⼤学で初めて出会う数学
Apr.	15th	2016	A.kadotani
What	I	am	talking	about
• ⼤学で最初に学んだ数学
(そして、そこでつまづいたために⼤変だった)
• いわゆる「イプシロン・デルタ論法」
• 私の⼤学⽣活はイプシロン・デルタに始まり、イプシロン・デ
ルタに終わった
• と⾔えるくらい、「理学部数学科」というところは、徹底的に
「イプシロン・デルタ」に代表される厳密な証明をとことん⾏
うところです
そんなイプシロン・デルタのお話を少しします
• プログラム的な話は特にありません(スミマセン)
• ちょっとした頭の体操にはなると思います
• 前提とする知識
• ほとんどありませんが、⾼校数学で極限の考え⽅に触れたことがない
と少し厳しいかもしれません
• けど、多分⼤丈夫です。
ε-δ ってなんですか?
• イプシロン:ε
• デルタ:δ
• 「直感的に⾃明」であることに対して、式や命題として厳密に
証明する⼿法
• さらっと⾒ると当たり前すぎて何を証明しているか不明
• ⼯学部の学⽣が「テイラー展開」「フーリエ変換」など実⽤的
な数学を学んでいる間、数学科ではこれをひたすらやっている
その結果、こういう学⽣さんが⽣まれる
その結果、こういう学⽣さんが⽣まれる
What’s	the	ε-δ?
• 何でしょうか
• ⾒た⽅が早い
lim
$→&
2𝑥 + 1 =?
• 「xが1に限りなく近づく時に、2x+1は何に近づく?」
• 「xに1を代⼊したもの」が答えになる。と習う。
• →「3」ですね
• ⼀般的に書くと、「𝑥 ⟶ 𝑋	 ⟹ 𝑓(𝑥) ⟶ 𝑓 𝑋 」
lim
$→&
2𝑥 + 1 =?
• 𝑥	 ⟶ 𝑋		 ⟹ 	𝑓 𝑥 	⟶ 𝑌
の考え⽅
• 𝑥	 ⟶ 𝑋		 ⟹ 	𝑓 𝑥 	⟶ 𝑌
の考え⽅
𝑥𝑋
• 𝑥	 ⟶ 𝑋		 ⟹ 	𝑓 𝑥 	⟶ 𝑌
の考え⽅
𝑋
𝑓(𝑥)
𝑥
• 𝑥	 ⟶ 𝑋		 ⟹ 	𝑓 𝑥 	⟶ 𝑌
の考え⽅
𝑋
𝑓(𝑥)
𝑥
• 𝑥	 ⟶ 𝑋		 ⟹ 	𝑓 𝑥 	⟶ 𝑌
の考え⽅
𝑋
𝑓(𝑥)
𝑥
• 𝑥	 ⟶ 𝑋		 ⟹ 	𝑓 𝑥 	⟶ 𝑌
の考え⽅
𝑋
𝑓(𝑥)
𝑥
• 𝑥	 ⟶ 𝑋		 ⟹ 	𝑓 𝑥 	⟶ 𝑌
の考え⽅
𝑋
𝑓(𝑥)
𝑥
lim
$→&
2𝑥 + 1 = 3
• 確かに「どうやら正しいようだ」ということはわかる
• が、「近づく」という曖昧な概念を排除して論理的に書きたい
lim
$→6
𝑓 𝑥 = 𝑌 の定義をやり直す
• 任意の正の数εに対して、ある正の数𝛿が存在し、以下が成り立つ
• 0 < 𝑥 − 𝑋 < 𝛿なる任意の𝑥に対し、 	𝑓 𝑥 − 𝑌	 < 𝜀が成り立つ
• かっこよく書くと、
• ∀	𝜀 > 0, ∃	𝛿 > 0, 𝑠. 𝑡.	
