סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן)
2 likes4,077 views
נספח נוסחאות שהכנתי למבחן בחדו"א 2. בין השאר יש בו נושיאם כגון: חישוב שטחים (ע"י אינטגרלים), אינטגרלים לא אמיתיים,טורי חזקות, טורי טיילור, טורי-טיילור שארית לגרנז', אנליזה נומרית, תורת הקירובים: שיטת החצייה, שיטת ניוטון-רפסון, שיטת האיטרציה הפשוטה.
![נספח נוסחאות חדו"א 2
למשל, נניח כי אנחנו החרוט שבתמונה מתחיל ב־0 וקודקודו נמצא
ב־5, אזי:
5
ˆ
2πrdx
ˆ
5
= )A (x
0
=S
0
כאשר rתלוי ב־ xאבל בשביל לדעת אותו נצטרך לדעת מהן
הפונקציות.
1.2
1
אינטגרציה לפי y
במידה ורוצים לעשות אינטגרל ע"פ yאזי ממירים את הפונקציות
בהתאם:
למשל: y = 2xהופכת להיות ,x = yאו למשל 2 y = xהופכת להיות
2
√
x=± y
וכעת אנחנו מתחילים מערכו הגבוה של yלערכו הנמוך, למשל:
לחשב את השטח הצבוע הכלוא בין שתי הפונקציות:
8
4
=
3
3
2
3x
− dx = x
3
2
−4=
0
2
61
4
=4−
3
3
2
=
0
)השטח הצבוע הוא לא השטח שאנו רוצים לחשב כאן בדוגמא(
ˆ
2
...
2x − x
0
0
ואילו ע"פ :y
4
נניח שאנחנו רוצים לחשב את הגוף הבא:
1
הגרף של הפונקציה 2 y = 2 xמ־0 עד 2 סביב ציר ה־ ,xאזי זה נראה
בערך כך:
כאשר הקו השחור מסמל דיסקית סביב ציר ה־,y
במקרה הזה הנוסחא הרדיוס ) (rהינו ערך הפונקציה בנקודה, לכן:
הנפח הינו האינטגרל של הנפח של הדיסקית. כזכור, שטח של מעגל
הינו: 2π · r
נקודות החיתוך הינן )4 ,2( , )0 ,0( וכמובן שאנחנו מתייחסים
√
√
ל־) x = yולא ל־.(x = − y
לכן, אינטרציה ע"פ :x
2
3
y
2 2y
2y
= dy
−
2
3
4
−y
√
שיטת הטבעות )דיסקים(
4
5x
4·5
2
dx = π
2 1
x
2
2
ˆ
·π
= V
0
יכול להיות מצב שבו הגרף אינו יהיה צמוד למה שאנחנו רוצים לחשב,
כאשר את השטח הפנימי
לכן בעצם תיווצר לנו מעין דיסקית כזאת:
איננו רוצים לחשב....
לכןת ניתן לשרטט זאת כך )אנחנו מעוניינים רק בשטח הצבוע(:
ˆ
0
חישוב נפחים
עם אנחנו רוצים לחשב נפח של צורה תלת מימדית, למשל של הצורה
הבאה:
ולכן:
dx
אזי נפחה הוא אינטגרל של שטח הדיסקית )שאותו נסמן ב־)A (x
]מכיוון שהוא משתנה[( מהנקודה התחתונה לנקדוה העליונה,
1
2
2
b
ˆ
)π g (x) − f (x
= V
a](https://image.slidesharecdn.com/apptotest1-140209045816-phpapp01/85/2-1-320.jpg)
![2.2
שיטת הקליפות
א.
ניקח את אותו הגרף כמו ממקודם, רק שהפעם נחשב את הגוף שיווצר
עם נסובב סביב ציר ה־ .yמה שייצר לנו אלו קליפות שיוצרות גלילים
ולכן הפעם הנוסחא הינה:
(2πr · h) dx
∞→x
)ההתנהגות ´היא אותו הדבר ־ "תיקו"(.
∞´
∞
a f (x) dxמתכנס ⇒⇐ g (x) dx
a
ב.
ˆ
b
)f (x
∞<=L
)g (x
0 < lim
= V
מתכנס.
a
)f (x
0=
)g (x
כאשר 2πrזהו היקף המעגל )היקף הגליל( ו־ hהינו הגובה.
lim
∞→x
∞´
∞´
a g (x) dxמתכנס ⇐ a f (x) dxמתכנס.
∞´
∞´
a f (x) dxמתבדר ⇐ a g (x) dxמתבדר.
ג.
)f (x
∞=
)g (x
לכן, השטח הינו:
2
... =
0
4x
1
· 2πx · x2 dx = 2π
2
2·4
2
ˆ
= V
0
מכיוון שבמקרה שלנו הרדיוס הינו r = xוהגובה הינו ערך הפונקציה
בנקודה 2. 1 x
2
3
אינטגרלים לא אמיתיים
הגדרה: תהי fפונקציה שהיא רציפה ב־].(a < t) [a, t
´t
אם limt→∞ a f (x) dxקיים וסופי אזי נאמר כי האינטגרל הנ"ל
´t
מתכנס. ו־ ´
t
. a f (x) dx = limt→∞ a f (x) dx
´t
אם limt→∞ a f (x) dxאינו קיים )למשל הגבול הוא אינסוף( אזי
נאמר כי האינטגרל מתבדר.
דוגמאות:
´t
) limt→∞ 1 x1 dxזה יכול להיות כל מספר מלבד 1 בתנאי שהפונקציה
α
תהיה רציפה בקטע(.
מתכנס כאשר 1 > ,αמתבדר כאשר 1 ≤ :α
lim
∞→x
∞´
∞´
a f (x) dxמתכנס ⇐ a g (x) dxמתכנס.
∞´
∞´
a g (x) dxמתבדר ⇐ a f (x) dxמתבדר.
איך פותרים שאלה כזאת )כשמדובר באינסוף בלבד(?
∞´
1
נניח ואנחנו צריכים לבדוק האם 1 x2 +3x+5 dxמתכנס או מתבדר.
1
1
ננחש כי 5+ 4x2 +3xמתנהגת כמו 2 , xלכן נשווה את שתי הפונקציות
ונקבל:
1
3
5
) 2x2 (4+ x + x
5+4x2 +3x
2x
ומכאן ששתי
=
=
4 →−−
−−
1
2x
2x
∞→x
5+4x2 +3x
הפונקציות מתנהגות אותו דבר,
לכן האינטגרל הנ"ל מתבדר.
הכלל הוא כזה: כאשר נתון לנו אינטגרל כמו למעלה אנחנו מוציאים
את החזקה הכי גבוה במונה ובמכנה ומשווים.
√
√
x
2+x
למשל: 1+. x3 ⇐ x3 +4x
ניתן כמובן גם להשתמש בכללי השווה כדי להוכיח שאינטגרל הוא
∞´
מתכנס/מתבדר, למשל: נרצה להוכיח כי 1 exאזי נשווה אותו למשל
x
x
x
x
ל־ 3 xונראה שלבסוף נקבל גרירה: זה ש־ 3 xמתכנס יגרור את זה ש־ x
e
מתכנס.
2.3
מקרה שני של אינטגרל לא אמיתי
אם
תהי fפונקציה רציפה בקטע ].(a, b
הגדרה:
´b
´b
limt→a+ t f (x) dxקיים )וסופי( אזי נאמר כי t f (x) dxמתכנס
ו־
´b
´b
. a f (x) dx = limt→a+ t f (x) dxאם אין גבול )או שהגבול
אינסופי( אזי אומרים כי האינטגרל מתבדר.
משפט: יהי 0 > :α
1´
אם 1 ≥ αאזי האינטגרל 0 x1 dxמתבדר.
α
1´
1
אם 1 < αאזי האינטגרל 0 x1 dxמתכנס ושווה ל־ . 1−α
α
משפט: אם fרציפה על ] (a, bוגם על ] (a, cאזי:
´b
´c
´c
a f (x) dxמתכנס אםם a f (x) dxמתכנס. )ההפרש הוא b f (x) dx
שהוא קבוע ובלתי תלוי ב־ .(tההתכנסות תלויה רק בהתנהגות של fכש־ tשואף ל־ +.a
משפט: תהי fרציפה בכל´קטע ] .[a, tנניח כי 0 = )limx→∞ f (x
∞
אזי האינטגרל a f (x) dxמתבדר.
1.3
משפטי השוואה
תהיינה f, gפונקציות רציפות וחיוביות ב־)∞ ,.[a
נתבונן ב־ ).limx→∞ f (x
)g(x
ישנם שלושה מקרים:
כעת, כל משפטי ההשוואה שאנחנו מכירים מממקום, נכון עכשיו רק
ההפך:
תהיינה f, gפונקציות רציפות וחיוביות ב־)∞ ,.[a
נתבונן ב־ ).limx→∞ f (x
)g(x
ישנם שלושה מקרים:
א.
)f (x
∞<=L
)g (x
2
+0 < lim
x→a](https://image.slidesharecdn.com/apptotest1-140209045816-phpapp01/85/2-2-320.jpg)
![)ההתנהגות ´היא אותו הדבר ־ "תיקו"(.
∞´
∞
a f (x) dxמתכנס ⇒⇐ g (x) dx
a
ב.
)f (x
0=
)g (x
במקרה הזה, שאנחנו רוצים להשוות, אנחנו ניקח תמיד את החזקה
הנמוכה יותר )בשונה ממקודם(.
למשל:
1 1´
0 √x+x dx־ ניקח את החזקה הכי נמוכה במונה ובמכנה:
מתכנס.
√
1
= √ x
1 →−− √
−−
x+x
+0→1+ x x
1 1´
היות והאינטגרל √ dx
0
x
lim
+x→a
∞´
∞´
a g (x) dxמתבדר ⇐ a f (x) dxמתבדר.
∞´
∞´
a f (x) dxמתכנס ⇐ a g (x) dxמתכנס.
ג.
