε ότ ι σκέφτηκες τ ο 6 κούπα )
  • 94. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 88 Για να σε μπερ δέψω βάζω κα ι μερ ικά ακόμα χαρτιά εν διά μεσά τους … Σου ζητώ να ξεκινήσεις α πό τ ο χαρτί που σ κέφτηκες και ν α κινηθείς πάνω ή κάτω , αριστερά ή δεξιά με τη β οήθεια εν ός διανύσ ματ ος που τ ο άθρ οισμα τ ων σ υντεταγ μέν ων να είν αι άρτιος αριθ μός ( όταν κιν ούμαστ ε πάνω ή δεξιά τ ότε ο αντίστοιχος αρ ιθμός είνα ι θ ετικός, εν ώ αν κιν ού μαστε πά νω ή αριστερά θα είνα ι αρ νητικός) (Ας υ ποθέσ ουμε ότ ι κινήθηκες με τ ο διάν υσμα (1 ,1) και βρίσκεσαι τώρα στ ο χαρτ ί 5 μπαστ ούνι) Τότ ε εγώ ο μέγας μάγ ος θα γυ ρίσω μερικά χαρτιά κα ι ας υποθέσουμε ότι βρισκόμαστε τώρα όπως τ η επόμενη διάτ αξη …
  • 95. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 89 Μετά σου ζητ ώ ν α μετα κινηθείς α πό τ ο χαρτ ί που είσα ι (5 μπαστ ούνι) κατά διάνυσμα με άθρ οισμα συντ εταγμένων ά ρτιο. (Ας υ ποθέσ ουμε ότ ι μετα κινείσαι κατά διάνυσ μα ( -1 ,1) κα ι βρίσκεσαι στ ο Κ κούπα ) Εγώ ως μέγας μάγος βγάζω μερικά χαρτιά ακόμα …
  • 96. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 90 Τέλος σου ζητώ να μετακινηθείς με τη β οήθεια εν ός διαν ύσματος με περιττ ό άθροισμα συνταγ μέν ων. Εσύ κάνεις την αναγκαία κίνηση και εγ ώ μπορ ώ ν α μαντέψω την θέση σ ου… Είναι τ ο 7 μπαστ ούνι! Η αιτιολόγηση … Στην α ρχή υ πάρχουν 10 φύλλα στις θέσεις Α κα ι μετά συμπληρών ονται με άλλα 10 φύλλα στις θέσεις Π . Όταν ο φίλος μας μετα κινηθεί κατά ένα διάν υσμα από οποιοδήποτε φύ λλο της ομά δας Α αν το άθρ οισ μα τ ων συντεταγ μέν ων του διανύσματος είναι άρτιο θα βρ εθεί κα ι πά λι σε χαρτ ί της ομά δας Α, ενώ αν το άθρ οισ μα τ ων συντετα γμέν ων είν αι περιτ τό θα βρεθεί σε φύ λλο της ομά δας Π . Στην α ρχή ο Μάγ ος ζητά α πό τ ον φίλο τ ου να μετα κινηθ εί κατά διάνυσ μα με άθρ οισ μα συ ντεταγ μένω ν ά ρτιο, οπότε ο φ ίλος θα βρεθεί σε φύλλο της ομά δας Α και ο μάγ ος διώχν ει 5 φύ λλα τ ης ομά δας Π. Μετά ο Μάγ ος ζητά από τ ον φίλο τ ου να μετα κινηθεί κατά διάν υσμα με άθρ οισ μα και πάλι άρ τιο. Ο πότ ε ο φίλος μας και πά λι θα είνα ι σε χαρτί της Α ομά δας και ο Μάγ ος βγά ζει 4 φύλλα α πό την ομά δα Π. Με την διαδικασία αυτή μένει ένα φύλλο τ ης ομά δας Π. Ο πότ ε όταν τελικά ο Μάγ ος ζητά ν α μετα κινηθεί ο φίλος τ ου κατ ά διάνυσ μα με περιτ τό άθρ οισ μα αν αγκαστικά ο φίλος τ ου θα πά ει στο μοναδικό φύλλο της ομά δας Π που υπάρ χει ακόμα μέσα στο παιχν ίδι. Είναι τ ο φ ύλλο που θα πει με σιγ ουριά ο Μάγ ος ! Π Α Π Α Π Α Π Α Π Α Π Α Π Α Π Α Π Α Π Α
  • 97. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 91 42. Κάθε αριθμός είναι μαγικός Πες στον φίλος σ ου να διαλέξει έναν οποιον δήποτ ε τ ετρα ψήφιο αριθμό. Π.χ. τ ον 5637 Μετά να γρά ψει τρ εις αριθμούς τ ον έναν κάτ ω από τον άλλον κα ι να τ ους πρ οσθέσ ει. Ο ι α ριθμοί αυτ οί θα είναι : ο αρ ιθμός - ψηφ ίο τ ων χιλιά δων τ ου αριθμού που διά λεξε, ο διψήφιος αρ ιθμός που σ χηματ ίζεται από τα ψηφία των χιλιάδων και εκατοντάδων του αριθμού που διάλεξε και ο τ ριψήφιος αρ ιθμός που σχηματίζετ αι από τα ψηφία τ ων χιλιά δων , εκατ οντά δων και δεκάδων του αρ ιθμού που διά λεξε. Έπειτα του ζητά να πολλα πλασιάσει τ ο άθρ οισμα αυτ ό με το 9. Τέλος στ ο γιν όμεν ο α υτό να πρ οσθέσει τ ο άθρ οισμα των ψηφίων του αρ χικού αρ ιθμού. Τότ ε ω! τ ι θα ύμα θα πρ οκύψει και πάλι ο αρχικός τετραψήφιος αριθ μός. Αυτό συ μβαίνει μαγικά μόν ο σ ε α υτόν τ ον αριθ μό που διά λεξε ο φίλος μας ή όχι κα ι ΓΙΑΤΙ; Η αιτιολόγηση … Έστω ο αριθ μός χψζω τ ότε σύ μφωνα με τ ις οδηγίες έχουμε : (χ χψ χψζ) (χ ψ ζ ω) (χ χ ψ χ ψ ζ) (χ ψ ζ ω) χ χ ψ χ ψ ζ χ ψ ζ ω χ ψ ζ ω χψζω + +  + + + + = + + + + +  + + + + = + + + + + + + + + = + + + = 9 10 100 10 9 9 90 9 900 90 9 1000 100 10 5 5 6 5 6 3 6 2 4  =624 9 5616 + + + =5 6 3 7 21 + =5616 21 5637
  • 98. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 92 43. Το μαγικό των γενεθλίων Το παρακάτ ω μαγικό είναι ένα κλασικό πρόβ λημα σε έναν τ ομέα των Μαθηματικών που λέγεται Θεωρ ία Πιθανοτήτων . Με τη βοήθεια του μπορ είτε να κάν ετε μαγ ικά αρκεί ο αρ ιθμός των θ εατών να είναι μεγ άλος. Πόσος μεγάλος ; Ας πούμε 50 άτ ομα πάνω κάτ ω. Το μαγ ικό ξεκινά κα ι τελειώνει ! … με την πρόβ λεψη από μέρ ους σας ότ ι στ ο κοιν ό υπάρχουν τ ουλάχιστ ον δύο άτ ομα που γιορτάζ ουν την ίδια μέρα του χρ όνο υ. Πράγματι θα υπάρ ξουν δύ ο τ ου λάχιστον άτ ομα με την ίδια ημερ ομην ία γέννησης , μην εκπλαγείτ ε ν α υ πάρ ξουν και τρ ία ή περισσ ότερ α α λλά …τ ι συμβαίν ει εδώ … , κάτι μαγικό, ή α πλώς μαθη ματικό.
