Chap5 1
- 1. 71 บทที่ 5 อัตราสวนตรีโกณมิติและการนําไปใช สาระสําคัญ 1. ถารูปสามเหลี่ยมคูใดคลายกัน อัตราสวนของดานที่อยูตรงขามมุมที่เทากันจะเทากัน 2. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทุกรูป อัตราสวนความยาวดาน 2 ดาน จะถูกกําหนดคาตางๆไวดังนี้ 2.1 คาไซนของมุมใด (sine) จะเทากับอัตราสวนระหวางความยาวของดานตรงขามมุม นั้น กับความยาวของดานตรงขามมุมฉาก 2.2 คาโคไซนของมุมใด (cosine) จะเทากับอัตราสวนระหวางความยาวดานประชิตมุม กับความยาวดานตรงขามมุมฉาก 2.3 คาแทนเจนตของมุมใด (tangent) จะเทากับ อัตราสวนระหวางความยาวของดานตรง ขามมุมกับความยาวของดานประชิตมุมนั้นๆ 3. นอกจากอัตราสวนตรีโกณมิติหลัก 3 คานี้แลว สวนกลับของ sine , cosine และ tangent เรียกวา cosecant , secant และ cotangent ตามลําดับ 4. อัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 30,45 และ 60 องศา มีคาเฉพาะของแตละอัตราสวน สามารถ พิสูจนได 5. การแกปญหาโจทยที่เกี่ยวของ จะทําโดยการเปลี่ยนปญหาโจทยใหเปนประโยคสัญลักษณ และ ใชอัตราสวนตรีโกณมิติในการชวยหาคําตอบโดยเฉพาะการนําไปใชแกปญหาเกี่ยวกับการวัดระยะทาง และความสูง ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. อธิบายการหาคาอัตราสวนตรีโกณมิติได 2. หาคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 0 30 , 0 45 และ 0 60 ได 3. นําอัตราสวนตรีโกณมิติไปใชแกปญหาเกี่ยวกับระยะทาง ความสูง และการวัดได ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 อัตราสวนตรีโกณมิติ เรื่องที่ 2 อัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 30, 45 และ 60 องศา เรื่องที่ 3 การนําอัตราสวนตรีโกณมิติ ไปใชแกปญหาเกี่ยวกับระยะทาง ความสูง และการวัด
- 2. 72 Y C X Z c a b z x y เรื่องที่ 1 อัตราสวนตรีโกณมิติ เปนแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร วาดวยการวัดรูปสามเหลี่ยมตาง ๆ โดยหาความสัมพันธ ระหวางดาน มุม และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม มีความสําคัญตอวิชาดาราศาสตร การเดินเรือ และงาน สํารวจใชในการคํานวณสงสูงของภูเขา และหาความกวางของแมน้ํา มีประโยชนมากสําหรับวิชา วิทยาศาสตร วิศวกรรมศาสตร และการศึกษาเกี่ยวกับวัตถุ ซึ่งมีสภาพเปนคลื่น เชน แสง เสียง แมเหล็กไฟฟาและวิทยุ ความรูเดิมที่ตองนํามาใชในบทเรียนนี้ พิจารณารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขนาดของมุมเทากัน 3 คู ดังนี้ 1. สมบัติสามเหลี่ยมคลาย ถารูปสามเหลี่ยม 2 รูป มีมุมเทากันมุมตอมุมทั้ง 3 คู แลว สามเหลี่ยม 2 รูปนี้จะคลายกัน ดังรูป รูปที่ 1 รูปที่ 2 จากรูป Aˆ = Xˆ , Bˆ = Yˆ , Cˆ = Zˆ ดังนั้น รูปสามเหลี่ยม ABC คลายกับรูปสามเหลี่ยม XYZ และจากสมบัติการคลายกันของ รูป สามเหลี่ยมจะไดผลตามมาคือ XZ AC YZ BC XY AB == หรือ z c y b x a == เมื่อ a,b,c เปนความยาวของดาน AB, BC และ AC ตามลําดับในสามเหลี่ยม ABC x,y,z เปนความยาวของดาน XY,YZ และ XZ ตามลําดับในสามเหลี่ยม XYZ B A