=
x
1
√
1+. x
√
x
מתכנס אזי
1
√ dx
0 x+ x
מתכנס. )תזכרות:
√
1
2 .( x = x
´ 1 1+x
עוד דוגמא: 0 √x3 +x5 dxע"י 0 הפונקציה מתנהגת כמו
3
√
3 1√ :
x
√ 1+x
5x3 +x
x
−−
1 → − − 2= (1 + x) √x3 ·√1+x
+0→x
3
x
1´
0 √1 3 dxמתבדר ולכן גם היאנגטל הנ"ל מתבדר.
x
1 1+´ a
aמתכנס אםם 1 < .α
משפט: האינטגרל α dx
)(x−a
1 1´
למשל: האינטגרל 0 sin(x) dxמתכנס כי ) sin (xמתנהגת כמו xב־0
1
1 √ מתנהגת כמו . √x
ולכן
1√
)f (x
∞=
)g (x
1´
lim
+x→a
∞´
∞´
a f (x) dxמתבדר ⇐ a g (x) dxמתבדר.
∞´
∞´
a g (x) dxמתכנס ⇐ a f (x) dxמתכנס.
.
)sin(x
3.3
מקרה שלישי של אינטגרל לא אמיתי
הגדרה: תהי fרציפה בקטע ) f ) [a, bאינה חסומה בסביבה של .(bאם
´b
´t
0 = limt→b− a f (x) dx = lאזי נאמר כי האינטגרל f (x) dx
a
´b
מתכנס ושווה לגבול. אחרת נאמר כי האינטגרל a f (x) dxמתבדר.
המשפטים שראינו עבור פונקציות לא חסומות בסביבה של + aנכונים
גם עבור פונקציות לא חסומות בסביבה של − .aלמשל:
t
1
ˆ t
2 ˆ
1
2 )(2 − x
1
√
√
= dx
1 − = dx
=
2/
2−x
2−x
1
1
1
√
2 →−− 2 + − 2 2 − t
−−
−
2→t
לסיכום: ישנם ארבעה מקרים אלמנטריים:
∞´
1. a f (x) dx־ fרציפה ב־)∞ ,.[a
´b
2. −∞ f (x) dx־ fרציפה ב־].(−∞, b
´b
3. a f (x) dx־ fאינה חסומה בסביבה של +.a
´b
4. a f (x) dx־ fאינה חסומה בסביבה של −.b
איך פותרים שאלות מהסוג הזה )שיש יותר מבעיה אחת(?
מחלקים את היאנטגרל לסכום של אינטגרליים "אלמנטריים" שבכל
אחד מהם יש רק בעיה אחת.
האינטגרל הכולל מתכנס אםם כל אינטגרל בסכום ואז הוא שווה לסכום
האינטגרלים )מספיק שאחד מהם מתבדר כדי כדי שהאינטגרל הכולל
יתבדר(.
למשל:
1 ∞´
1 1− ´
1 0´
1 1´
1 ∞´
dx = −∞ x2 dx + −1 x2 dx + 0 x2 dx + 1 x2 dx
2−∞ x
האינטגרלים שבתוך הקופסא מתבדרים ולכן האינטגרל כולו מתבדר.
∞´
1
או למשל: : 3 x2 −5x+6 dx
שלב ראשון: מוצאים את הנקודות הבעיתיות: ∞ ,3.
∞´ 4´
שלב שני: מפצלים את האינטגרל: 4 , 3 .
שלב שלישי: מקיימים דיון בכל אינטגרל:
∞´
1
1
4 x2 −5x+6 dx־ מתכנס כי הפונקציה מתנהגת כמו 2 xב־∞.
4´
1
1
1
לגבי : 3 x2 −5x+6 dxהיות ו־ )2− x2 −5x+6 = (x−3)(xאזי ניתן
1
לראות שהגורם הבעייתי הוא )3− (xולכן, ע"י 3 הפונקציה מתנהגת
1
כמו )3− (xולכן אנחנו נחשב את האינטגרל עם הפונקציה הזאת:
4´
1 4´
1
מתבדר ולכן:
ולכן dx
מתבדר,
dx
6+3 x2 −5x
)3−´ ∞ 3 (x
1
3 x2 −5x+6 dxמתבדר.
··· ´ a
וישנה בעיה ב־ :aמוציאים את
באופן כללי, אם יש לנו ··· dx
) (x − aכמה שאפשר )או את .(a − x
3](https://image.slidesharecdn.com/apptotest1-140209045816-phpapp01/85/2-3-320.jpg)
![4
1.4
טורים
5.4
חזרה על סדרות
סדרה עולה ממש: an+1 > anהחל מ־ nמסוים.
סדרה יורדת ממש: an+1 < anהחל מ־ nמסוים.
אם ) an = f (nאזי ניתן להמיר את nב־ xורק אז לגזור ואז לפי אם
fעולה או יורדת ניתן לדעת אם הסדרה עולה ממש או יורדת ממש.
2.4
טורים
n
0=k
הגדרה: ak
מ־0(.
∞
אם לסדרה Snיש גבול סופי, אזי נאמר כי הטור n=0 anמתכנס
∞
ו־ . n=0 an = limn→∞ Snאחרת נאמר כי הטור מתבדר.
∞
משפט: אם הטור n=0 anמתכנס אזי בהכרח 0 = .limn→∞ an
∞
∞
1
n
טענה: הטור n=0 q nמתכנס אםם 1 < | |qו־ . n=0 q = 1−q
1.2.4
טור טלסקופי
זהו טור שהוא בעצם סכום של שני איברים )בד"כ הראשון והאחרון(,
∞
1
1
1
1
למשל: 1+. n=1 n(n+1) ⇒ n(n+1) = n − n
∞
משפטי השוואה עם גבולות
∞
∞
יהיו n=0 anו־ n=0 bnטורים חיוביים.
an
1. אם 0 = limn→∞ bn = l
∞
∞
אזי: n=0 anמתכנס אםם n=0 bnמתכנס.
an
2. אם 0 = ,limn→∞ bnאזי:
∞
∞
n=0 bnמתכנס ⇐ n=0 anמתכנס.
∞
∞
n=0 anמתבדר ⇐ n=0 bnמתבדר.
n
3. אם ∞ = ,limn→∞ anאזי:
b
∞
∞
n=0 anמתכנס ⇐ n=0 bnמתכנס.
∞
∞
n=0 bnמתבדר ⇐ n=0 anמתבדר.
תהי ) (anסדרה חיובית. נניח כי קיימת פונקציה fכך ש־ f (n) = an
)לפחות עבור nמספיק גדול(.
נניח כי fרציפה ויורדת בקטע מהצורה )∞ ,.[a
∞´
∞
אזי הטור n=0 anמתכנס אםם האינטגרל a f (x) dxמתכנס.
כדאי לזכור מסקנה הנובעת ממשפט זה:
מסקנה: הטור
∞
1
n=0 nα
מתכנס אםם 1 > .α
הערה לגבי טורים עם פונקציות טריגונומטריות )למשל(:
2
∞
)(n
אם ניתקל בטור הבא: n=0 sin2nאזי, נשים לב לכך שניתן לחסום:
1 ≤ ).sin (x
n
)sin2 (n
1
1 = 2n ≤ 2n־ ומכאן שהטור מתכנס.
לכן:
2
5
1.5
טורים עם סימן מתחלף
הלמה של קנטור
תהיינה ) (anו־) (bnסדרות המקיימות את ההנחות הבאות:
א. הסדרה ) (anעולה.
ב. הסדרה ) (bnיורדת.
ג. לכל .an ≤ bn :n
ד. 0 = ) .limn→∞ (bn − an
אזי הסדרות ) (an ) , (bnמתכנסות ו־ limn→∞ an = limn→∞ bn
2.5
משפט לייבניץ'
תהי ) (anסדרה יורדת ממש, חיובית כך ש־0 = ) limn→∞ anאלו
שלושת התנאיים ההכרחיים לכך שנוכל להשתמש במשפט לייבניץ'(.
∞
n
אזי הטור n=0 (−1) anמתכנס. )טור לייבניץ' הוא טור מהצורה
הנ"ל(.
∞
n
= Sוב־) (Snאת סדרת הסכומים
אם נסמן: (−1) an
0=n
החלקיים אזי: 1+. |S − Sn | < an
)הערה: ak
והרעיון הוא אותו רעיון כמו האינטגרלים באינסוף.
4.4
מבחן האינטגרל
∞
משפט: יהיו n=0 anו־ n=0 bnטורים חיוביים. נניח כי קיים 0 > c
כך ש־ an ≥ c · bnהחל מ־ 0 nמסוים( אזי:
∞
∞
n=0 bnמתכנס ⇐ n=0 anמתכנס.
∞
∞
הגדרה: יהי n=0 anטור. אם | n=0 |anמתכנס נאמר כי הטור
∞
∞
n=0 anמתכנס בהחלט. אם | n=0 |anמתבדר, נאמרי כי הטור
∞
n=0 anמתכנס בתנאי.
2+n
∞
∞
4 n
דוגמא קטנה: 211 = 7 0=) n=0 47n = 16 · nהטור מתכנס
3
כי 1 < 4 (.
7
3.4
תהי anסדרה חיובית.
√
נניח כי .limn→∞ n an = l
∞
אם 1 < lאזי הטור n=0 anמתכנס.
∞
אם 1 > lאזי הטור n=0 anמתבדר.
אם 1 = lלא יודעים.
√
תזכורת חשובה למבחן זה: 1 = .limn→∞ n n
6.4
= ) .Snכמובן שהערך ההתחלתי יכול להיות גדול
מבחן השורש )מבחן של קושי (Cauchy
n
0=k
= .(Sn
מבחן המנה )מבחן דלמבר (D'Alembert
תהי anסדרה חיובית.
1+n
נניח כי .limn→∞ aan = l
∞
אם 1 < lאזי הטור n=0 anמתכנס.
∞
אם 1 > lאזי הטור n=0 anמתבדר.
אם 1 = lלא יודעים.
)בד"כ נשתמש במבחן הזה כאשר יש לנו עצרות בטור(.
הסבר: נניח ואנחנו מחפשים שגיאה )הפרש( שהיא קטנה מ־ 6−01, אזי
אנחנו צריכים למצוא nשעבורו יתקיים 6−01 < 1+ anואז בוודאי
יתקיים נקבל את השגיאה הרצויה: 6−01 < | .|S − Sn
)תזכורת: שלושת התנאים מתקיים, הטור מתכנס, ולכן לכל שגיאה
שנבחר ]בתנאי שהיא גדולה מאפס כמובן[ תמיד יהיה קיים nכך ש־
1+ anיהיה קטן מהשגיאה שלנו(.