  • 99. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 93 Η αιτιολόγηση … Ας ξεκινήσουμε με κάτ ι πιο απλό. Ας υ ποθ έσουμε ότι έχουμε 5 φίλους. Π οια η πιθαν ότητα να υ πάρχουν τ ου λάχιστον δύ ο από αυτούς , που να έχουν γεν έθλια τ ην ίδια μέρα ; Αν τη ν πιθαν ότητα αυτή δυσκολευ όμαστ ε ν α τη βρ ούμε, μήπως μπορ ούμε να βρ ού με τη πιθανότ ητα κανείς να μην έχει γενέθλια με κά ποιον ά λλο την ίδια μέρα; Δηλα δή όλοι να γιορτάζ ουν σε διαφ ορετικές ημερομηνίες; Πόσες είνα ι οι ιδαν ικές περιπτώσεις, ώστε να συ μβαίνει κάτ ι τέτοιο; Ο 1 ος μπορ εί να έχει γεννηθ εί σε μία α πό τ ις 365 μέρες τ ου χρόν ου . Ο 2 ος σ ε μία από τις 364 υ πόλοιπες μέρ ες. Ο 3 ος σ ε μία από τις 363 υ πόλοιπες μέρ ες τ ου χρ όν ου . Ο 4 ος σ ε μία από τις 362 και ο 5ος σε μία από τις 361 μέρ ες Άρα, συν ολικά έχου με :     =365 364 363 362 361 6302555018760 ευν οϊκές περιπτώσεις σε σύν ολο =5 365 6478348728125 περιπτώσεων. Άρα , η πιθαν ότητα είναι .= 6302555018760 0 972 6478348728125 Οπότε η πιθαν ότητα σε πέντ ε άτ ομα δύ ο να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα είναι . .− =1 0 972 0 028 , δη λα δή κάτι τέτ οιο είναι α πίθαν ο. Τι σ υμβαίν ει όμως , όταν τα άτ ομα που εξετάζουμε είναι πολλά . Πόσα; , 30 ας πούμε, ή 40 ή 50 ή 60 ή … Υπάρ χει μή πως έν ας αρ ιθμός ατ όμων κα ι μετά , που η πιθ ανότητα του εν δεχομέν ου « δύο τ ου λάχιστ ον άτ ομα να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα » να είνα ι μεγά λη; Πόση μεγά λη; Πολύ μεγά λη … , ας πούμε 90 % . Μάλλον αυτ ό δεν μπορεί ν α γ ίνει, θα σκεφτείτ ε. Κι’ όμως, ρίξτε μια ματιά στ ον διπλαν ό πίν ακα, που έχει υπολογ ισθεί η πιθαν ότητα τ ου ενδεχομένου αυ τού με διάφορ ες τ ιμές τ ου πλήθ ους ν των ατ όμω ν που εξετάζ ουμε. ν Ρ(ν) 10 11,7% 20 41,1% 23 50,7% 30 70,6% 50 97% 57 99% 100 99,9999%
  • 100. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 94 44. Φτιάχνοντας μαγικά τετράγωνα Ζητάς από τον φίλο σου να σ ου πει έναν αριθ μό α πό τ ο 2 5 έως το 100. Μετά εσύ φτιά χνεις ένα μαγικό τετ ράγων ο 4Χ4 όπου … … τ ο άθρ οισμα της κάθε στήλης ή γραμμ ής ή διαγ ώνιου είναι ίσο με τον αρ ιθμό που διάλεξε ο φίλος σ ου. … κάθ ε 3 Χ3 τετράγ ωνο έχει άθρ οισ μα των τεσσάρ ων κορυ φών του τ ον α ριθμό αυτ όν … κάθ ε τ ετράγων ο 2Χ2 α ποτελείτα ι α πό αριθμούς με άθροισμα τον αριθ μό αυτ όν … οι τέσσερ ις αρ ιθμοί που βρίσ κοντ αι στις κορυφές του μεγάλου τετραγών ου έχουν άθρ οισμα τον α ριθμό αυτ ό. Έχεις κατ ά τρ όπο μαγικό φτιά ξει ένα τετράγ ων ο αφιερω μένο στον αριθμό που επέλεξε ο φίλος σου . Η κατασκευή … Η κατασκευή στηρίζετα ι στη ν κατάλλη λη συμπλήρωση τ ου τετραγ ών ου … Ας υ ποθέσουμε ότι ο φ ίλος μας διαλέγει τ ον αριθμό 37 Κάν ου με την αφαίρ εση 37 -21 =16 Στη θ έση τ ου Α βάζουμε τ ο 16, στη θέση του Β το 16+1 =17 , στη θέση τ ου Γ το 1 6 +2 =18 και τέλος στη θέση τ ου Δ τ ο 1 6 +3 =19. Το μαγ ικό τετράγ ωνο τ ου αριθ μού 37 είναι τ ο διπλαν ό Παρατηρείστε … το άθροισμα κάθε στή λης ή γρα μμής ή διαγών ιου… το άθροισμα των τεσσάρ ων αριθ μών στις κορυφές τ ου … το άθροισμα των κορυφ ών κάθε τετρ αγών ου 3Χ3 … το άθροισμα όλων τ ων αριθμών κάθε τετραγών ου 2Χ2 που μπορ ούμε να φτ ιάξου με … Β Α Δ Γ 8 11 1 2 7 12 3 9 6 10 5 4 8 11 1 2 7 12 3 9 6 1 1 0 7 16 19 5 4 18
  • 101. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 95 45. Ένα απλό κόλπο με χαρτιά Κάθε φ ύλλο σε μία τρά πουλα έχει κα ι μία α ξία που α ποτιμάται σε ένα αρ ιθμό. Η αξία του έχει να κάνει με τ ον α ριθμό που υπάρχει πά νω στην κάρτα κα ι αν η κάρτ α είναι φιγ ούρα τ ότε ο Βαλές α ποτ ιμάτα ι στ ον αριθ μό 11 , η Ντά μα στ ο 12 και ο Ρήγας στο 1 3. Ζητάς από τον φίλο σου να δια λέξει στην τύχη ένα χαρτί. Για παράδ ειγμα δ ιαλέγει τ ο J. Μετά τ ου ζητάς να προσθ έσει την α ξία του χαρτιού που έχει επιλέξει με την α ξία του επόμεν ού του. Δηλαδή για τ ο π αράδειγμά μας ο φίλος μας κάνει την πρ όσθ εση 11+12 =23. Μετά τ ου ζητάς να πολλαπλασιάσει τ ο άθρ οισμα με τ ο 5 . Άρα υπολογίζει  =23 5 115 Τέλος του ζητάς να πρ οσθέσ ει 1 α ν τ ο φύλο είναι σπαθ ί, 2 αν είναι κού πα, 3 αν είν αι μπαστούνι και 4 αν είναι καρ ό. Το τελικό αποτ έλεσμα στ ο α νακοινώ νει. Άρα για το παρ άδειγμά μας ο φίλος μας κ άνει την πρόσθ εση 115+3 =118 και τ ον αρ ιθμό αυτ όν σ ου τ ο λέει. Εσύ ως μέγας Μάγ ος λες α πλά ότι τ ο χαρτ ί που διάλεξε είναι τ ο Βαλές κού πα. Η αιτιολόγηση … Και αυτ ό τ ο κόλπο βασίζεται στ ο δεκαδικό τ ρόπο γ ραφής των αριθμών που χρησιμοποιούμε. Δη λαδή αν ο φ ίλος μας δια λέξει στην αρχή ένα φ ύλο χ { , , , , , , , , , , , , } 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 τότε μετά κάν ει την πρόσθ εση χ (χ ) χ+ + = +1 2 1, μετά τ ον πολλα πλασιασμό ( χ ) χ+  = +2 1 5 10 5 και στ ο τέλος προσθέτ ει έναν αρ ιθμό ψ { , , , } 1 2 3 4 , άρα κατ αλήγ ει στο α ποτ έλεσμα χ ψ+ +10 5. Οπότε έχου με ότι χ ψ χ ψ+ + =  + =10 5 118 10 113 άρα επειδή τ ο ψ είναι ένας αριθ μός α πό τ ο 1 έως τ ο 4 θα πρ έπει να ισχύ ει ότι ψ=3 και το 10 χ=1 1 0 ά ρα χ=1 1. Οπότε το φύ λλο που διά λεξε έχει α ξία 11 και τ ο σχέδιο του αντιστοιχεί στ ον αριθ μό 3 , ά ρα είνα ι Βαλές κού πα .
