Algoritmi e Calcolo Parallelo 2012/2013 - Grafi

Grafi
Algoritmi e Calcolo Parallelo

Prof. Pier Luca Lanzi

Riferimenti

•

•

2

Bertossi Alan A., Montresor Alberto. “Algoritmi e
strutture di dati” (seconda edizione), CittàStudi 2010

Stanley B. Lippman, Barbara E. Moo, Josee Lajoie
“C++ Primer”, 5th Edition Addison-Wesley


Cos’è un Grafo?

3

a

v4

v1
b
e1

e

d

e4

e2

c


v2

e3

v3

v5

Problemi Tipici su Grafi

•
•
•
•
•

4

Visite
Visite in ampiezza (cammini minimi singola sorgente)
Visite in profondità (ordinamento topologico,
componenti fortemente connesse)
Cammini minimi
Da singola sorgente
Fra tutte le coppie di vertici
Alberi di connessione minimi
Problemi di flusso
....







Grafi Orientati

•

5

Un grafo orientato G è definito dalla coppia (V, E)
V è l’insieme finito dei vertici
E è l’insieme degli archi (relazione binaria in V)




B
C
A
F
D

E

V = {A, B, C, D, E, F}
E = { (A,B), (A,D),(B,C),(D,C),(E,C), (D,E),(D,A) }


Grafi Non Orientati

•

6

Un grafo non orientato G è definito dalla coppia (V, E)
V è l’insieme finito dei vertici
E è l’insieme degli archi (coppie ordinate di elementi di
V)




B

C

A
F
D

E

V = {A, B, C, D, E, F}
E = { (A,B), (A,D), (B,C), (C,D),(C,E),(D,E) }


Definizioni: Incidenza e Adiacenza

•
•
•

7

In un grafo orientato
un arco (u,v) si dice incidente da u in v
In un grafo non orientato
la relazione di adiacenza tra vertici è simmetrica
Un vertice v si dice adiacente a u
se e solo se (u, v) ∈ E
(1,2) è incidente da 1 a 2
2





3
1
6
4

5


2 è adiacente ad 1
3 è adiacente a 2, 4, 5
1 è adiacente a 4 e viceversa
2 non è adiacente a 3,4
6 non è adiacente ad alcun
vertice

Componenti Fortemente Connesse

•

•

8

Terminologia
Componenti connesse (connected components, CC)
Componenti fortemente connesse
(strongly connected components, SCC)




Motivazioni
Molti algoritmi che operano sui grafi iniziano
decomponendo il grafo nelle sue componenti
L'algoritmo viene poi eseguito su ognuna delle
componenti
I risultati vengono poi ricomposti assieme







Grafi Connessi e Componenti Connesse

•

9

In un grafo non orientato G
G è connesso ⇔ esiste un cammino da ogni vertice ad ogni altro
vertice
Un grafo G’= (V’, E’) è una componente connessa di G ⇔
è un sottografo di G fortemente connesso e massimale
Definizioni
2
3
G’ è un sottografo di
A
G (G’⊆ G) se e solo se
1
V’⊆V e E’⊆ E
G’ è massimale ⇔ non esiste un
sottografo G” di G che sia
4
5
connesso e “più grande” di
G’, ovvero tale per cui G’⊆ G”⊆ G





•




6


Rappresentazione Grafi

•
•

•

10

Poniamo
n = |V| numero di nodi
m = |E| numero di archi
Matrice di adiacenza
Spazio richiesto O(n2)
Verificare se il vertice u è adiacente a v richiede tempo
O(1)
Elencare tutti gli archi costa O(n2)
Liste di adiacenza
Spazio richiesto O(n+m)
Verificare se il vertice u è adiacente a v richiede tempo
O(n)
Elencare tutti gli archi costa O(n+m)