4](https://image.slidesharecdn.com/apptotest1-140209045816-phpapp01/85/2-4-320.jpg)
![דוגמא: ניקח את הטור:
1
1−2n
n
· )1−(
∞
0=n
־ ניתן לראות
1
שהסדרה 1− 2nהיא אכן: יורדת ממש, חיוביות ושואפת ל־0. לכן ניתן
להשתמש בה במשפט לייבניץ.
כעת, בשביל למצוא nמתאים )גודל השגיאה הינו 2−01(:
2
1
1−2 01 > , 2n+1 < 10−2 ⇒ 2n > 102 − 1 ⇒ nנבחר 05 = ,nלכן,
אנחנו יודעים, ע"פ המשפט ש־ 2−01 < 15.|S − S50 | < a
הערה: )על סימן הטעות(.
אם המספר האחרון שהוספנו בסכום החלקי הוא חיובי אזי הסכום
החלקי גדול מדי )כלומר, עברנו את הגבול ואנחנו מצאים מעליו(.
אם המספר האחרון שהוספנו הוא שלילי אזי הסכום החלקי קטן מדי
)כלומר, אנחנו נמצאים מתחת לגבול(.
6
טורי חזקות
הגדרה: טור חזקות ממורכז ב־) a (a ∈ Rהוא טור מהצורה:
∞
n
). n=0 an (x − a
n
∞
למשל: )1− n=0 (xהוא טור שממורכז ב־1.
1+2n
משפט התכנסות:
∞
יהי 0 = 0 .xנניח כי הטור n=0 an xnמתכנס עבור 0 ,x = xאזי
∞
הטור n=0 an xnמתכנס בהחלט עבור כל )| 0.x ∈ (− |x0 | , |x
תחום ההתכנסות משמעו שאנחנו מחפשים תחום )קטע כלשהו( שעבור
כל xשנמצא בתוכו. אם נציב אותו ־ הטור יתכנס.
מסקנה:
תחום ההתכנסות הוא אחת מהצורות הבאות:
א. )0 = {0} (R־ אם 0 = xהטור הוא · · · + 0 + 0 + 0) .aבטורי
חזקות מסמנים 1 = 00(.
ב. ] ,(−R, R) , [−R, R] , [−R, R) , (−R, Rעבור איזשהו 0 > .R
ג. ) Rכאשר ∞ = .(R
Rנקרא ־ רדיוס ההתכנסות של הטור.
כדאי לזכור:
∞
עבור הטור : n=0 an xn
הטור מתכנס בהחלט ב־) (−R, Rומתבדר מחוץ ל־].[−R, R
כלומר:
עבור |x| < Rיש התכנסות בהחלט.
עבור |x| > Rיש התבדרות.
ב־ ±Rיש או התכנסות בהחלט, או התכנסות בתנאי או
התבדרות )ולכן תמיד צריך לבדוק מה קורה לטור ב־.(!!!R
Rהוא הערך המפריד בין התכנסות להתבדרות.
||x
→−− √
− − n n
∞→n
||x
בקצוות(.
1.6
=
|x|n
n
n
ומכאן שהרדיוס הוא 1 )ונשאר רק לבדוק
הזזה של טור חזקות
∞
0=n
n
אזי רדיוס
)an (x − a
במידה והטור ממורכז סביב :a
ההתכנסות הינו בהתאם: מתכנס בהחלט ב־) (a − R, a + Rומתבדר
מחוץ ל־].[a − R, a + R
2.6
אריתמטיקה של טורי חזקות
∞
n
טור חזקות עם רדיוס התכנסות .Rאזי עבור כל
יהי n=0 an x
∞
n
0 = ,cהטור n=0 c · an xעם טור חזקות עם רדיוס Rועם אותה
התנהגות בקצוות קטע ההתכנסות.
∞
∞
n
n
טורי חזקות עם רדיוס 1 Rו־ 2R
יהיו
ו־ n=0 bn x
n=0 an x
בהתאמה.
∞
n
הוא טור חזקות עם רדיוס גדול או
אזי הטור n=0 (an + bn ) x
שווה ל־) 2 .min (R1 , Rאם 2 R1 = Rאזי הרדיוס הוא שווה ל־
) 2.min (R1 , R
למשל:
∞
∞
x n
n
טור עם רדיוס 1.
2 0= nוטר עם רדיוס 2.
n=0 x
∞
1
n=0 1 + 2n xn־ טור עם רדיוס 1 כי 2 = 1.
הערה על טורי חזקות )שגם תופיע בהרחבה בהמשך(:
2
נניח ונתון לנו: 1−2xואנחנו צריכים למצוא את זה כטור חזקות,
1
אזי אנחנו יודעים להמיר לטור כל מה שהוא מהצורה הבאה: ♣−1
∞
n
ל־ )♣( 0=. n
לכן במקרה שלנו, מה שנקבל הוא:
2 n xn
3.6
∞
0=n
n
· 2 = )(2x
∞
0=n
·2=
1
1−2x
2=
משפט הרציפות
∞
יהי f (x) = n=0 an xnטור זחקות עם רדיוס התכנסות .Rאזי
הפונקציה fרציפה ב־).(−R, R
4.6
משפט האינטגרציה
∞
כיצד מוצאים את ) Rרדיוס ההתכנסות(?
משתמשים באחד המבחנים שתוארו למעלה כאשר xהוא קבוע, מה
ששואף לאינסוף זהו .n
דוגמא פשוטה:
n n
∞
n=1 2 nx־ במקרה כזה נשתמש במבחן המנה:
2
|2 · |x
22·|x|·n
→−−
−−
∞→(n+1)2 n
=
n
טור חזקות עם רדיוס התכנסות .R
יהי
n=0 an x
1+∞ an xn
1+ n=0 nמתכנס בהחלט בקטע ).(−R, R
בנוסף הפונקציה fאינטגרבילית ב־) (−R, Rולכל ):x ∈ (−R, R
אזי הטור
∞
1+an xn
1+n
0=n
1+2n+1 ·|x|n
2)1+(n
2n |x|n
2n
1
2.
לכן, רדיוס ההתכנסות הינו
)אם היה יוצא לנו בסוף | |xאזי רדיוס ההתכנסות היה 1, ואם היינו
מקבלים בסוף 0 אזי ∞ = .(R
כעת נבדוק בקצוות:
n
) 1 (· 2n
2
1
1
־ מתכנס בהחלט.
=
2n
2 = n2 :x
n
1
) 2 −(· 2n
(−1)n
1
־ מתכנס בהחלט.
=
2 − = :x
2n
2n
1 1
התכנסות בהחלט ב־ 2 , 2 − .
כשמנסים למצוא תחום התכנסות, אסור אף פעם להתחיל מכך שמדובר
בטור לייבניץ )במידה ומדובר(, היות ומשפט לייבניץ אומר לנו רק כי הטור
מתכנס )אך לא אם בתנאי או בהחלט(.
או למשל:
n
∞
הטור: n=1 x־ באמצעות מבחן המנה:
n
5
2
1−2x
.
n
ז"א: an t dt
5.6
´x
0
∞
0=n
ˆ
x
= f (t) dt
0
n
= an t ) dt
∞
0=n
´x
( 0 .
משפט הנגזרת
∞
n
יהי
טור חזקות עם רדיוס התכנסות .Rאזי הטור
n=0 an x
∞
מתכנס בהחלט ב־) .(−R, Rבנסוף, הפונקציה
1−n · an xn
0=n
fגזירה בקטע ) (−R, Rו:
∞
1−n · an xn
= )f (x
0=n](https://image.slidesharecdn.com/apptotest1-140209045816-phpapp01/85/2-5-320.jpg)
![אם 0 < ) f (an ) · f (cnאזי: ) an+1 = an , bn+1 = cnממשיכים עם
החצי הראשון של הקטע(.
ניקח למשל את הפונקציה ) ,f (x) = cos (xסביב הנקודה 0.
אנחנו יודעים ממקודם ש־
אם 0 < ) f (bn ) · f (cnאזי: ) an+1 = cn , bn+1 = bnממשיכים עם
החצי השני של בקטע(.
∞
n
(−1) x2n
!)(2n
0=n
= )cos (x
ממשיכים עד שאחד מהתנאים הבאים מתקיים:
1. ) n = Mמספר סופי של איטרציות(, כש־ Mמספר איטרציות
מקסימלי קבוע מראש.
וש־
k
(−1) x2k
!)(2k
n
2. cn − an < δכש־ δמייצגת את רמת הדיוק הנדרש.
= )P2n,0 (x
3. |f (cn )| < εכש־ εחיובי קבוע מראש )ערך שמתחתו החישובים
אינם משמעותיים(.
0=k
כעת אנחנו צריכים למצוא nכך שההפרש בניהם יהיה קטן יותר מ־
6−01.
כמובן שיש כזה כי הפער הולך ושואף ל־0 וע"פ שארית לגרנז' נמצא
אותו באמצעות:
1+f (2n+1) (c) · x2n
!)1 + (2n
6−01 <
כדאי לזכור לגבי שיטת החציה שהסימנים אינם מתחלפים,
כלומר, אם ) 0 f (a0 ) < 0 < f (bאזי לאורך כל האלגוריתם
יתקיים ) ) f (an ) < 0 < f (bnאותו דבר בדיוק אם היה
) .(f (bn ) < 0 < f (an
= 0,R2n
xנתון לנו, ולגבי cאנחנו יודעים שהוא בין 0 ל־ .xאנחנו יודעים ש־
1+2n
בסוף מחזירים את ה־ cnהאחרון שמקבלים כקירוב של השורש.
|f (2n+1) (c) · |x
!)1 + (2n
2.8
שיטת ניוטון־רפסון
= | 0,|R2n
כעת :
1+2n
6−01 <
|sin (c) · |x
!)1 + (2n
אנחנו יודעים שאנחנו יכולים לחסום את ) sin (cב־1, לכן כל מה
שנשאר לנו זה ביטוי עם nשתלוי ב־.x
נניח למשל ש־2 = :x
בוחרים ערך התחלתי 0 .xמעבירים את המשיק לגרף של ) f (xבנקודה
)) 0.(x0 , f (x
2 · 4n
1+22n
⇒ 6−01 <
6−01 <
!)1 + (2n
!)1 + (2n
הנוסחא הכללית:
וכל מה שנותר לנו זה למצוא את ה־ nהמתאים.
