数学カフェAdvent calendar2017 12_18〜圏論に於ける準同型定理〜
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数学カフェAdvent calendar2017.12.18のためのスライドです。数学カフェへの溢れんばかりの愛と、圏論に於ける準同型定理について書きました。みなさーーん！！数学やりましょーーー♡
数学カフェAdvent calendar2017 12_18〜圏論に於ける準同型定理〜
- 1. 1/20 by Anry(@anry_1225) 数学カフェ Advent Calendar 2017 12.18 〜圏論に於ける準同型定理の表現〜
- 5. 5/20 準同型定理 ＠集合論 前提１） 𝑋, ~ ：集合、写像による同値関係 （ 𝑓: 𝐴 → 𝐵 、 𝑎, 𝑎′ ∈ 𝑋 に対して𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑎′)が成り立つ関係） 前提２）商写像 𝑞: 𝐴 → 𝐴/~ 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑓 𝐴 ⊂ 𝐵の時 𝐴 → 𝑞 𝐴/~ → 𝑓 𝐵 𝑓 = 𝑞; 𝑓 という合成ができる 𝑓 がただ一つ存在する。 そして、その終域が𝑓(𝐴) となる 𝑓: 𝐴/~ → 𝑓(𝐴)は、全単射となる。 証明はまた今度！！
- 6. 6/20 圏＠圏論 １）対象（Object）の集まり ２） 射（Morphism・Arrow）の集まり ３） 𝑓: 𝐴 → 𝐵という射があるときの 射𝑓に関するドメイン（Domain）: dom 𝑓 = 𝐴 射𝑓に関するコドメイン（Codomain）: cod 𝑓 = 𝐵 （ A、 𝐵における射の集まりをC(A, 𝐵)と書く） 定義：圏𝐂は以下を満たす
- 7. 7/20 ４）dom 𝑓 = 𝑐𝑜𝑑 𝑔となるような 𝑓と𝑔の射の合成𝑓; 𝑔（図式順記法） これらは以下の結合律を満たす： 任意の射 𝑓: A → 𝐵, 𝑔: 𝐵 → 𝐶, ℎ: C → 𝐴 に対し 𝑓; 𝑔 ; ℎ = 𝑓; (𝑔; ℎ) ５）以下を満たす、各対象𝐴に対する恒等射𝑖𝑑 𝐴: 𝐴 → 𝐴 任意の射𝑓: 𝐴 → 𝐵に対し、𝑖𝑑 𝐴; 𝑓 = 𝑓 かつ 𝑓; 𝑖𝑑 𝐵 = 𝑓 定義：圏𝐂は以下を満たす 圏＠圏論
- 10. 10/20 モノ射 ＠圏論 定義 𝐂：圏 射 𝑓: 𝐵 → C がモノ射であるとは 同じく圏𝐂の射 𝑔: 𝐴 → 𝐵, ℎ: A → B において 𝑔; 𝑓 = ℎ; 𝑓 ならば 𝑔 = ℎ 𝐴 𝐵 𝐶 𝑓𝑔 ℎ
- 11. 11/20 モノ射 ＠集合論 𝕊𝑒𝑡（集合圏）ではモノ射は単射（i. e. 𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑎′) ⟹ 𝑎 = 𝑎′） ＜証明（十分条件：モノ射⟸単射）集合論の世界から＞ 𝑓: 𝐵 → 𝐶が単射であり、モノ射ではないとする。 （すなわち 𝑔, ℎ: A → B が 𝑔; 𝑓 = ℎ; 𝑓 であるが 𝑔 ≠ ℎ であるとする。） Aの元𝑎を２つの異なる写像で移すとすると𝑔 𝑎 ≠ ℎ(𝑎)となる。 単射である𝑓との合成を考えると𝑓(𝑔 𝑎 ) ≠ 𝑓(ℎ 𝑎 )となるため 単射の定義に矛盾する。 よって𝑔 = ℎでなければならず、十分条件を満たす。