Inferfaccia

11


Matrice di Adiacenza:
Grafi Orientati

12

Spazio: n2
1

2

3
1
6
4

5


1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
6
0

2

3

4

5

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

6

Matrice di Adiacenza:
Grafi Non Orientati

13
13

Spazio: n2 oppure
n(n+1)/2
1

4

5


6

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

1

1

0

4

1

0

1

0

1

0

5

0

0

1

1

0

0

6

6

5

3

A
1

4

2

3

3

1
2

2

0

0

0

0

0

0

Lista di Adiacenza:
Grafi Orientati

14

G.adj(u) = { v | (u,v) ∈ E }

Spazio: a*n + b*m

2
3

1
6
4

5


Liste di Adiacenza:
Grafi Non Orientati

15

G.adj(u) = { v | [u,v] ∈ E or [v,u] ∈ E}

2
3
A
1
6

4

5


Spazio: a*n + 2*b*m
a
b

Grafi Pesati

•
•

•

16

In alcuni casi ogni arco ha un peso (costo, guadagno) associato
Il peso può essere determinato tramite una funzione di costo
p: V ×V → R, dove R è l’insieme dei numeri reali
Quando tra due vertici non esiste un arco, il peso è infinito
1

3
1

1

7

6

8
4

5


*

1

*

*

3

*

4

*

*

*

*

4

*

4

7

*

4

4

3

3

3

*

2

2

3

1
4

2

1

*

4

*

8

*

*

*

7

8

*

*

*

*

*

*

*

*

5
6

4

5

6

Grado di un Vertice

•

•

17

In un grafo non orientato, il grado di un vertice è il numero
di archi che partono da esso
In un grafo orientato, il grado entrante (uscente) di un
vertice è il numero di archi incidenti in (da) esso

2
3

2

A
1
2

3

4

in : 2
out: 1
1

5 2

3
60


2

in : 1
out: 1

in : 2
out: 1

3

4
in : 2
out: 2

5
6

in : 0
out: 0

in : 1
out: 1

Cammini

•

•

18

In un grafo orientato G=(V,E)
un cammino di lunghezza k è una sequenza di vertici u0, u1, ..., uk
tale che (ui, ui+1) ∈ E per 0 ≤ i ≤ k–1
In un grafo non orientato G=(V,E)
un cammino di lunghezza k è una sequenza di vertici u0, u1, ..., uk
tale che
[ui, ui+1] ∈ E per 0 ≤ i ≤ k–1




2
3
1

4

Esempio: 1, 2, 3, 5, 4 è una
catena nel grafo con lunghezza 4
Un cammino (catena) si dice
semplice se tutti i suoi vertici sono
distinti (compaiono una sola volta
nella sequenza)

5


Cicli

•

•

19

In un grafo orientato G=(V,E)
un ciclo di lunghezza k è un cammino u0, u1, ..., uk tale che
(ui, ui+1) ∈ E per 0 ≤ i ≤ k–1, u0 = uk, e k>2
In un grafo non orientato G=(V,E)
un circuito di lunghezza k è una catena u0, u1, ..., uk tale che
[ui, ui+1] ∈ E per 0 ≤ i ≤ k–1, u0 = uk, e k>2




2
3
1

Esempio: 1, 2, 3, 5, 4, 1 è un
circuito con lunghezza 5
Un ciclo (circuito) si dice semplice se
tutti i suoi vertici sono distinti
(tranne ovviamente l’ultimo)

4

5


Grafi Aciclici

20

Un grafo orientato aciclico è detto
DAG (Directed Acyclic Graph)

2
3
1

Questo grafo è
aciclico

6
2

4

3

5
1

6

2
3
1

Questo grafo non è
aciclico
4

4
6
5


5

Grafo Completo

•

21

Grafo che ha un arco tra ogni coppia di vertici.
Questo grafo è completo
2
3

Questo grafo non è completo

1

2
3

1

4

4

5


5

Alberi

•
•
•

22

Un albero libero è un grafo non orientato connesso, aciclico
Se qualche vertice è detto radice, otteniamo un albero radicato
Un insieme di alberi è detta foresta
2

2
3

3

1

1
6
4

5


6
4

5

Alberi di Copertura

•

23

In un grafo non orientato G=(V, E), un albero di copertura
T è un albero libero T = (V, E’) composto da tutti i nodi di
V e da un sottoinsieme degli archi (E’⊆ E), tale per cui
tutte le coppie di nodi del grafo sono connesse da una
sola catena nell’albero.