בחלק מהשאלות העניין הוא לפעמים לחסום את .cאבל בגלל שאנחנו
יודעים ש־ a < c < xאו ) x < c < aתלוי אם הפונקציה עולה או
יורדת(, אזי צריך בהתאם לכך שאם הפונקציה עולה או יורדת
אנליזה נומרית
8
משפט הפונקציות הקמורות
תהי fפונקציה עם נגזרת שנייה רציפה. נניח כי fקמורה ועולה ממש
בקטע .Iנניח כי קיים r ∈ Iכך ש־ 0 = ).f (r
שיטת החצייה
עיקרון: השיטה מתבססת על משפט ערך הביניים )תזכורת: תהי f
פונקציה רציפה ב־] [a, bכך ש־0 < ) ,f (a) · f (bאזי קיים )c ∈ (a, b
כך ש־ 0 = ).(f (c
1.8
) f (xn
) f (xn
− xn+1 = xn
אלגוריתם שיטת החצייה
תהי fפונקציה רציפה. יהיו 0 a0 < bכך ש־0 < ) 0 .f (a0 ) · f (bנגדיר
את הסדרות הבאות ) (an ) , (bnבאופן רקורסיבי:
נניח כי חישבנו עד .an < bn
יהי .cn = an +bn
2
אם 0 = ) f (cn־ מחזירים את n־ האלגוריתם מסתיים.
8
אזי rהוא השורש היחיד של fב־ Iולכן ,x0 ∈ Iסדרת ניוטון־רפסון
עם ערך התחלתי 0 xתתכנס ל־.r
הסבר:
כאשר אנחנו רוצים להשתמש בשיטת ניטון רפסון כדי להגיע לשורש
מסוים )בהינתן הפונקציה ,(fאנחנו צריכים למצוא קטע Iבפונקציה
ש:
א. יש בו שורש של הפונקציה, כלומר, קיים r ∈ Iכך ש־0 = ).f (r
2
ב. שבקטע f ,Iתהיה קמורה ועולה )למשל f (x) = xעבור 0 ≥ .(x
ואז, ברגע שנבחר x0 ∈ Iאזי סדרת ניוטון־רפסון תתכנס לשורש.
בשיטת ניוטון־רפסון סדר ההתכנסות של הסדרה הוא תמיד 2.](https://image.slidesharecdn.com/apptotest1-140209045816-phpapp01/85/2-8-320.jpg)
סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן)
- 1. נספח נוסחאות חדו"א 2 למשל, נניח כי אנחנו החרוט שבתמונה מתחיל ב־0 וקודקודו נמצא ב־5, אזי: 5 ˆ 2πrdx ˆ 5 = )A (x 0 =S 0 כאשר rתלוי ב־ xאבל בשביל לדעת אותו נצטרך לדעת מהן הפונקציות. 1.2 1 אינטגרציה לפי y במידה ורוצים לעשות אינטגרל ע"פ yאזי ממירים את הפונקציות בהתאם: למשל: y = 2xהופכת להיות ,x = yאו למשל 2 y = xהופכת להיות 2 √ x=± y וכעת אנחנו מתחילים מערכו הגבוה של yלערכו הנמוך, למשל: לחשב את השטח הצבוע הכלוא בין שתי הפונקציות: 8 4 = 3 3 2 3x − dx = x 3 2 −4= 0 2 61 4 =4− 3 3 2 = 0 )השטח הצבוע הוא לא השטח שאנו רוצים לחשב כאן בדוגמא( ˆ 2 ... 2x − x 0 0 ואילו ע"פ :y 4 נניח שאנחנו רוצים לחשב את הגוף הבא: 1 הגרף של הפונקציה 2 y = 2 xמ־0 עד 2 סביב ציר ה־ ,xאזי זה נראה בערך כך: כאשר הקו השחור מסמל דיסקית סביב ציר ה־,y במקרה הזה הנוסחא הרדיוס ) (rהינו ערך הפונקציה בנקודה, לכן: הנפח הינו האינטגרל של הנפח של הדיסקית. כזכור, שטח של מעגל הינו: 2π · r נקודות החיתוך הינן )4 ,2( , )0 ,0( וכמובן שאנחנו מתייחסים √ √ ל־) x = yולא ל־.(x = − y לכן, אינטרציה ע"פ :x 2 3 y 2 2y 2y = dy − 2 3 4 −y √ שיטת הטבעות )דיסקים( 4 5x 4·5 2 dx = π 2 1 x 2 2 ˆ ·π = V 0 יכול להיות מצב שבו הגרף אינו יהיה צמוד למה שאנחנו רוצים לחשב, כאשר את השטח הפנימי לכן בעצם תיווצר לנו מעין דיסקית כזאת: איננו רוצים לחשב.... לכןת ניתן לשרטט זאת כך )אנחנו מעוניינים רק בשטח הצבוע(: ˆ 0 חישוב נפחים עם אנחנו רוצים לחשב נפח של צורה תלת מימדית, למשל של הצורה הבאה: ולכן: dx אזי נפחה הוא אינטגרל של שטח הדיסקית )שאותו נסמן ב־)A (x ]מכיוון שהוא משתנה[( מהנקודה התחתונה לנקדוה העליונה, 1 2 2 b ˆ )π g (x) − f (x = V a
- 2. 2.2 שיטת הקליפות א. ניקח את אותו הגרף כמו ממקודם, רק שהפעם נחשב את הגוף שיווצר עם נסובב סביב ציר ה־ .yמה שייצר לנו אלו קליפות שיוצרות גלילים ולכן הפעם הנוסחא הינה: (2πr · h) dx ∞→x )ההתנהגות ´היא אותו הדבר ־ "תיקו"(. ∞´ ∞ a f (x) dxמתכנס ⇒⇐ g (x) dx a ב. ˆ b )f (x ∞<=L )g (x 0 < lim = V מתכנס. a )f (x 0= )g (x כאשר 2πrזהו היקף המעגל )היקף הגליל( ו־ hהינו הגובה. lim ∞→x ∞´ ∞´ a g (x) dxמתכנס ⇐ a f (x) dxמתכנס. ∞´ ∞´ a f (x) dxמתבדר ⇐ a g (x) dxמתבדר. ג. )f (x ∞= )g (x לכן, השטח הינו: 2 ... = 0 4x 1 · 2πx · x2 dx = 2π 2 2·4 2 ˆ = V 0 מכיוון שבמקרה שלנו הרדיוס הינו r = xוהגובה הינו ערך הפונקציה בנקודה 2. 1 x 2 3 אינטגרלים לא אמיתיים הגדרה: תהי fפונקציה שהיא רציפה ב־].(a < t) [a, t ´t אם limt→∞ a f (x) dxקיים וסופי אזי נאמר כי האינטגרל הנ"ל ´t מתכנס. ו־ ´ t . a f (x) dx = limt→∞ a f (x) dx ´t אם limt→∞ a f (x) dxאינו קיים )למשל הגבול הוא אינסוף( אזי נאמר כי האינטגרל מתבדר. דוגמאות: ´t ) limt→∞ 1 x1 dxזה יכול להיות כל מספר מלבד 1 בתנאי שהפונקציה α תהיה רציפה בקטע(. מתכנס כאשר 1 > ,αמתבדר כאשר 1 ≤ :α lim ∞→x ∞´ ∞´ a f (x) dxמתכנס ⇐ a g (x) dxמתכנס. ∞´ ∞´ a g (x) dxמתבדר ⇐ a f (x) dxמתבדר. איך פותרים שאלה כזאת )כשמדובר באינסוף בלבד(? ∞´ 1 נניח ואנחנו צריכים לבדוק האם 1 x2 +3x+5 dxמתכנס או מתבדר. 1 1 ננחש כי 5+ 4x2 +3xמתנהגת כמו 2 , xלכן נשווה את שתי הפונקציות ונקבל: 1 3 5 ) 2x2 (4+ x + x 5+4x2 +3x 2x ומכאן ששתי = = 4 →−− −− 1 2x 2x ∞→x 5+4x2 +3x הפונקציות מתנהגות אותו דבר, לכן האינטגרל הנ"ל מתבדר. הכלל הוא כזה: כאשר נתון לנו אינטגרל כמו למעלה אנחנו מוציאים את החזקה הכי גבוה במונה ובמכנה ומשווים. √ √ x 2+x למשל: 1+. x3 ⇐ x3 +4x ניתן כמובן גם להשתמש בכללי השווה כדי להוכיח שאינטגרל הוא ∞´ מתכנס/מתבדר, למשל: נרצה להוכיח כי 1 exאזי נשווה אותו למשל x x x x ל־ 3 xונראה שלבסוף נקבל גרירה: זה ש־ 3 xמתכנס יגרור את זה ש־ x e מתכנס. 2.3 מקרה שני של אינטגרל לא אמיתי אם תהי fפונקציה רציפה בקטע ].(a, b הגדרה: ´b ´b limt→a+ t f (x) dxקיים )וסופי( אזי נאמר כי t f (x) dxמתכנס ו־ ´b ´b . a f (x) dx = limt→a+ t f (x) dxאם אין גבול )או שהגבול אינסופי( אזי אומרים כי האינטגרל מתבדר. משפט: יהי 0 > :α 1´ אם 1 ≥ αאזי האינטגרל 0 x1 dxמתבדר. α 1´ 1 אם 1 < αאזי האינטגרל 0 x1 dxמתכנס ושווה ל־ . 1−α α משפט: אם fרציפה על ] (a, bוגם על ] (a, cאזי: ´b ´c ´c a f (x) dxמתכנס אםם a f (x) dxמתכנס. )ההפרש הוא b f (x) dx שהוא קבוע ובלתי תלוי ב־ .(tההתכנסות תלויה רק בהתנהגות של fכש־ tשואף ל־ +.a משפט: תהי fרציפה בכל´קטע ] .[a, tנניח כי 0 = )limx→∞ f (x ∞ אזי האינטגרל a f (x) dxמתבדר. 1.3 משפטי השוואה תהיינה f, gפונקציות רציפות וחיוביות ב־)∞ ,.[a נתבונן ב־ ).limx→∞ f (x )g(x ישנם שלושה מקרים: כעת, כל משפטי ההשוואה שאנחנו מכירים מממקום, נכון עכשיו רק ההפך: תהיינה f, gפונקציות רציפות וחיוביות ב־)∞ ,.[a נתבונן ב־ ).limx→∞ f (x )g(x ישנם שלושה מקרים: א. )f (x ∞<=L )g (x 2 +0 < lim x→a