  • 102. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 96 Παρόμοιο τρικ είνα ι και το παρακάτ ω … Λες στ ον φίλο σ ου να πάρει ένα τρα πουλόχαρ το. Κάποιος από το κοινό , λέει έναν αρ ιθμό από το 1 έως τ ο 25, τ ον οποίο ο φίλος σ ου τ ο πρ οσθέτει με την α ξία τ ου χαρτιού που έχει επιλέξει. Στην σ υνέχεια τ ο άθρ οισ μα αυτ ό πολλα πλασιάζε ται με τ ο 10. Μετά προσθέτει 1 μονά δα αν τ ο φύ λλο είνα ι μπαστούνι, 2 αν είναι κού πα, 3 αν είν αι σπαθί κα ι 4 αν είναι καρ ό. Τέλος κά ποιος α πό τ ο κοιν ό λέει κα ι έναν αριθμό α πό τ ο 25 έως το 85 που τον αρ ιθμό αυτ όν τον πρ οσθέτει στ ο πρ οηγ ού μενο άθροισ μα. Ο τελικός αριθ μός ανα κοινών εται κα ι … εσύ ως μέγας Μάγ ος λες α πλά τ ο σχή μα και την αξία του χαρτιού που επιλέχθηκε. Ανακα λύ ψτε τα Μαθη ματικά πίσω α πό τα Μαγικά αγα πητ οί αναγνώστες μου …
  • 103. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 97 46. Παιχνίδι με άρτιους και περιττούς … Κόβ ου με 8 τ ετράγω να χαρτάκι α. Στο κάθ ε τ ετράγω νο γράφ ου με από ένα αριθ μό στη κάθ ε πλευρά του έναν με κόκκιν ο στυ λό και τ ον άλλο με μαύ ρο. Έτσι υπάρ χουν σημειω μέν οι στο 1ο τετρά γων ο οι αρ ιθμοί 1 και 2 . Στο 2ο τετράγ ων ο οι αρ ιθμοί 3 και 4. Στο 3ο οι αριθμοί 5 και 6 , στο 4ο οι αριθ μοί 7 και 8, στ ο 5ο οι αριθ μοί 9 κα ι 10,στ ο 6ο οι αριθμοί 11 και 12,στ ο 7ο οι αριθ μοί 13 και 14 και τέλος στο 8ο τετράγων ο οι α ριθμοί 15 κα ι 16 . Τα οκτ ώ α υτά τετράγ ωνα τα δίν ου με στ ον φ ίλο μας να τα ανακατέψει και μετά να τα βά λει πάνω στο τρα πέζι όπως να είναι στην τύχη … Θα κά νου με μία πρ όβ λεψη γ ια το άθρ οισ μα τ ων εν δείξεω ν που φαίνοντα ι στα τ ετράγωνα όπως τ υχαία έχουν τ οποθετηθεί από τον φίλο μου . Το μόν ο που θ έλω ν α γν ωρίζω είναι πόσα κόκκινα νού μερα φαίν οντα ι … Αν γ ια παρά δειγμα έχουμε 4 «κόκκιν ους» αριθ μούς τ ότ ε εγώ ο μέγας Μάγ ος θα κάνω την πρ όβ λεψη ότ ι τ ο άθρ οισμα τ ων ενδείξεων που φαίνον ται στα οκτ ώ τετράγ ωνα είνα ι … 68! Η αιτιολόγηση … Παρατηρείστε ότι όλοι οι κόκκιν οι – περ ιττοί α ριθμοί έχουν άθροισ μα 64 και όλοι οι μαύρ οι – άρτιοι αριθ μοί έχουν άθροισ μα 72 . Αν λοιπόν υ πάρχουν 4 κόκκιν οι αριθμοί τ ότ ε τ ο άθροισ μα τ ων αριθμών που φαίν οντα ι θα είναι 72 -4 =68 . Τόσ ο απλά !
  • 104. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 98 47. Φτιάχνοντας ένα ρολόι με νομίσματα Τοποθ ετείς 12 ν ομίσ ματα κυ κλικά σαν να είν αι ένα ρ ολόι … έτσ ι ώστε όλα τα ν ομίσμα τα ν α δείχν ουν για παρ άδειγμα την ήπειρ ο της Ευρ ώπης ( κεφαλή ) Εσύ ο μέγας Μάγ ος γ υρνάς και δίνεις τη ν εντ ολή ο φίλος σ ου να γυρίσει έξι ν ομίσματα όποια αυτ ός θέλει … Ας υ ποθέσουμε ότι ο φίλος μας έχει φτιά ξει το «ρολόι» μας κάπως έτσ ι : Στη συ νέχει εσύ ο μέγας Μάγ ος με γ υρισμένη την πλάτη σ ου, λες να γυρίσει ο φίλος σ ου όσα νομίσματα βρίσκοντα ι στ ις θ έσεις 1,4 ,5,8 ,9,1 0 (αν είναι γρά μματα θα γίν ουν κεφαλή κα ι αν είναι κεφαλή θα γίν ουν γράμματα) . Ο πότ ε έχουμε μία εικόνα σαν τη διπλανή … Τότ ε ρ ωτάς πόσα γ ράμματα υπά ρχουν … και σ ου απαν τάει ο φίλος σ ου ότ ι υπάρ χουν 8. Τότ ε εσύ λες θα φτιά ξω δύο ομά δες ν ομισ μάτων που θα περιέχει η κάθε μία 4 νομίσματα με γρά μματα κα ι 2 με κεφα λή ! Γι’ αυτ ό θ έλω να πάρεις μαζί, σαν μία ομάδα τα ν ομίσ ματ α που βρίσκοντ αι στις θ έσεις που σχη ματίζ ουν τις εξής ώρες : 1 2.10 , 6 πα ρά 5 κα ι 7.15 . Τα ν ομίσματα αυ τά είναι {Κ,Γ,Γ ,Γ,Κ,Γ }! Μία ομά δα νομισμάτων που α ποτελείτα ι α πό 4 γρά μμα τα και 2 κεφαλές. Πως γίν εται αυτ ό;
  • 105. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 99 Η αιτιολόγηση … Η πρ ώτη εντ ολή που δίν ει ο Μάγ ο ς είνα ι να γυρίσουν τα ν ομίσματα στις θέσεις 1,4,5 ,8,9 ,10 και η δεύτερη εντολή είναι να πάρει ο φίλος του τ α ν ομίσματ α που βρίσκοντ αι στις θ έσεις ώρ ες : 12.10, 6 πα ρά 5 και 7 .15 δη λα δή τ α νομίσματα που βρ ίσκονται στις θέσεις : 12,2,6 ,11,7 ,3. Παρατηρ εί στε … είναι οι θέσεις που δεν έχει γ ίνει καμιά α λλαγή α πό τον μάγ ο κατά τη πρ ώτη εντ ολή τ ου! Ας παρακολουθήσ ου με τις δυνατές εξελίξεις τ ου πα ιχνιδιού … Αρχικά είχα {Κ,Κ,Κ,Κ ,Κ,Κ,Κ,Κ,Κ,Κ,Κ,Κ} Μετά έχω {Κ,Κ,Κ,Κ,Κ,Κ,Γ ,Γ,Γ ,Γ,Γ ,Γ} χωρίς να γνωρ ίζου με που βρίσκοντ αι τα νομίσμα τα με έν δειξη Γ ή Κ. Όταν δίν εται η εντ ολή να γυρ ίσουν τ α ν ομίσματ α που βρ ίσκοντα ι στις θέσεις 1 ,4,5 ,8,9 ,10 μπορεί να υ πάρχουν {12Κ κα ι 0Γ } ή (10 Κ και 2Γ } ή {8 Κ και 4Γ } ή {6Κ κα ι 6Γ } ή {4 Κ και 8Γ } ή {2Κ κα ι 10Γ}. Για να δούμε τι γ ίνεται σε μία περίπτωση και όμοια μπορ ούμε να δουλέψου με και στις υ πόλοιπες ( δεν επιλέγω τις περιπτ ώσεις {12Κ,0Γ} και {0 Κ,12Γ } ως τετρ ιμμένες περιπτώσ εις …) Ας υ ποθέσουμε λοιπόν ότι υ πάρχουν 10 Κ και 2Γ θα α ποδείξω ότι η επιλογή τ ων νομισμάτων στις θέσεις 2 ,3,6 ,7,11 ,12 περιέχει ακριβώς 1Γ. Θα τρ έξου με τ ο παιχνίδι ανά ποδα με τη β οήθεια σχη μάτω ν … Έστω ότ ι δεν έχει κανένα … πριν άτοπο διότι υπάρχουν μόνο 4 Γ και όχι 6 όπως θα έπρεπε.
  • 106. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 100 Έστω ότ ι έχει δύ ο … πριν άτοπο διότι υπάρχουν μόνο 4 αντί γ ια 6 Ενώ η περ ίπτ ωση να υπάρ χει ακριβώς ένα … πριν καταλήγ ει σε πιθανή περίπτωση Με τ ον ίδιο τρ όπο εποπτ ικής απόδειξ ης είμαστε σε θέση να αποδείξου με την καθ ολικότητα τ ου μαγικού , που όπως β λέπετ ε στηρίζεται για ά λλη μία φ ορά σε μαθη ματικά !