2
3
1
6
4


5

Attraversamento Grafi

•

24

Definizione
Dato un grafo G=(V, E) ed un vertice r di V (detto sorgente o
radice), visitare ogni vertice raggiungibile nel grafo dal vertice r
Ogni nodo deve essere visitato una volta sola





•
•

Visita in ampiezza (breadth-first search)
Visita i nodi “espandendo” la frontiera fra nodi scoperti/da scoprire
Esempi: Cammini più brevi da singola sorgente




Visita in profondità (depth-first search)
Visita i nodi andando il “più lontano possibile” nel grafo
Esempi: Componenti fortemente connesse, ordinamento
topologico





Algoritmo Generico di Visita

25

•
•


S è l'insieme
frontiera
Il funzionamento
di
insert() e remove()
non è specificato

Visita in Ampiezza:
Breadth First Search (BFS)

•

•

•

26

Obiettivo: visitare i nodi a distanze crescenti dalla sorgente
Visitare i nodi a distanza k prima di visitare i nodi a distanza k+1



Generare un albero BF (breadth-first)
Albero contenente tutti i vertici raggiungibili da r e tale che il
cammino da r ad un nodo nell'albero corrisponde al cammino più
breve nel grafo



Applicazione
Calcolare la distanza minima da s a tutti i vertici raggiungibili
Numero di archi attraversati per andare da r ad un vertice





Visita in Ampiezza:
Breadth First Search (BFS)

27

•

•


Insieme S gestito
tramite una coda
Visitato[v]
corrisponde alla
marcatura del nodo v

Applicazione della BFS:
Numero di Erdös

•
•

Paul Erdös (1913-1996)
Matematico
Più di 1500 articoli, con più di 500 coautori
Numero di Erdös
Erdös ha erdös = 0
I co-autori di Erdös hanno erdös = 1
Se X ha scritto una pubblicazione
scientifica con un co-autore con erdös =
k, ma non con un co-autore con erdös <
k, X ha
erdös=k +1
Chi non è raggiunto da questa
definizione ha erdös = +∞
Vediamo un’applicazione di BFS per
calcolare il numero di Erdös










•


28

Calcolo del numero di Erdös


29

Esempio

30

0
6
2
3
1

1
0
11

4

5
9

7

Coda:{6}


1
2

Esempio

31

0

1

6
1

2
3

9

1
11

1
4

5
8

7

Coda:{2,4,9}


1
0

Esempio

32

0

1

6
1

2
3
1

2

9

2
11

1
4

5
8

7

Coda:{4,9,3,1}


1
0

Esempio

33

0

1

6
1

2
3
1

2

9

2
11

1
4

5

2
8

7

Coda:{9,3,1,5}


1
0

Esempio

34

0

1

6
1

2
3
1

2

9

2
11

1
4

5

2
8
2

7

Coda:{3,1,5,8}


1
0

Esempio

35

0

1

6
1

2
3
1

2

9

2
11

1
4

5

2
8
2

7

Coda:{1,5,8}


1
0

Esempio

36

0

1

6
1

2
3
1

2

9

2
11

1
4

5

2
8
2

7

Coda:{5,8}


1
0

Esempio

37

0

1

6
1

2
3
1

2

9

2
11

1
4

5

2
8
2

3

7

Coda:{8,7}


1
0

Esempio

38

0

1

6
1

2
3
1

2

9

2
11

1
4

5

2
8
2

3

7

Coda:{7}


1
0

Esempio

39

0

1

6
1

2
3
1

2

9

2
11

1
4

5

2
8
2

3

7

Coda:{}


1
0

Albero dei Cammini BFS

•

40

La visita BFS può essere utilizzata per ottenere il cammino più breve
fra due vertici (numero di archi)
Albero di copertura di G radicato in r
Memorizzato tramite vettore dei padri p
Figli di u - nodi v tali che (u,v) ∈ E
e v non è ancora visitato






Algoritmo Generico di Visita

•

41

Alcune definizioni
L'albero T contiene i vertici visitati
S ⊆ T contiene i vertici aperti:
vertici i cui archi uscenti non sono ancora stati percorsi
T-S ⊆ T contiene i vertici chiusi:
vertici i cui archi uscenti sono stati tutti percorsi
V-T contiene i vertici non visitati
Se u si trova lungo il cammino che va da r al nodo v, diciamo che
u è un antenato di v, v è un discendente di u







•

Alcune cose da notare:
I nodi vengono visitati al più una volta (marcatura)
Tutti i nodi raggiungibili da r vengono visitati
Ne segue che T contiene esattamente tutti i nodi raggiungibili da r






