![Logistic Regression
Let’s write p(X) = Pr(Y = 1|X) for short and consider using
balance to predict default. Logistic regression uses the form
p(X) =
eβ0+β1X
1 + eβ0+β1X
.
(e ≈ 2.71828 is a mathematical constant [Euler’s number.])
It is easy to see that no matter what values β0, β1 or X take,
p(X) will have values between 0 and 1.
6 / 40](https://image.slidesharecdn.com/ch4classification-250214081934-ceb3d879/85/Ch4_Classification-pdf-Machine-learning-10-320.jpg)
![Logistic Regression
Let’s write p(X) = Pr(Y = 1|X) for short and consider using
balance to predict default. Logistic regression uses the form
p(X) =
eβ0+β1X
1 + eβ0+β1X
.
(e ≈ 2.71828 is a mathematical constant [Euler’s number.])
It is easy to see that no matter what values β0, β1 or X take,
p(X) will have values between 0 and 1.
A bit of rearrangement gives
log
p(X)
1 − p(X)
= β0 + β1X.
This monotone transformation is called the log odds or logit
transformation of p(X). (by log we mean natural log: ln.)
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![Lets do it again, using student as the predictor.
Coefficient Std. Error Z-statistic P-value
Intercept -3.5041 0.0707 -49.55 0.0001
student[Yes] 0.4049 0.1150 3.52 0.0004
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![Lets do it again, using student as the predictor.
Coefficient Std. Error Z-statistic P-value
Intercept -3.5041 0.0707 -49.55 0.0001
student[Yes] 0.4049 0.1150 3.52 0.0004
c
Pr(default=Yes|student=Yes) =
e−3.5041+0.4049×1
1 + e−3.5041+0.4049×1
= 0.0431,
c
Pr(default=Yes|student=No) =
e−3.5041+0.4049×0
1 + e−3.5041+0.4049×0
= 0.0292.
10 / 40](https://image.slidesharecdn.com/ch4classification-250214081934-ceb3d879/85/Ch4_Classification-pdf-Machine-learning-18-320.jpg)
![Logistic regression with several variables
log
p(X)
1 − p(X)
= β0 + β1X1 + · · · + βpXp
p(X) =
eβ0+β1X1+···+βpXp
1 + eβ0+β1X1+···+βpXp
Coefficient Std. Error Z-statistic P-value
Intercept -10.8690 0.4923 -22.08 0.0001
balance 0.0057 0.0002 24.74 0.0001
income 0.0030 0.0082 0.37 0.7115
student[Yes] -0.6468 0.2362 -2.74 0.0062
Why is coefficient for student negative, while it was positive
before?
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![Types of errors
False positive rate: The fraction of negative examples that are
classified as positive — 0.2% in example.
False negative rate: The fraction of positive examples that are
classified as negative — 75.7% in example.
We produced this table by classifying to class Yes if
c
Pr(Default = Yes|Balance, Student) ≥ 0.5
We can change the two error rates by changing the threshold
from 0.5 to some other value in [0, 1]:
c
Pr(Default = Yes|Balance, Student) ≥ threshold,
and vary threshold.
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![Example: Bikeshare Data
Linear regression with response bikers: number of hourly users
in bikeshare program in Washington, DC.
Coefficient Std. error z-statistic p-value
Intercept 73.60 5.13 14.34 0.00
workingday 1.27 1.78 0.71 0.48
temp 157.21 10.26 15.32 0.00
weathersit[cloudy/misty] -12.89 1.96 -6.56 0.00
weathersit[light rain/snow] -66.49 2.97 -22.43 0.00
weathersit[heavy rain/snow] -109.75 76.67 -1.43 0.15
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
−40
−20
0
20
Month
Coefficient
J F M A M J J A S O N D
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
5 10 15 20
−100
0
50
100
200
Hour
Coefficient
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![Poisson Regression on Bikeshare Data
Coefficient Std. error z-statistic p-value
Intercept 4.12 0.01 683.96 0.00
workingday 0.01 0.00 7.5 0.00
temp 0.79 0.01 68.43 0.00
weathersit[cloudy/misty] -0.08 0.00 -34.53 0.00
weathersit[light rain/snow] -0.58 0.00 -141.91 0.00
weathersit[heavy rain/snow] -0.93 0.17 -5.55 0.00
●
●
●
●
● ●
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●
●
●
●
●
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
Month
Coefficient
J F M A M J J A S O N D
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ● ● ●
●
●
●
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●
●
●
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5 10 15 20
−2
−1
0
1
Hour
Coefficient
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![Poisson Regression on Bikeshare Data
Coefficient Std. error z-statistic p-value
Intercept 4.12 0.01 683.96 0.00
workingday 0.01 0.00 7.5 0.00
temp 0.79 0.01 68.43 0.00
weathersit[cloudy/misty] -0.08 0.00 -34.53 0.00
weathersit[light rain/snow] -0.58 0.00 -141.91 0.00
weathersit[heavy rain/snow] -0.93 0.17 -5.55 0.00
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
Month
Coefficient
J F M A M J J A S O N D
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ● ● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
5 10 15 20
−2
−1
0
1
Hour
Coefficient
*In this case the variance is somewhat larger than the mean — a situation known
as overdispersion — so the p-values are misleadingly small.
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Ch4_Classification.pdf Machine learning.