∀𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑥	 − 𝑋 < 	𝛿	 ⟹ 	𝑓 𝑥 − 𝑌	 < 𝜀
• 𝑥 ⟶ 𝑋 ⟹ 𝑓(𝑥) ⟶ 𝑓 𝑋 と逆のアプローチで考える
• (𝑦軸から考える)
𝑋
𝑌
• ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0	𝑠. 𝑡. , ∀𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑥	 − 𝑋 < 𝛿	 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀
• 「どんなに⼩さな ε をとってきても、上記を満たすような δ が
必ず存在する」
𝑋
𝑌
• ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0	𝑠. 𝑡. , ∀𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑥	 − 𝑋 < 𝛿	 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀
• 「どんなに⼩さな ε をとってきても、上記を満たすような δ が
必ず存在する」
𝑋
𝑌 𝜀	を先にとる
• ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0	𝑠. 𝑡. , ∀𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑥	 − 𝑋 < 𝛿	 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀
• 「どんなに⼩さな ε をとってきても、上記を満たすような δ が
必ず存在する」
𝑋
𝑌 𝜀	を先にとる
	𝛿
• ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0	𝑠. 𝑡. , ∀𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑥	 − 𝑋 < 𝛿	 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀
• 「どんなに⼩さな ε をとってきても、上記を満たすような δ が
必ず存在する」
𝑋
𝑌 𝜀	を先にとる
	𝛿(この辺りの𝑥は、 𝑥 − 𝑋 < 𝛿を満たす)
• ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0	𝑠. 𝑡. , ∀𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑥	 − 𝑋 < 𝛿	 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀
• 「どんなに⼩さな ε をとってきても、上記を満たすような δ が
必ず存在する」
𝑋
𝑌 𝜀	を⼩さくする	
	𝛿
• ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0	𝑠. 𝑡. , ∀𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑥	 − 𝑋 < 𝛿	 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀
• 「どんなに⼩さな ε をとってきても、上記を満たすような δ が
必ず存在する」
𝑋
𝑌 𝜀	を⼩さくする	
δを⼩さくしてみる
• ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0	𝑠. 𝑡. , ∀𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑥	 − 𝑋 < 𝛿	 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀
• 「どんなに⼩さな ε をとってきても、上記を満たすような δ が
必ず存在する」
𝑋
𝑌 𝜀	を⼩さくする	
δ 発⾒!(存在した)
lim
$⟶6
𝑓 𝑥 = 𝑌
• ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0	𝑠. 𝑡. , ∀𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑥	 − 𝑋 < 𝛿	 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀
• 「どんなに⼩さな ε をとってきても、上記を満たすような δ が
必ず存在する」
𝑋
𝑌 𝜀	を⼩さくする	
δ 発⾒!(存在した)
lim
