Cac ham so so hoc

1. ¤i Håc Th¡i Nguy¶n Tr÷íng ¤i Håc Khoa Håc é Cao Sìn CC H€M SÈ HÅC V€ ÙNG DÖNG Chuy¶n ng nh: PH×ÌNG PHP TON SÌ C‡P M‚ SÈ: 60.46.40 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS.TSKH. H€ HUY KHOI Th¡i Nguy¶n - 2011

2. Cæng tr¼nh ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i Håc Khoa Håc - ¤i Håc Th¡i Nguy¶n Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS.TSKH. H€ HUY KHOI Ph£n bi»n 1: PGS.TS. L¶ Thà Thanh Nh n Ph£n bi»n 2: TS. Nguy¹n V«n Ngåc Luªn v«n ÷ñc b£o v» tr÷îc hëi çng ch§m luªn v«n håp t¤i: Tr÷íng ¤i Håc Khoa Håc - ¤i Håc Th¡i Nguy¶n Ng y 09 th¡ng 09 n«m 2011 Câ thº t¼m hiºu t¤i Th÷ Vi»n ¤i Håc Th¡i Nguy¶n

3. 1 Möc löc Möc löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 C¡c h m sè håc cì b£n 5 1.1. Phi - h m Ì-le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. C¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. H m têng c¡c ÷îc sè d÷ìng cõa n . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1. ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2. C¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. H m têng c¡c chú sè cõa sè tü nhi¶n n . . . . . . . . . . 12 1.3.1. ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2. C¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. H m sè c¡c ÷îc (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1. ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2. C¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5. H m ph¦n nguy¶n [x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1. ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.2. C¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Mët sè ùng döng cõa c¡c h m sè håc 18 2.1. Ùng döng cõa Phi - h m Ì-le . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1. X²t çng d÷ mæulæ cõa mët sè nguy¶n tè . . . . 18 2.1.2. Chùng minh ph²p chia vîi d÷ . . . . . . . . . . . 19 2.1.3. Gi£i ph÷ìng tr¼nh çng d÷ . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.4. T¼m nghi»m nguy¶n cõa ph÷ìng tr¼nh . . . . . . 21

4. 2 2.1.5. T¼m c§p cõa sè nguy¶n . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.6. T¼m sè tü nhi¶n thäa m¢n t½nh ch§t h m sè '(n) 23 2.2. Ùng döng cõa h m têng c¡c ÷îc sè d÷ìng cõa sè tü nhi¶n n 24 2.2.1. Chùng minh mët sè l hñp sè . . . . . . . . . . . 24 2.2.2. Chùng minh mët sè l sè ho n h£o . . . . . . . . 25 2.2.3. Chùng minh b§t ¯ng thùc li¶n quan tîi (n) . . 29 2.3. Ùng döng cõa h m S(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.1. T¼m n bði S(n) thäa m¢n mët h» thùc cho tr÷îc . 32 2.3.2. T½nh gi¡ trà S(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.3. Chùng minh mët sè biºu thùc li¶n quan tîi S(n) . 37 2.3.4. X²t t½nh bà ch°n cõa h m sè chùa S(n) . . . . . . 39 2.4. Ùng döng cõa h m sè c¡c ÷îc (n) . . . . . . . . . . . . 40 2.4.1. T¼m n thäa m¢n mët i·u ki»n cho tr÷îc cõa (n) 40 2.4.2. Mët sè b§t ¯ng thùc li¶n quan tîi h m (n) . . 43 2.4.3. T¼m sè nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh b¬ng ph÷ìng ph¡p sû döng (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5. Ùng döng cõa h m ph¦n nguy¶n [x] . . . . . . . . . . . . 46 2.5.1. B i to¡n ành t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5.2. B i to¡n ành l÷ñng . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5. 3 Mð ¦u Sè håc l mët trong nhúng l¾nh vüc cê x÷a nh§t cõa To¡n håc, v công l l¾nh vüc tçn t¤i nhi·u nh§t nhúng b i to¡n, nhúng gi£ thuy¸t ch÷a câ c¥u tr£ líi. Tr¶n con ÷íng t¼m ki¸m líi gi£i cho nhúng gi£ thuy¸t â, câ nhi·u t÷ t÷ðng lîn, nhi·u l½ thuy¸t lîn cõa to¡n håc ¢ n©y sinh. Hìn núa, trong nhúng n«m g¦n ¥y, Sè håc khæng ch¿ l mët l¾nh vüc cõa to¡n håc l½ thuy¸t, m cán l l¾nh vüc câ nhi·u ùng döng, °c bi»t trong l¾nh vüc b£o mªt thæng tin. V¼ th¸, vi»c trang bà nhúng ki¸n thùc cì b£n v· sè håc ngay tø tr÷íng phê thæng l h¸t sùc c¦n thi¸t. Khæng nh÷ nhi·u ng nh kh¡c cõa to¡n håc, câ r§t nhi·u th nh tüu hi»n ¤i v quan trång cõa Sè håc câ thº hiºu ÷ñc ch¿ vîi nhúng ki¸n thùc phê thæng ÷ñc n¥ng cao mët b÷îc. Do â, ¥y ch½nh l l¾nh vüc thuªn lñi º ÷a håc sinh ti¸p cªn nhanh vîi khoa håc hi»n ¤i. Tuy nhi¶n, trong ch÷ìng tr¼nh Sè håc ð tr÷íng phê thæng hi»n nay, mæn Sè håc ch÷a ÷ñc gi nh nhi·u thíi gian. Công v¼ th¸ m håc sinh th÷íng r§t lóng tóng khi gi£i b i to¡n Sè håc, °c bi»t l trong c¡c k¼ thi chån håc sinh giäi. Trong ph¦n Sè håc, c¡c h m sè håc âng vai trá quan trång trong vi»c h¼nh th nh v nghi¶n cùu l½ thuy¸t º ho n thi»n. ¥y l mët v§n · cê iºn v quan trång cõa Sè håc. C¡c b i tªp ùng döng c¡c h m sè håc cì b£n ÷ñc · cªp nhi·u trong c¡c k¼ thi chån håc sinh giäi c§p t¿nh (th nh phè), Quèc gia, Quèc t¸. Möc ½ch ch½nh cõa luªn v«n l n¶u ra ÷ñc mët sè ùng döng cì b£n cõa c¡c h m sè håc cì b£n (Phi-h m Ì-le, h m têng c¡c ÷îc d÷ìng cõa n, sè c¡c ÷îc d÷ìng cõa n, têng c¡c chú sè cõa sè tü nhi¶n n, h m ph¦n nguy¶n). Cö thº l ph¥n lo¤i ÷ñc c¡c d¤ng b i tªp cõa c¡c h m sè håc thæng qua h» thèng b i tªp sû döng c¡c h m sè håc v c¡c ành l½ cì

6. 4 b£n cõa Sè håc. Nëi dung cõa luªn v«n gçm 2 ch÷ìng Ch÷ìng 1: Tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc cì b£n cõa c¡c h m sè håc. Ch÷ìng 2: Mët sè ùng döng cõa c¡c h m sè håc. Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh vîi sü h÷îng d¨n v ch¿ b£o tªn t¼nh cõa GS.TSKH. H Huy Kho¡i - Vi»n To¡n Håc H Nëi. Th¦y ¢ d nh nhi·u thíi gian h÷îng d¨n v gi£i ¡p c¡c thc mc cõa tæi trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n. Tæi xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n Th¦y. Tæi xin c£m ìn tîi Sð Nëi Vö, Sð Gi¡o döc v o t¤o t¿nh Bc Ninh, tr÷íng THPT Thuªn Th nh 1, tê To¡n tr÷íng THPT Thuªn Th nh 1 ¢ t¤o i·u ki»n gióp ï tæi ho n th nh khâa håc n y. Tæi xin gûi tîi c¡c Th¦y Cæ khoa To¡n, pháng o t¤o sau ¤i håc Tr÷íng ¤i Håc Khoa Håc - ¤i Håc Th¡i Nguy¶n, công nh÷ c¡c Th¦y cæ tham gia gi£ng d¤y khâa Cao håc 2009-2011 líi c£m ìn s¥u sc v· cæng lao d¤y dé trong suèt qu¡ tr¼nh gi¡o döc, o t¤o cõa nh tr÷íng. çng thíi tæi xin gûi líi c£m ìn tîi tªp thº lîp Cao Håc To¡n K3A Tr÷íng ¤i Håc Khoa Håc ¢ ëng vi¶n gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp v l m luªn v«n n y. Tuy nhi¶n do sü hiºu bi¸t cõa b£n th¥n v khuæn khê cõa luªn v«n th¤c s¾, n¶n chc r¬ng trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, tæi r§t mong ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c Th¦y Cæ v ëc gi£ quan t¥m tîi luªn v«n n y. Th¡i Nguy¶n, ng y 31 th¡ng 07 n«m 2011 T¡c gi£ é Cao Sìn

7. 5 Ch÷ìng 1 C¡c h m sè håc cì b£n 1.1. Phi - h m Ì-le 1.1.1. ành ngh¾a ành ngh¾a 1.1. Gi£ sû n l mët sè nguy¶n d÷ìng. Phi-h m Ì-le cõa n l sè c¡c sè nguy¶n d÷ìng khæng v÷ñt qu¡ n v nguy¶n tè còng nhau vîi n. K½ hi»u Phi-h m Ì-le l '(n). V½ dö 1.1. '(1) = 1, '(2) = 1, '(3) = 2, '(4) = 2, '(5) = 4. ành ngh¾a 1.2. Cho n l sè nguy¶n d÷ìng. N¸u a l sè nguy¶n vîi (a; n) = 1 th¼ luæn tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng k º ak 1(mod n). Sè nguy¶n d÷ìng k b² nh§t thäa m¢n ak 1(mod n) ÷ñc gåi l c§p cõa sè nguy¶n a (mod n). ành ngh¾a 1.3. Mët h» th°ng d÷ thu gån mæulæ n l mët tªp hñp gçm '(n) sè nguy¶n sao cho méi ph¦n tû cõa tªp hñp ·u nguy¶n tè còng nhau vîi n v khæng câ hai ph¦n tû kh¡c nhau n o çng d÷ mæulæ n. V½ dö 1.2. Tªp hñp f1; 3; 5; 7g l mët h» th°ng d÷ thu gån mæulæ 8. Tªp hñp f3;1; 1; 3g công vªy. ành ngh¾a 1.4. Mët tªp hñp A n o â ÷ñc gåi l mët h» th°ng d÷ ¦y õ (mod n) n¸u vîi b§t ký sè x 2 Z tçn t¤i mët a 2 A º x a(mod n).

8. 6 V½ dö 1.3. A = f0; 1; 2; :::; n 1g l mët h» th°ng d÷ ¦y õ theo mæulæ n. Chó þ 1.1. D¹ th§y mët tªp A = fa1; a2; :::; ang gçm n sè s³ l mët h» th°ng d÷ ¦y õ theo mæulæ n khi v ch¿ khi ai = aj(mod n) (ta k½ hi»u khæng çng d÷ l = ) vîi i6= j v i; j 2 f1; 2; :::; ng. 1.1.2. C¡c t½nh ch§t T½nh ch§t 1. Gi£ sû r1; r2; :::; r'(n) l mët h» th°ng d÷ thu gån mæulæ n, a l sè nguy¶n d÷ìng v (a; n) = 1. Khi â, tªp hñp ar1; ar2; :::; ar'(n) công l h» th°ng d÷ thu gån mæulæ n. Chùng minh. Tr÷îc ti¶n ta chùng tä r¬ng, méi sè nguy¶n arj l nguy¶n tè còng nhau vîi n. Gi£ sû ng÷ñc l¤i, (arj ; n) 1 vîi j n o â. Khi â tçn t¤i ÷îc nguy¶n tè p cõa (arj ; n). Do â, ho°c p ja , ho°c p jrj , tùc l ho°c p ja v p jn, ho°c p jrj v p jn. Tuy nhi¶n, khæng thº câ p jrj v p jn v¼ rj v n l nguy¶n tè còng nhau. T÷ìng tü, khæng thº câ p ja v p jn. Vªy, arj v n nguy¶n tè còng nhau vîi måi j = 1; 2; :::; '(n). Cán ph£i chùng tä hai sè arj , ark (j6= k) tòy þ khæng çng d÷ mæulæ n. Gi£ sû arj ark(mod n); j6= k v 1 j '(n) ; 1 k '(n). V¼ (a; n) = 1 n¶n ta suy ra rj rk(mod n). i·u n y m¥u thu¨n v¼ rj ; rk còng thuëc mët h» th°ng d÷ thu gån ban ¦u mæulæ n. V½ dö 1.4. Tªp hñp f1; 3; 5; 7g l mët h» th°ng d÷ thu gån mæulæ 8. Do (3; 8) = 1 n¶n f3; 9; 15; 21g công l mët h» th°ng d÷ mæulæ 8. T½nh ch§t 2.(ành l½ Ì-le) Gi£ sû m l sè nguy¶n d÷ìng v a l sè nguy¶n vîi (a;m) = 1. Khi â a'(m) 1 (mod m). Chùng minh. Gi£ sû r1; r2; :::; r'(n) l mët h» th°ng thu gån gçm c¡c sè nguy¶n d÷ìng khæng v÷ñt qu¡ m v nguy¶n tè còng nhau vîi m. Do T½nh ch§t 1 v do (a;m) = 1, tªp hñp ar1; ar2; :::; ar'(n) công l mët h» th°ng d÷ thu gån mæulæ m. Nh÷ vªy, c¡c th°ng d÷ d÷ìng b² nh§t cõa ar1; ar2; :::; ar'(m) ph£i l c¡c sè nguy¶n r1; r2; :::; r'(m) x¸p theo thù tü n o â. V¼ th¸, n¸u ta nh¥n c¡c v¸ tø trong h» th°ng d÷ thu gån tr¶n ¥y, ta ÷ñc: ar1:ar2:::ar'(m) r1:r2:::r'(m)(modm).