- 3. )ההתנהגות ´היא אותו הדבר ־ "תיקו"(. ∞´ ∞ a f (x) dxמתכנס ⇒⇐ g (x) dx a ב. )f (x 0= )g (x במקרה הזה, שאנחנו רוצים להשוות, אנחנו ניקח תמיד את החזקה הנמוכה יותר )בשונה ממקודם(. למשל: 1 1´ 0 √x+x dx־ ניקח את החזקה הכי נמוכה במונה ובמכנה: מתכנס. √ 1 = √ x 1 →−− √ −− x+x +0→1+ x x 1 1´ היות והאינטגרל √ dx 0 x lim +x→a ∞´ ∞´ a g (x) dxמתבדר ⇐ a f (x) dxמתבדר. ∞´ ∞´ a f (x) dxמתכנס ⇐ a g (x) dxמתכנס. ג. = x 1 √ 1+. x √ x מתכנס אזי 1 √ dx 0 x+ x מתכנס. )תזכרות: √ 1 2 .( x = x ´ 1 1+x עוד דוגמא: 0 √x3 +x5 dxע"י 0 הפונקציה מתנהגת כמו 3 √ 3 1√ : x √ 1+x 5x3 +x x −− 1 → − − 2= (1 + x) √x3 ·√1+x +0→x 3 x 1´ 0 √1 3 dxמתבדר ולכן גם היאנגטל הנ"ל מתבדר. x 1 1+´ a aמתכנס אםם 1 < .α משפט: האינטגרל α dx )(x−a 1 1´ למשל: האינטגרל 0 sin(x) dxמתכנס כי ) sin (xמתנהגת כמו xב־0 1 1 √ מתנהגת כמו . √x ולכן 1√ )f (x ∞= )g (x 1´ lim +x→a ∞´ ∞´ a f (x) dxמתבדר ⇐ a g (x) dxמתבדר. ∞´ ∞´ a g (x) dxמתכנס ⇐ a f (x) dxמתכנס. . )sin(x 3.3 מקרה שלישי של אינטגרל לא אמיתי הגדרה: תהי fרציפה בקטע ) f ) [a, bאינה חסומה בסביבה של .(bאם ´b ´t 0 = limt→b− a f (x) dx = lאזי נאמר כי האינטגרל f (x) dx a ´b מתכנס ושווה לגבול. אחרת נאמר כי האינטגרל a f (x) dxמתבדר. המשפטים שראינו עבור פונקציות לא חסומות בסביבה של + aנכונים גם עבור פונקציות לא חסומות בסביבה של − .aלמשל: t 1 ˆ t 2 ˆ 1 2 )(2 − x 1 √ √ = dx 1 − = dx = 2/ 2−x 2−x 1 1 1 √ 2 →−− 2 + − 2 2 − t −− − 2→t לסיכום: ישנם ארבעה מקרים אלמנטריים: ∞´ 1. a f (x) dx־ fרציפה ב־)∞ ,.[a ´b 2. −∞ f (x) dx־ fרציפה ב־].(−∞, b ´b 3. a f (x) dx־ fאינה חסומה בסביבה של +.a ´b 4. a f (x) dx־ fאינה חסומה בסביבה של −.b איך פותרים שאלות מהסוג הזה )שיש יותר מבעיה אחת(? מחלקים את היאנטגרל לסכום של אינטגרליים "אלמנטריים" שבכל אחד מהם יש רק בעיה אחת. האינטגרל הכולל מתכנס אםם כל אינטגרל בסכום ואז הוא שווה לסכום האינטגרלים )מספיק שאחד מהם מתבדר כדי כדי שהאינטגרל הכולל יתבדר(. למשל: 1 ∞´ 1 1− ´ 1 0´ 1 1´ 1 ∞´ dx = −∞ x2 dx + −1 x2 dx + 0 x2 dx + 1 x2 dx 2−∞ x האינטגרלים שבתוך הקופסא מתבדרים ולכן האינטגרל כולו מתבדר. ∞´ 1 או למשל: : 3 x2 −5x+6 dx שלב ראשון: מוצאים את הנקודות הבעיתיות: ∞ ,3. ∞´ 4´ שלב שני: מפצלים את האינטגרל: 4 , 3 . שלב שלישי: מקיימים דיון בכל אינטגרל: ∞´ 1 1 4 x2 −5x+6 dx־ מתכנס כי הפונקציה מתנהגת כמו 2 xב־∞. 4´ 1 1 1 לגבי : 3 x2 −5x+6 dxהיות ו־ )2− x2 −5x+6 = (x−3)(xאזי ניתן 1 לראות שהגורם הבעייתי הוא )3− (xולכן, ע"י 3 הפונקציה מתנהגת 1 כמו )3− (xולכן אנחנו נחשב את האינטגרל עם הפונקציה הזאת: 4´ 1 4´ 1 מתבדר ולכן: ולכן dx מתבדר, dx 6+3 x2 −5x )3−´ ∞ 3 (x 1 3 x2 −5x+6 dxמתבדר. ··· ´ a וישנה בעיה ב־ :aמוציאים את באופן כללי, אם יש לנו ··· dx ) (x − aכמה שאפשר )או את .(a − x 3
- 4. 4 1.4 טורים 5.4 חזרה על סדרות סדרה עולה ממש: an+1 > anהחל מ־ nמסוים. סדרה יורדת ממש: an+1 < anהחל מ־ nמסוים. אם ) an = f (nאזי ניתן להמיר את nב־ xורק אז לגזור ואז לפי אם fעולה או יורדת ניתן לדעת אם הסדרה עולה ממש או יורדת ממש. 2.4 טורים n 0=k הגדרה: ak מ־0(. ∞ אם לסדרה Snיש גבול סופי, אזי נאמר כי הטור n=0 anמתכנס ∞ ו־ . n=0 an = limn→∞ Snאחרת נאמר כי הטור מתבדר. ∞ משפט: אם הטור n=0 anמתכנס אזי בהכרח 0 = .limn→∞ an ∞ ∞ 1 n טענה: הטור n=0 q nמתכנס אםם 1 < | |qו־ . n=0 q = 1−q 1.2.4 טור טלסקופי זהו טור שהוא בעצם סכום של שני איברים )בד"כ הראשון והאחרון(, ∞ 1 1 1 1 למשל: 1+. n=1 n(n+1) ⇒ n(n+1) = n − n ∞ משפטי השוואה עם גבולות ∞ ∞ יהיו n=0 anו־ n=0 bnטורים חיוביים. an 1. אם 0 = limn→∞ bn = l ∞ ∞ אזי: n=0 anמתכנס אםם n=0 bnמתכנס. an 2. אם 0 = ,limn→∞ bnאזי: ∞ ∞ n=0 bnמתכנס ⇐ n=0 anמתכנס. ∞ ∞ n=0 anמתבדר ⇐ n=0 bnמתבדר. n 3. אם ∞ = ,limn→∞ anאזי: b ∞ ∞ n=0 anמתכנס ⇐ n=0 bnמתכנס. ∞ ∞ n=0 bnמתבדר ⇐ n=0 anמתבדר. תהי ) (anסדרה חיובית. נניח כי קיימת פונקציה fכך ש־ f (n) = an )לפחות עבור nמספיק גדול(. נניח כי fרציפה ויורדת בקטע מהצורה )∞ ,.[a ∞´ ∞ אזי הטור n=0 anמתכנס אםם האינטגרל a f (x) dxמתכנס. כדאי לזכור מסקנה הנובעת ממשפט זה: מסקנה: הטור ∞ 1 n=0 nα מתכנס אםם 1 > .α הערה לגבי טורים עם פונקציות טריגונומטריות )למשל(: 2 ∞ )(n אם ניתקל בטור הבא: n=0 sin2nאזי, נשים לב לכך שניתן לחסום: 1 ≤ ).sin (x n )sin2 (n 1 1 = 2n ≤ 2n־ ומכאן שהטור מתכנס. לכן: 2 5 1.5 טורים עם סימן מתחלף הלמה של קנטור תהיינה ) (anו־) (bnסדרות המקיימות את ההנחות הבאות: א. הסדרה ) (anעולה. ב. הסדרה ) (bnיורדת. ג. לכל .an ≤ bn :n ד. 0 = ) .limn→∞ (bn − an אזי הסדרות ) (an ) , (bnמתכנסות ו־ limn→∞ an = limn→∞ bn 2.5 משפט לייבניץ' תהי ) (anסדרה יורדת ממש, חיובית כך ש־0 = ) limn→∞ anאלו שלושת התנאיים ההכרחיים לכך שנוכל להשתמש במשפט לייבניץ'(. ∞ n אזי הטור n=0 (−1) anמתכנס. )טור לייבניץ' הוא טור מהצורה הנ"ל(. ∞ n = Sוב־) (Snאת סדרת הסכומים אם נסמן: (−1) an 0=n החלקיים אזי: 1+. |S − Sn | < an )הערה: ak והרעיון הוא אותו רעיון כמו האינטגרלים באינסוף. 4.4 מבחן האינטגרל ∞ משפט: יהיו n=0 anו־ n=0 bnטורים חיוביים. נניח כי קיים 0 > c כך ש־ an ≥ c · bnהחל מ־ 0 nמסוים( אזי: ∞ ∞ n=0 bnמתכנס ⇐ n=0 anמתכנס. ∞ ∞ הגדרה: יהי n=0 anטור. אם | n=0 |anמתכנס נאמר כי הטור ∞ ∞ n=0 anמתכנס בהחלט. אם | n=0 |anמתבדר, נאמרי כי הטור ∞ n=0 anמתכנס בתנאי. 2+n ∞ ∞ 4 n דוגמא קטנה: 211 = 7 0=) n=0 47n = 16 · nהטור מתכנס 3 כי 1 < 4 (. 7 3.4 תהי anסדרה חיובית. √ נניח כי .limn→∞ n an = l ∞ אם 1 < lאזי הטור n=0 anמתכנס. ∞ אם 1 > lאזי הטור n=0 anמתבדר. אם 1 = lלא יודעים. √ תזכורת חשובה למבחן זה: 1 = .limn→∞ n n 6.4 = ) .Snכמובן שהערך ההתחלתי יכול להיות גדול מבחן השורש )מבחן של קושי (Cauchy n 0=k = .(Sn מבחן המנה )מבחן דלמבר (D'Alembert תהי anסדרה חיובית. 1+n נניח כי .limn→∞ aan = l ∞ אם 1 < lאזי הטור n=0 anמתכנס. ∞ אם 1 > lאזי הטור n=0 anמתבדר. אם 1 = lלא יודעים. )בד"כ נשתמש במבחן הזה כאשר יש לנו עצרות בטור(. הסבר: נניח ואנחנו מחפשים שגיאה )הפרש( שהיא קטנה מ־ 6−01, אזי אנחנו צריכים למצוא nשעבורו יתקיים 6−01 < 1+ anואז בוודאי יתקיים נקבל את השגיאה הרצויה: 6−01 < | .|S − Sn )תזכורת: שלושת התנאים מתקיים, הטור מתכנס, ולכן לכל שגיאה שנבחר ]בתנאי שהיא גדולה מאפס כמובן[ תמיד יהיה קיים nכך ש־ 1+ anיהיה קטן מהשגיאה שלנו(. 4