- 3. 73 c จาก y b x a = จะไดวา y x b a = z c y b = จะไดวา z y c b = z c x a = จะไดวา z x c a = นั่นคือ ถามีรูปสามเหลี่ยมสองรูปคลายกัน อัตราสวนของความยาวของดานสองดานของรูป สามเหลี่ยมรูปหนึ่ง จะเทากับอัตราสวนของความยาวของดานสองดานของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง โดย ที่ดานของรูปสามเหลี่ยมที่หาความยาวนั้นจะตองเปนดานที่สมนัยกันอยูตรงขามกับมุมที่เทากัน ในทํานองเดียวกัน ถารูปสามเหลี่ยมทั้งสองเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีมุมที่ไมเปนมุมฉาก เทากันสมมติวาเปนมุม A เทากับมุม X ดังรูป พบวา รูปสามเหลี่ยมสองรูปนี้คลายกัน ( มีมุมเทากันมุมตอมุม ทั้ง 3 คู ) ดังนั้นจะไดวา , z x c a = , y x b a = y z b c = A สรุป ไมวารูปสามเหลี่ยมดังกลาวจะมีขนาดใหญหรือเล็กก็ตาม ถารูปสามเหลี่ยม ทั้งสองรูปคลายกันแลว อัตราสวนความยาวของดานสองดานของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง จะเทากับอัตราสวนของความยาวของดานสองดานของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งที่สมนัย กันเสมอ ( ดานที่กลาวถึงนี้ตองเปนดานที่อยูตรงขามกับมุมที่เทากัน ) B C X Z Y a b z x y
- 4. 74 a b c ถาให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีมุมฉากที่ C และมี a , b , c เปนความยาวของดานตรง ขามมุม A , B และ C ตามลําดับ 2. สมบัติสามเหลี่ยมมุมฉาก ดาน AB เปนดานที่อยูตรงขามมุมฉากยาว c หนวย เรียกวา ดานตรงขามมุมฉาก ดานBC เปนดานที่อยูตรงขามมุม A ยาว a หนวย เรียกวา ดานตรงขามมุม A ดาน AC เปนดานที่อยูตรงขามมุม B ยาว b หนวย เรียกวา ดานประชิดมุม A ถา ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีมุม เปนมุมฉาก c แทนความยาวดานตรงขามมุมฉาก a และ b แทนความยาวของดานประกอบมุมฉาก จะไดความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังตอไปนี้ เมื่อ a แทนความยาวของดานตรงขามมุม A b แทนความยาวของดานตรงขามมุม B c แทนความยาวของดานตรงขามมุม C 222 bac +=
- 5. 75 a 3 a 5 ขอควรรูเกี่ยวกับ ทฤษฎีบทปทาโกรัส ปทาโกรัสไดศึกษาคนควาเกี่ยวกับความสัมพันธระหวางดานตรงขามมุมฉากและดานประกอบมุม ฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเปนทฤษฎีบทที่เกาแกและมีชื่อเสียงที่สุดบทหนึ่ง ไดแกทฤษฎีบทปทา โกรัส ซึ่งมีใจความวา ในสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานตรงขามมุมฉาก จะเทากับผลบวกของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานประกอบมุมฉาก ตัวอยาง จงเขียนความสัมพันธระหวางความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตอไปนี้ ตามทฤษฎีบท ของปทาโกรัส 1). 2). 12 13
- 6. 76 วิธีทํา พิจารณาความสัมพันธระหวางความยาวดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทฤษฎีบทปทาโกรัส 222 35 += a 25922 =+a 162 =a ดังนั้น 4=a 2). 131222 =+a 1691442 =+a 252 =b ดังนั้น 5=b ถาให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉากที่ C และมี a , b , c เปนความยาวของดานตรง ขามมุม A , B และ C ตามลําดับ อัตราสวนตรีโกณมิติ B c a A A b C อัตราสวนตรีโกณมิติ คือ อัตราสวนที่เกิดจากความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