9. 7 Do â, a'(m)r1r2:::r'(m) r1r2:::r'(m) (mod m). V¼ r1; r2; :::r'(m);m = 1 n¶n a'(m) 1 (mod m). Ta câ thº t¼m nghàch £o mæulæ n b¬ng c¡ch sû döng ành l½ Ì-le. Gi£ sû a;m l c¡c sè nguy¶n tè còng nhau, khi â: a:a'(m)1 = a'(m) 1 (mod m). Vªy a'(m)1 l nghàch £o cõa a mæulæ m. V½ dö 1.5. 2'(9)1 = 261 = 25 = 32 5 ( mod 9) l mët nghàch £o cõa 2 mæulæ 9. H» qu£ 1.1. (a; b) = 1 th¼ a'(b) + b'(a) 1(mod ab): H» qu£ 1.2. Vîi (a; b) = 1 v n; v l hai sè nguy¶n d÷ìng n o â th¼ an'(b) + bv'(a) 1 (mod ab): n2 n1 H» qu£ 1.3. Gi£ sû câ k (k 2) sè nguy¶n d÷ìng m1;m2; :::;mk v chóng nguy¶n tè vîi nhau tøng æi mët. °t M = m1:m2:::mk = mi:ti vîi i = 1; 2; :::; k ta câ: t+ t+ ::: + tnk (t1 + t2 + ::: + tk)n(modM) vîi n nguy¶n d÷ìng. B¥y gií ta s³ cho cæng thùc t½nh gi¡ trà cõa phi-h m Ì-le t¤i n khi bi¸t ph¥n t½ch cõa n ra thøa sè nguy¶n tè. T½nh ch§t 3. Vîi sè nguy¶n tè p ta câ '(p) = p 1. Ng÷ñc l¤i, n¸u p l sè nguy¶n d÷ìng sao cho '(p) = p 1 th¼ p l sè nguy¶n tè. Chùng minh. N¸u p l sè nguy¶n tè th¼ vîi måi sè nguy¶n d÷ìng nhä hìn p ·u nguy¶n tè còng nhau vîi p. Do câ p1 sè nguy¶n d÷ìng nh÷ vªy n¶n '(p) = p 1: Ng÷ñc l¤i, n¸u p l hñp sè th¼ p câ c¡c ÷îc d; 1 d p. T§t nhi¶n p v d khæng nguy¶n tè còng nhau. Nh÷ vªy, trong c¡c sè 1; 2; :::; p 1 ph£i câ nhúng sè khæng nguy¶n tè còng nhau vîi p, n¶n '(p) p 2. Theo gi£ thi¸t, '(p) = p 1. Vªy p l sè nguy¶n tè. T½nh ch§t 4. Gi£ sû p l sè nguy¶n tè v a l sè nguy¶n d÷ìng. Khi â: ' (pa) = pa pa1:

10. 8 Chùng minh. C¡c sè nguy¶n d÷ìng nhä hìn pa khæng nguy¶n tè còng nhau vîi p l c¡c sè khæng v÷ñt qu¡ pa1 v chia h¸t cho p. Câ óng pa1 sè nh÷ vªy. Do â tçn t¤i papa1 sè nguy¶n nhä hìn pa v nguy¶n tè còng nhau vîi pa. Vªy, '(pa) = pa pa1. V½ dö 1.6. ' (125) = ' 53 = 5352 = 100 ; ' 210 = 21029 = 525. T½nh ch§t 5. N¸u m; n l c¡c sè nguy¶n d÷ìng nguy¶n tè còng nhau th¼ '(mn) = '(m):'(n). Chùng minh. Ta vi¸t c¡c sè nguy¶n d÷ìng khæng v÷ñt qu¡ mn th nh b£ng sau: 1 m + 1 2m + 1 ::: (n 1)m + 1 2 m + 2 2m + 2 ::: (n 1)m + 2 3 m + 3 2m + 3 ::: (n 1)m + 3 ::: ::: ::: ::: ::: m 2m 3m ::: mn B¥y gií gi£ sû r l mët sè nguy¶n khæng v÷ñt qu¡ m. Gi£ sû (m; r) = d 1. Khi â, khæng câ sè n o trong dáng thù r nguy¶n tè còng nhau vîi mn, v¼ méi ph¦n tû cõa dáng â ·u câ d¤ng km + r, trong â 1 k n 1, d j (km + r); v¼ d j m; d j r. Vªy, º t¼m c¡c sè trong b£ng m nguy¶n tè còng nhau vîi mn, ta ch¿ c¦n xem c¡c dáng thù r vîi (m; r) = 1. Ta x²t mët dáng nh÷ vªy, nâ chùa c¡c sè r;m + r; :::; (n 1)m + r. V¼ (r;m) = 1 n¶n méi sè nguy¶n trong dáng ·u nguy¶n tè còng nhau vîi n. Nh÷ vªy, n sè nguy¶n trong dáng lªp th nh h» th°ng d÷ ¦y õ mæulæ n. Do â câ óng '(n) sè trong h ng â nguy¶n tè còng nhau vîi n. Do c¡c sè â công nguy¶n tè còng nhau vîi m n¶n chóng nguy¶n tè còng nhau vîi mn. V¼ câ '(m) dáng, méi dáng chùa '(n) sè nguy¶n tè còng nhau vîi mn n¶n ta suy ra '(mn) = '(m)'(n). K¸t hñp hai t½nh ch§t tr¶n, ta ÷ñc t½nh ch§t sau: 1 pn2 T½nh ch§t 6. Gi£ sû n = pn1 2 :::pnk k l ph¥n t½ch n ra thøa sè nguy¶n tè. Khi â: ' (n) = n 1 1 p1 1 1 p2 ::: 1 1 pk :

11. 9 Chùng minh. V¼ ' l h m câ t½nh ch§t nh¥n n¶n n¸u n câ ph¥n t½ch nh÷ tr¶n, ta ÷ñc: '(n) = '(pa1 1 )'(pa2 2 ):::'(pak k ). M°t kh¡c: ' paj j = paj j paj1 j = paj j 1 1 pj ; j = 1; 2; :::; k: Vªy ' (n) = pa1 1 1 1 p1 pa2 2 1 1 p2 :::pak k 1 1 pk = pa1 1 pa2 2 :::pak k 1 1 p1 1 1 p2 ::: 1 1 pk = n 1 1 p1 1 1 p2 ::: 1 1 pk : T½nh ch§t 7. Gi£ sû n l mët sè nguy¶n d÷ìng. Khi â: P djp ' (d) = n: Chùng minh. Têng tr¶n ¥y ÷ñc l§y theo c¡c ÷îc sè cõa n. Ta ph¥n chia tªp hñp c¡c sè tü nhi¶n tø 1 ¸n n th nh c¡c lîp sau ¥y. Lîp Cd gçm c¡c sè nguy¶n m; 1 m n, m (m; n) = d. Nh÷ vªy m thuëc Cd n¸u v ch¿ n¸u d l ÷îc chung cõa m; n v (m=d; n=d) = 1. Nh÷ vªy, sè ph¦n tû cõa Cd l c¡c sè nguy¶n d÷ìng khæng v÷ñt qu¡ n=d v nguy¶n tè còng nhau vîi n=d ; tùc l Cd gçm '(n=d) ph¦n tû. V¼ méi sè nguy¶n m tø 1 ¸n n thuëc mët v ch¿ mët lîp Cd n o â (d = (m; n) n¶n n b¬ng têng P cõa sè c¡c th nh ph¦n trong c¡c lîp Cd, d l ÷îc sè cõa n. Ta câ n = djn ' n d . 1.2. H m têng c¡c ÷îc sè d÷ìng cõa n 1.2.1. ành ngh¾a ành ngh¾a 1.1. H m têng c¡c ÷îc d÷ìng cõa sè tü nhi¶n n ÷ñc k½ hi»u l (n). V½ dö 1.7. (12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28. P Chó þ 1.2. Ta câ thº biºu di¹n h m (n) d÷îi d¤ng: (n) = djn d

12. 10 1.2.2. C¡c t½nh ch§t Bê · 1.1. Gi£ sû m; n l c¡c sè nguy¶n d÷ìng nguy¶n tè còng nhau. Khi â, n¸u d l ÷îc chung cõa mn th¼ tçn t¤i c°p duy nh§t c¡c ÷îc d÷ìng d1 cõa m v d2 cõa n sao cho d = d1:d2. Ng÷ñc l¤i, n¸u d1 v d2 l c¡c ÷îc d÷ìng t÷ìng ùng cõa m v n th¼ d = d1:d2 l ÷îc d÷ìng cõa mn. Chùng minh. Gi£ sû m; n câ ph¥n t½ch ra thøa sè nguy¶n tè nh÷ sau: m = pm1 1 pm2 s ; n = qn1 2 :::pms 1 qn2 2 :::qnt t . V¼ (m; n) = 1 n¶n tªp hñp sè nguy¶n tè p1; p2; :::; ps v tªp hñp c¡c sè nguy¶n tè q1; q2; :::; qt khæng câ ph¦n tû chung. Do â ph¥n t½ch ra thøa sè cõa mn câ d¤ng: mn = pm1 1 pm2 2 :::pms s :qn1 1 qn2 2 :::qnt t . Nh÷ vªy, n¸u d l mët ÷îc chung cõa mn th¼ d = pe1 s :qf1 1 pe2 2 :::pes 1 qf2 2 :::qft t , trong â 0 ei mi(i = 1; 2; :::; s) ; 0 fi ni(i = 1; 2; :::; s). °t: d1 = pe1 s , d2 = qf1 1 pe2 2 :::pes 1 qf2 2 :::qft t . Rã r ng d = d1d2 v (d1; d2) = 1. Ng÷ñc l¤i, gi£ sû d1 v d2 l c¡c ÷îc d÷ìng t÷ìng ùng cõa m v n. Khi â: d1 = pe1 1 pe2 2 :::pes s trong â, 0 ei mi(i = 1; 2; :::; s) d2 = qf1 1 qf2 2 :::qft t trong â, 0 fi mi(i = 1; 2; :::; t): Sè nguy¶n d = d1d2 = pe1 s :qf1 1 pe2 2 :::pes 1 qf2 2 :::qft t . Rã r ng l ÷îc cõa mn = pm1 1 pm2 2 :::pms s :qn1 1 qn2 2 :::qnt t v¼ lôy thøa cõa méi sè nguy¶n tè xu§t hi»n trong ph¥n t½ch ra thøa sè nguy¶n tè cõa d b² hìn ho°c b¬ng lôy thøa cõa sè nguy¶n tè â trong ph¥n t½ch cõa mn. Bê · 1.2. Gi£ sû p l sè nguy¶n tè, a l sè nguy¶n d÷ìng. Khi â: (pa) = 1 + p + p2 + ::: + pa = pa+1 p 1 (pa) = a + 1

13. 11 Chùng minh. C¡c ÷îc cõa pa l 1; p, p2, pa. Do â, pa câ óng a + 1 ÷îc d÷ìng, (pa) = a+1. M°t kh¡c, (pa) = 1+p+p2+:::+pa = pa+1 1 p 1 . ành lþ P 1.1. Gi£ sû f l mët h m câ t½nh ch§t nh¥n. Khi â h m F(n) = djn f(d) công câ t½nh ch§t nh¥n. Chùng minh. Ta s³ ch¿ ra r¬ng n¸u m; n l c¡c sè nguy¶n d÷ìng nguy¶n tè còng nhau th¼ F(mn) = F(m):F (n). Gi£ sû (m; n) = 1, ta câ: F(mn) = P djmn f(d). V¼ (m; n) = 1 n¶n theo bê · 1.1, méi ÷îc sè cõa mn câ thº vi¸t duy nh§t d÷îi d¤ng t½ch c¡c ÷îc d1 cõa m v d2 cõa n v d1; d2 nguy¶n tè còng nhau, çng thíi méi c°p ÷îc sè d1 cõa m v d2 cP õa n t÷ìng ùng vîi ÷îc d1:d2 cõa mn. Do â ta câ thº vi¸t: F(mn) = d1jm d2jn f(d1d2). V¼ f l h m câ t½nh ch§t nh¥n v (d1; d2) = 1 n¶n F (mn) = P d1jm d2jn f(d1)f(d2) = P d1jm f(d1): P d2jn f(d2) = F(m):F (n) T½nh ch§t 1. H m (n) l h m nh¥n t½nh, tùc l : Vîi måi sè tü nhi¶n n1; n2 nguy¶n tè còng nhau th¼ (n1:n2) = (n1):(n2) Chùng minh. Tø ành l½ 1.1 suy ra h m sè (n) câ t½nh ch§t nh¥n. V¼ th¸ ta câ thº vi¸t cæng thùc cõa chóng khi bi¸t ph¥n t½ch th nh thøa sè nguy¶n tè cõa n. T½nh ch§t 2. N¸u p l sè nguy¶n tè th¼ (p) = 1 + p Chùng minh. ÷ñc suy ra tø Bê · 1.2. T½nh ch§t 3. Gi£ sû n l sè nguy¶n d÷ìng v câ khai triºn ch½nh tc n = p1 1 p2 2 :::pk k th¼ (n) = p1+1 1 1 p1 1 : p2+1 2 1 p2 1 ::: pk+1 k 1 pk 1 Chùng minh. Do h m câ t½nh ch§t nh¥n n¶n ta câ (n) = (pa1 1 ) (pa2 2 ) ::: (pas s ).

14. 12 1.3. H m têng c¡c chú sè cõa sè tü nhi¶n n 1.3.1. ành ngh¾a ành ngh¾a 1.1. Gi£ sû n l mët sè tü nhi¶n. Ta ành ngh¾a S(n) l h m têng c¡c chú sè cõa n, khi biºu di¹n trong h» thªp ph¥n. 1.3.2. C¡c t½nh ch§t Vîi n l sè nguy¶n d÷ìng. Ta câ: T½nh ch§t 1. S(n) n (mod 9). Chùng minh. Gi£ sû trong biºu di¹n thªp ph¥n, sè nguy¶n d÷ìng n câ d¤ng: n = kk1:::210 j10 Khi §y n = 0 + 101 + 1022 + ::: + 10k1k1 + 10kk S(n) = 0 + 1 + 2 + ::: + k1 + k V¼ th¸ n S(n) = 91 + 992 + ::: + 9|9{:z::9} (k - 1) sè 9 k1 + ::: + 9|9{:z::9} k sè 9 k: (1.1) Tø (1.1) suy ra [n S(n)] ... 9 hay S(n) n (mod 9), suy ra i·u ph£i chùng minh. T½nh ch§t 2. 0 S(n) n T½nh ch§t 3. S(n) = n , 1 n 9 Chùng minh. Ta câ n = kk1:::210 j10 . V¼ n 0 n¶n k 0. Ngo i ra i 2 f0; 1; 2; :::; 9g vîi måi i = 1; 2; :::; k: Tø â, do S(n) = k + k1 + ::: + 1 + 0 suy ra S(n) 0: L¤i th§y tø (1.1) th¼ S(n) n v S(n) = n , 1 = 2 = ::: = k = 0 , 0 0 , 0 2 f1; 2; :::; 9g. â l i·u ph£i chùng minh. T½nh ch§t 4. S(m + n) S(m) + S(n), vîi måi m; n nguy¶n d÷ìng. Chùng minh. Gi£ sû trong h» thªp ph¥n, n v m l¦n l÷ñt câ d¤ng: n = kk1:::10 j10 m =

16. k1:::

18. 0 j10

19. 13 Khæng gi£m têng qu¡t, ta câ thº cho l n m ) k s. Ta câ thº vi¸t l¤i m d÷îi d¤ng sau ¥y m = |00{:z::0} (k - s) sè 0

21. s1:::

23. 0 j10 °t

24. i 0 =

25. i vîi i = 0,1,2,...,s 0 vîi i = s + 1,...,k. V¼ th¸ luæn luæn câ thº coi n v m câ còng lo¤i biºu di¹n sau: n = kk1:::210 j10 m =

