An Optimal Algorithm for On-Line Bipartite Matching
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Il documento discute algoritmi per il matching in grafi bipartiti, evidenziando le differenze tra approcci on-line e off-line. Viene presentato l'algoritmo di ranking come il miglior algoritmo on-line per ottenere un matching, rispetto a metodi deterministici e randomizzati. Infine, si sollevano domande aperte riguardanti le prestazioni dell'algoritmo in varie configurazioni di grafo.
![Grafi Bipartiti
Un grafo si dice bipartito se esiste una
partizione (V1, V2) di V tale che ogni
arco [i, j] ϵ E collega un vertice i ϵ V1
ad un vertice j ϵ V2.
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3](https://image.slidesharecdn.com/anoptimalalgorithmforon-linebipartitematching-131210114237-phpapp02/85/An-Optimal-Algorithm-for-On-Line-Bipartite-Matching-3-320.jpg)
![Caso Pessimo
e Performance
Dimostrando che il matching tramite
Ranking è minimo nel caso di matrici
triangolari superiori complete si dimostra
anche che esso garantisce le migliori
performance.
|M|=(n+|D|)/2
E[|M|] = n/2+1/2 E[|D|]](https://image.slidesharecdn.com/anoptimalalgorithmforon-linebipartitematching-131210114237-phpapp02/85/An-Optimal-Algorithm-for-On-Line-Bipartite-Matching-14-320.jpg)
![Algoritmo Early
Attraverso Early è possibile trovare un
lower–bound per E[|M|] calcolando un
lower-bound per E[|D|].
wit
= Pr[W(σ,i) = t]
Pr[la riga i e la colonna i
vengono entrambe
accoppiate] = ∑t/n wit
wt = ∑ wit
i
E[|D|] = ∑t/n wt
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La dimensione minima del matching sarà
(2-√2)n](https://image.slidesharecdn.com/anoptimalalgorithmforon-linebipartitematching-131210114237-phpapp02/85/An-Optimal-Algorithm-for-On-Line-Bipartite-Matching-16-320.jpg)
An Optimal Algorithm for On-Line Bipartite Matching
- 1. AN OPTIMAL ALGORITHM FOR ON-LINE BIPARTITE MATCHING Dall’articolo scritto da: Karp, Umesh e Vijay Vazirani
- 2. I Grafi Un grafo è un insieme di elementi detti nodi o vertici collegati fra loro da archi. Più formalmente, si dice grafo una coppia ordinata G =(V,E) di insiemi, con V insieme dei nodi ed E insieme degli archi, tali che gli elementi di E siano coppie di elementi di V. b a d c e V = {a, b, c, d, e} E = {(a,b), (a,c), (b,c), (b,d), (d,e)}
- 3. Grafi Bipartiti Un grafo si dice bipartito se esiste una partizione (V1, V2) di V tale che ogni arco [i, j] ϵ E collega un vertice i ϵ V1 ad un vertice j ϵ V2. a b c 1 2 3
- 4. Grafi Bipartiti Si dimostra che G è bipartito se e solo se non contiene cicli dispari, cioè cicli formati da un numero dispari di lati. In generale sono grafi bipartiti: • i grafi non orientati aciclici, quindi anche gli alberi; • i grafi ciclici con un numero pari di vertici.
- 5. Matching in un Grafo Bipartito Dato un grafo bipartito con sottoinsiemi V1 e V2, si dice matching completo di V1 in V2 un insieme di archi senza estremi in comune, aventi la caratteristica di collegare ciascun elemento di V1 con un elemento di V2, allora |V1|<=|V2|. 1 a b 2 3
- 6. Matching in un Grafo Bipartito Si ha un matching perfetto, invece, nel caso di un matching completo e |V1|=|V2|. Si ha un matching massimale quando l’insieme M degli archi partecipanti al matching è massimo. 1 a b 2 c 3
- 7. Algoritmi per il matching Algoritmi on-line Algoritmi off-line
- 8. Let’s start! a 1 b 2 c 3 d 4 B 1 2 3 4 a b c d 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 Ottenere un matching on-line massimizzato! 1 1
- 9. Algoritmi deterministici Un algoritmo Greedy, è quindi deterministico, assegna sempre, se è possibile, una girl ad un boy, scelto tra quelli idonei. Allora il matching ottenuto sarà al minimo di n/2. a 1 1 2 1 b 0 1 c 0 0 d 0 0 3 1 4 1 1 1 1 1 1 1 n/2 n/2 un avversario può limitare qualsiasi algoritmo deterministico ad un matching di n/2.
