analytishce meetkunde Week6
- 2. Inhoud 1) Enkele opgaven week 5 2) Hoofdstuk 5: Kegelsneden (zie ook Stewart, paragraaf 10.5) i. 5.4: De hyperbool (opgave 5.12, 5,14 en 5.15) ii. 5.5.1: Raaklijn in een punt (π₯0, π¦0) van de parabool π¦2 = 4ππ₯ iii. 5.5.2: Normaal in een punt (π₯0, π¦0) van de parabool π¦2 = 4ππ₯ (opgave 5.17 t/m 5.22) 2
- 3. Opgaven week 5 5.5. De algemene vergelijking voor een parabool met as evenwijdig aan de π¦-as is π₯ β π 2 = 4π(π¦ β π). Invullen van de drie gegeven punten levert het volgende stelsel voor de drie onbekenden π, π en π: 1 β π 2 = 4π(1 β π) 2 β π 2 = 4π(2 β π) β1 β π 2 = 4π(5 β π) Dit stelsel heeft als oplossing π = 1, π = 1 en π = 1 4 . 5.8. De brandpunten zijn nu πΉ1(β + π, π) en πΉ2(β β π, π). Laat 2π weer de constante waarde zijn van de som van de afstanden tot de twee brandpunten. Dan is weer af te leiden dat de toppen van de ellips de punten (β Β± π, π) en (β, π Β± π) zijn, waarbij π volgt uit π2 + π2 = π2 . Laat nu π π₯, π¦ een punt op de ellips zijn, dan volgt π₯ β β β π 2 + π¦ β π 2 + π₯ β β + π 2 + π¦ β π 2 = 2π, ofwel π₯ β β + π 2 + π¦ β π 2 + π₯ β β β π 2 + π¦ β π 2 = 2π. Dit komt overeen met de vergelijking van een ellips met middelpunt (0,0) met daarin π₯ vervangen door π₯ β β en π¦ vervangen door π¦ β π. 3
- 5. De hyperbool Definitie Een hyperbool is de verzameling punten waarvan het verschil van de afstanden tot twee gegeven punten (de brandpunten) constant is. 5
- 6. De hyperbool Uitwerking definitie π ligt op de hyperbool als ππΉ1 β ππΉ2 = Β±2π Stelling (opgave 5.12; staat ook op formuleblad) Een vergelijking van de hyperbool met brandpunten (π, 0) en βπ, 0 is π₯2 π2 β π¦2 π2 = 1 Hierbij zijn (Β±π, 0) de snijpunten met de π₯-as (met π > π) en is π2 = π2 β π2. 6
- 7. De verschoven hyperbool Stelling De hyperbool met centrum (β, π) heeft de vergelijking π₯ β β 2 π2 β π¦ β π 2 π2 = 1 7
- 8. Asymptoten Stelling De hyperbool π₯2 π2 β π¦2 π2 = 1 heeft de asymptoten π¦ = Β± π π π₯. Stelling Als π = π, dan staan de asymptoten loodrecht op elkaar. Dan heet de hyperbool een orthogonale hyperbool. 8
- 9. Tekenen van hyperbool Strategie i. Bepaal centrum ii. Bepaal snijpunten met π₯-as (of π¦-as) iii. Bepaal vergelijking van asymptoten 9
- 10. Raaklijn in een punt (π₯0, π¦0) van de parabool π¦2 = 4ππ₯ Stelling De raaklijn aan de parabool π¦2 = 4ππ₯ in het punt (π₯0, π¦0) heeft vergelijking π¦π¦0 = 2ππ₯ + 2ππ₯0 Bewijs De raaklijn heeft vergelijking π¦ β π¦0 = π(π₯ β π₯0) met π = ππ¦ ππ₯ π₯=π₯0 . Met behulp van impliciet differentiΓ«ren volgt ππ¦ ππ₯ = 2π π¦ , zodat π = 2π π¦0 . De vergelijking van de raaklijn wordt dus π¦π¦0 β π¦0 2 = 2ππ₯ β 2ππ₯0. Omdat π¦0 2 = 4ππ₯0 volgt nu de vergelijking π¦π¦0 = 2ππ₯ + 2ππ₯0. Opmerking De vergelijking van de raaklijn is met behulp van βeerlijk delenβ eenvoudig te onthouden. 10
- 11. Normaal in een punt (π₯0, π¦0) van de parabool π¦2 = 4ππ₯ Definitie De normaal in een punt van een grafiek is de lijn door dat punt, die loodrecht staat op de raaklijn in dat punt. Stelling (opgave 5.17) De normaal aan de parabool π¦2 = 4ππ₯ in het punt (π₯0, π¦0) heeft vergelijking π¦ β π¦0 = β π¦0 2π (π₯ β π₯0) 11
- 12. Raaklijn aan parabool in gegeven richting Stelling (opgave 5.21) Gegeven de parabool π¦2 = 4ππ₯ en een getal π. De raaklijn aan de parabool met richtingscoΓ«fficiΓ«nt π heeft de vergelijking π¦ = ππ₯ + π π . Bewijs Laat (π₯0, π¦0) het punt zijn waar de parabool de raaklijn raakt. De raaklijn in (π₯0, π¦0) heeft vergelijking π¦ = 2π π¦0 π₯ + 2ππ₯0 π¦0 (volgt uit eerlijk delen). Omdat nu π gegeven is, volgt π¦0 = 2π π . Omdat π¦0 2 = 4ππ₯0 volgt vervolgens dat π₯0 = π π2. De vergelijking van de raaklijn gaat met deze formules voor π₯0 en π¦0 over in π¦ = ππ₯ + π π . 12