$⟶6
𝑓 𝑥 = 𝑌
「→」のような概念ではなく
「式で表すことができる」
というところが嬉しい
lim
$→&
2𝑥 + 1 = 3
• 証明してみましょう
• 証明のゴールは、以下。
正の数 ε を任意に設定した時に、以下を満たす正の数 δ を⾒つけ
ることができる
𝟎 < 𝒙 − 𝟏 < 𝜹	なる任意の実数𝒙に対して必ず	 	 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 < 𝜺が成立
lim
$→&
2𝑥 + 1 = 3
1. ε を⽤意します
𝜺 ∈ ℝ, 𝜺 > 𝟎とする
lim
$→&
2𝑥 + 1 = 3
1. ε を⽤意します
𝜺 ∈ ℝ, 𝜺 > 𝟎とする
2. δ をうまく設定します。
𝜹 =
𝜺
𝟐
とする。𝜺 > 𝟎であるから𝜹 > 𝟎である
lim
$→&
2𝑥 + 1 = 3
1. ε を⽤意します
𝜺 ∈ ℝ, 𝜺 > 𝟎とする
2. δ をうまく設定します。
𝜹 =
𝜺
𝟐
とする。𝜺 > 𝟎であるから𝜹 > 𝟎である
3. 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀であることを確かめます
このとき、
𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 = 𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 = 𝟐 𝒙 − 𝟏
ここで、𝟎 < |𝒙 − 𝟏| < 𝜹	であるような𝒙 ∈ ℝについては、
𝟐 𝒙 − 𝟏 < 𝟐𝜹 = 𝜺が成り立つ。
すなわち、 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 < 𝜺
lim
$→&
2𝑥 + 1 = 3
1. ε を⽤意します
𝜺 ∈ ℝ, 𝜺 > 𝟎とする
2. δ をうまく設定します。
𝜹 =
𝜺
𝟐
とする。𝜺 > 𝟎であるから𝜹 > 𝟎である
3. 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀であることを確かめます
このとき、
𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 = 𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 = 𝟐 𝒙 − 𝟏
ここで、𝟎 < |𝒙 − 𝟏| < 𝜹	であるような𝒙 ∈ ℝについては、
𝟐 𝒙 − 𝟏 < 𝟐𝜹 = 𝜺が成り立つ。
すなわち、 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 < 𝜺
4. ⾔い換えて、定義と照らし合わせてみて確かめます
上記は任意の𝜺 > 𝟎に対して成⽴する
すなわち、
任意の	𝜺 > 𝟎に対し、𝜹 =
𝜺
𝟐
とすれば、
𝒙 − 𝟏 < 𝜹なる任意の𝒙に対して 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 < 𝜺が成⽴する
上記より、 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟑
lim
$→&
2𝑥 + 1 = 3
1. ε を⽤意します
𝜺 ∈ ℝ, 𝜺 > 𝟎とする
2. δ をうまく設定します。
𝜹 =
𝜺
𝟐
とする。𝜺 > 𝟎であるから𝜹 > 𝟎である
3. 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀であることを確かめます
このとき、
𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 = 𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 = 𝟐 𝒙 − 𝟏
ここで、𝟎 < |𝒙 − 𝟏| < 𝜹	であるような𝒙 ∈ ℝについては、
𝟐 𝒙 − 𝟏 < 𝟐𝜹 = 𝜺が成り立つ。
すなわち、 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 < 𝜺
4. ⾔い換えて、定義と照らし合わせてみて確かめます
上記は任意の𝜺 > 𝟎に対して成⽴する
すなわち、
任意の	𝜺 > 𝟎に対し、𝜹 =
𝜺
𝟐
とすれば、
𝒙 − 𝟏 < 𝜹なる任意の𝒙に対して 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 < 𝜺が成⽴する
上記より、 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟑
「条件を満たすように
δを⾒つけることができた」!
⼀般的な式の証明
lim
$⟶𝑿
𝒇 𝒙 = 𝒂, lim
$⟶𝑿
𝒈 𝒙 = 𝒃	 ⟹ lim
$⟶𝑿
𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 = 𝒂 + 𝒃
lim
$⟶𝑿
𝒇 𝒙 = 𝒂, lim
$⟶𝑿
𝒈 𝒙 = 𝒃	 ⟹ lim
$⟶𝑿
𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 = 𝒂 + 𝒃		
1. 定義をそのまま書きます
𝜺 > 0とする。すると、
𝜺
𝟐
> 𝟎も成り⽴つ。
よって、
𝒇 𝒙 − 𝒂 <
𝜺
𝟐
, 𝒈 𝒙 − 𝒃 <
𝜺
𝟐
		 𝟎 < 𝒙 − 𝑿 < 𝜹
を満たす𝜹 < 𝟎が存在する
lim
$⟶𝑿
𝒇 𝒙 = 𝒂, lim
$⟶𝑿
𝒈 𝒙 = 𝒃	 ⟹ lim
$⟶𝑿
𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 = 𝒂 + 𝒃		
1. 定義をそのまま書きます
𝜺 > 0とする。すると、
𝜺
𝟐
> 𝟎も成り⽴つ。
よって、
𝒇 𝒙 − 𝒂 <
𝜺
𝟐
, 𝒈 𝒙 − 𝒃 <
𝜺
𝟐
		 𝟎 < 𝒙 − 𝑿 < 𝜹
を満たす𝜹 < 𝟎が存在する
2. 評価したい式を計算していきます
このとき、
𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 − 𝒂 + 𝒃
= 𝒇 𝒙 − 𝒂 + 𝒈 𝒙 − 𝒃
≤ 𝒇 𝒙 − 𝒂 + 𝒈 𝒙 − 𝒃
<
𝜺
𝟐
+
𝜺
𝟐
= 𝜺
lim
$⟶𝑿
𝒇 𝒙 = 𝒂, lim
$⟶𝑿
𝒈 𝒙 = 𝒃	 ⟹ lim
$⟶𝑿
𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 = 𝒂 + 𝒃		
1. 定義をそのまま書きます
𝜺 > 0とする。すると、
𝜺
𝟐
> 𝟎も成り⽴つ。
よって、
𝒇 𝒙 − 𝒂 <
𝜺
𝟐
, 𝒈 𝒙 − 𝒃 <
𝜺
𝟐
		 𝟎 < 𝒙 − 𝑿 < 𝜹
を満たす𝜹 < 𝟎が存在する
2. 評価したい式を計算していきます
このとき、
𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 − 𝒂 + 𝒃
= 𝒇 𝒙 − 𝒂 + 𝒈 𝒙 − 𝒃
≤ 𝒇 𝒙 − 𝒂 + 𝒈 𝒙 − 𝒃
<
𝜺
𝟐
+
𝜺
𝟐
= 𝜺
3. まとめてみます
上記の議論は任意の𝜺 > 0に対して成り⽴つから
lim
$⟶𝑿
𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 = 𝒂 + 𝒃
𝜺 − 𝜹いろいろ
1. δの取り⽅
𝜀
2
だったり、
𝜀 − 2みたいなやつだったり
min 1,
𝜀
3
みたいなことも
→ 最後に「ε」と⽐べて評価するため
2. 数列の極限
lim
Y⟶Z
𝑎Y = 𝛼
とは、
任意の𝜀 > 0に対してある⾃然数𝑁が存在し、
𝑛 > Nなる任意の⾃然数𝑛に対して
𝑎Y − 𝛼 < 𝜀	が成り⽴つ
𝜺 − 𝜹いろいろ
3. ⾮連続の証明
𝑓 𝑥 = `
𝑠𝑖𝑛
1
𝑥
	(𝑥 ≠ 0)
0(𝑥 = 0)
		は、𝑥 = 0で連続か?
4. その他
lim
c⟶d
𝑥e
= 8	 	𝛿 =
𝜀
19
	と取るといいみたい
lim
$⟶6
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑎𝑏	(𝛿 = min 1,
𝜀
1 + 𝑎 + 𝑏
	)
などなど
𝜺になっちゃう

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  • 2. What I am talking about • ⼤学で最初に学んだ数学 (そして、そこでつまづいたために⼤変だった) • いわゆる「イプシロン・デルタ論法」 • 私の⼤学⽣活はイプシロン・デルタに始まり、イプシロン・デ ルタに終わった • と⾔えるくらい、「理学部数学科」というところは、徹底的に 「イプシロン・デルタ」に代表される厳密な証明をとことん⾏ うところです
  • 3. そんなイプシロン・デルタのお話を少しします • プログラム的な話は特にありません(スミマセン) • ちょっとした頭の体操にはなると思います • 前提とする知識 • ほとんどありませんが、⾼校数学で極限の考え⽅に触れたことがない と少し厳しいかもしれません • けど、多分⼤丈夫です。
  • 4. ε-δ ってなんですか? • イプシロン:ε • デルタ:δ • 「直感的に⾃明」であることに対して、式や命題として厳密に 証明する⼿法 • さらっと⾒ると当たり前すぎて何を証明しているか不明 • ⼯学部の学⽣が「テイラー展開」「フーリエ変換」など実⽤的 な数学を学んでいる間、数学科ではこれをひたすらやっている
  • 9. • 「xが1に限りなく近づく時に、2x+1は何に近づく?」 • 「xに1を代⼊したもの」が答えになる。と習う。 • →「3」ですね • ⼀般的に書くと、「𝑥 ⟶ 𝑋 ⟹ 𝑓(𝑥) ⟶ 𝑓 𝑋 」 lim $→& 2𝑥 + 1 =?