- 1. Classification • Qualitative variables take values in an unordered set C, such as: eye color∈ {brown, blue, green} email∈ {spam, ham}. • Given a feature vector X and a qualitative response Y taking values in the set C, the classification task is to build a function C(X) that takes as input the feature vector X and predicts its value for Y ; i.e. C(X) ∈ C. • Often we are more interested in estimating the probabilities that X belongs to each category in C. 1 / 40
- 2. Classification • Qualitative variables take values in an unordered set C, such as: eye color∈ {brown, blue, green} email∈ {spam, ham}. • Given a feature vector X and a qualitative response Y taking values in the set C, the classification task is to build a function C(X) that takes as input the feature vector X and predicts its value for Y ; i.e. C(X) ∈ C. • Often we are more interested in estimating the probabilities that X belongs to each category in C. For example, it is more valuable to have an estimate of the probability that an insurance claim is fraudulent, than a classification fraudulent or not. 1 / 40
- 3. Example: Credit Card Default 0 500 1000 1500 2000 2500 0 20000 40000 60000 Balance Income No Yes 0 500 1000 1500 2000 2500 Default Balance No Yes 0 20000 40000 60000 Default Income 2 / 40
- 4. Can we use Linear Regression? Suppose for the Default classification task that we code Y = ( 0 if No 1 if Yes. Can we simply perform a linear regression of Y on X and classify as Yes if Ŷ > 0.5? 3 / 40
- 5. Can we use Linear Regression? Suppose for the Default classification task that we code Y = ( 0 if No 1 if Yes. Can we simply perform a linear regression of Y on X and classify as Yes if Ŷ > 0.5? • In this case of a binary outcome, linear regression does a good job as a classifier, and is equivalent to linear discriminant analysis which we discuss later. • Since in the population E(Y |X = x) = Pr(Y = 1|X = x), we might think that regression is perfect for this task. 3 / 40
- 6. Can we use Linear Regression? Suppose for the Default classification task that we code Y = ( 0 if No 1 if Yes. Can we simply perform a linear regression of Y on X and classify as Yes if Ŷ > 0.5? • In this case of a binary outcome, linear regression does a good job as a classifier, and is equivalent to linear discriminant analysis which we discuss later. • Since in the population E(Y |X = x) = Pr(Y = 1|X = x), we might think that regression is perfect for this task. • However, linear regression might produce probabilities less than zero or bigger than one. Logistic regression is more appropriate. 3 / 40
- 7. Linear versus Logistic Regression 0 500 1000 1500 2000 2500 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Balance Probability of Default | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ||| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 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1000 1500 2000 2500 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Balance Probability of Default | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 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either 0 or 1. Linear regression does not estimate Pr(Y = 1|X) well. Logistic regression seems well suited to the task. 4 / 40
- 8. Linear Regression continued Now suppose we have a response variable with three possible values. A patient presents at the emergency room, and we must classify them according to their symptoms. Y = 1 if stroke; 2 if drug overdose; 3 if epileptic seizure. This coding suggests an ordering, and in fact implies that the difference between stroke and drug overdose is the same as between drug overdose and epileptic seizure. 5 / 40
- 9. Linear Regression continued Now suppose we have a response variable with three possible values. A patient presents at the emergency room, and we must classify them according to their symptoms. Y = 1 if stroke; 2 if drug overdose; 3 if epileptic seizure. This coding suggests an ordering, and in fact implies that the difference between stroke and drug overdose is the same as between drug overdose and epileptic seizure. Linear regression is not appropriate here. Multiclass Logistic Regression or Discriminant Analysis are more appropriate. 5 / 40
- 10. Logistic Regression Let’s write p(X) = Pr(Y = 1|X) for short and consider using balance to predict default. Logistic regression uses the form p(X) = eβ0+β1X 1 + eβ0+β1X . (e ≈ 2.71828 is a mathematical constant [Euler’s number.]) It is easy to see that no matter what values β0, β1 or X take, p(X) will have values between 0 and 1. 6 / 40
- 11. Logistic Regression Let’s write p(X) = Pr(Y = 1|X) for short and consider using balance to predict default. Logistic regression uses the form p(X) = eβ0+β1X 1 + eβ0+β1X . (e ≈ 2.71828 is a mathematical constant [Euler’s number.]) It is easy to see that no matter what values β0, β1 or X take, p(X) will have values between 0 and 1. A bit of rearrangement gives log p(X) 1 − p(X) = β0 + β1X. This monotone transformation is called the log odds or logit transformation of p(X). (by log we mean natural log: ln.) 6 / 40
- 12. Linear versus Logistic Regression 0 500 1000 1500 2000 2500 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Balance Probability of Default | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 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1000 1500 2000 2500 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Balance Probability of Default | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 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for p(X) lies between 0 and 1. 7 / 40
- 13. Maximum Likelihood We use maximum likelihood to estimate the parameters. `(β0, β) = Y i:yi=1 p(xi) Y i:yi=0 (1 − p(xi)). This likelihood gives the probability of the observed zeros and ones in the data. We pick β0 and β1 to maximize the likelihood of the observed data. 8 / 40
- 14. Maximum Likelihood We use maximum likelihood to estimate the parameters. `(β0, β) = Y i:yi=1 p(xi) Y i:yi=0 (1 − p(xi)). This likelihood gives the probability of the observed zeros and ones in the data. We pick β0 and β1 to maximize the likelihood of the observed data. Most statistical packages can fit linear logistic regression models by maximum likelihood. In R we use the glm function. Coefficient Std. Error Z-statistic P-value Intercept -10.6513 0.3612 -29.5 0.0001 balance 0.0055 0.0002 24.9 0.0001 8 / 40
