Ayrık yapılar algoritmalar

Ayrık Yapılar

Algoritma Analizi

İçerik

– Algoritmalar ve analizleri

– Asimptotik Notasyonlar
• Büyük O, Notasyonları

– Algoritma Karmaşıklığı

2

Algoritma
• Bir problemi çözmek için veya bir hesaplama
yapmak için iyi tanımlı, sonlu sayıda, birbirini
izleyen komutlar kümesidir.
• Algoritmaların bazı temel özellikleri
– Giriş
– Çıkış
– İyi tanımlı olması
– Doğru olması
– Sonlu olması
– Etkili olması
– Genel olması

Algoritma Analizi
• Teorik çalışmalarda bilgisayar programlarının performans ve
kaynak kullanımı irdelenmektedir.
• Ancak performanstan daha önemli bazı kriterler
– Modülerlik
– Doğruluk
– Bakılabilirlik
– Fonksiyonellik
– Kararlılık
– Kullanıcı dostu olma
– Programlama zamanı
– Basitlik
– Geliştirilebilirlik
– Güvenilirlik

Örnek I:
Dizideki sayıların toplamını bulma

int Topla(int A[], int N) • Bu fonksiyonun yürütme
{ zamanı ne kadardır?
int toplam = 0;

for (i=0; i < N; i++){
toplam += A[i];
} //Bitti-for

return toplam;
} //Bitti-Topla

5

Örnek I:
Dizideki sayıların toplamını bulma
İşlem
int Topla(int A[], int N) sayısı
{ 1
int topla = 0;

for (i=0; i < N; i++){ 2N
topla += A[i]; N
} //Bitti-for

return topla; 1
} //Bitti-Topla
--------
Toplam: 1 + 2N + N + 1 = 2N + 2
• Çalışma zamanı: T(N) = 3N+2
– N dizideki sayı sayısı 6

Örnek II:
Dizideki bir elemanın aranması
İşlem
int Arama(int A[], int N,
int sayi) { sayısı
int i = 0; 1

while (i < N){ N
if (A[i] == sayi) break; N
i++;
} //bitti-while N

if (i < N) return i; 1
else return -1; 1
} //bitti-Arama ---------
Toplam: 1+3*N+1+1 = 3L+3

7

Örnek II:
Dizideki bir elemanın aranması
• En iyi çalışma zamanı nedir?
– Döngü sadece bir kez çalıştı=>T(n) = 6

• Ortalama(beklenen) çalışma zamanı nedir?
– Döngü N/2 kez çalıştı =>T(n)=3*n/2+3 = 1.5n+3

• En kötü çalışma zamanı nedir?
– Döngü N kez çalıştı =>T(n) = 3n+3

8

Algoritmaların en kötü durum analizi
• Bir algoritmanın sadece EN KÖTÜ durumdaki
çalışma zamanına bakılır. Neden?
– En kötü durum çalışma zamanında bir üst sınırdır ve o algoritma
için verilen durumdan daha uzun sürmeyeceği garantisi verir.

– Bazı algoritmalar için en kötü durum oldukça sık rastlanır. Arama
algoritmasında, aranan öğe genellikle dizide olmaz dolayısıyla
döngü N kez çalışır.

– Ortalama çalışma zamanı genellikle en kötü çalışma zamanı
kadardır. Arama algoritması için hem ortalama hem de en kötü
çalışma zamanı doğrusal fonksiyondur.

9

Örnek III: İç içe döngüler
for (i=1; i<=N; i++){
for (j=1; j<=N; j++){
printf(“Foon”);
} //bitti-içteki for
} //bitti-dıştaki for

• Prinf fonksiyonu kaç kez çalıştırıldı?
• Veya Foo yazısı ekrana kaç kez yazılır?