Visita in Profondità:
Depth First Search (DFS)

•

•

Visita in profondità
E' spesso una parte della soluzione di altri problemi
Utilizzata per coprire l'intero grafo, non solo i nodi
raggiungibili da una singola sorgente (diversamente
da BFS)




Risultato
Invece di un albero, una foresta DF (depth-first) Gπ=(V,
Eπ)
Contenente un insieme di alberi DF




•

42

Struttura di dati
Ricorsione al posto di una pila esplicita




Visita DFS

43

DFS(Graph G, Node u, boolean[] visitato)
Esamina il nodo u (se pre-visita)
foreach v in G.adj(u) do
Esamina l’arco (u,v)
if (not visitato(v))
visitato[v] = true;
DFS(G,v,visitato);
Esamina il nodo u (se post-visita)


Applicazioni DFS:
Componente Connesse

•

•

Problema
Verificare se un grafo non orientato è connesso
Identificare le componenti connesse di cui è composto
Soluzione
Un grafo è connesso se, al termine della DFS, tutti i nodi sono
stati marcati
Altrimenti, una singola passata non è sufficiente e la visita deve
ripartire da un nodo non marcato, scoprendo una nuova porzione
del grafo
Strutture dati
Vettore id degli identificatori di componente
id[u] è l’identificatore della componente connessa a cui appartiene
u






•

45





Componenti Connesse


46

Componenti Connesse

47

1
3

1
1

2
5

2

2
6

3

1
1
0

2
4

1

2

7
9

2
8


3
11

Alberi di Copertura DFS

•

•

48

La visita DFS genera l’albero (foresta) dei cammini DFS
Tutte le volte che viene incontrato un arco che connette un nodo
marcato ad uno non marcato, esso viene inserito nell’albero T
Gli archi non inclusi in T possono essere divisi
in tre categorie durante la visita:
se l’arco è esaminato passando da un nodo di T
ad un altro nodo che è suo antenato in T , è
detto arco all’indietro
se l’arco è esaminato passando da
un nodo di T ad un suo discendente
(che non sia figlio) in T è detto arco in avanti
altrimenti, è detto arco
di attraversamento








Schema DFS

•
•

49

Variabili globali
time: orologio
dt: discovery time
ft: finish time
Significato
dt[v]=0, v non ancora
visitato
dt[u]>dt[v] e ft[v]!=0
(u,v) e’ in avanti









Esempio

51

[1, ]
F

[2, ]
B

C

I

A

M
D

E

G


H

L

Esempio

52

[1, ]
F

[2, ]
[3, ]

B

C

I

A

M
D

E

G


H

L

Esempio

53

[1, ]
F

[2, ]
[3, ]

B

C

I

A

M
[4, ] D

E

G


H

L

Esempio

54

[1, ]
F

[2, ]
[3, ]

B
C

I

A
M
[5, ]
[4, ] D

E
H

G


L

Esempio

55

[1, ]
F

[2, ]
[3, ]

B

C

I
[6, ]

A

M
[5, ]
[4, ] D

E

G


H

L

Esempio

56

[1, ]
F

[2, ]
[3, ]

B

C

I
[6, 7]

A

M
[5, ]
[4, ] D

E

G


H

L

Esempio

57

[1, ]
F

[2, ]
[3, ]

B

C

I
[6, 7]

A

M
[5, ]
[4, ] D

E

G

[8, ]


H

L

Esempio

58

[1, ]
F

[2, ]
[3, ]

B

C

I
[6, 7]

A

M
[5, ]
[4, ] D

E

H
[9, ]

G

[8, ]


L

Esempio

59

[1, ]
F

[2, ]
[3, ]

B

C

I
[6, 7]

A

[10, ]

M
[5, ]
[4, ] D

E

H
[9, ]

G

[8, ]


L

Esempio

[2, 17]
B
[3, 16]

60

[1, 18]
F

C

I
[6, 7]

A

[10, 11]

M
[5,14 ]
[4,15] D

E

H
[9, 12]

G

[8, 13]


L

Esempio

[2, 17]
B
[3, 16]

61

[1, 18]
F
C

I
[6, 7]

A

[10, 11]