- 15. Making Predictions What is our estimated probability of default for someone with a balance of $1000? p̂(X) = eβ̂0+β̂1X 1 + eβ̂0+β̂1X = e−10.6513+0.0055×1000 1 + e−10.6513+0.0055×1000 = 0.006 9 / 40
- 16. Making Predictions What is our estimated probability of default for someone with a balance of $1000? p̂(X) = eβ̂0+β̂1X 1 + eβ̂0+β̂1X = e−10.6513+0.0055×1000 1 + e−10.6513+0.0055×1000 = 0.006 With a balance of $2000? p̂(X) = eβ̂0+β̂1X 1 + eβ̂0+β̂1X = e−10.6513+0.0055×2000 1 + e−10.6513+0.0055×2000 = 0.586 9 / 40
- 17. Lets do it again, using student as the predictor. Coefficient Std. Error Z-statistic P-value Intercept -3.5041 0.0707 -49.55 0.0001 student[Yes] 0.4049 0.1150 3.52 0.0004 10 / 40
- 18. Lets do it again, using student as the predictor. Coefficient Std. Error Z-statistic P-value Intercept -3.5041 0.0707 -49.55 0.0001 student[Yes] 0.4049 0.1150 3.52 0.0004 c Pr(default=Yes|student=Yes) = e−3.5041+0.4049×1 1 + e−3.5041+0.4049×1 = 0.0431, c Pr(default=Yes|student=No) = e−3.5041+0.4049×0 1 + e−3.5041+0.4049×0 = 0.0292. 10 / 40
- 19. Logistic regression with several variables log p(X) 1 − p(X) = β0 + β1X1 + · · · + βpXp p(X) = eβ0+β1X1+···+βpXp 1 + eβ0+β1X1+···+βpXp Coefficient Std. Error Z-statistic P-value Intercept -10.8690 0.4923 -22.08 0.0001 balance 0.0057 0.0002 24.74 0.0001 income 0.0030 0.0082 0.37 0.7115 student[Yes] -0.6468 0.2362 -2.74 0.0062 Why is coefficient for student negative, while it was positive before? 11 / 40
- 20. Confounding 500 1000 1500 2000 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Credit Card Balance Default Rate No Yes 0 500 1000 1500 2000 2500 Student Status Credit Card Balance • Students tend to have higher balances than non-students, so their marginal default rate is higher than for non-students. • But for each level of balance, students default less than non-students. • Multiple logistic regression can tease this out. 12 / 40
- 21. Example: South African Heart Disease • 160 cases of MI (myocardial infarction) and 302 controls (all male in age range 15-64), from Western Cape, South Africa in early 80s. • Overall prevalence very high in this region: 5.1%. • Measurements on seven predictors (risk factors), shown in scatterplot matrix. • Goal is to identify relative strengths and directions of risk factors. • This was part of an intervention study aimed at educating the public on healthier diets. 13 / 40
- 22. sbp 0 10 20 30 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo oo o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o oo o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o oo o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o oo o o o 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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o oo oo o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 0 50 100 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 100 160 220 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo oo o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 0 10 20 30 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o oo oo o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o oo o o oo oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo oo o o o o o oo o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o tobacco o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o oo o oo o o o o o o oo o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o oo o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o ooo o 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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o oo o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o 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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o ooo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 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o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 15 25 35 45 o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o oo o o 20 40 60 20 40 60 age Scatterplot ma- trix of the South African Heart Disease data. The response is color coded — The cases (MI) are red, the controls turquoise. famhist is a binary variable, with 1 indicating family history of MI. 14 / 40
- 23. heartfit -glm(chd∼.,data=heart ,family=binomial) summary(heartfit) Call: glm(formula = chd ∼ ., family = binomial , data = heart) Coefficients : Estimate Std. Error z value Pr(|z|) (Intercept) -4.1295997 0.9641558 -4.283 1.84e -05 *** sbp 0.0057607 0.0056326 1.023 0.30643 tobacco 0.0795256 0.0262150 3.034 0.00242 ** ldl 0.1847793 0.0574115 3.219 0.00129 ** famhistPresent 0.9391855 0.2248691 4.177 2.96e -05 *** obesity -0.0345434 0.0291053 -1.187 0.23529 alcohol 0.0006065 0.0044550 0.136 0.89171 age 0.0425412 0.0101749 4.181 2.90e-05 *** (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: 596.11 on 461 degrees of freedom Residual deviance: 483.17 on 454 degrees of freedom AIC: 499.17 15 / 40
- 24. Case-control sampling and logistic regression • In South African data, there are 160 cases, 302 controls — π̃ = 0.35 are cases. Yet the prevalence of MI in this region is π = 0.05. • With case-control samples, we can estimate the regression parameters βj accurately (if our model is correct); the constant term β0 is incorrect. • We can correct the estimated intercept by a simple transformation β̂∗ 0 = β̂0 + log π 1 − π − log π̃ 1 − π̃ • Often cases are rare and we take them all; up to five times that number of controls is sufficient. See next frame 16 / 40
- 25. Diminishing returns in unbalanced binary data SLDM III c Hastie Tibshirani - March 7, 2013 Linear Regression 108 2 4 6 8 10 12 14 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 Control/Case Ratio Coefficient Variance Simulation Theoretical Sampling more controls than cases reduces the variance of the parameter estimates. But after a ratio of about 5 to 1 the variance re- duction flattens out. Sampling more controls than cases reduces the variance of the parameter estimates. But after a ratio of about 5 to 1 the variance re- duction flattens out. 17 / 40