- 5. דוגמא: ניקח את הטור: 1 1−2n n · )1−( ∞ 0=n ־ ניתן לראות 1 שהסדרה 1− 2nהיא אכן: יורדת ממש, חיוביות ושואפת ל־0. לכן ניתן להשתמש בה במשפט לייבניץ. כעת, בשביל למצוא nמתאים )גודל השגיאה הינו 2−01(: 2 1 1−2 01 > , 2n+1 < 10−2 ⇒ 2n > 102 − 1 ⇒ nנבחר 05 = ,nלכן, אנחנו יודעים, ע"פ המשפט ש־ 2−01 < 15.|S − S50 | < a הערה: )על סימן הטעות(. אם המספר האחרון שהוספנו בסכום החלקי הוא חיובי אזי הסכום החלקי גדול מדי )כלומר, עברנו את הגבול ואנחנו מצאים מעליו(. אם המספר האחרון שהוספנו הוא שלילי אזי הסכום החלקי קטן מדי )כלומר, אנחנו נמצאים מתחת לגבול(. 6 טורי חזקות הגדרה: טור חזקות ממורכז ב־) a (a ∈ Rהוא טור מהצורה: ∞ n ). n=0 an (x − a n ∞ למשל: )1− n=0 (xהוא טור שממורכז ב־1. 1+2n משפט התכנסות: ∞ יהי 0 = 0 .xנניח כי הטור n=0 an xnמתכנס עבור 0 ,x = xאזי ∞ הטור n=0 an xnמתכנס בהחלט עבור כל )| 0.x ∈ (− |x0 | , |x תחום ההתכנסות משמעו שאנחנו מחפשים תחום )קטע כלשהו( שעבור כל xשנמצא בתוכו. אם נציב אותו ־ הטור יתכנס. מסקנה: תחום ההתכנסות הוא אחת מהצורות הבאות: א. )0 = {0} (R־ אם 0 = xהטור הוא · · · + 0 + 0 + 0) .aבטורי חזקות מסמנים 1 = 00(. ב. ] ,(−R, R) , [−R, R] , [−R, R) , (−R, Rעבור איזשהו 0 > .R ג. ) Rכאשר ∞ = .(R Rנקרא ־ רדיוס ההתכנסות של הטור. כדאי לזכור: ∞ עבור הטור : n=0 an xn הטור מתכנס בהחלט ב־) (−R, Rומתבדר מחוץ ל־].[−R, R כלומר: עבור |x| < Rיש התכנסות בהחלט. עבור |x| > Rיש התבדרות. ב־ ±Rיש או התכנסות בהחלט, או התכנסות בתנאי או התבדרות )ולכן תמיד צריך לבדוק מה קורה לטור ב־.(!!!R Rהוא הערך המפריד בין התכנסות להתבדרות. ||x →−− √ − − n n ∞→n ||x בקצוות(. 1.6 = |x|n n n ומכאן שהרדיוס הוא 1 )ונשאר רק לבדוק הזזה של טור חזקות ∞ 0=n n אזי רדיוס )an (x − a במידה והטור ממורכז סביב :a ההתכנסות הינו בהתאם: מתכנס בהחלט ב־) (a − R, a + Rומתבדר מחוץ ל־].[a − R, a + R 2.6 אריתמטיקה של טורי חזקות ∞ n טור חזקות עם רדיוס התכנסות .Rאזי עבור כל יהי n=0 an x ∞ n 0 = ,cהטור n=0 c · an xעם טור חזקות עם רדיוס Rועם אותה התנהגות בקצוות קטע ההתכנסות. ∞ ∞ n n טורי חזקות עם רדיוס 1 Rו־ 2R יהיו ו־ n=0 bn x n=0 an x בהתאמה. ∞ n הוא טור חזקות עם רדיוס גדול או אזי הטור n=0 (an + bn ) x שווה ל־) 2 .min (R1 , Rאם 2 R1 = Rאזי הרדיוס הוא שווה ל־ ) 2.min (R1 , R למשל: ∞ ∞ x n n טור עם רדיוס 1. 2 0= nוטר עם רדיוס 2. n=0 x ∞ 1 n=0 1 + 2n xn־ טור עם רדיוס 1 כי 2 = 1. הערה על טורי חזקות )שגם תופיע בהרחבה בהמשך(: 2 נניח ונתון לנו: 1−2xואנחנו צריכים למצוא את זה כטור חזקות, 1 אזי אנחנו יודעים להמיר לטור כל מה שהוא מהצורה הבאה: ♣−1 ∞ n ל־ )♣( 0=. n לכן במקרה שלנו, מה שנקבל הוא: 2 n xn 3.6 ∞ 0=n n · 2 = )(2x ∞ 0=n ·2= 1 1−2x 2= משפט הרציפות ∞ יהי f (x) = n=0 an xnטור זחקות עם רדיוס התכנסות .Rאזי הפונקציה fרציפה ב־).(−R, R 4.6 משפט האינטגרציה ∞ כיצד מוצאים את ) Rרדיוס ההתכנסות(? משתמשים באחד המבחנים שתוארו למעלה כאשר xהוא קבוע, מה ששואף לאינסוף זהו .n דוגמא פשוטה: n n ∞ n=1 2 nx־ במקרה כזה נשתמש במבחן המנה: 2 |2 · |x 22·|x|·n →−− −− ∞→(n+1)2 n = n טור חזקות עם רדיוס התכנסות .R יהי n=0 an x 1+∞ an xn 1+ n=0 nמתכנס בהחלט בקטע ).(−R, R בנוסף הפונקציה fאינטגרבילית ב־) (−R, Rולכל ):x ∈ (−R, R אזי הטור ∞ 1+an xn 1+n 0=n 1+2n+1 ·|x|n 2)1+(n 2n |x|n 2n 1 2. לכן, רדיוס ההתכנסות הינו )אם היה יוצא לנו בסוף | |xאזי רדיוס ההתכנסות היה 1, ואם היינו מקבלים בסוף 0 אזי ∞ = .(R כעת נבדוק בקצוות: n ) 1 (· 2n 2 1 1 ־ מתכנס בהחלט. = 2n 2 = n2 :x n 1 ) 2 −(· 2n (−1)n 1 ־ מתכנס בהחלט. = 2 − = :x 2n 2n 1 1 התכנסות בהחלט ב־ 2 , 2 − . כשמנסים למצוא תחום התכנסות, אסור אף פעם להתחיל מכך שמדובר בטור לייבניץ )במידה ומדובר(, היות ומשפט לייבניץ אומר לנו רק כי הטור מתכנס )אך לא אם בתנאי או בהחלט(. או למשל: n ∞ הטור: n=1 x־ באמצעות מבחן המנה: n 5 2 1−2x . n ז"א: an t dt 5.6 ´x 0 ∞ 0=n ˆ x = f (t) dt 0 n = an t ) dt ∞ 0=n ´x ( 0 . משפט הנגזרת ∞ n יהי טור חזקות עם רדיוס התכנסות .Rאזי הטור n=0 an x ∞ מתכנס בהחלט ב־) .(−R, Rבנסוף, הפונקציה 1−n · an xn 0=n fגזירה בקטע ) (−R, Rו: ∞ 1−n · an xn = )f (x 0=n
- 6. 6.6 דוגמאות לשאלות ותשובות של טורי חזקות 1.6.6 מצאו את טור החזקות סביב הנקודה 0 של הפונקציה = )f (x 2x 2)(1−2x ראשית כל נשים לב לכך ש: 2n xn וכמו־כן: ∞ 0=n ∞ ∞ 0=n 1 = . 1−2x 1 1−2x 2 2)(1−2x n = )(2x ∞ 0=n 1−n · 2n · xn−1 = n=1 n · 2n · xn )גוזרים את הטור שיש שלמעלה(. 2 2 נכפול ב־ xאת 2) (1−2xכדי לקבל את מה שאנחנו רוצים: 2 = 1+n2n · xn 2.6.6 ∞ 1=n = 2+1−n2n · xn = ∞ 1=n = 2 2)(1−2x = n 2 · .x 2 ∞ n |2n |x |2 |x −− 1 →−− 1 √ ∞→n n 2 )( n n n = |2n |x 1 2n n n 5.6.6 החלפת ערכים בטור: עבור אילו ערכים של xניתן להחליף את 3 ) sin (xב־ x − xעם שגיאה שהיא קטנה מ־ε !3 n 3x !3 |)= |R4,0 (x − sin (x) − x־ כי אנחנו יודעים שבמקרה הזה ).P3,0 (x) = P4,0 (x לכן השארית תהיה של 5 )כי השארית היא עבור 1 + ,nועכשיור ראינו שהטור של 3 = nשווה לטור של 4 = :(n 5 5 ) = sin5!(c) x5 ≤ xכי ניתן לחסום את ) sin (x) , cos (xב־1.( !5 6.6.6 מציאת טור טיילור של ) f (x) = cos (2xמסביב a = πוהוכחה כי הטור מתכנס ל־) cos (2xלכל x ∈ R 1 ומכאן שרדיוס ההתכנסות הינו: 2 . כעת, נבדוק בקצוות: n 1 n ) 2 ( )2−( ∞ ∞ (−1)n √ √ 1= , nהטור אינו מתכנס = 1 = :x 1=n 2 n n בהחלט, אבל ע"פ לייבניץ מתכנס בתנאי )תזכורת: לייבניץ' יכול להוכיח לנו רק התכנסות בתנאי ולא בהחלט, כלומר, אם הטור מתכנס בהחלט אזי בוודאי הוא מתכנס ע"פ לייבניץ', אבל הוא אינו מתכנס בהחלט, לייבניץ' יכול להוכיח התכנסות בתנאי(. n 1 n ∞ ) 2 −( )2−( ∞ 1 1n √ √ = ־ הטור מתבדר כי 2 − = n=1 n :x 1=n n ∞ 11 1= nמתבדר. 