27. k1:::

30. 0 j10 trong â 0 i;

31. i 9, vîi måi i = 0; 1; 2; :::; k v i;

32. i nguy¶n. Ta s³ chùng minh b§t ¯ng thùc S(m+ n) S(m) + S(n) vîi måi m; n nguy¶n d÷ìng b¬ng ph²p quy n¤p theo k. - N¸u k = 0, khi â n = 0;m =

33. 0 suy ra S(n) + S(m) = 0 +

34. 0 Ta câ m + n = 0 +

35. 0, do vªy S(m + n) = 0 +

36. 0 n¸u 0 +

37. 0 9 (0 +

38. 0 10) + 1 n¸u 0 +

39. 0 9 Chó þ r¬ng do 0 0 9; 0

40. 0 9 n¶n 0 +

41. 0 18, suy ra 0 +

42. 0 9 9 0 +

43. 0 (khi 0 +

44. 0 9) Tâm l¤i, ta luæn chùng minh ÷ñc S(m+n) S(m)+S(n), trong tr÷íng hñp k = 0. Vªy i·u kh¯ng ành óng khi k = 0. - Gi£ sû i·u kh¯ng ành ¢ óng ¸n k 1, tùc l vîi måi biºu di¹n trong h» thªp ph¥n: n = k1:::210 j10 , m =

45. k1:::

48. 0 j10 (trong â ½t nh§t mët trong hai sè k1;

49. k1 ph£i lîn hìn 0), ta luæn câ: S(m + n) S(m) + S(n) - X²t tr÷íng hñp vîi k, tùc l khi n v m biºu di¹n nh÷ sau: n = kk1:::210 j10 , m =

51. k1:::

54. 0 j10 ð ¥y ½t nh§t mët trong hai sè k;

55. k ph£i lîn hìn 0. Ta câ thº vi¸t l¤i: n = 10:kk1:::10 ; m = 10:

57. k1:::

59. 0 V¼ 10:kk1:::1 = kk1:::10 n¶n suy ra S(n) = S(n0), ð ¥y n0 = kk1:::1 T÷ìng tü: 10:

61. k1:::

62. 1 =

64. k1:::

65. 10 n¶n suy ra S(m) = S(m0), ð ¥y m0 =

67. k1:::

69. 14 Rã r ng ta câ: S(n) = 0 + S(n0) v S(m) =

70. 0 + S(m0). p döng gi£ thi¸t quy n¤p, ta th§y ngay: S(m0 + n0) S(m0) + S(n0). M°t kh¡c, ta câ: m + n = 10(m0 + n0) + 0 +

71. 0 n¶n S(m + n) S(m0) + S(n0) + 0 +

72. 0: suy ra S(m + n) S(m0) + S(n0) + 0 +

73. 0 = S(m) + S(n). Vªy i·u kh¯ng ành công óng ¸n k. Tø â suy ra i·u ph£i chùng minh. Nhªn x²t 1.1. B¬ng quy n¤p d¹ d ng chùng minh ÷ñc: N¸u a1; a2; :::; ak l c¡c sè nguy¶n d÷ìng th¼: S(a1 + a2 + ::: + ak) Xk i=1 S(ai) S(a1a2:::ak) S(a1):S(a2):::S(ak): T½nh ch§t 5. S(mn) S(m):S(n), vîi måi m; n nguy¶n d÷ìng. Chùng minh. Gi£ sû B câ biºu di¹n d÷îi d¤ng thªp ph¥n l : B = b1b2:::bk Do â B = bk + 10bk1 + 102bk2 + ::: + 10k1b1 Tr÷îc h¸t ta câ nhªn x²t sau: N¸u N l sè tü nhi¶n th¼ vîi måi sè p nguy¶n d÷ìng, ta câ: S(10pN) = S(N) (Nhªn x²t n y qu¡ hiºn nhi¶n düa v o trüc ti¸p tø ành ngh¾a cõa h m S(n)). Ta câ: AB = Abk + 10Abk1 + 102Abk2 + ::: + 10k1Ab1 Theo chùng minh cõa T½nh ch§t 4, suy ra: S(AB) = S(Abk + 10Abk1 + ::: + 10k1Ab1 S(Abk) + S(10Abk1) + ::: + S(10k1Ab1) (1.2) L¤i theo T½nh ch§t 4, ta câ S(Abk) = S(|A + A {+z::: + A} bk sè h¤ng A ) S(A) + S(A) + ::: + S(A) = bkS(A)

74. 15 T÷ìng tü, ta câ S(10Abk1) bk1S(10A) = bk1S(A); S(102Abk2) bk1S(102A) = bk2S(A); ::::::::: S(10Ak1b1) b1S(10k1A) = b1S(A): V¼ vªy, thay v o (1.2), ta câ: S(AB) (b1 + b2 + ::: + bk) :S(A) Do S(B) = b1 + b2 + ::: + bk n¶n tø ¯ng thùc tr¶n ta thu ÷ñc S(AB) S(A):S(B) â l i·u ph£i chùng minh. Chó þ 1.3. Theo nguy¶n l½ quy n¤p, ta suy ra k¸t qu£ sau: N¸u A1;A2; :::;An l c¡c sè nguy¶n d÷ìng th¼ S (A1A2:::An) S(A1):S(A2)::::S(An): 1.4. H m sè c¡c ÷îc (n) 1.4.1. ành ngh¾a ành ngh¾a 1.1. Sè c¡c ÷îc d÷ìng cõa cõa sè tü nhi¶n n ÷ñc k½ hi»u l (n). V½ dö 1.8. (1) = 1, (2) = 2, (12) = 6. 1.4.2. C¡c t½nh ch§t T½nh ch§t 1. H m (n) l h m câ t½nh ch§t nh¥n. Chùng minh. Düa trüc ti¸p v o ành l½ (1.1) T½nh ch§t 2. N¸u p l sè nguy¶n tè th¼ (p) = 2. T½nh ch§t 3. Gi£ sû sè nguy¶n d÷ìng n câ khai triºn ch½nh tc n = p1 1 p2 2 :::pk k th¼ (n) = (1 + 1) (2 + 1) ::: (k + 1). Chùng minh. ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø Bê · 1.2

75. 16 1.5. H m ph¦n nguy¶n [x] 1.5.1. ành ngh¾a ành ngh¾a 1.1. H m ph¦n nguy¶n [x] cõa mët sè nguy¶n x l sè nguy¶n lîn nh§t khæng v÷ñt qu¡ x. V½ dö 1.9. [2:33] = 2 , [2:33] = 3 1.5.2. C¡c t½nh ch§t T½nh ch§t 1. Cho x; y l c¡c sè thüc, khi â: 1. [x] x x + 1 ; x 1 [x] x ; 0 x [x] 1 2. Vîi måi sè nguy¶n m, [x + m] = [x] + m 3. [x] + [y] [x + y] [x] + [y] + 1 4. [x] + [x] = 0 n¸u x l mët sè nguy¶n 1 n¸u tr¡i l¤i 5. [x] l sè nguy¶n nhä nh§t lîn hìn ho°c b¬ng x. 6. N¸u m l mët sè nguy¶n th¼ [x] m = h x m i 7. N¸u a;m l c¡c sè nguy¶n d÷ìng th¼ h x m i l sè c¡c bëi sè cõa a n¬m trong kho£ng [1;m]. Chùng minh. 1. Hiºn nhi¶n suy ra tø ành ngh¾a. 2. Ch¿ c¦n chùng minh cho 0 x 1. Khi â, m x +m m + 1 n¶n theo ành ngh¾a, [x] = 0; [x + m] = m = [x] + m: Tùc l [x + m] = [x] + m 3. Do f(x) = [x] l mët h m khæng gi£m v [y] y [y] + 1 n¶n tø 2) ta câ [x] + [y] = [x + [y]] [x + y] [x + ([y] + 1)] Tùc l [x] + [y] [x + y] [x] + [y] + 1 4. N¸u x = m l mët sè nguy¶n th¼ [x] = m; [x] = m n¶n [x] + [x] = 0. N¸u x khæng l mët sè nguy¶n, x = m + h vîi m l mët sè nguy¶n v 0 h 1 th¼ x = m 1 + (1 h) vîi 0 1 h 1 n¶n theo ành ngh¾a [x] = m v [x] = m 1. Do â, [x] + [x] = 1.

76. 17 5. Ch¿ c¦n chùng minh cho tr÷íng hñp x khæng ph£i l mët sè nguy¶n. Gi£ sû x = m + h vîi m l mët sè nguy¶n v 0 h 1, Khi â nh÷ chùng minh tr¶n ta câ [x] = m 1 n¶n [x] = m + 1 ch½nh l sè nguy¶n nhä nh§t lîn hìn ho°c b¬ng x. 6. Gi£ sû h x m i = k. Khi â, k x m k + 1 n¶n km x k(m + 1). Do [x] l sè nguy¶n d÷ìng lîn nh§t khæng v÷ñt qu¡ x n¶n km [x] x m(k + 1). Do â km [x] m(k + 1), suy ra k [x] m k + 1, tùc l [x] m = h x m i 7. Gi£ sû a; 2a; :::; na l t§t c£ c¡c bëi sè cõa a n¬m trong kho£ng [1;m], ta c¦n chùng minh [m=a] = n. Thªt vªy, do a; 2a; :::; na l t§t c£ c¡c bëi sè cõa a n¬m trong kho£ng [1;m] n¶n na m (n + 1)a. Do â, n m=a (n + 1). Theo ành ngh¾a ta câ: [m=a] = n. ành l½ ÷ñc chùng minh. T½nh ch§t 2 (Cæng thùc Polignac). Cho p l mët sè nguy¶n tè, khi 1P â sè mô lîn nh§t k sao cho pk l ÷îc cõa n! l k = i=1 n pi Chùng minh. Gåi ei l c¡c sè chia h¸t cho pi trong kho£ng [1; n]. Khi â sè c¡c sè trong kho£ng [1; n] chia h¸t cho pi m khæng chia h¸t cho pi+1 l fi = ei ei+1 v sè mô lîn nh§t k sao cho pk l ÷îc sè cõa n! câ 1P d¤ng k = i=1 ifi. Theo t½nh ch§t 1) ta câ ei = n pi ; fi = n pi n pi+1 Do â k = 1P i=1 ifi = 1P i=1 i n pi n pi+1 = 1P i=1 n pi i·u ph£i chùng minh.

77. 18 Ch÷ìng 2 Mët sè ùng döng cõa c¡c h m sè håc Trong ch÷ìng tr¼nh phê thæng, c¡c b i to¡n v· sè håc âng vai trá quan trång trong vi»c h¼nh th nh t÷ duy to¡n håc. Vi»c sû döng c¡c h m sè håc ¢ gi£i quy¸t ÷ñc nhúng lîp b i to¡n cì b£n trong c¡c b i to¡n sì c§p. Trong ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ùng döng cõa c¡c h m sè håc cì b£n trong vi»c gi£i c¡c b i to¡n sì c§p. Ngo i ra, cán câ nhúng b i to¡n têng hñp sû döng mët sè h m sè kh¡c. 2.1. Ùng döng cõa Phi - h m Ì-le 2.1.1. X²t çng d÷ mæulæ cõa mët sè nguy¶n tè V½ dö 2.1. Gi£ sû p nguy¶n tè, r l sè tü nhi¶n nhä hìn p sao cho: (1)rr! 1(mod p) (2.1) Chùng minh r¬ng: (p r 1)! + 1 0(mod p) (2.2) Líi gi£i. Theo ành l½ Wilson ta câ (p 1)! + 1 0(mod p): (2.3) M°t kh¡c, (p 1) (p 2) ::: (p r) (1)rr!(mod p). Suy ra (p 1)! (p r 1)!(1)rr! (mod p) (p r 1)! (mod p) : (2.4)

78. 19 Tø (2.3) v (2.4) suy ra c¡c çng d÷ (2.1) v (2.2) l t÷ìng ÷ìng nhau. V½ dö 2.2. X²t d¢y Uk = k(k + 1) 2 vîi k = 1; 2; :::; n. Chùng minh r¬ng n¸u n = 2s(s 1) th¼ trong d¢y tr¶n câ thº chån ÷ñc mët h» th°ng d÷ ¦y õ mæulæ n. Líi gi£i. X²t n sè U2k1 vîi k = 1; 2; :::. Ta ch¿ c¦n chùng minh vîi måi 1 i j n th¼ U2i1 = U2j1(mod n) Gi£ sû ng÷ñc l¤i tçn t¤i 1 i j n m U2i1 U2j1(mod n) , (2i 1)i (2j 1)j(modn) , (j i)(2j + 2i 1) 0(mod n) (2.5) Do n = 2s(s 1) n¶n n khæng câ ÷îc l´. Tø (2.5) ) j i(mod n) (væ lþ) suy ra i·u ph£i chùng minh. 2.1.2. Chùng minh ph²p chia vîi d÷ V½ dö 2.3. Chùng minh r¬ng: n¸u a nguy¶n tè vîi 7 th¼ a2010 1 chia h¸t cho 7. Líi gi£i. Do 7 l sè nguy¶n tè n¶n '(7) = 7 - 1 = 6. Do â theo ành lþ Ì-le ta câ a'(7) = a6 1(mod 7). Tø â a2010 = (a6)335 1(mod 7) hay a2010 1 0(mod 7). Vªy a2010 1 chia h¸t cho 7. V½ dö 2.4. Chùng minh r¬ng: 2015 1 chia h¸t cho 11.31.61 Líi gi£i. Chùng minh 2015 1 chia h¸t cho 11. Do (20, 11) = 1 v '(11) = 10. Theo ành l½ Ì-le ta câ 20'(11) 2010 1(mod 11) Do â 2015 205 (2)5 1(mod 11) Vªy 2015 1 chia h¸t cho 11. Chùng minh t÷ìng tü, ta câ: 2015 1 chia h¸t cho 31 v 61. m 11, 31, 61 l c¡c sè nguy¶n tè còng nhau. Vªy 2015 1 chia h¸t cho 11.31.61

79. 20 V½ dö 2.5. Chùng minh r¬ng: m'(n) + n'(m) 1(mod mn) vîi m, n 1 v (m, n) = 1. Líi gi£i. Do (m; n) = 1 n¶n theo ành l½ Ì-le ta câ m'(n) 1(mod n) n'(m) 1(mod m) ) m'(n) + n'(m) 1(mod n) n'(m) + m'(n) 1(mod m) Suy ra m'(n) + n'(m) 1(mod mn). 2.1.3. Gi£i ph÷ìng tr¼nh çng d÷ V½ dö 2.6. T¼m ½t nh§t 4 nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh: x3 + y7 1(mod 30). Líi gi£i. Do 30 = 5 x 6 v (5, 6) = 1 n¶n theo h» qu£ (1.1) câ 5'(6) + 6'(5) 1(mod 30) V¼ '(6) = '(2):'(3) = 2 v '(5) = 4; 62 6(mod 30) n¶n ta câ 52 + 64 (25 + 6) 1(mod 30) Ta th§y 253 25(mod 30) ; 62 6(mod 30) n¶n theo h» qu£ (1.2) câ 253 + 67 25 + 6 1(mod 30) T÷ìng tü câ 257 25(mod 30) ; 63 6(mod 30) n¶n 63 + 257 1(mod 30) N¸u ph¥n t½ch 30 = 3 x 10 vîi (3, 10)=1 th¼ theo h» qu£ (1.1) câ 3'(10) + 10'(3) 1(mod 30) T½nh to¡n t÷ìng tü tr¶n ta câ 34 + 103 1(mod 30) V¼ 34 = 81 21(mod 30) ; 102 10(mod 30) n¶n theo h» qu£ (1.3) câ 34 3 + 102 7 1(mod 30) v 34 7 + 102 3 1(mod 30) Suy ra ph÷ìng tr¼nh câ ½t nh§t 4 nghi»m (x; y) l : (25, 6), (6, 25), (21, 10), (10, 21).