- 26. Logistic regression with more than two classes So far we have discussed logistic regression with two classes. It is easily generalized to more than two classes. One version (used in the R package glmnet) has the symmetric form Pr(Y = k|X) = eβ0k+β1kX1+...+βpkXp PK `=1 eβ0`+β1`X1+...+βp`Xp Here there is a linear function for each class. 18 / 40
- 27. Logistic regression with more than two classes So far we have discussed logistic regression with two classes. It is easily generalized to more than two classes. One version (used in the R package glmnet) has the symmetric form Pr(Y = k|X) = eβ0k+β1kX1+...+βpkXp PK `=1 eβ0`+β1`X1+...+βp`Xp Here there is a linear function for each class. (The mathier students will recognize that some cancellation is possible, and only K − 1 linear functions are needed as in 2-class logistic regression.) 18 / 40
- 28. Logistic regression with more than two classes So far we have discussed logistic regression with two classes. It is easily generalized to more than two classes. One version (used in the R package glmnet) has the symmetric form Pr(Y = k|X) = eβ0k+β1kX1+...+βpkXp PK `=1 eβ0`+β1`X1+...+βp`Xp Here there is a linear function for each class. (The mathier students will recognize that some cancellation is possible, and only K − 1 linear functions are needed as in 2-class logistic regression.) Multiclass logistic regression is also referred to as multinomial regression. 18 / 40
- 29. Discriminant Analysis Here the approach is to model the distribution of X in each of the classes separately, and then use Bayes theorem to flip things around and obtain Pr(Y |X). When we use normal (Gaussian) distributions for each class, this leads to linear or quadratic discriminant analysis. However, this approach is quite general, and other distributions can be used as well. We will focus on normal distributions. 19 / 40
- 30. Bayes theorem for classification Thomas Bayes was a famous mathematician whose name represents a big subfield of statistical and probabilistic modeling. Here we focus on a simple result, known as Bayes theorem: Pr(Y = k|X = x) = Pr(X = x|Y = k) · Pr(Y = k) Pr(X = x) 20 / 40
- 31. Bayes theorem for classification Thomas Bayes was a famous mathematician whose name represents a big subfield of statistical and probabilistic modeling. Here we focus on a simple result, known as Bayes theorem: Pr(Y = k|X = x) = Pr(X = x|Y = k) · Pr(Y = k) Pr(X = x) One writes this slightly differently for discriminant analysis: Pr(Y = k|X = x) = πkfk(x) PK l=1 πlfl(x) , where • fk(x) = Pr(X = x|Y = k) is the density for X in class k. Here we will use normal densities for these, separately in each class. • πk = Pr(Y = k) is the marginal or prior probability for class k. 20 / 40
- 32. Classify to the highest density −4 −2 0 2 4 π1=.5, π2=.5 −4 −2 0 2 4 π1=.3, π2=.7 We classify a new point according to which density is highest. 21 / 40
- 33. Classify to the highest density −4 −2 0 2 4 π1=.5, π2=.5 −4 −2 0 2 4 π1=.3, π2=.7 We classify a new point according to which density is highest. When the priors are different, we take them into account as well, and compare πkfk(x). On the right, we favor the pink class — the decision boundary has shifted to the left. 21 / 40
- 34. Why discriminant analysis? • When the classes are well-separated, the parameter estimates for the logistic regression model are surprisingly unstable. Linear discriminant analysis does not suffer from this problem. • If n is small and the distribution of the predictors X is approximately normal in each of the classes, the linear discriminant model is again more stable than the logistic regression model. • Linear discriminant analysis is popular when we have more than two response classes, because it also provides low-dimensional views of the data. 22 / 40
- 35. Linear Discriminant Analysis when p = 1 The Gaussian density has the form fk(x) = 1 √ 2πσk e −1 2 x−µk σk 2 Here µk is the mean, and σ2 k the variance (in class k). We will assume that all the σk = σ are the same. 23 / 40
- 36. Linear Discriminant Analysis when p = 1 The Gaussian density has the form fk(x) = 1 √ 2πσk e −1 2 x−µk σk 2 Here µk is the mean, and σ2 k the variance (in class k). We will assume that all the σk = σ are the same. Plugging this into Bayes formula, we get a rather complex expression for pk(x) = Pr(Y = k|X = x): pk(x) = πk 1 √ 2πσ e −1 2 x−µk σ 2 PK l=1 πl 1 √ 2πσ e −1 2 x−µl σ 2 Happily, there are simplifications and cancellations. 23 / 40
- 37. Discriminant functions To classify at the value X = x, we need to see which of the pk(x) is largest. Taking logs, and discarding terms that do not depend on k, we see that this is equivalent to assigning x to the class with the largest discriminant score: δk(x) = x · µk σ2 − µ2 k 2σ2 + log(πk) Note that δk(x) is a linear function of x. 24 / 40
- 38. Discriminant functions To classify at the value X = x, we need to see which of the pk(x) is largest. Taking logs, and discarding terms that do not depend on k, we see that this is equivalent to assigning x to the class with the largest discriminant score: δk(x) = x · µk σ2 − µ2 k 2σ2 + log(πk) Note that δk(x) is a linear function of x. If there are K = 2 classes and π1 = π2 = 0.5, then one can see that the decision boundary is at x = µ1 + µ2 2 . (See if you can show this) 24 / 40
- 39. −4 −2 0 2 4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 Example with µ1 = −1.5, µ2 = 1.5, π1 = π2 = 0.5, and σ2 = 1. 25 / 40
- 40. −4 −2 0 2 4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 Example with µ1 = −1.5, µ2 = 1.5, π1 = π2 = 0.5, and σ2 = 1. Typically we don’t know these parameters; we just have the training data. In that case we simply estimate the parameters and plug them into the rule. 25 / 40
- 41. Estimating the parameters π̂k = nk n µ̂k = 1 nk X i: yi=k xi σ̂2 = 1 n − K K X k=1 X i: yi=k (xi − µ̂k)2 = K X k=1 nk − 1 n − K · σ̂2 k where σ̂2 k = 1 nk−1 P i: yi=k(xi − µ̂k)2 is the usual formula for the estimated variance in the kth class. 26 / 40
- 42. Linear Discriminant Analysis when p 1 x1 x1 x 2 x 2 Density: f(x) = 1 (2π)p/2|Σ|1/2 e−1 2 (x−µ)T Σ−1 (x−µ) 27 / 40
- 43. Linear Discriminant Analysis when p 1 x1 x1 x 2 x 2 Density: f(x) = 1 (2π)p/2|Σ|1/2 e−1 2 (x−µ)T Σ−1 (x−µ) Discriminant function: δk(x) = xT Σ−1 µk − 1 2 µT k Σ−1 µk + log πk 27 / 40