  • 107. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 101 48. Ταιριάζοντας τα φύλλα της τράπουλας Δίνεις τα 52 τρ απου λόχαρτα στ ον φ ίλο σου και του λες τα 26 από αυτά να τα γυρ ίσει ώστε να φαίν οντα ι οι τ ιμές κα ι τα σ χέδιά τους και να τα βάλει όπως είναι πά νω στα υπόλοιπα 26 κλειστά φύλλα . Μετά να ανακατ έψει κα λά τα φύλλα όσ ες φ ορές θέλει. Στη συ νέχεια να πάρ ει τα 26 πρώ τα φύ λλα και τα άλλα 26 να σου τα δώσει. Πια είναι η πιθανότ ητα ν α έχεις εσύ και ο φίλος σ ου ίδιο αριθμό ανοικτών κα ι κλειστών φύ λλων ; Ελάχιστη, είναι περίπου 0,0000000 1 … Κι’ όμως εσ ύ ο μέγας Μάγ ος κατ ορθώνεις να κάνεις τα μα γικά σου πίσ ω α πό την πλάτη σου στα 26 φύλλα που σ ου έδ ωσ ε ο φίλος σ ου και μετά … Ω! τ ου θαύμα τος εσύ κα ι ο φίλος σ ου έχετε τον ίδιο αριθ μό ανοικτών κα ι κλειστών φύ λλων. Η αιτιολόγηση … Όταν θα πάρεις την τρά πουλα ο αριθμός των αν οικτών φύ λλων του φίλου σ ου είν αι ίδιος με τον αρ ιθμό των κλειστ ών φύ λλων που έχεις εσύ. Οπότε πίσω από την πλάτη σου κάνεις μία μικρή κλεψιά ! . Γυρίζεις την τράπου λα ανά ποδα , και τότε ο αρ ιθμός αν οικτών και κλειστών φύλλων τ ων δικών σ ου και τ ου φίλου σ ου είνα ι ίδιος ! Αν βέβα ια ο φίλος σ ου ξέρει μαθηματ ικά θα καταλάβει ότ ι τ ον έκλεψες, αφού η μον αδική περίπτωση να υπά ρχουν ίδιος αριθμός αν οικτών ή κλειστ ών φύλλων στα δύο μέρη των 2 6 φύλλων είνα ι ν α έχει στην κατοχή του 13 αν οικτά φ ύλλ α.
  • 108. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 102 49. Καιρός για στοιχήματα … Χωρίζω την τρά πουλα σε τ έσσερις στοίβες. Βάζω στ οίχημα ότι σε μία τ ου λάχιστον α πό α υτές το πρώτ ο χαρτί τους θα είναι Άσος ή 2 ή 3 ή 4. Ποιος είναι μέσα; Έχω κα ι ά λλη πρ οσφορά . Χωρίζω την τρά πουλα σε πέντε σ τοίβες . Βάζω στ οίχημα ότι σε μία τ ου λάχιστον α πό α υτές το πρώτ ο χαρτί τους θα είναι Άσος ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 . Λοιπόν στ οιχημα τίζει καν είς; Μη στ οιχημα τίζετε με μαθη ματικό γιατ ί πάντα με τις πιθαν ότητες δου λεύει … Η αιτιολόγηση … Για να δούμε πόσ ο πιθανό είναι να κερδίσει κά ποιος στ ο πρώτ ο στοίχη μα . Υπάρ χει πιθαν ότητα ,= 16 0 307 52 να κερ δίσ ουμε α νοίγον τας τ ο φύλλο της 1 η ς στοίβας. Η πιθαν ότητα να κερδίσου με αν οίγοντας το φύλλο της 2η ς στ οίβας είνα ι . = 36 16 0 217 52 51 . Όμοια η πιθανότητα να κερδίσου με αν οίγ οντας τ ο φύ λλο της 3 η ς στ οίβας είνα ι .  = 36 35 16 0 152 52 51 50 . Τέλος η πιθαν ότητα να κερδίσουμε αν οίγ οντας το φύλλο της 4η ς στ οίβας είνα ι .   = 36 35 34 16 0 105 52 51 50 49 . Άρα η πιθαν ότητα ώστε να υ πάρχει ένα τ ου λάχιστ ον α πό τα χαρ τιά αυτά σε μία από τις στοίβες είνα ι . . . . .+ + + =0 307 0 217 0 152 0 105 0 782 ! Αρκετά κα λά , δεν ν ομίζετε; Όσο για τ ο δεύτ ερ ο στ οίχημα αυτ ό πλέον δεν είναι πιθαν ότητα , είναι βεβαιότητα αφ ού η πιθαν ότητα να κερδίσουμε είναι 0.92 7!
  • 109. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 103 50. Το μαγικό άθροισμα Δίνεις σε τρεις φίλους σ ου να διαλέξουν μία από τις κάρτ ες : 1η κάρτ α : 4286 / 5771 / 90 83 / 6518 / 2396 / 68 60 / 2909 / 5546 / 8 174 . 2η κάρτ α : 5792 / 6881 / 75 47 / 3299 / 7187 / 65 57 / 7097 / 5288 / 6 548. 3η κάρτ α : 2708 / 5435 / 68 12 / 7343 / 1286 / 52 37 / 6470 / 8234 / 5 129 . Μετά να διαλέξει ο κάθε ένας έναν αρ ιθμό. Ας υ ποθ έσου με ότ ι ο πρώτ ος διά λεξε τ ον αριθ μό 4286 , ο δεύτ ερος τ ον αριθμό 5792 και ο τρίτ ος τ ον α ριθμό 5435. Τότ ε εσύ ο μέγας Μάγ ος κάνει μία πρόβ λεψη που τη γράφ ει σ ε ένα χαρτί που τ ο δίνει σε έν αν ά λλο φίλο της παρέας . Στη συ νέχεια ζητάς α πό τ ον πρώτ ο να σ ου πει ένα οποιοδήποτ ε ψηφίο από τον αρ ιθμό που διάλεξε, όμοια κα ι α πό τους ά λλους δύ ο. Ας υ ποθ έσου με ότι σου λέν ε τα ψηφία 8 ,5,3 . Εσύ σχηματίζεις τ ον αριθ μό 853 κα ι τον γράφ εις στ ον πίνακα . Μετά ζητάς α πό τον κάθε ένα να σου πουν και α πό έν α ά λλο ψηφίο του αρ ιθμού που διά λεξαν. Ας υ ποθέσουμε ότι λέν ε 4 ,9,4 και γ ράφεις κάτ ω α πό τ ον πρώτ ο αριθμό τ ον 494. Ζητάς πά λι τα ίδια και ας υ ποθέσ ου με ότι σου λέν ε τα ψη φία 6,7,5 . Τότε γράφεις κάτ ω από τους ά λλους δύ ο τ ον αριθ μό 6 75. Τέλος του ζητάς κα ι τα τ ελευταία ψηφία που έχουν απομείνει και σου λένε 2,2 ,5 και εσ ύ γράφ εις κάτω α πό τ ους τρεις προηγούμεν ους αριθ μούς και τ ον 2 25. Προσθέτεις τ ους αριθ μούς 853 +494 +675 +225 =2247 , α κριβ ώς τ ον αριθμό που έχεις πρ οβλέψει κα ι γρ άφεται στ ο χαρτί που έχεις δώσει σε έναν άλλο φίλο σ ου . Πως γίν εται αυτ ό; Μαγικό ή απλώς μαθη ματικ ό!