N N N
2
T (N ) 1 N N *N N
i 1 j 1 i 1
10

Örnek IV: Matris Çarpımı
/* İki boyutlu dizi A, B, C. Hesapla C = A*B */
for (i=0; i<N; i++) {
for (j=0; j<N; j++) {
C[i][j] = 0;
for (int k=0; k<N; k++){
C[i][j] += A[i][k]*B[k][j];
} //bitti-en içteki for
} //bitti-içteki for
} //bitti-dıştaki for

N 1N 1 N 1
3 2
T (N ) (1 1) N N
i 0 j 0 k 0
11

Örnek V: İkili Arama
• Problem: Sıralı bir dizi veriliyor ve bir sayıyı
arıyorsunuz.
− Doğrusal arama– T(n) = 3n+2 (En kötü durum)
− Daha iyisi yapılabilir mi?
− Ö.g. Aşağıdaki sıralı dizide 55 sayısını arayalım

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3 8 10 11 20 50 55 60 65 70 72 90 91 94 96 99

12

Örnek V: İkili Arama
• Dizi sıralanmış olduğundan, dizinin ortasında bulunan sayı ile
aranan sayıyı karşılaştırarak arama boyutunu yarıya düşürülür ve
bu şekilde devam edilir.
• Örnek: 55’i arayalım

0 1 2 3 4 7 8 11 15
3 8 10 11 20 50 55 60 65 70 72 90 91 94 96 99

( sol sa ğ )
sol orta sağ
2

0 1 2 3 4 6 7 8 11 15
3 8 10 11 20 50 55 60 65 70 72 90 91 94 96 99

sol orta sağ Elendi

13

İkili arama (devam)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 15
3 8 10 11 20 50 55 60 65 70 72 90 91 94 96 99

Elendi sol orta

0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 15
3 8 10 11 20 50 55 60 65 70 72 90 91 94 96 99

Elendi
orta
• 55’i bulduk Başarılı arama
• 57’yi aradığımızda, bir sonraki işlemde başarısız bir şekilde
sonlanacak.
14

İkili Arama (devam)
< hedef ? > hedef

sol sağ

• Hedefi ararken herhangi bir aşamada, arama alanımızı “sağ” ile
“sol” arasındaki alana kısıtlamış oluyoruz.

• “sol” ’un solunda kalan alan hedeften küçüktür ve bu alan arama
alanından çıkarılır.

• “sağ” ın sagında kalan alan hedeften büyüktür ve bu alan arama
alanından çıkarılır.

15

İkili Arama - Algoritma
// Aranan sayının indeksini döndürür aranan sayı bulunamazsa -1 döndürür.
int ikiliArama(int A[], int N, int sayi){
sol = 0;
sag = N-1;

while (sol <= sag){
int orta = (sol+sag)/2; // Test edilecek sayının indeksi
if (A[orta] == sayi) return orta; // Aranan sayı bulundu. İndeksi döndür
else if (sayi < A[orta]) sag = orta – 1; // Sağ tarafı ele
else sol = orta+1; // Sol tarafı ele
} //bitti-while

return –1; // Aranan sayı bulunamadı
} //bitti-ikiliArama

• En kötü çalışma zamanı: T(n) = 3 + 5*log2N. Neden?
16

Asimptotik Notasyon
• Bir problemi çözmek için A ve B şeklinde iki algoritma verildiğini
düşünelim.
• Giriş boyutu N için aşağıda A ve B algoritmalarının çalışma
zamanı TA ve TB fonksiyonları verilmiştir.

• Hangi algoritmayı Çalışma zamanı

seçersiniz?

Giriş Boyutu (N) 17

Asimptotik Notasyon (devam)
• N büyüdüğü zaman A ve B nin çalışma zamanı:

• Şimdi hangi
algoritmayı
seçersiniz?
Running Time

Giriş Boyutu (N)
18

Asimptotik Notasyon (devam)
• Genel olarak, asimptotik notasyon, eleman sayısı n’nin sonsuza
gitmesi durumunda algoritmanın, benzer işi yapan algoritmalarla
karşılaştırmak için kullanılır.

• Eleman sayısının küçük olduğu durumlar pratikte mümkün
olabilir fakat bu birçok uygulama için geçerli değildir.