1= )f (π) = cos (2π 0 = )f (π ⇒ )f (x) = −2 sin (2x 22− = )f (π ⇒ )f (x) = −22 cos (2x 0 = )(π f ⇒ )(x) = 23 sin (2x f )1+(2k ואפשר להוכיח בקלות באינדוקציה פשוטה כי 0 = )(π k וכמו־כן f (2k) (π) = (−1) 22kלכל .k לכן טור טיילור של ) f (x) = cos (2xמסביב a = πהוא: 2n fלכל k ∞ n (−1) 22n 22 2n 2 − 1 = )(x − π · · · + )(x − π !)(2n !2 0=n 1 לכן תחום ההתכנסות הינו: 2 , 1 − . 2 3.6.6 3 n |(−2) |x √ n = 3 !)1+(n < .ε 5 (−2) x √ ואנחנו רוצים למצוא את נניח ונתון לנו טור כגון: 1=n n רדיוס ההתכנסות שלו ואת תחום ההתכנסות. רדיוס התכנסות: כפי שתואר למעלה: נשתמש למשל במבחן השורש: n c e e לפי השארית של לגרנז': < !)1+e1 − Pn,0 (1) = (n+1)! < (n 3 !)1+ , (nולכן כל מה שעלינו למצוא זהו nכך שיתקיים: נסתכל על טור טיילור של ).x − x + x − · · · :sin (x !3 !5 כעת, ע"פ שארית לגרנז', אם ניקח 3 = ) nשזה הערך של הטור שבו אנחנו רוצים למצוא את הערכים(, אזי ע"פ לגרנז': מציאת רדיוס התכנסות ותחום התכנסות של טורי חזקות n 4.6.6 חישוב הקירוב של 1 eבאמצעות טור טיילור סביב הנקודה 0 עם שגיאה שהיא קטנה מ־ε מצאית עבור אילו ערכים של xהטור מתכנס n ∞ נניח ויש לנו את הטור הבא: )2−) n=1 (xכדאי לשים לב לכך שזה n n ∞ הזזה של הטור n=1 xב־2.( ואנחנו רוצים למצוא עבור אילו ערכים n הוא מתכנס, אזי, נשתמש במבחן השורש ונקבל: |2 − |x |2 − |x √ = |2 − − − → |x −− n n ∞→n n n )2+(2n f )(c 2+2n )(x − π !)2 + (2n לכן הטור מתכנס רק כאשר 1 < |2 − ,|xכלומר: 3 < .1 < x דוגמא נוספת: ∞ 1 : n=0 (4x−2)nנשתמש במבחן השורש: 1 1 −− →−− n |2 − |4x − 2| n→∞ |4x לפי מה שאנחנו יודעים מלמעלה )על איפוס הנגזרת(: = )P2n,π (x ) P2n+1,π (xוהכי פשוט יהיה להוכיח כי 0 = )limn→∞ R2n+1,π (x )כלומר, נראה שהשארית היא אפס ולכן זהו אכן הטור המבוקש( כדי להוכיח שטור טיילור של ) f (x) = cos (2xמסביב a = πמתכנס ל־) cos (2xלכל .x ∈ R לפי השארית של לגרנז', קיים cבין πל־ xכך ש: = )R2n+1,π (x כעת ניתן לראות כי: 2+f (2n+2) (c) = 22n+2 |cos (2c)| ≤ 22n n ולכן: 2+2n הטור מתכנס, רק כאשר 1 > |2 − ,|4xכלומר: במידה ונצטרך לחשב את סכום הטור, אזי 1 4 1 2−4x < xאו 3 4 > .x 0 →−− −− ∞→n = qוהסכום הינו: 1 . 1−q מש"ל. 6 22n |)|2 (x − π 2+2n ||x − π = !)2 + (2n !)2 + (2n ≤ |)|R2n+1,π (x
- 7. 7.6.6 כיצד ניתן באמצעות טורי חזקות לפתור את המצשווה הדיפרנציאלית f (x) − f (x) = x ∞ 0=n אנחנו צריכים למצוא פתרון מהצורה an xn ∞ 1−.f (x) = n=1 n · an xn כעת, נכתוב את ) f (x) − f (xכטור חזקות. בשביל זה נצטרך לשנות טיפה את הצורה של )f (x) = :f (x ∞ ) n=0 (n + 1) an+1 xnניתן לראות שעבור 0 = nנקבל בדיוק את אותו הדבר כמו ב־1 = nבצורה הקודמת(, המטרה הכללית היא שיהיו לנו את אותם חזקות של xבשני הטורים )ולא באחד nובשני 1 + ,n למשל( ־ זה משהו שמאוד חשוב לזכור שפותרים תרגיל כזה. כעת נכתוב את סכום שני הטורים: = ) ,f (xולכן ∞ ∞ n a n xn 0=n 0=n הרעיון של טורי טיילור )בין השאר( הוא לכתוב פונקציות שגזירות אינסוף פעמים בנקודה מסויימת בצורה של טור. ∞ n = ) f (xוכ־ fגזירה אינסוף פעמים נניח כי )n=0 an (x − a בסביבה של aאזי בהכרח: )f (n) (a !n = an מכאן, טור טיילור של fבסביבה של :a ∞ )f (n) (a n )(x − a !n 0=n הגדרה: תהי fפונקציה גזירה אינסוף פעמים ב־ .aיהי 0 ≥ ,nאזי פולינום טיילור מסדר nסביב הנקודה aשל fהוא: = )f (x) − f (x − (n + 1) an+1 x 7 טורי טיילור )f (k) (a k )(x − a !k כעת, נחסר איבר איבר )אריתמטיקה של טורים(: n = )Pn,a (x 0=k ∞ ((n + 1) an+1 − an ) xn דוגמא: נחשב את פולינום טיילור של ).a = 0 ,f (x) = cos (x צריך לחשב את )0( )f (kלכל .k 1 = )0( a0 = f (0) = 1 ⇐ cos )a1 = 0 ⇐ f (0) = 0 ⇐ f (x) = − sin (x )a2 = 1 ⇐ f (0) = −1 = 0 ⇐ f (x) = − cos (x 2 )a3 = 0 ⇐ f (0) = 0 ⇐ f (x) = sin (x ) f (4) (x) = cos (x) = f (0) (x־ ניתן לראות שיש מחזוריות של 4 בנגזרות של ) cos (xב־0, הן שוות ל־...1 ,0 ,1− ,0 ,1. לכן הטור של הפונקציה הינו: = 0=n כעת, מה שאנחנו רוצים לקבל )ע"פ מה שנתון לנו(: ∞ · · · + 2((n + 1) an+1 + an ) xn = 0 + 1 · x + 0 · x 0=n k (−1) x2k )0( 0,1+= P2n !)(2k נשווה את המקדמים של xnבשני הצדדים: 0 = 0a1 − a 0=:n 1 = 12a2 − a 1=:n 2=:n וכך הלאה לכל 2 ≥ .n נשתמש בנתון ש־1 = )0( :f 1 = 0:f (0) = a 1 = 1a 0=:n 1=:n 2 2 2=:n 2 3·2 = 3a 1.7 1 = 1 − 22a 2= 0 ⇒ a3 = 1 a 3 2 2 ואנחנו יודעים כי − 33a 2 !n = anלכל 2 !n = an 2.7 ∞ xn !n=0 n משפט טיילור ־ שארית לגרנז' תהי fפונקציה גזירה אינסוף פעמים בסביבה של .aיהי 0 ≥ nויהי ) Pn,a (xפולינום טיילור של fבסביבה של aמסדר .n נסמן: ).Rn,a (x) = f (x) − Pn,a (x יהי xכך ש־ fגזירה בין aל־ xאינסוף פעמים, אזיים קיים cבין x ל־ aכך ש: ∞ 2 n 2 n + x = −1 − x x !n !n 2=n 0=n פולינום טיילור הוא הקירוב הטוב ביותר אני לא אכנס לניסוח של המשפט אלא אסביר את הרעיון: נניח ויש לנו פונקציה fולה יש פולינום טיילור ) ,Pn,a (xאזי פולינום טיילור הוא הקירוב הטוב ביותר לפונקציה. ואם לפונקצהי fישנו פולינום שהוא הקירוב הטוב ביותר שלה, אזי זה בהכרח פולינום טיילור. 0 = 1 − 1a כעת ננסה לנחש )באופן מושכל( את האיבר הכללי: 1 > .n בעזרת אינדוקציה פשוטה ניתן להוכיח כי לכל 1 > :n לכן, מה שקיבלנו הוא: ∞ 0=k הסיבה לשיוויון האחרון היא כי האיבר ה־1 + 2nשווה ל־0, לכן ניתן לומר כי )) P2n,0 (x) = P2n+1,0 (xבמקרה הזה...(. 0 = 23a3 − a = 2a n = )P2n,0 (x + f (x) = 1 + x )f (n+1) (c n )(x − a !)1 + (n = ,exלכן מה שקיבלנו הינו: = )Rn,a (x 2ex − 1 − x כעת, כל מה שנותר לנו לעשות, זה לבדוק האם זה אכן נכון והפתרון אכן מתאים לתנאים: 1 = 0 − 1 − 0f (0) = 2e .f (x) − f (x) = 2ex − 1 − 2ex + 1 + x = x 7 הרעיון הבסיסי הוא כזה: יש לנו טור טיילור של פונקציה ואנחנו רוצים לקבל את הפולינום שהוא הקירוב הטוב ביותר לפונקציה עד כדי שגיאה של 6−01. אז מה הרעיון בשארית לגרנז'? אנחנו יודעים שהקירוב הכי טוב הוא הקירוב של טור טיילור, אבל השאלה מתי הוא יהיה קטן מ־ 6−01 )או כל ערך שנבחר...(.