- 12. 12/20 𝕊𝑒𝑡（集合圏）ではモノ射は単射（i. e. 𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑎′) ⟹ 𝑎 = 𝑎′） ＜証明（必要条件：モノ射⟹単射）圏論の世界から＞ 𝑓: 𝐵 → 𝐶がモノ射であり、単射ではないとする。 （すなわち異なる 𝑏, 𝑏′ ∈ B が 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑏′)であるとする。） ここでA = 𝑎 シングルトン 単元集合 とする。 𝑔: 𝐴 → 𝐵を𝑎から𝑏への、ℎ: 𝐴 → 𝐵を𝑎から𝑏′への射とする（ 𝑔 ≠ ℎ ） モノ射である𝑓との合成を考えると𝑓(𝑔 𝑎 ) = 𝑓(ℎ 𝑎 )となり モノ射の定義に矛盾する。 よって𝑔 = ℎでなければならず、必要条件を満たす。 モノ射 ＠集合論
- 13. 13/20 エピ射 ＠圏論 定義 𝐂：圏 射 𝑓: A → 𝐵 がエピ射であるとは 同じく圏𝐂の射 𝑔: 𝐵 → 𝐶, ℎ: B → 𝐶 において 𝑓; 𝑔 = 𝑓; ℎ ならば 𝑔 = ℎ 𝐴 𝐵 𝐶 𝑓 𝑔 ℎ
- 14. 14/20 エピ射 ＠集合論 𝕊𝑒𝑡（集合圏）ではエピ射は全射 （i. e. 𝑓: 𝐴 → 𝐵のとき∀𝑏 ∈ 𝐵ならば ∃𝑎 ∈ 𝐴となるような𝑓(𝑎) → 𝑏が存在する） 証明略！！（すいません）
- 15. 15/20 （エピ-モノ分解） ＠圏論 定義 𝐂：圏 射 𝑓: 𝐴 → B は以下のような標準的分解ができる e: エピ射、 𝑚: モノ射 A → 𝑒 𝐶 → 𝑚 𝐵
- 16. ＠集合論 ＠圏論 16/20 この、圏論に於けるエピモノ分解は 集合論に於ける準同型定理といえる 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑓 𝐴 ⊂ 𝐵の時 以下の合成ができる 𝑓 が ただ一つ存在する 𝐴 → 𝑞 𝐴/~ → 𝑓 𝐵 𝑓 = 𝑞; 𝑓 射 𝑓: 𝐴 → B は以下の分解ができる （e: エピ射、 𝑚: モノ射） 𝐴 → 𝑒 𝐶 → 𝑚 𝐵
- 19. 19/20 注釈 1. どんなに複雑な理論体系であっても、理解は基本的に誰にでも できると思っている。ただそれにどれだけ時間がかかるのかは わからないし、理解は創造と区別して述べている。 2. 構成要素をさらに細かくする述べ方もある。例えば射の合成を 演算として要素とみなすなど。 3. 数学の概念というよりは、１階の述語論理、あるいは数え上げ や比較など、初等数学的な概念、というべきか。これについて はヘルムホルツの訳書 (Love, M.F. (interpreted) (1977). Numbering and measuring from an epistemological viewpoint. In Epistemological Writings (pp. 72-114). Springer Netherlands.)、カントの「プロレゴ メナ」を勧める。
- 20. 加えて、いつも私のめちゃくちゃな数学の質問に快く答えてくださる 数学クラスタの方々（特にこの記事においては ありさん、Oonoさん、s.t.さん、Umezakiさん、Yamashitaさん） そして、私にたくさんの機会を与えてくださった数学カフェの中の人 本当にありがとうございました あとあと、これを見ているかわかりませんが 檜山先生、大人のための数学教室「和」さんにも 心から感謝申し上げます 20/20 参考資料 （URLは全て2017.12.19現在のもの） 松本 眞. (2013). 代数系への入門.（http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/daisu- nyumon.pdf） 檜山正幸のキマイラ飼育記.（http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/） Mac Lane, S. (1971). Category theory for the working mathematician. Pierce, B. C. (1991). Basic category theory for computer scientists. MIT press.