• Verilen iki algoritmanın çalışma zamanını T1(N) ve T2(N)
fonksiyonları şeklinde gösteriyoruz. Fakat hangisinin daha iyi
olduğunu belirlemek için bir yol belirlememiz gerekiyor.
(asimptotik olarak daha küçük gibi)
– Asimptotik notasyonlar
– Büyük-Oh, notasyonları

19

Büyük-Oh(Big-Oh) Notasyonu:
Asimptotik Üst Sınır
• T(n) = O(f(n))
– c ve n0 şeklinde pozitif sabitlerimiz olduğunu düşünelim. n >= n0
ifadesini sağlayan tüm değerler için T(n) <= c*f(n) dir.

c*f(n)
Çalışma Zamanı

T(n)

n0 Eleman sayısı N

– Örnek: T(n) = 50n  O(n). Neden?
– c=50, n0=1 seçersek. n>=1 için 50n <= 50n olur.
– Başka uyan sayılarda mevcuttur.
20

• T(n) = O(f(n))

• Örnek: T(n) = 2n+5 is O(n) Neden?
– n>=n0 şartını sağlayan tüm sayılar için T(n) =
2n+5 <= c*n

– n>=1 için 2n+5 <= 2n+5n <= 7n
• c = 7, n0 = 1

– n>=5 şartını sağlayan tüm sayılar için 2n+5 <= 3n
• c = 3, n0=5
– Diğer c ve n0 değerleri de bulunabilir.
21

• T(n) = O(f(n))

• Örnek: T(n) = 2n+5 is O(n2) Neden?
– n>=n0 şartını sağlayan tüm sayılar için T(n) =
2n+5 <= c*n2 şartını sağlayan c ve n0 değerlerini
arıyoruz.
– n>=4 için 2n+5 <= 1*n2
• c = 1, no = 4
– n>=3 için 2n+5 <= 2*n2
• c = 2, no = 3
– Diğer c ve n0 değerleri de bulunabilir.
22

• T(n) = O(f(n))

• Örnek: T(n) = n(n+1)/2  O(?)

– T(n) = n2/2 + n/2  O(N2). Neden?

– n >= 1 iken n2/2 + n/2 <= n2/2 + n2/2 <= n2
– Böylece, T(n)=n*(n+1)/2 <= 1* n2 for all n >=1
• c=1, no=1

– Not: T(n) ayrıca O(n3) tür.
23

Karşılaşılan Genel Fonksiyonlar

İsim Büyük-Oh Yorum
Sabit O(1) Yenilmez!

Log log O(loglogN) Tahminsel arama

Logaritmik O(logN) İyi hazırlanmış arama algoritmalarının
tipik zamanı

Doğrusal O(N) Hızlı bir algoritmadır. N tane veriyi
girmek için gereken zaman.

N logN O(NlogN) Çoğu sıralama algoritması

Karesel O(N2) Veri miktarı az olduğu zamanlarda
uygun (N<1000)
Kübik O(N3) Veri miktarı az olduğu zamanlarda
uygun (N<1000)
Üssel O(2N) Veri miktarı çok az olduğunda uygun
(n<=20)

24

Karşılaşılan Genel Fonksiyonlar (devam)

25

Örnek: Maksimum Alt Dizi Toplamı

• Tanım: Verilen bir tamsayı listesi
içerisinde/dizisinde elemanları komşu olmak
şartıyla hangi (bitişik) alt dizi en yüksek
toplamı verir?
• Örneğin:
– { -2,11,-4,13,-5,2 }  Cevap=20
– { 1,2,-5,4,7,-2 }  Cevap=11
– { 1,5,-3,4,-2,1 }  Cevap=7
• Bu problemi çözen çok sayıda algoritma vardır.

26

Çözüm-1 Kaba Kuvvet Algoritması

public static int maxAltDiziT( int[] a){ Bu algoritmanın
int maxTop = 0; karmaşıklığı
for(int i=0; i<a.length; i++) nedir?
for(int j=i; j<a.length; j++){
int top=0; 3n3+4n2+2n+2  O(n3)
for(int k=i; k<=j; k++)
top += a[k]; Daha iyisi yapılabilir
if(top > maxTop){ mi?
maxTop = top;
int bas = i; // alt dizinin başlangıcı
int son = j; // alt dizinin sonu
}
}
return maxTop;
}
27