- 8. אם 0 < ) f (an ) · f (cnאזי: ) an+1 = an , bn+1 = cnממשיכים עם החצי הראשון של הקטע(. ניקח למשל את הפונקציה ) ,f (x) = cos (xסביב הנקודה 0. אנחנו יודעים ממקודם ש־ אם 0 < ) f (bn ) · f (cnאזי: ) an+1 = cn , bn+1 = bnממשיכים עם החצי השני של בקטע(. ∞ n (−1) x2n !)(2n 0=n = )cos (x ממשיכים עד שאחד מהתנאים הבאים מתקיים: 1. ) n = Mמספר סופי של איטרציות(, כש־ Mמספר איטרציות מקסימלי קבוע מראש. וש־ k (−1) x2k !)(2k n 2. cn − an < δכש־ δמייצגת את רמת הדיוק הנדרש. = )P2n,0 (x 3. |f (cn )| < εכש־ εחיובי קבוע מראש )ערך שמתחתו החישובים אינם משמעותיים(. 0=k כעת אנחנו צריכים למצוא nכך שההפרש בניהם יהיה קטן יותר מ־ 6−01. כמובן שיש כזה כי הפער הולך ושואף ל־0 וע"פ שארית לגרנז' נמצא אותו באמצעות: 1+f (2n+1) (c) · x2n !)1 + (2n 6−01 < כדאי לזכור לגבי שיטת החציה שהסימנים אינם מתחלפים, כלומר, אם ) 0 f (a0 ) < 0 < f (bאזי לאורך כל האלגוריתם יתקיים ) ) f (an ) < 0 < f (bnאותו דבר בדיוק אם היה ) .(f (bn ) < 0 < f (an = 0,R2n xנתון לנו, ולגבי cאנחנו יודעים שהוא בין 0 ל־ .xאנחנו יודעים ש־ 1+2n בסוף מחזירים את ה־ cnהאחרון שמקבלים כקירוב של השורש. |f (2n+1) (c) · |x !)1 + (2n 2.8 שיטת ניוטון־רפסון = | 0,|R2n כעת : 1+2n 6−01 < |sin (c) · |x !)1 + (2n אנחנו יודעים שאנחנו יכולים לחסום את ) sin (cב־1, לכן כל מה שנשאר לנו זה ביטוי עם nשתלוי ב־.x נניח למשל ש־2 = :x בוחרים ערך התחלתי 0 .xמעבירים את המשיק לגרף של ) f (xבנקודה )) 0.(x0 , f (x 2 · 4n 1+22n ⇒ 6−01 < 6−01 < !)1 + (2n !)1 + (2n הנוסחא הכללית: וכל מה שנותר לנו זה למצוא את ה־ nהמתאים. בחלק מהשאלות העניין הוא לפעמים לחסום את .cאבל בגלל שאנחנו יודעים ש־ a < c < xאו ) x < c < aתלוי אם הפונקציה עולה או יורדת(, אזי צריך בהתאם לכך שאם הפונקציה עולה או יורדת אנליזה נומרית 8 משפט הפונקציות הקמורות תהי fפונקציה עם נגזרת שנייה רציפה. נניח כי fקמורה ועולה ממש בקטע .Iנניח כי קיים r ∈ Iכך ש־ 0 = ).f (r שיטת החצייה עיקרון: השיטה מתבססת על משפט ערך הביניים )תזכורת: תהי f פונקציה רציפה ב־] [a, bכך ש־0 < ) ,f (a) · f (bאזי קיים )c ∈ (a, b כך ש־ 0 = ).(f (c 1.8 ) f (xn ) f (xn − xn+1 = xn אלגוריתם שיטת החצייה תהי fפונקציה רציפה. יהיו 0 a0 < bכך ש־0 < ) 0 .f (a0 ) · f (bנגדיר את הסדרות הבאות ) (an ) , (bnבאופן רקורסיבי: נניח כי חישבנו עד .an < bn יהי .cn = an +bn 2 אם 0 = ) f (cn־ מחזירים את n־ האלגוריתם מסתיים. 8 אזי rהוא השורש היחיד של fב־ Iולכן ,x0 ∈ Iסדרת ניוטון־רפסון עם ערך התחלתי 0 xתתכנס ל־.r הסבר: כאשר אנחנו רוצים להשתמש בשיטת ניטון רפסון כדי להגיע לשורש מסוים )בהינתן הפונקציה ,(fאנחנו צריכים למצוא קטע Iבפונקציה ש: א. יש בו שורש של הפונקציה, כלומר, קיים r ∈ Iכך ש־0 = ).f (r 2 ב. שבקטע f ,Iתהיה קמורה ועולה )למשל f (x) = xעבור 0 ≥ .(x ואז, ברגע שנבחר x0 ∈ Iאזי סדרת ניוטון־רפסון תתכנס לשורש. בשיטת ניוטון־רפסון סדר ההתכנסות של הסדרה הוא תמיד 2.
- 9. 3.8 0 = ) ,g (x) = − sin (x) ⇒ g (kπולעומת זאת: = )g (x 1 = )) − cos (x) ⇒ g (kπתזכורת: kהוא אי־זוגי(. לכן ־ סדר ההתכנסות הוא 3 )הנגזרת הראושנה שאינה מתאפסת(. שיטת האיטרציה 9 נוסחאות של נגזרות: c∈R הנגזרת הפונקציה 0= f f =c 1−f = n · cxn =f +g =f ·g f (x) = c f (x) = cx f (x) = cxn )(f + g) (x )(f · g) (x f 2= − f השיטה: פותרים משאוות מהצורה ) g (x) = xכלומר, לוקחים פונקציה כלשהי ומעבירים את הישר y = xבאותו הגרף(. נקודה lכך ש־ g (l) = lנקראת נקודת שבת של הפונקציה ) gכשאר ישנה נקודה שבה y = xוהפונקציה ) g (xנפגשות(. סדרת האיטרציה: 0 xערך התחלתי. לכל 0 ≥ .xn+1 = g (xn ) :n אם הסדרה ) (xnמתכנסת, אזי היא מתכנסת לנקודת שבת של .g הגדרה: פונקציה gנקראת מכווצת בקטע Iאם קיים 1 < 0 ≤ λכך שלכל .|g (x) − g (y)| ≤ λ · |x − y| x, y ∈ I משפט: תהי gפונקציה מכווצת בקטע :I 1. אם יש נקודת שבת של gבקטע ,Iאזי היא נקודת השבת היחידה ב־.I 2. אם יש ב־ Iנקודת שבת lשל ,gאזי עבור כל קטע התחלתי x0 ∈ I סידרת האיטרציה תתכנס ל־.(xn+1 = g (xn )) l משפט הנקודות המושכות: תהי gפונקציה גזירה כך ש־ gרציפה. תהי lנקודת שבת של הפונקציה .g אם 1 < |) |g (lאזי קיים קטע מסביב lכך שלכל 0 xבקטע הזה, סדרת lבקטע הזה נקראת נקודת שבת מושכת של .g הסבר )כיצד למצוא קטע מכווץ של פונקציה(: בהניתן לנו הפונקציה ,gו־ lנקודת שבת של :g 1 < |) l ⇐ |g (lהיא נקודה מושכת. 1 > |) l ⇐ |g (lהיא נקודה דוחה. )מה שמעניין אותנו הוא השיפוע בנקודה .(l בקטע שבו 1 < ,|g (x)| < xהפונקציה gמכווצת. אם lהיא נקודת שבת, אז סדר ההתכנסות של סדרת האיטרציה הוא ה־ kהראשון כך ש־0 = ).g (k 1.3.8 = f 01 )(x √ f (x) = x )(x = g f טורי טיילור ∞ 1+x2n !)1 + (2n 0=n = )sinh (x ∞ x2n !)(2n 0=n = )cosh (x 11 כיצד ניתן לבדוק אם סדרה היא עולה או יורדת? )כמובן שמדובר רק בשתי שיטות פשוטות היות ולא למדנו המון על סדרות, אלא רק התחלנו...( שיטה ראשונה לוקחים שני איברים )עוקבים( ובודקים: 1+an 1+an ־ הסדרה עולה. ־ הסדרה יורדת. אם 1 > אם 1 < an an דוגמא לשאלה תהי )g (x) = x + sin (x א. מה הן נקודות השבת הפונקציה? תשובה: נקודות השבת מקיימות: g (x) = xכלומר: = sin (x) + x 0 = ) ,x ⇒ sin (xלכן נקודות השבת הן כאשר .x = kπ ב. אילו מנקודת השבת של הפונקציה gניתן לקרב בעזרת שיטת האיטרציה הפשוטה ומה יהיה סדר ההתכנסות? תשובה: ).g (x) = 1 + cos (x כעת אנחנו יודעים שנקודות השבת הן מהצורה ,kπלכן: k 1 √ 2 x f ·g −f ·g 2f 1 f )1−( + 1 = |).|g (kπ אם kזוגי: אזי 1 > 2 = |) |g (kπולכן הנקודה דוחה ואי אפשר לקרב אותה באצמעות שיטת האיטרציה הפשוטה. אם kאי־זוגי: אזי 1 < 0 = |) |g (kπוהנקודה היא משוכת ואפשר לקרב אותה במאצעות שיטת האיטרציה הפשוטה. כעת, לגבי סדר ההתכנסות: 9 שיטה שנייה לוקחים שני איברים )עוקבים( ובודקים: אם: 0 > an+1 − anהסדרה עולה, ואם: 0 < an+1 − an־ הסדרה יורדת.