- 7. 77 1. อัตราสวนของความยาวของดานตรงขามมุม A ตอความยาวของดานตรงขามมุมฉาก หรือ c a เรียกวา ไซน (sine) ของมุม A 2. อัตราสวนของความยาวของดานประชิด มุม A ตอความยาวของดานตรงขามมุมฉาก หรือ c b เรียกวา โคไซน (cosine) ของมุม A 3. อัตราสวนของความยาวของดานตรงขามมุม A ตอความยาวของดานประชิด มุม A หรือ b a เรียกวา แทนเจนต (tangent) ของมุม A เรียกอัตราสวนทั้งสามนี้วา อัตราสวนตรีโกณมิติของ A เมื่อ A เปนมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยม มุมฉากหรืออาจสรุปไดวา sin A = มมุมฉากดานตรงขาความยาวของ Aมมุมดานตรงขาความยาวของ cos A = มมุมฉากดานตรงขาความยาวของ Aมุมดานประชิดความยาวของ tan A = Aมุมดานประชิดความยาวของ Aมมุมดานตรงขาความยาวของ ตัวอยาง กําหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม C เปนมุมฉาก มีความยาวดานทั้งสาม ดังรูป จงหาคาตอไปนี้ 1. sin A, cos A และ tan A 2. sin B, cos B และ tan B วิธีทํา กําหนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม C เปนมุมฉาก จากทฤษฎีบทปทาโกรัส จะได วา 222 BCACAB += แทนคา AC = 8 , BC = 6 ดังนั้น 222 68 +=AB 36642 +=AB 1002 =AB 22 101010 หรือ×=AB นั่นคือ AB = 10 8 6
- 8. 78 (1) หาคา sin A, cos A และ tan A โดยการพิจารณาที่มุม A sin A = 5 3 10 6 === AB BC มมุมฉากดานตรงขาความยาวของ Aมมุมดานตรงขาความยาวของ cos A = 5 4 10 8 === AB AC มมุมฉากดานตรงขาความยาวของ Aมุมดานประชิดความยาวของ tan A = 4 3 8 6 === AC BC Aมุมดานประชิตความยาวของ Aมมุมดานตรงขาความยาวของ (2) หาคา sin B, cos B และ tan B โดยการพิจารณาที่มุม B sin B = 5 4 10 8 === AB AC มมุมฉากดานตรงขาความยาวของ Bมมุมดานตรงขาความยาวของ cos B = 5 3 10 6 === AB BC มมุมฉากดานตรงขาความยาวของ Bมุมดานประชิดความยาวของ tan B = 3 4 6 8 === BC AC Bมุมดานประชิตความยาวของ Bมมุมดานตรงขาความยาวของ ขอสังเกต ถา ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เปนมุมฉากแลวจะไดวา 1. 0000 9090180ˆ180ˆˆ =−=−=+ CBA 2. sin A = cos B 3. cos A = sin B
- 9. 79 แบบฝกหัดที่ 1 1. จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กําหนดใหตอไปนี้ จงเขียนความสัมพันธของความยาวของรูปสามเหลี่ยม มุมฉากโดยใชทฤษฎีบทปทาโกรัส และหาความยาวของดานที่เหลือ (1) (2) 2. กําหนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี 0 90ˆ =C และความยาวของดานทั้งสาม ดังรูป จงหา 1) sin A , cos A และ tan A 2) sin B , cos B และ tan B B
- 10. 80 3. จงหาวาอัตราสวนตรีโกณมิติที่กําหนดใหตอไปนี้ เปนคาไซน(sin) หรือโคไซน(cos) หรือแทนเจนต (tan) ของมุมที่กําหนดให 4. กําหนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีมุม C เปนมุมฉาก มีดาน AB = 10 และ AC = 8 จงหา 1 ) ความยาวดาน BC 2) sin A , cos A และ tan A 3) sin B , cos B และ tan B 5. กําหนดใหรูปสามเหลี่ยม ABC โดยมีมุม C เปนมุมฉาก และ a,b,c เปนความยาวดานตรงขามมุม A, มุม B และมุม C ตามลําดับ (1) ถา cot A = 3 , a = 5 จงหาคา b,c (2) ถา cos B = 5 3 และ a = 9 จงหาคา tan A