  • 10. • 𝑥 ⟶ 𝑋 ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶ 𝑌 の考え⽅
  • 11. • 𝑥 ⟶ 𝑋 ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶ 𝑌 の考え⽅ 𝑥𝑋
  • 12. • 𝑥 ⟶ 𝑋 ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶ 𝑌 の考え⽅ 𝑋 𝑓(𝑥) 𝑥
  • 13. • 𝑥 ⟶ 𝑋 ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶ 𝑌 の考え⽅ 𝑋 𝑓(𝑥) 𝑥
  • 14. • 𝑥 ⟶ 𝑋 ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶ 𝑌 の考え⽅ 𝑋 𝑓(𝑥) 𝑥
  • 15. • 𝑥 ⟶ 𝑋 ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶ 𝑌 の考え⽅ 𝑋 𝑓(𝑥) 𝑥
  • 16. • 𝑥 ⟶ 𝑋 ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶ 𝑌 の考え⽅ 𝑋 𝑓(𝑥) 𝑥
  • 17. lim $→& 2𝑥 + 1 = 3 • 確かに「どうやら正しいようだ」ということはわかる • が、「近づく」という曖昧な概念を排除して論理的に書きたい
  • 18. lim $→6 𝑓 𝑥 = 𝑌 の定義をやり直す • 任意の正の数εに対して、ある正の数𝛿が存在し、以下が成り立つ • 0 < 𝑥 − 𝑋 < 𝛿なる任意の𝑥に対し、 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀が成り立つ • かっこよく書くと、 • ∀ 𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > 0, 𝑠. 𝑡. ∀𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑥 − 𝑋 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀
  • 19. • 𝑥 ⟶ 𝑋 ⟹ 𝑓(𝑥) ⟶ 𝑓 𝑋 と逆のアプローチで考える • (𝑦軸から考える) 𝑋 𝑌
  • 20. • ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑠. 𝑡. , ∀𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑥 − 𝑋 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀 • 「どんなに⼩さな ε をとってきても、上記を満たすような δ が 必ず存在する」 𝑋 𝑌
  • 21. • ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑠. 𝑡. , ∀𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑥 − 𝑋 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀 • 「どんなに⼩さな ε をとってきても、上記を満たすような δ が 必ず存在する」 𝑋 𝑌 𝜀 を先にとる
  • 22. • ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑠. 𝑡. , ∀𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑥 − 𝑋 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀 • 「どんなに⼩さな ε をとってきても、上記を満たすような δ が 必ず存在する」 𝑋 𝑌 𝜀 を先にとる 𝛿
  • 23. • ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑠. 𝑡. , ∀𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑥 − 𝑋 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀 • 「どんなに⼩さな ε をとってきても、上記を満たすような δ が 必ず存在する」 𝑋 𝑌 𝜀 を先にとる 𝛿(この辺りの𝑥は、 𝑥 − 𝑋 < 𝛿を満たす)
  • 24. • ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑠. 𝑡. , ∀𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑥 − 𝑋 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀 • 「どんなに⼩さな ε をとってきても、上記を満たすような δ が 必ず存在する」 𝑋 𝑌 𝜀 を⼩さくする 𝛿
  • 25. • ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑠. 𝑡. , ∀𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑥 − 𝑋 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀 • 「どんなに⼩さな ε をとってきても、上記を満たすような δ が 必ず存在する」 𝑋 𝑌 𝜀 を⼩さくする δを⼩さくしてみる