80. 21 V½ dö 2.7. Chùng minh r¬ng ph÷ìng tr¼nh çng d÷ sau câ nghi»m (x; y; z; t) kh¡c (0, 0, 0, 0): x3 + y3 + z3 t3(mod 210). Líi gi£i. Do 210 = 5 x 6 x 7 v (5, 6) = (5, 7) = (6, 7) = 1 n¶n ta °t m1 = 5; t1 = 42;m2 = 6; t2 = 35;m3 = 7; t3 = 30: Theo h» qu£ (1.3) ta câ 423 + 353 + 303 (42 + 35 + 30)3 1073(mod 210): Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m (x; y; z; t) l (42, 35, 30, 107). N¸u ph¥n t½ch 210 = 3 x 7 x 10 th¼ t÷ìng tü nh÷ th¸ ta th§y ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m (x, y, z, t) l (70, 30, 21, 121). 2.1.4. T¼m nghi»m nguy¶n cõa ph÷ìng tr¼nh V½ dö 2.8. T¼m nghi»m nguy¶n cõa ph÷ìng tr¼nh: 12x - 19y + 21 = 0. Líi gi£i. Ph÷ìng ph¡p n y düa tr¶n m»nh · sau: M»nh ·. X²t ph÷ìng tr¼nh ax + by + c = 0, trong â a; b l c¡c sè nguy¶n d÷ìng, (a; b) = 1; c l sè nguy¶n. Khi â ph÷ìng tr¼nh n y câ mët nghi»m ri¶ng sau ¥y: 8 : x0 = ca'(b)1 y0 = c: a'(b) 1 b Do a; c l c¡c sè nguy¶n, cán '(b) 1 l sè nguy¶n n¶n hiºn nhi¶n x0 l sè nguy¶n. Theo ành l½ Ì-le th¼ a'(b) 1(mod b) ) a'(b) 1 ... b: Tø â y0 l sè nguy¶n. M°t kh¡c ax0 + by0 + c = aca + ca c + c = ca'(b) + ca'(b) = 0 Vªy (x0; y0) l nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh ax + by + c = 0, suy ra i·u ph£i chùng minh.

81. 22 Trð l¤i ph÷ìng tr¼nh ¢ cho 12x 19y + 21 = 0 ,12x + 19(y) + 21 = 0 ,12x + 19z + 21 = 0; vîi z = y. Do 19 l sè nguy¶n tè n¶n '(19) = 19 1 = 18. Do â 8 : x0 = 21:1217 z = 21: 1218 1 19 l mët nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh 12x + 19z + 21 = 0. Vªy måi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh n y câ d¤ng 8 : x = 21:1217 + 19t 1218 1 z = 21: 19 12t Nâi c¡ch kh¡c, ph÷ìng tr¼nh 12x 19y + 21 = 0 câ nghi»m l : 8 : x = 21:1217 + 19t 1218 1 y = 21: 19 + 12t Nhªn x²t 2.1. C¡ch gi£i n y ho n to n mang t½nh ch§t l½ thuy¸t. Trong thüc t¸, chóng ta s³ khæng sû döng c¡ch n y. 2.1.5. T¼m c§p cõa sè nguy¶n V½ dö 2.9. T¼m c§p (mod 101) cõa 2. Líi gi£i. °t n = 101 v a = 2. Gåi h l c§p cõa a (mod 101). V¼ 2'(101) 1(mod 101) n¶n ta câ '(101) ... h (2.6) Do 101 l sè nguy¶n tè n¶n d¹ th§y '(101) = 101 1 = 100. Nh÷ vªy tø (2.6), ta câ 101 ... h

82. 23 N¸u h 100 th¼ do c¡c ÷îc nhä hìn 100 cõa 100 ch¿ câ thº l 2, 4, 10, 20, 25, 50 n¶n suy ra ho°c l 50 ... h ho°c l 20 ... h. V¼ h l c§p cõa 2 (mod 101) n¶n ta câ 250 1(mod 101) ho°c 220 1(mod 101) (2.7) M°t kh¡c, 250 = 210 5 = 10245. V¼ 1024 14(mod 101) n¶n ta i ¸n 10245 145(mod 101) 19:196:14 (mod 101) (6)(6):14 (mod 101) 504 (mod 101) 1 (mod 101) V¼ th¸ ta câ 250 1(mod 101) (2.8) L¤i th§y 220 10242 142 196 6 (mod 101) (2.9) Tø (2.7), (2.8) v (2.9) suy ra m¥u thu¨n. Vªy gi£ thi¸t ph£n chùng h 100 l sai. V¼ th¸ tø 100 ... h suy ra h = 100. Vªy 100 l c§p (mod 101) cõa 2. 2.1.6. T¼m sè tü nhi¶n thäa m¢n t½nh ch§t h m sè '(n) V½ dö 2.10. T¼m t§t c£ c¡c sè tü nhi¶n n câ t½nh ch§t n chia h¸t cho '(n), trong â ' l h m Ì-le. Líi gi£i. Hiºn nhi¶n n¸u n = 1 th¼ '(n) jn. Ta x²t n 1. Gi£ sû n câ ph¥n t½ch th nh thøa sè nguy¶n tè d÷îi d¤ng n = pk1 1 pk2 2 :::pki i . Ta câ '(n) = n 1 1 p1 1 1 p2 ::: 1 1 pi . Tø i·u ki»n '(n) jn, ch¯ng h¤n n = x:'(n), suy ra p1p2:::pi = x(p1 1)(p2 1):::(pi 1).

83. 24 Nh÷ vªy, ph£i câ pj n o â b¬ng 2 (n¸u ng÷ñc l¤i th¼ væ l½, v¼ v¸ tr¡i l sè l´, v¸ ph£i l sè ch®n). Gi£ sû p1 = 2, ta câ 2p2:::pi = x(p2 1):::(pi 1). Do p2; :::; pi kh¡c 2 n¶n tø ¯ng thùc tr¶n suy ra r¬ng n câ nhi·u nh§t l mët ÷îc nguy¶n tè l´, ch¯ng h¤n p2. °t p2 = 2y + 1. Ta câ: 2p2 = x(2y). Do p2 nguy¶n tè n¶n suy ra x = p2; y = 1. Vªy p2 = 3 v n câ d¤ng n = 2k3m; k 1; m 0: D¹ thû l¤i r¬ng, c¡c sè n câ d¤ng nâi tr¶n thäa m¢n i·u ki»n: '(n) jn V½ dö 2.11. Chùng minh r¬ng vîi måi sè tü nhi¶n n 2, ta câ (n) + '(n) 2n. Líi gi£i. Gi£ sû c¡c ÷îc cõa n l 1 = d1 d2 ::: dk = n. Trong c¡c sè tü nhi¶n khæng v÷ñt qu¡ n, câ n di sè l bëi cõa d. Méi sè khæng v÷ñt qu¡ n v khæng nguy¶n tè còng nhau vîi n ph£i l bëi cõa mët ÷îc n o â (lîn hìn 1) cõa n. V¼ th¸ ta câ n '(n) n d2 + n d3 + ::: + n dk . M°t kh¡c, n d2 + n d3 + ::: + n dk = dk1 + dk2 + ::: + d1 = (n) n: Vªy n '(n) (n) n, tùc l (n) + '(n) 2n. Khi n nguy¶n tè, ta câ ¯ng thùc: (n) + '(n) = 2n. 2.2. Ùng döng cõa h m têng c¡c ÷îc sè d÷ìng cõa sè tü nhi¶n n 2.2.1. Chùng minh mët sè l hñp sè V½ dö 2.12. Chùng minh r¬ng n l hñp sè khi v ch¿ khi: (n) n + p n:

84. 25 Líi gi£i. Gi£ sû n l hñp sè. Khi â ngo i ÷îc cõa 1 v n ra, n cán ½t nh§t mët ÷îc d(1 d n). Lóc n y n d công l mët ÷îc cõa n (rã r ng 1 n d n). Câ hai kh£ n«ng x£y ra: 1) N¸u n d 6= d: Khi â câ ½t nh§t 4 ÷îc l 1; n; d; n d . V¼ th¸ (n) 1 + n + d + n d (2.10) Ta câ d + n d 2 p n p n: (2.11) Tø (2.10) v (2.11) suy ra trong tr÷íng hñp n y ta câ (n) n + p n. 2) N¸u n d = d (tùc l d = p n). Lóc n y n câ ½t nh§t 3 ÷îc l 1; p n; n. V¼ th¸ (n) 1 + n + p n n + p n: Tâm l¤i khi n l hñp sè ta luæn câ (n) n + p n. £o l¤i, gi£ sû (n) n + p n: (2.12) Rã r ng n6= 1. V¼ (1) = 1, suy ra (1) 1 + p 1: (2.13) Tø (2.12) v (2.13) suy ra n¸u n thäa m¢n (2.11) th¼ n khæng thº b¬ng 1. Rã r ng n khæng thº l sè nguy¶n tè. Thªt vªy, n¸u p l sè nguy¶n tè p th¼ (p) = p + 1 p + p (chó þ p 2) V¼ th¸, n¸u n thäa m¢n (2.12) th¼ n công khæng thº l sè nguy¶n tè. V¼ l½ do â suy ra n¸u n thäa m¢n (2.12) th¼ n l hñp sè. Tâm l¤i n l hñp sè khi v ch¿ khi (n) n + p n. â l i·u ph£i chùng minh. 2.2.2. Chùng minh mët sè l sè ho n h£o V½ dö 2.13. Sè nguy¶n d÷ìng n gåi l sè ho n h£o n¸u (n) = 2n. Chùng minh r¬ng sè nguy¶n d÷ìng ch®n n l sè ho n h£o khi v ch¿

85. 26 khi n câ biºu di¹n: n = 2m1(2m 1), trong â m l sè nguy¶n sao cho m 2 v 2m 1 l sè nguy¶n tè. Líi gi£i. 1) Gi£ sû n l sè nguy¶n d÷ìng ch®n v câ d¤ng n = 2m1(2m1) trong â m l sè nguy¶n, m m 2 v 2m 1 l sè nguy¶n tè. Rã r ng (2m1; 2m 1) = 1, m (n) l h m nh¥n t½nh n¶n ta câ (n) = (2m1):(2m 1) (2.14) Do 2m 1 l sè nguy¶n tè n¶n düa v o cæng thùc (p) = p + 1 khi p l sè nguy¶n tè, ta câ (2m 1) = (2m 1) + 1 = 2m. M°t kh¡c 2m1 câ c¡c ÷îc d÷ìng l 1; 2; 22; :::; 2m1 v câ têng c¡c ÷îc l 1 + 2 + 22 + 2m1 = 2m 1 2 1 = 2m 1. Tø â theo (2.14) suy ra (n) = (2m 1):2m = 2:2m1(2m 1) ) (n) = 2n. Vªy n l sè ho n h£o. 2) £o l¤i, gi£ sû n l sè ho n h£o ch®n. Biºu di¹n n d÷îi d¤ng sau: n = 2s:t, trong â s v t l c¡c sè nguy¶n d÷ìng v t l sè l´. Do (n) l h m nh¥n t½nh v v¼ (2s; t) = 1 n¶n (n) = (2s):(t) = (2s+1 1):(t) (2.15) (Chó þ, lªp luªn nh÷ tr¶n, suy ra (2s) = 2s+1 1). Do n l sè ho n h£o n¶n theo ành ngh¾a th¼ (n) = 2n = 2s+1:t (2.16) Tø (2.15) v (2.16) ta câ 2s+1:t = (2s+1 1):(t) (2.17)

86. 27 Tø (2.17) suy ra 2s+1 1 (t) ... 2s+1 (2.18) V¼ (2s+1; 2s+1) = 1 n¶n tø (2.18) ta câ 2s+1... (t) (2.19) Tø (2.19) ta câ biºu di¹n sau (t) = 2s+1:q (2.20) Thay (2.20) v o (2.17) ta thu ÷ñc (2s+1 1)2s+1q = 2s+1:t ) 2s+1 1 q = t (2.21) Tø (2.21) suy ra t ... q. Rã r ng t6= q (v¼ n¸u t = q ) 2s+1 1 = 1 ) 2s+1 = 2 ) s = 0 ) n = t ) n l´, do t l´. â l i·u væ l½ v¼ n l sè nguy¶n d÷ìng ch®n). Ta l¤i th§y t + q = (2s+1 1)q + q = 2s+1q = (t) (theo (2.20)). Ta chùng minh r¬ng q = 1. Thªt vªy, n¸u ng÷ñc l¤i q 1 th¼ t câ ½t nh§t 3 ÷îc kh¡c nhau l : 1; t; q (chó þ t ... q; t6= q). Theo ành ngh¾a th¼ (t) 1 + t + q. Nh÷ vªy ta thu ÷ñc h» phi l½ sau (t) = t + q (t) t + q + 1 V¼ th¸ q = 1. Do vªy (t) = 2s+1 ) t = (t) 1 = 2s+1 1. Tø â n = 2s(2s+1 1): Chó þ r¬ng công tø q = 1, ta câ (t) = t + 1 ) t l sè nguy¶n tè. ) 2s+1 1 l sè nguy¶n tè. °t m = s + 1, th¼ m 2 v n = 2m1(2m 1), trong â 2m 1 l sè nguy¶n tè. B i to¡n ¢ ÷ñc gi£i ho n to n. Nhªn x²t 2.2. 1) Tø b i tªp tr¶n suy ra º t¼m c¡c sè ho n h£o, ta ch¿ c¦n t¼m sè c¡c sè nguy¶n tè câ d¤ng 2m 1 (v¼ khi â sè 2m1(2m 1) l sè ho n h£o). 2) Gi£ sû m l sè nguy¶n d÷ìng, khi â sè Mm = 2m 1 ÷ñc gåi l sè Mersenne thù m. N¸u p l sè nguy¶n tè v Mp công l sè nguy¶n tè th¼ Mp ÷ñc gåi l sè nguy¶n tè Mersenne.