Çözüm-2 Geliştirilmiş Algoritma
public static int maxAltDiziT(int[] a) { Bu algoritmanın
for (int i = 0; i < a.length; i++) { nedir?
int top = 0;
for (int j = i; j <= a.length; j++) {
top += a[j];
if (top > maxTop) {
maxTop = top;
}
} 4n2+3n+2  O(n2)
}
return maxTop; Daha iyisi
} yapılabilir mi?
28

Çözüm-3 Doğrusal Algoritma
public static int maxAltDiziT(int[] a) { Bu algoritmanın
int top = 0; nedir?
for (int i=0, j=0; j<=a.length; j++) {
top += a[j];
if (top > maxTop) {
maxTop = top;
} else if (top<0){
i = j + 1;
top = 0; 5n+3  O(n)
}
} Daha iyisi
return maxTop; yapılabilir mi?
}
29

Maksimum Alt Dizi Toplamı Çalışma Süresi

Çeşitli Maksimum Alt Dizi Toplamı algoritmaları için
çalışma süreleri aşağıda verilmiştir. (saniye cinsinden)

N O(N3) O(N2) O(N log N) O(N)
10 0,000001 0,000000 0,000001 0,000000
100 0,000288 0,000019 0,000014 0,000005
1 000 0,223111 0,001630 0,000154 0,000053
10 000 218 0,133064 0,001630 0,000533
100 000 NA 13,17 0,017467 0,005571
1 000 000 NA NA 0,185363 0,056338

30

Notasyonu: Asimptotik Alt Sınır
• T(n) = (f(n))
ifadesini sağlayan tüm değerler için T(n) >= c*f(n) dir.

T(n)
Çalışma Zamanı

c*f(n)

n0 Eleman sayısı N

– Örnek: T(n) = 2n + 5  (n). Neden?
– 2n+5 >= 2n, tüm n >= 1 için
– T(n) = 5*n2 - 3*n  (n2). Neden?
– 5*n2 - 3*n >= 4*n2, tüm n >= 4 için 31

Notasyonu: Asimptotik Alt ve Üst Sınır
• T(n) = (f(n))
– c1,c2 ve n0 şeklinde pozitif sabitlerimiz olduğunu düşünelim n >=
n0 ifadesini sağlayan tüm değerler için c1*f(n) <= T(n) <= c2*f(n) dir.

c2*f(n)
Çalışma zamanı

T(n)
c1*f(n)

n0 Eleman Sayısı N

– Örnek: T(n) = 2n + 5  (n). Neden?
2n <= 2n+5 <= 3n, tüm n >= 5 için
– T(n) = 5*n2 - 3*n  (n2). Neden?
– 4*n2 <= 5*n2 - 3*n <= 5*n2, tüm n >= 4 için 32

Büyük-Oh, Theta, Omega
İpucu:
• O(f(N)) düşünürsek f(N) ile “eşit veya küçük”
– Üstten sınır: f(N) ile “yavaş veya aynı hızda büyür”

• Ω(f(N)) düşünürsek f(N) ile “eşit veya büyük”
– Alttan sınır: f(N) ile “aynı hızda veya hızlı büyür”

• Θ(f(N)) düşünürsek f(N) ile “eşit”
– Alttan ve Üsten sınır : büyüme oranları eşit

• (N’nin büyük olduğu ve sabiterin elendiği durumlarda)

33

Sıkça Yapılan Hatalar

• Karmaşıklığı bulmak için sadece döngüleri saymakla
yetinmeyin.
– 2 içi içe döngünün 1 den N2 kadar döndüğünü düşünürsek
karmaşıklık O(N4) olur.

• O(2N2) veya O(N2+N) gibi ifadeler kullanmayın.
– Sadece baskın terim kullanılır.
– Öndeki sabitler kaldırılır.

• İç içe döngüler karmaşıklığı direk etkilerken art arda gelen
döngüler karmaşıklığı etkilemez.

34

N tane pozitif tam sayının toplamını
bulan algoritmanın karmaşıklığı nedir.

Faktöriyel hesabı yapan fonksiyonun
karmaşıklığı nedir?

Ayrık yapılar algoritmalar

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (17)

More from Emrah Gürcan (9)

Ayrık yapılar algoritmalar