  • 26. • ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑠. 𝑡. , ∀𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑥 − 𝑋 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀 • 「どんなに⼩さな ε をとってきても、上記を満たすような δ が 必ず存在する」 𝑋 𝑌 𝜀 を⼩さくする δ 発⾒!(存在した) lim $⟶6 𝑓 𝑥 = 𝑌
  • 27. • ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑠. 𝑡. , ∀𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑥 − 𝑋 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀 • 「どんなに⼩さな ε をとってきても、上記を満たすような δ が 必ず存在する」 𝑋 𝑌 𝜀 を⼩さくする δ 発⾒!(存在した) lim $⟶6 𝑓 𝑥 = 𝑌 「→」のような概念ではなく 「式で表すことができる」 というところが嬉しい
  • 28. lim $→& 2𝑥 + 1 = 3 • 証明してみましょう • 証明のゴールは、以下。 正の数 ε を任意に設定した時に、以下を満たす正の数 δ を⾒つけ ることができる 𝟎 < 𝒙 − 𝟏 < 𝜹 なる任意の実数𝒙に対して必ず 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 < 𝜺が成立
  • 29. lim $→& 2𝑥 + 1 = 3 1. ε を⽤意します 𝜺 ∈ ℝ, 𝜺 > 𝟎とする
  • 30. lim $→& 2𝑥 + 1 = 3 1. ε を⽤意します 𝜺 ∈ ℝ, 𝜺 > 𝟎とする 2. δ をうまく設定します。 𝜹 = 𝜺 𝟐 とする。𝜺 > 𝟎であるから𝜹 > 𝟎である
  • 31. lim $→& 2𝑥 + 1 = 3 1. ε を⽤意します 𝜺 ∈ ℝ, 𝜺 > 𝟎とする 2. δ をうまく設定します。 𝜹 = 𝜺 𝟐 とする。𝜺 > 𝟎であるから𝜹 > 𝟎である 3. 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀であることを確かめます このとき、 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 = 𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 ここで、𝟎 < |𝒙 − 𝟏| < 𝜹 であるような𝒙 ∈ ℝについては、 𝟐 𝒙 − 𝟏 < 𝟐𝜹 = 𝜺が成り立つ。 すなわち、 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 < 𝜺
  • 32. lim $→& 2𝑥 + 1 = 3 1. ε を⽤意します 𝜺 ∈ ℝ, 𝜺 > 𝟎とする 2. δ をうまく設定します。 𝜹 = 𝜺 𝟐 とする。𝜺 > 𝟎であるから𝜹 > 𝟎である 3. 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀であることを確かめます このとき、 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 = 𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 ここで、𝟎 < |𝒙 − 𝟏| < 𝜹 であるような𝒙 ∈ ℝについては、 𝟐 𝒙 − 𝟏 < 𝟐𝜹 = 𝜺が成り立つ。 すなわち、 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 < 𝜺 4. ⾔い換えて、定義と照らし合わせてみて確かめます 上記は任意の𝜺 > 𝟎に対して成⽴する すなわち、 任意の 𝜺 > 𝟎に対し、𝜹 = 𝜺 𝟐 とすれば、 𝒙 − 𝟏 < 𝜹なる任意の𝒙に対して 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 < 𝜺が成⽴する 上記より、 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟑
  • 33. lim $→& 2𝑥 + 1 = 3 1. ε を⽤意します 𝜺 ∈ ℝ, 𝜺 > 𝟎とする 2. δ をうまく設定します。 𝜹 = 𝜺 𝟐 とする。𝜺 > 𝟎であるから𝜹 > 𝟎である 3. 𝑓 𝑥 − 𝑌 < 𝜀であることを確かめます このとき、 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 = 𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 ここで、𝟎 < |𝒙 − 𝟏| < 𝜹 であるような𝒙 ∈ ℝについては、 𝟐 𝒙 − 𝟏 < 𝟐𝜹 = 𝜺が成り立つ。 すなわち、 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 < 𝜺 4. ⾔い換えて、定義と照らし合わせてみて確かめます 上記は任意の𝜺 > 𝟎に対して成⽴する すなわち、 任意の 𝜺 > 𝟎に対し、𝜹 = 𝜺 𝟐 とすれば、 𝒙 − 𝟏 < 𝜹なる任意の𝒙に対して 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 < 𝜺が成⽴する 上記より、 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟑 「条件を満たすように δを⾒つけることができた」!