87. 28 V½ dö: M2, M3, M5, M7 l c¡c sè nguy¶n tè Mersenne, cán M11 l hñp sè. V½ dö 2.14. Cho n l sè ho n h£o v l sè l´. Chùng minh r¬ng n câ ½t nh§t 3 ÷îc nguy¶n tè kh¡c nhau. Líi gi£i. Gi£ sû n l sè ho n h£o, v gåi (n) l têng t§t c£ c¡c ÷îc sè cõa n. Khi â: (n) = 2n. B¥y gií gi£ sû n l sè ho n h£o v l sè l´ nh÷ng k¸t luªn cõa b i to¡n khæng óng. Khi â ch¿ câ hai kh£ n«ng sau x£y ra: 1) N¸u n ch¿ câ mët ÷îc sè nguy¶n tè, tùc l sè n câ d¤ng n = pk vîi p l sè nguy¶n tè l´ (chó þ do n l sè l´). Ta câ 2 = (n) n = 1 + p + p2 + ::: + pk pk = 1 + 1 p + 1 p2 + ::: + 1 pk = 1 1 pk+1 1 1 p 1 1 1 p = p p 1 2 ( p p 1 2 , p 2p 2 , p 2. Do p l sè nguy¶n tè l´ n¶n p 2 l óng). Tø 2 2 suy ra i·u væ l½. Vªy ð tr÷íng hñp n y gi£ thi¸t ph£n chùng l sai. 2) N¸u n câ 2 ÷îc sè nguy¶n tè l´ kh¡c nhau p v q sao cho n = paqb (câ thº cho l p q). Lóc n y ta câ 2 = (n) n = (paqb) paqb = (pa) pa : (qb) qb = 1 + p + p2 + ::: + pa pa : 1 + q + q2 + ::: + qb qb Lªp luªn nh÷ tr¶n suy ra 2 1 1 1 p : 1 1 1 q (2.22) V¼ p v q l hai sè nguy¶n tè l´ v p q n¶n p 3; q 5. V¼ vªy

88. 29 1 1 1 p : 1 1 1 q 1 1 1 3 : 1 1 1 5 = 15 8 2. Thay v o (2.22) ta câ 2 2. i·u væ l½ n y chùng tä gi£ thi¸t ph£n chùng trong tr÷íng hñp n y công sai. Tâm l¤i gi£ thi¸t cho l k¸t luªn cõa b i to¡n khæng óng l gi£ thi¸t sai. â ch½nh l i·u ph£i chùng minh. 2.2.3. Chùng minh b§t ¯ng thùc li¶n quan tîi (n) V½ dö 2.15. Chùng minh r¬ng b§t ¯ng thùc: (n) 3n óng vîi mët tªp hñp væ h¤n c¡c sè tü nhi¶n n. Líi gi£i. Rã r ng n¸u d l ÷îc cõa n th¼ n d công l mët ÷îc sè cõa n. V¼ vªy: (n) = d1 + d2 + ::: + dk = n 1 d1 + 1 d2 + ::: + 1 dk ð ¥y d1; d2; :::; dk l t§t c£ c¡c ÷îc tü nhi¶n cõa n. L§y n l sè tòy þ sao cho nâ l bëi sè cõa sè 16! = 1.2.guatda.com/cmx.p3...15.16. D¾ nhi¶n sè nhúng sè n nh÷ vªy l væ h¤n (â l c¡c sè câ d¤ng k:16! vîi k = 1; 2; :::;). Nâi ri¶ng trong c¡c ÷îc cõa n câ 1, 2, 3, ..., 16. V¼ th¸ lóc n y (n) = n 1 d1 + 1 d2 + ::: + 1 dk n 1 + 1 2 + 1 3 + ::: + 1 16 (2.23) º þ r¬ng 1 + 1 2 + 1 3 + ::: + 1 16 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + ::: + 1 8 + 1 9 + 1 10 + ::: + 1 16 M°t kh¡c, hiºn nhi¶n ta câ 1 3 + 1 4 2: 1 4 = 1 2 ; 1 5 + 1 6 + ::: + 1 8 4: 1 8 = 1 2 ; :::::::::::::::::::::::::: 1 1 1 + + ::: + 9 10 16 8: 1 16 = 1 2 :

89. 30 Do vªy 1 + 1 2 + 1 3 + ::: + 1 16 3 (2.24) B¥y gií tø (2.23) v (2.24) ta i ¸n (n) 3n. Nh÷ vªy ta ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng tçn t¤i væ h¤n sè tü nhi¶n n, sao cho ta câ b§t ¯ng thùc (n) 3n. â l i·u ph£i chùng minh. V½ dö 2.16. Cho sè tü nhi¶n n 1. Chùng minh r¬ng ta luæn câ b§t p ¯ng thùc sau: (n) n n. Líi gi£i. X²t hai tr÷íng hñp sau: 1) N¸u n = 2. Do n 2 n¶n l sè nguy¶n lîn hìn ho°c b¬ng 2. Rã r ng lóc n y (n) = (2) = 20 + 21 + 22 + ::: + 2 = 2+1 1 2 1 = 2+1 1 (2.25) V¼ 2 n¶n ta câ (n) = 2+1 1 2+1 2+ 2 = 2:2 p n 2 = n Vªy b§t ¯ng thùc ¢ cho khi n 2 v n câ d¤ng n = 2 l óng. 2) N¸u n khæng câ d¤ng 2 (tùc n khæng ph£i l lôy thøa cõa 2). ta s³ chùng minh b¬ng quy n¤p trong tr÷íng hñp n y. Do n 2 n¶n sè nhä nh§t khæng câ d¤ng 2 l sè 3. Lóc n y (3) = 1 + 3 = 4 3 p 3. Vªy b§t ¯ng thùc óng khi n = 3: Gi£ thi¸t quy n¤p (k) k p k ¢ óng vîi måi k, 3 k n v k khæng câ d¤ng 2. Ta s³ chùng minh: p n (2.26) (n) n V¼ n khæng chia h¸t cho 2 n¶n n câ d¤ng n = mp trong â m nguy¶n d÷ìng, p l sè nguy¶n tè l´. D¹ th§y p p (2.27) 1 + p p Thªt v¥y, khi p = 3 th¼ 1 + 3 3 p 3, cán khi p 5, ta câ 1 + p p = 1 + 1 p 1 + 1 5 2.

90. 31 M°t kh¡c p p p 5 2 ) 1 + p p p p hay 1 + p p p p. Vªy (2.27) óng. Ch¿ câ c¡c kh£ n«ng sau x£y ra: a) N¸u m = 1 =) n = p, khi â p nguy¶n tè n¶n (n) = (p) = 1 + p. Tø (2.26) suy ra trong tr÷íng hñp n y ta câ: (n) = 1+p p p n. p p = n Vªy (2.26) óng trong tr÷íng hñp n y. b) N¸u m = 2 =) n = 2p. Do p nguy¶n tè n¶n lóc n y (n) = (2p) = 1 + 2 + p + 2p = 3(1 + p). V¼ p l nguy¶n tè l´ n¶n p 3. Ta câ 3 + 3 p 3 + 3 3 )3 + 3 p 4: p 2: L¤i câ: 2 p 6 4. V¼ th¸ p p 2 3 + 3 p 2 p 2: p p )3(1 + p) 2 p 2:p p p = 2p p 2p = n p n p n: )(n) n Vªy (2.26) óng trong tr÷íng hñp n y. c) N¸u m 3. V¼ m khæng câ d¤ng 2, n¶n m 3 v m n, n¶n theo gi£ thi¸t quy n¤p ta câ: (m) m p m. Ta th§y r¬ng c¡c ÷îc sè cõa n = mp ch¿ câ d¤ng d ho°c dp vîi d l ÷îc sè cõa m. V¼ th¸ (n) = (m) + p(m) = (p + 1)(m): p m Tø â i ¸n (n) (p + 1)m p p:m L¤i ¡p döng (2.27), ta câ (n) p p m = mp p n. p mp = n Vªy (2.26) công óng trong tr÷íng hñp n y. Tâm l¤i khi n khæng câ d¤ng 2, ta công luæn câ (n) n p n. V¼ l³ §y p n ÷ñc chùng minh ho n to n. b§t ¯ng thùc (n) n

91. 32 2.3. Ùng döng cõa h m S(n) 2.3.1. T¼m n bði S(n) thäa m¢n mët h» thùc cho tr÷îc V½ dö 2.17. T¼m sè tü nhi¶n n sao cho S(n) = n2 2003n + 5: Líi gi£i. Ta câ 0 S(n) n (2.28) Gi£ sû n l sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n y¶u c¦u · b i, tùc l S(n) = n2 2003n + 5: Tø (2.28) i ¸n h» b§t ph÷ìng tr¼nh sau (©n n) n2 2003n + 5 0 n2 2003n + 5 n , n2 2003n + 5 0 (a) n2 2004n + 5 0 (b) Tø (a) suy ra, nâi ri¶ng (n 1)(n 2002) 0 v t÷ìng tü tø (b) ta câ n(n 2004) 0. V¼ l³ â ta i ¸n 2002 n 2004 (2.29) Tø (2.29) v tø t½nh nguy¶n cõa n ta thu ÷ñc n = 2003. £o l¤i, n¸u n = 2003 th¼ S(2003) = 2 + 3 = 5. M°t kh¡c, rã r ng 20032 - 2003.2003 + 5 = 5. Nâi c¡ch kh¡c S(n) = n2 2003n + 5 , n = 2003. i·u â câ ngh¾a l n = 2003 l gi¡ trà duy nh§t cõa n thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. V½ dö 2.18. T¼m sè tü nhi¶n n sao cho: n + S(n) = 2003: Líi gi£i. Ta câ n + S(n) = 2003 , n = 2003 S(n) (2.30) V¼ S(n) 0 v S(n) nguy¶n, n¶n S(n) 1. Do â tø (2.30) ta câ n 2002 (2.31)

92. 33 Chó þ r¬ng trong c¡c sè khæng v÷ñt qu¡ sè 2002, th¼ sè 1999 câ têng c¡c chú sè lîn nh§t. nh÷ vªy ta câ b§t ¯ng thùc sau S(n) S(1999) = 28 (2.32) óng vîi måi sè tü nhi¶n n 2002. Thay (2.32) v o (2.30) ta câ: n 1975, k¸t hñp vîi (2.31) ta i ¸n 1975 n 2002: (2.33) Do S(2002) = 4; S(2001) = 3; S(2000) = 2, n¶n n = 2002; 2001; 2000 d¾ nhi¶n khæng thäa m¢n h» thùc (2.30), v¼ th¸ k¸t hñp vîi (2.33), ta câ: 1975 n 1999 (2.34) V¼ l³ §y, ta câ thº biºu di¹n n d÷îi d¤ng n = 19ab (a; b 2 N) , 0 a 9, 0 b 9. Khi â h» thùc n+S(n) = 2003 câ d¤ng: 1900+10a+b+10+a+b = 2003 hay 11a + 2b = 93: (2.35) Tø (2.35) ta câ b = 93 11a 2 = 46 5a + 1 a 2 Do b nguy¶n n¶n 1 a 2 = t hay a = 1 2t v b = 11t + 41, trong â t nguy¶n. V¼ a; b l c¡c sè nguy¶n khæng ¥m, nh÷ng khæng v÷ñt qu¡ 9 n¶n suy ra h» thùc sau º x¡c ành t 8 : 9 1 2t 0 9 11t + 41 0 t 2 Z , 8 : 4 t 1 2 41 11 t 32 11 t 2 Z , t = 3 Khi t = 3 th¼ a = 7; b = 8. Nh÷ vªy n¸u n thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n th¼ n = 1978. £o l¤i, n¸u n = 1978 th¼ S(n) = 1 + 9 + 7 + 8 = 25. Rã r ng n + S(n) = 1978 + 25 = 2003. Tâm l¤i n = 1978 l gi¡ trà duy nh§t cõa n thäa m¢n y¶u c¦u · ra.

93. 34 V½ dö 2.19. T¼m t§t c£ c¡c sè tü nhi¶n n thäa m¢n: n + S(n) + S(S(n)) = 2001. Líi gi£i. Ta câ n 2001 =) S(n) S(1999) = 28 =) S(S(n)) S(28) = 10: Suy ra n 2001 28 10 = 1963. Tø â S(n) S(1970) = 17 v S(S(n)) 2 n¶n n 2001 17 2 = 1982: M°t kh¡c 3n n + S(n) + S(S(n)) 2001 3(mod 9) n¶n n 1(mod 3). Tø â n 2 f1963; 1966; 1969; 1972; 1975; 1978; 1981g. B¬ng c¡ch thû trüc ti¸p ta th§y ch¿ câ c¡c sè 1969, 1972, 1975 thäa m¢n. Nh÷ vªy, ¡p sè cõa b i to¡n l n 2 f1969; 1972; 1975g. V½ dö 2.20. T¼m sè n nhä nh§t sao cho trong n sè tü nhi¶n li¶n ti¸p tòy þ luæn chån ÷ñc mët sè N m S(N) chia h¸t cho 13. Líi gi£i. Ta chùng minh sè c¦n t¼m l 79. Tr÷îc h¸t ta chùng minh trong 79 sè li¶n ti¸p th¼ luæn chån ÷ñc mët sè N m S(N) chia h¸t cho 13. X²t 2 tr÷íng hñp: 1) N¸u trong 79 sè câ sè M chia h¸t cho 100. Khi â n¸u trong 79 sè â câ ½t nh§t 39 sè lîn hìn M th¼ trong 13 sè li¶n ti¸p trong c¡c sè sau: S(M); S(M + 1); :::; S(M + 9); S(M + 19); S(M + 29); S(M + 39) ph£i câ mët sè chia h¸t cho 13, cán n¸u câ ½t nh§t 40 sè nhä hìn M th¼ trong 13 sè li¶n ti¸p S(M 40); S(M 39); :::; S(M 31); S(M 21); S(M 11); S(M 1) công ph£i câ mët sè chia h¸t cho 13. 2) N¸u trong 79 sè khæng câ sè n o chia h¸t cho 100 th¼ gåi M l sè chia h¸t cho 10 nhä nh§t trong 79 sè. Khi â trong 13 sè li¶n ti¸p S(M); S(M + 1); :::; S(M + 9); S(M + 19); S(M + 29); S(M + 39) ph£i câ mët sè chia h¸t cho 13. Cuèi còng câ thº kiºm tra 78 sè li¶n ti¸p bt ¦u tø 9 999 999 961 khæng câ sè N n o º S(N) chia h¸t cho 13.