- 44. Linear Discriminant Analysis when p 1 x1 x1 x 2 x 2 Density: f(x) = 1 (2π)p/2|Σ|1/2 e−1 2 (x−µ)T Σ−1 (x−µ) Discriminant function: δk(x) = xT Σ−1 µk − 1 2 µT k Σ−1 µk + log πk Despite its complex form, δk(x) = ck0 + ck1x1 + ck2x2 + . . . + ckpxp — a linear function. 27 / 40
- 45. Illustration: p = 2 and K = 3 classes −4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4 X1 X1 X 2 X 2 Here π1 = π2 = π3 = 1/3. The dashed lines are known as the Bayes decision boundaries. Were they known, they would yield the fewest misclassification errors, among all possible classifiers. 28 / 40
- 46. Fisher’s Iris Data 4 variables 3 species 50 samples/class • Setosa • Versicolor • Virginica LDA classifies all but 3 of the 150 training samples correctly. Sepal.Length 2.0 3.0 4.0 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 0.5 1.5 2.5 4.5 5.5 6.5 7.5 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 2.0 3.0 4.0 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● Sepal.Width ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Petal.Length 1 2 3 4 5 6 7 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 4.5 5.5 6.5 7.5 0.5 1.5 2.5 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 1 2 3 4 5 6 7 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Petal.Width 29 / 40
- 47. Fisher’s Discriminant Plot ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● −10 −5 0 5 10 −2 −1 0 1 2 Discriminant Variable 1 Discriminant Variable 2 ● ● ● When there are K classes, linear discriminant analysis can be viewed exactly in a K − 1 dimensional plot. Why? 30 / 40
- 48. Fisher’s Discriminant Plot ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● −10 −5 0 5 10 −2 −1 0 1 2 Discriminant Variable 1 Discriminant Variable 2 ● ● ● When there are K classes, linear discriminant analysis can be viewed exactly in a K − 1 dimensional plot. Why? Because it essentially classifies to the closest centroid, and they span a K − 1 dimensional plane. 30 / 40
- 49. Fisher’s Discriminant Plot ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● −10 −5 0 5 10 −2 −1 0 1 2 Discriminant Variable 1 Discriminant Variable 2 ● ● ● When there are K classes, linear discriminant analysis can be viewed exactly in a K − 1 dimensional plot. Why? Because it essentially classifies to the closest centroid, and they span a K − 1 dimensional plane. Even when K 3, we can find the “best” 2-dimensional plane for visualizing the discriminant rule. 30 / 40
- 50. From δk(x) to probabilities Once we have estimates δ̂k(x), we can turn these into estimates for class probabilities: c Pr(Y = k|X = x) = eδ̂k(x) PK l=1 eδ̂l(x) . So classifying to the largest δ̂k(x) amounts to classifying to the class for which c Pr(Y = k|X = x) is largest. 31 / 40
- 51. From δk(x) to probabilities Once we have estimates δ̂k(x), we can turn these into estimates for class probabilities: c Pr(Y = k|X = x) = eδ̂k(x) PK l=1 eδ̂l(x) . So classifying to the largest δ̂k(x) amounts to classifying to the class for which c Pr(Y = k|X = x) is largest. When K = 2, we classify to class 2 if c Pr(Y = 2|X = x) ≥ 0.5, else to class 1. 31 / 40
- 52. LDA on Credit Data True Default Status No Yes Total Predicted No 9644 252 9896 Default Status Yes 23 81 104 Total 9667 333 10000 (23 + 252)/10000 errors — a 2.75% misclassification rate! Some caveats: • This is training error, and we may be overfitting. 32 / 40
- 53. LDA on Credit Data True Default Status No Yes Total Predicted No 9644 252 9896 Default Status Yes 23 81 104 Total 9667 333 10000 (23 + 252)/10000 errors — a 2.75% misclassification rate! Some caveats: • This is training error, and we may be overfitting. Not a big concern here since n = 10000 and p = 2! 32 / 40
- 54. LDA on Credit Data True Default Status No Yes Total Predicted No 9644 252 9896 Default Status Yes 23 81 104 Total 9667 333 10000 (23 + 252)/10000 errors — a 2.75% misclassification rate! Some caveats: • This is training error, and we may be overfitting. Not a big concern here since n = 10000 and p = 2! • If we classified to the prior — always to class No in this case — we would make 333/10000 errors, or only 3.33%. 32 / 40
- 55. LDA on Credit Data True Default Status No Yes Total Predicted No 9644 252 9896 Default Status Yes 23 81 104 Total 9667 333 10000 (23 + 252)/10000 errors — a 2.75% misclassification rate! Some caveats: • This is training error, and we may be overfitting. Not a big concern here since n = 10000 and p = 2! • If we classified to the prior — always to class No in this case — we would make 333/10000 errors, or only 3.33%. • Of the true No’s, we make 23/9667 = 0.2% errors; of the true Yes’s, we make 252/333 = 75.7% errors! 32 / 40
- 56. Types of errors False positive rate: The fraction of negative examples that are classified as positive — 0.2% in example. False negative rate: The fraction of positive examples that are classified as negative — 75.7% in example. We produced this table by classifying to class Yes if c Pr(Default = Yes|Balance, Student) ≥ 0.5 We can change the two error rates by changing the threshold from 0.5 to some other value in [0, 1]: c Pr(Default = Yes|Balance, Student) ≥ threshold, and vary threshold. 33 / 40
- 57. Varying the threshold 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.0 0.2 0.4 0.6 Threshold Error Rate Overall Error False Positive False Negative In order to reduce the false negative rate, we may want to reduce the threshold to 0.1 or less. 34 / 40
- 58. ROC Curve False positive rate True positive rate 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 The ROC plot displays both simultaneously. 35 / 40
- 59. ROC Curve False positive rate True positive rate 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 The ROC plot displays both simultaneously. Sometimes we use the AUC or area under the curve to summarize the overall performance. Higher AUC is good. 35 / 40
- 60. Other forms of Discriminant Analysis Pr(Y = k|X = x) = πkfk(x) PK l=1 πlfl(x) When fk(x) are Gaussian densities, with the same covariance matrix Σ in each class, this leads to linear discriminant analysis. By altering the forms for fk(x), we get different classifiers. • With Gaussians but different Σk in each class, we get quadratic discriminant analysis. 36 / 40