- 10. Randomized VS Adaptive 1 2 3 4 a b c d 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 3 4 a b c d 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 n/2 + O(logn) 1 0 0 0
- 11. Algoritmo Ranking Inizializzazione: sceglie una permutazione random dei nodi boy e assegna ad ognuno di essi una priorità Matching: all’arrivo di ogni nodo girl, esso viene accoppiato con il boy idoneo avente priorità più alta (se ne esistono)
- 12. Algoritmo Ranking Perché scegliere un algoritmo Ranking e non Random? Mentre Random ha praticamente le stesse performance, scarse, di un algoritmo deterministico greedy, Ranking ha prestazioni migliori dato che contiene un meccanismo implicito che tende a favorire quei nodi attualmente idonei che non lo sono stati spesso in passato.
- 13. Considerazioni... Supponiamo che le colonne siano ordinate in ordine crescente di priorità e che le righe arrivino in ordine random e vengano accoppiate alla colonna idonea con priorità più alta. Allora: •l’insieme di girls accoppiate dal Ranking è un superset di qualsiasi altro algoritmo che prevede il rifiuto; •la dimensione del matching prodotto dal Ranking è minima per alcune matrici triangolari superiori.
- 14. Caso Pessimo e Performance Dimostrando che il matching tramite Ranking è minimo nel caso di matrici triangolari superiori complete si dimostra anche che esso garantisce le migliori performance. |M|=(n+|D|)/2 E[|M|] = n/2+1/2 E[|D|]
- 15. Algoritmo Early rmance e perfo zzare l li derare di ana e consi è util o scopo All anking R Early. oritmo iamata dell’alg nte ch a varia una su Tale variante rifi uta di accoppiare la riga i se arriva dopo che la colonna i è già stata accoppiata .
- 16. Algoritmo Early Attraverso Early è possibile trovare un lower–bound per E[|M|] calcolando un lower-bound per E[|D|]. wit = Pr[W(σ,i) = t] Pr[la riga i e la colonna i vengono entrambe accoppiate] = ∑t/n wit wt = ∑ wit i E[|D|] = ∑t/n wt t La dimensione minima del matching sarà (2-√2)n
- 17. Algoritmo Early L’analisi effettuata parte dall’assunzione pessimistica che le prime an righe ad arrivare saranno tutte accoppiate. Tuttavia nella realtà è improbabile che ciò avvenga. Eseguendo, allora, un’analisi più precisa si ottiene tale risultato: n(1-1/e)+O(n)
- 18. Algoritmo Early e Ranking Dato che l’algoritmo Early è un algoritmo che prevede il rifiuto rispetto al Ranking, possiamo dire che il matching prodotto da quest’ultimo, su una matrice B nxn per il quale il matching massimo è m<=n, sarà al minimo pari ad m(1-1/e)+O(m)
- 19. Algoritmi on-line per il matching bipartito L’algoritmo Random ha le stesse performance del Ranking su una matrice T triangolare superiore completa. Tuttavia per il Ranking operare su T costituisce il caso pessimo.
- 20. Algoritmi on-line per il matching bipartito Allora Ranking è sicuramente l’algoritmo on-line di matching bipartito ad avere le migliori performance.
- 21. Algoritmi on-line per il matching bipartito Inoltre, dato che gli algoritmi Greedy hanno le stesse performance dell’algoritmo Random, essi sono sicuramente i migliori algoritmi deterministici di matching bipartito on-line.
- 22. Open Questions Nell’ambito di questo studi rimangono comunque delle domande aperte a cui dover dare ancora una risposta: • dare in input una matrice triangolare superiore completa è il caso peggiore per il Ranking? • il Ranking è un algoritmo on-line ottimo anche per il matching in grafi non bipartiti?