94. 35 2.3.2. T½nh gi¡ trà S(n) V½ dö 2.21. (IMO-1975). °t A = S(44444444), v B = S(A). T¼m S(B). Líi gi£i. °t N = 44444444. Do N 100004444 n¶n N câ khæng qu¡ 4444.4 20000 sè. Tø â: A 9:20000 = 180000 ) B S(99999) = 45 ) S(B) 39 = 12 (2.36) M°t kh¡c 4444 (2)(mod 9) n¶n N 24444 = 81431:2 (2)(mod 9) v do â S(B) chia 9 d÷ 7: (2.37) Tø (2.36) v (2.37) suy ra S(B) = 7. V½ dö 2.22. °t a = S (29)1999 ; b = S(a) ; c = S(b): T¼m c. Líi gi£i. °t n = (29)1999 th¼ n = (23)3:1999 = 85997 105997. Vªy n l mët sè câ khæng qu¡ 5997 sè. Do |99{:z::9} 5997 sè 9 l sè lîn nh§t câ 5997 chú sè. Tø â suy ra a = S(n) S( 9|9{:z::9} 5997 sè 9 ) = 9:5997 = 53973 Nh÷ th¸ ta câ a 53973 (2.38) Trong c¡c sè khæng v÷ñt qu¡ 53973, chú sè 49999 l sè câ têng c¡c chú sè lîn nh§t. V¼ th¸ tø (2.38) suy ra b = S(a) S(49999) = 40 Do vªy b 40 (2.39) Trong c¡c sè khæng v÷ñt qu¡ 40 th¼ sè 39 l¤i l sè câ têng c¡c chú sè lîn nh§t. V¼ l³ §y, tø (2.39) ta thu ÷ñc: c = S(b) S(39) = 12: Nh÷ vªy c 12 (2.40)

95. 36 Theo c¡ch x¡c ành tr¶n th¼ n = (23)5997. Do 23 (1)(mod 9) n¶n n (1)5997(mod 9) hay n (1)(mod 9), công tùc l n 8(mod 9) (2.41) Ta câ vîi måi m tü nhi¶n th¼ m S(m)(mod 9). V¼ l³ §y, tø (2.41) suy ra: c b a S(n) n 8(mod 9) Tâm l¤i ta câ 0 c 12 v c 8(mod 9) n¶n c = 8. V½ dö 2.23. (· thi QG 2004). T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa S(n) khi n ch¤y tr¶n c¡c bëi cõa 2003. Nhªn x²t 2.3. 1) Cho p l sè nguy¶n tè l´ v câ d¤ng p = 4k 1, ta câ: 2 p1 2 (1)k(mod p): (2.42) 2) 2 l sè ch½nh ph÷ìng (mod p), vîi p nguy¶n tè l´ th¼ i·u ki»n c¦n v õ l p = 8t 1: (2.43) Líi gi£i. °t p = 2003, th¼ p l sè nguy¶n tè. Rã r ng n khæng thº câ d¤ng 100...0. Thªt vªy, khi â n = 10k v 10k khæng chia h¸t cho 2003 vîi måi k. V¼ l³ â khi n ch¤y tr¶n c¡c bëi cõa 2003 th¼ S(n) 1. Gi£ sû tçn t¤i n l bëi cõa p m S(n) = 2. V¼ S(n) = 2, n¶n ch¿ câ thº x£y ra hai tr÷íng hñp sau: 1) Ho°c l n = 200:::0. Tr÷íng hñp n y khæng thº câ v¼ 200:::0 = 2:10k khæng chia h¸t cho 2003. 2) Ho°c l n = 1aq1aq2:::a1a0, trong â c¡c h» sè a0; a1; :::; aq1 câ óng mët sè b¬ng 1, cán l¤i ·u b¬ng 0, tùc l n câ d¤ng n = 10q + 10j vîi 0 j q. Theo gi£ thi¸t ta câ n ... 2003, tùc l 10q 10j(mod p) ) 10qj 1(mod p). °t k = q j, th¼ 10k 1(mod p) D¹ th§y 210 = 1024 107(mod p) suy ra

96. 37 25k 2 = 210k 107k 1(mod p) Vªy -1 l sè ch½nh ph÷ìng (mod p). Theo (2.42), th¼ p ph£i câ d¤ng 4k + 1, suy ra 2003 = 4k + 1 ) k = 1001 2 =2 Z Ta thu ÷ñc i·u væ l½ (do k =2 Z). Vªy S(n) khæng thº b¬ng 2, suy ra S(n) 2. B¥y gií ta s³ ch¿ ra r¬ng tçn t¤i n l bëi cõa 3 m S(n) = 3. Ta câ 107 210(mod p) ) 2:10700 21001 = 2 p1 2 1(mod p) (do p = 20036= 8t 1) (¡p döng (2.43): 2 l sè ch½nh ph÷ìng (mod p) , p ph£i câ d¤ng 8t1). V¼ 20036= 8t1, n¶n 2 khæng ph£i l sè ch½nh ph÷ìng (mod p). Theo nhªn x²t tr¶n, suy ra: 2 p1 2 1(mod p). Tø â suy ra 2:10700 + 1 ... p. °t n = 2:10700 + 1, th¼ n l bëi cõa 2003 v S(n) = 3. Tâm l¤i, min n2D S(n) = 3, ð ¥y D = n : n nguy¶n d÷ìng v l bëi cõa 2003 . Nhªn x²t 2.4. Ta ¢ ¡p döng c¡c k¸t qu£ v· sè ch½nh ph÷ìng (mod p) º gi£i b i to¡n tr¶n. 2.3.3. Chùng minh mët sè biºu thùc li¶n quan tîi S(n) V½ dö 2.24. Cho n l sè tü nhi¶n b§t ký. Chùng minh r¬ng: S(8n) S(n) 1 8 . Líi gi£i. Tr÷îc h¸t ta câ nhªn x²t sau: N¸u n l sè nguy¶n d÷ìng th¼ vîi måi sè nguy¶n d÷ìng p, ta câ h» thùc: S(n) = S(10pn) (2.44) Thªt vªy, gi£ sû n = 12:::k th¼ 10pn = 12:::k |00{:z::0} p sè 0 . V¼ th¸ S(n) = S(10pn) (v¼ còng b¬ng 1 + 2 + ::: + k), tùc l (2.44)

97. 38 óng. Tø (2.44) nâi ri¶ng ta câ S(n) = S(1000n) = S(125:8n): (2.45) p döng t½nh ch§t cõa h m S(n) th¼ S(125:8n) S(125):S(8n) = 8:S(8n) (2.46) Tø (2.45) v (2.46) ta i ¸n S(n) 8S(8n) ) S(8n) S(n) 1 8 . V½ dö 2.25. Cho sè nguy¶ n d÷ìng n. Gåi A l tªp hñp t§t c£ c¡c sè nguy¶n a trong 10n; 10n+1 m S(a) ch®n v B l tªp hñp t§t c£ sè nguy¶n b trong 10n; 10n+1 m S(b) l´. Chùng minh r¬ng: X a2A am = X b2B bn vîi måi sè tü nhi¶nm n: (2.47) Líi gi£i. K½ hi»u A(n);B(n) l c¡c tªp A;B ð · b i vîi n 0 v A(0) = Cn f0g, B(0) = Ln f1g vîi C = f0; 2; 4; 6; 8g v L = f1; 3; 5; 7; 9g. Ta chùng minh (2.47) quy n¤p vîi n 0. Vîi n = 0 th¼ m = 0 v (2.47) hiºn nhi¶n óng. Gi£ sû (2.47) ¢ óng tîi vîi n, ta chùng minh nâ công óng vîi n + 1. Ta câ P a2A(n+1) am = P a2A(n) P x2C (10a + x)m+ P b2B(n) P y2L (10b + y)m Tø â, n¸u m = 0 th¼ ta câ ngay i·u ph£i chùng minh. N¸u 0 m n + 1 th¼ P a2A(n) P x2C (10a + x)m = P a2A(n) 10mam + mP1 i=0 Cim :10i:Si: P x2C xm1 vîi Si = X a2A(n) ai = X b2B(n) bi 8i n: X a2A(n+1) am = X a2A(n) 10mam + X b2B(n) 10mbm + mX1 i=0 Cim :10i:Si: X z2C[L zm1 !

98. 39 Do t½nh èi xùng n¶n suy ra P a2A(n+1) am = P b2B(n+1) bm. Theo nguy¶n l½ quy n¤p ta câ i·u ph£i chùng minh. Nhªn x²t 2.5. Câ thº ph¡t biºu l¤i k¸t qu£ B i to¡n 2.25 nh÷ sau: Cho sè nguy¶n d÷ìng n. Gåi A l tªp hñp t§t c£ c¡c sè nguy¶n a trong kho£ng (1, 10n) m S(a) ch®n v B l tªp hñp t§t c£ c¡c sè nguy¶n b trong kho£ng (1, 10n) m S(b) l´. Chùng minh r¬ng: P a2A am = P b2B bn vîi måi sè tü nhi¶n m n. 2.3.4. X²t t½nh bà ch°n cõa h m sè chùa S(n) V½ dö 2.26. X²t t½nh bà ch°n cõa h m sè f(n) = S(a) S(a:n) vîi a 2 Z+ cho tr÷îc. Líi gi£i. °t a = 2:5

99. :b ; (b; 10) = 1 N¸u b = 1 th¼ f(n) = S(n) S(a:n) = S(10:10

100. :n) S(2:5

101. :n) S(5:2

102. ) = const N¸u b 1 th¼ gåi p l mët ÷îc nguy¶n tè cõa b. Ta câ f(n) = S(n) S(a:n) S(n) S(pn):S(a=p S(n) S(pn):a=p . Ta chån d¢y xn = 10n(p1) p vîi 0 c p v (c + 10) ... p. Khi â vîi n õ lîn th¼ S(xn:p) = 1 + S(c) = const v º chùng tä h m f(n) khæng bà ch°n ta ch¿ c¦n câ S(xn) ! +1 khi n ! +1. Do xn ! +1 khi n ! +1 n¶n ta ch¿ c¦n chùng minh trong biºu di¹n thªp ph¥n cõa xn khæng câ chú sè 0 n o. Thªt vªy, n¸u ng÷ñc l¤i, d¹ th§y r¬ng pxn câ ½t nh§t 3 chú sè kh¡c 0. Vªy h m f(n) bà ch°n khi v ch¿ khi a khæng câ ÷îc nguy¶n tè n o ngo i 2 v 5.

103. 40 V½ dö 2.27. Cho a l sè ch®n nh÷ng khæng chia h¸t cho 5. Chùng minh r¬ng: lim n!+1 S(an) = +1. Líi gi£i. L§y n 8, °t an = akak1:::a1 Ta chùng minh n¸u 1 i n 4 th¼ trong c¡c chú sè ai+1; :::; a4i ph£i câ ½t nh§t mët sè kh¡c 0. Thªt vªy, v¼ n¸u khæng th¼ °t c = aiai1:::a1 v ta câ (an c) ... 104i ) c ... 24i (v¼ a ch®n) nh÷ng 0 c 10i 24i n¶n m¥u thu¨n. Tø â l§y n 4m th¼ S(an) (a2 + a3 + a4) + ::: + (a4m+1 + a4m+2 + ::: + a4m+m) m: Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh. 2.4. Ùng döng cõa h m sè c¡c ÷îc (n) 2.4.1. T¼m n thäa m¢n mët i·u ki»n cho tr÷îc cõa (n) V½ dö 2.28. T¼m n nhä nh§t º (n) = 1. (Gi£i b i to¡n khi thay 1 bði mët trong c¡c sè sau: 2, 3, 6, 14 v 100). Líi gi£i. Ta bi¸t r¬ng trong c¡c ÷îc d÷ìng cõa n luæn câ m°t 1 v n. 1) X²t khi (n) = 1. V¼ n ch¿ câ mët ÷îc d÷ìng n¶n tø nhªn x²t tr¶n suy ra n = 1. (n) = 1 () n = 1. D¾ nhi¶n sè n nhä nh§t công l n = 1. 2) X²t khi (n) = 2. n ch¿ câ hai ÷îc khi v ch¿ khi n l sè nguy¶n tè. Vªy khi (n) = 2 th¼ n nhä nh§t l 2 (v¼ 2 l sè nguy¶n tè b² nh§t). 3) X²t khi (n) = 3. Ta câ n¸u trong khai triºn ra thøa sè nguy¶n tè n = p1 1 p2 2 :::pk k , ð ¥y i nguy¶n v lîn hìn 0 (i = 1, 2,...,k) th¼ (n) = (1 + 1) (2 + 1) ::: (k + 1). V¼ th¸ (n) = 3 n¶n suy ra n = p2, vîi p l sè nguy¶n tè. Do â khi (n) = 3 th¼ n nhä nh§t l 22 = 4. 4) X²t khi (n) = 6. Ta câ 6 = 2.3, v¼ th¸ n¶n khi (n) = 6 th¼ n câ d¤ng n = p1p2 2, trong â p1, p2 l c¡c sè nguy¶n tè. Vªy khi (n) = 6 th¼ n nhä nh§t l 22:3 = 12. 5) X²t khi (n) = 14. Ta câ 14 = 2.7, v¼ th¸ khi (n) = 14 th¼ n câ d¤ng

104. 41 n = p1p62 , trong â p1, p2 l c¡c sè nguy¶n tè. Vªy khi (n) = 14 th¼ n nhä nh§t l n = 26:3 = 64:3 = 192. 6) X²t khi (n) = 100. Ta câ 100 = 2.50 = 4.25 = 2.2.25 = 2.2.5.5 = 10.10. V¼ vªy n = p1p49 2 = p31 p24 2 = p1p2p24 3 = p1p2p43 p44 = p91 p92 , trong â p1, p2, p3, p4 l c¡c sè nguy¶n tè. Sè nhä nh§t trong c¡c sè p1p49 2 l 249:3 Sè nhä nh§t trong c¡c sè p31 p24 2 l 224:33 Sè nhä nh§t trong c¡c sè p1p2p33 p44 l 24:34:5:7 Sè nhä nh§t trong c¡c sè p91 p92 l 29:39 D¹ th§y minf3:249 ; 33:224 ; 24:34:5:7 ; 29:39g =24:34:5:7 = 35:6 = 45360 Vªy khi (n) = 100 th¼ n nhä nh§t l 45360. V½ dö 2.29. T¼m t§t c£ c¡c sè nguy¶n d÷ìng n sao cho ( (n))3 = 4n. Líi gi£i. Gi£ sû n l sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n i·u ki»n: ( (n))3 = 4n (2.48) Gi£ sû trong khai triºn ra thøa sè nguy¶n tè cõa n, ta câ n = p1 1 p2 2 :::ps s ::: ð ¥y p1 p2 ::: ps ::: l t§t c£ c¡c sè nguy¶n tè, cán i, i = 1, 2,... l c¡c sè nguy¶n khæng ¥m. Khi â ta câ (n) = (1 + 1)(1 + 2):::(1 + s)::: (2.49) Ta câ 4n = p1 1 p2 2 :::ps s ::: Do p1 = 2 n¶n 4n = p2+1 1 p2 2 :::ps s ::: (2.50) Tø (2.48) suy ra 4n l lªp ph÷ìng cõa mët sè nguy¶n. V¼ th¸ tø (2.50) v do pi l c¡c sè nguy¶n tè n¶n ta câ 1 = 1 + 3

105. 1 i = 3

106. i ; i = 2; 3; ::: ð ¥y

107. 1;

108. 1; ::: l c¡c sè nguy¶n lîn hìn ho°c b¬ng 0. Thay v o (2.49) ta câ (n) = (2 + 3

109. 1)(1 + 3

110. 2)(1 + 3

111. 3):::(1 + 3

112. s)::: (2.51) Tø (2.51) suy ra (n) khæng chia h¸t cho 3 (v¼ (n) 2(mod 3)). M°t kh¡c, l¤i câ 4n = ( (n))3 n¶n suy ra n khæng chia h¸t cho 3.