- 61. Other forms of Discriminant Analysis Pr(Y = k|X = x) = πkfk(x) PK l=1 πlfl(x) When fk(x) are Gaussian densities, with the same covariance matrix Σ in each class, this leads to linear discriminant analysis. By altering the forms for fk(x), we get different classifiers. • With Gaussians but different Σk in each class, we get quadratic discriminant analysis. • With fk(x) = Qp j=1 fjk(xj) (conditional independence model) in each class we get naive Bayes. For Gaussian this means the Σk are diagonal. 36 / 40
- 62. Other forms of Discriminant Analysis Pr(Y = k|X = x) = πkfk(x) PK l=1 πlfl(x) When fk(x) are Gaussian densities, with the same covariance matrix Σ in each class, this leads to linear discriminant analysis. By altering the forms for fk(x), we get different classifiers. • With Gaussians but different Σk in each class, we get quadratic discriminant analysis. • With fk(x) = Qp j=1 fjk(xj) (conditional independence model) in each class we get naive Bayes. For Gaussian this means the Σk are diagonal. • Many other forms, by proposing specific density models for fk(x), including nonparametric approaches. 36 / 40
- 63. Quadratic Discriminant Analysis −4 −2 0 2 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 −4 −2 0 2 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 X1 X1 X 2 X 2 δk(x) = − 1 2 (x − µk)T Σ−1 k (x − µk) + log πk − 1 2 log |Σk| Because the Σk are different, the quadratic terms matter. 37 / 40
- 64. Naive Bayes Assumes features are independent in each class. Useful when p is large, and so multivariate methods like QDA and even LDA break down. • Gaussian naive Bayes assumes each Σk is diagonal: δk(x) ∝ log πk p Y j=1 fkj(xj) = − 1 2 p X j=1 (xj − µkj)2 σ2 kj + log σ2 kj # + log πk • can use for mixed feature vectors (qualitative and quantitative). If Xj is qualitative, replace fkj(xj) with probability mass function (histogram) over discrete categories. Despite strong assumptions, naive Bayes often produces good classification results. 38 / 40
- 65. Logistic Regression versus LDA For a two-class problem, one can show that for LDA log p1(x) 1 − p1(x) = log p1(x) p2(x) = c0 + c1x1 + . . . + cpxp So it has the same form as logistic regression. The difference is in how the parameters are estimated. 39 / 40
- 66. Logistic Regression versus LDA For a two-class problem, one can show that for LDA log p1(x) 1 − p1(x) = log p1(x) p2(x) = c0 + c1x1 + . . . + cpxp So it has the same form as logistic regression. The difference is in how the parameters are estimated. • Logistic regression uses the conditional likelihood based on Pr(Y |X) (known as discriminative learning). 39 / 40
- 67. Logistic Regression versus LDA For a two-class problem, one can show that for LDA log p1(x) 1 − p1(x) = log p1(x) p2(x) = c0 + c1x1 + . . . + cpxp So it has the same form as logistic regression. The difference is in how the parameters are estimated. • Logistic regression uses the conditional likelihood based on Pr(Y |X) (known as discriminative learning). • LDA uses the full likelihood based on Pr(X, Y ) (known as generative learning). 39 / 40
- 68. Logistic Regression versus LDA For a two-class problem, one can show that for LDA log p1(x) 1 − p1(x) = log p1(x) p2(x) = c0 + c1x1 + . . . + cpxp So it has the same form as logistic regression. The difference is in how the parameters are estimated. • Logistic regression uses the conditional likelihood based on Pr(Y |X) (known as discriminative learning). • LDA uses the full likelihood based on Pr(X, Y ) (known as generative learning). • Despite these differences, in practice the results are often very similar. 39 / 40
- 69. Logistic Regression versus LDA For a two-class problem, one can show that for LDA log p1(x) 1 − p1(x) = log p1(x) p2(x) = c0 + c1x1 + . . . + cpxp So it has the same form as logistic regression. The difference is in how the parameters are estimated. • Logistic regression uses the conditional likelihood based on Pr(Y |X) (known as discriminative learning). • LDA uses the full likelihood based on Pr(X, Y ) (known as generative learning). • Despite these differences, in practice the results are often very similar. Footnote: logistic regression can also fit quadratic boundaries like QDA, by explicitly including quadratic terms in the model. 39 / 40
- 70. Summary • Logistic regression is very popular for classification, especially when K = 2. • LDA is useful when n is small, or the classes are well separated, and Gaussian assumptions are reasonable. Also when K 2. • Naive Bayes is useful when p is very large. • See Section 4.5 for some comparisons of logistic regression, LDA and KNN. 40 / 40
- 71. New Topics in Chapter Four In this section we cover three topics in Chapter 4 that are new in the second edition of ISLR: • Multinomial logistic regression. • Naı̈ve Bayes classification. • Generalized linear models. 1 / 13
- 72. Multinomial Logistic Regression Logistic regression is frequently used when the response is binary, or K = 2 classes. We need a modification when there are K 2 classes. E.g. stroke, drug overdose and epileptic seizure for the emergency room example. The simplest representation uses different linear functions for each class, combined with the softmax function to form probabilities: Pr(Y = k|X = x) = eβk0+βk1x1+···+βkpxp PK l=1 eβl0+βl1x1+···+βlpxp . 2 / 13
- 73. Multinomial Logistic Regression Logistic regression is frequently used when the response is binary, or K = 2 classes. We need a modification when there are K 2 classes. E.g. stroke, drug overdose and epileptic seizure for the emergency room example. The simplest representation uses different linear functions for each class, combined with the softmax function to form probabilities: Pr(Y = k|X = x) = eβk0+βk1x1+···+βkpxp PK l=1 eβl0+βl1x1+···+βlpxp . • There is a redundancy here; we really only need K − 1 functions (see the book for details). 2 / 13