  • 110. Τα Μαθηματικά των Μαγικών … Γ. Λαγουδάκος σελ. 104 Η αιτιολόγηση … Αν πρ οσέξετε καλά τ ους αριθμούς που βρίσ κον ται στην κάθε κάρτα θα δια πιστώσετε ότ ι στη ν 1 η κάρτα όλα ψηφ ία όλω ν των αριθμών έχουν άθροισμα 20, στην 2 η κάρτ α 23 κα ι στη ν 3 η 17. Όταν γράφ ου με τ ους τ υχαίους αριθ μούς τ ον έν αν κάτω από τον ά λλο θα έχου με μία εικόνα σας την διπλανή … Παρατηρείστε η 3 η στήλη δίν ει άθροισμα 17 όσ ο και το άθροισμα των ψηφίω ν όλων των αρ ιθμών της 3 η ς κάρ τα ς, όμοια η 2η στήλη δίνει άθροισμα 23 και η 1 η 20. Άρα όταν πρ οσθέτουμε τ ους τριψήφιους θα έχου με 3+4+5 +5 =17 γράφου με το 7 κα ι έχουμε 1 κρατ ούμεν ο οπότ ε 5 +9 +7 +2 +1=24, γράφου με 4 και έχου με κρ ατούμεν ο 2, τ έλος 8+4 +6 +2 +2 =22. Άρα τ ο άθρ οισμα θα είναι ΠΑΝΤΑ 224 7! 8 5 3 4 9 4 6 7 5 2 2 5
  • 111. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 105 51. Chinese remainder trick (theorem ) Ζητάς από τον φίλο σου να σκεφθ εί έναν αριθ μό μικρότ ερ ο του 105. Μετά να σου πει ποιο είνα ι τ ο υ πόλοιπο της διαίρεσης τ ου αριθμού αυτ ού με τ ο 3 τ ο 5 και τ ο 7. Γνωρίζοντας τα υ πόλοιπα αυτά εσύ ο μέγας Μάγος είσαι σε θέση μετά από σύντ ομους υ πολογισμούς να πεις ποιος είνα ι ο αριθμός που σκέφτηκε. Το συγκεκριμέν ο τρικ είνα ι ένα καθαρά μαθη ματικό πρόβ λημα και μά λιστα από τα ποιο δύσ κολα . Βασίζεται στην ενότητ α της θεωρίας των αριθ μών που λέγ εται modular αρ ιθμητική. Η ένν οια τ ου modular, είνα ι η γν ωστή σ ε όλους μας ένν οια τ ου υπολοίπου μιας διαίρ εσης. Δηλαδή γν ωρίζ ουμε ότι η διαίρ εση π.χ. τ ου αριθ μού 4 5 με τ ο 4 αποδίδει πη λίκο 11 και υ πόλοιπο 1 , γ ι’ αυτ ό και γράφ ου με : =  +45 4 11 1 . Αν επικεντρ ώσουμε την πρ οσοχή μας μόν ο στ ο υπόλοιπο της διαίρ εσης αυ τής γράφ ου με : mod( )=44 1 4 ενν οώντας ότι η διαίρεση τ ου 44 με τ ο 4 α ποδίδει υπόλοιπο 1 . Το πρόβ λημα που α ρχικά δόθηκε ως τρικ δια τυπώνετα ι με τη βοήθεια της modular αρ ιθμητικής στ ο να βρεθεί ένας αρ ιθμός χ για τ ον οποίο ισχύ ουν : χ υ mod , χ υ mod , χ υ mod= = =1 2 33 5 7 όπου υ1 ,υ 2 ,υ 3 γνωστ οί αριθ μοί. Το πρόβ λημα αυτ ό είναι γνωστ ό και ως C hines e remainder theor em και η λύση τ ου παρουσιάζει αρ κετές τεχνικές δυ σκολίες . Υπάρ χει όμως ένας α λγ όριθμος επίλυσης τ ου προβ λή ματος που μπορεί ν α τ ο μάθ ει κά ποιος με εξάσκηση. Ας παρ ουσιάσ ουμε την τεχνική α υτή. Υποθέτ ουμε ότ ι ο φίλος σ ου έχει σκεφθεί κάποιον αριθ μό και σου λέει ότι το υ πόλοιπο τ ου αρ ιθμού με τ ο 3 είνα ι 0 , με το 5 είναι 2 και με το 7 είναι 3. Πως μπορ ούμε ν α βρ ού με τ ον αριθμό. Όπως είπα με το ερώτη μα α υτό σε καθαρά μαθημα τική διατύ πωση γράφετ αι. Να βρεθεί ο αριθμός x για τ ον οποίο ισχύ ουν οι ισότητ ες : x mod , x mod , x mod= = =0 3 2 5 3 7 Ας παρακολουθήσ ου με τα βήματα τ ου αλγ ορ ίθμου επίλυσ ης …
  • 112. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 106 Υποθέτ ουμε ότ ι ο άγνωστ ος αριθ μός x είναι ο : x =  +  + 5 7 3 7 3 5 =35+21 +15 Για να δούμε ικαν οποιούντ αι οι τρ εις ιδιότητες τ ου αριθμού που αναζητού με; Κατ’ αρχή ισ χύει ότι x mod= 0 3 ; Επειδή οι πα ράγοντες 21 και 15 είνα ι πολλα πλάσ ιοι τ ου 3 εξετ άζου με τι υ πόλοιπο αφήν ει ο 35 αν διαιρ εθεί με τ ο 3. Το υ πόλοιπο είναι 2 εν ώ θέλου με να εί να ι 0 , άρα για να πετύ χουμε τ ο ζητού μεν ο ο πολλαπλασιάζ ου με το 35 επί 3, άρα ο ζητούμεν ος αρ ιθμός x μπορεί να είναι ο : x =   +  + 5 7 3 3 7 3 5 Ο αριθ μός αυτ ός ικα νοποιεί τη ν δεύ τερη σχέση; Δηλαδή ισ χύει ότι x mod= 2 5 ; Οι όρ οι   =5 7 3 105 και  =3 5 15 είν αι πολλα πλάσ ιοι τ ου 5 , εξετ άζου με τι υ πόλοιπο αφήν ει ο 21 αν διαιρ εθεί με τ ο 5. Το υ πόλοιπο είναι 1 εν ώ θέλου με να είνα ι 2 , άρα για να πετύ χουμε τ ο ζητού μεν ο πολλα πλασιάζουμε τ ο 21 επί 2, άρα ο ζητούμεν ος αρ ιθμός x μπορεί να είναι ο : x =   +   + 5 7 3 3 7 2 3 5 Ο αριθ μός αυτ ός ικα νοποιεί τη ν τρ ίτη σχέση; Δηλαδή ισ χύει ότι x mod= 3 7; Οι όρ οι   =5 7 3 105 και   =3 7 2 42 είν αι πολλα πλάσ ιοι τ ου 7 , εξετ άζου με τι υ πόλοιπο αφήν ει ο 15 αν διαιρ εθεί με τ ο 7. Το υ πόλοιπο είναι 1 εν ώ θέλου με να είνα ι 3 , άρα για να πετύ χουμε τ ο ζητού μεν ο υ πόλοιπο πολλαπλασιάζ ουμε το 15 επί 3, άρ α ο ζητούμεν ος αριθ μός μπορεί να είναι ο : x =   +   +  5 7 3 3 7 2 3 5 3 Ο αριθ μός αυτ ός ικα νοποιεί και τις τρεις ισ ότητ ες, άρα ο αριθμός x = + + = +105 42 45 105 87 ικανοποιεί τις υποθέσεις. Επειδή όμως ζητήσα με στην αρχή να σκεφτ εί ο φίλος μας έναν αρ ιθμό μικρ ότερο τ ου 105 τελικά ο κρυφ ός αρ ιθμός είνα ι ο x=87 . Είναι εύκολο να επιβεβαιώσου με ότι ο αρ ιθμός αυτ ός ικα νοποιεί και τ ις τ ρεις υ ποθ έσεις .
  • 113. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 107 Ας δούμε και ένα άλλο παρά δειγμα : Στην ιστοσ ελίδα της Wi kipedia δίν εται τ ο διπλαν ό σχή μα. Δη λαδή γν ωρίζουμε ότι ισχύ ουν οι ισότητ ες : mod , mod , mod= = =23 2 3 23 3 5 23 2 7 . Πως μπορ ούμε να βρ ού με τον α ριθμό 23 αν γνωρίζουμε τα υ πόλοιπα 2,3 ,2 των διαιρ έσεω ν τ ου με τους 3 ,5,7 αντίστ οι χα; Δηλαδή ας εφαρ μόσ ου με τ ον α λγ όριθ μο που μάθαμε γ ια να λύσ ουμε την εξίσωση : x mod mod mod= = =2 3 3 5 2 7 Έστω x =  +  + 3 5 3 7 5 7 Για τ ον αριθ μό αυτ όν ισ χύει ότι x mod= 2 3 όπως α κριβώς θέλουμε. Επίσης ισχύει ότι : x mod mod= 1 5 3 5 άρα πολλαπλασιάζ ου με τον όρ ο 3 7 επί 3, άρα θα έχουμε τώ ρα τ ον αρ ιθμό : x =  +   + 3 5 3 7 3 5 7 Για τ ον αριθ μό ισ χύει ότι x mod mod= 1 7 2 7 άρα πολλαπλασιάζ ουμε τ ον όρ ο 3 5 επί 2 και καταλήγ ου με στ ον αριθμό : x =   +   +  = + + =3 5 2 3 7 3 5 7 30 63 35 128 . Αφαιρώντας τ ον 105 κατα λήγ ουμε στ ον κρυφ ό αριθ μό 23 .