113. 42 V¼ n = p1 1 p2 2 :::ps s :::, ð ¥y p2 = 3. Do n khæng chia h¸t cho 3 n¶n 2 = 0 (v¼ n¸u 2 0 th¼ p2 2 chia h¸t cho 3, tùc l n chia h¸t cho 3, d¨n ¸n væ l½). V¼ l³ â tø (2.51), l¤i câ (n) = (2 + 3

114. 1)(1 + 3

115. 3):::(1 + 3

116. s)::: B¥y gií ph÷ìng tr¼nh ( (n))3 = 4n , (2 + 3

117. 1)3(1 + 3

118. 3)3:::(1 + 3

119. s)3::: = 23(1+

120. 1)p3

121. 3 3 :::p3

122. s s ::: , 2 + 3

123. 1 21+

124. 1 = p

125. 3 3 :::p

126. s s ::: (1 + 3

127. 3) ::: (1 + 3

128. s) ::: (2.52) V¼ 5 = p3 p4 ::: ps ::: n¶n vîi måi i 3 th¼ p

129. i i 5

130. i = (1 + 4)

131. i 1 + 4

132. i (theo b§t ¯ng thùc Bernoulli, th¼ (1 + a)n 1 + na vîi måi n nguy¶n d÷ìng). Tø â suy ra v¸ ph£i cõa (2.52) lîn hìn ho°c b¬ng 1, v ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi

133. i = 0 vîi måi i 3. V¼ l³ â tø (2.52), ta câ 2 + 3

134. 1 21+

135. 1 1 (2.53) Tø (2.53) suy ra 2 + 3

136. 1 21+

137. 1 (2.54) M°t kh¡c 21+

138. 1 = 2(1 + 1)

139. 1 2(1 + C1

140. 1 + C2

141. 1 ) = 2 1 +

142. 1 +

143. 1(

144. 1 1) 2 hay tø (2.54) ta câ 2 + 3

145. 1 2 +

146. 1 + 2

147. 2 1 (ð ¥y ¢ sû döng cæng thùc khai triºn nhà thùc Newton). Tø â ta câ 2

148. 1

149. 2 1 hay

150. 1 2. Tø t½nh nguy¶n cõa

151. 1, câ

152. 1 = 0, 1 hay 2. X²t c¡c tr÷íng hñp sau: a) N¸u

153. 1 = 0 hay

154. 1 = 2 th¼: 2 + 3

155. 1 21+

156. 1 = 1 Do â suy ra c£ hai v¸ cõa (2.52) b¬ng 1, v¼ l³ â tø lªp luªn tr¶n suy ra 2 l ÷îc sè nguy¶n duy nh§t cõa n. Tø â:

157. 43 - N¸u

158. 1 = 0, ta ÷ñc nghi»m n = 21+3

159. 1 = 2. - N¸u

160. 1 = 2, ta ÷ñc nghi»m n = 21+3

161. 1 = 27 = 128. b) N¸u

162. 1 = 1 th¼ 2 + 3

163. 1 21+

164. 1 = 5 4 Khi â tø (2.52) ta câ

165. 3 0 nh÷ng

166. 3 1 khæng thº câ. Thªt vªy, khi â 5

167. 3 1 + 3

168. 3 5 4 , suy ra v¸ ph£i cõa (2.52) 5 4 v m¥u thu¨n so vîi (2.52). V¼ l³ â

169. 3 = 1, th¸ th¼ 5

170. 3 1 + 3

171. 3 = 51 1 + 3 = 5 4 (v d¾ nhi¶n º (2.52) óng th¼

172. 4 =

173. 5 = ::: = 0). Tø â ta câ 8 : 1 = 1 + 3

174. 1 = 1 + 3:1 = 4 2 = 0 3 = 3

175. 3 = 3 i = 0 ; 8i 4 Nh÷ vªy n = 24:53 = 16:125 = 2000. Tâm l¤i c¡c sè nguy¶n d÷ìng c¦n t¼m l n = 2; n = 128 v n = 2000. 2.4.2. Mët sè b§t ¯ng thùc li¶n quan tîi h m (n) V½ dö 2.30. Gi£ sû (n) l sè t§t c£ c¡c ÷îc sè tü nhi¶n cõa n. Chùng minh r¬ng vîi måi n = 1; 2; ::: ta câ b§t ¯ng thùc: 2(n) 4n. Líi gi£i. Gi£ sû a l ÷îc sè cõa n, th¼ sè b = n a công l ÷îc cõa n. Do â t§t c£ c¡c ÷îc sè cõa n ÷ñc chia th nh tøng c°p, khi °t t÷ìng ùng p vîi méi ÷îc a n v b = n a . Ngo i ra, câ thº th¶m p n n¸u p n l sè nguy¶n (tùc l khi n l sè ch½nh ph÷ìng). Sè nhä trong hai sè cõa c°p gåi l sè thù nh§t, cán l¤i sè lîn gåi l sè thù hai. X²t hai kh£ n«ng sau: 1) N¸u n khæng ph£i l sè ch½nh ph÷ìng. Khi â t§t c£ c¡c sè thù nh§t s³ nhä hìn p n. Công v¼ l³ â n¸u gåi d l sè lîn nh§t trong c¡c sè thù nh§t th¼ d p n ) d [ p n], ð ¥y qua [] º ch¿ ph¦n nguy¶n cõa sè . V¼ måi sè thù nh§t thuëc tªp f1; 2; :::; [ p n]g, tø â suy ra sè c¡c sè thù p n] nh§t [ p n (do n khæng ph£i l sè ch½nh ph÷ìng). V¼ n khæng ph£i l sè ch½nh ph÷ìng n¶n (n) b¬ng hai l¦n c¡c sè thù nh§t. Do vªy

176. 44 ta câ b§t ¯ng thùc: (n) 2 p n ) 2(n) 4n: 2) N¸u n l sè ch½nh ph÷ìng. Khi â p n l ÷îc cõa n, v t§t c£ c¡c ÷îc thù nh§t p n 1. Kþ hi»u d nh÷ trong ph¦n 1), ta câ d p n 1 ) d [ p n 1] p n 1] Lªp luªn nh÷ tr¶n ta câ sè c¡c sè thù nh§t [ p n 1. Khi n l sè ch½nh ph÷ìng, th¼ (n) b¬ng hai l¦n sè c¡c sè thù nh§t cëng th¶m 1. V¼ l³ â suy ra p n 1) + 1 ) (n) 2 (n) 2 ( p n 1 2 p n ) 2(n) 4n: Tâm l¤i, ta luæn luæn chùng minh ÷ñc r¬ng vîi måi n = 1; 2; ::: th¼ 2(n) 4n. â l i·u ph£i chùng minh. V½ dö 2.31. Chùng minh r¬ng, tçn t¤i n thäa m¢n: (n2) = k (n) khi v ch¿ khi k l sè l´. Líi gi£i. Tr÷îc ti¶n, ta ch¿ ra r¬ng, n¸u tçn t¤i n º (n2) = k (n) (2.55) khi k l sè l´. N¸u n = 1 th¼ (n) = (n2) = 1 =) k = 1. Gi£ sû n 1, n = pr1 1 :::prs s l khai triºn n th nh thøa sè nguy¶n tè. Khi â: n2 = p2r1 1 :::p2rs s . Ph÷ìng tr¼nh (2.55) cho ta (2r1 + 1) ::: (2rs + 1) = k (r1 + 1) ::: (rs + 1) (2.56) Vªy k l sè l´. Ng÷ñc l¤i, gi£ sû k = 2m + 1. Ta chùng minh sü tçn t¤i n thäa m¢n (2.55) b¬ng quy n¤p theo m. Sü tçn t¤i n t÷ìng ÷ìng vîi sü tçn t¤i (r1; :::; rs) thäa m¢n (2.56). Vîi m = 1, ta câ 2m + 1 = 3 = (2:4 + 1)(2:2 + 1) (4 + 1)(2 + 1) .

177. 45 Gi£ sû vîi måi m M, méi sè k = 2m + 1 ·u câ thº biºu di¹n d÷îi d¤ng (2.56). Ta chùng minh k = 2M + 1 công câ d¤ng â. Gi£ sû k + 1 = 2l:t, trong â t l´. Khi â ta câ: t = k + 1 2l k + 1 2 k v¼ l 1; k 1. X²t c¡c sè r1; :::; rl nh÷ sau r1 = 2l:t 20:t 20 r2 = 2l+1:t 21:t 21 ::: rl = 2l+l1:t 2l1:t 2l1: X²t n1 = pr1 1 :::prl l . Khi â ta câ k = (n21 ) (n1) = 2l+1:t 21:t 21 + 1 ::: 2l+1:t 2l:t 2l + 1 (2l:t 20:t 20 + 1) ::: (2l+l1:t 2l1:t 2l1 + 1) = 22l:t 2l:t 2l + 1 2l:t 20:t 20 + 1 = 2l 1 2l:t 1 (2l 1) t = 2l:t 1 t V¼ 1 k n¶n theo gi£ thi¸t quy n¤p, tçn t¤i sè n2 = qa1 1 :::qas s sao cho t = (n22 ) (n2) . B¬ng c¡ch chån c¡c sè q1; :::; qs; p1; :::; pl l c¡c sè nguy¶n tè kh¡c nhau v °t n = n1:n2, ta câ: (n2) (n) = (n21 ) (n1) : (n22 ) (n2) = k1:t = 2l:t 1 = k: 2.4.3. T¼m sè nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh b¬ng ph÷ìng ph¡p sû döng (n) V½ dö 2.32. Chùng minh r¬ng vîi måi k 1, ph÷ìng tr¼nh (n) = k câ væ sè nghi»m. Líi gi£i. Ta câ cæng thùc: (n) = (1 + 1) (2 + 1) ::: (k + 1), n¸u n = p1 1 p2 2 :::pk k , trong â pi l c¡c sè nguy¶n tè v i nguy¶n 1, 8i = 1; 2; :::k. X²t hai kh£ n«ng sau: 1) N¸u k l sè nguy¶n tè. Khi â tø (n) = k suy ra n = pk1, ð ¥y p l sè nguy¶n tè. Do tªp

178. 46 hñp sè nguy¶n tè l væ h¤n, n¶n tçn t¤i væ h¤n sè nguy¶n d÷ìng câ d¤ng n = pk1. i·u â câ ngh¾a l ph÷ìng tr¼nh (n) = k câ væ sè nghi»m khi k l sè nguy¶n tè. 2) N¸u k l hñp sè. Khi â ta câ biºu di¹n k = k1:k2, trong â k1 1; k2 1. Tø (n) = k, n¶n suy ra mët trong c¡c d¤ng cõa n l n = pk11 1 :pk21 2 , ð ¥y p1; p2 l c¡c sè nguy¶n tè. Do tªp hñp c¡c sè nguy¶n tè p1; p2 l væ h¤n n¶n tçn t¤i væ h¤n c¡c sè nguy¶n d÷ìng câ d¤ng n = pk11 1 :pk21 2 . Tâm l¤i vîi måi k nguy¶n d÷ìng lîn hìn 1, th¼ ph÷ìng tr¼nh (n) = k câ væ sè nghi»m. â l i·u ph£i chùng minh. 2.5. Ùng döng cõa h m ph¦n nguy¶n [x] 2.5.1. B i to¡n ành t½nh V½ dö 2.33. Chùng minh r¬ng vîi måi sè nguy¶n n, n + 2 4 + n + 4 4 + n 1 2 = n. Líi gi£i. X²t n = 4k ta câ n + 2 4 = k ; n + 4 4 = k + 1 ; n 1 2 = 2k 1. Do â n + 2 4 + n + 4 4 + n 1 2 = n X²t n = 4k + 1 ta câ n + 2 4 = k ; n + 4 4 = k + 1 ; n 1 2 = 2k Do â n + 2 4 + n + 4 4 + n 1 2 = n T÷ìng tü vîi n = 4k + 2; 4k + 3 ta công câ i·u ph£i chùng minh.

179. 47 V½ dö 2.34. Cho m; n l c¡c sè nguy¶n, c l mët sè væ t d÷ìng v d = 1 c . Chùng minh r¬ng: [mP+nc] j=0 [n + 1 + (m j)d] = [n+Pmd] j=0 [m + 1 + (n j)c]. Líi gi£i. Trong m°t ph¯ng Oxy x²t hai iºm A(0;m+nc) v B(n+md; 0). X²t sè iºm nguy¶n n¬m trong tam gi¡c OAB theo hai c¡ch. C¡ch thù nh§t, vîi méi sè nguy¶n j, 0 j [n + md] ta t½nh sè c¡c sè nguy¶n i sao cho iºm (j, i ) n¬m trong tam gi¡c OAB (coi j t÷ìng ùng vîi iºm (j, 0) tr¶n OB). °t x0 = n + md; y0 = m + nc, khi â ÷íng th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh x = j ct o¤n AB t¤i iºm câ tung ë b¬ng (x0 j)y0 x0 = (n + md j)(m + nc) n + md = (n + m c j)(n + m c )c n + m c = m + (n j)c: Do â, sè c¡c sè nguy¶n i º iºm (j; i) n¬m trong tam gi¡c OAB l : 1 + [m + (n j)c] = [m + 1 + (n j)c] Tø â suy ra sè iºm nguy¶n (j; i) n¬m trong tam gi¡c OAB l : N = P 0j[n+md] [m + 1 + (n j)c]. C¡ch thù hai, vîi méi sè nguy¶n i, 0 i [m + nc] ta t½nh sè c¡c sè nguy¶n j sao cho iºm (j; i) n¬m trong tam gi¡c OAB (coi i t÷ìng ùng vîi iºm (0; i) tr¶n OA). B¬ng c¡ch t½nh ho n to n t÷ìng tü ta câ sè c¡c iºm nguy¶n (j; i) n¬m trong tam gi¡c OAB l N = P 0i[m+nc] [n + 1 + (m j)d]: Tø â suy ra i·u ph£i chùng minh.