- 74. Multinomial Logistic Regression Logistic regression is frequently used when the response is binary, or K = 2 classes. We need a modification when there are K 2 classes. E.g. stroke, drug overdose and epileptic seizure for the emergency room example. The simplest representation uses different linear functions for each class, combined with the softmax function to form probabilities: Pr(Y = k|X = x) = eβk0+βk1x1+···+βkpxp PK l=1 eβl0+βl1x1+···+βlpxp . • There is a redundancy here; we really only need K − 1 functions (see the book for details). • We fit by maximizing the multinomial log likelihood (cross-entropy) — a generalization of the binomial. 2 / 13
- 75. Multinomial Logistic Regression Logistic regression is frequently used when the response is binary, or K = 2 classes. We need a modification when there are K 2 classes. E.g. stroke, drug overdose and epileptic seizure for the emergency room example. The simplest representation uses different linear functions for each class, combined with the softmax function to form probabilities: Pr(Y = k|X = x) = eβk0+βk1x1+···+βkpxp PK l=1 eβl0+βl1x1+···+βlpxp . • There is a redundancy here; we really only need K − 1 functions (see the book for details). • We fit by maximizing the multinomial log likelihood (cross-entropy) — a generalization of the binomial. • An example is given in Chapter 10 where we fit the 10-class model to the MNIST digit dataset. 2 / 13
- 76. Generative Models and Naı̈ve Bayes • Logistic regression models Pr(Y = k|X = x) directly, via the logistic function. Similarly the multinomial logistic regression uses the softmax function. These all model the conditional distribution of Y given X. 3 / 13
- 77. Generative Models and Naı̈ve Bayes • Logistic regression models Pr(Y = k|X = x) directly, via the logistic function. Similarly the multinomial logistic regression uses the softmax function. These all model the conditional distribution of Y given X. • By contrast generative models start with the conditional distribution of X given Y , and then use Bayes formula to turn things around: Pr(Y = k|X = x) = πkfk(x) PK l=1 πlfl(x) . • fk(x) is the density of X given Y = k; • πk = Pr(Y = k) is the marginal probability that Y is in class k. 3 / 13
- 78. Generative Models and Naı̈ve Bayes • Linear and quadratic discriminant analysis derive from generative models, where fk(x) are Gaussian. 4 / 13
- 79. Generative Models and Naı̈ve Bayes • Linear and quadratic discriminant analysis derive from generative models, where fk(x) are Gaussian. • Often useful if some classes are well separated — a situation where logistic regression is unstable. 4 / 13
- 80. Generative Models and Naı̈ve Bayes • Linear and quadratic discriminant analysis derive from generative models, where fk(x) are Gaussian. • Often useful if some classes are well separated — a situation where logistic regression is unstable. • Naı̈ve Bayes assumes that the densities fk(x) in each class factor: fk(x) = fk1(x1) × fk2(x2) × · · · × fkp(xp) 4 / 13
- 81. Generative Models and Naı̈ve Bayes • Linear and quadratic discriminant analysis derive from generative models, where fk(x) are Gaussian. • Often useful if some classes are well separated — a situation where logistic regression is unstable. • Naı̈ve Bayes assumes that the densities fk(x) in each class factor: fk(x) = fk1(x1) × fk2(x2) × · · · × fkp(xp) • Equivalently this assumes that the features are independent within each class. 4 / 13
- 82. Generative Models and Naı̈ve Bayes • Linear and quadratic discriminant analysis derive from generative models, where fk(x) are Gaussian. • Often useful if some classes are well separated — a situation where logistic regression is unstable. • Naı̈ve Bayes assumes that the densities fk(x) in each class factor: fk(x) = fk1(x1) × fk2(x2) × · · · × fkp(xp) • Equivalently this assumes that the features are independent within each class. • Then using Bayes formula: Pr(Y = k|X = x) = πk × fk1(x1) × fk2(x2) × · · · × fkp(xp) PK l=1 πl × fl1(x1) × fl2(x2) × · · · × flp(xp) 4 / 13
- 83. Naı̈ve Bayes — Details Why the independence assumption? 5 / 13
- 84. Naı̈ve Bayes — Details Why the independence assumption? • Difficult to specify and model high-dimensional densities. Much easier to specify one-dimensional densities. 5 / 13
- 85. Naı̈ve Bayes — Details Why the independence assumption? • Difficult to specify and model high-dimensional densities. Much easier to specify one-dimensional densities. • Can handle mixed features: • If feature j is quantitative, can model as univariate Gaussian, for example: Xj|Y = k ∼ N(µjk, σ2 jk). We estimate µjk and σ2 jk from the data, and then plug into Gaussian density formula for fjk(xj). 5 / 13
- 86. Naı̈ve Bayes — Details Why the independence assumption? • Difficult to specify and model high-dimensional densities. Much easier to specify one-dimensional densities. • Can handle mixed features: • If feature j is quantitative, can model as univariate Gaussian, for example: Xj|Y = k ∼ N(µjk, σ2 jk). We estimate µjk and σ2 jk from the data, and then plug into Gaussian density formula for fjk(xj). • Alternatively, can use a histogram estimate of the density, and directly estimate fjk(xj) by the proportion of observations in the bin into which xj falls. 5 / 13
- 87. Naı̈ve Bayes — Details Why the independence assumption? • Difficult to specify and model high-dimensional densities. Much easier to specify one-dimensional densities. • Can handle mixed features: • If feature j is quantitative, can model as univariate Gaussian, for example: Xj|Y = k ∼ N(µjk, σ2 jk). We estimate µjk and σ2 jk from the data, and then plug into Gaussian density formula for fjk(xj). • Alternatively, can use a histogram estimate of the density, and directly estimate fjk(xj) by the proportion of observations in the bin into which xj falls. • If feature j is qualitative, can simply model the proportion in each category. Example to follow. 5 / 13
- 88. Naı̈ve Bayes — Details Why the independence assumption? • Difficult to specify and model high-dimensional densities. Much easier to specify one-dimensional densities. • Can handle mixed features: • If feature j is quantitative, can model as univariate Gaussian, for example: Xj|Y = k ∼ N(µjk, σ2 jk). We estimate µjk and σ2 jk from the data, and then plug into Gaussian density formula for fjk(xj). • Alternatively, can use a histogram estimate of the density, and directly estimate fjk(xj) by the proportion of observations in the bin into which xj falls. • If feature j is qualitative, can simply model the proportion in each category. Example to follow. • Somewhat unrealistic but extremely useful in many cases. Despite its simplicity, often shows good classification performance due to reduced variance. 5 / 13