[19, ]
M

[5,14 ]
[4,15] D

E

H
[9, 12]

G

[8, 13]


L

Esempio

[2, 17]
B
[3, 16]

62

[1, 18]
F
C

I
[6, 7]

A

[10, 11]

[19, ]

M
[5,14 ]
[4,15] D

E

[20, ]
H
[9, 12]

G

[8, 13]


L

Esempio

[2, 17]
B
[3, 16]

63

[1, 18]
F
C

I
[6, 7]

A

[10, 11]

[19, 22]

M
[5,14 ]
[4,15] D

E

[20, 21]
H
[9, 12]

G

[8, 13]


L

Classificazione degli Archi


64

Classificazione degli Archi

•

•

65

Cosa serve le classificazione?
E' possibile dimostrare alcune proprietà, che
poi possono essere sfruttate negli algoritmi
Esempio: DAG non hanno archi all'indietro (dimostrare)




Ordinamento Topologico

•

66

Dato un DAG G (direct acyclic graph), un ordinamento topologico su
G è un ordinamento lineare dei suoi vertici tale per cui:
Se G contiene l’arco (u,v), allora u compare prima di v
nell’ordinamento
Per transitività, ne consegue che se v è raggiungibile da u,
allora u compare prima di v nell'ordinamento
Nota: possono esserci più ordinamenti topologici






Ordinamento Topologico

•

•

67

Problema: Fornire un algoritmo che dato un grafo
orientato aciclico, restituisca un ordinamento topologico
Due Approcci
Diretto
Trovare ogni vertice che non ha alcun arco



incidente in ingresso

Stampare questo vertice e rimuoverlo,
insieme ai suoi archi

 Basato su DFS

Ripetere la procedura finché tutti i vertici
risultano rimossi
Esercizio: scrivere lo pseudocodice
per
questo algoritmo
Qual è la complessità? (con matrici
di adiacenza, con liste di
adiacenza)


Soluzione Diretta
2
1

3

68

2
4

5

3

2
4

5

Output:

4
5

Output: 1

Output: 1 3

2
4

Output: 1 3 5

4

Output: 1 3 5 2


Output: 1 3 5 2 4

Ordinamento Topologico con DFS

•

•

Algoritmo
Si effettua una DFS
L’operazione di visita consiste
nell’aggiungere il vertice alla
testa di una lista“at finish time”
Restituire la lista di vertici
Output
Sequenza ordinata di vertici,
in ordine inverso di finish time







69

Ordinamento Topologico Basato su DFS


70

Grafi Fortemente Connessi e

•

71

In un grafo orientato G
G è fortemente connesso ⇔ esiste un cammino da ogni vertice ad
ogni altro vertice
Un grafo G’ = (V’, E’) è una componente fortemente connessa di
G ⇔ è un sottografo di G fortemente connesso e massimale
Definizioni
G’ è un sottografo di G (G’ ⊆ G) se
2
e solo se V’⊆V e E’ ⊆ E
3
G’ è massimale ⇔ non esiste
1
un sottografo G” di G che sia
6
fortemente connesso e
“più grande” di G’, ovvero tale
per cui G’ ⊆ G” ⊆ G.
4





•





5



•

•

72

Algoritmo (Kosaraju, 1978)
1. Effettua una DFS di G
2. Calcola il grafo trasposto GT
3. Effettua una DFS di GT esaminando i vertici in ordine
inverso di tempo di fine
4. Fornisci i vertici di ogni albero della foresta depth-first
prodotta al passo 3 come una diversa SCC
Grafo trasposto
Dato un grafo G = (V, E), il grafo trasposto GT = (V, ET
) è formato dagli stessi nodi, mentre gli archi hanno
direzioni invertite: i.e, ET ={(u,v) | (v,u) ∈ E}






73



74

Componenti Fortemente Connesse:
dimostrazione correttezza

•
•

75

Si può estendere il concetto di dt e ft al grafo delle componenti

Teorema
Siano C e C’ due componenti distinte nel grafo orientato G = (V,
E). Suppo- niamo che esista un arco (C, C’) ∈ Ec. Allora ft(C) >
ft(C’)



[9,10]
[11,12]

[1, 8]

2

3

1
6 [5,7]
[2, 7]
4
[3,4]

5

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