180. 48 V½ dö 2.35. Cho n l sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n n! câ óng 2002 chú sè 0 tªn còng. Chùng minh r¬ng: n 8024. Líi gi£i. Gi£ sû n! = 25

181. q, trong â (q; 2) = (q; 5) = 1. Theo cæng thùc 1P Polignac, ta câ: = i=1 h n 2i i

182. = 1P i=1 h n 5i i : Do â n! ... 10

183. , n! khæng chia h¸t cho 10

184. +1 n¶n sè chú sè 0 ùng tªn còng trong biºu di¹n thªp ph¥n cõa n l

185. . Vªy ta c¦n t¼m n nhä nh§t sao cho

186. = 1P i=1 h n 5i i = 2002. Vîi méi n °t p(n) = 1P i=1 h n 5i i . Ta câ p(n) p(n + 1) vîi måi n 1 v p(8024) = 8024 5 + 8024 25 + 8024 125 + 8024 625 + 8024 3125 = 1604 + 320 + 64 + 12 + 2 = 2002: Do â n 8024, i·u ph£i chùng minh. V½ dö 2.36. Cho a1; a2; :::; ak l c¡c sè nguy¶n d÷ìng khæng v÷ñt qu¡ n thäa m¢n i·u ki»n: [ai; aj ] n vîi måi 1 i6= j k. Chùng minh r¬ng: 1 a1 + 1 a2 + ::: + 1 ak 2. Líi gi£i. Phn ¥n ho¤ch tªp S = f1; 2; :::; ng th nh k tªp S1; S2; :::; Sk thäa m¢n: Si = s 2 S

189. s ... ai o vîi måi i = 1; 2; :::; k. Ta s³ chùng minh Si Sj = ; vîi måi 1 i6= j k. Thªt vªy, gi£ sû tçn t¤i s 2 Si Sj khi â s ... ai v s ... aj n¶n a ... [ai; aj ] n væ lþ. Vªy c¡c tªp S1; S2; :::; Sk æi mët ríi nhau. Do â: Pk i=1 jSij = Pk i=1 n ai n: Tø â, Pk i=1 n ai Pk i=1 n ai + 1 n + k 2n i·u ph£i chùng minh. V½ dö 2.37. (Taiwan 1998). Chùng minh r¬ng vîi måi sè nguy¶n d÷ìng mP1 m v n, ta luæn câ: (m; n) = 2 k=0 kn m + m + n mn:

190. 49 Líi gi£i. °t d = (m; n);m = dm0; n = dn0 ta câ m0; n0 l c¡c sè nguy¶n d÷ìng nguy¶n tè còng nhau. Ta câ kn m + n kn m = 8 : n 1 n¸u kn m khæng l mët sè nguy¶n n n¸u kn m l mët sè nguy¶n M°t kh¡c kn m = kn0 m0 l mët sè nguy¶n khi v ch¿ khi k chia h¸t cho m0. Do â, trong tªp hñp f1; 2; :::;m 1g câ m 1 m0 = d 1 m0 = d 1 gi¡ trà cõa k sao cho kn m l mët sè nguy¶n. Ta câ 2 mX1 k=0 kn m = 2 mX1 k=1 kn m = mX1 k=1 kn m + n kn m = mn m n + d: Suy ra (m; n) = d = 2 mP1 k=0 kn m + m + n mn: i·u ph£i chùng minh. V½ dö 2.38. (Væ àch to¡n quèc t¸, 1972). Vîi sè nguy¶n d÷ìng m; n. Chùng minh r¬ng: (2m)! (2n)! m!n! (m + n)! l mët sè nguy¶n. Líi gi£i. Tr÷îc ti¶n, ta chùng minh: [2] + [2

191. ] [] + [

192. ] + [ +

193. ] (2.57) vîi ;

194. l c¡c sè thüc. Thªt vªy, ta câ [2] = [2 [] + 2 fg] = 2 [] + [2 fg] [2

195. ] = [2 [

196. ] + 2 f

197. g] = 2 [

198. ] + [2 f

199. g] [ +

200. ] = [] + [

201. ] + [fg + f

202. g]

203. 50 B§t ¯ng thùc (2.57) t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc [2 fg] + [2 f

204. g] [fg + f

205. g] (2.58) V¼ 0 fg + f

206. g 2 n¶n x£y ra hai tr÷íng hñp sau: 1) N¸u 0 fg + f

207. g 1 th¼ (2.58) luæn óng v¼ v¸ tr¡i lîn hìn ho°c b¬ng 0. 2) N¸u 1 fg+f

208. g 2 th¼ [fg + f

209. g] = 1. Khi â fg 1 2 ho°c f

210. g 1 2 , gi£ sû fg 1 2 . Suy ra 2 fg 1 ) [2 fg] + [2 f

211. g] 1. Vªy (2.57) ÷ñc chùng minh. B¥y gií, Ta chùng tä r¬ng vîi måi sè nguy¶n tè p, sè c¡c thøa sè p chùa trong t½ch (2m)!(2n)! khæng nhä hìn c¡c thøa sè p chùa trong t½ch m!n!(m + n)!. Gåi S1; S2 l¦n l÷ñt l c¡c sè thøa sè p chùa trong t½ch (2m)!(2n)! v m!n!(m + n)!: Ta câ S1 = 2m p + 2m p2 + ::: + 2n p + 2n p2 + ::: S2 = m p + m p2 + ::: + n p + n p2 + ::: m + n p + m + n p2 + ::: º chùng tä S1 S2 ta ph£i chùng minh vîi k tü nhi¶n b§t ký ta câ 2m pk + 2n pk m pk + n pk + m + n pk B§t ¯ng n y ÷ñc suy ra tø b§t ¯ng thùc (2.57) ð tr¶n vîi = m pk v

212. = m pk . 2.5.2. B i to¡n ành l÷ñng V½ dö 2.39. Cho M = 19871987, d¢y fxngn1 l c¡c sè nguy¶n thäa m¢n: x1 = M; xn+1 = 2 664 xn + M xn 2 3 775 , vîi måi n = 1, 2,... T½nh min fxn : 1 n Mg :

213. 51 Líi gi£i. °t hp M i = , khi â 2 Z+; 2 M ( + 1)2. Ta câ: a + [b] 2 = a + b 2 n¶n xn+1 = 2 664 M xn 2 xn + 3 775 hp M i = : do M ( + 1)2 n¶n n¸u xn + 1 th¼ M=xn xn v xn+1 = 2 664 M xn 2 xn + 3 775 xn + xn 2 = xn Tùc l , n¸u xn + 1 th¼ xn+1 xn 1. Tø â suy ra min fxn : 1 n Mg = . V½ dö 2.40. T¼m sè nguy¶n d÷ìng n lîn nh§t sao cho 2003! chia h¸t cho 5n. Líi gi£i. Hiºn nhi¶n sè n c¦n t¼m ch½nh l sè mô cõa 5 trong ph¥n t½ch 2003! th nh t½ch c¡c thøa sè nguy¶n tè. Theo cæng thùc Polignac, n = X1 i=1 2003 5i = 2003 5 + 2003 25 + 2003 125 + 2003 625 = 400 + 80 + 16 + 3 = 499 Vªy n = 499 l sè c¦n t¼m. V½ dö 2.41. (Canada 1998). T¼m sè c¡c nghi»m thüc cõa ph÷ìng tr¼nh: ha 2 i + ha 3 i + ha 5 i = a. Líi gi£i. V¼ v¸ ph£i l mët sè nguy¶n n¶n a công ph£i l mët sè nguy¶n. °t a = 30q+r trong â q; r l c¡c sè nguy¶n, 0 r 29. Ta câ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi ph÷ìng tr¼nh sau 31q + hr 2 i + hr 3 i + hr 5 i = 30q + r:

214. 52 hay q = r hr 2 i + hr 3 i + hr 5 i : Nh÷ vªy, vîi méi gi¡ trà cõa r tçn t¤i duy nh§t mët gi¡ trà cõa q sao cho a = 30q + r thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh ¢ cho. Do r câ thº nhªn 30 gi¡ trà (tø 0 ¸n 29) n¶n ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ 30 nghi»m. V½ dö 2.42. (Czeck-Slovak 1998). T¼m t§t c£ c¡c sè thüc x thäa m¢n: x [x [x [x]]] = 88. Líi gi£i. °t f(x) = x [x [x [x]]] vîi måi sè thüc x. Tr÷îc h¸t ta chùng minh r¬ng: jf(a)j jf(b)j vîi måi a; b 2 R thäa m¢n ab 0, jaj jbj 1. Thªt vªy, tø ab 0, jaj jbj 1 suy ra [[a]] [[b]] 1 Nh¥n jaj jbj 1 v o ta câ [a [a]] [b [b]] 1 D¹ th§y a [a] còng d§u vîi b [b], a [a [a]] còng d§u vîi b [b [b]] n¶n t÷ìng tü nh÷ tr¶n ta câ [a [a [a]]] [b [b [b]]] 1; [a [a [a [a]]]] [b [b [b [b]]]] 1 Tø â suy ra jf(a)j jf(b)j. V¼ f(x) = 0 vîi måi jxj 1; f(1) = 1 n¶n n¸u f(x0) = 88 th¼ jx0j 1. X²t hai tr÷íng hñp sau: Tr÷íng hñp 1 : x0 1. Tø chùng minh tr¶n f(x) ìn i»u t«ng tr¶n kho£ng (1;1) n¶n n¸u tçn t¤i th¼ x0 l duy nh§t. Ta câ f(3) = 81 88 = f(x0) f(4) = 256 n¶n 3 x0 4 v [x0] = 3. Tø â, f(x0) = x0 [x0 [3x0]] = 88. 10 M°t kh¡c f(3) = 81 88 = f(x0) f 3 = 110 n¶n 3 x0 10/3 suy ra [x0 [x0]] = 9. Ti¸p töc, f(3) = 81 88 = f(x0) f 29 9 = 292 9 n¶n 3 x0 29/9. Do â 27 [x0 [x0 [x0]]] = [9x0] 29 = 9 29 9 suy ra [x0 [x0 [x0]]] = 28. Tø â f(x0) = 28x0 = 88 n¶n x0 = 22/7

215. 53 Tr÷íng hñp 2 : x0 - 1. Tø chùng minh tr¶n, f(x) ìn i»u gi£m tr¶n kho£ng (1;1). T÷ìng tü tr÷íng hñp 1, ta câ jf(3)j = 81 88 = f(x0)

219. f 112 37

223. = 112 n¶n - 3 x0 - 112/37 v [x0 [x0 [x0]]] = 37. Tø â suy ra x = 88 37 3, væ lþ. Vªy khæng tçn t¤i nghi»m x0 1. Tâm l¤i, tçn t¤i duy nh§t nghi»m x0 = 22 7 . V½ dö 2.43. (Korea 1997). Biºu di¹n Pn k=1 hp k i theo n v a = [ p n]. Líi gi£i. D¹ d ng th§y r¬ng hp k i = Pa j=1 j2 k v¼ n¸u 1 k n th¼ hp k i [ p n] = a. Tø â, ta câ Xn k=1 hp k i = Xn k=1 Xa j=1 j2 k = Xa j=1 Xn k=1 j2 k V¼ Pn k=1 j2 k chùa sè c¡c sè k 2 f1; 2; :::; ng thäa m¢n k j2, v do j a k²o theo j2 n n¶n sè c¡c sè n y l n + 1 j2. Theo ¯ng thùc tr¶n ta câ Pn k=1 hp k i = Pa j=1 (n + 1 j2) = (n + 1)a a(a + 1)(2a + 1) 6 . Tr¶n ¥y l mët sè d¤ng b i to¡n cì b£n cõa sè håc trong ch÷ìng tr¼nh phê thæng. Vi»c ph¥n chia c¡c b i to¡n qua c¡c ùng döng cì b£n gióp cho vi»c h¼nh th nh t÷ duy v· sè håc mët c¡ch thuªn lñi hìn.

224. 54 K¸t luªn Luªn v«n tr¼nh b y mët sè ùng döng cì b£n cõa c¡c h m sè håc. Luªn v«n ¢ tr¼nh b y v ¤t ÷ñc mët sè k¸t qu£ sau thæng qua 2 ch÷ìng. 1. Ch÷ìng 1 ¢ tr¼nh b y ÷ñc nh÷ng lþ thuy¸t cì b£n cõa c¡c h m sè håc. 2. Ch÷ìng 2 ¢ n¶u ÷ñc c¡c ùng döng cõa c¡c h m sè håc cì b£n. V qua â t¤o ÷ñc t÷ duy trong vi»c ph¥n ho¤ch c¡c d¤ng to¡n cõa c¡c h m sè håc. Sü ph¥n ho¤ch â em l¤i mët c¡ch t÷ duy cho ng÷íi håc b¬ng c¡ch tü m¼nh câ thº ph¥n chia l¤i c¡c ùng döng ho°c bê sung ho n ch¿nh cho ph¦n ùng döng â. 3. Thæng qua ph¦n lþ thuy¸t v c¡c ùng döng cì b£n cõa c¡c h m sè håc em l¤i c¡ch nh¼n cö thº hìn èi vîi c¡c h m sè håc trong c¡c b i to¡n sì c§p ð phê thæng.

225. 55 T i li»u tham kh£o [1] Phan Huy Kh£i - Chuy¶n · 3: C¡c b i to¡n v· h m sè håc - NXB Gi¡o döc, th¡ng 3 n«m 2009. [2] Phan Huy Kh£i - Chuy¶n · 4: C¡c b i to¡n v· h m sè håc - NXB Gi¡o döc, th¡ng 3 n«m 2009. [3] H Huy Kho¡i - Chuy¶n · bçi d÷ïng håc sinh giäi to¡n trung håc phê thæng Sè håc - NXB Gi¡o döc, 2003. [4] Nguy¹n Vô L÷ìng - Nguy¹n L÷u Sìn - Nguy¹n Ngåc Thng - Ph¤m V«n Hòng - C¡c b i gi£ng v· sè håc - NXB ¤i håc Quèc Gia H Nëi, Quþ 4 n«m 2006. [5] T i li»u tªp hu§n ph¡t triºn chuy¶n mæn gi¡o vi¶n tr÷íng THPT Chuy¶n mæn To¡n, th¡ng 07/2011. [6] °ng Hòng Thng - Nguy¹n V«n Ngåc - Vô Kim Thõy - B i gi£ng sè håc - X½ nghi»p in ÷íng st H Nëi, th¡ng 05/1997. [7] Nguy¹n Vô Thanh - Chuy¶n · bçi d÷ïng Chuy¶n mæn to¡n Sè håc - NXB Ti·n Giang, th¡ng 09/1992. [8] Peter Vandendriessche - Hojoo Lee - Problems in Elementary Num-ber Theory, 07/2007.

Cac ham so so hoc

More Related Content

What's hot (19)

Similar to Cac ham so so hoc (20)

More from Vui Lên Bạn Nhé (20)

Recently uploaded (20)

Cac ham so so hoc