![渡辺の定理への道
Step1 ダイバージェンス
Step2 特異点と渡辺の定理
Step3+4
• スキーム
• 層のコホモロジー
の理解が重要
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Sheaf[ʃíːf]
広中の定理
AI界 代数幾何界](https://image.slidesharecdn.com/aigasumio-180217062019/85/AI-8-Artifical-Inteligence-Parameter-Space-Transformation-using-Algebraic-Geometry-and-Sumio-Watanabe-Theory-7-320.jpg)
![アフィンスキーム(SpecC[xn], O_C[xn])
• 環A:
• スペクトル(素イデアル)SpecA:
• 点集合:
• 位相:
• 層:
• 任意の環Aに(SpecA, O_SpecA)が対応(圏同値)](https://image.slidesharecdn.com/aigasumio-180217062019/85/AI-8-Artifical-Inteligence-Parameter-Space-Transformation-using-Algebraic-Geometry-and-Sumio-Watanabe-Theory-9-320.jpg)
![AIの学習理論への帰還
Step5+6
ついにカルティエ因子層を得ました。
渡辺の定理の導出は次の通り
• 射影空間は分割積分を行う
• 複素数を実数にしても実用上問題ない
(スキームとしては閉点の概念が変
わってしまう)
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Sheaf[ʃíːf]
広中の定理
AI 代数幾何](https://image.slidesharecdn.com/aigasumio-180217062019/85/AI-8-Artifical-Inteligence-Parameter-Space-Transformation-using-Algebraic-Geometry-and-Sumio-Watanabe-Theory-24-320.jpg)
AIと代数幾何 ~8分版~/ Artifical Inteligence Parameter Space Transformation using Algebraic Geometry and Sumio Watanabe Theory
- 2. アイスブレイク • まつざき はるか (男性) • サラリーマン • (プログラマ) • コホモロジー • 埼玉県出身 • 開発環境の小話 • CPUの価格 + GPUの価格 < 机 • (いい木) • いろんな選択肢を間違える傾向にある
- 3. 狭義のAI – データを予測分布に変換 データ 予測分布 P( | ) 真の分布q(x)=1/6 ?
- 4. AIと数学 非特異 Regular, parametric 情報幾何学(甘利俊一先生) 代表的な定理 • クラメール-ラオの定理 • ダイバージェンスの幾何学的意味 • 赤池情報量基準 • 双対葉層化 特異 Singular, Latent ？？？？
- 5. AIと数学 非特異 Regular, parametric 情報幾何学(甘利俊一先生) 代表的な定理 • クラメール-ラオの定理 • ダイバージェンスの幾何学的意味 • 赤池情報量基準 • 双対葉層化 特異 Singular, Latent 代数幾何学 代表的な定理 • 渡辺の定理 • 渡辺-赤池情報量基準
- 7. 渡辺の定理への道 Step1 ダイバージェンス Step2 特異点と渡辺の定理 Step3+4 • スキーム • 層のコホモロジー の理解が重要 1 2 3 4 5 6 Sheaf[ʃíːf] 広中の定理 AI界 代数幾何界
- 8. 広中の定理へ の準備：層 • 層とは包含射を制限射にする反変関手F • 位相空間U 層F アーベル群F(U) • 層とはFのうち大域的ゼロを持ち 貼り合わせ元の存在を保証するもの • 多項式や有理関数に対しスペクトルを構成し ザリスキー位相を取ることで逆関手を得る (アフィンスキーム) X∈Ob(Top) U⊂X F(U)∈Ob(Ab)
- 9. アフィンスキーム(SpecC[xn], O_C[xn]) • 環A: • スペクトル(素イデアル)SpecA: • 点集合: • 位相: • 層: • 任意の環Aに(SpecA, O_SpecA)が対応(圏同値)
- 10. 閉部分アフィンスキーム • I(KLD(p||q)=0)は に埋込可能(非一意) • 青： • 黄： →黄は青の射影 ※特異点解消ではない →カルティエ因子の理解が重要
- 11. 広中の定理へ の準備：茎 • 層係数演算のため茎を定義する • 茎FpとはF(p)をめいっぱい広げたもの→ • Fpは圏論でいう順極限で普遍性をもつ • 普遍性=環の一意分解性 • 茎は「pの周りの正則関数」
- 12. 層の全単射・商・コホモロジー • 層の準同型 ＝ 全ての茎に対して準同型 • 層の全単射 ＝ 全ての茎において全単射 • (F÷G)(U) = Fの茎の近傍とGの茎の近傍の重なり上のアーベル 群を広げなおした茎を貼り合わせた層 • Ker(f) = 茎のKer • Im(f) = f(F)÷Ker(f) • CoKer(f) = G÷Im(f)
- 15. 位相空間X(ガイア)
- 16. 位相空間X(ガイア)
- 17. X
- 18. なんのために層は あるのか • 位相空間という檻に閉じ込められし魂が • 層の圏という名の天空で星座を象(かたど)る • 背景に輝く星座は広中の定理 • 広中の定理に含まれるカルティエ座も重要
- 19. 標準カルティエ因子(Canonical Divisor) • Xの余次元1の部分スキームの集合D_iの形式和(自由群)=因子 • 係数がゼロ点の位数に一致する有理関数が局所的に存在 • OX(D)がDim(X)次微分形式の層と同型 標準因子 可逆層 連接イデアル層 閉部分スキーム スキーム・層 全て1対1対応
- 20. ブローアップ(爆発) A^n n個で被覆される空間 • ゆえに2次元は4次元に、3次元は9次元にブローアップ可能 • 2次元の原点は2次元に、3次元の原点は6次元に爆発(因子)
- 25. 積分 ※ブローアップ u→ω
- 26. • 次のキーワードから成る渡辺理論をご紹介しました。 • 直感的には、自然なパラメーター空間を見つける定理 • パラメーター空間とは所詮人間の幻想で、我々の仕事を奪うAI は層を見ているのかもしれない。 直感的説明とまとめ 学習理論 自由エネルギー 層コホモロジー ブローアップ カルティエ因子
Editor's Notes
- #3: えーまずはアイスブレイクということで。まつざきはるかだんせいでしがないサラリーマンでございます。プログラムをかいております。すきなものは、コホモロジー。埼玉県出身。小話としてひとつだけ自慢してもいいですか、去年60万円の開発環境をてにいれました。実はこの不等式が成り立っております。いい木でできてるんです。服は全部ユニクロになりました。このように、日々、人生の選択肢をまちがえつづけております。代数幾何もそうかもしれません。8分間、どうぞよろしくお願いいたします。
- #6: AIと数学のかかわりでは、甘利先生の情報幾何が有名で、指数族と混合分布で有効です。それに対しsingularでlatentな分野では、代数幾何が有効とされています。