  • 114. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 108 52. Τι μέρα γεννήθηκες ; Αποτελεί μεγά λη πρ όκληση σε ένα Μά γο να είναι σε θέση να βρίσκει τη μέρα γ έννησης οποιου δήποτε όταν τ ου δίνον τα ι τ ο έτος και η ημερ ομην ία γ έννησης . Γ ια παρά δειγ μα να σου λένε «γεννήθηκα στις 2 Μα ΐου τ ου 2002» και εσύ να λες «γ ενν ήθηκες ημέρα Πέμπτη »! Στις επόμενες σελίδες θα μάθουμε έναν αλγ όριθ μό που κάνει τους κατά λλη λους υπο λογ ισμούς, α λλά κα ταρχήν ας αναφ έρου με ορισ μένα βασικά στ οιχεία για την έν νοια τ ου έτους κα ι του ημερ ολογίου … Η Γη κάνει περ ίπου 365 ,25 η μέρ ες γ ια μία πλήρη περ ιστρ οφή τ ης γύρω από τον ή λιο. Επειδή κάθε συμβατ ικό έτος έχει 365 μέρες κάθε τ έσσερα χρ όνια πρ οσθέτ ουμε μία μέρα οπότε κατορθ ώνουμε να έχουμε  + =4 365 1 1461 μέρες . Πάνω σε αυτ ήν τ ην βασική ιδέα στηρίχτηκε τ ο λεγ όμεν ο Ιου λιαν ό ημερ ολόγιο που εφα ρμόστηκε γ ια περ ίπου 2000 χρ όν ια α πό τα χρόν ια του Ιούλιου Καίσαρα έως τ ο έτ ος 1582.Έτσι κά ποια χρ όνια έχουν 366 μέρ ες και χαρα κτηρίζ ονται ως δίσεκτ α, όπως τ α έτη 2000, 2 004, 2008 , … αλλά τ ο έτ ος 2100 δεν θα είνα ι δίσεκτο γιατί; Το πρόβ λημα είναι ότι ένας χρ όν ος είνα ι στη ν πραγ ματικότητα 365.243 μέρες περίπου , οπότε είναι περίπου έν τεκα λεπτ ά λιγ ότερ ο από τις 365.25 η μέρ ες που υπολογ ίστηκε στ ο Ιουλιαν ό ημερ ολόγιο. Οπότε κάθε 400 χρ όνια εν ώ στη ν πραγ ματικότητα περνάν ε 1 46.097 μέρες με το Ιου λια νό η μερ ολόγιο φαίν ετ αι ότι έχουν περάσει 146 .100 μέρ ες! Το 1582 υ πό τ ον Πάπα Γρηγ όριο τ ον 13 ο δημιουργήθηκε τ ο νέο ημερ ολόγιο – Γ ρηγορ ιαν ό η μερ ολόγιο – αφαιρ ώντας δέκα μέρες από τ ο πα λιό Ιου λιαν ό ημερολόγιο. Έτσι μετ ά τη ν 4 Ο κτω βρίου του 1582 έχου με την 15 Οκτ ωβρίου του 15 82! Συγχρ όν ως συμφωνήθηκε ότι τα έτ η που δια ιρ ούνται με το 100 δεν θ α είναι πλέον δίσεκτα εκτ ός και αν διαιρ ούντα ι και με τ ο 400 . Άρ α τα έτη 1700 ,1800 ,1900 δεν θα ήταν δίσεκτα α λλά τ ο 2000 κα ι τ ο 2400 θα είνα ι. Ο πότε μέσα σε 400 χρόν ια ο αριθ μός τ ων δίσεκτων ετ ών θα είναι 100 -3 =97 κα ι ο αριθ μός τ ων η μερ ών θα είναι ( ) . + =400 365 97 146 097 όπως ακρ ιβώς θ έλου με.
  • 115. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 109 Το Γρηγ οριαν ό ημερ ολόγιο δεν το υ ιοθ έτησαν αμέσ ως όλες οι χώρες . Γ ια παρά δειγμα η Αγγ λία κα ι οι α ποικίες της τ ο εφάρμοσαν την Τετάρτ η 2 Σεπτ εμβρ ίου τ ου 1752 , η μερ ομηνία που τη ν α κολούθησε η Πέμπτη 14 Σεπτεμβρίου τ ου 1752. Η Ελλάδα ακολούθησε τελικά τ ο Γρηγ οριαν ό ημερολόγιο το 1924 όπου η 10 Μαρτ ίου έγιν ε 23 Μαρτίου σβήν οντας με τ ον τ ρόπο αυτόν 13 μέρες. Ο τύ πος με βάση τ ον οποίο υ πολογίζουμε οποιαδή ποτε η μέρα με βάση το Γρηγ ορ ιανό η μερ ολόγ ιο είναι ο εξής : Μέρα της εβδομάδας = [Κωδικός Μήνα + Ημερομηνία + Κωδικός Έτους] ( mod7) To mod7 που β λέπετε στ ο τ έλος σημαίνει ότι για τ ους υπολογισ μούς μας ενδιαφέρει τ ο υ πόλοιπο της διαίρ εσης με το 7 παρά οτ ιδή ποτε άλλο. Για παρά δειγ μα αν σήμερ α είναι 30 -7- 2019 κα ι μέρα Τρίτη μετά από 67 μέρ ες έχουμε ότ ι 67 =4 mod7 άρα θα είνα ι Σάββατ ο – τέσσερ ις «μέρες» μετά. Ας ξεκινήσουμε με την εκμάθηση του α λγ ορίθ μου αν αφέρ οντας τους «κωδικούς». Όταν λέμε κω δικός ενν οού με αριθ μό που θα αντ ιστοιχεί με της μέρες της εβδομάδας , τ ους μή νες, τα χρ όν ια α κόμα και τ ον αιώνα που ασχολούμαστε… Οι κω δικοί … Α) τ ων ημερών … Παρατηρείστε ότι οι αριθ μοί έρχοντα ι σε πλή ρη αν τιστ οίχιση με την ον ομασία τ ων η μερ ών της εβδομά δας . Β) των μηνών … Μήνας ΙΑΝ ΦΕΒ ΜΑΡ ΑΠΡ ΜΑΙ ΙΟΥΝ ΙΟΥΛ ΑΥΓ ΣΕΠ ΟΚΤ ΝΟΕ ΔΕΚ Κωδικό ς 1 4 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6 Εκτό ς α πό τα δ ίσ εκτα χρόνια πο υ είναι ΙΑΝ : 0 και ΦΕΒ:3 Οι κω δικοί αυτ οί έχουν φτιαχτ εί με την εξής λογ ική … Ημέρα Κυριακή Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη Παρασκευή Σάββατο Κωδικός 1 2 3 4 5 6 0
  • 116. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 110 Αν υ ποθέσ ουμε ότ ι η 1 η Ιανουαρίου είναι Κυρ ιακή τ ότε η 1 η Φεβρ ουαρίου θα είνα ι 31 μέρ ες μετά κα ι θα πέφτει μέρα Τετάρτη ( ο Ιαν ουάρ ιος έχει 31 μέρες άρα 29 του μήνα θα είναι και πά λι Κυρ ιακή κα ι 31 τ ου μή να θα είναι Τρ ίτη) , οπότ ε αντιστοιχούμε τον Φεβρ ουάριο με τ ον κωδικό 4 . Επειδή ο Φεβρ ουάριος έχει 28 μέρ ες η 1 η Μαρτίου θα πέφτ ει και πάλι Τετάρτη , ά ρα τ ον Μάρτιο τον αν τιστ οιχού με με τ ον κωδικό 4 . Η λογ ική αυτή διατρέχει όλους τ ους μήν ες και μ ε τ ον τρ όπο αυτ όν συντάσσεται όλος ο πίνακας των κωδικών τ ων μηνώ ν. Γ) τω ν ετών … Έτος Κωδ. Έτος Κωδ. Έτος Κωδ. Έτος Κωδ. 2000* 6 2008* 2 2016* 5 2024* 1 2001 0 2009 3 2017 6 2025 2 2002 1 2010 4 2018 0 2026 3 2003 2 2011 5 2019 1 2027 4 2004* 4 2012* 0 2020* 3 2028* 6 2005 5 2013 1 2021 4 2029 0 2006 6 2014 2 2022 5 2030 1 2007 0 2015 3 2023 6 2031 2 Ας δούμε μερικά παρα δείγματα … Το 2030 θα είμαι 70 ετών και στις 8 Μαρτίου θα έχω τα γ ενέθλιά μου , τι μέρα θα είναι ; Εφαρμόζου με τ ον τύπο κα ι έχου με : ( )mod mod+ + = = →4 8 1 7 13 7 6 Παρασκευή Η 25η Μαρτ ίου του 2021 που θα γιορτάζ ου με τα 200 χρ όνια από την Ελληνική επανάσταση , τι μέρα θα είναι ; ( )mod mod+ + = = →4 25 4 7 33 7 5 Πέμπτη Θα μου πείτ ε τι γίνεται για τα χρ όνια μετά τ ο 2031 που υ πάρχει στον πίνακα . Γ ια τ ο θέμα α υτ ό υ πάρ χει λύση. Μετα ξύ των ετώ ν 1901 κα ι 20 99 τ ο ημερ ολόγιο επαναλαμβάνεται κάθε 28 χρόνια . Γιατί σ ε 2 8 χρόνια έχου με 7 δίσεκτα χρ όν ια οπότε το η μερολόγ ιο θα μετατοπιστ εί κατά 28 +7 =35 μέρ ες , αριθμός που αφήν ει τη ν ημέρα της εβδομάδας αμετάβλη τη διότι τ ο 35 είνα ι πολλα πλάσιο του 7.