- 89. Naı̈ve Bayes — Toy Example 4.4 Generative Models for Classification 157 Density estimates for class k=1 ˆ f11 ˆ f12 ˆ f13 −4 −2 0 2 4 Frequency −2 0 2 4 1 2 3 Density estimates for class k=2 ˆ f21 ˆ f22 ˆ f23 −4 −2 0 2 4 Frequency −2 0 2 4 1 2 3 FIGURE 4.10. In the toy example in Section 4.4.4, we generate data with p = 3 predictors and K = 2 classes. The first two predictors are quantitative, and the third predictor is qualitative with three levels. In each class, the estimated density for each of the three predictors is displayed. If the prior probabilities for the two classes are equal, then the observation x⇤ = (0.4, 1.5, 1)T has a 94.4% posterior x∗ = (.4, 1.5, 1) π̂1 = π̂2 = 0.5 ˆ f11(0.4) = 0.368 ˆ f12(1.5) = 0.484 ˆ f13(1) = 0.226 ˆ f21(0.4) = 0.030 ˆ f22(1.5) = 0.130 ˆ f23(1) = 0.616 Pr(Y = 1|X = x∗) = 0.944 and Pr(Y = 2|X = x∗) = 0.056 6 / 13
- 90. Naı̈ve Bayes and GAMs log Pr(Y = k|X = x) Pr(Y = K|X = x) = log πkfk(x) πKfK(x) = log πk Qp j=1 fkj(xj) πK Qp j=1 fKj(xj) ! = log πk πK + p X j=1 log fkj(xj) fKj(xj) = ak + p X j=1 gkj(xj), where ak = log πk πK and gkj(xj) = log fkj(xj) fKj(xj) . Hence, the Naı̈ve Bayes model takes the form of a generalized additive model from Chapter 7. 7 / 13
- 91. Generalized Linear Models • Linear regression is used for quantitative responses. • Linear logistic regression is the counterpart for a binary response, and models the logit of the probability as a linear model. • Other response types exist, such as non-negative responses, skewed distributions, and more. • Generalized linear models provide a unified framework for dealing with many different response types. 8 / 13
- 92. Example: Bikeshare Data Linear regression with response bikers: number of hourly users in bikeshare program in Washington, DC. Coefficient Std. error z-statistic p-value Intercept 73.60 5.13 14.34 0.00 workingday 1.27 1.78 0.71 0.48 temp 157.21 10.26 15.32 0.00 weathersit[cloudy/misty] -12.89 1.96 -6.56 0.00 weathersit[light rain/snow] -66.49 2.97 -22.43 0.00 weathersit[heavy rain/snow] -109.75 76.67 -1.43 0.15 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● −40 −20 0 20 Month Coefficient J F M A M J J A S O N D ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 5 10 15 20 −100 0 50 100 200 Hour Coefficient 9 / 13
- 93. Mean/Variance Relationship 5 10 15 20 0 100 200 300 400 500 600 Hour Number of Bikers 5 10 15 20 0 1 2 3 4 5 6 Hour Log(Number of Bikers) • In left plot we see that the variance mostly increases with the mean. 10 / 13
- 94. Mean/Variance Relationship 5 10 15 20 0 100 200 300 400 500 600 Hour Number of Bikers 5 10 15 20 0 1 2 3 4 5 6 Hour Log(Number of Bikers) • In left plot we see that the variance mostly increases with the mean. • 10% of linear model predictions are negative! (not shown here.) 10 / 13
- 95. Mean/Variance Relationship 5 10 15 20 0 100 200 300 400 500 600 Hour Number of Bikers 5 10 15 20 0 1 2 3 4 5 6 Hour Log(Number of Bikers) • In left plot we see that the variance mostly increases with the mean. • 10% of linear model predictions are negative! (not shown here.) • Taking log(bikers) alleviates this, but has its own problems: e.g. predictions are on the wrong scale, and some counts are zero! 10 / 13
- 96. Poisson Regression Model • Poisson distribution is useful for modeling counts: Pr(Y = k) = e−λλk k! for k = 0, 1, 2, . . . • λ = E(Y ) = Var(Y ) — i.e. there is a mean/variance dependence. 11 / 13
- 97. Poisson Regression Model • Poisson distribution is useful for modeling counts: Pr(Y = k) = e−λλk k! for k = 0, 1, 2, . . . • λ = E(Y ) = Var(Y ) — i.e. there is a mean/variance dependence. • With covariates, we model log(λ(X1, . . . , Xp)) = β0 + β1X1 + · · · + βpXp or equivalently λ(X1, . . . , Xp) = eβ0+β1X1+···+βpXp . 11 / 13
- 98. Poisson Regression Model • Poisson distribution is useful for modeling counts: Pr(Y = k) = e−λλk k! for k = 0, 1, 2, . . . • λ = E(Y ) = Var(Y ) — i.e. there is a mean/variance dependence. • With covariates, we model log(λ(X1, . . . , Xp)) = β0 + β1X1 + · · · + βpXp or equivalently λ(X1, . . . , Xp) = eβ0+β1X1+···+βpXp . • Model automatically guarantees that the predictions are non-negative. 11 / 13
- 99. Poisson Regression on Bikeshare Data Coefficient Std. error z-statistic p-value Intercept 4.12 0.01 683.96 0.00 workingday 0.01 0.00 7.5 0.00 temp 0.79 0.01 68.43 0.00 weathersit[cloudy/misty] -0.08 0.00 -34.53 0.00 weathersit[light rain/snow] -0.58 0.00 -141.91 0.00 weathersit[heavy rain/snow] -0.93 0.17 -5.55 0.00 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 Month Coefficient J F M A M J J A S O N D ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 5 10 15 20 −2 −1 0 1 Hour Coefficient 12 / 13
- 100. Poisson Regression on Bikeshare Data Coefficient Std. error z-statistic p-value Intercept 4.12 0.01 683.96 0.00 workingday 0.01 0.00 7.5 0.00 temp 0.79 0.01 68.43 0.00 weathersit[cloudy/misty] -0.08 0.00 -34.53 0.00 weathersit[light rain/snow] -0.58 0.00 -141.91 0.00 weathersit[heavy rain/snow] -0.93 0.17 -5.55 0.00 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 Month Coefficient J F M A M J J A S O N D ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 5 10 15 20 −2 −1 0 1 Hour Coefficient *In this case the variance is somewhat larger than the mean — a situation known as overdispersion — so the p-values are misleadingly small. 12 / 13
- 101. Generalized Linear Models • We have covered three GLMs in this course: Gaussian, binomial and Poisson. • They each have a characteristic link function. This is the transformation of the mean that is represented by a linear model: η(E(Y |X1, X2, . . . , Xp)) = β0 + β1X1 + · · · + βpXp. The link functions for linear, logistic and Poisson regression are η(µ) = µ, η(µ) = log(µ/(1 − µ)), and η(µ) = log(µ), respectively. • They also each have characteristic variance functions. • The models are fit by maximum-likelihood, and model summaries are produced by glm() in R. • Other GLMS include Gamma, Negative-binomial, Inverse Gaussian and more. 13 / 13