  • 34. ⼀般的な式の証明 lim $⟶𝑿 𝒇 𝒙 = 𝒂, lim $⟶𝑿 𝒈 𝒙 = 𝒃 ⟹ lim $⟶𝑿 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 = 𝒂 + 𝒃
  • 35. lim $⟶𝑿 𝒇 𝒙 = 𝒂, lim $⟶𝑿 𝒈 𝒙 = 𝒃 ⟹ lim $⟶𝑿 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 = 𝒂 + 𝒃 1. 定義をそのまま書きます 𝜺 > 0とする。すると、 𝜺 𝟐 > 𝟎も成り⽴つ。 よって、 𝒇 𝒙 − 𝒂 < 𝜺 𝟐 , 𝒈 𝒙 − 𝒃 < 𝜺 𝟐 𝟎 < 𝒙 − 𝑿 < 𝜹 を満たす𝜹 < 𝟎が存在する
  • 36. lim $⟶𝑿 𝒇 𝒙 = 𝒂, lim $⟶𝑿 𝒈 𝒙 = 𝒃 ⟹ lim $⟶𝑿 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 = 𝒂 + 𝒃 1. 定義をそのまま書きます 𝜺 > 0とする。すると、 𝜺 𝟐 > 𝟎も成り⽴つ。 よって、 𝒇 𝒙 − 𝒂 < 𝜺 𝟐 , 𝒈 𝒙 − 𝒃 < 𝜺 𝟐 𝟎 < 𝒙 − 𝑿 < 𝜹 を満たす𝜹 < 𝟎が存在する 2. 評価したい式を計算していきます このとき、 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 − 𝒂 + 𝒃 = 𝒇 𝒙 − 𝒂 + 𝒈 𝒙 − 𝒃 ≤ 𝒇 𝒙 − 𝒂 + 𝒈 𝒙 − 𝒃 < 𝜺 𝟐 + 𝜺 𝟐 = 𝜺
  • 37. lim $⟶𝑿 𝒇 𝒙 = 𝒂, lim $⟶𝑿 𝒈 𝒙 = 𝒃 ⟹ lim $⟶𝑿 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 = 𝒂 + 𝒃 1. 定義をそのまま書きます 𝜺 > 0とする。すると、 𝜺 𝟐 > 𝟎も成り⽴つ。 よって、 𝒇 𝒙 − 𝒂 < 𝜺 𝟐 , 𝒈 𝒙 − 𝒃 < 𝜺 𝟐 𝟎 < 𝒙 − 𝑿 < 𝜹 を満たす𝜹 < 𝟎が存在する 2. 評価したい式を計算していきます このとき、 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 − 𝒂 + 𝒃 = 𝒇 𝒙 − 𝒂 + 𝒈 𝒙 − 𝒃 ≤ 𝒇 𝒙 − 𝒂 + 𝒈 𝒙 − 𝒃 < 𝜺 𝟐 + 𝜺 𝟐 = 𝜺 3. まとめてみます 上記の議論は任意の𝜺 > 0に対して成り⽴つから lim $⟶𝑿 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 = 𝒂 + 𝒃
  • 38. 𝜺 − 𝜹いろいろ 1. δの取り⽅ 𝜀 2 だったり、 𝜀 − 2みたいなやつだったり min 1, 𝜀 3 みたいなことも → 最後に「ε」と⽐べて評価するため 2. 数列の極限 lim Y⟶Z 𝑎Y = 𝛼 とは、 任意の𝜀 > 0に対してある⾃然数𝑁が存在し、 𝑛 > Nなる任意の⾃然数𝑛に対して 𝑎Y − 𝛼 < 𝜀 が成り⽴つ
  • 39. 𝜺 − 𝜹いろいろ 3. ⾮連続の証明 𝑓 𝑥 = ` 𝑠𝑖𝑛 1 𝑥 (𝑥 ≠ 0) 0(𝑥 = 0) は、𝑥 = 0で連続か? 4. その他 lim c⟶d 𝑥e = 8 𝛿 = 𝜀 19 と取るといいみたい lim $⟶6 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑎𝑏 (𝛿 = min 1, 𝜀 1 + 𝑎 + 𝑏 ) などなど