  • 117. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 111 Επιβ εβαιώστε τ ο πρ οηγ ού μεν ο συμπέρασ μα και δείτ ε ότι οι κωδικοί των ετ ών 2000 και 2028 είναι ίδιοι. Το ίδιο συμβ αίνει με τα ζευγάρ ια (2001,2029),(2002,2030),(2003,2 031) κ.ο.κ Άρα ο κω δικός τ ου έτ ους 2086 θα είναι ο ίδιος με τον κω δικό του έτους 2030 αφ ού = + 2086 2030 2 28 . Τι σ υμβαίν ει όμως με τα χρ όνια πρ ιν το 2000; Ακριβώς τα ίδια . Γ ια παρά δειγμα τι κωδικό έχει το 1900; Αυτό που ψάχνουμε είναι πόσες 28ά δες χρ όνια θα πάμε πίσω . Επειδή  =4 28 112 και − =2000 112 1888 τ ο έτος 1888 έχει κωδικό 6 άρα τ ο 1900 που είναι 12 χρ όν ια μετά θα έχει τ ο ίδιο κωδικ ό με το 2012 δηλα δή 0. Υπάρ χει κα ι μία ά λλη μέθοδος υπολογ ισμού των κωδικών των ετών αλλά χρειαζόμαστε κωδικούς γ ια τους αιώνες … Δ) Κωδικοί των αιώνων … Αιώνα ς 16ο ς 17ο ς 18ο ς 19ο ς 20ο ς 21ο ς 22ο ς 23ο ς Κωδικό ς 6 4 2 0 6 4 2 0 Παρατηρείστε την περιοδικότητα τ ων τιμών… Ο τύ πος που δίν ει τ ον κω δικό τ ου έτ ους είνα ι ο εξής : Κωδικός Έτους = [Κωδικός αιώνα+2 τελευταία ψηφία έτους+(2 τελευταία ψηφία έτους)div4]mod7 Όπου (2 τελευταία ψηφία έτους)div4 εν νοού με τ ο πη λίκο της διαίρεσης των δύ ο τελευτα ίων ψηφίων με το 4 Για παρά δειγ μα ο κωδικός τ ου έτ ους 18 21 είναι : (2 +21 +5) mod7 =27 mod7 =6 Οπότε τώρα είμαστ ε σε θέση να πούμε «τ ι μέρα έπεσ ε η 2 5 Μαρτίου τ ου 1821;» Σύμφω να με τ ον αλγ όριθ μο θα είναι (4 +25 +6) mod7 =35 mod7=0, άρα Σάββατ ο. Αυτό βέβα ια θα ήταν σωστ ό αν η Ελλά δα είχε υιοθετήσ ει από τ ον 18ο αιώ να τ ο Γρηγ οριαν ό ημερ ολόγιο. Οπότε η πραγματ ική μέρα είναι 13 μέρες νωρίτερα άρα Κυ ριακή .
  • 118. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 112 Υπάρ χει κα ι ένας άλλος α λγόριθμος υπολογ ισμού της μέρ ας εν ός γεγον ότ ος, π.χ. της γ έννησής μας . Ας ον ομάσ ου με Ε το έτος γέν νησης. Ονομάζου με Η τη μέρα τ ου έτους την οποία γ εννηθήκατ ε μετρώ ντας α πό τη ν 1 η Ιαν ουαρίου . Υπολογίστ ε τον όρ ο Ε Χ − = 1 4 κα ι αγνοήστε το υ πόλοιπο αν υπάρχει. Υπολογίστ ε το άθρ οισμα Μ Ε Η Χ= + + Διαιρέστε τ ο Μ με το 7 κα ι ση μειώστε τ ο υ πόλοιπο. Ο αριθ μός τ ου υ πολοίπου τα υτίζετα ι με βάση τ ον παρακά τω πίνακα με κά ποια μέρα της εβ δομά δας. Υπόλοιπο 0 1 2 3 4 5 6 Ημέρα Παρ. Σαβ. Κυρ. Δευτ. Τριτ. Τετ. Πεμ. Ας δούμε ένα παρά δειγμα … Η κόρη μου η Κωνστ αντίνα γεν νήθηκε στις 19 -3 -1991 τι μέρα έπεφτ ε; Υπολογίζ ου με : Η=31 +28+19=78 / Χ=(1991 -1)/4 =… =497 / Μ=1991 +78 +497 =2566 Το υ πόλοιπο της διαίρ εση τ ου 2566 με τ ο 7 είν αι 4, άρα η μέρα γέννησής της ήταν Τρ ίτη!
  • 119. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 113 Διδακτική αξιοποίηση του βιβλίου … Πολλά από τα μαγ ικά που παρουσιάστηκαν μπορ ούν να αξιοποιηθούν γ ια τη διδασκα λία των μαθηματικών στην τ άξη. Διότι ανα λύ οντα ι κομμάτ ια της ύ λης των μαθη ματικών με τρόπο παιγνιώδη α λλά συγ χρ όνως ανα πτύσσον ται και χρήσιμες μαθηματικές δεξιότ ητες, όπως : χειρισ μού αριθμη τικών δεδομένων , εντ οπισ μού και α ξιοποίησης μοτ ίβων, ανα λογικού συ λλογισ μού, επεξεργ ασίας δεδομένων, συνδυαστικής ικαν ότητας , α λγεβρ ικών συ λλογισ μών , γεωμετρικών συλλογισμών, επίλυσης πρ οβ λήματ ος, ανά πτ υξης αλγοριθμικής διαδικασίας κ.α. Για να είμαστ ε πιο συγκεκριμέν οι … Αριθμός μαγικού Ύλη Δεξιότητες 1/ 11 Δυαδικό σύστη μα γραφής φυσικών αριθμών Αναλογικού συ λλογ ισμού Αλγεβρ ικώ ν συ λλογ ισμώ ν Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας 2/42/45 Δεκαδικό σ ύστημα γραφής φυσικών αριθμών Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Αλγεβρ ικώ ν συ λλογ ισμώ ν Επίλυσης πρ οβ λήματ ος 3/ 5/6/9/31 Πράξεις στ ο δεκα δικό σύστη μα Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Επεξεργασίας δεδομένων Επίλυσης πρ οβ λήματ ος Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας 4/15/16/17/18/19/22/ 25/32/33/34/37/38/41/ 47 Επίλυση προβ λήματος Επίλυσης πρ οβ λήματ ος Εντοπισ μού και αξιοποίησης μοτ ίβων Επεξεργασίας δεδομένων Αναλογικού συ λλογ ισμού 7/ Διάταξη αριθ μών Εντοπισ μού και αξιοποίησης μοτ ίβων Επεξεργασίας δεδομένων Αναλογικού συ λλογ ισμού Συνδυαστικής ικανότητας Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας
  • 120. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 114 8/ 13/29/ Κριτήρια διαιρ ετ ότητας. Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Αλγεβρ ικώ ν συ λλογ ισμώ ν Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας Αναλογικού συ λλογ ισμού Συνδυαστικής ικανότητας 10/ Εμβαδόν γεωμετρικού σχήματ ος - Γ ωνίες Γεωμετρικών συλλογισ μών Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων 12/ Επίλυση εξισώσ εων - συστη μάτων Αλγεβρ ικώ ν συ λλογ ισμώ ν Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων 14/ Ευκλείδεια διαίρ εση Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Εντοπισ μού και αξιοποίησης μοτ ίβων Αναλογικού συ λλογ ισμού Αλγεβρ ικώ ν συ λλογ ισμώ ν Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας 20/ Πράξεις στ ο R – Το τρίγων ο του Pascal Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Εντοπισ μού και αξιοποίησης μοτ ίβων Αλγεβρ ικώ ν συ λλογ ισμώ ν Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας 21/26/35/36/46/50/ Πράξεις – Επίλυση προβ λήματος Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Επεξεργασίας δεδομένων Συνδυαστικής ικανότητας Επίλυσης πρ οβ λήματ ος 23/ Γεωμετρία Γεωμετρικών συλλογισ μών Αναλογικού συ λλογ ισμού 27/ Επίλυση προβ λήματος Η ένν οια της συμμετρίας Εντοπισ μού και αξιοποίησης μοτ ίβων Αναλογικού συ λλογ ισμού Επεξεργασίας δεδομένων Συνδυαστικής ικανότητας Γεωμετρικών συλλογισ μών Επίλυσης πρ οβ λήματ ος Σχημα τικής απεικόν ισης δεδομέν ων
  • 121. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 115 28/ Η ένν οια της αντιστοίχισης Επεξεργασίας δεδομένων Σχημα τικής απεικόν ισης δεδομέν ων 30/ Ορθοκαν ον ικό σύστημα συντεταγμένων Επεξεργασίας δεδομένων Γεωμετρικών συλλογισ μών Σχημα τικής απεικόν ισης δεδομέν ων 39/40 Ακολουθίες – Πρόοδοι Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Εντοπισ μού και αξιοποίησης μοτ ίβων Αναλογικού συ λλογ ισμού Επεξεργασίας δεδομένων Αλγεβρ ικώ ν συ λλογ ισμώ ν Γεωμετρικών συλλογισ μών Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας Σχημα τικής απεικόν ισης δεδομέν ων 43/49/ Θεωρία πιθαν οτήτων Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Αναλογικού συ λλογ ισμού Επεξεργασίας δεδομένων Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας 44/ Αλγ οριθ μική δια δικασ ία Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας 51/ Modular αρ ιθμητ ική Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Αναλογικού συ λλογ ισμού Επεξεργασίας δεδομένων Συνδυαστικής ικανότητας Αλγεβρ ικώ ν συ λλογ ισμώ ν Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας Σχημα τικής απεικόν ισης δεδομέν ων 52/ Αναφορά στ ο Γρηγορια νό ημερ ολόγιο Χειρ ισμού αριθμητικών δεδομέν ων Αλγεβρ ικώ ν συ λλογ ισμώ ν Ανάπτ υξης α λγορ ιθμικής δια δικασ ίας
  • 122. Τα Μαθηματικά των Μαγικών Γ. Λαγουδάκος σελ. 116
  • 123. 1 9 3 11 5 13 7 15 0 2 10 3 11 6 14 7 15 1 4 12 5 13 6 14 7 15 2 8 12 9 13 10 14 11 15 3
  • 133. 1η κάρτα : 4286 / 5771 / 9083 / 6518 / 2396 / 6860 / 2909 / 5546 / 8174 . 2η κάρτα : 5792 / 6881 / 7547 / 3299 / 7187 / 6557 / 7097 / 5288 / 6548. 3η κάρτα : 2708 / 5435 / 6812 / 7343 / 1286 / 5237 / 6470 / 8234 / 5129 .
  • 135. Βιβλιογραφία 1. Τίτλος : “The manual of mathematical Magic”. Συγγραφέας : Peter McCowan and Matt Parker. Εκδόσεις : Queen Mary University. 2. Τίτλος : “The magic of Math”. Συγγραφέας : Arthur Benjamin. Εκδόσεις : Basic Books. 3. Τίτλος : “Mathematics Magic and Mystery”. Συγγραφέας : Martin Gardner . Εκδόσεις : Dover Publications. 4. Τίτλος : “Mathematical Explorations of card tricks”. Συγγραφέας : Timothy R. Weeks. Εκδόσεις : John Carroll University 5. Τίτλος : “When and how to use Math based card tricks in the classroom”. Συγγραφέας : Morgan L. Mitchell. Εκδόσεις : California State University. Sacramento. 6. Τίτλος : “Luca Pacioli and his 1500 book. De viribus quantitates” . Εκδόσεις : Universidad de Lisboan 7. Τίτλος : “Μαθηματικές σπαζοκεφαλιές” Συγγραφέας : Brian Bolt . Εκδόσεις : Κάτοπτρο 8. Τίτλος : “Η Μαγεία των παραδόξων” Συγγραφέας : Martin Gardner . Εκδόσεις : Τροχαλία 9. Τίτλος : “Το πανηγύρι των Μαθηματικών” Συγγραφέας : Martin Gardner . Εκδόσεις : Τροχαλία.
  • 136. 10. Ημερίδα Ε.Μ.Ε παράρτημα Ημαθίας (12/3/2017) «Μαθηματικά μαγικά τρικ» . Ομιλητής : Μιχάλης Λάμπρου 11. Τίτλος : Mathematical Card Magic Συγγραφέας : Colm Mulcahy Εκδόσεις : CRC Press 12. Τίτλος : Math made magic Συγγραφέας : Tason Davison and Peter McQwan Εκδόσεις : Queen Mary University of London 13. Τίτλος : Is it Magic? No it’s Mathematics Συγγραφέας : Terry Krieger Εκδόσεις : Rochester Community and Technical College 14. Τίτλος : Mathematical Magic Συγγραφέας : William Simon Εκδόσεις : Charles Scribner’s sons N.Y. 15. Τίτλος : Secrets of Mental Math Συγγραφέας : Arthur Benjamin and Michael Shermer Εκδόσεις : three rivers press N.Y.
  • 137. Γεννήθηκα στις 8 Μαρτίου το 1960 στη Χίο όπου ήταν διορισμένοι καθηγητές οι γονείς μου, Κωνσταντίνος Λαγουδάκος και Ιουλία Παπαϊωάννου αμφότεροι Χημικοί. Το 1965 ήρθαμε στην Αθήνα όπου το 1970 τελείωσα το Δημοτικό στο 108ο Δημοτικό σχολείο στην οδό Θήρας. Την 1η Γυμνασίου την τελείωσα στο Εμπορικό Γυμνάσιο στη Πλατεία Αμερικής και την 2α και 3η Γυμνασίου στο Γυμνάσιο της Κάτω Κλειτορίας στην Αχαΐα . Το 1974 ήρθαμε οικογενειακώς και πάλι στην Αθήνα, όπου και τελείωσα το κβ’ Λύκειο στα Κάτω Πατήσια το 1977. Πέρασα στο Μαθηματικό Θεσσαλονίκης το 1978 και αποφοίτησα το 1983. Το 1984 με βρίσκει και πάλι στην Αθήνα όπου ξεκινώ και εργάζομαι σε διάφορα φροντιστήρια. Το 1985 μέχρι το 1987 παρακολουθώ το μεταπτυχιακό τμήμα περιφερειακής ανάπτυξης της Παντείου. Μετά, στρατιωτικό – Χαϊδάρι και Χίο. Απολύομαι το 1989. Ο γάμος μου με την Αθανασία γίνεται το 1989 και το 1991 γεννιέται η κόρη μου Κωνσταντίνα. Το 1991 προσλαμβάνομαι στα Εκπαιδευτήρια Δούκα πρώτα στο Γυμνάσιο και μετά στο Λύκειο, όπου βρίσκομαι μέχρι τώρα. Σε όλη τη διάρκεια της επαγγελματικής μου πορείας ασχολήθηκα σε διάφορα εκπαιδευτικά project και τη συγγραφή βοηθημάτων καθώς επίσης συμμετείχα σε πλήθος εκπαιδευτικών ημερίδων – συνεδρίων. Ενδεικτικά αναφέρω τη συμμετοχή μου : «Ε-Land : Ένα ολοκληρωμένο εικονικό περιβάλλον υποστήριξης μαθησιακών κοινοτήτων στο διαδίκτυο » (Ι.Π.Ε.Τ , Ι.Π.ΤΗΛ. . Εκπαιδευτήρια Δούκα, Εκδόσεις Πατάκη). «Η τέχνη των Μαθηματικών και τα Μαθηματικά της Τέχνης » Παραγωγή λογισμικού και πρότυπων φύλλων δραστηριοτήτων με διαθεματικό χαρακτήρα (Ι.Τ.Υ.Ε., Εκπαιδευτήρια Δούκα, Compupress Exces , Open University). Είμαι ιδρυτικό μέλος και μέλος της επιστημονικής επιτροπής του «Μαθηματικού εργαστηρίου Β’ Αθήνας». Στα ενδιαφέροντά μου εντάσσεται η μελέτη της ιστορίας της εξέλιξης των μαθηματικών. Έχω συγγράψει σχετικά πονήματα που μπορείτε να τα αναζητήσετε στην διεύθυνση : https://www.slideshare.net/ssuser9b2765?utm_campaign=profiletracking&utm_ medium=sssite&utm_source=ssslideview . Είμαι ενεργό μέλος της παγκόσμιας κοινότητας του GeoGebra όπου έχω δημιουργήσει πλήθος εφαρμογών που παρουσιάζονται στην διεύθυνση https://www.geogebra.org/u/lagoudakos4. Συμμετείχα ως εισηγητής στο GeoGebra Global Gathering (Linz 2015) με θέμα «MΑΤΗistory using Geogebra » και στο GeoGebra Global Gathering (Linz 2017) με θέμα «Math and Art in Athens». Για το έργο αυτό διακρίθηκα με το χρυσό βραβείο ως βέλτιστη εκπαιδευτική πρακτική στα Education Leader Awards 2018. e-mail επικοινωνίας: lagoudakos4@gmail.com